cables porticos ecuaciones - bienvenidos · pdf file22 diagramas de fuerza cortante y momento...

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CablesCables

CablesCables Los cables flexibles y las cadenas se usan parasoportar y transmitir cargas entre miembros.

En los puentes en suspensión, estos llevan la mayorparte de las cargas.

En el análisis de fuerzas, el peso de los cables sedeprecia al ser muy pequeño comparado con lascargas.

Consideraremos dos casos: cables sujetos a cargasconcentradas y a cargas distribuidas

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CablesCables Asumamos que el cable es perfectamente flexible y nose extiende

Debido a su flexibilidad, los cables no ofrecenresistencia a flexión y por esto, la fuerza tensora queactúa en el cable es siempre tangente a los puntos a lolargo de su longitud.

Al no extenderse, la longitud permanece constanteantes y después de la carga, se puede considerar comoun cuerpo rígido.

Cables With Concentrated Loads

Cables With Concentrated Loads

• Para el análisis se asume:a) Cargas concentradas verticales en

líneas verticales dadas,b) El peso del cable es despreciable,c) cable es flexible, i.e., resistencia a

flexión es pequeña, d) porciones del cable entre cargas

sucesivas se puede tratar como elementos sometidos a dos fuerzas

• Se desea determinar la forma del cable, i.e., la distancia vertical desde el apoyo A a cada punto de carga.

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CablesCables

Cables Sujetos a Cargas Concentradas

Para un cable con peso despreciable que soporta varias cargas concentradas, el cable toma la forma de varios segmentos de líneas rectas, cada uno sujeto a una fuerza de tensión constante.

CablesCables

Cables Sujetos a Cargas Concentradas

Conocidas: h, L1, L2, L3 y las cargas P1 y P2

Formar 2 ecuaciones de equilibrio en cada punto A, B, C y D

Si se tiene la longitud total L, usar Pitágoras para relacionar las tres longitudes del segmento.

Si no, especificar una de las deflectadas, yC y yD, y de la respuesta, determine la otra deflectada y entonces la longitud total L

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7‐ 7

Cables con Cargas Concentradas Cables con Cargas Concentradas • Considerar el cable completo como un cuerpo libre. Las pendientes del cable en A y B no se conocen – se requieren dos reacciones en cada apoyo.

• Cuatro desconocidas y tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las reacciones.

• For other points on cable,

2 02

ydaMC yxyx TTFF , da 0,0

• constantcos xx ATT

• La ecuación adicional se obtiene al considerar equilibrio en la porción de cable AD y asumiendo que las coordenadas del punto Den el cable se conocen. La ecuación adicional es: .0 DM

CablesCables

EjemploDetermine la tensión en cada segmento del cable.

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CablesCables

SoluciónDCL para el cable completo

CablesCables

Solución

kNE

EkNkNkNkN

F

kNA

mknmkNmkNmAM

EA

F

y

y

y

y

yE

xx

x

10

0315412

;0

12

0)2(3)10(15)15(4)18(;0

0

;0

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CablesCables

Solución

Considere la sección a la extrema izquierda que corta el cable BC con el colgante conocido yC = 12m

CablesCables

Solución

kNT

TkNkN

F

kNT

F

kNEA

mkNmkNmAM

BCBC

BCBC

y

BCBC

x

xx

xC

2.10,6.51

0sin412

;0

033.6cos

;0

33.6

0)5(4)8(12)12(;0

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CablesCables

SoluciónConsidere los puntos A, C y E,

CablesCables

SoluciónPunto A

kNT

kNT

F

kNT

F

AB

AB

ABAB

y

ABAB

x

6.13

2.62

012sin

;0

033.6cos

;0

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CablesCables

SoluciónPunto C

kNT

kNkNT

F

kNT

F

CD

CD

CDCD

y

CDCD

x

44.9

9.47

0156.51sin2.10sin

;0

06.51cos2.10cos

;0

CablesCables

SoluciónPunto E

kNT

TkN

F

TkN

F

ED

ED

EDED

y

EDED

x

8.11

7.57

0sin10

;0

0cos33.6

;0

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CablesCables

Solución Por comparación, la tensión máxima en el cable esta

en el segmento AB dado que este segmento tiene la mayor pendiente.

Para cualquier segmento a la izquierda, el componente horizontal Tcosθ = Ax

Dado que los ángulos de la pendiente que el segmento del cable tiene con la horizontal se pueden calcular, las colgantes yB y yD se pueden determinar usando trigonometría

CablesCables

Cable Sujeto a una Carga Distribuida Considere un cable con peso despreciable

sujeto a una carga con función w = w(x) medida en la dirección x.

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Cable Sujeto a Carga DistribuidaCable Sujeto a Carga Distribuida

• Para un cable que lleva una carga distribuida:a) El cable cuelga con la forma de una curvab) La fuerza interna es una fuerza de tensión dirigida

a lo largo de la tangente a la curva.

DCL del cable con longitud ∆


0<k<1

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Dado que la fuerza de tensión en el cable cambia continuamente en magnitud y dirección a lo largo de la longitud, este cambio se denota en el DCL como ∆T

La carga distribuida se representa por su fuerza resultante w(x)(∆x) que actúa a una distancia fraccional k(∆x) desde el punto O donde o < k < 1


0sincos)())((

;0

0)sin()())((sin

;0

0)cos()(cos

;0

xTyTxkxxw

M

TTxxwT

F

TTT

F

O

y

x


Aplicando Equilibrio:

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Dividimos por ∆x y tomamos el limite, x0, y de allí y0, 0, T0:

Integrando,FH= componente horizontal fuerza de tensión en

cualquier punto a lo largo del cable.

HFtT

dx

dy

xwdx

Tddx

Td

tancoscos

tan

0)()sin(

0)cos(


Integrando,

Eliminando T,

Segunda integración,

dxdxxwF

y

dxxwFdx

dy

dxxwT

H

H

)(1

)(1

tan

)(sin


Ecuación para determinar la curva del cable y=f(x). La componente FH y las constantes C1, C2 se hallan con las condiciones de borde.

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CablesCablesEjemplo

El cable de un puente suspendido soporta la mitad de lacarga uniforme entre dos columnas en A y B. Si la cargadistribuida es wo, determine la fuerza máxima desarrolladaen el cable y la longitud requerida del cable. Se conocen laseparación L y la colgante h.

CablesCablesEjemplo

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CablesCables

SoluciónNote w(x) = wo

Desarrollar dos integraciones

Condiciones de borde en x = 0

0/,0,0

21

1

21

2

dxdyxy

CxCxw

Fy

dxdxwF

y

o

H

oH

CablesCablesSoluciónPor esto,

La curva se convierte en:

Esta es la ecuación de una parábola

Condición de borde en x = L/2hy

xF

wy

CC

H

o

2

21

2

0

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CablesCablesSoluciónLa constante FH se puede obtener tomando las condiciones de frontera y=h en x=L/2,

Tensión, T = FH/cosθ

La máxima tensión ocurre en el punto B para 0 ≤ θ ≤ π/2

22

2

48

xL

hy

h

LwF oH

CablesCablesSoluciónLa pendiente en el punto B

O

Por esto

Usando una relación triangular

2

4

)cos(

2tan

tan

222

max

maxmax

1max

2/max

2/

LwFT

FT

FLw

Fw

dxdy

oH

H

H

o

LxH

o

Lx

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CablesCablesSolución

Para un segmento diferencial del cable de longitud ds

Determine la longitud total integrando

La integración queda:

Lh

hL

LhL

dxxL

hds

dxdxdy

dydxds

hLLw

T

L

o

4sinh

44

12

812

1

41

2

12

2/

0

2

2

222

2

max

Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos

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Pórticos Pórticos

Marcos: Estructura compuesta de

varios miembros conectadospor pasadores (pines) o bienson rígidos en sus extremos.

Frecuentemente se necesitadibujar diagramas de cortantey momento para diseñarlos.

Fuerzas Internas Positivas Actuando en un Pórtico

Fuerzas Internas Positivas Actuando en un Pórtico

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Procedimiento para el Análisis:

Determinar las reacciones en losapoyos, si es posible.

Determine las reacciones en losapoyos A, V y M en los extremosde los miembros usando el métodode las secciones.

Construir diagramas de V y M.

Dibujaremos el diagrama demomentos en el lado de compresióndel miembro


Ejemplo: Dibujar los diagramas de V y M para elpórtico mostrado.

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Primero: Encontrar el mayor numero dereacciones externas que sea posible.


Segundo: Cortar el marco en sus miembros yencontrar las reacciones internas.

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Tercero: Resolver las ecuaciones de equilibriopara cada miembro. Comencemos en el miembroAB.


Siguiente: Resolver las ecuaciones de equilibriopara el miembro CD.

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Ahora: Dibujar los diagramas de M y V (recordardibujar el diagrama en el lado de compresión delmiembro).


Punto de Inflexión: Ubicación del momento ceropara estructuras mecánicamente cargadas.

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Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante por Superposición


Si la viga o marco son linealmente elásticos,podemos usar los principios de superposiciónpara construir los diagramas de V y M.

Cada una de las cargas sobre la viga se puedetratar de forma separada y el diagrama de Mpuede construirse en una serie de partes y no enuna sola parte, algunas veces compleja.



La mayor parte de las cargas en vigas se formade la combinación de las siguientes cargas:

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La mayor parte de las cargas en vigas se formade la combinación de las siguientes cargas:


Ejemplo: Dibujar los diagramas de V y M para laviga usando superposición.

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Los diagramas de V usando superposición.


Los diagramas de M usando superposición.

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Funciones de DiscontinuidadFunciones de Discontinuidad

Para manejar discontinuidades en las curvas de V(x) yM(x) introducimos una familia de funciones llamadasfunciones de singularidad.

Permiten la formulación de una función discontinuamediante una expresión simple y no mediante unaserie de expresiones (una para cada región donde lafunción es diferente).

La función es discontinua… Tienen diferentes valoresen diversas regiones de la variable independiente


Funciones de Macaulay:

Representan cantidades que “empiezan” en algún puntoparticular sobre el eje x (como el punto x=a) y que tienenvalor cero a la izquierda de este.

Ej:

x es la variable independiente y a es el valor de x donde“empieza” la función.

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En términos generales definimos la función por lassiguientes expresiones:

n= 0,1,2,3,…

“Si la cantidad x‐a incluida en los paréntesis angulares esnegativa o cero, la función de Macaulay tiene valor cero;si la función x‐a es positiva o cero, la función tiene elvalor obtenido al sustituir los paréntesis angulares porparéntesis curvos”.


Cuando n=0, la función toma alguno de los valores:

Esta función tiene un “salto” vertical en el punto dediscontinuidad x=a, se llama función escalón.

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Operaciones como suma, resta y multiplicación por una constante.

Una función y con diferentes expresiones algebraicas para diferentesregiones a lo largo de x puede escribirse como una función simple confunciones Macaulay.

Pueden diferenciarse

e integrarse

La función impulsounitaria también se llamafunción delta Dirac

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Funciones de SingularidadFunciones de Singularidad

Definidas por las expresiones:

n= ‐1, ‐2, ‐3, …

Definidas para valores enteros negativos de n, mientras quelas de Macaulay lo están para enteros positivos y cero.

Tienen valor cero en cualquier punto excepto en x=a.

Se presentan singularidades cuando n=entero negativo y x=a lafuncion se vuelve infinita.


Definidas por las expresiones:

n= ‐1, ‐2, ‐3, …

Definidas para valores enteros negativos de n, mientras quelas de Macaulay lo están para enteros positivos y cero.

Tienen valor cero en cualquier punto excepto en x=a.

Se presentan singularidades cuando n=entero negativo y x=a lafuncion se vuelve infinita.

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La índole de las singularidades depende del valor de n.

Las mas importantes son:

La función doblete unitaria (n=‐2): dos flechas de extensióninfinita, infinitesimalmente cercanas, que pueden visualizarsecomo fuerzas, se representa con una flecha curva (momentounitario o dipolo).

La función impulso unitaria (n=‐1): también infinita en x=a,flecha sencilla, fuerza unitaria

Representación de Cargas con funciones de discontinuidad:

Únicamente se requiere multiplicar las funciones dadas (funciones unitarias) por las intensidades de carga apropiadas para obtener representaciones matemáticas de las cargas.

En cargas complicadas se pueden superpones casos elementales.

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