Download - Bilangan Real
![Page 1: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/1.jpg)
KALKULUS - I
![Page 2: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/2.jpg)
Materi perkuliahan sampai UTS
• Sistem bilangan riil• Ketidaksamaan• Nilai mutlak• Fungsi dan operasi fungsi• Fungsi Trigonometri• Pendahuluan limit, Teorema limit, Fungsi Kontinu• Pendahuluan Turunan, Aturan pencarian turunan, Aturan
Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, Turunan Implisit• Aplikasi turunan ; max-min, kemonotonan & kecekungan,max-
min lokal, limit tak hingga
![Page 3: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/3.jpg)
Bilangan Real
• Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional
• Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan q Z, dengan q 0} contoh :
• Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan bilangan rasional :* Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}* Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}
p
q
1 4 57, ,
3 9 1
![Page 4: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/4.jpg)
– Himpunan bilangan irasional, iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }
contoh : , e, log 5, – Teorema :
“Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”– Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama :
contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000…. 13/11 =1.1818181818…
– Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya
contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271…..
Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional– Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….
p
q2
![Page 5: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/5.jpg)
Sistem Bilangan Riil
![Page 6: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/8.jpg)
Garis bilangan
Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis bilangan, yang disebut garis bilangan real.
0-1 1 2-4 2 52 3 5
![Page 9: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/9.jpg)
• Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.
• Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :* Sifat-sifat aljabar* Sifat-sifat urutan* Sifat-sifat kelengkapan
Sistem bilangan real
![Page 10: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/10.jpg)
*Sifat-sifat aljabar bilangan real
Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.
contoh: 2 + 5⅛ = 7⅛ 5-0,4 = 4,6 4 x ¾= 1 3 : 4 = ¾
![Page 11: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/11.jpg)
*Sifat-sifat urutan bilangan real
• Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0
• Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b, jika b – a positifcontoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0
![Page 12: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/12.jpg)
Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:
• a < b a + c < b + c• a < b a - c < b – c• a < b, c > 0 ac < bc• a < b, c < 0 ac > bc• a > 0
• Jika a dan b bertanda sama maka
10
a1 1
a bb a
![Page 13: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/13.jpg)
*Sifat kelengkapan bilangan real
Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya
Contoh : Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau
salah! a. -2 < -5 b.
6 34
7 39
![Page 14: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/14.jpg)
Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.
Interval bilangan real
Untuk setiap x, a, b, c R,
1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup
atau terbuka3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka
atau tertutup4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka
![Page 15: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/15.jpg)
Interval – interval tak hingga
• (–∞, b] = {x | x ≤ b}• (–∞, b) = {x | x < b}• (a, ∞] = {x | x ≥ a}• (a, ∞) = {x | x > a}• (–∞, ∞] = {x | x R}
![Page 16: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/16.jpg)
Ketidaksamaan• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti mencari interval
atau interval-interval dari bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.
• Cara menyelesaikan ketidaksamaan :1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah
Contoh:Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan real!a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x
b. c. (x – 1)2 ≤ 4x
x
2
42
![Page 17: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/17.jpg)
Nilai Mutlak
• Definisi nilai mutlak :
• Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.
• |x| dapat juga didefinisikan sebagai:
• Secara Geometri: |x| menyatakan jarak dari x ke titik asal. |x – y| = jarak diantara x dan y
0,
0,
xx
xxx
2x x
![Page 18: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/18.jpg)
Sifat nilai mutlak
• |-a| = |a|• |ab| = |a||b|
• |a + b| ≤ |a| + |b|• |x|2 = x2
• |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a • |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a• |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2
aa
b b
![Page 19: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh :
• Selesaikan persamaan berikut: |2x – 5|=9• Tentukan solusi dari ketaksamaan berikut:
x 5 9
5 12 x
![Page 20: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/20.jpg)
SOAL
1. 5 2 6x x
2. 2 11 1x x
3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan
?t a a t
![Page 21: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Bilangan Real](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102701/5571fa064979599169910db8/html5/thumbnails/29.jpg)