Download - apunte sedimentacion 2010

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT

DEPARTAMENTO DE INGENERIA

APUNTE OPERACIONES DE

SEPARACION Y CONCENTRACION

CARRERA: Ingeniería Civil Metalúrgica

PROFESOR: Aldo Quiero Gelmi

2010

INDICE

Pagina

ESPESAMIENTO.

Capitulo 1: INTRODUCCIÓN, DEFINICIÓN, EQUIPOS Y OPERACIÓN 1

1.1 Descripción de una suspensión en sedimentación. 5

1.2 Parámetros de Sedimentación. 8

Capitulo 2: BALANCE DE MASA EN UN ESPESADOR CONTINUO EN ESTADO ESTACIONARIO: MÉTODOS CLÁSICOS DE DISEÑO DE ESPESADORES 11

2.1 Ecuación de Mishler 11

2.2 Método de Coe y Clevenger 12

Capitulo 3: MÉTODOS DE DISEÑO BASADOS EN MODELOS CINEMÁTICAS 16

3.1 Teoría de sedimentación de Kynch 16

3.2 Análisis de la curva de sedimentación 19

3.3 Diseño de espesadores continuos basado en la teoría de sedimentación discontinua

de Kynch 21

3.4 Método de diseño de espesadores basado en el proceso de sedimentación

continua de Kynch 23

Capitulo 4: TEORÍA FENOMENÓLOGICA DE LA SEDIMENTACIÓN DE SUSPENSIONES FLOCULADAS 26

4.1 Introducción 26

4.2 Método de Diseño de Espesadores de Adorjan 26

BIBLIOGRAFÍA 33

1

Operaciones de Separación y Concentración IN-796. Profesor: Aldo Iván Quiero Gelmi. Departamento de

Ingeniería. Universidad Arturo Prat

Capitulo 1: INTRODUCCIÓN, DEFINICIÓN, EQUIPOS Y OPERACIÓN(1).

Espesamiento es la operación de separación de parte del líquido de una suspensión para obtener

un producto más denso y un flujo de líquido puro. El objetivo del proceso puede enfocarse en

obtener una pulpa de descarga más densa o en recuperar el líquido de la suspensión. En el primer

caso se habla de espesamiento y en el segundo se usa el término clarificación.

El mecanismo clásico del espesamiento es la sedimentación bajo la fuerza de gravedad. La

operación se realiza industrialmente en espesadores, esto es, en estanques cilíndricos donde a la

suspensión se le permite sedimentar. Se alimenta la suspensión en la parte superior y en el centro

del estanque y se permite su salida por dos aberturas, una en el centro y fondo y otro en la

periferia y parte superior del estanque. La abertura del fondo descarga la pulpa y el vertedero de

la periferia elimina el líquido limpio que rebalsa. Una rastra, accionada desde un eje en el centro

del estanque, lleva el material sedimentado hacia la abertura de descarga. Espesadores pequeños

tienen fondo plano, pero generalmente el fondo tiene una pequeña inclinación hacia el centro, lo

que ayuda a descargar el producto.

Fig. 1.1.1: Feedwell de dos entradas y rastra de tracción central (Dorr-Oliver).

Fig. 1.1.2: Rastra de tracción periférica (Eimco Process Equipment)

2



De acuerdo a Coe y Clevenger(2) (1916), se distinguen cuatro zonas en un espesador convencional continuo. En la parte superior está la zona de líquido claro, que denotaremos por

zona I. Este líquido, que ha sido separado de la suspensión, es recuperado en el rebalse. Cuando

el material de alimentación contiene muchas partículas finas, la zona I puede ponerse turbia, a

menos que se le agregue un reactivo químico para flocular los finos. En este último caso, se

forma una interface nítida en la parte inferior de la zona I. El espesor de la zona I depende de la

cantidad de floculante agregado. Es precisamente de esta manera que la profundidad de líquido

claro es controlada en un espesador industrial y se le mantiene a un mínimo de 0.5 a 1 metro para

una operación segura. Cuando la zona I es invadida por partículas sólidas se dice que el espesador

se rebalsa.

Bajo el líquido claro está la zona II, denominada zona de sedimentación obstaculizada. Ella

consiste en pulpa de concentración uniforme que sedimenta a velocidad constante. De acuerdo a

Coe y Clevenger(2) (1916), la concentración de esta zona es la misma que la de la alimentación,

pero Coming et al(3) (1954) reconocieron que esto no siempre es así y que, en la mayoría de los

casos, la alimentación se diluye al entrar al espesador. Coming(3) informa de muchos

experimentos que prueban que en una operación normal, la concentración de la zona II depende

del flujo de sólidos en la alimentación más que su concentración. La concentración en esta zona

es pequeña si el flujo de sólidos de alimentación es pequeño y aumenta cuando éste aumenta,

llegando a un máximo cuando el sólido sedimenta a la máxima velocidad posible en esta zona. Si

se alimenta sólido en exceso sobre este flujo máximo, la concentración de la zona II continuará

siendo la misma que corresponde al flujo máximo y el exceso de sólido no sedimentará a través

de la zona II sino que pasará a la zona I y será eliminado junto al líquido de rebalse. Comings(3) también reporta que si la concentración de la alimentación supera la concentración máxima

mencionada para la zona II, la concentración en esta zona será la de la alimentación y la

capacidad de sedimentación de la zona II aumentará.

Debajo de la zona II hay una región que contiene un gradiente de concentración y que

designaremos como zona III y llamaremos zona de transición porque lleva la concentración

desde el valor constante de la zona II al valor que tiene en el sedimento. No está claro si esta zona

realmente existe en todos los casos. Algunos investigadores como Comings et al(3) (1954), Fitch

y Stevenson(4) (1977) y Eklund y Jernqvist(5) (1975) simplemente ignoran esta zona mostrando

un abrupto cambio de concentración entre la zona II y el sedimento. Finalmente, en la parte

inferior del espesador está la zona IV de sedimento, también conocida como zona de compresión.

Ella consiste en pulpa espesa en que los flóculos, que descansan unos sobre los otros formando

una red, ejercen presión sobre los inferiores debido a su peso, dando origen a un gradiente de

presión. Este gradiente de presión origina, a su vez, un gradiente de concentración. Coming et

al(3) (1954) divide la zona IV en una zona superior de compresión con las características

mencionadas y una zona de acción de las rastras, en que el movimiento de éstas permite un

incremento de la concentración lográndose un segundo gradiente de concentración.

La concentración de la descarga es la concentración de la parte inferior de la zona de compresión.

Ella depende de la altura de esta zona porque una mayor altura implica mayor peso de sólidos

soportados por la red de flóculos, o esqueleto sólido, produciendo un mayor gradiente de presión

3



y, por lo tanto, un mayor gradiente de concentración. El tiempo de retención de la pulpa en el

espesador también ha sido mencionado como causa de diferentes concentraciones de la descarga,

para una misma altura de sedimento (Coming et al 1954(3)).

Fig. 1.1.3: Esquema de las zonas de sedimentación presentes en un espesador

industrial, según Coe y Clevenger (1916).

Fig. 1.1.4: Resultados obtenidos en Espesador Piloto. Quiero A. (1994)

El espesor de cada zona en un espesador depende de las características de sedimentación de la

pulpa. Coe y Clevenger(2) (1916) definen la capacidad de tratamiento de cada zona como la

cantidad de sólidos que pasan de esa zona a la siguiente por unidad de área y de tiempo. Ellos

razonaban que la velocidad de sedimentación es una función de la concentración de la pulpa y,

por lo tanto, también lo será la capacidad de tratamiento. Si no pasa sólido al rebalse, en el estado

estacionario, el mismo flujo de sólidos debe pasar por todas las zonas del espesador. Esto

4



significa que aquellas zonas con menor capacidad de tratamiento crecerán a expensas de las

zonas con mayor capacidad de tratamiento.

Diremos que un espesador se rebalsa si partículas sólidas pasan de la zona II a la zona I. De

acuerdo a Dixon(7) (1979), hay tres maneras en que un espesador se puede rebalsar. Ya hemos

discutido dos de ellas, esto es, aquella en que las partículas finas pasan al rebalse por falta de

floculante y cuando se alimenta un espesador más allá de su capacidad. La tercera corresponde a

una operación normal del espesador y ocurre cuando la alimentación del espesador es mayor que

la descarga. En este caso el sólido en exceso se acumula en el equipo y eventualmente comienza

a emerger en el rebalse.

Cuando, debido a cambios en la concentración de sólidos de la alimentación, la concentración de

la descarga disminuye, es posible llevarla a su valor original controlando el flujo de descarga.

Este, a su vez, se controla manipulando la bomba de velocidad variable de la descarga, cuando

ésta existe, o cambiando anillos en la abertura de descarga cuando ésta es por gravedad. El

resultado es que, al disminuir el flujo de descarga, la altura del sedimento crece en el espesador

por acumulación de sólidos, aumenta el gradiente de presión y, como consecuencia, el gradiente

de concentración. Lo opuesto sucede cuando el flujo de descarga es aumentado. Estos efectos son

utilizados para el control de espesadores.

La Figura 1.1.5 resume las variables que describen el comportamiento y permiten el control de un

espesador. F y φF son el flujo másico y la concentración de sólidos en la alimentación al

espesador, QD y φD son el flujo volumétrico y la concentración de sólidos en la descarga, QR es

el flujo volumétrico de líquido en el rebalse, Qfl es el flujo volumétrico de floculante, FF es la

distribución de tamaño en las partículas de la alimentación y ha y hs son las alturas, o

profundidades, de líquido claro y sedimento respectivamente.

Figura 1.1.5: Variables en un espesador continuo.

5



1.1 Descripción de una suspensión en sedimentación.

Cuando una suspensión de partículas iguales sedimenta en una columna con fondo cerrado, se

puede distinguir las siguientes etapas en el proceso:

1. Antes de comenzar la sedimentación la concentración de la suspensión es constante en

todo el volumen de la columna.

2. Debido a la sedimentación de las partículas, se forma una interface agua-suspensión en la

parte superior de la columna. La velocidad con que desciende esta interface al comienzo

del proceso es lo que se denomina velocidad inicial de sedimentación.

3. Las partículas que sedimentan se acumulan en el fondo de la columna y tendrán una

concentración mayor que la de la suspensión original. Se forma así una interface

suspensión-sedimento que sube por la columna a medida que se acumula mayor cantidad

de material.

4. Dentro del material en sedimentación cualquier nivel de coordenada fija aumentará su

concentración con el tiempo, lo que significa que un lugar de concentración determinada

que al comienzo se encontraba cerca del fondo de la columna se desplazará

posteriormente a regiones superiores. Podríamos decir que cada concentración se propaga

en la columna como una onda de concentración constante a una velocidad determinada.

5. En un instante determinado la interface agua-suspensión se encontrará con la interface

suspensión-sedimento constituyendo lo que se denomina instante crítico. Las coordenadas

de la interface en este instante reciben el nombre de coordenadas críticas, y ellas definen

el punto crítico de la sedimentación.

6. Si el material es incompresible, esto es, si después del instante crítico no hay cambio de

concentración en el sedimento, la sedimentación cesa. Esta condición raramente se

cumple en el espesamiento de suspensiones industriales, pero si puede ser observada en la

sedimentación de pequeñas esferas vidrios (Shannon y Tory 1966(7)).

7. Las suspensiones de partículas minerales tienen un comportamiento semejante al descrito

en 6. cuando cada partícula está bien dispersa en la fase continua. Estas partículas son tan

finas que su velocidad de sedimentación es muy pequeña. Para acelerar el proceso de

sedimentación las partículas son floculadas. Cada flóculo puede ahora ser considerado

una partícula y como el tamaño ha crecido también lo ha hecho la velocidad de

sedimentación. Sin embargo, estas nuevas partículas mantienen una cierta cantidad de

agua al formar el sedimento, la que sólo puede ser exprimida de él. Este fenómeno se

produce por la presión ejercida sobre los flóculos por el material que sobre ellos descansa.

En este caso la sedimentación continúa más allá del instante crítico a una velocidad

reducida que recibe el nombre de consolidación. Como la concentración del sedimento en

una determinada posición dependerá de la cantidad de agua que expulse, y ésta dependerá

del peso que soporte el material en esa posición, es obvio que las capas inferiores que

soportan todo el peso del sedimento serán más concentradas que las capas superiores de

6



éste. Es así como en el sedimento se establecerá un gradiente de concentración que tomará

un valor constante en el equilibrio final.

Si se grafica la posición de las interfaces de la suspensión en función del tiempo se obtienen las

curvas de la Figura 1.1.6.

Figura 1.1.6: Suspensión en sucesivas etapas de sedimentación. 1) Suspensión de

concentración constante, 2) agua, 3) suspensión en sedimentación, 4) sedimento en

consolidación y 5) sedimento en equilibrio final.

Fig. 1.1.7: Gráfico de posición de las interfaces versus tiempo para el proceso de

sedimentación de la Figura 1.1.6.

7



Ejemplos de Determinación de Velocidad de Sedimentación en Curvas de Sedimentación Discontinua.

Fig. 1.1.8: Curva de Sedimentación para una suspensión floculada, con φ0=0.025



8



1.2 Parámetros de Sedimentación.

Ecuación de Richardson y Zaki.(13)

La ecuación propuesta por Richardson y Zaki(13) en 1954, para describir el comportamiento de

un mineral es la siguiente:

vs

nv= −∞ ( )1 φ (1.2.1)

donde v∞ y n son dos parámetros ajustables.

Esta ecuación es valida cuando la concentración es menor que la crítica, es decir, cuando no

tenemos un proceso de sedimentación del tipo obstaculizado. Como podemos ver esta ecuación

se ajusta cuando existe régimen de Kynch, por lo tanto será utilizada en los métodos de diseño

que suponen este régimen.

Descripción del método.

1.- Realizar ensayos de sedimentación discontinua con la suspensión en una probeta,

intentando cubrir el rango más amplio posible de concentraciones. En cada caso se debe

calcular la velocidad de sedimentación inicial. En forma alternativa se puede realizar un

sólo ensayo, a una concentración intermedia, y determinar la velocidad de sedimentación

y la concentración correspondiente por el método de Kynch.

2.- Con los pares de datos generados en el paso 1, graficar log(vs) v/s log(1-φ), tal como se

muestra en la Figura 1.1.11.

3.- Ajustar a una línea recta todos los pares de datos que estén en régimen de Kynch, es decir,

que su concentración sea menor que la crítica.

Figura 1.2.1cua: Método de Richardson y Zaki (1954) para ajustar la velocidad de

sedimentación de una pulpa para una concentración de sólidos φ.

9



Concentración Crítica (φc).(19)

Como ya se mencionó anteriormente, las suspensiones se comportan idealmente, siguiendo la

teoría de Kynch, cuando no existe contacto permanente entre los flóculos. En esas condiciones la

velocidad de sedimentación depende únicamente de la concentración local de sólidos. Llamamos

fracción volumétrica crítica de sólidos o simplemente concentración crítica φc a la concentración de sólidos que separa un cambio de régimen de la sedimentación. Para

concentraciones mayores que la crítica, el proceso de sedimentación es del tipo obstaculizado, y está caracterizado porque no existe contacto permanente entre los flóculos. En el segundo caso,

en que la concentración es mayor que la crítica, el proceso es una sedimentación con compresión

y recibe el nombre de consolidación, donde existe un contacto permanente entre los flóculos. En

el primer régimen las suspensiones siguen la teoría de Kynch mientras en el segundo no lo hacen.

Como algunos métodos de diseño que utilizaremos posteriormente suponen que la sedimentación

ocurre en régimen de Kynch, es importante disponer de un método que nos permita determinar la

concentración crítica de una suspensión.

Aunque existen varios métodos en la literatura que pretenden detectar en forma clara la

concentración crítica, intentando determinar el cambio de régimen; desafortunadamente, la

mayoría se caracteriza porque no existe una visión clara del punto de transición. Este método se

basa en la adaptación de la ecuación de Richardson y Zaki(13) (1954) para la velocidad de sedimentación,

( )ns 1v)(v φ−=φ ∞

donde v∞ y n son dos parámetros ajustables.

El método que usaremos, propuesto por Michaels y Bolger(19) (1962), permite la identificación

con exactitud apropiada de la concentración crítica. La ecuación propuesta es la siguiente:

65.4

m

s 1v)(v

φφ

−=φ ∞ (1.2.2)

donde v∞ y φm son dos parámetros ajustables.

Descripción del método.

1.- Realizar ensayos de sedimentación discontinua con la suspensión en una probeta,

intentando cubrir el rango más amplio posible de concentraciones. En cada caso se debe

calcular la velocidad de sedimentación inicial. En forma alternativa se puede realizar un

sólo ensayo, a una concentración intermedia, y determinar la velocidad de sedimentación

y la concentración correspondiente por el método de Kynch.

2.- Con los pares de datos generados en el paso 1, graficar vs

1 4 65/ . v/s φ, tal como se muestra en

la Figura 1.1.12.

10



3.- El valor de φc será aquel valor de φ en que el gráfico deja de ser una línea recta, ya que en ese punto deja de existir una relación única entre la velocidad de sedimentación y

concentración. Es decir, si efectuásemos otras pruebas discontinuas, con otros valores

iniciales de altura de la suspensión en la probeta, justamente en este valor los datos

experimentales se separarían, existiendo una curva diferente por cada altura inicial

considerada.

Figura 1.1.12: Método de Michaels y Bolger(19) (1962) para determinar la

concentración crítica de sólidos φc.

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Capitulo 2: BALANCE DE MASA EN UN ESPESADOR CONTINUO EN ESTADO ESTACIONARIO: MÉTODOS CLÁSICOS DE DISEÑO DE ESPESADORES(1).

2.1 Ecuación de Mishler.(8)

La primera ecuación para predecir la capacidad de un espesador fue propuesta por Mishler(8) en 1912 y corresponde a un simple balance macroscópico de masa en el equipo. Consideremos un

espesador en el estado estacionario, tal como se muestra en la Figura 2.1.1. Usando las variables

que Mishler plantea en su estudio, realiza un balance de sólidos y líquido obteniendo:

Figura 2.1.1: Balance macroscópico de masa en un espesador continuo.

Sólido : F= D (2.1.1)

Líquido : F DF = D DD + R (2.1.2)

donde F y D son los flujos másicos de sólido en la alimentación y la descarga respectivamente, R

es el flujo másico de líquido en el rebalse y DD y DF son las diluciones de la alimentación y

descarga. Dilución es una medida de concentración que consiste en la razón de la masa de líquido

a la masa del sólido. Entonces:

R = F (DF -DD ) (2.1.3)

El flujo volumétrico de agua, QR, eliminado del espesador será:

QR

f

F D

f

R F D D= =

−ρ ρ

( ) (2.1.4)

donde ρf es la densidad del líquido. De acuerdo a Mishler(8) (1912) el flujo de líquido en el

rebalse por unidad de área del espesador, QR/S, debe ser igual a la velocidad de formación de la

capa de líquido en un ensayo de sedimentación continua con la misma pulpa, a la concentración

de la alimentación. Como esta velocidad es igual a la velocidad de descenso de la interface

líquido-suspensión en un ensayo discontinuo, que denotaremos por σI(DF), podemos escribir:

12



σρI FF D

f

F D D

S( )

( )D =

− (2.1.5)

y el área requerida para tratar un flujo de alimentación F es:

S =−F D D

DF D

f I F

( )

( )ρ σ (2.1.6)

donde S es el área del espesador, F es el flujo másico de alimentación, DF y DD son las

diluciones de la alimentación y la descarga respectivamente, y σI(DF) es el valor absoluto de la velocidad de descenso de la interface líquido-suspensión en una prueba de sedimentación

discontinua con una suspensión de dilución DF igual a la de la alimentación.

Mishler(8) uso las unidades de F en [toneladas cortas/día], de σI en [pies/min] y de ρf en

[lb/ft3] y obtuvo S en [pies2]

S , pies2=−

0 0222.( )

( )

F D D

D

F D

f I Fρ σ (2.1.7)

2.2 Método de Coe y Clevenger.(2)

Como ya hemos discutido, Coe y Clevenger(2) (1916) distinguían cuatro zonas en un espesador continuo en el estado estacionario, cada una con concentración diferente. Por esta razón ellos

proponen utilizar la ecuación de Mishler para cada dilución Dk presente en el espesador (ellos no

mencionan a Mishler como proponente de la ecuación que utilizan) y encontrar la mínima

capacidad de tratamiento de sólidos F/S en la columna de sedimentación. Entonces, de la

ecuación (2.1.5):

−=

)(

)(minm

DK

FIf

D DD

D

S

Fin

K

σρ (2.2.1)

Coe y Clevenger usaron las unidades de F en [lb], de ρf en [lb/ft3], de S en [pies2] y de σI en

[pies/hr], para dar:

−=

2hrft

lb ,

)(

)(35.62minm

DK

FIf

D DD

D

S

Fin

K

σρ (2.2.2)

definiendo el Area Unitaria Básica AUo como el recíproco de la capacidad mínima de

tratamiento de sólidos, podemos escribir de acuerdo a Coe y Clevenger(2):

FkD DDD , )(

maxA <<

−=

kIf

Dk

Do

D

DDU

K σρ (2.2.3)

13



Taggart(9) (1927) usa el valor de ρf en [lb/ft3] y las unidades de σI en [pies/hr], dando AUo en

[pies2/ton corta/día]

−=

íatoncorta/d

pie ,

)(33.1maxA

2

kIf

Dk

Do

D

DDU

K σρ (2.2.4)

Para referencia futura expresaremos la ecuación (2.2.3) en términos de la fracción

volumétrica de sólidos φ. Como la dilución está dada por:

D =−ρ φ

ρ φf

s

( )1 (2.2.5)

el área unitaria AUo resulta

DkF

DkkIs

oK

U φφφφφφσρφ

<≤

−= ,

11

)(

1maxA (2.2.6)

La ecuación (2.2.6), que da el área unitaria de un espesador basada en los resultados de

varios ensayos de sedimentación discontinua en el laboratorio, la denominaremos Ecuación de

Mishler y el método de diseño basado en ella lo denominaremos Método de Coe y Clevenger.

Si se seleccionan las siguientes unidades ρs en [gr/cm3], σIen [cm/s] y AUo en

[m2/TPD] (tons métricas/24hrs) resulta:

−=

−

TPD

m ,

11

)(

10*1574.1max

23

DkkIs

oK

AUφφφσρφ

(2.2.7)

La expresión (2.2.7) será la que en secciones posteriores denominaremos ecuación de Coe

y Clevenger.

Descripción del método para el diseño de un Espesador.

1.- Se realizan pruebas de sedimentación a diferentes concentraciones φk, comprendidas

entre las concentraciones de alimentación y descarga del espesador a diseñar.

2.- Registrar para diferentes tiempos la altura de la interface agua-suspensión.

3.- Graficar la altura de la interface en el tiempo de sedimentación.

4.- Calcular para cada prueba la velocidad inicial de sedimentación vs.

5.- Definir la concentración φD deseada en la descarga del espesador. 6.- Con estos datos, calcular el área unitaria mediante la ecuación (2.2.7).

7.- Elegir el área unitaria mayor obtenida.

8.- El área unitaria del espesador se obtiene utilizando un coeficiente de seguridad de un

25%, AU = 1.25 AUo.

9.- El área total del espesador es el producto del área unitaria calculada, con el tonelaje de

sólidos que se desee tratar por día.

14



Cálculo de la Altura del Espesador.

De acuerdo a Coe y Clevenger(2) (1916), cuando la concentración de la descarga está en el rango de la sedimentación obstaculizada, la altura del espesador es irrelevante, excepto para permitir un

adecuado espacio para el líquido claro y para absorber fluctuaciones del flujo de alimentación.

Por otra parte, cuando la concentración de la descarga está en el rango del sedimento, se debe

proveer suficiente altura al espesador para que, dada una cierta área, exista un volumen de equipo

para permitir un tiempo de retención suficiente de la pulpa en compresión para llegar a la

concentración deseada.

Para hacer el cálculo se estima, primero, a partir de la curva de sedimentación, el tiempo t*

necesario para que la suspensión en la experiencia de sedimentación discontinua en el

laboratorio llegue a la concentración deseada en la descarga. De acuerdo con la nomenclatura de

la Figura 2.2.1, t* es el tiempo necesario para que:

z zD oo

D

=φφ

(2.2.8)

Luego se divide t* en "n" intervalos iguales, de duración ∆ti=t*/n es decir, el método considera

los intervalos dados por ∆t1=[0,t1]; ∆t2=[t1,t2]; ......; ∆tn=[tn-1,tn-2] (en su artículo original Coe

y Clevenger(2) considera 4 intervalos de este tipo para un ejemplo de cálculo, aunque no

consideran ∆ti estrictamente constantes por conveniencia numérica). Luego se calcula la altura

necesaria en el espesador para que la pulpa pase desde una concentración φi-1 a φi, dándole a la pulpa el volumen necesario para ello, es decir, el volumen Vi=S*hi.

Figura 2.2.1: Método de Coe y Clevenger para determinar la altura del espesador.

15



Se considera que la concentración durante este período es igual a la concentración media

φ φ φi i= +−( ) /i 1 2. Así, esta altura está dada por:

hii i

i

i

s i

V

S

F t

S AU

t= = =

+ −

∆ ∆ρ ρ φ

1

1 1( )

por lo tanto

h = =+ −= =

∑ ∑hAU

ti

i

n

i

s ii

n

1 1

1

1 1

∆

( )ρ φ (2.2.9)

16



Capitulo 3: MÉTODOS DE DISEÑO BASADOS EN MODELOS CINEMÁTICOS (1)

El desarrollo de la teoría de Kynch(10) en 1952 abrió de inmediato un nuevo campo de

investigación, el de la búsqueda de un nuevo método más rápido y más preciso para el diseño de

espesadores. Varios investigadores se involucraron en esta búsqueda y sus nombres han quedado

asociados a métodos de diseño de espesadores.

3.1 Teoría de Sedimentación de Kynch.(10)

Consideremos una mezcla de partículas sólidas en un líquido que satisface las siguientes

propiedades (Kynch(10) 1952):

1.- las partículas sólidas son pequeñas (con respecto al contenedor) y del mismo, tamaño,

forma y densidad,

2.- los componentes sólido y líquido de la mezcla son incompresibles,

3.- no hay transferencia de masa entre los componentes,

4.- la velocidad de sedimentación en cada punto de la suspensión es una función de la

concentración local de partículas solamente.

Una mezcla tal se denomina suspensión ideal (Shannon y Tory(7) 1966) y puede ser considerada como un medio continuo formado por la superposición de dos medios continuos incompresibles,

uno del sólido y uno del líquido (Bustos y Concha(11) 1988b, Concha y Bustos(12) 1991). La concentración φ de la suspensión es, en general, una función de las tres coordenadas del espacio y del tiempo, pero en el caso de la sedimentación discontinua, una columna de

sedimentación se define como una vasija vertical de sección transversal constante sin roce en la

pared. Por ello la concentración de partículas es constante en cada sección transversal y las

variables de campo son funciones de una sola coordenada espacial y del tiempo.

Llamando z a la coordenada vertical en la dirección contraria a la gravedad y t al tiempo, la

sedimentación gravitacional de una suspensión ideal en una columna de sedimentación se puede

describir mediante las siguientes variables: la fracción volumétrica de sólidos φ(z,t) y la densidad de flujo de sólidos ( )),( tzf φ . Estas dos variables de campo constituyen un Proceso de

Sedimentación de Kynch (KSP) si, para cada z y t>0 ellas obedecen las siguientes ecuaciones

(Kynch(10) 1952, Bustos y Concha(11) 1988b, Concha y Bustos(12) 1991) en las regiones donde las variables son suaves:

( ) 0)(fzt

bk =φ∂∂

+∂∂φ

(3.1.1)

y en las discontinuidades ellas satisfacen las condiciones de Rankine-Hugoniot o condiciones de

salto y las condiciones de entropía de Lax:

σ φ φφ φφ φ

( , )( ) ( )+ −

+ −

+ −=−−

f fbk bk (3.1.2)

17



f fbk bk( ) ( , ) ( )φ σ φ φ φ− + − +≥ ≥ (3.1.3)

donde fbk(φ)=φvs es la densidad de flujo de sólidos ajustada por una ecuación válida para la

teoría de Kynch, σ(φ+,φ-) es la velocidad de propagación de la discontinuidad de concentración φ+ en el frente y φ- en la parte de atrás. La desigualdad (3.1.3) establece cuales son las discontinuidades admisibles en la suspensión. Una discontinuidad se denomina una onda de

choque si la condición de entropía de Lax se satisface estrictamente. Si se cumple alguna de las

igualdades, la discontinuidad se llama discontinuidad de contacto.

El proceso cinemático queda completamente definido una vez que se ha postulado una ecuación

constitutiva para la función f(φ) y se han establecido las condiciones de contorno para φ. Una gran mayoría de los experimentos de sedimentación discontinua son representados por una

función de densidad de flujo fbk(φ) con un punto de inflexión, tal como la que propone

Richardson y Zaki(13) (1954). Como un ejemplo, considere el caso de una suspensión descrita

por una función de densidad de flujo como la de la Figura 3.1.1.

Fig. 3.1.1: Curva de densidad de flujo Fig. 3.1.2: Curva de sedimentación para las

con un punto de inflexión condiciones iniciales (3.1.5).

donde φ0

* es el punto en que la recta que comienza en f(φ0) es tangente a la curva fbk(φ), y φ∞** es

el punto donde la recta que comienza en φ∞ con pendiente f(φ∞), intersecta a la curva fbk(φ). La ecuación (3.1.1) puede ser escrita en la forma:

∂φ∂

φ∂φ∂t z

+ =f 'bk ( ) 0 (3.1.4)

donde f ( )'bk φ es la primera derivada de la densidad de flujo de sólido con respecto a la

concentración φ. Las condiciones iniciales para el caso elegido son:

≤≤

≤

=

∞ 0<z ,

Lz0 ,

zL , 0

)0,( 0

φ

φφ z (3.1.5)

18



La solución global a la ecuación parabólica cuasi-lineal (3.1.4) con condiciones de contorno

(3.1.5) se puede obtener mediante el método de características, que dice que φ es constante a lo largo de líneas características de inclinación dz/dt=f ( )'

bk φ en el plano z-t, donde dz/dt son las

velocidades de las ondas de concentración constante.

Las características que comienzan en el eje z son paralelas

≤≤

≤

=

∞ 0<z , )(f

Lz0 , )(f

zL , )0(f

dt

dz

'

0

'

'

φ

φ (3.1.6)

Estos términos pueden ser obtenidos gráficamente de la Figura 3.1.1. La velocidad de la

discontinuidad σ(φ0,0), que comienza en z=L y t=0 y que separa el líquido de la suspensión de

concentración inicial φ0, esta dada por:

σ φφφ

φφ

σ φ( , )( ) ( ) ( )

( )00

00

0

0

0

0

0=−−

= =f f f

I (3.1.7)

Esta onda de choque también aparece en la Figura 3.1.2 y puede ser obtenida gráficamente como

la pendiente de la cuerda trazada desde el punto (0,0) al (f(φ0),φ0) en la Figura 3.1.1. Otra cuerda

puede ser trazada directamente desde (f(φ0),φ0) a ( )*0*

0 ),( φφf obteniéndose la discontinuidad de

velocidad σ(φ0,φ0

*)

σ φ φφ φφ φ

( , )( ) ( )*

*

*0 00 0

0 0

=−−

f f (3.1.8)

La intersección de las dos discontinuidades de pendientes dadas por las ecuaciones (3.1.7) y

(3.1.8) define el punto (z1,t1) en la curva de sedimentación, Figura 3.1.2.

Extendiendo las características que emanan del eje z para 0<z<L, podemos llenar la región del

plano z-t separada por las dos discontinuidades. Si extendemos ahora las características desde el

eje z para z≤0 en la Figura 3.1.2, observamos que hay una cuña con vértice en z=0, t=0 y lados

pendientes σ(φ0,φ0

*) y f'(φ∞). En la Figura 3.1.2 observamos que las líneas de pendiente

decreciente f'(φ), para concentraciones crecientes desde φ0

* a φ∞, llenan la cuña en la curva de

sedimentación. El abanico de inclinación f'(φ) se denomina onda de rarefacción.

La interface líquido-suspensión, que hasta el punto (z1,t1) tenía una inclinación dada por la

ecuación (3.1.7), tendrá luego inclinaciones crecientes dadas por σI(0,φ), con concentraciones φ

entre φ0

* a φ∞:

σ φφφ

φφ

σ φ φ φ φ( , )( ) ( ) ( )

( ),00

0=

−−

= = ≤ ≤ ∞

f f f 0

*

I (3.1.9)

19



La intersección de la discontinuidad de pendiente σ(0,φ∞) y la característica de pendiente fbk' ( )φ∞

define el punto crítico (zc,tc). La pendiente de la discontinuidad que comienza en (zc,tc) y separa

zonas con concentraciones constantes φ=0 y φ=φ∞ queda expresada por:

σ φφ

φ( , )

( ) ( )∞

∞

∞

=−−

=00

00

f f (3.1.10)

Finalmente un balance global de masa da SLφo=Sz∞φ∞, desde la cual se puede calcular la altura

final de la suspensión:

z∞∞

= Lφφ

0 (3.1.11)

3.2 Análisis de la Curva de Sedimentación Discontinua.

Consideremos un Proceso de Sedimentación Discontinuo de Kynch(10) y dibujemos una curva

de sedimentación y una línea característica para la concentración φk. La línea Z-T es tangente a la curva en el punto (zk,tk). Como ya hemos visto, para todas las regiones de una curva de

sedimentación, en que las variables son continuas, es posible obtener los parámetros de

sedimentación: φ, σI(φ), f(φ) y f'(φ) en forma gráfica (ver Figura 3.2.1).

Velocidad de Sedimentación.

De la solución global, ya descrita, se sabe que la velocidad de caída de la interface líquido-

suspensión σI(φk) está dada por:

σ φ σ φφφ

( , ) ( )( )

0 k I kk

k

= =f

(3.2.1)

por lo tanto σI(φk) será igual a la pendiente de la curva de sedimentación en el punto (zk,tk):

σ φI k( ) =Z

T (3.2.2)

Fig. 3.2.1. Análisis de la curva de sedimentación.

20



Concentración.

Si Wo es el volumen de sólidos presente en la columna de sedimentación por unidad de área, el

flujo de sólidos que atraviesa la onda de concentración constante φk, a medida que se mueve

desde z=0 a z=zk, es:

[ ]∫ +=kt

kksk dtvW0

'

0 )(f)( φφφ (3.2.3)

donde vs(φk)=σI(φk) es la velocidad de sedimentación de las suspensiones de concentración φk.

Como a lo largo de una característica de concentración φk, la velocidad vs(φk) y la pendiente f'(φ

bk) de la línea característica son constantes, podemos integrar la ecuación (3.2.3) directamente:

k

k

kkk t

t

zW

+= )(vs0 φφ (3.2.4)

de la Figura 3.2.1. podemos observar que:

Z

T=

−( )Z z

t

k

k

(3.2.5)

Por otra parte, como la suspensión es homogénea con concentración φo, para t=0, la cantidad de sólido por unidad de área en la columna de sedimentación será:

W0=Lφ0 (3.2.6)

Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la ecuación (3.2.4) resulta:

φ φk = 0

L

Z (3.2.7)

Como conclusión podemos decir que, conociendo la curva de sedimentación de un Proceso de

Sedimentación Discontinua de Kynch para una determinada suspensión con concentración inicial

φo y altura inicial L, se puede obtener los parámetros en forma gráfica para cualquier

concentración φk de la curva. Resumiendo se puede escribir:

φ φ σ φ φ

φ φ φ

k I

'

,

= = =

= =

0

0

L

Zv

Z

T

fL

Tf

z

t

k s k

k kk

k

, ( ) ( )

( ) ( )

(3.2.8)

21



3.3 Diseño de Espesadores Continuos basado en la Teoría de Sedimentación Discontinua

de Kynch.(10)

Como hemos visto, el método de diseño de Coe y Clevenger(2) usa la ecuación de Mishler para

calcular el área unitaria básica:

−=

DkkIsK φφφσρφ

11

)(

1maxAU0 (3.3.1)

donde ρs es la densidad del sólido, σI es la velocidad inicial de sedimentación de una

suspensión de concentración φk y φD es la concentración de la descarga.

Coe y Clevenger(2) sugirieron realizar numerosos ensayos de sedimentación discontinua en el

laboratorio, con suspensiones de concentraciones en el rango desde la concentración de la

alimentación al espesador a diseñar hasta aquella de la proyectada descarga, para encontrar σI(φ

k). Si la suspensión a espesar puede ser considerada una suspensión ideal, esto es, si [φk,f(φk)] corresponde a un KSP, un sólo ensayo de sedimentación, adecuadamente elegido, puede dar toda

la información necesaria para calcular el área unitaria AU0. Ver la ecuación (3.2.8).

Para calcular φk y σI(φk), se traza una tangente en cada punto de la curva de sedimentación, y

se calcula φk y σI(φk) desde:

φ φ σ φk k

L

Z= =0 , ( ) y

Z

TI (3.3.2)

donde Z y T son las intersecciones de la tangente con los ejes coordenados y L es la altura inicial

de la suspensión. Ver Figura 3.2.1

Se puede desarrollar un método completamente gráfico si se observa que las ecuaciones (3.3.2)

también deben cumplirse para φD (recordar que hemos supuesto que la suspensión es ideal), esto

es, (ver Figura 3.2.1):

φ φD = 0

L

zD

(3.3.3)

sustituyendo las ecuaciones (3.3.2) y (3.3.3) en la ecuación (3.3.1) resulta:

−=

Z

zZT

LU D

sk

)(max

1A

0

0 φφρ (3.3.4)

Por una concentración apropiada entendemos una condición inicial para el KSP que dará una

curva de sedimentación continua. La mejor concentración sería aquella del punto de inflexión en

la curva de densidad de flujo, ya que ésta daría un Modo de Sedimentación III (Concha y

Bustos(12) 1991). Obviamente no sabemos la concentración que corresponde al punto de

inflexión y, por lo tanto, deberemos hacer nuestra mejor estimación. Valores muy bajos de la

22



concentración inicial darán un Modo de Sedimentación I, lo que no daría posibilidades de trazar

tangentes.

Método de Talmage y Fitch.(14)

Talmage y Fitch (1955) observaron que la velocidad de sedimentación para una suspensión de

concentración φk se puede expresar, en relación a la Figura 3.3.1, en la forma:

σ φI k

Z

T( ) = =

−Z z

t

D

u

(3.3.5)

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (3.3.1) da:

AU =1

0ρ φsu

Ltmax( ) (3.3.6)

De la Figura 3.3.1 se puede observar que el valor máximo de tu se obtiene cuando tu coincide con

tk. Denominaremos a este tiempo máximo tU:

AU =t

L

U

sρ φ0

(3.3.7)

Figura 3.3.1: Método de diseño de espesadores basado en la teoría de Kynch.

El método de Talmage y Fitch(14) (1955) puede resumirse en la siguiente forma:

1.- Realizar un ensayo de sedimentación discontinua a una concentración intermedia (ya nos

hemos referido a esta concentración como la concentración apropiada).

2.- Se mide la altura inicial L.

3.- Se elige la concentración de descarga φD y se calcula la altura mediante el balance de

masa zD = φ0L/φD.

23



4.- Trazar una línea horizontal en el gráfico de sedimentación desde el punto (zD,0) y

determinar el punto de intersección de esta línea con la curva de sedimentación. Esta

define el punto tU.

5.- Calcular el área unitaria AU0 usando la ecuación (3.3.7).

6.- Se repite el procedimiento hasta obtener el área unitaria mayor.

7.- En aquellos casos en que la línea horizontal, trazada desde el punto (zD,0), no intersecta la

curva de sedimentación (caso común para las suspensiones floculadas), la concentración

límite es la concentración crítica y se debe trazar una tangente en este punto de la curva.

La intersección de esta tangente con la línea horizontal define el tiempo tU.

3.4 Método de Diseño de Espesadores basado en el Proceso de Sedimentación Continua de Kynch.

En esta ocasión analizamos un método de diseño de espesadores que utiliza la función de

densidad de flujo continua en forma explícita. Los investigadores involucrados son: N.

Yoshioka(18) y N.J. Hassett(19). Método de Yoshioka y Hassett.

Yoshioka et al(18) (1957) desarrolló un método gráfico de diseño de espesadores basado en la

función de densidad de flujo continua. De la sección anterior sabemos que:

fk(φ)=qφ+fbk(φ) (3.4.1)

y que en el estado estacionario fk(φ)=fF, de manera que:

fF=qφ+fbk(φ) (3.4.2)

Resolviendo la ecuación (3.4.2) para fbk(φ) con q=qD, da como resultado:

fbk(φ)=fF-qDφ (3.4.3)

donde qD es la velocidad promedio volumétrica en la descarga. La ecuación (3.4.3) representa

una línea recta con pendiente qD [qD=fbk' (φM )] en φ=φM y fF es la intersección de la ordenada

en un gráfico de fbk(φ) versus φ. Ver la Figura 3.4.1. Por esta razón la intersección de la línea recta con el eje de ordenadas en la Figura 3.4.1 da la función densidad de flujo continua en el

estado estacionario. El Area Unitaria, por supuesto, es proporcional al recíproco de la densidad de

flujo de alimentación.

24



Fig. 3.4.1: Gráfico de la densidad de flujo continuo discontinua y la concentración

de Yoshioka.

AUfs F

=−1

( ).

ρ (3.4.4)

Yoshioka et al(18) (1957) y Hassett(17) (1968), en forma independiente, interpretaron el resultado de la Figura 3.4.1 de otra manera. Si se grafica la función densidad de flujo continua fk(

φ) en función de φ, en vez de la función densidad de flujo discontinua fbk(φ), se obtiene la Figura 3.4.2. Aquí la densidad de flujo de sólido, en el estado estacionario, es la línea horizontal

tangente a la curva densidad de flujo continuo en su punto máximo de concentración φM.

Hassett(17) (1968) se dió cuenta que había un problema de interpretación en este enfoque, porque

la Figura 3.4.2 muestra que solamente son posibles dos concentraciones en el espesador, la

concentración límite φM y la concentración conjugada φM

** (ver ecuaciones (3.4.19), (3.4.21) y

Figura 1.3.14). Hassett dice: "... Por lo tanto la teoría predice la ausencia de las concentraciones

de alimentación y descarga en el espesador y muestra que debe haber un incremento abrupto de

concentración en la descarga...". Es obvio que esta conclusión es absurda porque ella significaría

que el paso de la suspensión por una serie de aberturas incrementaría su concentración haciendo

que el espesador fuera un equipo innecesario.

La principal objeción a estos métodos gráficos de diseño de espesadores es que utilizan la función

de densidad de flujo de Kynch para valores de la concentración que están fuera de su rango de

validez. Debemos recordar que la función densidad de flujo discontinua se obtiene haciendo

ensayos de sedimentación con concentración inicial y que, por lo tanto, ella es válida solamente

para concentraciones bajo la concentración crítica. Obviamente que la definición de la función

densidad de flujo de sólidos sigue siendo válida más allá de esta concentración, pero en este

rango ella no es una función de la concentración solamente.

25



Fig. 3.4.2: Gráfico de la función densidad de flujo continuo y la construcción de

Yoshioka y Hassett.

26



Capitulo 4: METODO DE DISEÑO DE ESPESADORES QUE CONSIDERAN FUERZAS

COMPRESIVAS (20 y 28) 4.1 Introducción.

La teoría de Kynch(10) describe bastante bien la sedimentación de suspensiones de partículas

tales como esferas de vidrio y partículas minerales no floculadas. Ella predice que en la

suspensión las líneas de igual concentración son líneas rectas en el plano z-t (Kynch(10) 1952,

D'Avila(21) 1976, Bustos y Concha(22) 1988a, Concha y Bustos(12) 1991). Desgraciadamente la

evidencia experimental publicada sobre la distribución de concentración en las suspensiones

floculadas en sedimentación discontinua no satisface este modelo (Scott(23) 1968, Been y

Sills(24) 1981, Tiller et al(25) 1990). En general, la sedimentación de suspensiones floculadas,

tales como las que se encuentran en la industria minero-metalúrgica, no pueden ser descritas por

la teoría de Kynch debido a que la consolidación de sedimentos densos involucran fuerzas que no

están contempladas en el modelo cinemático.

La observación cuidadosa de la sedimentación discontinua muestra que aparecen dos zonas en

una columna de sedimentación. La zona superior, que dura solamente hasta el tiempo crítico, está

en sedimentación obstaculizada mientras que la zona inferior se encuentra en consolidación desde

el principio hasta el final del proceso. En un espesador continuo convencional, la parte superior

está siempre en sedimentación obstaculizada mientras que la parte inferior se encuentra en

consolidación, de manera tal que, en este caso, los dos tipos de proceso coexisten siempre. La

transición de sedimentación obstaculizada a consolidación es gobernada por la concentración de

la suspensión, llamándose concentración crítica aquella por la cual se produce el cambio.

Modelos que describen estos fenómenos han sido propuestos por diversos autores, entre ellos

Shirato et al(26) (1970), Adorjan(27,28) (1975,1977), Concha y Bascur(29) (1977),

Kos(30,31,32) (1977a, 1977b, 1980), D'Avila(21,33,34) (1976, 1978, 1982), D'Avila e

Sampaio(35) (1978), Sampaio e D'Avila(36,37) (1976, 1979), Concha y Barrientos(38) (1980),

Hill et al(39) (1980), Been y Sills(24) (1981), Tiller y Khatibb(40) (1984), Buscall y White(41)

(1987), Azurais et al(42) (1988) y Bustos y Concha(11) (1988b). El trabajo de estos investigadores y el de muchos otros ha servido de fundamento para una teoría cuantitativa del

espesamiento de suspensiones floculadas.

4.2 Método de diseño de Espesadores de Adorjan.(28)

A diferencia de los métodos anteriores(8,2,14,17,18) de diseño, este método calcula las

dimensiones de un espesador considerando las fuerzas existentes entre las partículas de la pulpa.

Cuando estas fuerzas existen, la concentración de sólido de la zona de compresión depende de la

presión de éste, por lo tanto, de la altura del sedimento en compresión. Adorjan(28) estudió este fenómeno y dice: "si una pulpa presenta fuerzas compresivas significativas, las dimensiones de

un espesador no pueden ser calculadas de test de sedimentación discontinua". Para este caso se

deben aplicar parámetros de compresión y permeabilidad.

Adorjan, para su estudio, realizó las siguientes suposiciones:

27



(1) Las fuerzas compresivas y la compresibilidad de la suspensión, en una capa; son definidas

únicamente por la concentración de sólidos en aquella capa.

(2) El flujo es unidireccional, es decir, no existen flujos laterales ni circulatorios.

(3) La pulpa no presenta segregación de partículas o flóculos al sedimentar.

(4) El sistema no presenta perturbaciones mecánicas como agitación, barrido o vibración.

(5) Existen fuerzas de equilibrio en cualquier capa durante el transcurso del proceso de

sedimentación.

Las fuerzas que actúan en un elemento, de altura δh y sección A, de una capa de la pulpa o de un espesador son:

1.- Fuerza efectiva gravitacional = (ρs-ρf)φgAδh.

2.- Fuerza debida a esfuerzos de compresión del sedimento = -(dσe/dh)Aδh.

3.- Fuerza debida al flujo viscoso del líquido = µKuAδh, donde K es el coeficiente de resistencia de la pulpa.

La ecuación de equilibrio de fuerzas para la pulpa es:

( )ρ ρ φσ

µs feg

d

dhK− = + u (4.2.1)

El esfuerzo efectivo de sólidos, σe, será calculado de la ecuación de Concha y Barrientos

σ φe

be= a (4.2.2)

y para el coeficiente de resistencia de la pulpa utilizamos la ecuación (4.2.1), con la suposición

que σe=0, por lo tanto:

Ku

=∆ρφµ

g (4.2.3)

y reemplazando la ecuación de Richardson y Zaki en la ecuación anterior

K =−∞

∆ρµ

φφ

g

v n( )1 (4.2.4)

Área del Espesador.

Cuando una pulpa sedimenta desde una concentración φF hasta una concentración φD, con una alimentación QF, la velocidad de agua removida Qa es:

φ−

φρ=

DFs

F

a

11QQ (4.2.5)

Por lo tanto la velocidad relativa sólido-fluido, u (calculada sobre una sección del área), es:

28



φ−

φρ=

DFs

F 11

A

Qu (4.2.6)

Sustituyendo las ecuaciones (4.2.4) y (4.2.6) en la ecuación (4.2.1)

n

F

DF

s

Fe

)1(

11

Av

gQ

dh

dg

φ−

φ−

φ

ρ

ρφ∆+

σ−=ρφ∆

∞

(4.2.7)

La condición límite ocurre en alguna capa de concentración de sólido del espesador, cuando el

peso neto del sólido en aquella capa es igual a la fuerza debida al flujo viscoso sobre la misma

capa, es decir dσe/dh=0. Por lo tanto, el área del espesador es:

n

F

DF

s

F

)1(

11

v

QA

φ−

φ−

φ

ρ=

∞

(4.2.8)

La operación de un espesador en las condiciones críticas requiere considerar, en forma

adicional, de una altura apreciable para que la pulpa pueda sedimentar, ya que cualquier

incremento en la velocidad de alimentación llevará a los sólidos hasta la zona de rebalse. Por lo

tanto, un espesador debería ser operado hasta una cierta fracción del flujo crítico de alimentación.

Adorjan definió un factor para controlar esta condición, y lo llamó "factor de carga".

Q=λQc, donde 0<λ<1 (4.2.9)

El área requerida por el espesador es

n

F

DF

s

F

)1(

11

v

QA

φ−

φ−

φ

λρ=

∞

(4.2.10)

la elección de un factor de carga λ adecuado, nos dará como resultado una operación exitosa del

espesador, ya que las fluctuaciones no afectan la operación eficiente, aún, en las condiciones

críticas.

El máximo matemático del área está dado por la concentración crítica de sólido, φc, y se

determina derivando la ecuación (4.2.10) con respecto a φ, e igualándola a cero y realizando además simplificaciones llegamos a:

φ φ φφ

c D cDn

n n

2 1

2−

++ = 0 (4.2.11)

las soluciones son

nn2

1n

n2

1n D

2

DDc

φ−

φ+

±φ

+=φ (4.2.12)

29



la concentración crítica de sólido se obtiene de la ecuación (4.2.12) con signo positivo. El signo

negativo entrega la concentración para el área mínima. Es fácil notar que este mínimo no existe

cuando D≤0 en la ecuación siguiente:

nn2

1nD D

2

D

φ−

φ+

= (4.2.13)

El valor real de la concentración crítica de sólidos depende de la distribución de velocidad

relativa sólido-fluido, dada por la ecuación (4.2.6) y de la relación para el coeficiente de

resistencia. Sabemos que la fuerza viscosa sobre una capa elemental de pulpa es proporcional al

producto de la velocidad relativa y del coeficiente de resistencia. En condiciones críticas la fuerza

debida al flujo viscoso del líquido expelido de la pulpa es balanceada exactamente por el peso

efectivo de los sólidos en la capa crítica. Para concentraciones de sólidos de la descarga, la

resistencia específica es alta, pero; la velocidad relativa es cero, de manera tal que las condiciones

críticas no aparecen aquí.

El máximo matemático del área puede ser calculado sustituyendo el valor de φc en la ecuación (4.2.10). Pero, el máximo absoluto puede que no coincida con el máximo matemático del área, ya

que para ciertos valores bajos de la concentración de sólidos en la descarga, el área máxima es

dada por la concentración de alimentación; por lo tanto, el área requerida podría ser calculada

dependiendo del valor de D en la ecuación (4.2.13).

En resumen, para calcular el área de un espesador debe procederse de la siguiente manera:

1) Calcular el valor de D, en la ecuación (4.2.13);

2) Si D es negativo, el área de sedimentación se calcula de la ecuación (4.2.10), sustituyendo

la concentración de sólidos de alimentación por la crítica.

3) Si D es positivo, la concentración crítica es determinada de la ecuación (4.2.13) con signo

positivo y el área es calculada de la ecuación (4.2.10) con el valor de φF=φc. Además

debe calcularse el área de la ecuación (4.2.10) usando la fracción volumétrica de

alimentación φF. El área final del espesador debe ser el valor mayor.

Cuando se presentan partículas no floculadas o flóculos deshechos en la alimentación, debemos

asegurarnos que ellas no rebalsen. Por lo tanto, se calcula el área usando las partículas de menor

tamaño. Nuevamente debe elegirse el área mayor de todas las calculadas.

30



Altura del Espesador.

Derivando la ecuación (4.2.2) con respecto a la altura

d

dh

d

d

d

dhabe

d

d

bσ σφ

φ φφ= =h (4.2.14)

sustituyendo la ecuación (4.2.14) en la ecuación (4.2.7) y ordenando

c

n

Fs

*

b

),(f

)1(Av

QJ1g

abe

d

dhφ>φφ=

φ−ρ−ρφ∆

=φ

∞

φ

(4.2.15)

donde J*=(1/φF-1/φD) La ecuación (4.2.15) nos entrega una relación entre la concentración del sólido y su altura en el

espesador.

Como todos los parámetros de la ecuación anterior son variables separables, se empleará el

método de Runge-Kutta de cuarto orden, cuyos valores son calculados con un incremento de

fracción volumétrica de sólidos de δc

k1 = F(cj)

k2 = F(cj+δc/2)

k3 = F(cj+2δc/3)

k4 = F(cj+δc)

El valor de la altura del espesador está dada por

h h k k k kj j+ = + + + +1 1 2 3 4

1

83 3( ) (4.2.16)

A esta altura se le debe agregar un valor adicional para la alimentación, zona de agua clara y la

base cónica que debe tener en la descarga. La altura adicional es alrededor de 1 metro.

31



Determinación de los Parámetros de Compresión de una Pulpa.

Los parámetros de compresión de la pulpa, están dados por la ecuación (4.2.2), la que es

conocida como la ecuación de Concha y Barrientos.

Para determinar los parámetros a y b de la ecuación (4.2.2) debemos encontrar, una relación entre

la concentración que presente el sedimento a diferentes alturas y la presión efectiva de sólidos en

la zona de compresión, para un proceso de sedimentación continua. La relación anterior se

obtiene con el siguiente desarrollo:

Tomando el siguiente sistema de referencia:

Figura 4.4.1: Sistema de Referencia 1.

Adorjan(28) desarrolló la ecuación de equilibrio de fuerzas (ec. 4.5.1), al reemplazar el

coeficiente de resistencia dado por la ecuación (4.2.4) y recordando que u=(f-qφ)/φ(1-φ) llegamos

a

[ ]

φ−

φ−+φρ∆−=

σ

∞n

e

)Z(1v

)Z(qf)Z(g

dZ

d

e integrándola se obtiene

[ ]∫

φ−

φ−+φρ∆−=σ

∞

dZ)Z(1v

)Z(qf)Z(g

ne (4.2.17)

para resolver la integral de la ecuación anterior, se utilizó el método de Integración Numérica de

Simpson; para aplicar este método debemos realizar el siguiente cambio de variables:

Y = L - Z , por lo tanto dY = -dZ

luego, el nuevo sistema de referencia es el siguiente:

Figura 4.4.2: Sistema de Referencia 2.

realizando las transformaciones anteriores a la ecuación (4.2.17), obtenemos:

32



[ ]∫=

= ∞

φ−

φ−+φρ∆=σ

YY

0Y

ne Yd)Y(1v

)Y(qf)Y(g

reemplazando los límites de la integral, llegamos finalmente a la ecuación siguiente:

[ ]∫−

∞

φ−

φ−+φρ∆=σ

YL

L

ne Yd)Y(1v

)Y(qf)Y(g (4.2.18)

La ecuación (4.2.18) será el nexo entre la altura del sedimento, su fracción volumétrica y el

esfuerzo efectivo del sólido, lo que nos permitirá obtener un set de datos de esfuerzo efectivo de

sólidos v/s fracción volumétrica y éstos son ajustados a la ecuación (4.2.2) y obtener los

parámetros de compresión de la pulpa.

Para efectuar todo el procedimiento anterior se hizo un programa en lenguaje de programación

Turbo Basic llamado AJCB.EXE.

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