1
1/80 Matematinė logika
8 Paskaita
doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė
Taikomosios matematikos katedra, KTU
2011/2012m.m.
Būlio algebra
2/80 Matematinė logika
Paskaitos turinys
1.Pagrindinės Būlio algebros sąvokos;
2.Pagrindinės Būlio algebros aksiomos ir teoremos;
3.Būlio funkcijų vaizdavimas.
2
Būlio algebra
3/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros sąvokos
Būlio algebra – tai algebra 1,0,,,.,B , kurią sudaro aibė B ( turinti
mažiausiai du elementus – 0 ir 1), kurioje apibrėžtos tokios trys
operacijos: IR operacija. (Būlio daugyba arba konjunkcija),
ARBA operacija + (Būlio sudėtis arba disjunkcija) ir NE operacija
(neigimas arba inversija).
Jei x ir y yra aibės B elementai, tai x.y, x+y, ir x taip pat priklauso
aibei B: By.x , Byx , Bx .
Būlio algebra
4/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros sąvokos
Būlio (loginiu) kintamuoju vadiname dydį x, kuris gali įgyti tik
dvi reikšmes: 0 ir 1 ( t.y. 1,0x ).
Būlio (logine) funkcija vadiname funkciją, kurios argumentai
yra Būlio kintamieji ir įgyja dvi reikšmes: 0 ir 1.
3
Būlio algebra
5/80 Matematinė logika
Vieno kintamojo funkcijos
x f0(x) f1(x) f2(x) f3(x)
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1
Kaip matome, f0(x)yra absoliučiai klaidinga, o f3(x)yra absoliučiai
teisinga. Šios funkcijos yra vadinamos išsigimusiomis.
Būlio algebra
6/80 Matematinė logika
Vieno kintamojo funkcijos
Funkcija f1(x) pakartoja kintamojo x reikšmes, todėl ji vadinama
tapatingąja funkcija (f1(x) x), o funkcija f2(x) įgyja priešingas
(atvirkščias) kintamajam x reikšmes, todėl ji vadinama inversijos
funkcija arba loginio neigimo funkcija arba NE funkcija (f2 (x) = x ).
x f0(x) f1(x) f2(x) f3(x)
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1
4
Būlio algebra
7/80 Matematinė logika
Literatūroje naudojami žymėjimai
Būlio daugyba: . ,, &.
Kaip ir įprastinėje algebroje, Būlio algebroje daugybos
ženklas iš viso praleidžiamas: xy. Daugybos ženklą būtina
rašyti tada, kai Būlio kintamųjų vardai turi daugiau nei
vieną simbolį.
Būlio algebra
8/80 Matematinė logika
Literatūroje naudojami žymėjimai
Būlio sudėtis: +, .
Ženklas + yra įprastesnis, tačiau jį vartoti galima tik tuomet,
kai tuo pačiu metu nėra kalbama apie aritmetinės ar
algebrinės sudėties operaciją. Šiuo atveju žymime .
Inversija: ‘, , .
Dažniausiai naudojamas ženklas.
5
Būlio algebra
9/80 Matematinė logika
Pagrindinių operacijų lentelės
x y yx
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
x y y.x
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
x x
0 1
1 0
Disjunkcija lygi 1, jei bent vienas kintamasis lygus vienetui.
Konjunkcija lygi 1 tik tuomet, kai abu kintamieji lygūs 1.
Būlio algebra
10/80 Matematinė logika
Dviejų kintamųjų funkcijos
F-ja x y
00 01 10 11 Žymėjimas Pavadinimas
f0 0 0 0 0 0
f1 0 0 0 1 xy konjunkcija
f2 0 0 1 0 xΔy draudimas
f3 0 0 1 1 x
Konjunkcija (loginė sandauga) – funkcija, kuri lygi vienetui tik
tuomet, kai lygūs 1 abu kintamieji x ir y; ši funkcija dar vadinama
IR funkcija ir žymima taip:
f1(x) = x y = xy = xy.
6
Būlio algebra
11/80 Matematinė logika
Dviejų kintamųjų funkcijos
F-ja x y
00 01 10 11 Žymėjimas Pavadinimas
f4 0 1 0 0 yΔx draudimas
f5 0 1 0 1 y
f6 0 1 1 0 xy sudėtis mod 2
f7 0 1 1 1 xVy disjunkcija
Būlio algebra
12/80 Matematinė logika
Dviejų kintamųjų funkcijos
Disjunkcija (loginė sudėtis) – funkcija, kuri lygi vienetui, kai lygūs 1
arba kintamasis x arba kintamasis y arba abu kintamieji; ši funkcija
dar vadinama ARBA funkcija ir žymima taip:
f7(x) = x V y = x+y.
Sudėtis moduliu 2 – funkcija, kuri lygi vienetui tik tuomet, kai
kintamųjų reikšmės skiriasi, t.y. yx . Ši funkcija dar vadinama
„išskirtine ARBA“, kadangi nuo ARBA (disjunkcijos) skiriasi tuo, kad
pastaroji lygi 1 ir tuo atveju, kai x=y=1.
7
Būlio algebra
13/80 Matematinė logika
Dviejų kintamųjų funkcijos
F-ja x y
00 01 10 11 Žymėjimas Pavadinimas
f8 1 0 0 0 xy ARBA-NE
f9 1 0 0 1 xy ekvivalentiškumas
f10 1 0 1 0 y inversija
f11 1 0 1 1 y x implikacija
Būlio algebra
14/80 Matematinė logika
Dviejų kintamųjų funkcijos
ARBA-NE (Pirso funkcija) – funkcija, kuri lygi vienetui tik tuomet, kai
lygūs 0 abu kintamieji x ir y.
Ekvivalentiškumas – funkcija, kuri lygi 1 tik tuomet, kai kintamųjų
reikšmės sutampa, t.y. x=y. Ši funkcija atvirkštinė f6: 69 ff .
Implikacija - funkcija, kuri lygi nuliui tik tuomet, kai esant klaidingai
prielaidai (y=0) daroma teisinga išvada (x=1).
8
Būlio algebra
15/80 Matematinė logika
Dviejų kintamųjų funkcijos
F-ja x y
00 01 10 11 Žymėjimas Pavadinimas
f12 1 1 0 0 x inversija
f13 1 1 0 1 x y implikacija
f14 1 1 1 0 x | y IR-NE
f15 1 1 1 1 1
IR-NE (Šeferio funkcija) – funkcija, kuri lygi nuliui tik tuomet, kai
lygūs 1 abu kintamieji x ir y.
Būlio algebra
16/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos ir teoremos
Matematikoje pagrindiniai teiginiai dažnai būna akivaizdūs
arba naudojami sutariant, o toliau kuriama teorija šių teiginių
pagrindu formuluojant naujus dėsnius ar išvadas.
Pirminius teiginius įprasta vadinti aksiomomis (postulatais), o
jų pagrindu sudaromus naujus – teoremomis ar dėsniais.
9
Būlio algebra
17/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
A1a) x . x = x - idempotentyvumas
A1b) x + x = x
A2a) x . y = y . x - komutatyvumas
A2b) x + y = y + x
Būlio algebra
18/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
A3a) x . (y . z) = (x . y ). z - asociatyvumas
A3b) x + (y + z) = (x + y )+ z
A4a) x . (y + z) = x . y + x . z - distributyvumas
A4b) x + y . z = (x + y) . (x + z)
10
Būlio algebra
19/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
Aibėje B egzistuoja tokie vieninteliai elementai 1 ir 0, kad
kiekvienam xB galioja:
A5a) x . 1 = 1 . x = x
A5b) x + 0 = 0 + x = x
A5c) x . 0 = 0 . x = 0
A5d) x + 1 = 1 + x = 1
Būlio algebra
20/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
Kiekvienam xB aibėje B egzistuoja toks elementas xB, kad
galioja:
A6a) x . x = 0
A6b) x + x = 1
11
Būlio algebra
21/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
Aksiomose išraiškos pateiktos poromis, nes Bulio algebroje veikia
dualumo dėsnis, pagal kurį jas galima gauti vieną iš kitos.
Dualumo dėsnis: Išraiškoje pakeitus disjunkciją konjunkcija,
konjunkciją – disjunkcija, nulį – vienetu, vienetą – nuliu ir
skliaustais išlaikius tą pačią veiksmų tvarką, bus gauta nauja
išraiška vadinama dualia. Dualumas reiškia, kad, jei teisinga
kokia nors išraiška, jai duali išraiška taip pat bus teisinga.
Būlio algebra
22/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
Aksiomų teisingumu nesunku įsitikinti, paskaičiuojant išraiškos
kiekvienos pusės funkcijos reikšmių lenteles. Pavyzdžiui,
patikrinkime aksiomą A4b)
x + y . z = (x + y) . (x + z)
12
Būlio algebra
23/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
Patikrinkime x + y . z = (x + y) . (x + z):
x y z x+y x+z (x + y)(x + z) yz x+yz
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Būlio algebra
24/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
Išraiškos, atitinkančios Būlio algebros aksiomas, yra teisingos
aibių algebroje (teorijoje). Grafinės priemonės ypač vaizdžiai
demonstruoja jų teisingumą.
Aibe vadiname bet kurį elementų, vadinamų aibės
elementais, rinkinį. Pvz. „fakulteto studentų aibė“, „skritulio
taškų aibė“.
13
Būlio algebra
25/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
Paveiksle pavaizduotos trys aibės:
A B
C
Stačiakampis vaizduoja visų taškų
aibę.
Toks grafinis vaizdavimas
vadinamas Veno diagramomis.
Būlio algebra
26/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
„Aibių sudėtį“ galime apibrėžti taip: Aibės A ir B suma A+B vadinsime
šių aibių sujungimą.
A+BAibių A ir B sandauga AB sutarsime
vadinti bendrąją jų dalį arba šių aibių
susikirtimą.
AB
14
Būlio algebra
27/80 Matematinė logika
Pagrindinės Būlio algebros aksiomos
Jei aibę A sudaro taškai figūroje užbrūkšniuotoje vertikaliai, tai
sakysime, kad aibę A sudaro visi kiti taškai, nepriklausantys A. Tuomet
1 atitiks visi taškai priklausantys A ir A, o 0 – tuščia aibė (paprastai
žymima simboliu Ø).
Taip apibrėžus A, 0 ir 1, akivaizdu, kad teisingos išraiškos atitinkančios
Būlio algebros aksiomas A5 ir A6.
A
A
Būlio algebra
28/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
Įrodysime keletą svarbių teoremų, atspindinčių pagrindines Būlio
algebros savybes.
T1) absorbcijos teorema
x + xy = x x (x + y) = x – duali išraiška.
Įrodymas:
a5Ax1x
c5Ay1x
a4Axy1x
a5Axyx
b5Ax0x
d5Ay0x
b4Ayx0x
b5Ayxx
Dualios išraiškos įrodymui naudojame dualias aksiomas.
15
Būlio algebra
29/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
T2) neigimo eliminavimo teorema
x + xy = x+ y x (x + y) = xy
Įrodymas:
yx
a5Ayx1
b6Ayxxx
b4Ayxx
Būlio algebra
30/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
T3) jungimo teorema
xy + xy = y (x + y)( x + y) = y
Įrodymas:
a5Ayy1
b6Ayxx
a4Ayxxy
16
Būlio algebra
31/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
T4) De Morgano dėsniai (teoremos)
y x = x y xy = x + y
Šių išraiškų teisingumą įrodome, remdamiesi funkcijos reikšmių
lentelėmis:
x y x y yx yx yx xy xy yx
0 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
Būlio algebra
32/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
Tapatybėms ar teoremoms įrodyti dažnai praverčia keitimo dėsnis:
jei a=b, tai, bet kurioje išraiškoje pakeitus a į b, bus gauta
ekvivalentiška išraiška. Tuo remiantis galima pažymėti tam tikrą
išraiškos dalį nauju simboliu ir sudėtingą formulę paversti
paprastesne.
Pavyzdys.
Turime dcbaba .
Pažymime bax , dcy .
Tada xxyxdcbaba (pagal absorbcijos teoremą).
Vadinasi badcbaba .
17
Būlio algebra
33/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
T5) (x + y)( x + z) = xz + x y
Įrodymas:
yxxz
c5Az1yxy1xz
a4Ayzxxyzyxxz
b2A,a2A,a4Axxyzyxxz
b6A,a5Ayzyxxz
a6Ayzxyxzxx
a4Azxyzxx
a4Azxyx
Įrodydami šią teoremą
remiamės keitimo dėsniu
(antra eilutė).
Atkreipkime dėmesį į
tarpinį įrodymo žingsnį, iš
kurio išplaukia kita labai
naudinga tapatybė:
yxxzyzyxxz .
Būlio algebra
34/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
T6) Šenono teorema. ,.,x,...,x,xf,.,x,...,x,xf n21n21
T.y. bet kokios funkcijos inversija gaunama pakeitus kiekvieną
kintamąjį jo inversija ir tarpusavyje sukeitus disjunkcijos ir
konjunkcijos ženklus bei operacijų tvarkos išlaikymui naudojant
skliaustus.
Ši teorema apibendrina De Morgano dėsnius sudėtingoms
išraiškoms. Ja remdamiesi, galime lengvai užrašyti funkcijos
inversijos išraišką.
18
Būlio algebra
35/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
1 Pavyzdys.
Tarkime, kad
3232121321 xxxxxxxx,x,xF .
Tada
3232121321 xxxxxxxx,x,xF .
2 Pavyzdys.
Turime cbcbacbab)c,b,a(F . Užrašykite funkcijos inversijos
išraišką.
cbcbacbba
cbcbacbab)c,b,a(F
Būlio algebra
36/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
T7) skleidimo teorema
n21n21n21 x,...,x,0fxx,...,x,1fxx,...,x,xf ;
n21n21n21 x,...,x,1fxx,...,x,0fxx,...,x,xf .
Įrodant šią teoremą, pakanka į kiekvieną išraišką iš pradžių įrašyti
1x1 , 0x1 , o po to 0x1 , 1x1 .
Iš šios teoremos išplaukia:
1. n21n211 x,...,x,1fxx,...,x,xfx ;
2. n21n211 x,...,x,0fxx,...,x,xfx ;
3. n21n211 x,...,x,0fxx,...,x,xfx ;
4. n21n211 x,...,x,1fxx,...,x,xfx .
19
Būlio algebra
37/80 Matematinė logika
Būlio algebros teoremos
Pavyzdys.
Turime cbcbacbabc,b,aF . Pritaikykime skleidimo
teoremą.
.cbcbcbacbbacbcbcbacbba
cbcb1cbb0acbcb0cbb1a
c,b,0Fac,b,1Fac,b,aF
Būlio algebra
38/80 Matematinė logika
Būlio funkcijų vaizdavimas
Būlio funkcijų vaizdavimas:
• Teisingumo lentelės;
• Analitinės išraiškos.
• Normaliosios formos;
• Skaitmeninė forma;
• Geometrinis vaizdavimas;
• Vaizdavimas kubų kompleksais;
• Karno (Veičo) diagramos.
20
Būlio algebra
39/80 Matematinė logika
Būlio funkcijų vaizdavimas
teisingumo lentelėmis
Būlio algebra
40/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis
Lentelėje nurodomos Būlio funkcijos reikšmės kintamųjų reikšmių
kombinacijoms.
Reikia pastebėti, kad BF gali būti:
pilnai apibrėžtos;
iš dalies apibrėžtos (nepilnai apibrėžtos).
Funkcija, kuri kiekvienoje kintamųjų reikšmių kombinacijoje įgauna
reikšmę 0 arba 1, vadinama pilnai apibrėžta.
21
Būlio algebra
41/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis
Kadangi teisingumo lentelė, kai n>5 yra sunkiai aprėpiama ir
analizuojama, informacijos apimčiai sumažinti lentelėje dažnai
pateikiamos tik tos kintamųjų reikšmių kombinacijos, su kuriomis
funkcija lygi 1 (rečiau – tik tos kombinacijos, su kuriomis funkcija lygi
0).
Pilnai apibrėžtoms funkcijoms pakanka lentelėje pateikti tik tas
kintamųjų reikšmių kombinacijas, kurioms BF lygi 1 (arba 0).
Būlio algebra
42/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis Pavyzdys.
Sudaryti teisingumo lentelę 3 kintamųjų funkcijos, kuri įgyja reikšmę 1
kintamųjų reikšmių kombinacijose, kuriose nelyginis kintamųjų skaičius
yra be inversijos.
Pilna lentelė (f(x,y,z)=1, jei tik vienas arba visi trys kintamieji lygūs 1):
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Sumažinta teisingumo lentelė:
x y z f(x,y,z)
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
22
Būlio algebra
43/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis
Nepilnai apibrėžtoms funkcijoms lentelėje reikia pateikti funkcijos
reikšmes toms kintamųjų reikšmių kombinacijoms, kurioms BF lygi 1
ir neapibrėžta.
Pavyzdys. 7 segmentų indikatorius
D
A
B C
G E F
Būlio algebra
44/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
23
Būlio algebra
45/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis
0 1
0 100 01 10 11
0 1 2 3
0 1
0 1 0 1
0 1
0
0 0
0
0 0
1
1 1 1
1
1
000 001 010 011 100 101 110 111
0 1 2 3 4 5 6 7
Skaičių
vaizdavimas
dvejetainiais
medžiais.
Būlio algebra
46/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis
Skaičiaus užrašą
dvejetainiais
skaitmenimis labai
patogu iliustruoti
svarstyklėmis, kurios
turi tik tokius svarsčius:
1, 2, 4, 8, 16, 32,… kg,
t.y.
20, 21, 22, 23, 24, 25, … kg
24
Būlio algebra
47/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis
Būlio algebra
48/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis b8 b4 b2 b1 A B C D E F G
0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
3 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
4 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
… … … … … … … … … … … …
9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
10 1 0 1 0 X X X X X X X
… … … … … X X X X X X X
15 1 1 1 1 X X X X X X X
D
A
B C
G E F
D
A
B C
G E F
25
Būlio algebra
49/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis
Nepilnai apibrėžtos lentelės pavyzdys:
a b c F(a,b,c)
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 x
1 0 1 x
1 1 0 1
1 1 1 1
Būlio algebra
50/80 Matematinė logika
Būlio funkcijų vaizdavimas
analitinėmis išraiškomis
26
Būlio algebra
51/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas analitinėmis išraiškomis
Jei funkciją išreikšime formule, gausime funkcijos analitinę išraišką.
Paprasčiausiu atveju funkciją galime užrašyti kaip disjunkciją
konjunkcijų, atitinkančių tas kintamųjų reikšmių kombinacijas, su kuriomis
funkcija lygi 1.
Išraiška gali būti pakeista atlikus tokius pertvarkymus, kurie nekeičia
funkcijos reikšmės:
1. apjungiant atskiras kombinacijas ir jas pakeičiant nauja konjunkcija
pagal jungimo teoremą (pvz.: 21321321 xxxxxxxx ).
Būlio algebra
52/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas analitinėmis išraiškomis
2. išbraukiant konjunkcijas, kurių perteklius išplaukia iš absorbcijos
teoremos (pvz.: 2132121 xxxxxxx ).
3. iškeliant už skliaustų bendrus kintamuosius ar konjunkcijų dalis
pagal distributyvumo savybę (pvz.: 4321421321 xxxxxxxxxx .
4. naudojant standartinius kai kurių funkcijų žymėjimus (pvz.:
212121 xxxxxx , 212121 xxxxxx ) ir t.t.
27
Būlio algebra
53/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas analitinėmis išraiškomis
Pavyzdys: Užrašykime analitinę funkcijos, kuri pateikta lentelėje,
išraišką:
321321321321 xxxxxxxxxxxxf
x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Būlio algebra
54/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas analitinėmis išraiškomis
321321321321 xxxxxxxxxxxxf
Suprastiname. Pagal distributyvumo savybę galime užrašyti
3232132321 xxxxxxxxxxf .
Kadangi 212121 xxxxxx , 212121 xxxxxx , tai
321321 xxxxxxf .
Pagal keitimo dėsnį užrašę 32 xxz , gausime
zxzxzxf 111 .
Taigi
321 xxxf .
28
Būlio algebra
55/80 Matematinė logika
Būlio funkcijų vaizdavimas
normaliosiomis formomis
Būlio algebra
56/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas normaliosiomis formomis
Normaliąją forma vadinama standartinio pavidalo išraiška.
Kintamąjį arba jo inversiją apibendrintai vadinsime raide.
Elementaria vadinama konjunkcija, kurią sudaro nepasikartojančios
raidės.
Disjunkcine normaliąja forma (DNF) vadinama nepasikartojančių
elementarių konjunkcijų disjunkcija.
Elementari konjunkcija, kurią sudaro visos raidės, nuo kurių priklauso
funkcija, vadinama mintermu.
DNF vadinama išplėstine (IDNF), jei ją sudarančios elementariosios
konjunkcijos yra mintermai.
29
Būlio algebra
57/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas normaliosiomis formomis
Terminą „konjunkcija“ pakeitus terminu „disjunkcija“, o terminą
„disjunkcija“ – terminu „konjunkcija“, dualiai apibrėžiama
elementari konjunkcija, konjunkcinė normalioji forma (KNF),
makstermas, išplėstinė konjunkcinė normalioji forma (IKNF).
Būlio algebra
58/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas normaliosiomis formomis
Pavyzdys:
x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
IDNF:
7421
321321321321
mmmmf
xxxxxxxxxxxxf
30
Būlio algebra
59/80 Matematinė logika
Būlio funkcijų vaizdavimas
skaitmenine forma
Būlio algebra
60/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas skaitmenine forma Tai kompaktiškas IDNF arba IKNF užrašas.
Skaitmeninį IDNF užrašą sudaro numeriai mintermų, kuriems f=1.
Atitinkamai skaitmeninį IKNF užrašą sudaro numeriai makstermų,
kuriems f=0.
Pavyzdys:
x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
6,5,3,06.5.3.0,,
7,4,2,17421,,
321
321
xxxf
xxxf
31
Būlio algebra
61/80 Matematinė logika
Būlio funkcijų vaizdavimas
geometrinis vaizdavimas
Būlio algebra
62/80 Matematinė logika
BF geometrinis vaizdavimas
Geometrine prasme n kintamųjų reikšmių kombinaciją galima
interpretuoti kaip n-matį vektorių (sudarytą iš 0 ir 1), nusakantį n-matės
erdvės tašką. Tuomet mintermus, kuriems atitinka f=1, atitiks n-mačio
kubo viršūnių poaibis.
Šis būdas vaizdus, tačiau jo naudojimo galimybės ribotos: lengva
pavaizduoti vienmatį kubą (du taškai, sujungti atkarpa), dvimatį (4
taškai, išdėstyti kvadrato viršūnėse) ir trimatį kubus, tačiau, kai n>4, n-
matį kubą pavaizduoti ir įsivaizduoti yra sunku.
32
Būlio algebra
63/80 Matematinė logika
BF geometrinis vaizdavimas
x0 1
x
y
00 10
01 11
000 100
001
010110
101111
011
1x
2x
3x
0000 1000
0010
0100 1100
1010
11100110
0001
00110101
1001
1101
1011
11110111
Būlio algebra
64/80 Matematinė logika
Būlio funkcijų vaizdavimas
kubų kompleksais
33
Būlio algebra
65/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas kubų kompleksais
Elementą n21 e...ee , atitinkantį n-mačio kubo viršūnę, vadiname 0-
kubu, o duotąją funkciją atitinkančių 0-kubų visumą – kubų kompleksu
K0.
Jei du 0-kubai skiriasi tik viena komponente je , jie sujungiami į 1-kubą,
kuriame ši komponentė pakeičiama simboliu “-“. 1-kubų visuma
sudaro funkcijos kubų kompleksą K1 ir t.t.
Būlio funkcijos kubų kompleksu K(f) vadinama visų funkcijos kubų
kompleksų Ki aibė:
...KKKfK 210
0-kubai atitinka mintermus.
Būlio algebra
66/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas kubų kompleksais
Pavyzdys:
Duota Būlio funkcija
15,11,9,8,6,1,0x,x,x,xf 4321 .
Užrašykime ją kubų kompleksais.
0-kubas
1111
1011
1001
1000
0110
0001
0000
K0
arba
0000 0001 0110 1011 1111
------- 1000 1001 ------- -------
------- -------
34
Būlio algebra
67/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas kubų kompleksais
Palygindami poromis komplekso 0K kubus, randame 1K :
0000 0001 0110 1011 1111
------- 1000 1001 ------- -------
------- -------
111
110
100
001
000
000
K1
000- -001 10-1 1-11
-000 100- ------ ------
------ ------
Būlio algebra
68/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas kubų kompleksais
000- -001 10-1 1-11
-000 100- ------ ------
------ ------
Komplekse 1K tėra tik dvi 1-kubų poros, kurios gali būti sujungtos.
Taigi
00K2 .
Gauname 210 KKKfK .
35
Būlio algebra
69/80 Matematinė logika
Būlio funkcijų vaizdavimas
Karno (Veičo)
diagramomis
Būlio algebra
70/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
3x
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
1x 2x
Tai grafinis Būlio funkcijų vaizdavimo būdas, kurį galima traktuoti kaip
Veno diagramų modernizaciją arba n-mačio kubo geometrinio
vaizdo išklotinę.
36
Būlio algebra
71/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
3x
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
1x 2x
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx
321 xxx321 xxx
321 xxx 321 xxx
1x 1x 1x 1x
2x 2x 2x 2x
3x
3x
Veno diagrama Apskritimai pakeisti
stačiakampiais
Stulpelių ir eilučių atitikimas
kintamiesiems
Būlio algebra
72/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
x1x2
x3 00 01 11 10
0 000 010 110 100
1 001 011 111 101
Kiekvieną stulpelį atitinka skirtinga 1x ir 2x kombinacija,
pažymėta 00, 01, 11, 10. Į langelius įrašyti dvejetainiai skaičiai,
atitinkantys kintamųjų rinkinį.
37
Būlio algebra
73/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
x1x2
x3 00 01 11 10
0 0 2 6 4
1 1 3 7 5
Dvejetainių skaičių, atitinkančių kintamųjų rinkinį dešimtainiai
ekvivalentai.
Atvaizduojant Būlio funkciją Karno diagramoje, „1“ įrašome į
langelius, atitinkančius rinkinius (mintermus), su kuriais funkcija lygi 1.
Būlio algebra
74/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
Karno diagramose naudojamas cikliškas stulpelių (eilučių)
išdėstymas: kodai 00, 01, 11, 10 – gretimi, jie skiriasi tik viena
pozicija.
Veičo diagramose jie dėstomi kodų didėjimo tvarka: 00, 01, 10, 11.
Plačiau naudojamos Karno diagramos.
38
Būlio algebra
75/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
Pavyzdys.
Atvaizduokime Karno diagramoje funkciją
15,11,9,8,6,1,0x,x,x,xf 4321
4 kintamųjų diagrama, langelių atitikimas mintermams ir duotosios
funkcijos atvaizdas:
x1x2
x3x4 00 01 11 10
00 0 4 12 8
01 1 5 13 9
11 3 7 15 11
10 2 6 14 10
x1x2
x3x4 00 01 11 10
00 1 1
01 1 1
11 1 1
10 1
Būlio algebra
76/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
x1x2
x3x4 00 01 11 10
00 0 4 12 8
01 1 5 13 9
11 3 7 15 11
10 2 6 14 10
4 kintamųjų Karno diagrama.
39
Būlio algebra
77/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
x1x2x3
x4x5 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 4 12 8 24 28 20 16
01 1 5 13 9 25 29 21 17
11 3 7 15 11 27 31 23 19
10 2 6 14 10 26 30 22 18
5 kintamųjų Karno diagrama.
Būlio algebra
78/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis
x1x2x3
x4x5x6 000 001 011 010 110 111 101 100
000 0 8 24 16 48 56 40 32
001 1 9 25 17 49 57 41 33
011 3 11 27 19 51 59 43 35
010 2 10 26 18 50 58 42 34
110 6 14 30 22 54 62 46 38
111 7 15 31 23 55 63 47 39
101 5 13 29 21 53 61 49 37
100 4 12 28 20 52 60 48 36
6 kintamųjų Karno diagrama.
40
Būlio algebra
79/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas
Užrašykite Būlio funkciją
31,29,25,24,23,22,18,13,12,10,8,7,6,2,1x,x,x,x,xf 54321
kubų kompleksais ir Karno diagrama.
x1x2x3
x4x5 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 4 12 8 24 28 20 16
01 1 5 13 9 25 29 21 17
11 3 7 15 11 27 31 23 19
10 2 6 14 10 26 30 22 18
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
K1 0-010 0110- -1101 111-1
00-10 1100- 11-01 1-111
-0010 -0110 1011-
01-00 0011- -0111
010-0 10-10
-1000
Būlio algebra
80/80 Matematinė logika
BF vaizdavimas
K0
00001 01100 01101 11101 11111
00010 01010 11001 10111
01000 11000 10110
10010 00111
00110
K2
-0-10 -011-