8 paskaita - kauno technologijos universitetasjurdabu/index_files/...10 1 0 1 0 y inversija f 11 1 0...

1

1/80 Matematinė logika

8 Paskaita

doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė

Taikomosios matematikos katedra, KTU

2011/2012m.m.

Būlio algebra


Paskaitos turinys

1.Pagrindinės Būlio algebros sąvokos;

2.Pagrindinės Būlio algebros aksiomos ir teoremos;

3.Būlio funkcijų vaizdavimas.

2

Būlio algebra


Pagrindinės Būlio algebros sąvokos

Būlio algebra – tai algebra 1,0,,,.,B , kurią sudaro aibė B ( turinti

mažiausiai du elementus – 0 ir 1), kurioje apibrėžtos tokios trys

operacijos: IR operacija. (Būlio daugyba arba konjunkcija),

ARBA operacija + (Būlio sudėtis arba disjunkcija) ir NE operacija

(neigimas arba inversija).

Jei x ir y yra aibės B elementai, tai x.y, x+y, ir x taip pat priklauso

aibei B: By.x , Byx , Bx .

Būlio algebra


Pagrindinės Būlio algebros sąvokos

Būlio (loginiu) kintamuoju vadiname dydį x, kuris gali įgyti tik

dvi reikšmes: 0 ir 1 ( t.y. 1,0x ).

Būlio (logine) funkcija vadiname funkciją, kurios argumentai

yra Būlio kintamieji ir įgyja dvi reikšmes: 0 ir 1.

3

Būlio algebra


Vieno kintamojo funkcijos

x f0(x) f1(x) f2(x) f3(x)

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

Kaip matome, f0(x)yra absoliučiai klaidinga, o f3(x)yra absoliučiai

teisinga. Šios funkcijos yra vadinamos išsigimusiomis.

Būlio algebra


Vieno kintamojo funkcijos

Funkcija f1(x) pakartoja kintamojo x reikšmes, todėl ji vadinama

tapatingąja funkcija (f1(x) x), o funkcija f2(x) įgyja priešingas

(atvirkščias) kintamajam x reikšmes, todėl ji vadinama inversijos

funkcija arba loginio neigimo funkcija arba NE funkcija (f2 (x) = x ).

x f0(x) f1(x) f2(x) f3(x)

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

4

Būlio algebra


Literatūroje naudojami žymėjimai

Būlio daugyba: . ,, &.

Kaip ir įprastinėje algebroje, Būlio algebroje daugybos

ženklas iš viso praleidžiamas: xy. Daugybos ženklą būtina

rašyti tada, kai Būlio kintamųjų vardai turi daugiau nei

vieną simbolį.

Būlio algebra


Literatūroje naudojami žymėjimai

Būlio sudėtis: +, .

Ženklas + yra įprastesnis, tačiau jį vartoti galima tik tuomet,

kai tuo pačiu metu nėra kalbama apie aritmetinės ar

algebrinės sudėties operaciją. Šiuo atveju žymime .

Inversija: ‘, , .

Dažniausiai naudojamas ženklas.

5

Būlio algebra


Pagrindinių operacijų lentelės

x y yx

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

x y y.x

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

x x

0 1

1 0

Disjunkcija lygi 1, jei bent vienas kintamasis lygus vienetui.

Konjunkcija lygi 1 tik tuomet, kai abu kintamieji lygūs 1.

Būlio algebra


Dviejų kintamųjų funkcijos

F-ja x y

00 01 10 11 Žymėjimas Pavadinimas

f0 0 0 0 0 0

f1 0 0 0 1 xy konjunkcija

f2 0 0 1 0 xΔy draudimas

f3 0 0 1 1 x

Konjunkcija (loginė sandauga) – funkcija, kuri lygi vienetui tik

tuomet, kai lygūs 1 abu kintamieji x ir y; ši funkcija dar vadinama

IR funkcija ir žymima taip:

f1(x) = x y = xy = xy.

6

Būlio algebra



F-ja x y


f4 0 1 0 0 yΔx draudimas

f5 0 1 0 1 y

f6 0 1 1 0 xy sudėtis mod 2

f7 0 1 1 1 xVy disjunkcija

Būlio algebra



Disjunkcija (loginė sudėtis) – funkcija, kuri lygi vienetui, kai lygūs 1

arba kintamasis x arba kintamasis y arba abu kintamieji; ši funkcija

dar vadinama ARBA funkcija ir žymima taip:

f7(x) = x V y = x+y.

Sudėtis moduliu 2 – funkcija, kuri lygi vienetui tik tuomet, kai

kintamųjų reikšmės skiriasi, t.y. yx . Ši funkcija dar vadinama

„išskirtine ARBA“, kadangi nuo ARBA (disjunkcijos) skiriasi tuo, kad

pastaroji lygi 1 ir tuo atveju, kai x=y=1.

7

Būlio algebra



F-ja x y


f8 1 0 0 0 xy ARBA-NE

f9 1 0 0 1 xy ekvivalentiškumas

f10 1 0 1 0 y inversija

f11 1 0 1 1 y x implikacija

Būlio algebra



ARBA-NE (Pirso funkcija) – funkcija, kuri lygi vienetui tik tuomet, kai

lygūs 0 abu kintamieji x ir y.

Ekvivalentiškumas – funkcija, kuri lygi 1 tik tuomet, kai kintamųjų

reikšmės sutampa, t.y. x=y. Ši funkcija atvirkštinė f6: 69 ff .

Implikacija - funkcija, kuri lygi nuliui tik tuomet, kai esant klaidingai

prielaidai (y=0) daroma teisinga išvada (x=1).

8

Būlio algebra



F-ja x y


f12 1 1 0 0 x inversija

f13 1 1 0 1 x y implikacija

f14 1 1 1 0 x | y IR-NE

f15 1 1 1 1 1

IR-NE (Šeferio funkcija) – funkcija, kuri lygi nuliui tik tuomet, kai

lygūs 1 abu kintamieji x ir y.

Būlio algebra


Pagrindinės Būlio algebros aksiomos ir teoremos

Matematikoje pagrindiniai teiginiai dažnai būna akivaizdūs

arba naudojami sutariant, o toliau kuriama teorija šių teiginių

pagrindu formuluojant naujus dėsnius ar išvadas.

Pirminius teiginius įprasta vadinti aksiomomis (postulatais), o

jų pagrindu sudaromus naujus – teoremomis ar dėsniais.

9

Būlio algebra


Pagrindinės Būlio algebros aksiomos

A1a) x . x = x - idempotentyvumas

A1b) x + x = x

A2a) x . y = y . x - komutatyvumas

A2b) x + y = y + x

Būlio algebra



A3a) x . (y . z) = (x . y ). z - asociatyvumas

A3b) x + (y + z) = (x + y )+ z

A4a) x . (y + z) = x . y + x . z - distributyvumas

A4b) x + y . z = (x + y) . (x + z)

10

Būlio algebra



Aibėje B egzistuoja tokie vieninteliai elementai 1 ir 0, kad

kiekvienam xB galioja:

A5a) x . 1 = 1 . x = x

A5b) x + 0 = 0 + x = x

A5c) x . 0 = 0 . x = 0

A5d) x + 1 = 1 + x = 1

Būlio algebra



Kiekvienam xB aibėje B egzistuoja toks elementas xB, kad

galioja:

A6a) x . x = 0

A6b) x + x = 1

11

Būlio algebra



Aksiomose išraiškos pateiktos poromis, nes Bulio algebroje veikia

dualumo dėsnis, pagal kurį jas galima gauti vieną iš kitos.

Dualumo dėsnis: Išraiškoje pakeitus disjunkciją konjunkcija,

konjunkciją – disjunkcija, nulį – vienetu, vienetą – nuliu ir

skliaustais išlaikius tą pačią veiksmų tvarką, bus gauta nauja

išraiška vadinama dualia. Dualumas reiškia, kad, jei teisinga

kokia nors išraiška, jai duali išraiška taip pat bus teisinga.

Būlio algebra



Aksiomų teisingumu nesunku įsitikinti, paskaičiuojant išraiškos

kiekvienos pusės funkcijos reikšmių lenteles. Pavyzdžiui,

patikrinkime aksiomą A4b)

x + y . z = (x + y) . (x + z)

12

Būlio algebra



Patikrinkime x + y . z = (x + y) . (x + z):

x y z x+y x+z (x + y)(x + z) yz x+yz

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Būlio algebra



Išraiškos, atitinkančios Būlio algebros aksiomas, yra teisingos

aibių algebroje (teorijoje). Grafinės priemonės ypač vaizdžiai

demonstruoja jų teisingumą.

Aibe vadiname bet kurį elementų, vadinamų aibės

elementais, rinkinį. Pvz. „fakulteto studentų aibė“, „skritulio

taškų aibė“.

13

Būlio algebra



Paveiksle pavaizduotos trys aibės:

A B

C

Stačiakampis vaizduoja visų taškų

aibę.

Toks grafinis vaizdavimas

vadinamas Veno diagramomis.

Būlio algebra



„Aibių sudėtį“ galime apibrėžti taip: Aibės A ir B suma A+B vadinsime

šių aibių sujungimą.

A+BAibių A ir B sandauga AB sutarsime

vadinti bendrąją jų dalį arba šių aibių

susikirtimą.

AB

14

Būlio algebra



Jei aibę A sudaro taškai figūroje užbrūkšniuotoje vertikaliai, tai

sakysime, kad aibę A sudaro visi kiti taškai, nepriklausantys A. Tuomet

1 atitiks visi taškai priklausantys A ir A, o 0 – tuščia aibė (paprastai

žymima simboliu Ø).

Taip apibrėžus A, 0 ir 1, akivaizdu, kad teisingos išraiškos atitinkančios

Būlio algebros aksiomas A5 ir A6.

A

A

Būlio algebra


Būlio algebros teoremos

Įrodysime keletą svarbių teoremų, atspindinčių pagrindines Būlio

algebros savybes.

T1) absorbcijos teorema

x + xy = x x (x + y) = x – duali išraiška.

Įrodymas:

a5Ax1x

c5Ay1x

a4Axy1x

a5Axyx

b5Ax0x

d5Ay0x

b4Ayx0x

b5Ayxx

Dualios išraiškos įrodymui naudojame dualias aksiomas.

15

Būlio algebra



T2) neigimo eliminavimo teorema

x + xy = x+ y x (x + y) = xy

Įrodymas:

yx

a5Ayx1

b6Ayxxx

b4Ayxx

Būlio algebra



T3) jungimo teorema

xy + xy = y (x + y)( x + y) = y

Įrodymas:

a5Ayy1

b6Ayxx

a4Ayxxy

16

Būlio algebra



T4) De Morgano dėsniai (teoremos)

y x = x y xy = x + y

Šių išraiškų teisingumą įrodome, remdamiesi funkcijos reikšmių

lentelėmis:

x y x y yx yx yx xy xy yx

0 0 1 1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1 0 0

Būlio algebra



Tapatybėms ar teoremoms įrodyti dažnai praverčia keitimo dėsnis:

jei a=b, tai, bet kurioje išraiškoje pakeitus a į b, bus gauta

ekvivalentiška išraiška. Tuo remiantis galima pažymėti tam tikrą

išraiškos dalį nauju simboliu ir sudėtingą formulę paversti

paprastesne.

Pavyzdys.

Turime dcbaba .

Pažymime bax , dcy .

Tada xxyxdcbaba (pagal absorbcijos teoremą).

Vadinasi badcbaba .

17

Būlio algebra



T5) (x + y)( x + z) = xz + x y

Įrodymas:

yxxz

c5Az1yxy1xz

a4Ayzxxyzyxxz

b2A,a2A,a4Axxyzyxxz

b6A,a5Ayzyxxz

a6Ayzxyxzxx

a4Azxyzxx

a4Azxyx

Įrodydami šią teoremą

remiamės keitimo dėsniu

(antra eilutė).

Atkreipkime dėmesį į

tarpinį įrodymo žingsnį, iš

kurio išplaukia kita labai

naudinga tapatybė:

yxxzyzyxxz .

Būlio algebra



T6) Šenono teorema. ,.,x,...,x,xf,.,x,...,x,xf n21n21

T.y. bet kokios funkcijos inversija gaunama pakeitus kiekvieną

kintamąjį jo inversija ir tarpusavyje sukeitus disjunkcijos ir

konjunkcijos ženklus bei operacijų tvarkos išlaikymui naudojant

skliaustus.

Ši teorema apibendrina De Morgano dėsnius sudėtingoms

išraiškoms. Ja remdamiesi, galime lengvai užrašyti funkcijos

inversijos išraišką.

18

Būlio algebra



1 Pavyzdys.

Tarkime, kad

3232121321 xxxxxxxx,x,xF .

Tada

3232121321 xxxxxxxx,x,xF .

2 Pavyzdys.

Turime cbcbacbab)c,b,a(F . Užrašykite funkcijos inversijos

išraišką.

cbcbacbba

cbcbacbab)c,b,a(F

Būlio algebra



T7) skleidimo teorema

n21n21n21 x,...,x,0fxx,...,x,1fxx,...,x,xf ;

n21n21n21 x,...,x,1fxx,...,x,0fxx,...,x,xf .

Įrodant šią teoremą, pakanka į kiekvieną išraišką iš pradžių įrašyti

1x1 , 0x1 , o po to 0x1 , 1x1 .

Iš šios teoremos išplaukia:

1. n21n211 x,...,x,1fxx,...,x,xfx ;

2. n21n211 x,...,x,0fxx,...,x,xfx ;

3. n21n211 x,...,x,0fxx,...,x,xfx ;

4. n21n211 x,...,x,1fxx,...,x,xfx .

19

Būlio algebra



Pavyzdys.

Turime cbcbacbabc,b,aF . Pritaikykime skleidimo

teoremą.

.cbcbcbacbbacbcbcbacbba

cbcb1cbb0acbcb0cbb1a

c,b,0Fac,b,1Fac,b,aF

Būlio algebra


Būlio funkcijų vaizdavimas

Būlio funkcijų vaizdavimas:

• Teisingumo lentelės;

• Analitinės išraiškos.

• Normaliosios formos;

• Skaitmeninė forma;

• Geometrinis vaizdavimas;

• Vaizdavimas kubų kompleksais;

• Karno (Veičo) diagramos.

20

Būlio algebra



teisingumo lentelėmis

Būlio algebra


BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis

Lentelėje nurodomos Būlio funkcijos reikšmės kintamųjų reikšmių

kombinacijoms.

Reikia pastebėti, kad BF gali būti:

pilnai apibrėžtos;

iš dalies apibrėžtos (nepilnai apibrėžtos).

Funkcija, kuri kiekvienoje kintamųjų reikšmių kombinacijoje įgauna

reikšmę 0 arba 1, vadinama pilnai apibrėžta.

21

Būlio algebra



Kadangi teisingumo lentelė, kai n>5 yra sunkiai aprėpiama ir

analizuojama, informacijos apimčiai sumažinti lentelėje dažnai

pateikiamos tik tos kintamųjų reikšmių kombinacijos, su kuriomis

funkcija lygi 1 (rečiau – tik tos kombinacijos, su kuriomis funkcija lygi

0).

Pilnai apibrėžtoms funkcijoms pakanka lentelėje pateikti tik tas

kintamųjų reikšmių kombinacijas, kurioms BF lygi 1 (arba 0).

Būlio algebra


BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis Pavyzdys.

Sudaryti teisingumo lentelę 3 kintamųjų funkcijos, kuri įgyja reikšmę 1

kintamųjų reikšmių kombinacijose, kuriose nelyginis kintamųjų skaičius

yra be inversijos.

Pilna lentelė (f(x,y,z)=1, jei tik vienas arba visi trys kintamieji lygūs 1):

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Sumažinta teisingumo lentelė:

x y z f(x,y,z)

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

22

Būlio algebra



Nepilnai apibrėžtoms funkcijoms lentelėje reikia pateikti funkcijos

reikšmes toms kintamųjų reikšmių kombinacijoms, kurioms BF lygi 1

ir neapibrėžta.

Pavyzdys. 7 segmentų indikatorius

D

A

B C

G E F

Būlio algebra



D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

23

Būlio algebra



0 1

0 100 01 10 11

0 1 2 3

0 1

0 1 0 1

0 1

0

0 0

0

0 0

1

1 1 1

1

1

000 001 010 011 100 101 110 111

0 1 2 3 4 5 6 7

Skaičių

vaizdavimas

dvejetainiais

medžiais.

Būlio algebra



Skaičiaus užrašą

dvejetainiais

skaitmenimis labai

patogu iliustruoti

svarstyklėmis, kurios

turi tik tokius svarsčius:

1, 2, 4, 8, 16, 32,… kg,

t.y.

20, 21, 22, 23, 24, 25, … kg

24

Būlio algebra



Būlio algebra


BF vaizdavimas teisingumo lentelėmis b8 b4 b2 b1 A B C D E F G

0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1

3 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1

4 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0

… … … … … … … … … … … …

9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

10 1 0 1 0 X X X X X X X

… … … … … X X X X X X X

15 1 1 1 1 X X X X X X X

D

A

B C

G E F

D

A

B C

G E F

25

Būlio algebra



Nepilnai apibrėžtos lentelės pavyzdys:

a b c F(a,b,c)

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 x

1 0 1 x

1 1 0 1

1 1 1 1

Būlio algebra



analitinėmis išraiškomis

26

Būlio algebra


BF vaizdavimas analitinėmis išraiškomis

Jei funkciją išreikšime formule, gausime funkcijos analitinę išraišką.

Paprasčiausiu atveju funkciją galime užrašyti kaip disjunkciją

konjunkcijų, atitinkančių tas kintamųjų reikšmių kombinacijas, su kuriomis

funkcija lygi 1.

Išraiška gali būti pakeista atlikus tokius pertvarkymus, kurie nekeičia

funkcijos reikšmės:

1. apjungiant atskiras kombinacijas ir jas pakeičiant nauja konjunkcija

pagal jungimo teoremą (pvz.: 21321321 xxxxxxxx ).

Būlio algebra



2. išbraukiant konjunkcijas, kurių perteklius išplaukia iš absorbcijos

teoremos (pvz.: 2132121 xxxxxxx ).

3. iškeliant už skliaustų bendrus kintamuosius ar konjunkcijų dalis

pagal distributyvumo savybę (pvz.: 4321421321 xxxxxxxxxx .

4. naudojant standartinius kai kurių funkcijų žymėjimus (pvz.:

212121 xxxxxx , 212121 xxxxxx ) ir t.t.

27

Būlio algebra



Pavyzdys: Užrašykime analitinę funkcijos, kuri pateikta lentelėje,

išraišką:

321321321321 xxxxxxxxxxxxf

x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Būlio algebra



321321321321 xxxxxxxxxxxxf

Suprastiname. Pagal distributyvumo savybę galime užrašyti

3232132321 xxxxxxxxxxf .

Kadangi 212121 xxxxxx , 212121 xxxxxx , tai

321321 xxxxxxf .

Pagal keitimo dėsnį užrašę 32 xxz , gausime

zxzxzxf 111 .

Taigi

321 xxxf .

28

Būlio algebra



normaliosiomis formomis

Būlio algebra


BF vaizdavimas normaliosiomis formomis

Normaliąją forma vadinama standartinio pavidalo išraiška.

Kintamąjį arba jo inversiją apibendrintai vadinsime raide.

Elementaria vadinama konjunkcija, kurią sudaro nepasikartojančios

raidės.

Disjunkcine normaliąja forma (DNF) vadinama nepasikartojančių

elementarių konjunkcijų disjunkcija.

Elementari konjunkcija, kurią sudaro visos raidės, nuo kurių priklauso

funkcija, vadinama mintermu.

DNF vadinama išplėstine (IDNF), jei ją sudarančios elementariosios

konjunkcijos yra mintermai.

29

Būlio algebra



Terminą „konjunkcija“ pakeitus terminu „disjunkcija“, o terminą

„disjunkcija“ – terminu „konjunkcija“, dualiai apibrėžiama

elementari konjunkcija, konjunkcinė normalioji forma (KNF),

makstermas, išplėstinė konjunkcinė normalioji forma (IKNF).

Būlio algebra



Pavyzdys:

x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

IDNF:

7421

321321321321

mmmmf

xxxxxxxxxxxxf

30

Būlio algebra



skaitmenine forma

Būlio algebra


BF vaizdavimas skaitmenine forma Tai kompaktiškas IDNF arba IKNF užrašas.

Skaitmeninį IDNF užrašą sudaro numeriai mintermų, kuriems f=1.

Atitinkamai skaitmeninį IKNF užrašą sudaro numeriai makstermų,

kuriems f=0.

Pavyzdys:

x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

6,5,3,06.5.3.0,,

7,4,2,17421,,

321

321

xxxf

xxxf

31

Būlio algebra



geometrinis vaizdavimas

Būlio algebra


BF geometrinis vaizdavimas

Geometrine prasme n kintamųjų reikšmių kombinaciją galima

interpretuoti kaip n-matį vektorių (sudarytą iš 0 ir 1), nusakantį n-matės

erdvės tašką. Tuomet mintermus, kuriems atitinka f=1, atitiks n-mačio

kubo viršūnių poaibis.

Šis būdas vaizdus, tačiau jo naudojimo galimybės ribotos: lengva

pavaizduoti vienmatį kubą (du taškai, sujungti atkarpa), dvimatį (4

taškai, išdėstyti kvadrato viršūnėse) ir trimatį kubus, tačiau, kai n>4, n-

matį kubą pavaizduoti ir įsivaizduoti yra sunku.

32

Būlio algebra


BF geometrinis vaizdavimas

x0 1

x

y

00 10

01 11

000 100

001

010110

101111

011

1x

2x

3x

0000 1000

0010

0100 1100

1010

11100110

0001

00110101

1001

1101

1011

11110111

Būlio algebra



kubų kompleksais

33

Būlio algebra


BF vaizdavimas kubų kompleksais

Elementą n21 e...ee , atitinkantį n-mačio kubo viršūnę, vadiname 0-

kubu, o duotąją funkciją atitinkančių 0-kubų visumą – kubų kompleksu

K0.

Jei du 0-kubai skiriasi tik viena komponente je , jie sujungiami į 1-kubą,

kuriame ši komponentė pakeičiama simboliu “-“. 1-kubų visuma

sudaro funkcijos kubų kompleksą K1 ir t.t.

Būlio funkcijos kubų kompleksu K(f) vadinama visų funkcijos kubų

kompleksų Ki aibė:

...KKKfK 210

0-kubai atitinka mintermus.

Būlio algebra



Pavyzdys:

Duota Būlio funkcija

15,11,9,8,6,1,0x,x,x,xf 4321 .

Užrašykime ją kubų kompleksais.

0-kubas

1111

1011

1001

1000

0110

0001

0000

K0

arba

0000 0001 0110 1011 1111

------- 1000 1001 ------- -------

------- -------

34

Būlio algebra



Palygindami poromis komplekso 0K kubus, randame 1K :

0000 0001 0110 1011 1111

------- 1000 1001 ------- -------

------- -------

111

110

100

001

000

000

K1

000- -001 10-1 1-11

-000 100- ------ ------

------ ------

Būlio algebra



000- -001 10-1 1-11

-000 100- ------ ------

------ ------

Komplekse 1K tėra tik dvi 1-kubų poros, kurios gali būti sujungtos.

Taigi

00K2 .

Gauname 210 KKKfK .

35

Būlio algebra



Karno (Veičo)

diagramomis

Būlio algebra


BF vaizdavimas Karno (Veičo) diagramomis

3x

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

1x 2x

Tai grafinis Būlio funkcijų vaizdavimo būdas, kurį galima traktuoti kaip

Veno diagramų modernizaciją arba n-mačio kubo geometrinio

vaizdo išklotinę.

36

Būlio algebra



3x

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

1x 2x

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx321 xxx

321 xxx 321 xxx

1x 1x 1x 1x

2x 2x 2x 2x

3x

3x

Veno diagrama Apskritimai pakeisti

stačiakampiais

Stulpelių ir eilučių atitikimas

kintamiesiems

Būlio algebra



x1x2

x3 00 01 11 10

0 000 010 110 100

1 001 011 111 101

Kiekvieną stulpelį atitinka skirtinga 1x ir 2x kombinacija,

pažymėta 00, 01, 11, 10. Į langelius įrašyti dvejetainiai skaičiai,

atitinkantys kintamųjų rinkinį.

37

Būlio algebra



x1x2

x3 00 01 11 10

0 0 2 6 4

1 1 3 7 5

Dvejetainių skaičių, atitinkančių kintamųjų rinkinį dešimtainiai

ekvivalentai.

Atvaizduojant Būlio funkciją Karno diagramoje, „1“ įrašome į

langelius, atitinkančius rinkinius (mintermus), su kuriais funkcija lygi 1.

Būlio algebra



Karno diagramose naudojamas cikliškas stulpelių (eilučių)

išdėstymas: kodai 00, 01, 11, 10 – gretimi, jie skiriasi tik viena

pozicija.

Veičo diagramose jie dėstomi kodų didėjimo tvarka: 00, 01, 10, 11.

Plačiau naudojamos Karno diagramos.

38

Būlio algebra



Pavyzdys.

Atvaizduokime Karno diagramoje funkciją

15,11,9,8,6,1,0x,x,x,xf 4321

4 kintamųjų diagrama, langelių atitikimas mintermams ir duotosios

funkcijos atvaizdas:

x1x2

x3x4 00 01 11 10

00 0 4 12 8

01 1 5 13 9

11 3 7 15 11

10 2 6 14 10

x1x2

x3x4 00 01 11 10

00 1 1

01 1 1

11 1 1

10 1

Būlio algebra



x1x2

x3x4 00 01 11 10

00 0 4 12 8

01 1 5 13 9

11 3 7 15 11

10 2 6 14 10

4 kintamųjų Karno diagrama.

39

Būlio algebra



x1x2x3

x4x5 000 001 011 010 110 111 101 100

00 0 4 12 8 24 28 20 16

01 1 5 13 9 25 29 21 17

11 3 7 15 11 27 31 23 19

10 2 6 14 10 26 30 22 18


Būlio algebra



x1x2x3

x4x5x6 000 001 011 010 110 111 101 100

000 0 8 24 16 48 56 40 32

001 1 9 25 17 49 57 41 33

011 3 11 27 19 51 59 43 35

010 2 10 26 18 50 58 42 34

110 6 14 30 22 54 62 46 38

111 7 15 31 23 55 63 47 39

101 5 13 29 21 53 61 49 37

100 4 12 28 20 52 60 48 36


40

Būlio algebra


BF vaizdavimas

Užrašykite Būlio funkciją

31,29,25,24,23,22,18,13,12,10,8,7,6,2,1x,x,x,x,xf 54321

kubų kompleksais ir Karno diagrama.

x1x2x3

x4x5 000 001 011 010 110 111 101 100

00 0 4 12 8 24 28 20 16

01 1 5 13 9 25 29 21 17

11 3 7 15 11 27 31 23 19

10 2 6 14 10 26 30 22 18

1

1 1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1 1

1

K1 0-010 0110- -1101 111-1

00-10 1100- 11-01 1-111

-0010 -0110 1011-

01-00 0011- -0111

010-0 10-10

-1000

Būlio algebra


BF vaizdavimas

K0

00001 01100 01101 11101 11111

00010 01010 11001 10111

01000 11000 10110

10010 00111

00110

K2

-0-10 -011-

8 paskaita - kauno technologijos universitetasjurdabu/index_files/...10 1 0 1 0 y inversija f 11 1 0...

Documents