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7/23/2019 6 Matricial Rigidez
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CONCEPTO DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD
RIGIDEZ DE BARRAS ELEMENTALES
CARACTERSTICAS DE LA MATRIZ DERIGIDEZ
Jos Miguel Dvila Martn. Profesor Asociado
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CONCEPTOS DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD
Sea un muelle sometido en su extremo inferior a una carga P. Por efecto de estacarga el muelle sufrir una alargamiento L proporcional a la carga. De igual forma, si el
muelle sufre una alargamiento
L, aparecer una carga P proporcional al alargamiento y a laconstante K del muelle.
LP
P= KL; L= (1/K)P= FP
(K= P, si L= 1) (F= L, si P= 1)
M MFMK
1
L
IE4KKM ====
(K= M, si = 1) (F= , si M= 1)
KF= 1
Consideremos ahora el caso de una barra elemental con un extremo empotrado yel otro articulado. Si sometemos el extremo articulado a un desplazamiento angular ,aparecer un momento de igual sentido de giro y proporcional al mismo.
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RIGIDEZ: es la fuerza !P, f, t" #ue aparece ante un mo$imiento unidad.
FLEXIBILIDAD: es el mo$imiento !u, $, , f" #ue produce una fuerza unitaria.
Se dice #ue un material es muy r%gido !& grande" cuando hace falta una gran
fuerza para deformarlo !la unidad".Se dice #ue una material es muy flexible cuando una pe#ue'a fuerza !unidad" lo
deforma mucho! ( grande".
COMPRESIN
FLEXIN
RGIDO FLEXIBLE
RGIDO FLEXIBLE
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RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES
BARRA DE CELOSA, ESTRUCTURAS PLANAS (CERCHAS
)plicando la ley de *oo&e, el alargamiento producido por una esfuerzonormal es L+ !L-"!)/"0 si por el contrario obtenemos el esfuerzo a partir de ladeformaci1n, -+ !!)/"L" L= K L
Sea una barra elemental de longitud L y nudos extremos 1y !
L1 2
Si en el nudo 2 se aplica un mo$imiento unitario, como respuesta apareceruna fuerza en el nudo 2 y otra de reacci1n en el nudo 3.
"1=1 "!=# L
EAK
=11
L
EAK
=
21
Si el mo$imiento se aplica ahora en el nudo 3, aparecer una fuerza en elnudo 3 y la reacci1n en el 2.
"1=# "!=1 L
EAK
=
12
L
EAK
=
22
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Si aplicamos los dos mo$imientos de forma sucesi$a y sumamos los t4rminos de cadafuerza en los extremos de la barra5
2121111 uKuKF +=
2221212 uKuKF +=
=
2
1
2
1
u
u
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
F
F
esa misma ecuaci1n se puede escribir en forma matricial como sigue
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v1
V1
M V!
M"
BARRA DE PRTICO, ESTRUCTURA PLANA (BARRA INEXTENSIBLE$!-o se considera tracci1n 6 compresi1n"
7maginemos una barra del tipo indicado0 al despreciarse la tracci1n 6
compresi1n !y con ello deformaciones axiales, alargamientos 6 acortamientos" losmo$imientos posibles de los nudos sern el perpendicular a la barra y el giro, cuatromo$imientos en total por barra.
1
!"
L
Si aplicamos sucesi$amente mo$imientos unitarios en los nudos 2 y 3,obtendremos las fuerzas y momentos en el propio nudo y en el opuesto.
/mpecemos pu4s aplicando un mo$imiento $ertical unitario en el nudo 2!manteniendo el resto de desplazamientos nulos". Como consecuencia de 4l aparecern
dos fuerzas $erticales y dos momentos proporcionales al desplazamiento y a la rigidez.
V1= v
1k
11; M
2= v
1k
21
V3= v1k31; M4= v1k41
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V1
M
V!
M"
/n el siguiente estado se somete a la barra a un giro unitario en el nudo 2 !3+ 2,$2+ 8, 9+ 8, $:+ 8". Como consecuencia de 4l aparecern dos fuerzas $erticales y dosmomentos proporcionales al desplazamiento y a la rigidez.
V1= #1$ M= #
V!= #!$ M"= #"
= 1
v!
V1
M V!
M"
Seguimos con el proceso, aplicando los mo$imientos restantes !primero $ :+ 2y despu4s + 2".
V1= v!#1!$ M= v!#!
V!= v!#!!$ M"= v!#"!
V1
M
V!
M""= 1
V1= "#1"$ M= "#"
V!= " #!"$ M"= "#""
Como 3 es un mo$imiento unitario, se deduce #ueV1= #1% 3+ &33, ;:+ &:3, 9+
&93
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BARRA DE PRTICO PLANO EXTENSIBLE
Supongamos una barra similar a la del caso anterior en la #ue ahora no sedesprecien las deformaciones axiales. Las cargas $erticales y momentos las obtendr%amosde forma id4ntica a las del apartado anterior, y los t4rminos correspondientes a las
deformaciones axiales seguir%an el procedimiento a las obtenidas de las barras de celos%a,aplicando la ley de *oo&e5 K+ /)L
!
'&
L
1 "
=perando de esta manera obtendr%amos la matriz de rigidez de este tipo de
barra, #ue relacionar%a fuerzas y momentos en los nudos con los mo$imientoscorrespondientes en los mismos.
=
&
'
"
!
1
!!
!!
&
'
"
!
1
v
u
v
u
L
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L
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L
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(A**L
(A
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L
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L
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L
()1*
**L
(A**
L
(A
M
V
+
M
V
+
/sta matriz se puede escribir de forma condensada5
=
1
1
111
1
U
U
KK
KK
F
F
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/L//->= D/ /P)??7LL)D=Se considera como elemento de emparrillado a#uel #ue tiene las cargas
perpendiculares al plano de la estructura. /n este tipo de elementos pueden aparecerdesplazamientos $erticales y giros en dos planos perpendiculares al de la estructura0 es el
tipo de elemento #ue suele utilizarse para discretizar las estructuras tipo placa.
/n esas condiciones los $ectores defuerzas y desplazamientos #uedar%an as%5
=
=
,
-
-
,
/
M
0
0$
u
M2/3
-
,
Criterio de signos
)islando uno de los elementos nos #uedar%an seis mo$imientos o fuerzas, tres pornudo.
1!
"&'
-1tese #ue los giros 3 y @ sonde flexi1n, mientras #ue los : y A ser%ande torsi1n.
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Si recordamos el t4rmino correspondiente a la barra de celos%a, #ue obtu$imospor aplicaci1n de la ley de *oo&e, podr%amos as% mismo determinar el t4rminocorrespondiente a la rigidez a torsi1n.
L
4)
L
(A 5
/n esta ecuaci1n B es el m1dulo de elasticidad trans$ersal, 7p el momento deinercial polar y L la longitud de la barra.
Con este t4rmino de rigidez y los ya determinados en los casos de barraselementales sometidas a flexi1n obtenemos la matriz de rigidez del elemento deemparrillado.
=
&
'
"
!
1
55
!!
55
!!
&
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1
v
v
L
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*L
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L
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M
V
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6
7
1
1
&
1
!'
8
7
11
" 1*
BARRA DE PRTICO TRIDIMENSIONAL
Se trata del caso ms completo de elementos tipo barra. /n 4l cada nudo tieneseis posibles mo$imientos, tres desplazamientos y tres giros
Para entender este elemento estudiemos las fuerzas y mo$imientos #ue
aparecen en cada uno de los planos coordenados.
Como se obser$a, los momentos del plano xy son de flexi1n !A y 23", al igual #uelos del plano xz !@ y22", mientras #ue los del planos yz ser%an momentos torsores !9 y 28".
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,
6
1*
11
771*
1
8
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!
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/ntendidos los distintos mo$imientos y fuerzas #ue aparecen en este tipo debarra, pasemos a escribir la matriz de rigidez de la misma, y la ecuaci1n #ue relacionafuerzas y desplazamientos.
=
1
11
1*
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CARACTERSTICAS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
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