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相似三角形
第十四中学 孔志君
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相似三角形相似三角形教学目的
相似比
相似三角形
预备定理
例题二
例题一
课堂小结
课外作业课堂练习一
复习引入
课堂练习二
课堂练习三
退出
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教学目的
理解相似形的概念;
理解相似比(或相似系数)的概念;
掌握定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
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复习引入 1 、什么叫做全等三角形?
(能够完全重合的三角形叫做全等三角形。)
2 、全等三角形的对应边、对应角之间各有什么关系?
(对应边相等、对应角相等。 )
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相似三角形
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做形状相同的图形,即相似三角形。
表示法:∽,读作“相似于”
若△ ABC 与△ A’B’C’ 相似,就记作:△ABC∽△A’B’C’
对应顶点一定要写在对应位置,这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。
定义:
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如果△ ABC 与△ A’B’C’ 的相似比是 ,那么△ A’B’C’ 与△ ABC 的相似比是 。
相似比
k
相似三角形对应边的比 k ,叫做相似比(或相似系数)。
注意两点:
⑴ 两个相似三角形的相似比具有顺序性。
⑵ 只有△ ABC≌△A’B’C’ 时,△ ABC 与△ A’B’C’ 的相似比和△ A’B’C’ 与△ ABC 的相似比相同, 都等于 1 。这也说明了全等三角形是相似三角 形的特殊情形。
k
1
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预备定理 图 1 中,如果 DE∥BC ,那
么∠ADE=∠B ,∠ AED=∠C ,
且 。
又因为∠ A=∠A ,∴△ADE∽△ABC 。
AC
AE
BC
DE
AB
AD
⑴ ⑵
A
D E
B C
E D
A
BC
图 2 中,当 ED∥BC 时,△ ADE∽△ABC 。
定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
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例题一 例 1 ⑴ 所有的等腰三角形都相似吗?所有的等边 三角形呢?为什么? ⑵ 所有的直角三角形都相似吗?所有的等腰 直角三角形呢?为什么?
答: 1 、所有的等腰三角形不都相似。如下图中的两个等腰三角形就不相似;
所有的等边三角形都相似。因为每个等边三角形的角都等于 60° ,且三边都相等,所以任两个等边三角形的对应角相等,对应边成比例。因此所有的等边三角形都相似 .
正确的题目要加以证明
不正确的题目要举出反例
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2 、所有的直角三角形不都相似,如下图中的两个直角三角形就不相似;
所有的等腰直角三角形都相似。因为每个等腰直角三角形中都有一个直角,两个 45° 的角,且两条直角边相等,斜边等于直角边的 倍,所以任两个等腰直角三角形的对应角相等,对应边成比例。因此所有的等腰直角三角形都相似。
2
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例题二 例 2 如图,平行四边形 ABCD 中, E 、 F分别在 AD 和 CB 的延长线上,请写出图中所有的相似三角形。
解:∵ AB∥CD , ∴△EDH∽△EAG ,△CHM∽△AGM ,△FBG∽△FCH 。 ∵AD∥BC ,∴△ AEM∽△CFM ,△AEG∽△BFG ,△ EDH∽△FCH 。
∴ 图中相似的三角形有:△ AEM∽△CFM , △CHM∽△AGM ,△ EDH∽△EAG∽△FCH∽△FBG 。
E
D H C
M
AG B
F
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一、已知:如图, ⑴△ABC∽△ADE ,其中 DE∥BC ;⑵△OAB∽△OA’B’ ,其中 A’B’∥AB ;⑶△ABC∽△ADE ,其中∠ ADE=∠B 。写出各组相似三角形的对应边的比例式。
课堂练习
AC
AE
BC
DE
AB
AD
AB
BA
OB
BO
OA
AO
⑴ ⑵ ⑶
A
D E
B C
B’ A’
O
A B
A
ED
B C
BC
DE
AB
AD
AC
AE
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二、判断:
1 、如果两个三角形全等,则它们必相似。
2 、若两个三角形相似,且相似比为 1 ,则 它们必全等。 3 、如果两个三角形与第三个三角形相似, 则这两个三角形必相似。 4 、相似的两个三角形一定大小不等。
√
√
√╳
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三、选择: 1 、如图, E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 上一点, CE 交 BD 于 F ,且 CE 的 延长线交 AD 于 G 。则与△ AGE 相 似的三角形有 ( ) A 、 1 个 B 、 2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 2 、如图, DF∥BC∥GE , AF=FG=BG ,
则△ ADF 、△ AEG 、△ ACB 的相似比 是( ) A 、 1∶1∶1 B 、 1∶2∶3 C 、 3∶2∶1 D 、 1∶3∶2
G
B AE
F
C D
F
A
B C
D
EG
B
B
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3 、△ ABC 与△ DEF 相似,∠ A=60° , ∠B=40° ,∠ D=80° ,则∠ E 的度数 可以是( ) A 、 60° B 、 40° C 、 80° D 、 40° 或 60°4 、如图, AD∥EF∥BC , GH∥AB , 则图中与△ BOC 相似的三角形有 ( )个 A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4
5 、如图,△ ABC∽△AED∽△AFG , DE 是△ ABC 的中位线,△ ABC 与 △AFG 的相似比是 3∶2 ,则△ ADE 与△ AFG 的相似比是( ) A 、 3∶4 B 、 4∶3 C 、 8∶9 D 、 9∶8
D A
F E
B
G
HC
O
G F
A
E D
B C
D
C
A
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课堂小结
本课学习了相似三角形的有关概念,包括相似 三角形的定义、相似三角形的表示法、相似比等,以及定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。 这些内容是研究相似三角形的最基础的内容,务必牢牢掌握。
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课外作业
1 、用相似三角形的定义证明: 全等三角形是相似三角形。2 、 5.3 A 组 第 2 题。
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