Analisa Benda Pejal Elastik 111
5. Analisa Benda Pejal
Elastik 2‐Dimensi
5.1 Dasar Kontinuum Mekanik Benda Pejal (Solid)
Pada bab ini kita akan mempelajari penerapan Metode Elemen
Hingga untuk analisa tegangan dan regangan benda pejal yang
terbebani. Jika benda padat terbebani maka setiap bagian dari benda itu
akan mengalami tegangan dan regangan (pergeseran). Gambar 5.1
menggambarkan situasi suatu benda padat yang terbebani.
Gambar 5.1 Benda padat yang terbebani.
Analisa Benda Pejal Elastik 112
Tegangan pada setiap bagian dari benda ini dapat dianalisa dengan
menggunakan elemen tegangan (stress element) seperti digambarkan
oleh Gambar 5.2.
Gambar 5.2 Elemen tegangan.
Agar elemen berada dalam kondisi equilibrium maka xy = yx , xz =
zx dan yz = zy. Dengan menggunakan notasi vektor elemental
tegangan dapat dituliskan
T = {xx yy zz yz xz xy} (5.1)
Dengan analisa yang sama elemental regangan dapat dituliskan dengan
menggunakan notasi vektor.
T = {xx yy zz yz xz xy} (5.2)
Apabila tegangan hanya menyebabkan pergeseran yang kecil dan
saat beban ditiadakan benda kembali ke bentuk asal seperti sebelum
terbebani, benda dikatakan masih berada dalam sifat elastik. Pada
regime elastik hubungan antara tegangan, dan regangan, mengikuti
hukum Hooke.
Analisa Benda Pejal Elastik 113
xy
xz
yz
zz
yy
xx
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
xy
xz
yz
zz
yy
xx
c
ccsym.
ccc
cccc
ccccc
cccccc
(5.3)
atau dalam bentuk matrik
{} = [C] {} (5.4)
Pada persamaan (5.4) [C] adalah matrik konstitutif bahan (material
constitutive law). Elemen dari matrik konstitutif ini ditentukan dari
eksperimen. Untuk benda isotropik, Young’s modulus, E dan Poissons ratio, merata pada semua arah. Untuk materi ini hubungan antara
tegangan dan regangan diberikan oleh Hukum Hooke.
EEEzzyyxx
xx
(5.5)
Eν
EEzzyyxx
yy (5.6)
EEν
Ezzyyxx
zz (5.7)
Gyz
yz
(5.8)
Gxz
xz (5.9)
Gxy
xy
(5.10)
Dimana G adalah modulus geser isotropik (isotropic shear modulus)
yang diberikan oleh
Analisa Benda Pejal Elastik 114
)2(1E
G
(5.11)
Persamaan‐persamaan (5.5) – (5.10) memberikan matrik konstitutif
[C],
ν
ν
ν
ννν
ννν
ννν
νν
0.500000
00.50000
000.5000
0001
0001
0001
)2)(1(1
E][C (5.12)
Dengan MEH, solusi yang dihitung adalah pergeseran node. Jadi
setiap node terdiri 3 dof, ux, uy dan uz. Hubungan antara regangan, dan derivatif pergeseran adalah
xu
Δxz)y,(x,ux)y,Δx,(xu
limxxx
0Δxxx
(5.13)
y
u
Δy
z)y,(x,uz)Δy,y(x,ulim
yyy
0Δyyy
(5.14)
zu
Δzz)y,(x,uΔz)zy,(x,u
limzzz
0Δzzz
(5.15)
Regangan geser (shear strain) didefinisikan sebagai perubahan sudut
suatu elemen sebagai akibat dari beban. Gambar 5.3 memberikan
illustrasi sudut‐sudut ini.
Analisa Benda Pejal Elastik 115
Gambar 5.3 Perubahan sudut suatu elemen yang terbebani.
Regangan geser, xy diberikan oleh
x
u
yu
Δx
z)y,(x,ux)y,Δx,(xulimΔy
z)y,(x,ux)Δy,y(x,ulim
yx
yy
0Δx
xx
0Δy
21xy
(5.16)
Dengan cara yang sama regangan geser yang lain dapat diturunkan
sebagai berikut.
z
u
yu yz
yz
(5.17)
zu
xu xz
xz
(5.18)
Hubungan antara regangan dan derivatif pergeseran (5.13) – (5.18)
dapat dituliskan dengan menggunakan notasi matrik berikut.
Analisa Benda Pejal Elastik 116
y
u
x
uz
u
x
uz
u
y
ux
ux
ux
u
xy
xz
yz
z
y
x
(5.19)
5.2 Analisa Tegangan Bidang (Plane Stress Analysis)
Untuk benda pejal yang mempunyai ketebalan yang kecil
dibandingkan dengan ukuran penampang dan beban hanya berada
pada bidang penampang, maka tegangan pada arah tegak lurus dari
penampang adalah nol. Untuk bidang xy, zz = yz = xz = 0. Dengan
asumsi yz = xz = 0, persamaan Hooke untuk problem tegangan bidang
(plane stress) diberikan oleh,
xy
yy
xx
xy
yy
xx
21
00
01
01
1
E2
(5.20)
Untuk analisa tegangan bidang, matrik konstitutifnya adalah
21
00
01
01
1
E2 νν
ν
νC (5.21)
Analisa Benda Pejal Elastik 117
5.3 Analisa Regangan Bidang (Plane Strain Analysis)
Untuk benda pejal yang mempunyai ketebalan yang besar
dibandingkan dengan ukuran penampang dan beban hanya berada
pada bidang penampang, maka regangan pada arah tegak lurus dari
penampang adalah nol. Jika bidang penampang adalah bidang xy, zz = yz = xz = 0. Hukum Hooke untuk problem regangan bidang diberikan
oleh
xy
yy
xx
xy
yy
xx
21
00
0‐1
0‐1
))(1(1E
ε
ε
ε
ννν
νν
ννσ
σ
σ
22 (5.22)
Untuk analisa regangan bidang, matrik konstitutifnya adalah
21
00
0‐1
0‐1
))(1(1E
ννν
νν
νν 22C (5.23)
5.4 Formulasi MEH: Elemen Segitiga Linear
Ada dua teknik yang umum digunakan untuk menurunkan
formulasi MEH problem elastik: 1) minimum potensial energi (Bab 2
dan Bab 3), dan 2) Metode Galerkin. Pada bab ini kita akan
menggunakan pendekatan minimum potensial energi.
Pertama‐tama strain diekspresikan dengan pergeseran pada node.
Untuk elemen segitiga linear pergeseran pada elemen diberikan oleh
persamaan (4.36)
x33x22x11x uSuSuSu (e) (5.24)
y33y22y11y uSuSuSu (e) (5.25)
Dengan menggunakan (5.24) dan (5.25) regangan dihitung
Analisa Benda Pejal Elastik 118
y3
x3
y2
x2
y1
x1
332211
321
31
yx
y
x
xy
yy
xx
u
u
u
u
u
u
x
S
y
S
x
S
y
S
x
S
y
Sy
S0
y
S0
y
S0
0x
S0
x2S0
x
S
x
u
y
u
y
ux
u
(5.26)
Dengan menggunakan S1, S2 dan S3 yang telah diberikan oleh (4.37) –
(4.39) pada (5.26) kita peroleh
y3
x3
y2
x2
y1
x1
xy
yy
xx
u
u
u
u
u
u
332211
302010
030201
2A1
(5.27)
Atau secara singkat dapat dituliskan dengan menggunakan notasi
matrik
{ε} = [B] {U} (5.28)
Matrik [B] dikenal sebagai matrik regangan (strain matrix). Disini jelas
bahwa dengan menggunakan elemen linear segitiga, hanya ada satu
nilai regangan pada elemen, oleh karenanya elemen ini dikenal dengan
elemen regangan konstan (constant strain element). Untuk menghitung
energi potensial, diperlukan energi regangan yang tersimpan pada
benda (lihat persamaan 3.1). Dengan menggunakan (3.1) energi regangan
yang tersimpan pada benda adalah
Analisa Benda Pejal Elastik 119
vT
vTT
vT
vT)(
dv][][][2
1
dv][][][2
1
dv][][][2
1
dv2
1Λ
εε
εε
εε
εσ
C
C
C
e
(5.29)
Perhatikan bahwa T][][ εC = TT ][][ Cε dan ][][ T CC . Selanjutnya
dengan mensubstitusikan (5.28) ke (5.29) diperoleh
vTT)( dv][][][][][
21
Λ UBCBUe (5.30)
Kerja pada badan ini dihitung dengan mengalikan gaya pada node
dengan pergeseran node (lihat Gambar 5.4).
][][
FuFuFuFuFuFuW
T
y3y3x3x3y2y2x2x2y1y1x1x1)(
FU
e (5.31)
Gambar 5.4 Gaya dan pergeseran pada node elemen segitiga.
Analisa Benda Pejal Elastik 120
Energi potensial total elemen diberikan oleh
][][dv][][][][][21 T
vTT
)()()(
FUUBCBU
WΛΠ
eee
(5.32)
Dengan meminimumkan )(e
Π akan diperoleh sistim persamaan
linear berikut.
0][][][][][V T
FUBCB
UΠ
(5.33)
atau
[K] [U] = [F] (5.34)
dimana [K] adalah matrik kekakuan.
‐‐‐‐‐ CONTOH 5.1 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Suatu plat yang tersangga dan terbebani pada salah satu ujung
mengalami pergeseran. Jika pergeseran maksimum dari plat tidak
boleh melebihi 10 m, hitung:
(a) Pergeseran maksimum plat,
(b) apakah ada kemungkinan plat untuk berubah bentuk secara
permanen (plastic deformation), dan
(c) perkiraan perubahan ketebalan plat pada saat terbebani.
Analisa Benda Pejal Elastik 121
Karena ketebalan plat lebih kecil dari seperlima dimensi penampang
problem ini dapat disederhanakan sebagai problem tegangan bidang.
Pada contoh ini kita hanya menggunakan satu elemen.
Untuk menghitung matrik kekakuan [K], pertama‐tama kita hitung
matrik konstitutif dengan menggunakan (5.21).
20,331
00
010,33
00,331
688,7e
20,331
00
010,33
00,331
0,331
75.000 32
)(1C
Dengan area, A = 200 mm2 dan isi, V = 600 mm3 selanjutnya elemen‐
elemen matrik [B] dihitung dengan menggunakan koordinat node
1(0,0), 2(20,0) dan 3(0,20),
20200 321 yyβ 20200 231 xxδ
20020 132 yyβ 000 312 xxδ
000 213 yyβ 20020 123 xxδ
Matrik [B] menurut (5.27),
0202002020
20000200
00020020
0,0025)(1B
Setelah [B] dan [C] diperoleh, [K] dapat dihitung
Analisa Benda Pejal Elastik 122
1,0331000,34091,03310,3409
00,34610,346100,34610,3461
00,34610,346100,34610,3461
0,3409001,03310,34091,0331
1,03310,34610,34610,34091,37910,687
0,34090,34610,34611,03310,68701,3791
1e
][][][600
6
T)( BCBK 1
Dan sistim persamaan yang diperoleh adalah
y3
x3
y2
x2
y1
x1
y3
x3
y2
x2
y1
x1
6
F
F
F
F
F
F
u
u
u
u
u
u
1,0331000,34091,03310,3409
00,34610,346100,34610,3461
00,34610,346100,34610,3461
0,3409001,03310,34091,0331
1,03310,34610,34610,34091,37910,687
0,34090,34610,34611,03310,68701,3791
1e
Karena ux1 = uy1 = ux2 = uy2 = 0 dan Fx2 = 150 N dan Fy2 = 200 N, lajur
satu, dua, lima dan enam dapat dieliminasikan dari sistim.
200
150u
u
0,34610
01,03311e
y2
x26
a) Pergeseran maksimum plat
Solusi dari sistim persamaan ini memberikan pergeseran titik beban
(node 2).
mm5,7787
1,45191e
u
u4‐
y2
x2
Dengan menggunakan jawaban ini, gaya‐gaya reaksi pada node 1 dan 3
dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai ux2 dan uy2 ke sistim
persamaan di atas. Gaya‐gaya reaksi ini adalah
Analisa Benda Pejal Elastik 123
N200
350‐
F
F
x3
x1
Verifikasikan hasil ini dengan menggunakan analisa statik.
b) Kemungkinan berubah bentuk secara permanen
Untuk mengetahui apakah beban yang ada akan membuat plat
berubah bentuk secara permanen, kita perlu mengetahui tegangan pada
elemen. Dengan mensubstitusikan (5.21) dan (5.28) ke (5.20) kita bisa
peroleh
MPa
6,67
1,65
5
][][][
xy
yy
xx
UBC
Dari tegangan ini bida peroleh tegangan von Mises (von Mises stress),
’ berdasarkan tegangan elemen yang telah dihitung diatas.
MPa12,37
(6,67)3(1,65)51,655
3
222
2xyyyxx
2yy
2xx
Jika tegangan yield (yield stress) aluminium berkisar antara 15 – 20
MPa, karena nilai von Misses stress ini lebih kecil dari yield stress
aluminium menurut teori, plat tidak akan berubah bentuk secara
permanen. Namun dalam praktek kemungkinan plat berubah bentuk
cukup besar dikarenakan adanya defek pada bahan atau variasi dari
beban.
(c) Perkiraan perubahan ketebalan plat Besarnya penipisan dari plat dapat diaproksimasikan dengan
menggunakan persamaan (5.7).
EEν
Ezzyyxx
zz
Analisa Benda Pejal Elastik 124
6‐e26,2975,000
075,0001,65
0,3375,000
50,33zz
Jadi perubahan tipis plat adalah
x629,26eΔz 3 = mm687,87e
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
5.5 Formulasi MEH: Elemen Linear Segiempat
Untuk elemen segiempat linear, pergeseran pada elemen diberikan
oleh persamaan (4.21). Dan pergeseran x dan y diberikan oleh
x44x33x22x11)(
x uSuSuSuSu e (5.35)
y44y33y22y11)(
y uSuSuSuSu e (5.36)
Dengan menggunakan (5.35) dan (5.36) regangan dapat dihitung
sebagai berikut
y4
x4
y3
x3
y2
x2
y1
x1
44
4
4
332211
321
321
yx
y
x
u
u
u
u
u
u
u
u
x
S
y
Sy
S0
0x
S
x
S
y
S
x
S
y
S
x
S
y
Sy
S0
y
S0
y
S0
0x
S0
x
S0
x
S
x
u
y
u
y
ux
u
xy
yy
xx
(5.37)
Analisa Benda Pejal Elastik 125
Bentuk umum dari fungsi bobot S1, S2, S3 dan S4 diberikan pada
koordinat natural (). Untuk fungsi‐fungsi bobot ini derivative parsialnya diperoleh dengan menggunakan aturan rantai.
η
ξηξ
ηξ
ηη
ξξ
ηη
ξξ
i
i
ii
ii
i
i
S
S
yy
xx
y
S
y
Sx
S
x
S
y
Sx
S
(5.38)
Dengan menggunakan (5.38) untuk derivative parsial pada (5.37)
vektor regangan dapat dituliskan.
[ε] = [A] [D] [U] (5.39)
dimana,
xxyy
yy00
00xx
ηξηξ
ηξ
ηξ
A (5.40)
Dan
ηηηη
ξξξξ
ηηηη
ξξξξ
4321
4321
4321
4321
S0
S0
S0
S0
S0
S0
S0
S0
0S
0S
0S
0S
0S
0S
0S
0S
D (5.41)
Elemen‐elemen [D] dapat diperoleh dari penurunan fungsi‐fungsi
bobot (4.29) – (4.32).
Analisa Benda Pejal Elastik 126
)(10)(10)(10)(10
)(10)(10)(10)(10
0)(10)(10)(10)(1
0)(10)(10)(10)(1
41
ξξξξ
ηηηη
ξξξξ
ηηηη
D
(5.42)
Untuk mendapatkan elemen‐elemen dari matrik [A] diperlukan
matrik transformasi yang dikenal sebagai matrik Jacobian [J].
y
Sx
S
yx
yx
yy
Sxx
S
yy
Sxx
S
S
S
i
i
ii
ii
i
i
ηη
ξξ
ηη
ξξ
η
ξ (5.43)
[J]
Dengan membandingkan (5.38) dengan (5.43) kita bisa dapatkan
η
ξ
η
ξηξ
ηξ
i
i
1
i
i
i
i
S
S
][S
S
yy
xx
y
Sx
S
J (5.44)
Matrik [J] dapat dihitung
44
33
22
11
4321
4321
2221
1211
yx
yx
yx
yx
SSSS
SSSS
jj
jj
ηηηη
ξξξξJ (5.45)
dan
1121
1222jj‐
j‐j1
yy
xx||
1J
J ηξ
ηξ
(5.46)
Analisa Benda Pejal Elastik 127
Selanjutnya matrik [A] dapat dihitung dari
12221121
1121
1222
jjjj
jj00
00jj1
xxyy
yy00
00xx
|| JA
ηξηξ
ηξ
ηξ
(5.47)
Setelah [A] diperoleh kita dapat hitung energi regangan elemen
berikut.
1
1‐
1
1‐
TTT
AT
vT
dd][][][][][][][t2
1
dA][]][[][])[]][[t2
1
dv][][][2
1)(
ηξ
e
||
(
JUDACADU
UDACUDA
εCεΛ
(5.48)
Kerja pada elemen
][][
FuFuFuFuFuFuFuFu
T
y4y4x4x4y3y3x3x3y2y2x2x2y1y1x1x1)(
FU
W
e
(5.49)
dan energi potensial total
][][dd][][][][][][][t2
1 T1
1‐
1
1‐
TTT
)()()(
FUJUDACADU
WΛΠ
ηξ
eee
|| (5.50)
Dengan meminimumkan energi potensial total kita peroleh sistim
persamaan linear berikut.
0FJUDACADU
Π
][dd][][][][][][t1
1‐
1
1‐
TT ηξ|| (5.51)
atau
Analisa Benda Pejal Elastik 128
[K] [U] = [F] (5.52)
Dimana [K] adalah matrik kekakuan dimana dalam hal ini merupakan
integral yang umumnya dihitung secara numerik dengan
menggunakan empat titik Gauss (Gambar 4.24).
‐‐‐‐‐ CONTOH 5.2 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Pada contoh ini kita ulangi contoh 5.1 tetapi dengan plat segiempat.
Karena ketebalan plat lebih kecil dari seperlima dimensi penampang
problem ini dapat disederhanakan sebagai problem tegangan bidang.
Pada contoh ini kita hanya gunakan satu elemen.
Untuk menghitung matrik kekakuan [K], pertama‐tama kita hitung
matrik konstitutifnya dengan menggunakan (5.21).
20,331
00
010,33
00,331
688,7e
20,331
00
010,33
00,331
0,331
75.000 3
2
)(1C
Guna menghitung integral (5.51), kita gunakan integrasi numerik
dengan menggunakan 4 titik Gauss (Gambar 4.24). Untuk setiap titik ini
kita hitung matrik [D] dan [A].
Analisa Benda Pejal Elastik 129
Titik Gauss 1: = ‐0,57735 , = ‐0,57735
394,0106,0106,0394,0
106,0106,0394,0394,0
394,0106,0106,0394,0
106,0106,0394,0394,0
1
0000
0000
0000
0000
577)0(10577)0‐(10577)0‐(10577)0(10
577)0‐(10577)0‐(10577)0(10577)0(10
0577)0(10577)0‐(10577)0‐(10577)0(1
0577)0‐(10577)0(10577)0(10577)0(1
4
1
)(10)(10)(10)(10
)(10)(10)(10)(10
0)(10)(10)(10)(1
0)(10)(10)(10)(1
4
1
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
ξξξξ
ηηηη
ξξξξ
ηηηη
D
100
015
394,0394,0
394,0394,0
)))41
200
2030
030
00
0,1060,106
0,1060,106
200
2030
030
00
)(1(1(1(1
)(1)(1)(1)(1
jj
jj
2221
12111 ξξξξ
ηηηηJ
Determinan |J|1 = 150
010150
15000
00010
1501
jjjj
jj00
00jj
||1
12221121
1121
1222
11 J
A
Analisa Benda Pejal Elastik 130
953,5699,0515,1253,0810,1390,1655,5943,0
699,0161,2259,0341,0408,1230,1968,0272,1
515,1259,0486,0188,0188,0253,0813,1699,0
253,0341,0188,0330,0259,0559,0699,0230,1
813,1408,1188,0259,0299,1699,0701,0968,0
390,1230,1253,0559,0699,0759,2943,0089,2
655,5968,0813,1699,0701,0943,0767,6611,2
943,0272,1699,0230,1968,0089,2611,2591,4
1
||][
4
1
e
111T1
T1 ][][][][][t JDACADK
Dengan cara yang sama matrik [K]2, [K]3 dan [K]4 dihitung. Matrik
[K](1) adalah jumlah semua [K] pada titik Gauss.
4,3511,2591,3300,0102,1761,2593,5060,010
1,2592,9520,0101,0491,2591,4760,0100,427
1,3300,0104,3511,2593,5060,0102,1761,259
0,0101,0491,2592,9520,0100,4271,2591,476
2,1761,2593,5060,0104,3511,2591,3300,009
1,2591,4760,0100,4271,2592,9520,0101,049
3,5060,0102,1761,2591,3300,0104,3511,259
0,0100,4271,2591,4760,0101,0491,2592,952
1e][ 5(1)K
a) Pergeseran maksimum plat
Karena ux1 = uy1 = ux4 = uy4 = 0 dan Fx2 = 150 N dan Fy3 = 200 N, lajur
satu, dua, tujuh dan delapan dapat dieliminasikan dari sistim.
200
0
0
150
351,4259,1506,3010,0
259,1952,2010,0427,0
506,3010,0351,4259,1
010,0427,0259,1952,2
y3
x3
y2
x2
5
u
u
u
u
1e
Solusi dari sistim persamaan ini memberikan pergeseran titik‐titik
beban (node 2 dan 3).
mm
3,6
1,3
3,4
1,8
1e
u
u
u
u
3
y3
x3
y2
x2
Analisa Benda Pejal Elastik 131
Pergeseran maksimum terjadi pada node 2. Dengan menggunakan
hasil ini, gaya‐gaya reaksi pada node 1 dan 3 dapat dihitung dengan
mensubstitusikan nilai ux2 ,uy2 , ux3 dan uy3 ke sistim persamaan
[K][U]=[F]. Gaya‐gaya reaksi yang diperoleh adalah
N45
60‐
F
F
x4
x1
Sebagai latihan verifikasikan hasil ini dengan menggunakan analisa
statik.
b) Kemungkinan berubah bentuk secara permanen
Berbeda dengan elemen segitiga dimana regangan konstan pada
seluruh bagian elemen, pada elemen segiempat regangan berbeda‐
beda. Untuk menjawab pertanyaan apakah plat akan berubah bentuk
secara permanen, kita perlu menentukan lokasi kritis, kemudian
tegangan pada lokasi tersebut dihitung.
Ada dua lokasi kritis yaitu pada node 1 dan node 4. Pada contoh ini
kita akan lihat node 1 saja.
Node 1: = ‐1 , = ‐1
20000020
0000200
02000002
000000
41
)(10)(10)(10)(10
)(10)(10)(10)(10
0)(10)(10)(10)(1
0)(10)(10)(10)(1
41
2
22
ξξξξ
ηηηη
ξξξξ
ηηηη
D
Analisa Benda Pejal Elastik 132
100
015
22
2241
)))41
200
2030
030
00
00
00
200
2030
030
00
)(1(1(1(1
)(1)(1)(1)(1
jj
jj
2221
1211
ξξξξ
ηηηηJ
Determinan |J| = 150
010150
15000
00010
1501
jjjj
jj00
00jj
||1
12221121
1121
1222
JA
mm
0
0
3,6
1,3‐
3,4
1,8
0
0
1e
u
u
u
u
u
u
u
u
3
y4
x4
y3
x3
y2
x2
y1
x1
U
Tegangan pada node 1 adalah
MPa
26,15
13,64
41,32
][]][[][
xy
yy
xx
UDAC
Analisa Benda Pejal Elastik 133
Tegangan von Mises, ’ berdasarkan stress yang telah dihitung diatas adalah
MPa58,15
(26,15)3)64,13(41,3264,1341,32
3
222
2xyyyxx
2yy
2xx
Karena nilai von Misses stress ini lebih besar dari yield stress
aluminium dengan beban yang ada, menurut teori plat akan berubah
bentuk secara permanen.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
5.6 Beban Merata (Distributed Load)
Untuk beban merata, beban ini perlu diubah menjadi beban yang
terpusat pada node. Guna menjelaskan proses penurunannya kita
gunakan contoh beban merata pada sisi 2‐3 (Gambar 5.4). Disini kita
ekspresikan beban ini menjadi sejajar sumbu x, px dan sumbu y, py.
Kerja yang dilakukan oleh gaya ini pada elemen diberikan oleh
dA][
dAp
p
S0
0S
S0
0S
S0
0S
]uuuuu[u
dAp
p)u(u
dA)pup(u
dA
TA
T
y
x
3
3
2
2
1
1
A y3x3y2x2y1x1
y
x
A yx
A yyxx
A)(
pSU
puW
e
(5.53)
Derivatif dari [W] terhadap pergeseran [U] diberikan oleh
Analisa Benda Pejal Elastik 134
dA][t3‐2l
T(e)
pSU
W (5.54)
Setelah integrasi diterapkan kita peroleh
y
x
y
x3‐2)(
p
p
p
p
0
0
2lt][F
UW e
(5.55)
Gambar 5.4 Gaya dan pergeseran pada node‐node elemen segitiga.
‐‐‐‐‐ CONTOH 5.3 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Suatu plat yang tersangga dan terbebani oleh beban merata pada
salah satu sisi. Hitung:
(a) Pergeseran maksimum plat, dan
(b) apakah ada kemungkinan plat untuk berubah bentuk secara
permanen (deformasi plastik).
Analisa Benda Pejal Elastik 135
Beban ini kita pecah menjadi beban sejajar sumbu‐x dan sumbu‐y.
Dari contoh 5.1 telah kita peroleh
1,033000,3411,0330,341
00,3460,34600,3460,346
00,3460,34600,3460,346
0,341001,0330,3411,033
1,0330,3460,3460,3411,3790,687
0,3410,3460,3461,0330,6871,379
1e
[B][C][B]600
6
T)(1K
Dari persamaan (5.55), beban tambahan pada node dari beban
merata ini adalah [F]tambahan
Analisa Benda Pejal Elastik 136
1500
1500
1500
1500
0
0
p
p
p
p
2
lt
y
x
y
x3‐2tambahan
36,35
36,35
36,35
36,35
0
0
2
284,283
0
0
][F
Sistim persamaan yang diperoleh adalah
1500RF
1500RF
1500F
1500F
RF
RF
u
u
u
u
u
u
1,0331000,34091,03310,3409
00,34610,346100,34610,3461
00,34610,346100,34610,3461
0,3409001,03310,34091,0331
1,03310,34610,34610,34091,37910,687
0,34090,34610,34611,03310,68701,3791
1e
y3y3
x3x3
y2
x2
y1y1
x1x1
y3
x3
y2
x2
y1
x1
6
Karena ux1 = uy1 = ux3 = uy3 = 0 dan Fx2 = 1500 N dan Fy2 = 1500 N, lajur
satu, dua, lima dan enam dapat dieliminasikan dari sistim.
1500
1500
346,00
0033,1
y2
x26
u
u1e
a) Pergeseran maksimum plat
Solusi dari sistim persamaan ini memberikan pergeseran titik beban
(node 2).
mm43
151e
u
u4‐
y2
x2
b) Kemungkinan berubah bentuk secara permanen
Tegangan pada elemen dihitung
Analisa Benda Pejal Elastik 137
MPa
49,60
17,05
15,65
][][][
xy
yy
xx
UBC
Dari stress ini kita hitung dulu von Misses stress, ’ berdasarkan tegangan yang telah dihitung diatas.
MPa
(49,60)3(17,05)17,0515,65
3
222
2xyyyxx
2yy
2xx
46,87
65,15
Karena yield stress aluminium berkisar antara 15 – 20 MPa, dan nilai
tegangan von Mises yang lebih besar dari yield stress aluminium,
menurut teori plat akan berubah bentuk secara permanen.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
5.7 Benda Pejal Aksissimmetris
Untuk benda pejal yang secara geometris dan beban simmetris
terhadap sumbu rotasi (Gambar 5.5) problem dapat disederhanakan
dengan menggunakan elemen 2‐dimensi aksissimmetris. Elemen
tegangan pejal aksissimmetris diillustrasikan pada gambar 5.6. Elemen
ini hanya mempunyai empat stress nil‐nol, rr , , zz , dan rz.
Tegangan r = r= z z= 0.
Analisa Benda Pejal Elastik 138
Gambar 5.5 Solid revolusi dengan beban simmetris terhadap
sumbu z.
Gambar 5.6 Stress pada elemen axissimmetris.
Hukum Hooke untuk elemen ini adalah
rz
zz
rr
rz
zz
rr
ν21
ν1νν
νν1ν
ννν1
ν))(1(1E
000
0
0
0
2 (5.56)
Analisa Benda Pejal Elastik 139
Matrik konstitutif [C] elemen ini adalah
ν21
ν1νν
νν1ν
ννν1
ν))(1(1
E
000
0
0
0
2C (5.57)
Dengan cara yang sama (5.13 ‐ 5.16) hubungan antara regangan dan
pergeseran diberikan oleh
r
urrr
(5.58)
z
uzzz
(5.59)
r
ur (5.60)
r
u
z
u zrrz
(5.61)
Untuk elemen segitiga linear pergeseran elemen diberikan oleh
persamaan (4.36)
r33r22r11)(
ruSuSuSu e (5.62)
z33z22z11e
uSuSuS)(
zu (5.63)
Dengan menggunakan (5.58) – (5.63) vektor regangan dapat
diperoleh
Analisa Benda Pejal Elastik 140
z3
r3
z2
r2
z1
r1
332211
321
321
321
zr
r
z
r
rz
zz
rr
u
u
u
u
u
u
r
SS
r
SS
r
SSr
S
r
S
r
S
S0
SS0
0r
S
r
S
r
S
r
u
z
ur
uz
ur
u
zzz
zzz
000
0
00
(5.64)
Fungsi bentuk S1, S2 dan S3 telah diberikan oleh (4.37) – (4.39)
sehingga
z3
r3
z2
r2
z1
r1
332211
321
321
321
rz
zz
rr
u
u
u
u
u
u
r
SA2
r
SA2
r
SA2
00
0
2A1
000
0
00
(5.65)
Dimana [B] diberikan
332211
321
321
321
r
SA2
r
SA2
r
SA2
00
0
2A1
][
000
0
00
B (5.66)
Energi regangan elemen aksissimmetris
Analisa Benda Pejal Elastik 141
ATT
vTT)(
dAr][][][][]2
2π
dv][][][][][2
1
UBCB[U
UBCBUΛ e
(5.67)
r pada persamaan (5.67) diberikan oleh r dari centroid, yang untuk
elemen segitiga linear adalah
3
rrrr 321
(5.68)
Pada lajur ke tiga dari matrik [B] terdapat term Si/r, untuk
memudahkan integrasi matrik ini, fungsi bentuk dan r dari centroid
digunakan. Pada centroid elemen segitiga linear, S1 = S2 = S3 = 1/3 dan r
diberikan oleh (5.68)
Dengan menggabungkan (5.67) dengan kerja W(e), energi potensial,
)(eΠ diperoleh. Selanjutnya dengan meminimumkan )(e
Π dapat
diperoleh sistim persamaan linear berikut.
0FUBCBU
Π
][][][][][Ar2π T (5.69)
Dimana
][][][][Ar2π][ T UBCBK (5.70)
‐‐‐‐‐ CONTOH 5.4 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Contoh ini diadopsi dari referensi (Chandrupatla, 2001). Sebuah
silinder dengan diameter dalam 200 mm dan diameter luar 240 mm
berisi cairan dengan tekanan sebesar 3 Mpa. Dengan menggunakan dua
elemen segitiga, hitung:
(a) perubahan diameter dalam, dan
(b) tegangan pada dinding silinder.
Analisa Benda Pejal Elastik 142
Pertama‐tama kita hitung matrik konstitutifnya dengan
menggunakan (5.57).
3021
000
03013030
03030130
03030301
3021
000
03013030
03030130
03030301
][][
,
,,,
,,,
,,,
,
,,,
,,,
,,,
5
)()(
3,846e
0,6)‐0,33)(1(1200.00021 CC
Tekanan pada sisi diameter dalam diterapkan dalam bentuk beban
terpusat pada node 1 dan 4 sebesar
Fr1 = Fr4 = 2 rin le p = 9,425e3 N
Analisa Benda Pejal Elastik 143
Elemen 1
Luas elemen ini adalah A = 50 mm2. Selanjutnya elemen‐elemen
matrik [B] (5.66) dapat diperoleh dengan menggunakan koordinat node
1 (100,0), node 2 (110,0) dan node 3 (110,10).
1 = ‐10 1 = 0 2 = 10 2 = ‐10 3 = 0 3 = 10
Dengan menggunakan (5.68)
3320
3
rrrr 321
Matrik [B] menurut (5.66),
0101010100
0320100
0320100
0320100
10010000
00010010
1001)(1B
Setelah [B] dan [C], [K] dapat dihitung
ur1 uz1 ur2 uz2 ur3 uz3
r3
z3
z2
r2
z1
r1
8)(
u
u
u
u
u
u
0,9022
0,01210,2587simmetri
0,9022‐0,24571,160
0,39870,2448‐0,6565‐1,1850
00,25780,25780,25780,2578
0,37460,0112‐0,37460,901300,8789
1e
1K
Elemen 2
Luas elemen ini adalah A = 50 mm2. Selanjutnya elemen‐elemen
matrik [B] diperoleh dengan menggunakan koordinat node 1 (100,0),
node 3 (110,10) dan node 4 (100,10).
Analisa Benda Pejal Elastik 144
1 = 0 1 = ‐10 2 = 10 2 = 0 3 = ‐10 3 = 10
Dengan menggunakan (5.68),
3310
3
rrrr 431
Matrik [B] menurut (5.66),
1010100010
0310100
0310100
0310100
10000100
01001000
1001
B (2)
Setelah [B] dan [C], [K] dapat dihitung
ur1 uz1 ur3 uz3 ur4 uz4
r4
z4
z3
r3
z1
r1
8)(
u
u
u
u
u
u
1,1237
0,6122‐1,1005simmetri
0,2497‐0,24970,2497
0,38670,8731‐00,8991
0,874‐0,362500,3867‐0,874
0,26180,2609‐0,2447‐0,0130,0121‐0,2506
1e
2K
Dengan menggabungkan [K](1) dan [K]
(2) sistim global diperoleh.
Dikarena uz1 = uz2 = ur2 = uz3 =ur3 = uz4 = 0, lajur dua, tiga, empat, lima,
enam dan delapan dapat dieliminasikan dari sistim. Dan sistim yang
kita perlu pecahkan adalah
9,425
9,4251e
u
u
1,10050,2609
0,26091,12951e 3
r4
r18
Dari sistim ini hasil yang diperoleh adalah
Analisa Benda Pejal Elastik 145
mm0,1,115
0,10921e
u
u3‐
r4
r1
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
5.8 Efek dari Panas
Kita tahu bahwa perubahan suhu menyebabkan pemuaian atau
penyusutan benda pejal. Hal ini menyebabkan adanya tambahan
regangan yang umumnya dianggap sebagai regangan mula‐mula
(initial strain), o dan berakibat adanya tambahan regangan pada
hubungan antara tegangan dan regangan.
ΔTE
νE
νE
zzyyxxxx (5.71)
ΔTE
νEE
ν zzyyxxyy (5.72)
ΔTEE
νE
ν zzyyxxzz (5.73)
Dengan tambahan regangan ini, hubungan antara tegangan dan
regangan menjadi
02ν1
00
01ν
0ν1
ν1
Eo
o
xy
yy
xx
2
xy
yy
xx
(5.74)
dimana,
0
ΔT
ΔT
o
][ (5.75)
untuk problem tegangan bidang, dan untuk problem regangan bidang
Analisa Benda Pejal Elastik 146
0
ΔTα)(1
ΔTα)(1
o
][ (5.76)
Formulasi energi regangan menjadi
AT
AT
AT
ATTT
AT)(
dA]o[][]o[2
tdA]o[][][tdA[][[
2
t
dA]o[][]o[]o[][]2[‐[][[2
t
dA]o‐[][]o‐[2
t
CCC
CCC
CΛ
]]
]]
e
(5.77)
Integral pertama pada (5.77) sama dengan (5.30), sedangkan
ATT
AT dA]o[][][][tdA]o[][][t εεε CBUC (5.78)
dan energi potensial total elemen
][][dA][[C]][2
t
dA][][][][tdA][][][][][2
t
T
Ao
To
Ao
TT
A
TT
)()()(
FU
CBUUBCBU
WΛΠ
εε
ε
eee
(5.79)
Dengan meminimumkan energi potensial total dapat didapat sistim
persamaan linear berikut.
0FCBUBCBU
Π
][]o[][][V][][][][V TT ε (5.80)
atau
[K] [U] = [F] + V [B]T [C] [] (5.81)
Analisa Benda Pejal Elastik 147
Jika dibandingkan dengan (5.34), pengaruh perubahan suhu
menyebabkan tambahan term di vektor sisi kanan.
‐‐‐‐‐ CONTOH 5.5 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Kita pecahkan contoh 5.1 kembali tetapi sekarang dengan perubahan
suhu sebesar 100 oC.
Karena ketebalan plat lebih dari seperlima dimensi penampang
problem ini dapat disederhanakan sebagai problem tegangan bidang.
Regangan karena perubahan suhu untuk plane stress diberikan oleh
(5.75).
0
100
100
23e
0
ΔTα
ΔTα6
o ][ε
Matrik‐matrik [C], [B] dan kekakuan [K] telah dihitung pada contoh
5.1.
20,331
00
010,33
00,331
688,7e3)(1C
0202002020
20000200
00020020
0025,0)(1B
Analisa Benda Pejal Elastik 148
1,0331000,34091,03310,3409
00,34610,346100,34610,3461
00,34610,346100,34610,3461
0,3409001,03310,34091,0331
1,03310,34610,34610,34091,37910,687
0,34090,34610,34611,03310,68701,3791
1e
][][][600
6
T)( BCBK 1
Sisi kanan ada tambahan term,
63202
0
0
63202
63202
63202
][][][V oT εCB
Sistim persamaan yang diperoleh adalah
63202RF
F
200F
63202501F
63202RF
63202RF
u
u
u
u
u
u
1,0331000,34091,03310,3409
00,34610,346100,34610,3461
00,34610,346100,34610,3461
0,3409001,03310,34091,0331
1,03310,34610,34610,34091,37910,687
0,34090,34610,34611,03310,68701,3791
1e
y3y3
x3
y2
x2
y1y1
x1x1
y3
x3
y2
x2
y1
x1
6
Karena ux1 = uy1 = ux2 = uy2 = 0 dan Fx2 = 150 N dan Fy2 = 200 N, lajur
satu, dua, lima dan enam dapat dieliminasikan dari sistim.
200
63202150
3461,00
00331,1
y2
x26
u
u1e
Analisa Benda Pejal Elastik 149
Pergeseran maksimum plat
Solusi dari sistim persamaan ini memberikan pergeseran dari titik
loading (node 2).
mm0,00058
0,06132
u
u
y2
x2
Dari hasil ini, gaya‐gaya reaksi pada node 1 dan 3 dapat diperoleh
dengan mensubstitusikan nilai ux2 dan uy2 ke sistim persamaan di atas.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Untuk elemen aksissimmetris,
0
ΔT
ΔT
ΔT
o
][ (5.82)
Formulasi energi regangannya
Ao
To
Ao
TT
A
TT
Ao
Too
TT
Vo
To
)(
dAr][[C]][2
2dAr][[C][[
2
4dAr[[[C][[
2
2
dAr][[C]][][[C]]2[‐[[C][2
2
dV]‐[][]‐[2
1
εεε
εεεεεε
εεεε
]]]]]]
]]
BUUBBU
CΛ e
(5.83)
Dengan meminimumkan total energi potential ini untuk elemen
segitiga linear diperoleh sistim persamaan linear berikut.
0FCBUBCBU
Π
][][][][Ar4π][][][][Arπ2 oTT ε (5.84)
dimana
][][][Arπ2][ T BCBK (5.85)
Analisa Benda Pejal Elastik 150
Dan vektor sebelah kanan menjadi
][][][Arπ4][][ ToCBFRHS (5.86)
5.9 Soal‐soal Latihan
1. Turunkan matrik konstitutif [C] persamaan (5.12) dari persamaan‐
persamaan (5.5) – (5.11).
ν0.500000
0ν0.50000
00ν0.5000
000ν1νν
000νν1ν
000ννν1
)2ν)(1(1
E][C
2. Turunkan matrik konstitutif (5.21) untuk kondisi plane stress.
2ν1
00
01ν
0ν1
2ν1
EC
3. Turunkan matrik konstitutif (5.23) untuk kondisi plane strain.
2ν1
00
0ν‐1ν
0νν‐1
ν)ν)(1(1E
22C
4. Energi potensial total elemen diberikan oleh
][][dv][][][][][2
1 Tv
TT
)()()(
FUUBCBU
WΛΠ
eee
(5.32)
Dengan meminimumkan energi potensial total, turunkan sistim
persamaan linear yang diberikan oleh persamaan (5.33).
0FUBCBU
Π
][][][][][V T (5.33)
Analisa Benda Pejal Elastik 151
5. Buktikan integral area pada persamaan (5.48)
1
1‐
1
1‐A dηdξdA ||)()( J
6. Buktikan
y
x
y
x3‐2)(
p
p
p
p
2
lt
0
0
][FU
W e
(5.55)
7. Turunkan regangan mula‐mula untuk kondisi regangan bidang.
0
ΔTα)(1
ΔTα)(1
o
][ (5.76)
8. Suatu plat yang tersangga dan terbebani pada salah satu ujung
mengalami pergeseran. Hitung:
(a) pergeseran maksimum plat,
(b) apakah ada kemungkinan plat untuk berubah bentuk secara
permanen (deformasi plastik).
Catatan soal ini hampir sama dengan contoh 5.1 tetapi disini berat dari
plat tidak diabaikan.
Analisa Benda Pejal Elastik 152
9. Sebuah disk dengan tebal 10mm terbebani secara radial sebesar 2
kN. Dengan menggunakan MEH dengan 6 elemen segiempat linear
hitung:
(a) pergeseran maksimum plat, dan
(b) apakah ada kemungkinan plat untuk berubah bentuk secara
permanen.
10. Seandainya disk pada soal 9 dipanaskan dahulu sampai suhu
150oC, ulangi perhitungan di atas dan bandingkan kedua hasil yang
diperoleh.
11. Sebuah pipa dengan diameter dalam 100 mm, diameter luar 110
mm dan panjang 10 m. Dengan menggunakan asumsi regangan bidang
hitung perubahan diameter dalam pipa.
Analisa Benda Pejal Elastik 153
12. Pecahkan problem pada contoh 5.4 dengan menggunakan satu
elemen segiempat linear.