Download - 3.VALJAK
1
VALJAK
Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
izvodnice normalne na ravan tih krugova.
Osa valjka je prava koja prolazi kroz centre baza.
Naravno kao i do sada oznake su:
- P je površina valjka
- V je zapremina valjka
- B je površina baze
- M je površina omotača
- H je visina valjka
- r je poluprečnik osnove ( baze ), onda je 2r prečnik
O
O
1
2
osa valjka
Početne formule za površinu i zapreminu valjka iste su kao i formule za P i V prizme:
2 i P B M V B H= + = ⋅
2
Pre nego li sklopimo formule za P i V pogledajmo mrežu valjka:
2B r π=
2B r π=
2M r Hπ=2rπ
H
Baze su očigledno krugovi čija je površina :
2B r π= .
Omotač je pravougaonik čije su stranice visina H i obim kruga 2O rπ= , pa je površina omotača jednaka
2M r Hπ=
2 2
2
2 2
2 ( )
P B M V B H
P r r H V r H
P r r H
π π ππ
= + = ⋅
= + =
= +
3
Pogledajmo sada kako izgleda osni presek valjka:
H
2r
D
osni presek
Ovde primenjujemo Pitagorinu teoremu: 2 2 2(2 )D r H= +
Površina osnog preseka je 2opP rH=
Ako u tekstu zadatka kaže da je valjak RAVNOSTRAN, to znači da mu je osni presek kvadrat i da je 2H r=
Napomenimo još da valjak može nastati obrtanjem kvadrata ili pravougaonika oko jedne stranice ili simetrale
stranice.
osa rotacije(stranica)
a
b
r=a
H=b
a
b
r=a/2
H=b
osa rotacije (simetrala stranice)
4
1) Izračunati zapreminu pravog valjka ako je data površina 3324 cmP π= i odnos
visine prema poluprečniku 2:7: =rH .
Rešenje:
?
2:7:
324
________________
3
=
=
=
V
rH
cmP π
Kako imamo datu razmeru, upotrebićemo “trik sa k”
=
=⇒=
kr
kHrH
2
72:7:
Obrazac za površinu je:
2) Površina pravog valjka je 84 2cmπ , a visina mu je za 5cm veća od prečnika
osnove. Izračunati zapreminu valjka.
Rešenje:
?
52
84
_______________
2
=
+=
=
V
rH
cmP π
Nemogućer
r
r
rr
rr
rr
rr
rrr
HrrP
→−−
=
==+−
=
±−=
−+
=−+
+=
+=
++=
+=
6
235
36
18
6
235
6
235
4253
084106
10684
)53(284
)52(284
)(2
2
1
2,1
2
2
2
πππ
Dakle cmr 3=
2 ( )
324
P r r Hπ
π
= +
2 2k π= ⋅ ⋅
2
2
(2 7 )
324 4 9
324 36
9
3
k k
k k
k
k
k
+
= ⋅
=
=
=
cmr
cmH
632
2137
=⋅=
=⋅=
3
2
2
756
216
cmV
V
HrV
π
π
π
=
⋅⋅=
=
cmH
H
rH
11
532
52
=
+⋅=
+=
3
2
2
99
113
cmV
V
HrV
π
π
π
=
⋅=
=
5
3) Od drvenog valjka poluprečnika osnove cmr 9= , visine cmH 12= istesana je
najveća moguća pravilna trostrana prizma. Kolika je zapremina odpadaka?
Rešenje:
→ Najveća prizma je ona koja je upisana u valjak
→ Visine prizme i valjka su jednake
→ Zapreminu odpadaka ćemo dobiti kad od zapremine
valjka oduzmemo zapreminu prizme!
cmH
cmr
12
9
=
=
PvOD VVV −=
Nadjimo najpre stranicu prizme.
3
3
39
3
3 27
27
3
27 3
3 3
27 3
3
9 3
o
ar
a
a
a
a
a
a cm
=
=
=
=
= ⋅
=
=
( )
22
22
2
2
3
4
3
4
9 3 312 9
4
243 38112
4
12
OD v P
OD
OD
OD
OD
OD
V V V
aV r H H
aV H r
V
V
V
π
π
π
π
= −
= − ⋅
= −
= −
−=
=324 243 3
4
π −
( )( ) 3
3 81 4 3 3
243 4 3 3
OD
OD
V
V cm
π
π
= ⋅ −
= −
6
4) Izračunati površinu šupljeg valjka čija je visina cmH 25= , poluprečnik
spoljašnjeg omotača cmR 15= , a unutrašnjeg je cmr 6=
Rešenje:
?
6
15
25
___________
=
=
=
=
P
cmr
cmR
cmH
Razmišljamo:
→ Površina šupljeg valjka se sastoji iz omotača većeg valjka, omotača manjeg valjka i
dve baze koje čine kružni prsteni.
Dakle: BMMP 221 ++=
1M → Omotač većeg valjka 2
1 750251522 cmHRM πππ =⋅⋅⋅==
2M → Omotač manjeg valjka 2
2 30025622 cmHrM πππ =⋅⋅⋅==
( ) ( )2 2 2 2 2
2
15 6 189
750 300 2 189
1428
B R r cm
P
P cm
π π π
π π π
π
= − = − =
= + + ⋅
=
7
5) Kvadrat stranice a rotira oko ose koja je od centra kvadrata udaljena za
>2
app . Odrediti zapreminu obrtnog tela ako je osa paralelna stranici kvadrata i
leži u njegovoj ravni.
Rešenje:
Razmišljamo:
→ Na ovaj način smo ustvari dobili šuplji valjak.
→ Poluprečnik osnove većeg valjka je 2
apR +=
→ Poluprečnik osnove manjeg valjka je 2
apr −=
→ Visine oba valjka su iste ako i stranica kvadrata, tj. aH =
→ Zapreminu šupljeg valjka ćemo dobiti kad od zapremine većeg oduzmemo zapreminu
manjeg valjka!
Napomena:
Kao i u prethodnom primeru površina šupljeg valjka se sastoji iz omotača većeg valjka,
omotača manjeg valjka i dve baze koje čine kružni prsteni.
BMMP 221 ++=
( )
−−
+=
−=
−=
−=
22
22
22
21
22
ap
apHV
rRHV
HrHRV
VVV
π
π
ππ
2V H pπ=2
4
apa+ + 2p−
2
4
apa+ −
2
2
2
2
2
V H pa
V paH
V pa a
V a p
πππ
π
= ⋅
=
= ⋅
=
8
6) Osnova prizme je jednakokraki trapez osnovica 8cm i 2cm. U trapez je upisan
valjak. Izračunati razmeru zapremine valjka i zapremine prizme ako je njegova
visina jednaka kraku trapeza.
Rešenje:
?:
2
8
_________
=
=
=
=
PV VV
CH
cmb
cma
Ako pogledamo bazu vidimo da je trapez tangentni
četvorougao (može da se upiše krug) pa je:
Primenom Pitagorine teoreme na trapez:
Površina kruga je:
π2rP = gde je
24
22
cmP
cmh
r
π=
==
Površina trapeza je:
220
42
28
2
cmP
hba
P
=
⋅+
=⋅+
=
cmHcmc
c
c
cba
55
210
228
2
=⇒=
=
=+
=+
cmh
h
h
h
bach
4
16
925
2
285
2
2
2
2
22
2
22
=
=
−=
−−=
−−=
: :
:
20 : 4
5 :
: 5 :
V P V P
V P
V P
V V B H B H
B B
V V
ππ
π
=
=
=
=
=
9
2
2
2
2
3
2
2sin 22 2
4sin 22 2
8sin2 2
V r H
b btgV
tg
b btgV
tg
b tgV
tg
π
απ
β β
απ
β β
π αβ β
=
= ⋅
= ⋅
=
7) Ravan prolazi kroz centar donje osnove kružnog valjka i nagnuta je prema ravni
osnove pod uglom α. Ta ravan seče gornju osnovu po tetivi b, kojoj odgovara
centralni ugao β. Izračunati zapreminu valjka.
Rešenje:
Kod ovog zadatka slika je neophodna i sa nje ćemo uočiti zavisnost izmedju elemenata.
Pošto se zapremina valjka računa HrV π2= , naš “posao” je da r i H izrazimo preko datih
elemenata α, β i b.
Proučimo najpre gornju bazu!!
Onda je:
r
b
2
2sin =
β
2sin2
br
β=
i x
b
tg 2
2=
β
22
bx
tgβ
=
Dalje ćemo izvući polovinu osnog preseka (onu desnu, naravno)
→ odavde je
H
Konačno, zapremina je:
2 22 2
H b btgtg H xtg tg H
xtg tg
αα α α
β β= ⇒ = = ⋅ → =
10
8) Zapremina kosog valjka kod koga izvodnica zaklapa ugao o60=α sa ravni
osnove je 38π=V . Odrediti poluprečnik osnove ako se zna da je osni presek
romb.
Rešenje:
?
38_____________
=
=
r
V π
Izvucimo osni presek “na stranu’’
Odavde je:
a
Ho =60sin
→= oaH 60sin I pošto je ra 2= onda je
Upakujemo ovde dve dobijene jednakosti:
2
2
8 3
3
r H
r r
=
⋅ 8 3=3
3 3
8
2
2
r
r
r
=
=
=
a
a=2r
a
a=2r
a
2
8
V r Hπ
π
=23 r π=
2 8 3
H
r H =
3
2
32
rH
rH
=
⋅=