1

VALJAK

Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

izvodnice normalne na ravan tih krugova.

Osa valjka je prava koja prolazi kroz centre baza.

Naravno kao i do sada oznake su:

- P je površina valjka

- V je zapremina valjka

- B je površina baze

- M je površina omotača

- H je visina valjka

- r je poluprečnik osnove ( baze ), onda je 2r prečnik

O

O

1

2

osa valjka

Početne formule za površinu i zapreminu valjka iste su kao i formule za P i V prizme:

2 i P B M V B H= + = ⋅

2

Pre nego li sklopimo formule za P i V pogledajmo mrežu valjka:

2B r π=

2B r π=

2M r Hπ=2rπ

H

Baze su očigledno krugovi čija je površina :

2B r π= .

Omotač je pravougaonik čije su stranice visina H i obim kruga 2O rπ= , pa je površina omotača jednaka

2M r Hπ=

2 2

2

2 2

2 ( )

P B M V B H

P r r H V r H

P r r H

π π ππ

= + = ⋅

= + =

= +

3

Pogledajmo sada kako izgleda osni presek valjka:

H

2r

D

osni presek

Ovde primenjujemo Pitagorinu teoremu: 2 2 2(2 )D r H= +

Površina osnog preseka je 2opP rH=

Ako u tekstu zadatka kaže da je valjak RAVNOSTRAN, to znači da mu je osni presek kvadrat i da je 2H r=

Napomenimo još da valjak može nastati obrtanjem kvadrata ili pravougaonika oko jedne stranice ili simetrale

stranice.

osa rotacije(stranica)

a

b

r=a

H=b

a

b

r=a/2

H=b

osa rotacije (simetrala stranice)

4

1) Izračunati zapreminu pravog valjka ako je data površina 3324 cmP π= i odnos

visine prema poluprečniku 2:7: =rH .

Rešenje:

?

2:7:

324

________________

3

=

=

=

V

rH

cmP π

Kako imamo datu razmeru, upotrebićemo “trik sa k”

=

=⇒=

kr

kHrH

2

72:7:

Obrazac za površinu je:

2) Površina pravog valjka je 84 2cmπ , a visina mu je za 5cm veća od prečnika

osnove. Izračunati zapreminu valjka.

Rešenje:

?

52

84

_______________

2

=

+=

=

V

rH

cmP π

Nemogućer

r

r

rr

rr

rr

rr

rrr

HrrP

→−−

=

==+−

=

±−=

−+

=−+

+=

+=

++=

+=

6

235

36

18

6

235

6

235

4253

084106

10684

)53(284

)52(284

)(2

2

1

2,1

2

2

2

πππ

Dakle cmr 3=

2 ( )

324

P r r Hπ

π

= +

2 2k π= ⋅ ⋅

2

2

(2 7 )

324 4 9

324 36

9

3

k k

k k

k

k

k

+

= ⋅

=

=

=

cmr

cmH

632

2137

=⋅=

=⋅=

3

2

2

756

216

cmV

V

HrV

π

π

π

=

⋅⋅=

=

cmH

H

rH

11

532

52

=

+⋅=

+=

3

2

2

99

113

cmV

V

HrV

π

π

π

=

⋅=

=

5

3) Od drvenog valjka poluprečnika osnove cmr 9= , visine cmH 12= istesana je

najveća moguća pravilna trostrana prizma. Kolika je zapremina odpadaka?

Rešenje:

→ Najveća prizma je ona koja je upisana u valjak

→ Visine prizme i valjka su jednake

→ Zapreminu odpadaka ćemo dobiti kad od zapremine

valjka oduzmemo zapreminu prizme!

cmH

cmr

12

9

=

=

PvOD VVV −=

Nadjimo najpre stranicu prizme.

3

3

39

3

3 27

27

3

27 3

3 3

27 3

3

9 3

o

ar

a

a

a

a

a

a cm

=

=

=

=

= ⋅

=

=

( )

22

22

2

2

3

4

3

4

9 3 312 9

4

243 38112

4

12

OD v P

OD

OD

OD

OD

OD

V V V

aV r H H

aV H r

V

V

V

π

π

π

π

= −

= − ⋅

= −

= −

−=

=324 243 3

4

π −

( )( ) 3

3 81 4 3 3

243 4 3 3

OD

OD

V

V cm

π

π

= ⋅ −

= −

6

4) Izračunati površinu šupljeg valjka čija je visina cmH 25= , poluprečnik

spoljašnjeg omotača cmR 15= , a unutrašnjeg je cmr 6=

Rešenje:

?

6

15

25

___________

=

=

=

=

P

cmr

cmR

cmH

Razmišljamo:

→ Površina šupljeg valjka se sastoji iz omotača većeg valjka, omotača manjeg valjka i

dve baze koje čine kružni prsteni.

Dakle: BMMP 221 ++=

1M → Omotač većeg valjka 2

1 750251522 cmHRM πππ =⋅⋅⋅==

2M → Omotač manjeg valjka 2

2 30025622 cmHrM πππ =⋅⋅⋅==

( ) ( )2 2 2 2 2

2

15 6 189

750 300 2 189

1428

B R r cm

P

P cm

π π π

π π π

π

= − = − =

= + + ⋅

=

7

5) Kvadrat stranice a rotira oko ose koja je od centra kvadrata udaljena za

>2

app . Odrediti zapreminu obrtnog tela ako je osa paralelna stranici kvadrata i

leži u njegovoj ravni.

Rešenje:

Razmišljamo:

→ Na ovaj način smo ustvari dobili šuplji valjak.

→ Poluprečnik osnove većeg valjka je 2

apR +=

→ Poluprečnik osnove manjeg valjka je 2

apr −=

→ Visine oba valjka su iste ako i stranica kvadrata, tj. aH =

→ Zapreminu šupljeg valjka ćemo dobiti kad od zapremine većeg oduzmemo zapreminu

manjeg valjka!

Napomena:

Kao i u prethodnom primeru površina šupljeg valjka se sastoji iz omotača većeg valjka,

omotača manjeg valjka i dve baze koje čine kružni prsteni.

BMMP 221 ++=

( )

−−

+=

−=

−=

−=

22

22

22

21

22

ap

apHV

rRHV

HrHRV

VVV

π

π

ππ

2V H pπ=2

4

apa+ + 2p−

2

4

apa+ −

2

2

2

2

2

V H pa

V paH

V pa a

V a p

πππ

π

= ⋅

=

= ⋅

=

8

6) Osnova prizme je jednakokraki trapez osnovica 8cm i 2cm. U trapez je upisan

valjak. Izračunati razmeru zapremine valjka i zapremine prizme ako je njegova

visina jednaka kraku trapeza.

Rešenje:

?:

2

8

_________

=

=

=

=

PV VV

CH

cmb

cma

Ako pogledamo bazu vidimo da je trapez tangentni

četvorougao (može da se upiše krug) pa je:

Primenom Pitagorine teoreme na trapez:

Površina kruga je:

π2rP = gde je

24

22

cmP

cmh

r

π=

==

Površina trapeza je:

220

42

28

2

cmP

hba

P

=

⋅+

=⋅+

=

cmHcmc

c

c

cba

55

210

228

2

=⇒=

=

=+

=+

cmh

h

h

h

bach

4

16

925

2

285

2

2

2

2

22

2

22

=

=

−=

−−=

−−=

: :

:

20 : 4

5 :

: 5 :

V P V P

V P

V P

V V B H B H

B B

V V

ππ

π

=

=

=

=

=

9

2

2

2

2

3

2

2sin 22 2

4sin 22 2

8sin2 2

V r H

b btgV

tg

b btgV

tg

b tgV

tg

π

απ

β β

απ

β β

π αβ β

=

= ⋅

= ⋅

=

7) Ravan prolazi kroz centar donje osnove kružnog valjka i nagnuta je prema ravni

osnove pod uglom α. Ta ravan seče gornju osnovu po tetivi b, kojoj odgovara

centralni ugao β. Izračunati zapreminu valjka.

Rešenje:

Kod ovog zadatka slika je neophodna i sa nje ćemo uočiti zavisnost izmedju elemenata.

Pošto se zapremina valjka računa HrV π2= , naš “posao” je da r i H izrazimo preko datih

elemenata α, β i b.

Proučimo najpre gornju bazu!!

Onda je:

r

b

2

2sin =

β

2sin2

br

β=

i x

b

tg 2

2=

β

22

bx

tgβ

=

Dalje ćemo izvući polovinu osnog preseka (onu desnu, naravno)

→ odavde je

H

Konačno, zapremina je:

2 22 2

H b btgtg H xtg tg H

xtg tg

αα α α

β β= ⇒ = = ⋅ → =

10

8) Zapremina kosog valjka kod koga izvodnica zaklapa ugao o60=α sa ravni

osnove je 38π=V . Odrediti poluprečnik osnove ako se zna da je osni presek

romb.

Rešenje:

?

38_____________

=

=

r

V π

Izvucimo osni presek “na stranu’’

Odavde je:

a

Ho =60sin

→= oaH 60sin I pošto je ra 2= onda je

Upakujemo ovde dve dobijene jednakosti:

2

2

8 3

3

r H

r r

=

⋅ 8 3=3

3 3

8

2

2

r

r

r

=

=

=

a

a=2r

a

a=2r

a

2

8

V r Hπ

π

=23 r π=

2 8 3

H

r H =

3

2

32

rH

rH

=

⋅=