Download - 2.2 Geometrija in merjenje
![Page 1: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/1.jpg)
2.2 Geometrija in merjenje
2.2.1 Kratko o pouku geometrije
Geometrija ima pomembno mesto v matematiki, ker:• omogoča raziskovanje fizičnega sveta,• se ukvarja z vizualizacijo, risanjem in konstruiranjem
figur,• omogoča reprezentacijo pojmov v matematiki, ki sami
po sebi niso geometrijski,• ker je sama po sebi primer matematičnega sistema in • ker je estetska.
![Page 2: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/2.jpg)
• http://www.mcescher.com/
• http://www.geocities.com/mojsplet8/ven32-prevare/prevare2.html
![Page 3: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/3.jpg)
Geometrija v naši osnovni šoli = učenje o geometrijskih pojmih po načelu 'korak za korakom‘.
Katere prostore, poleg Evklidskega, še poznamo?
![Page 4: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/4.jpg)
Lobachevsky, Bolyai
Riemann
![Page 5: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/5.jpg)
• Topologija: panoga geometrije, ki obravnava topološke lastnosti geometričnih figur, to pomeni take lastnosti, ki se ohranjajo pri zveznih preslikavah (preslikava ne povzroči nobenih pretrganj).
• Möbiusov trak: primer topološke ploskve
![Page 6: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/6.jpg)
• Kleinov program: razvrstitev geometrij glede na transformacije
![Page 7: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/7.jpg)
Fraktalna geometrija
http://colos1.fri.uni-lj.si/~sis/GRAFIKA/FRACTALS/whaiIsFractal.html http://colos1.fri.uni-lj.si/~sis
/GRAFIKA/FRACTALS/CREATING_FRACTALS/creating_fractals.html
![Page 8: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/8.jpg)
Raziskave Piageta: prostorska predstavljivost pri otroku se prične z zaznavanjem preprostih topoloških relacij (trileten otrok nariše kvadrat, trikotnik kot krog (vsi trije so topološko ekvivalentni)), nato s projekcijo in nazadnje z Evklidskim prostorom. Koncept projekcije doda konceptu topologije ‘pogled na stvar’ (predmet). V Evklidskem prostoru pa se otrok ukvarja z razdaljami oz. merjenjem.
![Page 9: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/9.jpg)
Topološko ekvivalentni. Pa jih otrok res zazna tako?
Vir: Dickson, L., Brown, M., Bibson, O. (1991) Children Learning Mathematics. London: Cassell Education.
![Page 10: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/10.jpg)
2.2.2 Proces abstrahiranja pojmov v geometriji:
a) Empirična abstrakcija (v ospredju so objekti in za konstruiranje znanja so pomembne lastnosti teh objektov). Na podlagi fizične izkušnje s predmeti učenec spozna lastnosti predmetov (na primer, ker se valj kotali, ima krivo ploskev).
![Page 11: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/11.jpg)
Pri aritmetiki so v ospredju postopki; govorimo o psevdo-empirični abstrakciji.
Poznamo še refleksivno abstrakcijo; postopki in objekti v neki fazi postanejo sestavni del novega objekta, postopka.
![Page 12: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/12.jpg)
b) Kompleksnost geometrije pa obvladujemo tudi s pomočjo jezika. Zaznavanje oblik je bistveno, vendar le s pomočjo jezika lahko ustvarimo hierarhijo pojmov v geometriji.
Primer: kvadrat je pravokotnik, kvadrat je romb…
![Page 13: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/13.jpg)
Poznamo tri stopnje v pridobivanju geometrijskega znanja po Van Hielu:
• vizualna,• opisna ter • teoretična.
![Page 14: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/14.jpg)
Teoretična stopnjaUčenec zna deduktivno izpeljati relacije med geometrijskimi pojmi oziroma zna
dokazovati v geometriji.Proces učenja
Faze učenja:razlaganje in povezovanje
prosto opazovanjevodeno opazovanje
posredovanje informacijOpisna stopnjaUčenec prepozna geometrijske oblike na podlagi opisa njihovih lastnosti.
Faze učenja:razlaganje in povezovanje
prosto opazovanjevodeno opazovanje
posredovanje informacijVizualna stopnjaUčenec prepozna geometrijske oblike.
![Page 15: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/15.jpg)
Empirična abstrakcija ≈ vizualna stopnja začetno učenje o geometrijskih pojmih izhaja iz konkretnih predmetov oziroma tridimenzionalnih objektov
![Page 16: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/16.jpg)
2.2.3 Metodični koraki poučevanja geometrije 'od telesa k točki‘ na začetku šolanja
• Izkušnje s tridimenzionalnimi modeli.• Povezovanje geometrijskih modelov s predmeti iz
okolice.• Pridobivanje lastnosti geometrijskih modelov.• Izdelovanje modelov geometrijskih teles iz različnih
materialov.• Odtiskovanje, obrisovanje ploskev modelov
geometrijskih teles.
![Page 17: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/17.jpg)
Prednosti obravnave ‘od telesa k točki’:• omogoča mehkejši prehod med predšolskim in
šolskim obdobjem, • zadosti matematičnim kriterijem,• je učencem bolj razumljiva (upošteva učenca in
njegovo razvojno stopnjo).
![Page 18: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/18.jpg)
Vaja za zbranost
![Page 19: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/20.jpg)
Moja zbranost je danes:• 16 t … odlična• 12-15t … zelo dobra• 8-11t … dobra• 1-7t … drugič bo boljša
![Page 21: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/21.jpg)
2.2.4 Geometrijski pojmi v prvih dveh triadahMatematične definicije in opredelitve pojmov za učence• Geometrijsko telo … 1.r. 3. r.: geometrijsko telo, rob, ploskev, oglišče Telo je predmet, ki je omejen s ploskvami, oglišči in
robovi.5.r.: kvader, kocka, mreža kvadra in kockeVsaka kocka je kvader, saj ima vse lastnosti kvadra.Mrežo kvadra oz. kocke pokažemo s primerom (telo
razrežemo vzdolž nekaterih robov).
![Page 22: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/22.jpg)
• Geometrijski lik … 1.r. 3.r.: trikotnik (štirikotnik, petkotnik, šestkotnik…),
skladnosti likov, simetrija (simetrija se obravnava že v 2. razredu)
Lik, ki je omejen s tremi ravnimi črtami, je trikotnik.
Ravne črte, ki omejujejo lik, so stranice. Točke, v katerih se stikata po dve stranici, so oglišča. (Oglišča pri likih ne označimo s križci, zgolj s točko.)
![Page 23: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/23.jpg)
Lika, ki se prekrivata, sta skladna.
Oblika, ki jo lahko prepognemo tako, da dela drug drugega prekrivata, je simetrična. Črta, po kateri obliko prepognemo, je simetrala. (Enaka definicija je v 4.r.)
??Kaj je simetrija? Katere simetrije poznamo? Primer dejavnosti: izrezovanje simetričnih oblik.
![Page 24: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/24.jpg)
4.r.: krog, krožnica, središče, polmer, premer
Krožnica je sklenjena kriva črta, ki omejuje krog.
5.r.: kvadrat, pravokotnik
Kvadrat je štirikotnik. Vse lastnosti pravokotnika ima tudi kvadrat. Kvadrat je pravokotnik.
Vsak pravokotnik ni kvadrat. Vse lastnosti kvadrata niso tudi lastnosti pravokotnika.
![Page 25: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/25.jpg)
6.r.: ravnina, kot, skladnost kotov, notranjost, zunanjost, rob kota, ostri, pravi, topi, iztegnjeni, udrti kot, središčni kot, krožni izsek, krožni lok
Zamislimo si, da ravno ploskev nadaljujemo v vse smeri brez konca, pa dobimo ravnino. Lik je omejen del ravnine.
Poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota.
Tudi dve daljici lahko oklepata kot.
Kota, ki drug drugega prekrivata, sta skladna.
Oznake za kote: , A, ABC
![Page 26: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/26.jpg)
Središčni kot je vsak kot, ki ima vrh v središču kroga.
S krogoma, ki ju prerežemo vzdolž premerov, oblikujemo krožni izsek. Krožnemu izseku pripada središčni kot in krožni lok.
![Page 27: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/27.jpg)
• Črta …enodimenzionalna geometrična zvezna tvorba, 1.r.
1.r. 3.r sled svinčnika
1.r.: ravna, kriva črta2.r.:(sklenjena, nesklenjena, presečišče črt, slednjega ne
poimenujejo, zgolj označijo s križcem in z veliko tiskano črko),
4.r.: premica, daljica, poltrak, vzporednica, pravokotnica, sečnica:
Na obeh straneh neomejeno ravno črto imenujemo premica Oznaka: mala tiskana črka (npr. p, tudi premica AB).
![Page 28: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/28.jpg)
Daljica AB je ravna črta, ki povezuje točki A in B. Točki A in B imenujemo krajišči daljice.
Oznaka: daljica AB (krajišči ponavadi označimo s križci).
Na eni strani omejeno ravno črto imenujemo poltrak.
Oznaka: mala tiskana črka (npr. l), označimo tudi krajišče poltraka.
Dve ravni črti, ki se ne sekata, sta vzporedni. Premici, ki se ne sekata, sta vzporedni.
Oznaka: p II r
![Page 29: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/29.jpg)
Pravokotnosti ne opredelimo (zakaj??), ampak pokažemo s primerom in protiprimerom.
Oznaka: pr
Premici, ki se sekata, sta sečnici.
5.r.: medsebojna lega premice in točke, sekanta, mimobežnica, dotikalnica (tangenta), tetiva
Oznaka: Ap
![Page 30: 2.2 Geometrija in merjenje](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061505/56815027550346895dbe14eb/html5/thumbnails/30.jpg)
Premica, ki seka krožnico, je sekanta krožnice.
Premica, ki s krožnico nima nobenih skupnih točk, je mimobežnica krožnice.
Premica, ki ima s krožnico le eno skupno točko, je dotikalnica te krožnice. Pravimo ji tudi tangenta.
Tetiva je daljica, ki ima krajišči na krožnici.
?? Oznake.