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APLICACIONES DE LA DERIVADAAplicaciones del Cálculo
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Introducción:
xx
h
30 pies
28 pies
12 pies
x
y
(0; 2)
(x; y)d
y = 4 - x2
En nuestro entorno nos encontraremos con situaciones donde tengamos que analizar cuál será la máxima o mínima cantidad en un determinado intervalo. ¿Sabes cómo podremos dar solución a dichas situaciones?
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Capacidades específicas: • Identifica los extremos de una función.• Diferencia cuando una función es creciente o decreciente.• Diferencia la aplicación de la primera y segunda derivada.• Determina cuando una función es cóncava hacia arriba o
abajo.
Capacidad general: • Identifica la aplicación de los criterios de
derivación.
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1.1. Extremos de una funciónSea f(x) función definida en un intervalo I que contiene a c, decimos que:
A
E
D
C
B
F
G
x
y
Ix f(x),f(c) si máximo,un es f(c) 2.Ix f(x),f(c) si mínimo,un es f(c) 1.
Ejemplo: De la grafica indicar cuales de los puntos son máximos y mínimos relativos o absolutos (si los hay)
(A) Es un mínimo absoluto(B y E) Son máximos relativos(D y F) Son mínimos relativosNo tiene máximo absoluto
1. Máximos y Mínimos
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1.2. Puntos críticosDefinición: Sea f una función definida en x = c, f ’(c)=0 o f no es derivable en x = c entonces c es un punto critico de f.
c
f(c)f ’ (c) no existe
c
f(c)f ’ (c) = 0
Teorema:1. Si f ’(x) > 0 en el intervalo <a; b> entonces f(x) es creciente.2. Si f ’(x) < 0 en el intervalo <a; b> entonces f(x) es decreciente.3. Si f ’(x) = 0 en el intervalo <a; b> entonces f(x) es constante.
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Ejemplo: Encontrar los puntos críticos de f (si los hay), determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la función es creciente o decreciente.
2πx0 cosx,xcosh(x) d)x
3xy c)
2x-xg(x) b)
34
xf(x) a)
2
2
24
3
x
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1.3. Criterio de la primera derivadaSea c un punto critico de f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c.1. Si f ’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo en relativo en (c; f(c)).2. Si f ’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo en relativo en (c; f(c)).
(+) (-)
a bc
(+)(-)
a bcMínimo relativo Máximo relativo
Nota: si f ’ (x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo.
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Ejemplo: Aplicar el criterio de la primera derivada para identificar los extremos relativos de una función.
2πx0 cosx;senx yc)x1xg(x) c)
156x-x h(x) b)
34x2xf(x) a)23
2
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1.4. ConcavidadDefinición: Sea f una función derivable en un intervalo abierto I; f es cóncava hacia arriba si f ’ es creciente y f es cóncava hacia abajo si f ‘ es decreciente.
Teorema:1. Si f ’’ (x) > 0 para todo x є I, la grafica de f es cóncava hacia arriba.2. Si f ’’ (x) < 0 para todo x є I, la grafica de f es cóncava hacia abajo.
x
y
x
y
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Ejemplo: Determinar los intervalos en los cuales la grafica de la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
4πx0 ; 2xsen yc)
4x1xg(x) c)
x -x h(x) b)
3xxf(x) a)
2
2
3
2
21
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1.5. Criterio de la segunda derivadaSea f una función tal que f ’(c) = 0 y la f ’’ existe en un
intervalo abierto que contiene a c.
1. Si f ’’(c) > 0 ; entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).2. Si f ’’(c) < 0; entonces f tiene un máximo relativo en (c; f(c)). Teorema: si (c; f(c)) es un punto de inflexión de la grafica de f entonces f ’’(c) = 0 o f ‘’ no existe en x = c. positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo.
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Ejemplo: Aplicar el criterio de la segunda derivada para identificar los extremos relativos de una función.
4πx0 x;-cosx yc)x4xg(x) c)
x)-(6x h(x) b)
24xxf(x) a)32
34
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x
y
3x4xf(x)3
1.
Representar gráficamente cada una de las siguientes funciones:
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x
y
24 2x-xg(x) .2
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x
y
2x3xy .3
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x
y
2πx0 cosx,xCosh(x) 2 .4
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Bibliografía
• George B. Thomas, Jr. Cálculo una Variable
• Larson, Ron (2006). Cálculo. México D.F: McGraw-Hill. (515/L25)
• Stewart, James (2012). Cálculo de una variable . México D.F: Cengage Learning. (515/S79C)