APLICACIONES DE LA DERIVADAAplicaciones del Cálculo

Introducción:

xx

h

30 pies

28 pies

12 pies

x

y

(0; 2)

(x; y)d

y = 4 - x2

En nuestro entorno nos encontraremos con situaciones donde tengamos que analizar cuál será la máxima o mínima cantidad en un determinado intervalo. ¿Sabes cómo podremos dar solución a dichas situaciones?

Capacidades específicas: • Identifica los extremos de una función.• Diferencia cuando una función es creciente o decreciente.• Diferencia la aplicación de la primera y segunda derivada.• Determina cuando una función es cóncava hacia arriba o

abajo.

Capacidad general: • Identifica la aplicación de los criterios de

derivación.

1.1. Extremos de una funciónSea f(x) función definida en un intervalo I que contiene a c, decimos que:

A

E

D

C

B

F

G

x

y

Ix f(x),f(c) si máximo,un es f(c) 2.Ix f(x),f(c) si mínimo,un es f(c) 1.

Ejemplo: De la grafica indicar cuales de los puntos son máximos y mínimos relativos o absolutos (si los hay)

(A) Es un mínimo absoluto(B y E) Son máximos relativos(D y F) Son mínimos relativosNo tiene máximo absoluto

1. Máximos y Mínimos

1.2. Puntos críticosDefinición: Sea f una función definida en x = c, f ’(c)=0 o f no es derivable en x = c entonces c es un punto critico de f.

c

f(c)f ’ (c) no existe

c

f(c)f ’ (c) = 0

Teorema:1. Si f ’(x) > 0 en el intervalo <a; b> entonces f(x) es creciente.2. Si f ’(x) < 0 en el intervalo <a; b> entonces f(x) es decreciente.3. Si f ’(x) = 0 en el intervalo <a; b> entonces f(x) es constante.

Ejemplo: Encontrar los puntos críticos de f (si los hay), determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la función es creciente o decreciente.

2πx0 cosx,xcosh(x) d)x

3xy c)

2x-xg(x) b)

34

xf(x) a)

2

2

24

3

x

1.3. Criterio de la primera derivadaSea c un punto critico de f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c.1. Si f ’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo en relativo en (c; f(c)).2. Si f ’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo en relativo en (c; f(c)).

(+) (-)

a bc

(+)(-)

a bcMínimo relativo Máximo relativo

Nota: si f ’ (x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo.

Ejemplo: Aplicar el criterio de la primera derivada para identificar los extremos relativos de una función.

2πx0 cosx;senx yc)x1xg(x) c)

156x-x h(x) b)

34x2xf(x) a)23

2

1.4. ConcavidadDefinición: Sea f una función derivable en un intervalo abierto I; f es cóncava hacia arriba si f ’ es creciente y f es cóncava hacia abajo si f ‘ es decreciente.

Teorema:1. Si f ’’ (x) > 0 para todo x є I, la grafica de f es cóncava hacia arriba.2. Si f ’’ (x) < 0 para todo x є I, la grafica de f es cóncava hacia abajo.

x

y

x

y

Ejemplo: Determinar los intervalos en los cuales la grafica de la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

4πx0 ; 2xsen yc)

4x1xg(x) c)

x -x h(x) b)

3xxf(x) a)

2

2

3

2

21

1.5. Criterio de la segunda derivadaSea f una función tal que f ’(c) = 0 y la f ’’ existe en un

intervalo abierto que contiene a c.

1. Si f ’’(c) > 0 ; entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).2. Si f ’’(c) < 0; entonces f tiene un máximo relativo en (c; f(c)). Teorema: si (c; f(c)) es un punto de inflexión de la grafica de f entonces f ’’(c) = 0 o f ‘’ no existe en x = c. positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo.

Ejemplo: Aplicar el criterio de la segunda derivada para identificar los extremos relativos de una función.

4πx0 x;-cosx yc)x4xg(x) c)

x)-(6x h(x) b)

24xxf(x) a)32

34

x

y

3x4xf(x)3

1.

Representar gráficamente cada una de las siguientes funciones:

x

y

24 2x-xg(x) .2

x

y

2x3xy .3

x

y

2πx0 cosx,xCosh(x) 2 .4

Bibliografía

• George B. Thomas, Jr. Cálculo una Variable

• Larson, Ron (2006). Cálculo. México D.F: McGraw-Hill. (515/L25)

• Stewart, James (2012). Cálculo de una variable . México D.F: Cengage Learning. (515/S79C)