2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN ESTADO
ESTABLE.
a) LA PARED PLANA
En flujo estable con fuente no distribuida
de energía.
Fluido Fluido
Caliente Ts1 frío
Ts2
T∞1,h1 T∞2,h2
)("
)(
)(
21
21
112
12112
ssx
ssx
sss
sss
TTL
kQ
TTL
kA
dx
dTkAQ
TxL
TTxT
entoncesL
TTCyTC
21
21
1
)()0(
)(
;,0
ss TLTyTTcony
CxCxT
Cdx
dTCteksi
dx
dTk
dx
d
RESISTENCIA TÉRMICA
Haciendo una analogía con el sistema eléctrico:
Re → Resistencia eléctrica; V → Voltaje; I → Intensidad de corriente eléctrica
Rt → Resistencia térmica; T → Temperatura; Q → Calor.
Ah
TT
kALTT
Ah
TTQ
anteriorcircuitoelEn
hAQ
TTRconvecciónEn
kA
L
Q
TTR
A
L
I
VVR
ssssx
stconv
x
sstconde
2
2221
1
11
2121
11
1:
;
CONTINUA RESISTENCIA TÉRMICA
Que representa la resistencia de un circuito de resistencias en serie.
T∞1 Ts1 Ts2 T∞2 T∞1 T∞2
1/h1A L/kA 1/h2A Rtot
AhkAL
AhR
R
TTQ
TTdeostérEn
tot
totx
21
21
21
11
)(
)(min
xQ
xQ
PARED COMPUESTA
Para una pared compuesta.
A B C
Ts1 T2
T3 Ts2
T∞1, h1 T∞4;h4
fluido fluido
caliente x frío
Si; U = Coeficiente global de transferencia de calor, se define:
AkL
TT
Ah
TTQ
AhAk
L
Ak
L
Ak
L
AhR
dondeR
TTQ
AA
ssx
C
C
B
B
A
At
tx
21
1
11
41
41
1
11
;
UAQ
TRR
hkLkLkLh
ARU
x
ttot
CCBBAA
t
1
11
1
1
41
TUAQ x
CIRCUITO TÉRMICO EN PARALELO
Una pared compuesta como se muestra
A B D
T1 T2
C
El circuito térmico es
RB
RA RD
T1 T2
RC
Se puede representar como:
RA Req RD
Donde.
Y también:
CB
CBeq RR
RRR
DeqAtot RRRR
RESISTENCIA DE CONTACTO
Cuando se tienen dos superficies en contacto, debido a sus irregularidades, se presentan
secciones en donde se tienen caídas de temperatura entre estas dos superficies y por lo
tanto, una resistencia térmica llamada resistencia de contacto ( R”tc). El valor de esta
resistencia depende de la presión a que están unidas esta dos superficies, su material y del
tipo de fluido entre estas irregularidades.
A B
TA
TB
R”tc depende de:
* Acabado superficial
* Presión de contacto. x
* Fluido entre irregularidades
RA R”tc RB
xQ"
x
BAtc
Q
TTR
""
Ejemplo 2.1. El vidrio de ventana trasera de un carro de vidrio de 4 mm espesor, es desempañada por una resistencia eléctrica en su superficie interna. Determine la potencia eléctrica por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura de 15 0C. La temperatura interior es de 25 0C y hi = 10 w/m2k, al exterior -10 0C y he = 65 w/m2k
SE CONOCE: Temperatura deseada vidrio y
condiciones interior y exterior de un carro.
SE BUSCA: Potencia por unidad de área para
mantener esa temperatura deseada.
SE ASUME:,Flujo unidimensional, estado estable
Propiedades constantes, radiación y resistencia
de película despreciables.
ESQUEMA.
Aire interior Aire del ambiente
Td
vidrio
T∞i T∞
hi he
Propiedades: Vidrio a 300 0K; k = 1.4 w/m 0K
ANÁLISIS. El circuito Térmico:
T∞i Tsi T∞e
1/hiA L/kA 1/heA
"eQ
eQ"
"Q
CTQconNota
mw
h
TT
hkL
TTQ
hkL
TTQ
h
TT
sie
i
sii
e
esie
e
esie
i
sii
0
2
6.4;0":
/127011
"
1"
1
b) SISTEMAS RADIALES
Un problema común es tener un cilindro hueco
cuyas superficies interior y exterior están a
fluidos de diferentes temperaturas.
L d2
d1
fluido fluido
caliente frío
T∞1 h1 Ts1 Ts2 T∞2 h2
En estado estable y sin generación.
Si k = Cte, integrando dos veces:
Con las condiciones de que:
01
dr
dTkr
dr
d
r
21 ln CrCrT
rLhRy
Lk
rr
R
quelopor
rr
TTLkQ
Tr
r
rrTT
rT
CrCTyCrCT
TrTyTrT
tconvtcond
ssr
sss
ss
ss
2
1
2
ln
ln
)(2
lnln
lnln
1
2
1
2
21
22
2
1
21
22122111
2211
CILINDRO HUECO COMPUESTO (TUBO)
Un tubo con dos capas de otros materiales
T3 Ts4
T2 B C T∞4, h4
r1 A r2 r3
r4
T∞1, h1
Ts1
Considerando el concepto de resistencia
térmica en sistemas radiales, se puede
deducir la ecuación del calor radial como:
Otra forma:
44
3
4
2
3
1
2
11
41
21
2
ln
2
ln
2
ln
21
LhrLk
rr
Lk
rr
Lk
rr
Lhr
TTQ
CBA
r
1
44332211
1lnlnln
11
4141
:
)(
4
1
13
41
2
31
1
21
1
t
r
r
hr
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
h
totr
R
AUAUAUAUquecumpleSe
U
TTUAR
TTQ
CBA
EL RADIO CRÍTICO
Cuando se usa un aislante en un cilindro o un tubo, se reducen las pérdidas de Calor, se incrementa la
resistencia de conducción. También se tiene el efecto de incrementar el área transferencia de calor por
convección reduciendo la resistencia exterior de la película. Estos efectos se deben cuando al variar el
radio exterior del aislante. Considerando un tubo con una capa de aislante.
T∞1h1 T∞3 , h3
ra
r2 L
Suponiendo que T1 = T2 = T∞t y que h1 y kt son muy grandes T1
T2T3
r1
r
3
3
2
31
:2
12
ln
h
krr
obtieneseceroaigualandoerarespectoderivandoLhrLk
rr
TTQ
acríticoa
a
aa
a
r
aislanteytubodadesConductivikyk
LhrLk
rr
Lk
rr
Lhr
TTQ
at
aa
a
t
r
3
21
2
11
31
21
2
ln
2
ln
21
LA ESFERA HUECA
Aplicando este método a una esfera
Hueca, para un volumen de control
Diferencial, la conservación de la energía
requiere que.
r
Ts1 Ts2
dr
En estado estable, unidireccional sin
generación de energía.
Si la Rt se define como la diferencia de
Temperaturas dividida por la razón de calor.
rQ
drrQ
drrr QQ
CteyrQQcondr
dTrk
dr
dTkAQ
r
r
)(
)4( 2
hrrrk
TTQ
hrR
rrkR
rr
TTkQ
CtekdTTkr
drQ
tconv
tcond
ssr
r
r
T
T
rs
s
2221
12
22
21
21
21
2
4111
41
4
1
11
4
1
11
)(4
;)(4
2
1
2
1
Ejemplo 2.2. Se tiene un tubo de vapor de diámetro exterior de 120 mm y aislado con silicato de calcio con 20 mm. Las temperaturas Ts1 = 800 0K y Ts2 = 490 0K. Encuentre el calor radial / m.
SE ASUME: Condición de estado estable, unidimensional y k = Cte
PROPIEDADES: k = 0,089 w/m K.
DIAGRAMA:
Ts2 ANÁLISIS
Ts1
Vapor
D1 = 0.12 m
D2 = 0.16 m COMENTARIO: El calor transferido fuera de la superficie es disipado a los alrededores
por convección y radiación.
mwQ
TTk
L
r
D
D
ssrr
/603ln
)490800)(089.0(2´
ln
)(2´
12.0
16.0
1
2
21
c) CONDUCCIÓN CON GENERACIÓN DE ENERGÍA TÉRMICA
La pared plana.
→ Energía uniforme Gen / Vol T∞1 ; h1 T∞2 ; h2
Si k = Cte
Ts1
q
Ts2
x
q
221
2)(
22;
2
)(;)(;2
0
21122
22
2122
121
21212
2
2
ssss
L
x
ssss
ss
TT
L
xTT
k
qLxT
TTL
k
qC
L
TTC
TLTTLTCxCxk
qT
k
q
dx
Td
CASO ESPECIAL
Cuando: Ts1 = Ts2 = Ts
-L x L
T∞ h q T∞ h
Qcond
Qconv
T0
Ts Ts
Note que en x = 0 no hay transferencia de
Calor a través del plano, puede representarse por una
superficie adiabática. En x = L
Qcond Qconv
T0 q Ts T∞ h
x L
2
0
0
2
0
2
22
)(2
)0(
12
)(
L
x
TT
TxT
Tk
qLTT
Tk
qLxT
s
s
sL
x
00
xdx
dT
h
LqTT
L
x
k
qL
dx
dT
xTdoconsideranTThdx
dTk
sLx
sLx
;)2
(2
)()(
2
2
CASO DE SISTEMAS RADIALES CON GENERACIÓN TÉRMICA
El cilindro. El modelo matemático es: Evaluando en r = 0; fluido frío T∞ ,h Ts
T(r = 0) = T0 Qr
r0
L
Relacionando Ts a la temperatura del fluido frío T∞
s
s
sr
Tr
r
k
rqrT
Crk
qTC
TrTdr
dTCI
CrCrk
qrT
Crk
q
dr
dTr
k
q
dr
dTr
dr
d
r
20
220
1202
00
212
12
14
)(
0;4
)(;0:
ln4
)(
2
01
00
1)(
r
r
TT
TrT
s
s
20
2200
0
020
142
)(
2
))(2()2(
r
r
k
rq
h
rqTrT
h
rqTT
TTLrhLrq
s
s
Ejemplo 2.3. Se tiene un conductor de cobre calibre 12 (2.33 mm de diámetro). La resistividad del cobre es de 1.73 x 10-8 Ώm, la conductividad térmica es de 380 w/mK y el coeficiente de transferencia de calor de 10 10 w/m2 k. Determine la ecuación en función de la corriente eléctrica de la diferencia de temperaturas máxima y del ambiente.
Para un cilindro la temperatura T( r ) tiene
su valor máximo en el centro, cuando r = 0
Se puede calcular el radio crítico si se forra
el conductor con un material que tenga por
ejemplo una ka = 0.11 w/mK.
Es interesante evaluar ΔT para este caso
del conductor aislado.
CeniT
xx
xiT
hr
k
kr
iTTT
r
i
Lr
Riqpero
k
rq
h
rqTTrT
e
ee
02
3232
82
020
2
max
220
2
20
2
200
max
1079.0
10165.110
38021
38010165.14
1073.1
21
4
:
42)0(
mmh
kR acrítico 11
10
11.0
d) ANÁLISIS DE ALETAS
Se usan aletas para incrementar el área de
contacto del fluido enfriador y así no
incrementar “h” por aumento de potencia.
dQconv
Qx dx
dAx Ac(x)
x Qx+dx
Haciendo el balance de energía:
Es la ecuación generalizada de una aleta
dxdx
QdQQ
SecciónA
dx
dTkAQ
QdQQ
xxdxx
c
cx
convdxxx
0)(11
0)(
.);(.
2
2
TTdx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td
TTdx
dA
k
h
dx
dTA
dx
d
difáreadATTdAhQd
dxdx
dTA
dx
dk
dx
dTkAQ
s
c
c
c
sc
ssconv
ccdxx
ALETAS DE SECCIÓN UNIFORME
Cuando se tienen aletas como en el
Diagrama Qconv
fluido
T(0) = Tb ; T∞ → fluido T∞ , h
Tb t
Ac = Cte Ac
As = Px Qf w
x
L P = 2w+2t
P → Perímetro Qconv Ac= wt
d
As → área de base a “x” L P = πd
Qf Ac =πd2/4
Def.
0)(
mod;0
2
2
TTkA
hP
dx
Td
quedaeloeldx
dA
c
c
:;
)0(
)(
;0
;)()(
21
222
tieneSeLxcony
TTCon
CCx
kA
hPmm
dx
d
dx
dT
dx
dTxTx
bb
mxmx
c
CASO (A) Convección en el filo de la aleta
El calor fluye por conducción en la aleta y pasa
a convección en su filo como muestra la figura
Qconv
Tb
Qb = Qf
Resolviendo para C1 y C2
Se nota que el gradiente de temperatura
decrece con “x” por la pérdida continua de
calor por convección en caras de la aleta.
Af → Área total de aleta incluyendo el filo de la aleta.
])([
TLThAdx
dTkA c
Lxc
)()(
)(
])([
2121
21
mLmLmLmL
b
Lx
Lxcc
CCkmCCh
CCdx
dTkLh
dx
dTkATLThA
mLSenhmkh
mLCosh
xLmSenhmkh
xLmCosh
b ..
)(.)(.
sAA sf
bcf
xc
xcfb
dAxhdATxThQ
mLSenhmkh
mLCosh
mLCoshmkh
mLSenhhPkAQ
dx
dkA
dx
dTkAQQ
ff
)()(
..
..
00
OTROS CASOS DEL ANÁLISIS DE LA ALETA
CASO (B). Si la convección en el filo del aleta
es despreciable, se trata como adiabático.
NOTA. Para usar los resultados del análisis
del CASO (A), se tiene que en la práctica es
válido si (mL) < 2.65. Si (mL) ≥ 2.65 se puede
usar la aproximación infinita.
CASO ( C). Θ(L) = θL
CASO ( D ). L → ∞ ; θL → omLTanhhPkAQ
mxCosh
xLmCosh
dx
d
bcf
b
Lx
.
.
)(.
0
mLSenh
mLCoshhPkAQ
mLSenh
xLSenhmxSenh
bLbcf
bL
b
.
.
.
)(.
bcf
mx
b
hPkAQ
EJEMPLO 2.4. Una barra de bronce de 0.1 m largo y 0.005 m diámetro, se extiende horizontalmente de una fundición a Tb = 200 0C.La barra está en el ambiente a T∞ = 200 C y h = 30 w/m2 K. ¿ cual es la temperatura de la barra a 0.025, 0.050 y 0.1 m ?. Bronce a 110 0C; k = 133 w/mK
Diagrama. L = 0.1 m
Aire a T∞ y h x1 = 0.025 m,
x2 = 0.050 m
Tb d
x1 x2 L
x :
Evaluando.
b
c
mLSehmkh
mLCosh
xLmSenhmkh
xLmCosh
mLconmx
x
kd
h
dk
dh
kA
hPm
..
)(.)(.
34.143.13005.0133
304
4
4
121
21
21
2
21
)180(07.2
)(.0168.0)(.
18020200:
0168.0005.0133
3078.1.;04.2.
xLmSehxLmCosh
cony
xmk
hmLSenhmLCosh
b
X(m)
Cosh.
m(L-x)
Senh.
m(L-x)
θ T(0 )
X1 1.55 1.19 136.5 156.5
X2 1.24 0.725 108.9 128.9
L 1.00 0.00 87.0 107.0
RENDIMIENTO DE ALETAS
Rendimiento de una aleta
εf → Efectividad. Relación de la transferencia
de calor de la aleta a la razón de calor
transferido si no existiera la aleta. εf > 2 para
justificar las aletas.
En caso ( D )
El rendimiento se puede evaluar en términos de resistencia térmica.
Acb → Área de sección transversal de aleta en su base.
Eficiencia de una aleta “ηf”.
Af → Área de la superficie de la aleta.
Aleta recta, área transversal uniforma y filo
adiabático.
Filo adiabático, sección recta o cilíndrica
2
1
cf hA
kP
tconv
tcondf
cbtconv
f
btcond
R
R
hARy
QR
1
ff
fff hA
Q
Q
Q
max
LmL
mLTanh
hPL
mLMTanhf
bf ;10;
..
c
cf
bccf
c
c
mL
mLTanhhPkAMmLMTanhQ
cilíndricaSeccd
LL
rectaSecct
LL
..;.
4
2
RENDIMIENTO DE ALETAS II
Errores con la aproximación despreciables si: Aleta sección transversal no-uniforme:
Caso de secc. anular; Ac = 2πrt, varía con “r ”
Reemplazando “r” por “x” en Ec. de calor.
2
3
2
1
2
1
2
12
1
2
2
2
0625.02
cp
c
cp
c
c
ccc
c
LkA
hmL
tLAconyL
Lporndomultiplica
Lkt
hL
kA
hPmL
ywPtwSi
k
hdó
k
ht
clasesegundayprimeraceroordenBesseldefuncionesKyI
mrKCmrICrsolución
mdr
d
rdr
d
TTykt
mcon
SupladeÁrearrA
TTkt
h
dr
dT
rdr
Td
s
00
0201
22
2
2
21
2
2
2
)()()(:
01
2
2
0)(21
RENDIMIENTO DE ALETAS III
Eficiencia secc transversal no uniforme
t
r2c = r2 + t/2
r1 L Lc = L + t/2
Ap = Lct
r2
aletadetérmicasistenciahA
R
mrKmrImrImrK
mrKmrImrImrK
rrm
r
rrh
Q
mrKmrImrImrK
mrKmrImrImrKmtkr
dr
dtrk
dr
dTkAQ
mrImrKmrKmrI
mrImrKmrKmrI
fftaleta
b
ff
b
rrrrcbf
b
Re1
)()()()(
)()()()(
)(
2
)(2
)()()()(
)()()()()2(
)2(
)()()()(
)()()()(
21102110
2111211121
22
121
22
21102110
211121111
1
21102110
210210
11
EFICIENCIA DE SUPERFICIE GLOBAL
Se tienen “N” aletas en un equipo térmico, la eficiencia de superficie global es:
)1(1
exp
max
fT
fo
bbbffT
T
bfT
f
bf
ffo
A
NA
hAhANQ
ÁreaTotalAaletasdeNúmeroN
ANAA
uestaporciónÁreaaletadeÁreaA
hA
Q
Q
Q
Problema: Vapor de agua fluye por tubo Dext = D1 = 3 Cm a T = 120 0C. El tubo tiene aletas circulares de Al (k = 180 w/m 0C) de D2 = 6 Cm y espesor, t = 2 mm. El espacio entre aletas es de 3 mm por lo que son 200 aletas/m. El aire exterior está a T∞ = 25 0C, h = 60 W/m2 K. Determine el incremento de la TC del tubo/m por la adición de las aletas.
Análisis:
Si no se tienen aletas:
Asa = πD1L = π (0.03)(1) = 0.0942 m2
Para aletas circulares sujetas a un tubo en
una gráfica se tiene:
Con estos datos en la gráfica de eficiencia para esta aleta:
η = 0.96
La TC en parte libre de aletas es:W
TThAQ bsasa
537
)25120)(0942.0(60)(
07.2)102.3(80
60)016.0(
07.2015.0
031.0
102.3)002.0(016.0016.0015.0031.003.0
015.)03.006.0()(
52
33
2
2
252
002.0
2
2
002.0
222
2
1122
1
2
xkA
hL
r
r
mxtLAmLLmrr
mDDL
p
c
cp
tc
tc
c
W
TThAQQ
mrrA
baletaaletaaletaaleta
caleta
3.25)25120)(004624.0)(60(96.0
)(
004624.0)015.0031.0(2)(2
max
22221
22
10537
5380
48435375380
5380)6.13.25(200)(200
/200
6.1
)25120)(000283.0(60)(
000283.0)003.0)(03.0( 21
sa
Taleta
saTincremento
librealetaT
blibrelibre
libre
Q
Q
WQQQ
WQQQ
maletastienenSe
W
TThAQ
mSDA