Download - 当 R 3 , 有 X =( x , y , z ) , d = d v
d)(Xf
当 R3 ,有 X=(x, y, z) , d = dv
则
vzyxf d),,( 三重积分
1. 直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下,记体积元素
dv=dxdydz
dz
dy dxy
x
z
0 则
zyxzyxfvzyxf ddd),,(d),,(
§9-3. 三重积分
zyxzyxf ddd),,(
yxzzyxfD
yxz
yxzdd]d),,([
),(
),(
2
1
zzyxfyxyxz
yxz
xy
xy
b
ad),,(dd
),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
x
y
z
0
z=z2(x, y)
z=z1(x, y)
D
(1) 化成一个定积分和一个二重积分
zzyxfyxyxz
yxzD
d),,(dd),(
),(
2
1
设 D 为 在 xy 平面上投影区域 .
思考问题
y=y1(x) ba
y=y2(x)
z
x
y
x+y+z=1
0
例 1. 计算 ,ddd
zyxx 其中是由平面 x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域 .
解: D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1
zyxx ddd
yxx
zxyx1
0
1
0
1
0ddd
24
1
1
1
Dx+y=1
x
y
yx
D
zxyx1
0ddd
例 2. 计算 ,ddd)cos(
zyxzxy 其中 是由抛物
柱面 xy 及平面 y=0, z=0, 所围闭区域2
yx
,ddd)cos(
zyxzxy
x
D
zzxyyx 20
d)cos(dd
解: D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤x2
xx
zzxyyx 200
20
d)cos(dd
2
1
16
2
y
xz 2
x
z
0
xy
D
02
y
x
y=y1(x, z)
z
0
y=y2(x, z)Dxz
y
zyxzyxf ddd),,(
),(
),(
2
1
d),,(ddzxy
zxyD
yzyxfzxxz
x
x=x2(y, z)
z
0
x=x1(y, z)
Dyz
y
x
zyxzyxf ddd),,(
),(
),(
2
1
d),,(ddzyx
zyxD
xzyxfzyyz
例 3. 将
zyxzyxf ddd),,( 化为三次定积分,其中
是由 z= x2+y2 和 z=1 所围的闭区域 .
解:先对 z 积分,将 向 xy 平面投影 .
z= x2+y2 x2+y2=1
D: x2+y2≤1
z=1
z=1
x
y
z
0 1Dxy
z=1
z= x2+y2
zyxzyxf ddd),,(
11
1
1
1 22
2
2 d),,(ddyx
x
xzzyxfyx
x
y
z
0 1Dxy
z=1
z= x2+y2
解 2:先对 y 积分,将 向 xz 平面投影:
z= x2+y2
Dxy: x2 ≤z ≤ 1,
z=1
1 ≤x≤1
z= x2+y2 2xzy
2
22 d),,(ddddd),,(11
1
xz
xzxyzyxfzxzyxzyxf
x
y
z
0
Dxz
1
12xzy
2xzy
思考问题 先对 x 积分,怎样做?
(2) 化为一个二重积分和一个定积分
zyxzyxf ddd),,(
zyxzyxfzD
z
zd]dd),,([
)(
2
1
)(
dd),,(d2
1zD
z
zyxzyxfz
:(x, y)D(z), z1≤z≤z2
0
x
z
y
z2
z
z2
D(z)
例 4. 计算 ,dd
yxz 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1
所围成的闭区域 .
x
y
z
0 1
D(z)
1
解: D(z): x2+y2≤z
z[0, 1]
1
0dddd zzzyxz
)(
ddzD
yx
1
0dzzz
1
0
3
3
z3
zz 2)(
例 5. 计算
解: D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy
z
x
y0
1
1
1
x : 0 ≤ x ≤ 1
1
0dddd xxzyxx
1
0
2 )d(12
1xxx
24
1
)(
ddxD
zy
2)1(2
1x
,ddd
zyxx 其中 是由平面 x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域 .
D(x)
z=1xy
x
y
0
1x
1x
2. 三重积分的换元公式
设变换 T : x=x(u, v, w)
y=y(u, v, w)
z=z(u, v, w)
将 uvw 空间中的有界闭域 * 变成 xyz 空间中的有界闭域 ,且满足
(1) x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(*)
(2) (u, v, w)* 有
),,(
),,(
wvu
zyx
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
0
(3) T : * 是一一对应
若 f (x, y, z)C( ) ,则
zyxzyxf ddd),,(
*
ddd),,(
),,()),,(),,,(),,,(( wvu
wvu
zyxwvuzwvuywvuxf
3. 利用柱面坐标计算三重积分
M (r, , z)
x=rcos
y=rsin
z=z
(0≤r<+, 0≤≤2, <z<+)
r
z
M•
0
x
z
yy
x
柱面坐标的三组坐标面分别为
r= 常数 r= 常数
= 常数= 常数
z= 常数z= 常数
x
y
z
o
),,(
),,(
zr
zyx
r
x
r
y
r
z
x
y
z
z
x
z
y
z
z
= r
100
0cossin
0sincos
r
r
故 dxdydz=rdrddz
zrrzrrfzyxzyxf ddd),sin,cos(ddd),,(*
例 1. 计算 ,ddd22
zyxyxz 其中 由 22 yxz
与 z=1 所围闭区域 .
解:
D: x2+y2≤1
22 yxz
z =1
22 yxz z =r
122 yx
z =0
x
y
z
0D
z=r
z=1
zrzrzyxyxz dddddd*
222
11
0
22
0ddd
rzzrr
rr
r d2
)1(2
1
0
22
15
2
12 dddr
D
zzrr
x
y
z
0
z=r
z=1
1D
例 2. 计算 ,ddd
zyxz ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解: D: x2+y2≤1
221 yxz 21 rz
zrzrzyxz dddddd*
21
0
1
0
2
0ddd
rzzrr
rr
r d2
)1(2
1
0
2
4
思考问题
21
0dd
r
D
zzrdr x
y
z
0 1
21 rz
例 3. 再解例 1 ,ddd22
zyxyxz 其中是 由
22 yxz 与 z=1 所围闭区域 .
解:用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
原积分 =*
2 ddd zrzr
)(
22
0ddd
D
zrzrx
y
z
11
0
22
0d
rzdzrrd
x
z
)(
22
0ddd
D
rzr
y
15
2
D( )
z
1
r0
z= r
1
例 4. 再解例 2 ,ddd
zyxz
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解:用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
原积分 =*
ddd zrzr
)(
2
0ddd
D
zrzrx
y
z
0
21
0
1
0
2
0ddd
rzzrr
.4
x
y
z
0
21 rz
01
1
r
z
)(
2
0ddd
D
rzr
4. 利用球面坐标计算三重积分
M (r, ,)
x=OPcos
z= r cos
(0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)
y= OPsin
• M
0
z
x
y
r
Px
y
z
= r sin cos
= rsin sin
球面坐标的三组坐标面:
r = 常数 = 常数 = 常数
dxdydz= r2sin drdd
sin),,(
),,( 2rr
zyx
dddsin)cos,sinsin,cossin(
ddd),,(
*
2
rrrrrf
zyxzyxf
z
x
y
例 5. 计算 ,ddd
zyxz
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解: x2+y2+z2=1 r=1
而 0≤ ≤2 故用 = 截 得 D()
原积分
*
2 dddsincos rrr
)(
32
0ddsincosd
D
rr
x
y
z
0
x
y
z
0z
)(
32
0ddsincosd
D
rr
1
0
320
2
0ddsincosd rr
1
0
42
0
2
42
sin2
r
4
01
1 r=1
例 6. ,ddd)( 222
zyxzyx 22 yxzΩ 是由其中
和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域 .
解: x2+y2+z2=a2 r=a
22 yxz .4
原积分
*
22 dddsin rrr
)(
42
0ddsind
D
rr
z
y
xa
z
y
xa
)(
42
0ddsind
D
rr
a
rr0
440
2
0ddsind
)22(5
1 5 ar=a
4
z
例 7. 计算 ,dd)d,,(
zyxzyxf
次积分,其中 为 x2+y2+(z1)2≤1.
解: x2+y2+(z1)2≤1 r=2cos
cos2
0
2
0
2
0,cossin(dd rf
x
y
z
0
表为球坐标系中的三
zyxzyxf ddd),,(
思考问题
1. 若 : x2+(y -1) 2+z2≤1 ?
z
y
2. ?
rrrr dsin)cos,sinsin 2