Download - Средние величины
Средние величины
Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.
Объективность и типичность статистической средней обеспечивается лишь при определенных условиях
Первое условие
Средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности. Для получения однородной совокупности необходима группировка данных, поэтому расчет средней должен сочетаться с методом группировок.
Второе условие
Для исчисления средних должны быть использованы массовые данные.
В средней величине, исчисленной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных), колебания в величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются и проявляется общее свойство (типичный размер признака) для всей совокупности.
Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.
Общие средние для однородной совокупности должны дополняться групповыми средними, характеризующими части совокупности
Две категории средних
степенные средние; структурные средние.
Степенные средние
средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая.
Структурная средняя
характеризует состав статистической совокупности по одному из варьирующих признаков.
К этим средним относятся мода медиана.
Виды средних величин
различаются тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
Средняя арифметическая.
Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным, т.е. - это среднее слагаемое.
Средняя арифметическая простая. осредняемый признак называется
вариантой и обзначается
средняя величина из вариант
обозначается
число вариант - частота -
ix
xnf
Определить среднюю заработную плату рабочих бригады.
Порядковый номер рабочего Месячная зарплата, у.е.
1 493
2 561
3 609
4 718
5 850
6 894
7 901
8 1070
9 1203
10 1251
всего 8550
В данном примере вариантой является зарплата каждого работника.
Общая сумма зарплаты - это фонд заработной платы, который может быть записан алгебраически:
где i = от 1 до n.
in xxxxx ...321
Расчет можно выполнить по следующей формуле
Вставленная функция в EXCEL
AVERAGE ( )
у.е. 85510
8550
n
xx i
Средняя арифметическая взвешенная
расчитывается, когда частоты не равны между собой
В этом случае совокупность сгруппирована и представлена в виде ряда распределения
i
ii
f
fxxвз
Возрастной состав бригады рабочих
ВозрастКоличество
человекx f
26 224 321 223 6
итого 13
Средний возраст рабочих бригады
Или расчет по формуле средней взвешенной
года 4,236232
6*232*213*242*26вз
x
4,2313
232323232323
21212424242626
x
Расчет средней арифметической в интервальном ряду, задача 8.
Группы рабочих по количеству произведенной
продукции, шт., x
Число рабочих
, f
середина интервала,
x'
3-5 10 4
5-7 30 6
7-9 40 8
9-11 15 10
11-13 5 12
Итого 100 -
Задача 8.
Каждый рабочий за смену производит в среднем 7,5 деталей
шт. 5,7100
750
100
12*515*1040*830*610*4'вз
f
fxx
Свойства средней арифметической
1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна 0;
2. если от каждой варианты вычесть или к каждой варианте прибавить какое-либо произвольное постоянное число, то средняя уменьшится или увеличится на это же число;
3. если каждую варианту разделить или умножить на какое-либо произвольное число, то средняя уменьшается или увеличивается во столько же раз;
4. если все частоты разделить на какое-либо число, то средняя не изменится. Это свойство дает возможность абсолютное значение частот заменять их удельными весами.
Свойство 1
ВозрастКоличество
человекОтклонение от
средней
x f
26 2 5,231
24 3 1,846
21 2 -4,769
23 6 -2,308
итого 13 0
fxx
Свойство 2
ВозрастКоличество
человекВозраст
x f x+10=x’ x’f
26 2 36 72
24 3 34 102
21 2 31 62
23 6 33 198
итого 13 434
средняя 33,385
Свойство 3
ВозрастКоличество
человекВозраст
x f x/10=x’ x’f
26 2 2,6 5,2
24 3 2,4 7,2
21 2 2,1 4,2
23 6 2,3 13,8
итого 13 30,4
средняя 2,338
Свойство 4
ВозрастКоличество
человекВозраст
x f f/2=f’ xf’
26 2 1,0 26
24 3 1,5 36
21 2 1,0 21
23 6 3,0 69
итого 13 6,500 152
средняя 23,385
Средняя гармоническая
является преобразованной средней арифметической. Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.
Применяется тогда, когда необходимые веса в исходных данных не заданы непосредственно. Они могут входить множителем в один из имеющихся показателей.
Средняя гармоническая простая
Встроенная фукция в EXCEL
HARMEAN ( )
x
nгарx
1
Например, автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скростью 40 км/час, а обратно - 60 км/час. Какова средняя скорость автомобиля?
Время поездок есть
тогда
21x
s
x
s
21x
s
x
s
x
s
x
s
Сократив все члены равенства на s, получим
21
1111
xxxx
Таким образом выполняется условие гармонической средней.
км/час 48
60
1
40
12
x
отсюда 60
1
40
12
x
Средняя гармоническая взвешенная.
Применяется в тех случаях, когда известен объем совокупности и групповая средняя.
Средняя гармоническая взвешенная.
номер цеха
средняя зарплата
за сентябрь
x
фонд зарплаты
M = xf
1 208 27040
2 220 26840
3 340 28900
итого - 324340
Средняя гармоническая взвешенная.
рабочих число
всего зарплаты фондx
3 ц срзпл
3 ц фзпл
2 ц срзпл
2 ц фзпл
1 цеха зарплата средняя
1 цеха зарплаты фондвсего зарплаты фонд
x
Средняя зарплата за сентябрь
x
MM
xгар
6,245
340
28900
220
26840
208
27040289002684027040
гар
x
Правило мажорантности средних
кубквадрарифгеом ххххx гарм
86,27
20
5
1
2
12
гарм
x
05,45,662
5233
33
куб
x
5,32
52
арифx