Средние величины

Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.

Объективность и типичность статистической средней обеспечивается лишь при определенных условиях

Первое условие

Средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности. Для получения однородной совокупности необходима группировка данных, поэтому расчет средней должен сочетаться с методом группировок.

Второе условие

Для исчисления средних должны быть использованы массовые данные.

В средней величине, исчисленной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных), колебания в величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются и проявляется общее свойство (типичный размер признака) для всей совокупности.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Общие средние для однородной совокупности должны дополняться групповыми средними, характеризующими части совокупности

Две категории средних

степенные средние; структурные средние.

Степенные средние

средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая.

Структурная средняя

характеризует состав статистической совокупности по одному из варьирующих признаков.

К этим средним относятся мода медиана.

Виды средних величин

различаются тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средняя арифметическая.

Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным, т.е. - это среднее слагаемое.

Средняя арифметическая простая. осредняемый признак называется

вариантой и обзначается

средняя величина из вариант

обозначается

число вариант - частота -

ix

xnf

Определить среднюю заработную плату рабочих бригады.

Порядковый номер рабочего Месячная зарплата, у.е.

1 493

2 561

3 609

4 718

5 850

6 894

7 901

8 1070

9 1203

10 1251

всего 8550

В данном примере вариантой является зарплата каждого работника.

Общая сумма зарплаты - это фонд заработной платы, который может быть записан алгебраически:

где i = от 1 до n.

in xxxxx ...321

Расчет можно выполнить по следующей формуле

Вставленная функция в EXCEL

AVERAGE ( )

у.е. 85510

8550

n

xx i

Средняя арифметическая взвешенная

расчитывается, когда частоты не равны между собой

В этом случае совокупность сгруппирована и представлена в виде ряда распределения

i

ii

f

fxxвз

Возрастной состав бригады рабочих

ВозрастКоличество

человекx f

26 224 321 223 6

итого 13

Средний возраст рабочих бригады

Или расчет по формуле средней взвешенной

года 4,236232

6*232*213*242*26вз

x

4,2313

232323232323

21212424242626

x

Расчет средней арифметической в интервальном ряду, задача 8.

Группы рабочих по количеству произведенной

продукции, шт., x

Число рабочих

, f

середина интервала,

x'

3-5 10 4

5-7 30 6

7-9 40 8

9-11 15 10

11-13 5 12

Итого 100 -

Задача 8.

Каждый рабочий за смену производит в среднем 7,5 деталей

шт. 5,7100

750

100

12*515*1040*830*610*4'вз

f

fxx

Свойства средней арифметической

1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна 0;

2. если от каждой варианты вычесть или к каждой варианте прибавить какое-либо произвольное постоянное число, то средняя уменьшится или увеличится на это же число;

3. если каждую варианту разделить или умножить на какое-либо произвольное число, то средняя уменьшается или увеличивается во столько же раз;

4. если все частоты разделить на какое-либо число, то средняя не изменится. Это свойство дает возможность абсолютное значение частот заменять их удельными весами.

Свойство 1


человекОтклонение от

средней

x f

26 2 5,231

24 3 1,846

21 2 -4,769

23 6 -2,308

итого 13 0

fxx

Свойство 2


человекВозраст

x f x+10=x’ x’f

26 2 36 72

24 3 34 102

21 2 31 62

23 6 33 198

итого 13 434

средняя 33,385

Свойство 3



x f x/10=x’ x’f

26 2 2,6 5,2

24 3 2,4 7,2

21 2 2,1 4,2

23 6 2,3 13,8

итого 13 30,4


Свойство 4



x f f/2=f’ xf’

26 2 1,0 26

24 3 1,5 36

21 2 1,0 21

23 6 3,0 69

итого 13 6,500 152


Средняя гармоническая

является преобразованной средней арифметической. Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.

Применяется тогда, когда необходимые веса в исходных данных не заданы непосредственно. Они могут входить множителем в один из имеющихся показателей.

Средняя гармоническая простая

Встроенная фукция в EXCEL

HARMEAN ( )

x

nгарx

1

Например, автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скростью 40 км/час, а обратно - 60 км/час. Какова средняя скорость автомобиля?

Время поездок есть

тогда

21x

s

x

s

21x

s

x

s

x

s

x

s

Сократив все члены равенства на s, получим

21

1111

xxxx

Таким образом выполняется условие гармонической средней.

км/час 48

60

1

40

12

x

отсюда 60

1

40

12

x

Средняя гармоническая взвешенная.

Применяется в тех случаях, когда известен объем совокупности и групповая средняя.


номер цеха

средняя зарплата

за сентябрь

x

фонд зарплаты

M = xf

1 208 27040

2 220 26840

3 340 28900

итого - 324340


рабочих число

всего зарплаты фондx

3 ц срзпл

3 ц фзпл

2 ц срзпл

2 ц фзпл

1 цеха зарплата средняя

1 цеха зарплаты фондвсего зарплаты фонд

x

Средняя зарплата за сентябрь

x

MM

xгар

6,245

340

28900

220

26840

208

27040289002684027040

гар

x

Правило мажорантности средних

кубквадрарифгеом ххххx гарм

86,27

20

5

1

2

12

гарм

x

05,45,662

5233

33

куб

x

5,32

52

арифx

Средние величины

Documents