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第二节 二次型• 二次型的定义• 矩阵的合同• 用拉格朗日配方法化二次型为标准形• 用合同变换法化二次型为标准形
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一、二次型的定义
1. 引言 在解析几何中 为了便于研究二次曲线
ax2bxycy21
的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换
cossinsincos
yxyyxx
把方程化为标准形mx2ny21
化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项
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2. 二次型的定义 含有 n 个变量 x1 x2 xn 的二次齐次多项式 f(x1 x2 xn)a11x1
2 2a12x1x2 + 2a13x1x3 2a1n
x1xn
+a22x22 2a23x2x3 2a2nx2
xn
annxn2
称为二次型
令 aijaji 则
nnnnn
n
n
nn
x
xx
aaa
aaaaaa
xxxxxxf
), , ,(), , ,( 2
1
21
22221
11211
2121
fxTAx A 是一个 对称矩阵 对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 f 也叫做对称矩阵 A
的二次型 对称矩阵的秩就叫做二次型 f 的秩
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注
二次型的标准形与规范形
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycxycycycx
2211
22221212
12121111
xCy
如果二次型的标准形形如fy1
2y22 yp
2yp12 yn
2
则这种标准形称为二次型的规范形
这种只含平方项的二次型 称为二次型的标准形 ( 或法式 )
对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 xCy 使二次型只含平方项
fk1y12k2y2
2 knyn2
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• 根据二次型与其矩阵的对应关系,该问题也就是:
对一个实对称矩阵 A , 寻求一个可逆矩阵 C ,使
CTAC =∧
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1. 定义 A 、 B 为 n 阶方阵,若有可逆矩阵 C 使 BCT
AC 则称矩阵 A 与 B 合同 记为:
二、合同矩阵
2. 性质 ( 1 )基本性质:自反、对称、传递 ( 2 )合同变换不改变矩阵的秩; ( 3 ) 若 A 为对称阵 则 BCTAC 也为对称阵。 事实上 BT(CTAC)TCTATCCTACB 即 B 为对称阵 又因为 BCTAC 而 C 可逆 从而 CT 也可逆 即 R(B)R
(A)
A B
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根据矩阵合同的定义,将二次型化为标准形的问题即是: 对于实对称矩阵 A, 求一个可逆矩阵 C ,使 A 合同于对角矩阵∧,即
1
T 2A Λ
n
kk
C C
k
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提示
例 1 化二次型 f 为标准形 并求所用的变换矩阵 其中fx1
22x225x3
22x1x22x1x36x2x3
配方可得 fx1
22x1x22x1x32x225x3
26x2x3
解
(x1x2x3)2(x22x3)
2 (x1x2x3)
2
(x1x2x3)2
x224x2x34x3
2
x22x3
22x2x3
由于 f 中含变换 x1 的平方项 故把含 x1 的项归并起来
2x225x3
26x2x3
三、用配方法化二次型成标准形
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例 1 化二次型 f 为标准形 并求所用的变换矩阵 其中fx1
22x225x3
22x1x22x1x36x2x3 配方可得 fx1
22x1x22x1x32x225x3
26x2x3
解
就把 f 化成标准形 ( 规范形 ) f y12y2
2
(x1x2x3)2(x22x3)
2
所用变换矩阵为
100210111
C (|C|10)
令
33
322
32112
xyxxyxxxy 即
33
322
32112
yxyyxyyyx 令
33
322
32112
xyxxyxxxy 即
33
322
32112
yxyyxyyyx
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提示
例 2 化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中
f2x1x22x1x36x2x3
f 中不含平方项 令 x1y1y2 x2y1y2
则 x1x2y 12y
22
出现了平方项。
解
33
212
211
yxyyxyyx
先作变换
可得 f2y122y2
24y1y38y2y3
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提示
例 2 化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中
f2x1x22x1x36x2x3 解
33
212
211
yxyyxyyx
先作变换
可得 f2y122y2
24y1y38y2y3
f2y122y2
24y1y38y2y3
2(y1y3)2 2y2
28y2y32y32
2(y1y3)22(y22y3)
2 6y32
再配方 得 f2(y1y3)
22(y22y3)26y3
2
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解
33
212
211
yxyyxyyx
可得 f2y122y2
24y1y38y2y3
先作变换
令
33
322
311
6)2(2)(2
yzyyzyyz
即
33
322
321
61
62
21
61
21
zy
zzy
zzy
就把 f 化成规范形fz1
2z22z3
2
所用的变换矩阵为
6100
61
21
21
63
21
21
C
例 2 化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中
f2x1x22x1x36x2x3
再配方 得 f2(y1y3)
22(y22y3)26y3
2