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第二节 二次型• 二次型的定义• 矩阵的合同• 用拉格朗日配方法化二次型为标准形• 用合同变换法化二次型为标准形

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一、二次型的定义

1. 引言 在解析几何中 为了便于研究二次曲线

ax2bxycy21

的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换

cossinsincos

yxyyxx

把方程化为标准形mx2ny21

化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项

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2. 二次型的定义 含有 n 个变量 x1 x2 xn 的二次齐次多项式 f(x1 x2 xn)a11x1

2 2a12x1x2 + 2a13x1x3 2a1n

x1xn

+a22x22 2a23x2x3 2a2nx2

xn

annxn2

称为二次型

令 aijaji 则

nnnnn

n

n

nn

x

xx

aaa

aaaaaa

xxxxxxf

), , ,(), , ,( 2

1

21

22221

11211

2121

fxTAx A 是一个 对称矩阵 对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 f 也叫做对称矩阵 A

的二次型 对称矩阵的秩就叫做二次型 f 的秩

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注

二次型的标准形与规范形

nnnnnn

nn

nn

ycycycx

ycycycxycycycx

2211

22221212

12121111

xCy

如果二次型的标准形形如fy1

2y22 yp

2yp12 yn

2

则这种标准形称为二次型的规范形

这种只含平方项的二次型 称为二次型的标准形 ( 或法式 )

对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 xCy 使二次型只含平方项

fk1y12k2y2

2 knyn2

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• 根据二次型与其矩阵的对应关系，该问题也就是：

对一个实对称矩阵 A , 寻求一个可逆矩阵 C ，使

CTAC =∧

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1. 定义 A 、 B 为 n 阶方阵，若有可逆矩阵 C 使 BCT

AC 则称矩阵 A 与 B 合同 记为：

二、合同矩阵

2. 性质 （ 1 ）基本性质：自反、对称、传递 （ 2 ）合同变换不改变矩阵的秩； （ 3 ） 若 A 为对称阵 则 BCTAC 也为对称阵。 事实上 BT(CTAC)TCTATCCTACB 即 B 为对称阵 又因为 BCTAC 而 C 可逆 从而 CT 也可逆 即 R(B)R

(A)

A B

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根据矩阵合同的定义，将二次型化为标准形的问题即是： 对于实对称矩阵 A, 求一个可逆矩阵 C ，使 A 合同于对角矩阵∧，即

1

T 2A Λ

n

kk

C C

k

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提示

例 1 化二次型 f 为标准形 并求所用的变换矩阵 其中fx1

22x225x3

22x1x22x1x36x2x3

配方可得 fx1

22x1x22x1x32x225x3

26x2x3

解

(x1x2x3)2(x22x3)

2 (x1x2x3)

2

(x1x2x3)2

x224x2x34x3

2

x22x3

22x2x3

由于 f 中含变换 x1 的平方项 故把含 x1 的项归并起来

2x225x3

26x2x3

三、用配方法化二次型成标准形

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例 1 化二次型 f 为标准形 并求所用的变换矩阵 其中fx1

22x225x3

22x1x22x1x36x2x3 配方可得 fx1

22x1x22x1x32x225x3

26x2x3

解

就把 f 化成标准形 ( 规范形 ) f y12y2

2

(x1x2x3)2(x22x3)

2

所用变换矩阵为

100210111

C (|C|10)

令

33

322

32112

xyxxyxxxy 即

33

322

32112

yxyyxyyyx 令

33

322

32112

xyxxyxxxy 即

33

322

32112

yxyyxyyyx

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提示

例 2 化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中

f2x1x22x1x36x2x3

f 中不含平方项 令 x1y1y2 x2y1y2

则 x1x2y 12y

22

出现了平方项。

解

33

212

211

yxyyxyyx

先作变换

可得 f2y122y2

24y1y38y2y3

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提示

例 2 化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中

f2x1x22x1x36x2x3 解

33

212

211

yxyyxyyx

先作变换

可得 f2y122y2

24y1y38y2y3

f2y122y2

24y1y38y2y3

2(y1y3)2 2y2

28y2y32y32

2(y1y3)22(y22y3)

2 6y32

再配方 得 f2(y1y3)

22(y22y3)26y3

2

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解

33

212

211

yxyyxyyx

可得 f2y122y2

24y1y38y2y3

先作变换

令

33

322

311

6)2(2)(2

yzyyzyyz

即

33

322

321

61

62

21

61

21

zy

zzy

zzy

就把 f 化成规范形fz1

2z22z3

2

所用的变换矩阵为

6100

61

21

21

63

21

21

C

例 2 化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中

f2x1x22x1x36x2x3

再配方 得 f2(y1y3)

22(y22y3)26y3

2