![Page 2: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/2.jpg)
Циклические слова
Циклическое слово (последовательность) — это обычное слово, «замкнутое в круг»:
кролик
(Формально: циклическое слово — это класс эквивалентности обычных слов относительно циклического сдвига)
к
к
р
о
ли
![Page 3: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/3.jpg)
Циклические слова
Разные «линейные» слова могут порождать одно и то же циклическое слово:
кроликроликколиккрликкроиккролккроли
к
к
р
о
ли
![Page 4: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/4.jpg)
Циклические слова
Можно мыслить и наоборот: одно циклическое слово порождает много линейных.
кроликроликколиккрликкроиккролккроли
к
к
р
о
ли
![Page 5: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/5.jpg)
Циклические слова
А сколько линейных слов порождает одно циклическое слово?
кроликроликколиккрликкроиккролккроли
варварарварврварва
в
р
а
р
ва
к
к
р
о
ли
![Page 6: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/6.jpg)
Циклические слова
![Page 7: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/7.jpg)
Циклические слова
![Page 8: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/8.jpg)
Число циклических слов
![Page 9: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/9.jpg)
Число циклических слов
не знаем
![Page 10: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/10.jpg)
Формула обращения Мѐбиуса
![Page 11: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/11.jpg)
Функция Мѐбиуса
![Page 12: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/12.jpg)
Функция Мѐбиуса
![Page 13: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/13.jpg)
Доказательство формулы Мѐбиуса
![Page 14: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/14.jpg)
Применение формулы Мѐбиуса
![Page 15: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/15.jpg)
Число циклических слов
![Page 16: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/16.jpg)
Число циклических слов
![Page 17: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/17.jpg)
Разбиения чисел на слагаемые
![Page 18: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/18.jpg)
Разбиения чисел на слагаемые
![Page 19: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/19.jpg)
Упорядоченные разбиения
![Page 20: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/20.jpg)
Рекуррентное соотношение для числа упорядоченных разбиений
![Page 21: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/21.jpg)
Неупорядоченные разбиения
Задача. Сколькими способами можно разменять 50 рублей монетами достоинством в 10, 5, 2 и 1 рубль?
Математическая постановка.Найти количество способов представить число 50 в виде суммы слагаемых, каждое из которых равно 1, 2, 5 или 10.(Порядок слагаемых не учитывается.)
![Page 22: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/22.jpg)
Неупорядоченные разбиения
![Page 23: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/23.jpg)
Рекуррентное соотношение для числа упорядоченных разбиений
![Page 24: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/24.jpg)
Доказательство соотношения
![Page 25: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/25.jpg)
Рекуррентное соотношение для числа упорядоченных разбиений
![Page 26: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/26.jpg)
Формула Харди—Рамануджана
![Page 27: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/27.jpg)
Диаграммы разбиений
![Page 28: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/28.jpg)
Диаграммы разбиений
Диаграмма: Двойственная диаграмма(транспонируем матрицу):
![Page 29: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/29.jpg)
Диаграммы разбиений
![Page 30: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/30.jpg)
Диаграммы разбиений
![Page 31: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/31.jpg)
Теорема Эйлера
![Page 32: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/32.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера
Доказательство:
Диаграмма разбиения на различные слагаемые представляет собой набор трапеций. Укажем преобразование, меняющее чётность количества строк в диаграмме…
![Page 33: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/33.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:преобразования диаграмм
![Page 34: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/34.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:преобразования диаграмм
![Page 35: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/35.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:преобразования диаграмм
![Page 36: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/36.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:преобразования диаграмм
![Page 37: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/38.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:случай, когда есть биекция
![Page 39: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/39.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:иллюстрации
Разбиения с нечётнымчислом слагаемых
Разбиения с чётнымчислом слагаемых
![Page 40: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/40.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:случай, когда нет биекции
![Page 41: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/41.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:иллюстрации
Разбиения с нечётнымчислом слагаемых
Разбиения с чётнымчислом слагаемых
???
![Page 42: Обращение Мёбиуса. Разбиения чисел на слагаемые](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062220/559bbb701a28abad1a8b4659/html5/thumbnails/42.jpg)
Доказательство теоремы Эйлера:случай, когда нет биекции