dosen

Calculus 1 Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Lecture 4. Limit C A. Infinite Limits

Definisi 4.1 Notasi

lim () = Menyatakan bahwa nilai () membesar tanpa batas jika nilai semakin dekat dengan , tetapi tidak sama dengan .

lim () = lim () =

Definisi 4.2 Notasi lim () = Menyatakan bahwa nilai () mengecil tanpa batas jika nilai semakin dekat dengan , tetapi tidak sama dengan .

Definisi yang sama dapat diberikan untuk limit tak hingga sepihak.

berarti mendekati dari sebelah kiri, yaitu semua nilai lebih kecil dari .

berarti mendekati dari sebelah kanan, yaitu semua nilai lebih besar dari .


Definisi 4.3. Garis = disebut asimtot tegak (vertical asymptote) dari kurva = () jika minimal dipenuhi salah satu pernyataan berikut:

lim () = lim () = lim () = lim () = lim () = lim () =

Contoh 1. Tentukan lim .

Penyelesaian: Dicari limit dengan pendekatan numerik dan grafik:

Perhatikan bahwa jika nilai semakin dekat dengan 0, maka nilai

sema-kin besar tanpa batas.

Contoh 2. Tentukan lim dan lim .

Penyelesaian: Jika dekat dengan 3 tetapi lebih besar dari 3, maka 3 merupakan bila-ngan positif yang kecil dan 2 dekat dengan 6. Sehingga

merupakan

bilangan positif yang besar: lim = . Jika dekat dengan 3 tetapi lebih kecil dari 3, maka 3 merupakan bila-ngan negatif yang kecil dan 2 dekat dengan 6. Sehingga

merupakan

bilangan negatif yang besar: lim = .


Garis = 3 merupakan asimtot tegak (vertical asymtote).

B. Limits at Infinity

Definisi 4.4 Diberikan fungsi yang terdefinisi pada interval (,). Maka lim () = menyatakan bahwa nilai () dapat dibuat sedekat mungkin dengan jika mengambil nilai cukup besar ( membesar tanpa batas).

lim () = Definisi 4.5 Diberikan fungsi yang terdefinisi pada interval (,). Maka lim () = menyatakan bahwa nilai () dapat dibuat sedekat mungkin dengan jika mengambil nilai semakin mengecil tanpa batas.

lim () =

Definisi 4.6. Garis = disebut asimtot datar (horizontal asymptote) dari kurva = () jika minimal dipenuhi salah satu pernyataan berikut: lim () = atau lim () =


Contoh. Tentukan limit tak hingga (infinite limits), limit di tak hingga (limits at infinite), dan asimtot dari grafi fungsi berikut.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa nilai () semakin besar jika 1 dari kedua sisi, sehingga diperoleh

lim () = . Nilai () semakin kecil tanpa batas (membesar ke arah negatif) jika mendekati 2 dari kiri, tetapi semakin besar jika mendekati 2 dari kanan, yaitu

lim () = dan lim () = . Dengan demikian, garis = 1 dan = 2 merupakan vertical asymptotes.

Jika semakin besar, maka nilai () semakin mendekati 4. Tetapi jika semakin mengecil ke arah negatif, maka nilai semakin mendekati 2, sehingga diperoleh lim () = 4 dan lim () = 2.

Dengan demikian, garis = 4 dan garis = 2 merupakan horizontal asymptotes.

Sifat. Jika bilangan bulat positif, maka lim = 0 dan lim = 0

Contoh 1. Tentukan nilai dari lim .

Penyelesaian: Pembilang dan penyebut dibagi dengan dengan derajat tertinggi yang ada pada penyebut, yaitu .


Contoh 2. Evaluasi nilai dari lim( + 1 ).

Penyelesaian:

C. Infinite Limits at Infinity

Notasi berikut: lim () = Menyatakan bahwa nilai () semakin besar jika semakin besar. Pernya-taan yang hampir sama juga berlaku untuk notasi-notasi berikut. lim () = lim () = lim () =


Contoh 1. Tentukan lim( ).

Penyelesaian: Tidak boleh ditulis: lim( ) = lim lim

= . Aturan limit tidak dapat digunakan karena bukan suatu bilangan (

tidak dapat didefinisikan). Tetapi kita dapat menulis: lim( ) = lim ( 1) = , karena dan 1 semakin membesar.

Contoh 2. Tentukan lim .

Penyelesaian: Pembilang dan penyebut dibagi dengan dengan derajat tertinggi yang ada pada penyebut, yaitu . lim = lim

= .

dosen

Documents