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DOMANDE DI TEORIA
1. Il primo principio della Termodinamica e le sue conseguenze. Il primo principio della termodinamica puΓ² essere formulato in due diversi modi:
Per tutti i processi adiabatici che avvengono tra due specificati stati di un sistema termodinamico chiuso, il lavoro netto scambiato col sistema Γ¨ lo stesso considerando la natura del processo e la natura del sistema
Qualunque coppia di stati A1 e A2 di un sistema A puΓ² essere interconnessa mediante un processo meccanico e indicando con (π§2 β π§1) la variazione di quota prodotta da questo processo di un grave di massa m immerso in un campo gravitazionale di accelerazione costante g, il prodotto ππ(π§2 β π§1) assume lo stesso valore per tutti i processi meccanici che interconnettono i due stati A1 e A2.
La principale conseguenza del primo principio della termodinamica Γ¨ il principio di conservazione dellβenergia secondo cui lβenergia non si crea nΓ© si distrugge ma si trasforma soltanto. Lβenergia risulta dunque essere una proprietΓ dello stato termodinamico che puΓ² essere misurata se Γ¨ noto un valore di riferimento πΈ0: πΈ1 = πΈ0 βππ(π§1 β π§0)
2. Il secondo principio della Termodinamica e le sue conseguenze. Il secondo principio della termodinamica afferma che Γ¨ sempre possibile, mediante un processo meccanico reversibile, raggiungere uno stato di equilibrio stabili con valori arbitrariamente fissati di energia, quantitΓ di costituenti e parametri. Le conseguenze del secondo principio sono 4:
Enunciato di Kelvin-Planck = partendo da uno stato di equilibrio stabile non Γ¨ possibile estrarre energia meccanica senza lasciare tracce nellβambiente
Negli stati di equilibrio instabile esiste una certa quantitΓ di energia, nota come disponibilitΓ adiabatica, che puΓ² essere trasferita ad un grave mediante un processo meccanico
La quantitΓ di energia inutile presente in uno stato di equilibrio instabile Γ¨ detta entropia
Γ sempre possibile stabilire il verso in cui puΓ² avvenire un processo meccanico tra due stati
3. Definizione di disponibilitΓ adiabatica e di energia disponibile rispetto ad un serbatoio, schematizzazione su diagramma U-S. Si definisce disponibilitΓ adiabatica la massima quantitΓ di energia che puΓ² essere trasferita ad un grave mediante un processo meccanico reversibile partendo da uno stato di equilibrio instabile. Si definisce invece energia disponibile rispetto ad un serbatoio la massima quantitΓ di energia che puΓ² essere trasferita ad un grave, in un processo meccanico per il sistema composto AR, senza modificare i valori della quantitΓ di costituenti e parametri del sistema A e del serbatoio R.
4. Definizione di entropia. Si definisce entropia la massima quantitΓ di energia che non puΓ² essere trasferita ad un grave mediante un processo meccanico. Lβentropia gode di alcune proprietΓ :
AdditivitΓ = considerati due sistemi diversi tra loro A e B e il sistema composto C, formato dall'insieme dei due sistemi, si ha che l'entropia di C Γ¨ uguale alla somma del l'entropia di A e quella di B
Principio di non decrescita = afferma che l'entropia puΓ² solo aumentare. Tale principio fissa il verso in Γ¨ possibile che avvenga un processo meccanico S2 > S1 (ππππ)12 = 0 processo irreversibile S2 = S1 (ππππ)12 > 0 processo reversibile
5. I principi della massima entropia e della minima energia. Il principio della massima entropia afferma che tra tutti gli stati termodinamici con fissati i valori di quantitΓ di costituenti, parametri ed energia, quello di equilibrio stabile Γ¨ quello con la massima entropia possibile. Il principio della minima energia invece afferma che tra tutti gli stati termodinamici con fissati i valori di quantitΓ di costituenti, parametri ed entropia, quello di equilibrio stabile Γ¨ quello con la minima energia possibile.
6. Il principio di stato e la relazione fondamentale (forma energetica ed entropica) per un sistema termodinamico. Il principio di stato afferma che tra gli stati con gli valori di energia, quantitΓ di costituenti e parametri, uno e uno solo Γ¨ di equilibrio stabile, per la seconda legge della termodinamica; perciΓ² il valore di ogni proprietΓ del sistema in uno stato di equilibrio stabile Γ¨ univocamente determinato dai valori di energia, quantitΓ di costituenti e parametri. Il principio di stato applicato alla proprietΓ di entropia fornisce la relazione fondamentale: Forma entropica: π = π(π, π1, β¦ , ππ , π½1, β¦ , π½π ) Forma energetica: π = π(π, π1, β¦ , ππ , π½1, β¦ , π½π )
7. Rappresentazione dello stato termodinamico (equilibrio e non equilibrio) di un sistema su un diagramma U-S, rappresentazione grafica di disponibilitΓ adiabatica o di energia disponibile.
8. Equazione di Eulero (ipotesi di partenza, significato e/o utilitΓ ). Tutte le variabili che compaiono nella relazione fondamentale sono variabili estensive del sistema. Considerando ora un sistema A in equilibrio e suddividendolo in π sottosistemi identici tutti in mutuo equilibrio tra loro, Γ¨ possibile riscrivere le proprietΓ della relazione fondamentale come:
ππ΄ = ππ ππ΄ = ππ ππ΄ = ππ ππ΄π = πππ
ππ΄ = π(ππ΄, ππ΄ , ππ΄π) = ππ(π, π,ππ)
πππ΄ππ
= (πππ΄πππ΄
)ππ΄,ππ΄π
βπππ΄ππ
+ (πππ΄πππ΄
)ππ΄,ππ΄π
βπππ΄ππ
+β(πππ΄ππππ΄
)ππ΄,ππ΄
βππππ΄ππ
π
π=1
=
= ππ΄π β ππ΄π +βπππ΄ππ =
= ππ β ππ +βππ ππ = π
ππ΄ = (πππ΄πππ΄
)ππ΄,ππ΄π
= [π(ππ)
π(ππ)]ππ,πππ
= (ππ
ππ)π,ππ
= π
Tale equazione Γ¨ nota come equazione di Eulero e permette di esprimere una dipendenza tra le variabili intensive e le variabili estensive del sistema in suo stato di equilibrio.
9. Relazione di Gibbs-Duhem (ipotesi, significato e utilitΓ ). Consideriamo un sistema monocomponente. La relazione di Gibbs-Duhem che si ottiene sottraendo alla relazione fondamentale differenziale in forma energetica la relazione di Eulero differenziata permette di descrivere completante lo stato di un sistema conoscendo solo (n+1) proprietΓ intensive.
ππ = πππ β πππ +βπππππ
π
π=1
πππ πΈπ’π = ππ β ππ +βππ ππ
ππππ πΈπ’π = πππ + πππ β πππ β πππ +βπππππ
π
π=1
+βπππππ
π
π=1
ππ β ππππ πΈπ’π = πππ β πππ +βπππππ
π
π=1
= β
10. Trasformata di Legendre e sua applicazione per ricavare uno dei potenziali termodinamici (F, H, G). La relazione fondamentale Γ¨ espressa in variabili estensive che perΓ² non solo facilmente rappresentabili o misurabili, al contrario invece di quelle estensive come temperatura e pressione. Le trasformate di Legendre hanno lo scopo di scrivere la relazione fondamentale in funzione di uno o piΓΉ variabili intensive. Il problema di voler sostituire una variabile estensiva con una intensiva Γ¨ equivalente al sostituire la variabile x nella funzione π¦ = π¦(π‘) con la funzione ππ¦/ππ₯. Applicando la trasformata di Legendre alla relazione fondamentale Γ¨ possibile ricavare dei potenziali termodinamici:
Energia libera di Helmoltz (F) = si ottiene applicano la trasformazione di Legendre alla relazione fondamentale in forma energetica, sostituendo lβentropia con la temperatura:
π = π(π, π) π = πΉ +ππ
πππ
ππ
ππ= π πΉ = πΉ(π, π) = π β ππ
ππΉ = ππ β πππ β πππ = πππ β πππ β πππ β πππ = βπππ β πππ
Entalpia (H) = si ottiene applicano la trasformazione di Legendre alla relazione fondamentale in forma energetica, sostituendo la pressione con il volume:
π = π(π, π) π = π» βππ
πππ β
ππ
ππ= π π» = π»(π, π) = π + π
ππ» = πππ β πππ + πππ + πππ = πππ + πππ
Energia libera di Gibbs (G) = si ottiene applicano la trasformazione di Legendre alla relazione fondamentale in forma energetica, sostituendo la pressione con il volume e sostituendo lβentropia con la temperatura:
π = π(π, π) π = πΊ βππ
πππ +
ππ
πππ β
ππ
ππ= π
ππ
ππ= π πΊ = πΊ(π, π) = π» β ππ
ππΊ = πππ + πππ β πππ β πππ = πππ β πππ
11. Teorema di Schwartz e suo utilizzo per ricavare le relazioni di Maxwell. Il teorema di Schwartz stabilisce che lβrodine di determinazione in una derivata parziale mista Γ¨ irrilevante, quindi se in un punto π₯0, π¦0 le derivate prime sono continue, per la funzione π = π(π₯, π¦) vale:
π2π
ππ₯ππ¦=π2π
ππ¦ππ₯
Applicando tale teorema ai potenziali termodinamici si ricavano le equazioni di Maxwell:
1Β° equazione di Maxwell:
π = π(π, π) ππ = πππ β πππ π2π
ππππ=
π2π
ππππ (
ππ
ππ)π= β(
ππ
ππ)π
2Β° equazione di Maxwell:
πΉ = πΉ(π, π) ππΉ = βπππ β πππ π2πΉ
ππππ=
π2πΉ
ππππ (
ππ
ππ)π= (
ππ
ππ)π
3Β° equazione di Maxwell:
π» = π»(π, π) ππ» = πππ + πππ π2π»
ππππ=
π2π»
ππππ (
ππ
ππ)π= (
ππ
ππ)π
4Β° equazione di Maxwell:
πΊ = πΊ(π, π) ππΊ = πππ β πππ π2πΊ
ππππ=
π2πΊ
ππππ (
ππ
ππ)π= β(
ππ
ππ)π
12. Processo di scambio termico isobaro reversibile (derivazione di Cp e di alfa P). (Da dimostrare e commentare) Prendiamo in considerazione un sistema costituito da un cilindro-pistone su cui insiste una pressione costante ed a cui viene fornito calore in modo reversibile. Misurando le variazioni di volume e temperatura tra due stati di equilibrio del processo reversibile di scambio termico Γ¨ possibile determinare il calore specifico a pressione costante per unitΓ di massa o mole:
ππ =1
π(πππππ£
ππ)π
ππβ =
1
π(πππππ£
ππ)π
Analizziamo ora i bilanci di entalpia ed entropia:
Entalpia:
dπ» = πππ + πππ = πππ = πππππ£ ππ = (ππ»
ππ)π
ππβ =
1
ππ (
ππ»
ππ)π
Bilancio entropico:
dπ» = πππ = πππππ£ ππ =1
ππ (
ππ
ππ)π
ππβ =
1
ππ (
ππ
ππ)π
In processo isobaro Γ¨ anche possibile determinare il coefficiente volumetrico di dilatazione termica che descrive come varia il volume del sistema al variare della temperatura quando le pressioni sono mantenute costanti:
πΌπ =1
π£(ππ£
ππ)π= π (
ππβ1
ππ)π
= βπ(πβ2ππ
ππ)π
= β1
π(ππ
ππ)π
Per i gas ideali: π£ =π π
π
1
π£=
π
π π (
ππ£
ππ)π=
π
π πΌπ =
1
π£(ππ£
ππ)π=
π
π π
π
π=
1
π
13. Processo isotermo reversibile (derivazione di kT e della legge di Boyle). (Da dimostrare e commentare) Consideriamo un processo isotermo reversibile. Durante tale processo il sistema Γ¨ mantenuto a temperatura costante poichΓ© in contatto con un serbatoio termico a temperatura costante. Si misuri quindi la variazione di pressione del sistema per unβassegnata variazione di volume. Facendo per esempio espandere il sistema in maniera molto lenta, tramite dunque un processo quasi statico, il sistema scambia reversibilmente πππππ£
con lβambiente. La grandezza fisica che si puΓ² stimare durante questo processo Γ¨ nota come coefficiente di comprimibilitΓ isoterma, funzione di temperatura e pressione con gli altri tre coefficienti:
ππ = β1
π£(ππ£
ππ)π
Per un gas ideale si ha: π£ =π π
π (
ππ£
ππ)π= β
π π
π2 ππ = β
1
π£(ππ£
ππ)π= β
π π
πβ (β
π π
π2) =
1
π
La variazione di pressione per una determinata variazione di volume, lungo una trasformazione isoterma può essere determinata considerando il differenziale della funzione T=T(P,v), così che:
ππ = (ππ
ππ)π£ππ + (
ππ
ππ£)πππ£
ππ = β
β = (ππ
ππ)π£ππ + (
ππ
ππ£)πππ£
πππΌπππ +
1
π£πΌπππ£ = β
ππ =πΌπ
ππβ (β
1
π£πΌπ)ππ£ = β
1
π£ππππ£
Per un gas ideale Pv=RT, πΌπ = 1/π e ππ = 1/π si ha che:
π
πππ +
π
π£ππ£ = β
ππ
π+ππ£
π£= β
β«ππ
π+ β«
ππ£
π£= β
log π + log π£ = πππ π‘
ππ£ = πππ π‘
14. Legge di Mayer generalizzata e sua declinazione per i gas ideali. (Da dimostrare e commentare) La legge di Mayer Γ¨ il legame tra calore specifico a volume costante e calore specifico a pressione constate, entrambi funzione di T e P. Partendo dalla definizione di cv si ha:
ππ£ = (πππππ£ππ
)π= π (
ππ
ππ)π= π
π(π , π£)
π(π, π£)= π
π(π , π£)
π(π, π)βπ(π, π)
π(π, π£)= (
ππ
ππ£)πβπ(π , π£)
π(π, π)π = β
π
π£ππ
π(π , π£)
π(π, π)
Sviluppiamo ora questo jacobiano residuo:
π(π , π£)
π(π, π)= ||
(ππ
ππ)π
(ππ
ππ)π
(ππ£
ππ)π
(ππ£
ππ)π
|| = (ππ
ππ)πβ (ππ£
ππ)πβ (
ππ
ππ)πβ (ππ£
ππ)π=
=π
π(ππ
ππ)πβπ£
π£(ππ£
ππ)πβ [β(
ππ£
ππ)πβ (ππ£
ππ)π] = β
ππ
ππ£ππ + π£
2πΌπ2
Quindi si ha che:
ππ£ = βπ
π£ππβ (β
ππ
ππ£ππ + π£
2πΌπ2) = ππ β
ππ£πΌπ2
ππ
Per i gas ideali invece:
ππ£ = ππ βππ£π
π2= ππ β
π π
π= ππ β π
ππ = ππ£ + π
15. Variazione di volume adiabatica reversibile ed applicazione ai gas ideali. (Da dimostrare e commentare) Si prenda ora in considerazione il sistema cilindro-pistone che scambia lavoro in modo reversibile con lβambiente. Durante questo processo si misurano le variazioni di volume e pressione del sistema e dunque lβentropia puΓ² essere descritta come funzione di queste due variabili. Il processo Γ¨ adiabatico e quasistatico quindi ππ = β :
π = π(π, π)
ππ = (ππ
ππ)π£ππ + (
ππ
ππ£)πππ£
β = (ππ
ππ)π£ππ + (
ππ
ππ£)πππ£
β = β(ππ£
ππ)π ππ + (
ππ
ππ)π ππ£
Utilizzando le proprietΓ del jacobiano e sviluppando il primo termine dellβequazione si ottiene che:
β(ππ£
ππ)π = β
π(π£, π )
π(π, π )=π(π£, π )
π(π , π)βπ(π£, π)
π(π£, π)=π(π£, π )
π(π£, π)βπ(π£, π)
π(π , π)= (
ππ
ππ)π£
π
π (ππ£
ππ )π
(ππ£
ππ )π= (
ππ
ππ)π=π(π, π£)
π(π, π£)βπ(π, π)
π(π, π)=π(π£, π)
π(π, π£π)βπ(π, π)
π(π£, π)= β (
ππ£
ππ)π(ππ
ππ£)π
(ππ
ππ)π= π£ππ β
1
π£πΌπ
β(ππ£
ππ)π =ππ£π
πππΌπ
Il secondo termine (ππ
ππ)π dellβequazione puΓ² invece essere sviluppato come:
π(π, π )
π(π, π )βπ(π, π)
π(π, π)=π(π, π)
π( π, π )βπ(π, π )
π(π, π)= β
π(π, π)
π( π, π )βπ(π , π)
π( π, π)=
= β(ππ
ππ )πβ (ππ
ππ)π= (
ππ
ππ£)π
π£
π£βπ‘
π‘(ππ
ππ)π=
1
π£πΌπβππ
π=
ππ
ππ£πΌπ
Lβespressione inziale diventa allora:
β =ππ£π
πππΌπππ +
ππ
ππ£πΌπππ£
Per i gas ideali si ha quindi che:
β =ππ£π
π
πππ +
πππ
ππ£ππ£
β = ππ£ππ
π+ ππ
ππ£
π£
16. Processo isoenergetico e sue conseguenze sul comportamento dei gas ideali. (Da dimostrare e commentare) In un processo isoenergetico il calore ed il lavoro scambiati dal sistema sono uguali ed opposti quindi si avrΓ che πππππ£ = βπππππ£ e dunque la variazione di energia interna sarΓ nulla. Calcolando ora la variazione di temperatura come funzione della variazione di volume si ha che:
βπ = ππ β ππ = π(π, ππ) β π(π, ππ)
π = π(π, π)
ππ = (ππ
ππ)πππ + (
ππ
ππ)πππ = (
ππ
ππ)πππ
(ππ
ππ)π=π(π, π)
π(π,π)βπ(π, π)
π(π, π)=π(π, π)
π(π, π)βπ(π, π)
π(π,π)= β
π(π, π)
π( π, π)βπ(π, π)
π( π, π)=
= [βπ(π, π)
π( π, π)] . [π(π, π)
π( π, π) ] = β(
ππ
ππ)π: (ππ
ππ)π= β[
πππ β πππ
ππ]π: [π (
ππ
ππ)π] =
= [π β π (ππ
ππ)π] : [π (
ππ
ππ)π] = [π β
ππΌπ
ππ] : ππ£ =
π βππΌπππ
ππ£
Per i gas ideali: πΌπ =1
π ππ =
1
π (
ππ
ππ)π= 0
Dunque la temperatura di un gas ideale non cambia se lβenergia interna Γ¨ costante.
17. Coefficiente di Joule-Thomson, significato fisico e conseguenze, grafico T-P e curva dβinversione. Ricavato utilizzando un deflusso reversibile di una sostanza in sistema chiuso ed adiabatico oppure con deflusso irreversibile di una sostanza in sistema aperto ed adiabatico. (Da dimostrare e commentare) Il coefficiente di Joule-Thomson per un gas a temperatura T e pressione P Γ¨ definito come la variazione infinitesima di temperatura dovuta ad una variazione infinitesima di pressione quando il gas Γ¨ sottoposto a unβespansione o una compressione isoentalpica. Γ possibile analizzare i due diversi tale per cui si ottiene una espansione o una compressione isoentalpica:
Deflusso reversibile: π = 0
ππ = βππ
π2 β π1 = β(π2 βπ1)
π2 β π1 = β(π2π2 β π1π1)
π2 + π2π2 = π1 + π1π1
π»2 = π»1
Deflusso irreversibile:
οΏ½ΜοΏ½ [(β1 β β2) + π(π§1 β π§2) +π€12
2βπ€22
2] + οΏ½ΜοΏ½ β οΏ½ΜοΏ½ = 0
β1 β β2 = 0
β1 = β2 Il coefficiente di Joule si ricava:
πΏ = (ππ
ππ)β=π(π, β)
π(π, π)=π(π, β)
π(π, π)βπ(π, π)
π(π, β)= β(
πβ
ππ)πβ (ππ
πβ)π= β
(πβππ)π
(πβππ)π
= βπ (ππ ππ)π+ π£ (
ππππ)π
π (ππ ππ)π+ π£ (
ππππ)π
= βπ (ππ ππ)π+ π£
ππ
β(ππ£
ππ)π= (
ππ
ππ)π
πΏ = ββπ (
ππ£ππ)π+ π£
ππ=ππ£πΌπ + π£
ππ= π£
πΌππ β 1
ππ
18. Sostanze pure: superficie P-V-T e diagrammi T-V e P-V. Descrivere zone di esistenza di uno, due e tre stati di aggregazione.
19. Miscele sature di liquido e vapore: regola della leva e proprietΓ . Sotto la campana del digramma P-V e T-V delle sostanze pure sono presenti le miscele sature di liquido-vapore. Le quantitΓ relative di liquido e vapore presenti in tali miscele sono definite dal tiolo x della miscela stessa e possono essere ricavate a partire dalla regola della leva:
π₯ =π΄π΅Μ Μ Μ Μ
π΄πΆΜ Μ Μ Μ
Tramite il titolo della miscela e le tabelle di saturazione liquido-vapore dellβacqua Γ¨ possibile ricavare tute le grandezze che caratterizzano tale miscela. Γ inoltre importante sottolineare che tutte le trasformazioni sotto la campana sono di tipo isotermobariche.
20. Diagramma P-T ed Equazione di Clausius-Clapeyron. Lβequazione di Clausius-Clapeyron descrive la variazione della pressione in relazione alla temperatura lungo la curva di equilibrio tra due fasi di una stessa sostanza.
ππ
ππ=
π
πβπ£
21. Diagrammi T-s ed h-s per una sostanza pura.
22. Regola delle fasi o di Gibbs, gradi di libertΓ di un sistema termodinamico allβequilibrio. Si consideri un sistema multifase (M fasi ed r componenti), in cui ogni fase Γ¨ separata dalle altre da superfici di discontinuitΓ non vincolate. Le condizioni di equilibrio sono date dalle seguenti (r+2)(M-1) equazioni:
Β Equilibrio termico πβ² = πβ²β² = β― = π(π)
Β Equilibrio meccanico πβ² = πβ²β² = β― = π(π)
Β Equilibrio chimico π1β² = π1
β²β² = β― = π1(π) ππ
β² = ππβ²β² = β― = ππ
(π) Lo stato di equilibrio del sistema Γ¨ completamente definito utilizzando M(r+2) variabili; dβaltra parte per ogni fase sussiste la relazione di Gibbs-Duhem per cui il numero di variabili di riduce a M(r+1). Le condizioni di equilibrio sono quindi definite da un sistema di (r+2)(M-1) equazioni che devono essere soddisfatte da M(r+1) variabili. AffinchΓ© tale sistema ammetta soluzioni Γ¨ necessario che il numero di equazioni non sia superiore al numero di incognite. Risulta allora:
(π + 2)(π β 1) β€ π(π + 1)
ππ β π + 2π β 2 β€ ππ +π
2π βπ β€ π + 2
π β€ π + 2 In altri termini, in un sistema costituito da r componenti, non piΓΉ di (r+2) fasi possono coesistere allβequilibrio. Se il numero M di fasi Γ¨ minore di r+2 risulta che r+2-m variabili intensive possono assumere valori arbitrari. Vale a dire che si possono variare arbitrariamente r+2-M variabili senza pregiudicare lβesistenza di una condizione di equilibrio con quelle fasi per il sistema; evidentemente gli altri parametri varieranno in modo ben determinato. Il numero di parametri che si possono variare arbitrariamente viene detto numero di gradi di libertΓ o varianza del sistema. Indicano con la lettera f tale numero, la regola delle fasi puΓ² essere riscritta come:
π = π + 2 βπ
23. ProprietΓ dei liquidi e dei solidi ideali. Se i liquidi e i solidi sono ideali allora possono essere considerati come incomprimibili ed indilatabili e quindi avranno ππ = 0 e πΌπ = 0. Tali sostanze godono di alcune proprietΓ come:
Β ππ£ = ππ = π
Β ππ’ = πππ
Β ππ =πππ
π
Β πβ = πππ + π£ππ β πππ π£ππ βͺ πππ
24. Formule approssimate per il calcolo delle proprietΓ termodinamiche (h ed s principalmente) per le sostanze pure. Per le sostanze pure le proprietΓ come H ed S sono valutate a partire da uno stato di riferimento. Solitamente si considera come riferimento il punto triplo sul diagramma P-T della fase liquida e quindi:
Β Processi isobari: πβ = ππ ππ =ππ
π
Β Processi isotermi: πβ = π£ππ ππ = 0
25. Differenza tra gas e vapore, condizioni necessarie per poter considerare un gas a comportamento ideale (fattore di comprimibilitΓ Z e sua deviazione in funzione di P e T). Si definisce gas una specie chimica gassosa che si trova al di sopra della sua temperatura critica. Si definisce invece vapore una specie chimica gassosa che si trova ad una temperatura inferiore rispetto a quella critica. Fissate i valori delle temperature e delle pressioni si definisce fattore di comprimibilitΓ Z il valore che indica come un gas reale si discosta dal comportamento ideale. Esso Γ¨ definito come:
π =ππ£
π π=π£πππ‘π’πππ£πππππ
PiΓΉ Z Γ¨ diverso da 1 piΓΉ il gas si discosta dal comportamento ideale. In generale i gas si comportano come ideali per bassi valori di densitΓ e dunque per elevate temperature e basse pressioni.
26. Sapendo che per un gas perfetto vale du = cV dT, dimostrare che vale anche dh = cP dT
ππ’ = ππ£ππ = (ππ β π )ππ
πβ = ππ’ + πππ + πππ =
= ππ£ππ + πππ + πππ = (ππ β π )ππ + πππ + πππ =
= ππππ β π ππ + πππ + πππ = ππππ β πππ β πππ + πππ + πππ = ππππ
ππ = π π π ππ = πππ + πππ
27. Le espressioni delle variazioni di entalpia ed entropia specifica per un gas ideale in funzione di P e T.
βπ» = πππβπ ββ = ππβπ
βπ = πππ lnπ2
π1βππ β ln
π2
π1 βπ = ππ ln
π2
π1β π β ln
π2
π1
28. Le espressioni delle variazioni di entalpia ed entropia specifica per un liquido ideale in funzione di P e T.
βπ = π lnπππππππ
βπ’ = ββ = πβπ
29. Dimostrare che nel piano T-s le curve isocore sono sempre piΓΉ pendenti delle curve isobare.
Le isobare sono descritte da: (ππ
ππ)π=
π
ππ
Le isocore sono descritte da: (ππ
ππ)π=
π
ππ
ππ > ππ
π
ππ<π
ππ
30. Scrivere le equazioni di partenza e le ipotesi necessarie per ricavare l'equazione generale delle trasformazioni politropiche. Introduciamo le politropiche come conseguenza della variazione di volume adiabatica reversibile in un sistema cilindro-pistone che scambia lavoro in modo reversibile con lβambiente attraverso un processo quasistatico. Le due ipotesi di partenza sono dunque considerare una variazione do volume adiabatica e un processo quasistatico:
β = (ππ
ππ)π£ππ + (
ππ
ππ£)πππ£
β =ππ£π
πππΌπππ +
ππ
ππ£πΌπππ£
Per i gas ideali si ha quindi che:
β =ππ£π
π
πππ +
πππ
ππ£ππ£
β = ππ£ππ
π+ ππ
ππ£
π£
Integrando si ottiene:
ππ£β«ππ
π+ ππβ«
ππ£
π£= β
ππ£ ln π + ππ ln π£ = πππ π‘
ππ£ππππ£ = πππ π‘
ππππ£= π
31. Descrivere le condizioni in cui un gas puΓ² essere trattato come ideale; riportare un'equazione di stato di un modello di gas reale e descrivere il significato fisico dei termini che vi appaiono. Un gas puΓ² essere trattato come ideale quando ha fattore di comprimibilitΓ pari a 1 o quando ha densitΓ basse (elevate temperature e basse pressione). Unβequazione di stato di un gas reale Γ¨ lβequazione di Van der Walls. Tale modello introduce due effetti non presenti nel modello del gas ideale: le forze di attrazione intermolecolari ed il volume occupato dalle molecole stesse. Lβincertezza dei risultati ottenuta applicando tale equazione Γ¨ spesso inadeguata:
(π +π
π£2) (π£ β π) = π π
32. Espressione per il calcolo dellβumiditΓ relativa di unβaria umida. Lβaria umida Γ¨ una miscela di aria secca e vapore acqueo. Lβespressione per il calcolo dellβumiditΓ relativa di unβaria umida Γ¨:
π =ππ£
ππ ππ‘ π =
π₯
π₯π = π
πβππ ππ‘
πβππ£
33. La relazione tra umiditΓ assoluta ed umiditΓ relativa per unβaria umida.
π₯ =ππ£
ππ=πππ£ππ£πππππ
=18,013
28,96
ππ£ππ= 0,622
ππ£π β ππ£
= 0,622πππ ππ‘
π β πππ ππ‘
ππ£ππ=ππ£ππ
ππ = π β ππ£ π =ππ£
ππ ππ‘ ππ£ = πππ ππ‘
34. Scrivere lβespressione dellβentalpia per unβaria umida, indicando il significato dei termini che vi compaiono.
π» = π»π +π»π£ = ππβπβ +ππ£βπ£
β = ππβπβ + π₯ππβπ£
β
π₯ =ππ£
πππ
ββ =π»
ππ=ππβπ
β + π₯ππβπ£β
ππ= βπ
β + π₯βπ£β
βπ£β = β + ππΞπ = 2501,6 + 4
8,314
18,013π‘ = 2501,6 + 1,846π‘
βπβ = ππΞπ =
7
2
8,314
28,96π‘ = 1,005π‘
35. Il diagramma di Mollier per lβaria umida. Disegnare e commentare. Il diagramma di Mollier Γ¨ un diagramma termodinamico che rappresenta lβentalpia di un sistema in funzione dellβumiditΓ assoluta dellβaria umida
36. Miscelazione di due arie umide (caso omogeneo o caso eterogeneo). Nella miscelazione di due arie umide si conserva la massa totale di vapore. Dunque procedendo con i bilanci possibili si ottiene:
{ππ1π₯1 +ππ2π₯2 = (ππ1 +ππ2)π₯πππ1β1 +ππ2β2 = (ππ1 +ππ2)βπ
Γ dunque possibile ricavare lβumiditΓ assoluta della miscela finale e la sua entalpia:
π₯π =ππ1π₯1 +ππ2π₯2ππ1 +ππ2
βπ =ππ1β1 +ππ2β2ππ1 +ππ2
Il punto m che rappresenta la miscela finale puΓ² appartenere a due differenti zone del diagramma di Mollier: Β Zona omogenea: la miscela finale sarΓ costituita da sola aria umida Β Zona eterogenea: la miscela finale condenserΓ e dunque oltre allβaria umida si avrΓ del condensato. Tale
porzione del grafico Γ¨ anche nota come zona delle nebbie
37. Bilancio di massa e di energia per un sistema aperto allo scambio di massa ed in regime stazionario. Nella sua rappresentazione piΓΉ semplice un sistema aperto Γ¨ schematizzabile come un condotto delimitato da due aperture, una dβingresso e una dβuscita del fluido, e di una semplice chiusura laterale volta allo scambio di massa. Tutto il contorno della superficie del sistema Γ¨ detta superficie di controllo. Il bilancio di massa di un sistema aperto risulta essere:
βππΜ
π
π=1
= βππΜ
π
π=1
Mentre il bilancio energetico di un sistema, che tiene conto dellβenergia associata al fluido di massa che attraversa il condotto in entrata e in uscita, dellβenergia termica che attraversa il contorno del sistema e dellβenergia meccanica per unitΓ di tempo, risulta essere:
οΏ½ΜοΏ½ [(β1β β β2
β) + π(π§1 β π§2) +π€12
2βπ€22
2] + οΏ½ΜοΏ½ β οΏ½ΜοΏ½ = 0
38. Bilancio entropico per un generico sistema fluente in regime stazionario.
οΏ½ΜοΏ½(π 1β β π 2
β) + ποΏ½ΜοΏ½ + ππππΜ = 0
39. Applicazione del bilancio energetico ed entropico a turbine e compressori. Γ possibile considerare sia le turbine che i compressori come macchine adiabatiche οΏ½ΜοΏ½ = 0 ed inoltre Γ¨ possibile trascurare i contributi di energia cinetica, potenziale, dunque il bilancio energetico e quello entropico risultano essere:
οΏ½ΜοΏ½(β1β β β2
β) β οΏ½ΜοΏ½ = 0
οΏ½ΜοΏ½(π 1β β π 2
β) + ππππΜ = 0
40. Applicazione del bilancio energetico ed entropico alla laminazione isoentalpica e sue conseguenze su P e T. Nella laminazione isoentalpica il bilancio energetico ed entropico risulta essere:
β1β = β2
β
π 1β β€ π 2
β
Da tali bilanci ne consegue che un qualsiasi fluido che attraversa una laminazione isoentalpica si espanderΓ sempre:
πβ = πππ + πππ
0 = β«πβ = β«πππ +β«πππ
ββ« πππ2
1
= β« πππ2
1
π > 0 ππ > 0 β ββ« πππ2
1
< 0 β β« πππ2
1
< 0
πππ < 0
π2 β π1 < 0
π2 < π1
41. Bilancio energetico ed entropico per una macchina termodinamica motrice reversibile. Con il termine macchina termodinamica motrice si intende un sistema composto da unβopportuna combinazione di sottosistemi elementari che ha come funzione la conversione termodinamica di energia termica in lavoro:
ππ» β ππΆ β πΏ = 0
βππ»ππ»
+ππΆππΆ= 0
42. Bilancio energetico ed entropico per una macchina termodinamica motrice irreversibile. Con il termine macchina termodinamica motrice si intende un sistema composto da unβopportuna combinazione di sottosistemi elementari che ha come funzione la conversione termodinamica di energia termica in lavoro:
ππ» β ππΆ β πΏ = 0
βππ»ππ»
+ππΆππΆ= ππππ
43. Bilancio energetico ed entropico per una macchina termodinamica operatrice reversibile. Con il termine macchina termodinamica operatrice si intende un sistema composto da unβopportuna combinazione di sottosistemi elementari che ha come funzione il trasferimento di energia termica da uno o piΓΉ serbatoi di calore a temperatura inferiore a uno o piΓΉ serbatoi a temperatura superiore:
βππ» + ππΆ + πΏ = 0
+ππ»ππ»
βππΆππΆ= 0
44. Bilancio energetico ed entropico per una macchina termodinamica operatrice irreversibile Con il termine macchina termodinamica operatrice si intende un sistema composto da unβopportuna combinazione di sottosistemi elementari che ha come funzione il trasferimento di energia termica da uno o piΓΉ serbatoi di calore a temperatura inferiore a uno o piΓΉ serbatoi a temperatura superiore:
βππ» + ππΆ + πΏ = 0
+ππ»ππ»
βππΆππΆ= ππππ
45. Definizione di COP per macchina termodinamica operatrice che lavora come frigorifero. Si definisce COP, coefficient of performace, il parametro di merito cioΓ¨ il rapporto tra lβeffetto utile fratto la spesa. Tale valore Γ¨ anche noto come efficienza della macchina frigorifera e si calcola come:
νπ =ππΆπ
46. Il rendimento di secondo principio per macchine motrici o operatrici. Il rendimento di secondo principio rappresenta la capacitΓ di un processo di avvicinarsi alle prestazioni del processo ideale:
Β Macchina motrice: ππΌπΌ =πΏπππππ
πΏππππππ=
π
ππππ£
Β Macchina operatrice (frigorifero): ππΌπΌ =πΏππππππ
πΏπππππ
Β Macchina operatrice (pompa di calore): ππΌπΌ =πΏππππππ
πΏπππππ
47. Esprimere il rendimento di un ciclo Joule diretto in funzione di scambi energetici, temperature, rapporto di compressione. Il ciclo Joule Γ¨ un ciclo costituito da 2 isobare e da 2 isoentropiche.
Rapporto di compressione: π½ =ππππ₯
ππππ=
π2
π1=
π3
π4
Calore entrante: ππ = π23 = β3 β β2 = ππ(π3 β π2)
Calore uscente: ππ’ = βπ41 = β(β1 β β4) = ππ(π4 β π1)
πJouleβBrayton =ππππ‘π‘π
ππ=ππ β ππ’ππ
= 1 βππ’ππ= 1 β
ππ(π4 β π1)
ππ(π3 β π2)= 1 β
π1 (π4π1β 1)
π2 (π3π2β 1)
π11βππ1
π = π21βππ2
π
π1
1βππ π1 = π2
1βππ π2
π1π2= (
π2π1)
1βππ= (
π3π4)
1βππ= π½
1βππ =
1
π½πβ1π
=π4π3
πJouleβBrayton = 1 βπ1 (
π4π1β 1)
π2 (π3π2β 1)
= 1 βπ1π2= 1 β π½
1βππ = 1β
1
π½πβ1π
48. Metodi per aumentare il rendimento di un ciclo Joule. Il rendimento di ciclo Joule puΓ² essere migliorato tramite: Β Aumento della temperatura di combustione e/o di ingresso in turbina Β Aumento dellβefficienza delle macchine quali turbina e compressione Β Modifica del ciclo base tramite:
* Interrefrigerazione = permette di raffreddare lβaria in uscita dal compressore e quindi diminuisce il lavoro richiesto per comprimere il gas * Rigenerazione = riscalda il fluido ad alta pressione in uscita dal compressore utilizzando il fluido in uscita dalla turbina * Ricombustione = fornisce entalpia maggiore allβingresso della turbina
49. Confronto tra ciclo Otto e ciclo Diesel. Il ciclo Otto Γ¨ un ciclo termodinamico costituito da due isovolumiche e da due isoentalpiche mentre quello Diesel Γ¨ costituito da unβisobara, una isovolumica e due isoentropiche. Entrambi tali cicli conservano quindi le due adiabatiche. Il ciclo Otto Γ¨ simmetrico mentre il ciclo Diesel no. Entrambi possono lavorare con un sistema cilindro-pistone e sono entrambi cicli a gas.
50. Ciclo Rankine motore: diagramma termodinamico, schema dβimpianto, bilanci energetici. Il ciclo Rankine Γ¨ un ciclo termodinamico composto da due adiabatiche e due isobare:
Pompa ππ,π = β2 β β1 β π£1(π2 β π1)
Caldaia ππ = β3 β β2 Turbina ππ‘,π’ = β3 β β4
Condensatore ππ’ = β4 β β1
51. Riportare sul diagramma T,s un ciclo Rankine inverso reale e scrivere le espressioni (in funzione di opportuni potenziali termodinamici) dei COP associati all'utilizzo del ciclo come macchina frigorifera e pompa di calore. 1-2) Compressione isoentropica π€π,π = β2 β β1 β π£1(π2 β π1)
2-3) Raffreddamento isobaro: ππ’ = β2 β β3 3-4) Laminazione isoentalpica: π€π‘,π’ = β3 β β4
4-1) evaporazione isotermobarica: ππ = β1 β β4
Rendimento pdc: νπππ =ππ’
ππ,π=
β2ββ3
β2ββ1=
β(β3ββ2)
β2ββ1
Rendimento f: νπ =ππ
ππ,π=
β1ββ4
β2ββ1
52. Lβespressione del rendimento isoentropico di un compressore nel caso di gas ideale, in funzione delle temperature ad inizio e fine compressione
πππ =Ξβππ Ξβ
=ππΞπππ
ππΞπ=π2ππ β π1π2 β π1
53. Lβespressione del rendimento isoentropico di una turbina nel caso di gas ideale, in funzione delle temperature ad inizio e fine espansione
πππ =Ξβ
Ξβππ =ππΞπ
ππΞπππ =π2 β π1π2ππ β π1
54. Il postulato di Fourier. Il postulato di Fourier Γ¨ lβequazione della conduzione termica vale:
πΌβ2π =ππ
ππ‘
55. Lβequazione generale della conduzione: vari casi (Laplace, Poisson, Fourier), condizioni necessarie per la sua integrazione. Lβequazione generale della conduzione Γ¨:
πΌβ2π +οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
πππβ =
ππ
ππ‘
A partire da tale equazione Γ¨ possibile distinguere vari casi:
Β Regime stazionario: ππ
ππ‘= β β2π +
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
π= β Eq. Poisson
Β Senza generazione di potenza: οΏ½ΜοΏ½β²β²β² = β πΌβ2π =ππ
ππ‘ Eq. Fourier
Β Senza generazione di potenza e in regime stazionario: οΏ½ΜοΏ½β²β²β² = β , ππ
ππ‘= β β2π = β Eq. Laplace
Le condizioni generali per lβintegrazione sono: Β Condizione temporale (Dirichlet): si conosce il valore della temperatura di una superficie
Β Condizione spaziale (Neumann): cβΓ¨ un valore fisso o costante del flusso ππ β²β²Μ sulla superficie
56. Lβespressione della conduzione del calore attraverso un cilindro cavo a sezione circolare, in funzione delle temperature dei fluidi che ne lambiscono le due superfici.
{π1
π
π
ππ(πππ
ππ) = 0
π(π = π1) = ππ 1π(π = π2) = ππ 2
Ricavo lβespressione della temperatura in funzione del raggio:
πππ
ππ= π1
ππ =π1πππ
π(π) = π1 ln π + π2
{
π(π) = π1 ln π + π2π(π = π1) = ππ 1π(π = π2) = ππ 2
Applico le condizioni al contorno per ricavare le costanti di integrazione:
ππ 1 = π1 ln π1 + π2
ππ 2 = π1 ln π2 + π2
ππ 1 β ππ 2 = π1 ln π1 + π2 β (π1 ln π2 + π2) = π1 lnπ1π2
π1 =ππ 1 β ππ 2
lnπ1π2
ππ 1 = π1 ln π1 + π2 =ππ 1 β ππ 2
lnπ1π2
ln π1 + π2
π2 = ππ 1 βππ 1 β ππ 2
lnπ1π2
ln π1
π(π) =ππ 1 β ππ 2
lnπ1π2
ln π + ππ 1 βππ 1 β ππ 2
lnπ1π2
ln π1 =ππ 1 β ππ 2
lnπ1π2
lnπ
π1+ ππ 1
57. Lβespressione della conduzione del calore attraverso una parete costituita da due strati, in funzione delle temperature dei fluidi che ne lambiscono le due facce
{
π2π
ππ₯2= 0
π(π₯ = 0) = ππ 1π(π₯ = π ) = ππ 2
Ricavo lβespressione della temperatura in funzione di x:
π(π₯) = π1π₯ + π2
{
π(π₯) = π1π₯ + π2π(π₯ = 0) = ππ 1π(π₯ = π ) = ππ 2
Applico le condizioni al contorno per ricavare le costanti di integrazione:
ππ 1 = π2
ππ 2 = π1π + ππ 1
π1 =ππ 2 β ππ 1
π
π(π₯) =ππ 2 β ππ 1
π π₯ + ππ 1
58. Lβequazione generale della conduzione per un mezzo avente conduttivitΓ costante con la temperatura ed in condizioni stazionarie Lβequazione generale della conduzione per un mezzo avente conduttivitΓ costante con la temperatura e in condizione stazionarie Γ¨ lβequazione di Laplace:
β2π = β
59. Scrivere le equazioni di partenza e le ipotesi necessarie per ricavare l'equazione generale della conduzione. Per ricavare lβequazione generale della conduzione Γ¨ necessario effettuare un bilancio energetico considerando un cubettino infinitesimo di materiale isotropo ed omogeneo. Si considerano dunque:
Β Energia entrante πΈποΏ½ΜοΏ½ = οΏ½ΜοΏ½π₯ + οΏ½ΜοΏ½π¦ + οΏ½ΜοΏ½π§
Β Energia generata πΈπππΜ = οΏ½ΜοΏ½β²β²β²ππ₯ππ¦ππ§
Β Energia uscente πΈππ’π‘Μ = οΏ½ΜοΏ½π₯+ππ₯ + οΏ½ΜοΏ½π¦+ππ¦ + οΏ½ΜοΏ½π§+ππ§
Β Energia accumulata πΈπππΜ = πππβ ππ
ππ‘ππ₯ππ¦ππ§
πΈππΜ β πΈππ’π‘Μ + πΈπππΜ = πΈπππΜ
60. La conduzione in regime variabile: i parametri concentrati e la definizione ed il significato dei gruppi adimensionali Biot e Fourier. In generale in un problema di conduzione in regime variabile la temperatura allβinterno del mezzo solido varierΓ con la posizione e con il tempo. Esistono perΓ² alcune applicazioni ingegneristiche nelle quali la temperatura puΓ² essere considerata costante dentro al corpo e quindi risulterΓ che la temperatura sarΓ funzione del solo tempo. Questa semplificazione Γ¨ nota come metodo dei parametri concentrati. Introduciamo quindi due parametri adimensionali: Β Numero di Biot = rappresenta il rapporto tra la resistenza conduttiva e quella convettiva. AffinchΓ© sia
possibile applicare il metodo dei parametri concentrati tale numero deve essere inferiore a 0,1
π΅π =βπΏππ< 0.1
Β Numero di Fourier = rappresenta il tempo adimensionale
πΉπ =πΌπ‘
πΏπ2 πΌ =
π
ππβ
61. La definizione ed il significato di tre gruppi adimensionali a piacere. Β Numero di Reynolds = serve ad individuare il regime di moto. Tale numero tiene conto delle proprietΓ
fisiche del fluido e della sua geometrica:
π π =ππ€πΏππ
Β Pr = numero di Prandtl rappresenta il rapporto fra viscositΓ cinematica (π) che regola la trasmissione
della quantitΓ di moto per effetto della viscositΓ in presenza di un gradiente di velocitΓ e la diffusivitΓ termica (D) che regola la trasmissione di calore per sola diffusione termica (conduzione termica) quando esiste un gradiente di temperatura:
ππ =πππ
ππ=π£
π·
Β Nu = numero di Nusselt rappresenta il rapporto fra la quantitΓ di calore trasmesso per convezione e la
quantitΓ di calore trasmesso per sola conduzione
ππ’ = πΏβ
ππ
62. La definizione ed il significato del gruppo adimensionale Pr. Il numero di Prandtl rappresenta il rapporto fra viscositΓ cinematica (π) che regola la trasmissione della quantitΓ di moto per effetto della viscositΓ in presenza di un gradiente di velocitΓ e la diffusivitΓ termica (D) che regola la trasmissione di calore per sola diffusione termica (conduzione termica) quando esiste un gradiente di temperatura:
ππ =πππ
ππ=π£
π·
63. La definizione ed il significato del gruppo adimensionale Re ed il suo utilizzo per classificare il moto dei fluidi. Il numero di Reynolds serve ad individuare il regime di moto. Tale numero tiene conto delle proprietΓ fisiche del fluido e della sua geometrica:
π π =ππ€πΏππ
In linea generale alti valori di Re corrispondono a moto turbolento, mentre bassi valori del numero di Reynolds descrivono moto laminare. Il punto in cui il flusso da laminare si trasforma in turbolento Γ¨ detto punto critico di Reynolds.
64. Lβespressione del profilo di temperatura in una lastra in stato stazionario soggetta a generazione interna di potenza con temperatura sulle superfici nota e costante.
{
π2π
ππ₯2+οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
π= 0
π(βπΏ) = ππ 1π(πΏ) = ππ 2
Ricavo lβespressione della temperatura in funzione di x integrando due volte la prima equazione:
π2π
ππ₯2+οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
π= 0
β«π2π = β«βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
πππ₯2
ππ = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
ππ₯ + π1
β«ππ = β«βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
ππ₯ + π1
π(π₯) = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππ₯2 + π1π₯ + π2
Applicando ora le condizioni al contorno per ricavare le costanti di integrazione:
ππ 1 = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2π(βπΏ)2 + π1(βπΏ) + π2 = β
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππΏ2 β π1πΏ + π2
ππ 2 = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2π(πΏ)2 + π1(πΏ) + π2 = β
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππΏ2 + π1πΏ + π2
ππ 1 β ππ 2 = β2π1πΏ
π1 =β(ππ 1 β ππ 2)
2πΏ=ππ 2 β ππ 12πΏ
Sostituendo questo valore a ππ 1 si puΓ² ricavare π2:
ππ 1 = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππΏ2 β π1πΏ + π2 = β
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππΏ2 β
ππ 2 β ππ 12πΏ
πΏ + π2
π2 =οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππΏ2 +
ππ 1 + ππ 22
Sostituiamo tutto in π(π₯):
π(π₯) = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππ₯2 +
ππ 2 β ππ 12πΏ
π₯ +οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππΏ2 +
ππ 1 + ππ 22
=οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2π(πΏ2 β π₯2) +
ππ 2 β ππ 12πΏ
π₯ +ππ 1 + ππ 2
2
65. Determinare i profili generali del flusso termico e della temperatura in funzione del raggio per un cilindro di lunghezza indefinita omogeneo ed isotropo, tramite l'integrazione dellβequazione della conduzione in condizioni stazionarie e con generazione di potenza. Commentare la condizione al contorno in corrispondenza dellβasse del cilindro per cilindri pieni
{
1
π
π
ππ(πππ
ππ) +
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
π= β
βπππ
ππ|π=β
= β
π(π = π0) = ππ = πππ π‘
Ricavo lβespressione della temperatura in funzione del raggio:
β«π (πππ
ππ) = ββ«
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
ππππ
πππ
ππ= β
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππ2 + π1
β«ππ = ββ«οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππ +
π1π
π(π) = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
4ππ2 + π1 ln π + π2
Applichiamo ora le condizioni al contorno per ricavare le costanti di integrazione:
βπππ
ππ|π=β
= β β ππ
ππ(π = 0) = 0 = β
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
2ππ +
π1π β π1 = 0
π(π = π0) = ππ = πππ π‘ β ππ = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
4ππ02 + π2 β π2 = ππ +
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
4ππ02
π(π) = βοΏ½ΜοΏ½β²β²β²
4ππ2 + ππ +
οΏ½ΜοΏ½β²β²β²
4ππ02
66. La legge di Wien ed il suo significato La legge di Wien consente di individuare per quale lunghezza dβonda ππππ₯ Γ¨ massima lβemissione radioattiva di un corpo nero di massa generica avente una certa temperatura T:
πππππ₯ = 2898 πππΎ
67. La legge di Kirchhoff per corpi opachi La legge di Kirchhoff permette di correlare il coefficiente di assorbimento dellβemissivitΓ di un corpo. In condizioni di equilibrio termico, cioΓ¨, lβassorbanza Γ¨ pari allβemissivitΓ di un corpo:
πΌπ = νπ
68. Rappresentare alcune curve del potere emissivo (o emissione monocromatica) di corpo nero in funzione di temperatura e lunghezza dβonda
69. La legge di reciprocitΓ tra i fattori di vista per due corpi neri
π΄ππΉππ = π΄ππΉππ β π΄π = π΄π πΉππ = πΉππ
70. Lβespressione della potenza termica scambiata per irraggiamento tra due superfici opache che chiudono una cavitΓ La potenza termica scambiata per irraggiamento tra due superfici opache si calcola come la radiazione termica emessa dalla superficie 1 e intercettata dalla superficie 2 meno la radiazione termica emessa dalla superficie 2 e intercettata dalla superficie 1:
π12Μ = π΄1π½1πΉ12 β π΄2π½2πΉ21 = π΄πΉ(π½1 β π½2) =π½1 β π½21π΄πΉ
=π½1 β π½2π 12
71. La legge di Newton e le grandezze da cui dipende il coefficiente convettivo La legge di Newton della convezione termica Γ¨:
οΏ½ΜοΏ½ = π΄β(ππ π’ππππππππ β ππππ’πππ)
Dove h Γ¨ il coefficiente di convezione che rappresenta la potenza termica scambiata tra una superficie solida e un fluido in moto relativo e A indica la superficie di scambio. Il coefficiente convettivo dipende da
72. Rappresentare i profili di velocitΓ e temperatura in fluido che lambisce una parete in convezione forzata
73. Lβespressione della temperatura in funzione del tempo per un sistema durante un transitorio descrivibile a parametri concentrati
πβππ
π0βππ= πβ
π‘
π = πβπ΅πβπΉπ π = π πΆ =1
βπ΄β πππ
74. Rappresentare il profilo di temperatura in una parete piana composta da tre strati A, B, C di identico spessore, sapendo che ππ¨ > ππ© > ππͺ Maggiore Γ¨ π minore Γ¨ la pendenza del profilo poichΓ©:
ππ
ππ₯= β
πβ²β²Μ
π
75. Scrivere le equazioni che esprimono lo scambio energetico tra i due fluidi in uno scambiatore di calore
Da fluido caldo e freddo: ποΏ½ΜοΏ½ = ππΜ (βππ’π‘,π β βππ,π) = ππΜ πππ(πππ’π‘,π β πππ,π) = πΆπ(πππ’π‘,π β πππ,π)
Da fluido freddo a caldo: πβΜ = πβΜ (βππ’π‘,β β βππ,β) = πβΜ ππβ(πππ’π‘,β β πππ,β) = πΆβ(πππ’π‘,β β πππ,β)
76. Il metodo della differenza di temperatura media logaritmica per scambiatori di calore.
La potenza termica scambiata tra i due fluidi viene legata alla differenza di temperatura tra il fluido freddo e il fluido caldo ma questa varia con la posizione allβinterno dello scambiatore e quindi occorre utilizzare una differenza di temperatura opportunamente mediata. Lβequazione di scambio diventa quindi:
οΏ½ΜοΏ½ = ππ΄βπππ
βπππ =βππ’ββππ
lnβππ’βππ
βππ’ = πβππ‘,π’ β πππππ,π’ βππ = πβππ‘,π β πππππ,π