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Matemática

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2.º M

edio

Autores Gerardo Muñoz Díaz Pedro Rupin Gutiérrez Lorna Jiménez Martínez

EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

9 7 8 9 5 6 3 4 9 5 4 2 3

ISBN 978-956-349-542-3

MateMática 2.° MeDiO textO Del estuDiante

Dirección editorialFelipe Muñoz Gómez

Coordinación editorialDaniela Cienfuegos Fernández

EdiciónPedro Rupin Gutiérrez

Ayudantía de ediciónMarcela Cofré Moraga

AutoríaGerardo Muñoz DíazPedro Rupin GutiérrezLorna Jiménez Martínez

AsesoríaVerónica Muñoz CorreaGuadalupe Álvarez Pereira

Desarrollo de solucionarioSusan Schwerter FelmerCarolina Parada González

Corrección de estiloAlida Montero de la Fuente

Coordinación de diseñoGabriela de la Fuente Garfias

Diseño y diagramaciónAnghela Badiola Sanhueza

Diseño de portadaAnghela Badiola Sanhueza

IlustracionesArchivo editorial

InfografíasSol90images

Producción fotográficaCarlos Johnson MuñozArchivo editorial

Gestión de derechosJosefina Majewsky Vera

ProducciónAndrea Carrasco Zavala

Este texto corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile.

©2013 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – ProvidenciaISBN: 978-956-349-542-3 / Depósito legal: 229885Se terminó de imprimir esta edición de 228.700 ejemplares en el mes de octubre del año 2014.Impreso por Quad/Graphics Chile S.A.

Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

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Texto del estudiante

MatemáticaGerardo Muñoz DíazProfesor de MatemáticaPonti cia Universidad Católica de Chile

Ingeniero eléctricoUniversidad de Santiago de Chile

Magíster en Enseñanza de las Ciencias con mención en Didáctica de la MatemáticaPonti cia Universidad Católica de Valparaíso

Lorna Jiménez MartínezProfesora de MatemáticaLicenciada en MatemáticaPonti cia Universidad Católica de Chile

Pedro Rupin GutiérrezProfesor de MatemáticaLicenciado en MatemáticaPonti cia Universidad Católica de Chile

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 2 3ÍNDICE

Índice de contenidosÍndice Índice

Sección 1: Números reales ..................................................8¿Qué debes saber? ...............................................................9Lección 1: Números irracionales

y problemas geométricos. ............................10Lección 2: Aproximación y construcción de

números irracionales ....................................14Lección 3: Números irracionales en la

recta numérica y orden ................................18Lección 4: Números reales. ............................................22Resolución de problemas .................................................26Para no cometer errores ...................................................27Integrando lo aprendido ..................................................28

Sección 2: Raíces ...................................................................30¿Qué debes saber? .............................................................31Lección 5: Raíz enésima .................................................32Lección 6: Raíces y operaciones ....................................36Lección 7: Potencias de exponente racional .................40Lección 8: Racionalización .............................................44Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones ..48Resolución de problemas .................................................52Para no cometer errores ...................................................53Integrando lo aprendido ..................................................54

Sección 3: Logaritmos ........................................................56¿Qué debes saber? .............................................................57Lección 10: Logaritmos ....................................................58Lección 11: Propiedades de los logaritmos .....................62Lección 12: Aplicaciones de logaritmos ..........................66Resolución de problemas .................................................70Para no cometer errores ...................................................71Integrando lo aprendido ..................................................72

Diario Mural ...........................................................................74

Para sintetizar .......................................................................76

Reforzar antes de evaluar.................................................78

Profundizar ............................................................................81

Evalúo mis aprendizajes ....................................................82

Unidad 1: Números .........................................................61

Sección 1: Semejanza de figuras planas .....................88¿Qué debes saber? .............................................................89Lección 13: Semejanza y figuras a escala .......................90Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos. ..........96Lección 15: Homotecia y semejanza. ............................100Resolución de problemas ...............................................104Para no cometer errores .................................................105Integrando lo aprendido ................................................106

Sección 2: Teoremas de semejanza .............................108¿Qué debes saber? ...........................................................109Lección 16: Teorema de Thales ......................................110Lección 17: División interior de trazos. ..........................116Lección 18: Teorema de Euclides ...................................120Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco. ..............124Resolución de problemas ...............................................128Para no cometer errores .................................................129Integrando lo aprendido ................................................130

Sección 3: Ángulos y segmentos en la circunferencia ......................................................................132

¿Qué debes saber? ...........................................................133Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una

circunferencia. ............................................134Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia .....140Resolución de problemas ...............................................144Para no cometer errores .................................................145Integrando lo aprendido ................................................146

Diario Mural .........................................................................148

Para sintetizar .....................................................................150

Reforzar antes de evaluar...............................................152

Profundizar ..........................................................................155

Evalúo mis aprendizajes ..................................................156

Unidad 2: Geometría .................................................862

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 2 3ÍNDICE

Sección 1: Fracciones algebraicas ................................162¿Qué debes saber? ...........................................................163Lección 22: Fracción algebraica. ....................................164Lección 23: Fracciones algebraicas y fórmulas. .............166Lección 24: Mcd y mcm de expresiones algebraicas. ...170Lección 25: Amplificación y simplificación de fracciones

algebraicas ..................................................174Lección 26: Multiplicación y división

de fracciones algebraicas ...........................178Lección 27: Adición y sustracción de fracciones

algebraicas ..................................................182Lección 28: Resolución de problemas que involucran

ecuaciones fraccionarias.. ...........................186Resolución de problemas ...............................................192Para no cometer errores .................................................193Integrando lo aprendido ................................................194

Sección 2: Función exponencial, logarítmica y raíz ................................................................196

¿Qué debes saber? ...........................................................197Lección 29: Funciones, tablas y gráficos. .......................198Lección 30: Función raíz cuadrada. ...............................202Lección 31: Función exponencial. ..................................206Lección 32: Función logarítmica. ...................................210

Resolución de problemas ...............................................214Para no cometer errores .................................................215Integrando lo aprendido ................................................216

Sección 3: Sistemas de ecuaciones lineales .............218¿Qué debes saber? ...........................................................219Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas ..................................................220Lección 34: Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos. 222Lección 35: Métodos de resolución de sistemas de

ecuaciones lineales .....................................226Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales .....................................232Lección 37: Resolución de problemas que involucran

sistemas de ecuaciones lineales .................236Resolución de problemas ...............................................242Para no cometer errores .................................................243Integrando lo aprendido ................................................244

Diario Mural .........................................................................246Para sintetizar .....................................................................248Reforzar antes de evaluar...............................................250Profundizar ..........................................................................253Evalúo mis aprendizajes ..................................................254

Unidad 3: Álgebra ......................................................1603

Sección 1: Dispersión y comparación de datos ........260¿Qué debes saber? ...........................................................261Lección 38: Medidas de dispersion de datos ................262Lección 39: Comparación de conjuntos de datos ..........266Resolución de problemas ...............................................270Para no cometer errores .................................................271Integrando lo aprendido ................................................272

Sección 2: Muestreo y variable aleatorios ................274¿Qué debes saber? ...........................................................275Lección 40: Muestreo aleatorio simple .........................276Lección 41: Variable aleatoria ........................................280Lección 42: Medias muestrales .....................................284Resolución de problemas ...............................................288Para no cometer errores .................................................289Integrando lo aprendido ................................................290

Sección 3: Eventos excluyentes, independientes y probabilidades ....................................................................292

¿Qué debes saber? ...........................................................293Lección 43: Conjuntos y probabilidades ........................294Lección 44: Producto y suma de probabilidades ..........298Lección 45: Eventos independientes .............................302Lección 46: Combinatoria y probabilidades ..................304Resolución de problemas ...............................................308Para no cometer errores .................................................309Integrando lo aprendido ................................................310

Diario Mural .........................................................................312

Para sintetizar .....................................................................314

Reforzar antes de evaluar...............................................316

Profundizar ..........................................................................319

Evalúo mis aprendizajes ..................................................320

Unidad 4: Datos y Azar ...........................................2584

Solucionario .........................................................................324Índice temático ...................................................................375

Glosario ..................................................................................377Bibliografía ..........................................................................383

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 4 5ESTRUCTURA DEL TEXTO

Estructura del textoEstructura Estructura

El Texto Matemática 2 se compone de 4 unidades: Números, Geometría, Álgebra y Datos y Azar. Cada unidad se compone de secciones, y cada sección de lecciones.

Estructura de las unidades

1. Inicio de unidadEn estas páginas podrás activar tus ideas previas, conocer las palabras clave de la unidad, y recordar lo que ya sabes. Te presentaremos lo que aprenderás y su objetivo, en un contexto relacionado con los contenidos que se estudiarán.

2. Diario MuralAl final de cada unidad encontrarás una interesante aplicación de lo estudiado, en diversos contextos.

3. Para sintetizarAquí podrás organizar y resumir los contenidos abordados. Además, retomaremos la situación presentada en el inicio y podrás relacionarla con tus aprendizajes.

4. Reforzar y profundizarEstas páginas te permitirán reforzar los contenidos antes de la evaluación, como también profundizar tus aprendizajes.

5. Evalúo mis aprendizajesTe proponemos una evaluación de alternativas, en la que podrás medir tus logros en la unidad.

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 4 5ESTRUCTURA DEL TEXTO

6. De esto se trata y ¿Qué debes saber?Activarás tus ideas previas y reflexionarás sobre la importancia de los contenidos y el propósito de la sección, a partir de una situación real. Además, podrás evaluar tus conocimientos previos y repasar lo que necesites con la ayuda de Internet.

Estructura de las secciones

7. LecciónEstas son las páginas de contenido en las que recordarás tus aprendizajes previos y desarrollarás tus habilidades. Te proponemos actividades para que razones, comentes y reflexiones con tus compañeros, y ejercicios de repaso, práctica y aplicación.

8. Resolución de problemas y Para no cometer erroresPodrás analizar estrategias de resolución de problemas, y analizar errores para no cometerlos.

9. Integrando lo aprendidoPodrás evaluar tus aprendizajes de la sección y analizar si has logrado el propósito de ella.

10. Solucionario, Índice temático y BibliografíaAquí encontrarás la solución a los ejercicios planteados, un Índice temático de los contenidos abordados y la Bibliografía del Texto, además de material que te sugerimos para profundizar tus conocimientos.

Páginas finales

RECUERDA QUE LAS ACTIVIDADES Y EJERCICIOS PROPUESTOS DEBES REALIZARLOS EN TU CUADERNO

Páginas finales

unid

adun

idad111 un

idad1 un

idad

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 6

Ideas previasEl estudio de la música de manera sistemática comenzó en la antigua Grecia gracias a Pitágoras que captó la relación entre el largo de una cuerda pulsada y el sonido que produce, según la vibración.

Estas relaciones han permitido la creación de escalas musicales, adaptadas posteriormente para generar distintos tipos de sonidos y crear nuevas obras. Aunque con algunas diferencias, todas tienen un origen común: la observación de Pitágoras.

• Si golpeas una lámina de metal muy gruesa y otra muy delgada, ¿en qué se diferencian los sonidos que producen?

• ¿Cómo se forman las notas al tocar una guitarra?

Números

Palabras clave

Ü Racional

Ü Irracional

Ü Número real

Ü Conjunto numérico

Ü Potencia

Ü Exponente

Ü Base

Ü Logaritmo

421 3

7UNIDAD 1 • NÚMEROS

Activ

idad

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 8 9UNIDAD 1 • NÚMEROS

Sección 1

Números reales

De esto se trata…Es posible que al resolver un ejercicio hayas obte-

nido como resultado un número no muy “cómodo” de utilizar. Por ejemplo, con una calculadora puedes comprobar que

4 : 17 = 0,235294117

La calculadora, ¿está mostrando todos los decima-les? Si tuviéramos una calculadora de mayor capacidad, ¿obtendríamos más?

Es posible, incluso que pudiéramos ver algunas re-gularidades como en la división 5 : 3

5 : 3 = 1,666666667

Parece que solo obtendremos el decimal 6, repetido hasta que… terminamos con un 7. ¿Es un error de la calculadora? ¿Podemos seguir confiando en ella o necesitamos más información?

En grupos de 3 personas, realicen las siguientes actividades.

➊ Utilicen una calculadora para determinar el resultado de la división 15 015 : 6 678 671.

➋ El valor obtenido anteriormente, ¿es un número con decimal finito? ¿Es un decimal periódico, semiperiódico? ¿Es posible responder esta pregunta con el resultado que entrega la calculadora? Justifiquen.

➌ Suponiendo que se trata de un decimal finito, expresen el resultado obtenido como fracción,

y simplifiquen hasta una fracción irreductible. El resultado que obtienen, ¿es equivalente a la

fracción 15 0156 678 671

?

Actividad grupal

§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos?

Ü IrracionalÜ ExactoÜ ComprobarÜ DemostrarÜ Conjunto

§ ¿En qué ocasiones has oído que un número “no es exacto” Ejempli ca.

Explorando tusideas previas

Propósito: que comprendas la necesidad de que exista un conjunto de números que permita resolver situaciones que no tienen solución en los números racionales.

¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá…

A identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos. Lección 1 comprender la necesidad de ampliar el conjunto

de los números racionales.

A aproximar números irracionales. Lección 2 manejar procedimientos para operar con estos números.

A ordenar y ubicar números irracionales. Lección 3 comparar números irracionales.

A identificar y caracterizar el conjunto de los números reales. Lección 4 asociar el orden de los números irracionales con su posición en la recta numérica.

5 : 3 = 1,666666667

Actividad


3 41 2

¿Qué debes saber?

En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.

Repasa en los siguientes sitios web….

http://goo.gl/tNSPC Operaciones entre números racionales.

http://goo.gl/xyW9jAproximación, orden y ubicación de números racionales en la recta numérica.

AutoevaluaciónAutoevaluación

Realiza las siguientes actividades.

Identificar y realizar operaciones entre números racionales

1 Determina cuáles de los siguientes números son naturales, enteros o racionales.

a. 2

b. 5

c. 5,5

d. 3,777…

e. –2

f. –1,3333….

g. 4,2878787…

h. 5,73

2 Expresa los siguientes números decimales como fracción.

a. 3,1

b. 2,92

c. 3,5

d. 4,56

e. 7,21

f. 2,05

g. 6,231

h. 5,2898989…

3 Expresa las siguientes fracciones como número decimal.

a. 710

b. 82100

c. 271000

d. 158

e. 49

f. 1599

g. 2490

h. 1234990

4 Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

a. 0,3 + 0,81

b. 0,5 – 0,012

c. 2,27 • 4

d. 34

• 0,7

e. 5,1:25

f. 52

0,31•1,3+

Aproximar, ordenar y ubicar números racionales en la recta numérica

5 Aproxima por redondeo a la cifra indicada los siguientes números:

a. 5324, a la centena.

b. 67 278, a la centena.

c. 128, a la decena.

d. 4242, a la decena.

e. 1251,84, a la unidad.

f. 3,45, a la unidad.

g. 4,126, a la décima.

6 Aproxima por truncamiento a la cifra indicada los siguientes números:

a. 3,355, a la décima.

b. 273,251, a la centésima.

c. 21,0174, a la centésima.

d. 1,23487, a la milésima.

7 Ordena de menor a mayor los siguientes números.

a. 4,41 4,44 4,42 4,4343

b. 5,23 5,2 5,22 5,222 5,23

c. 12

817

25

34

2342

d. 1521

0,5 35

0,65 0,75

e. 54

1,25 119

1,26 1,26

8 Ubica en una misma recta numérica cada uno de los siguientes grupos de números.

a. 1,4 1,7 2,1 1,9 0,8

b. 2,5 53

74

1,8 318

c. 37

514

821

0,45 0, 4


Lecc

ión Números irracionales y problemas geométricos

Propósito: identi car números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

Taller

En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.

Un arco de fútbol mide 7,32 metros de lar-go, lo que es equivalente a 73,2 decímetros o732 centímetros.

¿Por qué no mide exactamente 7 metros? Porque se definió en Inglaterra, donde se emplea el sistema de medida anglosajón. En él, en lugar del metro y los centímetros se utiliza la pulgada (25,4 mm), de modo que 12 pulgadas (30,48 cm) conforman un pie, y 3 pies una yarda (91,44 cm, aproximadamente un paso de un adulto). De esta forma se estableció que el arco de fútbol tiene una longitud de 8 yardas (8 pasos).

Podemos decir que, independientemente de la unidad de medida que utilicemos, la longitud del arco siempre es la misma. Aunque se emplean distintas unidades, tanto el sistema métrico decimal como el anglosajón se basan en la comparación, es decir, en analizar cuántas veces "cabe" una unidad de medida dentro de una longitud. Si no cabe en forma exacta podemos dividirla en partes iguales más pequeñas hasta obtener el número adecuado. Pero, ¿será posible siempre encontrar una división exacta de la unidad de medida?

1 Consideren el cuadrado de la figura.

a) Midan con regla la medida de sus lados AB, BC y su diagonal AC. ¿Es posible deter-minar con regla la medida exacta de AC?

b) De acuerdo con el Teorema de Pitágoras se tiene la siguiente relación:

=

=

=

AB +BC AC /

AB +BC AC

AB +BC AC

2 2 2

2 2 2

2 2

Utilicen una calculadora para determinar la medida de AC, considerando las me-didas de AB y BC en centímetros. ¿Cuántos decimales tiene el número obtenido? Comparen con los resultados de sus compañeros utilizando distintas calculadoras.

2 A los miembros de la escuela Pitagórica, en el siglo VI a.C., les llamó la atención esta diagonal y su medida. Para estudiarla consideraron un cuadrado cuyo lado midiera 1 unidad, y con ello su diagonal mediría 2 unidades, ya que:

= =1 +1 1+1 22 2

Supongamos que la unidad de medida utilizada para medir el lado del cuadra-do puede dividirse en una cierta cantidad b de partes iguales, de modo que la diagonal mide a de estas partes. Con ello tenemos que

2ab=

Ayuda¿Qué significa que una vara mida 1,2 metros? Significa que podemos dividir el metro en 10 partes iguales, y la vara mide 12 de estas partes

=1,21210

Recuerda que…Teorema de PitágorasSi ABC es un triángulo, rectán-gulo en C, se cumple que:

A

B

C

AC² + BC² = AB²

La raíz cuadrada de un número a es el número no negativo que, multiplicado por sí mismo, da como resultado a. Se escribe a.

A

D

B

C

1

UNIDAD 1 • NÚMEROS 11

3 41 2

AyudaSi un número x es impar, puede escribirse como

x = 2n + 1

Si se calcula x², tenemos que

x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) +1Por lo tanto, si x es impar, necesariamente x² es impar. ¿Qué ocurre si x es par?

AyudaPara realizar esta demostración se supuso lo contrario a lo que se deseaba demostrar y se llegó a una contradicción. Esto se conoce como reducción al absurdo.

Recuerda que…El número π es una constante que corresponde al perímetro de un círculo de diámetro 1.

1

P = 2πr = 2r π = 1 • π = π

a y b son números naturales, los que en caso de tener factores comunes podríamos simplificarlos y obtener una fracción x

y=

b, donde x e y son números naturales

que no tienen factores comunes. Observen que para dos números naturales tenemos las siguientes posibilidades:

• parpar

, que no es el caso porque entonces ambos números tendrían como

factor común a 2 (y ya simplificamos todos los factores comunes).

• imparpar

, que al elevarlo al cuadrado se obtiene

= → = → = → =impar

parimpar

parimpar

parimpar

parpar impar2 2 • 2 2 •

Necesitaríamos que x fuera un número par que al multiplicarlo por 2 resultara un número impar. No es posible.

a) Veri quen si son posibles las combinaciones parimpar

y imparimpar

.

b) Considerando los resultados anteriores, ¿es posible encontrar una fracción que sea igual a 2? Justi quen.

Los pitagóricos se dieron cuenta de que no puede existir la fracción ab

2= . Se dijo

entonces que era un número inconmensurable o inmedible porque no podemos tomar una unidad de medida y dividirla en partes que quepan exactamente en ella. Ya que no hay una fracción que lo represente, es un número que no pertenece a los números racionales, por lo tanto, es irracional. Posteriormente se demostraría que toda raíz cuadrada de un número natural, o bien es un número natural o necesaria-mente es irracional. Por ejemplo, son números irracionales

3 5 1,212

Al dividir un número natural por otro el resultado puede ser un número natural, un decimal finito o un número decimal periódico o semiperiódico, pero un número irracional tiene infinitas cifras decimales sin período. Ya que tampoco se pueden expresar como fracción, la única forma exacta de escribirlos es utilizando símbolos o, al escribir parte de sus decimales, utilizar puntos suspensivos o el signo de aproxi-mación (≈).

2 1, 414213...

2 1, 414213

3,145926...

=

≈π=

Por lo mismo, en los problemas geométricos en que aparezcan solo será posible trabajar con ellos en forma simbólica y, si es necesario, utilizar al final una aproximación de ellos, como se observa en el siguiente ejemplo.

a


Lecc

ión

Ejemplo

En la siguiente figura los triángulos ABC y ACD son rectángulos cuyos catetos son los segmentos BC, AC y CD. Sobre el segmento CD se ha construido una semicircun-ferencia. Calcula el perímetro de la figura, si BC = CD = 4 cm y AC = 5 cm.

A

C DB

Paso 1 Los triángulos ABC y ACD son congruentes entre sí, por lo que AB = AD. Por teorema de Pitágoras se tiene que:

=

=

=

=

AB BC +AC

AB 4 +5

AB 16+25

AB 41

2 2 2

2 2 2

Paso 2 La semicircunferencia tiene radio igual a la mitad de CD, es decir, 2 cm. Aplicando la fórmula del perímetro de la circunferencia, se tiene que:

=π

=π

= π

CD2 r

22 • 2

22

Paso 3 El perímetro P de la figura corresponde a la suma de las medidas de las líneas que componen su contorno. Por lo tanto,

= π

= π

P 41+4+2 + 41

2 41+4+2

Este valor corresponde a la medida exacta del perímetro de la figura. Más adelante veremos cómo es posible aproximar estos valores para obtener algunos decimales.

Razonay comenta§ En la vida real, ¿es posible medir las cosas con exactitud o siempre habrá errores e impre-

cisiones? Discute con tus compañeros.

§ Patricio afirma que al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm, no se obtiene un “resultado exacto”. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.

1

En resumenLos números irracionales son aquellos cuya representación decimal es infinita no periódica, y no pueden ser representados en forma de fracción a

b, con a y b

números enteros y b ≠ 0.

Recuerda que…Perímetro de un círculo de radio r:

P = 2πr


3 41 2Practiquem

os lo aprendido

Repaso

1. Identifica a qué tipo de número decimal corresponde cada uno de los siguientes números racionales: decimal finito, decimal periódico o semiperiódico.

a) 0,72

b) 1,21

c) 0,234

d) 2,1

e) 3,24

f) 5,2335

g) 6,03

h) 5,2372

i) 0, 421

j)

k) 3290

l) 5718

2. Expresa los siguientes números decimales como fracción.

a) 6,2

b) 4,38

c) 2,552

d) 7,9913

e) 0,51

f) 0,025

g) 0, 426

h) 2, 435

3. Expresa las siguientes fracciones como número decimal.

a) 752

b) 314

c) 57

d) 1627

e) 145

f) 815

Práctica guiada

4. Identifica cuáles de los siguientes problemas requie-ren de números irracionales para obtener el resultado.

Ejemplo: el cálculo del perímetro de una circunfe-rencia cuyo radio mide 4 metros.

29

Para calcularlo debemos utilizar la fórmula 2πr, donde r corresponde al radio de la circunferencia.

2π4 = 8π=8 • 3,1415926...

Por lo tanto, se requieren números irracionales para calcularlo.

a) Calcular el perímetro de un círculo cuyo radio mide 7 cm.

b) Calcular el área de un círculo cuyo radio mide 12 cm.

c) Calcular el perímetro de un cuadrado cuya diago-nal mide 2 cm.

d) Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 19 cm.

e) Calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm.

f) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 12 cm y 5 cm.

g) Calcular el perímetro de un rectángulo, si uno de sus lados mide 12 cm y su área es de 60 cm2.

Aplica

5. Calcula en forma exacta el perímetro de las siguientes figuras.

a) 2 cm

3 cm

b) 5 cm

2 cm

c) 1 cm

3 cm

d)

1 cm 1 cm2 cm

6. Desafío: se tiene un círculo cuya área es un número racional, ¿cuál puede ser la medida de su radio? Justifica.

§ Que un número tenga infinitos decimales, ¿implica que no es “exacto”? Discute con tus compañeros.

Reflexiona


Lecc

ión Aproximación y construcción de números irracionales

Propósito: aproximar números irracionales.

La puesta en órbita de un satélite precisa de com-plejos cálculos que requieren gran exactitud, y pue-den involucrar números irracionales. Ya que un número irracional tiene infinitas cifras decimales sin período, cualquier representación decimal que hagamos con ellos será una aproximación que contiene un error. Para determinar estas aproximaciones consideraremos los siguientes aspectos.

Raíces con calculadoraPara calcular una raíz cuadrada con calculadora utilizamos la tecla . Dependiendo

de la calculadora, se digita alguna de las siguientes secuencias para calcular, por ejemplo, la raíz cuadrada de 54.

Al hacerlo, obtenemos

Si queremos comprar, por ejemplo, una vara de madera en una barraca, allí difícilmente podrán cortarla considerando esta cantidad de decimales. Por lo tanto, realizamos una aproximación por truncamiento o por redondeo. Lo haremos a la segunda cifra decimal.

Truncado: 54 7,348469228349534= → 54 7,34≈

Redondeado: 54 7,348469228349534= → 54 7,35≈

Aproximaciones y errorCuando el número que se obtiene es mayor, se dice que la aproximación es por

exceso. Si el número es menor es por defecto.

Al truncar se obtiene una aproximación por defecto de 54 , mientras que al redon-dear, la aproximación es por exceso. Entonces 7,34 < 54 < 7,35.

En ambos casos podemos calcular el error absoluto y el error relativo entre la aproxi-mación y el valor real.

Por truncamiento Por redondeoError absoluto Error absoluto

=54 –7,34 0,0084692283495343 =54 –7,35 0,0015307716504657

Error relativo Error relativo

=

≈

54 –7,34

540,0011525159984152

0,12%

=

≈

54 –7,35

540, 000208312

0, 02%

AyudaEl error absoluto correspon-de a la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y la aproximación. El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real.

Observa que…Truncar siempre produce una aproximación por defecto, mientras que redondear puede generar una por exceso o por defecto.

2


3 41 2Propósito: aproximar números irracionales.

Razonay comenta§ En general, ¿cuántos

decimales suelen utilizarse en la vida cotidiana? Menciona algunos ejemplos.

§ ¿Será posible dividir una regla en tantas partes como se quiera para obtener una medida con miles de decimales? Justifica.

Aproximaciones sucesivasSi no contamos con una calculadora es posible obtener una aproximación de una

raíz cuadrada empleando aproximaciones sucesivas.

Para el caso de 54 . buscamos los cuadrados perfectos menor y mayor cercanos a 54.

7² = 49 y 8² = 64, entonces 7 < 54 <8

Vemos que 54 está entre 7 y 8, probamos ahora con valores intermedios, en este caso con el promedio de ambos 7,5.

7 = 49; 7, 5 = 56, 252 2( ) , entonces 7 < 54 <7, 5

Probamos con el promedio entre 7 y 7,5; 7,25.

7, 25 = 52, 5625 ; 7, 5 = 56, 252 2( ) ( ) , entonces 7, 25 < 54 <7, 5

Probamos con el promedio entre 7,25 y 7,5; 7,375

7, 25 = 52, 5625 ; 7, 375 = 54, 3906252 2( ) ( ) , entonces 7, 25 < 54 < 7, 375

Hemos encontrado una aproximación sucesiva de tres decimales para 54.

Casos especialesExisten números irracionales que no corresponden a raíces

cuadradas. Uno de los más importantes es π, que relaciona la medida del diámetro de una circunferencia con su perímetro, o el área de un círculo con su cuadrado circunscrito, como se muestra en la figura.

El escriba Ahmes, en Egipto, estimó su valor en el papiro Rhind, que data del siglo XVI a.C. Para ello consideró un cuadrado cuyo lado mide 9 unidades, y lo dividió en 81 partes. Luego cortó esquinas de lado 3 unidades para construir un polígono de 8 lados.

Se puede ver que el área del polígono corresponde a 18 cuadraditos menos que el cuadrado grande es decir, 81 – 18 = 63 cuadraditos, y su área es un poco menor que la del círculo. Por lo tanto, Ahmes estimó que el área del círculo sería de 64 cuadraditos.

El radio de este círculo es 4,5 unidades, por lo que si aplicamos la fórmula para el área se obtiene que:

=π → =π→π≈64 • 4,564

20,253,162

Otras culturas, como los griegos y los chinos obtuvieron aproximaciones aun más cercanas utilizando métodos similares. Gracias a los computadores hoy es posible ob-tener hoy centenares de miles de cifras decimales de π.

r

Ayuda

Es posible calcular valores y aproximarlos utilizando una planilla de cálculo. Para ello se emplean los siguientes comandos:

=RAIZ(2)Calcula la raíz cuadrada de 2.

= REDONDEAR(RAIZ(5);2)Calcula la raíz cuadrada de 5, y la redondea al segundo decimal.

=TRUNCAR(RAIZ(7);2)Calcula la raíz cuadrada de 7, y la trunca al segundo decimal.

Recuerda que…Área de un circulo de radio r

A = πr2

Papiro Rhind

En resumenEn la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar aproximaciones. Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedi-mientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Identifica cuáles de los siguientes números presentan período. Señala además cuál es el período cuando corresponda.

a) 4,23232323232323…

b) 3,07282828282828…

c) 5,6

d) 4,013

e) 3,222222222257

f) 3,1415926

g) 6,014916253649…

2. Determina las siguientes aproximaciones, con las condiciones dadas.

a) 3,53594, truncado a la décima.

b) 6,81977 truncado a la centésima.

c) 2,17855 truncado a la milésima.

d) 5,20189, truncado a la diezmilésima.

e) 3,34862, redondeado a la décima.

f) 8,28457, redondeado a la centésima.

g) 6,40003, redondeado a la milésima.

h) 9,38531, redondeado a la diezmilésima.

3. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) 4,5 +3, 8

b) 6, 4+2,31

c) 7,1+ 2,024

d) 5, 5+3,2

e) 12,17+0, 44

f) 9,03 – 2,3

g) 4,126 – 5,28

h) 2, 6+5, 8

i) 3,17+6,54

j) 2,235 – 0,319

k) 3,21+723

l) 4,28 –27413

m) 5,224+1732

n) 0,38 –5182

ñ) 3,512 –1,7 •218

o) 2,3•2,5– 0,8 :23

Práctica guiada

4. Utiliza una calculadora para determinar una aproximación de las siguientes raíces redondeadas a la cuarta cifra decimal. Guíate por el ejemplo.

Utilizando calculadora se tiene que:

=2 1, 414213562

Redondeando a la cuarta cifra decimal se obtiene.

≈1, 414213562 1, 4142

a) 3

b) 5

c) 11

d) 13

e) 19

f) 24

g) 37

h) 42

5. Calcula el error absoluto y el error relativo de las siguientes aproximaciones. Guíate por el ejemplo.

≈2 1, 4142

Paso 1 Se calcula el valor con calculadora

Se obtiene 1,414213562.

Paso 2 Al valor anterior se le resta la aproximación

Se obtiene 0,000013562. Este es el error absoluto.

Paso 3 Se divide este valor por el valor real

Se obtiene 0,00000959 ≈ 0,00096%, el error relativo.

a) 3 1,73205≈

b) 5 2,236≈

c) 8 2,8284≈

d) 11 3,32≈

e) 15 3,9≈

f) 17 4,12311≈

g) 19 4,36≈

h) 20 4, 472≈

Practiquemos lo aprendido


3 41 2

Aplica

Resuelve los siguientes problemas.

6. Considera las siguientes aproximaciones

≈2 1, 4142 ≈3 1,73212

≈5 2,2361 ≈7 2, 6458

Completa la siguiente tabla con aproximaciones a la centésima de los valores dados, que cumplan las condiciones.

Por defecto Por exceso Por redondeo

2 3

2 + 3

7+2 3

3 : 2

2 2 : 3

3 7

2 • 7

5 –1

2 • 5 – 7

7. Determina para cada valor una aproximación por defecto y una por exceso, de modo que el error relativo de ambas sea menor al 1%, pero mayor que el 0,1%.

a) 6

b) 7

c) 11

d) 18

8. Bernardita y Emmanuel deben calcular el valor de 13+ 14 , redondeado a la tercera cifra decimal. Bernardita sugiere determinar cada valor, redondearlo y luego calcular la suma, en cambio, Emmanuel dice que lo que se debe hacer es realizar primero el cálculo y luego redondear.

a) En este caso, ¿obtienen el mismo resultado?

b) En general, ¿se obtiene el mismo resultado re-dondeando sumas parciales, que redondeando la suma final? Justifica.

9. Conexiones: el matemático francés Georges Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788) realizó un interesante experimento estudiando probabilidades, pero que le permitió aproximarse al número π. Consiste en lo siguiente:

i) Se escoge una aguja (o una varilla de madera muy delgada), de longitud cualquiera. Luego, sobre una hoja de papel se trazan muchas rectas paralelas cuyas distancias entre sí deben ser igua-les al largo de la aguja.

ii) Se lanza al azar la aguja sobre la hoja, la canti-dad de veces que queramos (N veces). En cada lanzamiento anotamos si la aguja atraviesa o no alguna de las líneas trazadas. alguna de las líneas trazadas.

iii) Llamanos x a la cantidad de veces en que la agu-ja cortó a alguna de las líneas. Para un valor de N grande, se obtiene que

2Nx

π≈

Realiza este experimento con tus compañeros. Há-ganlo simultáneamente para poder tener más lan-zamientos, y verifiquen la aproximación obtenida.

§ ¿Qué diferencias y similitudes observas en la aproximación de números irracionales, comparados con los números racionales?§ Las calculadoras y computadores pueden realizar cálculos enormes, pero, ¿cómo saben lo que deben hacer?

¿De qué manera una calculadora entrega un valor para una raíz cuadrada? Investiga.

Reflexiona


Lecc

ión Números irracionales en la recta numérica y orden

Propósito: ordenar y ubicar números irracionales.

Los números racionales se pueden ordenar comparándolos cifra por cifra, primero por su parte entera y luego por su parte decimal.

Debes saber…

Pese a que los números irracionales tienen infinitos decimales sin período, es posible comparar y ubicar algunos de ellos en la recta numérica. Para hacerlo, consideraremos los siguientes aspectos.

Raíces cuadradas en la recta numéricaEl matemático griego Teodoro de Cirene, (465 a.C.-398 a.C.)

creó la siguiente construcción denominada Espiral de Teodoro de Cirene. Comienza con un triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 1 unidad, y sucesivamente se construyen más triángulos rectángulos tomando un cateto de medida 1 y el otro es la hipotenusa del triángulo anterior.

Podemos utilizar la espiral de Teodoro de Cirene para ubicar en la recta numérica una raíz como 7 mediante los siguientes pasos.

Paso 1 Se ubica el 0 en la recta numérica, y se define la unidad. Luego se constru-ye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, con vértices en el 0 y el 1. Con un compás, se copia la medida de la hipotenusa del trián-gulo, con centro del compás en 0 traza un arco de circunferencia intersecando la recta numérica. Se obtiene así 2.

Paso 2 Se construye ahora un triángulo rectángulo de catetos de medida

2 y 1, y se copia su hipotenusa sobre la recta. Así se obtiene 3.

Paso 3 Repitiendo sucesivamente estos pasos, se construye 7.

0 1 2 33 5 62 7

En ocasiones, el proceso puede abreviarse un poco si detectamos algunas operaciones. Por ejemplo, si queremos ubicar 7 podemos construir hasta 3, y luego construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2 y 3. Con ello, = =2 + 3 4+3 72 2

, es decir, la hipotenusa de dicho triángulo mide 7 .

AyudaObserva que, por Teorema de Pitágoras:

AB OA +OB

1 +1 2

AC AB +BC

2 +1 3

AD AC +CD

3 +1 4 2

AE AD +DE

4 1 5

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

=

= =

=

= =

=

= = =

=

= + =

3

O

A

F

E

D

C

B

1

1

1

1

1

1

65

4

3

2

1

0 1 22

1

0 1 232


3 41 2Propósito: ordenar y ubicar números irracionales.

AyudaEn el siguiente enlace http://goo.gl/1m9Vf podrás aprender a ubicar raíces en la recta numérica utilizando un procesador geométrico.

0 1 372 3

1 2

Se observa que: 2 3 5 6 7< < < <

Entonces mientras mayor sea la cantidad subradical (es decir, el número que está bajo la raíz), mayor es la raíz.

Orden de raíces cuadradasHéctor debe ordenar de menor a mayor las siguientes raíces cuadradas.

11 2 13 7 5

Para hacerlo, sigue estos pasos.

Paso 1 Ya sabe que mientras mayor sea la cantidad subradical, mayor es la raíz. Por lo tanto

2 < 5 < 7 < 11 < 13

2 < 5 < 7 < 11 < 13

Paso 2 Verifica que el resultado obtenido coincida con lo que ha aprendido ante-riormente respecto a los números decimales, es decir, que para ordenarlos se los compara posición por posición, de izquierda a derecha, comenzando por su parte entera y luego por su parte decimal.

2=1,4142135623730950488016887242097… 2 > 1

5=2,2360679774997896964091736687313… 6 > 2

7=2,6457513110645905905016157536393… 3 > 2

11=3,3166247903553998491149327366707… 6 > 3

13=3,6055512754639892931192212674705…

Podemos concluir que para comparar números irracionales utilizamos la misma estrategia que ya conocemos para los números racionales.

Razonay comenta§ ¿Qué estrategia utiliza-

rías para comparar un número racional y un irracional?

§ Dos números tienen iguales sus partes enteras y sus cinco primeras cifras deci-males, pero uno de ellos es periódico y el otro, irracional. ¿Cuál es mayor?, ¿o depende de cada caso? Justifica.

§ ¿Será posible utilizar la espiral para construir raíces cuadradas de números que no sean naturales? Si es posible, explica cómo ubicarías en la recta el número 0, 4.

En resumenPara ordenar raíces cuadradas se comparan sus cantidades subradicales, es decir, sean a y b números no negativos donde a < b, entonces a b< .

En caso de estar escritas en representación decimal, podemos ordenarlas cifra por cifra, de la misma manera que los números racionales. Para ubicarlas en la recta numérica, se utiliza regla y compás.

Prac

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Repaso

1. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de números racionales.

a) 2; 2,25; 1,9; 1,98; 2,251

b) 3,37; 3,377; 3,38; 3,378; 3,387

c) 5,24; 51999

; 5,2424; 5,25; 23645

d) 7,32 ; 7,32 ; 7,32 ; 7,3 ; 7,324

2. Determina en cada caso dos números racionales que se encuentren entre los números dados.

a) 6,1 y 6,2

b) 0,15 y 1,155

c) 4,74 y 4,75

d) 9,21y 9,2

e) 7,3 y 7, 4

f) 0,35 y 0,35

g) 5,21y 5,2

h) 12

y1121

3. Ubica en una misma recta numérica cada uno de los siguientes grupos de números:

a) 12

;34

;38

b) 35

;3

10;

14

c) 45

;23

; 0,6

d)

e) 95

; 115

; 1,2

f) 0,75 ; 0,8 ;56

4. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, y su hipotenusa es c. Calcula en cada caso la medida del lado que falta, considerando los siguientes datos:

a) a = 12; b = 5

b) a = 15; b = 36

c) a = 16; c = 34

d) a = 35; c = 37

e) a = 8; b = 13

f) a = 10; b = 10

g) a = 2; b = 5

h) a 7; b = 21=

5. Construye, con regla y compás, un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, con los datos dados.

a) a = 6; b = 7

b) a = 2; b = 5

c) a = 4; b = 0,5

d) a = 0,2; b = 0,7

Práctica guiada

6. Ordena de menor a mayor las siguientes raíces cuadradas. Guíate por el ejemplo:

14 ; 8 ; 17

Observando las cantidades subradicalestenemos que:

8 < 14 < 17

Por lo tanto, < <8 14 17

a) 11 ; 7 ; 31

b) 23 ; 26 ; 24

c) 2 12 ; 11 ; 10

d) 4 21 ; 3 22 ; 2 23

e) 18 ; 7 ; 31

7. Ubica en la recta numérica los siguientes números utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Guíate por el ejemplo.

10

Paso 1 Podemos observar que

=

=

10 1+9

1 +32 2

Por lo tanto, podemos construir un trián-gulo rectángulo de catetos 1 y 3, y su hipotenusa medirá 10.

Paso 2 Trazamos la recta y ubicamos las unidades.

0 1 2 3 4

Paso 3 Construimos el triángulo indicado y copiamos su hipotenusa sobre la recta

0 1 2 3 410

a) 11

b) 13

c) 14

d) 22

e) 1+ 5

f) 2+ 5

323

;74

; 2,5



3 41 2

§ ¿Por qué los números irracionales solo pueden construirse con regla y compás? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros.

Reflexiona

Aplica


8. Determina en cada caso cuál de los siguientes números es menor.

a) 8 ; 7 ; 5

b) 10 ; 11 ; 12

c) 2 5 ; 2 8 ; 2 3

d) 3 5 ; 4 2 ; 2 3

e) 102

; 2 5 ;8

2

f) 37 ; 6,28 ;386

9. Dados los números a y b, determina en cada caso un número racional c y un irracional d, de modo que a < c < d < b.

a) a= 3 y b= 6

b) a= 10 y b= 12

c) a=2 5 y b= 21

d)

e) a=6,93 y b=7,1

f) a=3 11 y b=10

10. Realiza el siguiente procedimiento:

» Escoge dos números naturales distintos, p y q, de modo que p > q.

» Calcula el valor de =cp+q

2 y =a

p – q2

.

» Construye un triángulo rectángulo cuya hipo-tenusa mida c, y uno de sus catetos mida a.

» Determina la medida del cateto faltante b. » ¿Qué operaciones relacionan los valores p, q y

la medida de b?

a) Escoge dos pares más de valores (no necesaria-mente naturales) y realiza los pasos anteriores. ¿Se mantiene la relación?

b) Verifica la siguiente relación algebraica, conside-rando que p > q:

pqp+q

2–

p – q2

2 2

=

c) Si quieres construir un triángulo rectángulo de modo que uno de sus catetos mida 24, ¿qué valores pueden tener el otro cateto y la hipotenusa? Determina dos pares de valores.

11. Ubica en la recta las siguientes raíces cuadradas empleando el método visto en la actividad anterior. Puedes utilizar un procesador geométrico.

a) 11

b) 15

c) 35

d) 42

e) 0,5

f) 6, 4

12. Desafío: Ordena de mayor a menor los siguientes números.

a) ; 3,14156; 10π

b) 8 ; 8+3; 8 – 3

c) 2,71828; – 5; 2

d) 12

;3

2;

22

e) 33

;6

6;

22

f) 6,578453; 40 ; 2 20

g) 3 3; 10 –1; 2 6+3

13. Conexiones: se llama número de oro (o número

áureo) al valor 5+12

, que se designa con la letra

griega φ (phi —se pronuncia “fi”—). Un rectángulo es áureo si al dividir la medida de su largo por la de su ancho se obtiene el número φ.

a) Utilizando solo regla y compás, ubica en la recta numérica el número áureo.

b) El siguiente segmento corresponde al largo de un rectángulo áureo:

Determina, con regla y compás, su ancho. Investi-ga cómo hacerlo. Puedes consultar enhttp://goo.gl/i8Qj4k

c) Investiga respecto a obras de arte, arquitectóni-cas y otras disciplinas en que se utiliza o aparece este número.

a=3

2y b=

72


Lecc

ión Números reales

Propósito: identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

Taller


1 Realicen las siguientes operaciones con calculadora.

2+3 7+5 8 –1 5• 3

–2, 4 • 5 0 • 11 7: 2 154

a) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuáles un irracional?

b) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las siguientes operaciones.

• Sumar un número racional y uno irracional. • Restar un número racional a uno irracional. • Multiplicar un número racional distinto de cero y uno irracional. • Multiplicar un número irracional por cero. • Dividir un número irracional por un número racional.

2 Calculen el resultado de las siguientes operaciones con calculadora.

3 – 2 8 – 5 4: 8 9: 5

a) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuales un irracional?

b) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las siguientes operaciones.

• Restar un número irracional a un número racional.

• Dividir un número racional por un número racional.

3 Realicen las siguientes operaciones con calculadora y analicen los resultados obtenidos.

( )2 – 2 –1 3 – 2 8 • 2 7 • 5 27 : 3 5 : 3

¿Es posible generalizar los resultados obtenidos? Justifiquen.

Al realizar operaciones entre números racionales e irracionales podemos obtener distintos resultados: en ocasiones es posible anticipar su naturaleza y en otros casos depende de cuáles son los números que se están operando. En general, se tiene que:

Siempre es irracional Puede ser racional o irracionalracional + irracionalracional – irracionalirracional – racional

racional (≠ 0) • irracionalracional (≠ 0) : irracionalirracional : racional (≠ 0)

irracional + irracionalirracional – irracionalirracional • irracionalirracional : irracional

4


3 41 2Propósito: identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

Los conjuntos numéricosComo has visto en cursos anteriores, en ocasiones es necesario ampliar los con-

juntos numéricos para poder dar solución a situaciones y problemas. Así, para poder contar, primero se crearon los números naturales () , y luego los naturales con el cero, forman el conjunto de los números cardinales (0).

= …1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,0 = …

La necesidad de representar cantidades menores que cero, y hacer siempre posible la sustracción motivó la creación del conjunto de los números enteros (). En él se incluyen los números naturales y sus opuestos aditivos.

= − − −..., 3, 2, 1, 0,1,2,3...

Luego, la necesidad de dividir motivó la ampliación a los números racionales (), que a su vez incluyen a los enteros y sus inversos multiplicativos.

= ∈ ∧ ≠

/ , 0ab

a b b

A diferencia de los conjuntos anteriores, en el conjunto no existe la noción de sucesor o de antecesor, es decir, no es posible hablar de un único número que viene antes o después de un número dado. Además, el conjunto de los números racionales es denso, es decir, entre dos números racionales distintos cualesquiera (por ejemplo, a y b, con a < b) siempre es posible encontrar un número racional c, de modo que a < c < b.

Sin embargo, hemos visto en lecciones anteriores que los números racionales no agotan todas las posibilidades ni permiten resolver todos los problemas, ya que existen los números irracionales (*). Este conjunto es distinto de los anteriores porque no verifica la clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no necesariamente es irracional. Se define entonces el conjunto de los números reales () como aquel que incluye tanto a los números racionales como a los irracionales. Razona

y comenta§ ¿Qué utilidad puede

tener anticipar el tipo de número que se obtendrá al realizar una operación?

§ Busca en cada caso dos números que cumplan la condición dada:

• irracional + irracional = racional

• irracional : irracional = racional

• irracional + irracional = irracional

• irracional : irracional = irracional

AyudaPodemos observar la siguiente relación entre los conjuntos numéricos.

⊂

⊂⊂

=*

*

En resumenSe define el conjunto de los números reales () como aquel que incluye a los números irracionales y a los racionales.

En la operación entre números racionales e irracionales se verifica que:

racional ± irracional = irracional

irracional ± racional = irracional

racional (≠ 0) • irracional = irracional

racional (≠ 0) : irracional = irracional

irracional : racional (≠ 0) = irracional

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Determina a que conjuntos numéricos (naturales, enteros y racionales) pertenecen los siguientes números.

a) –7

b) 2

c) 19

d) 54

e) –3,56

f) 7,48

g) 5,32

h) 428020

i) 7233

j) 0

k) –29

l) 199

m) –08

n) 902,13

2. Identifica cuáles de los siguientes números son irracionales.

a) 3,333…

b) 24

c) 87,21

d) 19

e) 2,234567891…

f) 16

g) 5,290729072907…

h) 9

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso.

a) Todo número entero es además, natural.

b) El cero es un número entero, pero no racional.

c) Los números naturales contienen a los números racionales.

d) Si el denominador de una fracción es 1, represen-ta un número natural.

Práctica guiada

4. Escribe para cada conjunto 5 de sus elementos y represéntalo simbólicamente. Guíate por el ejemplo.

El conjunto de los números naturales que son múltiplos de 3 y de 5.

Paso 1 Ya que los números deben ser múltiplos de 3 y de 5, deben ser múltiplos de 15. Consi-derando esto se escriben 5 elementos de él.

15, 30, 45, 60, 75

Paso 2 Si se llama A a este conjunto, se tiene que

A 15n / n = ∈

a) El conjunto de los números naturales que son múltiplos de 3 y de 7.

b) El conjunto de los números enteros que son múltiplos de 2 y de 11.

c) El conjunto de los números naturales que, al ser divididos por 7 dan como resto 5.

d) El conjunto de los números racionales en cuya representación fraccionaria, el denominador es8 unidades menor que el numerador.

5. Calcula en cada caso un valor de a, para que se cumpla la relación dada. Guíate por el ejemplo.

∈3a+5a

Paso 1 Se analizan las operaciones realizadas, y el valor que se debe obtener.

3a+5a

debe ser un número entero. Para ello, una

posibilidad es que 3a y 5a

sean, cada uno, números enteros.

Paso 2 Se determina un posible valor de a.

3a es un número entero si a lo es.

5a

es un número entero si a es un divisor de 5. Por lo

tanto, tenemos los siguientes posibles valores de a:

–5, –1, 1 y 5.

a) ∈2a+7a

b) ∈6a–a+1a

c) ∈a+18a–1

d) ∈100a–1

+25

2a+1

e) ∈2a

a–1+

a+3a

f) ∈3a– 2

a+

a+1a–1

6. Considera el siguiente grupo de números reales

7 2 – 17 1

0 1,5 4,28 – 0,25

Elige en cada caso algunos de ellos para verificar las siguientes propiedades de los números reales.

a) Clausura de la adición

b) Asociatividad de la multiplicación



3 41 2

§ Los números irracionales son necesarios para calcular raíces cuadradas. ¿Son posibles todas las operaciones en los números reales? Investiga y discute con tus compañeros.

Reflexiona

c) Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

d) Propiedad conmutativa de la multiplicación

7. Demuestra en cada caso que x es un número irracional. Guíate por el ejemplo:

=x 5+ 7

x es la suma de un número racional y un irracional. Por lo tanto, es irracional.

a) =x 2+ 8

b) =x 3– 21

c) x393

=

d) x18

=

e) =x – 30

f) x152

=

g) =x – 103

h) =x 6+ 133

i) =x 47 – 0,28

j) =x 10 – 209

k) x5757

=

l) x3,21523

=

Aplica


8. Determina si el resultado de las siguientes operaciones es un número racional o irracional.

a) 2 • 2

b) 3+ 6

c) 53

• 4

g)

h) 173

i) 20 – 16 – 4

d) 5 –4+12

+92

e)

13 7 –

15

•5– 6

f) ( 8+5)( 8 – 5)

j) (1+ 5)2

+(1– 5)

2

k) (4+ 3)2

l) (2+ 10 )2

+(2 – 10 )

2

2 2

9. Determina en cada caso un valor de b para que las siguientes expresiones correspondan a números racionales.

a) 3b

b) 5+b

c) πb •43

d) ( )b+ 15 •3

10. Se planteó en la lección que el conjunto de los números reales es denso, es decir, que entre cualquier par de números reales distintos siempre existe otro número real.

a) Verifica, para tres pares de números reales cuales-quiera a y b, que si a > b se cumple que:

> >aa+b

2b

b) Determina, para cada par de números a y b, un irra-cional c y un racional d que verifiquen la relación:

a > c > d > b.

• a = 2 b = 1 • a = 1 b = 0,6 • a = 4,6 b = 4,3 • a = 5,2 b = 5,2

11. Catherine dibujó el esquema de conjuntos que relaciona los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Su esquema fue el siguiente.

*

A su amiga Laura le pareció que ese esquema podría llevar a un error a quien lo viera. ¿De qué error se trata? Justifica.

8 7+54


Resolución de problemasResoluciónAnaliza la resolución del siguiente problema.

Se sabe que a es un número racional distinto de cero mientras que b es un número irracional. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) operación(es) da siempre como resultado un número irracional? Justifica.

I. (a + b)(a – b) II. a²b III. ab²

Paso 1 Comprende el enunciado

a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema?Justificar qué operaciones dan siempre como resultado un número irracional.

b. ¿Qué información entrega el enunciado?Que uno de ellos es irracional, y el otro es racional.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar

Cuando sea posible, utilizaremos los criterios ya conocidos para determinar si el resultado es un número irracional. Si no es posible aplicarlos buscaremos contraejemplos, es decir, casos en que el resultado sea racional.

Paso 3 Resuelve el problema

Analizamos el primer caso, utilizando productos notables:

(a + b)(a – b) = a² – b²

a² es un número racional (a • a)y b² es el producto de un número irracional por sí mismo, lo que en ocasio-nes puede ser racional como se observa en el contraejemplo.

( )( )= = =5+ 2 5– 2 5 – 2 25– 2 232 2

Analizamos el segundo caso:a²b

a² es un número racional (a • a), y ya que a es distinto de cero, necesariamente a² es distinto de cero. b es un número irracional, y sabemos que el producto entre un racional distinto de cero y un irracional es irracional.

Analicemos el tercer caso:ab²

a es un número racional y b² es el producto de un número irracional por sí mismo, lo que en ocasiones puede ser racional como se observa en el contraejemplo.

= =3• 5 3 •25 752

Por lo tanto, solo en el segundo caso se obtiene siempre un número irracional.

Paso 4 Revisa la solución

Puedes verificar, para distintos pares de números que cumplan la condición dada, que nunca se obtiene como resultado un número irracional.

Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 28.


Para no cometer errores 3 41 2Para no

§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes

tomar para no volver a cometerlos?

Reflexiona

Priscila le pidió a Cardenio un valor aproximado de 6 con cuatro cifras deci-males. Utilizando la calculadora, obtuvo:

6 =2,4494897427831780981972840747059…

Redondeado a la cuarta cifra decimal obtuvo que

6 =2,44948… → 6 ≈ 2,4495

Priscila corrige ahora la instrucción, y le dice que lo necesita con tres cifras decimales. Cardenio entonces toma el valor anterior y lo redondea:

6 ≈ 2,4495 → 6 ≈ 2,450

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Cardenio?

§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al aproximar números irracionales?

El redondeo de un número debe hacerse siempre a partir de la estimación original. En este caso:

6 =2,449489…

→ 6 ≈2,449

Aprende la forma correctaAnaliza la situación

Fabiola analiza si el número 20, 4304 es racional o irracional. Para ello observa que:

1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25

Constata así que no es un número entero, por lo que deduce que 20, 4304 debe ser irracional.

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Fabiola?

§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al juzgar si un número es racional o irracional?

Fabiola deduce que si la raíz no es entera entonces debe ser irracional, pero esto se cumple solo para las raíces de números enteros. En este caso podemos verificar fácilmente con calculadora que:

4,52 • 4,52 = 20,4304

→ 20,4304 =4,52



Eval

uaci

ónIntegrando lo aprendidoIntegrando

Lección 1: Números irracionales y problemas geométricos

1 Resuelve los siguientes problemas e indica en qué casos el resultado corresponde a un número irracional.

a. ¿Cuál es la altura de un triángulo equilátero de lado 2 m?

b. ¿Cuál es la medida de la diagonal de un cuadra-do cuyo lado mide 1 cm?

c. ¿Cuál es la medida de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 25 cm y el otro cateto mide 20 cm?

d. ¿Cuál es la razón entre el largo de un rectángulo y su ancho si sus medidas son 1 + 5 cm y 2 cm correspondientemente?

e. ¿Cuál es la distancia en cm que recorre una rue-da de una bicicleta de 26 pulgadas de diámetro en dar una vuelta completa?

f. ¿Cuál es el área de la tapa de un libro cuyo largo y ancho miden 100 cm?

2 Determina en cada caso si los siguientes núme-ros son racionales o irracionales.

a. 81

b. 3,876543…

c. 45

d. 1+ 52

e. 1,54545454687…

f. π

g.

h.

i. 255

j. 15,35

k. 23,59

l. (1+ 8 )2

2

3 Calcula y expresa en forma exacta el perímetro y el área de las siguientes figuras.

a.

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

7 cm

b. 5cm

5cm

Lección 2: Aproximación de números irracionales

4 Determina con ayuda de la calculadora una aproximación de los siguientes números, redon-deados a la tercera cifra decimal.

a. 15

b. 20

c. 35

d. 7+3

e. 4 10

f. 3 5

g. 120

h. 24

i. 132

j. 3+ 5

5 Aproxima el resultado de los siguientes ejercicios truncando y redondeando en cada caso a la centési-ma. Calcula en cada caso el error absoluto cometido.

a. 3 + π

b. 1+ 3

c. 52

d. 8+ 8

e. 24

+3

4

6 Determina en cada caso una aproximación al número dado, con un margen de error absoluto menor que 0,0001.

a. 22 , por exceso.

b. 29 , por defecto.

Lección 3: Orden en los números irracionales y recta numérica

7 Ordena de mayor a menor los siguientes núme-ros irracionales

105

; 15;8

5; 10 ; 5

8 Determina en cada caso un número irracional que cumpla las siguientes condiciones.

a. Ser mayor que 3 y menor que 2.

b. Ser mayor que 3 y menor que 10.

c. Ser mayor que 5+12

y menor que 5+1 .

83


Evaluación3 41 2

9 Decide en cada caso si corresponde escribir <, > o = entre cada par de números.

a. 13 14

b. 235 135

c. 3 55

3

d. ( 6+1) ( 6 –1)2 2

e. 2 3+3 3 3+2

f. 2 5 20

10 Determina entre qué par de números naturales consecutivos se encuentran los siguientes núme-ros irracionales.

a. 6

b. 126

c. ( 8+1)

d. (1+ 3)2

11 Ubica los siguientes números irracionales en la recta numérica.

a. 5

b. 8

c. 10

d. 7 –1

e. – 2

f. – 5

Lección 4: Números reales

12 En el siguiente esquema escribe el nombre de cada conjunto numérico.

13 Decide si los siguientes números son racionales o irracionales. Justifica en cada caso.

a.

b. 7+1

c. 5 3 – 8 3

d. 19 –762

e. 75 : 3

f. 24 • 600

g. 115

+ 15

h. 2 21+3: 8– 3 120

14 Determina, en cada caso, dos números que cum-plan las condiciones dadas.

a. Ambos irracionales, y su producto es irracional.

b. Uno racional y otro irracional, y su producto es racional.

c. Ambos irracionales, y su cociente es racional.

52

Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar.


Indicador Mínimo sugerido por ítem Puedes repasar en la(s) página(s)

Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos

Ítem 1: 3/6 Ítem 2: 6/12Ítem 3: 1/2

10 a 12

Aproximar números irracionalesÍtem 4: 5/10Ítem 5: 3/5Ítem 6: 1/2

14 y 15

Ordenar y ubicar números irracionales

Ítem 7: 1/1Ítem 8: 2/3Ítem 9: 3/6

Ítem 10: 2/4Ítem 11: 3/6

18 y 19

Identificar y caracterizar el conjunto de los números realesÍtem 12: 1/1Ítem 13: 4/8Ítem 14: 2/3

22 y 23

Activ

idad


Sección 2

Raíces

De esto se trata…Las redes sociales han tenido un gran impacto

en nuestro mundo, y todo indica que así seguirá siendo. Como nunca antes hoy es posible difundir una noticia en pocos minutos a practicamente todo el mundo, contando solo con que las per-sonas que reciben una información la reenviarán.

En ocasiones esto da pie a malos entendidos o a informaciones falsas, con o sin mala intención. El uso de redes sociales exige una gran responsabilidad en la difusión de noticias; en general, las personas subestiman las consecuencias de lo que se puede difundir, y se asume erróneamente que algo “lo verá muy poca gente”. La experiencia ha demostrado que no es necesario que sean muchas las personas que lean una información para que esta se difunda con mucha rapidez.

El comportamiento de estas redes es un campo de estudio muy apreciado por em-presas de publicidad que buscan difundir un contenido. La clave del éxito para estas empresas es conseguir, sin enviar demasiados mensajes, una difusión amplia y rápida. ¿Cuál es el menor número de personas a las que se debe enviar una información, para que esta se propague? ¿Y si es necesario que eso ocurra antes de una fecha u hora determinada? Estas son algunas de las preguntas a las que se enfrentan publicistas y encargados de distintos tipos de campañas.


➊ Una persona publica una información que es vista por n personas. Cada una de ellas le informa, al minuto siguiente, a n personas más, y así sucesivamente. Al cabo de 20 minutos, la información es conocida por más de un millón de personas. Estimen el valor de n.

➋ El valor de n en la pregunta anterior es 2. En general, ¿qué tan bien estimamos este tipo de crecimientos?

➌ ¿Qué precauciones toman en el uso de redes sociales? Comenten con sus compañeros.

Actividad grupal

Propósito: que comprendas la definición de raíz enésima, y la apliques en el cálculo de resultados de operaciones y en la resolución de problemas.


A definir raíces y calcularlas aplicando su definición. Lección 5

realizar cálculos que permiten resolver distintos problemas.

A realizar operaciones con raíces. Lección 6

A interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas. Lección 7

A racionalizar expresiones fraccionarias. Lección 8

A resolver problemas que involucran raíces. Lección 9


Ü BaseÜ ExponenteÜ PotenciaÜ RaízÜ Subradical


Actividad


3 41 2

¿Qué debes saber?Realiza las siguientes actividades.

Calcular potencias de base racional y exponente entero

1 Escribe como potencias las siguientes expresiones.

a. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3

b. 5 • 5 • 5 • 5

c. 7 • 7 • 7

d. 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x

e. ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab

f. –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8

g. (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)

h. 23

•23

•23

•23

i. –45

• –45

• –45

• –45

• –45

• –45

• –45

• –45

2 Calcula el valor de las siguientes potencias.

a. 34

b. 28

c. –5³

d. (–6)4

e. (–0,2)5

f. 12

3

g. –34

6

h. 114

3

3 Escribe las siguientes expresiones como poten-cias con exponentes naturales.

a. 2–5

b. 7–6

c. (–12)–4

d. 3x–5

e. (a + 5b)–9

f. 5,1–8

g. (–4,21)–9

h. 23

–3

i. 63–2

j. 54

–3

–6

Aplicar propiedades de las potencias.

4 Reduce las siguientes expresiones a una sola potencia, y calcula su valor cuando sea posible.

a. 3² • 3⁵

b. 4⁵ • 4⁷

c. (–1)³ • (–1)⁸

d. 9⁶ • 9–²

e. 8⁵ • 8–¹0

f. a–² • a⁷

g. –13

• –13

2 4

h.

i. 45

•54

5 –3

j. 55

6

4

k. bb

–a

c

l. (6)¹³ : (6)¹¹

m. (–21)² : (–21)–6

n. (–12)³ : (–12)5

5 Reduce las siguientes expresiones a una sola potencia, y calcula su valor cuando sea posible.

a. 3³ • 4³

b. 23

•35

5

c. 6⁵ • 2⁵

d. (-4)⁶ • 2⁶

e. (-8)⁷ • (-1)⁷

f. 5⁴ • (-3)⁴

g. (-12)⁸ • (-6)⁸

h. 56

•35

2 2

i. 45³ : 5³

j. ab

6

6

−

−

6 Resuelve en cada caso las siguientes operaciones.

a. (13 : 13 ) •12

7 73

3

b. –89

• –89

: –98

6 8 2

c. (–3) : (–3) • (–3) • (–3)6 3 3 –4

d. 2

12

14

33

2

+

−

−

76

•76

–3 –1



http://goo.gl/fxySW Potencias de base racional y exponente entero.

http://goo.gl/LghWU Operaciones que involucran potencias.



Lecc

ión Raíz enésima

Propósito: de nir raíces y calcularlas aplicando su de nición.

Taller


Un problema imposible de resolver en la geometría clásica –es decir, solo utilizando una regla no numerada y compás- es la duplicación del cubo, es decir, a partir de un cubo cualquiera construir otro cuyo volumen sea el doble del inicial.

V=1u³ V=2u³

1 Para abordar la duplicación del cubo, podemos suponer que tenemos uno cuya arista mide 1 u, y deseamos construir otro cuyo volumen sea el doble.

a) ¿Cuál es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se desea construir?

b) La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista midiera 2. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo?

c) Si el lado de un cuadrado mide x, su área se calcula mediante la fórmula

A = x²

Si la arista de un cubo mide x, ¿cuál es la fórmula para calcular su volumen?

d) Macarena realiza la siguiente a rmación: “para encontrar la medida del lado de un cuadrado cuya área es 2, debo encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 2”.¿Qué número debe encontrar, para determinar la medida de la arista que se busca en el cubo pedido?

De la misma manera que definimos la raíz cuadrada de un número a como el nú-mero que elevado a 2 da como resultado a, podemos definir otras raíces de acuerdo al resultado obtenido al calcular una potencia. Por ejemplo:

3•3= 3² = 9 → 3 elevado a 2 es igual a 9 → 3 es la raíz cuadrada de 9 → 9 9 32= =

2•2•2= 23 = 8 → 2 elevado a 3 es igual a 8 → 2 es la raíz cúbica de 8 →

x•x•x•x•x= x5 = –19 → x elevado a 5 es igual a -19→ → x es la raíz quinta de -19

Taller


Un problema imposible de resolver en la geometría clásica —es decir, utilizando solo una regla sin graduar y compás— es la duplicación del cubo, es decir, a partir de un cubo cualquiera construir otro cuyo volumen sea el doble del inicial.

V=1u³ V=2u³

1 Para abordar la duplicación del cubo, podemos suponer que tenemos uno cuya arista mide 1 u, y deseamos construir otro cuyo volumen sea el doble.

a) ¿Cuál es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se desea construir?

b) La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista midiera 2. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo?

c) Si el lado de un cuadrado mide x, su área se calcula mediante la fórmula

A = x²

Si la arista de un cubo mide x, ¿cuál es la fórmula para calcular su volumen?

d) Macarena realiza la siguiente a rmación: “para encontrar la medida del lado de un cuadrado cuya área es 2, debo encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 2”.¿Qué número debe encontrar, para determinar la medida de la arista que se busca en el cubo pedido?

De la misma manera que definimos la raíz cuadrada de un número a como el nú-mero no negativo que elevado a 2 da como resultado a, podemos definir otras raíces de acuerdo al resultado obtenido al calcular una potencia. Por ejemplo:

3 • 3= 3² = 9 → 3 elevado a 2 es igual a 9 → 3 es la raíz cuadrada de 9 → 9 9 32= =

2 • 2 • 2= 23 = 8 → 2 elevado a 3 es igual a 8 → 2 es la raíz cúbica de 8 → 8 23 =

x • x • x • x • x = x5 = –19 → x elevado a 5 es igual a –19→ –19 x5 = → x es la raíz quinta de –19

DatoExisten otros dos problemas imposibles de resolver en geo-metría clásica, utilizando solo regla sin graduar y compás:

§ La trisección del ángulo: dado un ángulo, dividirlo en tres ángulos congruentes.

§ La cuadratura del círculo: dado un círculo de radio co-nocido, construir un cuadrado que tenga la misma área.

AyudaLas expresiones 8 23 = y 2³ = 8 entregan la misma información, es decir, son equivalentes. Por ello podemos decir que 2³ = 8 es la potencia equivalente a

8 23 = .

5


3 41 2Propósito: de nir raíces y calcularlas aplicando su de nición.

En general, si n es un número natural mayor que 1 y a es un número real, decimos que xn = a, entonces x es la raíz enésima de a:

x a a xn n= ↔ = ↔ x es la raíz enésima de a.

Además, a se llama cantidad subradical y n es el índice de la raíz.

2 Calculen las siguientes raíces y justifiquen según el ejemplo:

81 34 = , porque 34 = 81

1253 –325

164 7296

3 Observen los siguientes resultados:

64 43 = pues 4³ = 64 =–64 –43 pues (–4)³ = –64

16 24 = pues 24 = 16 =16 –24 pues (–2)4 = 16

≠–16 24 pues 24 = 16

≠–16 –24 pues (–2)4 = 16

a) ¿Existe la raíz cuarta de –16? Justi quen.

b) ¿Qué relación existe entre 643 y –643 ? ¿Se cumplirá una relación similar entre 325 y –325 ? Generalicen estos resultados.

c) Si n es un número par y a es positivo, ¿siempre será posible encontrar dos valores para an ? ¿Por qué? Justi quen.

A partir de los resultados anteriores, si a es un número positivo, se observa que:

• Si n es impar, siempre es posible calcular an y –an . Además, an es un número positivo y –an = – an , un número negativo. Por ejemplo:

243 35 = = =–243 – 243 –35 5

• Si n es par, –an no es un número real. Además, se define que an solo es el valor positivo x que cumple que xn = a. Por ejemplo:

–24014 no es un número real

2401 74 =

AyudaPuedes utilizar la calculadora para determinar el valor de las raíces enésimas. (en este caso, para la raíz quinta de 6):

x

Observa que…Cuando el índice de la raíz es 2, no se escribe:

=a a2

En caso que an esté definida en los , se tiene,

a a ann nn( )( ) = =

x x2=

Por ejemplo:

7 733 =

4 42=

Razonay comenta§ ¿Cómo interpretarías la

expresión 51 ? Justifica y discute tu afirmación con tus compañeros.

En resumenSea a un número real y n un número natural mayor que 1. Si xn = a, decimos que x es la raíz enésima de a, que se escribe an .

a = x x =an n↔

Si a es un número positivo, se observa que:

Si n es par: • –an no es un número real.

• an siempre es un número positivo.

Si n es impar: • an y –an siempre son números reales.

–a =– an n

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Escribe como potencias las siguientes expresiones.

a) 10 • 10 • 10 • 10

b) 4 • 4 • 4 • 4 • 4

c) a • a • a • a • a • a • a • a

d) (b + 2) • (b + 2)

e) 45

•45

•45

f) –12

• –12

• –12

g) 1625

h) 51249

i) (2a + 3) • (2a + 3) • (2a + 3)

j) b+1c –1

•b+1c –1

•b+1c –1

•b+1c –1

•b+1c –1

2. Calcula el valor de las siguientes potencias.

a) 53

b) 12–¹

c) (–2)4

d) –46

e) (2²)³

f)

g) 67

–3

h) 343

2

i) (2,5)–1

j) 12

3 –1

3. Escribe las siguientes expresiones como potencias con exponentes naturales.

a) 3–¹

b) (4,2)–¹

c) 10–²

d) 10–3

e) a–4b²

f) (ab)–6

g) –5–²

h) 98

–3

i) (–0,2)–4

j) (x + y)–a

k) c 1b

–3+

l) (3ac)–5

m) 33

–4

–8

n) (0,8)–¹0

ñ) –66

3

–2

o) –10–² • 4–¹

Práctica guiada

4. Escribe para cada potencia una expresión equivalente con raíces. Guíate por el ejemplo.

24 = 16

2 16 16 24 4= → =

a) 34 = 81

b) 4² = 16

c) (–6)3 = –216

d) ax = b

e) 4y = c

f) 23

827

3

=

g) 13

1243

5

=

h) 1z

ab

w

=

5. Calcula en cada caso el valor de x. Guíate por el ejemplo.

3 x5=

Paso 1 Se determina la potencia equivalente.

3 x 3 x5 5= → =

Paso 2 Se calcula el valor de x.

3⁵ = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243

a) 2 x5=

b) 6 x3=

c) 4 x=

d) 3 x3=

e) 12

x3=

f) 45

x=

g) 32

x4=

h) 0,25 x=

i) 2,5 x3=

j) 5 x23=

6. Calcula, cuando sea posible, el valor de las siguientes raíces utilizando los valores dados. Justifica cuando no sea posible. Guíate por el ejemplo.

2²= 4 2³= 8 24= 16 25= 32

3²= 9 3³= 27 34= 81 35= 243

5²= 25 5³= 125 54= 625 55= 3125

–1253

Paso 1 Si es necesario se determina una expre-sión equivalente.

–125 – 1253 3=

–53

4



3 41 2

§ ¿Cómo interpretarías la expresión n–3 ? Discute con tus compañeros.

Reflexiona

Paso 2 Se calcula el valor pedido.– 125 –53 =

a) –273

b) –83

c) 1253

d) –9

e) 4

f) –814

g) –2435

h) 25

i) 6254

j) –25

k) 164

l) –164

m) 31255

n) –325

Aplica

7. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) 4+ 273

b) 256+ 814

c) 2 64 83−

d) 64+3 8 – 5 13 3 7

e) 4+4 6254

f) 10000 –12

10004 3

g) 366

+2 729

3

3

h) 49+3 24017

4

i) ( )32 3 4+ 216 – 2 275 3 3

8. Utiliza la calculadora para determinar una aproximación redondeada a la milésima de las siguientes expresiones. Calcula además el error relativo cometido en la aproximación.

a) 23

b) 54

c) 125

d) 2 63

e) 3 187

f) 8 –195

g) 11– 2 53

h) 7 0,2 – 4 83

i) 4 21+6 135

9. Determina qué condiciones debe cumplir en cada caso el número real a para que la raíz pueda calcularse en los números reales.

a) a

b) a3

c) a4

d) a+1

e) a–14

f) a2

6

g)

h) 3a

i) –2a3

7

j) –4a5

6

k) (a+1)(a–1)

l) (a+2)(a–2)

10. Desafío: realiza la siguiente actividad con tu calculadora.

a) Escoge un número positivo mayor que 1, y calcula una raíz de él a tu elección (por ejemplo, su raíz séptima.

b) Al resultado anterior, calcúlale su misma raíz enésima.

c) Repite el paso anterior tantas veces como te permita la calculadora. ¿A qué resultado llegas? Explica por qué.

d) Repite los pasos anteriores, con un número positivo menor que 1. ¿A qué resultado llegas? Compara con el caso anterior y explica.

11. Desafío: considera las siguientes raíces enésimas.

23 814

8

273 10245

53

a) Determina su valor con calculadora.

b) A partir del cálculo anterior, ¿cuáles son irraciona-les? ¿Cuáles son racionales? Justifica.

c) Considera la afirmación “si la raíz enésima de un número entero no es entera, es irracional”. ¿Te parece que es cierta? Investiga al respecto y da un contraejemplo si es falsa, o una demostración si es verdadera.

1a

3


Lecc

ión

Sofía está realizando algunos cálculos que involucran raíces, y utilizará la calculadora para obtener su resultado final. Sin embargo, ha llegado a una expresión que le resulta difícil de manejar:

2 • 3 + 192 –122

5 5 54

4

Para reducirla un poco deduce algunos resultados previos me-diante los siguientes pasos:

Paso 1 Plantea la siguiente relación:

( )( ) ( )

( )=

=

=

=

=

=

=

2 • 3 x /

2 • 3 x

2 3 x

2 • 3 x

2 • 3 x

6 x

6 2 • 3

5 5 5

5 55 5

55

55 5

5

5

5

5 5 5

Por lo tanto, 2 • 3 65 5 5= . En general, se puede utilizar la propiedad de la multiplicación de raíces de igual índice:

=a • b abn n n

Paso 2 Para el segundo término, observa que:

=

=

=

=

192 32 • 6

192 2 • 6

192 2 • 6

192 2 • 6

5 5

5 55

5 55 5

5 5

En general, se puede utilizar la propiedad de introducción y extracción de un término a una raíz:

=a b a bnn n

Observa que este resultado puede utilizarse de dos maneras, tanto para introducir términos en una raíz como para sacarlos.

Para introducir un coeficiente a la raíz Para sacar una potencia de la raíz

=

=

=

3 5 3 • 5

3 • 5

405

4 44 4

44

4

= =

=

=

112 8 •14 2 •14

2 • 14

2 14

3 3 33

33 3

3

Propósito: realizar operaciones con raíces.

Se busca una expresión equivalente.

Se utiliza el producto de raíces de igual índice.

Raíces y operaciones

Producto de potencias de igual exponente.

Por definición.

Por definición.

6

AyudaPara aplicar las propiedades delas raíces que estudiaremos, es necesario que las expresio-nes involucradas siempre se encuentren definidas en los números reales.


3 41 2Propósito: realizar operaciones con raíces.

Paso 3 Analiza la expresión 122

4

4

=

=

= =

122

2 • 62

2 6

2

6122

4

4

4

4

4 4

4

4 4

En general, se puede utilizar la propiedad de la división de raíces de igual índice:

=ab

ab

n

nn

Paso 4 Remplaza y reduce la expresión

2 • 3 + 192 –122

6 + 2 6 – 6

3 6 – 6

5 5 54

4

5 5 4

5 4

Los términos que contienen raíces con igual índice y cantidad subradical pueden sumarse o restarse de la misma manera en que se hace con términos semejantes. Si no son iguales, no podemos reducir las expresiones entre sí.

Estos resultados nos permiten manejar expresiones más pequeñas, que favorecen el uso y cálculo de éstas con la calculadora.

Así, utilizando la calculadora se obtiene una aproximación para:

≈3 6 – 6 2,72785 4

Es conveniente que las expresiones sean "reducidas a su mínima expresión" pues nos permitirá disminuir el riesgo de errores gracias a que podremos realizar menos operaciones.

Razonay comenta§ En la sección 1 se vio

que no siempre el pro-ducto de dos números irracionales da como resultado un número irracional. Por ejemplo:

2 • 8 y 8 : 2 no son números irra-

cionales. Demuestra ahora por qué.

§ Determina en pocos pasos un procedimien-to para ubicar en la recta las siguientes raí-ces cuadradas. Utiliza lo visto en la lección.

45 75 98

En resumenEs posible sumar o restar entre sí raíces enésimas si sus índices y cantidades subradicales son iguales.

Si an y bn pertenecen a , se verifican las siguientes propiedades:

a • b = ab

a b =a b

ab

=ab

n n n

nn n

n

nn

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones.

a) wz + 5zw – 3y

b) a+3a–12

a

c) m² + 4m² – 9m²

d) 3a² + b5 – a² + b

e) 12m²y + 3xy – 12m²y – xy

f) 0,2x²y – 0,3xy² + 0,5x²y + x²y – 0,4xy²

g) 15xy –16

y –3xy

2+4y – 5xy2 3

23

h) a b2

– 2ab +3a b –6ab

5

22 2

2

2. Reduce las siguientes expresiones a una sola potencia, y calcula su valor cuando sea posible.

a) 2³ • 5³

b) 10² • 5²

c) ab • cb • db

d) 63

4

4

e) –164

6

6

f) xz

y

y

g) ( )5–3 4

h) 34

•43

4 4

i) 23

4 –1

j) (b–²)–³

k) 5 • 4 •54

2 3 3

2

l) a (c +2 )2

b b b

b

3. Resuelve en cada caso las siguientes operaciones.

a) 2 • 41

5 5

5

b) 16³ : 8³ • 3³

c) (3x³ + 2y³ – x²)³ : 4³

d) –54

: –25

8 8

e) (3⁴ • 5³)⁷ : (3² • 5)⁷

f) 2 • 4 : 53 3 2 63

( )( )

g) 2(a b+4a b)ab

3 3

Práctica guiada

4. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo.

= =5 • 12 5•12 603 3 3 3

a) 6 • 43 3

b) 5 • 6

c) 3 • 12 • 26 6 6

d) 12

•46

4 4

e)

f) a • bn n

g) a • a4 4

h) ab

• 4 • bb b b


= = =2 3 2 • 3 16 • 3 484 44 4 4

a) 2 44

b) 4 2

c) a bn

d) 515

e) x x3

f) 2n 35

g) 45

1254

h) 3 32 5

6. Reduce las cantidades subradicales de las siguientes expresiones hasta el menor número natural posible. Guíate por el ejemplo.

288 32 • 9 2 • 9 2 95 5 55 5= = =

a) 965

b) 804

c) 1083

d) 2245

e) 2404

f) a74

g) b85

h) 48

i) 648384

3

j) b4aa


=125

125

7

77

a) 105

4

4b) 6

3

–7 •17

8 8



3 41 2

§ Una calculadora o un computador pueden realizar cálculos con gran rapidez, sin necesidad de que los valores se ingresen “reducidos”. ¿Qué sentido puede tener saber hacer esto manualmente? Discute con tus compañeros.

Reflexiona

c) 10244

5

5

d) ab

3

3

e) xy

xy

n

n

f) b : a4 4

g) +

+

7

4

5 y

5 y

h) 23b8b

212

12

i) x+y

x

3

3

j) 6 : 49

9 9

9

Aplica

8. Resuelve las siguientes operaciones.

a) 19 – 2 2+1– 2 2

b) 9,2 3+2 3+0,6+2 2

c) 2,27+4 8+27

+ 83 3

d) 21– 3 5+7 –7 5

e) 2, 4+3 7 –32

– 73 3

f) 2,5 5+3 11–35

5+ 11

g) 835– 5 223+14 – 2 223

h) 8,3 51– 22 51+1,8 – 21 49

i) π π81– 2,1 + 3+6

13– 33 3

j) π π π π1,3 – 3 11 –35

– 33 11

k) 125 – 3,8+ 7 –12

– 73 3

l) 6+ 6+ 9

m) 169 •2513

•1625

9. Aplica las propiedades de las raíces para resolver las siguientes ecuaciones.

a) =21+x – 4 8 32 – 8

b) =3 3+ 5+y 2 5 – 2 3

c) =1,5 9 •3

143+y 4 –

125

3 3

d) =x – 3 3– 18 •7 2

e) 2 :45

– z 98 : 23 =

f) =x 4 3 • 123

10. Resuelve los siguientes problemas.

a) Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide

35 cm.

b) Calcula el área de un círculo cuyo radio mide π m.

c) Calcula el perímetro de un triángulo, cuyos lados

miden 75 m, 100 m y 125 m.

d) Calcula el perímetro y el área de un rectángulo

cuyo largo mide 243 m, y su ancho, 3753 m.

e) Calcula el volumen de un paralelepípedo cuyas

aristas miden 2 cm, 6 cm y 10 cm.

11. Calcula el valor numérico de cada expresión:

a) 9 •2 3 •2 3

b) 5,3 50 : (2 2 )

c) 2,9 •9 27 •121

3

d) 3 11 :35

113 3

e) 81•2,7 • 3 • 33 3

f) a • (–4a 24 ) : 24

g) 2 8 – 4 8 : 2 2( )

h) 11, 4 :103

9( 4 : 4 )3 3

i) 1,3•3a 25 –35

a– 33a 1253

j) a 12 : (b 12 ) •b –12a+1


Lecc

ión

En años anteriores se definió que si n es un número natural, an, corresponde a una multiplicación de n factores, todos iguales a a. Con esta definición no es natural pensar que n pueda ser igual a –2, por ejemplo, pues correspondería a multiplicar “–2 factores” iguales a a. De la misma manera, tampoco resulta muy comprensible que el exponen-te pudiera ser igual a 1

5. Sin embargo, sí podemos hacer una interpretación de lo que

corresponde a una potencia de exponente entero o racional.

Paso 1 Sabemos que, para dividir dos potencias de igual base, se mantienen las bases y se restan los exponentes. Por lo tanto:

= =33

3 35

75–7 –2

Si para realizar este cálculo desarrollamos las potencias, tendríamos que:

= = = =33

3• 3• 3• 3• 33• 3• 3• 3• 3• 3• 3

3 • 3 • 3 • 3 • 33 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3• 3

13• 3

13

5

7 2

Por lo tanto, se puede interpretar que 31

3–2

2= . En general, a1

a–n

n= .

Paso 2 Sabemos también que 7 7 72 3 2•3 6( ) = = . En general, podemos utilizar la

propiedad de potencia de potencia a am n m•n( ) = .

¿Cómo se puede interpretar 514? Podemos llamarlo x, y aplicar la propiedad anterior:

por definición

( )=

=

=

=

=

5 x /

5 x

5 x

5 x /

5 x

14 4

14

4

4

14

•4 4

1 4

4

Por lo tanto, se puede interpretar que 5 514 4= . En general, podemos interpretar una

potencia de exponente 1n

(con n número natural mayor que 1) como la raíz enésima de la base:

=a an1n

Propósito: interpretar las raíces como potencias de exponente racional.

En las potencias, si a y b son números racionales distintos de cero, y m y n son enteros, se cumple que:

an • am = an+m

an : am = an–m

(an)m = amn

an • bn = (ab)n

an : bn = (a : b)n

a0 = 1

No existen propiedades para la multiplicación y división de potencias de distinta base o distinto exponente.

Debes saber… Potencias de exponente racional

7


3 41 2Propósito: interpretar las raíces como potencias de exponente racional.

Paso 3 Interpretaremos ahora el sentido de la expresión a23, utilizando los resultados

anteriores. Tenemos dos formas de hacerlo y son equivalentes entre sí.

a a

a

a

23

13

•2

2

32

13( )( )

=

=

=

a a

a

a

23

2•13

2

23

13( )

=

=

=

Es decir, a a a23 3

2 23( )= = . En general, a a anm mnm

n ( )= = .Estos resultados nos permiten reducir expresiones y demostrar otras propiedades,

como se muestra:

Propiedad Ejemplo

= = =a a a amrnr mnm rn r

mn 3 3 3 368

3• 24• 2

34 34= = =

( )= = =a • b a •b ab abmn mn n mmn

mn

mn 9 • 5 = 9 • 5 = 5• 9 = 4525 25

25

25

25 5 2

( )

= = =a

b

a

b

ab

ab

mn

mnn

mmn

mn

mn 2

11

2

11

211

211

47

477

447

47

47

= = =

= = =( )a • a a • a a amn pq mq+npnqmn

pq

mq+npnq = = =( )+

2 • 2 2 • 2 2 216 27 194216

27

7 1242

= = =( )a

a

a

aa a

mn

pqmq–npnq

mn

pq

mq–npnq 8

8

8

88 8 8

45

13

– 71545

13

45

13

12 515= = = =( ) ( )−

a a a a anm • mn1n

1m 1

n1m

1mn( )( ) ( ) ( )= = = = ( )( ) ( )= = =10 10 10 1053 15

15

13 1

15

Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional sí es posible realizar algunas operaciones que con exponentes enteros no habríamos podido realizar, ya que en este caso siempre será posible igualar los exponentes. Por ejemplo:

=5 • 7 5 •738 512 38

512

Tenemos un producto de potencias con distinta base y exponente, que hasta el mo-mento no habíamos podido operar. En este caso amplificaremos los exponentes para que tengan igual denominador, lo que nos permitirá luego igualarlos, como se muestra.

5 •7 5 •7

5 •7

5 • 7

5 •7

9 10

9 1024

38

512

3 • 38 • 3

5 • 212 • 2

924

1024

124

124( ) ( )

=

=

=

=

AyudaLa interpretación de una raíz como potencia de exponente racional se puede calcular en la planilla de cálculo. Por ejem-plo, para calcular 53 , puedes utilizar el siguiente comando:

=POTENCIA(5;1/3)

AyudaRecuerda verificar que lasraíces involucaradas al aplicar las propiedades estén definidas en los números reales.

Razonay comenta§ Hemos definido las

raíces enésimas consi-derando solo núme-ros naturales para el índice, es decir:

53 84

217 179

§ ¿A qué raíces enésimas son equivalentes las si-guientes expresiones? Justifica.

5– 12 7– 1

3 2– 14 8– 1

5

En resumenUna raíz enésima puede relacionarse con una potencia de exponente racional, como se muestra:

a = a = amn nmm

n ( )Al considerarla así, es posible aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones para expresar el resultado en una única potencia.

a) 2⁵ • 2³

b) 5⁴ • 5³

c) 55 : 5³

d) 5³ • 5–6

e) aa

–6

4

f) ax • ay

g) 13

•13

2 7

h) ab

•ab

b c

−

i) 12

:12

45 40

j)

k) 10–¹ • 10⁴ • 10–5

l) 56

•56

–1 3

m) x–³ • x–⁷

n) (–58)⁸ • (–58)⁹

ñ) m–n : m–¹

o) 78 : 74

p) 85

:85

–b a

q)

1212

10

10

5

2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

a) 84

, simplificada por 2

b) 25125


c) 49343


d) 12

, amplificada por 4

e) 78

, amplificada por 7

f) 34

, amplificada por 10

3. Resuelve las siguientes operaciones y reduce el resultado.

a) 57

+102

–207

b) 23

14

+52

c) 124

:62

d) 2+34

– 3+96

e)

f) 45

•102

:13

g) 72

•73

•56

+23

h)

76

–27

412

+36

i) 3+

76

–36

4 –34

j) 1–1

1–1

1–12

Práctica guiada

4. Representa como raíz las siguientes potencias. Guíate por el ejemplo.

4 413 3=

a) 312

b) 1213

c) 47

74

d) (a+b)43

e) –312

f)

32

54

g) 3a–

35

h) (3– x)32

i) (–2)35

j) (–3)23

5. Representa como potencias las siguientes raíces. Guíate por el ejemplo.

5 512=

a) 13

b) 32

4

c) a+b3

d) – 8

e)

25

5

6

f) a75

g) (3+5x)2

h) (–2)79

i) 3–44

j) 2a2b

6. Representa las siguientes raíces como otra raíz equivalente, con el menor índice posible. Guíate por el ejemplo.

= = =5 5 5 51563 •52• 3

52 52

a) 748

b) 1296

c) 4bcab

d) x85

8

e) 232n4n

f) y1664

g) 9 7424

h) 21 410 520

i) 21 • 410 1020

j) 5 •12

2x2x

4 y

1010

20

17

56

+46

:309

+69



3 41 2

§ Como viste en la lección, en ocasiones se definen operaciones que luego deben ser interpretadas nuevamente para darle sentido. ¿Conoces casos similares en otras disciplinas? Comenta con tus compañeros.

Reflexiona

7. Reduce las siguientes multiplicaciones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo.

( )= = =2 • 3 2 • 3 2 • 3 634 3443

43

43 34

a) 6 • 75 5

b) 5 • 44 4

c) 7 • 3–35 –35

d) 4 • 1012

512

5

e) –10 • 786 86

f)

g) 6 • 9ba ba

h) ( )1+x • 625 25

i) – 5 3 • xa ac ac

j) −( 5) • 53 3

8. Expresa las siguientes divisiones como una sola raíz. Guíate por el ejemplo.

= = =

=

2

4

2

4

24

12

12

34

34

34

34

34

34

3

4

a) 5

7

53

53

b) 21

7

68

68

c) 6

7

–24

–24

d) x

y

ca

ca

e) 45

9

18

3

18

3

f) r

s

3ab

3ab

9. Expresa las siguientes multiplicaciones de raíces de igual base como una sola raíz. Guíate por el ejemplo.

4 • 4 4 • 4 4 423 6523

65

10+1815 2815= = =

a) 5 • 557 36

b) 6 • 63 54

c) b • ba b

d) 45

•45

4

3

5

9

e) –6 • –634 74

f) – 0,23 • –0,236 23

g) 2 c •5 c–19 64

h) 9a • 623

10. Expresa como una sola raíz. Guíate por el ejemplo.

3

3

3

33 3 3

34

72

– –228

34

72

34

72

6–288= = = =( ) ( )

a) 4

4

53

45

b) 14

14

a

b7

c) 9

9

12

2

56

d)

34

34

9

7

5

7

e) (a+3)

(a+3)

23

65

f) 3

3

45

79

11. Expresa como una única raíz. Guíate por el ejemplo.

12 12 12 12 1226 • 1212

16 1

216

112( )( ) ( ) ( )= = = =

a) 2134

b) 3267

c) a3

d) 59

710

e) 2x45

f) 27 433

g) a658

h) 238

10

105

Aplica

12. Reduce las siguientes expresiones.

a) 3 • 5153

b) 18 6 : 324 24( )c) a a

a

2 –2

4

d) (x+1) (x+1) (x+1)

e) 2 2 23

f) xy •1x

43 12

g) 3 3 : 343 –15

h) 100 a2 3 • 3

10

10

8 •78

7217

21


Lecc

ión

Se llama racionalizar una expresión fraccionaria a encontrar otra expresión equiva-lente a ella, pero que no contenga raíces en el denominador. Puedes verificar utilizando la calculadora que:

12

1: 2 2 : 22

2= = =

Para determinar esta expresión buscaremos en cada caso el valor por el cual debemos amplificarla.

Caso 1 Consideremos el caso 45

. Necesitamos amplificarla por un número que,

multiplicado por 5 dé como resultado un número racional. Lo más sencillo es que sea precisamente 5, pues 5 • 5 5= . Por lo tanto:

45

45

• 55

4 55 5

4 55

=

=

=

Hemos obtenido así una expresión cuyo denominador es un número entero. En general:

=ab

a bb

Caso 2 Consideremos el caso 4

735. ¿Qué número multiplicado por 735 da como

resultado un número entero? Podemos observar que 7 • 7 7 735 25 55= = ,

por lo que amplificaremos por 725 .

4

7

4

7• 7

7

4 7

7 7

4 77

35 35

25

25

25

35 25

25

=

=

=

En general, para m < n tenemos que:

=a

b

a bbmn

n–mn

Propósito: racionalizar expresiones fraccionarias.

Toda fracción se puede amplificar por un número distinto de cero, obteniendo así una fracción equivalente.

Por ejemplo:35

•66

3 • 65 • 6

1830

= =

Debes saber… Racionalización

DatoExisten análisis matemáticos que requieren estudiar el denominador de una fracción, por lo que se necesita que esté expresado de la manera más simple posible. Por esto, se evitan las raíces inexactas en el denominador.

Ayuda¿Por qué escogimos 725 para amplificar? Comenzamos buscando una expresión del tipo 7x5 . Así,

7 • 7 735 x5 3+x5=

Lo más sencillo es hacer que 7 7 73+x5 55= = . Por lo tanto,

3 + x = 5 x = 5 – 3 x = 2

8

amplificando

=5 • 5 5


3 41 2Propósito: racionalizar expresiones fraccionarias.

Caso 3 Consideremos ahora los casos 315 – 2

y 315+ 2

.

Ahora hay dos raíces cuadradas en el denominador. Para determinar el término por el cual amplificar utilizaremos el producto notable conocido como suma por diferencia:

( )( )===

15+ 2 15 – 2 15 – 2

15 – 213

2 2

Por lo tanto, la primera fracción la amplificaremos por 15+ 2, y la segunda, por 15 – 2. Obtendremos así una diferencia de cuadrados que será un número entero.

315 – 2

315 – 2

• 15+ 215+ 2

3 15+ 2

15 – 2 15+ 2

3 15+3 2

15 – 2

3 15+3 215 – 2

3 15+3 213

2 2

( )( )( )

=

=

=

=

=

315+ 2

315+ 2

• 15 – 215 – 2

3 15 – 2

15+ 2 15 – 2

3 15 – 3 2

15 – 2

3 15 – 3 215 – 2

3 15 – 3 213

2 2

( )( )( )

=

=

=

=

=

En general:

=

=

ab+ c

a b – a cb – c

ab – c

a b+a cb – c

En ocasiones habrá que utilizar más de una vez estos procedimientos, o más de uno de ellos en cada caso, para racionalizar expresiones más complejas.

AyudaSuma por diferencia

(x – y)(x + y) = x2 – y2

AyudaPara racionalizar una expresión,se debe verificar que las raíces se encuentren definidas en los números reales como también las fracciones que resultan, es decir, que no tengan denomi-nador igual a cero.

Razonay comenta§ ¿Qué procedimiento

se puede utilizar para racionalizar la siguiente expresión?

13 –1

§ Ubica en la recta nu-mérica los siguientes números irracionales:

13

; 1

5 – 2 ;

1815

; 17

En resumenDada una expresión que contiene una o más raíces inexactas (irracionales) en su denominador, se llama racionalizar al proceso de encontrar una expresión equivalente a ella que no contenga raíces en el denominador. Para ello se pueden emplear las siguientes equivalencias:

ab

=a b

b

a

b=

a bb

ab ± c

=a b c

b–c

mn

n–mn

∓( )

Recuerda verificar que las expresiones, en cada caso, se encuentren definidas en los números reales.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Resuelve los siguientes productos notables.

a) (a + b)²

b) (x – y)²

c) (2 + a)²

d) (xy – 4a³)²

e) (5 + b)(5 – b)

f) (3a + 5)(3a – 5)

g) (4x – 1)(4x + 2)

h) (x + 3)(x + 4)

i) (a – 3)(a² + 9 + 3a)

j) (4 + x³)(16 + x6 – 4x³)

k) (x + y + 2z)²

l) (2a + b²)²

m) (3a² + 4xy³)²

n) (5x² + 3)(5x² – 3)


a) ( )1– 22

b) 5 –15

5+15

c) ( )( )x – 8 x – 8

d) ( ) ( )( )2 – 2 – 2 – 2 2+ 22

e) b b –1a

a3 33

f) ab

ba

x – x – 3 x + x4 6 6 22( )

Práctica guiada

3. Determina para cada expresión otra equivalente sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo.

= = =13

13

• 3

• 3

33 3

33

a) 16

b) 18

c) 3a

d) –212

e) 53 6

f)

g) 513

h) xy

i) 6x+y

j) 53z


=

= =

= =

2

4

2

4•

4

4

2 4

4 4

2 4

4 • 4

2 4

4

2 44

25 25

5–25

5–25

35

25 35

35

2 35

35

55

35

a) 243

b) –12

723

c) 102 163

d) 2

a b23

e)

f) a

b713

g) –5

8 6253

h) a

125b

2

46


43+ 10

43+ 10

•3 – 103 – 10

4 3 – 4 10

3+ 10 3 – 10

4 3 – 4 10

3 – 10

4 3 – 4 103 –10

–4 3 – 4 10

74 10 – 4 3

7

2 2

( )( )

=

=

=

=

=

=

a) 12+ 8

b) 95 – 3

c) 1718 – 11

d) 3221– 13

e) 17 – 6

f) 22+ 2

g) –3

4 – 5

h) –7

7+ 12

i) 1+ 21– 2

j) 152 4+3 5

–2

7 3

7

435



3 41 2

§ Investiga respecto a la utilidad de racionalizar una expresión. ¿Qué sentido puede haber tenido hacerlo hace doscientos años? ¿Qué sentido puede tener hacerlo ahora?

Reflexiona

Aplica

6. Determina para cada expresión otra equivalente sin raíces en el denominador. Si es necesario aplica más de una vez los procesos vistos.

a) 5

5+ 2

b) x

x+ 3

c) 12+ 34

d) 4 – 3

4+ 3

e) 1

1024b1035

f) 12+ 64 4

g) 212

3

h) 6 – 46+4

i) a

27a24

j) 3x – xy

3 xy – y

7. Racionaliza y luego evalúa la expresión obtenida para a =5, b=2 y c=6.

a) ca

b) bb

c) ca3

d) 1a+b4

e) aa –1

f) ca – b

g) bb+ b

h) a2 c – b

8. Calcula a² + b² si =a1

2 3 – 6 y =b

52 3+ 6

9. Calcula a² – b² si =a2

2 – 5 y =b

–42+ 5

10. Calcula (a + b)² si =a385

y =b364

11. Calcula 4a² + 8ab + 4b² si =a1

5+ 3 y =b

15 – 3

12. Desafío: Racionaliza las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.

( ) ( ) ( ) ( )

=

=

=

=

16+ 5

16+ 5

•6 – 6 • 5+ 5

6 – 6 • 5+ 5

6 – 6 • 5+ 5

6+ 5 6 + 6+ 5 • – 6 • 5 + 6+ 5 5

6 – 30+ 5

6 + 5• 6 – 6 • 5 – 6 • 5 + 5 • 6 +5

6 – 30+ 511

3 3 3 3

23 3 23

23 3 23

23 3 23

3 3 23 3 3 3 3 3 23

23 3 23

23 23 23 23

23 3 23

a) 12+ 43 3

b) 25+ 83 3

c) 33 9+3 103 3

d) 12+ 123

e) 2cc – b3 3

f) 16 – 33 3

g) 52 5+ 43 3

h) 134

– 53 3

i) 26 –13

j) 5b – ca – b3 3

13. Desafío: Racionaliza las siguientes expresiones.

a) 32 – 3+ 5

b) 72 – 3+ 2

c) a–b

(a–b)23


Lecc

ión

Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo ale-mán que describió las relaciones entre las masas de los planetas, sus distancias y sus órbitas. La tercera ley de Kepler permite relacionar el período de traslación t de un planeta (medido en años terrestres) con su distancia d al Sol –medida en unidades astronómicas– por medio de la siguiente fórmula

=t d3

El período de traslación t del planeta Marte es de 1,8809 años terrestres. ¿Cuál es su distancia al Sol? Para averiguar-lo, resolvemos la siguiente ecuación:

=

=

=

=≈

1, 8809 d

1, 8809 d

3,53778481 d

3,53778481 dd 1,52

3

2 32

3

3

Hemos resuelto una ecuación cuya incógnita se encontraba en la cantidad subradical de una raíz. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones radicales.

Como regla general, para resolverlas aislamos una raíz a uno de los lados de la ecuación y elevamos a la potencia adecuada para eliminarla. Es preciso además comprobar que la solución obtenida no sea contradictoria con las restricciones de la raíz.

Observa en los siguientes casos.

Caso 1 Considera las ecuaciones 2x+8 – 3x – 6 0= y 2x – 8 – 3x+6 0=

( )

=

=

==

2x+8 – 3x – 6 0

2x+8 3x – 6 /

2x+8 3x – 6x 14

2

Al remplazar en la ecuación se obtiene:

=

=

==

2 •14+8 – 3 •14 – 6 0

28+8 – 42 – 6 0

36 – 36 06 – 6 0

( )

=

=

==

2x – 8 – 3x+6 0

2x – 8 3x+6 /

2x – 8 3x+6x –14

2


=

=

=

2 • –14 – 8 – 3• –14+6 0

–28 – 8 – –42+6 0

–36 – –36 0

Podemos observar que en la primera ecuación, al remplazar el valor obtenido se confirma que es correcto porque la igualdad se satisface. En la segunda, el valor obtenido genera raíces cuadradas de números negativos, lo que no es válido en los números reales. Por lo tanto, en la primera ecuación la solución es x =14, mientras que la segunda no tiene solución.

Para que una raíz de índice par esté definida, es necesario que su cantidad subradical no sea negativa.

Debes saber… Raíces enésimas, problemas y ecuaciones

DatoUna unidad astronómica (UA) corresponde a la distancia de la Tierra al Sol. Con ello, se puede medir la distancia de los demás planetas en unidades astronómicas.

Venu

s

Tierra

0,72 UA

1 UA

Sol

Propósito: resolver problemas que involucran raíces.

Se deja una raíz a cada lado, y se eleva al cuadrado.

9


3 41 2Propósito: resolver problemas que involucran raíces.

Caso 2 Considera la ecuación x+11+ 4x+9 – 9x+34 0=

En este caso es preciso aislar una de las raíces y será necesario elevar al cuadrado dos veces, como se muestra:

( )

( )( )

( )

=

=

=

=

=

===

x+11+ 4x+9 – 9x+34 0

x+11+ 4x+9 9x+34 /

x+11+2 x+11 4x+9 +4x+9 9x+34

2 4x +53x+99 4x+14 /:2

4x +53x+99 2x+7 /

4x +53x+99 4x +28x+4925x –50

x –2

2

2

2 2

2 2

Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que:

=

==

–2+11+ 4 • –2+9 – 9 • –2+34 0

9+ 1– 16 03+1– 4 0

No se verifican restricciones, por lo que la solución es válida.

Caso 3 Considera la ecuación 5– 2x98 – 2x

x+7

2

= .

Podemos multiplicar la ecuación a ambos lados por x+7 y resolvemos

( )( )

( )

=

=

=

=

===

5 – 2x98 – 2x

x+7/ • x+7

5 – 2x x+7 98 – 2x

5 – 2x x+7 98 – 2x

–9x – 2x +35 98 – 2x /

–9x – 2x +35 98 – 2x–9x 63

x –7

2

2

2

2 2 2

2 2

Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que:

5 – 2 • –798 – 2 –7

–7+719

00

2( )= → =

Observa que este valor hace que el denominador de la fracción sea igual a cero, esto no debe ocurrir. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

Se aísla una de las raíces y se eleva al cuadrado.

Se aplica la propiedad del producto de raíces.

Se reducen términos semejantes.

Se eleva al cuadrado nuevamente.

Razonay comenta§ ¿Sabemos que por

definición la raíz cua-drada de x es el valor positivo que, multi-plicado por sí mismo, da como resultado x. ¿Por qué la ecuación

2x+5+ 3x – 8 0= no tiene solución? Justifica.

En resumenUna ecuación radical es aquella cuya incógnita se encuentra en una cantidad subradical. Para resolverla es necesario utilizar las propiedades de las raíces y considerar sus restricciones.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Desarrolla las siguientes potencias.

a) (a + b)2

b) (x + y)3

c) (2 – y)2

d) (p – 3)3

e) (2a + 5)2

f) (4c – 3)3

g) (p2 + q3)2

h) (2ap3 – 5q)2

2. Determina en cada caso qué condición debe cumplir a para que sea posible calcular la raíz.

a) a

b) a+5

c) a– 8

d) a– 34

e) 3a– 86

f) 5a310

Práctica guiada

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo.

( )====

x+6 – 2x – 6 0x+6 2x – 6 /x+6 2x – 6

x 12

2


− ===

12+6 2 •12–6 018 – 18 0

0 0

No hay restricciones, por lo que la solución es válida.

a) 2x+2 – 3x+1 0=

b) x –10 – 5x – 6 0=

c) 4x – 5+ x+12 0=

d) x+4 – 6x – 6 0=

e)

f) x – 25 + x +5x 02 2 =

g) 3x+9 – 63 0=

h) x+5 + x+3 2=

4. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo

( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

=

=

=

=

====

x + 4 + 49x +9 64x +25 /

x + 4+2 x + 4 49x +9 + 49x +9 64x +25

2 x + 4 49x +9 14x +12

x + 4 49x +9 7x +6 /

49x +205x +36 49x +84x +36205x 84x121x 0

x 0

2

2

2 2

Al remplazar en la ecuación se obtiene

=

==

0+ 4+ 49 • 0+9 64 • 0+25

4+ 9 252+3 5

No hay restricciones, por lo que la solución es válida.

a) x – 3 4x – 3 – x+6=

b) x+16 + 4x+52 9x+124=

c) x+9 + 16x+84 25x+141=

d) x+6 16x+ 48 – 9x+22=

e) 5x+35 20x+181– 5x+56=

f) x+1+ 25x+329 36x+ 484=

g) 2x – 25 32x – 263 – 18x – 200=

h) 3x – 23 27x – 251– 12x –120=

i) 4x – 3 + 9x – 27 25x – 66=

j) x+5 + 64x – 255 81x – 308=


( )( ) ( )

=

=

=

==

=

2 – 3x7 – 3x

x –12 – 3x x –1 7 – 3x

2 – 3x x –1 7 – 3x /

–3x +5x – 2 7 – 3x5x 9

x95

2

2

2 2

2 2


2 – 3•95

7 – 3•95

95

–12 –

275

7 – 3•8125

45

–175

7 –24325

45

175

682545

–175

682545

–175

–175

2

= =

= =

= =

→ →

→ −−

→

−

→

12

x+3 –32

x – 5 0=



3 41 2

§ Discute con tus compañeros los resultados obtenidos en la pregunta 13. ¿Es consciente, la mayoría de la gente, de los efectos de un leve aumento en una tasa de interés? ¿Cómo eso puede afectar y producir un sobreendeudamiento de las personas?

Reflexiona

Hay raíces con cantidad subradical negativa, por lo que la solución no es válida.

a) 7 – 3x1– 6x2x –1

2

=

b) 2+ 4x7+12x

3x –1

2

=

c) 2+5x7+10x

2x –1

2

=

d) 9x+17+18x

2x+3

2

=

e) 8x+18xx+5

2

=

f) 6x+33+6x

x+3

2

=

g) x – 210+2x

2x

2

=

Aplica

6. Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones y verifica su validez.

a) x+5 33 =

b) 16x + x – 3 2 x2 =

c) x+3 – x –7 4x –14=

Resuelve los siguientes problemas

7. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma una unidad, se obtiene el número 3. ¿Cuál es el resultado de calcular la raíz cúbica del doble del número?

8. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área es 4 16cm2?

9. ¿Cuál es la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es de 8 64cm3?

10. Los lados de un rectángulo miden 3 3 y 4 3. ¿Cuánto mide su diagonal?

11. ¿Cuál es el radio r de un cilindro de altura h igual a 16 cm y volumen (V) de 64 cm3? (el volumen del cilindro está dado por =πV r •h2 )

12. Conexiones: se puede calcular el tiempo t (en segundos) que tarda un objeto en caer al suelo si se lo suelta desde una altura h, mediante la fórmula

=th5

a) ¿Cuántos segundos demora en caer un objeto si se lo suelta desde una altura de 100 m?

b) Josefa deja caer una piedra desde un puente y activa un cronómetro para medir cuándo demo-ra en llegar al suelo. Si el tiempo registrado es de 2,15 segundos, ¿cuál es la altura del puente?

13. Conexiones: Si un capital C se deposita en un banco a una tasa de interés compuesto anual del i% anual durante t años, se obtendrán

=

C C 1+

i100t

t

a) Una persona depositó $120 000 en un banco a una cierta tasa de interés compuesto anual, y luego de 7 años obtuvo $147 585. ¿Cuál era la tasa de interés?

b) Sergio invirtió un dinero en un banco con cierto interés compuesto anual, durante 10 años. Andrea invirtió el mismo dinero también durante 10 años, pero obtuvo el doble que Sergio. ¿Qué relación hay entre las tasas de interés de Sergio y de Andrea? Explica.

14. Conexiones: En física, la aceleración de gravedad puede calcularse con la ayuda de un péndulo. En el movimiento de un péndulo se verifican las siguientes relaciones:

=f1T

= πT 2Lg

Donde f es la frecuencia del péndulo (en Hz), T el período de la oscilación del péndulo, L es su longi-tud (en metros) y g es la aceleración de gravedad, en m/s2.

a) Calcula la aceleración de gravedad de un lugar en el cual un péndulo cuya longitud es 0,4 m oscila con una frecuencia de 0,83 Hz. (Considera π = 3)

b) En un lugar, la aceleración de gravedad es igual a 10. ¿Cuál es la longitud del péndulo, si oscila con una frecuencia de 0,53 Hz.



¿Qué expresión se obtiene al simplificar la siguiente expresión?

x x x4 265


¿Qué se quiere obtener una vez resuelto el problema?Una expresión equivalente a la dada, más simple. Esto quiere decir que su índice y su exponente deben ser los menores posibles.


Para simplificar esta expresión se procederá desde adentro hacia afuera, es decir, nos fijaremos primero en las raíces más interiores, con las que realizaremos las operaciones necesarias (introducir términos a una raíz o simplificar exponentes e índices) para luego continuar cada vez con raíces más exteriores.


Aplica la estrategia.

En la expresión x x x4 265 la raíz más interior es x26 . En ella podemos simplificar el exponente de la canti-dad subradical, es decir:

=x x26 3

Por lo tanto, =x x x x x x4 265 4 35

En la expresión x x x4 35 , podemos proceder ahora a operar la raíz x x4 35

• Introducimos el término x4 a la raíz → = = → =x x x x x x x x x3 4 3 123 3 133 4 35 1335

• Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en la expresión → =x x x1335 1335 1315

Por lo tanto, =x x x4 35 1315 y con ello, =x x x x x4 265 1315

En la expresión x x1315 :

• Introducimos el término x a la raíz x x x • x x1315 13 1515 2815→ =

• Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en la expresión → =x x x2815 2815 2830

• Simplificamos el exponente y el índice de la expresión → =x x x2830 2830 1415

Por lo tanto, se tiene que =x x x x4 265 1415


Puedes verificar el resultado obtenido dando distintos valores a x y calculando ambas expresiones con cal-culadora, para verificar que se obtiene el mismo resultado y por ende ambas expresiones son equivalentes.






Reflexiona

Macarena desea calcular el valor de la siguiente expresión, para a = 3.

1– a • 2 – a4 4

Para hacerlo aplica propiedades de las raíces:

( )( )=

=

1– a • 2 – a 1– a 2 – a

2 – 3a+a

4 4 4

24

Finalmente, remplaza a = 3 en esta expresión.

=

=

2 – 3• 3+3 2 – 9+9

2

24 4

4

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Macarena?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de expresiones con raíces?

Las propiedades de las raíces solo pueden aplicarse cuando son números reales. En este caso, si a = 3, se tiene que

1–3 • 2–3 2 • –14 4 4 4= −

Tenemos raíces de índice par de números negativos, lo que no está definido en los números reales. Por lo tanto, no se pueden aplicar propiedades ni calcular el valor pedido.


Rubén debe resolver la siguiente ecuación radical.

=2 x +1 –13

Para hacerlo realiza lo siguiente:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

===

=

2 x +1 –1 /

2 x +1 –1

2 x +1 –1 /

2 x +1 –14x + 4 1

4x –3

x–34

3 3

33

3

2

2 2

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Rubén?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse en la resolución de ecuaciones radicales?

Rubén no consideró la definición de raíz cuadrada, que corresponde a un valor positivo. Por lo tanto, al llegar a

2 x+1 –1=

se puede concluir que la ecuación no tiene solución, ya que la raíz cuadrada tendría que ser un número negativo.



Eval

uaci


Lección 5: Raíz enésima

1 Expresa en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias.

a. 27 = 128

b. (–9)3 = –729

c. 1

100,001

3

=

d. 64 8=

e. –125 –53 =

f. 323125

25

5 =

2 Calcula el valor de las siguientes raíces.

a. 1253

b. –325

c. –17

d. 814

e. 15

f. 812

3 Determina en cada caso las restricciones de a para que las siguientes raíces sean números reales.

a. a– 52

b. 3a– 94

c. 19a5

d. 12a6

e. a– 514

f. a28

Lección 6: Raíces y operaciones

4 Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a. 12 • 75 5

b. 5p • 10p3 3

c. 16 • 10244 4

d. 14 : 497 7

e. 36 : 83 3

f. 1000 : 2509 9

5 Determina si las siguientes equivalencias son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a. 3 2 18=

b. 7 3 21=

c. 2 5 303 =

d. 64 2 25 5=

e. 4827

43

=

f. 1100

110

110

3 3=

6 Calcula las siguientes expresiones. Expresa el resultado de la manera más reducida posible.

a. 4 75 – 2 25•3 – 2 100 •3 – 3 3

b. –5 32 – 4 18

c. 2 3 –7 27 – 3 12

d. 21• 53 210

3 3

3

7 Resuelve los siguientes problemas.

a. Calcula el perímetro del siguiente triángulo rectángulo

3 17 1+

b. Un paralelepípedo tiene aristas de medida 8 m, 34 m y x m. Su volumen es el mismo que el de un cubo cuya arista mide 2 34 m. ¿Cuál es el valor de x?

Lección 7: Potencias de exponente racional

8 Expresa, en cada caso, las raíces como potencias y las potencias como raíces.

a. 21

b. 343

c. 255

d. 513

e.

f. 2253

9 Aplica las propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones.

a. 123

b. 314

c. 526

d. 2712

10 Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. b • bb

4

8

b. x : x • x3 3 23( )

c. n •nn

–13 12

–2

d. p : p

p

34

4

−

e. k : k

k : k

45

2 5

f. a • bb • a

4 34

4 8


a. 3 5+ 2575 : 3

4 b. 13 13+ 523 5 2( )

Lección 8: Racionalización

12 Aplica las propiedades para racionalizar las siguientes expresiones.

a.

b. 420

c.

d. 473

729

315

228


Evaluación3 41 2

e. 2275

f.

g. 97 – 5

h. 1313+ 10

i. 6 16 2+−

13 Aplica sucesivamente las propiedades para racio-nalizar las siguientes expresiones.

a. 3

2 –1

b. 7

4 – 23

c. 1

25

d. 1

2 –1–1

e. x –1+ xx –1– x

f. x+y – x

x – y + x

g. 33 – 34

Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones

14 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. x+7 + 4x+16 9x+ 43=

b. 5x+19 20x+1– 5x –14=

c. x+7 + 16x+52 25x+91=

d. 5– 6x1– 2x

1+3x2

=

e. 1+ x

1– x3– x8 – x

=

f. 1+16x

3+ x4=

g. x+3 53 =

h. 3 + x 5=

15 Plantea y resuelve los siguientes problemas.

a. Paola desea depositar un dinero en el banco con interés compuesto anual, durante 10 años. ¿Cuál debe ser la tasa de interés, si le interesa triplicar el dinero invertido? Recuerda que, para el interés compuesto,

C C 1+i

100t

t

=

b. La tercera ley de Kepler relaciona el período de traslación t de un planeta (en años terrestres) con su distancia d al Sol —medida en unidades astronómicas (ua)—, mediante la fórmula

t d3=

¿Cuál es el período de traslación de un planeta cuya distancia al Sol es de 10 ua?

11121

4

4



Definir raíces y calcularlas aplicando su definiciónÍtem 1: 3/6Ítem 2: 3/6Ítem 3: 3/6

32 y 33

Realizar operaciones con raíces

Ítem 4: 3/6Ítem 5: 3/6Ítem 6: 2/4Ítem 7: 1/2

36 y 37

Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas

Ítem 8: 3/6Ítem 9: 2/4

Ítem 10: 3/6Ítem 11: 1/2

40 y 41

Racionalizar expresiones fraccionariasÍtem 12: 5/9Ítem 13: 4/7

44 y 45

Resolver problemas que involucran raícesÍtem 14: 4/8Ítem 15: 1/2

48 y 49


Activ

idad


Sección 3

Logaritmos

De esto se trata…Si decimos que el Sol tiene un diámetro

de casi 1 400 000 kilómetros, es muy difícil hacernos una idea de lo que es eso.

Cuando es necesario explicar tamaños y distancias es frecuente recurrir a com-paraciones como la siguiente:

Si el Sol fuera una bola de 1 metro de diámetro:

• Mercurio mediría unos 3,5 mm (un grano de arroz), y se ubicaría a 42 metros de él (casi media cuadra).

• Venus y la Tierra medirían 8,7 mm y 9,2 mm (un poroto), ubicados a 77 metros y 107 metros, respectivamente (una cancha de fútbol suele tener 105 metros de largo).

• Marte mediría unos 5 mm (una arveja), a 163 metros. • Júpiter y Saturno medirían 10,2 cm y 8,7 cm respectivamente (una naranja

grande y una manzana mediana). Júpiter estaría a 558 metros, y Saturno aproxi-madamente a un kilómetro.

• Urano y Neptuno medirían 3,7 cm y 3,6 cm respectivamente (una ciruela pequeña), ubicados respectivamente a 2062 kilómetros (la distancia entre Arica y Santiago, aproximadamente) y 3230 kilómetros (la distancia entre Calama y Puerto Aysén).

Aunque queramos hacer estas comparaciones, rápidamente nos vemos trabajando nuevamente con números grandes. Para abordar este problema es preciso relacionar los números de otras formas, es decir, utilizando escalas distintas que permitan reflejar grandes aumentos en la realidad en aumentos numéricos más pequeños.


➊ ¿Qué distancias son capaces de estimar? Estimen, sin averiguar, la distancia entre Chile y Japón, la distancia de la Tierra a la Luna, etc.

➋ ¿Qué tamaño tiene un microbio? ¿Cuál es el grosor de un cabello humano? Estimen y comparen.➌ Averigüen las medidas anteriores y compárenlas con su estimación. ¿Cómo fueron sus resultados?➍ Observen la animación de la página http://goo.gl/57sIa, que muestra el universo con distintas escalas.

Actividad grupal

Propósito: que comprendas el concepto de logaritmo, sus propiedades y aplicaciones en distintos ámbitos.


A identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias. Lección 10

calcular y resolver problemas en distintos ámbitos.A deducir y aplicar propiedades de logaritmos. Lección 11

A resolver problemas aplicando logaritmos. Lección 12


Ü EscalaÜ PotenciaÜ ExponenteÜ Base


Actividad


3 41 2

¿Qué debes saber?Realiza las siguientes actividades.Relacionar raíces y potencias

1 Expresa en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias.

a. 7² = 49

b. 54 = 625

c. (–2)5 = –32

d. 13

19

2

=

e. 34

81256

4

=

f. 52

8125

–3

=

g. (ab³)² = a²b6

h. (3x²y)² = 9x4y²

i. 216 63 =

j. =–1 –117

k. 64 26 =

l. 1343

17

3 =

m. 24332 768

38

5 =

n. 1009

103

=

ñ. a b a b10 55 2=

o. 64a b 4a b6 93 2 3=

2 Plantea una ecuación que represente cada situa-ción y resuelve.

a. Un número elevado a su quinta potencia es igual a 32. ¿Cuál es el número?

b. –8 se eleva al cubo. ¿Cuál es el resultado?

c. Luego de multiplicar 6 veces un número por sí mismo se obtuvo –729. ¿Cuál es el número?

d. ¿Cuál es el valor de la tercera potencia de 5 dividido por 2?

e. 256125

corresponde a la tercera potencia de un

número. ¿Cuál es ese número?

3 Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso.

a. El resultado de una potencia puede ser un nú-mero negativo.

b. Toda potencia de base 1 es igual a 1.

c. El resultado de cualquier potencia siempre es distinto de cero.

d. Todo número elevado a 0 es igual a cero.

Calcular raíces y potencias aplicando propiedades


a. 54

b. 32

2

c. (–2)6

d. (–3)5

e. 6–²

f. (–7)–³

g. 45

–2

h. –67

–4

i. 1253

j. 425

k. –273

l. 100004

m. 132

5

n. 0,01

ñ. 27p x3 123

o. 16mn

8

164

5 Aplica las propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones.

a. 2p • 2q

b. (-3)q • (-3)q

c. 5²x • (–5)²x

d. a–² • a–²

e. 2a • 3a

f. 7–x : 4–x

g. (3a²b5)–³ : (ab)–³

h. (6a4)² : (3a²)²

6 Aplica las propiedades de raíces para reducir las siguientes expresiones.

a. a • b3 3

b. x • 2x23 3

c. 3g : 6g7 47

d. –9p q : pq2 23 3

e. q46

f. a • a25 23

g. 2p • 2p3

h. m • n4

i. x : y56 34

j. 4n x10 76

k. p q r2 5 73


Repasa en los siguientes sitios web….http://goo.gl/fPsfJK http://goo.gl/ptXyJ

Relacionar raíces y potencias.

http://goo.gl/sTJzbqhttp://goo.gl/nzrf7E

Cálculo de raíces y potencias aplicando propiedades.



Lecc

ión Logaritmos

Propósito: identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

Si a es un número real positivo y n es un número natural, se pueden distinguir dos casos:

Si n es par:(–a)n = an

Si n es impar:(–a)n = –an

Además,a0 = 1

Debes saber…

Considera la siguiente relación:

47 = 16 384

Podemos observar que:

• 16 384 es la séptima potencia de 4, es decir, el resultado de multiplicar 7 veces el 4 por sí mismo.

• 4 es el número que, multiplicado 7 veces por sí mismo, da como resultado 16 384. Es decir, 4 es la raíz séptima de 16 384.

• 7 es el número al cual debemos elevar 4 para obtener 16 384. Decimos que 7 es el logaritmo de 16 384 en base 4.

En general, dada la relación

ab = c

decimos que b es el logaritmo de c en base a, y lo escribimos loga c = b. Correspon-de al exponente de la potencia de base a cuyo resultado es c. Es decir,

b = loga c ↔ ab = c

¿Cuándo es posible determinar un logaritmo, y qué propiedades tiene? Lo analiza-remos mediante los siguientes pasos.

Paso 1 Observa los siguientes resultados:

05 = 0 0–2 no está definido 012 = 0

1³ = 1 1–4 = 1 10 = 1

Podemos observar que una potencia de base 0 puede ser igual a cero o no estar definida. Por otra parte, si la base de una potencia es igual a uno su resultado siempre será igual a uno. Para evitar estos problemas, se exigirá en el estudio de logaritmos que la base de este siempre sea distinta de 0 y de 1.

Paso 2 En la sección anterior vimos que

–1024 –1024 –4515( )= =

( )=–16 –16414 no está definida.

( )= =64 64 2616

( )= =16 16 412

En general, para que una potencia siempre esté bien definida es necesario que su base no sea negativa. Por lo tanto, complementando la condición vista en el paso anterior, se exige que la base a del logaritmo debe ser positiva y distinta de 1.

AyudaEn la expresión

logac=ba se llama base del logaritmo.c se llama argumento del logaritmo.

10


3 41 2Propósito: identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

Paso 3 Observa los siguientes resultados:

= = =

= =

5 125 5 1 51

25

5 25 51

25

3 0 –2

5 325

–23

Podemos observar que ninguno de los resultados es negativo ni cero, ya que hemos considerado una base positiva. En general, si la base de una potencia es positiva nece-sariamente su resultado será positivo, por lo que no tiene sentido preguntarse por el logaritmo de un número negativo.

Por lo tanto, se exige que el argumento de un logaritmo sea positivo.

Paso 4 Las definiciones y restricciones anteriores además nos permiten establecer que:

Logaritmo de la base Logaritmo de la unidadLogaritmo de una potencia

de la base

loga a = 1 loga1 = 0 loga an = n

Paso 5 Para que el cálculo de logaritmos tenga utilidad es necesario ponerse de acuerdo respecto a la base que se utilizará, es decir, que los logaritmos se calculen siempre en la misma base (en una misma situación o problema). En general, consideraremos la base 10 que define los logaritmos comunes o decimales, para los cuales simplemente se omite su base, es decir,

=log c logc10

Algunos ejemplos de cálculo:

log 81 x

3 81

3 3

Entonces, x 4

log 81 4

3

x

x 4

3

=

=

===

=

=

=

=

==

log 0,125 x

12

0,125

12

18

12

12

Entonces, x 3

log 0,125 3

12

x

x

x 3

12

DatoSe llama logaritmo natural (ln) al logaritmo cuya base es el número irracional e.

e =2,71828…

Este número se presenta en mu-chos contextos, y es considerado uno de los más importantes de las matemáticas.

DatoEl estudio de los logaritmos se debe al matemático escocés John Napier (escrito también como Neper) que se dedicó a ellos buscando estrategias para simplificar los cálculos que involucraban números muy grandes, necesarios funda-mentalmente para la navega-ción y la astronomía. Gracias a su obra muchos cálculos se hicieron mucho más sencillos, dando un gran impulso al desarrollo de las ciencias.

John Napier (1550-1617)

Razonay comenta§ Explica con tus

palabras qué es un logaritmo.

§ Dada la relación:

p qn =

Escribe un logaritmo que relacione n, p y q.

En resumenDado un número real positivo a ≠ 1, y un número real c > 0, se llama logaritmo de c en base a al número al que se debe elevar a para obtener c. Es decir:

log c=b a =cab↔

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Calcula en cada caso el valor de x.

a) 3x = 27

b) 5x = 625

c) (–2)x = –32

d) (–9)x = –729

e) ( ) =–319

x

f) (–0,5)x = 4

g) 8² = x

h) 1,1² = x

i) (–6)6 = x

j) (–3,1)³ = x

k) 15

x4

=

l) 72

x–3

=

m) x² = 36

n) x³ = -1000

ñ) x5 = 32

o) x4 = 0,0001

p) x–² = 0,25

q) x–5 = 243


a) 125 x3 =

b) 1024 x5 =

c) 0,25 x2 =

d) 1681

x4 =

e) =–1

216x3

f) =–1

32x5

g) x 16 =

h) x 100=

i) x12

3 =

j)

k) =x –17

l) =x –25

m) 25 5x =

n) 343 7x =

ñ) 81 3x =

o) 13318

112

x =

p) =–0,00001 –0,1x

q) =–10,648 –2,2x

3. Determina en cada caso si es posible calcular el valor de x. Cuando no lo sea, justifica.

a) 2x = –8

b) 06 = 5x

c) (–2)4 = x

d) (–3)x = –27

e) =–27 3x

f) 20 0x =

g) =–1000 x3

h) =16 –2x

Práctica guiada

4. Expresa como logaritmo las siguientes potencias. Guíate por el ejemplo.

6³ = 2166³ = 216 → log6 216 = 3

a) 34 = 81

b) 2³ = 8

c) 7¹ = 7

d) 46 = 4096

e) 76 = 117 649

f) 9³ = 729

g) 65 = 7776

h) 10³ = 1000

i) 8³ = 512

j) 74 = 2401

k) =21

64–6

l) =51

125–3

m) =21

32–5

n) =414

–1

ñ) 81

32768–5 =

o) =41

64–3

p) =81

512–3

q) 56

31257776

5

=

r) 87

32 76816 807

5

=

s) 103

10 00081

4

=

t) 94

102459 049

–5

=

u) 54

256625

–4

=

5. Expresa como potencia los siguientes logaritmos. Guíate por el ejemplo.

=log 78 125 75

= → =log 78 125 7 5 78 12557

a) log 32 52 =

b) log 512 38 =

c) log 6561 49 =

d) log 10000000 710 =

e) log 531441 69 =

f) log 117 649 67 =

g) log 1 03 =

h) =log181

–29

i) =log1

32–52

j) =log1

343–37

k) =log1

125–35

l) =log1

36–26

x13

=



3 41 2

m) log1

46 656–66 =

n) log125343

357

=

ñ) log14

212

=

o) log729

26214463

8

=

p) log1024

59 049–59

4

=

q) =log5

13–113

5

r) log44

0716

=

Aplica

Considera el valor de las siguientes potencias.

2² = 4 3² = 9 5² = 25 7² = 492³ = 8 3³ = 27 5³ = 125 7³ = 343

24 = 16 34 = 81 54 = 625 74 = 240125 = 32 35 = 243 55 = 3125 75 = 16 80726 = 64 36 = 729 56 = 15 625 76 = 117 649

6. Utilízalas para calcular el valor de los siguientes logaritmos.

a) log 322

b) log 273

c) log 31255

d) log 16 8077

e) log182

f) log1

7293

g) log1

2433

h) log1

255

i) log1

3437

j) log1

117 6497

k) log 812

l) log 312515

m) log 717

n) log181

2

ñ) log1

72913

o) log 72913

p) log243

312535

q) log1

240117

r) log1

4917

s) log2401

8173

t) log191

3

u) log64

72932

7. Calcula el valor de x en cada caso, para que se cumplan las siguientes igualdades.

a) log 27 3x =

b) log 625 4x =

c) log 49 2x =

d) log 729 6x =

e) log 16 807 5x =

f) =log 8 3x

g) log x 42 =

h) log x 23 =

i) log x 53 =

j) log x 65 =

k) log x 37 =

l) log 3 x81 =

m) log 3 x729 =

n) log 5 x125 =

ñ) log 7 x16807 =

o) log 2 x4 =

p) log 5 x15625 =

q) log 2 x132

=

r) log 2 x164

=

s) log 3 x19

=

t) log 3 x181

=

u) log 5 x15

=

v) log 5 x1625

=

w) log 7 x1343

=

8. Desafío: Demuestra las siguientes propiedades de los logaritmos.

a) =log a –log a1x

x

b) =log1b

–log ba a

9. Desafío: Resuelve las siguientes operaciones.

a) 2log 64 +13

log 27 – log 1254 3 5

b) 4log 9 +13

log 8 – log 323 16 2

c) 13

log10 +23

log10 –log10 + log10

d) 3log100

9 + log 8:

log 3 + log 2log 42

6 6

12

§ ¿Cuál es el significado de la palabra “logaritmo”. Investiga y explica por qué crees que le pueden haber puesto este nombre.§ Investiga el significado de las palabras “guarismo” y “algoritmo”. ¿Qué relación tienen con “logaritmo”?

Reflexiona


Lecc

ión Propiedades de los logaritmos

Propósito: deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

En los cálculos necesarios para el desarrollo de la astronomía que motivaron a Napier se presentaban operaciones como la siguiente:

387 420 489 : 4 782 969

Calcular el cociente tomaba, como es de suponer, mucho tiempo y se corría un alto riesgo de cometer errores. Sin embargo, si observamos que:

387 420 489 = 3¹8 4 782 969 = 314

su cociente puede calcularse utilizando la operatoria de potencias de igual base:

387 420 489 : 4 782 969 = 3¹8 : 3¹4 = 3¹8 –¹4 = 34

Al expresar los números como potencias de una misma base, el cálculo de la división se reduce a una sustracción. Esta es una de las propiedades ventajosas de los logaritmos, que analizaremos a continuación.

Paso 1 Supongamos que x e y son números tales que

= → =log x p a xap

= → =log y q a yaq

Calcularemos el producto y el cociente entre x e y, representándolos como potencias y utilizando logaritmos.

x • y a • a

x • y a

log x • y p + q log x + log y

p q

p+q

a a a( )

=

=

→ = =

x : y a : a

x : y a

log x : y p – q log x –log y

p q

p–q

a a a( )

=

=

→ = =

Se tienen así las siguientes propiedades:

Logaritmo del producto Logaritmo del cociente

loga(x • y) = loga x + loga y loga(x : y) = loga x – loga y

Paso 2 Observa la siguiente deducción:

b log ca c

a c

a clog c qb q log c

ab

b q q

qb q

aq

a

( )

==

=

== = b log ca=

Considerando además los casos en que q = –1 y q1n= , se tienen las siguientes

propiedades (con a > 0, a ≠ 1, c > 0):

Logaritmo de una potencia Logaritmo de una raíz Logaritmo de un inverso

log c n log can

a= =log clog c

nan a log

1c

log c log ca a–1

a

= =−

Elevamos a q

Potencia de potencia

AyudaPara aplicar las propiedades delos algoritmos que estudiaremos, es necesario que las expresiones involucradas siempre se encuentren definidas en los números reales.

11


3 41 2Propósito: deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

Estas propiedades permiten calcular los logaritmos de todos los números racionales teniendo solo los logaritmos de los números primos. Por ejemplo:

( ) ( )

= = ≈ =

= = =

log 56 log 2 • 7 3 log 2 + log 7 3 • 0,3 + 0, 85 1,75

log5077

log2 • 57 •11

log 2 • 5 –log 7 •11 log 2 +2 log 5–log 7 – log 11

3

22

Paso 3 Las propiedades anteriores se cumplen solo si los logaritmos están expresados en la misma base, pero ¿qué se puede hacer cuando no lo están? Observa la siguiente deducción.

= ↔ =

→ =

→ =

→ =

log c b a c

log a log c

b • log a log c

blog c

log a

ab

pb

p

p p

p

p

Tenemos así la propiedad del cambio de base: =log clog c

log aap

p

Esta propiedad tiene especial importancia ya que la mayoría de las calculadoras solo permiten calcular logaritmos en base 10 o e, y de esta manera pode-mos encontrar su equivalencia. Por ejemplo:

Estas propiedades permiten reducir expresiones y lograr así un manejo más sencillo. Por ejemplo:

( )

( )

=

=

=

=

−

log 49 + 4 log 21+ log1

27log 7 + 4log 3 •7 +

15

log1

27

2 log 7 + 4 log 3+log 7 +15

log 3

2 log 7 + 4 log 3 + 4 log 7 –35

log 3

6 log 7 +175

log 3

5 2

3

El trabajo de Napier consistió, entonces, en determinar estas propiedades y elaborar tablas de logaritmos, que fueron utilizadas hasta principios del siglo XX. La aparición de calculadoras y computadores las ha dejado en desuso, pero por muchos años cons-tituyeron una poderosa ayuda. Incluso, los cálculos que permitieron la expedición del Apolo XI a la Luna fueron realizados utilizando estas tablas.

AyudaPuedes determinar logaritmos con calculadora; para ello debes digitar alguna de las siguientes secuencias para calcular, por ejemplo, log 8:

Se aplica la propiedad de logaritmo de una potencia.

Despejamos b

/ logp

Razonay comenta§ Si x = –3, ¿es válida la

siguiente relación?

2 log (7 x) log (7 x)2+ = +

¿Y qué ocurre si x = –8? Justifica.

= ≈ =log 5log 5log 3

0,70, 48

1, 45833

Los logaritmos verifican las siguientes propiedades (a, x, y, c, p > 0, a ≠ 1 , p ≠ 1, n ∈ ):

Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente Logaritmo de una raíz

log x •y =log x+log ya a a( ) logxy

=log x–log ya a a

log c =log c

nan a

Logaritmo de un inverso Cambio de base

log1c

=log c =–log ca a–1

a

log c=

log c

log aap

p

En resumen

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Expresa como logaritmo las siguientes potencias.

a) 2³ = 8

b) 7¹ = 7

c) 46 = 4096

d) 9³ = 729

e) 65 = 7776

f) =21

32–5

g) =414

–1

h) 81

32 768–5 =

i) =81

512–3

j) 56

31257776

5

=

2. Expresa como potencia los siguientes logaritmos.

a) log 32 52 =

b) log 512 38 =

c) log 10 000 000 710 =

d) log 531441 69 =

e) log 117 649 67 =

f) log 1 03 =

g) =log1

32–52

h) =log1

343–37

3. Calcula el valor de los siguientes logaritmos.

a) log 273

b) log 55

c) log 644

d) log 0,1

e) log182

f) log1

497

g) log 8113

h) log 10000,1

i) log 11121

j) log1

164

k) log 813

l) log64273

2

Práctica guiada

4. Aplica las propiedades de logaritmos para descomponer las siguientes expresiones en términos de a, b, c y d. Guíate por el ejemplo.

Sea:a = log p b = log q c = log r d = log s

Descomponer la expresión logp q

r

2

Se tiene que: ( )=

===

logp q

rlog p q – log r

log p + log q – log r2 log p + log q – log r2a + b – c

22

2

a) log rs

b) log pqs

c) logpq

d) logprq

e) logrqps

f) log1p

g) log1rq

h) logsrpq

i) logpq

s

3

j) logsrpq

2( )

k) log p3

l) log1s

4

m) logr

ps5

n) log r q2 4

ñ) logq r

s

2

o) log1q

s

p) logrs

5

q) log pqr23

r) log p q4

s) logpr

s q

23

3 24

5. Calcula el valor de los siguientes logaritmos apli-cando las propiedades vistas. Guíate por el ejemplo.

Calcula log 8135

Se tiene que:

log 8115

log 8115

log 315

• 4453

53 3

4= = = =

a) log182

b) log1

6255

c) log 49721

d) log 77

e) log32

10242

6. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo. Guíate por el ejemplo.

Reducir la expresión log p + 5 log p –log p + log1p

2 23

Se tiene que: log p + 5 log q– log p + log1q

2 log p + 5 log q –23

log p – log q

43

log p + 4 log q

log p + log q

log p q

2 23

43 4

43 4( )

=

=

=

=

r56



3 41 2

a) log 3 + log 2

b) log 12 + log 3,5

c) log 21 – log 7

d) log 35 – log 23

e) log 19 + log 3 – log 6

f) log 28 – log 4 – log 7

g) log 16 – log 5 + log 2 – log 20

h) log 18 – log 15

i) log 24 – log 63

j) 13

log p –12

log q –12

log r

k) 32

log x +52

log y

l) log x +12

log y – 2 log z

m) log (a + b) + log (a – b)

n) 12

log x –13

log y +14

log z

ñ) log (a – b) – log 3

o) log a – 4 log b +15

(log c – 2 log d)

p) log a – 5 log b +15

(log c – 2 log d)2 3

q) logq – log p +34

(log q – 6 log p)3 4 2

Aplica

7. Demuestra que las siguientes igualdades son correctas.

a) log1a

–32

log a + log a –log a2=

b) log12599

+ log 363 + log27

25log 5=

c) 14

log x + 8x + 15 +14

logx+5x+3

log x+52( ) =

d) log x +8x+15 –log x+514

logx+3x+5

24 ( ) =

e) log343117

– log 7 log1

507– log

2749

=

f) log125361

+ log6859

75log 19 –

12

log 45=

g) logx x+1

x –1log x –

12

log (x+1) – log (x –1)2 =

8. Considera los siguientes valores:

log 2 = a log 3 = b log 5 = c log 7 = dlog 11 = e log 13 = f log 17 = g log 19 = h

Determina una expresión para los siguientes logaritmos en términos de a, b, c, d, e, f, g y h.

a) log 4

b) log 6

c) log 8

d) log 10

e) log 12

f) log 18

g) log 24

h) log 91

i) log 95

j) log 99

k) log34

l) log725

m) log1544

n) log102

9

ñ) log 3,25

o) log 8,91

p) log 1,1


a) Si log13

x3 = , log y 312

= , log12

2z =− , determina el

valor de xyz.

b) Si log (x²y³)=m y logxy

n= , encuentra una expre-

sión equivalente a logx.

c) Si xlog 3

log13

= e ylog

14

log1

27

= , calcula xy

10. Desafío: determina en cada caso el valor de x para el cual se verifica la igualdad.

a) log 2 + log 11 x 2 log 5 2x2 ( )( )− = −

b) 2 log x 3 + logx

10=

c) log 2x 7 log x 1 log 5( ) ( )− − − =

d) log x + log x+3 2 log x+1( ) ( )=

§ En el libro que expone por primera vez el uso de los logaritmos, Napier se refiere a ellos como “maravillosos”. ¿Qué motivo crees que puede haber tenido para esto? Comenta con tu profesor.

Reflexiona


Lecc

ión Aplicaciones de logaritmos

Propósito: resolver problemas aplicando logaritmos.

La intensidad del sonido se mide en vatios por metro cuadrado (W/m2), siendo 10–12 W/m2 la menor intensidad que puede captar el oído humano. A partir de 1 W/m2 comienza el umbral del dolor en el oído.

Para comparar un sonido cualquiera con la menor intensidad audible se utilizan los decibeles (Db), mediante la siguiente fórmula:

= +Db 120 10log I

donde I es la intensidad en W/m².

Paso 1 Compararemos los valores, en decibeles, de las intensidades descritas.

Menor intensidad Umbral del dolor

120 + 10 log 10 120 + –12 • 10 log10

120 –12•10

0

–12( ) ( )=

==

120 + 10 log 1 120 + 10•0

120

( )==

La menor intensidad audible corresponde a 0Db, mientras que el umbral del dolor comienza en los 120 Db. Se obtiene así una escala que utiliza números más pequeños y manejables. A esto se le llama escala logarítmica.

Paso 2 En general, se recomienda que al usar audífonos no se superen los 80 Db. Sin embargo, muchas personas los utilizan cerca de los 100 Db. ¿Cuál es la diferencia entre estas magnitudes?

80 120 + 10 log I–40 10 log I

–4 log I

I 10 Wm

–42

===

=

===

=

100 120 + 10 log I–20 10 log I

–2 log I

I 10 Wm

–22

Para determinar estos valores fue necesario resolver una ecuación cuya incógnita se encontraba en el argumento de un logaritmo. Para hacerlo utilizamos la definición de logaritmo, es decir, si elevamos la base del logaritmo a su valor se obtiene el argumento. Este tipo de ecuaciones se conocen como ecuaciones logarítmicas. Para resolverlas consideraremos esencialmente cuatro aspectos:

a) Reducir las expresiones, cuando sea posible, utilizando las propiedades de logaritmos, hasta establecer una igualdad de logaritmos.

b) Si dos logaritmos de igual base son iguales, sus argumentos son iguales.

c) Utilizar la de nición de logaritmo para obtener el valor de la incógnita que se encuentra en el argumento.

d) Veri car la solución para considerar las posibles restricciones.

Observa que…

= =1010

10 100–2

–42

es decir, 100 Db corresponde a 100 veces la intensidad recomendada.

12


3 41 2Propósito: resolver problemas aplicando logaritmos.

Paso 3 Observa los siguientes ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo 1: log 8 – 4x – log 3 – 2x 2( ) ( )=

Tenemos que:

( ) ( ) =

=

= =

==

= =

log 8 – 4x – log 3 – 2x 2

log8 – 4x3 – 2x

2

8 – 4x3 – 2x

10 100

8 – 4x 300 – 200x196x 292

x292196

7349

2

Al remplazar en la ecuación, obtenemos

=

= =

log 8 – 4 •7349

– log 3 – 2 •7349

log10049

– log1

49log 100 – log 49 – log 1+ log 49 2

No hay restricciones, por lo que la solución obtenida es válida.

Ejemplo 2: 2 log x+1 – log x – 2 log x+3( ) ( ) ( )=

Tenemos que:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

=

=

=

==

2 log x+1 – log x – 2 log x+3

logx+1x – 2

log x+3

x+1x – 2

x+3

x +2x+1 x +x – 6x –7

2

2

2 2

Al remplazar en la ecuación tenemos:

2 log –7 + 1 – log –7 – 2 log –7 + 3 2 log –6 – log –9 log –4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= → =

Hay logaritmos con argumento negativo, por lo que la solución no es válida.

Se aplican propiedades de logaritmos.

Se aplican propiedades de logaritmos.

Se aplica la definición de logaritmo.

Se igualan los argumentos.

Razonay comenta§ Una persona expuesta

a más de 90 Db du-rante dos horas o más se arriesga a un daño auditivo que puede lle-gar incluso a la sordera total. La mayoría de los audífonos soportan una intensidad de 100 Db o más. Si una persona escucha músi-ca con audífonos y otra a su lado puede oírla, el volumen es excesivo.

¿A qué volumen escuchas música? ¿Te has informado de los cuidados que debes tener para no dañar tus oídos?

En resumenSe llama ecuación logarítmica a aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo.

Para resolver una ecuación logarítmica se utilizan las propiedades de los logaritmos o su definición.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo.

a) log x+5 + log x – 2( ) ( )

b) log 2x+7 – log x+1( ) ( )

c) log x +5x+1 – log x –12( ) ( )

d) 12

log x +4x+4 – log x+22( ) ( )

e) log x +7x+12 – log x +4x+32 2( ) ( )f) log x +4x – 5 – log x+5 – log x+12( ) ( ) ( )

g) log x – 2 – log x+7 – log x – 2( ) ( )

Práctica guiada

2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Guíate por el ejemplo.

Resolver la ecuación:

log 32x +12 – log 5x – 8 1( ) ( )=

Paso 1 Se aplican las propiedades de logaritmos para reducir la expresión.

( ) ( ) =

→

=

log 32x+12 – log 5x – 8 1

log32x+125x – 8

1

Paso 2 Se aplica la definición de logaritmo y se resuelve

= → =log

32x +125x – 8

132x +12

5x – 8101

32x +125x – 8

10

32x +12 50x – 8092 18x

x469

=

==

=

Paso 3 Se verifica la solución.

=

=

=

log 32 •469

+12 – log 5 •469

– 8 1

log1472+12 • 9

9– log

230 – 9 • 89

1

log1364

9– log

1589

1

No se presentan restricciones, por lo que la solu-ción es válida.

a) log x+5 1( )=

b) log 2x+125 2( )=

c) log –2x 5 –1( )+ =

d) log 3x+8 log 2x – 3( ) ( )=

e) log 4x+24 log 9x+2( ) ( )=

f) log 5x –16 log 6x+15( ) ( )=

g) log 3x+2 +log x+ 4 log 3x – 2x+ 42( )( ) ( )=

h) log 4x+7 log 4x +5x – 6 –log x – 32( )( ) ( )=

i) log 5x+ 4 +log x+1 log 5x + 4x+12( )( ) ( )=

Aplica


3. El pH es una medida de la acidez o alcalinidad de una sustancia. Se mide de acuerdo con la concentración de moles de hidrógeno utilizando la fórmula:

= pH –log H+

Donde [H+] corresponde a la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro.

a) Calcula el pH de una sustancia, cuya concentra-ción de iones de hidrógeno es de 0,00000038 moles por litro.

b) En algunos lugares muy contaminados se pro-duce el fenómeno llamado “lluvia ácida”. Se han dado lluvias con un pH de 2,8. Calcula su concen-tración de iones de hidrógeno.

c) Calcula la concentración de iones de hidrógeno de las siguientes sustancias, conociendo su pH aproximado.

Sustancia pH

Vinagre 2,9Jugo gástrico 1,5

Jugo de naranja 4,5Orina 6,5

Jabón de manos 9,5



3 41 2

§ Al principio de la unidad se planteó la necesidad de establecer escalas y comparaciones para representar ciertos fenómenos. ¿Qué utilidad tienen para ello los logaritmos? Comenta con tus compañeros.

Reflexiona

4. Considera la fórmula que relaciona la intensidad del sonido y los decibeles

Db = 120 + 10 log l

a) Si un equipo de música genera un sonido cuya magnitud en W/m2 es el triple de la de otro, ¿cuánto mayor es la intensidad en decibeles que posee?

b) Un amplificador para una guitarra eléctrica tiene 2500 W/m2 de salida. ¿Cuál es su intensidad en decibeles?

c) Calcula la magnitud del sonido en W/m2 que producen los siguientes fenómenos, conociendo sus decibeles.

Fenómeno Intensidad

Bomba atómica de Hiroshima 200 dBAvión despegando 130 dB

Perforadora eléctrica 100 dBPersonas gritando 90 dB

Conversación tranquila 40 dB

5. La energía liberada en los terremotos se mide en escala de Richter. Pese a ser modificada para intensidades superiores a 7, se puede relacionar la magnitud de un sismo y la energía liberada en él mediante la fórmula

log E = 1,5R + 11,8

donde E es la cantidad de energía liberada medida en Ergios, y R es su intensidad en grados Richter.

a) Completa la siguiente tabla con la intensidad o la energía liberada en los siguientes terremotos ocurridos en Chile:

Magnitud (R)

Energía liberada (E)

Terremoto de Valdivia (1960) 9,6Terremoto de Cauquenes (2010) 8,8Terremoto de Algarrobo (1985) 3,16 • 1023

Terremoto de Vallenar (2013) 1,9 • 1022

b) El terremoto de Haití de 2010 tuvo una magnitud de 7,2 R. ¿Cuántas veces menos energía liberó, comparado con el de Chile en 2010?

6. En Chile, a partir del año 2012 se estableció la ley de “Tolerancia 0” al alcohol, con la que se redujo a 0,3 g/L de sangre la concentración de alcohol considerada como “estado de ebriedad”.

Se estima que el riesgo de sufrir un accidente (en porcentaje) se relaciona con la concentración de alcohol mediante la siguiente fórmula:

R = 6ekx

a) Se estima que una concentración de 0,04 g/L de alcohol en la sangre (x = 0,04) corresponde a un riesgo del 10% (R = 10). Determina el valor de la constante k.

b) Una persona que, de acuerdo con la ley chilena, conduce en estado de ebriedad, ¿qué riesgo tiene de sufrir un accidente?

c) Si una persona presenta el doble de concentra-ción de alcohol que otra, ¿cuánto mayor es su riesgo de accidente?

d) ¿Para qué concentración de alcohol en la sangre se puede estimar un riesgo de accidente del 100%? ¿Qué significa eso? Discute con tus compañeros.

7. Al tomar un medicamento la cantidad de milígramos que quedan de él en la sangre luego de t horas de haber sido administrado se calcula mediante la fórmula

C = 10e–0,2t

a) ¿Cuántos miligramos del medicamento hay en la sangre luego de una hora?

b) Si la cantidad de miligramos no puede bajar de 3, ¿aproximadamente, cada cuánto tiempo debe tomarse el medicamento?

c) Según esta fórmula, ¿hay algún momento en que deja de haber medicamento en la sangre? Justifi-ca tu respuesta y discute con tus compañeros.



Considera la siguiente secuencia de números

5 - 15 - 45 - 135 - 405…

Se puede observar que su primer término es 5, y para obtener el siguiente término se multiplica por 3.

Se sabe que el número 1937102445 pertenece a esta secuencia. ¿En qué posición está?


a. ¿Qué datos tenemos del problema?Los primeros términos de una secuencia, la regla con que se forman y uno de sus términos, con posición desconocida.

b. ¿Qué se quiere averiguar?La posición que ocupa en la secuencia un número dado.


En primer lugar se determinará una fórmula para relacionar un término y su posición.

Luego, se planteará la ecuación igualando la fórmula al número dado, y se resolverá.


Observa que:Primer término: 5Segundo término: 5 • 3= 5 • 32–1

Tercer término: 5 • 3 • 3 = 5 • 32 = 5 • 33–1

Cuarto término: 5 • 3 • 3 • 3 =5 • 33 = 5 • 34–1

Quinto término: 5 • 3 • 3 • 3 • 3 = 5 • 34 = 5 • 35–1

En general, el término en la posición n (lo llamamos an) puede determinarse mediante la fórmula 5 • 3n – 1.Por lo tanto, para averiguar el valor de n, planteamos y resolvemos la ecuación

1937 102 445 5• 3

387 420 489 3

log 387 420 489 log 3

log 387 420 489 n –1 log 3

log 387 420 489log 3

n –1

log 387 420 489log 3

+ 1 n

n–1

n–1

n–1( )( )

=

=

=

=

=

=

Con calculadora se obtiene que n = 19, es decir, es el término que ocupa la posición 19.


Verifica que 5 • 319–1 = 5 • 318 = 5 • 387 420 489 = 1 937 102 445






Reflexiona

Danitza necesita desarrollar la siguiente expresión:

( )log p – q2 2

Para ello, sigue estos pasos:

log p – q log p –log q

2 log p – 2 log q

2 2 2 2( )==

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Danitza?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de expresiones con logaritmos?

Danitza utilizó erróneamente la siguiente relación

log p q log p log q2 2 2 2( )− = −

En general, el logaritmo de una diferencia no es equivalente a la diferencia de los logaritmos. Lo correcto es:log p – q log p +q p – q

log p + q + log p – q

2 2( ) ( )( )( )

( ) ( )

=

=


Elías debe resolver la siguiente ecuación logarítmica:

log 3x + 4 +log 2x +2 log 6x +15x +102( )( ) ( )=

Aplicando las propiedades de los logaritmos se da cuenta de que es equiva-lente a la ecuación

log 3x + 4 2x +2 log 6x +15x +10

log 6x +14x +8 log 6x +15x +10

2

2 2

( )( ) ( )

( )( )( ) =

=

Resolviendo esta última obtiene que:

==

6x +14x+8 6x +15x+10–2 x

2 2

Al verificarla en la ecuación obtiene que:

log 6 • –2 +14 • –2 + 8 log 6 • –2 +15• –2 +10

log 24 – 28 +8 log 24 – 30+10

log 4 log 4

2 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

Elías concluye, por lo tanto, que la solución encontrada es válida pues no presenta restricciones.

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Elías?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse en la resolución de ecuaciones logarítmicas?

La ecuación en la que Elías comprueba la solución no es la ecuación original. Si el valor se remplaza en la ecuación original se tiene que:

log (3 • –2 + 4) = log (–6 + 4) = log (–2)

log (2 • –2 + 2) = log (–4 + 2) = log (–2)

Ya que estas expresiones no están definidas, no es posible aplicar las operaciones de logaritmos. En general, la solución de una ecuación debe verificarse en la ecuación original.



Eval

uaci


Lección 10: Logaritmos

1 Expresa las siguientes igualdades en la forma equivalente que se indica.

a. 2⁷ = 128, como raíz.

b. 38 = 6561, como raíz.

c. 0,5–4 = 16, como logaritmo.

d. 1728 123 = , como potencia.

e. 256 162 = , como logaritmo.

f. =–1 –15 , como potencia.

g. 5,22 sp = , como potencia.

h. 2,51 2mq = , como logaritmo.

i. log 5125 = , como potencia.

j. =log 8528,91037441 83,1 , como raíz.

k. log729

117 64963

7

= , como raíz.

l. =log1b

–ca , como potencia.

m. log s a1t

= , como raíz.

2 Calcula en cada caso el valor de x.

a. log 36 2x =

b. =log 49 –2x

c. log 8 0,5x =

d. =log181

–0,25x

e. =log x –17

f. log x 50,2 =

g. log x144 =

h. log x329 =

i. log 36 x6 =

j. log1

125x5

=

k. log 21 x21=

l. log9

16x2

3

=


a. Ordena de menor a mayor las siguientes expre-siones:

log 105 – log 10100 – 2 log120,5 – log 199

b. Si log x y= , determina una expresión que corresponda al valor de log x2.

Lección 11: Propiedades de los logaritmos

4 Aplica las propiedades para reducir las siguientes expresiones a un logaritmo.

a. log 3 + log x+1( )

b. log 8x –log 4y

c. log p + log p23 35

d. log1

a+log 3a2

e. log1b

– log b4

2

f. log x +log 5x –log x

24 2( )

g. log p+q + log p q – 0,5 log p +2pq +q2 35 2 2( )( )

h. log a • log 3x –log1xa

5 Aplica las propiedades a las siguientes expresiones.

a. log pq2( )

b.

log5p q r

xy

3 7 2

5

c.

log4m+52x+8

d. ( )

log

13 x+ 4

e.

log 3q5x2p

f.

log 5x

x+39y

2

g. ( )( )+ +

log

x 1 x 75xy


Evaluación3 41 2


a. Sea U = log a + log b y V = log (a–1b). Determina cuál de las siguientes expresiones es equivalente a V

U

1 a² 1a2

–log a bab–1( ) log a bab

–1( )

b. Determina el valor de x en la siguiente igualdad

log 256 – 2

log 2

log12

log x12

14

0,25

12

+ =

Lección 12: Aplicaciones de logaritmos


a. log x – 2 2( )=

b. log 5x –1( )=

c. log 5x – 2 log 3x+7( ) ( )=

d. log x +8x – 3 2 log x+52( ) ( )=

e. log 8x+1 log 2x – 2 + log 3( ) ( )=

f. log x –1 –log x – 5 log x+7 –log x – 4( ) ( ) ( ) ( )=

g. log 2x – 3 –log x+ 4 log 2x+1 –log x – 9( ) ( ) ( ) ( )=


a. Si una persona deposita cierta cantidad C de di-nero en un banco a un i% de interés mensual, el dinero que tiene al cabo de n meses se calcula con la fórmula

C(n) C 1i

100

n

= +

Calcula cuántos meses habrá que mantener $150 000 en el banco —con un interés del 5%— para que al cabo de ellos haya $221 618.

b. Para calcular el pH de una solución química se utiliza la fórmula pH = –logH+, donde H+ es la concentración de iones de hidrógeno presentes en la solución. ¿Cuál es el pH de una solución que tiene una concentración de H+ igual a 9,5 • 10–12?

9 Analiza la siguiente ecuación

log 2x +5 + log x – a – log x +1 log 2x +8( ) ( ) ( ) ( )=

Determina un valor de a para el cual la ecuación tiene solución, y otro para que no la tenga. Justifi-ca en cada caso.




Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potenciasÍtem 1: 7/13Ítem 2: 6/12Ítem 3: 1/2

58 y 59

Deducir y aplicar propiedades de logaritmosÍtem 4: 4/8Ítem 5: 4/7Ítem 6: 1/2

62 y 63

Resolver problemas aplicando logaritmosÍtem 7: 4/7Ítem 8: 1/2Ítem 9: 1/1

66 y 67

Diario mural

➊ ¿En qué otro contexto has escuchado la palabra cálculo? ¿Con qué se relaciona? ¿Qué relación observas con lo leído en el texto?

➋ Consulta con tus padres y/o profesores: ¿qué artefactos tecnológicos utilizaban? ¿Cuál fue el que más les llamó la atención cando apareció? Comenta con tus compañeros.

Actividades complementarias


Desde la antigüedad el ser humano ha necesitado realizar cálculos con distintos niveles de complejidad. En ocasiones, los sistemas de numeración propios de cada cultura han presentado dificultades para hacerlo; por ejemplo, el sistema de numeración romano no permite realizar algoritmos con facilidad, incluso para la suma. El uso de los numerales indo-arábigos (los que usamos actualmente), y el sistema decimal posicional facilitan este tipo de operaciones, y representaron un gran avance para la aritmética.

Realizar operaciones con números menores que 10 no representa gran dificultad, ya que es posible utilizar los dedos para representar las cantidades. Pero, ¿qué hacer cuando ya se han utilizado todos los dedos? Se hace imprescindible comenzar a representar estas cantidades, por ejemplo, con piedras, de manera que una piedra simbolice una utilización de los diez dedos de las manos. Cuando un antiguo ganadero contaba sus animales podía hacerlo con sus dedos y, cada vez que los utilizara todos, ponía una piedra en el suelo. Así, si al terminar de contarlos había ocupado 3 dedos y tenía 4 piedras en el suelo, sabía que tenía 43 animales.

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa piedra. Así, los antiguos calculistas se sentaban a resolver problemas sobre una alfombra y manipulaban piedras con gran rapidez. Poco a poco fueron ganando destreza para representar operaciones con ellas, y transmitiendo estos métodos. Puede decirse que así comenzaron a desarrollarse las calculadoras.

Tuvo que pasar mucho tiempo —hasta el siglo XVII— para que comenzaran a desarrollarse las primeras calculadoras mecánicas: sistemas de ruedas y engranajes que permitían calcular el resultado de sumas, resta, multiplicaciones y divisiones girando manivelas. Su uso tuvo gran impacto entre contadores y comerciantes, pero no resultaban muy prácticas por su lentitud. Para usos prácticos se popularizaron entonces las reglas de cálculo: tablas con resultados de operaciones ya calculadas, y en las que por medio de ingeniosos procedimientos mecánicos era posible encontrarlos. Estas reglas de cálculo —y algunas tablas de valores— fueron utilizadas ampliamente en colegios y universidades hasta mediados del siglo XX, cuando fueron desechadas definitivamente por la aparición de los grandes computadores y las calculadoras de bolsillo.

Hoy, la tecnología nos asombra con su capacidad de reducir cada vez más los tamaños de los artefactos.

Hacia 1960, era necesario un computador del tamaño de tu sala de clases para realizar operaciones que hoy puedes calcular con una sencilla calculadora de bolsillo, y cada vez con mayor velocidad y precisión. Por muy distante que parezca a los métodos anteriores, la programación de estos computadores sigue basándose en el

trabajo realizado por los matemáticos a lo largo de la historia, particularmente en los siglos XVI, XVII y XVIII.

Hoy, la tecnología nos asombra con

su capacidad de reducir cada vez

más los tamaños de los artefactos.

Hacia 1960, era necesario un computador del tamaño de tu sala

de clases para realizar operaciones

que hoy puedes calcular con una

sencilla calculadora de bolsillo.

De piedras a computadores


Para sintetizarSí

ntes

isPara sintetizar

Volviendo al inicio…

Los miembros de la escuela pitagórica observaron que dos cuerdas tales que una midiera el doble de la otra (e igualmente tensas, del mismo grosor y material) producían un sonido agradable al ser pulsadas en conjunto. La diferencia entre los sonidos producidos por ambas es lo que actualmente llamamos una octava, y se considera que corresponden a la misma nota.

Lo agudo o grave del sonido depende de su frecuencia (mientras mayor es, más agudo). Así, podemos decir que la cuerda más larga produce un sonido cuya frecuencia es 1, y la frecuencia del sonido de la cuerda corta es 2. ¿Qué frecuencias intermedias conviene utilizar? Esta definición es la que da pie a las escalas musicales.

Escala pitagórica

Los pitagóricos constataron además que dos sonidos cuyas frecuencias estuvieran en razón 3 : 2 sonaban bien juntos (se dice que forman una quinta). Así, las notas que estarían entre la frecuencia 1 y la frecuencia 2 (formando la escala tónica), se definen con la siguiente regla:

1. Se multiplica la frecuencia de la nota anterior por 3

2.

2. Si el valor obtenido es menor que 2, se añade esta frecuencia a la escala. Si es mayor que 2, se divide el valor por 2 y se agrega a la escala.

¿Cómo se llama?Relaciona los conceptos utilizando un mapa conceptual.

Números racionalesNúmeros irracionales

RaícesNúmeros reales

Raíz enésimaPotencia

Exponente racionalRacionalización

Ecuaciones radicalesOperatoria de potencias y raíces

PotenciaLogaritmo

BaseExponente

Propiedades de logaritmos

Evaluando e innovandoDiseña una evaluación con los contenidos vistos en la unidad e intercámbiala con un compañero. Te sugerimos:

§ Un crucigrama o sopa de letras con las palabras o conceptos clave.

§ Un juego de mesa con preguntas de contenidos de la unidad.

§ Un juego de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.


Síntesis3 41 2

Así se obtienen las siguientes frecuencias (puedes verificar calculando los valores, que aquí están en orden):

1,32

,32

,32

,32

,32

,

32

,32

,32

,32

,32

,32

7

11

2

3

9

14

4

6

11

17

6

9

8

12

3

4

10

15

5

7

La escala temperada

La escala pitagórica presentaba un problema: la razón entre dos frecuencias sucesivas no es constante, lo que provocaba una gran descoordinación entre los músicos si querían tocar una misma pieza pero en un tono más grave o más agudo. Esto motivó que Johan Sebastian Bach reconstruyera una escala tomando una razón constante igual a 212

. De esta manera consiguió 12 notas determinadas por las siguientes frecuencias:

1, 2 , 4 , 8 ,

16 , 32 , 64 ,

128 , 256 , 512 ,

1024 , 2048

12 12 12

12 12 12

12 12 12

12 12

Bach aplicó esta escala en su composición “El clavecín bien temperado”, y su uso permitió simplificar en parte la dura tarea de afinar un piano y otros instrumentos similares.

¿Cómo se hace?Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sinóptico.

Contenido De nición y/o procedimiento Ejemplo

Representación exacta de números irracionales

Aproximación de números irracionales

Orden y ubicación de números irracionales en la recta numérica

Determinación del tipo de resultado de una operación entre números reales

Cálculo de raíces por definición

Operatoria entre raíces enésimas

Racionalización

Ecuaciones radicales

Calculo de logaritmos por definición

Propiedades de logaritmos

Ecuaciones logarítmicasJohann Sebastian Bach


Reforzar antes de evaluarRe

fuer

zoReforzar

Números reales

Números irracionales y problemas geométricos

1 Identifica cuáles de los siguientes problemas requieren de números irracionales para obtener el resultado.

a. Calcular el volumen de un cubo de arista 2 cm.

b. Calcular el área de un trapecio isósceles de bases 4 cm y 8 cm y altura 10 cm.

c. Calcular el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 1 cm.

2 Calcula en forma exacta el perímetro y el área de la siguiente figura.

8

12

2 20

Aproximación de números irracionales

3 Se sabe que 12 es un número irracional:

a. Utiliza una calculadora para determinar una aproximación de 12 a la quinta cifra decimal.

b. Calcula el error absoluto y el error relativo de la aproximación de anterior.

c. Determina una aproximación por defecto y una por exceso para 12 , de modo que el error relativo de ambas sea menor al 1%, pero mayor que el 0,1%.

Orden en los números racionales y recta numérica

4 Ubica en una misma recta numérica los siguien-tes números: 8 , – 2 3 y 20.

5 Ordena de menor a mayor los siguientes números: 2 7 ; 3 6 ; 15.

Números reales

6 Calcula un valor de b para que se cumpla la relación.

7b2b

b 3−

+∈

7 Demuestra que =x 23 – 46 es un número irracional.

8 Analiza el número 18 – 2 • 4 – 9( ) ( ). ¿Es un número racional o irracional? Justifica.

Raíces

Raíz enésima

9 Determina para cada potencia una expresión equivalente con raíces.

a. 54 = 625

b. 7y = z

c. 23

1681

4

=


a. 7 x3=

b. x 0,81=

c. 76

x24=

11 Calcula cuando sea posible el valor de las siguien-tes expresiones. Si no es posible, justifica por qué.

a. 2435

b. 2163−

c. 644−

d. 2 64 273( )−

e. 5 81 7 100 9 10004 3+ −

12 Determina qué condición(es) debe cumplir en cada caso el número real a para que la raíz esté definida en los números reales.

a. 2a3

b. (a 4)+

c. 5a 204 −

d. (a 4)(a 4)− +

Raíces y operaciones

13 Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.

a. 15 • 30

b. 5 23

c. 3p p2 4n

d. 64 • 42

5 5

5

Refuerza los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades.


Refuerzo3 41 2

14 Reduce las cantidades subradicales de las siguientes expresiones hasta el menor número natural posible.

a. 324

b. 1623

c. 4865

d. 2567 −


a. 9 3 –7 3+2 3

b. 3 5 – 2 6+4 5 –10 63 3

c. 3 5 •2 25 – 93 3

d. 50 27 : (2 3)+ 100

Potencias de exponente racional

16 Expresa en cada caso las raíces como potencias y las potencias como raíces.

a. 1523

b. (9b)13−

c. (2x 5)54−

d. 5x4

e. −(7x 6)23

f. a b2 23 +

17 Expresa las siguientes raíces como otra raíz equi-valente, con el menor índice posible.

a. 9412

b. 51827

c. 30 • 620 1015

d. 5xyx

18 Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Cuando sea posible, calcula su valor.

a. 8 • 47 7

b. x • yba ba

c. 4

4

23

23

d. 4 • 6243

e. 3 3 34

f. 2

4

x

y6

g. 20 5 : 424 24( )h. 5m34

Racionalización

19 Determina, para cada expresión, otra equivalen-te sin raíces en el denominador.

a. 17

b. –10

2 5

c. 393

d. 13+ 7

e. 7

6 – 5

f. 115 12+5 13

Raíces enésimas, problemas y ecuaciones


a. 3x –7 – 4x+2 0=

b. 1+ 3x+ 1+ 2x 2=

c. 9 – 2x3– 8x4x – 5

2

=

d. 3x+7 24 =

e. x – 5 – x+8 2x+34=


a. ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 3 27cm3?

b. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma el doble de tres se obtiene el número 10. ¿Cuál es el número?

c. ¿Cuál es el radio r de un cono de altura h igual a

25 cm y volumen (V) de 625 cm3? (Vr •h3

2

=π )

Logaritmos

Logaritmos

22 Expresa los logaritmos como potencias y las potencias como logaritmos.

a. 54 = 625

b. 210 = 1024

c. 10–3 = 0,001

d. log 128 62 =

e. log 1 07 =

f. log1

729–39 =



fuer

zo


Reforzar 23 Calcula en cada caso el valor de x.

a. log 125 x5 =

b. log1

729x9 =

c. log6427

x34

=

d. log 81 4x =

e. log 6 x216 =

f. log x 54 =

Propiedades de los logaritmos


a. 3 log 16 +18

log 81– log 14 3 6

b. 12

log 10023

log 100034

log 10000+ −

c. 31–log 16

:log 2 + log 2

log 82

4 8

12

25 Aplica las propiedades de logaritmos para des-componer las siguientes expresiones en términos de r, s y t, si r = log a, s = log b y t = log c.

a. logabc

b. log a b2 3( )

c. loga bc

3

4

d. loga c3b

4

2

26 Calcula el valor de los siguientes logaritmos.

a. log 6448

b. log 27310

c. log1285122

d. log0,2

0,0085

27 Desarrolla los siguientes logaritmos.

a. log p q3 4( )

b.

loga bc

5 6

5

c. logm np q

3 2

2 3

d.

log

3x – 23x+2

e. ( )( )log 9b cd 3

f. log4x+7

9 – 5x

3

2

( )( )

28 Aplica las propiedades de logaritmos para redu-cir las siguientes expresiones a un solo logaritmo.

a. log a + 4 log b3

b. logcd

–log cd

c. log a – log b + log c2 53 4

d. log a – 0,3 log c + log ac83 3 2( )

Aplicaciones de logaritmos

29 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a. log 2x+3 1( )=

b. log 3x –113 2( )=

c. log 2x –1 + log x+ 4 log 2x + x+72( )( ) ( )=

d. ( )( )− − + − =+

log 3x 2 log 3x 4x 5 log

1x 3

2


a. Se sabe que a log1

164= , log b –314

= y log18

3c = .

Determina el valor de abc

.

b. Si xlog 10log 0,5

= e ylog 10log 50

= , calcula xy

c. Se sabe que la relación entre la cantidad E de energía liberada por un terremoto (en ergios) con su magnitud en grados Richter está dada por la fórmula log E = 1,5R + 11,8. ¿Cuál es la cantidad de energía que libera un temblor cuya magnitud en la escala de Richter es 5?

¿Te sientes más preparado para la evaluación de la unidad?


GuíaProfundizar

Profundizo


3 41 2ProfundizarAhora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las si-guientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.

El número eEn ocasiones los bancos presentan el interés ofrecido en una inversión de maneras distintas. Por ejemplo, es posible que se declare una tasa de inte-rés anual de un 12% con pago semestral, trimestral, mensual, etc. En estos casos, la tasa de interés se divide por el número n de períodos en que se divide el año, y se realiza el pago de intereses n veces durante ese año (lo que recibe el nombre de capitalización). Por ejemplo, si el capital inverti-do es C con una tasa anual del 12%, se tiene que:

n Tipo de capitalización Períodos Tasa de interés Monto obtenido al año

2 semestral 2, de 6 meses12%

26%= C 1

6100

2

+

3 trimestral 3, de 4 meses12%

34%= C 1

4100

3

+

12 anual 12, de 1 mes12%

121%= C 1

1100

12

+

1 Analiza las expresiones anteriores y responde.

a. ¿En qué caso el monto obtenido al cabo de un año es mayor? ¿Siempre ocurrirá así? Discute con tus compañeros.

b. Un banco ofrece una tasa de interés anual del 20% capitalizable semes-tralmente, mientras que otro ofrece una tasa de interés del 10% anual. ¿Cuál es más conveniente para invertir? Justifica.

2 En 1619, el matemático suizo Jacob Bernoulli estudió un problema de interés compuesto, en el que analizaba los beneficios de una cantidad de dinero depositada con un interés anual del 100%, dependiendo de los períodos en los que se capitalice a lo largo de un año.

a. Demuestra que si el interés es del 100% y se capitaliza en n períodos durante el año, la fórmula que permite calcular el monto obtenido al

cabo de un año es 11n

n

+

b. Analiza lo que ocurre con el monto obtenido si el período de capitaliza-ción es un mes, una semana o un día. ¿Qué observas?

3 El número e es un número irracional. Es la base de los logaritmos natu-rales. Sus primeras cifras son: 2,718281828459045…

Su valor se estima

1+1n

n

haciendo n cada vez más grande.

Prueba valores para n = 1; n = 2; n = 5; n = 10; n = 100; n = 1000; n = 10 000 ¿Qué puedes concluir? ¿Qué relación observas con las actividades anteriores?


Evalúo mis aprendizajesEv

alua

ción

Evalúo

Números reales

1 ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra solo números irracionales?

A. 0,5; ; 2π

B. 2

; ; 5ππ

C. 7 ;3

; 9ππ

D. 20 ;–1

; 112( )π

E. Ninguna de las anteriores.

2 Se sabe que =a 1, 6. ¿Cuál de las siguientes expre-siones corresponde a un número irracional?

A. a2 – a

B. 1+a3

C. a –12

D. 3a–1

E. a +1,22

3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm y uno de sus catetos mide 12 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto?

A. 13 cm

B. 37 cm

C. 13 cm

D. 169 cm

E. 481cm

4 El valor = …7 2, 64575 se aproxima por defec-to, considerando cuatro cifras decimales. ¿Qué número representa 4+ 7?

A. 2, 6457

B. 2, 6458

C. 4, 6457

D. 6, 6457

E. 6, 6458

5 Considerando π = 3,14159, ¿qué resultado se obtiene al redondear 3π a la décima?

A. 3,1

B. 9,3

C. 9,4

D. 9,42

E. 9,425

6 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Si r ∈ℚ ⇒ r ∉ *

II. ℤ=ℕ∪ 0III.ℝ=ℚ∪ *

A. Solo I

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

7 Se sabe que a ∈ +. ¿A qué conjunto no puede pertenecer a?

A.

B. –

C. +

D. *

E. +

8 Dos números a y b son tales que a ∈ℚ y b ∈ℝ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. a, b ∈ II. (a + b) ∈ III. (a + b 2) ∈

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. II y III

9 Se sabe que ≤ ≤3 a 5 y ≤ ≤0 b 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I. ≤ + ≤3 a b 9II. ≤ + ≤0 a b 20III. ≤ + ≤3 a b 9

A. Solo I

B. Solo III

C. I y II

D. I y III

E. I, II, y III

Evaluemos los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades


Evaluación3 41 2


I. El número π es irracional.II. Todo número decimal infinito es un

número irracional.III. Todo número irracional se puede escribir

como cociente entre números enteros.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. II y III

E. I y III


I. Existen infinitos números reales x tales que < <2 x 3.

II. Existen infinitos números racionales x tales que < <2 x 3.

III. Existe una cantidad finita de números irracio-nales x tales que < <2 x 3.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

12 ¿En cuál de los siguientes casos los números están ordenados de menor a mayor?

A. 2 2, 3, ,1+ 5

2, 7π

B. 2 2, ,1+ 5

2, 7 , 3π

C. 1+ 52

, 3, , 2 2, 7π

D. 1+ 52

, 3, 7 , 2 2, π

E. ,1 5

2, 3, 2 2, 7π

+

Raíces

13 ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)

equivalente(s)con (ax)12 ?

I. xa

x3 II. a x III. axx

3

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

14 Si a = 3 y x = 124 , ¿cuál es el valor de (ax2 + 1)?

A. 7

B. 36

C. 37

D. 364 +1

E. 12 3 +1

15 ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es (54u3) mm3?

A. 3u mm

B. 9u mm

C. 18u mm

D. 54 u mm

E. 3 23 u mm

16 Considerando π = 3, ¿cuál es el área de un círculo

cuyo radio mide 3 3 cm?

A. 9 cm2

B. 34 cm2

C. 54cm2

D. 9 3 cm2

E. 27 3 cm2

17 ¿Por cuál(es) de las siguientes expresiones se pue-

de amplificar la fracción 593

para racionalizarla?

I. 93 II. 813 III. 33

A. Solo I

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

18 ¿Qué valor de a satisface la igualdad

27 –362

+ x x3 a = ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. –1

E. –2

19 ¿Qué expresión resulta al reducir 50+ 32 –8

2?

A. 8

B. 8 2

C. 10 2

D. 9 – 4




alua

ción

Evalúo20 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-

te con 27+ 48

1434

?

A. 1

B. 3

C. 2 3

D. 32


21 ¿Qué expresión se obtiene al racionalizar 2 510

?

A. 2

B. 5

C. 2 50

D. 5 50

E. 5010

22 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente

con ( )−b b64 126 ?

A. b

B. b2

C. b2 – b

D. b b 1( )−

E. b b b2−

23 ¿Cuál es la solución de la ecuación =12+ 6x –1 4?

A. 3

B. 4

C. 32

D. 52

E. 176

Logaritmos


I. La base de un logaritmo no puede ser negativa.

II. Si a, b ∈ + y a<b, entonces log a > log b.

III. Si x2 > y2, entonces log x2 > log y2.

A. Solo I

B. Solo III

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

25 ¿Cuál es el valor de log10100 + log2 128 + log5 625?

A. 4

B. 7

C. 9

D. 11

E. 13

26 ¿Qué expresión se obtiene al reducir la expresión loga m – loga n + loga p?

A. logpnma

B. logpmna

C. logp

mna

D. logpma

E. logpna

27 Se sabe que logx a = 3. ¿Cuál de las siguientes al-ternativas representa una expresión equivalente con logx(ax)3?

A. 9

B. 3ª

C. logx 3a

D. logx x12

E. 3logx x

28 Sea log 9 = 0,95424. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) correcta(s)?

I. log 9 0,318083 =II. log 900 2,95424=III. log 81 = 1,90848

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

29 Si log a3=p y log b=q, ¿cuál es el valor de log

ab

?

A. p3

B. p – 6q3

C. p +6q3

D. q– 6p3

E. q + 6p3


Evaluación3 41 2

30 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-te con la expresión log 125 – log 45

27?

A. 4 log 5 + log 3

B. 2 log 5 + log 3

C. 4 log 5 – log 3

D. 2 log 5 – 5 log 3

E. 2 log 5 + 5 log 3

31 Si log 2 = a y log 3 = b, ¿qué alternativa represen-ta log 0,06?

A. 6a

B. 2ab

C. a + b –2

D. a – b + 2

E. a + b + 2

32 Si log x= 0,7186, ¿cuál es el valor de log x2?

A. 0,71864

B. 4 • 0,7186

C. log 0,7186

D. 2 log 0,7186

E. 4 log 0,7186

33 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación (a • b)x = c • d?

I. log (c • d) – log (a • b)

II. log (cd)log (ab)

III. log

cdab

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. II y III

34 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación log (x+2) + log 3 = log 2?

A. 83

B. 38

C. –38

D. –83

E. –43

35 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación log2 (x +1) = 2?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

36 El número de habitantes —en millones— de cierta ciudad se puede calcular utilizando la expresión

P(t)= 2 1032t3

Si t representa el tiempo en años, ¿cuánto tiempo aproximado debe transcurrir para que la población de la ciudad sea de 200 millones de habitantes?

A. 1 año

B. 2 años

C. 3 años

D. 4 años

E. 5 años

37 ¿Cuál es el valor de x?

(1) 2 = log x

(2) 100 logx x = x

A. (1) por sí sola.

B. (2) por sí sola.

C. Juntas, (1) y (2).

D. Cada una por sí sola, (1) o (2).

E. Se requiere información adicional.

38 ¿Cuál es el valor numérico de la expresión loga b • loga b?

(1) x = a (2) a = b



C. Juntas, (1) y (2).




Contenido Mínimo sugerido Puedes repasar en la…

Números reales 9 respuestas correctas Sección 1

Raíces 8 respuestas correctas Sección 2

Logaritmos 12 respuestas correctas Sección 3

Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las secciones correspondientes.


GeometríaIdeas previas

Julian Beever es un artista

británico cuya especialidad son

los dibujos que crean ilusión

3D. Para ello utiliza una técnica

llamada anamorfosis, con

resultados verdaderamente

impresionantes.

Beever utiliza la naturaleza del

lugar en el que realiza su obra

y utiliza el punto de vista del

observador, de manera que

una misma pintura del artista

parece tener volumen desde

un lugar, pero luce deforme si

se la mira desde otro.

Palabras clave

Ü Semejanza

Ü Criterios

Ü Proporcionalidad

Ü Escala

Ü Teorema

Ü Circunferencia

Ü Ángulos

Ü Segmento

unid

ad222unid

ad2unid

ad

421 3

87UNIDAD 2 • GEOMETRÍA

Activ

idad

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 88 89UNIDAD 2 • GEOMETRÍA

Sección 1

Semejanza de figuras planas

De esto se trata…Muchas veces un cuadro es una representa-

ción de una escena real. ¿Has visto cómo, en las pinturas de paisajes, cada detalle de la obra se ve en armonía en su tamaño respecto al resto de los objetos que aparecen?

Para pintar un cuadro, algunos artistas utilizan una técnica para medir los objetos que irán en él. Esta consiste en tomar un pincel con el brazo estirado, y con un ojo cerrado hacer coincidir uno de sus extremos con el extremo del objeto, y ubicar luego su dedo pulgar sobre el pincel coincidiendo con el otro extremo (ver imagen).

Esta técnica permite al pintor tener una misma referencia para el tamaño de los ob-jetos en la pintura, y así poderlos representar de manera adecuada sin que se distorsione en el cuadro.

Discute con tus compañeros.

➊ ¿Qué significa que una pintura sea proporcional a la escena real? ¿Qué relación existe entre las medidas de cada objeto de la pintura con las reales?

➋ ¿En qué otras situaciones se representa un objeto, con distinto tamaño pero sin distorsionar sus medidas?

➌ ¿Conoces alguna otra técnica para dibujar en un papel un objeto, respetando la relación entre sus dimensiones originales? Explica cuáles.

Actividad grupal

Propósito: que puedas analizar la semejanza de figuras en diversos contextos, a partir de los criterios utilizados en los triángulos.


A identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos. Lección 13 comprender el concepto de semejanza.

A comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos. Lección 14 analizar la semejanza de triángulos sin necesidad de conocer todas sus medidas.

A analizar y construir homotecias. Lección 15 aplicar los criterios de semejanza a la homotecia de figuras planas.


Ü RazónÜ ProporcionalÜ Ángulos congruentesÜ Semejante

§ En una pintura, los objetos más lejanos aparecen más pequeños. ¿Conoces otra forma de dar “profundidad” a un dibujo? Explícala.


Actividad


3 421


Plantear razones y resolver ecuaciones con proporciones

1 Calcula el valor de las siguientes razones.

a. 1 : 2

b. 8 : 4

c. 9 : 5

d. 7 : 3

2 Divide los siguientes números en cantidades que se encuentren en las razones dadas.

a. 24, en razón 1 : 3

b. 35, en razón 2 : 5

c. 24, en razón 1 : 3 : 8

3 Calcula el valor x en las siguientes proporciones.

a. =x3

62

b. 5 : x = 10 : 4

c. =84

x7

d. =2x9

84

e. 12 : 6 =3 : x

f. x + 2 : 10 = 30 : 15

Calcular medidas de ángulos y segmentos en polígonos

4 Calcula en cada caso el valor de x con los datos que se indican.

a.

x 56º

b.

45º 45º

x

c.

3xx

5 Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

a.

3,6 m

3,6 m

2 m

2 m

2 m

2 m

1,5 mb. 1 cm

1 cm

1 cm

1 cm1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

2 cm

Identificar y aplicar congruencia de figuras planas

6 En cada caso determina si los triángulos nom-brados son congruentes. Indica el criterio que te permite determinarlo.

a. El ∆DEF y el ∆YZX

D

F

E70º

X

Y

Z

72º

b.

P

O

NM

El ∆MPO y el ∆NPO

7 Se sabe que ∆ABC ≅ ∆QRP. Además, el perímetro del triángulo ABC es de 28 cm, AC = 10 cm y RP = 12 cm. Calcula la medida de QR.



http://goo.gl/gV8fX Razones y ecuaciones con proporciones.

http://goo.gl/mEY8i Cálculo de medidas de ángulos y segmentos en polígonos.

http://goo.gl/UGKV3 Congruencia de figuras planas.



Lecc

ión Semejanza y figuras a escala

Propósito: Identi car y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

SemejanzaTaller


Algunas banderas de los países del mundo no son rectangulares: la bandera de Suiza es cuadrada y la de Nepal tiene una forma muy particular, que repre-senta los montes Himalayas. La bandera de Nepal se construye sobre un género con la siguiente forma.

A B

CD

E

1 Recorten –cada uno– una bandera de Nepal sobre una hoja de manera que su lado inferior (AB) mida 12 cm.

a) ¿Les quedaron iguales las banderas? Si no, ¿en qué se diferencian?

b) Comparen sus banderas con las de otros compañeros. ¿Cuáles son las diferencias?

2 Las instrucciones para construir la bandera de Nepal se encuentran en el artículo 5 de su Constitución política, donde se describe paso a paso cómo hacerlo.

a) ¿Qué datos creen que son necesarios para construir una bandera como esta? ¿Cuáles solicitarían ustedes? Justifi quen.

b) Si alguien dice que la bandera está “mal construida”, ¿en qué aspectos se fi jarían para determinarlo? Justifi quen.

3 Las instrucciones indicadas en la Constitución son las siguientes:

x

3x

3x

3x

§ Una razón es una compa-ración entre dos cantida-des a y b, se escribe a

b o

a : b y se lee “a es a b”.

§ La igualdad de dos o más razones es una propor-ción. Además se cumple que:

ab

cd

a•d b •c= =ab

cd

a•d b •c= =

§ Dos ángulos son con-gruentes cuando tienen igual medida.

§ Dos pares de segmentos de medidas a, b, c y d son proporcionales si existe alguna constante r tal que: ab

r= y cd

r= .

Debes saber…

Nepal es un país muy pequeño ubicado en Asia, pero muy visitado pues en él se ubican las montañas más altas del

mundo, entre ellas el Everest.

13

UNIDAD 2 • GEOMETRÍA 91

3 421Propósito: Identi car y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

a) Construyan, cada uno, una bandera con estas instrucciones y distintos valores de x.

b) ¿Qué tienen en común las banderas construidas? ¿En qué se diferencian?

c) Imaginen que deben darle instrucciones a alguien para que construya la bandera, pero por teléfono. ¿Cómo lo harían?

4 Supongan que tienen dos banderas, y una de ellas es tres veces el tamaño de la otra. Si el perímetro de la más grande es 48 cm, ¿cuál es el perímetro de la más chica? Justifiquen.

Las banderas que construyeron no son todas iguales entre sí, ya que pueden tener distintas medidas, pero sí podemos observar que hay una forma que se mantiene, y nos permite decir si está bien construida o no. Esta forma tiene que ver con los ángulos involucrados y la relación que existe entre las medidas de los lados; por ejemplo, el

alto de la bandera siempre debe ser igual a 43

de la medida del largo.

En general, decimos que dos figuras planas son semejantes (se denota con el símbolo ~) si tienen la misma forma, (por lo tanto, si sus ángulos son respectivamen-te congruentes) y cada par de lados correspondientes (llamados homólogos) son proporcionales. La razón entre las medidas de un par de lados correspondientes se llama razón de semejanza (r). Por ejemplo, considerando dos banderas, tenemos que:

A B

C D

E

P Q

R S

T

ABCDE ~ PQRST

Se cumple que:

≅ ≅ ≅≅ ≅

= = = =

BAE QPT CBA RQP DCB SRQ

EDC TSR AED PTS

ABPQ

BCQR

CDRS

DEST

r

Siendo r un número real, distinto de cero. Observa que, en este caso, AB > PQ, por

lo que =ABPQ

r es un número mayor que 1. Según sus valores, podemos decir que:

Si r > 1, ABCDE es una ampliación de PQRST.

Si r < 1, ABCDE es una reducción de PQRST.

Si r = 1, ABCDE es congruente con PQRST.

AyudaCuando escribimos la con-gruencia o la semejanza de las figuras es conveniente respetar el orden de los vértices al señalarla, es decir, que el orden utilizado para la segunda figura corresponda con el de la primera.


Lecc

ión

Escala

Una importante aplicación de la semejanza son las figuras a escala, que se utiliza en la confección de mapas y planos. El siguiente ejemplo muestra el sector del Barrio Bellavista, ubicado en la comuna de Providencia en Santiago, en él se observan algunas de sus calles y lugares de interés turístico.

Paso 1 Se analiza la escala del mapa, en este caso, 1 : 7 000. Esto significa que cada centímetro del mapa representa 7 000 centímetros de la realidad (o 0,07 kilómetros).

Paso 2 ¿Cuál es, en la realidad, la distancia en kilómetros entre los puntos A y B? Para calcularlo, consideramos la distancia en centímetros entre estos lugares en el plano, y la multiplicamos por 0,07.

10,07

6x

= = 6 • 0,07 = 0,42

Por lo tanto, su distancia es de 0,42 km.

Paso 3 Dos ciudades distan en la realidad 8 km. ¿A qué distancia en centímetros deben ubicarse en este mapa? Para calcularlo, dividimos su distancia en kilómetros por 0,07; para obtener la distancia en centímetros en el plano.

10,07

x8

= = 8 : 0,07 ≈ 114,29

Por lo tanto, deben ubicarse a 114,29 centímetros en el mapa.

13

Razonay comenta§ ¿Cuál es la relación en-

tre el largo y el ancho de la bandera de Chile? ¿Qué relación existe en-tre el cuadrado azul y la estrella? Investiga.

§ ¿Qué similitudes tienen la congruencia y la se-mejanza? ¿Qué diferen-cias? Justifica.

§ Si una imagen dice “escala 300 000 : 1, ¿qué significa? ¿En qué casos se podría utilizar una escala así?

En resumenDos figuras son semejantes si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de sus lados correspondientes (homólogos) son proporcionales.

Cuando representamos una figura en un plano, construimos una figura semejante a la original, es decir a escala.

ABDE

=BCEF

=CAFD

= r

'; '; 'α=α β=β γ=γ

ABDE

=BCEF

=CAFD

= r

'; '; 'α=α β=β γ=γ

, donde r se llama razón

de semejanza.

Entonces ∆ ABC ~ ∆ DEF


Practiquemos lo ap

rendido3 421

Practiquemos lo ap

rendido

Repaso

1. Calcula en cada caso el valor de la razón.

a) 1 : 4

b) 2 : 3

c) 84

d) 65

2. Calcula el valor de x en cada proporción.

a) =35

12x

b) =2565

x13

c) =12x

921

d) =x

194135

3. Calcula el área y perímetro de la siguiente figura.

2 cm

2 cm

8 cm

4 cm5 cm

3 cm

Práctica guiada

4. Identifica todos los pares de figuras semejantes. Guíate por el ejemplo.

C

7 m

4 mA B

6 m

D

2 2 m

56º

79º

135º

2 m

1 m

2 m

1 m

U

T

W

V 101º101º

68º

4 cm

5 cm2 cm

C

BA 24º 125º

31º

100 cm

100 cm

50 cm

E

F

G

H

50 cm

68º

101º

101º

3 cm

3 cmJ K

L

3 2 cm

45º

45º

3 m

3,5 m

2 m OP

Q

R

2 m 135º

56º

79º

R Q

S

2 cm

3 cm

13 cm

56º

34º

Ejemplo: El cuadrilátero ABCD es semejante con el

cuadrilátero OPQR, pues = = = =ABOP

BCPQ

CDQR

DARO

2 y además

≅ ≅≅ ≅

BAD POR; CBA QPO;

DCB RQP; CDA ORQ

5. Para cada par de polígonos semejantes identifica los ángulos y lados correspondientes, el valor de la razón y escribe la semejanza considerando la correspondencia entre los vértices. Guíate por el ejemplo.

1,2 cm

0,8 cm

1 cm

E

D

F56º

72º

52º

0.96 cm

1,44 cm

1,2cmC

B

A56º

72º

52º

≅ ≅ ≅BAC EDF CBA FED ACB DFE

AB correspondiente con DEBC correspondiente con EFAC correspondiente con DF

Razón = 1,2∆ABC ~ ∆DEF

a) P

O Q

3 cm 5 cm

4 cm

53º

37º

2 cmS R

T

10

3cm

8

3cm

53º

37º

b) 63º135º

45º 117º0,7 m

1 m

1,2 m

F E

HG 1,4 m

45º117º

135º63º6 m

7 m

M P

ON

5 m

3,5 m

c)

O

R

Q

P6 cm

45º

135º

3 2 cm

3 2 cm

6 2 cm

2 cmX W

Y

Z

135º45º 2

22 2

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


6. Resuelve los siguientes problemas. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: El plano de una casa está diseñado con una escala de 1 : 200, y en él, uno de los dormi-torios mide 1,8 cm de largo por 1,5 cm de ancho. ¿Cuáles son las medidas reales del dormitorio?

Paso 1 El plano de la casa es una reducción de la realidad, por lo que las medidas en él deben multiplicarse por 200.

Paso 2 Se calculan las medidas.1,8 • 200 = 360 cm

1,5 • 200 = 300 cm

Las medidas reales del dormitorio son 360 cm de largo y 300 cm de ancho.

a) El modelo a escala de un vehículo mide 3,8 cm de largo y fue diseñado utilizando una escala de 1: 100 ¿Cuál es la medida real?

b) La torre Eiffel (París, Francia) tiene una altura aproximada de 325 m. Si se construye una maqueta de esta estructura con una escala de 1: 25, ¿cuál sería la altura?

c) Si en un mapa confeccionado con una escala de 1: 5 000 000 una ciudad dista 12 cm de otra, ¿cuál es la distancia real entre ambas ciudades?

Aplica

7. Se sabe que ∆ABC ~ ∆OPQ, relación escrita considerando el orden de los vértices. Determina cuál(es) de las siguientes proporciones se cumple(n) siempre.

a) =CBQP

ACOQ

b) =CBOQ

QPAC

c) =ABBC

OPPQ

d) =PQOQ

BAAC

8. Calcula la razón de semejanza en cada caso.

a) Trapecios rectángulos semejantes.

3 cm

3 cm

7 cm CD

A B5 cm

6 cm

6 cm

14 cmC′D′

A′ B′

10 cm

b) Rombos semejantes en los cuales AD = 9 m y C'D' = 6 m.

A

B

C

D

A′

B′

C′

D′

9. Identifica en qué casos puede afirmarse que las figuras son semejantes. En caso que lo sean calcula el valor de la razón (r).

a) Figura original: ABCDEF.

A

C

B

DE

F C′

B′A′

F′

E′ D′

Hexágono regular de lado 2a3

cm . Hexágono regular de lado 5a9

cm4

.

b) Figura original: ABCD.

Rombo de lado 0,6 cm. Rombo de lado 12 cm.

A′

B′

C′

D′

A

B

C

D

c) Figura original: ABCD.

10 cm

8 cm8 cm

6 cm

CD

A B

D′

A′

C′

B′

5 cm

4 cm4 cm

3 cm

d) Figura original: ABC.

Triángulo equiláterode lado (a – b) m.

Triángulo equiláterode lado (a2 – b2) m.

A′ B′

C′

C

A B

Practiquemos lo ap

rendido


3 421


10. Una fotografía cuyos lados medían 6 y 15 cm respectivamente se reduce de tal forma que un objeto que en ella medía 3 cm de largo, ahora mide 2 cm. ¿Cuáles son las nuevas medidas de los lados de la fotografía?

11. A partir de una imagen rectangular de 16 x 12 cm se realizan diversas reducciones o ampliaciones.

a) ¿Cuál es el perímetro de la nueva imagen si la figura es ampliada en la razón 2 : 5?

b) ¿Cuál es el área de la nueva imagen si la figura es reducida en la razón 4 : 3?

c) Si la figura reduce sus dimensiones a 8 x 6 cm, ¿cuál es la razón de su ampliación?

d) Si la figura aumenta sus dimensiones a20 x 15 cm, ¿cuál es la razón de su ampliación?

12. Analiza la información de la imagen. Luego, resuelve:

En el plano se muestra el ensamble de tres piezas metálicas. Sus medidas corresponden a las longi-tudes en centímetros con que fueron dibujadas. Si la escala utilizada fue 1 : 250, completa el dibujo con las medidas reales de la pieza.

Plano22,5

7,5

7,5

37,5

7,5

30

Pieza real

13. Analiza en cada caso si los polígonos nombrados son siempre semejantes entre sí. Si no lo son, justifica dando un contraejemplo.

a) Los triángulos equiláteros

b) Los rectángulos

c) Los triángulos rectángulos

d) Los cuadrados

e) Los triángulos isósceles

f) Los heptágonos

g) Los pentágonos regulares

h) Los triángulos isósceles rectángulos

14. Desafío: Que un polígono sea semejante a otro quiere decir que sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes congruentes. Piensa en la circunferencia y responde justificando cada respuesta.

a) ¿Es un polígono? ¿Por qué?

b) ¿Podemos comparar la medida de los lados y ángu-los de una circunferencia con otra? Si es así, ¿cómo?

c) ¿Todas tienen igual tamaño? ¿Todas tienen la misma forma? Explica.

d) ¿Son semejantes todas las circunferencias entre sí? ¿Por qué?

15. Desafío: Observa las siguientes manchas de pintura verde.

¿Son semejantes entre sí? Justifica.

16. Desafío: Utiliza una técnica apropiada para ampliar la figura en la escala 2 : 3.

§ Cuando decimos que un ser humano es “mi semejante”, ¿en qué se parece el sentido que le damos a esta palabra con el que se le da en matemáticas? Discute con tus compañeros.

Reflexiona


Lecc

ión

AyudaPueden utilizar un procesador geométrico para realizar estas construcciones.

AyudaRepresentamos el segmento de extremos A y B como AB(podemos escribir también segmento AB). AB representa la medida del segmento.ACB representa al ángulo formado por los rayos CA y CB. Su medida se representa como m(ACB).

Criterios de semejanza de triángulos

Propósito: Identificar y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

§ Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos y sus lados correspondientes de igual medida.

§ Los criterios de congruencia de los triángulos son: lado – lado – lado (LLL); lado – ángulo – lado (LAL); ángulo – lado – ángulo (ALA) y lado – lado – ángulo (LLA).

§ La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Debes saber…

Taller

En grupos de tres personas lean y realicen las siguientes actividades.

El triángulo es el polígono con menor cantidad de lados que existe, por lo que resulta conveniente analizar a partir de él la semejanza entre las figuras planas. En particular, nos interesará saber cuál es la cantidad mínima de datos que debemos tener para afirmar que dos triángulos son semejantes entre sí.

1 Dibujen un triángulo ABC cualquiera y midan dos de sus ángulos, α y β. Con estas medidas construyan otro triángulo A’B’C’.

C

A Bα β

α βA′ B′

C′

a) Sean γ el tercer ángulo del triángulo ABC y γ’ el tercer ángulo del triángulo A’B’C’. ¿Debe cumplirse que γ = γ’? Justifi quen por qué.

b) Midan los lados del triángulo ABC y los de A’B’C’, y analicen las siguientes razones.

′ ′AB

A B ′ ′AC

A C ′ ′BC

B C

c) ¿Pueden concluir que ∆ABC ~ ∆A’B’C’, sabiendo que tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes? Justifi quen.

2 Dibujen un triángulo ABC cualquiera y midan sus lados. Luego, construyan dos triángulos PQR y XYZ, de manera que cada lado de PQR mida el doble de los lados de ABC, y cada lado de XYZ mida el triple de los lados de ABC.

a) Midan los ángulos de los tres triángulos. ¿Son congruentes?

b) ¿Se puede concluir que ∆ABC ~ ∆PQR ~ ∆XYZ, si se sabe que la medida de sus lados son proporcionales? Justifi quen.

3 Dibujen un ángulo α como el de la figura, y sobre sus rayos ubiquen los pun-tos B y C (donde quieran) para construir el triángulo ABC.

A

B

C

α

a) Midan los segmentos AB y AC. Sobre el mismo ángulo α, construyan los triángulos APQ y AXY, de manera que

AP = 3AB AQ = 3AC

AX = 4AB AY = 4AC

14


3 421Propósito: Identificar y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

b) Midan los segmentos PQ y XY, y compárenlos con la medida de BC.

c) Midan los ángulos faltantes de los triángulos ABC, APQ y AXY: ¿Qué relación encuentran entre ellos?

d) ¿Pueden concluir que ∆ABC ~ ∆APQ, si saben que tienen en común el ángu-lo α y además los lados AB y AC proporcionales con AP y AQ? Justifi quen.

e) Del mismo modo ¿Pueden concluir que ∆ABC~ ∆AXY? Justifi quen.

Al igual que ocurre con la congruencia, para afirmar que dos triángulos son se-mejantes entre sí nos basta conocer la relación entre algunos de sus elementos, que podemos resumir en los criterios de semejanza de triángulos; se llama de esta manera, a un conjunto mínimo de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. Esos criterios son:

Criterio ángulo – ángulo (AA): dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes.

α βBA

C

A′

B′C′

α′

β′'

'

α = α

β = β entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C'

Criterio lado – lado – lado (LLL): dos triángulos son semejantes si tienen tres pares de lados correspondientes proporcionales.

= =AB

A'B'BC

B'C'AC

A'C' entonces,

∆ABC ~ ∆A'B'C'

A′

B′C′

A B

C

Criterio lado – ángulo – lado (LAL): dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos por dichos lados congruentes.

A′

B′C′

α′A B

C

α

ABA'B'

ACA'C'

'

=

α = α entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C'

Razonay comenta§ Considera los siguien-

tes cuadriláteros:

δ

γ

βαA

B

C

D

γαP

1,2 • AB

1,2 • CD1,2 • AD

1,2 • BCQ

R

S

§ ¿Son semejantes entre sí? Traza una diagonal en ambos para justifi-car tu respuesta.

En resumenPara determinar la semejanza de dos triángulos, existen tres criterios:

• Criterio ángulo – ángulo (AA)

• Criterio lado – lado – lado (LLL)

• Criterio lado – ángulo – lado (LAL)

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


Repaso

1. Identifica cuáles de los siguientes pares de triángulos son congruentes entre sí. Indica en cada caso el criterio utilizado para afirmarlo.

a)

F

D E3

4,5 4,2

A C

B

4,54,2

3

b)

10

10 H

I

G60º J

L

K

60º

2. Determina las razones pedidas entre las medidas de los siguientes segmentos.

A BC DE FG HI J

a) AB : CD

b) IJ : EF

c) CD : GH

d) EF : (AB+GH)

e) GH : IJ

f) (IJ+CD) : AB

Práctica guiada

3. Calcula el valor de la incógnita en los siguientes triángulos semejantes.

Semejanza por LAL.

CB 3

2

A

6

x

A′

B′ C′

Paso 1 Se establece la proporción 63

x2

= , que

permite calcular la incógnita.

Paso 2 Se aplican las propiedades de proporcio-nes para calcular el valor de x.

= → = → =12 3x123

x 4 x

a)

x

F

ED 12 cm

10,5 cm6 cm

4 cm

3,5 cmD′ E′

F′

b) M

L

6 cmy

K117º

45º7 cm

3 cm

H

G I

45º

117º

4. Los siguientes triángulos son semejantes entre sí. Estable la relación de semejanza para cada par. Guíate por el ejemplo.

C

A B

45ºE D

F

45º

72º

72º

45º

BAC ≅ EDF

ACB ≅ DFE

Por lo tanto, ∆ABC ~ ∆DEF

a)

H

G

I

7

10

33º

N

O

M

21

30

33º

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

§ ¿Cómo definirías lo que es un criterio? Explícalo con tus palabras.§ ¿Qué semejanzas ves entre los criterios de semejanza y los criterios de congruencia de triángulos? ¿Qué

diferencias. Comparte tus conclusiones con tus compañeros.

Reflexiona

b) J

K L2,5

3,163

Y

X

Z5

6,32 6

Aplica

5. Identifica, entre los siguientes triángulos, tres pares de ellos que sean semejantes entre sí. Escribe el criterio aplicado.

A

B C2

4 58

Q

P

4

10O

D

E

F

95

18

92º35º Ñ

N

M53º

92º

G

H

6

3

I

35º

J

L

K

1810

53º

6. Analiza cada figura e identifica en ella los triángulos que son semejantes. Indica el criterio aplicado.

a) C

A D B

b) MN = 4 cm, NÑ = 6 cm, ÑO = 7,5 cm, PO = 3 cm, MP = 2 cm.

M

Ñ

OP

N

c) MJ = 5 cm, JL = 3 cm, JK = 3,6 cm, NJ = 6 cm.

O

Ñ

N

K

MJ

L35º35º

7. Calcula el valor de cada incógnita si se sabe que ΔABC ~ ΔA′B′C′.

x m A

B

C

0,7 m 1,26 m

38º

53º

z72 cm

60 cmy cm

C′

B′

A′k

w

8. Comprueba que si dos triángulos son semejantes, la razón de sus perímetros coincide con la razón de semejanza.

9. En dos triángulos semejantes ¿Qué relación existe entre la razón de semejanza y la razón de sus áreas? Experimenta con diversos ejemplos y formula una conclusión.

10. Utiliza criterios de semejanza de triángulos para demostrar que las siguientes figuras son semejantes entre sí. Traza diagonales para descomponerlas en triángulos.

a) D

A B

4

4 C117º

117º

H

E F

2

2 G117º

117º

b)

D

C

BA

E

55

98

67º

1,251,25

2

J H

GF

I

67º


Lecc

ión Homotecia y semejanza

Propósito: Analizar y construir homotecias.

La Luna es mucho más pequeña que el Sol, pero cuando hay un eclipse solar total parece cubrirlo completamente. Lo que ocurre es que desde la Tierra parecen ser del mismo tamaño, o como se dice en geometría, desde la Tierra son figuras homotéticas.

Analizaremos como construirlas con ayuda del procesador geométrico Geogebra, al cual puedes acceder gratuitamente desde la dirección http://www.geogebra.org

Paso 1 Con la her ramienta , Polígono, construye un polígono a tu

elección. Luego, con la herramienta , Nuevo Punto, ubica un punto cualquiera en el plano.

Este punto se llama centro de homotecia.

Paso 3 Con la herramienta , Recta por dos puntos, traza dos rectas distintas que pasen por el centro de homotecia y por un vértice del polígono original.

Paso 2 Haz clic sobre el botón , Refleja objeto en recta, y selecciona el último botón de la lista desplegable,

Homotecia desde un punto por un Factor de Escala. Luego haz clic sobre el polígono, sobre el punto y finalmente in-gresa el número 2 en la ventana que se desplegará. Luego presiona OK.

Paso 4 Al trazar las rectas anteriores se forman dos triángulos (en este ejemplo, ECD y EC’D’).

Con la herramienta , Distancia o Lon-gitud, mide los lados de estos triángulos.

15


3 421Propósito: Analizar y construir homotecias.

Realiza las siguientes actividades:

1 En la ventana lateral de Geogebra se muestran las medidas de los lados de cada polígono. ¿Qué relación observas entre ellas, y el número ingresado en el paso 2?

2 Con la herramienta , Elige y Mueve, haz clic sobre el centro de homotecia y, sin soltarlo, muévelo por la ventana. ¿Qué cambios observas? ¿Qué se mantiene?

3 ¿Son semejantes los polígonos homotéticos? Justifica.

4 Construye dos homotecias más, con Factor de escala –3 y 0.5 (debes agregarlo con punto en la ventana del paso 2). Analiza las figuras resultantes. ¿Qué observas?

En general, dado un segmento AB, un punto C y un número real k ≠ 0, pode-mos construir una homotecia A’B’ de AB con centro en C y razón de homotecia k como se muestra en la figura

A

C

B

A′

B′

CB' = k • CB

CA' = k • CA

Lo anterior puede aplicarse para polígonos con distintos valores de k, ob-teniendo figuras semejantes con lados correspondientes paralelos. Pueden darse los siguientes casos.

O

Figura original

Contracciónk = 0,75 < 1

Contracciónk = –0,6 > –1

|–0,6| < 1

Centro deHomotecia

Dilataciónk = 1,5 > 1

Dilataciónk = -1,2 <–1

|-1,2| > 1

HomoteciasInversas (k<0)

HomoteciasDirectas (k>0)

C′′A′′

B′′

B′B

C′

C

A′A

Observa que…En GeoGebra se utiliza el término “Factor de escala” para referirse a la razón de homotecia.

Observa que…A diferencia de la razón de semejanza r, la razón de homotecia k admite valores negativos, correspondientes a las homotecias inversas.

Se cumple que:

= = =CA'CA

CB'CB

A'B'AB

k

Además, AB // A'B'

Razonay comenta§ ¿Existe una homotecia

de razón 1?

§ ¿A qué transformación isométrica equivale una homotecia de razón –1? Justifica.

§ Dadas dos figuras homotéticas, ¿cómo puedes determinar su centro de homotecia? Explica.

En resumenUna homotecia es una transformación geométrica que permite construir una figura seme-jante a la original, con lados paralelos a esta. Dado un punto (O) y un número real k (distinto de 0), se define una homotecia de centro O y razón de homotecia (k) como la transforma-ción que hace corresponder un punto A en otro punto A', tal que A, A' y O están alineados y OA'OA

= k.

• Si k > 0 la homotecia es directa, la figura original y resultante están al mismo lado del centro

• Si k < 0 la homotecia es inversa, la figura original y resultante están en lados opuestos al centro

Observa que…La razón de homotecia (k) es igual a la razón de semejanza entre la figura homotética y la original.

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


Repaso

1. Calcula en cada caso la razón de semejanza entre la figura B y la figura A.

a) D E

F

4,5

3

B

2

3A C

b)

E

H

1

1

1 1

F

G

A

D

0,5

0,5

0,5 0,5

B

C

c)

F G

HJ

I

5

5

5 5

5

A B

CE

D

3

3

33

3

Práctica guiada

2. Aplica en cada caso la homotecia correspondiente según el centro de homotecia (O) y la razón de homotecia (k). Guíate por el ejemplo.

M

P

N

O

Paso 1 Se trazan las rectas OM, ON y OP, y se miden los segmentos OM, ON y OP.

M

P

N

O

Paso 2 La razón de homotecia es 12

, por lo que

los segmentos OM′, ON′ y OP′ deben medir la mitad de los segmentos OM, ON y OP, respectivamente.

Se ubican, por lo tanto, los puntos M′, N′ y P′ en la mitad de los segmentos OM, ON y OP.

M

P

N

O

a) k = 13

X

Z

Y

O

b) k = 2S

R

Q

PO

c) k = –3

A D

CB O

d) k= – 12

A D

B C

O

Aplica

3. Asocia a cada figura la razón de homotecia que le corresponde respecto de la figura original ABCD.

A

BC

DO

1,5

1,5

11

1

Figura B

Figura B

Figura A

Figura A

Figura A

Figura B

k= 12

N

P

M

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

§ Un proyector (como el de un cine), ¿construye una homotecia? ¿Con qué centro y razón? Investiga y discute con tus compañeros.

Reflexiona

4. Determina en cada caso la razón de homotecia.

a)

A′

B′

C′

4

42

3

B

A

C

Figura imagen

Figura original

b)

A

B

CO3 1

1

1,5

3

A′

B′

C′

Figura original

Figura imagen

c) Figura original

3

6

A

D

C B

1O

Figura imagenB′

A′

D′

C′

d)

Figura imagen

Figura originalQ 5

P

2,54,5

3M

N

O 0,90,6

0,5

1

M′N′

P′ Q′


a) Se tiene un rectángulo de lados 3 cm y 4 cm sobre

el que se aplica una homotecia de razón 13

12

42

cuyo

centro es el punto de intersección de sus diagona-les. ¿Cuál es la distancia entre el centro de homo-tecia y los vértices del nuevo rectángulo?

b) A un triángulo equilátero de perímetro 24 cm se

le aplica una homotecia de razón 13

12

42

. ¿Cuál es el

perímetro del nuevo triángulo?

c) A un triángulo rectángulo de catetos 8 cm y 10 cm

se le aplica una homotecia de razón 13

12

42

. ¿Cuál es el

área y el perímetro del nuevo triángulo?

d) A un cuadrado de lado 4 cm se le aplica una ho-

motecia de razón 2. ¿Cuál es el área y el períme-

tro del nuevo cuadrado?

e) Dibuja un triángulo rectángulo de área 12 cm² y luego aplica sobre él una homotecia de razón 3 con centro de homotecia en el vértice de su ángulo recto. ¿Cuál es la suma de los perímetros de ambos triángulos?

6. Conexiones: el pantógrafo es un instrumento que permite ampliar y reducir figuras planas mecánicamente, y aún es utilizado por personas que se dedican al grabado de joyas y medallas.

a) Investiga respecto del funcionamiento del pantógrafo.

b) ¿Qué parte del pantógrafo corresponde al centro de homotecia?

7. Desafío: determina en cada caso el centro de homotecia (O) y calcula la razón de homotecia (k).

a) Figura imagen

Figura original

C′

A′

B′

D′

E′E

A

BC

D

b)

Figura original

Figura imagen

A

B CB′

A′

C′



Para una construcción se instalan dos pilares de manera perpendicular al suelo, separados a 18 m entre sí. La altura de uno de ellos es de 1,5 m, mientras que la del otro es de 3 m. En el extremo superior de uno de ellos se ata una lienza, la que a su vez es fijada en el suelo en un punto que se ubica en la misma línea de los postes. Luego, la lienza se ata al extremo superior del otro poste. Si los ángulos que forman los pilares con la lienza son iguales, ¿a qué distancia de los pilares se fijó la lienza al suelo?


¿Qué datos son necesarios para resolver la pregunta?La altura de los pilares (1,5 m y 3 m), la distancia entre ellos (18 m), y se sabe que la lienza forma ángulos con-gruentes con los pilares.


Realizaremos un dibujo que represente la situación. Seguidamente se utiliza la semejanza de triángulos para determinar proporciones que permitan calcular los valores desconocidos y responder la pregunta.


Realiza el dibujo.

Ya que la distancia entre los dos postes es de 18 m, se tiene la relación BC = 18 – AB

Dado que los ángulos de inclinación de la lienza con los pilares son congruentes, y además, el ángulo entre cada pilar con el suelo es de 90° los triángulos ABC y CDB son semejantes por el criterio AA.

Por lo tanto, se verifica la relación ABBC

EACD

= . Rempla-zando los valores, se tiene:

ABBC

EACD

AB18 – AB

1,53

3AB 1,5 18 – AB

3AB 27 –1,5AB

4,5AB 27

AB274,5

6

( )

=

=

=

==

= =

Es decir, el pilar de 1,5 m de altura se encuentra a 6 m del punto fijo en el suelo, mientras que el pilar de 3 m se encuentra a 12 m de él.


Para verificar que la respuesta es correcta puedes dibujar la situación a escala. Verifica que si el punto se ubica a 6 metros del menor de los postes, se forman triángulos semejantes.


D

CBA

E 3 m

18 m

1,5 m


3 421Para no cometer erroresPara no

§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?§ Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes


Reflexiona

Martina está confeccionando un distintivo que utilizarán en su curso durante un encuentro regional. Para ello realizó la siguiente plantilla:

3 cm5 cm

Cuando lo mostró a su curso le pidieron hacerlo un poco más grande, de manera que el lado del pentágono midiera 6 cm. Martina lo hizo y entregó la siguiente plantilla:

6 cm4 cm

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Martina?

§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al construir figuras semejantes?

Al aumentar la medida del lado del pentágono, Martina debe aumentar las demás medidas en la misma razón, la cual se obtiene multiplicando y no sumando un valor.

Si llamamos x a la medida indicada en la estrella, debe cumplirse que:65

x3

x3•6

5x 3,6cm= → = → =


Jorge analiza la siguiente homotecia, y quiere calcular cuál fue la razón utiliza-da que generó la flecha roja a partir de la verde.

OA = 1,4 cm

AA’ = 2,8 cm

Para ello, calcula el valor k= = =AA'OA

2, 81, 4

2

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Jorge?

§ ¿Qué otro error crees que puede ser común cometer al calcular la razón de una homotecia?

Para calcular la razón de una homotecia, se deben considerar los segmentos OA y OA’, es decir, medir la distancia de cada vértice al centro de homotecia. Así,

k= OA'OA

1,4+2,81,4

4,21,4

3= = =


A′

A

O

3 cm

4 cm


Integrando lo aprendidoIntegrando Ev

alua

ción

Lección 13: Semejanza y figuras a escala

1 En los siguientes paralelogramos el ángulo x mide 70°. Mide sus lados e identifica cuáles de ellos son semejantes entre sí, y cuando corres-ponda calcula el valor de la razón de semejanza.

IIV

VI

V

IIIII

xx

x

xx

x

2 Los siguientes pares de figuras son semejantes entre sí. Identifica en cada caso los ángulos y lados correspondientes y calcula el valor de la razón de semejanza.

a.

BA

C

1

40º P

R

Q

6

1,2

40º

b. 80º

70ºA

B

C

D

7 5M

Q

R23

N

80º

70º

c. C

BA

8 8 X

Y

Z

35


a. Un mapa está confeccionado a escala 1 : 100 000. Las ciudades A y B están a una dis-tancia de 50 km. ¿A qué distancia en el mapa se encuentran los puntos que las representan?

b. Se dibuja el plano de una casa a escala 1 : 20. El frontis de la casa representado en el plano mide 45 cm, ¿cuánto mide el frontis en la realidad?

c. El perímetro de un triángulo equilátero ABC

es 18 cm, ¿Cuál es el área de un triángulo PQR

semejante a ABC, si ABPQ

21

= ?

d. Un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 6 cm es semejante a otro cuyos lados miden (2x+5) cm y (x+4) cm respectivamente. Determina el perímetro y área del segundo rectángulo.

Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos

4 Identifica, de entre los siguientes triángulos, 3 pares de ellos que pueda afirmarse que son seme-jantes. Escribe el criterio empleado en cada caso.

9 cm 7,5 cm30º

V W

X

P Q

R3,25 cm

3 cm

T S

U

65 cm39 cm

A

B C75º

F

ED

30º

K

J

L

10 cm

12 cm

30º

G I

H

2,5 cm

6,5 cm

N

MO

9 cm

75º

30º

5


3 421Evaluación




Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.Ítem 1: 1/1Ítem 2: 2/3Ítem 3: 2/4

90 y 92

Comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.Ítem 4: 1/1Ítem 5: 1/2Ítem 6: 2/4

96 y 97

Analizar y construir homotecias.Ítem 7: 2/3Ítem 8: 1/2

100 y 101

5 Cada uno de los siguientes pares de triángulos son semejantes. Determina en cada caso la me-dida del lado que falta.

a.

12,5 cm9 cm

3 cm

x

b. 9,3 cm

7,2 cm

2,4 cmy

6 En la siguiente figura, DE // BC.

3 cm

4 cm

2,5 cm

2,1 cm

A

B C

D E

a. Identifica los triángulos semejantes presentes en la figura. ¿Qué criterio permite afirmar la semejanza?

b. Determina la medida de BC y EC.

c. Calcula el perímetro del triángulo ABC.

d. Sean F y G puntos medios de BD y CE. El triángulo AFG, ¿es semejante con los anteriores? Justifica.

Lección 15: Homotecia y semejanza

7 Considera las siguientes figuras.las siguientes figuras.

O

B

A

C

D

Completa las siguientes oraciones considerando como centro de homotecia el punto O.

a. B es una imagen de una homotecia de A en razón .

b. C es una imagen de una homotecia de B en razón .

c. A es una imagen de una homotecia de D en razón .


a. A un triángulo equilátero de perímetro 54 cm se le aplica una homotecia de razón 1

3. ¿Cuál es el

perímetro del triángulo que resulta?

b. A un triángulo rectángulo de cateto 12 cm e hipo-tenusa 20 cm se le aplica una homotecia de razón 4. ¿Cuál es el área y el perímetro del nuevo triángulo?

Activ

idad


Sección 2

Teoremas de semejanza

De esto se trata…Muchas veces pensamos que las artes

solo tienen que ver con el talento, pero en realidad hay ocasiones en que la posibilidad de hacer buenas representaciones y obras tiene que ver con la aplicación de técnicas cuidadosamente aprendidas y puestas en práctica, que permiten crear efectos sor-prendentes.

Un buen ejemplo de ello son las perspectivas en los cuadros y algunas ilusiones ópticas que, aprovechando lo que nuestro cerebro desea interpretar, nos hacen “ver”

cosas donde no las hay. En las figuras de esta página, por ejemplo, se aprovechan algunas rectas paralelas para hacernos creer que las líneas marcadas en verde no son del mismo tamaño cuando en realidad sí lo son… ¿o no?


➊ ¿Conocen otras ilusiones ópticas que se generan con rectas paralelas? ¿Cuáles? Investiguen y expónganlas al curso.

➋ ¿En qué consiste el punto de fuga? Investiguen en internet o con su profesor(a) de artes visuales, y realicen un dibujo de alguna parte de su colegio utilizándolo.

Actividad grupal

Propósito: que comprendas y apliques los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras, en la resolución de problemas en diversos contextos.


A comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales. Lección 16 analizar y calcular medidas de segmentos

proporcionales.

A dividir trazos en una razón dada. Lección 17 aplicar resultados vistos a la construcción de segmentos proporcionales.

A demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos. Lección 18 resolver problemas relativos a la proporcionalidad

de los trazos de los triángulos rectángulos.

A demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco. Lección 19 comprender y aplicar este teorema en la resolución de problemas.


Ü TeoremaÜ ParalelismoÜ ProporcionalidadÜ PerspectivaÜ Semejanza

§ ¿Cómo veri cas si dos rectas son paralelas entre sí? Explica.


Actividad


3 421


Identificar y calcular ángulos entre paralelas cortadas por una transversal

1 Determina si las siguientes relaciones son verda-deras o falsas. Escribe V o F según corresponda.

a. 1 3 ≅

b. 5 6 ≅

c. 7 4 ≅

d. 1 4 ≅

e. 8 2 ≅

f. 4 6 ≅

g. 6 3 ≅

h. 8 1 ≅

2 Calcula la medida de los ángulos , , yα β γ δ en la figura.

L3 L4

L1

L2

80°

α

β δ γ

L₁ // L₂L₃ // L₄

Aplicar el teorema de Pitágoras

3 Aplica el teorema de Pitágoras para calcular el valor de x en cada caso.

a. 4 x

5

b.

x6

3.6

4 Calcula en cada caso el valor pedido.

a. En un triángulo rectángulo uno de sus catetos mide 5 cm, y su hipotenusa mide 7 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto?

b. En un triángulo isósceles rectángulo su hipotenusa mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de cada uno de sus catetos?

Aplicar propiedades de las proporciones

5 Calcula en cada caso el valor de la incógnita.

a. 23

3m=

b. 4x –1

710=

c. 2b –13

5– 3b2

=

d. a–12

511=

e. 133

k+1k – 2=

f. x – 3x+4

x–5x+6

=

6 Determina en cada caso el término que falta en cada proporción, considerando que:

=ab

cd

a. ac d=

b. ba

d=

c. a+cc d=

d. c

b+aa

=

e. =a+bc+d d

f. c+da+b

c=

L1//L2

L1 1

5

2

6

3

7

4

8

L2

45°



http://goo.gl/OY2XC Ángulos entre rectas paralelas.

http://goo.gl/CWXwbi Teorema de Pitágoras.

http://goo.gl/VJIhR Propiedades de proporciones.



Lecc

ión Teorema de Thales

Propósito: Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Teorema particular de ThalesTaller

Lee y realiza las siguientes actividades.

Jaime (J) y Gonzalo (G) suben un cerro por distintas laderas para realizar una exploración. Acordaron comunicarse al alcanzar los 500 me-tros de altura, como se muestra en la figura.

C

GJ500 metros

A D B

750 metros

1 La altura CD del cerro es de 750 metros. ¿Qué parte de esta altura han subido Jaime y Gonzalo?

2 La distancia AJ que ha recorrido Jaime es de 800 metros. ¿Cuál es la distancia JC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo.

3 La distancia BG que ha recorrido Gonzalo es de 600 metros. ¿Cuál es la dis-tancia GC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo.

4 Plantea una proporción que relacione las medidas AJ, JC, BG y GC.

Ambos escaladores han subido 500 metros de altura, aunque para hacerlo han debido recorrer distancias distintas. Lo que les falta por recorrer para llegar a la cima es distinto para cada uno de ellos, pero se encuentra en la misma proporción con lo que ya han recorrido. Es decir:

=CJJA

CGGB

Para que esto se cumpla ambos deben estar a la misma altura respecto del suelo; en ese caso se observa que AB // JG. Este resultado podemos expresarlo como el:

Teorema particular de Thales: Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al tercer lado, esta determina sobre ellos segmentos proporcionales entre sí.

→ =QS // RTPQQR

PSST

Además, ∆PQS ~ ∆PRT por criterio AA, por lo que se verifica la proporción:

= =PQPR

PSPT

QSRT

R T

S

P

Q

Thales vivió alrededor del año 640 al 560 a.C. en

Mileto, Asia menor (actual Turquía). Es considerado el primero de los siete sabios de Grecia. Padre de las matemáticas y la filosofía griega, fue el primero en intentar explicar el mundo a través de causas naturales, aplicando la razón y no acontecimientos divinos de la creación. También fue un gran astrónomo. Se dice que logró predecir el eclipse solar del año 585 a.C.

Historia…

El Nevado Ojos del Salado es el volcán más alto del mundo y se ubica en Chile. Su altura es de 6891 m

sobre el nivel del mar.

16


3 421Propósito: Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Teorema particular y uso de softwareTaller

Podemos utilizar un procesador geométrico para verificar algunas otras relaciones que se cumplen cuando trazamos rectas paralelas. En este caso utilizaremos GeoGebra, pro-grama al que puedes acceder gratuitamente desde la página http://www.geogebra.org

Paso 1 Con la herramienta , Recta que pasa por Dos Puntos, traza dos rec-tas AB y AC. Luego construye la recta BC.

A

BC

Paso 3 Con la herramienta , Recta Paralela, construye las rectas paralelas a BC por los puntos D, E y F. Luego, con la

herramienta Intersección de Dos Objetos, ubica los puntos de intersección de las rectas anteriores con la recta AC.

I F

A

E H

DG

BC

Paso 2 Con la herramienta , Nuevo Punto, construye los puntos D, E y F sobre la recta AB, como se muestra.

A

F

E

D

BC

Paso 4 Con la herramienta , Distan-cia o Longitud, mide los segmentos AE, ED, DB, AH, HG, GC AF y AI

IF

A

E H

D GB

C

AI = 2.46 AF = 2.41

AE = 1.74 HA = 1.78

ED = 1.62

DB = 1.18

GH= 1.05

CG = 1.2

Considerando los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades y responde.

1 ¿Qué triángulos semejantes observas en la figura del paso 4? Identifícalos, plan-tea las razones correspondientes entre las medidas de sus lados y calcúlalas.

2 Calcula las razones EDDB

y HGGC

, y observa que los puntos E, B, H y C no forman

un triángulo. ¿Qué puedes concluir?

3 Calcula las razones AEAF

y AHAI

. ¿Qué relación observas con el teorema parti-

cular de Thales?

AyudaEn GeoGebra, existen muchas herramientas agrupadas en un mismo botón. Para encon-trarlas, mantén presionado el botón que corresponda; aparecerá un menú desple-gable donde encontrarás la herramienta adecuada.


Lecc

ión

Teorema general de ThalesCuando tenemos rectas paralelas cortadas por dos transversales puede darse

alguno de los siguientes casos:

p

q

r

s

L1 // L2

L1

L2

p r

s q

L1

L2

L1 // L2

p

q

r

s

L1

L2

L3

L1 // L2 // L3

En ellos los segmentos que determinan las rectas paralelas en las transversales son proporcionales entre sí, es decir, p

qrs

= . Considerando las tres combinaciones posibles, podemos enunciar el:

Teorema general de Thales: si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos o más transversales se determinan sobre las transversales segmentos proporcionales entre sí.

Recíproco del Teorema de ThalesHemos visto que rectas paralelas determinan segmentos proporcionales sobre

las transversales que las cortan. En el dibujo se verifica la proporción ABBC

DEEF

= . ¿Son

paralelas las rectas AD, BE y CF?

A D

B E

C F

La respuesta es afirmativa, y constituye el:

Recíproco del teorema de Thales: si dos o más rectas son cortadas por dos transversales, determinando sobre estas últimas segmentos proporcionales, dichas rectas son paralelas entre sí.

AyudaDada la afirmación “a implica b” (o “si a, entonces b”), se llama recíproco de ella a la afirmación “b implica a”.

El recíproco del teorema de Thales se cumple también en los casos particulares:

AB D

C E

E C

A

B D

= →ABAC

ADAE

BD // CE

16


3 421

Aplicaciones del teorema de Thales y su recíproco

Podemos aplicar el teorema de Thales y su recíproco en el cálculo de medidas de segmentos, como se muestra en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: Calcula el valor de x en la siguiente figura, si se sabe que QS // RT.

P

Q

3 cm

4 cm

x cm

6 cm

R T

S

Por teorema de Thales se tiene que:

=PQQR

PSST

Por lo tanto,

= → = → = → =34

x6

3• 6 4x x184

x 4,5 cm

Ejemplo 2: En la siguiente figura, OQ // PR. Denise debe trazar una recta ST, paralela a OQ y PR. ¿A qué distancia de Q debe ubicarse el punto T?

2 cm

3 cm 10 cmT

R

Q

O

S

P

Sea x la distancia QT, y con ello TR = 10 – x. Para que la recta ST sea paralela a OQ y a PR, debe cumplirse que:

( )=−→ − = → − = → =

23

x10 x

2 10 x 3x 20 2x 3x x 4

Por lo tanto, T debe ubicarse a 4 centímetros del punto Q.

Analiza…Calcula el valor de x en la siguiente figura, si AD // BE // CF

A D

Bx – 5

x – 7

6

10

E

C F

¿Es posible la situación? Justifica.

Razonay comenta§ En general, ¿es cierto

siempre el recíproco de un teorema? Justifica.

§ ¿En qué situaciones convendría utilizar el recíproco del Teorema de Thales para trazar dos rectas paralelas? Inventa una situación en que lo sea, y otra en la que no resulte directo hacerlo.

En resumenTeorema de Thales: Tres o más rectas paralelas que cortan a dos o más

transversales, determinan sobre ellas segmentos proporcionales.

Recíproco del Teorema de Thales: Si tres o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí.

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


Repaso

1. Determina en cada caso si se puede afirmar que la proposición es correcta, considerando la figura dada. Justifica por qué.

ef

a

c d

b

L1 L2

L3

L4 L5

a) a ≅ b

b) b ≅ c

c) c ≅ d

d) d ≅ e

e) c ≅ f

f) a ≅ f

g) b ≅ d

h) a ≅ e

2. Aplica propiedades de proporciones para calcular en cada caso el valor de x.

a) x5

915=

b) 27

12x

=

c) 46

16x

=

d) 32

1x

=

e) x + 54

316=

f) x + 12x + 7

43

=

Práctica guiada

3. Calcula el valor de x en cada figura. Guíate por el ejemplo:

Ejemplo: AB // DE, CD = 24 cm, DA = x, CE = 20 cm, EB = 5 cm.

C

A B

Dx

E5 cm

20 cm24 cm

=24

24+x20

25

4

5

( )=

==

=

=

24 • 5 4 24 + x

24 • 5 4 •24 + 4x

24 4x

244

x

6 x

a) RQ // ST, RQ = 9 cm, TS = x, QS = 2 cm, SP = 4 cm

Q

RT P

S

x

b) ED // BC, AD = (2x + 4) cm, DB = 20 cm, AE = (3x + 12) cm, EC = 40 cm

C

E

AD

B

c) AB // CD // EF, AC = 2 cm, CE = 3 cm, BD = 2,5 cm, DF = x cm

A B

C D

E F

d) AB // CD // EF, AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm,DF = 4 cm

5 cm

8 cm

4 cm

x cm

B

C

DE

F

A

e) ED // AC, ED = 12 cm, DB = (2x + 5) cm, AC = 8 cm, BA = (x + 4) cm

B C

D

E

A

f) BC // EF, AF = (3x + 3) cm, FB = (7x +1) cm, CE = (2x + 2) cm, EA = (x + 1) cm

AB

C

E

F

L₁// L₂L₃ // L₄

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

§ Existen edificios cuyas paredes no forman ángulos rectos con el suelo. ¿Cómo se verifica en ellos que cada uno de los pisos sea efectivamente horizontal? Justifica y comenta con tus compañeros.

Reflexiona

4. Aplica el recíproco del teorema de Thales para determinar en cuál(es) de los siguientes casos las rectas por las que se pregunta son paralelas. Guíate por el ejemplo.

C

A B

D

E

Paso 1 Se calcula la razón entre los segmentos determinados sobre las transversales.

= =

ACCE

84

2

= =BDDE

62

3

Paso 2 Se concluye que, dado que los valores de las razones no son iguales, los segmentos no son proporcionales y, por lo mismo, las rectas no son paralelas.

a)

C

A B

D

E

b)

C

A B

D

E

c)

C

A B

D

E F

d) CA

B DE

F

Aplica

5. Resuelve los siguientes problemas:

a) Antonia y su hermana Camila se encuentran a50 cm de distancia una de otra y a cierta hora Antonia genera una sombra de 120 cm. Si las som-bras terminan en un mismo punto y se sabe que Camila mide 1,45 m y es más alta que su hermana, ¿cuál es la altura aproximada de su hermana?

b) Tres arboles están alineados, y ordenados de me-nor a mayor tamaño. El árbol de menor tamaño mide 90 cm de altura; el de mayor tamaño, 3,6 m y la distancia entre ellos es de 4 metros. Si el árbol restante equidista a los otros, ¿Cuál es su altura?

c) Un edificio genera una sombra de 100 m. A la misma hora, una casa vecina al edificio genera una sombra de 15 m. Si el edificio mide 40 metros de altura, ¿Cuál es la altura de la casa si su sombra termina en el mismo punto que la sombra del edificio?

6. En la figura AD BE CF// // . Si AB : AC=1 : 4 y EF = 2AB = 30 cm, calcula la medida del segmento DF.

FC

EB

DA

7. Sean tres rectas, AB, CD y EF, paralelas entre sí, cortadas por dos transversales en los puntos A, C, E y B, D, F respectivamente. Verifica la veracidad o falsedad de las siguientes proporciones.

a) ACCE

BDDF=

b) AEBF

CEDF=

c) ABCD

CDEF

=

d) ACCD

CEEF

=

8. Desafío: se cuenta que Thales, en una visita a las pirámides de Egipto quedó tan embelezado ante estos monumentos que quiso saber inmediatamente su altura.

Para hacerlo se valió de una relación de semejanza entre dos triángulos rectángulos. Averigua y des-cribe el procedimiento utilizado por Thales.

AC = 8 cmCE = 4 cmBD = 6 cmDE = 2 cm

¿AB // CD?

EA = 2 cmAC = 4 cmEB = 3 cmBD = 6 cm

¿AB // CD?

AC = 8 cmAE = 23 cmBF = 11,5 cmDF = 7,5 cm

¿AB // CD // DF?

AE = 18 cmED = 12 cmBC = 35 cmEC = 14 cm

¿AB // CD?

AC = 2x cmCF = 3x cmBD = 18k cmBE = 45k cm

¿AB // CD // EF?


Lecc

ión

Para construir una escalera un carpintero ubicará 6 es-calones a lo largo de una viga que mide 1,7 metros, como se muestra en la figura. Para ello, debe dividir la viga en 7 partes iguales, lo que hace que cada tramo deba medir 1,77

0,2428571= .

Hacerlo de esta manera siempre implica una inexactitud porque el período del número obtenido implica realizar infinitas veces la división y obtener siempre un resto. Una alternativa es hacerlo en forma geométrica, como puedes ver en los siguientes pasos.

Paso 1 Sea AB el trazo que representa la viga que se va a dividir. Construye el ángulo BAC, de la medida que quieras.

A B

C

Paso 3 Al último punto marcado sobre el rayo AC le llamaremos Q. Se traza el segmento QB.

A B

CQ

P

Paso 2 Ubica un punto P sobre el rayo AC. Con el compás, toma la medida de AP y cópiala 6 veces consecutivas sobre el rayo AC.

A B

C

P

Paso 4 Por cada uno de los puntos ubicados en el rayo AC se trazan rectas paralelas a QB. Se divide así el segmento AB en 7 partes iguales.

A B

CQ

P

T

Propósito: Dividir trazos en una razón dada.

Dos rectas paralelas cortadas por una transversal definen ángulos alternos internos congruentes.

A la vez, si dos rectas son cortadas por otra formando ángulos alternos internos congruentes, las rectas son paralelas.

L1

L2

α

β

α = β ↔ L1 // L2

Debes saber… División interior de trazos

AyudaPor teorema particular de Thales:

= =PAPQ

16

ATTB

Es decir, 6AT = TB

Luego,

AB = AT + TB = AT + 6AT = 7AT

17


3 421Propósito: Dividir trazos en una razón dada.

Razonay comenta§ Un punto divide a un segmento en razón 1:1. ¿Qué significa esto?

§ Inventa una forma para dividir un segmento en una razón dada utilizando otro caso del teorema de Thales.

Si llamamos T, U, V, W, X e Y a los puntos obtenidos podemos observar que:

A B

T U V W X Y

=

ATTB

16

=AUUB

25

=AVVB

34

=

AWWB

43

=AXXB

52

=AYYB

61

En general, decimos que un punto M divide interiormente a un segmento AB en la razón p

q si se cumple que:

A M B

kp kq=

AMMB

pq

¿Cómo podemos dividir un segmento AB en una razón pq

dada? Podemos seguir

alguno de los siguientes métodos (se utilizará razón 23

).

Método 1 Método 2

Paso 1 Se traza un rayo AC en el que se copia dos trazos de una misma medida p (p = 2), obteniendo el punto P.

A

P

B

C

Paso 1 Desde A y B traza los rayos AC y BD, pero en sentido contrario.

A B

D

C

Paso 2 Desde P copia tres trazos de una misma medida q (q = 3), obteniendo el punto Q. Luego une Q con B. En P traza una recta paralela a QB determinando R en AB.

A B

CQ

P

R

El punto R divide al segmento en la razón pedida.

Paso 2 Con una misma medida copia 2 trazos (p = 2) en el rayo AC obteniendo P y con la misma medida 3 trazos (q = 3) en el rayo BD determinando Q.Une P con Q, determinando R en AB.

A B

D

C

R

P

Q

El punto R divide al segmento en la razón pedida.

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


Repaso

1. Utiliza regla y compás para determinar o construir en cada caso lo que se pide.

a) El punto medio del segmento AB.

A

B

b) Una recta paralela a PQ, que pase por el punto R.

P

R

Q

c) Una recta perpendicular a la recta MN, por el punto T.

M

T

N

d) Una recta perpendicular al segmento AB, por el punto A.

A

B

Práctica guiada

2. Aplica el procedimiento del método 2 (visto en la lección) para dividir los siguientes trazos en la razón dada.

a) Un segmento AB de 5 cm de largo, en razón 1 : 3.

b) Un segmento PQ de 8 cm de largo, en razón 3 : 4.

c) Un segmento MN de 7 cm de largo, en razón 5 : 2.

d) Un segmento KS de 9 cm de largo, enrazón 7 : 4.

e) Un segmento PJ de 13 cm de largo, enrazón 5 : 6.

3. Calcula las razones que se piden en cada caso, considerando la figura.

Q RD EA B T FP

0 cm 10 cm 20 cm 30 cm

La razón en que divide E al segmento QB

Paso 1 Se establece la razón entre los segmentos.

El punto E divide al segmento QB en razón QEEB

Paso 2 Se remplazan los valores en cm y calcular la razón.

= =QEEB

2010

21

Esto quiere decir que el segmento QB se dividió en 2+1=3 partes de 10 cm cada una, donde QE considera dos partes y EB solo una.

a) La razón en que divide A al segmento QE.

b) La razón en que divide T al segmento BF.

c) La razón en que divide P al segmento ET.

d) La razón en que divide R al segmento AP.

e) La razón en que divide D al segmento QF.

Aplica

4. Utiliza regla y compás para dividir los siguientes segmentos según se pide.

a) Un segmento de 5 cm de largo en 3 partes iguales.

b) Un segmento de 6 cm de largo en 9 partes iguales.

c) Un segmento de 11 cm de largo en 10 partes iguales.

d) Un segmento de 10 cm de largo en 2 partes, de modo que una mida la sexta parte de la otra.

5. Calcula la razón en la que cada punto divide al segmento dado. Para ello, considera que el trazo AG está dividido en partes de igual medida.

AB

C DE

F G

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

§ ¿Será posible dividir un segmento en razón 3

2? Investiga y discute un procedimiento con tus compañeros.

Reflexiona

a) El punto B, al segmento AD.

b) El punto F, al segmento BG.

c) El punto C, al segmento AE.

d) El punto E, al segmento CG.

e) El punto D, al segmento AE.

f) El punto B, al segmento AG.


a) El punto P divide interiormente al trazo AB en la razón 7 : 5, AP = (x + 1) cm y PB =2x cm. Calcula el valor de x.

b) El punto P divide al segmento AB en razón 3k:1. Si AP = k + 5 cm y PB = 7 cm, calcula la medida del segmento AB.

c) El punto P divide al segmento AB en razón 3 : (m + 1), de modo que AP = 5 cm, y PB = (m+2) cm. Calcula el valor de m.

d) Un trazo se divide interiormente en la razón 4 : 7.Si este mide 55 cm, ¿cuál es el cuadrado del seg-mento de menor medida que se forma?

e) Un trazo de 32 cm se divide interiormente en la razón 5 : 3. Si sobre los segmentos que se forman se construyen dos cuadrados, ¿cuál es la suma de las áreas de ambos cuadrados? ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero que se forma?

f) Un trazo se ha dividido interiormente en la razón 5 : 1. Si la medida del segmento mayor que se forma es 30 cm, ¿cuál es la quinta parte de la medida del segmento de menor medida?

7. Desafío: Considera el segmento AB, y los puntos P y Q ubicados en sus prolongaciones.

P

y zx

A B Q

Decimos que:

• El punto P divide exteriormente al segmento AB

en razón xx+y

.

• El punto Q divide exteriormente al segmento AB

en razón y+zz

.

a) ¿En qué razón divide el punto A al segmento PB? ¿Qué relación observas entre esta razón y aquella en la que P divide al segmento AB?

b) ¿En qué razón divide el punto B al segmento AQ? ¿Qué relación observas entre esta razón y aquella en la que Q divide al segmento AB?

c) Si un punto R divide exteriormente a un segmen-to AB en razón 3

7, ¿a qué lado del punto A

se encuentra?

d) Si un punto W divide exteriormente a un seg-mento AB en una razón mayor que 1, ¿a qué lado del punto A se encuentra? Compara con lo obtenido en la pregunta anterior. ¿Qué puedes concluir?

e) Determina un método para dividir exteriormente un segmento aplicando el teorema de Thales.

f) Aplica el método anterior para dividir exte-riormente un segmento de 10 cm de largo en

razones 49

y 94

.

8. Desafío: utilizando regla y compás, construye una homotecia del triángulo ABC, con centro O y razón 4 : 3.

O

A

B

C


Lecc

ión

Propósito: Demostrar y aplicar el teorema de Euclides.

Teorema de EuclidesTaller


En la figura se muestra un triángulo ABC rectángulo en C; en el que se ha trazado la altura hc.

C

A q p

hc

BD

b a

α β

c

1 En el triángulo ABC llamamos α y β a las medidas de los ángulos correspon-dientes a los vértices A y B, respectivamente.

a) ¿Cuál es el valor de α + β? Justifi ca.

b) Expresa la medida β en términos de α.

c) ¿Qué otros ángulos en la fi gura miden α? ¿Cuáles miden 90° – α? Escríbelos y justifi ca por qué.

2 En el triángulo ABC, sus lados miden a, b y c ,y sus ángulos α, β y 90°.

a) ¿Cuáles son los lados y ángulos del triángulo ADC?

b) ¿Son semejantes entre sí los triángulos ABC y ADC? Justifi ca por qué.

c) Escribe las proporciones correspondientes a las medidas de los lados de ambos triángulos.

d) Expresa el valor de b2 en términos de otros dos segmentos.

3 Considera los triángulos BDC y BCA.

a) Escribe las medidas de los lados y ángulos de cada uno de la misma forma que en la actividad 2.

b) ¿Son semejantes entre sí? Justifi ca por qué.

c) Escribe las proporciones correspondientes a sus lados.

d) Expresa el valor de a2 en términos de otros dos segmentos.

4 Considera los triángulos ADC y CDB.

a) Escribe las medidas de sus ángulos y sus lados de la misma forma que en las actividades 2 y 3.

b) ¿Son semejantes entre sí? Justifi ca por qué.

c) Escribe las proporciones correspondientes a sus lados.

d) Expresa el valor de hc

2 en términos de otros dos segmentos.

§ La altura de un triángulo es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o prolongación de éste.§ Al trazar dos rectas

perpendiculares a partir de los extremos A y B del segmento AB, sobre la recta L tenemos la proyección del segmento AB, que es PQ.

Debes saber…

A

P QL

B

Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.)Fue un matemático y geómetra griego. Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Es muy poco lo que se sabe de su vida. Su gran obra es el libro “Los elementos” que reúne todos los conocimientos de geometría de su época.

Historia…

18


3 421Propósito: Demostrar y aplicar el teorema de Euclides.

Al trazar la altura de cualquier triángulo rectángulo desde su ángulo recto se for-man dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al inicial. Las proporciones que se presentan dan lugar a tres resultados que constituyen el Teorema de Euclides:

Sea ABC un triángulo rectángulo en C y hc la altura trazada desde ese vértice.

Entonces:

a) El cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones

hc² = p • q

b) El cuadrado de la medida de un cateto es igual al producto entre su proyec-ción y la hipotenusa

a² = p • c

b² = q • c

Esta relación nos permitirá calcular las medidas de algunos segmentos en un triángulo rectángulo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: calcula el valor de x en la siguiente figura.Paso 1 Establecemos las relaciones entre los distintos segmentos presentes en el

triángulo según el teorema de Euclides.

PQ² = QS • QR

PR² = RS • RQ

PS² = QS•RS

Paso 2 Remplazamos las medidas de los segmentos en las relaciones anteriores, para calcular los términos faltantes:

PQ = 6 cm QS = 3 cm PR = x cm

Tenemos que:

PQ² = QS • QR → 62 = 3 • QR → 36 = 3 • QR → QR = 12 cm

Ya que:

RQ = QR = RS + QS → 12 = RS + 3 → RS =9 cm

Por lo tanto:

PR² = RS • RQ → x² = 9 • 12 → x² = → = =x 108 6 3

Entonces, x = 6 3 cm.

R

P Q

3 cm

x cm

6 cm

S

Razonay comenta§ Analiza si en un trián-

gulo ABC, rectángulo en C, se cumplen las siguientes relaciones:

=a

b

pq

2

2

ha • b

cc =

Observa que…Demostración del Teorema de Euclides

C

A

b a

q p

hc

BD

q + p = c

Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC se obtiene las siguientes igualdades:

a p h2 2c

2= +

b q h2 2c

2= +

Sumando término a término:a b p q 2h2 2 2 2

c2+ = + +

Como ABC triángulo rec-tángulo, sabemos que c a b2 2 2= + por teorema de Pitágoras, entonces

c p q 2h2 2 2c

2= + +

Y como c p q= + se tiene:(p q) p q 2h2 2 2

c2+ = + +

p 2pq q p q 2h2 2 2 2c

2+ + = + +

De donde se deduce:2pq 2hc

2=

p •q hc2=

En resumenEl teorema de Euclides afirma que si ABC es un triángulo rectángulo en C, y hc es la altura relativa a la hipotenusa, se cumple que:

hc² = p • q a² = p • c b² = q • c

Donde p y q son las proyecciones de los catetos a y b correspondientemente sobre la hipotenusa.

B

C A

q

pc

a

b

Dh c

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


Repaso

1. Calcula el valor de x en los siguientes triángulos.

a)

51°

95°

x

b)

62° 57°

x

c) x

2x

2x

d) x

x+22°

2. Construye la altura de los siguientes triángulos en dos de sus vértices.

a)

b)

c)

3. Para cada pareja de triángulos identifica el criterio por el cual son semejantes, escribe la semejanza considerando sus vértices y escribe las proporciones entre las medidas de sus lados y las congruencias respectivas entre sus ángulos.

a)

A

B

2 3

4 C

3

6

4,5

F

D E

b) B 3

4

C

A 2

1,5

F

D E

c)

B C

A

135º27º

FD

E

135º27º

Práctica guiada

4. En el triángulo ABC, rectángulo en C, D es el pie de la altura trazada desde la hipotenusa. Calcula en cada caso el valor de x. Guíate por el ejemplo.

B

C A

D

AB = 8 cm

BD = 2 cm

BC = x cm

Paso 1 AB es la hipotenusa del triángulo, BC es un cateto y BD es la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. Por lo tanto:

BC² = BD • AB

Paso 2 Se remplazan los valores y se calcula.

x² = 2 • 8x² = 16x = 4

a) AB = x cm, BD =1cm, BC = 3 cm

b) AB = 12 cm, AD = 3 cm, AC = x cm

c) CD = 10 cm, AD = 5 cm, BD = x cm

85

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

§ Considera un triángulo PQR, rectángulo en su vértice Q. ¿Cómo plantearías en él el teorema de Euclides?§ En general, ¿qué cuidados crees que se deben tener en matemática al nombrar los elementos y enunciar un

teorema? Comenta con tus compañeros.

Reflexiona

Aplica

5. Considera cuatro triángulos ABC llamados T1, T2, T3 y T4. Todos son rectángulos en C, siendo D el punto de intersección de la altura trazada desde el ángulo recto y la hipotenusa de los triángulos rectángulos, AC = b. AB = c, BC = a, BD = p, AD = q, CD = h

c. Completa la siguiente tabla.

T1 T2 T3 T4a 4 cm 7 cmb 3 cm 24 cm 6 mc 5 cm 25 cmhc

p 9 cmq 4 cm 3 m

6. Calcula los valores de x e y en las siguientes figuras.

a)

40 cm

y

X30 cm

b) y

x16 cm

25 cm

c) y

X

8 cm

6 cm


a) En un triángulo ABC rectángulo en C se sabe que AB = 1m, BC = 80 cm y AC = 60 cm. Calcula las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura respecto a la misma.

b) Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 3 : 4. Si la altura respecto a la hipotenusa mide 0,84 m, ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo?

c) La altura respecto a la hipotenusa en un triángulo ABC rectángulo en C mide 12 cm, y los segmen-tos que ella determina sobre la base están en la razón 9 : 16. ¿Cuál es la longitud de cada lado del triángulo?

d) La base de una escultura tiene 2 m de ancho. Dos focos luminosos, uno por delante y otro por atrás, se ubican a 4 m y 6 m de distancia de la base respectivamente para iluminar la cúspide de la escultura. Los rayos de luz se intersecan forman-do un ángulo recto. Calcula:

• la altura de la escultura.

• las distancias a las que están los focos de la cúspide.

8. Desafío: la distancia de una recta a un punto en el plano cartesiano se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado desde el punto. Observa que en la figura la distancia de la recta representada por la función

afín =y –43

x+8 al origen está representada por el

segmento AD.

C

D

A B

a) Determina los puntos de intersección de la recta con los ejes X e Y.

b) ¿Cuánto mide el segmento AB y el segmento AC?

c) Calcula la longitud del segmento AD ¿cuál es la

distancia de la recta y –43

x + 8= al origen?

d) Calcula la distancia entre la recta que representa

a y –43

x + 4= y el origen del plano cartesiano.

e) Determina una fórmula para calcular la distancia al origen de la recta representada por la función afín y = mx + n.

Y

X


Lecc

ión

En años anteriores has estudiado el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones. En esta lección analizaremos por qué se cumple y si es cierto su recíproco.

Teorema de Pitágoras

Paso 1 Considera un triángulo ABC, rectángulo en C. Se traza su altura hc y se identifican

las medidas de sus lados y las proyecciones de la altura hc.

ba

hc

A B

C

q p

c

Paso 2 Se construyen cuadrados sobre los catetos, y sobre la hipotenusa se construyen rectángulos de lados q y c, y p y c.

BA

hc

C

b

q p

a

Paso 3 Por teorema de Euclides se verifica que

a² = pc b² = qc

pc + qc = a² + b²

además, p + q = c, por lo tanto,

pc + qc = (p + q)c = c • c = c²

Entonces,

a² + b² = c²

Propósito: Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

§ Teorema de Pitágoras: En todo triángulo

rectángulo se tiene que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

a2 + b2 = c2B

C A

a

b

c

§ Los números naturales a, b y c que cumplen con la relación a2 + b2 = c2 se llaman tríos pitagóricos.

Ejemplo: 3, 4 y 5.32 + 42 = 529 + 16 = 25

Debes saber… Teorema de Pitágoras y recíproco

c

Pitágoras (572-497 a.C.) Filósofo y matemático griego, fundador de una escuela religiosa, política y filosófica de gran influencia en la Grecia antigua.

Historia…

19


3 421

Recíproco del teorema de Pitágoras

Paso 1 Considera un triángulo ABC en el que se cumple la relación a² + b² = c². Trazamos su altura h respecto del lado c. Una de las proyecciones mide x, y la otra mide c – x.

ba

h

A B

C

x c – x

c

D

Paso 2 Se observa que los triángulos ADC y BDC son rectángulos en D. Se cumple en ellos el teorema de Pitágoras.

a² = (c – x)² + h² → h² = a² – (c – x)²

b² = x² + h² → h² = b² – x²

Por lo tanto,

a² – (c – x)² = b² – x²

a² – (c² – 2cx + x²) = b² – x²

a² – c² + 2cx – x² = b² – x²

a² – c² + 2cx = b²

a² – (a² + b²)+ 2cx = b²

a² – a² – b²+ 2cx = b²

2cx = 2b²

cx = b • bcb

=bx

Paso 3 Se observa que en los triángulos DAC y CAB:

CAD CAB

cb

bx

≅

= ⇒ ∆CAD ~ ∆BAC por criterio LAL

Por lo tanto, CDA ≅ BCA Pero m(CDA) = 90°, por lo tanto,

m(BCA) = 90°

Es decir, hemos demostrado que si en un triángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados es igual al cuadrado de la medida del tercer lado, el triángulo es rectángulo.

Propósito: Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

Se igualan las expresiones

Por hipótesis, c2 = a2 + b2

Razonay comenta§ Un triángulo de lados

3n, 4n, 5n; con n ∈ , ¿es rectángulo?

§ ¿Cuáles son los lados de un triángulo rec-tángulo cuyo períme-tro es 60 cm?

En resumenTeorema de Pitágoras: Sea ABC un triángulo rectángulo en C donde a y b son las medidas de los catetos y c es la medida de la hipotenusa. Entonces

a² + b² = c²

Recíproco del teorema de Pitágoras: Si en un triángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados es igual al cuadrado de la medida del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo.

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


Repaso

1. Verifica si los siguientes tríos de números representan tríos pitagóricos, es decir, si pueden ser medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

a) 3, 4 y 5

b) 5, 12 y 13

c) 7, 24 y 25

d) 12, 35 y 37

e) 10, 15 y 20

f) 12, 15 y 27

g) 140, 171, 221

h) 280, 352, 450

i) x² – y², 2xy, x²y²

j) x,x –1

2,x +1

2

2 2


a)

4

x

3

b)

x3,2

19,24

c)

x

6

4

d) x

16

12

Práctica guiada

3. Determina en cada caso si el triángulo PQR es rectángulo, dadas las medidas de sus lados. Guíate por el ejemplo.

PQ = 11 cm, QR = 12 m, RP = 6 m

Paso 1 El mayor lado es QR, de medida 12 m. En caso de ser un triángulo rectángulo, QR debe ser la hipotenusa.

Paso 2 Se analiza si se cumple la relación QR² = PQ² + RP²

QR² = 12² = 144

PQ² + RP² = 11² + 6²

= 121 + 36

= 157

Se observa que QR² ≠ PQ² + RP²; por lo tanto, el trián-gulo no es rectángulo.

a) 9, 5, 7

b) 3,5; 12,5; 12

c) 32, 24, 40

d) 1, 1, 2

e) x, 2, x2+2

f) a, a2, a3

Aplica

4. Calcula el perímetro y área de las siguientes figuras.

a)

E

D

A

C

B

12 cm

5 cm

b)

DE

A

CB

6 cm

9 cm

15 cm

5. Calcula lo que se pide en cada caso.

a) La medida de la diagonal de un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y el largo 15 cm.

b) La medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide a.

c) La medida de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm.

d) La medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 9 cm y 12 cm (Ayuda: las diagonales de un rombo se dimidian, y además son perpendiculares).

AC = 15 cm.

ABCD es cuadrado

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

§ ¿Cómo puede aplicarse el recíproco del teorema de Pitágoras a la construcción de ángulos rectos? Investiga y comenta con tus compañeros.

Reflexiona

6. En las siguientes figuras, ABC es un triángulo rectángulo en C, cuyos lados son AB = c, BC = a y AC = b.

Comprueba en caso que el área de la figura roja corresponde a la suma de las áreas de las figuras azul y verde.

a)

B

C Aa

a

c

c

bb

Ayuda: la medida de la altura del triángulo equi-

látero cuyo lado mide x es x 32

b) B

CA

c)

a

c

C

b

B

A

a2

b2

c2


a) ¿Cuál es la medida del tercer lado de un triángulo para que sea rectángulo, si los otros dos lados miden 33 cm y 65 cm?

b) Dos bicicletas parten de un mismo punto en direcciones perpendiculares. Ambos circulan a una rapidez constante de 40 km/h. Al cabo de dos horas ¿a qué distancia se encuentran uno del otro?

c) ¿Cuál es el perímetro de un rombo cuyas diago-nales miden 6 cm y 8 cm?

d) El perímetro de un triángulo equilátero es de 36 cm ¿Cuál es el área?

e) ¿Cuál es el área de un triángulo isósceles, cuyos lados miden 25 cm, 25 cm y 14 cm?

f) Dentro de un rectángulo de lados 6 cm y 8 cm se ha construido un rombo cuyos vértices equidis-tan los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área de la parte que no cubre el rombo?

8 cm

6 cm

g) Calcular el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de perímetro 25,12 cm (considera π=3,14).

O

r

h) Una escalera de 2 m se apoya en la pared a una distancia de 50 cm. ¿Qué altura alcanza?

8. Desafío: analiza y explica la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

a b

ab

a

ba

b

c

c

c

c

a b

a b

aa

bb

c

c



Es posible doblar un papel a la mitad sucesivamente, y obtener así una división en 2, 4, 8, 16 partes o, en general, una potencia de 2 (aunque al aumentar el número de pliegues la dificultad aumenta notoriamente). Sin embargo, ¿cómo podemos doblar un papel, por ejemplo, en 3 partes iguales?

En grupos de 3 personas, realicen la siguiente actividad.

Paso 1 Tomen una hoja rectangular y dóblenla a la mitad por su lado más corto. Luego, dóblenla nuevamente a la mitad por ese lado y extiéndan-la. Quedarán marcados tres dobleces paralelos.

Paso 3 Dos de los dobleces iniciales son interseca-dos por el doblez anterior. Doblen ahora la hoja en los puntos de corte, en forma perpendicular a los dobleces paralelos.

Paso 2 Doblen la hoja diagonalmente desde el ex-tremo del tercer doblez hasta la esquina opuesta de la hoja.

Paso 4 Extiendan la hoja y verifiquen que ha quedado doblada en 3 partes iguales.

Discutan grupalmente.

a) ¿Qué teorema permite afirmar que la hoja ha quedado doblada en tres partes iguales? Justifiquen asignan-do letras a los pliegues y a los puntos de intersección entre ellos.

b) ¿Es posible utilizar este sistema para doblar una hoja en 5 partes? ¿En 7 partes? Justifiquen en cada caso el procedimiento utilizado, y compruébenlo doblando una hoja en 5 y en 7 partes.

c) Paulina quiere doblar una hoja de papel de modo que las partes queden en razón 2 : 3. ¿Cómo puede hacerlo? Expliquen un método para ello.



§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?§ Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes


Reflexiona

Gerardo quiere calcular el valor de x en la siguiente figura, donde AB // CD, AE = 3, EC = x, ED = 8 y EB = 4.

A B

E

C D

Para hacerlo, plantea la siguiente proporción:

=

===

8x

43

8 • 3 4x24 4x

x 6

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Gerardo?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse al aplicar el teorema de Thales?

Al aplicar el teorema de Thales es muy importante identificar correctamente cuáles son los segmentos proporcionales entre sí. En este caso, una de las proporciones correctas es

=EAED

EBEC

Con ello, EAED

EBEC

38

4x

3x 8 • 4

3x 32

x323

= → =

==

=


Valeska quiere calcular la medida de BC en la siguiente figura, donde se sabe que AD = 3 cm y BD = 9 cm.

Para hacerlo aplica el teorema de Euclides, utilizando que BC = a, AD = p, BD = q y, con ello, AB = AD + BD = 3 + 9 = 12

=

=

=

==

a p • c

BC AD • AB

BC 3•12

BC 36

BC 6

2

2

2

2

B

C A

D

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Valeska?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse al aplicar el teorema de Euclides?

Al aplicar el teorema de Euclides es fundamental nombrar correctamente a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa e identifica sus medidas. En este caso, se llamó erróneamente p a AD, cuando en realidad p = BD. Con ello se obtiene que:

====

= =

a p •cBC BD•ABBC 9•12BC 108

BC 108 6 3

2

2

2

2




alua

ción

Lección 16: Teorema de Thales

1 Calcula el valor de x en cada figura.

a. AB // CD // EF, AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm, DF = 4 cm

B D F

E

C

A

b. AB // DE, CD = 12 cm, DA = 6 cm, DE = 18 cm, AB = x cm

A B

ED

C

c. AB // DE, AB = 6 cm, AC = 5 cm, CE = 4 cm, DE = x cm

A B

C

D E

2 Calcula el valor de x e y en cada figura.

a. BC // DE, AC = 6 cm, CE = y cm, AB = x cm, BD = 2 cm y AD = 6 cm

A B D

C

E

b. AB // CD // EF, AB = 12 cm, CG = y cm, AC = 4 cm, CE = 12 cm, DF = x cm, BD = 6 cm

FE

GC

A

D

B

3 Aplica el recíproco del Teorema de Thales para determinar en cuál(es) de los siguientes casos las rectas por las que se pregunta son paralelas.

a. ¿AB // CD?

AC

DB

E

AE = 27 cmED = 15 cmBC = 40 cmEC = 18 cm

b. ¿AB // CD // EF?

BA

C

E

D

F

AC = 20 cmCE = 16 cmBD = 30 cmBF = 54 cm

Lección 17: División de trazos

4 Aplica alguno de los métodos aprendidos para ubicar los puntos P, Q y R en el siguiente segmento con las condiciones dadas.

A B

a. P divide al segmento AB en razón 32

.

b. Q divide al segmento AB en razón 14

.

c. R divide al segmento AB en razón 53

.


a. Se sabe que P divide interiormente al trazo AB en razón 5 : 2. Si AP = (x – 1) cm y PB = (x – 2) cm, ¿cuánto mide el trazo AB?

b. El trazo AB mide (x + 4) cm, y está dividido interiormente en razón 1 : 2 por el punto P. Si AP mide (x – 2) cm, ¿cuál es la medida del trazo AP?

Lección 18: Teorema de Euclides

6 Completa la siguiente tabla a partir de los datos de la figura.

b ah

qp

c


3 421Evaluación

a b c p q h16 204 6 2

7 Calcula el valor de las incógnitas en las siguien-tes figuras.

a. 24 cm

7 cm

y

x x =

y =

b.

10,5 cm

y

x =

y =

z = 10 cm

z

x

c. x =

y =

z =

y 10 cm

8 cm

6 cm

zx


a. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 m y el menor de sus catetos mide 8 m. ¿Cuán-to mide la altura respecto del ángulo recto?

b. Se sabe que un triángulo ABC inscrito en una semicircunferencia de centro O y diámetro AB

es rectángulo. Además, CB = 17 cm y AC = 6417

.

¿Cuál es el perímetro de la circunferencia?

Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco

9 Determina en cada caso si el triángulo ABC es rectángulo, dadas las medidas de sus lados.

a. AB = 30 cm, BC = 40 cm y CA = 50 cm.

b. AB = 0,9 cm, BC = 0,12 cm y CA = 0,15 cm.

c. AB = 24x cm, BC = 10x cm y CA = 26x cm.

10 Calcula el cada caso el valor de x.

a.

20 cm

x cm 5 cm

13 cm

b.

25 cm

16 cm

12 cm

x cm

11 Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.

32 cm

15 cm

40 cm




Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Ítem 1: 2/3Ítem 2: 1/2Ítem 3: 1/2

110 y 112

Dividir trazos en una razón dada.Ítem 4: 2/3Ítem 5: 1/2

116 y 117

Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

Ítem 6: 4/7Ítem 7: 2/3Ítem 8: 1/2

120 y 121

Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

Ítem 9: 2/3Ítem 10: 1/2Ítem 11: 1/1

124 y 125

Activ

idad


Sección 3

Ángulos y segmentos en la circunferencia

De esto se trata…Un arcoíris es un bello espectáculo de la naturaleza. En su

formación influyen una gran cantidad de sucesos climáticos y, por supuesto, están presentes la matemática y la física.

Isaac Newton demostró en el siglo XVII que la luz blan-ca puede descomponerse en sus distintos colores que no son más que distintas frecuencias de onda. Esto sucede por el proceso de refracción que hace que las distintas longitudes de onda tomen rumbos distintos generando un arcoíris primario y uno secundario, más tenue y con los colores invertidos.

En realidad, un arcoíris es una circunferencia completa, pero una parte de él no la vemos pues se encuentra bajo el horizonte. Sin embargo, en teoría sería posible ver la circunferencia completa en algunos casos, pero deberíamos estar volando varios metros sobre el suelo.

Observen el video ubicado en http://goo.gl/GfizJ y respondan las siguientes preguntas.

➊ ¿En qué ángulo sobre el horizonte se observa el arcoíris primario? ¿Y el secundario? ¿Por qué se produce esto?

➋ Si medimos los ángulos desde el horizonte hasta los extremos inferior y superior arcoíris primario, ¿cuál es la diferencia entre ellos?

Actividad grupal

Propósito: que comprendas algunas relaciones entre segmentos y ángulos que se forman en una circunferencia, y las apliques en la resolución de problemas.


Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia. Lección 20 calcular la medida de los ángulos inscritos y del

centro de una circunferencia.

Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia. Lección 21 aplicar la semejanza para demostrar las relaciones entre trazos en una circunferencia.


Ü CircunferenciaÜ CírculoÜ ArcoÜ CuerdaÜ SecanteÜ Tangente


Actividad


3 421

¿Qué debes saber?Realiza las siguientes actividades.Identificar elementos lineales de la circunferencia

1 Construye los siguientes elementos en la circunferencia (lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llama-do centro).

a. Cuerda

b. Radio

c. Tangente

d. Secante

e. Diámetro

f. Arco

2 ¿Qué relación existe entre el radio y el diámetro de una circunferencia? Explica.

Calcular ángulos en triángulos


a.

x

56º

b. x

c. x

63º

d.

110º xO

e. 4x

5x 59ºA B D

C

4 Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a. Un triángulo rectángulo isósceles siempre tiene un ángulo que mide 45°.

b. Un triángulo isósceles tiene sus tres ángulos de distinta medida.

c. Un triángulo inscrito en una circunferencia siem-pre es isósceles.

d. En un triángulo rectángulo, los ángulos no rec-tos suman 90°.



http://goo.gl/C0AKg Elementos lineales de la circunferencia.

http://goo.gl/93QbF Cálculo de ángulos en triángulos.



Lecc

ión Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia

Propósito: identi car y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

§ Cuando dos líneas cortan a otra formando un arco, se dice que ellas lo subtienden. En la figura, las líneas subtienden el arco AB.

A

B

§ Un arco de circunferencia siempre se escribe en sentido contrario a las agujas del reloj.

A

BO

m( AB ) = m(AOB)

m(BA ) = m(BOA)

Debes saber…


Has visto en cursos anteriores que la medida de un ángulo se basa en una circunferencia trazada desde su vértice, la cual se divide en 360 partes iguales (grados) y la medida del ángulo corresponde a la cantidad de partes que quedan contenidas entre sus rayos. En la figura los rayos abarcan 75 partes, por lo que podemos decir que el ángulo mide 75°, o también que el arco AB mide 75°. Es decir, podemos expresar la medida de un arco según la medida del ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia que lo contiene,

m( AB ) = m(AOB)

¿Qué ocurre si el vértice de un ángulo se ubica sobre la circunferencia y no en el centro de ella? En ese caso decimos que el ángulo es inscrito, y relacionaremos su medida con la del ángulo del centro correspondiente, considerando los siguientes casos.

Caso 1 El centro de la circunferencia queda dentro de la región angular.

C

C

B

A

O

Se traza un diámetro CD; con ello OA = OC = OB, por lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC, respectivamente. Por lo tanto,

≅ =α≅ =β

OAC ACO

OCB CBO

En el triángulo AOC, AOD es exterior a COA. Por lo tanto,

m( AOD) 2= α

Por la misma razón,

m( DOB) 2= β

Entonces,

m

mm m

mm

( ACB) +

( AOB) 2 + 2( AOB) 2 ( ACB)

( AOB)2

( ACB)=α β= α β

→ = → =

Es decir, el ángulo ACB mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mis-mo arco. En general también decimos que ACB mide la mitad del arco que subtiende.

AyudaSalvo que se indique lo contrario, el punto O siempre representará al centro de la circunferencia.

A

B 75º

O

20

B

AD

2α2β

O

α

α

β

β

C


3 421Propósito: identi car y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

Caso 2 El centro de la circunferencia queda fuera de la región angular.

B

C

A

O

Se traza el radio OC; con ello OA = OC, por lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC, res-pectivamente. Si llamamos β a la medida del ángulo ACB, tenemos que

OAC ACO

OCB CBO +

≅ =α≅ =α β

En el triángulo DBC, ADB es exterior a BDC. Por lo tanto,

m( ADB) + + 2 +=β α β= β α

En el triángulo ADO, ADB es exterior a ODA. Por lo tanto,

m m m

m

m

mm

m

( ADB) ( AOD)+ ( DAO)

2 + ( AOD)+

2 ( AOD)

( AOB)2

( ACB)( AOB)

2

=β α= αβ=

β= → =

Es decir, el ángulo ACB mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

En general podemos decir también que, todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que subtiende. A partir de este resultado podemos deducir además los siguientes corolarios:

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

B

C

AO

180º

m( ACB)180

290 =

°= °

Ángulos inscritos que subtienden arcos igua-les son congruentes entre sí

B

A

C D

E

αO

m( ACB)m( AOB)

2; m( ADB)

m( AOB)2

;

m( AEB)m( AOB)

2

= =

=

Por lo tanto, ≅ ≅ACB ADB AEB

Todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son suplementarios

B

C

D

A

Oα β

α β= °+ 360 , pero m( CBA)2

=α y m( ADC)

2 =

β .

Así m( CBA)+ m( ADC) 180º =Del mismo modo se obtiene:

m( BAD)+ m( DCB) 180º =

Observa que…Podríamos definir el caso en que uno de los rayos del ángulo inscrito coincide con el diámetro de la circunferencia.

A

C

B

O

2

α

α α

La demostración de que tam-bién mide la mitad del arco que subtiende se desprende del mismo análisis del caso 1.A B

C

2 β + α

DO

αβ + α

2 β

βα

En resumenÁngulo del centro: es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. La medida del arco AB es igual a la medida del ángulo del centro AOB.

m( AOB) m AB ( )=

Angulo inscrito: es aquel que tiene su vér-tice en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma. El ángulo inscrito ACB mide la mitad que el ángulo del centro AOB.

m( AOB)2

m( ACB)

=

A

C

B

O

α

2α

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


Repaso

1. Explica cómo se define una circunferencia.

2. Define los siguientes términos en una circunferencia:

a) Radio

b) Centro

c) Cuerda

d) Diámetro

3. Explica la diferencia entre círculo y circunferencia.

Práctica guiada

4. Calcula en cada caso la medida del ángulo α. Guíate por el ejemplo.

α

O

Paso 1 El ángulo α es inscrito, por lo que mide la mitad del ángulo del centro que subtien-de el mismo arco.

Paso 2 Se calcula la medida de α:

α = 90 : 2= 45°

a)

30ºO

α

b)

75º

Oα

c)

α 30º

O

d) α + 10º

O α + 60º

e)

Oα

40º

f) 101º

O2α

Aplica

5. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas respecto a la circunferencia con centro en O. Justifica las falsas.

B

C

D

A

O

a) Si la medida angular del arco AC es 120° y la del arco CB es 110°, entonces la medida angular del arco AB es 110°.

b) Si la medida del ángulo ABO es 40° y BO es bisectriz del ángulo ABC, entonces el ángulo COB mide 100°.

c) El arco que subtiende el ángulo del centro AOC corresponde a la medida del arco AC.

d) El arco que subtiende el ángulo AOC es el mismo que subtiende el ángulo ABC.


a) La medida del arco XY es 50°. ¿Cuál es la medida del ángulo XZY?

b) PQ es diámetro y la medida del arco QM es 80°. ¿Cuál es la medida del ángulo PMO?

c) El ángulo ACB mide 30°, y el arco AB mide la mitad del arco DA. ¿Cuál es la medida del ángulo DEA?

Z

X

Y

O

M

Q

P

O

BA

D

E

C

O

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

d) El ángulo ABD mide 40°, y el arco AC mide la cuarta parte del arco AD. ¿Cuál es la medida del ángulo CED?

e) El arco EA mide 15º ¿Cuá-les son las medidas de los ángulos EDA, ECA y EBA?

f) Los ángulos OKJ y JHO miden 20° ¿Cuál es la medida del ángulo KOH?

g) El arco KM mide 100°. ¿Cuál es la medida del ángulo NMO?

h) El ángulo CDB mide 25°. ¿Cuánto mide el ángulo CAB?

7. Analiza el triángulo ABC inscrito en una semicircunferencia y responde.

B

C

A0

a) ¿Cuánto mide el ángulo BCA?

b) Si el ángulo CAB mide 45°, ¿qué tipo de triángulo es ABC?

c) Si el ángulo ABC mide 65°, ¿cuál es la medida del ángulo CAB?

8. Observa la figura y responde:

C

O

B

A

D

a) Si el ángulo BAD mide 95°, y el ABC mide 80°, ¿cuánto miden los ángulos DCB y ADC?

b) Si el ángulo DCB mide (x+3)° y BAC mide (x+17)°, ¿cuál es el valor de x?

9. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia, α β=– 60º. Si γ=

α3

, ¿cuánto mide el ángulo x?A

B

D

C

α

β

γ

xO

10. Analiza la siguiente información y luego realiza las actividades:

Un ángulo semi-inscrito β es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda.

A B

O

β

a) Si el arco AB mide α, expresa la medida del án-gulo inscrito β en función de α. (Utiliza la figura y considera que OA y OB son radios).

b) Si α =30° ¿Cuánto mide β?

c) Si β = 45° ¿Cuánto mide α?

d) Si β = 60° ¿Cuánto mide el arco AB?

O

A

B

E

D

C

O

D

E

A

B

C

K

H

JO

N

MK

O

A

B C

DO

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


11. Calcula en cada caso la medida del ángulo semi inscrito α.

a) α

30º

O

b) 30º

O

α

c)

O

α

12. Resuelve los siguientes problemas respecto al ángulo semi-inscrito.

a) El arco AB mide 160° y BC es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

b) El arco BA mide 130° y BC es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?

c) El arco BC mide 276° y AB es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?

d) BC es tangente a la circun-ferencia en B, y el arco AB mide 50°. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?

e) Si el arco AB mide 30°, BC es diámetro y CD es tangente a la circunferencia en C, ¿cuáles son las medidas de α y β?

13. Analiza la información y responde:

Un ángulo interior α está formado por la intersección de dos cuerdas en un punto al interior de la circunferencia.

a) Considerando que α = β + γ por ser ángulo exte-rior al triángulo AEB, expresa la medida de α en función de los arcos DA y BC.

b) Si el arco DA mide 20° y el arco BC mide 10°, ¿cuánto mide el ángulo α?

c) Si α=60° y el arco DA mide 15°, ¿cuánto mide el arco BC?

14. Analiza la figura y realiza las siguientes actividades.

Un ángulo exterior α es aquel cuyo vértice está fuera de la circunferencia y puede estar formado por la intersección de dos secantes

AB

E

C

D

β

α

γ

a) Expresa la medida del ángulo β en función de la medida del arco CB y el ángulo γ en función de la medida del arco DA

B

A

C

O

A

B

C

x

O

A

B

C

O

A

B

C

β

Oα

B

C

A

O

C

B

D

A

E

γβ

αβ

γ

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

§ ¿Cuál es la mayor medida que puede tener un ángulo interior? ¿Y un ángulo exterior? Discute con tus compañeros.

Reflexiona

b) Considerando que γ = α + β, por ser ángulo exterior al triángulo AEC, expresa el valor de α en función de los arcos DA y BC

c) Si el arco DA mide 100° y el arco BC mide 30°, ¿cuánto mide el ángulo α?

d) Si el ángulo α mide 70° y el arco BC mide 50°, ¿cuánto mide el arco DA?


a) El arco BD mide 20°, y el AC mide 30°

B

D

A

C O

Px

b) El arco DB mide 10°.

B

D

C

A

x

PO

20º

c) El arco DB mide 70°.B

A

O110º

D

C

Px

d)

C

ABP

D

x O10º

e) El arco DB mide 10°.

CB

A

ED

O40º x

16. Resuelve los siguientes problemas de ángulos en las circunferencias de centro O.

a) Sea OPQR un cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo PSR?

RQ

P

S

O

b) El ángulo ADC mide 130°. ¿Cuánto mide el ángu-lo CBA?

B0

CD

A

c) El arco BC corresponde a un cuarto de circunferen-cia con centro en A. ¿Cuánto mide el ángulo CAD?

BA

C D

d) El ACB mide 30°. ¿Cuánto mide el OBA?

B

C

A

O

e) El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia y la recta AP es tangente en A. Si el ángulo BAC mide 60° y el BAP mide 145°, ¿cuánto mide el ángulo CBA?

A

BC

P

O

f) El ángulo BAO mide la mitad del ángulo AOB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

C

A B

O D

80º


Lecc

ión Cuerdas y secantes en la circunferencia

§ Se puede establecer semejanza de triángulos bajo el criterio AA, el criterio LAL y el criterio LLL§ Teorema fundamental

de las proporciones:

ab

cd

a•d b •c= → =ab

cd

a•d b •c= → =

Debes saber…

Taller


Al igual que con los ángulos, existen relaciones entre las medidas de los segmentos que determinan dos cuerdas o dos secantes que se intersecan entre sí. Para analizar estas relaciones consideraremos los siguientes casos.

Caso 1 Caso 2

P

B

D

C

A

P

A

B

C

D

1 En cada caso traza los segmentos AC y BD. ¿Qué relación existe entre los triángulos APC y DPB? Justifica.

2 Escribe la proporción entre los lados homólogos de ambos triángulos.

3 Utiliza el teorema fundamental de las proporciones para escribir una opera-ción que relacione las medidas de los segmentos AP, BP, CP y DP.

Se puede constatar que en ambos casos las cuerdas y las secantes se intersecan determinando triángulos semejantes, por lo tanto, segmentos correspondientes proporcionales.

PAPD

PCPB

PA •PB PD •PC= = =PAPD

PCPB

PA •PB PD •PC= = =

El resultado anterior se conoce, respectivamente, como Teorema de las cuerdas para el caso 1 y Teorema de las secantes para el caso 2. Es posible también relacio-nar una secante y una tangente mediante el Teorema de la secante y la tangente.

PB

D

A

PA • PB = PD²

Propósito: Demostrar las relaciones entre segmentos que se forman al cortarse dos cuerdas o dos secantes.

Razonay comenta§ Traza los segmentos

AD y BD en la figura del teorema de la secante y la tangente. ¿Qué ángulos tienen la misma medida? ¿Qué triángulos semejantes se pueden determinar? Justifica.

En resumen

Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes Teorema de la secante y la tangente

P

B

D

C

A

PA • PB = PD • PC PA • PB = PD • PC

B

DC

PA

A B

D

P

PA • PB = PD²

21


Practiquemos lo ap

rendido3 421Propósito: Demostrar las relaciones entre segmentos que se forman al cortarse dos cuerdas o dos secantes.

Repaso

1. En la siguiente circunferencia identifica y nombra los elementos indicados.

F

C H

G

B

E

D

A

O

a) AH

b) OE

c) CD

d) DB

e) FG

Práctica guiada

2. Calcula en cada caso el valor de x, aplicando el teorema de las cuerdas visto en la lección. Guíate por el ejemplo.

4

3

6

x

4 • 6 = 3x 8 = x

a)

5

2x

10

b)

5

2 4

(5 + x)

c)

5

x

x

20O

d) 1 3

(1 + x)(x – 3)

3. Calcula en cada caso el valor de x, aplicando el teorema de las secantes visto en la lección. Guíate por el ejemplo.

4

3

5

x

( ) ( )=

===

4 4+5 3 3+x

36 9+3x

27 3x

9 x

a)

7

8

10x

b) 5

5

x

(5 + x)

c) 4

10

x + 7x

d) 8

4,5x

16

Prac

tique

mos

lo a

pre

ndid

o


Aplica

4. Representa con un dibujo las siguientes situaciones y luego resuelve.

a) Dos cuerdas MT y PQ se cortan en el punto A. Si PA = 12 cm, QA = 4 cm y AT = 16 cm, ¿cuál es el doble de la longitud de MA?

b) Las cuerdas AB y CD se intersecan en el punto E de tal manera que AE : EB = 1 : 3. Si AB = 8 cm y CE = 4 cm, ¿cuál es la tercera parte de la longitud de ED?

c) Dos cuerdas XZ y WYse intersecan en el punto K de tal manera que WK = (a + 3)cm, KY = (a + 6) cm y XK = (a + 1)cm. ¿Cuál es el 50% de la longitud de KZ?

d) El radio OM de una circunferencia de centro O se interseca con la cuerda PQ en el punto B, de modo que MB : BO = 2 : 3. Si PB = 20 cm y BQ = 5 cm, ¿cuál es la longitud de MB?

e) Desde un punto A exterior a una circunferencia se trazan dos rectas secantes, de tal manera que una de ellas se interseque con ella en los puntos B y C; y la otra, en los puntos D y E, donde AB < AC y AD < AE. Si AB = 4 cm, CB = 11 cm y AE = 12 CM. ¿Cuál es la medida del segmento DE?

f) En una circunferencia de centro O y radio r, las cuerdas QP y TH se prolongan hasta que se inter-secan en el punto M. Si QP = 12 cm, el segmento exterior a QP mide 4 cm y el segmento exterior a TH mide 6 cm, ¿cuál es la longitud de TH?

g) Desde un punto A exterior a una circunferencia se traza la recta tangente AB y la recta secante AD que se interseca con la circuferencia en los puntos C y D. Si AC = 6 cm y DC = 18 cm, ¿cuál es la mitad de la medida del segmento AB?

h) En una circunferencia la cuerda MP se prolonga más allá de P hasta intersecarse con una recta tangente TA en el punto A, donde T es el punto de tangencia. Si PA = 2 cm y TA = 4 cm, ¿cuál es el doble de la longitud de MP?


a) PL = 7 cm, LK = 1 cm y JK = 2 cm. ¿Cuál es la longitud de MJ?

JM

O

P

LK

b) AB = 4 cm, BC = 9 cm y AD = 6 cm, ¿cuál es el triple de la longitud de DE?

O

B D

EC

A

c) HK es diámetro, FH = 5 cm, HK = 8 cm y FL = 4 cm, ¿cuál es el cuádruplo de la longitud LM?

O K

M

L

HF

d) XY = 3 cm, YQ = (k + 1) cm, HQ = k cm, ¿cuál es la longitud de MH?

O H

YX

M

Q

e) AP es diámetro, AB = 3 cm, BP = 4 cm, PQ = 3 cm, TQ = 2 cm, ¿cuál es la longitud del segmento BT?

AO

B

T

P Q

f) HE = 18 cm, HA = 9 cm y AD = 7 cm. ¿Cuál es la cuarta parte de la longitud del segmento XE?

A

XH

D

O

E

Practiquemos lo ap

rendido


3 421

§ Desde un punto exterior a una circunferencia se traza una secante y una tangente. ¿Mide más la tangente o la secante? ¿O depende de cada caso? Discute con tus compañeros.

Reflexiona

g) En la figura, TR es diámetro y JT mide lo mismo que un radio de la circunferencia. Además, JL= 6 cm y LP = 12 cm. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia?

R

PJ

T

L

O

h) PT= 27 cm, PQ : QT =2 : 7 y PH = 4 cm. ¿Cuál es el doble de la longitud de HA?

O

T

Q

H

P

A

6. Analiza la siguiente figura y realiza las actividades:

D CP

p

B

A

x

q

a

a) Aplica el teorema de las secantes para establecer la ecuación correspondiente.

b) A medida que disminuye x, ¿a qué elemento se asemeja la secante PD?

c) Si x toma el valor 0, ¿qué elemento de la circun-ferencia sería PD?

d) Reemplaza el valor de x = 0 en la ecuación. ¿Qué expresión obtienes? Explica.

7. Calcula el valor pedido para las circunferencias de centro O, en cada caso.

a) PT es tangente a la circunferencia en T, AB = 30 cm y BP = 2 cm, ¿cuál es la medida del segmento PT?

PBA

O

T

b) PT es tangente a la circunferencia en T, PB = AB y PT = 6 2 cm, ¿cuál es la medida del segmento PA?

O

AB

P

T

c) PA es tangente a la circunferencia en P, BO = OC = 9 cm y CA = 6 cm. ¿Cuál es la medida del segmento AP?

O

B

C

AP

d) PA es tangente a la circunferencia en P, PA = 10 cm = 2CA y BO = OC = x cm. ¿Cuál es la medida de BO + OC?

O

B

C

AP

e) PA es tangente a la circunferencia en P, PA= 6 cm y AB = 3PA. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia?

O

B

C

AP

8. Conexiones: las imágenes que vemos se deben a la entrada de luz a nuestros ojos en los que se producen diversos efectos debido a la curvatura del cristalino.

a) Investiga respecto del funcionamiento del ojo y la forma en que captamos las imágenes.

b) Investiga respecto de algunas enfermedades a la vista. ¿Qué relación tienen con la formación de ángulos dentro del ojo. Explica.



Isabel debe ubicar el número 19 en la recta numérica, pero no quiere construir tantas raíces antes del número deseado. Le parece que utilizando el teorema de Euclides y algo de ángulos inscritos podría ser más corto el procedimiento. ¿Cómo puede hacerlo?


a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema?La ubicación de una raíz cuadrada en la recta numérica.

b. ¿Qué información entrega el enunciado?La raíz cuadrada a ubicar, y algunos teoremas que se pueden emplear para simplificar la tarea.


Se buscará encontrar una relación entre el teorema de Euclides y lo que se sabe en relación con el ángulo inscrito para utilizar estos resultados y realizar la construcción. Para ello, se harán dibujos y se asignarán distintos valores.


De acuerdo con el teorema de Euclides se tiene que:

a² = cp b² = cq h²c = pq

De la segunda igualdad podemos deducir que si =b 19, entonces cq = 19. Es decir, podría construirse un triángulo de modo que q = 1 y c = 19, para que con ello su lado b tenga la medida buscada.

Sabemos además que un triángulo rectángulo está inscri-to en una semicircunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa del triángulo. Utilizaremos esta idea para ubicar la raíz pedida:

a. Desde el 0 (vértice A), trazamos un segmento AD de medida q = 1 y otro segmento AB de medida c = 19.

b. Desde el punto D, se traza una recta DE, perpen-dicular a AB.

c. Se ubica el punto F, punto medio de AB, y desde él se traza una semicircunferencia de radio FB.

d. La intersección entre la recta DE y la circunfe-rencia trazada nos da el punto C, de modo que =AC 19. Se copia esta distancia sobre la recta

para obtener el punto pedido.


Verifica que la ubicación obtenida es correcta, realizando los procedimientos vistos en la unidad 1.


α β

P

cBDA

C

q

b a

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

hc

0 1 19DA

C

E

F

19

2

19

B





Reflexiona

En la siguiente figura Fabián quiere calcular la medida del ángulo x en función de α. Se sabe que AB es diámetro y que el arco DB mide el doble que el arco BC.

x

O α

A

C

B

D

Fabián considera que el DOB mide x, y, por lo tanto, el arco DB mide x. Con ello, el arco BC mide x

2.

Por ello, concluye que α=x2

.

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Fabián?

§ ¿Qué otros errores crees que es común cometer en el cálculo de ángulos en la circunferencia?

Fabián interpretó que el ángulo DOB mide lo mismo que el DAB, lo que es incorrecto pues en realidad mide el doble de él.

Así, la medida de DOB es 2x, por lo que el arco DB mide 2x y con ello la medida del arco BC es x.

Por lo tanto, α = x.


Isidora debe calcular la medida del segmento AB en la siguiente figura.

B

A

CP

4 cm

2 cm32 cm

x cm

D

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Isidora?

§ ¿Qué otro error crees que se pueden cometer al calcular medidas de segmentos en la circunferencia.

Para calcular la medida del segmento AB, Isidora consideró la medida de la cuerda que se forma por la secante y no la medida del segmento completo. La relación correcta es:

PA • PB=PC • PDRemplazando se tiene que

4 • (4+x)=2 • 3416 + 4x = 68

4x= 52x = 13

La respuesta correcta es que el segmento AB mide 13 cm.


Para hacerlo plantea la relación

4 • x = 2 • 32

4x = 64

x = 16

Obtiene así que el segmento AB mide 16 cm.



alua

ción

Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia

1 Calcula los valores pedidos.

a. Calcula la medida del ángulo ABC

B C

A

O88º

b. Se sabe que α + β + γ = 90°. ¿Cuál es la medida del ángulo BOA?

AZ

Y

BX

α

γβ

O

c. El arco PM mide 40° y MAT = 70°. ¿Cuál es la medida del ángulo TMP?

T

QA

P

MO

d. AB es diámetro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

B

C

A 20º x

2 En las siguientes circunferencias de centro O, calcula los valores pedidos.

a. El arco BA mide 300°. ¿Cuál es la medida del ángulo CAB?

O

B

A

C

b. El ángulo ABC mide 110°, ¿cuál es la medida del ángulo CDB?

CB

A D

O

c. Si los triángulos ABO y OCD son equiláteros y el arco AC mide 150°, ¿cuál es la medida del ángulo DBE?

C

D

BA

EO

d. El arco BD mide 200°. ¿cuál es la medida del ángulo CED?

A

30º

C D

E

B

O

3 Calcula los valores pedidos.

a. El arco DC mide 60°, y el arco AB mide 30°. ¿Cuál es la medida del ángulo AEB?

AB

D

C

EO

b. El arco MA mide 80° y el ángulo MPA mide 60°. ¿Cuánto mide el arco XY?

M

AX

YO

P

c. El arco BA mide 100° y el arco DC mide 60°. ¿Cuál es la medida del ángulo BEA?

O

A

BC

E

D

Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia


a. AE = 8 cm, EB = 10 cm y ED = 16 cm. ¿Cuál es la longitud de CE?

D

BC

AO

E


3 421Evaluación




Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro de una circunferencia.

Ítem 1: 2/4Ítem 2: 2/4Ítem 3: 2/3

134 y 135

Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

Ítem 4: 2/3Ítem 5: 2/3Ítem 6: 1/2

140 y 141

b. MY = 20 cm, MP : PY = 3 : 2 y XP = 4 cm. ¿Cuál es la longitud de PZ?

Z

YX

MO

P

c. AD = 18 cm, HD = 2 cm y EH = 2HF. ¿Cuál es el doble de la longitud de EF?

DE

A

F

O

H


a. DC es tangente a la circunferencia en el punto D, AB = 5cm y BC = 4 cm. ¿Cuál es la longitud de DC?

O C

D

AB

b. LK es tangente a la circunferencia, LK = (a+2) cm, KM = a cm y MP = 5 cm. ¿Cuál es la longitud de KL?

K

L

P

O

M

c. XW = 6 cm, XL = 4 cm y XK = 3 cm. ¿Cuáles son las longitudes de LA y KB?

X OL

W

K

B

A

6 Resuelve los siguientes problemas. Considera O centro de la circunferencia.

a. AB = 14 m, AD = 4 m y AE = 7 m. ¿Cuál es la medida del segmento AC?

OADB

E

C

b. PA = (28 + x) cm, PB = x cm, PC = (18 + x) cm, PD = (7 + x) cm. ¿Cuál es la medida de PC?

O

C

P B

D

A

Diario mural


¿Astrónomos precoces? Emblema de la arquitectura europea de la Edad de Bronce, este complejo representa la obra cumbre de una antigua sociedad interesada en la observación de los astros que comenzaba una sufrida transición de la tradicional vida de caza a la ardua y sedentaria labor de la vida agrícola.


¿Quiénes colaboraron con los antiguos britanos en la construcción de Stonehenge?

En una de las excavaciones con fines arqueológicos que se llevaron a cabo en la zona donde fue levantado Stonehenge, el equipo encabezado por el profesor inglés Richard Atkinson encontró un puñal de piedra cuyo contorno labrado era muy similar al de las dagas de la civilización griega que floreció en Micenas en el 1500 a. C. Ese hallazgo lo llevó a suponer que los micénicos podrían haber estado involucrados en la construcción del monumento, algo que fue descartado más adelante.

Sínt

esis


Para sintetizarPara sintetizarVolviendo al inicio…

El empleo de la perspectiva en las obras de arte es conocido desde la antigüedad aunque con diversas técnicas, pese a que incluso algunas destacadas civilizaciones como los egipcios la desconocían completamente.

Esencialmente, perspectiva es el arte de crear una ilusión de tres dimensiones en una superficie plana —de solo dos dimensiones—. Algunas de las técnicas utilizadas se basan en aspectos de percepción —por ejemplo, dotar de más detalles y colores más intensos a los objetos más cercanos, mientras que los lejanos parecen más difusos y menos detallados—. Otras técnicas están basadas en aspectos matemáticos que, si bien pueden ser utilizados en forma intuitiva por el artista, pueden analizarse científicamente.

Julian Beever y el anamorfismo

La técnica utilizada por Julian Beever es la anamorfosis, que consiste en deformar las imágenes para hacerlas visibles desde un punto específico. De esta manera, el ojo capta una imagen que en conjunto con otros elementos del entorno, es percibida como parte de él, con profundidad y volumen.


SemejanzaEscala

Razón de semejanzaCriterios

HomólogoCorrespondiente

Homotecia

Teorema de ThalesProporcionalidadDivisión de trazos

Teorema de EuclidesTeorema de Pitágoras

Ángulo del centroÁngulo inscrito

ArcoTeorema de las cuerdasTeorema de las secantes





Síntesis


3 421

En el ejemplo visto en el inicio de la unidad, el globo terráqueo dibujado por el artista se encuentra en una calle levemente inclinada. Si Beever lo hubiese dibujado perfectamente redondo sobre ella, una persona que lo observa desde el inicio de la calle vería un óvalo achatado. Por ello es necesario que lo prolongue de manera que, en el plano inclinado, el dibujo tenga las mismas proporciones que tendría en el plano recto frente al observador. Lo anterior se puede constatar en la siguiente figura:

Imagen que el artista desea lograr

Imagen y el pavimento inclinado

Algunos artistas han utilizado marcos de madera con hilos que forman un cuadriculado, para poder guiarse y respetar las proporciones que deben mantenerse entre los elementos de la figura, garantizadas por el teorema de Thales.

En la página web www.julianbeever.net, puedes encontrar extraordinarios ejemplos del uso de esta técnica en diversos escenarios.




Figuras a escala


Construcción de figuras mediante homotecias

Teorema de Thales

División de segmentos en una razón dada

Teorema de Euclides

Teorema de Pitágoras

Ángulo del centro e inscrito en una circunferencia

Relación entre las cuerdas en una circunferencia

Relación entre las secantes en una circunferencia

Imagen que se quiere

dibujar



fuer

zoReforzar


Semejanza y figuras a escala

1 Los siguientes triángulos son semejantes entre sí. Determina el valor de y.

6,4 cm 5 cm

1,6 cm

y cm

2 Dos ciudades están separadas por 600 km en la realidad, ¿cuál es la distancia que las separa en un mapa dibujado a escala 1: 200 000?

3 La cocina de una casa tiene forma rectangular de dimensiones 4 x 3 m. Si para remodelarla es necesario crear un plano a escala 1: 200, ¿cuá-les serán las medidas del largo y el ancho de la cocina en el plano?

4 Un automóvil viaja a 120 km por hora. En un mapa a escala 1 : 750, la distancia entre su punto de partida y de llegada es de 15 cm. ¿Cuánto tiempo demorará en llegar a su destino?

5 Un plano está dibujado a escala 1 : 50. Si el piso de una bodega es de forma rectangular y sus dimensiones en el plano son de 14 cm de largo y 10 cm de ancho, ¿cuánto mide la superficie de este piso en la realidad?


6 Analiza cada figura e identifica en ella los trián-gulos que son semejantes. Escribe el criterio utilizado en cada caso.

a. C

BA D

b.

4 cm

6 cm

8 cm 12 cmM

P

O

ÑN

15 cm

7 Compara los criterios de semejanza de triángulos con los de congruencia. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?

8 Explica por qué todos los cuadrados son seme-jantes entre sí.

9 Los lados de un cuadrilátero miden 12 cm, 7 cm, 9 cm y 15 cm, mientras que los de otro miden 24 cm, 14 cm, 18 cm y 30 cm. ¿Se puede afirmar que son semejantes entre sí? Justifica.

Homotecia y semejanza

10 Utiliza la cuadrícula para reproducir la figura dibujada según la razón de semejanza dada.

a. r = 2

b. r = 1,5

c. r = 12

11 ¿Cuál es la relación entre la razón de semejanza de dos figuras, y una razón de homotecia? Explícalo con tus palabras.

12 La razón de homotecia entre una figura A y una figura B es de 3 : 4, y entre la figura A y una figura C

es –12

¿Cuál es la razón de homotecia entre C y B?

13 A partir de un segmento AB se ha construido una homotecia de centro O, para obtener el segmen-to A'B´. Si OA = 5 y OA’ = 3, ¿cuáles son los2 posibles valores de la razón de homotecia?



Refuerzo3 421


Teorema de Thales

14 Calcula el o los valores desconocidos en cada figura.

a. AB // DE Ax cm

9 cm

C

B

12 cm

D E

b. AB // CD y cm

8 cm

x cm 10 cm

16 cm6 cm

A CE

B

D

c. L₁ // L₂ // L₃

15 cm

9 cm

x cm

12 cm

L1

L2

L3

d. AB // DE

12 cm

18 cm

x cm

6 cm

D E

A B

C

15 Determina en cada caso el valor de x, para que las rectas L

1 y L

2 sean paralelas.

a.

L1

L2

x

65

2

b. L1

L2

x

4

8

3

División de trazos

16 Divide en 6 partes iguales el segmento de AB.

A

B

17 El trazo AB se divide en razón 3 : 4, donde Q es el punto de división. Si el trazo AB mide 20 cm, ¿cuál es la medida de AQ?

18 El trazo AB se divide en la razón 2 : 5, donde Q es el punto de división. Si la distancia entre Q y B es 45 cm, ¿cuál es la medida de AQ?

19 Un trazo AB es dividido interiormente por el punto P. Si AP = (x + 5) cm, BP = (x + 1) cm y AB = 10 cm, ¿en qué razón fue dividido interiormente el trazo AB? ¿Cuál es la medida de AP?

Teorema de Euclides

20 Determina en cada caso el valor de x.

a.

8 cm 18 cm

X

b. 12 cm

6 cm X

c.

8 cm 42 cm

X

d. 14 cm

X

48 cm

Teorema de Pitágoras y recíproco


a. En un rombo cuyo lado mide 2,5 cm, su diagonal mayor mide 4 cm. ¿Cuánto mide la diagonal menor?

b. ABCD es un cuadrado de lado 37 cm y CBE un triángulo rectángulo en E, en el cual uno de sus catetos mide 25 cm menos que el lado del cua-drado. Calcula el área y el perímetro de la figura.

C D

E

A B

15 cm



fuer

zoReforzar

22 Determina si las siguientes medidas a, b y c corresponden o no a los lados de un triángulo rectángulo ABC.

a. a = 4; b = 3; c = 5

b. a = 13; b = 5; c = 12

c. a = 8; b = 19; c = 15

d. a = 24; b = 25; c = 7

e. a = 3; b = 2; c = 2,5

f. a = 21; b = 72; c = 75

g. a =a 21;b 21;c 84= = =


Ángulo inscrito y del centro en una circunferenciaConsidera cada circunferencia de centro O.

23 Calcula la medida del ángulo α.

76º

α

24 Calcula la medida del ángulo COA.

OB 25º

A

C

O

25 AC es tangente a la circunferencia, el ángulo EBA mide 60° y el ∢CBD, 70°. ¿Cuál es la medida del ángulo DOE?

OB

C

AE

D

26 AB es diámetro. Calcula la medida del ángulo OCB.

25º O

C

A

B

27 Calcula el valor de α – β.

128º82º

αβ

28 En la figura, AT es tangente a la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ángulo TOB?

A

B

C

T

25º

O38º

Cuerdas y secantes en la circunferencia

29 XY es diámetro, el radio de la circunferencia mide 10 cm, AY = 4 cm y WA = 6 cm, ¿Cuál es el triple de la longitud de AZ?

O

A

Z

YW

X

30 LE = (14 – 2m) cm, AE = (m + 4) cm, EK = (10 – 2m) cm y PE = (m + 5) cm. ¿Cuál es la longitud de PK?

EO

P

A

K

L

31 En la figura, BH es tangente a la circunferencia, BM = 4 cm, MO = 6 cm y BF = 5 cm. ¿Cuál es la medida de FD?

MO

B

F

D

H

32 HJ es tangente en H, PQ = 6 cm, QT = 8 cm, TJ = a cm y HJ =(a + 3) cm. ¿Cuál es el cuádruple de la longitud de PJ?

O JT

HQ

P



ProfundizarProfundizo

Profundizar 3 421

Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las si-guientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.

Demostración del teorema particular de Thales1 Analiza la demostración del teorema particular de Thales, consideran-

do un triángulo de vértices A, B y C, y una recta paralela al lado BC, que se interseca con los lados AB y AC en los puntos D y E, respectivamente. En cada caso, (ABC) representa el área del ABC

Paso 1 Se trazan los segmentos BE y CD.

Podemos observar que:

1 Los triángulos DEB y DEC tienen igual altura h, respecto del lado DE.

2 = =

→ =

(DEB)DE2

•h (DEC)DE2

•h

(DEB) (DEC)

Paso 2 Se trazan los segmentos h1 y h2, perpendiculares respectivamente a los segmentos AB y AC. Así,

3 h1 es altura para los triángulos ADE (respecto del lado AD), DBE (respecto del lado DB) y ABE (respecto del lado AB).

4 h2 es altura para los triángulos AED (respecto del lado AE), ECD (respecto del lado EC) y ACD (respecto del lado AC). Por lo tanto

= = =(AED)AE2

•h (ECD)EC2

•h (ACD)AC2

•h2 2 2

Paso 3 Considerando las igualdades anteriores:

5 (ADE) = (AED) y (DEB) = (DEC) → (ADE) + (DEB) = (AED) + (DEC)

→ (ABE) = (ACD)

(ADE) (AED)AD2

•hAE2

•h AD •h AE •hAEAD

hh

(DBE) (ECD)DB2

•hEC2

•h DB •h EC •hECDB

hh

(ABE) (ACD)AB2

•hAC2

•h AB •h AC •hACAB

hh

1 2 1 21

2

1 2 1 21

2

1 2 1 21

2

= → = → = → =

= → = → = → =

= → = → = → =

Paso 4 Podemos concluir que:

= = =

→ = =

AEAD

hh

ECDB

hh

ACAB

hh

AEAD

ECDB

ACAB

1

2

1

2

1

2

2 Demuestra el Teorema general de Thales. Utiliza el caso particular.

D

h h

B

E

C

A

D

h1h2

B

E

C

A



alua

ción

Evalúo


1 Los cuadriláteros ABCD y EFGH son semejantes. De acuerdo con lo anterior, ¿cuáles son las medi-das de los lados x, y, z?

E F

G

Z

H

3 cm

2,8 cm

1 cm

A B

DC3 cm

6 cm y

x

A. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm

B. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm

C. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm

D. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm

E. x = 9 cm; y = 2,8 cm; z = 18 cm

2 Se tiene que ∆ABC ~ ∆DEF. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos?

A. 3

B. 0,3

C. 0,1

D. 0,03

E. 0,01

3 Los lados homólogos de dos triángulos semejan-tes están en la razón 1 : 2. ¿Cuál(es) de las siguien-tes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Sus áreas están en la misma razón.II. Sus perímetros están en esta misma razón.III. Sus alturas correspondientes están en esta

misma razón.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. II y III

4 En la figura ∆ABC ~ ∆EDF. ¿Cuál es el valor de k?

A. 1

B. 3

C. 8

D. 13

E. 16

5 ¿Cuál es la razón entre las áreas de los siguientes triángulos semejantes?

A. 12

B. 14

C. 81

D. 13

E. 62

6 En un plano dibujado a escala de 1 : 300, una habi-tación de forma cuadrada tiene un área de 49 cm2. ¿Cuál es la medida real del lado de la habitación?

A. 0,023 cm

B. 7 cm

C. 49 cm

D. 2100 cm

E. 14 700 cm

7 Según la figura, ¿cuál fue la razón de homotecia aplicada a la figura original para obtener la figura imagen?

A. 8 : 6

B. 7 : 3

C. 6 : 8

D. 7 : 4

E. 1 : 7

8 En la figura, al rombo ABCD se le aplicó una ho-motecia de razón k = −

16

. ¿Cuál es el valor de x?

A. 473

−

B. 379

−

C. 373

−

D. 479

−

E. 179

−


C

A B

12 cmE D

F

3,6 cm

A B

C

60 cm 65 cm

25 cm

E D

F

(3k+12) cm (4k + 7) cm

(2k – 1) cm

A´

B´D´

C´

O

A

B

C

D

(2x + 7) cm

(3x + 5) cm

0

A

A'

6 cm

8 cm

Figura original

Figura imagen

A

C

B

A´ B´

C´ x

y


Evaluación3 421

9 Si ABCD y FEDG son cuadrados, ¿cuál es el perí-metro del triángulo ABF?

A

ED C

GF

B

(1) Área cuadrado FEDG es 25 cm2.

(2) Área cuadrado ABCD es 49 cm2.



C. Juntas, (1) y (2).




10 ¿Cuál es la medida de AB?

A. 2 cm

B. 3,5 cm

C. 6 cm

D. 12 cm

E. 48 cm

11 En el triángulo ABC, DE // AB, CD = 30 cm y CA = 90 cm. ¿Cuál es el valor de x?

A. 5 cm

B. 10 cm

C. 45 cm

D. 60 cm


12 Se tiene que AB//FC//ED, DC = 5 cm, CB = 8 cm y FA = 10 cm, ¿cuál es el valor de EF?

A. 13 cm

B. 15 cm

C. 18 cm

D. 2,7 cm

E. 6,25 cm

13 En el triángulo ACD, BE //CD y BC = 2 cm, ¿cuál es el valor de BE?

A. 1 cm

B. 3 cm

C. 6 cm

D. 9 cm

E. 12 cm

14 Un trazo AB de 48 cm es dividido interiormente por un punto C en la razón 5 : 7. ¿Cuáles son las medidas de los trazos AC y CB ?

A. 6 cm y 8 cm, respectivamente.

B. 20 cm y 28 cm, respectivamente.

C. 20 cm y 120 cm, respectivamente.

D. 168 cm y 28 cm, respectivamente.

E. 120 cm y 168 cm, respectivamente.

15 El trazo AB, que mide 40 cm, es dividido interior-mente por un punto C en la razón 3 : 4. Luego, el trazo AC es dividido interiormente por el punto D en la razón 2 : 5. ¿Cuál de las siguientes afirmacio-nes es (son) verdadera(s)?

I. AD = DC = DB

II. AD + DC= 1207

cm

III. AD= 24049

cm

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. Solo II y III

E. I, II y III

16 Sea ABC un triángulo rectángulo en C, en el que se traza la altura desde el vértice C, dividiendo la hipotenusa en dos segmentos. Si sus catetos e hipotenusa miden respectivamente (a + 2) cm, (a + 3) cm y (a + 6) cm, ¿cuál es la longitud de cada proyección sobre la hipotenusa?

A. (a+2)a+6

cm,(a+3)

a+6cm

2 2

B. a+6

(a+3)cm,

a+6

(a+2)cm2 2

C. (a + 3)(a + 6) cm, (a + 2)(a + 6) cm

D. (a + 2)cm, (a + 3)cm

E. a+2a+6

cm,a+3a+6

cm

AB C

D

E

x cm 6 cm

12 cm24 cm

A B

D E

C

45 cm

(2x − 5) cm

A

F

E

B

C

D

AB

C

E

x cm

(2x - 3) cm2x cm

D



alua

ción

Evalúo17 Respecto de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Si hp+q

2(p – q) 02= → =

II. Si hp+q

2p +q 02 2= → =

III. Si hp+q

2(p+q) 02= → =

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. Solo I y II

E. I, II y III

18 ¿Cuál es la suma de los perímetros de los triángu-los ADC y DBC?

A. 10 cm

B. 3,6 cm

C. 6,4 cm

D. 28,4 cm

E. 33,6 cm

19 En un triángulo rectángulo la medida de uno de los catetos es el triple que la del otro, y su área es 243 cm2. ¿Cuál es la medida de su hipotenusa?

A. 9 cm

B. 27 cm

C. 810 cm

D. 910 cm


20 En el paralelepípedo de la figura, ¿cuál es la medi-da de la diagonal AG?

A. 10x

B. 19x

C. 100x

D. 90,5x

E. x 181

21 En el triángulo ABC, el valor de x se puede calcu-lar si se sabe que:

(1) AB // DE(2) Triángulo ABC rectángulo en A.



C. Juntas, (1) y (2).


E. Se requiere informa-ción adicional.


22 En la figura, AB es diá-metro de la circunferen-cia de centro O. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A BO

x 30°

CA. 30º

B. 45º

C. 60º

D. 90º

E. 120º

23 En la figura, los puntos P, Q, R y S pertenecen a la circunferencia de centro O. Si QT : TP = 4 : 5, QT = 8 cm y RT = 16 cm, ¿cuál es la medida del segmento ST?

RP

S

Q

TO

A. 4 cm

B. 5 cm

C. 16 cm

D. 20 cm

E. Ninguna de las anteriores

24 Respecto de la siguiente figura, ¿cuál es el valor de z?

(Z + 3) cm4 cm

5 cm11 cm

A. 5

B. 9

C. 11

D. 13

E. 17

25 En la figura el segmento de recta tangente a la circunferencia mide 9 cm y los segmentos de-terminados por la secante miden 3 cm y w cm, respectivamente. ¿Cuál es la medida del segmen-to representado por w?

A. 3 cm

B. 9 cm

C. 24 cm

D. 81cm

E. 243 cm

26 En la circunferencia de centro O, α + β = 58°. ¿Cuál es el valor de γ?

D

H

G F

A

8x

6x

9x

BCE

⎧⎪⎨⎪⎩

A B

C

D

E6 cm

8 cm

A B

ED

C

(x + 5) cm

(3x + 7) cm

4 cm

3 cm

9 cm

3 cm

w cm

D

AC a

b

p

h q

B


Evaluación3 421

α

β

γO

A. 29º

B. 58º

C. 87º

D. 116º

E. 145º

27 En la figura, PT es tangente a la circunferencia en el punto P y RQ es diámetro. ¿Cuál es el valor de β?

A. 40º

B. 50º

C. 60º

D. 100º

E. Ninguna de las anteriores. 60°

α

βR

PQ

T

28 Las medidas de los arcos AB y DC son 116º y 54º, respectivamente. Si las cuerdas AD y BC se intersecan en el punto Q, ¿cuál es la medida del ángulo CQD?

A. 31º

B. 62º

C. 75º

D. 85º

E. 170ºA

C DQ

O

B

29 En la figura, las cuerdas AB y CD se intersecan en el punto P. Si el ángulo APD mide 95º y la medida del arco CA es 72°, ¿cuál es la medida del arco DB?

A. 85º

B. 98º

C. 120º

D. 160º

E. 170º

A

C

D

P

B

95°

30 En la semicircunferencia de centro O de la figura, el ángulo COB mide 80º. Si se sabe que el triángu-lo EAD es isósceles de base AD, ¿cuál es la medida

el ángulo AED?

A. 50º

B. 65º

C. 40º

D. 70º

E. 80º

31 En la figura x = 30°, AB = BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE, ¿cuál es el valor de 2α?

Ninguna de las anteriores.

A. 30º

B. 60º

C. 120º

D. 150º

E. A

D E

C

B

Oα

x

32 En la figura, la recta BC es tangente en C a la circunferencia de centro O. Se puede determinar la longitud del radio si:

(1) Se conoce la longitud de BC.(2) BC = 2OA.



C. Juntas, (1) y (2).



33 ¿Cuál es la medida del ángulo BCD?

(1) La medida angular del arco DB es 10°.(2) La medida angular del arco BD corresponde a la medida angular de AE – 70° .



C. Juntas, (1) y (2).

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E. Se requiere información adicional



Semejanza de figuras planas. 6 respuestas correctas Sección 1

Teoremas de semejanza. 9 respuestas correctas Sección 2

Ángulos y segmentos en la circunferencia. 9 respuestas correctas Sección 3


A

OC

D

B

A

ED

OB

C

40°

E

B C

A O D


Álgebra333unid

ad3unid

ad

Ideas previasEn febrero de 2013 un asteroide cayó sobre Rusia causando gran impacto en todo el mundo. Si bien no causó mayores daños, reavivó la inquietud que cada cierto tiempo despierta respecto de este tipo de riesgos. ¿Es posible que un asteroide de grandes proporciones impacte a la Tierra, provocando una tragedia devastadora? ¿Es posible prever este tipo de hechos, y hacer algo para evitarlos?

• Los asteroides y la Tierra orbitan alrededor del Sol. ¿Qué debería ocurrir para que se produzca un impacto entre ellos?

• ¿Es posible determinar con exactitud la trayectoria que seguirá un cuerpo celeste?

• ¿Hay fenómenos astronómicos que se repiten periódicamente? ¿Cuáles conoces tú?

Palabras clave

Ü Fracción

Ü Expresión algebraica

Ü Grá co

Ü Función

Ü Parámetros

Ü Sistema de ecuaciones

Ü Incógnitas

Ü Compatibilidad

Ü Pertinencia

42

161UNIDAD 3 • ÁLGEBRA

31

Activ

idad

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 162 163UNIDAD 3 • ÁLGEBRA

Sección 1

Fracciones algebraicas

De esto se trata…Julio César de Mello e Sousa (1895-1974) es el verdadero nombre

de Malba Tahan, autor del libro El hombre que calculaba. Allí relata la famosa historia de tres hermanos que debían repartirse una herencia de 35 camellos, respetando las siguientes condiciones:

• El mayor debía recibir la mitad de la herencia. • El hermano del medio debía recibir un tercio de la herencia. • El menor debía recibir solo un noveno del total de camellos.

Los hermanos discutían ya que, con estas reglas, el mayor recibiría 17,5 camellos, el del medio 11,6 y el menor 3,8 camellos, lo que era bastante engorroso. Ante esto Beremís (protagonista de la obra) tiene la solución, y les propone hacer justicia a cambio de poder elegir al final su recompensa. Para ello pide el camello en el que viajaban a su amigo y lo suma a la herencia, completando 36 camellos. Con esto:

• Da al mayor 362

18= camellos. • Da al del medio 363

12= camellos.

• Da al menor 369

4= camellos.

Ya que 18 + 12 + 4 = 34, quedan dos camellos, uno de los cuales regresa a su amigo y el otro lo deja para sí, como premio por lograr esta repartición tan justa y beneficiosa.


➊ Sumen las fracciones correspondientes a las partes de la herencia que le toca a cada hermano. ¿Qué observan?

➋ Busquen otro trío de fracciones y un número para el cual se dé una situación similar a la del relato.

Actividad grupal

Propósito: generalizar la operatoria de fracciones por medio del álgebra, para ampliar tus posibilidades de operatoria, planteamiento y resolución de problemas.


A definir una fracción algebraica y sus restricciones. Lección 22 caracterizar una fracción algebraica.

A analizar una fracción algebraica. Lección 23 comprender el comportamiento de una fracción algebraica al variar sus términos.

A calcular mcm y mcd de expresiones algebraicas. Lección 24

realizar operaciones con fracciones algebraicas.A amplificar y simplificar fracciones algebraicas. Lección 25

A multiplicar y dividir fracciones algebraicas. Lección 26

A sumar y restar fracciones algebraicas. Lección 27

A resolver problemas que involucran fracciones algebraicas. Lección 28 plantear y resolver problemas en variados ámbitos.


Ü Expresión algebraicaÜ RestricciónÜ VariableÜ Ecuación

§ Para resolver un problema matemático, ¿es necesario conocer previamente las condiciones que debe cumplir su solución?


Actividad


41 2 3


Identificar y operar expresiones algebraicas

1 Identifica el coeficiente, parte literal y grado de los siguientes términos.

a. 3a2

b. –2a4b

c. –0,5xy6

d. pqr2

2 Identifica el grado y el número de términos de las siguientes expresiones algebraicas.

a. 3xy3 + 2

b. y5 + a6 – a2

c. 3x3y – 6x2y2 + 5 – 9y3

d. 4z2x3 + 2xz + 12y8

e. 35

a5 + x4 + 6x4

3 Calcula el valor de las siguientes expresiones, evaluadas para x = 2 e y = –4.

a. 8x2 + 2xy − 4y2

b. 3x2 − 2xy − 6y2

c. 11x2 − 12xy + 5y2

d. 7x2y2 + 8x3y – 2xy

4 Realiza las operaciones indicadas.

a. 4ax –10bx – 9bx – 5ax

b. (2x + 3)(3x + 4)(x – 3)

c. 2(x – 3)(x + 4)(x + 3)

d. (x2 – 2x + y)(x2 + 2x – y)

e. (a + b + c)(a + b – c)

Calcular productos notables y factorizaciones

5 Desarrolla las siguientes expresiones aplicando productos notables.

a. (a + b)2

b. (p + q)(p – q)

c. (x + 4)(x – 7)

d. (x + 2)3

e. (x – 2y)2

f. (2x + 5)(2x – 1)

g. (2pq2 – m) (2pq2 + m)

h. (3ab + 5a)(3ab + a)

6 Factoriza completamente las siguientes expresiones.

a. x2 – 2xy + y2

b. x2 –y2

c. c2 +5bc + 4b2

d. q2 – 8qs + 15s2

e. 4a3m2 – a3n2

f. h3 + 8h2c + 7hc2

g. 4a4 – 9x6

h. 4p2q2 + 8pq – 5

Operar y ordenar fracciones

7 Compara las siguientes fracciones. Escribe >, < o = según corresponda.

a. 12

___6

12

b. –27

___45

c. 2343

___17

d. 1___62

e. 524

___52

f. 143

___8

50

8 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

a. 14

,1

10,

–14

,1

16

b. –23

,116

,2

15,

119

,–100

9

c. 12

,23

, –32

,75

, –16

9 Calcula las siguientes operaciones.

a. 23

+16

–54

b. –73

+56

–19

c. 314

+35

+54

d. –

58

•67

+7

10• 2

e. −1+

45

:3

10

f. 413

:136

•12


Repasa en los siguientes sitios web….http://goo.gl/sqF8S http://goo.gl/0tOQY

Operatoria con expresiones algebraicas.

http://goo.gl/y7R8A http://goo.gl/9AhMw

Productos notables y factorizaciones.

http://goo.gl/1DhvH Orden y operatoria con fracciones.



Lecc

ión Fracción algebraica

Propósito: De nir una fracción algebraica y sus restricciones.

Taller

En parejas lean y realicen las siguientes actividades.

1 Consideren las siguientes fracciones.x

y – 27c

53

a3

12

5b +q

a + 3b + 5

a) Analicen sus numeradores y denominadores. ¿Qué similitudes y diferencias ven?

b) Julieta clasi có las fracciones anteriores. Dejó en un mismo grupo 53

, 12

,

a3

y a + 3b + 5

, diciendo que “no tienen letras en el denominador”. ¿Qué otra(s)

clasi cación(es) puede haber hecho Julieta? Expliquen y clasi quen las frac-ciones anteriores de acuerdo a ello.

2 Evalúen las siguientes expresiones para distintos valores de a.a1

0a

a0

a) ¿Qué sucede con el valor de la expresión si el numerador es igual a 0? ¿Y si el denominador es igual a 1? Justi quen.

b) ¿Es posible calcular el valor de la expresión a0

si a es cualquier número real?

¿Existe un número que multiplicado por 0 dé como resultado a?

3 Observen las siguientes expresiones.2

a –15

2 – aa

a +3a

b + a

a) Decimos que una fracción está inde nida si su denominador es igual a 0. ¿Para qué valores de a están inde nidas las expresiones anteriores?

Como puedes observar, en álgebra existen fracciones cuyos denominadores son expresiones algebraicas que contienen letras. En general, una fracción cuyos térmi-nos son expresiones algebraicas corresponde a una fracción algebraica o expresión algebraica fraccionaria. Por ejemplo:

32a

5xy – 2

3a–12b – 3

Ya que una letra puede tomar diferentes valores, es preciso restringirlos para que no estén indefinidas, es decir, para que sus denominadores sean distintos de 0. En los ejemplos anteriores las restricciones son, respectivamente:

32a

2a 0 a 0→ ≠ → ≠ → ≠ → ≠5x

y – 2y – 2 0 y 2

3a 12b 3

2b 3 0 2b 3 b32

−−→ − ≠ → ≠ → ≠

Debes saber…

§ Una fracción es un núme-ro expresado de la forma xy

con y ≠ 0. El valor de

una fracción corresponde al resultado de la división x : y.

§ Una expresión algebraica es una combinación de números y letras mediante las operaciones aritméti-cas, por ejemplo:

2a; a + b ; 5b – 3 ; 13

a+4a c2−

Observa que…a0

x 0• x a= → =

AyudaUna fracción del tipo a+b

2 no

suele considerarse fracción algebraica ya que puede escri-birse como 1

2a+

12

b, es decir,

como términos con coeficiente 12

. La denominación fracción

algebraica suele reservarse para las fracciones cuyo deno-minador contiene letras.

22

UNIDAD 3 • ÁLGEBRA 165

41 2 3Practiquem

os lo aprendido

Repaso

1. Determina en cada caso una fracción que cumpla las siguientes condiciones.

a) Su denominador sea 4.

b) Su numerador sea 17.

c) Su numerador sea el triple de su denominador.

d) Sea equivalente a la fracción 23

.

Práctica guiada

2. Identifica, entre las siguientes fracciones, cuáles son fracciones algebraicas y justifica por qué. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: la fracción 3a2b

es una fracción algebraica,

pues su denominador es 2b, un término con parte literal.

a) 5b

b) a2

c) 3– ab+3

d) b – 2a5

3. Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: xx +7

Paso 1 Se identifica el denominador de la frac-ción, y se iguala a 0.

x + 7 = 0Paso 2 Se resuelve la ecuación, donde el o los va-

lores de x corresponden a las restricciones.x + 7 = 0

x = –7La restricción de la fracción es x ≠ –7.

a) aa+2

b) a + 15a

c) 2a3a + 1

d) 4 +a2a– 2

e) a + 6

a–15

f) 2a + 15a–7

Aplica

4. Utiliza fracciones algebraicas para representar las siguientes cantidades.

a) La rapidez v de un automóvil que recorre d + 2 kilómetros en 4 + t horas.

b) La cantidad de dinero que recibe cada niño, si se reparten 500 + 2p pesos en partes iguales entre n niños.

c) La cantidad de flores que recibe cada mamá de los alumnos de un curso del liceo en su día, si se reparten 2n +10 flores entre n mamás.

d) El promedio de pasajeros por bus que llevó una empresa de buses el día viernes de un fin de semana largo, si la suma de los pasajeros de ese día fueron 6x + 2 y la empresa cuenta con 3x + 1 buses.

e) La cantidad de gallinas que hay en la parcela de la señora María, si pusieron un total de 300 + m hue-vos y cada una puso en promedio n + 3 huevos.

5. Desafío: ¿Para qué valores de x se encuentra indefinida la fracción 2

x – 42? (Ayuda: utiliza

factorización y responde la pregunta ¿qué debe ocurrir para que el producto de dos números sea iguala 0?

6. Conexiones: Investiga sobre fórmulas matemáticas que se utilicen en física y química que estén formadas por fracciones algebraicas. ¿Qué tienen en común cada una de ellas?

§ ¿Qué similitudes y diferencias observas entre una fracción numérica y una fracción algebraica? Explica.

Reflexiona

Razonay comenta§ ¿Existen fracciones alge-

braicas que no tengan restricciones? Si crees que existen, da un ejemplo. Si no, justifica por qué.

En resumenSe llama fracción algebraica al cociente entre dos polinomios a

b, en la que el

numerador a y denominador b son polinomios. Si b es igual a 0, la fracción

está indefinida.


Lecc

ión Fracciones algebraicas y fórmulas

Propósito: analizar una fracción algebraica.

§ Una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores. Las fórmulas matemáticas que se utilizan en otras áreas como la física, química, biología, sociología etc. utilizan una o más variables.

§ Evaluar una expresión algebraica consiste en obtener el valor numérico para ciertos valores de la(s) variable(s) que la componen.

Ejemplo: Si la expresión2a + b

se evalúa para a =2 y b =1, se obtiene:

2 • 2 + 1 = 4 + 1 = 5

Debes saber…

La presión (P) se define como la fuerza F (en Newton) o peso por unidad de área A (en

m2) siendo su expresión =PFA

y su unidad de

medida es el pascal Nm2

. Carolina está reali-

zando un estudio de la presión en diferentes

objetos, para lo que utilizará un dinamómetro que le permitirá medir la fuerza en Newton que ejercerá en una superficie de área de-terminada (A).Para esto presionará con una fuerza constante algunos objetos sobre una superficie de polietileno (plumavit), y observará el efecto que causa.

Paso 1 Carolina construye la siguiente tabla con las áreas en m2 de los objetos que utilizará:

Objeto Cuaderno Moneda Filo de un cuchillo

Área 0,003 0,00314 5 x 10-7

Paso 2 Carolina ejerce fuerzas de 50 N y 90 N sobre cada objeto calcula la presión que estos ejercen sobre la superficie de polietileno y observa lo que sucede con ella.

Objeto Área Presión Observación

Cuaderno 0,003 P

500,003

16 666,6= = No sucede nada.

P =90

0, 003= 30 000 Se hunde muy levemente.

Moneda 0,00314

P =50

0, 00314= 15923, 56

Se hunde un poco y deforma levemente el polietileno.

P90

0,0031428 662,42= ≈ Se hunde y deforma el

polietileno.

Filo del cuchillo

5 x 10-7 P

505x10

10–78= = Se hunde y deja una marca

en el polietileno.

P90

5x101,8 •10–7

8= = Rompe el polietileno.

23


41 2 3Propósito: analizar una fracción algebraica.

Razonay comenta§ Responde las preguntas que se plantea Carolina, y discute con tus compañeros.

§ ¿Por qué crees que los científicos piensan en valores extremos o teóricos como lo hizo Carolina?

Observa que…No es posible determinar a priori lo que ocurre si el numerador y el denominador disminuyen o aumentan simultáneamente.

Paso 3 Carolina obtiene las siguientes conclusiones:

1º Al aplicar la misma fuerza, se obtiene mayor presión si el área de contacto es pequeña, es decir, si se mantiene el valor del numerador y se disminuye el del denominador, el valor de la fracción aumenta.

2º Al aplicar más fuerza pero manteniendo la superficie, se obtiene mayor presión, es decir; si se aumenta el valor del numerador y se mantiene el valor del denominador, el valor de la fracción aumenta.

3º Si se combinan las variables anteriores, es decir, aumenta la fuerza y disminuye el área, la presión aumenta, es decir, si se aumenta el valor del denominador y disminuye el valor del denominador, el valor de la fracción aumenta.

Carolina resume lo anterior a través de la siguiente tabla:

p FA

=

La presión aumenta si La presión disminuye si

El área A o denominador disminuye El área A o denominador aumenta

Si la fuerza F o numerador aumenta Si la fuerza F o numerador disminuye

Paso 4 a partir de las observaciones anteriores, Carolina se hace algunas preguntas:

• ¿Es posible que el área de un objeto sea igual a 0?

• ¿Qué ocurre si el área del objeto se hace cada vez más pequeña, hasta valores que son “casi cero”.

• ¿Qué ocurre si la fuerza ejercida es igual a cero?

• ¿Es posible que la presión dé un valor negativo? ¿Por qué?

Muchas situaciones de la vida cotidiana se modelan mediante fórmulas que involu-cran fracciones algebraicas, y a quienes las estudian les interesa saber no solo el valor que adoptan para algunos valores específicos sino su comportamiento, es decir, lo que ocurre cuando uno de los valores o ambos aumentan o disminuyen.

En resumenEl valor de una fracción a

b aumenta si aumenta el valor del numerador, si

disminuye el valor del denominador o si ocurren ambas cosas a la vez.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Calcula el valor de x2 – 2 (2 – x), evaluada para los siguientes valores de x.

a) x = 0

b) x = 1

c) x = 2,4

d) x = 0,45

e) x = –0,9

f) x = 12

2. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas evaluadas para los valores que se indican:

a) 3x – y , para x = 3 e y = 4

b) 5xy + 9, para x = 7 e y =2,9

c) –9x4

–y6

, para x = 10 e y =1

d) x2 – y, para x = 1,3 e y = –2

e) (x – y )(x + y2), para x = –2 e y = 2

f) x2 – y2, para x = 12

e y = 25

g) x 3y4− , para x = –5 e y = 9

h) –x + x 4y z2 2+ , para x =3, y = –3 y z = 2

3. Para los siguientes problemas determina una fórmula que represente lo pedido.

a) El perímetro de una circunsferencia de radio 3a.

b) El perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden a y (b – a).

c) El área de un cuadrado cuyo lado mide a2 + b2.

d) El perímetro y área de la zona achurada de la siguiente figura (ambas figuras son rectángulos).

2x + 5

2xx – 9x – 2

e) El perímetro de la figura achurada que está for-mada por dos triángulos equiláteros.

20 + x

x – 1

4. Calcula en cada caso posibles valores de las variables, para que la expresión algebraica tenga el valor que se indica.

a) 4x2 – 2, para que el valor de la expresión sea 2.

b) 3x – 5, para que el valor de la expresión sea –5.

c) 3xy – 1, para que el valor de la expresión sea 0.

d) 2x2 + 1 para que el valor de la expresión sea 0.

Práctica guiada

5. Determina en cada caso los valores de x que hacen que se cumpla la condición dada. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: 15 – x

tenga valor negativo.

Paso 1 Una fracción tiene valor negativo si su numerador es negativo y su denomina-dor positivo, o bien si su numerador es positivo y su denominador negativo. En este caso, el numerador es positivo, por lo que solo se debe analizar en qué casos el denominador es negativo.

Paso 2 Se analiza para qué valores el denomina-dor es negativo:

5 – x < 0 → x es mayor que 5 (x > 5)

Luego, la fracción tiene valor negativo si x > 5.

a) –2x

, tenga valor negativo.

b) –3x+2

, sea positivo.

c) 14 – 2x

, sea positivo.

d) 2xx –1

, sea negativo.

e) 11x4x+3

, sea positivo.

Aplica

6. Calcula el valor numérico de las siguientes expresión fraccionarias que se indican:

a) x2x+1

, si x = 10.

b) 10x – 26x+1

, si x = –5.

c) x – y

x – 2y2, si x = 7 e y = 3



41 2 3


7. La medida del ángulo interior de un polígono regular

se determina mediante la expresión 180 (n – 2)n

o.

a) ¿Cuál es la medida del ángulo interior de un polí-gono regular con 3, 4, 5, 9 ,10 y 20 lados?

b) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono regular de 9 lados?

c) ¿Qué puedes concluir respecto a la medida de un ángulo interior de un polígono regular a medida que la cantidad de lados aumenta?

8. En las siguientes expresiones, n pertenece a los números naturales.

2n4n+3

,n+24n

,5n

4n+7a) Calcula las expresiones anteriores para n = 0,

n = 3, n= 5 y n =7.

b) ¿Cuál es el menor valor que toma cada una de las expresiones anteriores?

c) ¿Qué sucede si el valor de n aumenta? ¿Cuál de estas expresiones aumenta más rápidamente? Justifica.

9. El índice de masa corporal (IMC) es un indicador que relaciona la masa de una persona con su

estatura, mediante la expresión IMCmh2= , donde

m es la masa en kg y h es la altura en metros. El IMC permite categorizar a los individuos según los siguientes valores:

Bajo peso Menor que 18,5Normal Entre 18,5 y 24,9

Sobrepeso Entre 25 y 29,9Obeso Sobre o igual a 30

a) Calcula el IMC para los siguientes datos.

Masa 85 71 60 50 90Altura 1,56 1,9 1,79 1,80 1,98

b) ¿En qué categoría se encontrarían los individuos de la tabla si todos tuvieran una masa de 70 kg?

c) ¿En qué categoría se encontrarían los individuos de la tabla si todos midieran 1,70 m?

d) ¿En qué categoría te encuentras tú?

10. Celso está realizando un experimento que consiste en calcular la variación en la densidad del pan amasado que se produce en un horno de barro. Los datos de Celso indican que el pan pierde 0,4 g por minuto, y aumenta su volumen en 0,15 cm3, por lo tanto, la densidad del pan en el

minuto t está dada por la expresión =dm– 0, 4tv +0,15t

.

a) ¿Cuál es el valor de la densidad del pan para 2, 5, 8, 15 y 30 minutos?

b) ¿Cómo se comporta la densidad a medida que el tiempo transcurre?

c) En teoría, la densidad del pan, ¿puede ser infinita? Explica.

d) En teoría la densidad del pan puede, ¿ser igual a cero? Explica.

e) Si Mario pone en el horno un material que con el tiempo gana 0,12 g por minuto y pierde 0,05 cm3 por minuto, ¿cuál será el comporta-miento de la densidad de este material a medida que el tiempo transcurre?

11. Un terreno rectangular tiene un largo que es el doble del ancho más 20 metros.

a) ¿Cuál es la razón entre el ancho y largo?

b) ¿Cuál es el valor de la razón si el ancho es igual a 10 cm?

12. El automóvil de Camila recorre a kilómetros en b horas, mientras que el automóvil de Andrés recorre a + 7 kilómetros en el doble de tiempo que el automóvil de Camila.

a) ¿A qué rapidez viaja cada uno?

b) ¿Quién viaja más rápido? Explica.

§ Cecilia afirma que toda fracción cuyo numerador es igual a su denominador tiene un valor igual a 1. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Pondrías alguna excepción? Explica.

Reflexiona


Lecc

ión Mcd y mcm de expresiones algebraicas

Propósito: calcular mcm y mcd de expresiones algebraicas.

§ El mínimo común múlti-plo (mcm) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos.

§ El máximo común divisor (mcd) de dos o más números naturales es el mayor número natural que es divisor de todos.

Debes saber…

En cursos anteriores has visto que, para calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) entre dos números naturales, primero los expresamos mediante su descomposición prima. Luego, el mcm y el mcd los calculamos seleccio-nando adecuadamente los factores. Por ejemplo, si consideramos los números 252 y 120, tenemos que:

252 = 22 • 32 • 71

mcm(252, 120) = 23 • 32 • 51 • 71 = 2 520 mcd(252, 120) = 22 • 31 = 12

120 = 23 • 31 • 51

• El mcm se compone de todos los factores que aparecen en las factorizacio-nes (2, 3, 5 y 7), con el mayor exponente con el que aparecen. En el ejemplo, se consideran 23 y 32.

• El mcd se compone solo de los factores que se repiten en ambas factorizacio-nes (2 y 3), con el menor exponente con el que aparecen (22 y 31, en el ejemplo).

Para expresiones algebraicas utilizaremos un procedimiento similar; para lo que necesitamos considerar los siguientes métodos de factorización:

Método Fórmula Ejemplos

Factor común monomioabx + aby = ab(x + y) 2p3q + 6p2r = 2p2(pq + 3r)abx – aby = ab(x – y) 2p3q – 6p2r = 2p2(pq – 3r)

Factor común polinomiom(x + y) + np(x + y) =

(m + np)(x + y)6x(2a – b) + 5y(2a – b) =

(6x + 5y)(2a – b)

Trinomio cuadrado perfecto

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 n6 + 6n3p + 9p2 = (n3 + 3p)2a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 4n2 – 4np + p2 = (2n – p)2

Diferencia de cuadrados x2 – y2 = (x + y)(x – y)4p2q4 – 9a4b6 =

(2pq2 + 3a2b3) (2pq2 – 3a2b3)

Trinomio de la formax2 + (a+b)x + ab

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5)x2 – 2x – 15 = (x + 3)(x - 5)x2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5)

Suma de cubos x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)8a3b6 + c3 =

(2ab2 + c)(4a2b4 – 2ab2c + c2)

Diferencia de cubos x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)8a3b6 – c3 =

(2ab2 – c)(4a2b4 + 2ab2c + c2)

En ocasiones será necesario utilizar sucesivamente más de un método para factorizar una expresión, por ejemplo:

2px2 + 6px – 8p = 2p(x2 + 3x – 4) = 2p(x + 4)(x – 1)

Factor común monomio

Trinomio de la forma x2 + (a + b)x + ab

24


41 2 3Propósito: calcular mcm y mcd de expresiones algebraicas.

Utilizaremos esto para calcular el mcm y el mcd de expresiones algebraicas mediante los siguientes pasos, tomando como ejemplo las expresiones

6p2x2 + 12pqx2 + 6q2x2 10p2xy – 20pqxy – 30q2xy

Paso 1 Se factorizan ambas expresiones en sus factores primos.

6p2x2 + 12pqx2 + 6q2x2 = 6x2(p2 + 2pq + q2) = 6x2(p + q)2

10p2xy – 20pqxy – 30q2xy = 10xy(p2 – 2pq – 3q2) = 10xy(p – 3q)(p + q)

2 • 6

2 • 10 3 • 10

Paso 2 Se calcula el mcm y el mcd de los coeficientes numéricos, que será el coefi-ciente del mcm y del mcd de las expresiones algebraicas.

mcm(6, 10) = 30 mcd(6, 10) = 2

Paso 3 Para los factores que son expresiones algebraicas, se utiliza la misma idea vista para el mcm y el mcd entre números naturales, como se muestra:

mcm mcd

x2(p + q)2xy(p – 3q)(p + q)

Se compone de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen. Su

coeficiente numérico es 30.

mcm = 30x2y(p + q)2(p – 3q)

x2(p + q)2xy(p – 3q)(p + q)

Se compone solo de los factores que se repiten, con el menor exponente con el que

aparecen. Su coeficiente numérico es 2.

mcd = 2x(p + q)

Si debemos calcular el mcm o el mcd entre más de dos expresiones, podemos realizar el mismo procedimiento pero considerando todas las factorizaciones, o bien, utilizar las siguientes propiedades:

mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c) = mcm(a, mcm(b, c))mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, mcd(b, c))




Razonay comenta§ ¿De qué otra manera

puedes calcular el mcm y mcd entre dos expresiones algebrai-cas? Discute con tus compañeros.

§ ¿Conoces algún método para calcular el mcm entre uno o más números?¿Puedes aplicar ese o esos métodos en el cálculo del mcm y mcd, de expresiones algebrai-cas? Justifica.

§ Utiliza las propiedades

mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c)

mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c)

para calcular el mcm y el mcd entre

6p2x2 + 12pqx2 + 6q2x2,

10p2xy – 20pqxy – 30q2xy

y 8x3p2 – 8x3q2.

En resumenEl mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor coeficiente numérico y menor grado que es múltiplo de ellas.

El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de mayor coeficiente y mayor grado que es factor de ellas.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Determina la descomposición prima de los siguientes números.

a) 12

b) 28

c) 36

d) 42

e) 56

f) 88

g) 100

h) 270

i) 315

j) 105

2. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre los siguientes números.

a) 15 y 12

b) 35 y 105

c) 32 y 48

d) 12, 20 y 24

e) 8, 12 y16

f) 5, 16 y 21

g) 100, 125 y 150

h) 3, 15, 17 y 35

i) 2, 45, 56 y 100

j) 14, 140, 325 y 490

3. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

a) 4a2 + 3a2

b) 3x2 – 9x

c) 6a3b3 + 27a2b6 – 9a3b2c3

d) –6xy + 2xz + 3y – z

e) x2 – 9

f) x4

259

2

−

g) x2 + 7x + 10

h) a2 – 2a + 1

i) 1 – p3

j) x3 + x2 – 2x

k) 3p2 – 12

l) 6x2 – 3x – 3

Práctica guiada

4. Determina el mínimo común múltiplo de las siguientes expresiones algebraicas. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: mcm(5x3y5z2, 15x2yz5)

Paso 1 En este caso las expresiones ya están factorizadas, por lo que comenzamos por calcular el mcm entre los coeficientes.

mcm(5, 15) = 15

Paso 2 Se calcula el mcm de las partes literales, y finalmente se agrega el coeficiente:

mcm(x3y5z2, x2yz5) = x3y5z5

Por lo tanto, mcm(5x3y5z2, 15x2yz5) = 15x3y5z5

a) 5x2y4z, 20x2y3z2

b) x3, 6x2y

c) x2y4, xy

d) 14x2y2, 21xy

e) 30xyz3, 60x2y

f) 24ab2, 36a2b4

5. Determina el máximo común divisor de las siguientes expresiones algebraicas. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: mcd(5x3y5z2, 15x2yz5)

Paso 1 En este caso las expresiones ya están factorizadas, por lo que comenzamos por calcular el mcd entre los coeficientes.

mcd(5, 15) = 5

Paso 2 Se calcula el mcd de las partes literales, y finalmente se agrega el coeficiente:

mcd(x3y5z2, x2y1z5) = x2yz2

Por lo tanto, mcd(5x3y5z2, 15x2yz5) = 5x2y5

a) 8x, x2

b) x2y, x2y5

c) 14xy3z, 28x2yz3

d) 12x2y3, 15x3y2

e) 18xy2, 27x2y3z4

f) 15ab3, 10a2c

6. Determina el mcm y el mcd entre las siguientes expresiones. Guíate por el procedimiento visto en la lección.

a) x2 – 9, x2 + 6x + 9

b) 2b – 2a, a2 – b2

c) x2 + 3x – 4, x2 –1

d) x4 – x, 3x5 +3x4 +3x3

e) x3 – y3, x2 + xy + y2

f) 9p2 – 4, 3p – 2

Aplica

7. Determina el mcm y el mcd entre las siguientes expresiones.

a) p2, 4p, 16

b) z3, 6zy, 12zy2

c) a3b4, a4b3, a4b4

d) 4x3, 8x, 12x2

e) 5d2 – 10d, 3d – 6, d2 – 4d + 4

f) w2 + 4w + 3, w2 – w – 12



41 2 3

§ ¿De qué manera debes sumar o restar fracciones de distinto denominador?§ Establece la relación que existe entre el mcm y la adición o sustracción de fracciones algebraicas.

Reflexiona

g) 4y – 4, y – 1, y2 – 2y + 1

h) 3z4, 6z2 – 8z, 12z2 – 9z3

i) n2 – 8n + 15, n2 – 10n + 25, n2 – 9

j) x2 + 2xy + y2, x2 – y2, x2 – 2xy + y2

k) 2x3, 8xy, 16xy3, 12x2y2, 20x2y5

l) 2x2y2, 4x2y2, 8xy2z2, 16xy3z3

m) xy2 – x, xy + x, x2y2 + x2y + x2

n) x2 + 2x +1, x2 – 1, x2 + 3x +2


8. Tres buses viajan periódicamente desde la ciudad A hasta la ciudad B. El primer bus viaja cada 2a2x2 días, el segundo, cada 4ax2 días y el tercero, cada 2a3x días.

a) ¿Qué expresión algebraica representa el día en que viajan los tres buses simultáneamente?

b) ¿Cada cuántos días viajan juntos los 3 buses si a = 1 y x = 2?

9. Jimena tiene dos bidones de aceite que contienen, respectivamente, (12x2 + 12xy + 3y2) y (24x +12y) litros, y necesita vaciar completamente el contenido de estos bidones en algunas botellas que debe conseguir.

a) ¿Cuál es la máxima capacidad que pueden tener las botellas de Jimena si con cada bidón se pue-de llenar un número entero de ellas?

b) En el caso anterior, ¿cuántas botellas necesitará?

c) Si se agrega un tercer bidón que contiene 4x2 – y2 litros de aceite, ¿cuál debería ser la capacidad de las botellas? ¿Cuántas botellas necesitará?

10. Un urbanista recomienda ubicar, a lo largo de la avenida principal, un farol cada (5a2 + 5abc) metros y un basurero cada (a2 + 2abc + b2c2) metros. Si el primer poste de luz y basurero se ubican al inicio de la avenida, ¿a qué distancia se volverán a instalar juntos?

11. Conexiones. Existen eventos astronómicos, como el paso de cometas o meteoritos, alineación de planetas o eclipses cuyas ocurrencias coinciden en ocasiones.

a) Averigua respecto a ellos y su frecuencia.

b) ¿De qué manera el cálculo del mcm o mcd pueden ayudar a predecir nuevamente dichos acontecimientos?

12. Desafío: Euclides se dedicó, además de la geometría, al estudio de la Teoría de números. A él le debemos un método para calcular el mcd entre dos números naturales, conocido como Algoritmo de Euclides.

El algoritmo de Euclides se basa en que, dados dos números a y b, si a > b podemos calcular la división con resto a : b, de modo que

a = qb + r

Donde q es el cociente y r el resto.

Euclides observó que, si b es divisor de a, entonces mcd(a, b) = b

Si b no es divisor de a, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r)

a) Demuestra las observaciones de Euclides.

b) Investiga respecto a la aplicación del algoritmo, y utilízalo para calcular el mcd entre 2014 y el año de tu nacimiento.

13. Desafío: discute con tus compañeros las siguientes preguntas.

a) ¿Por qué no tiene sentido hablar de mínimo común divisor y máximo común múltiplo?

b) El mcd se define para números naturales. ¿Cuál debería ser el mcd entre 0 y un número natural?

c) ¿Cuál debería ser el mínimo común múltiplo entre 0 y un número natural?

d) ¿Por qué, en rigor, no podemos calcular el mcm en los números enteros?


Lecc

ión Amplificación y simplificación

de fracciones algebraicas

Propósito: ampli car y simpli car fracciones algebraicas.

§ Dos fracciones ab

y cd

son

equivalentes si tienen el mismo valor. Además se cumple que a • d = c • b.

§ Una fracción es irreduc-tible si sus términos no tienen factores comunes, y, por lo tanto, su mcd es igual a 1. Dada una fracción cualquiera pode-mos obtener su fracción irreductible equivalente si simplificamos su nume-rador y su denominador por el mcd entre ellos.

Debes saber…

En cursos anteriores has visto que una fracción se puede representar de diversas maneras. Por ejemplo, se tiene la siguiente relación

= = = = = = = =34

68

912

1216

1520

1824

2128

2430

...

Decimos que la fracción 1216

es el resultado de amplificar por 2 la fracción 68

,

ya que 6 •28 •2

1216

=

. A la inversa, 68

es el resultado de simplificar por 3 la fracción 1824

ya que 1824

6 • 38 • 3

68

= = .

La fracción 34

es irreductible, ya que no es posible simplificarla. Observa que:

( )→ = → = =1824

mcd 18,24 61824

3 • 64 • 6

34

Utilizaremos estas ideas para la amplificación y simplificación de fracciones algebraicas para los casos más comunes a los que nos enfrentaremos.

Amplificación Caso 1 Amplificar por una expresión cualquiera.

Para amplificar una fracción algebraica, simplemente multiplicamos su numerador y su denominador por la expresión dada. Por ejemplo, para amplificar la fracción

3b5b+ x

por 5b – x:

3b • 5b – x5b+ x • 5b – x

3b 5b – x5b+ x 5b – x

15b – 3bx25b – x

2

2 2

( ) ( )( )( )

( )( )=

=

Caso 2 Amplificar a un numerador o denominador específico En ocasiones interesa amplificar una fracción para que uno de sus términos tenga

un valor específico (en general, el denominador). Por ejemplo, para amplificar la fracción x+5

x – 3 al denominador x2 + 4x – 21:

• Se factoriza el denominador al que se quiere llegar

x2 + 4x – 21 = (x – 3)(x + 7)

• Se compara este denominador con el de la fracción original. Podemos observar que x2 + 4x – 21 se obtiene multiplicando por (x + 7) el denomi-nador de la fracción x+5

x – 3.

• Se amplifica entonces por (x + 7):

x +5 • x +7x 3 • x +7

x +5 x +7x 3 x +7

x +12x +35x + 4x – 21

2

2

( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )−

=−

=


En este caso, a + b = 4

a • b = –21Se deduce que a = –3 y b = 7

Observa que…Al amplificar se ha añadido una nueva restricción a la fracción, ya que 5b – x no debe ser igual a cero.

25


41 2 3Propósito: ampli car y simpli car fracciones algebraicas.

Observa que…Para poder simplificar por x – 1, se debe añadir la restricción de que sea distinto de 0. Por lo tanto, x ≠ –1.

Observa que…La fracción se simplificó finalmente por a(x + 1), que es el mcd entre los términos de la fracción.

Simplificación Caso 1 Simplificar por una expresión

Para simplificar una fracción algebraica por una expresión cualquiera es preciso factorizar sus términos para luego efectuar una división. Por ejemplo,

se simplificará la fracción ax +2ax +aa x + a

2

2 2

• Primero se factorizan sus términos.

ax +2ax +aa x +a

a x +2x +1

a x +1

a x +1a x +1

2

2 2

2

2

2

2

( )( )

( )( )

=

=

• Podemos simplificar por cualquiera de los factores comunes que se encuentren a la vez en el numerador y en el denominador. En este caso, simplificaremos por (x + 1)

ax +2ax +aa x +a

a x +1a x +1

a x +1 x +1

a x +1

a x +1a

2

2 2

2

2 2

2

( )( )

( ) ( )( )

( )

= =

=

con x ≠ –1Caso 2 Simplificar hasta la fracción irreductible.

Observa que en el Caso 1 no se simplificó por todos los factores comunes. Podemos seguir simplificando por a (con a ≠ 0):

ax +2ax + aa x + a

a x +1a

a x + 1a • a

x + 1a

2

2 2 2

( ) ( )= =

=

con x ≠ –1, a ≠ 0 Al simplificar por todos los factores comunes se obtiene la fracción irreduc-

tible equivalente a la original.

Caso 3 Simplificación y signos

Considera la fracción ( )( )( )( )1– a x – ya–1 x – 2

. Se realizarán algunas manipulaciones

algebraicas para simplificarla.

• Se observa que (1 – a) = –(a – 1). Por lo tanto, se puede multiplicar por –1 ambos factores del denominador para obtener en él el término (1 – a), sin alterar el valor de la fracción.

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

= =1– a x – ya–1 x – 2

1– a x – y–1 a–1 –1 x – 2

1– a x – y1– a 2 – x

• Ahora sí es posible simplificar la fracción por 1 – a.

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

= =1– a x – ya–1 x –2

1– a x – y

1– a 2– x

x – y2– x



En resumenSi ac

bc es una fracción

algebraica y d es una expresión algebraica, se tiene que:

§ acdbcd

es una

amplificación de acbc

por d.

§ ab

es una una

simplificación de acbc

por c.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Determina la fracción irreductible equivalente a las siguientes fracciones.

a) 612

b) 824

c) 1520

d) 3020

e) 1734

f) 5664

2. Determina en cada caso tres fracciones equivalentes a la fracción dada.

a) 34

b) 4921

c) 1520

d) 1040

3. Calcula el valor de x en las siguientes fracciones equivalentes.

a) 34

=x

16

b) 29

=x

36

c) 5x

=1022

d) –65

=x

45

e) –7x

=6

12

f) 1015

=8x

4. Determina el número por el cual se amplificaron las siguientes fracciones.

a) 25

para obtener 1025

b) –127

para obtener –3621

c) 175

para obtener 5115

d) 169

para obtener 8045

5. Determina el número por el cual se simplificaron las siguientes fracciones.

a) 1020

para obtener 12

b) –5481

para obtener –23

c) 5649

para obtener 87

d) –2124

para obtener –78

Práctica guiada

6. Aplica el procedimiento visto en la lección para amplificar las siguientes fracciones algebraicas por la expresión dada.

a) xx+1

, por a

b) xyxy – 2

2, por xy-1

c) x+ yx3

, por x2 + y2

d) x+ y

x+1

2

3

( )( )

, por x2

e) m2 –m

3, por m+3

f) 1– y – yy – 3y

2

3 2, por y+5

7. Calcula en cada caso el numerador de la fracción. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: xx +1 2x +2x2=

Paso 1 La expresión x+1 se ha multiplicado por el factor 2x, pues

(x + 1) • 2x = 2x2 + 2x

Paso 2 Por lo tanto, se multiplica el numerador x por el factor 2x.

x • 2x=2x2

Por lo tanto, xx +1

2x2x +2x

2

2=

a) =x2 2x – 6

b) 3x +3x3x +9x x +3x

3 2

3 2 2=

c) x – 3x+2x – 4 x+2

2

2 =

d) =x

2x – 22x – 2x2 3 2

e) 2x +53x 9x

2

3=



41 2 3

§ ¿Cuál es la diferencia entre la simplificación de fracciones numéricas y algebraicas?

Reflexiona

8. Determina la fracción equivalente irreductible que se obtiene al simplificar cada fracción algebraica. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: 4x y+8x2x y + 4x

3 3

2 2 2

Paso 1 Se factorizan los términos de la fracción.

=4x y +8x

2x y + 4x y4x (y+2)

2x y(y+2)

3 3

2 2 2

3

2

Paso 2 Se descompone en factores comunes el numerador y el denominador y luego se simplifican.

2 • 2 • x • x • (y+2)

2 • x • y • (y+2)

2xy

2

2=

a) 4x z2xz

2

3

b) 20xyz60x y z

2

2 4

c) 90x y18x z

2 5

4

d) x – xx

2

e) xy10x y z3 3

f) xyxy + y2

g) 4x y – 4xy8xy

3

2

h) x – xxy – y

2

i) x –16x+ 4

2

j) 3x +6x+3x+1

2

k) ax – ay +bx –byx – y2 2

l) x – 6x –164x –16

2

2

m) 2x +5x –124x – 4x – 3

2

2

n) x – xx – 2x + 1

3

2

ñ) x –16y

x + 4y x – 2y

4 4

2 2( )( )

9. Determina la fracción equivalente irreductible que se obtiene al simplificar cada fracción algebraica. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: a –bb – a

2 2

2 2

Paso 1 Se factoriza el numerador y el denominador.

( )( )( )( )=

a –bb – a

a–b a +bb – a b +a

2 2

2 2

Paso 2 Se observa que (a – b ) = –(b – a), por lo tanto, la fracción factorizada se puede escribir como:

a–b a+bb – a b+a

– b – a a+bb – a b+a

( )( )( )( )

( )( )( )( )

=

Paso 3 Se simplifican los factores comunes entre el numerador y denominador.

– b – a a+b

b – a b+a–1

( ) ( )( ) ( )

=

Por lo tanto la fracción a –bb – a

2 2

2 2 es equivalente a –1.

a) a–bb – a2 2

b) a –bb – ab

2 2

2

c) 2a– 4b2b – a

d) 9 –12y + 4y2y – 3

2

e) x – 2x+11– x

2

2

f) x – 2xy + yy – x

2 2

2 2

Aplica


a) Al simplificar hasta obtener una fracción algebrai-ca irreductible, Patricio obtiene la fracción 2x – y

y – 2x.

¿Está correcto el resultado de Patricio? Justifica.

b) Marta afirma que la fracción –xy3x+ y

es equivalen-

te a la fracción xy–3x+ y

. ¿Es correcta la afirmación

de Marta? Explica.

c) ¿Es correcto afirmar que para simplificar la fracción x – y

(y – x)(y – x), basta solamente con multiplicar el

numerador por –1? Justifica tu respuesta.

11. Juzga si las siguientes equivalencias son correctas. En caso que no lo sean, encuentra una fracción que sea equivalente a la primera de ellas.

a) =1

2xy5x y z10x yz3

3 4

2

b) x +10x+25x – 25

x – 5x+5

2

2 =

c) x – 2x+2

1=

d) =4x – 4y

4y4x


Lecc

ión Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Propósito: multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

§ Para multiplicar fraccio-nes numéricas se mul-tiplican los numeradores entre sí y los denominado-res entre sí. Por ejemplo,

65

•37

6 • 35 • 7

1835

= =

§ Para dividir fracciones numéricas se multiplica la fracción dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor. Por ejemplo,

65

:37

65

•73

4215

145

= = =

Debes saber…

Multiplicación de fracciones algebraicasPara multiplicar fracciones algebraicas

utilizaremos el mismo procedimiento que para las fracciones numéricas, es decir, mul-tiplicar sus numeradores y sus denomina-dores entre sí. Por ejemplo, para calcular la multiplicación

6a +3abx + x – 20

•x –162a+b

2

2

2

utilizaremos los siguientes pasos:

Paso 1 Se factorizan los términos de ambas expresiones y se determinan sus restricciones.

6a +3abx + x – 20

3a 2a+bx +5 x – 4

2

2

( )( )( )=

( )( )=

x –162a + b

x – 4 x + 42a +b

2

x ≠ –5, x ≠ 4 2a ≠ –b

Paso 2 Se multiplican ambas fracciones factorizadas, sin desarrollar los paréntesis.

6a +3abx + x – 20

•x –162a+b

3a 2a +bx +5 x – 4

•x – 4 x + 4

2a+b

3a 2a+b x – 4 x + 4x +5 x – 4 2a+b

2

2

2 ( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )( )( )

=

=

Paso 3 Se simplifica la fracción obtenida.

3a 2a+b x – 4 x + 4

x +5 x – 4 2a+b

3a x + 4x +5

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )=

Por lo tanto, 6a +3abx + x – 20

•x –162a+b

3a x+ 4x+5

2

2

2 ( )=

En general, no es necesario desarrollar estas multiplicaciones.

Paso 4 Al realizar la multiplicación hemos simplificado por (x – 4) y (2a + b), lo que parece haber eliminado las restricciones x ≠ 4 y 2a ≠ –b. Por lo tanto, es necesario agregarlas al expresar el resultado final. Así:

6a +3abx + x – 20

•x –162a+b

3a x + 4x +5

2

2

2 ( )=

Con x ≠ –5, x ≠ 4 y 2a ≠ –b

1

0 12

35

1

El área del rectángulo de lados

=

12

y35

es3

10, es

decir,12

•35

310

26


41 2 3Propósito: multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

División de expresiones algebraicasPara dividir fracciones algebraicas utilizaremos el mismo procedimiento que para las

fracciones numéricas, es decir, multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Por ejemplo, para calcular la división

x – 2x + 1a + 5a– 6

:x –1

3ab – 3b

2

2

utilizaremos los siguientes pasos:

Paso 1 Se factorizan las expresiones y se determinan sus restricciones. Ya que en una división el divisor no puede ser igual a cero, se debe agregar también la restricción de que el numerador de esta fracción no sea igual a cero.

x – 2x + 1a + 5a– 6

x –1a + 6 a –1

2

2

2( )( )( )=

x –13ab – 3b

x –13b a –1( )

=

a ≠ –1, a ≠ –6 b ≠ 0, a ≠ 1, x ≠ 1

Paso 2 Se expresa la división como multiplicación, y se calcula como se estudió ante-riormente

x – 2x + 1a + 5a – 6

:x – 1

3ab – 3bx –1

a+6 a – 1:

x –13b a – 1

x –1a – 6 a + 1

•3b a – 1

x –1

x –1 3b a – 1a + 6 a – 1 x – 1

2

2

2

2

2

( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( )( )( )( )

=

=

=

Paso 3 Se descomponen los factores comunes, se simplifica la expresión y finalmente se indican las restricciones definidas.

x – 2x + 1a + 5a – 6

:x –1

3ab – 3bx – 1 3b a – 1

a + 6 a – 1 x – 1

x – 1 x –1 3b a–1

a + 6 a–1 x –1

x –1 3ba + 6

2

2

2( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

= =

=

Entonces:x – 2x + 1a + 5a– 6

:x –1

3ab – 3b3b x –1

a + 6

2

2

( )( )

=

Con a ≠ –1, a ≠ 1, a ≠ –6, b ≠ 0, y x ≠ 1.

Razonay comenta§ ¿Qué dificultades

observas en la multi-plicación y división de fracciones algebrai-cas? Discute con tus compañeros.

En resumen§ Sean las fracciones algebraicas a

by

cd

, donde b y d son distinto de cero, se define el producto como:

ab

•cd

=a • cb • d

§ Sean las fracciones algebraicas ab

ycd

, donde b, d y c son distinto de cero, se define el cociente como:

ab

:cd

=ab

•dc

=a • db • c

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Calcula las siguientes operaciones.

a) 12

•23

b) 25

•37

c) 38

•249

d) 0,5•–37

e) 1217

•5148

f) 34

•25

•14

g) 37

•78

•49

h) –0, 4 •3

24•

54

i) –412

•75

• –345

j) 5 : 215


a) Ramón necesita varios pedazos de tubo de

218

m de largo y 34

m de diámetro. Cuando fue a

la ferretería, compró un tubo de 12 m de largo. ¿Crees que puede obtener los pedazos que nece-sita del tubo que compró? Explica.

b) Carlos preparó 8 tazas de mezcla para bizcocho. Con ella va a preparar varios bizcochos pequeños,

de 23

de taza de mezcla cada uno. ¿Cuántos bizco-

chos puede preparar? ¿Le sobrará mezcla? Explica.

Práctica guiada

3. Calcula las siguientes multiplicaciones. Guíate por los pasos estudiados en la lección.

a) 4x3

•16x

b) 2a5b

•15ba2 2

c) 12x10x y

•15x9x

2

2

d) 2x9xy

•–6xy z

4x

2 2

2

e) x – 53x

•2x

x – 252 2

f) x – yxy

•x

x+ y

2 2

g) x +2x – 80x –100

•x – 9x –10x – 4x – 32

2

2

2

2

h) 5xx – 2xy + y

•3x – 3y

22 2

4. Calcula las siguientes divisiones. Guíate por los pasos estudiados en la lección.

a) xx+1

:x

(x+1)

2

2

b) 4xyx – y

:2x

x+ y2 2

c) x + yy

:x – y

y

2 2

d) x – 4xx +1

:x –162x +2

2

2

2

2

e) 16 – x4x+8

: (32 – 8x )4

2

f) 2(x –1)3x

:x – 2x+1

3x

2 2

2

g) x +6x+9x +3x

:x – 9

x

2

2

2

2

h) x –1x – 2x+1

:x +2x+1

x –1

2

2

2

Aplica


a) x yx – xy

•x+ yx y

•x – xyx + y

2 3

3 4 3

2

2 2

b) x + xyxy – y

•y

x – y•

x – 2xy + yy

2

2

2

3 3

2 2

c)

3x yx+2y

•4y(x+2y)3x(2x – y)

:8xy (x+2y)

(2x – y)

2 2 2

2

d)

x+2x – 2

• (x – 4) :x+2

x2

e) ( )

x+ y :x +2xy + y

x – y: (x – y)

2 2

2 2


a) Si los lados de un rectángulo miden

h+22h+6

cm y 2

h – 42

cm, ¿cuál es su área?

b) ¿Cuáles son la dimensiones de un cubo si su volumen máximo está dado por la expresión (a3 + 9a2 + 27a + 27) cm3?

c) ¿Qué expresión algebraica al ser dividida por x – 2x+2

resulta (x2 – 4)?

d) Si la altura y la base de un triángulo miden

2x – 4x –1

cm y x –1

x – 2

2

cm respectivamente,

¿cuál es su área?



41 2 3

7. Simplifica las siguientes fracciones. Guíate por el ejemplo que se muestra

Ejemplo:

aa + b

aa –b

2

2 2

Paso 1 Se escribe la fracción como división.a

a+ba

a –b

aa+b

:a

a –b2

2 2

2

2 2=

Paso 2 Se escribe la división como multiplicación.

aa + b

•a –b

a

2 2

2

Paso 3 Se factorizan y simplifican los numerado-res y denominadores.

aa + b

•a –b

a=

aa + b

•(a–b) (a + b)

a=

a–ba

2 2

2 2

a)

x y zx y zx y zx y z

5 8 7

4 6 10

6 8 9

3 2 5

b)

x + 5x + 3x + 1x – 5

c)

(x + 2)(x – 2)(x + 1)

(x – 4)x + 1

2

2

d)

x + 4x – 5x – 2x + 1

x + 5xx –1

2

2

2

2

e)

x + x2x + 5x –12

x + x2x –7x + 6

2

2

2

2

f)

x – x – 20x –7x + 12

6x – 31x + 53x +10x + 3

2

2

2

2

8. Determina los datos que se piden en cada caso.

a) El lado que falta y el perímetro del siguiente rectángulo.

A = 15x2

19xy3

20x38x3y

b) El lado que falta y el perímetro del rectángulo, si se conoce el área del triángulo que se forma con la diagonal.

A = 10x3

y

3x


a) Andrés debe cercar un terreno de forma cuadra-

da que no supere un área de 100xy

2

2 m2. ¿Cuál es

la longitud máxima de la cerca?

b) Paula debe llenar botellas de 4x + 2 litros, con agua de un contenedor que tiene (2x + y)3 litros. ¿Cuántas botellas necesitará?

10. Desafío. Dos scouts utilizan dos barcos de juguete para calcular el área de un sector rectangular en una laguna. Los barcos viajan con las direcciones que se muestran en la figura.

Barco 2

Barco 1

El barco 1 recorre (a +1) metros en t2 segundos, y

el barco 2 recorre a –ba

2 2 metros en 2t segundos.

¿Cuál es la expresión que representa la distancia a la

que se encuentran los barcos luego de t segundos?

11. Conexiones: La ley de Boyle y Gay - Lussac permiten calcular la presión dentro de un objeto hueco si la temperatura externa varía, mediante la igualdad =

PT

PT

1

1

2

2

donde P1 es la presión en atm.

dentro del objeto a temperatura T1 y P2 es la presión dentro del objeto a temperatura T2 en grados Kelvin (ºK).

Se tiene una botella vacía, con presión de 1 atm y una temperatura de 296, 4 ºK. ¿Cuál es la presión en la botella si se aumenta la temperatura en 100, 4 ºK?

§ ¿Por qué para dividir por una fracción se "da vuelta"? Investiga.

Reflexiona


Lecc

ión Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Propósito: multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

§ Para sumar o restar frac-ciones con igual deno-minador, se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.Ejemplo:

59

39

5 39

89

+ =+=

§ Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, se busca el denominador común a todas ellas y luego se bus-ca la fracción equivalente a la original con el nuevo denominador. Finalmente se suman o se restan los numeradores.Ejemplo:

23

–29=

mcm (3, 9) = 9

Amplificamos las fraccio-nes al denominador 9

2 • 33 • 3

–29

69

–29

=

Restamos los numera-dores y se conserva el denominador

69

–29

49=

Debes saber…

Adición de fracciones algebraicasNuevamente, utilizaremos las ideas que ya conoces de la adición de fracciones numéri-

cas para extenderlas a las fracciones algebraicas. Así, por ejemplo, para calcular la adición:

2p + 1p +5p + 4

+p –1

rp +2pr + r2

2

2

seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1 Se factorizan las fracciones, se indican sus restricciones y se simplifican si corresponde.

( )( )=

2p + 1p +5p + 4

2p + 1p + 4 p + 12

p – 1rp + 2pr + r

=p + 1 p – 1

r p + 1

: p +1

: p +1=

p – 1r p + 1

2

2 2

( )( )( )

( )( ) ( )

p ≠ -4, p ≠ -1 p ≠ -1, r ≠ 0

Paso 2 Se calcula el mcm entre los denominadores de ambas fracciones.

( )( )( ) ( ) ( )( )=mcm p+ 4 p+1 ,r p+1 r p+ 4 p+1

Paso 3 Se amplifican las fracciones para que tengan como denominador el mcmr(p + 4)(p + 1).

2p + 1p +5p + 4

2p + 1p + 4 p + 1

r 2p + 1r p + 4 p + 12 ( )( )( )

( )( )= =

( )( )( )( )( )

= =p –1

rp +2pr + rp –1

r p + 1p –1 p+ 4

r p + 1 p + 4

2

2

Paso 4 Ahora tenemos fracciones con igual denominador, por lo que las sumamos de la misma forma que las fracciones numéricas. Si corresponde, el resultado se simplifica y se indican las restricciones.

( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )

=

=

=

2p + 1p + 5p + 4

+p –1

rp + 2pr + rr 2p + 1

r p + 4 p + 1+

p –1 p + 4r p + 1 p + 4

2pr + r + p + 3p – 4

r p + 4 p + 1

p +2pr + 3p + r – 4r p + 4 p + 1

2

2

2

2

2

Sustracción de fracciones algebraicasPara la sustracción utilizamos esencialmente los mismos pasos anteriores, salvo que se

debe poner atención al cambiar los signos. Así por ejemplo, para calcular la sustracción entre las fracciones anteriores:

2p – 8p +5p + 4

–p –1p + 1

2

2

27


41 2 3Propósito: multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

Razonay comenta§ ¿Qué otro método

puedes utilizar para sumar o restar dos fracciones algebraicas con distinto denominador?

Se siguen los pasos 1, 3 y 4, para restar fracciones algebraicas.

2p – 8p + 4 p + 1

–p –1p + 1

2p – 8p + 4 p + 1

–p –1 p + 4p + 1 p + 4

2p – 8 – p + 3p – 4

p + 4 p + 1

2p – 8 –p – 3p+ 4p + 4 p + 1

p – 3p – 4p + 4 p + 1

p – 4 p + 1

p + 4 p + 1p – 4p + 4

2 2

2 2

2 2

2

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

=

=

=

= = =

Con p ≠ –4, y p ≠ –1.

Expresiones mixtasEn ocasiones tendremos que sumar o restar fracciones algebraicas con expresiones

que no lo son. Por ejemplo:

3a + 5b –2a–ba + 4b

A esto le llamamos expresiones mixtas, y para reducirlas realizamos un proceso similar al que permite convertir un número mixto a fracción impropia. Por lo tanto, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1 La expresión que no es fracción algebraica se escribe como fracción de deno-minador igual a 1.

=3a + 5b3a + 5b

1Paso 2 Esta fracción se amplifica por el denominador de la fracción algebraica.

3a + 5b1

3a + 5b • a + 4b1• a + 4b

3a + 5b a + 4ba + 4b

( ) ( )( )

( )( )= =

Paso 3 Tenemos ahora dos fracciones algebraicas con igual denominador (y por ende, la restricción de ambas es la misma, a ≠ 4b. Realizamos ahora la operación e indicamos la restricción.

3a + 5b –2a–ba + 4b

3a + 5b a + 4ba + 4b

–2a–ba + 4b

3a + 5b a + 4b – 2a–ba + 4b

3a • a + 3a • 4b + 5b • a + 5b • 4b – 2a + ba + 4b

3a + 12ab + 5ab + 20b – 2a + ba + 4b

3a + 17ab + 20b – 2a + ba + 4b

2 2

2 2

( )( )

( )( ) ( )

=

=

=

=

=

Por lo tanto,

=3a + 5b –2a–ba + 4b

3a + 17ab + 20b – 2a + ba + 4b

2 2

Con a ≠ –4b.

Se cambia el signo de cada término dentro del paréntesis.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Calcula las siguientes adiciones y sustracciones.

a) 12

+12

b) 415

–73

c) 65

–3

10+

12

d) 123

–13

+75

e) 1–4

15–

310

+25

f) 2 –52

– 334

g) –15

– 3 –14

h) 625

– 4+74

+0,5

2. Calcula las siguientes operaciones combinadas.

a)

14

+34

•23

b)

14

– 234

2

c)

14

:18

+2

12

d)

14

:18

+18

e)

35

+1

10:

–1415

f)

2

37

–147

•3

g)

3

14

– 234

:25

–43

h)

106

•1215

+65

•1518

3. Resuelve los siguientes problemas aplicando adición y sustracción de fracciones.

a) El día lunes Patricia leyó 15

de un libro, y el viernes,

13

de lo que le quedaba. ¿Qué parte del libro leyó

durante esos dos días? Si el libro tiene 480 pági-nas, ¿cuántas páginas le faltan por leer, aproxima-damente?

b) En una competencia de 100 metros planos, An-drés corrió durante 17

60 minutos, clasificando para

la gran final. Si en la carrera final hizo el mismo trayecto en 14

60 minutos, ¿en cuántos segundos

mejoró su marca?

4. Completa el siguiente cuadrado mágico si la suma de las diagonales, horizontales y verticales debe ser la misma.

95

0,3 6,5

2,1 X9

10

Z Y65

Práctica guiada

5. Calcula las siguientes operaciones con fracciones de igual denominador. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: = =3

2x+

a– 32x

3 +(a– 3)2x

a2x

a) 2a3x

–5a3x

b) 13x

+5

3x–

103x

c) 8x + 3x +3

–7 – 6xx +32 2

d) 2x – 3x + 82x + 6

–5

2x + 6

2

e) 2x +1

–x + 1x +1

+3x

x +12 2 2

f) x – 3x + x + 1

–2x + 4

x + x + 12 2

g) x + 22x + 6

–5

2x + 6

h) x –100xx – y

–2x – 5

x – y

2 2

6. Calcula las siguientes operaciones entre fracciones de distinto denominador. Realiza el procedimiento visto en la lección.

a) 3x + 7

–5x

b) 64x

–3x

+5

3x

c) 7xy

–x

15y+

x + 525y2

d) 2x3y

–5x6y

+c

9y

2

2

e) 3x + 23x + 6

–x + 2

x – 3x2

f) −x

x –1+

3x –1

x +3x –12

3

3

g) ( )

−2x –7x + 4

x + 2

x – 2x + 2

2

2

h) −6

x + 34

x +3x+

6x – 92 2

i) x –1x – 2

–x + 1x + 2

+x – 6

x – 42

j) 2xx + 3

+3x

x – 3+

x – 69 – x2



41 2 3

7. Reduce las siguientes expresiones mixtas. Realiza el procedimiento visto en la lección.

a) 5 +1x

b) 3–x

2 – x

c) x + 1–2x – 2

3x

d) x + 5x – 5

– x – 5

e) ( )6x – 5 –36x

2x2

2

f) x +2x + 1x –1

– x –12

Aplica

8. Determina en cada caso el valor de A.

a) 1

x+ A

xx y2 2=

b) 1 + x

x y+ A

x + 1x y

2

2

2

2 2=

c) =3

x + 1– A

–6x –12


a) 2x

+4

7x4x

+2

5x

b)

x + 3x + 2x + 2

(x + 2) : (x + 1)

2

c) 5

x – 3+ 2

x –1

2x + 1

d)

x + 2yy

+yx

x +xy + yx + y

2

2

e) 6 –

1x

–2x

3 +1x

–2x

2

2

f) a–

22x – 3

2a–1–8

2x – 3

g) 1–1

1–1

1–1

x –1

h)

a +1

a–1a

a–1

a +1a

10. Utiliza las expresiones A y B para calcular lo que se pide.

=A 1+

a –bb

2 2

2 =B a–

a –ba

2

a) A + B

b) A – B

c) A + A

d) B – A

e) 2 + AB

f) 2B + AB

11. Utiliza las expresiones A, B y C para calcular lo que se pide.

=A 1+a –b

b

2 2

2 =B a–

a –ba

2

C

2b=

a) A + B + C

b) A – B + C

c) A – B – C

d) 2A – B – C

e) BA

+ 1

f) B1

A + C

12. Conexiones: para los egipcios, las fracciones no eran números sino “repartos por realizar”. Por ello, para ellos solo tenían sentido las fracciones de numerador 1 y toda fracción distinta se debía expresar como una suma de fracciones de denominador 1.

a) Investiga respecto de los procedimientos que seguían los egipcios para expresar sus fracciones.

b) Realiza la descomposición “a la egipcia” para la fracción 4

7.

13. Desafío. Simplifica la siguiente expresión.

a)

3xx – y

–2x

x + y

4yx – 2xy+ y

–3x

x + 2xy+ y2 2 2

2

§ ¿En qué situaciones podrías utilizar la adición y sustracción de fracciones algebraicas?§ Joaquín dice que la línea de fracción debe considerarse como un paréntesis a la hora de sumar y restar

fracciones algebraicas. ¿Estás de acuerdo con Joaquín? Justifica.

Reflexiona


Lecc

ión Resolución de problemas que involucran

ecuaciones fraccionarias

Propósito: Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.

§ Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en la cual aparecen algunas incógnitas.

§ Si a = b, se tiene que:• a + c = b + c• a– c = b – c • ac = bc

• =ac

bc

, con c ≠0.

Debes saber…

28

Si una máquina A demora 4 horas en mezclar una determinada cantidad de litros de líquido y una máquina B demora 3 horas en hacer el mismo trabajo, ¿cuántas horas tardarán en mezclar esa misma cantidad de líquido si ambas máquinas operan juntas?

Para resolver este problema aplicaremos lo que hemos visto en la unidad, mediante los siguientes pasos:

Paso 1 Definimos una incógnita y en base a ella representamos las otras cantidades. Así:

La máquina A: demora 4 horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora hace 1

4+

13

1x

= de la mezcla.

La máquina B: demora 3 horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora hace 14

+13

1x

= de la mezcla.

Juntas: demoran x horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora hacen 14

+13

1x

= de la mezcla.

Paso 2 Planteamos la ecuación que resuelve el problema,

14

+13

1x

=

Tenemos así una ecuación fraccionaria, es decir, una ecuación cuya incóg-nita está presente en el denominador de una fracción algebraica. Podemos observar que las restricciones de las fracciones son x ≠ 0.

Paso 3 Se calcula el mcm. de los denominadores de las fracciones y se multiplican ambos lados de la ecuación por él, para obtener una ecuación sin fracciones algebraicas.

mcm(4, 3, x) = 12x

Por lo tanto, se multiplica a ambos lados de la igualdad por 12x.

14

+13

=1x

/ 12x

14

12x +13

12x =1x

12x

124

x +13

12 x =1x

12 x

3x + 4x = 12

7x = 12 / : 7

x =127

•

• • •

• • •

se reducen términos semejantes

se divide por 7

se simplifican los factores12 : 4 = 312 : 3 = 4x : x = 1


41 2 3Propósito: Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.

Paso 4 Podemos finalmente calcular la cantidad de horas que demorarán ambas máquinas en hacer la mezcla.

127

• 60 102, 85= de 1 hora → 127

• 60 102, 85= de 60 minutos → 127

• 60 102, 85=

Por lo tanto, se demorarán 102,85 minutos que es equivalente a 1 hora y43 minutos aproximadamente.

Razonay comenta§ ¿Por qué es importan-

te restringir la solución en una ecuación frac-cionaria? ¿Por qué no realiza lo mismo en las ecuaciones lineales de primer grado? ¿Cuál es la diferencia?

En resumenSe llama ecuación fraccionaria a aquella cuya incógnita está presente en el denominador de una fracción algebraica.

Para resolver una ecuación fraccionaria, se multiplican ambos lados de ella por el mcm de los denominadores de las fracciones en las que esté presente la incógnita, y se obtiene así una ecuación no fraccionaria que se resuelve.

Se debe comprobar que la solución obtenida sea pertinente al problema (si corresponde), y que no corresponda a alguna restricción de las fracciones.


Repaso

1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

a) 3x = 24

b) 7 + x = 12

c) 3 – x = 3

d) x – 3 = 11

e) 3x – 15 = 3

f) –2x – 1 = 8

g) 6 + 4x = 2x + 2

h) x + 2 = 3x – 4

i) 4x – 1 = 5x – 3

j) 4x + 1 = 7x – 9

k) 2(x – 4) – (6 – x )= 3 x – 4

l) 2(x – 4 ) – (6 + x )= 3x – 1

m) 3(x + 2) – 2(2x – 1) = 6x +1

n) =x – 3

4–

x – 56

x – 29

ñ) =1+x +3

4x +1

2+

x + 45

o) 8x – 15x – 30x – 51x = 3x – 31x – 100

p) (x + 3)2 – (x – 1)2 = x

q) 4(2x – 3) = 5 + 4(x – 2)

r) 9x – (5x + 1) – (2 + 8x – 7x +5) = –9

2. Verifica si el valor dado es solución para la ecuación planteada.

a) ++

−= −

5(z 3)4

4(1 z)16

z4

5z20

z = 4

b) −+−

−=

(6x 4)6

5(3 x)25

0 =x 1,583

c) +−

+=

9(3y 9)6

15(0,5 y)25

0, 42

=y 112

3. Identifica, entre las siguientes situaciones, las que se pueden representar mediante la ecuación 2x + 1 = 3(x + 1).

a) El sucesor del doble de un número es igual al triple del sucesor del número.

b) Se multiplica un número por dos y se le suma 1, para obtener el triple de dicho número, aumen-tado en uno?

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


c) Dos veces un número es igual a tres veces el mismo número aumentado en uno. ¿Cuál es ese número?

d) Al agregar 1 al doble de un número, se obtiene el triple del sucesor del número. ¿De qué número se trata?

4. Analiza cada problema y escribe la variable que utilizarías para resolverlo. Luego, plantea una ecuación que modele el problema.

a) Un celular tiene un precio de $ 59 998. Si se tie-

nen ahorrados 59

de su costo, ¿cuál es el monto

que falta por ahorra?

b) Un atleta correrá un trayecto de 25 kilómetros. Si ha recorrido 7 hectómetros, ¿cuál es la diferencia que le falta por recorrer?(1 hectómetro = 0,1 kilómetro)

c) Un notebook tiene un precio al contado de $ 757 890. Si se cancela en 3 cuotas precio conta-do, ¿cuál es el monto que se pagará en 2 cuotas?

d) Si en un terreno rectangular uno de sus lados mide el doble del otro y su perímetro es 44 m, ¿cuál es el área del terreno?


a) Un número excede a otro en 10 unidades. Si ambos números suman 90, determina el número mayor.

b) ¿Qué número es mayor que 45 en la misma can-tidad en que es excedido por 135?

c) La edad de Pablo es tal que si al doble de su edad le quitaran 27 años resultaría lo que le falta para cum-plir 90 años. ¿Cuál será su edad dentro de 13 años?

d) Dos ciudades, A y B están a una distancia de 600 km. Desde A parte un vehículo hacia B con una rapidez de 80 km/h, y otro parte desde B hacia A con una rapidez de 84 km/h. ¿A qué distancia se encontrarán los dos autos?

6. Determina el valor de x, considerando la información de cada una de las siguientes figuras.

a) Pentágono regular de perímetro 1080 cm.

3x

b) Perímetro de triángulo igual a 80 cm.

x + 5

x x

c) Rectángulo de perímetro igual a 102 cm.

8x + 6

4x + 3

7. Una balanza se equilibra en las siguientes situaciones:

• Si en un plato hay una vaca, y en el otro, cuatro cerdos.

• Si en un plato hay dos cerdos, y en el otro, cuatro perros.

• Si en un plato hay un cerdo, un caballo y un perro, y en el otro, una vaca.

a) Si se ubica un caballo en un plato de la balanza, ¿cuántos perros se deben poner en el otro para que se equilibre?

b) En uno de los platos de la balanza hay una vaca y un caballo. ¿Cuántos perros y cuántos cerdos se deben poner en el otro plato para que se equilibre?

Práctica guiada

8. Resuelve las siguientes ecuaciones indicando las restricciones de cada una. Guíate por el procedimiento visto en la lección.

a) =3

5x26

b) =3

2x –110

c) =3

122

15–

1x

d) 1x

3x 2

=−

e) =1

3x+

12

3x

f) =3x

13

+1

2x



41 2 3

g) =1

3x25

–x6

h) xx 3

3x3x 5+

=+

i) =3

2x +16

2x +1

j) =3

x +12

x –1

k) =3

x +1– 4

2x +1

l) =5+2

x +2–1

m) =2

5 + x–1

35 + x

n) 2x

x 3x

x 1−−=−

o) 2x a

a 1x a

2x a2 2−

−−+=

−

p) =x

x – 4x

x +2+

22 – x

2

2

q) =2

3x –1+

6x9x –1

23

2

2

r) 33x – 9

+1

4x+ 4–

112x+12

0=

s) −

=x – 5

x +2x 3–

x – 4x – 9

5x – 4x +32 2 2

t) =x +2

x – 2x –15–

x –7x – 8x +15

+2

x – 902 2 2

u) =5x – 2

x + x –12–

7x + 4

22x – 62

9. Juzga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: 2 es la solución de la ecuación =11x

– 432

.

Paso 1 Se remplaza la incógnita x por 2, y se desarrolla.

=

=

112

– 432

32

32

Paso 2 Ya que se obtiene una igualdad correcta, la proposición es verdadera.

a) 3 es solución de la ecuación =4x

2x

+6.

b) –2 es solución de la ecuación =10

2x +64

6x – 8.

c) –83

es solución de la ecuación =1

x +2+

2x – 4

4x – 22

.

d) –32

es solución de la ecuación =4

x +2–

5x + 4

2x +2

e) x ≠ –2 para la ecuación =4

x – 22

x+2.

f) x ≠ –5 y x ≠ –1 para la ecuación =x

x – 251

x+12.

g) Para expresar la ecuación =2x

1x+2

como una

ecuación lineal , se debe multiplicar por x(x+2).

h) Para que la expresión 62x+5

sea igual a –4, x debe

ser iguala a –5.


Ejemplo: resuelve la ecuación =2+2

1+ xx

3.

Paso 1 Se determinan las restricciones de la ecua-

ción. En la fracción 1+ xx

, se tiene que

x ≠ 0, y en la fracción 21+ x

x

, la fracción

1+ xx

no puede ser cero, por lo tanto x ≠ –1.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Paso 2 Se reducen las fracciones algebraicas involucradas. En este caso se reducirá la

expresión

=

=

=

=

2 +2

1+ xx

2+2

1+ xx

2 + 2 •x

1+ x

2 +2x

1+ x2 +2x +2x

1+ x2 + 4x1+ x

Paso 3 Se remplaza la expresión en la ecuación y se resuelve.

( )

( )

=

=

==

2 + 4x1+ x

3 / • 1+ x

2 + 4x 3 1+ x

2 + 4x 3 +3xx 1

Paso 4 Se comprueba el resultado de la ecua-ción inicial, remplazando en ella el valor x = 1.

= →

→ = → =

2 +2

1+11

3 2 +221

3 2+1 3 3 3

Luego x = 1 es solución de la ecuación.

a) =1+11x

10

b) =2+1

1+2x

–5

c) =3+1

1–2x

–5

d) =1x

+11x

x+10

e) =1x2

+1

x –1x

1x

+x

x –1

f) =101

2x+6

17

2x+3

Aplica

11. Responde las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta en cada caso

a) ¿Existe un número real x, para el cual la expresión 1

3x – 3 tome el mismo valor que la expresión –1

3x – 3?

b) Si p y q son números reales distintos entre sí, ¿exis-te un valor x, distinto de p y de q, para el cual las

expresiones qx –p

yp

x – q tomen el mismo valor?


12. ¿Cuál es el número que sumado con su inverso multiplicativo equivale al mismo número disminuido en dos?

13. Considera el siguiente rectángulo.

x

1x

¿Existe un valor de x, tal que el área de la figura sea igual a 20 cm2? Si existe, determínalo. Si no, explica por qué.

14. Un número sumado con su inverso es igual al mismo número disminuido en una unidad. ¿Cuál es el doble de dicho número?

15. Jaime administra los despachos de productos lácteos en la región de Tarapacá. Debe repartir 720 kg de productos en partes iguales entre cierta cantidad de colegios. En el trayecto se da cuenta de que cuatro de ellos ya habían recibido la mercadería, por lo que Jaime decide repartir los productos en los restantes, recibiendo cada colegio 40 kg de productos. ¿Cuántos colegios eran inicialmente? ¿Cuántos kg de productos habrían recibido?

16. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si el número aumentado en 6 se divide por el doble de la cifra de las decenas, el cociente es 7. ¿Cuál es el número?

17. Una llave puede llenar un estanque en 4 horas; otra lo puede llenar en 16 horas y una tercera llave lo hace en 10 horas. ¿Cuánto demoran en llenar el estanque las tres llaves juntas?

18. La suma de dos números es 45. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el resto es 9. ¿Cuáles son los números?



41 2 3

19. El denominador de una fracción excede en 1 al numerador. Si el denominador aumenta en 6, el valor de la fracción es 1

2. ¿Cuál es el valor de

la fracción?

20. Cristián camina desde una ciudad A hacia una ciudad B, en un trayecto que demora 3 horas. Clara parte desde B hacia A al mismo tiempo en bicicleta, trayecto en el que se suele demorar una hora y cuarto. ¿Luego de cuánto tiempo se encontrarán?

21. Considera el siguiente reloj análogo

a) ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las agujas del reloj formarán un ángulo recto?

b) ¿A qué hora, entre las 7 y las 8, las agujas del reloj formarán un ángulo extendido?

c) ¿A qué hora, entre las 10 y las 11, las agujas del reloj coincidirán?

22. Conexiones: En óptica, existe una relación que permite determinar la distancia de una imagen (q), respecto del vértice (V) del espejo, que se formará por un objeto ubicado a una distancia (p) de este vértice.

Objeto

Imagen

pF f

q

V

El punto F corresponde al foco del espejo, y f se conoce como distancia focal. Para un espejo cón-cavo, como el de la figura, se cumple la siguiente relación entre p, q y f:

=1p

+1q

1f

a) ¿A qué distancia del vértice se formará la imagen de un objeto ubicado a 20 cm del vértice de un espejo cóncavo si este tiene una distancia focal de 15 cm?

b) ¿A qué distancia del vértice de un espejo cónca-vo se ubica un objeto si se sabe que la imagen que se formó se ubicó a 12 cm del vértice y su distancia focal es de 8 cm?

c) ¿Cuál debe ser la distancia focal de un espejo cóncavo para que tanto un objeto como su ima-gen se ubiquen a 10 cm del vértice?

23. Conexiones: El efecto Doppler es un principio que explica por qué, cuando una fuente de sonido de frecuencia constante avanza hacia el observador, el sonido parece más agudo (de mayor frecuencia), mientras que si la fuente se aleja, parece más grave.

La frecuencia percibida f’ se relaciona con la fre-cuencia f emitida por el objeto mediante la fórmula

=

f ' f340

340±vs

La unidad de medida de la frecuencia es el hertzio (Hz).

a) ¿Cuál es la rapidez de la fuente que se acerca a un receptor si este percibe una frecuencia de 500 Hz cuando la fuente emite un sonido de 400 Hz?

b) Una fuente de sonido se está alejando del receptor, quien la percibe con una frecuencia de 1000 Hz. ¿Cuál es la rapidez, si la fuente emite a 1500 Hz?

c) Para determinar la frecuencia percibida f’ por un receptor cuando tanto este como la fuente se acercan uno al otro, se aplica la fórmula

=

f ' f340+ v340 – v

0

s

donde vo es la rapidez del receptor. ¿Cuál es la rapidez de la fuente si la del receptor es de 30 m/s, lo que le permite percibir el sonido emitido por la fuente de 800 Hz como un sonido de 1000 Hz?

§ ¿Qué dificultades encuentras al plantear problemas con fracciones algebraicas? Discute con tus compañeros.

Reflexiona



¿Qué condiciones deben cumplir a y b, para que la siguiente expresión represente un número positivo?

a +ba–b

–1

1–a +bb – a


a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema?Las condiciones que deben cumplir a y b, para que la fracción represente un número positivo.

b. ¿Qué información entrega el enunciado?La fracción, que es una expresión compuesta sin desarrollar.


Desarrollaremos la expresión para simplificarla lo más que se pueda, y luego se analizarán los valores posibles de a y de b.


El numerador y el denominador son expresiones mixtas que pueden expresarse como fracciones.

a+ba–b

–1a+b – a–b

a–ba+b – a+b

a–b2b

a–b

( )=

=

=

Numerador1–

a+bb – a

b – a– a+bb – a

b – a– a–bb – a

–2ab – a2a

a–b

( )=

=

=

=

Denominador

Aplicamos ahora lo aprendido para la división de fracciones

a + ba–b

–1

1–a + bb – a

2ba–b2a

a–b

2ba–b

•a–b

2aba

= = =

Para que una fracción represente un número positivo su numerador y su denominador deben tener ambos igual signo, es decir, ser ambos positivos o ambos negativos. Lo anterior se puede expresar como ab > 0.


Para verificar que la respuesta es correcta, puedes remplazar distintos valores de a y de b en la expresión original, verificando que se obtiene un número positivo si la condición se cumple, y negativo si no.



41 2 3Para no cometer erroresPara no



Reflexiona

Soledad debe calcular la siguiente resta de fracciones algebraicas:

( )( )x – y

2x +1 2x – 3–

y2x +1

Para ello realiza lo siguiente:

( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

= −

= −

=

=

x – y2x +1 2x – 3

–y

2x +1x – y

2x +1 2x – 3y 2x – 3

2x +1 2x – 3

x – y2x +1 2x – 3

2xy – 3y2x +1 2x – 3

x – y – 2xy – 3y2x +1 2x – 3

x – 2xy – 4y2x +1 2x – 3

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Soledad?

§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al restar fracciones algebraicas?

Conviene utilizar paréntesis al realizar la sustracción, para así cambiar los signos correctamente.

x – y2x+1 2x –3

–y 2x –3

2x+1 2x –3

x – y2x+1 2x –3

2xy –3y2x+1 2x –3

x – y – 2xy –3y2x+1 2x –3

x – y – 2xy + 3y2x +1 2x –3

x – 2xy + 2y2x +1 2x –3

( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

−


Sebastián debe realizar la siguiente multiplicación de fracciones:a +2ab+b

x – y•

y – xb – 2ab+a

2 2 2 2

2 2

Para ello, realiza el siguiente procedimiento:

( ) ( )( )( )

=a +2ab+b

x – y•

y – xb – 2ab+a

a+bx – y

•y – x y+ x

b – a

2 2 2 2

2 2

2

2

Para simplificar, cambia los signos de (y – x) y de (b – a). Así:

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

=

=

=

a+bx – y

•y – x y+ x

b – a

a + bx – y

•x – y y+ x

a–b

a+bx – y

•x – y y+ x

a–b

a+b y+ x

a–b

2

2

2

2

2

2

2

2

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Sebastián?

§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al simplificar fracciones algebraicas?

Si Sebastián cambia el signo de (b – a), ya que la expresión está al cuadrado, en realidad cambia dos signos, por lo que la expresión en realidad es la misma. Lo que podría haber hecho es lo siguiente:

a+ bx – y

•y – x y + x

b – a

a+ bx – y

•– y – x y + x

b – a

a+ b

x – y•

– x – y y + x

b – a

a+ b y + x

a–b

2

2

2

2

2

2

2

2

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

=

=

=−



Eval

uaci


Lección 22: Fracción algebraica

1 Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas.

a. 1x – 2

b. x+1x –1

c. x – 35x+2

d. 3+ x6x – 2

2 Utiliza fracciones algebraicas para representar las siguientes cantidades.

a. El dinero que recibe cada persona, si entre 3 se reparten $(pq) en razón a : b : c.

b. El promedio de 3x – 1 notas en Biología de un alumno cuya suma de notas es 25x + 10.

Lección 23: Fracciones algebraicas y fórmulas

3 Determina en cada caso los valores de x para que se cumpla la condición dada.

a. 5+ x3x

, sea positivo.

b. 6x – 2

, sea negativo.

c. 8x7+8x

, sea positivo

4 Calcula el valor numérico de las siguientes expre-siones fraccionarias que se indican.

a. 5x3x – 2

, si x = 3

b. 3(x – 2)4x

, si x = –5

c. x – y

y + x2

2( ) , si x = –4 e y = 6

5 La medida del ángulo exterior de un polígono

regular se calcula con la expresión 360n

o. ¿Cuánto

mide cada ángulo exterior de un polígono regu-lar con 5, 6, 8 10, 12 y 15 lados?

Lección 24: Mcd y mcm de expresiones algebraicas

6 Determina el mcm y el mcd entre las siguientes expresiones.

a. 24x3y5, 16x4y6

b. 12pqr4, 60p3r

c. 5m, 10m2, 15m3

d. 4xy, 6yz, 8xz

e. x2 – 4, x2 + 4x + 4

f. 6a – 6b, 2a2 – 2b2


a. Un auto necesita un cambio de aceite cada 9x4y5 km, un cambio de filtro del aire cada 12x3y6z4 km y de bujías cada 15x6y4 km. ¿A qué cantidad mínima de kilómetros habrá que hacer los tres cambios a la vez?

b. Alicia debe preparar sorpresas para un cumplea-ños. Si tiene 12p5q7r3 globos, 16p6q3r2 dulces y 18p6q4r5 serpentinas y todas las sorpresas deben ser iguales, ¿cuál es el máximo número de sorpre-sas que puede preparar con los tres elementos?

Lección 25: Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas

8 Amplifica las siguientes fracciones algebraicas por la expresión dada.

a. 3x2x –1

, por 4m.

b. x + yx+ y

2 2, por xy2 – 5.

c. 3a– 2b5a+ 4b

, por p2 + q3.

d. x – 5x+8x –7x

2

3, por 3 + x2.

9 Calcula en cada caso el numerador de la fracción para que se cumpla la igualdad.

a. =1

5x 10x +10x2

b. =x – x –12

x –16 x+ 4

2

2

c. =7

x+5 x – 252

d. =2x

8x – 44x – 2x3 3 2

10 Simplifica cada fracción algebraica hasta obte-ner una fracción equivalente irreductible.

a. 9a b c12ac

3 2

3

b. b – 4b – 21b – 8b+7

2

2

c. 3x – 62x – 4

d. 3p – 27p – 3p –18

2

2


a. ¿Es ab – a ba

2 2

3 una fracción irreductible? En caso

de que no lo fuera, ¿por qué expresión debe simplificarse para que lo sea?

b. ¿Son equivalentes las fracciones 2a – 23a +6a+2

2

2 y

2a– 23a+3

? Justifica.


Evaluación41 2 3

Lección 26: Multiplicación y división de fracciones algebraicas

12 Calcula las siguientes multiplicaciones.

a. 3y8x

•4

9y

b. 6a c10b

•–5b3a c

2 3

2 4

c. 16 – y2x+10

•x+54+ y

2

d. x – 5x –14x +2x – 8

•x +6x+8x – 4x – 21

2

2

2

2

13 Calcula las siguientes divisiones.

a. 4a – 4b8ab

:a+bab

2 2b. x +8x+15

2x +10x:

x+32x

2

2


a. Si los lados de un rectángulo miden +−

3m 9m 252

cm

y

m+5m+3

cm, ¿cuál es su área?

b. El volumen de un prisma recto de base rectan-

gular es

23x

cm3 y su base tiene aristas que

miden

7x –17x

cm y

14x49x –12

cm. ¿Cuánto

mide su altura?

Lección 27: Adición y sustracción de fracciones algebraicas

15 Calcula las siguientes operaciones.

a. 3x – 3x+73x+3

–4

3x+3

2b. 3

x – 6x–

2x – 6

+1

x – 362 2

16 Reduce las siguientes expresiones mixtas.

a. 12x+3y

b. 4 –x

5– 2x

c. ( )( )

x+2x – 4

– x – 42

d. x –1–x +5x – 2

x+3

2

17 Reduce las siguientes expresiones.

a.

5x

–4

3x73x

+1x

b.

2a + bb

+ba

a–2ab –b

ab

2

2

Lección 28: Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias

18 Resuelve las siguientes ecuaciones indicando las restricciones de cada una.

a. =7

5x+21

b. =29

56

–1x

c. =5

x – 47

x+3


a. ¿Cuál es el número que sumado con el doble de su reciproco resulta el mismo número aumenta-do en tres?

b. El numerador de una fracción excede en 2 al denominador. Si el denominador disminuye en 6, el valor de la fracción es 3

7. ¿Cuál es la fracción?




Definir una fracción algebraica y sus restricciones. Ítem 1: 2/4Ítem 2: 1/2 164

Analizar una fracción algebraica.Ítem 3: 2/3Ítem 4: 2/3Ítem 5: 1/1

166 y 167

Calcular mcd y mcm de expresiones algebraicas. Ítem 6: 3/6Ítem 7: 1/2 170 y 171

Amplificar y simplificar fracciones algebraicas.Ítem 8: 2/4Ítem 9: 2/4

Ítem 10: 2/4Ítem 11: 1/2

174 y 175

Multiplicar y dividir fracciones algebraicas. Ítem 12: 2/4Ítem 13: 1/2Ítem 14: 1/2

178 y 179

Sumar y restar fracciones algebraicas.Ítem 15: 1/2Ítem 16: 2/4Ítem 17: 1/2

182 y 183

Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias. Ítem 18: 2/3Ítem 19: 1/2 186 y 187

Activ

idad


Sección 2

Función exponencial, logarítmica y raíz

De esto se trata…El estudio de curvas en el plano, e incluso en el espacio fue

de gran atractivo para muchos matemáticos durante siglos, aunque utilizando métodos muy distintos a los que hoy co-nocemos. Ya los griegos se interesaron, por ejemplo, en las curvas que se generan, al cortar un cono mediante un plano, o las que parecen describir los planetas alrededor de la Tierra. Sin embargo, los matemáticos no contaban con un sistema de símbolos adecuado y solo utilizaban las descripciones —en ocasiones, muy complicadas— de las curvas a partir de sus características, sin el uso de fórmulas que conocemos hoy.

Fue René Descartes (conocido como Renatus Cartesius) quien en 1619 presentó por primera vez de manera formal lo que hoy conocemos como geometría analítica, que relacionaba el estudio de curvas con el álgebra (hay quienes postulan que su verdadero creador fue Pierre de Fermat, otro matemático francés contemporáneo a Descartes). Gra-cias a su trabajo, se pudo asociar una curva con una ecuación y viceversa, lo que facilitó el análisis de regularidades y los efectos de modificar valores. Por ejemplo, en lugar de tener que describir una circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto dado, basta con considerar la ecuación

(x – h)² + (y – k)² = r²

donde (h, k) son las coordenadas del centro y r es su radio.

Descartes fue consciente del gran aporte que su obra hacía a la matemática, y no dudó en decir que “esta geometría supera a la ya conocida como la retórica de Cicerón supera al ABC”.


➊ ¿En qué disciplinas se utilizan y analizan curvas para estudiar fenómenos? Den algunos ejemplos e investiguen.

➋ Investiguen quién fue Cicerón para comprender el sentido de la frase de Descartes.

Actividad grupal

Propósito: analizar el comportamiento de las funciones raíz cuadrada, exponencial y logarítmica, a partir de sus gráficos.


A analizar gráficas de funciones y sus variaciones. Lección 29

modelar situaciones mediante funciones y analizar las variaciones que experimenta su gráfica al variar sus parámetros.

A analizar la gráfica de la función raíz cuadrada. Lección 30

A analizar la gráfica de la función exponencial. Lección 31

A analizar la gráfica de la función logarítmica. Lección 32

¿En qué otras asignaturas has utilizado funciones? Explica la forma en que las has utilizado.

hipér

bola

s


Ü FunciónÜ Plano cartesianoÜ Parámetro


Actividad


41 2 3


Caracterizar funciones y calcular valores con ellas

1 Identifica cuál(es) de las siguientes relaciones corresponde(n) siempre a una función.

a. La cantidad de agua que pasa por un río cada hora de un día.

b. Los alumnos de un curso que están de cum-pleaños en 10 fechas determinadas.

c. La cantidad de personas que van a ver a un equipo de fútbol, cuatro domingos del mes.

2 Determina el recorrido de las siguientes fun-ciones si el dominio corresponde al conjunto A = –5, –4, –3, 0, 1, 2, 3, 4.

a. f(x) = x²

b. f(x) = x² – 2x + 1

c. f(x) = +

2x – xx 6

d. f(x) = x 10 x 100+ + +

3 Determina el dominio y recorrido de las siguien-tes funciones.

a. y = – x, si x es un número entero mayor que 4 y menor que 10.

b. y = 2x – 2, donde x son todos los números im-pares mayores que cero y menor que 15.

c. y = 3x, si el recorrido es igual o mayor que –3 y menor o igual que 9.

4 Determina si los siguientes puntos pertenece(n) a la función f(x) = –x².

a. A(2, 4)

b. B(0,0)

c. C(5, 25)

d. D(5,–25)

e. E(a – b, a² – 2ab +b²)

5 Dos máquinas arrojan f(t) y g(t) litros de agua en t segundos respectivamente, si f(t) = 2t y g(t) = t². ¿Cuál de las dos llaves ha arrojado más agua al cabo de 20 segundos?

Analizar y graficar funciones

6 Clasifica las siguientes funciones en lineales o afines.

a. f(x) = x – 2(x +1)

b. g(x) = –3x²+ 3x(x – 2)

c. h(x) = –2(x – 1) + x

7 Describe la gráfica de la función f(x) = ax, si

a. a es un número mayor que cero.

b. a es un número menor que cero.

8 Considera la función f(x)= x + b.

a. Construye su gráfica para b = 1, b = 2, b = 5, b = –2 y b = –6

b. ¿Qué representa el valor de b en la gráfica de la función? Explica y entrega un ejemplo diferente a los anteriores.


9 Andrés trabaja vendiendo celulares en un centro comercial, donde le pagan un sueldo base más una comisión por cada venta. El sueldo base men-sual es de $200 000, y por cada venta gana $500.

a. ¿Cuál es la función que representa el sueldo mensual de Andrés en función de la cantidad de ventas?

b. Si Camila gana un sueldo base de $120 000, ¿cuántas ventas, aproximadamente, tiene que realizar para igualar el sueldo base de Andrés?



http://goo.gl/vY1mA Funciones: características y valoración.

http://goo.gl/WGTvK Análisis y gráficos de funciones.



Lecc

ión

29

Funciones, tablas y gráficos

Propósito: analizar grá cas de funciones y sus variaciones.

Taller


1 Consideren las siguientes funciones.f(x) = 2x g(x) = f(x) +1 = 2x + 1

j(x) = f(x+3) = 2(x + 3)

h(x) = f(x) – 1 = 2x – 1

k(x) = f(x – 3) = 2(x – 3)

a) Completen la siguiente tabla.

X –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

f(x)=2xg(x)=2x +1h(x)=2x – 1

j(x) = 2(x + 3)k(x) = 2(x – 3)

b) Gra quen las funciones f(x), g(x) y h(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observas entre ellas?

c) Gra quen las funciones f(x), j(x) y k(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observas entre ellas?

d) ¿En qué punto se intersecan las grá cas de las funciones f(x), g(x) y h(x) con el eje Y? ¿Qué relación puedes establecer entre los términos de la función y su grá ca?

e) ¿En qué punto se intersecan las grá cas de las funciones f(x), j(x) y k(x) con el eje X? ¿Qué relación puedes establecer entre los términos de la función y su grá ca?

f) ¿En qué punto se deben intersecar las grá cas de las funciones j(x) =f(x) + 5 y k(x) = f(x) – 2 con el eje Y? Gra quen y comprueben sus conjeturas.

g) Considerando lo anterior conjeturen respecto de la relación que existe entre las grá cas de las funciones f(x) = 2x, m(x) = f(x) + 5 y n(x) = f(x) – 2. Luego, grafíquenlas y veri quen sus conclusiones.

En general, dada una función f(x) y un número real positivo a, se tiene que:

f(x) + a es una traslación vertical de f(x), a unidades hacia arriba. f(x) – a es una traslación vertical de f(x), a unidades hacia abajo.f(x + a) es una traslación horizontal de f(x), a unidades hacia la izquierda.f(x – a) es una traslación horizontal de f(x), a unidades hacia la derecha.

Una función f(x) es una relación entre elementos de dos conjuntos A y B, donde a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B.El dominio de una función es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Se escribe Dom f(x).El recorrido de una función corresponde al conjunto de las imágenes del conjunto del dominio de la función. Se escribe Rec f(x).

Debes saber…


41 2 3Propósito: analizar grá cas de funciones y sus variaciones.

2 Ahora consideren las siguientes funciones.f(x) = 2x + 1 l(x) = f(–x) = 2(–x) + 1 = –2x + 1

m(x) = –f(x) = –(2x + 1) = –2x – 1

a) Completen la siguiente tabla.

X –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

f(x) = 2x + 1l(x) = –2x + 1

m(x) = –2x – 1

Grafiquen las funciones f(x), l(x) y m(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observan entre las gráficas de las fun-ciones anteriores? Expliquen.

En general, dada una función f(x), se tiene que:

l(x) = f(–x) es una re exión de f(x) respecto del eje Y.m(x) = –f(x) es una re exión de f(x) respecto del eje X.

Como puedes observar, la forma de la gráfica de f(x) se ha mantenido en cada caso, pero se observan algunas transformaciones isométricas según las modificaciones que se realizan. Los resultados anteriores podemos resumirlos diciendo que, si f(x) es una función, a su gráfica se le pueden realizar las siguientes transformaciones:

Traslación vertical Traslación horizontal Reflexión

hacia arriba: hacia la izquierda: respecto del eje X:Y

f(x)

x

f(x) + a

a

Y

f(x)

x

f(x + a)

a

Y

f(x)

x

–f(x )

hacia abajo: hacia la derecha: respecto del eje Y:Y

f(x)

x

f(x) – aa

Y

f(x)x

f(x – a)

a

Y

f(x)

x

f( – x)

Razonay comenta§ ¿Qué crees que ocurrirá si se multiplica una función por un número? Experimenta

con una función f(x), grafícala y compara con 5f(x), –2f(x) y 0,5f(x).

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano.

a) A(4, 4)

b) B(–6, 2)

c) C(–4, 5)

d) D(–2; 2)

e) E(–4, –2)

f) F(–2, –4)

g) G(–2, 4)

h) H(2, –4)

i) I(0, 3)

j) J(0, –3)

k) K(3, 1)

l) L(–3, 1)

2. Construye la gráfica de las funciones expresadas en las siguientes tablas.

a) Se asocia la medida del lado de un cuadrado con su área.

Lado 1 2 3 4 5Área 1 4 9 16 25

b) El triple de un número.

Número 3 4 5 6Triple del número 9 12 15 18

3. Calcula las siguientes expresiones considerando las funciones:

f(x) = 2x g(x) = 3x² h(x) =x2

a) f(3) + g(2) – h(12)

b) (f(12))² – 5h(10)

c) h(50) – f(10)26

d) f(–3) – h(5) + 0,25 g(12)

e) f(a+b) – (a – b)

f) h(a) – f(a)a

4. Determina cuál(es) de las siguientes gráficas representa(n) una función. Justifica cuando no lo sean.

a) Y

x

b) Y

x

c) Y

x

d) Y

x

5. Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a) f(x) = 2x

b) g(x) = 4x

c) h(x) = 3x 5−

d) j(x) = 11 x+

Práctica guiada

6. Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente:

510152025

Y

X–25 5 10 15 20 25–50

0–20–15–10 –5

Construye las grá cas de las siguientes funciones. Guíate por lo visto en la lección.

a) –f(x)

b) f(–x)

c) f(x + 5)

d) f(x – 3)

e) f(x) + 2

f) f(x) – 0,5

7. Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente.

5

Y

X500

–5

10152025

–10–15–20

30–30–25–20–15–10 –5 10 15 20 25

Construye las grá cas de las siguientes funciones. Guíate por el ejemplo.Ejemplo: h(x) = –10 + f(–x)

Paso 1 Se grafica f(–x), reflexión de f(x) respecto del eje Y

5

Y

X500

–5

10152025

–10–15–20

30–30–25–20–15–10 –5 10 15 20 25



41 2 3

§ ¿Cuál es la aplicación que tienen las funciones en tu vida diaria?§ ¿Qué información entregan los gráficos de una función que no entrega una tabla de valores?

Reflexiona

Paso 2 Se grafica –10 +f(–x), trasladando vertical-mente en 10 unidades hacia los negativos.

La grá ca azul corresponde a la función pedida.

5

Y

X500

–5

101520

–10–15–20–21

30–30–25–20–15–10 –5 10 15 20 25

a) h(x)= –f(x)

b) g(x)= f(–x) – 20

c) i(x)= f(x – 10)

d) j(x)= 10 – f(20 – x)

e) k(x)= f(10 – x)

Aplica

8. Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente.

5

Y

X500

–5

10152025

–10–15

30–30–25–20–15–10 –5 10 15 20 25

Determina la función, en términos de f(x), a la que corresponde cada uno de los siguientes grá cos.

a)

5

Y

X500

–5

101520

–10–15–20

30–30–25–20–15–10 –5 10 15 20 25

b)

5

Y

X500

–5

101520

–10–15

30–30–25–20–15–10 –5 10 15 20 25

c)

5

Y

X500

–5

10152025

–10–15

30–30–25–20–15–10 –5 10 15 20 25

9. El siguiente gráfico muestra el ingreso (en pesos) de un vendedor por la venta de celulares durante 20 días, cuyo sueldo base mensual es de $200 000 (por los 20 días trabajados).

80007000600050004000300020001000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

–2 0

Y

X

a) ¿Cuánto dinero en total gana el vendedor?

b) Si f es representa la función de la gráfica, ¿cuál es la grafica de la función g(x) = f(x) + 5? ¿Qué representa g(x)? Justifica.

10. Conexiones. El código del tránsito indica que los conductores deben mantener la distancia entre un automóvil y otro, para esto se utiliza la fórmula:

d(v)v

100

2

= ,

donde d es la distancia de frenado en metros y v es la velocidad del vehículo en km/h.

a) Grafica la función.b) Antonio viaja 10 km/h más rápido que Ana.

¿Cuántos metros antes debe frenar? ¿O depende de su velocidad? Justifica.


Lecc

ión

30

Función raíz cuadradaValentina estudia la función que relaciona el período T

de un péndulo en segundos y la longitud de su cuerda L en centímetros, que está dada por la fórmula

T 2,1 L=

¿Qué variación produce un cambio en la longitud de la cuerda? En esta función, la variable L se encuentra como argumento de una raíz cuadrada. Para analizar lo que ocurre con los cambios en la longitud de la cuerda vamos a analizar la gráfica de la función raíz cuadrada, definida como:

f (x) x=

Para ello utilizaremos el programa Geogebra, aplicando los siguientes pasos.

Paso 1 Haz clic sobre el botón , Deslizador, y luego sobre la ventana del gráfico. Aparecerá una ventana en la que debes presionar Aceptar. Se creará una figura como la que se muestra, con la que podemos hacer variar los valores de un número a.

a = 1

Repite el procedimiento para crear un deslizador b y otro deslizador c. Fija sus valores en 0.

Paso 2 En la celda Entrada (ubicada en la parte inferior de la ventana), escribe g(x) = a * sqrt(x – b) + c (sqrt proviene de square root, raíz cuadrada en inglés), lo que permitirá analizar la función y a x b c= − + . Luego presiona enter y se obtiene el gráfico de la función.

c = 0

a = 1 b = 0

Podemos observar que su dominio y su recorrido corresponden a los números reales positivos y el cero (+U 0).

Paso 3 Haz clic sobre el punto ubicado en el deslizador a, muévelo hasta el valor a = 2,1. Se obtiene así el gráfico de la función pedida.

Propósito: analizar la grá ca de la función raíz cuadrada.

§ Un número real a mayor o igual a cero es la raíz cuadrada de otro número real b si:

• a² = b. En este caso se escribe a = b , donde b se llama cantidad subradical.

§ La cantidad subradical de una raíz cuadrada siempre debe ser mayor o igual a cero.

Debes saber…


41 2 3Propósito: analizar la grá ca de la función raíz cuadrada.

Paso 4 Analizaremos ahora la gráfica de la función g(x) a x b= − , variando los valo-res de a y de b para comparar con la función f (x) x= . Para ello, realiza las siguientes actividades.

1. En la celda Entrada, escribe la función y=sqrt(x), y presiona enter. Esto te permitirá fijar la gráfica de la función f (x) x= .

2. Mantén el deslizador correspondiente a b en 0, y mueve el deslizador a.

a) ¿Qué ocurre si a toma valores mayores que 1? ¿Cómo describirías esta transformación?

b) ¿Qué ocurre si a toma valores positivos, menores que 1? ¿Cómo describirías esta transformación?

c) ¿Qué ocurre si a toma valores negativos? Compara con lo obtenido en los puntos a) y b).

d) Analiza los cambios en el dominio, recorrido e intersecciones de la grá ca con los ejes al variar los valores de a.

3. Mantén el deslizador correspondiente a a en 1, y mueve el deslizador b.

a) ¿Qué ocurre si b toma valores positivos? ¿Cómo describirías esta transformación?

b) ¿Qué ocurre si b toma valores negativos? ¿Cómo describirías esta transformación?

c) Analiza los cambios en el dominio, recorrido e intersecciones de la grá ca con los ejes al variar los valores de b.

4. Compara las gráficas de las siguientes funciones entre sí

n(x)13

x y p(x)19

x= =

¿Qué conclusión obtienes? Explica por qué sucede esto.

Decimos que la gráfica de una función se dilata si se “abre” respecto del eje Y, mientras que cuando se “cierra” respecto a dicho eje decimos que se contrae.

Razonay comenta§ Utiliza el deslizador

de GeoGebra para estudiar la función g(x) ax b= + .

§ ¿Qué sucede cuando a y b toman distin-tos valores? Realiza conjeturas y verifícalas utilizando el programa.

§ ¿Qué ocurre con el período del péndulo si la cuerda se alarga? ¿Y si se acorta a la mitad? Utiliza los gráficos vistos para responder.

En resumenPara la función raíz cuadrada f(x) = x, se cumple que:

§ Su dominio y su recorrido corresponden a los números reales positivos y el cero (+U 0).

§ Si |a|> 1, g(x) = a x = a x2 corresponde a una dilatación de f(x). Si |a|< 1, g(x) = a x = a x2 corresponde a una contracción de f(x).

§ h(x) = x–b corresponde a una traslación horizontal de b unidades respecto de f(x). Si b > 0 se desplaza b unidades hacia la derecha y si b < 0 se desplaza b unidades hacia la izquierda.

§ ( )j(x) = x + c corresponde a una traslación vertical de c unidades respecto a f(x). Si c > 0 se desplaza c unidades hacia arriba y si c < 0 se desplaza c unidades hacia abajo.

Razonay comenta§ Mantén los deslizadores

correspondientes a a en 1 y b en 0, y despla-za el deslizador c.

§ ¿Qué ocurre si c toma valores positivos? ¿Cómo describirías esta transformación?

§ ¿Qué ocurre si c toma valores negativos? ¿Cómo describirías esta transformación?

§ Analiza los cambios en el dominio, recorrido e intersecciones de la gráfica con los ejes al variar los valores de c.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Valoriza las siguientes expresiones algebraicas, para a = 3, b = 5 y c = 16. Aproxima cada valor a la décima.

a) 2a 32( )−

b) a 4( )+

c) a b+

d) a bc

+

2. Calcula las medidas que se indican en el siguiente cubo cuya arista mide 2a cm.

D

d

a) ¿Cuál es el volumen del cubo?

b) ¿Cuál es el valor de d?

c) ¿Cuál es el valor de D?

3. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales.

a) 2x 4 7− =

b) x 1 4 5+ − =

c) 2 x 4 6 0− + =

d) 13

x 3 5 6− + =

e) x 212

x− =

Práctica guiada

4. Determina los puntos de intersección con los ejes X e Y de las siguientes funciones. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: f(x) = 2x 8−

Paso 1 La intersección con el eje X es el punto para el cual y = 0. Por lo tanto, se plantea y resuelve la ecuación

0 f(x)

0 2x 8

2x 82x 64

x 32

=

= −

===

Por lo tanto el punto de intersección es P(32, 0).

Paso 2 El punto de intersección con el eje Y es el punto para el cual x = 0. Se remplaza enton-ces este valor en la función.

f(0) 2 • 0 8f(0) 0 8f(0) 8

= −= −= −

Por lo tanto, el punto de intersección con el eje Y es Q(0, –8)

a) f (x) x 10 20= − +

b) g(x) 40 2x 10= + +

c) h(x) 12 3x= −

d) i(x) 2(x –10) – 5=

5. Construye la gráfica de las siguientes funciones. Guíate por el ejemplo

Ejemplo: f(x) = 5 – x 6− .

Paso 1 Consideremos la gráfica de y x= .

321

1 2 3 4 5 6 7 80

–1 0–2 –1–2

Y

X

Paso 2 Se traslada horizontalmente hacia la derecha en seis unidades, graficando y x 6= − .

4321

2 4 6 8 10 12 14 16 180

–2 0–1–2

Y

X

Paso 3 Se refleja en el eje X graficando y x 6= − − .

321

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

–2 0–1–2–3

Y

X



41 2 3

§ Con lo que has visto en esta lección, ¿puedes anticipar cómo será el gráfico de la función y = x²? Discute con tus compañeros.

Reflexiona

Paso 4 Se traslada verticalmente hacia arriba en cinco unidades y 5 x 6= − − .

642

5 10 15 20 25 30 35 400

–5 0–2–4–6

5 10 15 20 25 30 35 40 X

Y

a) f (x) x 1 1= − +

b) g(x) x 2 2= + +

c) h(x) x 3 2= + −

d) i(x) 1 1 x= + −

e) j(x) x 2 3= − − +

f) j(x) 4 x= − −

Aplica

6. Identifica las funciones correspondientes a la curva en rojo. La curva en azul corresponde a y x= .

a) 4321

1 2 3 4 5 60

–1 0 X

Y

b) 4321

1 2 3 4 5 60

–1 0 X

Y

c) 7654321

1 2 3 4 50

–1 0

Y

X

d) 654321

1 2 3 4 5 60

–1 0 X

Y

7. Sin graficar determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones.

a) f (x) x 3= +

b) g(x) x14

= −

c) h(x) x 1= −

d) i(x) 2x 3= +

e) k(x) 2x 10= − −

f) l(x)13

2x= −

g) m(x) 10x4

20= + +

h) j(x) 3 x 1= + −

8. Considera la función = − +f(x) x a b y determina su dominio, recorrido e intersecciones con los ejes para los siguientes valores:

a) a = b = 1

b) a = –2, b =1

c) a = 1, b = –2

d) a = 12

− , b = – 5

9. Utiliza la función = − +f(x) x a b, con a y b ∈, para determinar su dominio, recorrido e intersecciones con los ejes según los valores de a y de b.

10. Conexiones: se puede relacionar el tiempo t (en segundos) que tarda un objeto en caer al suelo si se lo suelta desde una altura h (en metros),

mediante la fórmula th5

=

a) ¿Cómo interpretarías la función th 4

5= +

?

b) ¿Qué relación tiene con la función dada original-mente? Explica.


Lecc

ión Función exponencial

Tania estudia el comportamiento de dos cultivos A y B de bacterias (ambos comenzaron con aproximadamente 1 000 bacterias). El cultivo A se encuentra en condiciones muy favorables y se triplica cada un minuto, mientras que el B se está probando un antibiótico, y a cada minuto la población disminuye a su tercera parte.

Para hacer el estudio construye una tabla de valores que representa las situaciones, considerando el tiempo t en minutos y la cantidad de bacterias B en cada cultivo.

Cantidad de bacterias luego de t minutos

0 1 2 3 4 5

Cultivo A 1000 * 30

=10001000 * 3¹= 3000

1000 * 3²= 9000

1000 * 3³= 27 000

1000 * 34= 81 000

1000 * 35= 243 000

Cultivo B

0

100013

= 1000

100013

333, 33

1

≈

2

100013

111,11≈

≈

3

100013

37, 037

4

100013

12, 35≈

1000

13

4,12

5

≈

De las tablas anteriores se desprende que las situaciones se puede modelar mediante funciones f(t) y g(t) tales que:

Primer cultivo: f(t) =1 000 • 3t, con t ∈ U 0

Segundo cultivo: g(t) = 1 000 • 13

t

, con t ∈ U 0

Este tipo de funciones, en que la variable independiente se encuentra en un expo-nente, reciben el nombre de funciones exponenciales.

Tania se pregunta qué sucede con las funciones exponenciales cuando varían algu-nos parámetros. Para responderle utilizaremos el programa GeoGebra, mediante los siguientes pasos.

Paso 1 Inserta dos deslizadores a y b, con valores mínimo y máximo de a –10 y 10, respectivamente, y para b en 0 y 10.

Paso 2 Escribe en la celda de Entrada la función y = a*b^x y presiona enter, lo que permitirá analizar la función exponencial y = abx. Luego, escribe en la celda de Entrada la función exponencial g(x)= 2x, digitando g(x) = 2^x. Se obtiene así la gráfica que se muestra en la siguiente figura.

Propósito: analizar la grá ca de la función exponencial.

Cuando se define una potencia cuyo exponente es un número racional o un número real, se exige que su base sea positiva y distinta de 1.

Debes saber…

Observa que… • En el primer cultivo, la

cantidad de bacterias crece a cada minuto, triplicán-dose. Esto se conoce con el nombre de crecimiento exponencial.

• En el segundo cultivo, la cantidad de bacterias disminuye a cada minuto, dividiéndose por 3. Esto se conoce como decrecimien-to exponencial.

31


41 2 3Propósito: analizar la grá ca de la función exponencial.

Paso 3 Realiza las siguientes actividades.

1. Considera la función g(x) = 2x.

a) Determina su dominio y recorrido.

b) Determina el punto de intersección de la grá ca con el eje Y. ¿Existe un punto de intersección con el eje X? ¿Qué sucede con la grá ca respecto del eje X? Explica.

2. Fija el valor a = 1 y mueve el deslizador b.

a) Analiza lo que ocurre con la grá ca de la función en los siguientes casos:

b > 2 2 > b > 1 0 < b < 1 –1 < b < 0 b < –1b) ¿Qué ocurre con el dominio y el recorrido de la función, en cada caso?

c) ¿Qué ocurre con las intersecciones con los ejes, en cada caso?

d) Explica con tus palabras lo que ocurre con la grá ca de la función, cuando b toma distintos valores.

3. Fija el valor b = 2 y mueve el deslizador a.

a) Analiza lo que ocurre con la grá ca de la función en los siguientes casos:

a > 1 0 < a < 1 –1 < a < 0 a < –1b) ¿Qué ocurre con el dominio y el recorrido de la función en cada caso?

c) ¿Qué ocurre con las intersecciones con los ejes, en cada caso?

d) Explica con tus palabras lo que ocurre con la grá ca de la función, cuando a toma distintos valores.

AyudaSi la gráfica de una recta se aproxima cada vez más a una recta, pero sin intersecarse con ella, decimos que dicha recta es una asíntota de la gráfica.

y

x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7

54321

–1–2–3–4–5

Una función f(x) es creciente si se cumple que si a > b entonces f(a) > f(b).

Una función f(x) es decre-ciente si se cumple que si a > b entonces f(b) > f(a).

En resumenPodemos observar que una función exponencial se puede escribir de la forma

f(x) = abx

• a, b ∈, con b > 0 y b ≠ 1 se tiene, Dom f(x) = y Rec f(x) = +. • La gráfica se interseca con el eje Y en el punto (0, a), y no se interseca con el eje X, que actúa como asíntota

de la gráfica. • La gráfica de una función exponencial de la forma f(x)=bx depende del valor de b. Así:

– Si b > 1, la gráfica de la función es creciente, mientras que si 0 < b < 1, la gráfica es decreciente. Ade-más, mientras mayor es el valor de b, la función tiene un mayor crecimiento.

b

1

b¹=b

1 2 0–2 –1 X

Yb > 1

1b b¹=b

1 2 0–2 –1 X

Y0 < b < 1

– Si a< 1, la gráfica de y=abx es una dilatación de y = bx, mientras que si a>1, es una contracción. • La gráfica de y abx c= − es una traslación horizontal de c unidades respecto de y abx= , hacia la derecha si

c > 0 y hacia la izquierda se c < 0. • La gráfica de y ab hx= + es una traslación vertical de h unidades respecto de y abx= , hacia arriba si h > 0

y hacia abajo si h < 0.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Determina los exponentes en las siguientes potencias.

a) 7x = 49

b) 4x = 16

c) 2x = 16

d) 5x = 125

e) 2x = 8

f) 4x = 64

g) 8x = 64

h) 1,5x = 2,25

2. Calcula lo que expresan las siguientes proposiciones.

a) El cubo de 7.

b) El cuadrado de 17.

c) El cubo de 2,5.

d) La suma entre el cubo de 10 y el cuadrado de 15.

e) La diferencia del cubo de 2 y el quíntuplo de –5.


a) 2³ • 2⁰ • 2²

b) 75 : 7³

c) (24)² : 25

d) (8⁵ : 8²) • 8

e) 2¹⁵ • 2⁷ : 2¹²

f) (5³)³ : (5⁷ • 5)

g) (35 : 3³)5 : 96

h) 3⁴ : (3¹⁷ : 3²)⁰

4. Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

a) (–8x²y³)(5x4y²)

b) (–5x²y)(5x6y6)

c) (x³)4(x²)5

d) (5x¹¹)² : (25x²)5

e) (6x¹¹y¹²c¹⁴)² : (36x⁵y⁸c¹⁰)

f)

−

25

x :8

125x5 2

2

Práctica guiada

5. Construye la gráfica de las siguientes funciones. Guíate por el ejemplo

Ejemplo: f(x) = 2x+1 – 2.

Paso 1 Se grafica y = 2x.

54321

1 2 3 4 0

0–4 –3 –2 –1–1

Y

X

Paso 2 Se traslada horizontalmente una unidad hacia los negativos, para obtener y = 2x+¹.

654321

1 2 3 4 0

0–1

1

–4 –3 –2 –1 X

Y

Paso 3 Se traslada verticalmente dos unida-des hacia los negativos, para obtener y = 2x+¹ – 2.

54321

1 2 0

0–1–2

1

–1–2–3–4–5–6–7 X

Y

a) f(x) = 3x – 4

b) g(x) = 4x + 2

c) h(x) = 3(x – 2)

d) i(x) = 3(x + 4)

e) j(x) = 20,5x + 1

f) k(x) = 2–x + 1

g) l(x) = 2–x + 3

h) m(x) = 31 – x

i) n(x) = 52 – x – 2

j) p(x) = –2–x + 6

k) q(x) = 5 – 3–x

l) r(x) = 1 – 0,5–x + 1

Aplica

6. Identifica en cada caso a qué curva corresponden las funciones indicadas.

a) f(x) = 3x g(x) = 2x h(x) = 10x

54321

1 2 0

0–1–2

–5 –4 –3 –2 –1 X

Y



41 2 3

8. Sin graficar, determina el dominio recorrido e inter-secciones con los ejes de las gráficas correspondien-tes a las siguientes funciones exponenciales.

a) f(x) = 2x – 1

b) g(x) = 10x – 5

c) h(x) = 12

x

d) j(x) = 2 – 10x

e) k(x) = 12

x

−

f) h(x) = 1 – 3x

9. Juzga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a) Una función exponencial con base mayor que cero y menor que uno es siempre una función decreciente.

b) Una función exponencial con base fraccionaria siempre es una función decreciente.

c) La grafica de una función exponencial con base entera no se interseca con el eje X.

d) La gráfica de la función h(x) = ax (a >1) se traslada en 5 unidades horizontalmente hacia a los positi-vos si se grafica h(x – 5).

10. Conexiones. En epidemiología se utilizan diversos modelos matemáticos para representar el número de personas contagiadas por una enfermedad. Por ejemplo, el número de personas contagiadas por un virus esta dado por la función

( )( )

=+

f(t)10000 • 2,72

2,72 9000

t

t

donde t es la cantidad de días.

a) ¿Cuántos contagiados se espera que habrá luego de 1, 4 y 10 días?

b) Grafica la función. ¿Qué ocurre al cabo de mucho tiempo? Discute con tus compañeros.

11. Analiza considerando una función exponencial de base mayor que 1.

a) ¿Cómo es su comportamiento para valores nega-tivos de x?

b) ¿Cuánto crece la función entre 0 y 1? ¿entre 1 y 2?, ¿entre 9 y 10? ¿Cómo describirías su compor-tamiento? Discute con tus compañeros.

§ ¿Cuál es la diferencia entre una función exponencial y una función potencia?§ Respecto a la relación que existe entre las potencias y los logaritmos, estudiada en la unidad 1, ¿qué relación

crees que existe entre una función exponencial y logarítmica?, ¿cómo será la gráfica de una función logarítmica?

Reflexiona

b) f(x) = 0,4x g(x) = 0,3x h(x) = 0,1x

54321

1 2 0

0–1–2

–5 –4 –3 –2 –1 X

Y

7. Identifica las funciones correspondientes a la curva en rojo. La curva en azul corresponde a y = 2x.

a) 54321

1 2 3 0

0–4 –3 –2 –1 X

Y

b) 321

1 2 3 0

0–1–2

–4 –3 –2 –1

Y

X

c)

7654321

1 2 3 4 5 0

0–4 –3 –2 –1 X

Y


Lecc

ión

32

Función logarítmicaEn grupo de 4 integrantes realicen la siguiente actividad.

En la unidad 1 vieron que muchas situaciones de la naturaleza, como la intensidad del sonido o de los terremotos, se modelan utilizando logaritmos. Analizaremos ahora el comportamiento de la gráfica de la función logarítmica

y = log x

Utilizaremos para ello las propiedades de los logaritmos y el procesador geométrico GeoGebra, que nos permitirá añadir algunos parámetros y estudiar sus variaciones. Para esto, aplicaremos los siguientes pasos.

Paso 1 En GeoGebra, en la celda Entrada escribe la función y = lg (x) (GeoGebra utiliza lg en lugar de log para el logaritmo de base 10). Luego presiona enter, y obtendrás la siguiente gráfica

a) Determina el dominio y el recorrido de la función.

b) Determina los puntos en que la grá ca se interseca con los ejes. ¿Se observa alguna asíntota?

c) ¿Se trata de una función creciente o decreciente? Qué ocurre con los valores de la función cuando aumenta el valor de x?

Paso 2 Considera la expresión y = logp x.

Para construir la gráfica de y = logp x, inserta un deslizador p, y luego ingresa en la celda entrada y = log (p,x). Luego presiona enter y mueve el deslizador para que tome distintos valores.

a) ¿Cambia el dominio y el recorrido de la función? ¿Qué ocurre con los puntos en que la grá ca se interseca con los ejes?

b) Describe lo que ocurre con la grá ca de la función, cuando p toma valo-res cada vez mayores.

c) Describe lo que ocurre con la grá ca de la función, cuando p toma valo-res entre 0 y 1. ¿Por qué se produce esto? Justi ca algebraicamente.

d) ¿Puede tomar p valores negativos? Justi ca.

Propósito: analizar la grá ca de la función logarítmica.

Se definen los logaritmos como el exponente de una potencia, es decir, para una potencia y = ax, se define el logaritmo x = loga y.Por ejemplo, para

24 = 16se tiene

4 = log2 16.

§ La base de un logaritmo debe ser positiva y distin-ta de 1.

§ El argumento del logarit-mo (es decir, el número al que se calcula su logarit-mo) debe ser positivo.

Debes saber…


41 2 3Propósito: analizar la grá ca de la función logarítmica.

Razonay comenta§ Construye en un

mismo sistema las gráficas de

f(x) = 10x y g(x) = log x. ¿Qué relación ves entre ellas? Justifica por qué crees que se da esta relación.

§ Humberto analiza la función logarítmica

(fx) = p logq (rx + s)

¿Hay alguna manera de reducir el núme-ro de parámetros involucrados en ella? Justifica.

Paso 3 Inserta un deslizador b y luego ingresa en la celda de entrada la función y = lg (x) + b. Presiona enter y mueve el deslizador.


b) Describe lo que ocurre con la grá ca de la función cuando b toma valo-res cada vez mayores.

c) ¿Puede tomar b valores negativos? Justi ca y describe lo que ocurre.

Paso 4 Inserta un deslizador c y luego ingresa en la celda de entrada la función y = lg(x – c). Presiona enter y mueve el deslizador.


b) Describe lo que ocurre con la grá ca de la función cuando c toma distintos valores.

En resumenPodemos observar que una función logarítmica se puede escribir de la forma

f(x) = loga x

con a > 0, a ≠ 1. En ella, se tiene que

• Dom f(x) = + y Rec f(x) = .

• La gráfica se interseca con el eje X en el punto (1, 0), y no se interseca con el eje Y que actúa como asíntota de la gráfica.

• Si a > 1, la gráfica de la función es creciente, mientras que si 0 < a < 1, la grá-fica es decreciente. Además, mientras mayor es el valor de a, la función tiene un mayor crecimiento.

a > 1

–1 0 1 2 3 4

3

2

1

–1

–2

Y

X

0 < a < 1

–1 0 1 2 3 4

3

2

1

–1

–2

Y

X

• La gráfica de y = loga (x) + b es una traslación vertical de b unidades respecto de y = loga x, hacia arriba si b > 0 y hacia abajo si b < 0.

• La gráfica de y = loga (x – c) es una traslación horizontal de c unidades respecto de y = loga x, hacia la derecha si c > 0 y hacia la izquierda si c < 0.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso


a) logx 4 = 0,5

b) log x = –2

c) log3 x = –9

d) log x = –3

e) log8 x = 4

f) log4 116

= x

g) logx 19

= –2

h) log 0,0001 = x

2. Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifica las falsas.

a) log (xy) = log x + log y

b)

=log

xy

log xlog y

c) 4 log (x) = log (x4)

d) log (2x – y) = log 2 + log x – log y

Práctica guiada

3. Construye la gráfica de las siguientes funciones exponenciales. Guíate por el ejemplo

Ejemplo: f(x) = 1 – log (x – 2).

Paso 1 Se grafica y = log x.

1,51

0,5

1 2 3 4 5 0

0–3–0,5

–1–1,5

–2 –1 X

Y

Paso 2 Se traslada horizontalmente dos unida-des hacia la derecha, para obtener y = log (x – 2).

10,5

1 2 3 4 5 6 7 0

0–1–0,5

1,5

–1–1,5

X

Y

Paso 3 Se refleja respecto del eje X para obtener y = – log (x – 2).

10,5

1 2 3 4 5 6 7 0

0–1–0,5

1,5

–1–1,5

X

Y

Paso 4 Se traslada verticalmente una uni-dad hacia los positivos para obtener y = 1 – log (x – 2).

10,5

1 2 3 4 5 6 7 0

0–1–0,5

1,5

–1–1,5

X

Y

a) f(x) = log (x +3)

b) g(x) = –log x

c) h(x) = 1 – log x

d) i(x) = log (x +1) –1

e) j(x) = 2 log x – 1

f) k(x) = –3 log (–x)

g) l(x) = 2 – log (3x)

h) m(x) = 5 – log (2x +1)

4. Determina los puntos de intersección con los ejes de las gráficas de las siguientes funciones logarítmicas. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: f(x) =2 + log5 (x + 9)

Paso 1 Se busca un punto (x, 0), es decir, un valor de x para el cual y = 0.

2 log x 9 0

log x 9 2

x 9 5

x1

259

224225

5

5

2

( )( )

+ + =+ = −

+ =

= − = −

−

Por lo tanto, el punto de intersección con el

eje X es 224225

,0−



41 2 3

§ ¿Qué similitudes y diferencias observas entre las gráficas de las funciones exponencial y logarítmica? ¿Cómo puedes explicar estas relaciones? Discute con tus compañeros.

Reflexiona

Paso 2 Se busca un punto (0, y), es decir, el valor de la función para x = 0.

f(0) = 2 + log5 (x + 9) ⇒ f(0) = 2 + log5 9 f(0) ≈ 2 + log5 9 = 3,365

Por lo tanto, el punto de intersección con el eje Y es, aproximadamente, (0; 3,365).

a) f(x) = log (– x + 5)

b) g(x) = log (x + 10)

c) h(x) = 2 + log2(x – 2)

d) j(x) = log2(x – 3) + 9

e) k(x) logx 5

312

= +

f) l(x) log 7 x34

( )= −

Aplica

5. Determina qué condición debe cumplir a, en cada caso para que las siguientes funciones sean decrecientes o crecientes.

a) f(x) = log4a x

b) g(x) = log–5a x

c) h(x) = log(a–1) x

d) j(x) = log(2a–1) x

6. Identifica las funciones correspondientes a la curva en rojo. La curva en azul corresponde a y = log x.

a) 54321

1 2 3 4 5 60

0–3 –2 –1–1–2

X

Y

b) 4321

1 2 3 4 5 60

0–3–4–5–6 –2 –1–1–2

X

Y

c)

1 2 3 4 5 60

0–3–4–5–6 –2 –1–1–2–3–4

12

X

Y

d)

1 2 3 4 5 60

0–3–4–5–6 –2 –1–1–2–3–4

12

X

Y

7. Sin graficar determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones logarítmicas.

a) f(x) = log x + 1

b) g(x) = log 2x – 1

c) h(x) = log3 x – 5

d) j(x) = 1 – log6 x

8. Juzga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a) Una función logarítmica f no puede tener valores negativos en su recorrido.

b) Si a > b, entonces loga x > logb x.

c) El dominio de una función logarítmica es siem-pre el conjunto de los números reales.

d) Si f(x) =1 + log x, la gráfica de la función g(x)= log x – 3 corresponde a la gráfica de f(x), trasladada 4 unidades horizontalmente hacia los negativos.

9. Conexiones: se sabe que el pH de una solución se calcula mediante la fórmula

pH = –log H+

donde H+ es la concentración de iones de hidrógeno. ¿Qué ocurre con el pH de una solución cuya concentración de iones de hidrógeno se triplica? Utiliza el grá co de la función para analizarlo. ¿Depende de su concentración original?



Cierta población de bacterias que inicialmente tenía una población de 1800 microorganismos, aumenta a 3000 bacterias en tres horas. Suponiendo que el crecimiento de esta población es exponencial, ¿cuántos de estos microorganismos habrá al cabo de 15 horas?


a. ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta? Conocer la fórmula que permitiría calcular la cantidad de bacterias después de 15 horas.

b. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad inicial de bacterias y el tipo de crecimiento que experimenta la población de microorganismos al transcu-

rrir el tiempo.


Una función exponencial es de la forma f(x) = abx. En este caso conocemos algunos valores de ella lo que permitirá determinar a y b, y así utilizar la función que modela el crecimiento para calcular lo pedido.


Aplica la estrategia.

Como la población de bacterias crece exponencialmente es posible utilizar la siguiente fórmula para mo-delar la situación

N(t) = N0at

Donde N0 es la cantidad inicial de bacterias. Como se sabe por los datos del problema, se comienza con 1800 bacterias, por lo tanto,

N0 = 1800 ⇒ N(t) = 1800 • at

Por otro lado, se sabe que el número de bacterias aumenta de 1800 a 3000 en tres horas. De lo que es posible deducir que

( ) = =

= → =

N 3 3000 1800 •a

30001800

a53

a

3

3 3

Se tiene entonces que la función es N t 1800 •53

3

t

( ) =

. Para saber la cantidad de bacterias que habrá al

cabo de 15 horas basta evaluar la función para t = 15.

N 15 1800 •53

1800 •53

1800 •3125243

23 1483

15 5

( ) =

=

= ≈

Por lo tanto, al cabo de 15 horas habrá aproximadamente 23 148 bacterias.


Construye la gráfica de la función en GeoGebra para verificar tu respuesta.




§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?§ Revisa los ejercicios que hayas hecho en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar

para no volver a cometerlos?

Reflexiona

Camilo debe construir la gráfica de la función y = log (x – 2) + 1 a partir de la gráfica de y = log x.

1 2 3 4 50

0–3–4 –2 –1–1–2–3–4–5

123

X

Y

Para ayudarlo realiza lo siguiente:

1. Traslada verticalmente la gráfica una unidad hacia los positivos, para obte-ner y = log (x) + 1.

2. Traslada horizontalmente la gráfica anterior dos unidades hacia los negati-vos, para obtener y = log (x – 2) + 1.

Razonay comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Camilo?§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al analizar gráficas de funciones?

La traslación vertical y horizontal de funciones no funcionan de la misma manera. Mientras que la traslación vertical se hace hacia los positivos si el valor que se suma es positivo, en el caso de la traslación horizontal la gráfica se desplaza hacia los negativos si el valor se suma y hacia los negativos si se resta.

Por lo tanto, en el segundo paso Camilo debe trasladar horizontalmente la gráfica dos unidades hacia los positivos.


Paz analiza la siguiente función exponencial

y = 34 – x

Concluye que para construirla puede utilizar los siguientes pasos:

1. Graficar la función y = 3x.

2. Reflejar la gráfica anterior respecto del eje Y, para obtener la gráfica de la función y = 3– x.

3. Trasladar horizontalmente la función 4 unidades hacia los negativos, para obtener la gráfica de la función y = 3 4 – x

Razonay comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Paz?§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al analizar gráficas de funciones?

Paz ha sumado 4 al exponente de 3, pero no a la variable x. Se puede observar que

y =34 – x = 3–(x – 4)

Por lo tanto, la gráfica se refleja respecto del eje Y y luego se traslada 4 unidades hacia los positivos.



Eval

uaci


Lección 29: Funciones, tablas y gráficos

1 Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente:

5

Y

X500

–5

10152025

–10–15–20

30–30–25–20–15–10 –5 10 15 20 25

Construye las gráficas de las siguientes funciones.

a. –f(x)

b. f(x – 4)

c. f(-x)

d. f(x+2)

e. f(x) + 1

f. f(x) – 3

2 El siguiente grafico muestra la relación entre la nota obtenida y el porcentaje de respuestas co-rrectas. En esta escala el 60% de logro correspon-de a una nota 4,0 y el 100% de logro corresponde a un 7,0.

10

1,02,03,04,05,06,07,0

Y

X

Porcentaje de logro (%)

Relación entre el porcentaje de logro y la nota

Nota

20 30 40 50 70 9060 80 100

a. ¿Qué nota corresponde, aproximadamente, al 86% de logro?

b. Si en una prueba de 20 preguntas un alumno responde correctamente 15 de ellas, ¿qué nota, aproximadamente, le corresponde?

c. Si f(x) representa la función de la gráfica, ¿cuál es la grafica de la función g(x)=f(x – 10)? ¿Qué representa g(x)? Justifica.

Lección 30: Función raíz cuadrada

3 Determina los puntos de intersección con los ejes X e Y de las siguientes funciones.

a. f (x) x 9 1= + −

b. g(x) 10 2x 4= − + +

c. h(x) 8 5x= −

d. j(x) 3(x 1) 5= + −

4 Construye la gráfica de las siguientes funciones, considerando la gráfica de y x= .

1 2 3 4 5 6 7 80

0–2 –1–1–2

1234

X

Y

a. f (x) x 2 3= − +

b. g(x) x 1 2= + −

c. h(x) x 3 2= + −

d. j(x) x 4 2= − − +

Lección 31: Función exponencial

5 Construye la gráfica de las siguientes funciones

a. f(x) = 4x – ³

b. g(x) = 3x – ² + 1

c. h(x) = 5–x + 4

d. j(x) = (0,5) –x – 1

6 Identifica las funciones correspondientes a la cur-va en rojo. La curva en verde corresponde a y = 3x.

a.

1

Y

X100

23456789

6–6–7 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5

b.

1

Y

X100

23456789

–6–7–8–9 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4


Evaluación41 2 3



Analizar gráficas de funciones y sus variaciones. Ítem 1: 3/6Ítem 2: 2/3 198 y 199

Analizar la gráfica de la función raíz cuadrada. Ítem 3: 2/4Ítem 4: 2/4 202 y 203

Analizar la gráfica de la función exponencial.


206 y 207

Analizar la gráfica de la función logarítmica.


210 y 211


7 La cantidad de ciertas bacterias presentes en un cuerpo se reproduce exponencialmente, dupli-cando su población cada 3 minutos.

a. Completa la siguiente tabla.

Producción de la población de bacteriasTiempo (minutos) 3 6 9 12 15 18 21 24 27Población 500

b. ¿Qué función f(x) modela la situación según el tiempo de reproducción?

c. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de f(x)?

d. Esboza un gráfico de f(x).

8 Sin graficar determina el dominio, recorrido e in-tersecciones con los ejes de las gráficas correspon-dientes a las siguientes funciones exponenciales.

a. f(x) = 3x + 1

b. g(x) = 5x – 2

c. h(x) = 13

x

d. j(x) = –4x + 2

Lección 32: Función logarítmica

9 Construye la gráfica de las siguientes funciones logarítmicas, considerando el grafico de y = log x.

a. f(x) = log (x – 4)

b. g(x) = –log x + 1

c. h(x) = 1 – log (2x)

d. j(x) = log (x + 3) – 2

10 Determina los puntos de intersección con los ejes de las gráficas de las siguientes funciones logarítmicas.

a. f(x) = log (x + 6)

b. h(x) = log3 (x + 9) – 1

c. g(x) = log (x – 5)

d. j(x) log x 414

( )= − +

11 Determina qué condición debe cumplir a, en cada caso, para que las siguientes funciones sean decrecientes o crecientes.

a. f(x) = loga+1 x

b. h(x) = log(6a+5) x

c. g(x) = log–3a x

d. j(x) = log(6–3a) x

12 Determina sin graficar el dominio y recorrido de las siguientes funciones logarítmicas.

a. f(x) = log x + 2

b. g(x) = log 3x – 4

c. h(x) = 1 – log3 x

d. j(x) = log2 (x + 8)

Activ

idad


Sección 3

Sistemas de ecuaciones lineales

De esto se trata…Cuando se diseña el horario de un colegio se debe cumplir una serie de condiciones

tales como el número de horas por asignatura, la disponibilidad de un profesor, la can-tidad de cursos, etc., pero también se asignan restricciones que pueden ser obligatorias o pensando en lo que se cree más conveniente. Así, se debe combinar la disponibilidad de los profesores, la necesidad de cada curso y una larga lista de requisitos.

La programación de un torneo deportivo es en algo similar a esto. En Chile, desde 2005 se utiliza un sistema diseñado por el Centro de Gestión de operaciones del depar-tamento de Ingeniería Industrial de la Universidad de Chile para la programación del Campeonato de fútbol profesional. Mediante este sistema se busca no solo garantizar las condiciones básicas de un campeonato (que todos jueguen contra todos, alternar la condición de local – visita, etc), sino además incluir algunas variables de tipo comercial que dan más atractivo al campeonato. Algunas de ellas son:

• Los partidos llamados clásicos (Colo Colo – Universidad de Chile, Universidad de Chile – Universidad Católica y Universidad Católica – Colo Colo) se deben jugar entre las fechas 11 y 16.

• Ningún equipo jugará en fechas consecutivas contra Colo Colo y Universidad de Chile. • Si hay fechas a mitad de semana y el fin de semana, los equipos deben jugar en

ciudades geográficamente cercanas.La adecuada programación computacional ha permitido generar programaciones cada

vez más óptimas, resultando un gran aporte de la tecnología al espectáculo deportivo.


➊ ¿Por qué creen que se ponen las condiciones descritas al campeonato? ¿Pondrían ustedes otras? ¿Cuáles?

➋ Analicen el horario de enseñanza media de su colegio. ¿Puede mejorarse? Consulten con la persona encargada de hacerlo cuál es el mecanismo utilizado y sus dificultades.

Actividad grupal

Propósito: plantear y resolver problemas que involucran dos incógnitas, analizando la existencia y pertinencia de sus soluciones.


A identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales. Lección 33

plantear y resolver problemas en variados ámbitos, y analizar sus soluciones.

A interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales. Lección 34

A resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales. Lección 35

A analizar algebraicamente la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Lección 36

A plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales. Lección 37


Ü SimultáneoÜ CompatibleÜ DeterminadoÜ Reducir

§ ¿En qué contextos has visto que se debe cumplir más de una condición en un problema?


Actividad


41 2 3

¿Qué debes saber?Realiza las siguientes actividades.Plantear y resolver problemas con ecuaciones de primer grado

1 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a. 3x = 15

b. x + 1 = 15

c. 10 + x = 22

d. 5x + 12 = 20

e. 12

+ x23

=

f. 2x − 1 = 6

g. x − 4 = 12

h. 3(14 + x) = 48

i. 5x = 12 − 3x

j. 34

x – 2 1=

2 Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones.

a. Un número que es 15 unidades mayor que x es igual a 100.

b. Un número aumentado en 8 es igual a 13.

c. La diferencia entre un número y –1 es igual a 2.

d. Un número disminuido en 7 es igual al triple del número.

e. Restar 17 de un número es igual al número al cuadrado.

f. El producto de un número y 14 es igual al triple del número menos 15.


a. Calcula el valor de x, si se sabe que la figura tiene un perímetro de 100 cm.

(x – 1) cm (x + 5) cm

(2x + 10) cm

b. El área de un triángulo rectángulo isósceles es 2 000 cm2. La expresión que representa la base está dada por el binomio x + 3. ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo?

Identificar, graficar y analizar funciones afines

4 Identifica la pendiente y el coeficiente de posi-ción de las siguientes funciones afines.

a. x + y = 12

b. 3x – 4y = 8

c. 6x − 7 = 5y

d. 2x − 10 = 3y − 5

5 Verifica en cada caso si el punto dado pertenece a la gráfica de la función afín correspondiente.

a. y = 4x + 1, A(0,0)

b. y = 3x − 2, C(3,7)

c. 2y = x + 2, C(2,14)

d. y = −0,5x − 10, E(4, −3)

6 Construye el gráfico de las siguientes funciones afines.

a. y = 3x + 5

b. 5x − 4y + 2 = 0

c. y − 3x = −2

d. 5y = 4x + 10

e. y54

x +1=

f. y –x2

x – 3=

7 Determina la función afín correspondiente a cada gráfico.

a.

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4

b.

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4



http://goo.gl/cvnsU Ecuaciones de primer grado.

http://goo.gl/0b4Px Función afín: gráfico y análisis.



Lecc

ión

33

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Propósito: identi car y plantear un sistema de ecuaciones lineales.

Decimos que un conjunto de valores satisface una ecuación si, al evaluar la ecuación para dichos valores, la igualdad se cumple. Por ejemplo, los valores x = 2, y = –1 satisfacen la ecuación

3x + 2y = 4pues

3 • 2 + 2 • –1 = 46 – 2 = 4

4 = 4

Debes saber…

En la fiesta del colegio el curso de Paulina vendió papas fritas en porciones de $300 y $500. Para realizar el conteo del dinero, Paulina preguntó a dos de sus compañeros sobre el total vendido y ellos le dieron las siguientes respuestas:

Andrea: en total recaudamos $12 800.Pablo: se vendieron 34 porciones en total.

Para averiguar cuántas porciones de cada precio se vendieron, Paulina aplica los siguientes pasos.

Paso 1 Asigna las variables x e y, respectivamente, al número de porciones de $300 y $500 pesos vendidas. Con ello, plantea las siguientes ecuaciones:

x: porciones de $300 y: porciones de $500

Andrea: en total recaudamos $12 800 → 300x + 500y = 12 800Pablo: se vendieron 34 porciones en total → x + y = 34

Paso 2 Realiza una tabla de valores para la primera ecuación.

x 1 6 11 16 21 26 31y 25 22 19 16 13 10 7

Paso 3 Analiza cuál de los siguientes pares de valores anteriores corresponde con lo que le dijo Pablo, es decir, cuáles de los valores anteriores satisfacen la ecuación x + y = 34

x = 1, y = 25 → x + y = 26 x = 16, y = 16 → x + y = 32 x = 6, y = 22 → x + y = 28 x = 21, y = 13 → x + y = 34 x = 11, y = 19 → x + y = 30 x = 26, y = 10 → x + y = 36 x = 31, y = 7 → x + y = 38

Paso 4 Con esto Paulina concluye que x = 21 e y = 13, pues estos valores se corres-ponden tanto con la información que le dio Andrea como con la que le dio Pablo. Es decir, se vendieron 21 porciones de papas de $300 y 13 de $500.

Lo que ha hecho Paulina es resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incóg-nitas (una ecuación es lineal si el mayor exponente de sus incógnitas es igual a 1), es decir, ha planteado dos ecuaciones con incógnitas x e y y ha determinado un par de valores de ellas que satisfacen simultáneamente a ambas ecuaciones. En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede representar de las siguientes maneras:

ax+by e

cx+dy f

ax+bx ecx+dx f

=

=

==

a, b, c y d se llaman coeficientes mientras que e y f son los términos libres. La solu-ción del sistema se escribe como un par ordenado (x, y). En el ejemplo, la solución del sistema es (21, 13).

Razonay comenta§ ¿Habrías planteado el problema de otra manera? ¿Cuál? Explica y verifica si llegas al

mismo resultado.

En resumenUn sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de ecuaciones lineales.Se representa de la forma ax by e

cx dy f

+ =+ =

donde a, b, c, d, e, f ∈ y x e y son las incógnitas.

Una solución (p, q) del sistema es un par de valores que satisface simultáneamente ambas igualdades.



41 2 3Propósito: identi car y plantear un sistema de ecuaciones lineales.

§ Hacer una tabla de valores puede no ser efectivo siempre. ¿Se te ocurre algún método para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones, de manera más rápida? Discute con tus compañeros.

Reflexiona

Repaso

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 6 – x = 12

b) 9 – 2x = 16

c) 2x + 6x = 16

d) x + 3x = 18 – 2x

e) 3x – 0,5 = 67

f) 26 = 2 – 6x

g) x3

+5 2x – 9=

h) 3x4

–2x5

x –12

=

2. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones.

a) Mi mamá tiene 24 años más que yo.

b) Entre mi hermano y yo tenemos 132 láminas.

c) El producto de mi edad por 10 es igual a 100.

d) La cantidad de departamentos de un edificio es igual al triple de 50.

e) La diferencia entre un número y 40 es igual a 28.

f) El cociente entre un número y 6 es igual a 3.


a) El perímetro de un rectángulo es de 204 cm. El largo es el doble del ancho y el ancho está repre-sentado por la expresión 8x + 10. ¿Cuánto miden el largo y el ancho?

b) El doble de la edad de Carlos es igual al triple de 100 menos 150. ¿Cuál es la edad de Carlos?

c) El lado de un pentágono regular de 74 cm de perímetro está representado por la expresión 3x + 4. ¿Cuántos centímetros mide cada lado? ¿Cuál es el valor de x?

d) Miriam y Raúl llevan bandejas de huevos. Si Miriam le diera a Raúl una de sus bandejas, Raúl llevaría el doble de bandejas que ella. Pero si Raúl le diera a Miriam una de sus bandejas, ambos llevarían la misma cantidad. ¿Cuántas bandejas lleva cada uno?

4. Determina si el valor dado en cada caso satisface a la respectiva ecuación.

a) x = 2, para la ecuación 2x + 4 = 3x + 2

b) x = 7, para la ecuación x – 16 = 2x + 5

c) x = 1, para la ecuación 2x +5 = 7

d) x = –2, para la ecuación x2 – 5x – 14 = 0

e) x = –3, para la ecuación 2x2 +12 = –18

f) x = 2, para la ecuación 3x2 –12 = 0

g) x = 0, para la ecuación 3x2 – 5x = 0

Práctica guiada

5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Utiliza el procedimiento visto en la lección.

a) –2x + y –2

3x – y 4

=

=

b) 3x +6y 6

–2x +3y 2

=

=

c) –7x+14y 10

7x+y 10

=

=

d) –3x + 4y y

7x – y 5y +2

=

=

e) x + 4y 8

–x – 2y –3

=

=

f)

( )=

+

4y +5 2x

6 x –1 4y = y

6. Plantea y resuelve los sistemas de ecuaciones correspondientes a las siguientes situaciones. Guíate por el procedimiento indicado en la lección.

a) La suma de dos números es 29 y su diferencia es 5.¿Cuáles son los números?

b) La suma de dos números es 100 y su diferencia es 48. Determina los números.

c) La diferencia entre dos números es 17. Si el ma-yor se divide por el menor, el cociente es dos y el resto es cuatro. ¿Cuáles son los números?

d) El perímetro de un rectángulo es 45 cm. Si el triple de la longitud del menor de los lados es el doble de la longitud del mayor, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Aplica

7. Desafío: Andrés es un artista que vendió a un cliente un cuadro y tres esculturas a $ 60 000, y a otro cliente le vendió 3 cuadros y 9 esculturas en $120 000.

a) ¿Cuánto cuesta cada cuadro y cada escultura?

b) ¿Puedes asegurar que Andrés vende sus obras al mismo precio a ambos clientes? ¿Por qué?

41 2 3


Lecc

ión

34

Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos

Propósito: interpretar grá camente un sistema de ecuaciones lineales.

§ Una función de la forma y = mx + n se llama fun-ción afín, y su representa-ción gráfica es una recta.

En una función afín y = mx + n, m se llama pendiente y n, coeficien-te de posición.

§ La pendiente de una recta que pasa por los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), se cal-cula mediante la fórmula

my – yx – x

2 1

2 1

=

Debes saber…

Resolución gráfica de un sistema de ecuacionesClara quiere resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y 14x + 2y –2

==

Daniela le sugiere utilizar un gráfico para estudiar el sistema, siguiendo estos pasos.

Paso 1 Se despeja la variable y en cada ecuación del sistema. De esta manera se obtienen dos ecuaciones que corresponden a funciones afines.

x + y 14x + 2y –2

y –x + 12y –4x – 2

y –x + 1y –2x –1

==

→==

→==

Paso 2 Se construye una tabla de valores para cada una de las ecuaciones.

y –x + 1= y –2x – 1=

x y (x, y)–1 2 (–1, 2)

0 1 (0, 1)

1 0 (1, 0)

x y (x, y)–1 1 (–1, 1)

0 –1 (0, –1)

1 –3 (1, –3)

Paso 3 Se grafican ambas funciones en un mismo sistema cartesiano. Para ello ubi-camos los pares ordenados obtenidos en el plano cartesiano y graficamos las rectas.

1

Y

X100

–1

2345

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4 5

x + y = 1

4x + 2y = –2

Paso 4 Analizando con detalle el gráfico podemos observar que las rectas se inter-secan en el punto de coordenadas (–2, 3). Por lo tanto, esta es la solución del sistema.

(–2, 3) es el punto de intersección entre las rectas que representan grá camente las ecuaciones en el plano cartesiano.


41 2 3Propósito: interpretar grá camente un sistema de ecuaciones lineales.

AyudaLas ecuaciones 2x + 4y = 6 y 3x + 6y = 9 se satisfacen con los mismos valores, por lo que decimos que son equivalentes.

Análisis gráfico de un sistema de ecuacionesClara analiza ahora los siguientes sistemas para lo que ha construido el gráfico co-

rrespondiente a cada uno.

Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

3x + y 1

2x – y 3

y –3x +1

y 2x –3

==→==

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4

Se obtienen dos rectas secantes (se intersecan en un punto). Por lo tanto, el sistema tiene solución, y es única.

Este tipo de sistemas se llama compatible determinado.

x + 5y 1

2x +10y 8

y –x5

+15

y –x5

+45

==→=

=

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4

Se obtienen dos rectas paralelas (no se intersecan). Por lo tanto, el sistema no tiene solución.

Este tipo de sistemas se llama incompatible.

2x + 4y 6

3x + 6y 9

yx2

+32

yx2

+32

==→=−

=−

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4

Se obtienen dos rectas coincidentes (se intersecan en todos sus puntos). Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.

Este tipo de sistemas se llama compatible indeterminado.

Podemos observar, a partir de las funciones afines correspondientes a las ecuaciones de los sistemas, que:

• si en las funciones afines de un sistema sus pendientes son distintas, sus gráficas representan rectas secantes y se trata de un sistema compatible determinado.

• si en las funciones afines de un sistema sus pendientes son iguales pero sus coeficientes de posición son distintos, sus gráficas representan rectas paralelas y se trata de un sistema incompatible.

• si en las funciones afines de un sistema sus pendientes y coeficientes de posi-ción son iguales, sus gráficas representan rectas coincidentes, y se trata de un sistema compatible indeterminado. Razona

y comenta§ Si un sistema de

ecuaciones tuviera tres ecuaciones con dos incógnitas, ¿qué po-sibilidades se pueden dar? Discute con tus compañeros.

En resumenUn sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa gráficamente mediante dos rectas, que pueden ser secantes (solución única), paralelas (no tiene solución) o coincidentes (infinitas soluciones).

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Identifica la pendiente y el coeficiente de posición de las siguientes funciones afines.

a) y = –5x + 4

b) y = 2x + 0,3

c) y = 5x + 7

d) y = –5

e) y = 2x + 1

f) 2y = 5x – 2

g) –y = –0,5x – 4

h) 0,5x – 4,4y = 12

2. Calcula la pendiente de la recta correspondiente a la función afín a la que pertenecen los siguientes pares de puntos.

a) A(–3,2) y B(1,2)

b) B (1, 0) y C (–3, 5)

c) D (3, 3) y E (3, 3)

d) F(–2, –1) y G(2, –4)

e) H(–0,5; 0) y E(2, –4)

f) J(–0,6; –10) y K(22, –24)

g) L(–2; 0,3) y M(–2, –4)

h) N(–1, –3) y O(–3, –8)

3. Construye la gráfica de las siguientes funciones afines.

a) f(x) = x + 2

b) g(x) = –3x – 1

c) h(x) = 0,5x – 0,5

d) i(x)13

x +23

=

e) j(x)45

x – 4=

f) k(x) = –5x + 30

g) l(x) = 3x – 0,5

4. Para cada gráfico, identifica la función afín que representa.

a)

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4

b)

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4 5

5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando tabla de valores.

a) x +5y 7

x – 3y –1

=

=

b) 2x +6y 4

3x + 4y 6

=

=

c) 5x – 2y 10

3x – y 3

=

=

d) 2x – y 6

3x +2y 44

=

=

e) 5x – 4y 1

–x + y 4

=

=

f) 7x – 2y 9

2x – 5y 7

=

=

g) x +3y 7

x + y 3

=

=

h) x – y 3

2x + y 4

=

=

i) 3x – y 2

2y + x 3

=

=

j) 2x +5y –2

x +3y 12

=

=

Práctica guiada

6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por medio de gráficos. Guíate por el procedimiento visto en la lección. Puedes utilizar un procesador geométrico.

a) x – y 3

x + y 9

=

=

b) x + y 8

2x – 3y –4

=

=

c) x + 4y 1

y + x 2

=

=

d) x +3 y

2x + y 6

=

=

e) 4x – 3y –1

5x – 2y 4

=

=

f) 4x +3y 2

–3x – 2y –1

=

=

g) 2x – 5y 3

15y – 6x 5

=

=

h) –3x +5y 0

–7x + y 4

=

=

i) x – y –1

x + y –1

=

=

j) –x +3y –4

–x + y –2

=

=

k) x – 2y 8

2x + y 1

=

=

l) –x – 2y –6

–x + 4y 6

=

=

m) –x + y –3

–3x +5y –11

=

=

n) 3y – 2 –x

2x – 4 –6y

=

=



41 2 3

7. Sin resolver los siguientes sistemas, determina si cada uno de ellos es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Guíate por el ejemplo

Ejemplo: 3x +3y 13

2y 12 – 3x

=

=

Paso 1 Se expresan como funciones afines las ecuaciones del sistema.

3x +3y 13

2y 12 – 3x

3y –3x +13

2y –3x +12

y –x +133

y –32

x +6

=

=⇒

=

=⇒

=

=

Paso 2 Se analizan sus pendientes y sus coefi-cientes de posición.

En la primera ecuación, su pendiente es igual a –1, y el coeficiente de posición es 13

3.

En la segunda ecuación, su pendiente es –32

, y el coeficiente de posición es 6.

Paso 3 Ya que las pendientes son distintas, las rectas asociadas a las ecuaciones del sis-tema son secantes, por lo que el sistema es compatible determinado.

a) 2x –12y 6

3x + y 9

=

=

b) x + y 12

–y + 2x 9

=

=

c) –2y + 5x 29

2x + 5y 29

=

=

d) x – 5y 8

–7x + 8y 25

=

=

e) x + 2y 1

4x + 8y 3

=

=

f) 3x – 2y 13

2x + 4y 3

=

=

g) 65

x –23

y 4

34

x +56

y 2

=

=

h) 23

x – 8y 1

14

x – 3y 2

=

=

i) 25x + 10y 4

15x + 6y125

=

=

j) 34

x + 2y 0

12

x +43

y 0

=

=

8. Asocia a cada uno de los siguientes gráficos su respectivo sistema de ecuaciones. Para ello, identifica primero el tipo de sistema que representa, y luego analiza los sistemas dados.

a.

b.

c.

d.

x – 2y 4

–x – 2y 0

=

=

4x – 3y –1

3x + y –4

=

=

6x – 8y 0

15x – 20y –5

=

=

x – 2y 0

5x –10y 0

=

=

Aplica

9. Desafío: crea un sistema de ecuaciones compatible determinado cuya solución sea (3, –5), un sistema compatible indeterminado y un sistema incompatible.

§ Es posible que un sistema de ecuaciones lineales tenga dos soluciones (y no más)? Si la solución no es única, ¿necesariamente hay infinitas? Discute con tus compañeros.

Reflexiona


Lecc

ión

35

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Propósito: resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales.

En una igualdad puedes multiplicar ambos lados de ella por un mismo número sin que esta se altere. Debes multiplicar cada término, respetando los signos. Por ejemplo

2x – 3y = 8 / • –5(–5)•(2x) – (–5) • (3y) = (–5) • 8

–10x + 15y = –40

Debes saber…

AyudaUna igualdad es una expre-sión matemática que involucra el signo =. Pueden darse 3 casos:Absurdo: la igualdad no se cumple en ningún caso. Por ejemplo

x + 2 = x + 3

Identidad: la igualdad se cumple en todos los casos. Por ejemplo

x² – 1 = (x + 1) (x – 1)

Ecuación: la igualdad se cumple solo en algunos casos. Por ejemplo

2x + 5 = 11

Se cumple solo si x = 3.

Hasta el momento has podido resolver sistemas de ecuaciones por medio de tablas de valores o de gráficos, pero estos métodos tienen limitaciones que no los hacen fáciles de aplicar en ocasiones. En adelante utilizaremos algunos métodos algebraicos.

Método de sustituciónConsidera los siguientes sistemas de ecuaciones:

==

(1)x + 4y 1

3x +12y –1

==

(2)2x – y 3

4x – 2y 6

==

(3)2x – 3y 9

x +5y –2

Podemos observar que en cada uno de ellos hay una ecuación en la que una de las variables aparece con coeficiente igual a 1 o a –1. Para resolver cada sistema aplicaremos los siguientes pasos.

Paso 1 Se despeja la variable con coeficiente 1 o –1 en la ecuación indicada.

==

x 1– 4y3x +12y –1

==

2x – 3 y4x – 2y 6

==

2x – 3y 9x –2 – 5y

Paso 2 Se sustituye la expresión obtenida en el despeje en la otra ecuación para obtener una ecuación con una incógnita, que se resuelve.

3 1– 4y +12y –1

3 –12y+12y –13 –1

( ) =

==

( )===

4x – 2 2x – 3 6

4x – 4x + 6 60 0

2 –2 – 5y – 3y 9

–4 –10y – 3y 9–13y 13

y –1

( ) =

===

Paso 3 En el primer caso se obtiene un absurdo, lo que indica que el sistema no tiene solución. En el segundo caso se obtiene una identidad, que indica que el sistema tiene infinitas soluciones. En el tercer caso, en cambio, se obtiene un valor para la incógnita y.

Remplazamos este valor en la ecuación despejada del paso 1, para deter-minar x.

x = –2 – 5(–1)x = –2 + 5

x = 3

Paso 4 Podemos concluir que:

• el primer sistema es incompatible.

• el segundo sistema es compatible indeterminado.

• el tercer sistema es compatible determinado, y su solución es (3, –1).


41 2 3Propósito: resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales.

Método de igualaciónConsidera los siguientes sistemas de ecuaciones.

==

(1)3x +5y 93x – 2y –12

==

(2)2x –11y –53x –11y 9

==

(3)2x – 6y –10

x +6y 4

Podemos observar que en cada uno de ellos, en ambas ecuaciones el coeficiente de una de las variables es el mismo (o con signo contrario). Para resolver cada sistema aplicaremos los siguientes pasos.

Paso 1 Se despeja la variable con coeficiente común

==

3x 9 – 5y3x –12+2y

==

–11y –2x – 5–11y –3x +9

==

2x +10 6y6y 4 – x

Paso 2 Se igualan las expresiones obtenidas en ambas ecuaciones para obtener una ecuación con una incógnita, que se resuelve.

= ====

3x 9 – 5y –12 + 2y9 + 12 2y + 5y

21 7y3 y

= ===

–11y –2x – 5 –3x + 93x – 2x 9 + 5

x 14

= ====

6y 2x + 10 4 – x2x + x 4 –10

3x –6x –2

Paso 3 Remplazamos el valor obtenido en alguna de las ecuaciones del sistema obtenido en el paso 1 para determinar el valor de la otra variable.

==

3x 9 – 5 • 3x –2

–11y –2 •14 – 5y 3==

6y 4 – –2y 1==

Paso 4 Las soluciones de los sistemas son, respectivamente, (–2, 3), (14, 3) y (–2, 1). Considerando este método podemos realizar algunas observaciones:

• Es posible multiplicar (o dividir) por un número una de las ecuaciones, o ambas, para obtener variables con el mismo coeficiente y aplicar el método. Por ejemplo:

==

→==

5x – 3y –18x – 6y 5

• 2 10x – 6y –28x – 6y 5

• Se despeja la variable con coeficiente común –6y –2 –10x–6y 5 – 8x==

• Se igualan las expresiones:

–6y = –2 – 10x = 5 – 8x–2 – 5 = –8x + 10x

–7 = 2x

–72

= x

AyudaPara sistemas compatibles indeterminados o incompa-tibles obtenemos resultados similares a los que se observan al aplicar el método de susti-tución. Así, al realizar el paso 2 se obtendrá una identidad si hay infinitas soluciones, y un absurdo si no hay solución.

• Se reemplaza este valor en una de las ecuaciones:

5 • –72

– 3y –1

y –112

=

=

Obtenemos la solución –72

, –112

.


Lecc

ión Método de reducción

Considera los siguientes sistemas de ecuaciones.

(1)2x +3y 64x +5y –1

==

==

(2)5x – 8y 04x +2y 7

==

(3)2x +3y 15x – 2y 1

A diferencia de los casos anteriores, no observamos términos con coeficientes comu-nes en las ecuaciones. Sin embargo, podemos realizar algunas operaciones algebraicas que nos permitan que si los haya, aplicando los siguientes pasos.

Paso 1 Se multiplica una de las ecuaciones del sistema, o ambas, por un número que permita que en ambas ecuaciones una de las variables quede con el mismo coeficiente u opuesto.

==

↓==

2x +3y 64x +5y –1

• 2

4x +6y 124x +5y –1

5x – 8y 04x +2y 7 • 4

5x – 8y 016x +8y 28

==

↓==

==

↓==

2x +3y 15x – 2y 1

• 5

• 2

10x +15y 510x – 4y 2

Paso 2 Se suman o restan las ecuaciones (según convenga) de lado a lado, para reducir el término con coeficiente común. Se obtiene así una ecuación con una sola incógnita que se resuelve.

==

==

4x +6y 124x +5y –1 –

0x + y 13y 13

5x – 8y 016x +8y 28 +

21x +0y 2821x 28

x43

==

==

=

==

==

=

10x +15y 510x – 4y 2 –

0x +19y 319y 3

y3

19

Paso 3 Se remplazan los valores obtenidos en alguna de las ecuaciones originales, para determinar el valor de la otra incógnita.

=

=−

2x +3 •13 6

x332

5•43

– 8y 0

y56

=

=

=

=

2x + 3 •3

191

x5

19

Paso 4 Las soluciones de los sistemas son, respectivamente,

–

332

,13 ,

43

,56

y

519

,3

19.

35

Razonay comenta§ Trinidad dice que, en

el fondo, los tres siste-mas de resolución son lo mismo, y se pueden aplicar para cualquier sistema de ecuacio-nes. ¿Estás de acuerdo con ella? Justifica.

§ ¿Qué se obtendrá si se resuelve por reducción un sistema de ecua-ciones compatible indeterminado? ¿Y uno incompatible? Justifica.

En resumenPodemos resolver un sistema de ecuaciones utilizando los métodos de sustitución, igualación o reducción. En los tres casos, buscamos reducir las ecuaciones a una ecuación de una incógnita que se resuelve, y luego permite calcular el valor de la otra.



41 2 3

Repaso

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 4x – 8 = 6 + 2x

b) 16 + 3x = –12 – 4x

c) 4x + 17 = 11x + 24

d) 4(x – 3) + 40 = 64 – 3(x – 2)

e) 2(x – 4) – (6 + x) = 3x – 4

f) 3x + 12 + 2x + 10 = 6

g) 15(x – 1) + 20(x + 1) = 75

h) 15 (x – 1) – 2 (x + 1) = 75

i) 15(x + 2) = 6(x + 1) + 10(x – 1)

j) 10(13 – x ) + 15 (2 – x ) = 4 + x

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas, evaluadas para los valores indicados.

a) 2x – 5x2 + x(x – 1), para x = –2

b) 2x4 + 3x3 – 2x2 – 6x + 2, para x = 6

c) x3 – 3x2 + x + 2, para x = 0,5

d) 2x3 – 3x2 + x – 2, para x = –9

e) 3x + 32x

–x –10

x, para x = 3

f) x + 1x

+ x –(x –10)2

4 , para x = 5


a) 2x – 8y – 6y – y – 9x

b) (2x4 – 3x2 + 1) + (4x2 – 2x + 8)

c) 4(x – 1) + 1+ 3(x + 1)

d) –2(2x – 4) + 5(–2x – 10)

e) 3a2 – [2a – 1 – (2a2 – 5a + 3)] – 6

f) (3a2 – 5ab + 2c – 2bc) – (5a2 – 5ab – 2bc)

g) 25

x – 0,5 +32

(x – 6)( )

h) x +12

x – 2 – –12

x – x +23

x2 2

Práctica guiada

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución. Guíate por el procedimiento visto en la lección.

a) x 10y

x + y 12

==

b) x + y 50

x y –10

==

c) 2x + y 12

x + 3y 11

==

d) x – y 10

2x + 3y 10

==

e) x y + 10

4x + y –3

==

f) 2x + y 7

5x – 2y –5

==

g) x + y 5

2x + y 10

==

h) x – y 3

x + 2y 18

==

i) x – y 4

2x – 4y 13

==

j) x + y 2

3x – y 2

==

k) x + 2y 25

2x + 3y 40

==

l) 3x – 2y 1

x + 4y 19

==

m) –2x + y 9

4x – 3y 10

==

n) –2x + y 12

3x – 5y 4

==

ñ) x4

– 5 y

3x + 20 2y

=

=

o) –3x + 40 –10y

3x + 15y y

==

p) 3x – 4y – 4 8

x + 2y 3

==

q) 5x – y –4

2y –10 6x

==

5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación. Guíate por el procedimiento visto en la lección.

a) 2x + 2y 8

3x + 2y 14

==

b) x – 3y 1

2x + 3y 7

==

c) x + 2y 25

x + 3y 40

==

d) 2x + 6y 6

2x – 3y –10

==

e) –2x + y –2

3x – y 4

==

f) 5x – y 3x

2x + y 8 + 3x

==

g) x + 6y 6

–x + 3y 2

==

h) 2x –10 100 – 5y

–5y – x –10

==

i) x –15

– 5y 0

y –15

– 2x 5

=

=

j) 2x – 3y 12

3y – 25 5x

==

41 2 3

Prac

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lo a

pren

dido


6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción. Guíate por el procedimiento visto en la lección.

a) 2x + 5y 1

7x + 2y –12

==

b) 3x – 4y –8

22x + 3y 6

==

c) 5x – 4y 2

–3x + 5y 5

==

d) 3x + 2y 7

–18x + 3y 6

==

e) 2x – 4y 0

–2x + 5y 3

==

f) x + y 1

–2x – y 9

==

g) 2x + y 5

3x – 2y 11

==

h) 2x – 5y 4

3x + 7y 0

==

i) 2x + 5y 0

3x + 7y 0

==

j) 24x + 13y 80

18x –7y 90

==

Aplica

7. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras. Justifica tu elección.

a) –2x – 5y –10

7x + 2y –10

==

b) x –7y –2

x + 4y –9

==

c) 3 x + 1 + y 2

y + 43

– x 6

( ) =

=

d) 2 x –1 6

x – y 10

( )==

e) –3x + 4y –7x

5x + y –1

==

f) 2y –52

x

2x 1

4+ y

y4

=

−

=

g) 1– x y + x

x –14

1

2 2( ) =

=

h) x –1

4+ y x – 2

5–y + 1

42x + 1

3

=

=

i) x + y

4–

2x – 24

0

x – 3y x + 6

=

=

j) x + y2

–x +12

3x – y –1 6x( )

=

=

k) 3x – 2y3

–2 x – y

2x

x4

–y + 6

3–

54

( )=

=

l) 4x – 2y7

+6 x – y

5x

2x9

–2y –1

356

( )=

=

8. Analiza la siguiente estrategia para resolver el

sistema 2x

–5y

–2

3x

–7y

3

=

=

• Se realizan los siguientes cambios de variable:

p1x

q1y

= =

• Con ello se obtiene el sistema 2p – 5q –2

3p –7q 3

==

Que se puede resolver por los métodos estudiados anteriormente.

Aplica la estrategia de cambio de variable para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) 1x

+5y

7

2x

+9y

5

=

=

b) 4x

+3y

–1

3x

+2y

2

=

=

c) 6x

+3y

0

2x

+1y

–1

=

=

d) 3x

+2y

2

2x

–1y

–1

=

=

e) 5x +2y 7

4x – 3y 1

2 2

2 2

=

=

f) 2x – y –1

7x +3y 29

2 2

2 2

=

=

g) 6x – y 0

x + y 0

2 2

2 2

=

=

h) 2x – 3y 5

x +7y –6

2 2

2 2

=

=

9. Considera los sistemas propuestos en la pregunta anterior.

a) ¿Qué restricciones tienen los cambios de variable?

b) ¿Es posible que el sistema original no tenga solución, pero el sistema con las variables reemplazadas sí lo tenga? Justifica y, si corresponde, pon un ejemplo.



41 2 3

§ ¿Cuál de los métodos de resolución de sistemas te resulta más conveniente? ¿Por qué?§ ¿Cómo podrías interpretar un sistema de ecuaciones lineales, de tres ecuaciones con tres incógnitas? Investiga

Reflexiona

10. Considera el siguiente sistema de ecuaciones de coeficientes literales.

ax + by e

cx + dy f

==

a) Utiliza el método de reducción para demostrar que su solución está dada por la expresión

de –bfad–bc

,af – cead–bc

b) Considerando lo anterior, ¿qué debe ocurrir para que el sistema tenga solución única?

c) Analiza lo que ocurre si ad = bc pero de – bf ≠ 0? ¿Qué tipo de sistema es? Justifica.

d) Analiza lo que ocurre si ad = bc y de – bf = 0? ¿Qué tipo de sistema es? Justifica.

11. Aplica la fórmula de la pregunta anterior para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 2x + 5y 1

x + 3y 1

==

b) 29x + 4y 12

7x + y 1

==

c) 2x + 3y –7

6x + 9y 5

==

d) x + y 0,1

x – y 0,5

==

e) x + 4y 2

3x + 13y 9

==

f) 3x + 2y 0

2x + 3y 1

=

=

g) 5x – y 6

x + 5y –2

=

=

h) 3 –1 x – y 19

x – 3 + 1 y 5

( )( )

=

=

i) x + 2y 3

3x + 6y 1– 3

=

=

j) x – 12y 9

x + 3y 10

=

=

12. Considera el sistema de ecuaciones

ax+ a + 1 y e

a + 1 x+ a + 2 y f

( )( ) ( )

=

=

Con a, e y f números enteros. Muestra que el sistema es compatible determinado y su solución siempre son valores enteros.

13. Un sistema de ecuaciones se denomina homogéneo si sus términos libres son ambos iguales a cero. Muestra que un sistema homogéneo, o bien es compatible indeterminado, o tiene solución única e igual a (0, 0).

14. Analiza la siguiente estrategia para resolver el sistema de tres ecuaciones lineales y tres incógnitas

x + 3y + 2z 2

2x – 2y + z 6

3x + y – z 0

===

• Se utiliza el método de eliminación entre la prime-ra y la segunda ecuación, y luego entre la primera y la tercera, para eliminar la variable x.

x + 3y + 2z 2

2x – 2y + z 6

3x + y – z 0

2x + 6y + 4z 4

8y + 3z –2

3x + y – z 0

===→

===

→

x + 3y + 2z 2

8y + 3z –2

3x + y – z 0

2x + 6y + 4z 4

8y + 3z –2

8y + 7z 6

===

→===

• La segunda y la tercera ecuación forman un sis-tema de dos ecuaciones y dos incógnitas, que se resuelve. Se obtiene así el valor de y y de z.

• Se remplazan los valores obtenidos en la primera ecuación, para obtener el valor de x.

Aplica la estrategia anterior para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.a) x + y + z 6

x – y + z 0

–x + y + z 4

===

b) 2x + 2y + 3z 1

x + y + 4z 120

4x + 8y + 4z 136

===

c) –2x + 3y + 4z –2

–3x – 4z –1

2y + 3z 5

===

d) x + y + z 26

8x + 4y + 4z 120

4x + 8y + 4z 136

===

e) 2x + 7y + 5z 1

x + 3y + z 16

x + 3y – z 20

===

f) x + y + z 1

x – 5y + 4z 0

2x + y – 5z 1

===

g) x + y 2

y + z –2

3x – z 0

===

h) x – 2y + z –5

x + 3y –2

x – 3z 1

===


Lecc

ión

36 Propósito: analizar algebraicamente la existencia de soluciones en un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones puede ser:

§ Compatible determina-do: si tiene solución única.

§ Compatible indetermi-nado: si tiene infinitas soluciones.

§ Incompatible: si no tiene solución.

Debes saber…

AyudaSe dice que una información es consistente si en ella no hay contradicciones. En caso con-trario se dice inconsistente. Por esto, un sistema incompa-tible suele llamarse también inconsistente.

Estefanía debe cotizar el valor de los martillos y serruchos que su curso necesita llevar a los trabajos voluntarios que realizarán en invierno. Para averiguar sus precios preguntó a Emilio, un alumno de otro curso que se encontraba haciendo lo mismo, quien le respondió

“Tres martillos y dos serruchos me costaron $15 300”

Estefanía se dio cuenta de que había muchos precios de martillos y serruchos que podían cumplir esta relación, por lo que siguió consultando a otros estudiantes de otros cursos, que le dieron las siguientes respuestas:

Andrea: “Seis martillos y cuatro serruchos me costaron $30 600”José: “Nueve martillos y seis serruchos me costaron $40 500”Claudia: “Cinco martillos y tres serruchos me costaron $24 100”

¿Puede Estefanía averiguar el precio de un martillo y de un serrucho, con esta nueva información? Para hacerlo siguió estos pasos:

Paso 1 Si llama x al precio de un martillo e y al de un serrucho, la información entrega-da por Emilio y el resto de los estudiantes se puede representar mediante las siguientes ecuaciones:

Emilio: 3x + 2y = 15 300Andrea: 6x + 4y = 30 600

José: 9x + 6y = 40 500Claudia: 5x + 3y = 24 100

Paso 2 Estefanía constata que la información dada por Andrea es la misma que la que le dio Emilio, ya que Andrea compró el doble de martillos y de serruchos, y precisamente le costaron el doble. Es decir, las ecuaciones correspondientes a la información entregada por Emilio y por Andrea son equivalentes, por lo que el sistema que ellas formen es compatible indeterminado.

==

→==

3x + 2y 15 3006x + 4y 30 600

• 2 6x + 4y 30 6006x + 4y 30 600

Paso 3 José compró el triple de martillos que José y el triple de serruchos, pero pagó $ 40 500 por ellos. Estefanía observa que el total no es el triple de lo que pagó Emilio, por lo que le parece que la información entregada por José es contradictoria. Si plantea un sistema con estas dos ecuaciones es incompatible

==

→==

3x + 2y 15 3009x + 6y 40 500

• 3 9x + 6y 45 9009x + 6y 40 500

Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales


41 2 3Propósito: analizar algebraicamente la existencia de soluciones en un sistema de ecuaciones lineales.

Paso 4 La cantidad de martillos y serruchos comprados por Claudia no se relacionan con los que compró Emilio, por lo que la información que entrega Claudia puede complementar a la de Emilio y formar un sistema compatible determinado:

3x + 2y 15 3005x + 3y 24 100

•3

•2

9x + 6y 45 90010x + 6y 48 200

–

x 2300

==

→==

=

3 • 2300 + 2y = 15 3002y = 15 300 – 6 900

y = 4 200

Es decir, con la información entregada por Emilio y Claudia puede determinar que un martillo cuesta $2 300 y un serrucho, $4 200.

¿Cómo podemos determinar, algebraicamente de qué tipo es un sistema sin nece-sidad de resolverlo? Considerando el sistema

ax +by ecx +dy f

==

Se tiene que:

• el sistema es compatible indeterminado si es posible obtener la segunda ecua-ción a partir de la primera (o la primera a partir de la primera) multiplicando o dividiendo por un número k ≠ 0. Es decir, se cumple la relación:

c ka

ca

k= → =

d kbdb

k= → =

f kefe

k= → =

Entonces, ca

db

fe

= =

• el sistema es incompatible si es posible obtener los coeficientes de x e y de la segunda ecuación a partir de los de la primera (o los de la primera a partir de los de la segunda) multiplicando o dividiendo por un mismo número k ≠ 0, pero no el término libre. Es decir, se cumple la relación:

c ka

ca

k= → =

d kbdb

k= → =

f kefe

k≠ → ≠

Entonces, ca

db

fe

= ≠

• el sistema es compatible determinado si no es posible obtener los coeficientes de la segunda a partir de los de la primera (o los de la primera a partir de los de la segunda) multiplicando o dividiendo por un mismo número k ≠ 0. Es decir, para todo número k ≠ 0 se tiene que:

ca

db≠

Razonay comenta§ ¿Es posible que un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas tenga infinitas solucio-

nes para el valor de una de sus variables, pero no para la otra? Si piensas que sí, pon un ejemplo. Si no, justifica por qué.

AyudaPor método de reducción –x = –2 300 / • –1 x = 2 300

AyudaSustituimos el valor de x en la primera ecuación.3x + 2y = 15 300

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pren

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Repaso

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) x + 2y 4

–2x + 3y 5

==

b) 5x – 2y 0

2x + y 3

==

c) x + y –1

4x + y –7

==

d) 3x + 5y 10

–x + 4y –3

==

e) 2x + 7y 0

2x + 11y 0

==

f) –3x + 8y 0

–7x + 10y –9

==

2. Representa gráficamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y determina de qué tipo son.

a) x – 2y 2

x + 3y 5

==

b) x – y 9

2x – 2y 4

==

c) 6x + 15y 0

10x + 25y 11

==

d) 3x + 5y 8

x + 4y –6

==

e) 2x + 10y 1

5x + 25y 7

==

f) 24x + 18y 15

8x + 6y 10

==

3. Identifica la pendiente y el coeficiente de posición de las siguientes funciones afines.

a) y = 4x + 5

b) y = –3x + 8

c) y23

x + 10=

d) y –59

x –1=

e) y = 7x

f) 4 = 5x – y

g) 1x – y

4=

h) =

–3 5 x –

y2

4. Juzga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a) Dos rectas son paralelas si sus coeficientes de posición son iguales.

b) Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones.

c) La solución de un sistema de ecuaciones lineales corresponde a las coordenadas del punto de intersección entre las rectas representadas por las ecuaciones.

d) Si las rectas correspondientes a un sistema de ecuaciones tienen igual pendiente, el sistema es compatible determinado.

e) Un sistema de ecuaciones formado por ecuacio-nes equivalentes es incompatible.

Práctica guiada

5. Analiza los siguientes sistemas y determina de qué tipo son. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: 8x + 12y 46x + 9y 5

==

Paso 1 Se analizan los coeficientes de x en am-bas ecuaciones, para determinar k:

= → = =6 k • 8 k68

34

Paso 2 Se verifica si al multiplicar el coeficien-te de y de la primera ecuación por k se obtiene el de la segunda:

= = =k •1234

•12364

9

Se concluye que el sistema es compatible determi-nado o incompatible.

Paso 3 Se verifica si ocurre lo mismo con los términos libres.

= = = ≠k • 434

• 4124

3 5

La relación no se cumple, por lo que el sistema es incompatible.

a) 2x + 3y 2

–3x – 4y 5

==

b) x – y 1

–x + y 5

==

c) 7x + 9y 0

2x + y 11

==

d) 18x + 27y 81

2x + 3y 9

==

e) x + 2y 4

2x + 4y 8

==

f) 4x – y 0

2x + y 0

==

g) 12x + 8y 20

3x + 2y 5

==

h) 10x –7y 4

3x + 5y –6

==

i) 14x + 49y –21

4x + 14y –6

==

6. Analiza de qué tipo son los siguientes sistemas de ecuaciones según el valor de k. Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: 2x – 3y 45x + ky 11

==



41 2 3

Paso 1 Se analiza la condición que debe cumplir k para que el sistema sea compatible determinado.

≠−→ ≠

52

k3

k –152

Por lo tanto, si ≠k –152

, el sistema es compatible determinado.

Paso 2 Se analiza lo que ocurre si =k –152

. Al

remplazar este valor se obtiene el sistema=

=

2x – 3y 4

5x –152

y 11

Se observa que

=5

52

• 2

( )=–152

52

• –3

=11114

• 4

El número por el que se debe multiplicar el término libre de la primera ecuación para obtener el de la segunda no es igual al utilizado para obtener los coeficientes. Por

lo tanto, si k –152

= el sistema es incompatible.

a) x + 4y 1

3x + ky 3

==

b) 8x –10y 15

4x + ky 6

==

c) 3x – y 0

kx + 9y 4

==

d) x + ky 0

5x + 8y 1

==

e) 5x + ky 1

5x + y 1

==

f) x + 5y 4

kx + 10y 8

==

Aplica

7. Para los siguientes sistemas, determina valores de a y de b para que se cumpla la condición pedida.

a) 2x + 5y 4

ax + by 9

==

, para que sea compatible determinado.

b) ax + 8y 4

2x + by 8

==

, para que sea compatible indeterminado.

c) x + ay 2

4x + by 10

==

, para que sea incompatible.

d) 3x + ay b

5x + by 9

==

, para que sea compatible determinado.

8. Verifica las siguientes proposiciones.

a) El sistema kx –10y 1

4x + ky 8

==

es compatible determina-

do, para cualquier valor real de k.

b) El sistema x –7y 1

x + ky 8

==

no puede ser compatible

indeterminado.

c) El sistema x + y k

x + y k + 1

==

no puede ser compatible.

d) El sistema ax –by e

cx + dy f

==

es compatible determina-

do si a, b, c y d son números naturales.

9. Determina en cada caso si la información entregada por Enrique y Daniela es consistente o inconsistente. Justifica en cada caso.

a) Enrique: mi edad es el doble de la de Daniela.Daniela: la edad de Enrique menos mi edad, es igual a mi edad.

b) Enrique: El costo de cuatro relojes y dos lapiceras es igual a $21 000.Daniela: El costo de seis relojes y tres lapiceras es igual a $25 000.

10. Determina cuál(es) de los siguientes sistemas es(son) compatible(s) indeterminado(s).

a) x – 3y b – a

x – y a + b2 2

=

=

b) x + y b –1

ax – ay b –12

=

=

c) x + y b – a

–ax + ay a – ab2

=

=

11. Desafío: Emilio quiere determinar las ecuaciones de 3 rectas, L1, L2 y L3, de modo que L1 y L2 formen un sistema compatible determinado, L1 y L3 uno indeterminado y L2 con L3 formen uno incompatible. ¿Es posible hacerlo? Si no es posible, justifica por qué.

12. Desafío: Andrés y Camilo discuten sobre el área y perímetro de un rectángulo. Andrés asegura que no se puede construir un rectángulo cuyo perímetro sea 22 cm y la diferencia entre la medida del largo y ancho sea de 3 cm, en cambio Camilo insiste que si existe. ¿Quién tiene la razón?¿Cómo lo puedes averiguar?

§ En ocasiones, los medios de comunicación entregan información inconsistente, o incompatible entre sí. ¿Has visto casos de este tipo? Busca un ejemplo en diarios, revistas o televisión

Reflexiona


Lecc

ión

37

Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales

Propósito: plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (p, q), de modo que al remplazar estos valores por las incógnitas, ambas igualdades se satisfacen.

Debes saber…

La edad de Rubén menos la edad de Luis es igual a 27 años, y el triple de la edad de Rubén más el doble de la de Luis es igual a 61 años, ¿qué edad tiene cada uno?

Para resolver este problema aplicaremos los métodos vistos en esta sección mediante los siguientes pasos.

Paso 1 Asignamos las variables x e y a las edades de Rubén y de Luis, respectivamente.

x: edad de Rubén.y: edad de Luis.

Con esto podemos plantear el sistema de ecuaciones.

La edad de Rubén menos la edad de Luis es igual a 27 años:

x – y = 27

El triple de la edad de Rubén más el doble de la edad de Luis es iguala a 61 años:

3x + 2y = 61

Por lo tanto el sistema es:x – y 27

3x + 2y 61==

Paso 2 Analizamos si el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o si no tiene solución. Para ello, observamos que:

• el coeficiente de x en la segunda ecuación (3) se obtiene multiplicando por 3 el coeficiente de x de la primera (1).

• el coeficiente de y en la segunda ecuación (2) se obtiene multiplicando por –2 el coeficiente de y de la primera (–1).

Ya que los valores por los que se debe multiplicar son distintos, el sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución única.

Paso 3 Se resuelve el sistema utilizando alguno de los métodos vistos. En este caso, ya que la primera ecuación tiene variables con coeficiente igual a 1 es conveniente proceder por sustitución.


41 2 3Propósito: plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

x – y 273x + 2y 61

x 27 + y3x + 2y 61

3 27 + y + 2y 61

81+ 3y + 2y 615y –20

y –4

( )

==

→==

=

===

Se remplaza el valor obtenido y = –4 en la ecuación despejada.

x = 27 + (–4)x = 23

Por lo tanto, la solución del sistema es (23, –4).

Paso 4 Se analiza si la solución obtenida es pertinente al contexto del problema, es decir, si realmente es posible que las variables tengan estos valores.

En este caso, x e y son edades de personas, por lo que no es pertinente que existan valores negativos. Por lo tanto, si bien el sistema asociado al problema tiene solución —y única— el problema mismo no tiene solución.

Paso 5 Aunque en este caso la solución no es pertinente, en el caso de que lo fuera pue-des verificar que los valores obtenidos satisfacen las condiciones del problema. En este caso:

La edad de Rubén menos la edad de Luis es igual a 27 años:

x – y = 27 23 – –4 = 27 27 = 27

El triple de la edad de Rubén más el doble de la de Luis es iguala a 61 años:

3x + 2y = 61 3 • 23 + 2 • –4 = 61 69 + –8 = 61 61 = 61

Por lo tanto, podemos verificar que la solución obtenida sería correcta pues cum-ple las condiciones, pero el problema no tiene solución pues el valor obtenido no es pertinente.

Razonay comenta§ ¿Cuál es la diferencia

entre un sistema incom-patible y un problema con solución que no es pertinente? Explica con tus palabras.

§ Analiza el enunciado del problema. ¿Habrías podido anticipar que la solución no era pertinente, antes de re-solverlo? Explica cómo podría hacerse esto.

En resumenPara resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones, asignamos las letras a las respectivas incógnitas, planteamos las ecuaciones y se resuelve el sistema, si tiene solución única. Es importante verificar si la solución obtenida es pertinente al contexto del problema.

Prac

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Repaso

1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.

a) 5x – 7 = 13

b) 19x + 47 = 16

c) x + 15 = 6 (10 + x)

d) –12 – 2x = 6x

e) 2(x – 3 ) = 4x + 1

f) x + 1 = 7 (x + 2)

g) 3 ( x – 1) = 0,5x – 1

h) x – 1 = 0,25x + x

2. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.

a) El perímetro de un rectángulo cuyo ancho mide 2x metros, y largo mide el triple de su ancho.

b) El perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide a + b cm.

c) La edad del mayor de tres hermanos, si el menor tiene x años, y el del medio tiene 3 años más que el menor y cinco años menos que el doble de la edad del mayor.

3. Resuelve los siguientes problemas. Plantea en cada caso la ecuación de primer grado correspondiente.

a) Al dinero que Daniel tiene se le suma su mitad y luego se le agregan otros $6 000, de modo que finalmente queda con $18 000. ¿Cuánto dinero tenía Daniel originalmente?

b) Un rectángulo tiene el doble de largo que de ancho. Si el largo disminuye en 6 cm y el ancho aumenta en 5 cm, la superficie del rectángulo no varía. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

c) Dos hermanos se reparten $20 000 de modo que al mayor le corresponde el triple de dinero que al menor. ¿Cuánto recibe cada uno?

d) Camila compra un automóvil con un 15% de des-cuento, por lo que finalmente paga $3 000 000. ¿Cuánto costaba el automóvil sin el descuento?

e) El doble de la altura de un triángulo disminuida en 8 unidades es igual a 10 unidades. Si el lado correspondiente a dicha altura mide 16 cm, ¿cuál es el área del triángulo?

f) Para elegir a un representante del colegio se rea-lizó una votación entre tres candidatos, en la que se registraron un total de 560 votos. Pablo tiene 75 votos menos que Juan y 55 votos más que Pedro. ¿Cuántos votos obtuvo cada candidato?

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Si no tienen solución única, demuestra por qué.

a) 2x + 3y 9

x + 5y 8

==

b) 4x – 2y 0

–12x + 6y 4

==

c) 7x + 6y –2

6x + 5y –5

==

d) 18x + 30y 6

15x + 25y 5

==

e) 2x + 9y 14

x + y 23

==

f) 5x + 8y 0,1

0,125x + 0,2y 0,5

==

Práctica guiada

5. Resuelve los siguientes problemas. Guíate por el ejemplo estudiado en la lección.

a) Ester pagó $10 000 en total por una polera, una camisa y un pantalón. El costo de la polera más el del pantalón es igual al de la camisa, y el doble del precio de polera es igual al precio del pantalón más $1 000. ¿Cuál es el precio de la polera, camisa y pantalón?

b) Andrea tiene $5 800 en monedas de $100 y $500. Si en total tiene 18 monedas, ¿cuántas monedas de $100 y de $500 tiene?

c) Pedro tiene $500 en monedas de $10 y de $50. Si en total tiene 20 monedas, ¿cuántas de cada tipo tiene?

d) Un producto A cuesta $300 y otro producto B,$350. Omar compra algunos productos A y otros B, de modo que lleva 12 en total. Si paga $3 950, ¿cuántas unidades compró del producto B?

e) Nelson tiene el doble de la edad de Ana y hace cinco años tenía el triple. ¿Cuál será la edad de Ana en 5 años más?

f) La edad de Amaro hace 3 años era la mitad de la edad que tenía Alonso. Si dentro de 2 años la edad de Amaro será igual a la edad de Alonso disminui-da en 3 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

g) Amanda compró en una tienda 5 lápices y2 cuadernos por $2 900. Javiera compró en la misma tienda 6 lápices y 3 cuadernos por $4 050. ¿Cuánto cuestan los lápices y los cuadernos en la tienda?



41 2 3

h) La suma de las edades de Andrés y Jaime es igual a 48 años. Si Andrés tiene el doble de la edad de Jaime, ¿cuáles son las edades de cada uno?

i) En un corral hay conejos y gallinas, que en conjunto suman 36 ojos y 110 patas. ¿Cuántos animales hay?

j) Las edades de dos hermanos están en razón 4 : 5. Si hace dos años el menor tenía 26 años, ¿cuán-tos años tenía el mayor cuando su hermano menor nació?

k) En un curso hay 45 estudiantes. Si el doble de la cantidad de hombres sobrepasa en 10 estudian-tes al doble de la cantidad de alumnas, ¿cuántas mujeres hay en el curso?

l) Si se compran cuatro computadores de la marca A y tres de la marca B se debe pagar $3 573 000; mientras que al comprar cinco de la marca A y cuatro de la marca B se debe pagar $3 500 000. ¿Cuál es el valor de cada computador?

m) A una función de cine asistieron 850 personas y se recaudaron $2 052 400. Si la entrada tenía un valor de $2800 para los adultos y $2200 para los niños, ¿cuántos niños asistieron a la función?

n) La edad de un padre y la de su hijo suman 100 años, y dentro de dos años la edad del padre será el doble de la de su hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de cada uno?

o) En un garaje hay 55 vehículos, entre autos y mo-tos. Si en total se cuentan 160 ruedas, ¿cuántos autos y cuántas motos hay?

p) Andrea ganó el doble de dinero que Paula, y entre ambas ganaron $210 000. ¿Cuánto ganó cada una?

q) En un taller de pintura, una máquina la mezcla de acuerdo con el color y el tinte elegido por el consumidor. El precio de una lata de pintura se calcula de acuerdo a las cantidades de cada una de estas sustancias. El precio de un galón de látex es de $4000 y el de tinte es de $8000. Si un clien-te pagó $100 000, por quince galones en total, ¿cuántos galones de látex y tinte compró?

r) María compra 5 kg de manzanas y 2,5 kg de na-ranjas pagando en total $4550. Al otro día regresa a comprar más, y por 6 kg de manzanas y 4 kg de naranjas paga $5250. ¿Cuál es el precio por kg de manzanas y de naranjas?

Aplica

6. Resuelve los siguientes problemas geométricos.

a) El perímetro de un rectángulo es 50 cm y el largo excede al ancho en 1 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?

b) ¿Cuáles son las me-didas de los ángu-los dibujados en el siguiente triángulo rectángulo?

c) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos interiores del siguiente paralelo-gramo?

d) Dos ángulos α y β son complementarios. Si se aumenta la medida del primero al doble y la medida del segundo disminuye en 10 grados, al sumarlos se obtiene el suplemento de 45°. ¿Cuá-les son las medidas de los ángulos α y β?

e) El perímetro de un terreno rectangular mide 232 m. Si se sabe que el largo es 8 m mayor que el ancho, ¿cuáles son sus dimensiones?

f) α y β son dos ángulos complementarios y la diferencia entre el doble del ángulo α y el ángulo β es de 180° ¿Cuáles son los ángulos?

g) ¿Cuáles son las medidas de x e y en la siguiente figura?

h) En la siguiente figura la suma de las medidas de w y z es de 90° y el ángulo exterior a la circunferencia mide 30° ¿Cuáles son las medidas de los arcos AB y CD?

i) En la siguiente circunferencia, la suma de las medidas de los ángulos inscritos α y β es de 68°, y la tercera parte de la medida del ángulo del centro γ más la del ángulo del centro α es de 150°. ¿Cuánto mide cada ángulo en la circunferencia?

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


7. Resuelve los siguientes problemas numéricos.

a) La suma de dos números es 30 y su diferencia es igual a 6. ¿Cuáles son los números?

b) Un número de 2 cifras es igual a cuatro veces la suma de sus cifras y si se invierten de orden las cifras, el número aumenta en 36 unidades. ¿Cuál es el triple de dicho número?

c) Dado un número entre 200 y 300, la cifra de las decenas es la tercera parte de la cifra de las unidades y la suma de las tres cifras es 14. ¿Cuál es el número?

d) Encuentra dos números que sumados den 285 y restados, 121.

e) Si al sumar dos números impares consecutivos resulta 8, ¿cuál es el producto de estos números?

f) Al simplificar una fracción se obtiene 2. Si se dis-minuye el numerador en 1 unidad y se aumenta el denominador en 4, se obtiene 1

2. ¿Cuál es la

fracción original?

g) Dos números naturales están en la razón 7 : 5. Si la diferencia entre ellos es 8 unidades, ¿cuáles son los números?

h) La suma de dos números es 17 y la diferencia entre triple del primero y la mitad del segundo es 23. ¿Cuáles son los números?

i) Al sumar los dígitos que componen un número de dos cifras resulta 12. Si se invierten los dígitos del número, este aumenta en 54 unidades. ¿Cuál es la cifra de las unidades del número?

j) La suma de las dos cifras de un número equivale a la tercera parte del número. Si la cifra de las unidades excede en cinco a las decenas, ¿Cuál es el número?

k) La suma de dos números es 27. Si al primero de ellos se le suman 5 unidades y al segundo se le restan 5 unidades, se obtiene que el primero es el doble del segundo. ¿Cuáles son los números?

8. Analiza la pertinencia de los resultados en cada problema.

a) 5 gomas más dos lápices cuestan $650 y por el precio de 3 gomas más 50 pesos me llevo un lápiz. ¿Cuánto cuesta cada artículo?

b) Sean dos números enteros positivos tales que el triple del primero menos el segundo es igual a 79 y el doble del primero más el segundo es igual a 31. Hallar los números.

c) En un juego, 2 fichas verdes y 4 blancas entregan 6 puntos, y 2 fichas blancas más 3 verdes dan 17 puntos ¿Cuántos puntos entrega cada ficha?

d) Si en una fracción restamos 2 al numerador y al denominador, el resultado es 7

10. Pero si al nume-

rador restamos 1 y al denominador restamos 4, el resultado es 3

4. Determina la fracción.

9. Conexiones: Se llama reacción química a la transformación de una o más sustancias iniciales (reactantes) en una o más sustancias finales (productos). Una reacción se representa mediante una ecuación química, de la forma:

A + B → C + DReactantes Productos

Por ejemplo, la reacción entre el metano (CH4) y el oxí-geno (O2) produce dióxido de carbono (CO2) y agua (H20). Por lo tanto, se puede representar mediante la ecuación:

CH4 + O2 → CO2 + H2O

Sin embargo, podemos observar que en esta ecuación hay 4 átomos de hidrógeno en los reactantes pero solo hay 2 en los productos, mientras que hay 2 de oxígeno en los reactantes y 4 en los productos. Para que se respete la ley de conservación de la materia de Lavoisier es nece-sario utilizar coeficientes estequiométricos, que ajustan la ecuación de manera que haya la misma cantidad de átomos en reactivos y productos. En este caso:

xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O

Con ello, se obtiene que:

Átomos Reactantes ProductosC x • 1 = x z • 1 = zH x • 4 = 4x w • 2 = 2wO y • 2 = 2y z • 2 + w = 2z + w

Lo que genera el sistema de ecuaciones:

x z

4x 2w

2y 2z + w

===

Este tipo de sistemas siempre tiene infinitas soluciones, por lo que para encontrar una de ellas daremos un valor a x, y a partir de ello encontraremos los demás valores.



41 2 3

§ ¿En qué otros contextos has utilizado palabra “pertinente” o “impertinente”. Menciona dos ejemplos para cada una.Reflexiona

Sea x = 1. Con ello.

1 z4 •1 2w2y 2 •1+w

1 z2 w2y 2 + w

1 z2 w2y 2 + 2

===

→===

→===

Se obtiene así que una solución posible es x = 1, y = 2, z = 1 y w = 2. Por lo tanto, la ecuación co-rrecta es:

CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O

Ajusta las siguientes ecuaciones químicas:

a) NaCl + H2S04 → HCl + Na2SO4

b) H2CO3 + KClO → K2CO3 + HClO

c) C4H10 + 02 → CO2 + H2O

d) HCl + Ca → CaCl2 + H2

10. Conexiones: En economía se llama oferta a la relación entre el precio de un artículo y la cantidad de ellos que un mercado (vendedor) pondrá a disposición a dicho precio. Mientras mayor sea el precio, mayor cantidad de artículos estará dispuesto el mercado a poner a la venta.

A la inversa, se llama demanda a la relación entre el precio de un artículo y la cantidad de ellos que los compradores efectivamente estarán dispuestos a comprar. Mientras mayor sea el precio de venta, menos compradores habrá dispuestos a comprar.

En ocasiones, la oferta y la demanda pueden modelarse por medio de ecuaciones lineales que conforman un sistema de ecuaciones. En él, la solución se conoce como punto de equilibrio. Por ejemplo:

Si el precio de un artículo es $80, el mercado pon-drá a la venta 60 de ellos, mientras que si el precio es $200 pondrá 100 artículos. La función corres-pondiente a la oferta es la de la recta que pasa por los puntos (80, 60) y (200, 100), es decir:

y13

x +100

3x – 3y –100= → =

A la vez, si el precio del artículo es $80 habrá 120 compradores, mientras que si es $200 habrá solo 40. La función correspondiente a la demanda es

la de la recta que pasa por los puntos (80, 120) y (200, 40), es decir:

y13

x +100

3x – 3y –100= → =

El punto de equilibrio corresponde a la solución del

sistema x – 3y –100

2x + 3y 520

==

, es decir, (140, 80). El punto de

equilibrio representa la combinación “ideal” entre precio del artículo y unidades vendidas, es decir, en la que tanto compradores como vendedores quedarán satisfechos. En este caso, el precio del artículo será de $140, y habrá 80 artículos comprados/vendidos.

Calcula el punto de equilibrio en las siguientes situaciones:

a) Si el precio de un artículo es $40, el mercado pondrá a la venta 60 de ellos, mientras que si el precio es $120, pondrá 140 artículos. A la vez, si el precio del artículo es $40 habrá 140 comprado-res, mientras que si es $120 habrá solo 60.

b) En una empresa de útiles escolares la función correspondiente a la oferta de cierto lápiz es y=x+20, y la función correspondiente a la de-

manda es y –25

x + 160= .

c) Don Carlos vende sandías en la feria. Si las ofrece a $1000 pesos lleva 60 al puesto, y si las vende a $800 lleva 40. A su vez él sabe que si las ofrece a $600 le compran 100 sandías y si las ofrece a $1200 le compran 55. (Aproxima el precio a la decena y la cantidad a la unidad).

11. Considera la oferta y la demanda.

a) ¿Puede originarse un sistema compatible inde-terminado? ¿Y uno incompatible? Justifica.

b) ¿En qué casos una situación de oferta y demanda tiene solución que no es pertinente? Discute con tus compañeros y cita ejemplos.

c) Investiga qué significa que una demanda sea elás-tica o inelástica. Cita dos ejemplos para cada caso.

12. Desafío: Una empresa de jugos naturales necesita preparar 300 litros de jugo al 85% de pureza. En las bodegas hay dos tipos de jugos: unos con un 95% de pureza y otros con un 80%. ¿Cuántos litros de cada tipo de jugo se deben mezclar para obtener la cantidad de jugo con la concentración deseada?



Un automóvil está cargando combustible en un punto A de la carretera; mientras que un ciclista está des-cansando en un punto C ubicado 240 km más adelante por la misma carretera. Si ambos retoman su viaje en el mismo sentido y de manera simultánea con una rapidez constante de 90 km/h y 30 km/h respectivamente, ¿cuál es la distancia que logrará recorrer el ciclista antes de ser alcanzado por el automóvil?


a. ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta?La fórmula que relaciona la rapidez constante, el tiempo y la distancia recorrida, y los valores asociados al pro-blema.

b. ¿Qué información entrega el enunciado del problema?La distancia que separa al ciclista del automóvil y la rapidez con que se mueven en la misma dirección.


En primer lugar se debe relacionar la rapidez, el tiempo y la distancia recorrida por el automóvil y el ciclista,

es decir vdt

= donde v es la rapidez, t el tiempo y d la distancia. Por otro lado, puedes expresar la informa-

ción que entrega el problema con un dibujo:

Punto deencuentro

240 km x km

ECA

donde E es el punto en el que el automóvil alcanza al ciclista. Así, puedes plantear un sistema de ecuaciones con incógnita x (distancia entre C y E) y t (tiempo transcurrido). Finalmente, al resolver el sistema se obtendrá el valor de la incógnita x, que corresponderá a la distancia que logrará recorrer el ciclista hasta ser alcanzado por el automóvil.


Como la rapidez del ciclista es 30 km/h, entonces 30xt

= , y como la del móvil es 90 km/h, entonces

90240 + x

t= . Luego, el sistema que representa la situación descrita en el problema es

30t – x 0

90t – x 240

==

,

cuya solución esx = 120 y t = 4.


Remplazando x = 120 y t = 4, se verifica cada una de las ecuaciones planteadas.




§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?§ Respecto de los que no cometiste, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes


Reflexiona

Elena debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + 7y 45x – 3y 2

==

Para hacerlo utiliza el método de reducción considerando la primera ecuación del sistema:

2x + 7y 45x – 3y 2

2x 4 –7y x4 –7y

2

==→ = → =

Luego remplaza esta expresión en una de las ecuaciones del sistema

=

==

24 –7y

2+7y 4

4 –7y+7y 40 0

Dado que llega a una identidad, Elena concluye que el sistema es compatible indeterminado.

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Elena?

§ ¿Qué otros errores se pueden cometer en la resolución de sistemas de ecuaciones utili-zando los métodos vistos?

Elena despejó la variable x en la primera ecuación del sistema y luego remplazó la expresión obtenida en la misma ecuación. Lo que debe hacer es hacer el remplazo en la otra ecuación.

=

=

=

=

54 – 7y

2– 3y 2

10 –352

y – 3y 2

–412

y –8

y1641

Luego se remplaza este valor en alguna de las ecuaciones y se obtiene la solución.


Patricio debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

==

6x – 4y 29x – 6y 3

Para ello comienza por probar algunos valores. Primero verifica lo que ocurre si x = 1.

==→

==

→==

6 •1– 4y 29 •1– 6y 3

–4y –4–6y –6

y 1y 1

Así, observa que (1, 1) satisface ambas ecuaciones del sistema. Por lo tanto, concluye que esta es la solución

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Patricio?

§ ¿Qué otros errores se pueden cometer en la resolución de sistemas de ecuaciones?

Patricio no consideró que un sistema de ecuaciones puede tener infinitas soluciones. En este caso se puede verificar que:

=

= −

=

932

•6

–632

• 4

332

•2

Es decir, el sistema es compatible indeterminado y (1, 1) solo es una solución del sistema.



Eval

uaci


Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando tablas de valores.

a. 4x + y 4

–4x + 3y 12

=

=

b. x + 5y 10

7x – 5y 10

=

=

c. x5

– y 4

x + 3y2

2

=

=

2 Utiliza una tabla de valores para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a. En empresa lechera se han envasado 60 00 litros de leche en 2 400 botellas de 2 y 5 litros. ¿Cuán-tas botellas de cada clase se han utilizado?

b. En una librería han vendido 20 revistas a dos precios distintos: unas a $1 600 y otras a $2 400. Si han obtenido $38 400, ¿cuántas revistas se vendieron de cada precio?

Lección 34: Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos

3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por medio de gráficos. Puedes utilizar un proce-sador geométrico.

a. 5x – 3y –8

6x + 7y 1

=

=

b. x + y 9

5x – 6y 23

=

=

c. –2x + 5y –11

x – y 4

=

=

4 Determina el sistema de ecuaciones asociado a cada gráfico.a.

b.

Lección 35: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones uti-lizando alguno de los métodos estudiados. Justifica en cada caso la elección del método empleado.

a. x + 2y 8

x – 4y –10

=

=

b. 3x – y 7

5x + 2y –3

=

=

c. 6x + 7y 1

–4x + 5y 9

=

=

d. 2x – 3y –8

6x – 5y 0

=

=

e. 6x + 2y 0

5x + 2y –5

=

=

f. –4x – 5y –8

2y –15– 3x

=

=

g. 10x – y 4

4x + y 3

=

=

h. 3x – 2y 1

5x + 3y 8

=

=

i. 3x + y2

3

5x – 2y3

–4

=

=

6 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando cambio de variables.

a. 4x

–7y

27

3x

+2y

13

=

=

b. 8x

–1y

0

1x

+71y

=

=

c. 2x

–1y

2

5x

+3y

–17

=

=

7 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras para encontrar los valores de x, y, z según corresponda.

a. 2ax – 5by 0

ax + 2by 1

=

=

b. ax

–by

20

3ax

+2by

15

=

=

c. 2x – 4y + z 3

x + 2y + 3z 4

3x – 6y – z 5

===


Evaluación41 2 3

Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones

8 Analiza los siguientes sistemas y determina si tienen solución única, infinitas soluciones o si no tienen solución.a. x – y 5

3x – 3y 15

=

=

b. 6x – 5y 9

12x –10y 6

=

=

c. 9x + 2y 3

–5x + 7y 1

=

=

d. 24x –18y 1

4x – 6y 22

=

=

e. 5x – 8y 0

5x + 8y 0

=

=

f. 0,5x – 4y –2

2x –16y –8

=

=

9 Para los siguientes sistemas, determina valores de a y de b para que se cumpla la condición pedida.

a. 3x – 4y 7

ax + by 1

==

, sea compatible determinado.

b. 2ax – 6y 10

4x –by 2

==

, sea compatible indeterminado.

c. x + ay 2

4x + by 10

==

, sea incompatible.

10 Dada la ecuación 4x + 12y = 20, crea en cada caso una ecuación que forme con ella:

a. un sistema compatible determinado.

b. un sistema compatible indeterminado.

c. un sistema incompatible.

Lección 37: Plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales


a. El triple de la suma de dos números es 90, y el doble de la diferencia entre ellos es 20. ¿Cuáles son los números?

b. El promedio de dos números es 18. Si el doble del primero más el triple del segundo es 150, ¿cuáles son los números?

c. El perímetro de un rectángulo es 32 cm, y uno de sus lados mide el cuádruple del otro. ¿Cuáles son sus dimensiones?

d. Carolina compró 5 pendrives y 2 tablets en una tienda computacional, por los que pagó $440 000. En la misma tienda, Claudia compró 3 pendrives y 4 tablets en $920 000. Si los pen-drives y las tablets que compraron son idénticos, ¿cuál es el valor de cada artículo?

e. Alicia le dice a Patricio, “el dinero que tengo es el doble del que tienes tú” y Patricio contesta: “Si tú me das $6000, ambos tendremos la misma cantidad”. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

12 Las edades de Eugenia y su hijo Marcelo, suma-das, son iguales a 54 años. Crea en cada caso una información adicional para formar un problema:a. con solución única y pertinente.b. con solución, pero que no sea pertinente.c. sin solución.




Identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales.Ítem 1: 2/3Ítem 2: 1/2

220

Interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales.Ítem 3: 2/3Ítem 4: 1/2

222 y 223

Resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales.Ítem 5: 5/9Ítem 6: 2/3Ítem 7: 2/3

226 a 228

Analizar algebraicamente la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Ítem 8: 3/6Ítem 9: 2/3

Ítem 10: 2/3232 y 233

Plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.Ítem 11: 3/5Ítem 12: 2/3

236 y 237

Diario mural

246

➊ ¿En qué otra disciplina el empleo de símbolos es imprescindible para su desarrollo. Menciona algún ejemplo.

➋ En su novela 1984, George Orwell plantea que, mediante el uso de la neolengua (un idioma simplificado hasta lo más básico) se podía reducir la capacidad de las personas de pensar, es decir, si no existen las palabras adecuadas, hay pensamientos que no pueden desarrollarse. ¿Estás de acuerdo con esta idea? Discute con tus compañeros.


La palabra álgebra proviene del término árabe “al-jabr”, que significa “componer”. De esta forma se denominaba a los procedimientos para resolver una ecuación, en la que se deben ir componiendo los miembros de ella para mantener la igualdad y finalmente llegar a la solución de ella. No está demás decir que la acepción de “algebrista” como componedor perduró algunos siglos en la lengua española, y durante algún tiempo incluso se llamó algebrista al médico que reubicaba y componía los huesos. Su uso en este sentido aparece en el capítulo XV de la segunda parte de Don Quijote de la Mancha, mencionando. “En esto fueron razonando los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado”

Si ya fue un gran avance para la humanidad comenzar a utilizar símbolos que repre-sentaran cantidades, otro aun mayor fue utilizar símbolos que representaran cualquier cantidad (variables). Incluso, en sus inicios la matemática se fue desarrollando en forma retórica, es decir, solo con palabras. Lo que hoy designamos como incógnita fue, por mucho tiempo, llamada “cosa”, de forma que la resolución de un problema podía ser enunciada como “se suma a la cosa cinco, para obtener tres veces la cosa...”.

Poco a poco, los matemáticos fueron abreviando el lenguaje para llegar a términos cortos y precisos que indicaran lo que se deseaba hacer. Esto se conoce como “álgebra sincopada”. Sin embargo, en ella aun no había símbolos para variables ni operaciones, lo que solamente llegaría en el siglo XVI.

Francisco Vieta es quien propone el uso de letras para las variables, y pronto se comenzarían también a utilizar símbolos para las operaciones y las relaciones. En el siglo XVI, Oughtred eligió una X como símbolo para sus multiplicaciones, lo que pronto se popularizó. Sin embargo Leibniz, en 1698, le escribió a Johann Bernoulli: "no me gusta como símbolo para la mutiplicación, pues se confunde demasiado fácilmente con la x; ... a menudo relaciono dos cantidades con un punto interpuesto, e indico la multiplicación mediante ZC·LM".

La barra horizontal de las fracciones era usada por Leonardo Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se

generalizó hasta el siglo XVI. La barra oblicua /, variante de la anterior para escribir en una sola línea, fue introducida por De Morgan en 1845.

El signo para la igualdad es obra de Robert Recorde, que empezó a utilizarlo en 1557. Lo justificó diciendo: "Pondré, como

hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o líneas gemelas de una misma longitud, así:

, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales". Posteriormente el uso acortó estas líneas hasta llegar al símbolo que utilizamos hoy.

Pese a ser resistido en sus inicios, el uso de símbolos acabó imponiéndose por su simpleza, y claridad. Hay quienes plantean que el desarrollo de toda ciencia pasa, invariablemente, por un adecuado lenguaje para desarrollarla. Como decía Euler, el gran matemático suizo, en ocasiones los símbolos y el lápiz se encargan de pensar por nosotros.

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

Como decía Euler, el gran matemático suizo, en ocasiones los símbolos y el lápiz se encargan de pensar por nosotros.

El lenguaje MATEMÁTico


Para sintetizarSí

ntes

isPara sintetizar


Los caldeos fueron un pueblo que habitaba hace más de tres mil años en la zona que hoy conocemos como Irak. Aparte de ser la cuna de muchas culturas de medio oriente y de las tres más grandes religiones monoteístas del planeta —Judaísmo, Cristianismo e Islam— c, tuvieron un avanzado conocimiento de la astronomía que les permitió predecir la ocurrencia de eclipses.

Vistos desde la Tierra, el Sol y la Luna describen trayectorias a través del cielo, de modo que cada día parecen encontrarse en distintas posiciones. Estas trayectorias se encuentran inclinadas una respecto de la otra, de manera que, para que ocurra un eclipse, es necesario que se encuentren en alguno de los puntos de intersección entre sus trayectorias.

Si el tiempo que tardan estos astros en pasar por dichos puntos fuera el mismo, cada mes tendríamos un eclipse. Pero esto no ocurre, por lo que luego de que ocurra una de estas coincidencias, la próxima ocurrirá luego de un tiempo que corresponde al mínimo común múltiplo entre ellas. A esto se añade el movimiento propio de la Tierra, que agrega un tercer factor a este período.


Fracción algebraicaRestricción

Máximo común divisorMínimo común múltiplo

Amplificación y simplificación

Multiplicación y división entre fracciones

algebraicasAdición y sustracción

entre fracciones algebraicas

Funciones y gráficosFunción raíz cuadradaFunción exponencialFunción logarítmica

DesplazamientoReflexión

ParámetrosDilatación

ContracciónSistemas de ecuaciones linealesRepresentación gráfica

Sistema compatible determinadoSistema compatible indeterminado

Sistema incompatible Método de sustituciónMétodo de igualaciónMétodo de reducción

Pertinencia de las soluciones






Síntesis41 2 3

Los caldeos observaron que cada 18 años y 10 días —aproximadamente— se repite un ciclo de eclipses, lo que se conoce como Ciclo de Saros. Los eclipses no se producen en los mismos lugares del planeta y, en ocasiones, ni siquiera se producen, pero este ciclo establece las fechas en las que pueden producirse.

Asteroides y meteoritos

Teóricamente es posible observar estos objetos y lograr determinar su trayectoria, incluso modelándola por medio de funciones, por lo que podría esperarse que, una vez observado un meteorito y definida su trayectoria.

Sin embargo, estos cuerpos se desplazan en medio de muchos otros que modifican su trayectoria, desplazándola, contrayéndola o dilatándola. Si quisiéramos añadir estos parámetros a las funciones que describen sus trayectorias, el estudio de ellas se haría cada vez más complejo y difícil de analizar —como de hecho ocurre—. A medida que los cuerpos son más pequeños, la masa de otros más grandes les afecta de mayor manera, modificando su trayectoria, por lo que la trayectoria de un meteorito, para ser estudiada, debe ser aislada de otros factores externos.



Fracción algebraica y restricciones

Mcd y mcm entre expresiones algebraicas

Operatoria entre expresiones algebraicas

Ecuaciones fraccionarias

Análisis gráfico de funciones

Función raíz cuadrada

Función exponencial

Función logarítmica

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones y gráficos

Tipos de sistemas de ecuaciones

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones



fuer

zoReforzar


Fracción algebraica

1 Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas.

a. –67 –10m

b. 9 – x4(x – 2)

c. 2a + 5(a– 8)(a + 3)

d. 5xx – 42

2 Expresa con una fracción algebraica el costo de un libro si se pagan en total $x2y por comprar xy libros.

Fracciones algebraicas y fórmulas

3 Calcula el valor de (x – 4)x – 5

3

, si x = 7.

4 La fórmula n(n + 1)2

corresponde a la suma de los

primeros n números naturales. ¿Cuánto suman

los primeros 10 números naturales?

Mcd y mcm de expresiones algebraicas5 Determina el mcm y el mcd entre las siguientes

expresiones.

a. 6x, 9x2, 12x3 b. 4pq, 8pqr, 10pr

6 Marcelo está enfermo y debe tomar gotas cada 4a2b2 horas, un comprimido cada 6a3bc2 horas y un jarabe cada 8ab3c horas. Si toma a las 12:00 horas los tres remedios, ¿en cuántas horas más volverá a tomar los tres remedios juntos?

Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas7 Amplifica las siguientes fracciones algebraicas

por la expresión dada.

a. 3x + 2x + 5

, por 2x2.

b. x + 5xy + y

4x – 9y

2 2

2 2 , por xy.

c. 1x + 10x + 252

, por x + 5.

8 Simplifica cada fracción algebraica hasta obte-ner una fracción irreductible.

a. 35a b c7a c

6 7 8

9 10

b. 5b –105b – 52

c. b –16b – 2b – 8

2

2

d. 2x + 2xx + 2x + x

2

3 2

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

9 Calcula las siguientes multiplicaciones.

a. 8a20x

•5x

16a y

2 2

3

b. x – 4x + 4x + 8x + 12

•x + 7x + 6

x – 4

2

2

2

2

10 Calcula las siguientes divisiones.

a. 6a– 6b3a + 3b

:a–b

3a – 3b2 2

b. y – y – 6y – 25

:y – 3y + 5

2

2

11 Claudia compró

7m + 14m –12

metros de género a

$

m–1m + 2

cada metro. ¿Cuánto pagó en total por

la pieza de género?

12 Si se reparten x + 6x + 916x

2

2

lápices de colores

entre 4xx + 3

2

alumnos. ¿Cuántos lápices recibe

cada niño?

Adición y sustracción de fracciones algebraicas13 Calcula las siguientes operaciones.

a. 5p4m

–3p4m

b. 5x –7x + 8 + 76x – 2

–4 + x6x – 2

2

c. 7xx – 5x

–6x

x + 5+

5xx – 252 2

d. x –12(2x + 3)

+ 5 x + 62( )

( )



Refuerzo41 2 3

Resolución de problemas que involucran fracciones algebraicas


a. 9x – 5

8x + 6

= b. 3x –1

+4

x + 112

=

15 El denominador de una fracción excede en 5 al nu-merador. Si el numerador disminuye en 1, el valor de la fracción es 1

4. ¿Cuál es el valor de la fracción?


Funciones, tablas y gráficos

16 Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente:

1

Y

X100

2345

6 7 8 9–2 –1 2 3 4 5

Construye las gráficas de las siguientes funciones.

a. f(x) – 2

b. –f(x) + 1

c. f(x – 4)

d. –f(–x) + 1

Función raíz cuadrada

17 De las siguientes funciones, determina los puntos de intersección con los ejes X e Y, dominio y recorrido.

a. f (x) x – 9 + 4= b. g(x) 7 – x + 5=

18 Construye la gráfica de las siguientes funciones, a partir de la de =y x.

1

Y

X100

2345

6 7 8 9–2 –1 2 3 4 5

a. f (x) x + 3 – 4= b. g(x) x + 5=−

Función exponencial

19 Construye la gráfica de las siguientes funciones.

a. f(x) = 2x – 5 b. g(x) = –3x + 4

20 Identifica en cada caso a qué curva correspon-den las funciones indicadas.

f(x) = 3x + 1 g(x) = 0,2x h(x) = 10x – 1

1

Y

X100

–1

2345

–2–3

–4–5 –3 –2 –1 2 3 4 5

21 Sin graficar, determina el dominio, recorrido e in-tersecciones con los ejes de las gráficas correspon-dientes a las siguientes funciones exponenciales.

a. f(x) = 4x – 2 b. g(x) = 0,2x + 5

Función logarítmica

22 Construye la gráfica de las siguientes funciones logarítmicas, a partir de la de y = log x.

1,51

0,5

1 2 3 4 5 0

0–3–0,5

–1–1,5

–2 –1 X

Y

a. f(x) = log (x – 6) b. h(x)= –log (x – 3) + 2

23 De las siguientes funciones, determina los pun-tos de intersección con los ejes X e Y, dominio y recorrido.

a. f(x) = log x + 6

b. g(x) = –log (x – 7)

c. h(x) = log (x) – 16


fuer

zo


Reforzar Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

24 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando tablas de valores.

a. 3x + y 0

2x – y 25

=

=b. –2x + y 10

4x + 3y 10

=

=

Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos

25 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones para determinar su solución.

a. 3x + y 5

3x + 4y 15

=

− =−

b. 7x 2y 8

x + 2y 8

− =−

=

c. x + y4

–1

x – y4

4

=

=

26 Determina en cada caso el sistema de ecuacio-nes asociado al gráfico.

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4 5

1

Y

X100

–1

234

–2–3–4

–4 –3 –2 –1 2 3 4 5

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones27 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

utilizando un método algebraico.

a. 3(x – 2y) –9

2(x + y) –6

=

=b. 5x – 4y

20

10x + 8y –4

=

=

28 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras para encontrar x, y, z según corresponda.

a. ax – 6by –1

3ax –by –2

=

=

b. x + y + z 1

x – y + z 1

2x – y + z 2

===

Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones

29 Analiza cada sistema y determina si es compati-ble determinado, compatible indeterminado o incompatible.

a. 7x – 2y 8

9x + 6y 1

=

=

b. 16x – 8y –2

–8x + 4y 1

=

=

c. 4x + 5y 8

–8x –10y –4

=

=

Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones

30 Un cuarto de la suma de dos números es 40 y un quinto de su diferencia es 8. ¿Cuál es el número menor?

31 Marcela es un fanática de la tecnología que podría comprar dos celulares y un televisor en $460 000, o un celular y dos televisores en $680 000. ¿Cuál es el costo del televisor?


GuíaProfundizo


41 2 3ProfundizarProfundizarAhora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las siguientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.

Programación linealLee atentamente el siguiente problema y realiza las actividades.

En una pastelería se elaboran dos tipos de pasteles: A y B. El pastel A ne-

cesita 14

kg de crema por cada kg de harina, y al venderlo y produce una

ganancia de $250. El pastel B necesita 12

kg de crema por cada kg de hari-na, y con su venta se gana $400.

En la pastelería disponen diariamente de 150 kg de harina y 50 kg de crema, aunque por problemas de maquinaria no pueden preparar más de 125 pasteles de cada tipo. ¿Cuántos pasteles de cada tipo se deben vender al día para obtener el máximo de ganancia?

a. Resuelve el problema anterior. Diseña para ello una estrategia y com-párala con la de tus compañeros.

b. Investiga en internet sobre “programación lineal”, y compara con tu estrategia de resolución. ¿Qué similitudes y qué diferencias observas?

Función inversaRealiza las siguientes actividades.

1 Analiza los siguientes pares de funciones.

f(x) = x + 3 y g(x) = x – 3

f(x) = 5x y g(x) = log5 x

¿Qué relación hay entre las funciones, en cada caso? Explica.

2 Grafica en un mismo sistema cartesiano las funciones anteriores. ¿Qué relación puedes observar entre cada par de gráficas?

3 Dos funciones son inversas si en una de ellas, al intercambiar x e y y despejar y, se obtiene la otra.

a. Determina la función inversa de y x= .

b. Conjetura respecto a la forma que tendrá la gráfica de la función obte-nida en el punto anterior, su dominio, recorrido e intersecciones con los ejes. Verifica tus conjeturas construyendo la gráfica respectiva.


Eval

uaci

ónEvalúo mis aprendizajesEvalúo


1 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-

te con la fracción algebraica −−

11

11x

?

A. − +−

x 3x 1x 1

2

B. − +−

x 2x 1x 1

2

C. + +−

x 3x 1x 1

2

D. + +−

x 2x 1x 1

2


2 ¿Para qué valor de n se indetermina la

expresión −−

5n 103n 3

?

A. 3

B. 2

C. 1

D. –1

E. –2

3 ¿Qué expresión se utilizó para amplificar ++

x 2x 12

y

obtener ++

2x 4x2x 2x

2

3?

A. 2

B. x²

C. x³

D. 2x

E. 2x³

4 ¿Qué fracción resulta al multiplicar la expresión ++

ax bya b

por xb

?

A. ++

ax bya b

2

2

B. ++

ax bxyab b

2

2

C. ++

ax bxyax bx

2

D. ++

ax byab b

2

2

E. ++

ax bxyab b

2

5 ¿Qué expresión resulta al simplificar x 9x 18x 9

2

2

+ +−

?

A. –2

B. x+18

C. – x – 18

D. ++

x 6x 3

E. +−

x 6x 3


te con la fracción algebraica + −−

(a b)(a b )a b

2 2

?

A. (a + b)²

B. (a – b)²

C. a + 2ab – b²

D. (a + b)(a – b)

E. a(a – b)

7 ¿Qué expresión resulta al simplificar

x

x : x4 6

2

?

A. x

B. x3

C. x6

D. x65

E. x56


te con la fracción algebraica + −+−

(a b) (a b)a b

a b

2

2 2

?

A. (a + b)

B. (a – b)

C. (a + b)²

D. (a² – b²)²

E. (a + b)²(a – b)

9 ¿Qué expresión dividida por 8n

resulta 4n

?

A. 2

B. 2n2

C. n16

2

D. 16n2

E. 32n2

10 El ancho de un rectángulo es −−

(2x y)x y

cm y el

largo, ++

(2x y)x y

cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?

A. −−

4x 4yx y

cm2 2

2 22

B. −−

4x yx y

cm2 2

2 22

C. −

−x y

4x ycm

2 2

2 22

D. x – y4x – 4y

cm2 2

2 22




Evaluación41 2 3

11 Al lanzar un objeto se puede calcular aproximada-

mente el tiempo que tarda en caer al piso utili-

zando fórmula =− +

−t

v v 2ghg

2

, donde g es la

aceleración de gravedad que equivale a 9,8 m/s².¿Cuánto tiempo tardaría en caer una piedra que es lanzada con una velocidad (v) de 1,2 m/s desde la azotea de un edificio de 29,4 m de altura (h)?

A. 2 s

B. 3 s

C. 20 s

D. 22,8 s

E. 2,33 s

12 Si 3 hombres hacen un trabajo en n días, ¿cuán-tos días demoran en realizar el mismo trabajo (3 + t)² hombres en las mismas condiciones? Esta pregunta se puede responder si se sabe que:

(1) n = 2 (2) t = 3



C. Juntas (1) y (2).



13 ¿Cuál es el valor de la expresión +

−2ab b

3b 2ab? Esta

pregunta se puede responder si se sabe que:

(1) a = 3 (2) b = 5



C. Juntas, (1) y (2).




14 Una colonia de microorganismos presente en el ecosistema crece exponencialmente según la fórmula: P(t) = 4 • 2²t • 10³. Si t representa el tiempo en horas, ¿al cabo de cuántas horas habrá 64 000 microorganismos?

A. 1

B. 1,5

C. 2

D. 4

E. 8

15 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función f(x) = +5 x 10 ?

A. Y

X00

50

–50

B. Y

X00

–50

50

C. Y

X00

–50

–50

D. Y

X00

50

50

E. Y

X00

–50

–50


Eval

uaci

ónEvalúo mis aprendizajesEvalúo

16 Con respecto a la función exponencial f(x) = ax, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. f(1) = aII. a ∈ + – 1III. f(x – y) = f(x) – f(y)

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I, II y III

17 Si f es una función exponencial, ¿cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Dom(f ) = II. f es siempre crecienteIII. Rec(f ) = + 0

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III


I. La función f(x) = − −x 5 es decreciente en

II. El dominio de h(x) = x2 es el conjunto

+ 0

III. La gráfica de g(x) = + −x 312

se interseca

con el eje X en el punto de coordenadas

− −

114

, g114

A. Solo I

B. II y III

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

19 ¿A cuál(es) de las siguientes funciones pertenece el punto (10, –5)?

I. f(x) = + −2x 5 10II. g(x) = 7 – 2log xIII. h(x) = 10–x – 6

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

20 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I. La función f(x) = loga x es creciente si a < 0.II. Las gráficas de las funciones de la forma

f(x) = loga x se intersecan con el eje X en el punto de coordenadas (1, 0).

III. Las gráficas de las funciones de la forma f(x) = ax son siempre crecientes.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. I, II y III

21 Se define la función f(x) = b • ax; con a, b, ∈ . ¿Cuál es el valor de f(5)? Se puede responder esta pregunta si se sabe que:

(1) El punto (1, 40) pertenece al gráfico de f(x).(2) log a = 2



C. Juntas, (1) y (2).



Sistema de ecuaciones lineales

22 Las edades de Sebastián y su hermano menor Carlos son x e y respectivamente. Hace 5 años las edades estaban en la razón 2 : 3 y en 5 años más estarán en la razón 4 : 5. ¿Qué sistema de ecua-ciones representa la situación descrita?

A. 2x + 3y 0

5x – 4y 5

==

B. 3x – 2y 5

5x – 4y 5

==

C. 2x – 3y –5

4x – 5y –5

==

D. 2x – 3y –5

4x – 5y 5

==

E. 3x – 2y 5

5x – 4y –5

==


Evaluación41 2 3



Fracciones algebraicas. 11 respuestas correctas Sección 1

Función exponencial, logarítmica y raíz. 6 respuestas correctas Sección 2

Sistemas de ecuaciones lineales. 5 respuestas correctas Sección 3


23 Rodrigo compra 6 cuadernos y 5 lápices en $2 270. Si Camila compra 5 cuadernos y 4 lápices a los mismos precios, en $1880, ¿cuál es el precio de un cuaderno?

A. $70

B. $100

C. $320

D. $300

E. $370

24 El doble de la edad de Ángela sobrepasa en 14 años la edad de Juan. Si se sabe que un quinto de la edad de Juan es 13 años menos que la edad de Ángela, ¿cuáles son las edades?

A. Ángela tiene 17 años y Juan, 20.

B. Ángela tiene 22 años y Juan, 20.

C. Juan tiene 20 años y Ángela, 18.

D. Juan tiene 17 años y Ángela, 22.

E. Juan tiene 22 años y Ángela, 17.

25 ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n) solución?

I. 4x3

+y6

2

4x +y2

6

=

=

II. 6x + 6y 20

2x + 2y 5

==

III. + =− =

200x 101y 20

4x 3y 3

A. Solo I

B. Solo III

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

26 ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas representa(n) gráficamente dos rectas secantes?

I. + =

+ =

4x3

y6

2

4xy2

6

II. + =+ =

6x 6y 20

3x 2y 5

III. + =− =

200x 101y 20

4x 3y 3

A. Solo I

B. Solo III

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

27 Respecto del sistema de ecuaciones − = −− = −

4x y 38x 2y 6

,

¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A. y = 0; x = − 34

es solución del sistema.

B. La solución corresponde a la intersección de dos rectas distintas.

C. Una de las ecuaciones corresponde a una recta con pendiente positiva.

D. Los puntos (0,3) y (–1,–1) del plano cartesiano son soluciones del sistema.

E. El sistema tiene infinitas soluciones.

28 ¿Cuál es la solución del sistema − − =

+ = −

x9

2y7

2

7x 2y 2

?

A. x = 2714

; y = − 314

B. x = − 2714

; y = − 314

C. x = 1427

; y = − 314

D. x = 2714

; y = 314

E. x = 2714

; y = − 431


Datos y Azar

Palabras clave

Ü Dispersión

Ü Representatividad

Ü Población y muestra

Ü Aleatorio

Ü Probabilidad

Ideas previasJohann Gregor Mendel (1822-1884) es considerado el padre de la genética gracias a los estudios que realizó en el monasterio agustino de Königskloster.

Doctorado en matemáticas y ciencias, Mendel se dedicó a observar las características de las arvejas, la probabilidad de que estas se mantengan de una generación a otra y la independencia en la forma en que se combinan estas características.

• ¿Qué te sugiere la palabra “herencia”? Da algunos ejemplos.

• Las personas de una región o de un país, ¿tienen características comunes? ¿Cuáles?

unid

ad444unid

ad4unid

ad

421 3

259UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 260 261UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR

Activ

idad

Sección 1

Dispersión y comparación de datos

De esto se trata…Se llama ingreso per cápita de un grupo

de personas al promedio de sus ingresos. De acuerdo con el ingreso per cápita de un país se establecen categorías tales como “en vías de desarrollo”, "desarrollado", etc. El ingreso per cápita de Chile estimado para 2012 por www.bancomundial.org fue de $18.000 dólares, lo que equivale aproxima-damente a $8.500.000 anuales.

La asignación de becas y créditos para estudios superiores se asignan de acuerdo con el quintil de ingreso de las personas. Para determinarlo se ordena la población del país según a su ingreso mensual (de menor a mayor), y se divide en 5 partes iguales correspondientes cada una a un 20% de la población, como se muestra en la tabla (corres-pondiente a 2012).

Considerando la información de la tabla, respondan las siguientes preguntas.

➊ Según el ingreso per cápita de Chile, ¿cuál es el ingreso per cápita mensual? ¿A qué quintil pertenece una persona cuyo ingreso es igual a dicho valor?

➋ De acuerdo con la tabla, el tercer quintil corresponde a $118 146 – 181 703. ¿Qué porcentaje de la población chilena tiene un ingreso per cápita mensual menor a este valor?

Actividad grupal

Quintiles de ingresoQuintil Pertenece a él si su ingreso mensual es:

I menor a $70 543

II entre $70 544 y $118 145III entre $118 146 y $181 703IV entre $181 704 y $331 917V mayor a $331 918

Fuente: www.becasycreditos.cl

Propósito: que aprendas a analizar datos no solo a partir del promedio de ellos, sino también de indicadores que nos permitirán determinar qué tan dispersos son y así juzgar si el promedio es representativo o no.


A determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos. Lección 38 analizar conjuntos de datos de manera más objetiva.

A comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores. Lección 39 comparar conjuntos de datos y obtener

conclusiones.


Ü DispersoÜ HomogéneoÜ HeterogéneoÜ Representativo

§ Dos estudiantes rinden dos pruebas. Uno obtiene un 3,5 y un 6,5; mientras el otro obtiene un 4,9 y un 5,1. ¿Podrías decir que a uno le fue mejor que al otro? Justi ca.



32 41Actividad


Calcular y determinar medidas de tendencia central

1 Calcula el promedio, la mediana y la moda de los siguientes conjuntos de datos.

a. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

b. 7; 12; 15, 15; 21; 24; 28

c. 17; 14; 14; 4; 6; 12; 6; 16; 4; 2

d. 8; 18; 8; 16; 3; 0; 8; 5; 9; 20

2 Se ha tabulado la masa corporal de 40 estu-diantes de un primero medio, obteniéndose los siguientes resultados.

Masa corporal estudiantes de primero medio

Masa corporal (kg) Cantidad de estudiantes[50, 55[ 6[55, 60[ 13[60, 65[ 9[65, 70[ 8[70, 75[ 4

Calcula las medidas de tendencia central para los datos de la tabla.

3 Resuelve los siguientes problemas

a. Determina 2 conjuntos distintos de 5 números cuyo promedio sea 4,2.

b. Jorge tuvo 5 notas en matemática, de las cuales 4 fueron iguales. Si su promedio fue 5,7, no tuvo notas bajo 4 y entre sus notas hay un 6,1, ¿cuá-les fueron sus notas?

c. El promedio de estatura de 7 jugadores de un equipo de básquetbol es de 1,7 m. Al ordenarlos del más alto al más bajo, cada uno mide 2 cm menos que el anterior. ¿Cuánto mide el más bajo?

Calcular y determinar medidas de posición

Considera el siguiente conjunto de datos.

2 11 8 15 7

12 7 13 6 1

13 14 12 7 0

5 8 11 0 7

4 7 4 7 8

4 Calcula:

a. El primer cuartil.

b. El segundo cuartil.

c. El tercer cuartil.


a. Se añadieron 5 valores al conjunto anterior, de manera que su percentil 75 ahora es igual a 12. ¿Qué valores se agregaron?

b. Se quitaron 10 valores del conjunto anterior, manteniendo su segundo cuartil. ¿Qué valores se quitaron?

c. Construye un conjunto de 20 números enteros, de modo que su segundo y tercer cuartil coinci-dan, el mayor valor sea 15 y el menor, –4.

d. Q1, Q2 y Q3 son, respectivamente, los cuartiles 1, 2 y 3 de un conjunto de datos. Calcula los valo-res correspondientes si:

• A cada valor del conjunto se le suma 5.

• Cada valor del conjunto se multiplica por 3.

¿Qué debes saber?



http://goo.gl/aTC1F Medidas de tendencia central.

http://goo.gl/YGvF62 Medidas de posición.



Lecc

ión Medidas de dispersión de datos

Marcela observa sus notas semestrales en algunas asignaturas, y el promedio entre ellas, para hacer una evaluación respecto a su rendimiento en el semestre. Lo primero que le interesa saber es qué tan parecidas son sus notas entre sí. Para ello:

Paso 1 Identifica la mayor y la menor de sus notas.

Ciencias sociales: 6,2 Inglés: 4,5

Paso 2 Resta estos valores:

R = Xmax – Xmin = 6,2 – 4,5 = 1,7

Ya que la escala de notas es de 1 a 7, 7 – 1 = 6 es la mayor diferencia que podría haber en un conjunto de notas, se puede concluir que esta diferencia no es tan grande, es decir, que las notas de Marcela son relativamente parecidas entre sí. En general, a la diferencia entre el mayor valor de una muestra y el menor se le llama rango.

Ahora Marcela quiere averiguar si su rendimiento semestral es cercano al promedio. Para ello compara cada una de sus notas con el promedio obtenido.

Calcula el promedio de la diferencia entre las notas y el promedio.

5,2 – 5,4 5,7 – 5,4 6,2 – 5,4 5,4 – 5,4 4,5 – 5,4

5–0,2 0,3 0,8 0 – 0,9

505

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + +

=+ + + +

= =

Se puede demostrar que cualquiera sea la cantidad de datos y el promedio este resul-tado será cero, por lo que es preciso tomar otras medidas. Una opción es la desviación media (Dm), que toma los valores absolutos de estas diferencias:

D5,2 – 5,4 5,7 – 5,4 6,2 – 5,4 5,4 – 5,4 4,5 – 5,4

50,2 0,3 0,8 0 0,9

52,25

0,44

m=+ + + +

=+ + + +

= =

En general la desviación media,

Dx x x x ... x x

nm1 2 n

=− + − + + −

D

(x x)

nx

ii 1

n

∑=

−=

asignaturas, y el promedio entre ellas, para hacer una evaluación respecto a su rendimiento en el semestre. Lo primero que le interesa saber es qué tan parecidas Matemática: 5,2Lenguaje:

5,7Ciencias sociales: 6,2Ciencias naturales: 5,4Inglés: 4,5Promedio: 5,4

Propósito: determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.

AyudaPodemos llamar X = x1, x2, …,xn al conjunto de notas de Marcela. Con ello, su mejor nota se simboliza como Xmax, y la peor, Xmin.

§ El promedio o media aritmética de un conjunto de datos x1, x2, x3, …, xn corresponde a

x =x + x + x +...+ x

n1 2 3 n

§ Puede expresarse también en notación de sumatoria:

x =x

n

ii=1

n

∑

Debes saber…

38

Observa que…Para datos agrupados,

D

(x x) • f

nm

mcii 1

N

i∑=

−=

D

(x x) • f

nx

mcii 1

N

i∑=

−=

es la marca de clase del intervalo i.

D

(x x) • f

nx

mcii 1

N

i∑=

−=

es la media aritmética de la variable.

D

(x x) • f

nx

mcii 1

N

i∑=

−=

es la frecuencia absoluta del intervalo i.n es el número total de datos.N es la cantidad de intervalos.

UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR 263

32 41Practiquem

os lo aprendido

Observa que…La varianza se encuentra en unidades “al cuadrado”, mien-tras que la desviación estándar está en la misma unidad que los datos (notas), por lo que esta última nos puede dar una idea más cercana de lo disperso que es el conjunto.

Razonay comenta§ Si las notas de Marcela

hubieran sido 2; 2; 4; 6; 6, ¿cuál habría sido el rango de sus notas? ¿Y su varianza y desviación estándar? Estos valores, ¿habrían sido mayores o menores que los an-teriormente obtenidos?

§ En el caso anterior, las notas de Marcela, ¿son más o menos dispersas? El promedio que obtuvo, ¿es más o menos parecido a sus notas que en el ejemplo anterior?

Marcela calcula ahora la desviación estándar que mide cuánto se separan los datos. Para esto debe calcular la raíz cuadrada de la varianza, que es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

Paso 1 Calcula el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada nota y el promedio, obteniendo así la varianza (σ²) que es el cuadrado de la desviación estándar.

5,2 5, 4 (5,7 5, 4) (6,2 5, 4) (5, 4 5, 4) (4,5 4,5)5

22 2 2 2 2( )

σ =− + − + − + − + −

( 0,2) 0,3 0,8 0 ( 0,9)5

22 2 2 2 2

σ =− + + + + −

σ2 = 0,04 + 0,09 + 0,64 + 0 + 0,815

= 0,316

Así la varianza es 0,316.

Paso 2 Calcula la raíz cuadrada del valor anterior, y obtiene la desviación estandar (σ).

σ = ≈0,316 0,562

Mientras más parecidas sean las notas al promedio, menores serán sus diferencias con este, haciendo que la varianza y la desviación estándar sean menores.

En general la varianza,

(x x) (x x) ... (x x)n

2 12

22

n2

σ =− + − + −

(x x)

n2

i2

i 1

n

∑σ =

−=

En general la desviación estándar,

(x x) (x x) ... (x x)n

1 2 nσ=− + − + −

(x x)

n

i2

i 1

n

∑σ=

−=

El porqué usar la desviación estándar se debe a otras consideraciones que verás en cursos posteriores, pero en la lección siguiente podrás apreciar su uso para comparar conjuntos de datos y analizar en cuál los datos son más parecidos entre sí (es decir, el conjunto es más homogéneo) o si se diferencian más (conjunto heterogéneo).

En resumenSe llama dispersión de un conjunto X = x1, x2, x3,… xn a la variabilidad que existe entre los datos y las medidas de tendencia central. Generalmente estas medidas tienen que ver con el grado de dispersión que tiene el conjunto de datos con respecto a su media. Mientras más dispersos sean, más heterogéneo es el conjunto, y si es menos disperso es más homogéneo. La dispersión se puede cuantificar utilizando el rango (R), la desviación media (Dm), la desviación estándar (σ(x)) y la varianza (var(x) o σ2(x)).

Observa que…Para datos agrupados,

(x x) • f

n2

mci2

i 1

N

i∑σ =

−=

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. El siguiente conjunto de datos refleja el número de páginas de los 24 libros que integran una colección. Haz una tabla de frecuencia absoluta y calcula el promedio de páginas.

90 96 97 96 97 91 96 9899 98 91 96 99 98 92 9694 98 94 96 97 95 97 95

2. El siguiente gráfico de barras expresa las puntuaciones obtenidas al lanzar 68 veces un dado:

1

15

5

10

02 3

Números del dado

Núm

ero

de v

eces

Lanzamientos de un dado

4 65

Calcula el promedio obtenido.

Práctica guiada

3. Calcula el rango, la varianza y la desviación estándar de los siguientes conjuntos de datos, siguiendo los pasos utilizados en la página anterior.

Ejemplo: 20; 20; 5; 8; 11Rango = 20 – 5 = 15Varianza

X=20+20+5+8+11

5=

645

=12, 8

(20 – 12,8)2 = 7,22 = 51,84

(20 – 12,8)2 = 7,22 = 51,84

(5 – 12,8)2 = (-7,8)2 = 60,84

(8 – 12,8)2 = (4,8)2 = 23,04

(11– 12,8)2 = (-1,8)2 = 8,64

σ =+ + + +

=

51, 84 51, 84 60, 84 23, 04 8, 645

39,24

2

Desviación estándar

σ=≈

39,246,26

a) 5; 14; 15; 13; 1

b) 6; 2; 13; 1; 12

c) 11; 6; 14; 2; 7; 11; 18; 19; 17; 6

d) 5; 14; 18; 19; 14; 19; 13; 5; 20; 12

4. Analiza la siguiente situación. Luego resuelve.

El largo en pulgadas de 10 clavos de una bolsa es el siguiente:

3,2 - 3 - 3,5 - 3,5 - 3,5 - X - 3,2 - 3,1 - 3,2 - 3

Si se sabe que el rango de las medidas es 0,6; ¿qué valores puede tomar X?Para determinarlo:

• Identificamos los valores mínimo y máximo, y calculamos el rango, sin considerar X.

Mín = 3 Max = 3,5Máx – Mín = 0,5

• Para que el rango sea 0,6, necesitamos aumentar el valor máximo en 0,1, o disminuir el mínimo de igual manera. Por lo tanto, los posibles valores de X son:

X = 2,9 X = 3,6

Determina valores posibles de x para que se cumpla la condición dada.

a) 19,4; 15,5; x; 2,7; 8,7, si el rango es 17,6.

b) 10,6; 6,8; 13,4; 4,2; x; 6,3, si el rango es 9,3.

c) 18,9; x; 0,9; 5,7; 5,1; 5,8, si el rango es 19.

Aplica


5. Manuel ha sacado la misma nota en todas las pruebas de Lenguaje del semestre. ¿Cuál es la desviación estándar de sus notas?

6. Sara se propuso mejorar sus notas durante el segundo semestre, y logró subir un punto todas ellas. ¿Qué ocurrió con la dispersión de sus notas? Justifica y pon un ejemplo.

7. Una central telefónica registra las siguientes cantidades de llamadas, de lunes a viernes:

Día LlamadasLunes 4

Martes 9Miércoles 7

Jueves 12Viernes 8



32 41

a) Durante la última semana del mes, el número de llamadas se duplicó cada día. ¿Qué sucede con el rango? ¿y con la varianza?

b) Debido a una promoción, el número de llamadas a la central se quintuplicó cada día. ¿Qué sucede con el rango? ¿y con la varianza?

c) Considera tus respuestas anteriores para responder: ¿qué sucede con el rango y la varianza si todos los valores se multiplican por un número dado x?

8. En un análisis de la sangre de unos pacientes se obtuvieron, en miles por centímetro cúbico, las siguientes cantidades de leucocitos:

9,5 12 11,8 14,5 10 17,5 13,5

Halla el rango, la varianza y la desviación media.

9. Se midió la tensión arterial máxima (presión que ejerce la sangre sobre la pared de los vasos sanguíneos) de 50 personas. El resultado viene reflejado por el siguiente gráfico de barras:

120 130 140125 135 145

4

15

20

5

10

0

8

15

Tensión arterial

Núm

ero

de p

erso

nas

Tensión arterial máxima

10

5

8

Calcula el promedio y la desviación estándar de la tensión arterial de las 50 personas.

10. Analiza la siguiente situación.

Camilo está analizando nuevas formas de calcular la varianza de un conjunto. Para ello calcula la varianza de x = 2, 3, 5, 8 utilizando la siguiente tabla, sabiendo que el promedio es 4,5.

( )x – x =i2 x – 2x x + xi

2i

2

(2 – 4,5)2 = 22 – 2(2 • 4,5) + 4,52

(3 – 4,5)2 = 32 – 2(3 • 4,5) + 4,52

(5 – 4,5)2 = 52 – 2(5 • 4,5) + 4,52

(8 – 4,5)2 = 82 – 2(8 • 4,5) + 4,52

Luego, escribe lo siguiente:

=2 3 5 8

4–

2 • 4,5 2 3 5 84

+4 • 4,5

42

2 2 2 2 2( )σ

+ + + + + +

a) Desarrolla los términos de la expresión anotada por Camilo. ¿Qué obtienes en cada caso?

b) Explica algebraicamente cómo se calcula cada uno de los términos.

c) Utiliza la expresión obtenida por Camilo y tus resultados de las preguntas a) y b) para demos-trar que, si x2 corresponde al promedio de los cuadrados de los valores y x es el promedio de ellos, entonces x = x – x2 2 2( )( )σ .

11. Desafío: dado un conjunto x = x1, x2, …, xn, cuyo promedio es x , demuestra las relaciones:

a) Si x + a = x1 + a, x2 + a, …, xn + a,

entonces σ2(x + a) = σ2(x).

b) Si ax = ax1, ax2,…, axn,

entonces σ2(ax) = a2σ2(x).

c) Si ax = ax1, ax2,…, axn,

entonces R(ax) = a • R(x).

d) (x) =x + x + ... + x

n– x2 1

222

n2

2σ

12. Desafío: David tiene la siguiente información respecto de las notas de su curso en una prueba

Nota Cantidad de alumnosEntre 1 y 1,9 4Entre 2 y 2,9 8Entre 3 y 3,9 9Entre 4 y 4,9 11Entre 5 y 5,9 7Entre 6 y 7 6

Calcula la varianza de los datos.

13. Conexiones: averigua de qué manera se calcula el puntaje de la PSU. ¿Cuál es la importancia de la desviación estándar?

§ ¿Por qué es importante determinar la dispersión de un conjunto de datos?§ Si tus notas tienen una dispersión muy alta, ¿qué significa eso respecto a tu rendimiento académico? Explica.

Reflexiona


Lecc

ión Comparación de conjuntos de datos

Un equipo de fútbol femenino necesita contratar a una delantera, para lo cual está observando a dos candidatas. En los últimos 10 partidos del campeonato, registraron las siguientes cantidades de goles:

Canales: 1 0 3 0 4 1 0 0 0 3

Carvajal: 1 1 2 0 1 1 2 1 1 2

La DT del equipo observa que ambas marcaron 12 goles en 10 partidos, con un promedio de 1,2 goles por partido. Para comparar mejor el rendimiento de ellas utiliza otros indicadores, como se muestra:

Paso 1 Calcula el rango de goles marcados por ambas jugadoras.

RCanales = 4 – 0 = 4 RCarvajal = 2 – 0 = 2

El mayor rango que presenta Canales puede indicar que en algunos partidos anota muchos goles, pero en otros no anota, mientras que los de Carvajal están más repartidos.

Paso 2 Calcula la varianza y la desviación estándar.

Varianza σ2Canales = 2,16 σ2

Carvajal = 0,36

Desviación estándar σ Canales ≈ 1,47 σ Carvajal = 0,6

Estos indicadores confirman que los goles de Carvajal presentan menor dispersión, lo que se refleja en que cada partido hace una cantidad de goles más similar entre ellos que los de Canales.

Paso 3 Calcula los indicadores de posición: mediana y cuartiles.

Canales: 0 0 0 0 0 1 1 3 3 4

Carvajal: 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2

Q1 = 0

Q1 = 1

Me = 0,5

Me = 1

Q3 = 3

Q3 = 2

Se puede confirmar que la dispersión es menor en el caso de Carvajal, observando que las diferencias entre la mediana y los cuartiles Q1 y Q3 es menor que en el caso de Canales.

¿A cuál de las jugadoras escogerá la DT? Discutan en grupos y fundamenten su opinión.

Propósito: comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.

§ La mediana (Me) de un conjunto de n datos X = x1, x2, …, xn se puede calcular de dos formas, dependiendo de n. En ambos casos, los datos se ordenan de menor a mayor.

Si n es par, corresponde al promedio de los valores centrales.

=

++

Me

x x

2

n2

n2

1

Si n es impar, corresponde al dato central.

= +Me xn 12

§ Los cuartiles Q1 y Q3 se pueden calcular como la mediana de la mitad inferior y de la mitad superior de los datos, respectivamente.

Debes saber…

El fútbol femenino ha tenido un gran impulso en nuestro país, a partir de la

realización del mundial femenino sub-20 2008. Esto ha llevado un mayor progreso

que se ha reflejado, entre otros, por la Copa Libertadores Femenina, ganada por Colo

Colo en 2012.

39

AyudaPara utilizar estos indicadores en la comparación de conjuntos de datos, es importante que estos sean del mismo tipo, se encuen-tren en las mismas unidades, y sus promedios sean iguales o similares.


32 41

Repaso

1. Determina la mediana y los cuartiles Q1 y Q3 de los siguientes conjuntos de datos.

a) 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 1

b) 6; 2; 12; 11; 5; 14; 13; 14; 14; 2

c) 0; 1; –8; 2; 6; –4; 7; 3; 10; –2

d) 7; –6; –1; –3; 3; 5; –6; 2; 7; 6; –5; –2; –9

2. Construye en cada caso un conjunto de n números con las condiciones dadas.

a) n = 7, Med = 6

b) n = 12, Med = 15

c) n = 30, Q1 = 2; Q3 = 3

d) n = 29, Med = 0, Q1 = –5; Q3 = 1

e) n = 31, Med = 0, Q1 = 0; Q3 = 1

Práctica guiada

3. Determina en cada caso qué conjunto tiene un promedio más representativo. Para ello utiliza los distintos indicadores como se muestra en la página anterior.

Ejemplo

X = 17; 11; 11; 13; 22; 13; 2; 22; 7; 2

Y = 17; 10; 8; 16; 17; 14; 7; 13; 7; 11

Conjunto X:

= =

σ = σ≈= =

=

X 12 R 20

45, 4 6,74Q 7 Q 12

Q 17

2

1 2

3

Conjunto Y:

= =

σ = σ≈= =

=

Y 12 R 10

14,2 3,77Q 8 Q 12

Q 16

2

1 2

3

El promedio es más representativo para el conjunto Y.

a) X = 12; 2; 5; 7; 6; 10; 6; 10; 0; 2

Y = 10; 0; 5; 7; 9; 12; 3; 9; 2; 3

b) X = 17; 3; 5; 13; 17; 15; 1; 10; 1; 8

Y = 13; 6; 8; 10; 14; 12; 4; 13; 5; 5

4. Analiza la siguiente situación.

Paulina trabaja en una ferretería, y ha recibido una muestra de diez clavos (medidos en pulgadas) y una de diez varas de madera, medidas en metros.

Clavos: 2; 2,5; 3,4; 2,6; 3,3; 3,5; 2,1; 2,3; 2,1

Varas: 3,3; 3; 3,5; 3,2; 3,5; 3,6; 2,7; 3,5; 3,5

La jugadora escogida por la DT dependerá de lo que busque. Si consideramos los promedios de goles por partido ambos son iguales, pero el promedio de Carvajal re-sulta mucho más representativo, ya que presenta una cantidad de goles por partido más homogénea.

A la DT del equipo puede parecerle más confiable en este sentido, ya que quizás no marcará tantos goles en cada partido, pero sí es muy probable que cada partido marque al menos un gol. Si va a jugar pocos partidos en los que debe asegurar anotar una gran cantidad de goles puede ser conveniente que se escoja a Canales, que si bien no convierte en todos los partidos cuando lo hace convierte más de uno, en general.


Razonay comenta§ ¿A qué jugadora

habrías escogido tú? Fundamenta y discute con tus compañeros.

§ Si en los dos semestres del año tuviste el mismo promedio pero distinta dispersión, ¿en cuál de ellos podría decirse que te fue mejor?

En resumenPodemos comparar dos o más conjuntos de datos de acuerdo a sus medidas de tendencia central —como el promedio y la mediana— y de la dispersión que muestran. Así, podemos juzgar cuál de ellos posee un promedio más representativo, es decir, aquél conjunto cuyos valores son más cercanos al promedio.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Ya que las medidas son muy distintas entre sí, va a comparar la dispersión de ambas muestras median-te el coeficiente de variación que se define como:

σCV =

X

En general, este valor se se expresa en porcentaje. Así, obtiene que:Clavos Varas

σX = 2,56

≈ 0,59

CV ≈0,592,56

≈ 0,23 = 23%

σX = 3,28

≈ 0,28

CV ≈0,283,28

≈ 0,09 = 9%

Lo anterior permite concluir que la muestra de clavos es más heterogénea que la de varas. Por lo tanto, la distribuidora que le envió los clavos parece ser más cuidadosa en las medidas de sus productos.Juzga qué conjunto es más homogéneo, utilizan-do su coeficiente de variación.

a) X = 203; 75; 5; 235; 193; 165; 47; 240; 37;0

Y = 3; 0; 1; 5; 5; 6; 1; 4; 3; 2

b) X = 2; 0; 0; 2; 2; 2; 0; 2; 0; 0

Y = 47; 16; 2; 46; 44; 32; 4; 36; 1; 12

Aplica


5. Bárbara desea comprobar la efectividad de un fertilizante para plantas. Para ello, cultivó dos maceteros con 20 plantas cada uno; la única diferencia entre ellos fue que a uno le agregó fertilizante. Luego de dos semanas, los tamaños en cm de las plantas eran los siguientes.

Sin fertilizante11 10 15 12 1312 13 10 11 1413 11 14 12 1510 12 14 13 12

Con fertilizante15 12 15 14 1413 14 11 11 1513 12 13 13 1511 13 16 14 12

a) El fertilizante, ¿hace crecer más las plantas? Justi-fica tu respuesta.

b) Si el fertilizante aumenta el promedio de los tamaños pero aumenta la dispersión, ¿podría decirse que es efectivo? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros.

c) Si el fertilizante mantiene el promedio de los tamaños pero disminuye la dispersión, ¿podría decirse que es efectivo? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros.

6. Sergio es contador, y está analizando los sueldos de los trabajadores de una empresa, que son los siguientes:

Empresa A:

$300 000 $300 000$300 000 $300 000$6 000 000

Empresa B:

$100 000 $180 000$700 000 $500 000$200 000

a) ¿Cuál de las empresas presenta una mayor dis-persión en sus sueldos?

b) ¿Qué indicador(es) serían más útiles para analizar la dispersión? Justifica.

c) En general, ¿hay ocasiones en que los indica-dores de dispersión pueden distorsionarse? Da ejemplos y explica qué harías tú en esos casos para solucionarlos.

7. En algunos países de Latinoamérica, las notas van de 1 a 10. Jorge tiene un amigo ecuatoriano, Eusebio, con el que compara sus notas:

Jorge: 4,5 5 5,2 6,7 6,1 5,8

Eusebio: 6,2 7,8 3,1 9,6 5,4 7,7

a) ¿Es útil utilizar el rango para comparar las disper-siones de sus notas? Justifica.

b) ¿Qué indicador(es) puede(n) resultar más conve-nientes en este caso? Justifica.



32 41

§ ¿Por qué es importante no utilizar solo el promedio al comparar conjuntos de datos?§ ¿Has visto en los medios de comunicación un mal uso de un promedio? ¿Crees que pueden ser engañosos?

Reflexiona

8. Los siguientes gráficos de barra muestran las temperaturas máximas alcanzadas en las dos quincenas de noviembre en Puerto Montt.

3

4

1

2

0

Temperaturas máximas

Núm

ero

de d

ías

Primera quincena

19 21 2320 22 24 25

3

4

5

1

2

0

Temperaturas máximas

Núm

ero

de d

ías

Segunda quincena

18 19 21 23 2420 22 25 26 27

a) Calcula los rangos de las dos variables estadísticas.

b) Calcula las desviaciones medias de las dos varia-bles estadísticas. ¿Cuál de las dos variables tiene mayor dispersión?

9. Analiza la información de las tablas y luego responde.

Las tablas muestran las notas de dos cursos diferentes obtenidas en una misma prueba de matemática.

Curso ANotas Frecuencia

7,0 36,7 56,3 46,0 84,0 83,4 23,0 4

Total 34

Curso BNotas Frecuencia

6,0 25,5 55,3 95,2 55,1 35,0 10

Total 34

a) ¿Cuál es la desviación estándar de los cursos?

b) ¿Qué curso tiene mejor rendimiento? Fundamen-ta tu respuesta.

10. Conexiones: David obtuvo 630 puntos en la PSU de matemáticas, y su hermano Andrés obtuvo 615 cuatro años después. ¿Es cierto que, necesariamente, a David le fue mejor que a Andrés? Investiga y justifica tu respuesta.

11. Conexiones: investiga respecto a los valores del coeficiente de variación, para los cuales se considera que un conjunto de datos es muy homogéneo, homogéneo, heterogéneo o muy heterogéneo.

12. Desafío: Mariela observa un conjunto X de datos, cuyo coeficiente de variación es, aproximadamente, 27,4%.

5; 4; 4; 3; 3; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5

a) Si Mariela decide restar 1 a cada valor, ¿cuál es el valor del coeficiente de variación ahora?

b) Al restar 1 a cada valor, ¿cambia la dispersión de los datos? Utiliza resultados anteriores para justifi-car tu respuesta.

c) En general, ¿se podrá utilizar siempre el coefi-ciente de variación para comparar dos conjuntos de datos? ¿Qué alternativas crees que podrían utilizarse en los casos en que no? Discute con tus compañeros.



Se registran los tiempos, en minutos, que demoran dos grupos de estudiantes en completar una competencia deportiva.

Grupo 1: 2,35; 3,9; 4; 2,5; 3; 4,1; 5; 1,9; 2,7; 4,05; 4; 5; 3,3; 3,75; 2

Grupo 2: 3; 1,75; 3,2; 4; 2,98; 3,4; 5; 1,12; 2,5; 3; 7; 1,84; 2,76; 3; 1,5

Se afirma que los datos que representan los tiempos que demoran los estudiantes del grupo 1 son más homogéneos que los datos del grupo 2. ¿Es válida esta afirmación?


a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema?Si la afirmación presentada es válida.

b. ¿Qué información entrega el enunciado?Se muestran los tiempos, en minutos, que demoran en la competencia los dos grupos de estudiantes.


A partir de la información entregada sobre los tiempos que demora cada grupo de estudiantes, puedes calcular las medidas de tendencia central, de dispersión o de posición, y luego comprobar si con esta información puedes verificar la afirmación.

Define el o los criterios de evaluación. Para evaluar la afirmación se puede calcular el rango y la desviación estándar, ya que son los valores que efectivamente nos brindan información respecto a la dispersión de los datos.


Calcula los indicadores definidos en los criterios anteriores.

• Grupo 1: R = 3,1 σ ≈ 0,996

• Grupo 2: R = 5,88 σ ≈ 1,467

La afirmación es válida, pues efectivamente los datos del grupo 1 son más homogéneos.


Es posible verificar esta solución calculando la desviación estándar y los valores máximos y mínimos en una planilla de cálculo (en general no calculan rango directamente).


Debes evaluar la afirmación, es decir, definir y aplicar criterios que permiten decidir si la afirmación es válida o no.



Jorge calcula la varianza del siguiente conjunto de datos:

X = 5, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 12, 15, 16

Primero determina el promedio, x = 10.

Luego calcula los cuadrados de las diferencias entre los datos y el promedio:

(5 – 10)2 = (–5)2 = 25 (10 – 10)2 = 02 = 0

(7 – 10)2 = (–3)2 = 9 (10 – 10)2 = 02 = 0

(7 – 10)2 = (–3)2 = 9 (12 – 10)2 = 22 = 4

(8 – 10)2 = (–2)2 = 4 (15 – 10)2 = 52 = 25

(10 – 10)2 = 02 = 0 (16 – 10)2 = 62 = 36

Finalmente suma estos valores y obtiene la varianza:

σ2 = 25 + 9 + 9 + 4 + 0 +0 + 0 + 4 + 25 + 36 = 112

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Jorge?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de la varianza?

Mariela quiere determinar cuál de los siguientes conjuntos es más heterogéneo.

X = 6, 7, 5, 7, 8, 6, 6, 6, 7, 2 Y = 8, 4, 7, 7, 6, 6, 8, 7, 3, 3

Para hacerlo calcula el rango de cada uno, y obtiene los siguientes valores:

Xmax – Xmin = 8 – 2 = 6

Ymax – Ymin = 8 – 3 = 5

Ya que el rango de los datos del conjunto X es mayor, Mariela concluye que el conjunto X es más heterogéneo que Y.

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Mariela?

§ ¿Qué se necesita para determinar el conjunto más heterogéneo?

El error cometido por Jorge es no haber dividido por 10 el valor obtenido, ya que la varianza no es la suma de los cuadrados de las diferencias de los datos con el promedio, sino el promedio de ellas.

Luego:

σ =11210

=11,22

El error cometido por Mariela es calcular solo el rango, que es un valor que solo considera dos datos del conjunto. Para determinar el conjunto más heterogéneo es conveniente calcular también la desviación estándar. Así:

Luego:

σ ≈σ ≈

1,64

1,81x

y

Luego, el conjunto Y es más heterogéneo. El conjunto X tiene mayor rango solo porque un valor (2) es mucho menor que los demás.

Aprende la forma correcta


§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?§ Revisa los ejercicios que hayas realizado en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes


Reflexiona

Analiza la situación



Integrando lo aprendidoEv

alua

ción

Integrando Lección 38: Medidas de dispersión de datos

1 Los precios sin redondear, de las bencinas en una semana se registran en la siguiente tabla.

Precio de la bencinaDía Precio ($)

Lunes 656,8Martes 645,6

Miércoles 633,9Jueves 655,1Viernes 624,4Sábado 644,5

Domingo 652,4

Calcula la media y la desviación estándar. ¿Qué puedes concluir?

2 En un test de selección se obtuvieron los siguien-tes resultados:

Cantidad de respuestas correctas

Respuestas correctas 5 6 7 8 12Postulantes 3 6 2 5 2

Calcula el rango, el promedio y la desviación estándar de los resultados.

¿Con los resultados obtenidos se puede concluir acerca del rendimiento de los postulantes?

3 En una empresa, a todos los trabajadores se les aumenta el sueldo en $30.000. Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica las falsas.

a. La varianza de los sueldos se mantiene.

b. El rango de los sueldos aumenta en $30 000.

c. El promedio de los sueldos aumenta en $30 000.

4 En una distribución de datos, todos ellos son iguales. Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica las falsas.

a. La media aritmética es 0.

b. La varianza es 0.

c. El rango es 0.

5 La media aritmética de dos datos es 2, y su des-viación estándar es 2 . ¿Cuál es el producto de los datos?

6 Calcula la varianza de un conjunto de 3 números naturales consecutivos.

7 La media de 10 datos es 5, y la varianza es 8. Si se agregan dos datos más, x e y, la media y la varianza se mantienen. ¿Cuáles son los valores de x e y?

8 La media de 8 datos es 5, su mínimo es b, su máximo es a y su varianza es n. Se agregan dos datos, p y q, de modo que p = a y q = b. Para este nuevo conjunto, calcula:

a. rango.

b. media.

c. varianza.

¿Qué ocurre en general, si a un conjunto se agre-gan dos datos iguales al máximo y el mínimo?

9 En una muestra de 300 personas, la media de sus estaturas es 1,7 m; y su varianza, 0,0064 m. Si otra muestra de igual tamaño tiene como media 1,68 m; y como desviación estándar, 0,07 m, ¿cuáles son respectivamente la media y la desviación estándar de la muestra formada por ambas?

Lección 39: Comparación de conjuntos de datos

10 En un colegio se aplica una prueba a tres segun-dos medios. En los tres cursos hubo alumnos con la nota máxima (7). Además, se obtuvieron los siguientes datos:

X σ Mín Med Q1 Q3

2MA 5,4 1,6 3,5 5,8 4,5 62MB 5,5 1,9 2 5,9 4,8 6,32MC 5,6 2 1,8 5,9 5 6


32 41Evaluación

Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica las falsas.

a. Un estudiante del 2MA que tiene un 6,5 pertenece al tercer cuartil.

b. La nota de un estudiante del 2MB del tercer cuartil es mejor que cualquier nota obtenida en el 2MC.

c. Las notas son menos dispersas en el 2MA que en los otros cursos.

d. El mejor rendimiento lo tiene el 2MC, pues el promedio es 5,6.

e. El curso con menor dispersión es el 2MA, pues la desviación estándar es 1,6.

f. En los tres cursos el 50% de los estudiantes obtuvo nota superior a 5,5.

¿Qué curso tiene mejor rendimiento? Justifica tu respuesta.

11 Crea dos conjuntos A y B, de 15 valores cada uno, de modo que:

a. tengan igual media.

b. el rango de A sea mayor que el de B.

c. la varianza de B sea mayor que la de A.

d. el Q3 de ambos conjuntos sea igual.

12 Una fábrica necesita invertir cierto capital en el mercado. Para ello, debe analizar el rendimiento de las sucursales, representado en la tabla.

Producción (ton)Mes Sucursal 1 Sucursal 2

1 13,4 8,52 7,5 12,53 6,5 154 22 9,65 15 176 14 8,9

a. Calcula el promedio y la desviación estándar de cada sucursal.

b. Según su producción de los últimos seis me-ses, ¿en cuál de las dos sucursales esta es más homogénea?

c. Existe una tercera sucursal que produce, cada mes, el promedio de las dos sucursales anterio-res. Analiza el promedio de producción de esa sucursal durante los seis meses y la dispersión de sus valores, y compáralos con las sucursales 1 y 2. ¿Qué puedes concluir?



Indicador Mínimo sugerido por ítem Puedes repasar en la(s) páginas

Determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.

Ítem 1: 1/1Ítem 2: 1/1Ítem 3: 2/3Ítem 4: 2/3Ítem 5: 1/1Ítem 6: 1/1Ítem 7: 1/1Ítem 8: 2/4Ítem 9: 1/1

262 y 263

Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.

Ítem 10: 3/6Ítem 11: 2/4Ítem 12: 2/3

266 y 267


Activ

idad

Sección 2

Muestreo y variable aleatorios

De esto se trata…Cada 10 años, se realiza en Chile un censo cuyo

objetivo es determinar la población del país y sus características, lo que permite tomar distintas accio-nes. En un censo, toda la población del país debe ser considerada.

Existen otros datos que no pueden ser recopilados solo cada 10 años: el empleo, víctimas de enfermeda-des, incluso la opinión de las personas respecto a un tema específico o una elección. Para obtener datos al respecto es preciso utilizar encuestas que, a partir de una muestra, permiten inferir sobre la población.

En ocasiones, la forma de seleccionar esta muestra puede ser discutible, ya que se privilegia a un grupo por sobre otro o bien no se le da la debida importancia a una parte de la población. Esto se conoce como sesgo. Por otra parte, se asume que la muestra efectivamente podrá representar a toda la población, lo que en realidad solo es una probabilidad.

En grupos de 5 personas, analicen y respondan.

➊ Mayra quiere averiguar respecto al deporte favorito de sus compañeros de colegio. Para ello, se ubica en la puerta del colegio y pregunta al azar. ¿Es adecuada su manera de seleccionar la muestra? ¿Qué aspectos debiera considerar? Discutan en grupos.

➋ El año 2010, con motivo del Bicentenario de nuestro país se realizaron numerosas elecciones sobre personajes chilenos. ¿Cómo se realizaron estas elecciones? ¿Qué aspectos pueden haber distorsionado los resultados? Justifiquen cada uno sus opiniones y escuchen las de los demás.

Actividad grupal

Propósito: que conozcas algunos métodos para escoger muestras e inferir sobre la población a partir del promedio de dicha muestra.


Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple. Lección 40 hacer inferencias sobre una población, a partir de una muestra de ella.

A definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento. Lección 41 analizar los resultados posibles de un experimento y su probabilidad.

A calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales. Lección 42 predecir y verificar resultados de experimentos.

§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? a

Ü Experimento aleatorioÜ PoblaciónÜ MuestraÜ Inferir

§ ¿Cómo crees que se seleccionan las personas que responden una encuesta de opinión? Explica.



32 41Actividad


Definir población y muestras, y extraerlas

1 Determina en cada caso la población y una posi-ble muestra de ella.

a. Una fábrica de yogur quiere investigar sobre la calidad de sus productos.

b. Diego necesita saber el precio de un kilogramo de carne, para una comida familiar.

c. Ximena estudia respecto del tamaño de las hormigas que habitan en un insectario.

d. Daniel desea saber si una ciudad cuenta con suficientes lluvias, para realizar una plantación.

2 Calcula la cantidad de muestras de tamaño m que se pueden extraer de una población de ta-maño p, con los datos dados.

a. p = 6; m = 2

b. p = 8; m = 5

c. p = 12; m = 3

d. p = 15; m = 10

e. p = 18; m = 15

f. p = 20; m = 7

g. p = 24; m = 11

h. p = 25; m = 21

3 Determina 5 muestras de distinto tamaño del conjunto X = 7, 8, 2, 4, 5, 12, 2, 0, 10, 12, y calcula en cada caso la media muestral.

Definir espacios muestrales, eventos y calcular probabilidades

4 Determina el espacio muestral (todos los casos posibles) de los siguientes experimentos:

a. Elección al azar de un color de la bandera chilena.

b. Se lanza al aire una moneda de $100 y una de $500.

c. Se escoge un día al azar del mes de febrero, y se anota su número.

d. Se lanza un dado dos veces, y se anota la dife-rencia entre los puntajes obtenidos.

5 Calcula la cardinalidad de los espacios muestra-les (cantidad de casos posibles) correspondientes a los siguientes experimentos (E) y al suceso (S) asociado (es decir, los casos favorables). Además, determina la probabilidad del suceso.

a. E: lanzar un dado.S: obtener un número primo.

b. E: escoger a dos personas de un grupo de tres mujeres y dos hombres.S: escoger un hombre y una mujer.

c. E: escoger un plato de fondo (cazuela, tallarines o puré con pescado) y un postre (fruta o flan).S: escoger cazuela.

d. E: escoger una carta de un naipe inglés. S: escoger un as.

e. E: escoger un número del 1 al 100. S: escoger un múltiplo de 4.

f. E: escoger una letra de la palabra UNIVERSIDAD. S: escoger una consonante.

¿Qué debes saber?



http://goo.gl/3hglP Población y muestra.

http://goo.gl/wcZgr Espacios muestrales, eventos y cálculo de probabilidades.



Lecc

ión Muestreo aleatorio simple

Un colegio instalará una gradería alre-dedor de una cancha para ubicar a los alumnos, para ver un partido muy impor-tante de un campeonato interescolar. La empresa encargada desea conocer la masa promedio de los estudiantes para hacer es-tudios respecto a la resistencia del material. El colegio no tiene tiempo de registrar la masa de sus 600 estudiantes, por lo que decide tomar algunas muestras. Para ello:

Paso 1 Asigna un número a cada estudiante, de 1 a 600.

Alumnos = 1, 2, 3, …, 598, 599, 600

Paso 2 Escoge al azar, 10 números del 1 al 600 (utilizando una tómbola con bolitas numeradas, por ejemplo), y escoge a los estudiantes que corres-ponden a dichos números. Por ejemplo:

Muestra = 233, 573, 592, 427, 234, 591,395, 84, 137, 161

Paso 3 Registra las masas de estos estudiantes, y calcula el promedio de ellas.

Masas = 41,1 - 45,9 - 52,7 - 56,9 - 58,8 - 59,5 - 40,7 - 54,7 - 47,8 - 54,1

Promedio: 50,9

Se ha escogido una muestra aleatoria, en la que cada estudiante tenía igual proba-bilidad de salir, sin considerar a qué curso pertenecían, edad, etc. Por esto, hablamos de muestreo aleatorio simple. El promedio obtenido se llama media muestral (que se anota x ), y se espera que, para un tamaño de muestra no demasiado pequeño, su valor sea cercano a la media poblacional (anotada como µ), es decir, el promedio de toda la población.

Propósito: utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.

§ Se llama población al conjunto total que se encuentra en estudio, y puede estar formado por personas, objetos, casos, números, etc.

§ Una muestra es un subcon-junto de la población.

§ Se llama variable a la característica que se está estudiando, por ejemplo: color de ojos.

Debes saber…

Observa que…Se distinguen la media pobla-cional (μ) y la media muestral ( x ), pese a que en ocasiones el símbolo x se utiliza para un promedio cualquiera, sea de una muestra o de la población.

El estadio Hugo Arqueros Rodríguez estaba ubicado en Estación Central, Santiago, y era propiedad de la Empresa de los Ferrocarriles del Estado. En él hacía de local el Club

Deportivo Ferroviarios de Chile, y alguna vez Pelé entrenó allí. Su gradería estaba hecha de durmientes de ferrocarril. Fue

construido en 1941, y demolido en noviembre de 2012.

40


32 41

Pero, ¿cómo asegurarse de escoger una muestra realmente al azar? Algunas calcu-ladoras científicas permiten generar números aleatorios que nos ayuden en esta tarea como se muestra a continuación.

Paso 1 Presiona la tecla MODE hasta que aparezcan las opciones que se muestran en la imagen, y que nos permitirán definir la cantidad de decimales. Presiona el botón con el número 1.

Sci2

Norm3

Fix1

Paso 2 Ahora, presiona el botón 0, para que los resultados no tengan decimales.

Fix 0~9 ?

Paso 3 Por defecto, la calculadora entrega números aleatorios entre 0 y 1. Para generarlos entre 1 y 600, escribe

600 + x + Shift + * (Ran#) + =.

600 x Ran#99.

Paso 4 Al presionar la tecla =, obtendrás otro número aleatorio con las condiciones pedidas.

Las personas que realizan encuestas utilizan también métodos que tienen que ver con el número de las casas, nombre de las calles, etc., para garantizar que la selección de las personas efectivamente es aleatoria. También existen las tablas de números aleatorios, que contienen números ya generados, pero con los métodos computacionales actuales son cada vez menos utilizadas.

Razonay comenta§ En el colegio donde

se instalará la gradería hay dos cursos por nivel de 5° a 8° básico, y tres cursos por nivel de 1° a 4° medio. Se-gún esto, ¿es confiable escoger la muestra de la forma presentada en la lección? Justifica.

§ Considerando el pun-to anterior, ¿se te ocu-rren otras formas de escogerla? ¿Cuáles?.

§ El colegio extrajo 5 muestras de 10 estudiantes, y obtuvo promedios distintos. ¿Qué valor podría utilizar para estimar la masa promedio de los estudiantes? Justifica.

En resumenSe llama muestreo aleatorio simple a la elección de una muestra de una población, de modo que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser escogido. Un método para escoger estas muestras es mediante la generación de números aleatorios.

La media muestral x que se obtiene en un muestreo aleatorio simple permite, en algunos casos, hacer inferencias respecto a la media poblacional μ.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Asocia en cada caso una variable, una población o una muestra adecuada.

a) Población: habitantes de una comuna. Determina una variable y una muestra.

b) Variable: longitud de los tornillos. Determina una población y una muestra.

c) Muestra: dos personas por paradero, en 30 para-deros de una avenida. Determina una población y una variable.

d) Población: celulares importados por una empre-sa. Determina una variable y una muestra.

e) Variable: número de páginas leídas. Determina una población y una muestra.

f) Muestra: colaciones de 20 estudiantes de un colegio. Determina una población y una variable.

2. Determina en cada caso todas las muestras del tamaño n indicado, para cada conjunto. Calcula además la media muestral de cada una.

a) 0,3; 4,5; 0,3; 3,7; 3; 1,7; n = 4

b) 3,8; 1,9; 8,4; 11,3; 11,2; 1,4; 10,8 n = 2

c) 6; 15; 20; 11; 16; 4; 1; 9; 4; 10; n = 9

Práctica guiada

3. Analiza el procedimiento que se indica para generar números aleatorios entre 20 y 60 con un decimal:

Paso 1 Presionamos MODE, hasta que aparezca la opción Fix, y la seleccionamos.

Paso 2 Aparece en pantalla Fix 0 ~ 9, y presionamos 1.

Paso 3 Luego, escribimos la fórmula

40 x Ran# + 20

• 40 es el rango de los datos (60 – 20).

• 20 es el menor valor.

Sigue los pasos anteriores para generar los si-guientes conjuntos de números aleatorios. Indica la formula que debes escribir en la calculadora.

a) 30 números de 0 a 50, con dos decimales.

b) 27 números de –5 a –1, sin decimales.

c) 30 números de –4 a 4, con tres decimales.

d) 18 números de 0,1 a 3,8, con cuatro decimales.

e) 40 números de –3,2 a –1,7, con dos decimales.

f) 35 números de 3,25 a 5,75, con un decimal.

4. Analiza el procedimiento que se indica.

Para generar números aleatorios, utilizando una planilla de cálculo podemos escribir en una celda lo siguiente:

= REDONDEAR(3*ALEATORIO();2)

Genera un número aleatorio entre 0 y 3, con dos decimales.

= ALEATORIO.ENTRE(5;12)

Genera un número entero aleatorio, entre 5 y 12.

Utiliza los pasos anteriores para generar los si-guientes conjuntos de números aleatorios. Indica la formula que debes escribir en la planilla de cálculo.

a) 20 números de 0 a 42, con dos decimales.

b) 28 números de 11 a 32, con un decimal.

c) 31 números de 10 a 25, sin decimales.

d) 20 números de –3 a 5, con tres decimales.

e) 18 números de 0,1 a 3,8, con cuatro decimales.

5. Utiliza los métodos vistos para generar muestras aleatorias de tamaño 8 en tu curso, utilizando el número de lista de cada uno.



32 41

Aplica


6. Extrae 5 muestras aleatorias de las alturas de tus compañeros de curso y calcula el promedio de cada una ellas. Compara los resultados. ¿Son parecidos entre sí? Calculen el promedio de estatura del curso, y la media aritmética de los promedios de las muestras anteriores. ¿Qué puedes concluir?

7. La siguiente tabla muestra las edades de 100 personas que asistieron a una obra de teatro.

47 15 47 12 26 22 45 45 56 2026 62 35 62 12 44 18 44 64 2728 59 53 14 51 13 49 62 55 1556 16 56 20 45 27 44 41 40 5044 62 36 46 42 59 25 61 39 2517 57 59 34 36 49 30 39 48 3153 66 38 49 49 54 22 32 45 4010 67 63 8 27 35 55 21 60 4043 65 21 52 58 53 23 46 64 4435 23 56 62 38 20 54 40 28 39

a) Utiliza muestreo aleatorio para escoger 10 mues-tras de tamaño 8, y calcula su promedio.

b) Estima el promedio de edad de los asistentes a la obra, considerando tus resultados anteriores.

8. En un curso de 40 alumnos, 30 practican gimnasia y 10 practican rugby. Néstor extrae distintas muestras aleatorias de 5 estudiantes, y calcula el promedio de sus masas.

a) Las masas de los estudiantes, ¿serán distintas dependiendo del deporte que practiquen?

b) Una muestra extraída por Néstor incluye a 4 estudiantes que practican rugby y uno que practica gimnasia. Otra incluye a uno de rugby y 4 de gimnasia. Al comparar los promedios, ¿serán parecidos? Justifica.

c) Si una población es muy heterogénea y se extrae una muestra de ella, ¿será representativo de la población este promedio? Justifica.

9. Ana trabaja para una municipalidad, y debe averiguar la opinión de los vecinos respecto al retiro de basura en una calle de 3 cuadras. En cada cuadra hay 10 casas, en una vereda tienen números pares y en la otra, impares. Si desea obtener una muestra aleatoria de 20 casas, determina un método que puede utilizar para extraerla.

10. Conexiones: Averigua en qué consisten los siguientes métodos de muestreo

• Aleatorio sistemático.

• Aleatorio estratificado.

• Aleatorio por conglomerados.

Da, para cada uno, dos ejemplos en que sería mejor utilizar estos tipos de muestreo en lugar del muestreo aleatorio simple.

11. Conexiones: al realizar una encuesta sobre las preferencias de las personas antes de una elección, la consultora a cargo informa que un determinado candidato obtiene un 45% de intención de voto, con un margen de error del 3% y una confiabilidad del 95%.

Investiga qué significan los conceptos “margen de error” y “confiabilidad”.

12. Desafío: la planilla de cálculo incluye la función potencia, de modo que si se desea calcular, por ejemplo, 2 elevado a 3, se utiliza el comando:

=POTENCIA(2; 3)

Utiliza la función potencia para generar números aleatorios entre –5 y 5, pero distintos de cero.

§ ¿Por qué es importante que la elección de una muestra se realice efectivamente al azar?§ ¿En qué casos no corresponde extraer al azar una muestra? ¿Qué aspectos habría que considerar?

Reflexiona


Lecc

ión Variable aleatoria

Existen distintos juegos que han tomado el nombre de “Pepito paga doble”. Uno de ellos consiste en un tablero dividido en tres partes, como se muestra

2 a 6Menor

7Pepito

8 a 12Mayor

Se pide a los jugadores que apuesten al resultado que saldrá al sumar los números que se obtienen al lanzar dos dados, y los jugadores ponen sus apuestas en los distintos sectores del tablero. Si sale un número de 2 a 6, quienes apostaron menor reciben un monto igual al apostado; lo mismo que si sale un número de 8 a 12 y quienes apostaron mayor. Si sale 7 (Pepito), los que apostaron allí reciben el doble de lo apostado.

¿Cuál es la probabilidad de ganar, en cada caso? Para ello estableceremos una función que nos permita determinarlo, con los siguientes pasos:

Paso 1 Determinamos todos los casos posibles en el lanzamiento de dos dados, es decir, el espacio muestral Ω del experimento. Sabemos que hay 36 casos, ya que 6 • 6 = 36. Podemos además escribirlos simbólicamente:

Ω = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Paso 2 Lo que nos interesa estudiar es, esencialmente, la suma de los valores obtenidos en los dados. Concretamente, si el número obtenido es menor que 7, igual a 7 o mayor que 7.

Podemos asignar 0 a que salga menor, 1 a Pepito y 2 a mayor. De esta manera, definimos el conjunto Y de los eventos en estudio y podemos establecer una función x(Ω) llamada variable aleatoria, asociada al experimento.

0

1

2

(1, 1)(1, 2), (2, 1)(1, 3), (2, 2), (3, 1)(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)(1, 5), (2, 4), (3, 3) (4, 2) (5, 1)(1, 6), (2, 5) (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)(4, 6), (5, 5), (6, 4)(5, 6), (6, 5)(6, 6)

Ω y

(3, 5) significa que en un dado sale 3 y en el otro, 5. Observa que es distinto al caso (5, 3), es decir, hay dos casos en los que sale un 3 y un 5.

Propósito: definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.

AyudaLa variable aleatoria en este caso está asociada al experimento específico. Dependiendo del experimento que se estudie podría ser otra, por ejemplo, si los números se restaran.

41


32 41

Paso 3 Asignar números a los eventos en estudio nos permite definir también una función de probabilidad, f: → [0, 1], que relaciona cada elemen-to de Y con su probabilidad.

0

1

2

(1, 1)(1, 2), (2, 1)(1, 3), (2, 2), (3, 1)(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)(1, 5), (2, 4), (3, 3) (4, 2) (5, 1)(1, 6), (2, 5) (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)(4, 6), (5, 5), (6, 4)(5, 6), (6, 5)(6, 6)

Ω [0,1]

1536

=5

12

636

=16

1536

=5

12

Hay 15 casos que dan un número menor que 7, y 36 casos totales.

Hay 6 casos que dan 7, y 36 casos totales.

Hay 15 casos que dan un número mayor que 7, y 36 casos totales.

La función X definida en el paso 2 corresponde a la variable aleatoria (v.a.) asociada al experimento “lanzamiento de dos dados”, que asigna a cada suceso un valor. La función definida en el paso 3 corresponde a la función de probabilidad de la variable aleatoria X, que nos permite afirmar que:

- la probabilidad de ganar apostando a menor es 512

, es decir P(x = 0) = 512

.

- la probabilidad de ganar apostando a Pepito es 16

, es decir P(x = 1) = 16

.

- la probabilidad de ganar apostando a mayor es 512

, es decir P(x = 2) = 512

.

En general, dado un experimento decidimos prestar atención a algunos resultados para nuestro estudio, a los que se asignan valores numéricos que permitirán realizar operaciones entre ellos, que de otro modo no se podrían realizar. Así, podemos definir distintas variables aleatorias a partir de un experimento, y mediante ellas podremos visualizar de manera más eficiente el comportamiento de sus resultados, como se resume en la siguiente tabla:

X 0 1 2

P(X = x)5

12

16

512

AyudaLa probabilidad de un suceso siempre es un número real entre 0 y 1, ambos valores in-clusive. Este conjunto se llama “intervalo cero uno”, es decir, mayor o igual a cero y menor o igual a uno.

Razonay comenta§ ¿Qué utilidad puede

tener definir una varia-ble aleatoria asociada a un experimento?

§ ¿Qué otra variable aleatoria podrías haber definido para el expe-rimento “lanzamiento de dos dados”. Cita tres ejemplos distintos.

En resumenDado un experimento aleatorio cualquiera, se llama variable aleatoria (v.a.) a la función que, a cada suceso del espacio muestral (Ω), le asigna un único número real.

x : Ω→Estos valores se relacionan con su probabilidad mediante la función de probabilidad de la variable aleatoria.

f (x) : 0, 1[ ]→

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos.

a) Lanzamiento de 2 monedas.

b) Se extrae al azar una letra de la palabra PANORAMA.

c) Se extrae una carta de un naipe inglés (52 cartas sin comodines) y se anota su pinta.

d) Se lanza una moneda y un dado.

e) Se escogen al azar dos meses del año, de entre los 6 primeros.

f) Se escogen al azar un número del 1 al 10, luego uno del 15 al 20, y se suman los valores obtenidos.

2. Calcula la probabilidad de cada suceso.

a) Obtener un número par al lanzar un dado.

b) Escoger al azar dos días del mes de enero de modo que haya 6 días de diferencia entre ellos.

c) Lanzar dos dados, y que el producto de los nú-meros obtenidos sea 12.

d) Escoger al azar un número de 2 cifras, y que la suma de ellas sea 9.

Práctica guiada

3. Define la variable aleatoria correspondiente a cada situación y su correspondiente función de probabilidad. Utiliza los pasos vistos anteriormente como se muestra en el ejemplo:

Se elige al azar un número entre 1 y 9, ambos in-clusive, y se cuenta el número de letras al escribir-lo con palabras.

Paso 1 El espacio muestral está dado por

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Paso 2 Se escriben los casos posibles para cada número.

Uno = 3 letras Seis = 4 letrasDos = 3 letras Siete = 5 letrasTres = 4 letras Ocho = 4 letras

Cuatro = 6 letras Nueve = 5 letrasCinco = 5 letras

Paso 3 Tenemos que el conjunto Y se compone de los elementos 3, 4, 5, 6. De esta forma definimos la variable aleatoria como:

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ω y

Paso 4 Se define ahora la función de probabilidad:

3

4

5

6

[0,1]y

29

39

39

19

a) Se lanzan dos monedas y se cuenta el número de sellos obtenidos.

b) Bastián tiene en su bolsillo una moneda de $10, dos monedas de $100 y 3 de $500. Si saca dos de ellas al azar y se las da a René ¿cuánto dinero le dará?

c) Se lanza un dado de seis caras y se calcula la diferencia entre el número de puntos obtenidos y el número 6.

d) Se elige al azar un número natural n de tal forma que 15 < n < 25, y se cuenta la cantidad de divi-sores de n.

e) Se lanzan dos dados y se calcula el producto de los números obtenidos.



32 41

§ ¿Comprendiste lo que es una variable aleatoria?§ Dada una función de probabilidad definida, ¿existe una única variable aleatoria que corresponde a ella?

Justifica.

Reflexiona

f) Se escoge una letra del alfabeto al azar, y se cla-sifica según si está presente o no en el nombre FRANCISCO.

g) En una familia con 4 hijos, interesa saber la canti-dad de varones que hay entre ellos.

Aplica


4. Se elige un número entero entre 1 y 9, ambos inclusive y se determina la letra con la que comienza al escribirlo con palabras y se le asigna un número según la posición de esta en el abecedario.

a) ¿Cuál es la variable aleatoria considerada?

b) ¿Qué número real se le asigna al 8?

c) ¿A cuál de los números considerados se le asocia el menor valor de la variable aleatoria?

d) ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la varia-ble aleatoria?

e) ¿Existen, entre los números considerados, algu-nos que se relacionen con el mismo valor de variable? ¿Cuáles?

5. Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a) La suma de las probabilidades de los valores que toma una variable aleatoria es 1.

b) Una función de probabilidad asocia a cada valor de la variable aleatoria un númeroreal p, con 0 ≤ p ≤ 1.

c) Las variables aleatorias son funciones querelacionan los sucesos de un experimentoaleatorio con números reales.

d) En el lanzamiento de tres monedas, la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria X: número de caras,tiene 8 elementos en su dominio.

6. Se elige un número entre 8 y 15, ambos inclusive, y se cuenta la cantidad de consonantes que tiene su escritura con palabras. Plantea la variable aleatoria y escribe la función de probabilidad asociada y determina:

a) la probabilidad de que tenga más de dos consonantes.

b) la probabilidad de que tenga menos de 4 consonantes.

7. Un artesano vende 5 collares, de los cuales 2 tienen un defecto. Un turista compra dos collares al azar. Define la variable aleatoria asociada al número de collares defectuosos comprados, su función de probabilidad y determina la probabilidad de que haya comprado solo un collar defectuoso.

8. Para el experimento aleatorio A: elegir al azar un número natural n de tal forma que 10 < n < 20, se cuenta la cantidad de divisores que tiene. Escribe la función de probabilidad asociada.

9. Desafío: Se lanza dos veces un dado cargado, de manera que los números pares tienen el doble de posibilidad de salir que los impares. Se define la variable aleatoria X: producto de los números obtenidos. Calcula la probabilidad de obtener un número menor que 12.

10. Desafío: Inventa dos experimentos distintos y define su variable aleatoria, de modo que su función de probabilidad sea la siguiente:

0

1

2

0,25

0,5

0,25

[0,1]y


Lecc

ión Medias muestrales

Taller

En grupos de 4 personas realicen la siguiente actividad.

En un colegio se anota la cantidad de celulares que los estudiantes tienen por curso. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro.

40 - 35 - 41 - 34 - 44 - 37 - 44 - 45 - 39 - 30 - 41 - 32 - 31 - 45 - 43 - 32 - 35 - 39 - 38 - 39 - 43 - 20 - 32 - 33 - 34 - 38 - 37 - 48 - 35 - 27 - 40 - 30 - 29 - 25 - 30 - 45 - 18 - 25 - 25 - 19 - 14 - 26 - 30 - 45 - 37 - 34 - 14 - 17 - 14 - 39 - 39 -25 -16 - 24 - 19 - 30 - 53 - 22 - 15 - 10 - 15 - 29 - 13

A partir de ello se calcula el promedio o media poblacional de los datos obtenidos, el que corresponde a 31,380952 celulares por curso.

1 Completen la tabla escogiendo cinco muestras de tamaño 3 y calculen la media aritmética de cada una de las muestras.

Tabla (sin reposición)Muestra 1 2 3 4 5Dato 1Dato 2Dato 3

Media muestral

2 Realicen en sus cuadernos una tabla como la anterior, pero esta vez escojan 5 muestras de tamaño 10, 15 y 20.

3 Calculen la media muestral para cada una de las muestras de tamaño 10, luego para las de tamaño 15 y finalmente para las de tamaño 20.

4 Comparen las medias muestrales obtenidas en los puntos 1 y 3. ¿Qué sucede con los valores de las medias muestrales a medida que aumenta el tamaño de la muestra?

5 ¿Qué relación observan entre los valores de las medias muestrales a medida que el tamaño de la muestra aumenta y la media poblacional de la población de celulares?

Propósito: calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.

§ Dado el conjunto de valoresX = 5, 2, 7, 8, 3, 10, po-demos considerarlo una población, y decir que su media poblacional μ es igual a 5,8 3. Además, po-demos extraer muestras de tamaño 3 y calcular sus medias muestrales X , por ejemplo:

5, 2, 7 X = 4, 6

8, 3, 10 X = 7

3, 2, 7 X = 4

10, 8, 7 X = 8, 3

Debes saber…

42


32 41

AyudaEn general, la ley de los grandes números afirma que al repetir muchas veces un experimento, los valores obtenidos se acercan cada vez más a los que deberían darse en teoría, es decir, de acuerdo a su probabilidad teórica.Por lo mismo, si no tenemos los medios para determinar la probabilidad de un suceso, podemos estimarla extrayendo una muestra sus resultados.

En resumenAl extraer muestras aleatorias de una población puedes calcular la media aritmética de cada una de estas, de la cuales es posible concluir que la media muestral se aproxima a la media poblacional a medida que el tamaño de la muestra se acerca al tamaño de la población. Al repetir una gran cantidad de veces un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de cada suceso tiende a estabilizarse en un número específico que corresponde a la probabilidad teórica del suceso. Este hecho se conoce como la ley de los grandes números.

Ley de los grandes números La ley de los grandes números establece que la frecuencia relativa de un suceso

tiende a estabilizarse en torno a un número a medida que la cantidad de veces que se realiza un experimento aleatorio crece indefinidamente.

f (A)número de casos favorables al suceso A

número de casos posiblesP(A)r ≈ =

Donde P(A) denota la probabilidad de ocurrencia del suceso A.

Dependiendo del número de veces que se realice un experimento, te podrá ser útil realizar una simulación de este usando una planilla de cálculo como Excel. Analiza la siguiente situación: “Se quiere simular 300 lanzamientos de un dado de seis caras”. Sigue los pasos.

a. Calcula la frecuencia relativa al suceso A: obtener un punto.

b. ¿A qué número se aproxima la casilla M13 si generas 1000 números aleatorios? Justifica.

Paso 1: la función = ENTERO(ALEATORIO()*6+1) te permite generar números enteros aletaorios entre el 1 y el 6, que representan en esta situación el número de puntos obtenidos en cada lanzamiento. En este caso se generaron 300 números aleatorios, copiando desde la celda A3 hasta la celda J33.

Paso 2: la función = CONTAR.SI(A3:J33;”6”) te permite contar el número de veces que aparecerá un “6” entre las casillas A3 y J33. La condición no es única y dependerá del problema al que te enfrentes.

Paso 3: la función =M7/300 te permite calcular el cociente entre el número de veces que aparecieron 6 puntos y la cantidad de lanzamientos del dado, es decir, la frecuencia relativa asociada al suceso.

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Se tiene el siguiente conjunto:A = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

a) ¿Cuántas muestras de tamaño 4 se pueden obtener?

b) ¿Cuál es la media aritmética de los elementos del conjunto?, ¿cuál es la media aritmética de las muestras de tamaño 4 obtenidas?

Práctica guiada

Utiliza los procedimientos tratados en la lección.

2. En un curso, los estudiantes han ahorrado fondos para realizar una convivencia durante 20 días sin considerar los fines de semana.

Semana 1:$5234 – $7356 – $6765 – $9980 – $10960Semana 2:$12400 – $10666 – $11540 – $19000 – $11670Semana 3:$15345 – $17563 – $18567 – $12234 – $11345Semana 4:$12345 – $16653 – $19545 – $19110 – $14760

a) ¿Cuántas muestras de tamaño 5, pueden obte-nerse de los datos representados en la tabla?, ¿cómo seleccionaste estas muestras?

b) ¿Cuál es la media poblacional del conjunto? y ¿cuál es la media muestral de 5 muestras selec-cionadas al azar?

3. Se ha realizado un estudio en diferentes sectores de la población, la que consiste en estudiar la cantidad de agua consumida mensualmente por hogar. Los resultados se resumen en la siguiente tabla.

40 - 35 - 41 - 34 - 44 - 37 - 44 - 45 - 39 - 30 - 41 - 32 - 31 - 45 - 43 - 32 - 35 - 39 - 38 - 39 - 43 - 20 - 32 - 33 - 34 - 38 - 37 - 48 - 35 - 27 - 40 - 30 - 29 - 25 - 30 - 45 - 18 - 25 - 25 - 19 - 14 - 26 - 30 - 45 - 37 - 34 - 14 - 17 - 14 - 39 - 39 -25 -16 - 24 - 19 - 30 - 53 - 22 - 15 - 10 - 15 - 29 - 13

a) Completa la siguiente tabla.

Tabla (sin reposición)Muestra 1 2 3 4 5

Dato 1

Dato 2

Dato 3

Mediaartimética

b) ¿Cuál es el promedio de todos los datos?

c) ¿Cuál es la media muestral de la tabla?

d) Construye una tabla utilizando los datos del estu-dio y elige muestras de tamaño 7 y 8. ¿Cuáles son los valores de las medias muestrales?

e) ¿Qué sucede con los valores de las medias muestrales a medida que aumenta el tamaño de la muestra?

Aplica

4. Utiliza Excel para responder.

En el experimento A: lanzar una moneda, hay dos posibles resultados: cara (C) o sello (S).

a) ¿Qué funciones te permitirán generar 2000 resul-tados aleatorios?

b) ¿A qué valor tiendes las frecuencias relativas de cada resultado?

5. Moisés quiere averiguar si 5 monedas utilizadas en un juego están cargadas o no, pero no tiene los medios para hacerlo en forma exacta. Una posibilidad es realizar algunas pruebas.

a) Se define la v.a. X: “número de sellos al lanzar 5 monedas”. Lance cada uno una moneda, y anoten la cantidad de sellos que salieron. Repitan el experimento 10, 20 y 50 veces, anoten los re-sultados de cada lanzamiento y luego completen la siguiente tabla, con el número de veces que se repite la cantidad de sellos en cada caso:



32 41

§ ¿Qué formulaciones de la ley de los grandes números conoces? Da un ejemplo.§ Si realizas un experimento y los resultados no calzan con la ley de los grandes números, ¿qué conclusiones

puedes sacar? ¿Es una ley que produzca resultados siempre confiables?

Reflexiona

Número de sellosLanzamientos 0 1 2 3 4 5

10

20

50

b) Sea Xn el promedio de sellos obtenidos en n lanzamientos. Calculen X , X y X .10 20 50

X10 = X20 = X50 =

c) Si el experimento se repite 100 veces, ¿cuál sería el promedio? Estimen un valor y justifiquen.

d) Natalia le dice a Moisés que, en realidad, está extrayendo muestras aleatorias. En este caso, ¿cuál es la población? ¿Cuántos elementos tiene?

e) Daniel decide estudiar un poco más la variable aleatoria X, por lo que define sus casos posibles a partir del experimento.

4 sellos:SSSSC; SSSCS; SSCSS

SCSSS; CSSSS

2 sellos:CCCSS; CCSSC;

CSSCC; SSCCC; CC-SCS; CSCSC; SCSCC;

CSCCS; SCCSC; SCCCS

3 sellos:SSSCC; SSCCS; SCCSS; CCSSS; SSCSC; SCSCS; CSCSS; SCSSC; CSSCS;

CSSSC

1 sello:CCCCS; CCCSC;

CCSCC;CSCCC; SCCCC

0 sellos:

CCCCC

5 sellos:

SSSSS

Con ello, obtiene que:

5 sellos: 1 caso

4 sellos: 5 casos

3 sellos: 10 casos

2 sellos: 10 casos

1 sello: 5 casos

0 sellos: 1 caso

f) Considerando los resultados obtenidos por Daniel, ¿qué resultados son más probables de obtener al lanzar 5 monedas?

g) Considerando lo anterior, si lanzas muchas veces 5 monedas, ¿qué resultados deberían ser más frecuentes?

h) Si lanzas muchas veces las cinco monedas, ¿qué promedio de la v.a. esperarías obtener? Justifica.



Se lanza dos veces una ruleta como la que se muestra en la figura. Se gana si los números obtenidos son de distinto color y su suma es un número par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?


a. ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta?La probabilidad de los casos que pueden darse, y su relación con el suceso “ganar”.

b. ¿Qué información entrega el enunciado del problema?La ruleta que se utiliza, y las condiciones que se deben cumplir para ganar.


En primer lugar se deben determinar todos los casos posibles, y asociarlos al suceso “ganar” o “perder”. A partir de ello definiremos la variable aleatoria asociada.

Luego, se define la función de probabilidad, que nos permitirá responder la pregunta.


Se definen los casos posibles y se define la variable aleatoria, considerando perder = 0 y ganar = 1.

(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1),(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3),(3, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 4)

(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)

ΩY

0

1

Se define la función de probabilidad. 0

1

[0,1]Y

=1216

34

=4

1614

Por lo tanto, la probabilidad de ganar es 14

.


Puedes verificar tu resultado comparándolo con un compañero.


1

2

3

4



Verónica tiene una bolsa con una bolita verde (V), una roja (R), una negra (N) y una azul (A). Saca una, anota el color, la devuelve y saca otra vez. Le interesa conocer la probabilidad de extraer al menos una bolita roja.

Para ello, define la variable aleatoria X: mínimo de bolitas rojas extraídas.

01

VV – VN – VA – NN – NA – AAVR – RR – RN – RA

Ω x

Luego, define la función de probabilidad. 0

1

[0,1]x

=6

1035

=4

1025

Con esto, Verónica concluye que la probabilidad es igual a 25

.

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Verónica?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse en una variable aleatoria?

El error cometido por Verónica es haber definido mal los casos posibles, ya que el caso Verde – Negra, por ejemplo, es distinto a Negra – Verde. Considerando esto, los casos posibles son

VV – VR – VN – VA – RV – RR –RN – RA – NV – NR – NN – NA – AV – AR – AN – AA

Y con ello, la probabilidad es

igual a 716

.


§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores?§ Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes


Reflexiona


Felipe ha asumido que la media muestral es igual a la media poblacional, lo que no es correcto. Si se calcula en forma teórica, se obtiene:

=1+4+9+16+25+36

6=15µ

Al aumentar el tamaño de la muestra, este es el valor al que se espera aproximarse.

Aprende la forma correctaFelipe ha definido la variable aleatoria X: cuadrado del número, asociada al experimento “lanzar un dado no cargado”. Luego de realizar 20 lanzamientos, obtiene los siguientes resultados:

16; 1; 36; 4; 25; 25; 25; 9; 25; 16; 1; 16; 36; 16; 9; 25; 25; 9; 36; 25

Felipe considera estos datos como una muestra, y calcula la media muestral:

=X 19

Con ello Felipe interpreta que la media poblacional de esta variable aleatoria es igual a 19.

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Felipe?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de medias muestrales?




alua

ción

Integrando Lección 40: Muestreo aleatorio simple

1 Identifica cuáles de los siguientes casos corres-ponde a un muestreo aleatorio simple:

a. Elegir a tres deportistas de cada curso para generar un estudio acerca de la frecuencia con que hacen deporte los alumnos del liceo.

b. Escoger por votación de todos los alumnos del curso al mejor compañero.

c. Escoger a 20 de los 400 trabajadores de una empresa para responder una encuesta sobre el clima laboral, de modo que el apellido de cada trabajador comience con una letra diferente.

2 En un curso de 20 alumnos los promedios en la asignatura de matemática son:

4,8; 5,3: 6,6; 5,8; 3,5; 4,3; 5,8; 3,7; 5,6; 6,3; 6,2; 4,5; 5,4; 6,1; 5,4; 4,1; 6,3; 6,8; 4,6; 5,7

La profesora desea inferir acerca de la media con una muestra de 5 alumnos:

a. Utiliza muestreo aleatorio simple para escoger una muestra de 5 alumnos. Explica tu procedimiento.

b. Calcula el promedio de todo el curso, y com-páralo con la media muestral anterior. ¿Fue una buena aproximación?

3 Daniela intenta saber el promedio de la estatura de todas las alumnas de los segundos medios de su colegio. Extrae al azar cinco muestras de cua-tro personas y lo repite cinco veces obteniendo lo siguiente:

Muestra 1: 1,60 - 1,63 – 1,45 – 1,65

Muestra 2: 1,58 – 1,63 – 1,58 - 1,53

Muestra 3: 1,70 – 1,60 – 1,40 – 1,60

Muestra 4: 1,62 – 1,56 – 1,59 – 1,60

Muestra 5: 1,60 – 1,54 – 1,55 – 1,57

Además, sabe que las alturas en su colegio son bastante homogéneas. ¿Entre que valores se puede estimar que se encuentra el promedio de ellas?

Lección 41: Variable aleatoria

4 Se lanza una moneda cinco veces. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos.

a. Obtener cinco caras.

b. Obtener dos sellos.

c. Obtener cara en el primer lanzamiento.

d. Obtener sello en el tercer y quinto lanzamiento.

5 Se lanzan dos dados y se suman los números ob-tenidos. Define la variable aleatoria X asociada a verificar si el número es par o impar, y determina su función de probabilidad.

6 Crea una variable aleatoria a partir de un experi-mento, de modo que su función de probabilidad sea la siguiente:

y [0,1]

0

1

2

12

16

13

7 Alejandro, Macarena, José y Camila quedaron cla-sificados para la final del campeonato de ajedrez de su colegio. Se enfrentan todos contra todos, y cada uno tiene la misma probabilidad de ganar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a. Qué Macarena obtenga el primer lugar.

b. Qué José quede en el último lugar.


32 41Evaluación

Lección 42: Medias muestrales y variable aleatoria

8 La siguiente tabla muestra la velocidad en km/h que llevaban 100 automóviles que pasaron por un control de velocidad en una avenida, un día jueves a las 16 horas con velocidad máxima per-mitida de 60 km/h.

86 27 35 107 116 106 114 21 61 9312 107 18 70 135 119 39 54 43 4182 102 64 52 131 140 51 33 49 13945 134 42 48 129 79 72 63 150 9450 88 126 144 63 118 42 58 114 9982 64 133 126 107 126 35 42 140 10797 61 126 128 25 44 96 92 40 5770 133 37 134 76 50 69 97 106 11440 68 80 89 107 76 54 100 33 5378 73 116 81 81 67 36 101 126 85

a. Extrae 6 muestras aleatorias de tamaño 10, y calcu-la su media muestral. ¿Cuál es, aproximadamente, el promedio de velocidad de los automovilistas?

b. ¿Qué puedes inferir respecto a la prudencia de los automovilistas de esta avenida Justifica tu respuesta.

9 Emilio tiene 3 llaves, y solo una abre la puerta de su casa. Cada noche se olvida de cuál llave abre su puerta, así que las ordena y va probando de a una al azar, hasta que acierta.

a. Determina la función de probabilidad de la variable aleatoria X: número de intentos.

b. ¿Cuántos intentos debe realizar Emilio, en pro-medio, hasta abrir su puerta?

10 En las siguientes situaciones indica el valor espe-rado de la media muestral.

a. La cantidad de hombres al elegir una muestra de diez personas de una ciudad.

b. La cantidad de caras que se obtienen al lanzar seis monedas.

c. La cantidad de “cuatros” que se obtienen al lanzar 10 dados.




Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.Ítem 1: 2/3Ítem 2: 1/2Ítem 3: 1/1

276 y 277

Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.


280 y 281

Calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.Ítem 8: 1/2Ítem 9: 1/2

Ítem 10: 2/3284 y 285


Activ

idad

Sección 3

Eventos excluyentes, independientes y probabilidades

De esto se trata…Existen muchos mitos respecto a los

terremotos, y fórmulas “mágicas” que per-mitirían, eventualmente, predecirlos. Hay quienes afirman que tiene que ver con las fases de la Luna, otros con las mareas y el comportamiento del mar, e incluso con repentinos cambios climáticos.

Insistentemente, los científicos advierten sobre los peligros de creer en este tipo de predicciones. Es importante señalar que hay sucesos que no pueden ocurrir simul-táneamente: no puede haber marea alta si la Luna no se encuentra en fase nueva o llena. Por otra parte, hay cosas que pueden suceder simultáneamente pero eso no indica, necesariamente, que una de ellas sea causa o consecuencia de la otra. Si bien observar coincidencias es, muchas veces, un punto de partida en el estudio científico, siempre hay un largo camino que realizar para comprobar si existe efectivamente una relación entre los fenómenos en estudio.

En grupos de 4 personas, analicen y respondan.

➊ ¿Qué sucesos conocen con explicaciones “no científicas”, pero que suelen repetirse entre las personas? Discutan y analicen la validez de ellos.

➋ Imaginen que están en un concurso de conocimientos que consta de 10 preguntas, que pueden ganar (y obtener un premio millonario) solo si las contestan todas correctamente. Tienen dos opciones: que les hagan todas las preguntas de una vez (en una hoja escrita, por ejemplo) o bien les hacen las preguntas una por una, y solo les hacen la siguiente si contestan correctamente. ¿Qué forma prefieren? ¿Por qué?

Actividad grupal

Propósito: que modeles sucesos asociados a experimentos utilizando conjuntos, operaciones y herramientas de combinatoria.


A utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades. Lección 43 modelar y comprender problemas que involucran probabilidades.

A resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades. Lección 44 calcular probabilidades de sucesos de distinto tipo.

A identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios. Lección 45

A utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades. Lección 46

§ ¿Has escuchado los siguientes términos? ¿Sabes lo que signi can?

Ü ExcluyenteÜ DependienteÜ IndependienteÜ Intersección

§ Mabel dice que comprará un helado o una bebida. Si compra ambas cosas, ¿mintió? Justi ca.



32 41Actividad


Definir casos, eventos y calcular probabilidades

Determina, para los siguientes experimentos y sucesos, sus casos favorables.

1 Experimento: escoger un número entre 1 y 100 (ambos inclusive).

Sucesos:A: escoger un múltiplo de 7.

B: escoger un número terminado en 6 o en 8.

C: escoger un número que no sea múltiplo de 3.

2 Experimento: escoger una letra al azar del alfabeto.

Sucesos:A: escoger una letra que pertenezca a la

palabra CONSIDERACIÓN.

B: escoger una consonante que pertenezca a la palabra UNIVERSITARIO.

C: escoger una letra que pertenezca a la palabra ODISEA, o bien a la palabra PARAÍSO.

3 Experimento: escoger dos dígitos distintos al azar.

Sucesos:A: que no tengan divisores comunes además

del 1.

B: que puedan formar un número mayor que 74.

C: que ambos sean pares.

Utilizar el principio multiplicativo para calcular probabilidades

4 Calcula, en cada caso, la cardinalidad del espacio muestral del experimento y del suceso descrito. Determina además su probabilidad.a. Experimento: lanzar un dado y una moneda.

Suceso: obtener cara y un número par.

b. Experimento: lanzar un dado 3 veces.Suceso: Obtener 3 veces el 6.

c. Experimento: escoger una tenida, entre tres camisas y dos pantalones.Suceso: escoger la camisa azul y un pantalón cualesquiera.

d. Experimento: lanzar 4 veces una moneda.Suceso: obtener 4 sellos.

e. Experimento: lanzar 3 monedas y un dado.Suceso: obtener 3 sellos y un número menor que 5.

¿Qué debes saber?



http://goo.gl/GGB7AL Casos, eventos y cálculo de probabilidades.

http://goo.gl/1i8wi Principio multiplicativo y cálculo de probabilidades.



Lecc

ión Conjuntos y probabilidades

Taller


José es veterinario en la región de Magallanes, y trabaja vacunando a los animales de los produc-tores locales. Para determinar las medicinas que debe comprar ha consultado por el tipo de ganado que tienen los criadores de su pueblo, y obtuvo los siguientes resultados.

Tipo de ganado de los criadoresTipo de ganado CriadoresSolo corderos 9Solo vacunos 6

Corderos y vacunos 3Cerdos 5

Para realizar la vacunación, José recorre al azar los campos. ¿Qué probabilidad tiene de encontrar los distintos tipos de ganado? Para averiguarlo, realiza el siguiente esquema, llamado Diagrama de Venn.

Corderos

Ganado

Vacunos

9 3 65

Cerdos

Llamaremos A y B, respectivamente, a los conjuntos de criadores de corderos y de vacunos, y U al conjunto que representa a todos los ganaderos. Si consideramos el experimento “visitar a un ganadero al azar que tenga algún tipo de ganado”, Ω es el espacio muestral de dicho experimento. Por lo tanto,

P(Ω) = 1

José se pregunta: “¿Cuál es la probabilidad de que visite a un ganadero que ten-ga corderos?” Para responder estas preguntas, se apoya en el diagrama que acaba de realizar.

Suceso Esquema Probabilidad

A: que tenga corderos.Corresponde a: los ganaderos que solo tienen corderos, más los que tienen corderos y vacunos.

A B

9 3 6

C

5P(A) =

923

+3

23=

1223

Las regiones más australes de nuestro país se destacan por la cantidad y calidad de su

producción ganadera.

Propósito: utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.

§ Para calcular la proba-bilidad de un suceso se determina la cantidad de casos posibles, lo que corresponde al espacio muestral. Luego se identifi-can los casos favorables y se calcula la división según la Regla de Laplace:

P =casos favorables

casos posibles

Debes saber…

43


32 41

1 Calculen la probabilidad de los siguientes sucesos definidos. En cada caso, realicen un esquema para apoyarse.

• P(B): probabilidad de que un ganadero tenga vacunos.

• A intersección B (P(AU

B)): probabilidad de que un ganadero tenga corde-ros y vacunos.

• “A menos B” (P(A – B)): probabilidad de que tenga corderos, pero no vacunos.

• “A complemento”, “complemento de A” o “no A” (P(AC)): la probabilidad de que no tenga corderos.

• “A unión B” (P(A U B)): probabilidad de que tenga corderos o vacunos (o ambos).

2 Para cada una de las siguientes probabilidades, planteen una fórmula que las relacione, y justifiquen utilizando un diagrama de Venn.

• P(A), P(A – B) y P(AU

B)

• P(A) y P(AC)

• P(A), P(B), P(AU

B) y P(A U B)

• P(A), P(C), P(AU

C) y P(A U C).

Podemos utilizar conjuntos para definir distintos sucesos de un experimento alea-torio, y plantear las relaciones existentes entre ellos que nos permitan deducir sus probabilidades. En general, dado un experimento aleatorio con dos sucesos A y B, podemos definir las siguientes operaciones.

A B

A menos B

A – B: Que ocurra el suceso A y no el suceso B.

A B

Ac : Que no ocurra el suceso A.

Complemento de A

A U

B : Que ocurra el suceso A y el suceso B a la vez.

A B

A intersección B

A U B: Que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.

A B

A unión B

AyudaSi A

UC = 0 (conjunto vacío),

se dice que A y C son conjuntos disjuntos. Además, los suce-sos asociados a ellos se llaman mutuamente excluyentes.

P(0) = 0

Razonay comenta§ Si Pedro dice “ten-

go lápices azules”, ¿significa que no tiene de otro color? ¿Qué sueles entender ante una afirmación así?

§ Romina dice “mis cua-dernos son verdes o ro-jos”. ¿Tiene cuadernos de los dos tipos? ¿Qué sueles entender ante una afirmación así?

En resumenDado un experimento aleatorio y dos sucesos A y B, se tiene que:

P(A – B) = P(A) – P(AU

B)P(AC) = 1 – P(A)P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A

UB)

A y B son mutuamente excluyentes si ambos sucesos no pueden ocurrir de manera simultánea A

UB = 0:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos, con los experimentos asociados. Para hacerlo determina el espacio muestral e identifica los casos favorables.

a) Lanzar un dado, y obtener un cinco.b) Escoger un número entre 1 y 20, y que salga el 9.c) Escoger una letra al azar del alfabeto, que sea

una vocal.d) Lanzar un dado, y obtener un número impar.e) Escoger un número entre 1 y 20, que sea primo.f) Escoger una letra al azar del alfabeto, que se

encuentre antes de la L.g) Lanzar cuatro monedas, y obtener cuatro sellos.

Práctica guiada

2. Define en cada caso el suceso pedido a partir del experimento (E) y el(los) suceso(s) indicado(s). Haz una lista de los casos favorables. Guíate por el ejemplo.E: Lanzar un dado.A: obtener un divisor de 6.B: obtener un número par.

Define A – B.

A = 1, 2, 3, 6 B = 2, 4, 6A – B = 1, 3A – B corresponde a obtener un divisor de 6 que no sea par.

a) E: escoger una letra del alfabeto.A: escoger una vocal.B: escoger una letra de la palabra MAQUINA.Define A – B.

b) E: sacar una carta de una baraja inglesa sin comodines.A: sacar un corazón.Define AC.

c) E: escoger un día al azar de la semana.A: escoger un día después del martesB: escoger un día antes del sábado.Define A

UB.

d) E: escoger un número del 1 al 30.A: escoger un número par.B: escoger un múltiplo de 5.Define A

UBC.

e) E: escoger una región de Chile.A: escoger una región al sur de la octava.B: escoger una región al norte de la décima.Define A UB.

3. Calcula en cada caso la probabilidad pedida. Guíate por el ejemplo:

P(A) = 0,32; P(AU

B) = 0,15.

Calcula P(A – B) Se tiene que: P(A – B) = P(A) – P(A

UB)

Entonces:P(A – B) = 0,32 - 0,15

P(A – B) = 0,17

a) P(A) = 0,78; P(B) = 0,65; P(A U B) = 0,8.Calcula P(A – B).

b) P(A) = 0,24. Calcula P(AC).

c) P(A) = 0,49; P(B) = 0,45; P(A U B) = 0,71. Calcula P(A

UB).

d) P(B) = 0,13; P(AU

B) = 0,02; P(A U B) = 0,8.Calcula P(A).

e) P(A) = 0,33; P(B) = 0,22; P(AU

B) = 0,04.Calcula P(A U B).

4. Considera los siguientes sucesos al lanzar un dado de seis caras:

A: obtener un número mayor que 3.B: obtener un número divisible por 3.a) Completa el diagrama de Venn que representa el

experimento aleatorio y los sucesos A y B.

A B

U

b) Determina la probabilidad de que el resultado sea un número mayor que 3 o divisible por 3.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número mayor que 3 y divisible por 3?



32 41

Aplica


5. La siguiente tabla presenta las preferencias musicales de un grupo de personas, entre las cuales se sorteará un ipad. Completa la tabla.

Hombre Mujer TotalMúsica rock 15 20

Música alternativa 25Total 32

Determina la probabilidad de cada suceso.

a) Que la persona ganadora sea hombre.

b) Que la persona ganadora sea mujer y prefiera la música alternativa.

c) Que guste de la música rock o sea hombre.

d) Que guste de la música alternativa y que no sea hombre.

e) Que no prefiera la música alternativa.

6. Una tómbola contiene 15 bolitas numeradas del 1 al 15. Se extrae una bolita y se anota el número obtenido.

a) Determina el conjunto correspondiente al suceso A: obtener una bolita numerada con un valor impar.

b) Determina el conjunto correspondiente al suceso B: obtener una bolita numerada con un múltiplo de 5.

Considerando lo anterior, determina la probabili-dad de los siguientes sucesos:

c) Obtener una bolita numerada con un múltiplo de 5 que además sea impar.

d) Obtener una bolita numerada con un múltiplo de 5 o bien con un impar.

e) Obtener una bolita numerada con un múltiplo de 5 que no sea impar.

f) Obtener una bolita que no esté numerada con un múltiplo de 5 ni con un impar.

g) no obtener una bolita que esté numerada con un múltiplo de 5 o con un impar.

7. Desafío: Considera el siguiente diagrama y su explicación.

A B

AU

B

=

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AU

B)

a) Observa el siguiente esquema:

A B

C

Utilízalo para mostrar que:

P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AU

B) –

P(AU

C) – P(BU

C) + P(AU

BU

C)

b) Aplica este resultado para resolver el siguiente problema: en un grupo de 53 personas, a 27 les gusta el básquetbol, a 23 el fútbol y a 29 el vólei-bol. A 9 les gusta el básquetbol y el fútbol, a 13 el básquetbol y el vóleibol y a 10 el fútbol y el vólei-bol, mientras que a 6 les gustan los tres deportes. Calcula la probabilidad de que:

• a una persona le guste algún deporte.

• a una persona le guste solo el fútbol.

• a una persona no le guste el básquetbol, pero sí le guste algún deporte.

8. Conexiones: Investiga en qué consiste el principio de inclusión y exclusión.

§ ¿De qué manera la operatoria de conjuntos facilita el cálculo de probabilidades? Explica con tus palabras.

Reflexiona


Lecc

ión Producto y suma de probabilidades

Taller


Una urna contiene dos bolitas rojas y tres azules y se extraen dos de ellas, conse-cutivamente. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto color?

Para analizar esta situación, se puede utilizar un diagrama de árbol en el que se registran todos los casos posibles al realizar cada extracción, y se señalan los casos favorables al experimento.

Primeraextracción

Segundaextracción

Podemos observar que al realizar la primera extracción hay 5 bolitas que pueden ser escogidas, mientras que al realizar la segunda hay solo 4. Así, por principio mul-tiplicativo, el experimento tiene 5 ∙ 4 = 20 casos totales.

1 ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto color? Utilice la regla de Laplace.

2 El primer caso favorable (señalado por la primera flecha, de izquierda a derecha) corresponde a la combinación de resultados “primera bolita roja y segunda bolita azul”. Describan, en palabras, las combinaciones de resulta-dos que conforman los casos favorables.

3 Determinen la probabilidad de los siguientes sucesos:

• Que la primera bolita sea roja. • Que la primera bolita sea azul. • Que la primera bolita sea roja y la segunda sea azul. • Que la primera bolita sea azul y la segunda sea roja.

El diagrama de árbol realizado anteriormente se puede resumir considerando que, en realidad, cada extracción tiene dos resultados esencialmente distintos (que la bolita sea roja o que sea azul), a los que podemos cada vez, asignar una probabi-lidad, como se muestra:

34

14

24

24

25

35

4 Identifiquen nuevamente los casos favorables (en este caso son dos). ¿Cuál era la probabilidad de cada uno? ¿Qué operación relaciona estas cantidades con las probabilidades asociadas a la primera y la segunda extracción?

Propósito: resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades.

§ El principio multiplica-tivo indica que, dado un experimento E1 con n casos posibles, y otro ex-perimento E2 con m casos posibles, el experimento que resulta al realizar E1 y luego E2 tiene n•m casos posibles.

Debes saber…

44


32 41

5 En la pregunta 1 determinaron la probabilidad de ganar. ¿Qué operación relaciona esta probabilidad con las probabilidades de cada caso favorable? Expliquen.

El suceso “extraer dos bolitas de distinto color” está compuesto de dos casos: que la primera bolita sea roja y la segunda azul, y que la primera sea azul y la segunda roja. Se trata de sucesos mutuamente excluyentes, pues no pueden ocurrir simultáneamente.

Para calcular la probabilidad de cada caso, analizamos lo que ocurre en cada extracción, como se muestra:

Por lo tanto:

P(roja y azul) = 620

=2 •35• 4

=25

•34

P(azul y roja) = 620

=3•25• 4

=35

•24

Probabilidad de que la primera bolita sea roja.

Probabilidad de que la primera bolita sea azul.

Probabilidad de que la segunda bolita sea azul si la primera fue roja.

Probabilidad de que la segunda bolita sea roja si la primera fue azul.

Para ganar, puede ocurrir el caso roja y azul o bien el caso azul y roja. Luego:

P RyA P AyRP(dos bolitas de distinto color) ( ) ( )

25

•34

35

•24

620

620

1220

= + = + = + =

En general, cuando un suceso está formado por casos que deben ocurrir suce-sivamente (es decir, que suceda uno y el otro) podemos multiplicar sus probabi-lidades. Además, si un suceso está compuesto por distintos casos mutuamente excluyentes, sumamos sus probabilidades.

Caso roja y azul: Hay dos casos favorables en la primera extracción, y tres en la segunda. Por lo tanto, hay 2 • 3 = 6 casos favorables.

Caso azul y roja: Hay tres casos favorables en la primera extracción, y dos en la segunda. Por lo tanto, hay 3 • 2 = 6 casos favorables.

Razonay comenta§ Danitza plantea que

la probabilidad de obtener una bolita roja

es 25

, y la de extraer

una azul es 35

. Por lo

tanto, la probabilidad de obtener bolitas de distinto color es

25

•35

35

•25

625

625

1225

+ = + = .

¿Qué error cometió?

§ Resuelve el problema planteado en la lección calculando la probabilidad del complemento, es decir, de que las bolitas sean del mismo color.

En resumenSi en un experimento debe ocurrir primero un suceso A (con probabilidad P(A)) y luego un suceso B (con probabilidad P(B) luego de que ocurre A), se tiene que:

P(AyB) = P(A) • P(B)

Si un suceso C se compone de dos sucesos A y B mutuamente excluyentes, entonces:P(C) = P(A) + P(B)

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Determina para cada situación el espacio muestral y la probabilidad del suceso correspondiente.

a) Se lanzan 2 dados, y el producto de los números obtenidos es 12.

b) Se lanzan tres monedas, y se obtienen tres sellos.

c) Escoger una carta de una baraja inglesa (sin comodines), anotar su pinta, devolverla y extraer otra, y que ambas sean de picas.

d) Escoger al azar dos días de una semana, y que ambos correspondan al fin de semana (sábado o domingo).

e) Escoger al azar un número mayor que 9 y menor que 100, y que la suma de sus cifras sea igual a 11.

2. Calcula las probabilidades de que ocurran los siguientes sucesos, considerando el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de un mazo de 52 naipes (sin comodines). Considera que el As es igual a 1.

a) Obtener una carta mayor que 2 o múltiplo de 5.

b) Obtener un 3 o un naipe cuya pinta sea trébol.

c) Obtener un Rey o un As.

d) Obtener una carta mayor que 10 o menor que 5.

e) Obtener una carta de pinta negra, o una figura de picas.

f) Obtener un As, o un corazón.

g) No obtener un trébol, u obtener una carta de pinta roja.

h) No obtener una figura, o bien no obtener un trébol.

i) Obtener un corazón que no sea un número par, u obtener una figura de pinta roja.

Práctica guiada

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando un diagrama de árbol. Guíate por el ejemplo.

Se extraen dos letras al azar de la palabra RARAS. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos letras iguales?

Paso 1 Se dibuja el diagrama de árbol, y se asig-nan las probabilidades de cada caso.

R RA

R S

S A

14

24

14

24

24

R A

A

S

24

14

14

25

25

15

Paso 2 Identifica los casos favorables y multipli-ca sus probabilidades.

Caso RR: =25

•14

220

Caso AA: 25

•14

220

=

Paso 3 Suma las probabilidades anteriores.

= + =P2

202

204

20

a) Se extraen dos letras de la palabra AMALIA. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos letras iguales?

b) En un curso hay 15 mujeres y 14 hombres. Si se eligen al azar 2 estudiantes, ¿cuál es la probabili-dad de que sean mujeres?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al sumar dos dígitos menores que 7?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas al aire se obtenga como resultado más de una cara?

e) Se escriben, cada uno en un papel, los dígitos desde el 1 al 9. Si se eligen al azar dos papeles, ¿cuál es la probabilidad de obtener como dife-rencia entre los dígitos el número 3?

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener, como suma de los puntajes de lanzar dos dados de seis caras, un puntaje mayor que 9?



32 41

Aplica


4. La siguiente tabla muestra la cantidad de hombres y mujeres de un grupo de personas encuestadas que eligen entre dos planes de conexión a internet. Entre ellas se realizará un sorteo.

Elección de planes de conexión a internetPlan Hombres Mujeres Total

A 105 90B 500

Total 240

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea hombre?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea mujer y haya escogido el plan A?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador haya escogido el plan A o el plan B?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador no haya elegido ninguno de los planes?

5. Nibaldo va los sábados a la feria, y las tres cuartas partes de las veces que va lleva su bolsa. Cuando la lleva, el 80% de las veces compra pescado, mientras que si no la lleva solo lo hace la mitad de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que un sábado no compre pescado?

6. Conexiones: en medicina se aplican exámenes para detectar enfermedades, que a veces fallan. Cuando una persona sana es señalada como enferma por el examen se dice que es un falso positivo. A la inversa, si la persona está enferma y el examen indica que está sana se trata de un falso negativo.

En una ciudad se estima que el 20% de las perso-nas padece una determinada enfermedad. Si un examen se aplica a una persona al azar de dicha ciudad, la probabilidad de que el examen arroje un falso positivo es de un 1,6%, mientras que la probabilidad de que arroje un falso negativo es de 0,6%. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen indique que una persona está sana? ¿Cuál es la probabilidad de que el examen indique que está enferma?

7. Desafío: a una reunión internacional han asistido 201 personas, de 5 nacionalidades diferentes. En todos los grupos de 6 personas que pueden formarse, siempre hay al menos dos personas que tienen la misma edad.

Demuestra que, entre los asistentes a la reunión, hay al menos 5 personas de la misma nacionali-dad, de la misma edad y del mismo sexo.

8. Conexiones: el escritor británico George Bernard Shaw es el autor del siguiente apunte, refiriéndose a las personas que siempre están cansadas:

"El año tiene 365 días de 24 horas, de las cuales 12 están dedicadas a la noche y hacen un total de 182 días, por lo tanto, solo quedan 183 días hábiles menos 52 sábados y 52 domingos, quedan un total de 79 días, pero hay 4 horas diarias dedicadas a las comidas sumando 60 días, lo que quiere decir que quedan 19 días dedicados al trabajo, pero como usted goza de 15 días de vacaciones, solo le quedan 4 días para trabajar, menos, aproximadamente, 3 días de permiso que utiliza para hacer diligencias o estar enfermo, solo le queda un día para trabajar, pero ese día es precisamente el día del trabajo (1º de mayo) y, por lo tanto, no se trabaja por ser festivo"; entonces...¿de qué se siente cansado?

¿Cuál es la “trampa” del texto? Discute con tus compañeros?

§ ¿Por qué es importante identificar si dos sucesos tienen casos en común?§ Dos sucesos se llaman dicotómicos si no pueden tener casos en común, por su naturaleza. En cambio, hay

sucesos que en ocasiones no tienen casos en común. Da dos ejemplos de cada uno.

Reflexiona


Lecc

ión

Carmen quiere realizar el experimento de la lección an-terior (sacar dos veces una bolita de una urna con dos rojas y tres azules) con una diferencia: extraerá la bolita y anotará su color, y luego la devolverá a la urna para extraer por segunda vez. ¿Cuál es ahora la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto color?

Para averiguarlo, realiza el siguiente razonamiento:

Paso 1 Los casos favorables corresponden, nueva-mente, a sacar una bolita roja y una azul, o sacar una azul y una roja. Es decir:

P(bolitas de distinto color) = P(AyR) + P(RyA)

Paso 2 Al sacar una bolita de la urna por primera vez, la probabilidad de sacar una bolita roja

es 25

, mientras que la probabilidad de sacar una azul es 35

.

Al realizar la segunda extracción, estas probabilidades se mantienen, pues la primera bolita es devuelta a la urna. Por lo tanto:

P(bolitas de distinto color) = P(AyR) + P(RyA)

=25

•35

+35

•25

=6

25+

625

=1215

Por lo tanto, la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto color es

igual a 1225

.

Podemos observar que en este experimento la probabilidad del color de la segunda bolita extraída es independiente del color que haya tenido la primera bolita. En general, decimos que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta en la probabilidad de ocurrencia del otro.

Cuando dos sucesos son independientes, mantienen su probabilidad, por lo que esta puede multiplicarse sucesivamente, sin cambiar, para calcular la probabilidad de un evento.

Eventos independientes

Propósito: identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.

25

35

25

35

25

35

Abraham De Moivre, matemático francés (1667-1754), definió

formalmente la dependencia e independencia de sucesos.

45

Razonay comenta§ Si lanzas un dado y

obtienes un 3, ¿cam-bia la probabilidad de obtener un 3 en el siguiente lanzamiento? Los resultados de un dado, ¿son dependien-tes o independientes?

§ Da dos ejemplos de sucesos dependientes y dos de independien-tes, asociados a algún experimento.

En resumenDos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro. Además se cumple que:

P(A y B) = P(A) • P(B)

En caso de que la ocurrencia de A influya sobre la probabilidad de B (y viceversa), los sucesos son dependientes. En tal caso,

P(A y B) ≠ P(A) • P(B)



32 41

Repaso

1. Calcula, en cada caso, la probabilidad del suceso indicado.

a) Obtener tres caras consecutivas al lanzar una moneda.

b) Lanzar un dado cinco veces y obtener la secuen-cia 3, 3, 5, 6, 2.

c) Lanzar un dado cuatro veces, y obtener solo números pares.

d) Sacar tres cartas de una baraja de 52, y obtener sólo tréboles o diamantes.

e) Se escoge un dígito al azar de 0 a 6 cuatro veces, para formar un número. Se obtiene un número mayor que 4320.

Práctica guiada

2. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos, sabiendo que los sucesos A y B son independientes. Utiliza lo visto en la página anterior. Guíate por el ejemplo:

P(A) = 0,4; P(B) = 0,3. Calcula P(AyB)

Ya que los sucesos son independientes, P(A y B) = P(A) • P(B). Por lo tanto:

P(A y B) = 0,4 • 0,3 = 0,12

a) P(A) = 0,77; P(B) = 0,99. Calcula P(AyB).

b) P(A) = 0,01; P(B) = 0,9. Calcula P(AyB).

3. Determina si los sucesos A y B son independientes. Guíate por el ejemplo:

P(A) = 0,5; P(B) = 0,6; P(AyB) = 0,3

Los sucesos son independientes si P(A) • P(B) = P(AyB). Luego, verificando:

0,5 • 0,6 = 0,3 = P(A) • P(B)

Por lo tanto, los sucesos son independientes.

a) P(A) = 0,2; P(B) = 0,3; P(AyB) = 0,06.b) P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(AyB) = 0,16.

Aplica

4. Una caja contiene 10 bolitas numeradas del 1 al 10. El experimento consiste en “extraer dos bolitas, una primero y otra después” se define los siguientes sucesos:A: obtener una bolita con un número par en la

primera extracción.B: obtener una bolita con un múltiplo de 3 en la

segunda extracción.

a) ¿Son independientes los sucesos si se repone la bolita en la primera extracción? Fundamenta.

b) ¿Qué ocurre con los sucesos si no se repone la bolita?

5. Se dispone de 2 urnas con fichas de colores, como muestra la figura, y se extrae una ficha de cada una.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja y una azul?

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja y una amarilla?

c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha verde y una no azul?

6. En un grupo de personas la probabilidad de escoger al azar a una persona con cierta enfermedad es de un 10%.

a) Supón que en el grupo hay 100 personas. Calcula la probabilidad de escoger al azar a dos personas y que tengan la enfermedad.

b) Supón que en el grupo hay 1000 personas. Calcula la probabilidad de escoger al azar a dos personas y que tengan la enfermedad.

c) Supón que en el grupo hay 1000 personas. Calcula la probabilidad de escoger al azar a dos personas y que tengan la enfermedad.

d) Supón que en el grupo hay 10 000 personas. Calcula la probabilidad de escoger al azar a dos personas y que tengan la enfermedad.

e) Compara las probabilidades anteriores con el producto 0,1 • 0,1. ¿Qué puedes concluir?

§ Explica con tus palabras lo que significa que dos sucesos de un experimento sean independientes.§ Si dos sucesos A y B son dependientes, ¿puede afirmarse que A es causa de B? ¿o que B es causa de A? Justifica.

Reflexiona


Lecc

ión

Guadalupe debe seleccionar entre 5 de sus compañeros (Alfredo, Beatriz, Carolina, Diego y Eugenia) a 3 de ellos, que representen al liceo en una competencia. Para ello, quiere averiguar cuántas posibilidades tiene de hacerlo.

Pretende realizar un diagrama de árbol, pero Alonso le sugiere hacerlo solo imaginando que construye el diagrama, mediante los siguientes pasos.

Paso 1 Si tuviera que escoger a sus cinco compañeros en orden, tendría 5 posibilidades para escoger al primero. Luego, para escoger al segundo, tendría solo 4 posibilidades, 3 para el tercero, 2 para el cuarto y 1 para el quinto. Por lo tanto, el diagrama de árbol tendría:

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 posibilidades

A este producto, 5 • 4 • 3 • 2 • 1 le llamaremos 5 factorial, que se escribe 5!. En general, se puede calcular el factorial de cualquier número natural n, multiplicando entre sí todos los números naturales menores o iguales que él.

n! corresponde a la cantidad de formas en que podemos ordenar en una fila a n personas (llamadas también permutaciones). Se anota Pn = n!

Paso 2 Ya que solo debe escoger a 3 de sus compañeros, el árbol habría llegado hasta la tercera etapa, es decir, habría tenido solo 5 • 4 • 3 = 60 posibilidades.

Alonso observa que al “suprimir” las últimas dos etapas en el diagrama de árbol ha debido dividir por 1 • 2 = 2 el número de casos, es decir:

60120

25 • 4 • 3 • 2 •1

2 •15!2!

5!(5 3)!

= = = =−

Al número 5!(5 3)!−

le llamaremos variación de 3 objetos escogidos

entre 5 o simplemente variación de 5 sobre 3 (se anota V35 ), y corres-

ponde a la cantidad de formas en que podemos escoger, en orden, 3 objetos entre 5 disponibles.

En general, dados dos números naturales m y n, con m > n, se tiene que:

Vm!

(m –n)!nm=

Combinatoria y probabilidades

Propósito: utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.

§ Un diagrama de árbol permite representar una secuencia de realizaciones de un experimento. En cada etapa, sus ramas indican la cantidad de casos posibles que existen para cada una.

Debes saber…

46


32 41

Paso 3 Al considerar 60 casos se está pensando que escoger, por ejemplo a Alfredo, Beatriz y Carolina es distinto que escoger a Carolina, Alfredo y Beatriz. Ya que 3 personas pueden ordenarse de 3! = 1 • 2 • 3 = 6 maneras, debemos dividir los 60 casos por 6, para obtener las formas de escogerlos sin importar el orden:

606

10

5!2!3!

5!3! • 2!

5!(5 3)! • 2!

= = = =−

Al número 5!(5 3)! • 2!−

le llamaremos combinación de 5 sobre 3

(se anota C35 ), y corresponde a la cantidad de formas en que podemos

escoger, sin importar el orden, 3 objetos entre 5 disponibles.

En general, dados dos números naturales m y n, con m>n, se tiene que:

=−

=

Cm!

(m n)! • n!mnn

m

Si Guadalupe quiere averiguar la probabilidad de escoger a dos hom-bres y una mujer, solo le falta determinar los casos favorables:

• Posibilidades de escoger a 2 hombres entre 3:

C3!

(3 2)! • 2!1• 2 • 31•1• 2

323=

−= =

• Posibilidades de escoger a 1 mujer entre 2:

C2!

(2 1)! •1!2!

1! •1!21

2 =−

= =

• Posibilidades de escoger a 2 hombres entre 3 y 1 mujer entre 2:C C• 3 • 2 62

312 = =

Por lo tanto, la probabilidad de escoger a dos hombres y una mujer es

C C

CP

• 3 • 210

610

23

12

35= = =

AyudaLa expresión m

n

recibe el

nombre de número combina-torio, se lee “m sobre n”.Recuerda que por principio multiplicativo, las posibilidades de escoger a dos hombres se multiplican por las de escoger a una mujer, para obtener el total de casos posibles.

Razonay comenta§ Si Guadalupe debe

escoger a sus compa-ñeros para formar una directiva del curso, ¿es importante el orden en que los seleccio-ne? ¿Cuál sería, en ese caso, la proba-bilidad de escoger a dos hombres y una mujer? Justifica.

§ ¿En qué casos es importante el orden en que se escojan los elementos de un conjunto? Explica.

En resumen• Si n es un entero positivo, se llama n factorial (n!) al producto

n • (n – 1) • (n – 2) • … 3 • 2 • 1.Por definición 0! = 1

• Se llama permutación (Pn) a la cantidad de formas que podemos ordenar linealmente n elementos.

• Se llama Variación (Vnm ) a la permutación de n elementos que se

seleccionan de un conjunto de m elementos distintos.

• Se llama Combinación ( Cnm ) a la cantidad de los distintos

grupos que se pueden formar con n elementos escogidos de entre m, sin considerar el orden.

Pn = n!

V =m!

(m–n)!nm

=m!

(m-n)! n!= m

nnmC

•

Prac

tique

mos

lo a

pren

dido


Repaso

1. Calcula la cantidad de casos posibles de los siguientes experimentos.

a) Lanzar una moneda 5 veces.

b) Escoger al azar un menú considerando 3 posibles entradas, 4 platos de fondo y dos postres.

c) La cantidad de patentes de auto que se pueden formar, utilizando 4 consonantes y 2 dígitos.

d) Generar al azar una clave secreta, que debe contener 6 caracteres que pueden ser números o letras (sin la ñ).

Práctica guiada


Se seleccionan al azar las letras de la palabra SUMA ¿Cuál es la probabilidad de que se escoja esta palabra?

Paso 1 Se determinan los casos posibles, que corresponden a las permutaciones de 4 letras, es decir:

P4 = 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24

Paso 2 Ya que la palabra SUMA es uno de esos casos, su probabilidad es:

P14

=

a) Se seleccionan al azar las letras de la palabra COMPLETA. ¿Cuál es la probabilidad de escoger la palabra PLECOMTA?

b) Se escogen al azar los diez dígitos. ¿Cuál es la pro-babilidad de escoger la combinación 7639410825?

c) Se escogen al azar tres vocales. ¿Cuál es la proba-bilidad de escoger la combinación EAI?

d) ¿Cuántas palabras de 4 letras, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra PLUMAS? ¿Cuál es la probabilidad de que al esco-ger una de estas palabras sea elegida LUSA?

e) Si entre 11 políticos se escogerá a 6 senadores, ¿cuántas posibles combinaciones se pueden ele-gir? ¿Cuál es la probabilidad de escoger aleatoria-mente un determinado grupo de senadores?


Mariano tiene 5 lápices a tinta y 8 lápices de grafi-to, y quiere llevar a su colegio 7 lápices en total. Si los selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que escoja 3 lápices de tinta?

Paso 1 Calcula la cantidad de formas de escoger 7 lápices de entre 5 + 8 = 13 lápices en total.

=

−=

=

=

=

=

=

137

13!(13 7)! • 7!

13!6! • 7!

1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11• 12 • 13

1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6

8 • 9 • 10 • 11• 12 • 131• 2 • 3 • 4 • 5 • 6

8 • 9 • 11• 131• 6

10 2966

1716

Paso 2 Calcula la cantidad de formas de escoger 3 lápices de tinta, de entre los 5 que tiene.

=

−=

=

=

= =

53

5!(5 3)! • 3!

5!2! • 3!

1• 2 • 3 • 4 • 5

1• 2 • 1• 2 • 3

4 • 51• 2202

10

Paso 3 Calcula la cantidad de formas de escoger 4 lápices de grafito, de entre los 8 que tiene.

84

8!(8 4)! • 4!

8!4! • 4 !

1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8

1• 2 • 3 • 4 • 1• 2 • 3 • 4

5 • 6 • 7 • 81• 2 • 3 • 41680

2470

=

−=

=

=

= =



32 41

Paso 4 Por lo tanto, la probabilidad P pedida es

P

53

84

137

10 • 701716

7001716

175429

=

= = =

Utiliza el procedimiento anterior para resolver los siguientes problemas:

a) De un grupo de cuatro mujeres y dos hombres se seleccionan tres personas. ¿Cuál es la probabi-lidad de que queden seleccionados los dos hombres?

b) Considerando el problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de que queden seleccionadas tres mujeres?

c) Un entrenador de un equipo de fútbol debe escoger a la delegación de 22 jugadores que viajarán a un campeonato. Para ello debe escoger a 2 arqueros de los 3 que tiene, a 6 defensas de 10, 8 mediocampistas de 12 y a 6 delanteros de 9. ¿Cuál es la probabilidad de que dos defensas y un mediocampista cualquiera queden seleccionados?

d) Rebeca e Irene trabajan haciendo turnos en un hospital. De los siete días de la semana, deben escoger 3 que serán sus días libres; Rebeca debe escoger sus días de lunes a jueves e Irene, de jueves a domingo. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas trabaje el jueves?

Aplica


4. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra PALTOS, de tal modo que comiencen con P y terminen con S?

5. Martín quiere sacarse una foto con su familia, compuesta por su papá, su mamá, él y sus dos hermanos. Para eso, se pondrán al azar uno al lado del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos padres queden juntos en la foto?

6. Paulina quiere adornar su casa con plantas, para lo que le encarga a su hermano que compre 2 plantas de interior y 5 de exterior. En la tienda su hermano compra las plantas al azar (todas distintas) pues no las distingue. Si en la tienda había 6 tipos de plantas de interior y 8 de exterior, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con el deseo de Paulina?

7. En un plano cartesiano hay 5 puntos no colineales (A, B, C, D y E), es decir, no pertenecen a una misma recta, ¿cuántos triángulos es posible dibujar? ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger 3 de los 5 puntos para formar un triángulo se elijan los puntos A, B y C?

8. Un profesor interrogará a la mitad de los estudiantes de un curso de 38. Si uno de ellos no estudió, ¿cuál es la probabilidad de que no salga seleccionado?

9. La clave de un maletín de seguridad está compuesto por 5 dígitos. A su dueño se le olvidó la clave, solo sabe que comienza con un número primo. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tratar de abrir el maletín, acierte con la clave al primer intento?

10. Se formará un equipo de 4 mujeres y 3 hombres elegidos entre 12 mujeres y 18 hombres. Pablo y Camila son hermanos, ¿cuál es la probabilidad de que ellos conformen juntos el equipo?

11. Desafío: Marcela es hermana de Raúl, y Constanza es hermana de Beatriz, mientras que Leonardo no es hermano de los anteriores nombrados. ¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar a dos personas de este grupo que sean de distinto sexo o que sean hermanos?

§ ¿De qué manera facilita la resolución de problemas de probabilidad el uso de combinatoria? Explica.§ Resuelve los ejercicios 3, 4 y 5 de la lección 44, utilizando combinatoria en lugar de diagramas de árbol.

¿Confirma lo que respondiste en la pregunta anterior? Justifica.

Reflexiona



En un conjunto de cartas de una baraja inglesa sin comodines, la probabilidad de extraer una K es 29

, la pro-

babilidad de extraer una carta de pinta negra es 69

y la de extraer una carta que sea de pinta roja o K es 59

.

¿Está entre esas cartas la K de corazón?


a. ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta?La probabilidad de los casos dados, y las características de las cartas

b. ¿Qué información entrega el enunciado del problema?Las probabilidades que hay de extraer distintos tipos de cartas de un grupo de ellas.


En primer lugar se definirán eventos y sus probabilidades. Además, se extraen otras probabilidades a partir de las ya definidas.

Luego se aplican las fórmulas conocidas para calcular probabilidades, analizando si los eventos son exclu-yentes o no.


Se definen los sucesos y sus probabilidades:

K: extraer una K → P(K) = 29

N: extraer una carta de pinta negra → P(N) = 69

KUR: extraer una K o una carta de pinta roja → P(KUR) = 59

Los sucesos “extraer una carta de pinta roja” y “extraer una carta de pinta negra” son excluyentes, por lo que

si la probabilidad extraer una carta de pinta roja es igual a = − =P(R) 169

39

.

Tenemos que

P(K U R) = P(K) + P(R) – P(KU

R)

U U( ) ( )= + − → =

59

29

39

P K R P K R 0

La probabilidad de extraer una K de pinta roja es 0, por lo que la K de corazón no puede estar entre ellas.


Forma grupos de cartas que incluyan la K de corazón, e intenta obtener las probabilidades dadas, para verificar que no es posible.




§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores?§ Respecto a los que no cometiste, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes


Reflexiona

Tres equipos, A, B y C, disputan un torneo entre sí, de modo que los dos pri-meros clasifican al campeonato nacional.

Andrea deduce que la probabilidad de que cada equipo clasifique es igual a 13

ya que son 3 equipos. Para comprobarlo, define los sucesos A, B y C según

clasifiquen los colegios respectivos, y obtiene que:

P(A) + P(B) + P(C) = + + =13

13

13

1

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Andrea?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse al sumar probabilidades?

Andrea no consideró que al haber dos clasificados en el torneo, los sucesos A, B y C no son excluyentes, por lo que no corresponde sumar sus probabilidades.

Ya que clasifican 2 equipos, pueden darse las siguientes combinaciones:

AB AC BC

Para cada equipo, hay dos combinaciones que le favorecen. Luego, la probabilidad de clasificar

es 23

.


Ramiro participa en un concurso en el que lanza una ruleta con números del 1 al 10. Le dicen que pierde si obtiene un número impar y múltiplo de 3, y en caso contrario gana. Para analizar su probabilidad de ganar, define los siguientes eventos:

A: obtener un número impar B: obtener un múltiplo de 3A y B: obtener un impar y múltiplo de 3

Ya que con A y B pierde, Ramiro considera que gana si ocurre el suceso (A y B)C, es decir, AC y BC, que corresponde a que salga un número par que no sea múlti-plo de 3. Es decir:

AC y BC = 2, 4, 8, 10

Por lo tanto, su probabilidad de ganar es =4

1025

.

Razonay comenta§ ¿Cuál es el error cometido por Ramiro?

§ ¿Qué otros errores pueden cometerse al operar conjuntos??

(A y B)C no es equivalente a

AC y BC sino a AC U BC

, como se puede deducir:

A = 1, 3, 5, 7, 9B = 3, 6, 9AC = 2, 4, 6, 8, 10AC = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10A y B = 3, 9(A y B)C

= 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10AC U BC = 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10

Por lo tanto, su probabilidad

de ganar es 810

45= .




alua

ción

Integrando Lección 43: Conjuntos y probabilidades

1 Sean A y B dos sucesos de un experimento, de

modo que =P(A B)78

, P(A

U

B) =18

y =P(A )58

c .

Calcula:a. P(A)

b. P(B)

c. P(A – B)

2 Dado el experimento E: Lanzar dos dados de seis caras, se definen los siguientes sucesos:

A: Obtener la misma cantidad de puntos en am-bos dados.B: Obtener dos puntos en el primer lanzamiento.

a. Determina el espacio muestral del experimento.

b. Determina los conjuntos asociados a los sucesos A y B, A U B, A

U

B, Ac y Bc.

3 Considerando la pregunta anterior, calcula:

a. P(A)

b. P(B)

c. P(A

U

B)

d. P(A U B)

e. P(A – B)

4 Determina en cada caso si los sucesos A y B, aso-ciados al experimento E son mutuamente exclu-yentes o no.

a. E: escoger un día del año al azar. A: que llueva ese día. B: que esté nublado ese día.

b. E: escoger un número del 1 al 30.A: escoger un múltiplo de 7.B: escoger un múltiplo de 5.

c. E: escoger al azar una carta de un naipe inglés. A: que salga un 3.B: que salga una figura.

5 El 25% de los habitantes de una ciudad escucha un noticiero de la radio por la mañana, el 35% lo escucha por la noche y se sabe que el 10% escucha ambos noticieros. Si se escoge una persona al azar de esta ciudad, calcula la probabilidad de que:

a. escuche el noticiero de la mañana o de la noche.

b. no escuche ninguno de los noticieros.

c. escuche solo noticiero de la mañana o solo el de la noche.

d. escuche el de la noche pero no el de la mañana.

Lección 44: Producto y suma de probabilidades

6 Laura vive en Chillán y en sus vacaciones preten-de viajar a Talcahuano o a Constitución. Para alo-jar, debe decidir entre un camping, una residen-cial o la casa de las amigas a las que quiere visitar. Si todo lo escogerá al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que aloje en un camping de Talcahuano?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que se aloje en una residencial?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que no aloje en un camping?

7 Una caja contiene bolitas numeradas del 1 al 15. Se realiza el experimento que consiste en extraer una de ellas, dejarla aparte y sacar otra.

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita con un número impar en la primera extracción y una con un número impar en la segunda?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener bolitas cuyos números tengan suma impar?

c. ¿Cuál es la probabilidad de escoger dos bolitas de modo que el producto de sus números sea par?

8 Josefa debe escoger al azar dos días de una se-mana para hacer un taller. Si lo hace al azar, ¿cuál es la probabilidad de que escoja dos días segui-dos, pero que no esté el lunes entre ellos?

Lección 45: Eventos independientes

9 Se sacan consecutivamente tres cartas al azar de un mazo inglés, reponiéndolas cada vez. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:

a. obtener tres ases.

b. obtener un rey, un corazón y un trébol (sin im-portar el orden).

c. obtener tres cartas de pinta roja.

U


32 41Evaluación

10 Una prueba de matemáticas consta de 30 pre-guntas de cinco alternativas cada una. Oscar no estudió y decide recurrir a la suerte en cada una de ellas, respondiendo al azar.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que Oscar responda todo correctamente?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Oscar tenga la mitad de las respuestas correctas?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que Oscar obtenga el 60% de la prueba correcta?

11 Un dado se ha trucado de tal forma que: P(2) = P(4) = P(5) y P(1) = P(3) = P(6) = 2P(5). Si se lanza dos veces, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a. obtener un 2 y un 3.

b. obtener dos números pares.

c. obtener el 6 y un número impar.

12 Se lanza dos veces la ruleta de la figura.

1 23

4

5

6

10

9

12

11

8 7

Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a. obtener un 1 y un múltiplo de 4.

b. obtener un número impar y un número primo.

c. obtener un número impar y uno mayor que 8.

d. obtener dos números menores que 6.

Lección 46: Combinatoria y probabilidades

13 ¿Cuántas palabras (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de la palabra SUYAI de mane-ra que siempre comiencen con S y terminen con I?

14 5 mujeres y 3 hombres quieren jugar un partido de básquetbol mixto, para lo que deben seleccio-nar a 5 jugadores.

a. ¿Cuántos equipos se pueden formar, si cada jugador puede ocupar cualquier puesto y el equipo puede tener solo mujeres?

b. ¿Cuántos equipos se pueden formar, si el equipo puede debe tener hombres y mujeres?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo este conformado por tres mujeres y dos hombres?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo tenga a lo más 3 mujeres?

15 Estefanía y Bárbara forman una fila junto a 3 com-pañeros de su curso.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que Bárbara quede justo detrás de Estefanía?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Estefanía quede en cualquier posición delante de Bárbara?




Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.Ítem 1: 2/3Ítem 2: 1/2Ítem 3: 3/5

ítem 4: 2/3ítem 5: 2/4 294 y 295

Resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades. Ítem 6: 2/3Ítem 7: 2/3

Ítem 8: 1/1 298 y 299

Identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios. Ítem 9: 2/3Ítem 10: 2/3

Ítem 11: 2/3ítem 12: 2/3 302

Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades. Ítem 13: 1/1Ítem 14: 2/4

Ítem 15: 1/2 304 y 305

Diario mural

Supongamos que usted es un juez. Tiene que juzgar un caso difícil: una madre a la que se acusa de causar la muerte sus dos hijos recién nacidos. La defensa argumenta que se trata de dos casos de “muerte súbita del lactante”, un fenómeno sin causa conocida que afecta a uno de cada 8.500 nacidos. Con estos datos, usted razona que la probabilidad de que esto

ocurra en dos ocasiones es 18500

•1

8500=

172 250 000

.

Por lo tanto, la probabilidad de que la acusada sea inocente es de, aproximadamente, 1 entre 72 millones. Esto es tan inverosímil que la declara culpable.

Bien, pues resulta que no se trata de un caso hipotético. Es el caso de Sally Clark, que fue juzgada en Inglaterra en noviembre de 1999, acusada del parricidio de sus hijos Christopher (muerto en 1996), y Harry (en 1998). Ocho de los diez miembros del jurado razonaron como usted y Sally fue condenada a cadena perpetua. Tres años después fue puesta en libertad al revocarse la sentencia, que fue calificada como uno de los mayores errores judiciales de la historia moderna de Gran Bretaña. Para Sally Clark fue demasiado tarde. No consiguió sobreponerse a su desgracia. El 15 de marzo de 2007 apareció muerta en su casa, víctima del alcoholismo.

Multiplicando probabilidades

Pero ¿dónde está el error? En realidad, hay dos errores graves en el razonamiento del jurado. En primer lugar, que la probabilidad de muerte súbita del primer hermano sea de 1 entre 8.500 no significa que la de los dos sea el producto de ellas, porque las probabilidades sólo se multiplican si los sucesos son independientes.

Esto fue ignorado por el prestigioso pediatra que testificó como experto ante el tribunal, y convenció al jurado de que la probabilidad era de una entre 72 millones: tal cosa debería ocurrir menos de una vez por siglo en Inglaterra. Los datos que manejó el pediatra no detallaban si había más incidencia de muertes súbitas en familias en las que ya había habido alguna. En un fenómeno tan raro es difícil tener datos significativos. Y sin embargo, es de

sentido común pensar que puede haber tal correlación: la primera muerte súbita tendrá alguna causa, por más que la desconozcamos, y parece probable que esa causa pudiera actuar también en el segundo hermano (es lo que ocurriría, por ejemplo, si la muerte tuviera relación con un defecto genético). Después del juicio, un matemático de la Universidad de Salford analizó los datos y estimó que la probabilidad de una segunda

muerte súbita estaba entre 1

60 y

1130

.

Tomando como “promedio” 1

100, la probabilidad

de dos muertes es de 1 entre 850 000, no una entre 72 millones.

¿Cómo se establecen las probabilidades de fenómenos tan

extraños? Solo mediante el análisis

de muestras, cuya dispersión es

estimativa. En muchos casos se

habla de algo que ocurre “cada tres

mil años”, lo que obviamente no es

comprobable.


Multiplicando probabilidadesprobabilidadesprobabilidadesprobabilidadesprobabilidades

La falacia del fiscalMuchos casos judiciales, en los que se debe declarar la inocencia o culpabilidad de un acusado dependen, finalmente, de cuestiones probabilísticas. En estos casos, la ignorancia de algunos principios matemáticos puede ocasionar graves errores, como se relata a continuación.

La falacia del fiscal

De todas maneras, podemos pensar, sigue siendo una probabilidad ínfima: ¡casi una en un millón! El problema (y ahí está el segundo error, el más grave) es que lo que hemos calculado (la probabilidad de dos muertes súbitas en una familia) no es la probabilidad de que Sally sea inocente. Confundir ambas probabilidades es lo que se llama en estadística la falacia del fiscal. Casi todo el mundo la comete, no sólo los fiscales. Desgraciadamente, también los jurados y los jueces.

Veamos por qué se trata de una falacia. Supongamos que usted gana un millonario premio en un juego de azar. Digamos que hay una probabilidad de 0,000000001 de ganarlo. Por tanto, la probabilidad de que a usted le haya tocado el premio por azar es ínfima, y puede asegurarse de que usted ha cometido un fraude. Evidentemente este razonamiento no tiene ni pies ni cabeza, pero es exactamente el mismo que se hizo con Sally Clark. En el caso del premio, está claro que lo más probable es que a usted simplemente le haya tocado por azar: es improbable, pero mucho más improbable son las explicaciones alternativas. Así que antes de votar “culpable” tenemos que ponderar la probabilidad de la explicación alternativa a la inocencia de Sally Clark.

Que una madre mate a su hijo es muy raro. En Inglaterra y Gales ocurren unos 30 casos al año para unos 650.000 nacimientos: menos de 1 de cada 20.000. Se sabe también que cuando hay un

primer parricidio, hay un segundo en 1 de cada 100 casos. Según esto, la probabilidad de que las dos muertes fueran asesinatos es sólo de 1 entre 2 millones. De modo que la balanza se inclina del

lado de la inocencia: redondeando, hay un caso entre dos millones de “culpable” y un caso entre un millón de “inocente”: la probabilidad de inocencia es doble que la de culpabilidad. La falacia del fiscal es, realmente, una enorme falacia.

Todo esto fue explicado en una nota oficial de la Royal Statistical Society emitida en octubre de 2001, con Sally en la cárcel. El escándalo fue creciendo: una campaña de apoyo consiguió que salieran a la luz cerca de 50 familias que habían sufrido dos muertes súbitas (¡pese al evidente peligro de ser condenadas a cadena perpetua!). El juicio se revisó… y ya sabemos el triste final de la historia, pese a la absolución final.

Hay varias lecciones que aprender del caso de Sally Clark; una de ellas es la falacia del fiscal. Parece increíble que, siendo un resultado conocido desde hace más de dos siglos, sea ignorado sistemáticamente por quienes mejor debieran conocerlo: jueces y jurados. Hay aquí una ignorancia culpable, negligencia con las pruebas (no había evidencia concluyente de malos tratos, y se ignoró que la autopsia del segundo niño había encontrado una infección que podría haber causado su muerte), e irresponsabilidad de la prensa británica que demonizó a Sally y muy probablemente la empujó a la muerte.

UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR

➊ Conversa con tus compañeros respecto al papel de los medios de comunicación en casos como el detallado. ¿Has escuchado casos en que alguien, finalmente inocente, ha sido condenado por la opinión pública?

➋ Investiga respecto de las siguientes falacias, y da un ejemplo de ellas en la vida cotidiana: Falacia post hoc Falacia ad hominem Falacia del hombre de paja


Una falacia es un razonamiento erróneo, que parece verdadero en su estructura. Son objeto de estudio en disciplinas como la filosofía. Puedes encontrar en internet muchos ejemplos de ellas, con diversos ejemplos.

lado de la inocencia: redondeando, hay un caso entre dos millones de “culpable” y un caso entre un

la probabilidad de inocencia la probabilidad de inocencia . La falacia del

Todo esto fue explicado en una nota oficial de la Royal Statistical Society emitida en octubre de 2001, con Sally en la cárcel. El escándalo fue creciendo: una campaña de apoyo consiguió que salieran a la luz cerca de 50 familias que habían sufrido dos muertes súbitas (¡pese al evidente peligro de ser condenadas a cadena perpetua!). El juicio se revisó… y ya sabemos el triste final de la historia,

Hay varias lecciones que aprender del caso de Sally Clark; una de ellas es la falacia del fiscal. Parece increíble que, siendo un resultado conocido desde hace más de dos siglos, sea ignorado sistemáticamente por quienes mejor debieran conocerlo: jueces y jurados. Hay aquí una ignorancia culpable, negligencia con las pruebas (no había evidencia concluyente de malos tratos, y se ignoró que la autopsia del segundo niño había encontrado una infección que podría haber causado su muerte), e irresponsabilidad de la prensa británica que demonizó a Sally y muy probablemente la empujó

UNIDAD 4 • DATOS Y AZARUNIDAD 4 • DATOS Y AZAR

Una falacia es un razonamiento erróneo, que parece verdadero en su estructura. Son objeto

Puedes encontrar en internet muchos ejemplos

313


Para sintetizarSí

ntes

isPara sintetizar


Mendel se dedicó a estudiar cómo las características de las plantas se conservaban de una generación a otra.

Primer resultado

Mendel probó lo que sucedía al cruzar dos plantas de arvejas, una de semillas amarillas y otra de semillas verdes.

Obtuvo solo semillas amarillas, lo que le hizo concluir que “los descendientes híbridos [mezclados] de la primera generación se parecen en exclusividad a uno de los padres y nunca al otro”.

Segundo resultado

Luego decidió autofecundar las plantas de la primera generación, y esta vez sí había semillas verdes. Por lo mismo, estableció que el color amarillo era dominante mientras que el verde era recesivo, ya que pese a no predominar se mantenía. Así distinguió entre el fenotipo (lo que se ve directamente) y el genotipo (características presentes, pero ocultas).


• Un crucigrama o sopa de letras con las palabras o conceptos clave.

• Un juego de mesa con preguntas de contenidos de la unidad.

• Un juego de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.


VarianzaDispersión

Medidas de posición PromedioCuartiles

Representatividad Homogéneo Heterogéneo

Sucesos excluyentes Sucesos independientesSuma de probabilidades

Producto de probabilidades Intersección de conjuntos

Conjuntos disjuntosUnión de conjuntos Diagrama de árbol

Combinatoria

Experimento aleatorio Variable aleatoria

Muestreo aleatorio simpleMedia muestral

Media poblacionalFunción de probabilidad

Ley de los grandes númerosPoblación infinita


Síntesis32 41



Medidas de dispersión

Comparación de conjuntos de datos

Muestreo aleatorio simple

Variable aleatoria

Media muestral de una variable aleatoria

Probabilidad de sucesos excluyentes

Probabilidad de sucesos independientes

Estos resultados los observó para distintas características de las plantas (tallo, vaina y flor), y constató en todas sus muestras que “de las formas que tienen el carácter dominante en la primera generación, tres cuartos lo mantienen en la segunda, y un cuarto mantiene el gen recesivo.

Tercer experimento

Mendel además constató que la textura lisa de una semilla era dominante y la rugosa, recesiva. Autofecundó una planta con una semilla con el siguiente fenotipo:

Amarilla dominante

Verde recesivo

Liso dominante

Rugoso recesivo

Los resultados que obtuvo corresponden a los del producto de las probabilidades, lo que le permitió concluir que “los factores pertenecientes a un determinado carácter se combinan entre sí de manera independiente a otros factores”.



fuer

zoReforzar


Medidas de dispersión de datos

1 Define con tus palabras los siguientes términos.

a. Dispersión

b. Homogéneo

c. Heterogéneo

d. Rango

e. Varianza

2 Las temperaturas (en grados Celsius) durante dos semanas en Talca fueron las siguientes:

30, 31, 30, 25, 21, 20, 22,

30, 29, 29, 27, 26, 20, 27

a. Calcula e interpreta las medidas de dispersión.

b. ¿Qué ocurriría con la dispersión de los datos si las temperaturas se tomaran en distintas esta-ciones del año? Justifica.

3 Determina en cada caso un conjunto de 10 nú-meros, que cumplan las siguientes condiciones:

a. R = 16.

b. R = 21, σ = 1.

c. R = 7, σ = 0,1.

d. R = 10, σ = 4.

e. R = 100, σ = 10.

Comparación de conjuntos de datos

4 Compara los siguientes conjuntos de datos. Utili-za medidas de dispersión y posición.

X = 5, 8, 10, 2, 3, 9, 15, 6, 15, 21

Y = 23, 14, 3, 10, 5, 8, 6, 4, 11, 9

a. Analiza para cada uno si el promedio es representativo

b. ¿En qué conjunto el promedio es más representativo? Justifica.

5 Construye en cada caso un conjunto de 10 nú-meros, con las siguientes condiciones:

a. que su rango sea 8, y su varianza mayor que 2 y menor que 8.

b. que su Q1 y mediana sean iguales, y su rango sea mayor que 6.

c. que su Q1, Mediana y Q3 sean iguales, y su rango sea 7.


Muestreo aleatorio simple

6 Explica con tus palabras en qué consiste el mues-treo aleatorio simple.

7 Enumera y explica los pasos a seguir para reali-zar un muestreo aleatorio simple de diez núme-ros entre 1 y 100, utilizando una calculadora y planilla de cálculo.

8 Determina cuál(es) de las siguientes situaciones corresponde(n) a un muestreo aleatorio simple.

a. Para realizar un estudio sobre la iluminación pública se escogen las casas con numeración par de una villa.

b. Para averiguar la opinión de los estudiantes de un colegio respecto de la comida del casino se seleccionan los 5 primeros de la lista de cada curso.

c. Para escoger a los vocales de mesa de una elección se hace un sorteo con sus números de cédula de identidad.

Variable aleatoria

9 Define dos variables aleatorias para cada uno de los siguientes experimentos.

a. Lanzar un dado.

b. Lanzar 3 monedas.

c. Sacar dos cartas a la vez, de una baraja inglesa.



32 41Refuerzo

10 Evalúa si las siguientes proposiciones son verda-deras o falsas: Justifica las falsas.

a. La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un seis es de 1

6.

b. El recorrido de la función variable aleatoria está comprendida entre el 0 y el 1.

c. El dominio de una variable aleatoria correspon-de al espacio muestral.

d. Un experimento tiene solo una variable aleatoria asociada.

e. Para definir una variable aleatoria, todos los eventos deben tener la misma probabilidad.

Medias muestrales y variable aleatoria

11 Explica brevemente que entiendes por ley de los grandes números.

12 ¿Cuál es la diferencia entre una media muestral y la media poblacional? Explica.

13 Evalúa si las siguientes proposiciones son verda-deras o falsas. Justifica las falsas.

a. La media muestral corresponde siempre al pro-medio de la población.

b. Los posibles resultados de una variable aleatoria corresponden a una población infinita.

c. Al repetir varias veces un experimento el promedio de la variable aleatoria se acerca al valor teórico.

d. La media muestral de un experimento se puede obtener calculando la media de una muestra.

e. Al lanzar un dado 50 veces, necesariamente el promedio de los números obtenidos será 3,5.

Tipos de eventos y probabilidades

Conjunto y probabilidades

14 ¿Qué significa que dos eventos sean mutuamente excluyentes?

15 Da dos ejemplos de eventos mutuamente excluyentes.

16 Se escoge al azar un número del 1 al 20, y se definen los siguientes sucesos:

A: escoger un número par.B: escoger un número primo.C: escoger un múltiplo de 7.

Describe con palabras los siguientes sucesos, y determina su probabilidad.

a. A U B

b. A U C

c. AU

C

d. AC

e. BC U CC

f. AC UBC

g. (B U C)C

Producto y suma de probabilidades

17 Resuelve los siguientes problemas:

a. Se tiene una urna con 6 bolitas rojas y 10 bolitas verdes y otra urna con 11 rojas y 7 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita de cada urna ambas sean verdes?

b. De un grupo de 4 hombres y 3 mujeres se esco-gen a tres de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que se escojan más hombres que mujeres?

c. Paola lanzará una moneda al aire 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga cara al me-nos una vez?

d. David está escogiendo su ropa al azar. Para ello puede elegir entre una polera azul, una amarilla y una camisa blanca; y entre un pantalón azul y otro negro. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos prendas que seleccione no sean del mismo color?

Eventos independientes

18 ¿Qué significa que dos sucesos sean indepedientes?

19 Da tres ejemplos de eventos independientes.


Reforzar antes de evaluar


Reforzar Re

fuer

zo

20 Una bolsa contiene 4 fichas redondas y 6 cua-dradas. Al escoger consecutivamente dos fichas

al azar, la probabilidad de que tengan la misma

forma es 1325

.¿Se repone la primera ficha luego de

extraerla? Justifica.

21 Para los sucesos A y B se cumple que P(A) = 0,3;

P(B) = x5

y P(A y B) = 0,12. Determina el valor de x

para que A y B sean independientes.

Combinatoria y probabilidades

22 Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a. 6!

b. 8!

c. 9!5!

d. V24

e. V57

f. C39

g. C47

h. VC

59

59

i. V • C34

14

23 Fabián debe escoger a 14 de sus compañeros (que en total son 25) para invitarlos a un evento del colegio. Ya que tiene dudas sobre quiénes escoger, su mamá le dice que piense primero en quienes no va a invitar. Fabián piensa que él debe escoger a 14 compañeros de entre 25, y su mamá le está proponiendo escoger a 11 de los 25.

a. ¿Hay igual cantidad de casos en las dos formas? Justifica utilizando combinatoria.

b. Demuestra que, en general, si se tiene un conjunto de n elementos y se deben escoger k de ellos sin considerar el orden, la cantidad de casos posibles es la misma que si se escogenn – k elementos.

24 De un conjunto de 8 dígitos distintos se escogerán 5:

a. ¿En qué caso se trata de una variación?, ¿en cuál de una combinación?

b. Calcula V58 y C5

8.

25 Se ordenan al azar los números del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que los números pares no queden juntos?

26 Se escogen al azar dos dígitos, del 1 al 8. Si la suma de ellos es par, ¿cuál es la probabilidad de que los dos números escogidos sean pares?

27 Martín escribió en unas tarjetas todos los nú-meros de 6 cifras que se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún dígito.

a. ¿Cuántas tarjetas tiene Martín?

b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta al azar y que corresponda a un número impar?

c. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta con un número que termine en 3 o en 4?

28 Considera las letras de la palabra MAZAPAN.

a. ¿Cuántas palabras se pueden formar (con o sin sentido), considerando 5 letras no repetidas?

b. Si se escogen dos letras al azar, ¿cuál es la proba-bilidad de que sean dos consonantes?

c. Si se escogen dos letras al azar, ¿cuál es la proba-bilidad de una de ellas sea la A?

d. Si se escogen cuatro de ellas, ¿cuál es la probabi-lidad de que a lo más una de ellas sea una A?



Guía


32 41Profundizo

ProfundizarProfundizarAhora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las si-guientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.

Muestreo aleatorio

Lee y realiza las actividades propuestasEn ocasiones, escoger una muestra mediante muestreo aleatorio simple no

es lo más conveniente para estimar la media poblacional. Existen factores que pueden influir en esto, por ejemplo, que la población esté compuesta por grupos muy diferentes entre sí. Para ello, se definen otros tipos de muestreo aleatorio, como los siguientes:

Muestreo aleatorio sistemático: este método utiliza los siguientes pasos.

Paso 1 Se ordenan los elementos de la población y se les asigna un nú-mero correlativo.

Paso 2 Se calcula la parte entera del cociente r entre la cantidad de ele-mentos N de la población y el número de elementos n de la mues-

tra, es decir, =

rNn

.

Paso 3 Se selecciona aleatoriamente un número m entre 1 y r, y se esco-gen los elementos correspondientes a los números m, m + r, m + 2r, … , m + (n – 1)r

Muestreo aleatorio estratificado: este método utiliza los siguientes pasos.

Paso 1 La población (de tamaño N) se divide en p grupos o es-tratos E1, E2, …, Ep de tamaños N1, N2, …,Np, según algu-na característica (edad, sexo, etc). Se debe cumplir que N1 + N2 + …+ Np = N.

Paso 2 El tamaño n de la muestra se divide en p partes de tamaños n1, n2,…, np, en forma proporcional al tamaño de cada estrato. Se debe cumplir que n1 + n2 + … + np = n y

= = =nN

nN

...n

N1

1

2

2

p

p

Paso 3 De cada estrato Ei se escoge una muestra mediante muestreo aleatorio simple, del tamaño ni. La unión de estas muestras con-forma la muestra total.

Muestreo aleatorio por conglomerados: este método utiliza los siguientes pasos.

Paso 1 La población se divide en agrupaciones o conglomerados, se-gún una característica.

Paso 2 De estos conglomerados, se escogen al azar algunos de ellos.Paso 3 De cada conglomerado anterior se escoge una muestra aleatoria,

que juntas constituyen la muestra requerida.

1 ¿Qué circunstancias crees que motivarían a utilizar cada uno de los mé-todos anteriores. Discute con tus compañeros.

2 Para cada tipo de muestreo, escribe una situación de tu colegio en que sería conveniente utilizarlo y explica los pasos que seguirías para obte-ner una muestra de tamaño 30.



alua

ción

Evalúo


1 La siguiente tabla presenta la cantidad de pro-ductos defectuosos, registrados en un año, en distintas sucursales de un supermercado.

Registro de los productos defectuosos en un añoCantidad de productos

defectuosos Número de sucursales

0 26 57 359 12

12 414 10

Respecto de la cantidad de sucursales, ¿cuál es el rango de los datos registrados en la tabla?

A. 2

B. 3

C. 14

D. 33

E. 35

2 ¿Cuál(es) de los siguientes indicadores es(son) una medida de dispersión?

I. RangoII. MedianaIII. Desviación estándar

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II, y III

3 ¿Cuál es la media y la desviación estándar para los grupos de datos: 100 y 100 ; 99 y 101?

A. 100, 0 ; 100, 1.

B. 100, 1 ; 100, 0.

C. 100, 10 ; 100, 20.

D. 100, 20 ; 100, 10.

E. 100, 0 ; 100, 10.

4 ¿Cuál es aproximadamente la desviación están-dar de los siguientes datos?

Valor Frecuencia1 42 43 74 5

A. 1

B. 1,5

C. 1,06

D. 2

E. 2,06

5 Con respecto a las medidas de dispersión, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I. Representan la posición de los datos en una determinada muestra.

II. Son valores centrales de la distribución.III. Muestran el grado de variabilidad de los datos.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. II y III

6 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. Al aumentar el tamaño de la muestra disminuye la varianza y la desviación estándar.

B. Si todos los datos de la distribución son iguales, la varianza y la desviación estándar son distintas.

C. Para aumentar al doble la varianza, cada dato de la muestra se debe multiplicar por 2.

D. La varianza y la desviación estándar son índices que describen los datos centrales de una distri-bución.

E. Para reducir a la mitad la desviación estándar, cada dato de la muestra se debe dividir por 2.

7 Dos candidatos: A y B han rendido 7 pruebas de selección para una empresa, con los siguientes resultados.

Resultados de las pruebasPrueba

1 2 3 4 5 6 7

Candidato A 57 55 54 52 62 55 59

Candidato B 80 40 62 72 46 80 40

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Se contrata al candidato A debido a su me-jor puntaje promedio.

II. Se contrata al candidato B debido a su mejor puntaje promedio.

III. Se contratan a ambos debido a que la dife-rencia entre las medias es igual a 4.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I y III



32 41Evaluación

8 Cierta entidad quiere saber qué ciudad presenta mayor variabilidad en relación con la natalidad.

Para ello, la entidad debe saber que:

(1) la media de ambas ciudades (A y B) es de 3 nacimientos.

(2) el rango de la ciudad A es 5 natalidades y la desviación estandar de la ciudad B es 1 nacimiento.



C. Juntas, (1) y (2).



9 Se realiza un estudio para saber la variación del tiempo que demoran dos atletas en competir en los 100 metros planos en tres intentos. El atleta A tiene un rango de tiempo de 1,6 segundos. ¿Cuál de los dos atletas tiene una mayor variación de tiempo en los tres intentos?

(1) El atleta B tiene un rango de tiempo el 10% mayor que el atleta A.

(2) Los tiempos registrados de los tres intentos del atleta B son: 14 segundos, 15 segundos y 15,76 segundos.



C. Juntas, (1) y (2).




10 Respecto del experimento aleatorio “lanzar cua-tro monedas”, se define la variable aleatoriaX: número de caras obtenidas. ¿Cuál es el conjun-to de los valores que puede tomar dicha variable?

A. 1, 2

B. 1, 2, 3

C. 1, 2, 3, 4

D. 1, 2, 3, 4, 5

E. 0, 1, 2, 3, 4

11 De una población de 300 personas, se desea escoger una muestra de 5 de ellas para estimar su edad promedio. ¿Cuál de los siguientes métodos corresponde a un muestreo aleatorio simple?

A. Numerarlas y escoger a las que tengan los nú-meros 60, 120, 180, 240 y 300.

B. Separarlas en dos grupos de 150, y escoger al azar a dos personas de un grupo y 3 personas de otro.

C. Escoger a las dos mayores, las dos menores y a una al azar.

D. Numerarlas y generar 5 números al azar de 1 a 300, para escoger a las personas correspondientes.

E. Ninguna de las opciones anteriores corresponde a un muestreo aleatorio simple.

12 Respecto del experimento “elegir al azar un nú-mero natural entre los menores que 16”, se define la variable aleatoria X: número de divisores. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar esta variable?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

13 Respecto de la variable aleatoria definida en la pregunta anterior, ¿cuál es el valor con que la función de probabilidad relaciona el valor 4 de la variable aleatoria?

A. 14

B. 18

C. 315

D. 515

E. 516

14 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Una variable aleatoria puede tomar solo valores entre 0 y 1.

II. Una función de probabilidad asocia valores naturales a los valores que toma una varia-ble aleatoria.

III. Una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral de un experi-mento aleatorio.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. I, II y III



alua

ción

Evalúo15 Ulises realiza un experimento y define una variable

aleatoria asociada a él que tiene 3 resultados posi-bles: 1, 2 y 3, con las siguientes probabilidades:

P(1) = 0,35 P(2) = 0,45 P(3) = 0,2

Al repetir el experimento muchas veces, ¿cuál de los siguientes valores se acerca más al valor que esperaría obtener?

A. 1,7

B. 1,8

C. 1,84

D. 1,9

E. 1,92

16 Se lanza una moneda 5 veces y se define la varia-ble aleatoria X: número de caras – número de se-llos. Al repetir este experimento varias veces, ¿qué valor, aproximadamente, se espera obtener como promedio de los valores de la variable aleatoria?

A. –3

B. –1

C. 0

D. –1

E. –3

Tipos de eventos y probabilidades

17 Si se lanza un dado de seis caras y luego una moneda y se definen los sucesos A y B. Sea A: obtener un número mayor que 4 en el dado y B: obtener sello en la moneda, ¿qué tipo de sucesos son estos entre sí?

A. Posibles

B. Imposibles

C. Independientes

D. Equiprobables

E. Mutuamente excluyentes

18 Si se lanza un dado de seis caras tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamien-to se obtenga al menos 5 puntos, en el segundo 6 y en el tercero no más de 3 puntos?

A. 136

B. 154

C. 172

D. 5216

E. 8216

Utiliza la información de la tabla para responder las preguntas 19, 20 y 21:

En un colegio hay dos segundos medios, cuyas distribuciones por género se describen en la siguiente tabla:

Distribución de estudiantes 2° MedioGénero 2° A 2° B

Masculino 21 17Femenino 18 19

19 Si se elige al azar un estudiante de 2° B, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

A. 17

B. 1721

C. 2138

D. 1836

E. 1936

20 Si se elige al azar un estudiante de segundo me-dio, ¿cuál es la probabilidad de que sea del 2° A?

A. 1721

B. 1738

C. 2138

D. 1325

E. 1937

21 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I. Los sucesos A: escoger un hombre de segundo medio y B: escoger una mujer de segundo medio son equiprobables.

II. La probabilidad de escoger un hombre del 2° B es mayor que la probabilidad de esco-ger un hombre del 2º A.

III. Es más probable elegir un hombre que ele-gir una mujer.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II


22 En un experimento determinado, se tiene que P(A) = 0,4, P(B) = 0,7 y P(A

UB) = 0,25.

¿Cuál es el valor de P(A U B)c?

A. 0,15

B. 0,35

C. 0,75

D. 0,85

E. No se puede determinar.


32 41Evaluación

23 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar cuatro monedas se obtengan 2 caras y 2 sellos?

A. 116

B. 18

C. 14

D. 38

E. 58

Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 24, 25 y 26:

Un juego de azar se divide en dos etapas. Si la probabilidad de ganar en la primera etapa es 0,5 y la de ganar en la segunda etapa es 0,3:

24 ¿Cuál es la probabilidad de que se gane las dos etapas?

A. 0,2

B. 0,8

C. 0,15

D. 0,35

E. 0,95

25 ¿Cuál es la probabilidad de que se gane la prime-ra y se pierda la segunda?

A. 0,2

B. 0,12

C. 0,28

D. 0,35

E. 0,8

26 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Ganar la primera etapa y perder la segunda etapa tienen igual probabilidad de ocurrir que perder la primera y ganar la segunda.

II. Si la probabilidad de ganar en la segunda etapa aumenta a 0,5, la probabilidad de perder ambas etapas o ganar ambas tienen igual probabilidad.

III. La probabilidad de perder ambas es 0,35.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. II y III

27 En una tienda deportiva venden 8 tipos de cami-setas, 9 tipos de pantalones deportivos, 5 tipos de calcetas y 12 tipos de calzado. ¿Cuántos equipos se pueden formar, considerando que estos se com-ponen de camiseta, pantalón, calceta y calzado?

A. 8

B. 34

C. 72

D. 360

E. 4320

28 Si se extraen sucesivamente y sin reposición tres cartas de una baraja de naipe inglés (52 cartas), ¿cuál es la probabilidad de obtener un 5 en la primera extracción, un 3 en la segunda y un 9 en la tercera?

A.

452

4

B. 4663

C. 111050

D. 816 575


29 En un experimento aleatorio se definen los suce-sos A y B, donde la cardinalidad de A es 6 y la de B es 4. ¿Cuál es el valor de P(A

UB)?

(1) #Ω = 12(2) #(A

UB) = 2



C. Juntas, (1) y (2).





Dispersión y comparación de datos. 6 respuestas correctas Sección 1

Muestreo y variable aleatorios. 5 respuestas correctas Sección 2

Tipos de eventos y probabilidades. 9 respuestas correctas Sección 3


MATEMÁTICA 2.º MEDIO 324 325

SolucionarioUnidad 1: Números

Sección 1: Números reales

Página 9

¿Qué debes saber?

1 a. Natural, entero y racional.b. Natural, entero y racional.c. Racionald. Racional.

e. Entero y racional.f. Racional.g. Racional.h. Racional.

2 a. 3110

b. 7325

c. 329

d. 45299

e. 23833

f. 3718

g. 6169990

h. 5237990

3 a. 0,7b. 0,82c. 0,027

d. 1,875e. 0,4f. 0,15

g. 0,26h. 1,246

4 a. 1,11b. 0,488

c. 9,08d. 0,525

e. 12,75f. 2,913

5 a. 5 300b. 67 300

c. 130d. 4 240

e. 1 252f. 3

g. 4,1

6 a. 3,4 b. 273,25 c. 21,02 d. 1,235

7 a. 4,41 4,42 4,4343 4,44

b. 5,22 5,222 5,2 5,23 5,23

c. 25

817

12

2342

34

d. 0,5 35

0,65 1521

0,75

e. 119

54

1,25 1,26 1,26

8 a. 0,8 1,4 1,7 1,9 2,1

b.

53

74

1,8 2,5 318

c.

514

821

37

0,4 0,45

Lección 1: Números irracionales y pro blemas geométricos

Página 13

1 a) Finitob) Finitoc) Semiperiódicod) Periódico

e) Periódicof) Semiperiódicog) Semiperiódicoh) Finito

i) Periódicoj) Periódico

k) Semiperiódicol) Semiperiódico

2 a) 315

b) 21950

c) 319125

d) 79 91310 000

e) 1733

f) 25999

g) 211495

h) 548225

3 a) 37,5

b) 7,75

c) 9,124

d) 0,592

e) 0,02

f) 0,53

4 a) Síb) Sí

c) Nod) Sí

e) Nof) No

g) No

5 a) ( )5+ 13 cm

b) ( )5+ 2+ 23 cm

c) 2

+32

+2π π

cm

d) (3π + 2) cm

6 Si el área de un círculo de radio r es un número racional (q),

se tiene que: πr2 = q, entonces su radio puede ser r = πq .

Lección 2: Aproximación de números irracionalesPágina 16

1 a) Sí, 23b) Sí, 28

c) Nod) No

e) Nof) No

g) No

2 a) 3,5b) 6,81c) 2,178

d) 5,2018e) 3,3f) 8,28

g) 6,400h) 9,3853

3 a) 8,38

b) 8,713

c) 9,124

d) 8,75

e) 12,617

f) 6,73

g) –1,153

h) 8,5

i) 9,723

j) 1,9163

k) 80832300

l) –5459325

m) 5,7554924

n) –86

369

ñ) –1,154

o) 4,63

4 a) 1,7321b) 2,2361c) 3,3166

d) 3,6056e) 4,3589f) 4,8990

g) 6,0828h) 6,4807

5 a) Error absoluto = 0,000000807 / Error relativo ≈ 0,000047%

b) Error absoluto = 0,000067977 / Error relativo ≈ 0,003%

c) Error absoluto = 0,000027124 /Error relativo ≈ 0,00096%

d) Error absoluto = 0,003375209 / Error relativo ≈ 0,102%

e) Error absoluto = 0,027016653/ Error relativo ≈ 0,698%

f) Error absoluto = 0,000004374 / Error relativo ≈ 0,00011%

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 324 325SOLUCIONARIO

g) Error absoluto = 0,001101056 / Error relativo ≈ 0,025%

h) Error absoluto = 0,000135954 / Error relativo ≈ 0,003%

Página 17

6 Por defecto Por exceso Por redondeo2 3 3,46 3,47 3,462 + 3 3,14 3,15 3,15

7+2 3 10,46 10,47 10,463 : 2 1,22 1,23 1,22

2 2 : 3 1,63 1,64 1,633 7 7,93 7,94 7,942 • 7 3,74 3,75 3,745 –1 1,23 1,24 1,24

2 • 5 – 7 0,51 0,52 0,52

7 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es, por defecto: 2,437242295 y por exceso: 2,461737191.

b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es, por defecto: 2,632522555 y por exceso: 2,658980068.

c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es, por defecto: 3,300041666 y por exceso: 3,333207914.

d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es, por defecto 4,221427484 y por exceso: 4,263853891.

8 a) No, los resultados son diferentes.b) No, ya que se puede estar redondeando por exceso

ambos sumandos incrementando el valor.

9 Respuesta abierta.

Lección 3: Números irracionales en la rectanumérica y orden

Página 20

1 a) 1,9 – 1,98 – 2 – 2,25 – 2,251b) 3,37 – 3,377 – 3,378 – 3,38 – 3,387c) 5,24 – 5,2424 – 519

99 – 236

45 – 5,25

d) 7,32 – 7,32 – 7,32 – 7,324 – 7,3

2 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 6,11 y 6,102.

b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 0,152 y 0,153.

c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 4,74111 y 4,744999.

d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 9,211 y 9,2222.

e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 7,34 y 7,39.

f) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 0,355 y 0,354.

g) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 5,22 y 5,222222.

h) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 0,51 y 0,5222.

3 a) Construcciónb) Construcciónc) Construcción

d) Construccióne) Construcciónf) Construcción

4 a) c = 13b) c = 39c) b = 30

d) b = 12e) c = 233f) c = 10 2

g) c = 3h) c = 70

5 a) Construcciónb) Construcción

c) Construcciónd) Construcción

6 a) 7 < 11 < 31b) 23 < 24 < 26c) 10 < 11 < 2 12

d) 2 23 < 3 22 < 4 21e) 7 < 18 < 31



Página 21

8 a) 5

b) 10

c) 2 3

d) 2 3

e) 82

f) 37

9 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 1,9 y d = 5

b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 3,3 y d = 11

c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 4,48 y d = 20,5

d) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es c = 1 y d = 52

e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 7 y d = 50

f) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 9,95 y d = 99,5

10 • p = 5 y q = 3• c = 4 y a = 1• Construcción• b = 15• Multiplicación y raíz cuadrada. b = pq .


Solucionario

a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es

p = 7 y q = 4 p = 6 y q = 2c = 5,5 y a = 1,5 c = 4 y a = 2

b = 2 7 b = 2 3b = =7 • 4 2 7 b = =6 •2 2 3

Si, se mantiene la relación.

b) pqp + q

2–

p – q2

pqp + 2pq + q

4–

p – 2pq + q4

pq4pq

4pq pq

2 2

2 2 2 2

=

=

=

=c) b = 1 y c = 25 / b = 2,5 y c = 5,5



12 a) 10 > π > 3,14156

b) 8 + 3 > 8 > 8 – 3

c) 2,71828 > 2 > – 5

d) 32

> 22

> 12

e) 22

> 33

> 66

f) 2 20 > 6,578453 > 40

g) 2 6 + 3 > 3 3 > 10 –1


c) Respuesta abierta.

Lección 4: Números reales

Página 24

1 a) Entero y racionalesb) Naturales, entero y

racionalesc) Naturales, entero y

racionalesd) Racionalese) Racionalesf) Racionalesg) Racionales

h) Naturales, entero y racionales

i) Naturales, entero y racionales

j) Entero y racionalesk) Entero y racionalesl) Racionalesm) Entero y racionalesn) Racionales

2 b), d) y e) son irracionales.

3 a) F, todo número natural además es entero.b) F, también es racional.c) F, los números racionales contienen a los números

naturales.d) F, ejemplo: –2

14 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un

ejemplo es 21, 42, 63, 84, 105 / A = 21n / n ∈ b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo

es 22, 44, 66, 88, 110 / B = 22n / n ∈ c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo

es 12, 19, 26, 33, 40 / C = 7n + 5 / n ∈

d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo

es –13

, –35

, –1, –53

, 5 / D = aa – 8

/ a – 8 ∈

5 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 1.

b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 1.

c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 3.

d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 2.

e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = –1.

f) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 2.

6 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:

2 y 7 ∈ ℝ entonces 2 + 7 ∈ b) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es:–0,25 (1,5 • 4,28) = (–0,25 • 1,5) 4,28

–0,25 • 6,42 = –0,375 • 4,28–1,605 = –1,605

Página 25

c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:

2 (1,5 + 4,28) = 2 • 1,5 + 2 • 4,282 • 5,78 = 5,78 2

5,78 2 = 5,78 2d) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es:4,28 × –0,25 = –0,25 × 4,28

–1,07 = –1,07

7 a) =x 2 + 8 , x es la suma de un número racional y un irracional, por lo tanto es irracional.

b) =x 3 – 21, x es la diferencia de un número racional y un irracional, por lo tanto es irracional.

c) =x393

, x es la división de un número irracional y un

racional, por lo tanto es irracional.

d) =x1

8, x es la división de un número racional y un

irracional, por lo tanto es irracional.

e) =x – 30 , x es el opuesto aditivo de un número irracional, por lo tanto es irracional.

f) =x152

, x es la división de un número irracional y un

racional, por lo tanto es irracional.

g) =x – 103 , x es el opuesto aditivo de un número irracional, por lo tanto es irracional.


h) =x 6 + 133 , x es la suma de un número racional y un irracional, por lo tanto es irracional.

i) =x 47 – 0,28 , x es la diferencia de un número irracional y un racional, por lo tanto es irracional.

j) =x 10 – 209 , x es la diferencia de un número irracional y un racional, por lo tanto es irracional.

k) =x57

57, x es la división de un número racional y un

irracional, por lo tanto es irracional.

l) =x3,21

523, x es la división de un número racional y

un irracional, por lo tanto es irracional.

8 a) Racionalb) Irracionalc) Racionald) Irracional

e) Racionalf) Racionalg) Irracionalh) Irracional

i) Irracionalj) Racionalk) Irracionall) Racional

9 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es b = 3 .

b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es b = – 5 .

c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es b =

π1 .

d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es b = – 15 .


a = 6 y b = –3 → = =a + b

26 – 3

21,5.

Por lo tanto, 6 > 1,5 > –3

a = 12,5 y b = 6,21 → = =a + b

212,5 + 6,21

29,355.

Por lo tanto, 12,5 > 9,355 > 6,21

a = –7,34 y b = –9,3 → = =a + b

2–7,34 – 9,3

2–8,32.

Por lo tanto, –7,34 > –8,32 > –9,3

b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es

• 2 > 2 > 1,3 > 1

• 1 > 32

> 0,7 > 0,6

• 4,4 > 4,398998999899998999998…> 4,3 > 4,3• 5,2 > 5,2211222222332244… > 5,201 > 5,2

11 Que hay elementos en la intersección de y * no sien-do un conjunto vacío.

Integrando lo aprendido

Página 28

1 a. 3 , irracional.

b. 2 , irracional.c. 15 cm

d. 1+ 52

, irracional.

e. 26π pulg., irracional.f. 100 cm2

2 a. Racionalb. Irracionalc. Racionald. Irracional

e. Irracionalf. Irracionalg. Irracionalh. Irracional

i. Racionalj. Racionalk. Racionall. Irracional

3 a. ( )=P 22 + 4 2 cm A = 32 cm2

b. P = π( )2 5 +1 cm A = 5π cm2

4 a. 3,873b. 4,472c. 5,916

d. 5,646e. 12,649f. 6,708

g. 10,954h. 0,354i. 1,803

j. 3,968

5 Truncado Error Redondeado Errora. 6,14 0,001593 6,14 0,001593b. 2,73 0,002051 2,73 0,002051c. 1,11 0,008034 1,12 0,001966d. 5,65 0,006854 5,66 0,003146e. 0,78 0,006566 0,79 0,003434

6 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 4,69050576

b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 5,385074807

7 15; 10 ; 5;105

;8

58 a. La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es 132

b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 11– 0,2

c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 3

Página 29

9 a. <b. >

c. >d. >

e. <f. =

10 a. 2 y 3 b. 11 y 12 c. 3 y 4 d. 7 y 8

11 Construcción

12

*


Solucionario13 a. Irracional, ya que corresponde a un irracional dividido

por un racional.b. Irracional, ya que corresponde a la adición de un

irracional con un racional.c. Irracional, ya que corresponde a la diferencia de dos

números irracionales.d. Racional, ya que corresponde a la diferencia de dos

números irracionales.

e. Racional, ya que se =75 5 3 y al dividir por 3 ,solo queda 5.

f. Racional, ya que =600 5 24 y al multiplicar por 24 se obtiene 120.

g. Irracional, ya que corresponde a la adición de dos números irracionales.

h. Irracional, ya que combina operaciones de multiplica-ción, suma y resta de números irracionales con números naturales e irracionales respectivamente.

14 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 2 y 3 .

b. 0 y cualquier número irracional.c. La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es 52

y 1

5.

Sección 2: Raíces

Página 31

¿Qué debes saber?

1 a. 36

b. 54

c. 73

d. (2x)7

e. (ab)8

f. (–8)9

g. (a + 2b)5

h. 23

4

i. –45

8

2 a. 81

b. 256

c. –125

d. 1296

e. –1

3125

f. 18

g. –7294096

h. 12564

3 a. 125

b. 176

c. ( )

1

–124

d. 3x5

e. ( )

1

a + 5b9

f. 15,18

g. ( )

1

–4,219

h. 32

3

i. 6 × 32

j. 45

6

3

4 a. 37 = 2187

b. 412 = 16 777 216

c. (–1)11 = –1

d. 94 = 6561

e. =−81

32 7685

f. a5

g. –13

1729

6

=

h. 76

12962401

4

=−

i. 45

65 536390 625

8

=

j. 52 = 25

k. b–a – c

l. 62 = 36

m. (–21)8

n. ( ) =−–12

1144

2

5 a. 123 = 1728

b. 25 = 32

c. 125 = 248 832

d. (–8)6 = 262 144

e. 87 = 2 097 152f. (–15)4 = 50 625

g. 728

h. 12

14

2

=

i. 93 = 729

j. ab

ba

6 6

=

−

6 a. 18

b. –89

16

c. 729 d. 1

Lección 5: Raíz enésimaPágina 34

1 a) 104

b) 45

c) a8

d) (b + 2)2

e) 45

3

f) –12

3

g) 15 4

h) 87

3

2

i) (2a + 3)3

j) b +1c –1

5

2 a) 125

b) 112

c) 16

d) –4096

e) 64

f) 62581

g) 343216

h) 1699

i) 0,4

j) 8

3 a) 13

b) 14,2

c) 1102

d) 1103

e) ba

2

4

f) ( )

1

ab6

g) –1

52

h) 89

3

i) (–5)4

j) ( )

1

x + ya

k) bc +1

3

l) ( )

1

3ac5

m) 34

n) ( )

1

0,810

ñ) –63 • 62

o) –1

10 • 42

4 a) =81 34

b) =16 4

c) =–216 –63

d) =b ax

e) =c 4y

f) =8

2723

3

g) =1

24313

5

h) =ab

1z

w


5 a) x = 32

b) x = 216

c) x = 16

d) x = 27

e) =x18

f) =x1625

g) =x8116

h) x = 0,0625

i) x = 15,625

j) =x 125

Página 35

6 a) –3b) –2c) 5d) No se puede calcular, ya que la cantidad subradical

es negativa y el índice de la raíz es par.e) 2f) No se puede calcular, ya que la cantidad subradical

es negativa y el índice de la raíz es par.g) –3h) 5i) 5j) No se puede calcular, ya que la cantidad subradical

es negativa y el índice de la raíz es par. k) 2l) No se puede calcular, ya que la cantidad subradical

es negativa y el índice de la raíz es par. m) 5n) –2

7 a) 5b) 13c) 14

d) 5e) 22f) 5

g) 7h) 4i) 12

8 Aproximación Error relativo (aprox)a. 1,260 0,0063%b. 1,495 0,0233%c. 1,644 0,0151%d. 3,634 0,0066%e. 4,534 0,0082%f. –14,416 0,0009%g. –2,248 0,0069%h. –7,220 0,0012%i. 28,987 0,0001%

9 a) a ≥ 0b) a ∈ ℝc) a³ ≥ 0d) a³ ≥ –1e) a³ ≥ 1f) a³ ≥ 0

g) a ∈ ℝ – 0h) a³ ≥ 0i) a ∈ ℝj) a ≤ 0 k) a ≥ 1 o a ≤ –1l) a > 2 o a ≤ –2

10 a) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es 5, ≈5 1,267 .b) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es ≈5 1,0377 .c) El resultado obtenido es 1. La explicación depende

de cada estudiante.d) También se llega a 1, pero esta vez de forma creciente,

el caso anterior era decreciente.

11 a) ≈2 1,259921053 , =81 34 , =8

2723

3 ,

=1024 45 , ≈5 1,7099759473

b) 23 y 53 son irracionales. Los demás son racionales.c) La afirmación es verdadera.

Lección 6: Raíces y operacionesPágina 38

1 a) 6wz – 3y

b) 72

a

c) –4m2

d) 2a2 + b5 + be) 2xyf) 1,7x2y – 0,7xy2

g) 27xy2

+236

y – 5xy2

3

h) 72

a b –165

ab2 2

2 a) 103 = 1000

b) 502 = 2500

c) (acd)b

d) 24 = 16

e) –46 = –4096

f) xz

y

g) =1

51

244 140 62512

h) 1

i) 32

8116

4

=

j) b6

k) 55 • 4 = 12 500

l) ac2

+ ab

b

3 a) 32 768b) 216

c) ( )18

x + 3x y + 3x y + y6 4 3 2 6 9

d) 258

8

e) 1514

f) 25

54

18

g) 10a2

4 a) 243

b) 30

c) 726

d) 13

4

e) –18

f) abn

g) a24

h) 4ab

5 a) 644

b) 32

c) a bnn

d) 5

e) x43

f) 96n55

g) 2565

4

h) 1771475

6 a) 2 35 b) 2 54 c) 3 43 d) 2 75


Solucionario

e) 2 154

f) a a34

g) b b35

h) 22

i) 3 44

3 j) b b4a

Página 39

7 a) 24 b) 2

c) 2565

d) ab

3

e) 1

f) ba

4

g) +74

5 y

h) 23b8

12

i) 1+yx

j) 16

9

8 a) 20 – 4 2

b) 11,2 3 + 2 2 + 0,6

c) 96777

d) –4,3 5 5 2 73+ +

e) 1718

+ 2 73

f) 19 510

+ 4 11

g) 849 – 7 223

h) –13,7 51–145,1

i) 9 –213130π

j) π π0,7 – 36 11

k) 4,3 + 5 5 + 2 73

l) 3

m) 1

9 a) =x 11+ 3 8

b) =y 5 – 5 3

c) =y35

d) =x 3 – 39

e) z 3=

f) x = 13 824

10 a) 275 cm3

b) π2 m2

c) ( )5 3 +10 + 5 5 m

d) =P 14 3 m3 y =A 10 9 m3 2

e) 2 30 cm3

11 a) 108

b) 13,25

c) 277

d) 5

e) ≈ 50,55

f) –4a2

g) –2

h) 1

i) –146,1a

j) 1 – 11a

Lección 7: Potencias de exponente racionalPágina 42

1 a) 28

b) 57

c) 52

d) 5 –3

e) a–10

f) ax + y

g) 13

9

h) ab

b c

−

i) 12

5

j) 103

k) 10–2

l) 56

2

m) x–10

n) (–58)17

ñ) m–n + 1

o) 74

p) 85

b a

− −

q) 12

5

2 a) 42

b) 525

c) 749

d) 48

e) 4956

f) 3040

3 a) 207

b) 116

c) 1

d) −74

e) 38

f) 12

g) 494

h) 3735

i) 4439

j) 2

4 a) 3

b) 123

c) 16384

7

4

d) ( )a + b4

3

e) – 3

f) 24332

4

g) 3

a35

h) ( )3 – x3

i) –85

j) 93

5 a) 1312

b) 32

14

c) ( )a + b13

d) –812

e) 25

56

f) a75

g) ( ) =3 + 5x 3 + 5x22

h) ( )–279

i) =−

313

44

j) ( )2a21b

6 a) 7

b) 123

c) 4ca

d) x5

e) 23

f) y4

g) 9 76

h) 42

i) 84

j) 52

x

2y

Página 43

7 a) 425

b) 204

c) −21 35

d) 4010

e) –7043

f) 73

g) 54ba

h) ( )6 + 6x2

5

i) ( )– 15xa

c


j) ( )–253

8 a) 57

5

3

b) 274

c) 76

d) xy

c

a

e) 524

f) rs

3a

b

9 a) 51714

b) 61912

c) +ba bab

d) 45

17

9

e) 65

f) 0,2356

g) 10 c2518

h) 3 • 2 a10 4 36

10 a) 41315

b) −147a 2b14

c) 19

7

12

d) 34

4

7

e) 1a + 3

8

15

f) 13

17

45

11 a) 2112

b) 3242

c) a6

d) 59

70

e) 2x40

f) 78 7329

g) a640

h) 238

50

12 a) 156

b) 6

c) aa

d) ( )x +17

8

e) 326

f) y12

g) 33760

h) 103

a

2

4

1220

Lección 8: RacionalizaciónPágina 46

1 a) a2 + 2ab + b2

b) x2 – 2xy + y2

c) 4 + 4a + a2

d) x2y2 – 8xya3 + 16a6

e) 25 – b2

f) 9a2 – 25g) 16x2 + 4x – 2h) x2 + 7x + 12i) a3 – 27j) x9 + 64k) x2 + 2xy + 4xz + y2 + 4yz + 4z2

l) 4a2 + 4ab2 + b4

m) 9a4 + 24xy3a2 + 16x2y6

n) 25x4 – 9

2 a) –2 2 + 3

b) 12425

c) +x – 4 2x 82

d) – 4 2 + 4

e) –3b aba

+3b ba

a+

a b –1a

2 23 23

2

2 4

2

f) –6x –ab

x – 9x4 3 6

3 a) 66

b) 88

c) 3 aa

d) –422

e) 3018

f) –6

21

g) 6513

h) xyy

i) 6 x + y

x + y

j) 15z3z

4 a) 42

23

b) –12 7

7

3

c) 5 1616

23

d) 2 abab

23

e) 7 44

25

f) a bb

613

g) –5

40

23

h) a 5 b5 b

2 3 26

3 4

5 a) 26

b) ( )9 3 + 5

2

c) 51 2 +17 117

d) ( )4 13 + 21

e) 6 + 743

f) 2 – 2

g) –3 5 –1211

h) 7 7 –14 35

i) –2 2 – 3

j) 15 3 – 4 1529

Página 47

6 a) 25 5 + 2 – 5 10 + 2 2

23

b) x x + 3 – x 3x + 3 3

x + 3

2

2

c) 6 + 3 3 – 8 – 3 27

4 4

d) 4 13 – 3913

e) 2b2b

3

f) 24 + 216 – 8 – 724

4 4 4 4

g) 43

h) 4 6 –115

i) 3a3

24

j) xyy


Solucionario

7 a) 6 55

b) 2

c) 6 55

23

d) 77

34

e) 5 5 + 54

f) 2 2 + 2 5

g) 2 – 2

h) 5 2 +10 622

8 13 – 8 2

9 40 10 – 849

10 6 6 + 3 16 +12 19444

5 20

11 100121

12 a) 23

+4

6–

13

3 3

b) 2 5 – 4 5 + 813

23 3

c) 3 3 – 90 + 10019

3 3 3

d) 12 – 2 12 + 420

23 3

e) –2c c – 2c c b – 2c bb – c

23 3 3 23

f) 9 + 18 + 363

3 3 3

g) 5 2 – 5 20 +10 2522

3 3 3

h) –4 25 – 2 30 – 3617

3 3 3

i) 2 36 + 2 6 + 25

3 3

j) ( ) ( ) ( )5b – c a + 5b – c a b + 5b – c b

a – b

23 3 3 23

13 a) 3 2 – 2 3 + 30

4

b) 35 2 – 21 3 + 28 6 +14

23

c) a – b3

Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuacionesPágina 50

1 a) a2 + 2ab + b2

b) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

c) 4 – 4y + y2

d) p3 – 9p2 + 27p – 27e) 4a2 + 20a + 25f) 64c3 – 144c2 + 108c – 27g) p4 + 2p2q3 + q6

h) 4a2p6 – 20ap3q + 25q2

2 a) a ≥ 0

b) a ≥ –5

c) a ≥ 8

d) a ≥ 3

e) ≥a83

f) a ≥ 0

3 a) x = 1b) No tiene solución.c) No tiene solución.d) x = 2

e) x = 8f) x = –5g) x = 18

h) =x –114

4 a) x = 3b) x = –12c) x = –5d) x = –2

e) x = 13f) N o t i e n e

solución.g) N o t i e n e

solución.h) x = 13i) x = 3j) x = 4

Página 51

5 a) No tiene solución.

b) =x92

c) No tiene solución.

d) =x4

29

e) =x –541

f) =x –27

g) No tiene solución.

6 a) x = 724,

= = = =724 + 5 x + 5 729 27 33 3 3 3

b) x = 3,

= = = = =16 • 3 + 3 – 3 144 12 12 2 3 2 x2 4 24

c) No tiene solución.

7 2

8 16 cm

9 4 cm

10 5 3 cm

11 ππ

=r2 cm

12 a) 2 5 segundosb) 23,1125 m

13 a) i ≈ 3%c) La tasa de interés de Andrea es mayor a la tasa de

interés de Sergio, iA ≈1,07iS + 7,12

14 a) g = 10 m/s2

b) 1 m, aproximadamente.


Página 54

1 a. =128 27 b. =–729 –93


c. =0,0011

103

d. 64 = 8²

e. –125 = (–5)³

f. 323125

25

5

=

2 a. 5

b. –2

c. –1

d. 3

e. 1

f. 9

3 a. a ≥ 5

b. a ≥ 3

c. a ∈ ℝd. a ≥ 0

e. a ≥ 51

f. a ≥ 0

4 a. 845

b. 50p23

c. 8 2

d. 27

7

e. 92

3

f. 49

5 a. V

b. F, =21 3 • 7

c. F, =2 5 403 3

d. V

e. V

f. F, =1

101

101

100003 3

6 a. –13 3

b. –32 2

c. –25 3

d. 46

3

7 a. ( )3 + 2 17 +15 + 17 +1

b. =x122

m

8 a. 2112

b. 3413

c. 2515

d. 53

e. 729

f. 2253

9 a. 126

b. 318

c. 53

d. 34

10 a. b58

b. xx

3

c. n413

d. −p 134

e. k710

f. ab48

11 a. 4 55

b. 169 + 2 3712933 6

12 a. 155

b. 2 55

c. 1414

d. 4 77

23

Página 55

e. 2 2727

45

f. 1111

34

g. 9 5 + 9 72

h. 13 – 1303

i. 2 + 2 3 + 6 + 64

13 a. 3 2 –1+ 3 2 2 – 2

b. ( ) ( )7 4 – 2 4 + 2

14

23

c. 22

910

d. – 2 – 2 2 –1– 2 2 – 2 – 22

e. 1– 2 x –1 x – 2x

f. x + y x – x + y x – y + x – y x – x

y

g. –3 3 – 9 3 – 27 – 2726

4 4

14 a. x = –3

b. x = 6

c. x = –3

d. No tiene solución.

e. =x11– 161

4f. No tiene solución.

g. x = 15622

h. =x 628 – 50 3

15 a. i ≈ 11,6% b. t ≈ 31,6 años

Sección 3: Logaritmos

Página 57

¿Qué debes saber?

1 a. =7 49

b. =5 6254

c. =–2 –325

d. =13

19

e. =34

81256

4

f. =52

1258

3

g. =ab a b3 2 6

h. =3x y 9x y2 4 2

i. =216 63

j. ( )=–1 –117

k. =64 26

l. 1343

17

3

=

m. 24332 768

38

5

=

n. 1009

103

2

=

ñ. ( )=a b a b10 5 2 5

o. ( )=64a b 4a b6 9 2 3 3

2 a. x5 = 32, x = 2

b. x = (–8)3, x = –512

c. x6 = –729, no tiene solución.

d. =x52

3

, x = 62,5

e. = =256125

x ,x4 4

53

3


Solucionario3 a. V, cuando la base es negativa y el exponente impar.

b. V, 1 elevado n cualquiera es 1.c. F, si la base es 0, el resultado es 0.d. F, es igual a 1 (si es distinto de 0).

4 a. 625

b. 94

c. 64

d. –243

e. 136

f. –1

343

g. 2516

h. 24011296

i. 5

j. 25

k. –3

l. 10

m. 12

n. 0,1

ñ. 3px4

o. 2mn

2

4

5 a. 2p+q

b. (–3)2q

c. 54x

d. a–4

e. 6ª

f. 47

x

g. 13ab4

3

h. (2a2)2

6 a. ab3

b. 2x3

c. 12g3

7

d. –9pq3

e. q23

f. a1615

g. ( )2p5

6

h. m n24

i. xy

10

912

j. nx 4n x46

k. qr p q r2 2 23

Lección 10: Logaritmos

Página 60

1 a) x = 3b) x = 4c) x = 5d) x = 3e) x = –2f) x = 2g) x = 64

h) x = 1,21i) x = 46 656j) x = –29,791

k) =x1

625

l) =x8

343

m) x = 6 o x = –6n) x = –10ñ) x = 2o) x = 0,1p) x = 2

q) =x13

2 a) x = 5

b) x = 4

c) x = 0,5

d) =x23

e) =x –16

f) =−x12

g) x = 1

h) x = 10000

i) =x18

j) =x19

k) x = –1

l) x = –32

m) x = 2

n) x = 3

ñ) x = 4

o) x = 3

p) x = 5

q) x = 3

3 a) No, ya que la base es positiva, el resultado no puede ser negativo.

b) x = 0 c) x = 16 d) x = 3

e) No, ya que si x es par, no está definida la raíz y si es impar, el resultado debería ser negativo.

f) No, ya que siendo la cantidad sub radical positiva, el resultado debería ser mayor que cero.

g) x = –10h) No, ya que la cantidad sub radical es positiva.

4 a) log3 81 = 4

b) log2 8 = 3

c) log7 7 = 1

d) log4 4 096 = 6

e) log7 117 649 = 6

f) log9 729 = 3

g) log6 7 776 = 5

h) log10 1 000 = 3

i) log8 512 = 3

j) log7 2101 = 4

k) log2 1

64 = –6

l) log5 1

125 = –3

m) log2 1

32 = –5

n) log4 14

= –1

ñ) log8 1

32 768 = –5

o) log4 1

64 = –3

p) log8 1

512 = –3

q) =log31257 776

556

r) =log32 76816 807

587

s) =log10 000

81410

3

t) =log1024

59 049–59

4

u) =log256625

–454

5 a) 25 = 32

b) 83 = 512

c) 94 = 6561

d) 107 = 10 000 000

e) 96 = 531 441

f) 76 = 117 649

g) 30 = 1

h) =−9181

2

i) =−21

325

j) =−71

3433

k) =−51

1253

l) =−61

362

Página 61

m) =−61

46 6566

n) 57

125343

3

=

ñ) 12

14

2

=

o) 38

729262144

6

=

p)

=−

94

102459 049

5

q) 135

513

1

=−

r) 716

44

0

=

6 a) 5b) 3

c) 5d) 5

e) –3f) –6

g) –5h) –2


i) –3j) –6k) –3l) –5

m) –1n) 3ñ) 6o) –6

p) 5q) 4r) 2s) 4

t) 2u) –6

7 a) x = 3

b) x = 5

c) x = 7

d) x = 3

e) x = 7

f) x = 2

g) x = 16

h) x = 9

i) x = 243

j) x = 15625

k) x = 343

l) =x14

m) =x16

n) =x13

ñ) =x15

o) =x12

p) =x16

q) =x –15

r) =x –16

s) =x –12

t) =x –14

u) x = –1

v) =x –14

w) =x –13

8 a)

log a n1x

a x a log a n –log a n

Por lo tanto, log a –log a

1x

n

nx x

1x

x

= ↔

= → = ↔ = − → =

=

−

b)

= ↔ = → = → = ↔ = → =

=

− −log1b

n a1b

a b a b log b –n –log b n

Por lo tanto, log1b

–log b

an n 1 n

a a

a a

9 a) 7 – 3

b) 334

– 5

c) 1

d) –6

6

Lección 11: Propiedades de los logaritmos

Página 64

1 a) log2 8 = 3

b) log7 7 = 1

c) log4 4096 = 6

d) log9 729 = 3

e) log6 7776 = 5

f) =log1

32–52

g) =log14

–14

h) =log1

32768–58

i) =log1

512–38

j) =log31257776

556

2 a) 25 = 32b) 83 = 512c) 107 = 10 000 000d) 96 = 531 441e) 76 = 117 649

f) 30 = 1

g) =−21

325

h) =−71

3433

3 a) 3b) 1c) 3d) –1

e) –3f) –2g) –4h) –3

i) 12

j) –2k) 8l) –6

4 a) c + d

b) a + b + d

c) a – b

d) a + c – b

e) c + b – a – d

f) –a

g) –c – b

h) d + c – a – b

i) a + 3b – d

j) 2c + 2d – a – b

k) a3

l) –d4

m) c – a – d5

n) 2c +b4

ñ) 2b +c2

– d

o) –b2

+ d

p) c – d5

q) a + b + 2c3

r) a2

+b4

+5c6

s) a + 2c3

–3d + 2b

4

5 a) –3

b) –4

c) 42

d) 12

e) –5

Página 65

6 a) log 6

b) log 42

c) log 3

d) log3523

e) log576

f) 0

g) log8

25

h) log6 15

5

i) log4 363

j) logp

q r

2

3 36

k) log x y3 5

l) logx yz

2

4

m) log (a2 – b2)

n) logx zy

6 3

412

ñ) loga – b

3

o) loga c

b d

5

20 25

p) loga

bc

d10 615

q) logqp

9

17

7 a) = = =−− −log

1a

–32

loga + log a loga –loga –loga32

loga loga –loga12

12

132 2 2

= = =−− −log

1a

–32

loga + log a loga –loga –loga32

loga loga –loga12

12

132 2 2

b) log12599

+ log 363 + log27

25log

12599

•11 3 •3 325

log12599

•11 3 •3 325

log5=

=

=

log12599

+ log 363 + log27

25log

12599

•11 3 •3 325

log12599

•11 3 •3 325

log5=

=

=


Solucionarioc) 1

4log x + 8x +15 +

14

logx + 5x + 3

log x + 3 x + 5 + logx + 5x + 3

log x + 3 x + 5 •x + 5x + 3

log x + 3 x + 5x + 5x + 3

log x + 5 log x + 5

2

4 4

4 4

42

4

( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

=

=

=

= =

d) log x + 8x +15 –log x + 5

logx + 8x +15

x + 5log

x + 3 x + 5

x + 5

logx + 3 x + 5

x + 5log

x + 3 x + 5

x + 5

logx + 3x + 5

14

logx + 3x + 5

24

24 4

4

24

24

14

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

=

= =

= =

=

e)

• = =

• =

= =

= =

log343117

–log7 log

343117

7log

49117

log1

507–log

2749

log

150727

49

log1

507•

49

27log

49

507 • 27

log49

13689log

49117

f) log

125361

+ log6859

75log

125361

•6859

75

log5 5 •19

75log

19 515

log19 –12

log45 log19 –log 45

log19

45log

19

3 5log

19 53 • 5

log19 5

15

• =

=

=

• = =

= = =

g) log

x x +1

x –1logx + log x +1–log x –1

logx +12

log(x +1) log x +1 x –1

logx +12

log(x +1) log x +1 –log x –1

logx –12

log(x +1) – log x –1

2

2( )

( )( )

( ) ( )

( )

• = =

− =

− =

8 a) 2ab) a + bc) 3ad) a + ce) 2a + bf) a + 2bg) 3a + bh) d + fi) c + h

j) 2b + ek) b – 2al) d – 2cm) b + c – 2a – en) a – b + gñ) f – 2ao) e + 4b – 2c – 2ap) e – a – c

9 a) =xyz –2

8

b) =logx3n + m

5

c) xy

–3log34log2

=

10 a) = =x5 2 + 38

4o x

5 2 – 384

b) x = 100c) No tiene solución.d) x = 1

Lección 12: Aplicaciones de logaritmos

Página 68

1 a) ( )( )( )log x + 5 x – 2

b) log2x + 7x +1

c) logx + 5x +1

x –1

2

d) log 1 = 0

e) logx + 4x +1

f) logx –1x +1

g) ( )( )

−log

x 2x + 7 x – 2

2 a) x = 5b) x = –12,5c) x = 2,45d) No tiene solución.e) x = 4,4

f) No tiene solución.g) x = –0,25h) No tiene solución.i) x = –0,6

3 a) pH ≈ 6,4b) H+ ≈ 0,0015849 moles/litroc) Sustancia pH H+

Vinagre 2,9 0,0012589254118Jugo gástrico 1,5 0,0316227766017

Jugo de naranja 4,5 0,0000316227766Orina 6,5 0,0000003162278

Jabón de manos 9,5 0,0000000003162


Página 69

4 a) Tiene 10log 3 decibeles más.b) Db ≈ 153,979c) Fenómeno l (W/m2)

Bomba atómica de Hiroshima 100000000Avión despegando 10

Perforadora eléctrica 0,01Personas gritando 0,001

Conversación tranquila 0,00000001

5 a) Magnitud (R) Energía liberada (E)

Terremoto de Valdivia (1960) 9,6 1,58489 • 1026

Terremoto de Cauquenes (2010) 8,8 1• 1025

Terremoto de Algarrobo (1985 7,8 3,16 • 1023

Terremoto de Vallenar (2013) 7,0 1,9 • 1022

b) El terremoto de Chile liberó aproximadamente 251 veces más energía.

6 a) k ≈ 12,771b) 276,73%c) Tiene ekx veces más de riesgo.d) Para x ≈ 0,2203 g/L

7 a) Hay aprox. 8,18 miligramos.b) Cada 6 horas aprox.c) Después de 24 horas aproximadamente la cantidad de

medicamento es pequeña, pero para que se elimine completamente tienen que pasar muchas horas.


Página 72

1 a. =2 1287

b. =3 65618

c. log0,516 = –4

d. 123 =1728e. log25616 = 0,5

f. –1 = (–1)5 g. sp = 5,22

h. =log 2m1q2,51

i. =5 512

j. =3,1 8528,910374418

k. =37

729117649

6

l. =−a1b

c

m. =1t

s2a

2 a. x = 6

b. =x17

c. x = 64d. x = 814

e. =x17

f. x = 0,00032

g. =x 44

h. =x 9 92

i. x = 2

j. x = –3

k. x = 2

l. x = –4

3 a. log991 < log10010 < 2log120,5 < log105

b. logx² = 4y

4 a. ( )log3 x +1

b. log2xy

c. log p1915

d. log3a

e. log1

b b2 4

f. log5x x34

g. log p q2 35

h. log3x x

5 a. log p + 2log qb. log 5 + 3log p + 7log q + 2log r – log x – 5log yc. log (4m + 5) – log (2x + 8)d. log 1 – log 3 – log (x + 4)e. log 3 + log q + log 5 + log x – log 2 – log p

f. log 5 + 2log x + 12

log (x + 3) – log 9 – log y

g. ( )( ) ( )12

log x +1 + log x + 7 –log5 –logx –logy

Página 73

6 a. log aba–1b b. x = 2048

7 a. x = 102b. x = 0,02c. x = 4,5d. No tiene solución.

e. No tiene solución.

f. =x397

g. No tiene solución.

8 a. 8 mesesb. pH = 11,022

9 Con a = -3, la ecuación no tiene solución:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

=

= +

=

=

=

===

log 2x + 5 + log x – –3 –log x +1 log 2x + 8

log 2x + 5 + log x + 3 log 2x + 8 log x +1

log2x + 5x + 3

log2x + 8x +1

2x + 5x + 3

2x + 8x +1

2x + 5 x +1 x + 3 2x + 8

2x + 7x + 5 2x +14x + 24

–21 7x

x –3

2 2

Y se puede observar que, si x = –3, log(2x + 5) = log(–6 + 5) = log (–1)

Con a = –2, la ecuación tiene solución


Solucionario( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

=

=

=

=

=

===

log 2x + 5 + log x – –2 –log x +1 log 2x + 8

log 2x + 5 + log x + 2 log 2x + 8 + log x +1

log2x + 5x + 2

log2x + 8x +1

2x + 5x + 2

2x + 8x +1

2x + 5 x + 2 x + 3 2x + 8

2x + 7x +10 2x +14x + 24

–7x –14

x 2

2 2

Y se puede verificar que, si x = 2,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

=

=

=

=

log 2 • 2 + 5 + log 2 + 2 –log 2 +1 log 2 • 2 + 8

log 9 + log 4 –log 3 log 12

2log 3 + log 4 –log 3 log 12

log 3 + log 4 log 12

log 12 log 12

Reforzar antes de evaluar U1

Página 78

1 a. Si b. No c. Si

2 P = π4 2 + 2 3 + 2 17 + 2 5

A = π2 51+ 8 10 +10

3 a. 3,46410b. Error Absoluto = 0,000001615

Error relativo ≈ 0,00005%c. La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es:Aproximación por defecto: 3,458905463Aproximación por exceso: 3,469297768

4 ℝ –2 3 8 205 15 < 2 7 < 3 6

6 b = 3

7 46 es irracional y 23 es racional. La diferencia entre un número real y uno irracional es irracional. Luego, =x 23 – 46 es un número irracional.

8 Es racional, ya que:

( ) ( ) ( )= = =18 – 2 • 4 – 9 16 • 2 – 3 4 • –1 –4.

9 a. =5 6254 b. =7 zy c. =23

1681

4

10 a. x = 343

b. x = 0,6561

c. =x4936

11 a. 3 b. –6c. No se puede calcular ya que la cantidad subradical

es negativa y el índice de la raíz es par.d. 10 e. –5

12 a. a ∈ Rb. a ≥ –4

c. a ≥ 4d. a ≥ 4 o a ≤ –4

13 a. 450 b. 2503 c. +3 pn 2n 4n d. 1285

Página 79

14 a. 2 24 b. 3 63 c. 3 25 d. –2 27

15 a. 4 3

b. 7 5 –12 63

c. 21

d. 85

16 a. 1523

b. 1

9b3

c. (2x – 5)54

d. ( )5x14

e. (7x – 6)23

f. ( )a + b2 213

17 a. 93

b. 523

c. 30 • 64 23

d. 5y

18 a. 2 217

b. x yb ba

c. 1

d. 246

e. 159432316

f. 23x–2y6

g. 5

h. 5m24

19 a. 77

b. –2

2

c. 93

23

d. 7 – 34

e. 7 30 – 5 5 + 42 6 – 531

f. 143 – 2 335

20 a. No tiene solución.b. x = 0c. No tiene solución.

d. x = 83 e. No tiene solución.

21 a. 243 cm6 b. 16 c. ππ

5 3cm

22 a. log5625 = 4

b. log21024 = 10

c. log 0,001 = –3

d. 26 = 128

e. 70 = 1

f. 91

7293

=−

Página 80

23 a. x = 3

b. x = –3

c. x = –3

d. x = 3

e. =x13

f. x = 1024


24 a. 6,5 b. 0 c. 3,6

25 a. r + s – t

b. 2r + 3s

c. ( )12

3r + s – 4t

d. r +t4

– 2s – log 3

26 a. 0,375 b. 30 c. –2 d. 2

27 a. 3log p + 4log q

b. 5log a + 6log b – 5log c

c. 12

3logm + 2log n– 2log p – 3log q( )

d. log(3x – 2) – log(3x + 2)

e. log9 + log b +32

log c + log d( )

f. ( )( ) ( )12

3log 4x + 7 – 2log 9 – 5x

28 a. log (a3b4)

b. logcd

d2

c. loga c

b

2 4

53

d. loga c a

c

4 2 23

910

29 a. x = 3,5

b. x = 71

c. =x116

d. No tiene solución.

30 a. –256 b. log5 + 1–log5

c. 1019,3

Profundizar

Página 81

1 a. El monto obtenido es mayor mientras más capitalizaciones se realicen.b. El que ofrece el 20%

2 a. Ya que el interés es del 100%, =100100

1. Al capita-

lizarse en n períodos, se tiene que C 1+1n

n

=

.

b. El monto crece cada vez más pero nunca alcanza a triplicarse.

3 Mientras mayor sea el valor de n más se acerca al número e.

Evaluación de la Unidad 1

Página 82

1 B2 B3 E4 D5 C6 C7 B8 E9 B

Página 83

10 A11 C12 D13 D14 A15 E16 B17 D18 B19 B

Página 84

20 A21 A22 E23 E24 D25 E26 B27 D28 E29 B

Página 85

30 B31 C32 B33 B34 E35 D36 B37 D38 B


SolucionarioPágina 94

6 a) 380 cmb) 13 cmc) 60 000 000 cm (600 km)

7 a) Sí b) No c) Sí d) No

8 a) 0,5 b) 1,5

9 a) Sí, r6

5a3=

b) Sí, r = 0,05

c) Sí, r = 2

d) Sí, =r1

a + b

Página 95

10 4 y 10 cm

11 a) 140 cmb) 108 cm²

c) r = 2d) r = 1,25

12 56,25 m

93,75 m

18,75 m

18,75 m

18,75 m

75 m

Pieza real

13 a) Sí.

b) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:

Largo 6 cm 15 cmAncho 3 cm 8 cm

c) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:

Cateto1 3 cm 6 cmCateto 2 4 cm 7 cm

Hipotenusa 5 cm 85 cm

d) Sí.e) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un

ejemplo es:

Lado 1 2 cm 3,16 cmLado 2 2 cm 3,16 cmBase 3,31 cm 2 cm

f) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:

Lado1 Lado 2 Lado 3 Lado 4 Lado 5 Lado 6 Lado 77 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm2 cm 2 cm 5 cm 2 cm 5 cm 2 cm 2 2 cm

g) Sí.h) Sí.

14 a) No, ya que es una curva cerrada.

Unidad 2: Geometría

Sección 1: Semejanza de figuras planas

Página 89 ¿Qué debes saber?

1 a. 0,5 b. 2 c. 1,8 d. 2,3

2 a. 6 y 18 b. 10 y 25 c. 2, 6 y 16

3 a. x = 9

b. x = 2

c. x = 14

d. x = 9e. =x

32

f. x = 18

4 a. x = 56° b. x = 90° c. x = 45°

5 a. P = 16,7 m b. =P 8 + 3 2

6 a. Los triángulos no son congruentes.b. Los triángulos son congruentes por criterio LAL.

7 ( )=m QR 6 cm

Lección 13: Semejanza y figuras a escala

Página 93

1 a) 0,25 b) 0,6 c) 2 d) 1,2

2 a) x = 20

b) x = 5

c) cx = 28

d) =x77935

3 A = 42 cm² P = 32 cm4 EFGH ~ TUVW, ABCD ~ OPQR

5 a) r = 1,5 ∼OPQ RST

≅≅≅

OPQ RST

PQO STR

QOP TRS

OP correspondiente con RS

PQ correspondiente con ST

QO correspondiente con TR

b) r = 0,2 ∼EFGH MPON

≅≅≅≅

EHG MNO

HGF NOP

GFE OPM

FEH PMN

EH correspondiente con MN

HG correspondiente con NO

GF correspondiente con OP

FE correspondiente con PM

c) r = 3 ∼RQPO WZYX

≅≅≅≅

ROP WXY

OPQF XYZ

PQR YZW

QRO ZWX

RO correspondiente con WX

OP correspondiente con XY

PQ correspondiente con YZ

QR correspondiente con ZW


b) No, ya que no tiene lados ni ángulos.c) No, el tamaño depende del radio. Todas tienen la

misma forma.d) Sí, ya que su forma siempre es la misma.

15 Sí, tienen la misma forma y su tamaño es proporcional.

16 Construcción.

Lección 14: Criterios de semejanza de triángulosPágina 98

1 a) Sí, por criterio LLL. b) Sí, por criterio LAL.

2 a) 2 : 3b) 4 : 5

c) 3 : 1d) 5 : 3

e) 1 : 4f) 7 : 2

3 a) x = 18 b) y = 14

4 a) ∼GHI MON

Página 99

b) ∼XYZ JLK

5 LLL: ∼ABC OQP LAL: ∼DEF LKJAA: DEF NÑM ∼

6 a) ∼ADC CDB, ∼ADC ACB y, ∼CDB ACB por AA.

b) ∼MNP MÑO por LAL.c) ∼JKL JNM por LAL; ∼JOÑ JMN y, ∼JOÑ JLK por AA.

7 z = k =89°, w = 38°, x = 0,84, y = 108

8 Sea ∼ABC A'B'C' entonces, = = =AB

A'B'BC

B'C'CA

C'A'k.

Luego,

P(ABC) = AB + BC + CA = k × A’B’ + k × B’C’ + k × C’A’ = k(A’B’

+ B’C’ + C’A’) y P(A’B’C’) = A’B’ + B’C’ + C’A’.

Por lo tanto, ( )= =( )

( )

P

P

k A'B' + B'C' + C'A'

A'B' + B'C' + C'A'kABC

A'B'C'

9 La razón de las áreas corresponde al cuadrado de la razón de semejanza.

10 a) Al trazar las diagonales AC y EG, el triángulo ADC y el EHG son semejantes por criterio LAL. Además, por formar triángulos isósceles, los ángulos CAD y DCA son congruentes, lo mismo que ocurre con GEH y HGE. Por lo anterior, y considerando que la suma de las medidas de los ángulos debe ser igual a 360°, se deduce que los ángulos BAC y ACB son congruentes entre sí, lo mismo que sucede con FEG y EGF. Por ello, los triángulos ABC y EFG son semejantes por criterio AA.

Al ser semejantes los dos triángulos formados a partir de la diagonal, las figuras son semejantes entre sí.

b) Al trazar las diagonales EC y JH, los triángulos ECD y JHI son semejantes por criterio LAL. Luego, al trazar las diagonales AC y FH, los triángulos ACE y FHJ son semejantes por criterio LAL. Con las mismas diagonales se demuestra que los triángulos ABC y FGH son semejantes, lo que permite concluir que las figuras son semejantes entre sí.

Lección 15: Homotecia y semejanza

Página 102

1 a) =r 0,6 b) r = 2 c) =r 1,6


c) Construcciónd) Construcción

3 De izquierda a derecha las razones son:

32

,34

,12

y32

− −

Página 103

4 a) 2b) 0,25

c) –0,5d) –0,2

5 a) 1,25b) 8 cmc) A = 10 cm2, ( )=P 9 + 41 cmd) A = 64 cm2, P = 32 cme) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: ( )40 + 8 13 cm

6 a) El pincho morado.b) La respuesta depende cada estudiante.

7 a) La razón de homotecia es, aproximadamente, –0,5. El centro se obtiene por construcción.

b) La razón de homotecia es, aproximadamente, 0,75. El centro se obtiene por construcción.


Página 106

1 Son semejantes:

I y IV, en razón 2 : 1

II y III, en razón 1 : 2

V y VI, en razón 2 : 1

2 a. r = 1,2

≅≅≅

BAC QPR

ACB PRQ

CBA RQP

AB correspondiente con PQ

BC correspondiente con QR

CA correspondiente con RP


Solucionariob. r = 0,4

≅≅≅≅

CAD RQM

ADB QMN

DBC MNR

BCA NRQ

AC correspondiente con QR

CB correspondiente con RN

BD correspondiente con NM

DA correspondiente con MQ

c. r = 0,625

≅≅≅

BAC YZX

ACB ZXY

CBA XYZ

AB correspondiente con ZY

BC correspondiente con YX

CA correspondiente con XZ

3 a. 50 cm

b. 9 m

c. 94

3cm2

d. P = 21 cm A = 27 cm²

4 AA ∼ABC FDELAL ∼VWX KJLLAL o LLL ∼RPQ GIH

Página 107

5 a. x = 37,5 cmb. y = 3,1 cm

6 a. ∼ADE ABC por criterio LAL o por AA.b. BC = 4,375 cm EC = 1,575 cmc. P = 15,05 cmd. Si, por el criterio LAL o por AA.

7 a. 2 b. –0,25 c. −0,3

8 a. 18 cmb. A = 1536 cm², P = 192 cm

Sección 2: Teoremas de semejanza

Página 109

¿Qué debes saber?

1 a. Vb. F

c. Fd. F

e. Vf. V

g. Fh. F

2 α = 55°, β = 135°, γ = 45° y δ = 125°

3 a. x = 3 b. x = 4,8

4 a. 2 6 cm b. 9 2 cm

5 a. m = 4,5

b. =x477

c. =b1713

d. =a2111

e. k = 2,9

f. x = –0,5

6 a. b

b. c

c. b + d

d. c + d

e. b

f. a

Lección 16: Teorema de Thales

Página 114

1 a) Sí, son ángulos correspondientes entre paralelas.b) Sí, son ángulos alternos externos entre paralelas.c) No, L4 no es paralela a L5.d) Sí, son ángulos correspondientes entre paralelas.e) Sí, son ángulos alternos internos entre paralelas.f) Sí, son ángulos correspondientes entre paralelas.g) No, L 3 no es paralela a L5.h) No, L 3 no es paralela a L5.

2 a) x = 3

b) x = 42

c) x = 24

d) =x23

e) =−x174

f) x = –5

3 a) x = 6 cmb) x = 4

c) x = 3,75d) x = 6,4

e) x = 2f) x = 5

Página 115

4 a) Las rectas son paralelas.b) Las rectas son paralelas.c) Las rectas son paralelas.d) Las rectas son paralelas.

5 a) 1,02 m b) 1,8 m c) 6 m

6 40 cm

7 a) V b) V c) F d) F

8 La respuesta depende de cada estudiante.

Lección 17: División interior de trazos

Página 118

1 Construcción

2 Construcción

3 a) 1 : 1b) 5 : 1

c) 4 : 11d) 5 : 9

e) 5 : 31

4 Construcción

Página 119

5 a) 1 : 1b) 8 : 1

c) 5 : 3d) 3 : 4

e) 6 : 2f) 3 : 9

6 a) =x59

b) 12,25 cm

c) m = 0,5

d) 400 cm²e) 544 cm²; 128 cmf) 1,2

7 a) x : y, tienen igual antecedente pero distinto consecuente.b) y : z, tienen igual consecuente pero distinto antecedente.


c) A la izquierda.d) A la derecha. Si un punto P que divide exteriormente a

un segmento AB se ubica a la izquierda de A, la razón en la que lo divide es menor que 1, en cambio si está a la derecha; es mayor que 1.

e) La respuesta depende de cada estudiante.f) Construcción.

8 Construcción

Lección 16: Teorema de Euclides

Página 122

1 a) x = 34°b) x = 61°

c) x = 36°d) x = 34°

2 Construcción

3 a) LLL ∼ACB DEF = = =BAFD

ACDE

CBEF

23

≅≅≅

CAB EDF

ABC DFE

BCA FED

b) LAL ∼ACB EDF = = =BAFE

ACED

CBDF

21

≅≅≅

ABC EFD

BCA FDE

CAB DEF

c) AA ∼ABC EDF BCDF

CAFE

ABED

58

= = =

≅≅≅

ABC EDF

BCA DFE

CAB FED

4 a) AB = 9 cm b) AC = 6 cm c) BD = 20 cm

Página 123

5 T1 T2 T3 T4a 4 cm 3 13 cm 7 cm 6 3 mb 3 cm 2 13 cm 24 cm 6 mc 5 cm 13 cm 25 cm 12 m

hc125

cm 6 cm16825

cm 9 3 m

T1 T2 T3 T4

p165

cm 9 cm4925

cm 9 m

q95

cm 4 cm57625

cm 3 m

6 a) x = 50 cm, y = 24 cmb) x = 15 cm, y = 20 cm

c) x = 10 cm, y = 4,5 cm

7 a) La proyección de AC mide 36 cm y la de BC 64 cm. La altura mide 48 cm.

b) c = 1,75 m

c) 15 cm, 20 cm y 25 cm.

d) a = 2 21m, b = 2 15 m, h = 35 m)

8 a) (6, 0) y (0, 8)b) AB = 6, AC = 8c) 4,8 cm

d) 2,4 cm

e) =Dn

m +12

Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco

Página 126

1 a) Sib) Si

c) Sid) Si

e) Nof) No

g) Sih) No

i) Noj) Si

2 a) x = 5b) x ≈ 18,97

c) =x 2 5

d) =x 4 7

3 a) Nob) Si

c) Sid) Si

e) Nof) No

4 a) P = 56 cm A = 199 cm2

b) P = 54 cm A = 108 cm2

5 a) 17 cm b) a 2 c) 5 3 cm d) 7,5 cm

Página 127

6 Área Azul Área verde área azul + área verde Área roja

a. a 34

2 b 34

2 c 34

2 c 34

2

b.a π

8

2 b π8

2 c π8

2 c π8

2

c.a2

2 b2

2 c2

2 c2

2

7 a) 56 cm o 5314 cm.

b) 80 2 km

c) 20 cm

d) 36 3 cm2

e) 168 cm2

f) 24 cm2

g) 32 cm2

h) 50 15 cm


Integrando lo aprendido Página 130

1 a. x = 6,4 b. x = 27 cm c. x = 4,8 cm

2 a. x= 4 cm; y = 3 cm b. x = 18 cm, y = 9 cm

3 a. Las rectas no son paralelas.b. Las rectas son paralelas.

4 Construcción.

5 a. 73

cm b. 3 cm



6 a b c p q h16 12 20 7,2 12,8 9,64 4 3 8 6 2 2 3

7 a. x = 6,72; y = 25

b. = = =x21029

,y44158

,z20029

c. x = 4,8; y = 3,6; z = 6,4

8 a. 12017

m b. P ≈ 54,67 cm

9 a. Sí b. No c. Si

10 a. x = 11 b. x = 15

11 A = 744 cm² P = 126 cm

Sección 3: Ángulos y segmentos en la circunferencia


1 arco

tangentediámetro

secante

cuerda

radio

2 El diámetro corresponde a la cuerda más larga que se puede trazar en una circunferencia y el radio corresponde a la mitad de ella.

3 a. x = 34°b. x = 45°

c. x = 54°d. x = 35°

e. =°

x1219

4 a. V

b. F, los triángulos con todos los ángulos de distinta medida se llaman escalenos.

c. F, puede ser rectángulo, escaleno, equilátero, etc.

d. V

Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia

Página 136

1 Una circunferencia es el lugar geométrico conformado por todos los puntos del plano que equidistan de otro llamado centro O.

2 a) Radio: es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.

b) Centro: es el punto del cuál equidistan todos los puntos de la circunferencia.

c) Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

d) Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

3 La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado cen-tro (el punto centro no pertenece a la circunferencia), mientras que el círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior.

4 a) a = 60°

b) a = 150°

c) a = 60°

d) a = 40°

e) a = 40°

f) a = 101°

5 a) F, es 230°.b) V

c) Vd) V

6 a) 25° b) 40° c) 60°

Página 137

d) 30°

e) 7,5°

f) 80°

g) 50°

h) 25°

7 a) 90°b) Isósceles rectángulo.c) 25°

8 a) ( ) ( )= ° = °m DCB 85 m ADC 100b) x = 80

9 x = 140°

10 a) βα

=2

b) 15° c) 90° d) 120°

Página 138

11 a) 60° b) 30° c) 60°

12 a) 80°

b) 65°

c) 42°

d) 25°

e) α = 150° y β = 90°

13 a)

α( ) ( )

=m BC + m DA

2b) 15°

c) 105°

14 a)

β( )

=m BC

2,

γ

( )=

m DA

2

Página 139

b)

α( ) ( )

=m DA –m BC

2c) 35°

d) 190°

15 a) x = 25°b) x = 30°

c) x = 20°d) x = 60°

e) x = 35°


16 a) 45°b) 50°

c) 30°d) 60°

e) 85°f) 45°

Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia

Página 141

1 a) Diámetro

b) Radio

c) Cuerda

d) Tangente

e) Secante

2 a) x = 4 b) x = 5 c) x = 10 d) x 5 2=

3 a) x = 2 b) x 5 2=

c) x = 1 d) x = 1

Página 142

4 a) 6b) 1 cm

c) ( )( )( )

a + 3 a + 6

2 a +1 cm

d) 5 cm

e) 7 cm

f) 143

cm

g) 6 cm

h) 12 cm

5 a) 2 cm b) 8 cmc) 49 cm

d) MH = ( )( )k+1 k+4

k– k cm

e) 10 cmf) 2,5 cm

Página 143

g) 12π cm h) 73 cm

6 a) a(a + x) = pq

b) Tangente

c) Tangente

d) a2 = pq

7 a) 8 cm

b) 12 cm

c) 12 cm

d) 15 cm

e) 16 cm

8 a) La respuesta depende de cada estudiante.b) La respuesta depende de cada estudiante.


Página 146

1 a. 44° b. 60° c. 90° d. 70°

2 a. 30° b. 70° c. 45° d. 70°

3 a. 45° b. 40° c. 20°

4 a. 5 cm

Página 147

b. 24 cm c. 24 cm

5 a. 6 cmb. 6 cmc. LA = 5 cm, KB = 9 cm

6 a. 8 m b. 60 cm


Página 152

1 y = 1,25

2 300 cm

3 Largo = 2 cm, ancho = 1,5 cm

4 0,09375 h ó 6, 625 m ó 337,5 s

5 35 m2

6 a. ∼ABC ACD, por LAL. ∼ABC CBD, por AA. ∼ACD CBD, por LAL.

b. ∼MNP MÑO, por LAL.

7 Los criterios de congruencia son 3: LLL, LAL y ALA. Los criterios de semejanza son 3: LLL, LAL y AA. Se parecen en que ambos relacionan las medidas de los lados y án-gulos homólogos. En ambos casos los ángulos deben ser congruentes, pero en los criterios de congruencia se consideran los lados congruentes y en los de semejanza los lados son proporcionales.

8 Todos los cuadrados son semejantes entre sí ya que sus án-gulos homólogos son congruentes (90°) y las razones entre sus lados homólogos son iguales (ya que en un cuadrado, los cuatro lados son de igual medida).

9 Sí, ya que las proporciones entre sus lados homólogos es igual.

10 Construcción.

11 El valor absoluto de la razón de homotecia corresponde al inverso multiplicativo de la razón de semejanza.

12 –32

13 35

ó –35

Página 153

14 a. x = 11,25 b. x = 6; y =

403

c. x = 20

d. x = 27

15 a. x = 2,4 b. x = 6

16 Construcción.

17 607

cm

18 18 cm


Solucionario19 razón 7

3; AP = 7 cm

20 a. x = 12 cmb. x = 18 cm

c. x = 20 cmd. x = 3,92 cm

21 a. 3 cmb. A = 1579 cm² P = 158 cm

Página 154

22 a. Sib. Si

c. Nod. Si

e. Nof. Si

g. No

23 152°24 50°25 100°26 65°27 46°28 104°29 32 cm30 16 cm31 7,8 cm32 49 cm

Profundizar

La respuesta depende de cada estudiante.


Página 156

1 A2 B3 E4 C5 B6 D7 B8 B

Página 157

9 C10 C11 B12 E13 D14 B15 D16 A

Página 158

17 A18 E

19 E20 E21 A22 C23 B24 D25 C

Página 159

26 B27 C28 D29 B30 A31 C32 C33 D

Unidad 3: Álgebra

Sección 1: Fracciones algebraicas Página 163

¿Qué debes saber?1 a. coeficiente: 3, parte literal: a2, grado: 2

b. coeficiente: –2, parte literal: a4b, grado: 5c. coeficiente: –0,5, parte literal: xy6, grado: 7d. coeficiente: 1, parte literal: pqr2, grado: 4

2 a. grado: 4, 2 términosb. grado: 6, 3 términosc. grado: 4, 4 términosd. grado: 8, 3 términose. grado: 5, 3 términos

3 a. –48 b. –68 c. 220 d. 208

4 a. –ax – 19bxb. 6x3 – x2 – 39x – 36c. 2x3 + 8x2 – 18x – 72

d. x4– 4x2+4xy – y2

e. a2 + 2ab + b2 – c2

5 a. a2 + 2ab + b2

b. p2 – q2

c. x2 – 3x – 28

d. x3 + 6x2 + 12x + 8

e. x2 – 4xy + 4y2

f. 4x2 + 8x – 5

g. 4p2q4 – m2

h. 9a2b2 + 18a2b + 5a2

6 a. (x – y)2

b. (x + y)(x – y)

c. (b + c)(c + 4b)

d. (q – 5s)(q – 3s)

e. a3(2m – n)(2m + n)

f. h(c + h)(7c + h)

g. (2a2 + 3x3) (2a2 – 3x3)

h. (2pq – 1)(2pq + 5)


7 a. = b. < c. > d. < e. > f. <

8 a. –14

,1

16,

110

,14

b. –1009

,–23

,2

15,119

,116

c. –32

,–16

,12

,23

,75

9 a. –5

12

b. –2918

c. 5110

d. 121140

e. –23

f. 1

Lección 22: Fracción algebraicaPágina 165


Un ejemplo es: 54

.

b) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: 172

.

c) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: 62

.


Un ejemplo es: 1015

.

2 a) Fracción algebraica ya que su denominador es un término con parte literal.

b) Fracción no algebraica ya que su denominador es numérico.

c) Fracción algebraica ya que su denominador es un término con parte literal.

d) Fracción no algebraica ya que su denominador es numérico.

3 a) a ≠ –2

b) a ≠ 0

c) ≠a –13

d) a ≠ 1

e) ≠a15

f) ≠a75

4 a) =vd + 24 + t

b) 500 + 2pn

c) 2n +10n

d) 6x + 23x +1

e) 300 + mn + 3

5 x = 2 o x = –2


Lección 23: Fracciones algebraicas y fórmulasPágina 168

1 a) –4b) –1

c) 6,56d) –2,8975

e) –4,99f) –2,75

2 a) 5 b) 110,5 c) –21

d) 3,69e) –8

f) 9100

g) ≈ 24,45h) 6

3 a) P = 6πab) P = 2b, A = ab – a2 c) A = a4 + 2a2b2 + b4

d) A = 3x2 + 21x – 18, P = 12x – 12e) P = 6x + 57

4 a) x = 1, x = –1b) x = 0c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo

es: x = 1, =y13

.

d) No existe valor real de x para que la expresión sea 0.

5 a) x >0

b) x < –2

c) x < 2

d) 0 < x < 1

e) x > 0 o

<x –34

6 a) 1021

b) 5229

c) 4

43

Página 169

7 a) 60°, 90°, 108°, 140°, 144° y 162° respectivamente.b) 1 260°c) Al aumentar el número de lados de un polígono

regular, la medida de cada ángulo interior aumenta.

8 a) n = 0 → 0, indefinido, 0

n = 3 → 25

,5

12,1519

n = 5 → 1023

,7

20,2527

n = 7 → 1431

,9

28,1

b) 0, 928

y 0.

c) Si n aumenta la tercera expresión aumenta y las otras disminuyen.

9 a) Masa 85 71 60 50 90Altura 1,56 1,9 1,79 1,8 1,98

IMC 34,93 19,67 18,73 15,43 22,96b) Masa 70 70 70 70 70

Altura 1,56 1,9 1,79 1,8 1,98IMC 28,76 19,39 21,85 21,60 17,86

Categoría Sobre peso Normal Normal Normal Bajo peso

c) Masa 85 71 60 50 90Altura 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7

IMC 29,41 24,57 20,76 17,30 31,14Categoría Sobre peso Normal Normal Bajo peso Obeso



Solucionario

10 a) =dm – 0,8v + 0,32 , =d

m – 2v + 0,755 , =d

m – 3,2v +1,28 ,

=dm – 6

v + 2,2515 , =dm –12v + 4,530

b) La densidad disminuye.

c) No puede ser infinita.

d) No, pues significaría que no tiene masa.

e) La densidad aumenta.

11 a) A2A + 20

b) 0,25

12 a) =va kmb hC ,

( )=v

a + 7 km

2b hA

b) Depende del valor de a. Si a > 7, Camila viaja más rápido. Si a = 7 viajan a la misma velocidad, mientras que si a < 7 Andrés viaja más rápido.

Lección 24: Mcd y mcm de expresiones algebraicas

Página 172

1 a) 22 • 3b) 22 • 7c) 22 • 32

d) 2 • 3 • 7

e) 23 • 7f) 23 • 11g) 22 • 52

h) 2 • 33 • 5

i) 32 • 5 • 7j) 3 • 5 • 7

2 a) mcm = 60, mcd = 3b) mcm = 105, mcd = 35c) mcm = 96, mcd = 16d) mcm = 120, mcd = 4e) mcm = 48, mcd = 4f) mcm = 1680, mcd = 1g) mcm = 1500, mcd = 25h) mcm = 1785, mcd = 1i) mcm = 12600, mcd = 1j) mcm = 63700, mcd = 1

3 a) 7a2

b) 3x(x – 3)

c) 3a2b2(2ab – 3ac3 + 9b4)

d) (2x – 1)(z – 3y)

e) (x – 3)(x + 3)

f) x2

–53

x2

+53

g) (x + 2)(x+ 5)

h) (a – 1)2

i) (1 – p)(p2 + p + 1)

j) x(x – 1)(x + 2)

k) 3(p – 2)(p + 2)

l) 3(x – 1)(2x + 1)

4 a) 20x2y4z2

b) 6x3yc) x2y4

d) 42x2y2

e) 60x2yz3

f) 72a2b4

5 a) xb) x2y

c) 14xyzd) 3x2y2

e) 9xy2

f) 5a

6 a) mcm = x3 + 3x2 – 9x – 27, mcd = x + 3

b) mcm = 2a2 – 2b2, mcd = b – ac) mcm = x3 + 4x2 – x – 4, mcd = x – 1d) mcm = 3x6 – 3x3, mcd = x3 + x2 + xe) mcm = x3 – y3, mcd = x2 + xy + y2

f) mcm = 9p2 – 4, mcd = 3p – 2

7 a) mcm = 16p2, mcd = 1b) mcm = 12y2z3, mcd = zc) mcm = a4b4, mcd = a3b3

d) mcm = 24x3, mcd = 4xe) mcm = 15d3 – 60d2 + 60d, mcd = d – 2f) mcm = w3 – 13w – 12, mcd = w + 3

Página 173

g) mcm = 4y2 – 8y + 4, mcd = y – 1h) mcm = –18z5 + 24z4, mcd = zi) mcm = n4 – 10n3 + 16n2 + 90n – 225, mcd = 1j) mcm = x4 – 2x2y2 + y4, mcd = 1k) mcm = 240x3y5, mcd = 2xl) mcm = 16x2y3z3, mcd = 2xy2

m) mcm =x2(y + 1)(y2 + y + 1), mcd = xn) mcm = x4 + 3x3 + x2 – 3x – 2, mcd = x + 1

8 a) 4a3x2 b) 16 días

9 a) 6x + 3yb) 2x + y + 4c) (2x + y) litros, (8x + 2y + 12) botellas.

10 5a3 + 10a2bc+ 5ab2c2

11 a) La respuesta depende de cada estudiante.b) La respuesta depende de cada estudiante.

12 a) Si b es divisor de a, b es el mayor número que divide a a y a b; por definición es el mcd.Si b no divide a a, se tiene que a = qb + r.Sea x = mcd(b, r). Por definición, x divide a b y a r. Es decir,

b = mx r = nxLuego,

a = qb + r = q(mx) + nx = x(qm + n)

Por lo tanto, x también divide a a, es decir, divide a a y a b. Es necesario demostrar ahora que es el mayor divisor común.Supongamos que existe un número y ≥ x, divisor co-mún de a y b. Es decir,

a = vy b = wyEntoncesa = qb + rvy = q(wy) + ry(v – qw) = r

Es decir, y es un divisor de r. Ya que x es el mcd entre b y r, necesariamente y divide también a x. La única


posibilidad de que un número mayor o igual que x sea divisor de x es que sean iguales, es decir, x = y.

b) La respuesta depende de cada estudiante.

13 a) Porque el mínimo común divisor siempre es 1, y el máximo común múltiplo no existe ya que siempre puede encontrarse uno mayor.

b) El número natural dado.c) 0.d) Porque en los enteros no habría un mínimo.

Lección 25: Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas

Página 176

1 a) 12

b) 13

c) 34

d) 32

e) 12

f) 78

2 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:

a) 68

,1216

,3040

b) 73

,2812

,9842

c) 34

,3040

,6080

d) 14

,28

,100400

3 a) x = 12b) x = 8

c) x = 11d) x = –54

e) x = –14f) x = 12

4 a) 5 b) 3 c) 3 d) 5

5 a) 10 b) 27 c) 7 d) 3

6 a) axax + a

b) x y – xyx y – 3xy + 2

2 3 2

2 2

c) x + x y + xy + yx + x y

3 2 2 3

5 3 2

d) x + 2x y + x yx + 3x + 3x + x

4 3 2 2

5 4 3 2

e) m + 3m–m –m + 6

4 3

2

f) –y – 6y – 4y + 5y + 2y –15y

3 2

4 3 2

7 a) x2 – 3xb) x2 + x

c) x – 1d) 1

e) 6x4 + 15x2

Página 177

8 a) 2xz2

b) z3xy3

c) 5yx z

5

2

d) x – 1

e) 110x y z2 2

f) xx + y

g) x –12y

2

h) xy

i) x – 4

j) 3x + 3

k) a + bx + y

l) x – 84x – 8

m) x + 42x +1

n) x + xx –1

2

ñ) x + 2y

9 a) –1a + b

b) –a – bb

c) –2

d) 2y – 3 e) –x +1x +1

f) –x + yx + y

10 a) No, ya que 2x – y = – (y – 2x) con lo que el resultado sería –1.

b) No, ya que al llevar el signo negativo al denominador quedaría –3x – y.

c) No, lo correcto es factorizar el numerador por –1 y luego simplificar.

11 a) No son equivalentes. Un ejemplo es: 510xy3

.

b) No son equivalentes. Un ejemplo es: x + 5x – 5

.

c) No son equivalentes. Un ejemplo es: 5x –10x5x +10x

2

2.

d) No son equivalentes. Un ejemplo es: x – yy

.

Lección 26: Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Página 180

1 a) 13

b) 635

c) 1

d) –3

14e) 3

4f) 3

40

g) 16

h) –1

16i) 133

75

j) 2511

2 a) Si, le alcanza para obtener 5 pedazos de la medida que necesita.

b) Puede hacer 12 bizcochos y no le sobrará masa.

3 a) 643

b) 6ab

c) 2y

d) –yz3

e) 23x +15x2

f) x – yy

g) x +1x + 4

h) 15x2x – 2y

4 a) x2 + x

b) 2yx – y

c) 1x – y

d) 2xx + 4

e) x + 432x + 64

2

f) 2x + 2xx –1

2

g) xx – 3

h) 1x +1

5 a) x – yx + x y – x y – x y

2 2

6 4 2 4 2 3

b) x + xyx + xy + y

2

2 2

c) x –y2

d) x2 + 2x

e) 1

6 a) 1h + h– 6

cm22

b) (a + 3) cm

c) x2 – 4x + 4

d) (x + 1) cm2



7 a) 1x y z2 4 7

b) x – 25x + 4x + 3

2

2

c) x + 2x – 4x + 42

d) x +1x

e) x – 2x + 4

f) 3x + 22x + 43x +126x – 43x + 79x –12

3 2

3 2

8 a) 3x2y

3

2, =P

57x + 20y19x y

5

2 2

b) 20x3y

2, =P

40x +18xy3y

2

9 a) 10xy

m

b) 8x +12x y + 6xy + y4x + 2

3 2 2 3 botellas.

10 4a (a +1) + t (a – b )

2at

2 2 2 2 2 2

2

11 ≈1,34 atm

Lección 27: Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Página 184

1 a) 1

b) 2815

c) 75

d) 7615

e) 56

f) –174

g) –6920

h) 9320

2 a) 23

b) 254

c) 67

d) 1

e) –34

f) 187

g) –1528

h) 73

3 a) 715

, 256 páginas.

b) 3 segundos

4 a) X= 285

; Y= 2710

; Z= 4710

5 a) –ax

b) –4

3x

c) 14x – 4x + 32

d) 2x – 3x + 32x + 6

2

e) 2x +1x +12

f) –x – 7x + x +12

g) x – 32x + 6

h) –x –100x + 5x – y

2

6 a) –2x – 35x + 7x2

b) 16x

c) 520xy + 3x +1575y2

d) 2cy –15x +12xy18y

2

2

e) 3x –10x –18x –123x – 3x –18x

3 2

3 2

f) x + 5x + xx + x – x –1

3 2

4 3

g) 2x + 8xx + 4x + 4

3

2

h) 6x –16x +12x – 9x

2

3

i) 3x + 2

j) 5x + 2x + 6x – 9

2

2

Página 185

7 a) 5x +1x

b) 4x – 6x – 2

c) 3x + x + 23x

2

d) –x + x + 30x – 5

2

e) 36x2 – 78x + 25

f) 2x + 2x –1

8 a) =Ax – yx y2

b) =A–x y + x – y +1

x y

2 2

2 2

c) =A3

x –1

9 a) 4577

b) x + 2x +1x + 2

2

c) 2x +1x – 2x – 32

d) x + 2xy + yx y + xy

2 3

2 2

e) 2x +1x +1

f) 2ax – 3a – 24ax – 6a – 2x – 5

g) x – 1

h) a +1a –1

2

2

10 a) a + bab

3 3

2

b) a – bab

3 3

2

c) 2ab

2

2

d) –a + bab

3 3

2

e) a + 2abb

3 2

3

f) a + 2bb

3 3

3

11 a) a + 2ab + bab

3 3

2

b) +a – b 2abab

3 3

2

c) a – b – 2abab

3 3

2

d) 2a – b – 2abab

3 3

2

e) a + ba

3 3

3

f) a + 2bab

2


b) 12

+1

1413 –x – 6x y – 3x y +10xy

x y + x y + 3x – 3x y – 7x y – xy –15xy + 2y – 5y

4 3 2 2 3

4 2 3 3 3 2 4 2 5 2 6 3

Lección 28: Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias

Página 188

1 a) x = 8 b) x = 5 c) x = 0


d) x = 14

e) x = 6

f) =x –92

g) x = –2

h) x = 3

i) x = 2

j) =x103

k) No ex is te valor de x.

l) =x –132

m) x = 1

n) x = 11

ñ) x = 1

o) =x53

p) =x –87

q) =x94

r) =x –13

2 a) No. b) No. c) No.

3 a) Sí. b) No. c) No. d) Sí.

4 a) x: dinero que falta por ahorrar.

59

59998 x 59998⋅ + =

b) x: distancia que falta del trayecto.0,7 + x = 25

c) x: monto que se pagará en 2 cuotas.757890

32 x⋅ =

d) x: ancho del terreno.6x = 44

5 a) 50b) 90c) 52 años.d) Se encuentran a 292,68 km de la ciudad A y 307,32

de la ciudad B.

6 a) x = 72 cm b) x = 25 cm c) x = 3,5 cm

7 a) 5 perros. b) 5 perros y 4 cerdos.

Página 189

8 a) x ≠ 0, =x3

130

b) ≠x12

, =x1320

c) x ≠ 0, =x –607

d) x ≠ 0, x ≠ 2; x = –1

e) x ≠ 0, =x163

f) x ≠ 0, =x152

g) x ≠ 0, la ecuación no tiene solución en .

h) x ≠ –3, x ≠ –53

; x = 0 no tiene solución.

i) ≠x –12

, la ecuación no tiene solución en .

j) x ≠ –1, x ≠ 1, x = 5

k) x ≠ –1, =x –34

l) x ≠ –2, =x –73

m) x ≠ –5, x = –6

n) x ≠ 3, x ≠ 1; x = 1,5

o) x ≠ –a, x ≠ a, con a ≠ 3; x = 2 – a – a

3 – a

2

p) x ≠ –2, x ≠ 2, x = –1

q) ≠ ≠− =x13

,x13

,x –49

r) =x –37

s) x ≠ –3, x ≠ 1, x ≠ 3, =x –12

t) x ≠ –3, x ≠ 5, x ≠ 3, x = –1

u) x ≠ –4, x ≠ 3, x = 5

9 a) No es solución. La solución es 13

b) No es solución. La solución es 2.c) Sí es solución.d) No es solución. La solución es –

23e) Sí,

f) Sí, g) Sí. h) No, la solución es –

134

Página 190

10 a) x ≠ 0, x = 9

b) x ≠ –2, x ≠ 0, =x –74

c) x ≠ 2, x ≠ 0, =x169

d) x ≠ 0, =x1

10e) La ecuación no tiene solución.

f) x ≠ –3, ≠x –32

, =x –13946

11 a) No, pues ≠

≠−≠

13x – 3

–13x – 3

3x – 3 3x + 3

–3 3

b) Si, x=q + p

12 –12

13 No existe un valor para x ya que el producto de un nú-mero y su inverso multiplicativo es 1.

14 –215 Eran 22 colegios. Cada uno habría recibido aproximada-

mente 32,7 kg de productos.16 3617 Aproximadamente 2 horas con 25 min. y 27 seg.18 33 y 12

19 78



20 Aproximadamente 52 minutos y 57 segundos.21 a) A las 4:06 y a las 4:41, aproximadamente.

b) A las 7:06, aproximadamente.c) A las 10:54, aproximadamente.

22 a) 60 cm b) 24 cm c) 5 cm

23 a) 68 m/s

b) 170 m/s

c) 44 m/s


Página 194

1 a. x ≠ 2 b. x ≠ 1 c. ≠x –25

d. ≠x13

2 a. = = =xa

yb

zc

pqa + b + c

b. 25x +103x –1

3 a. x < –5 o x > 0

b. x < 2

c. x > 0 o <x –78

4 a. 157

b. 2120

c. 100

225 72°, 60°, 45°, 36°, 30° y 24° respectivamente.

6 a. mcm = 16x4y6, mcd = 16x3y5

b. mcm = 60p3qr4, mcd = 12prc. mcm = 30m3, mcd = 5md. mcm = 24xyz, mcd = 2e. mcm = x3 + 2x2 – 4x – 8, mcd = x + 2f. mcm = 6a2 – 6b2, mcd = 2a – 2b

7 a. 180x6y6z4 km b. 2p5q3r2

8 a. 12mx8mx – 4m

b. x y – 5x + xy – 5yx y + xy – 5x – 5y

3 2 2 4 2

2 2 3

c. 3ap + 3aq – 2bp – 2bq5ap + 5aq + 4bp + 4bq

2 3 2 3

2 3 2 3

d. x – 5x +11x –15x + 24x – 4x – 21x

4 3 2

5 3

9 a. 2x + 2 b. x + 3 c. 7x – 35 d. 4x

10 a. 3a b4c

2 2

2b. b + 3

b –1c. 3

2d. 3p – 9

p – 6

11 a. No, se debe simplificar por a.b. No, ya que ninguna de ellas es la amplificación o

simplificación de la otra.

Página 195

12 a. 16x

b. –ca b

2

2

c. –y2

+ 2

d. x + 4x + 4x + x – 6

2

2

13 a. a – b2

b. 1

14 a. 3

m – 5cm2 b.

7x +13x

cm

15 a. x – x +1x +1

2b. –2x – 8x +18

x – 36x

2

3

16 a. 12xy + 3y

b. 9x – 202x – 5

c. 12x –12x – 4

d. –3x –1x + 3

17 a. 1110

b. 2a + ab + ba b – 2ab + b

2 3

2 2

18 a. ≠x –25

, x = 1

b. x ≠ 0, =x1811

c. x ≠ 4, x ≠ –3, =x432

19 a. 23

b. –6–8

Sección 2: Función exponencial, logarítmica y raíz


1 a. Si b. No c. Si

2 a. Rec = 0, 1, 4, 9, 16, 25

b. Rec = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36

c. Rec = –5,–2,–1,0,17

,14

,13

,25

d. Rec =

5 + 95, 6 + 96, 7 + 97, 10 +100, 11+101,

2 3 +102, 13 +103, 14 +104

3 a. Dom = 5, 6, 7, 8, 9, Rec = –5, –6, –7, –8, –9

b. Dom = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,

Rec = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24

c. Dom = –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,

Rec = –1,–23

,–13

,0,13

,23

,1,43

,53

,2,73

,83

,3

4 a. No. b. Si. c. No. d. Si. e. No.


5 La llave g.

6 a. Afín b. Lineal c. Afín

7 a. La gráfica de la función es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente positiva.

b. La gráfica de la función es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente negativa.

8 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y = 5 = 2 = 1

= − 1

= − 6

b. Representa la ordenada del punto donde la gráfica corta al eje Y. Por ejemplo, la gráfica de f(x) = x – 10 corta al eje Y en el punto (0, –10).

9 a. S = 200 000 + 500V, S: sueldo, V: cantidad de ventas.b. 160 ventas.

Lección 29: Funciones, tablas y gráficos

Página 200

1

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

KL

2 a)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1 2 3 4 5 6

X

Y

b

b)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1 2 3 4 5 6

X

Y

3 a) 12

b) 551

c) 526

d) 99,5

e) a + 3b

f) –1,5

4 a) Sí.b) No, ya que hay valores del dominio que tiene dos

imágenes.

c) No, ya que hay valores del dominio que tiene dos imágenes.

d) Sí.

5 a) Dom = , Rec = b) Dom = – 0, Rec = – 0c) Dom = – 5, Rec = – 0d) Dom = – –1, Rec = – 0

6 a)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

b)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

c)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

d)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

e)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

f)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

Página 201

7 a)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

b)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

c)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

d)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15− 5− 10− 15− 20− 25− 30− 35− 40− 45

X

Y

e)

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y


Solucionario8 a) f(–x) – 10 b) –f(x) + 15 c) –f(x + 5) + 25

9 a) $275 996b) g(x) representaría el ingreso por venta aumentado

en $5.

10 a) 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

Y

b) Debe frenar v + 5

5m antes. Y este valor depende de

la velocidad.

Lección 30: Función raíz cuadrada

Página 204

1 a) 0,3 b) 2,4 c) 4,0 d) 1,0

2 a) 8a3 cm3 b) =d 2a 3 cm c) =D 2a 2 cm

3 a) =x1212

b) x = 80

c) La ecuación no tiene solución.

d) x = 12

e) =x83

4 a) La gráfica de la función no interseca a los ejes.b) La gráfica de la función no interseca al eje X.

Intersección eje Y: ( )0,40 + 10c) Intersección eje X: (48, 0), intersección eje Y: (0, 12)d) La gráfica de la función no interseca al eje X.

Intersección eje Y: (0, 22,5)

Página 205

5 a)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

c)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

e)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

f)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

6 a) =y x – 2

b) =y x – 2+ 2

c) =y x+ 3

7 a) Dom = [–3, + ∞[, Rec = [0, + ∞[b) Dom = [0,25, + ∞[, Rec = [0, + ∞[c) Dom = [1, + ∞[, Rec = [0, + ∞[d) Dom = [–1,5, + ∞[, Rec = [0, + ∞[e) Dom = [5, + ∞[, Rec = ]–∞, 0]

f) Dom = [0, + ∞[, Rec – ,13

∞=

g) Dom = [0, + ∞[, Rec = [30, + ∞[h) Dom = [1, + ∞[, Rec = [3, + ∞[

8 a) Dom = [1, + ∞[, Rec = [1, + ∞[, no interseca al eje X, no interseca al eje Y.

b) Dom = [-2, + ∞[, Rec = [1, + ∞[, no interseca al eje X, intersección con el eje Y en (0, 2+1).

c) Dom = [1, + ∞[, Rec = [–2, + ∞[, interseca al eje X en (5, 0), no interseca al eje Y.

d) Dom = [-0,5, + ∞[, Rec = [-5, + ∞[, interseca al eje X

en 492

,0

, interseca al eje Y en 0,12

– 5

.

9 Dom = [a, + ∞[, Rec = [b, + ∞[, interseca al eje X en ( ) <(–b) + a,0 si b 02 , interseca al eje Y en

( )+ <0, –a b si a 0.

10 a) El objeto se lanza desde 4 metros más arriba. b) Es la misma función solo que la gráfica de la función

se traslada en forma horizontal 4 unidades a la izquierda.

Lección 31: Función exponencial

Página 208

1 a) 2

b) 2

c) 4

d) 3

e) 3

f) 3

g) 2

h) 2

2 a) 343

b) 289

c) 15,625

d) 1225

e) 33

3 a) 32

b) 49

c) 8

d) 4096

e) 1024

f) 5

g) 19

h) 81

4 a) –40x6y5

b) –25x8y7

c) x22

d) x390625

12

e) c18x17y16

f) 16625x6

5 a)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y


c)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

e)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

f)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

g)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

h)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

i)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

j)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

k)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

l)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

6 a) g(x) azul, f(x) verde, h(x) rojo

Página 209

b) f(x) roja, g(x) verde, h(x) azul7 a) y = 2 × 2x b) y = –2x + 1 c) y = 2 – x + 38 a) Dom = , Rec = ]–1, + ∞[, intersección con los ejes

en (0, 0).b) Dom = , Rec = ]–5, + ∞[, intersección eje X: (log 5,

0), intersección eje Y: (0, –4)c) Dom = , Rec = ]0, + ∞[, no interseca al eje X,

intersección eje Y: (0, 1)d) Dom = ,Rec = ]– ∞, 2[, intersección eje X: (log 2, 0),

intersección eje Y: (0, 1)e) Dom = , Rec = ]– ∞, 0[, no interseca al eje X,

intersección eje Y: (0, –1)f) Dom = , Rec = ]– ∞, 1[, intersección con los ejes

en (0, 0).

9 a) Vb) F, la base puede ser mayor con lo que sería creciente. c) Vd) V

10 a) Aproximadamente 3, 60 y 7112 respectivamente.b) Aumenta considerablemente el número de personas

contagiadas.11 a) Es decreciente.

b) Mientras mayor es la base, los valores de la función son menores entre 0 y 1. La situación se invierte para valores mayores que 1, donde la función, a mayor base, mayores valores toma.

Lección 32: Función logarítmica

Página 212

1 a) x = 16b) x = 0,01c) x = 5,0805 • 10–5

d) x = 0,001

e) x = 4096f) x = –2g) x = 3h) x = –4

2 a) Vb) F, es log x – log y c) Vd) F, si el argumento de un logaritmo es una resta no se

puede separar.

3 a)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

c)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

e)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

f)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

g)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

h)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y


Solucionario

Página 213

4 a) Intersección eje X: (4, 0), intersección eje Y: (0; 0,699)b) Intersección eje X: (–9, 0), intersección eje Y: (0, 1)c) Intersección eje X: (2,25; 0), no interseca al eje Y.d) Intersección eje X: (3,002; 0), no interseca al eje Y.e) Intersección eje X: (–2, 0), intersección eje Y: (0; –0,737)f) Intersección eje X: (6, 0), intersección eje Y: (0; –6,76)

5 a) Creciente si >a14

, decreciente si < <0 a14

.

b) Creciente si <a –15

, decreciente si − < <15

a 0.

c) Creciente si a > 2, decreciente si 1 < a < 2.

d) Creciente si a > 1, decreciente si < <12

a 1.

6 a) 1–log x

b) log (– x) + 3

c) log (x + 1) – 2

d) log (–x + 2) + 1

7 a) Dom = R+, Rec = R

b) Dom = R+, Rec = R

c) Dom = R+, Rec = R

d) Dom = R+, Rec = R

8 a) F, el recorrido si puede tener valores negativos.

b) F. Si, por ejemplo, a = 3, b = 2 y x = 10, se tiene que:

= =

= =

log 10log10log3

log 10log10log2

log 101

log3log 10

1log2

3 2

3 2

Se sabe que log 3 log 2> , por lo tanto

< → <1

log31

log2log 10 log 103 2

c) V

d) F, se traslada verticalmente hacia los negativos.

9 El pH disminuye.

Integrando lo aprendido Página 216

1 a.

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

b.

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

c.

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

d.

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

e.

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

f.

5

10

15

20

25

30

− 5

− 10

− 15

− 20

− 25

− 30

5 10 15 20 25 30− 5− 10− 15− 20− 25− 30

X

Y

2 a. Aproximadamente 6,0.b. Aproximadamente 5,0.c. Representa un aumento en la exigencia.

3 a. Intersección eje X: (–8, 0), intersección eje Y: (0, 2)b. Intersección eje X: (48, 0), intersección eje Y: (0, –8)

c. Intersección eje X: (12,8; 0), intersección eje Y: (0, 8)

d. Intersección eje X: 223

,0

, intersección eje Y:

( )0, 3 – 5

4 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

c.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

5 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

c.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

6 a. y = 3x + 1

b. y = –3x + 3

Página 217

7 a. T 3 6 9 12 15 18 21 24 27P 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000


b. = ⋅f (x)125

22t

c. Dom f(x)= , Rec= ]0, + ∞[d. Construcción.

8 a. Dom = ]– ∞, + ∞[, Rec = ]1, + ∞[, No interseca al eje X, intersección eje Y: (0, 2)

b. Dom = ]– ∞, + ∞[, Rec = ]–2, + ∞[, Intersección eje X: (log 52, 0), intersección eje Y: (0, –1)

c. Dom = ]– ∞, + ∞[, Rec = ]0, + ∞[, No interseca al eje X, intersección eje Y: (0, 1)

d. Dom = ]– ∞, + ∞[, Rec = ]– ∞, 2[, Intersección eje X: (0,5; 0), intersección eje Y: (0, 1)

9 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

c.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

10 a. Intersección eje X: (–5, 0), intersección eje Y: (0, log 6)b. Intersección eje X: (–6, 0), intersección eje Y: (0, 1)c. Intersección eje X: (6, 0), no interseca al eje Y.d. Intersección eje X: (3, 0), intersección eje Y: (0, –1)

11 a. Creciente si a > 0, decreciente si –1 < a < 0.

b. Creciente si >a –23

, decreciente si < <–56

a –23

.

c. Creciente si <a –13

, decreciente si < <–13

a 0.

d. Creciente si <a53

, decreciente si < <53

a 2.

12 a. Dom = R+, Rec = Rb. Dom = R+, Rec = Rc. Dom = R+, Rec = Rd. Dom = ]–8, + ∞ [, Rec = R

Sección 3: Sistemas de ecuaciones lineales


1 a. x = 5b. x = 14c. x = 12d. x = 1,6

e. =x16

f. x = 3,5g. x = 16

h. x = 2i. x = 1,5j. x = 4

2 a. x + 15 = 100b. x + 8 = 13c. x – –1 = 2

d. x – 7 = 3xe. x – 17 = x2

f. 14x = 3x – 15

3 a. x = 21,5

b. Los lados miden 20 10 cm, 20 10 cm y

( )40 5 – 3 cm

4 a. m = –1, n = 12

b. =m34

, n = –2

c. = =m65

,n –75

d. = =−m23

,n53

5 a. No b. Sí c. No d. No

6 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

c.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

e.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

f.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

7 a) = +f (x)32

x 3 b) = +f (x) –23

x 1

Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Página 221

1 a) x = –6b) x = –3,5c) x = 2

d) x = 3e) x = 22,5f) x = –4

g) x = 8,4

h) =x1013

2 a) m = 24 + yb) h + y = 132c) 10e = 100

d) t = 3 × 50e) x – 40 = 28f) x : 6 = 3

3 a) ancho = 34 cm, largo = 68 cm.b) 75 añosc) 14,8 cm, x = 3,6d) Miriam lleva 5 bandejas y Raúl 7.


Solucionario4 a) Si

b) No

c) Sid) Si

e) Nof) Si

g) Si

5 a) (2, 2)

b) 27

,67

c) 2621

,43

d) (2, 2)

e) –2,52

f) 1310

,–35

6 a) Los números son 17 y 12.b) Los números son 74 y 26.c) Los números son 30 y 13.d) Ancho = 9 cm, largo = 13,5 cm

7 a) No se pueden determinar los precios.b) No, ya que al simplificar la segunda expresión se ob-

tiene la misma cantidad de objetos vendidos en la primera pero a un valor total menor.

Lección 34: Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos

Página 224

1 a) m = –5, n = 4b) m = 2, n = 0,3c) m = 5, n = 7d) m = 0, n = –5

e) m = 2, n = 1f) m = 2,5; n = –1g) m = 0,5, n = 4

h) = =m5

44,n –

3011

2 a) m = 0b) m = –1,25c) m = indefinida,

recta verticald) m = –0,75e) m = –1,6

f) =m –70

113g) m = indefinida,

recta verticalh) m = 2,5

3 a)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

c)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

e)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

f)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

g)

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

4 a) y = x + 1 b) y = –0,6x + 3

5 a) (2, 1)

b) (2, 0)

c) (–4, –15)

d) (8, 10)

e) (17, 21)

f) (1, –1)

g) (1, 2)

h) 73

,–23

i) (1, 1)

j) (–66, 26)

6 a) (6, 3)

b) (4, 4)

c) 73

,–13

d) (1, 4)

e) (2, 3)

f) (–1, 2)

g) El sistema no tiene solución.

h) –58

,–38

i) (–1, 0)

j) (1, –1)

k) (2, –3)

l) (2, 2)

m) (2, –1)

n) E l s i s t e m a t i e n e infinitas soluciones.

Página 225

7 a) Sistema compatible determinado.b) Sistema compatible determinado.c) Sistema compatible determinado.d) Sistema compatible determinado.e) Sistema incompatible.f) Sistema compatible determinado.g) Sistema compatible determinado.h) Sistema incompatible.i) Sistema compatible indeterminado.j) Sistema compatible indeterminado.

8 a) ==

x – 2y 0

5x –10y 0

b) ==

6x – 8y 0

15x – 20y –5

c) ==

4x – 3y –1

3x + y –4

d) ==

x – 2y 4

–x – 2y 0


Sistema compatible determinado ==

–5x + 3y –30

5x + 2y 5

Sistema compatible indeterminado ==

x + 2y 11

3x + 6y 33

Sistema incompatible ==

2x + y 10

2x + y 13


Lección 35: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Página 229

1 a) x = 7

b) x = –4

c) x = –1

d) x = 6

e) x = –5

f) x = –3,2

g) x = 2

h) =x9213

i) x = 34

j) x = 6

2 a) –18

b) 3134

c) 1,875

d) –1712

e) 133

f) 635,2

3 a) –7x – 15y

b) 2x4 + x2 – 2x + 9

c) 7x

d) –14x – 42

e) 5a2 – 7a – 2

f) –2a2 + 2c

g) 1910

x –465

h) 13

x + 2x – 22

4 a) 12011

,1211

b) (20, 30)

c) (5, 2)

d) (8, –2)

e) (1,4; –8,6)

f) (1, 5)

g) (5, 0)

h) (8, 5)

i) (1,5; –2,5)

j) (1, 1)

k) (5, 10)

l) (3, 4)

m) (–18,5; –28)

n) –647

,–447

ñ) (–12, –8)

o) 709

,–53

p) (3,6; - 0,3)

q) (0,5; 6,5)

5 a) (6, –2)

b) 83

,59

c) (–5, 15)

d) –73

,169

e) (2, 2)

f) (8, 16)

g) 23

,89

h) (100, –18)

i) –13145

,–2845

j) –373

,–110

9

Página 230

6 a) (–2, 1)

b) (0, 2)

c) 3013

,3113

d) 15

,165

e) (6, 3)

f) (–10, 11)

g) (3, –1)

h) 2829

,–1229

i) (0,0)

j) 865201

,–12067

7 a) –7031

,9031

b) –7111

,–711

c) (–2,5; 6,5)

d) (4, –6)

e) (–0,25; 0,25)

f) (–0,5; 1)

g) (5, –9)

h) 23341

,10341

i) (0, –2)

j) Infinitas soluciones.

k) (–1, –3)

l) –11729

,–243116

8 a) –1

38,19

b) 18

,–1

11

c) El sistema no tiene solución.

d) El sistema no tiene solución.

e) (–1, –1), (–1, 1), (1, –1), (1, 1)

f) ( ) ( ) ( ) ( )– 2,– 5 , – 2, 5 , 2 ,– 5 , 2 , 5

g) (0, 0)h) El sistema no tiene solución.

9 a) p y q tienen que ser distintos de 0.b) Sí, por ejemplo el sistema d) de la pregunta anterior

donde p = 0 por lo que x no está definido.

Página 231

10 a) • Las expresiones del sistema ==

ax + by e

cx + dy f se

multiplica por d y –b respectivamente:

==

adx + bdy de

–bcx – bdy –bf, luego se suman ambas

expresiones: =adx – bcx de – bf , se factoriza por

x: ( )=x ad – bc de – bf y se despeja x: =xde – bfad – bc

.

• Las expresiones del sistema ==

ax + by e

cx + dy f se

multiplica por –c y a respectivamente:==

–acx – bcy –ce

acx + ady af, luego se suman ambas

expresiones: =ady – bcy af – ce, se factoriza por

y: ( )=y ad – bc af – ce y se despeja y: =yaf – cead – bc

.

Luego, la solución del sistema es: de – bfad – bc

,af – cead – bc

.

b) ad – bc ≠ 0c) Sistema Incompatible.d) Sistema compatible indeterminado.

11 a) (–2, 1)

b) (8, –55)

c) El sistema no tiene solución.

d) (0,3; –0,2)

e) (–10, 3)

f) ( )– 2, 3


Solucionario

g) 5 –13

,–5

3–1

h) ( )19 3 +14,–5 3 + 24

i) El sistema no tiene solución.

j) 293

,3

9

12 Aplicando el resultado de la pregunta 10. Se obtiene que la solución del sistema es:

ae + 2e – af – f–1

,af – ae – e

–1

, como el denominador es

distinto de 0, el sistema es compatible determinado y como a, e y f son números enteros las expresiones ae + 2e – af – f y af – ae – e también son números enteros. (El producto de números enteros es entero y la suma o resta de números enteros es entero)

13 Consideremos el sistema ==

ax + by 0

cx + dy 0 y su solución

0ad– cd

,0

ad – cd

.

Si ad = cd el sistema es compatible indeterminado. Si ad ≠ cd, la solución del sistema es (0, 0).

14 a) (1, 3, 2)

b) –643

5,287

5,239

5

c) 7513

,11213

,–5313

d) (4, 8, 14)

e) (93, –25, –2)

f) 23

,29

,19

g) (–2, 4, –6)

h) –3,13

,–43

Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones

Página 234

1 a) 27

,137

b) 23

,53

c) (–2, 1)

d) 5517

,1

17

e) (0, 0)

f) 3613

,2726

2 a) Sistema compatible determinado.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b) Sistema incompatible.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

c) Sistema incompatible.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

d) Sistema compatible determinado.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

e) Sistema incompatible.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

f) Sistema incompatible.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

3 a) m = 4, n = 5

b) m = –3, n = 8

c) = =m23

,n 10

d) = =m –59

,n –1

e) m = 7, n = 0

f) m = 5, n = –4

g) m = 1, n = –4

h) m = 2, n = 1,2

4 a) F, si su pendientes son iguales.b) Vc) Vd) F, es compatible indeterminado o incompatible.e) F, es compatible indeterminado.

5 a) Sistema compatible determinado.b) Sistema incompatible.c) Sistema compatible determinado.d) Sistema compatible indeterminado.e) Sistema compatible indeterminado.f) Sistema compatible determinado.g) Sistema compatible indeterminado.h) Sistema compatible determinado.i) Sistema compatible indeterminado.

Página 235

6 a) Si k ≠ 12 el sistema es compatible determinado y si k = 12 el sistema es compatible indeterminado.

b) Si k ≠ –5 el sistema es compatible determinado y si k = –5 el sistema es incompatible.

c) Si k ≠ –27 el sistema es compatible determinado y si k = –27 el sistema es incompatible.

d) Si k ≠ 1,6 el sistema es compatible determinado y si k = 1,6 el sistema es incompatible.


e) Si k ≠ 1 el sistema es compatible determinado y si k = 1 el sistema es compatible indeterminado.

f) Si k ≠ 2 el sistema es compatible determinado y si k = 2 el sistema es compatible indeterminado.

7 a) 5a ≠ 2b

b) a = 1, b = 16

c) b = 4a

d) 5a ≠ 3b

8 a) V b) V c) V d) V

9 a) Consistente, Enrique dice que su edad (E) es el doble de la de Daniela (D), E = 2D y Daniela dice que la edad de Enrique (E) menos su edad (D) es igual a su edad (D), E – D = D, por lo que ambos dicen lo mismo aunque de distinta manera.

b) Inconsistente, el sistema formado por las ecuaciones dadas por cada uno (4r + 2l = 21000 y 6r + 3l = 25000) no tiene solución.

10 a) No. b) No c) No

11 No, ya que si L1 y L2 forman un sistema compatible deter-minado, al formar L3 y L1un sistema indeterminado, L3 y L2 formarían un sistema compatible determinado ya que L3 sería coincidente con L1.

12 Camilo tiene razón y se puede ver resolviendo el sistema

==

l + a 11

l – a 3 . Luego, a = 4 cm y l = 7 cm.

Lección 37: Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales

Página 238

1 a) x = 4

b) =x –3119

c) x = –9

d) x = –1,5

e) x = –3,5

f) =x –136

g) x = 0,8

h) x = –4

2 a) P = 2(2x + 3 × 2x) m = 16x m

b) P = 3(a + b) cm = (3a + 3b) cm

c) x + 3 = 2E – 5 → E = x 82+

años

3 a) $8000b) Ancho = 7,5 cm y largo = 15 cmc) $5000 y $15000d) Aproximadamente $3 529 412e) A = 72 cm2

f) Pablo = 180 votos, Juan = 255 votos y Pedro = 125 votos.

4 a) (3, 1)b) El sistema no tiene solución. Las pendientes de las

rectas son iguales y los coeficientes de posición son distintos.

c) (–20, 23)

d) El sistema tiene infinitas soluciones. Las pendientes de las rectas y los coeficientes de posición son iguales.

e) 1937

,–327

f) El sistema no tiene solución. Las pendientes de las rectas y los coeficientes de posición son distintos.

5 a) Camisa: $5000, Polera: $2000 y Pantalón: $3000b) Tiene 8 monedas de $100 y 10 monedas de $500.c) El sistema tiene solución, pero no es pertinente

al problema. d) Compró 7 unidades del producto B.e) 15 años.f) Amaro tiene 11 años y Alfonso 16 años.g) El cuaderno cuesta $950 y el lápiz $200.

Página 239

h) Andrés tiene 32 años y Jaime 16 años.i) El sistema tiene solución, pero no es pertinente

al problema.j) Tenía 7 años.k) Hay 20 mujeres.l) El sistema tiene solución, pero no es pertinente

al problema.m) 546 niños.n) El hijo tiene 98

3 años, y el padre, 202

3 años.

o) Hay 25 autos y 30 motos.

p) Paula ganó $70 000 y Andrea $140 000q) Compró 5 galones de látex y 10 galones de tinte.r) El sistema tiene solución, pero no es pertinente

al problema.

6 a) 156 cm2

b) 55°, 35° y 145°c) 130°, 50°, 130° y 50°d) a = 55°, b = 35°e) Ancho = 54 m, Largo = 62 mf) a = 90°, b = 0°g) x = 25°, y = 105°

h) ( )( )= ° = °m AB 15 ,m CD 75

i) El sistema tiene solución, pero no es pertinente al problema.

Página 240

7 a) 12 y 18b) 144c) 239d) 82 y 203

e) 15

f) 42

g) 28 y 20

h) 9 y 8i) 9j) 27k) 13 y 14

8 a) La goma cuesta $50 y el lápiz $200, por lo que la solución es pertinente.


Solucionariob) Los números son –13 y 22, siendo –13 negativo por

lo que no es pertinente la solución.c) La ficha blanca resta 2 puntos y la verde da 7 puntos,

por lo que las soluciones son pertinentes.

d) 3752

, por lo que la solución es pertinente.

Página 241

9 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:a) 2NaCl + H2S04 → 2HCl + Na2SO4

b) H2CO3 + 2KClO → K2CO3 + 2HClOc) 2C4H10 + 1302 → 8CO2 + 10H2Od) 2HCl + Ca → CaCl2 + H2

10 a) Precio: $80, cantidad comprada/vendida: 100 artículos.b) Precio: $100, cantidad comprada/vendida: 120 artículos.c) Precio: $1060, cantidad comprada/vendida: 66 artículos.

11 a) La respuesta depende de cada estudiante.b) La respuesta depende de cada estudiante.c) La respuesta depende de cada estudiante.

12 100 litros al 95% y 200 litros al 80%.


Página 244

1 a. (0, 4) b. (2,5; 1,5) c. (10, –2)

2 a. Se usaron 2000 botellas de 2 litros y 400 de 5 litros.b. Se vendieron 12 revistas de $1600 y 8 de $2400.

3 a. (–1, 1) b. (7, 2) c. (3, –1)

4 a. ==

x – 3y –1

2x + y 1b.

==

x – y 0

x – y 3

5 a. (2, 3)

b. (1, –4)

c. (–1, 1)

d. (5, 6)

e. (5, –15)

f. (–13, 12)

g. (0,5; 1)

h. (1, 1)

i. (0, 6)

6 a. (0,2; –1) b. (1, 0,125) c. (–1; –0,25)

7 a. 59a

,2

9b

b. a11

,–b9

c.

3110

,34

,–15

Página 245

8 a. Infinitas soluciones.b. No tiene solución.c. Solución única.

d. Solución única.e. Solución única.f. Infinitas soluciones.

9 a. 4a ≠ –3b b. a = 10, b = 1,2

c. b = 4a


a. 3x – y = 1 b. x + 3y = 5 c. x + 3y = 9

11 a. 10 y 20b. – 42 y 78c. Largo = 12,8 cm, ancho = 3,2 cmd. El sistema tiene solución, pero no es pertinente

al problema.e. Alicia tiene $24 000 y Patricio $12 000.


a. Hace 10 años la edad de Eugenia era 16 veces mayor que la de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente?

b. La diferencia entre las edades de Eugenia y su hijo es 66. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente?

c. El doble de la suma de las edades de Eugenia y su hijo es 100. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente?


Página 250

1 a. ≠m7

10b. x ≠ 2

c. a ≠ 8 o a ≠ –3

d. x ≠ 2 o x ≠ –2

2 =Px yxy

2

3 13,54 55

5 a. mcm = 36x3, mcd = 3xb. mcm = 40pqr, mcd = 2p

6 En 24a3b3c2 horas.

7 a. 6x + 4x2x +10x

3 2

3 2

b. x y + 5x y + xy4x y – 9xy

3 2 2 3

3 2

c. ( )

x + 5x + 5 3

8 a. 5ba c

7

3 2b. b – 2

b –12c. b + 4

b + 2d. 2

x +1

9 a. x8ay

b. x – x – 2x + 4x + 4

2

2

10 a. 6a – 6b b. y + 2y – 5

11 $7

m +1

12 x + 9x + 27x + 2764x

3 2

4


13 a. p2m

b. 5x – 8x +116x – 2

2

c. –6x + 42x + 35x – 25

2

2

d. 21x +148x +1814x + 6

2

Página 251

14 a. x = –94b. = =x 7 – 4 3,x 7 + 4 3

15 38

16 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9− 1− 2− 3− 4− 5− 6− 7− 8− 9

X

Y

b.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9− 1− 2− 3− 4− 5− 6− 7− 8− 9

X

Y

c.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14− 1− 2− 3− 4

X

Y

d.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9− 1− 2− 3− 4− 5− 6− 7− 8− 9

X

Y

17 a. No interseca a los ejes X e Y. Dom = [9, + ∞[, Rec= [4, + ∞[

b. Intersección eje X = (44, 0), Intersección eje

Y = ( )0,7 – 5 , Dom = [–5, + ∞[, Rec = ]– ∞, 7]

18 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

19 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

b.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

20 azul: 3x + 1; verde: 10x – 1; rojo: 0,2x

21 a. Intersección eje X = (0,5; 0), Intersección eje Y = (0, –1), Dom = R, Rec = ] –2, + ∞[

b. No interseca al eje X, Intersección eje Y = (0, 6) Dom = R, Rec = ]5, + ∞[

22 a.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10− 1− 2

X

Y

b.

1

2

3

4

5

6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10− 1− 2

X

Y

23 a. Intersección eje X = (10–6, 0), No interseca al eje Y, Dom = + , Rec = +

b. Intersección eje X = (8, 0), No interseca al eje Y, Dom = ]7, + ∞ [, Rec =

c. Intersección eje X = (1016, 0), No interseca al eje Y, Dom = + , Rec =

Página 252

24 a. x = 5, y = –15 b. x = –2, y = 6

25 a. = =x73

,y –2 b. x = 0, y = 4 c. x = 6, y = –10

26 a. ==

x – y 3

3x + 2y –6b.

==

x + y 0,5

x + y 2,5

27 a. x = –3, y = 0 b. = =x –15

,y –14

28 a. = =x –11

17a,y

117b

b. x = 1, y = 0, z = 0

29 a. Compatible determinado.b. Compatible indeterminado.c. Incompatible.

31 60

32 $300 000


Página 254

1 E2 C3 D


Solucionario

Unidad 4: Datos y azar

Sección 1: Dispersión y comparación de datos

Página 261

¿Qué debes saber?1 a. Promedio = 4 – Mediana = 4 – Moda = no tiene

b. Promedio ≈ 17,43 – Mediana = 15 – Moda = 15c. Promedio = 9,5 – Mediana = 9 – Moda = 4, 6, 14d. Promedio = 9,5 – Mediana = 8 – Moda = 8

2 Promedio = 61,375; Mediana = 63,8 Moda = 58,18

3 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 3; 4,8; 2,5; 3; 7,7 y 6; 1,3; 2,9; 1,5; 9,3

b. Sus notas fueron: 5,6; 5,6; 5,6; 5,6 y 6,1.c. El más bajo mide 1,64 m.

4 a. Q1 = 4,5 b. Q2 = 7 c. Q3 = 11,5

5 a. Se pudo agregar 2 valores menores que 12 (P75) y3 valores mayores que 12 (P75) o bien, 3 valores menores que 12 (P75) y 2 valores mayores que 12 (P75).

b. Se debe quitar 5 valores menores o igual es a 7 (Q3) y 5 valores mayores o iguales a 7 (Q3).

c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –4, –3, –1, 0, 0, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 ,10, 12, 12, 15.

d. • Q1’ = Q1 + 5; Q2’ = Q2 + 5; Q3’ = Q3 + 5 • Q1’ = 3Q1; Q2’ = 3Q2; Q3’ = 3Q3

Lección 38: Medidas de dispersión de datos

Página 264

1 x 95,7=

2 x 3,52=

3 a) Rango = 14, Varianza = 31,04, Desviación estándar ≈ 5,57b) Rango = 12, Varianza = 24,56, Desviación estándar ≈ 4,96c) Rango = 17, Varianza = 30,49, Desviación estándar ≈ 5,52d) Rango = 15, Varianza = 26,89, Desviación estándar ≈ 5,19

4 a) x = 20,3 o x = 1,8b) x = 13,5 o x = 4,1

c) x = 19,9 o x = –0,1

5 s = 0

6 La dispersión se mantuvo, ya que todas las notas subieron un punto.Ejemplo: 4,2 – 5,3 – 6,1 Rango = 1,9 / σ2 ≈ 0,61 / s ≈ 0,78

Página 265

7 a) El rango se duplicó y la varianza se cuadruplicó.b) El rango se quintuplicó y la varianza aumentó 25 veces.c) El rango aumenta x veces y la varianza aumenta

x² veces.

8 Rango 8; Dm = 213; σ2 ≈ 6,54

9 x = 132,5 σ2 = 8,54

10 a) 25,5 – 40,5 + 20,25

b) El primer término corresponde al promedio del cua-drado de los datos. El segundo término corresponde al doble del cuadrado del promedio. El tercer término corresponde al cuadrado del promedio.

c) Considerando la deducción del punto anterior:

x = x – 2x + x = x – x2 2 2 2 2 2( )σ

11 a) x + a = x1 + a, x2 + a, …, xn + a → x+a x+a=

x ax a x a x a x a ... x a x a

n

x ax x x x ... x x

nx a x

2 1

2

2

2

n

2

2 1

2

2

2

n

2

2 2

σ

σ

σ σ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

+ =+ − + + + − + + + + − +

+ =− + − + + −

+ =

4 B5 E6 A7 E8 D9 E

10 B

Página 255

11 E12 C13 C 14 C15 D

Página 256

16 D 17 D18 A19 A20 C21 C22 E

Página 257

23 C24 A25 D26 D27 B28 A


b) ax = ax1, ax2, …, axn → ax ax=

axax ax ax ax ... ax ax

n

x aa x x a x x ... a x x

n

x a ax x x x ... x x

n

x a a x

2 1

2

2

2

n

2

2

21

2 22

2 2n

2

2 2 1

2

2

2

n

2

2 2 2

σ

σ

σ

σ σ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

=− + − + + −

+ =− + − + + −

+ =− + − + + −

+ =

c) x = x1, x2, …, xn y ax = ax1, ax2, …, axn. Sea max(x) = xr y min(x) = xs entonces max(ax) = axr y min(ax) = axs. Luego, R(ax) = axr – axs = a(xr – xs) = aR(x)

d) x

x x ... x x

n

xx 2x x x ... x 2x x x

n

xx ... x 2x x ... 2x x x ... x

n

xx ... x

n

2x x ... x

nnx

n

xx ... x

n2x x

xx ... x

nx

2 1

2

n

2

212

1

2

32

3

2

212

32

1 3

2 2

2 12

32

1 3

2

2 12

32

2 2

2 12

32

2

σ

σ

σ

σ

σ

σ

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

=− + + −

=− + + + − +

=+ + − + + + + +

=+ +

−+ +

+

=+ +

− +

=+ +

−

12 σ2 ≈ 2,27


Lección 39: Comparación de conjuntos de datosPágina 267

1 a) Q1 = 3, Med = 4, Q3 = 4,5b) Q1 = 5, Med = 11,5, Q3 = 14c) Q1 = –2, Med = 1,5, Q3 = 6d) Q1 = –5,5, Med = –1, Q3 = 5,5

2 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9

b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –1, 0, 1, 4, 5, 13, 17, 19, 20, 20, 21, 25

c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5

d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –8, –7, –7, –7, –6, –6, –5, –5, –5, –4, –3, –3, –2, –1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2

e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –5, –4, –3, –2, –1, –1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3

3 a) Conjunto X: x = 6; R = 12; σ2 = 13,8; σ ≈ 3,71; Q1 = 2; Q2 = 6; Q3 = 10

Conjunto Y: y = 6; R = 12; σ2 = 14,2; σ ≈ 3,77; Q1 = 3; Q2= 6; Q3 = 9

El promedio es más representativo en el conjunto X.b) Conjunto X: x = 9; R = 16; σ2 = 36,2; σ ≈ 6,02; Q1 = 3;

Q2 = 9; Q3 = 15 Conjunto Y: y= 9; R = 10; σ2 = 13,4; σ ≈ 3,66; Q1 = 5;

Q2 = 9; Q3 = 13 El promedio es más representativo en el conjunto Y.

Página 268

4 a) CV(X) = 76%, CV(Y) = 63%. El conjunto Y es más homogéneo.

b) CV(X) = 100%, CV(Y) = 75%. El conjunto Y es más homogéneo.

5 a) Sin fertilizante Con fertilizanteRango 5 5

Promedio 12,35 13,3Q1 11 12Q2 12 13Q3 13,5 14,5

Varianza 2,33 2,11Desviación estándar 1,53 1,45

Coeficiente de variación 12% 11%

Observando los datos de la tabla se observa que el crecimiento promedio es mayor en las plantas con fertilizante. La variabilidad en el crecimiento en ambos grupos es similar. Se puede decir que las plantas con fertilizante crecieron un poco más, pero no de manera significativa.

b) Se podría decir que algunas plantas crecieron mucho, mientras que otras no. Pero si el promedio aumentó igual podría decirse que fue efectivo.

c) Si el promedio se mantiene y disminuye la dispersión, se puede decir que las plantas tuvieron un crecimiento más parejo, pero no que hayan crecido más. En ese caso, el fertilizante no sería efectivo.

6 a) La empresa A.b) El coeficiente de variación, ya que permite comparar

la variación en porcentaje.c) Sí, según los datos, los indicadores de dispersión

pueden no ser útiles. Se puede utilizar el coeficiente de variación.

7 a) No, ya que las notas están en una escala diferente.b) El coeficiente de variación, ya que permite comparar

la variación en porcentaje.

Página 269

8 a) Rango 6 y rango 9. b) Dm = 1,8 y Dm = 2,26. Los datos de la segunda quincena

están más separados.


Solucionario9 a) Curso A: σ = 1,55

Curso B: σ = 0,33 b) El curso B tiene mejor rendimiento porque sus notas

son menos dispersas, ya que la desviación estándar es menor.

10 No, ya que el puntaje de la PSU depende de los puntajes obtenidos por todos los estudiantes que rindieron la prueba.

11 CV Apreciación26% ≤ CV Muy heterogéneo

16% ≤ CV < 26% Heterogéneo11% ≤ CV < 16% Homogéneo0% ≤ CV < 11% Muy homogéneo

12 a) CV ≈ 38,3%b) El rango, varianza y desviación estándar se mantienen,

pero el CV aumenta ya que el promedio disminuye.c) No, se puede utilizar el rango, la varianza o la

desviación estándar.


Página 272

1 Media ≈ 644,7 – Desviación estándar ≈ 10,982 Rango = 7 – Media ≈ 7,17 – Desviación estándar ≈ 2,01

No se puede asegurar cómo fue el rendimiento,ya que las medidas obtenidas no son suficientemente significativas debido al tamaño de la muestra.

3 a. Vb. F, el rango se mantiene.c. V

4 a. F, es igual a valor del dato.b. Vc. V

5 2

6 23

7 x 5 – 2 2, y 5 + 2 2= = o x 5 + 2 2, y 5 – 2 2= =

8 a. Rango = a – b

b. Media = 40 + a + b10

c. Varianza = 8n + a – 5 + b – 5

10

2 2( ) ( )

9 Media = 1,69 m / Desviación estándar ≈ 0,08

Página 273

10 a. Vb. F, ya que en los tres cursos hay alumnos con nota 7.c. Vd. F, ya que sus notas son más dispersas. e. V

f. V

11 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:

A = 1, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 9, 12, 12, 15, 15, 16 B = 1, 2, 2, 2, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10,12, 13, 14, 14b. La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: A = 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 12, 14, 17 B = 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 14, 15, 16c. La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: A = 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 10, 12 B = 2, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 15, 16d. La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: A = 1, 5, 6, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 14, 15, 17, 17, 18, 19 B = 2, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 16, 17, 20, 21, 22

12 a. Sucursal 1 2Promedio 13,07 11,92

Desviación estándar 5,14 3,21

b. La sucursal 2. (CV = 27% mientras que sucursal 1 CV = 39%)

c. La sucursal 3 tiene mejor rendimiento que las sucursales 1 y 2. (Promedio = 12,49, Varianza = 5,99, Desviación estándar = 2,45, VC 0 20%)

Sección 2: Muestreo y variable aleatorios

Página 275

¿Qué debes saber?1 a. Población: todos los yogures fabricados.

Muestra: uno de cada sabor.

b. Población: los precios de todos los tipos de carne de la carnicería.

Muestra: los precios de una variedad de cada tipo de carne (vacuno, ave, pescado)

c. Población: todas las hormigas del insectario. Muestra: cierta cantidad de hormigas del insectario.d. Población: todas las ciudades de un país. Muestra: una ciudad por región.

2 a. 15b. 56c. 220

d. 3003e. 816f. 77 520

g. 2 496 144h. 12 650

3 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:Muestra 1 → 7, 2, 12, 0, 10 → x = 6,2Muestra 2 → 5, 12, 12, 7, 8, 4 → x = 8Muestra 3 → 7, 8, 4 → x ≈ 6,3Muestra 4 → 2, 4, 5, 10, 12, 12, 8 → x ≈ 7,6Muestra 5 → 2, 12 → x = 7

4 a. blanco, rojo, azulb. cara de 100, sello de 100, cara de 500, sello de 500c. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ,15, 16, 17, 18,

19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28


d. 0, 1, 2, 3, 4, 5

5 a. #E = 6 / #S = 3 / P(S) = 12

b. #E = 10 / #S = 6 / P(S) = 35

c. #E = 6 / #S = 2 / P(S) = 13

d. #E = 52 / #S = 4 / P(S) = 113

e. #E = 100 / #S = 25 / P(S) = 14

f. #E = 11 / #S = 6 / P(S) = 611

Lección 40: Muestreo aleatorio simplePágina 278


Variable: nivel de estudios. Muestra: escoger 5 personas por cada cuadra de

la comuna.b) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: Población: todos los tornillos de una ferretería. Muestra: un tornillo de cada bolsa o caja.c) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: Población: personas que utilizan la avenida. Variable: lugar de residencia.d) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: Variable: duración de la batería. Muestra: dos celulares de cada modelo.e) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: Población: todos los alumnos de un curso. Muestra: los alumnos de las filas pares.f) La respuesta depende de cada estudiante.

Un ejemplo es: Población: todos los alumnos del colegio. Variable: tipo de colación (fruta, snack, yogurt, etc).

2 a) Muestra Media0,3 4,5 0,3 3,7 2,20,3 4,5 0,3 3 2,00,3 4,5 0,3 1,7 1,74,5 0,3 3,7 0,3 2,24,5 0,3 3,7 3 2,94,5 0,3 3,7 1,7 2,60,3 3,7 3 0,3 1,80,3 3,7 3 4,5 2,90,3 3,7 3 1,7 2,23,7 3 1,7 0,3 2,23,7 3 1,7 4,5 3,23,7 3 1,7 0,3 2,24,5 3,7 1,7 0,3 2,64,5 3,7 1,7 3 3,20,3 0,3 3 1,7 1,3

b) Muestra Media3,8 1,9 2,853,8 8,4 6,13,8 11,3 7,553,8 11,2 7,53,8 1,4 2,63,8 10,8 7,31,9 8,4 5,151,9 11,3 6,61,9 11,2 6,551,9 1,4 1,651,9 10,8 6,35

Muestra Media8,4 11,3 9,858,4 11,2 9,88,4 1,4 4,98,4 10,8 9,6

11,3 11,2 11,2511,3 1,4 6,3511,3 10,8 11,0511,2 1,4 6,311,2 10,8 111,4 10,8 6,1

c) Muestra Media15 20 11 16 4 1 9 4 10 10,06 20 11 16 4 1 9 4 10 9,06 15 11 16 4 1 9 4 10 8,46 15 20 16 4 1 9 4 10 9,46 15 20 11 4 1 9 4 10 8,96 15 20 11 16 1 9 4 10 10,26 15 20 11 16 4 9 4 10 10,66 15 20 11 16 4 1 4 10 9,76 15 20 11 16 4 1 9 10 10,26 15 20 11 16 4 1 9 4 9,6

3 a) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 2 y se escribe 50xRan# y 30 veces el signo =.

b) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 0 y se escribe -4xRan#+-1 y 27 veces el signo =.

c) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 3 y se escribe 8xRan#+-4 y 30 veces el signo =.

d) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 4 y se escribe 3,7xRan#+0,1 y 18 veces el signo =.

e) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 2 y se escribe 1,5xRan#+-3,2 y 40 veces el signo =.

f) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 1 y se escribe 2,5xRan#+3,25 y 35 veces el signo =.

4 a) Redondear(42*aleatorio();2)b) Redondear(aleatorio.entre(11;32);1)c) aleatorio.entre(10;25)d) Redondear(aleatorio.entre(-3;5);3)e) Redondear(aleatorio.entre(0,1;3,8);4)


Página 279

6 La respuesta depende de cada estudiante.7 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:

a) M D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 MEDIA1 28 56 36 45 39 10 64 13 36,42 57 36 38 49 40 67 65 26 47,33 47 47 26 18 22 38 28 59 35,64 67 63 20 62 17 53 35 21 42,35 47 15 26 44 13 55 50 23 34,16 23 62 38 54 60 40 15 48 42,57 67 56 59 62 38 22 39 31 46,88 59 34 56 12 22 45 20 21 33,69 53 56 62 40 39 45 63 21 47,4

10 44 62 35 20 44 22 32 60 39,9b) 40,6


Solucionario8 a) Sí, varían dependiendo el deporte.

b) No, según la respuesta anterior deberían ser diferentes.c) No, ya que los datos son muy dispersos.

9 Puede escribir en un papel el número de cada casa y después elegir 20 papelitos.

10 Muestreo aleatorio sistemático: se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los demás hasta completar la muestra.

Muestreo aleatorio estratificado: se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un número de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada estrato.

Muestreo aleatorio por conglomerados: El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto número de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño muestral establecido) y en investigar después todos los elementos pertenecientes a los con-glomerados elegidos.

11 Margen de error: representa el grado de precisión que se tiene en la generalización de los resultados.

Confiabilidad: es la posibilidad de que la afirmación (resultado obtenido) sea correcta.

12 =aleatorio.entre(1;5)*potencia(–1;aleatorio.entre(0;1))

Lección 41: Variable aleatoria

Página 282 1 a) E = CC, CS, SC, SS (C: cara, S: sello)

b) E = P, A1, N, O, R, A2, M, A3c) E = corazón, trébol, pica, diamanted) E = (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6), (s, 1), (s, 2),

(s, 3), (s, 4), (s, 5), (s, 6)e) E = (enero, febrero), (enero, marzo), (enero, abril),

(enero, mayo), (enero, junio), (febrero, marzo), (febrero, abril), (febrero, mayo), (febrero, junio), (marzo, abril), (marzo, mayo), (marzo, junio), (abril, mayo), (abril, junio), (mayo, junio)

f) E = 16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26 ,26, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 30

2 a) 12

b) 593

c) 19

d) Ω = 2,2,2,4,4,5,6,6,8

3 a) Ω = (C, C), (C, S), (S, C), (S, S)

Y = 0, 1, 2

b) Ω = 110, 110, 110, 110, 200, 200, 510, 510, 510, 510, 510, 510, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000Y = 110, 200, 510, 600, 1000

c) Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5Y = 0, 1, 2, 3, 4, 5

d) Ω = 2, 2, 2, 4, 4, 5, 6, 8Y = 2, 4, 5, 6, 8

e) Ω = 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 18, 20, 20, 24, 24, 25, 30, 30, 36Y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36

Página 283

f) Ω = a, b, c , d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, zY = 0, 1 0: no está, 1: está

g) Ω = MMMM, MMMH, MMHM, MHMM, HMMM, MMHH, MHMH, MHHM, HMHM, HMMH, HHMM, MHHH, HMHH, HHMH, HHHM, HHHHY = 0, 1, 2, 3, 4

4 a) X: posición del abecedario de la letra con la que comienza.

b) 16c) 2d) 4e) Sí, 4 y 5, y, 6 y 7.

5 a) Vb) Vc) F, son las funciones de probabilidad.d) F, tiene 4.

6 X: número de consonantes.

a) 38

b) 78

Y [0,1]0 0,251 0,52 0,25

Y [0,1]110 2 15

200 1 15

510 1 5

600 2 5

1000 1 5

Y [0,1]1 1 36

2 1 18

3 1 18

4 1 12

5 1 18

6 1 9

8 1 18

9 1 36

10 1 18

12 1 9

15 1 18

16 1 36

18 1 18

20 1 18

24 1 18

25 1 36

30 1 18

36 1 36

Y [0,1]1 1 36

2 1 18

3 1 18

4 1 12

5 1 18

6 1 9

8 1 18

9 1 36

10 1 18

12 1 9

15 1 18

16 1 36

18 1 18

20 1 18

24 1 18

25 1 36

30 1 18

36 1 36

Y [0,1]0 1 6

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

Y [0,1]0 1 6

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

Y [0,1]2 1 3

4 2 9

5 1 9

6 2 9

8 1 9

Y [0,1]0 19 27

1 8 27

Y [0,1]0 1 16

1 1 4

2 3 8

3 1 4

4 1 16

Y [0,1]2 5 8

3 1 4

4 1 8


7 X: número de collares defectuosos.P(un collar defectuoso) = 0,6

Ω YC C

C C

C C 0

C C

C C 1

C C

C C 2

C C

C C

C C

1 2D

1 3D

1 4

1 5

2D

3D

2D

4

2D

5

3D

4

3D

5

4 5

Y [0,1]0 0,31 0,62 0,1

8 Y [0,1]2 4 9

4 2 9

5 1 9

6 2 9

9 3881

10 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:a) Se tienen los números 15, 18, 25 y 42. Se escoge uno al

azar y se cuenta la cantidad de cifras pares que tiene.b) Número de sellos al lanzar dos monedas.

Lección 42: Medias muestralesPágina 286

1 a) 3 024b) x = 9. Para determinar la media de la muestras se

debe escoger aleatoriamente una muestra y calcular su media.

2 a) 1 860 480 b) x ≈ 13 152

3 a) La respuesta depende del alumno. b) 31,38 c) Varía dependiendo las muestras; un ejemplo es 33,75. d) La respuesta depende del alumno. e) Mas se acerca al promedio de la población.

4 La respuesta depende del alumno.

Página 287

5 La respuesta depende del alumno.


Página 290

1 a. No b. Sí c. No

2 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:a. Escribí cada nota en un papel, los puse en una bolsa

y saqué cinco. 4,8; 5,4; 6,8; 6,3; 6,2; 5,9b. 5,3. No fue una buena aproximación.

3 Entre 1,40 y 1,65 cercano a 1,58.

4 a. 132

b. 516

c. 12

d. 14

5 Se define par: 0 e impar: 1Y [0,1]0 0,51 0,5

6 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X: al lanzar el dado contar el número de divisores del número que salió. (0: dos divisores, 1: un divisor, 2: más de dos divisores)

7 a. 14

b. 14

Página 291


D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 x

M1 86 76 54 69 36 126 101 96 54 100 80M2 50 88 107 119 58 12 39 106 114 64 76M3 134 81 44 126 48 52 114 99 42 93 83M4 88 144 40 12 35 21 93 140 58 99 73M5 78 126 133 82 27 116 21 93 58 99 83M6 80 133 63 42 140 40 45 97 106 25 77

La velocidad promedio de los automovilistas es aproxi-madamente 79 km/h.

b) Los automovilistas no son prudentes al transitar por esa avenida.

9 a) Y [0,1]1 1 3

2 1 3

3 1 3b) 2

10 a) 5 b) 3 c) 53

Sección 3: Eventos excluyentes, independientes y probabilidades

Página 293

¿Qué debes saber?1 A: 14 casos favorables. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,

77, 84, 91, 98.B: 20 casos favorables. 6, 8, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 46, 48,

56, 58, 66, 68, 76, 78, 86, 88, 96, 98.


SolucionarioC: 67 casos favorables. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17,

19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 64, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74, 76, 77, 79, 80, 82, 83, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98, 100

2 A: 9 casos favorables. C O N S I D E R AB: 5 casos favorables. N V R S TC: 8 casos favorables. O D I S E A P R

3 A: 36 casos favorables. 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12, 13, 14,15, 16, 17, 18, 19, 23, 25, 27, 29, 34, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 78, 79, 89.

B: 38 casos favorables. 08, 09, 18, 19, 28, 29, 38, 39, 48, 49, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 75, 76, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98.

C: 20 casos favorables. 02, 04, 06, 08, 20, 24, 26, 28, 40, 42, 46, 48, 60, 62, 64, 68, 80, 82, 84, 86.

4 #Ω = 12 / #S = 3 / P(S) = 14

5 #Ω = 216 / #S = 1 / P(S) = 1

216

6 #Ω = 6 / #S = 2 / P(S) = 13

7 #Ω = 16 / #S = 1 / P(S) = 1

16

8 #Ω = 48 / #S = 4 / P(S) = 1

12

Lección 43: Conjuntos y probabilidades

Página 296

1 a) Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 / S = 5 / P(S) = 16

b) Ω = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

19 / S = 9 / P(S) = 1

18c) Ω = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v,

w, x, y, z / S = a, e, i, o, u / P(S) = 5

27

d) Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 / S = 1, 3, 5 / P(S) = 12

e) Ω = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

19 / S = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 / P(S) = 49

f) Ω = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u,

v ,w, x, y, z / S = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k / P(S) = 1127

g) Ω = cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, cscs, cssc, scsc, sscc,

sccs, sssc, sscs, scss, csss, ssss / S = ssss / P(S) = 1

16

2 a) A = a, e, i, o, u B = m, a, q, u, i, n A – B = e, o A – B: elegir una vocal que no esté en la palabra

MAQUINA.b) A = 1♥, 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥ Ac = 1♦, 2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦,

K♦,1♠, 2♠, 3♠, 4♠, 5♠, 6♠, 7♠, 8♠, 9♠, 10♠, J♠, Q♠, K♠, 1♣, 2♣, 3♣, 4♣, 5♣, 6♣, 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, J♣, Q♣, K♣

Ac: sacar una carta cuya pinta sea diamante, pica o trébol.

c) A = miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo B = lunes, martes, miércoles, jueves, viernes A

UB = miércoles, jueves, viernes

AU

B: escoger un día después del martes y antes del sábado.

d) A = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 B = 5, 10, 15, 20, 25, 30 Bc = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21,

22, 23, 24, 26, 27, 28, 29 A

UBc = 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28

AU

Bc: escoger un número que sea par pero no múltiplo de 5.

e) A = IX, XIV, X, XI, XII B = XV, I, II, III, IV, V, XIII, VI, VII, VIII, IX, XIV A U B = XV, I, II, III, IV, V, XIII, VI, VII, VIII, IX, XIV, X, XI, XII A U B: escoger una región de Chile.

3 a) P(A – B) = 0,15b) P(Ac) = 0,76

c) P(AU

B) = 0,23d) P(A) = 0,69e) P(A U B) = 0,51

4 a) A

1

2

B

U

364

5

b) 23

c) 16

Página 297

5 a) 715

b) 15

c) 1215

d) 15

e) 712

6 a) A = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

b) B = 5, 10, 15

c) 215

d) 35

e) 115

f) 25

g) 25

7 a) Construcción

b) • 1 • 1053

• 2653



Lección 44: Producto y suma de probabilidadesPágina 300

1 a) Ω = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

P(S) = 19

b) Ω = ccc, ccs, csc, scc, ssc, scs, css, sss

P(S) = 18

c) Ω = ♥♥, ♥♦, ♥♠, ♥♣, ♦♦, ♦♥, ♦♠, ♦♣, ♠♠, ♠♥, ♠♦, ♠♣, ♣♣, ♣♥, ♣♦, ♣♠

P(S) = 1

16d) Ω = LuMa, LuMi, LuJu, LuVi, LuSa, LuDo, MaLu, MaMi,

MaJu, MaVi, MaSa, MaDo, MiLu, MiMa, MiJu, MiVi, MiSa, MiDo, JuLu, JuMa, JuMi, JuVi, JuSa, JuDo, ViLu, ViMa, ViMi, ViJu, ViSa, ViDo, SaLu, SaMa, SaMi, SaJu, SaVi, SaDo, DoLu, DoMa, DoMi, DoJu, DoVi, DoSa

P(S) = 121

e) Ω = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

P(S) = 445

2 a) 4452

b) 413

c) 213

d) 713

e) 12

f) 413

g) 34

h) 4952

i) 12

3 a) 15

b) 1558

c) 2549

d) 12

e) 16

f) 16

Página 301

4 a) 91139

b) 18139

c) 1 d) 0

5 1140

6 La probabilidad de que el examen indique que una persona está sana es del 78,84% y que indique que está enferma es del 21,16%.

7 Si en cada grupo de 6 personas, 2 son de la misma edad, solo puede haber 5 edades diferentes, ya que si hubiese 6 edades diferentes o más podríamos escoger a una persona de cada edad y tendríamos 6 personas de edades distintas.

Como: 201 = 2 • 100 + 1⇒ al menos hay 101 personas del mismo sexo.

101 = 5 • 20 + 1 ⇒ al menos hay 21 personas de la misma edad y sexo.

21 = 4 • 5 + 1 ⇒ al menos hay 5 personas de la misma nacionalidad, edad y sexo.

8 La trampa del texto está en que las intersecciones se restan más de una vez.

Lección 45: Eventos independientesPágina 303

1 a) 18

b) 165

c) 116

d) 18

e) 8672401

2 a) P(AyB) = 0,7623 b) P(AyB) = 0,009

3 a) Los sucesos son independientes.b) Los sucesos no son independientes.

4 a) Sí, porque no afecta el espacio muestral. b) No, porque la estracción de la primera bolita cambia

la probabilidad de la extracción de la segunda bolita.

5 a) 25

b) 15

c) 215

6 a) 0

b) 1

1100,01≈

c) 11

11100,01≈

d) 111

111100,01≈

e) Los valores obtenidos se aproximan al resultado del producto de 0,1• 0,1.

Lección 46: Combinatoria y probabilidades

Página 306

1 a) 32b) 24

c) 23425600d) 2176782336

2 a) 140320

b) 13628800

c) 160

d) 360 / 1360

e) 462 / 1462

Página 307

3 a) 15

b) 15

c) 29

d) 916

4 130

5 25


Solucionario

6 35143

7 10 / 110

8 12

9 140000

10 118

11 710


Página 310

1 a. 38

b. 58

c. 28

2 a. Ω = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

b. A = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) B = (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) A U B = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (2, 1),

(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) A

UB = (2, 2)

Ac = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)

Bc = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

3 a. 14

b. 16

c. 136

d. 1136

e. 536

4 a. No son mutuamente excluyentes.b. Son mutuamente excluyentes.

c. Son mutuamente excluyentes.

5 a. 50% b. 50% c. 40% d. 25%

6 a. 16

b. 13

c. 23

7 a. 415

b. 815

c. 1115

8 521

9 a. 12197

b. 713

c. 18

Página 311

10 a. 1530

b. 30!5!• 25!

•15

•45

15 15

c.

30!18!•12!

•15

•45

18 12

11 a. 481

b. 1681

c. 2081

12 a. 148

b. 524

c. 16

d. 25144

13 6

14 a. 1

b. 56

c. 1528

d. 57

15 a. 15

b. 14


Página 316

1 a. La dispersión mide la distancia de los datos al promedio.b. Si la dispersión de los datos de un conjunto es baja

se dice que el conjunto es homogéneo.c. Si la dispersión de los datos de un conjunto es alta se

dice que el conjunto es heterogéneo.d. Es la diferencia entre el dato de mayor valor y el de

menor valor.e. Permite cuantificar la dispersión de los datos.

2 a. Rango = 11 / Varianza ≈ 14,7 / Desviación estándar ≈ 3,8 Los datos son bastante cercanos al promedio por lo

que se puede decir que es una muestra homogénea. Se puede concluir que los datos pertenecen a una misma estación del año.

b. Si los datos se tomaran en distintas épocas del año, la dispersión sería mayor, ya que las temperaturas en invierno son mucho más bajas que en verano, por ejemplo.

3 Las respuestas dependen de cada estudiante.


4 a. Cjto R x s2 s CV Q1 Q2 Q3X 19 9,4 32,64 5,71 61% 5 8,5 15Y 20 9,3 31,21 5,59 60% 5 8,5 11

En ninguno de los dos casos el promedio es repre-sentativo de los datos.

b. Ambos conjuntos muestran resultados parecidos por lo que no se puede determinar cuál de ellos presenta un promedio más representativo. Ambos conjuntos son igualmente heterogéneos.

5 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X = 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 13

b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X = 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 6, 8, 10

c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X = 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 8

6 Tipo de muestreo en que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.

7 Con calculadora:Paso 1: Mode hasta que aparezca Fix Paso 2: se presiona 1 y luego 0.Paso 3: se escribe 100xRan# Paso 4: se presiona 10 veces el signo =.

Con planilla de cálculo:Paso 1: se escribe en una celda =aleatorio.entre(1;100)Paso 2: se presiona 10 veces enter, para obtener los números.

8 a. No b. No c. Sí

9 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X: obtener un múltiplo de 3.Y: obtener un número de puntos mayor que 4.

b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X: número de sellos.Y: número de caras.

c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X: cantidad de cartas con figuras.Y: cantidad de cartas cuya pinta es roja.

Página 317

10 a. Vb. F, puede tomar cualquier valor numérico.c. Vd. F, puede tener más de una. Por ejemplo, al lanzar un

dado una variable aleatoria puede ser obtener un nú-mero par y otra variable aleatoria puede ser obtener un múltiplo de tres.

e. F, no es necesario. La variable puede definirse cual-quiera sean las probabilidades de los eventos.

11 A medida que un experimento se repite mayor cantidad de veces, los resultados muéstrales tienden a los resulta-dos poblacionales.

12 La media muestral corresponde al promedio obtenido solo con algunos datos extraídos de la población en es-tudio, mientras que, la media poblacional corresponde al promedio de los datos de toda la población.

13 a. F, es una inferencia del promedio de la población.b. F, se le asigna un número finito de posibles resultados,

asociado cada uno a los resultados de cada evento en estudio.

c. Vd. Ve. F, el valor debería ser cercano a 3,5 pero no necesa-

riamente igual.

14 Significa que no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo.

15 Ejemplo 1: Sacar una carta de un naipe inglés con pinta corazón y que sea negra.

Ejemplo 2: Al lanzar un dado, obtener un número menor que tres 1, 2 y que sea múltiplo de tres 3, 6.

16 a. Escoger un número par o un número primo

P(A U B) = 1720

b. Escoger un número par o un múltiplo de 7.

P(A U C) = 1120

c. Escoger un número par y múltiplo de 7.

P(AU

C) = 1

20d. Escoger un número que no sea par.

P(Ac) = 12

e. Escoger un número que no sea primo o que no sea múltiplo de 7.

P(Bc U Cc) = 1920

f. Escoger un número que no sea par ni primo.

P(Ac UBc) =

320

g. Escoger un número que no sea primo ni múltiplo de 7.

P((B U C)c) = 1120

17 a. 35144

b. 2235

c. 255256

d. 56

18 Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro.

19 Extraer dos cartas de un naipe inglés devolviendo la primera al mazo antes de extraer la segunda.Lanzar un dado 5 veces.Lanzar una moneda

MATEMÁTICA 2.º MEDIO 374 MT


20 Sí. Se define:A: ambas fichas redondas.B: ambas fichas cuadradas.

P(A) + P(B) = 4

10•

410

+6

10•

610

1325

=

21 x = 2

22 a. 720b. 40 320c. 3024

d. 12e. 2520f. 84

g. 35h. 120i. 96

23 a. Si, C C 4 457 4001425

1125= =

b. Cn!

(n– k)!k!

Cn!

(n– (n– k))!(n– k)!n!

k!(n– k)!

C C

kn

n kn

kn

n kn

=

= =

∴ =

−

−

24 a. Se trata de una variación cuando el orden de los dígitos importa.

Se trata de una combinación cuando el orden de los dígitos no importa.

b. V 6720, C 5658

58= =

25 35

26 12

27 a. 600 b. 1225

c. 825

28 a. 120 b. 27

c. 47

d. 1335


Página 320

1 D2 D3 A4 C5 C6 E7 B

Página 321

8 E9 D

10 E11 D 12 D13 D14 C

Página 322

15 C16 C17 C18 A19 E20 D21 D22 A

Página 323

23 D24 C25 D26 E27 E28 D29 C

375

Contenido Página Contenido Página

Indice temático

Aleatorio(a)(s)muestra 276, 284números 277Variable 280

Ángulos en una circunferencia 134 - 138Aproximación 14Asíntota 207Cantidad subrarical 18 - 37Coe ciente de variación 268Combinación 305Conjuntos 294 - 295Conjuntos numéricos 23Crecimiento Exponencial 206Criterios de semejanza de triángulos 96 - 97Cuartiles 266Desviación estándar 262Desviación media 263Diagrama de árbol 298Dispersión 262División de trazos 116Ecuación fraccionaria 186Ecuación logarítmica 66Ecuación radical 48Error absoluto 14Error relativo 14Escala

factor de 100 guras a 92

Espacio muestral 280Espiral de Teodoro de Cirene 18Factor(es) 11Factorización 170Factorial 304Fracción(es) algebraica(s) 164

adición 182ampli cación 174de nición 164división 179ecuación con 186evaluar una 166expresiones mixtas 183funciones con 166irreductible 175multiplicación 178restricciones 164, 175, 179

simpli cación 175sustracción 182valor de una 167

Función(es) 198contracción 203creciente 211decreciente 211de probabilidad 281dilatación 203dominio 203exponencial 206grá co de una 198Logarítmica 210raíz cuadrada 202recorrido 203re exión 199traslación horizontal 198, 203, 211traslación vertical 198, 203, 211

Heterogéneo 263Homogéneo 263Homotecia 100 - 101Ley de los grandes números 285Logaritmo 58

aplicaciones 66argumento de un 58base de un 58cambio de base de un 63común o vulgar 59de un cociente 62de un inverso 62de un producto 62de una potencia 62de una raíz 62de nición 58Ecuación logarítmica 66escala 66función 210natural 59propiedades 59, 62y potencia 58

Mcd de expresiones algebraicas 170Media muestral 276

y variable aleatoria 281Media poblacional 276Medir 10 - 11

ÍNDICE TEMÁTICO


Contenido Página Contenido Página

Mcm de expresiones algebraicas 170Muestreo

aleatorio simple 276muestra aleatoria 276

Númeroaproximación de un 11con in nitas cifras decimales sin período 11irracional 11

Números irracionales 18 - 22Números reales 23Permutación 304Potencias de exponente racional 40 - 41Probabilidad teórica 285Probabilidad(es)

combinatoria y 304conjuntos y 294producto 298producto de 299, 302suma de 299teórica 285

Racionalización 44Raíz cuadrada 10

aproximación manual 15cantidad subradical 202con calculadora 14de nición 10en la recta numérica 18Espiral de Teodoro de Cirene 18función 202

Raíz enésima 32, 54como potencia de exponente racional 40de nición 32, 54división de raíces de igual índice 37ecuación radical 48, 55índice 33introducción y extracción de términos 36multiplicación de raíces de igual índice 36problemas 48, 55propiedades de operaciones 41restricciones 33

Rango 262Representativo 267Semejanza 91

ampliación 91criterios de 96elementos correspondientes 91

escala 92 guras semejantes 91homotecia y 100razón de 91reducción 91

Sistema(s) de ecuaciones linealesanálisis algebraico 233de nición 220homogéneo 231método de igualación 227método de reducción 228método de sustitución 226problemas que involucran 236representación grá ca de un 222sin solución 223tipos de 223

Soluciónno pertinente 187, 237pertinente 187, 237

Sucesos dependientes 302independientes 302mutuamente excluyentes 295, 299

Teorema de Euclides 120, 121Teorema de la cuerda y la secante 140Teorema de las cuerdas 140Teorema de las secantes 140Teorema de Pitágoras 10

demostración 124recíproco 125

Teorema de Thales 110general 112particular 110recíproco 112y uso de software 111

Teorema del ángulo inscrito 135ángulo semi-inscrito 137corolarios 135

Términos 12de una secuencia de números 70semejantes 12

Variable aleatoria 280media muestral y 281, 284

variación 304Varianza 262

Indice temático

377

PáginaAltura: 1. En un triángulo, recta perpendicular

trazada desde un lado o su prolongación hasta el vértice opuesto. 2. Medida del segmento deter-minado por dicha recta.

Amplificar: en fracciones, multiplicar el numerador y denominador de una fracción por un mismo término.

Ángulo del centro: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia.

Ángulo exterior: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia y cuyos lados son rectas secantes o tangentes.

Ángulo inscrito: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia.

Ángulo interior: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice se encuentra el interior de la circunferencia.

Ángulo semi-inscrito: en una circunferencia, ángu-lo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y uno de sus lados es tangente en dicho punto.

Ángulos correspondientes: ángulos que se ubican en la misma posición relativa a dos o más polígo-nos o rectas paralelas.

Anular: hacer igual a cero.

Aproximación por defecto: dado un número, aproximación menor que él.

Aproximación por exceso: dado un número, aproximación mayor que él.

Aproximar: determinar un valor cercano a un nú-mero dado, utilizando algún método establecido para aquello.

Arco: parte de una circunferencia. Se nombra por sus puntos extremos en sentido contrario a las agujas del reloj.

Asíntota: recta a la que se aproxima indefinida-mente la gráfica de una función sin intersecarse nunca con ella.

Cardinalidad: cantidad de elementos de un conjunto.

Centro de homotecia (O): punto desde el cual se construye una homotecia. Si la razón de homo-tecia es k, A es un punto de la figura original y su

homotético es A’, debe cumplirse que =OA'OA

k ,

con A, O y A’ ubicados sobre una misma recta.

Coeficiente de variación: cociente entre la des-viación estándar de un conjunto de datos y su media aritmética.

Coeficiente: términos que multiplica a n una variable.

Combinación: conjunto de objetos escogidos sin importar el orden.

Complemento: 1. Lo que le falta a un ángulo para ser recto. 2. Diferencia entre el conjunto universo y un conjunto dado.

Congruente: de igual forma y medida.

Conjunto universo: aquel que contiene todos los elementos posibles, en un contexto dado.

Conjuntos disjuntos: que no tienen elementos en común.

Criterios de congruencia de triángulos: condicio-nes necesarias y suficientes para determinar la congruencia entre triángulos.

Criterios de semejanza de triángulos: condiciones necesarias y suficientes para determinar la seme-janza entre triángulos.

Cuerda: segmento cuyos extremos pertenecen a una circunferencia.

Decimal finito: número decimal con una cantidad finita de cifras decimales.

Decimal infinito: número cuya parte decimal nunca termina.

Decimal periódico: número cuya parte decimal se repite infinitamente.

Glosario

GLOSARIO


Decimal semiperiódico: número en el que algunas cifras de su parte decimal se repiten infinitamente, luego de una parte fija.

Desviación estándar (σ(x)): medida de dispersión que se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.

Diagonal: segmento que une dos vértices no conse-cutivos de un polígono.

Diagrama de árbol: representación gráfica que muestra todas las posibles combinaciones o resultados de un experimento.

Diagrama de Venn: diagrama que representa con-juntos las relaciones entre ellos.

Diámetro: segmento cuyos extremos pertenecena una circunferencia, y que contiene al centrode ella.

Diferencia: en conjuntos, aquel formado por los elementos que perteneces a uno de ellos pero no al otro.

Dominio de una función: conjunto de todos los va-lores que puede tomar la variable independiente en una función.

E (e) o Euler: número irracional cuyo valor ese = 2,7182818…

Ecuación: igualdad que se cumple para algunos valores de sus variables.

Ecuación de primer grado: aquella cuya incógnita tiene grado igual a 1.

Ecuación fraccionaria: aquella cuya incógnita se encuentra en el denominador de una fracción.

Ecuación logarítmica: aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo.

Ecuación radical: aquella cuya incógnita se encuen-tra en la cantidad subradical de una raíz.

Ecuaciones equivalentes: ecuaciones que tienen iguales soluciones.

Equiprobabilidad: de igual probabilidad. Dos even-tos de un experimento son equiprobables si tiene la misma probabilidad de ocurrencia.

Escala: 1. Razón entre dos unidades de medida.2. En un plano o mapa, razón que indica a cuán-tos centímetros, en la realidad, equivale un centí-metro en el mapa. 3. Conjunto de valores que se utiliza como referencia para medir.

Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Evaluar: calcular el valor de una expresión alge-braica al remplazar las variables con valores numéricos.

Evento: conjunto de algunos resultados posibles de un experimento aleatorio.

Eventos dependientes: aquellos tales que la ocu-rrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Eventos dicotómicos: aquellos sin resultados en común.

Eventos independientes: aquellos tales que la ocu-rrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Eventos mutuamente excluyentes: aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente en un experimento.

Experimento aleatorio: aquel cuyos resultados están determinados por el azar.

Expresión algebraica fraccionaria: véase Fracción algebraica.

Expresión algebraica: secuencia de números y/o letras relacionadas por medio de operaciones y/o paréntesis.

Factor: 1. Cada uno de los términos de una multipli-cación. 2. Cada uno de los números o expresio-nes de los cuales es múltiplo un número o expresión.

Glosario

379

Factorial: dado un número natural, producto entre todos los números naturales menores o iguales que él. Se escribe n!, y se define 0! = 1.

Factorizar: determinar los factores de un número o expresión.

Fi (φ, o “phi”): número irracional, que corresponde

a φ=1+ 5

2.

Figuras semejantes: figuras de la misma forma y medidas proporcionales.

Fracción algebraica: aquella cuyos términos son expresiones algebraicas.

Fracción irreductible: aquella cuyo numerador y denominador no poseen factores comunes distintos de 1.

Fracciones equivalentes: aquellas que representan la misma cantidad o expresión.

Función afín: aquella de la forma f(x) = mx +n, donde m corresponde a la pendiente y n al coeficiente de posición. Su gráfica corresponde a una recta.

Función de probabilidad: aquella que relaciona cada valor de una variable aleatoria con su probabilidad.

Función exponencial: aquella cuya variable inde-pendiente se encuentra en el exponente de una potencia de la forma y = abx + c.

Función lineal: aquella de la forma f(x) = mx, donde m corresponde a la pendiente. Su gráfica corres-ponde a una recta que pasa por el origen.

Función logarítmica: aquella cuya variable inde-pendiente se encuentra en el argumento de un logaritmo, de la forma y = alogb(x) + c.

Función raíz cuadrada: aquella cuya variable inde-pendiente se encuentra en la cantidad subradical de una raíz cuadrada, de la forma y = a x + b c+ .

Gráfica de una función: representación gráfica en el plano cartesiano de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio con los ele-mentos del conjunto imagen o recorrido.

Heterogéneo: de tipos diversos. En un conjunto de datos, se refiere a que ellos son muy distintos entre sí.

Hipótesis: suposición o condición de la que se espe-ra obtener una consecuencia.

Homogéneo: de tipos similares. En un conjunto de datos, se refiere a que ellos son similares entre sí.

Homotecia: transformación no isométrica que mul-tiplica por un factor todas las distancias que van desde un punto llamado centro de homotecia (O) a los puntos de la figura a la que se le aplica la homotecia.

Inconmensurable: que no puede medirse.

Intersección: en conjuntos, aquel formado por los elementos comunes entre dos o más conjuntos.

Lados correspondientes: aquellos que se ubican en la misma posición relativa a dos o más polígonos.

Lados homólogos: par de lados de dos polígonos semejantes, cuya razón es igual a la razón de semejanza.

Logaritmo natural: logaritmo cuya base correspon-de al número e.

Logaritmo: exponente al que se debe elevar una base para obtener un número dado, llamado argumento.

Máximo común divisor (mcd): mayor valor o expre-sión que es factor, simultáneamente, de 2 o más números o expresiones.

Media muestral: promedio obtenido a partir de los datos de una muestra.

GLOSARIO


Media poblacional: promedio de toda la población.

Mediana: valor menor o igual al 50% de los datos de un conjunto.

Medidas de dispersión: valores indican la proximi-dad entre sí o respecto del promedio de los datos de un conjunto.

Medidas de posición: valores mayores o iguales a los de un porcentaje dado de la población.

Medidas de tendencia central: valores en torno a los cuales suelen agruparse los datos de un conjunto. Corresponden a la media, la mediana y la moda.

Medir: comparar un una unidad dada.

Mínimo común múltiplo (mcm): menor número o expresión que es múltiplo, simultáneamente, de dos o más números o expresiones.

Moda: dato que más se repite en un conjunto.

Muestra aleatoria: parte de una población escogi-da al azar.

Muestra: subconjunto de una población.

Muestreo aleatorio simple: proceso de elección de una muestra al azar de una población, en la que cada individuo u objeto tiene la misma posibili-dad de ser elegido.

Número irracional: número que no puede expre-sarse como un cociente entre dos números ente-ros. Su parte decimal es infinita no periódica.

Número primo: número natural mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y sí mismo.

Número racional: número que se puede expresar como un cociente entre dos números enteros.

Número real: 1. Número racional o irracional. 2. Cualquier número que puede representarse en forma decimal.

Par ordenado: par de elementos tales que uno de ellos puede distinguirse como el primero y otro como el segundo.

Parámetros: valores que definen a una expresión determinada. En el caso de las funciones, corres-ponden a sus coeficientes y términos libres.

Pendiente de una recta: Inclinación de una recta con respecto al eje horizontal.

Permutación: ordenamiento de un conjunto de objetos.

Pi (π): número irracional que corresponde al cocien-te entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Corresponde a π = 3,1415926…

Plano cartesiano: sistema de coordenadas formado por dos ejes (rectas numéricas) que se intersecan perpendicularmente en un punto llamado origen.

Población: Grupo completo de los objetos o indivi-duos en estudio.

Polígono regular: aquel que tiene lados y ángulos de igual medida.

Polígono: figura geométrica plana y cerrada, forma-da por lados rectos.

Polígonos homotéticos: aquellos tales que uno ha sido construido mediante una homotecia del otro.

Primos relativos (primos entre sí): números o expresiones algebraicas cuyo único factor común es 1.

Probabilidad teórica: aquella calculada mediante regla de Laplace.

Probabilidad: número entre 0 y 1que describe que tan posible es un suceso. Puede expresarse tam-bién como porcentaje.

Glosario

381

Producto notable: resultado de la multiplicación entre algunos tipos de expresiones algebraicas específicas.

Proposición: enunciado al que se le puede asignar un valor de verdad (verdadero o falso).

Proyección: segmento que resulta al trazar todas las perpendiculares desde un segmento o recta a otro.

Racionalizar: proceso de amplificación de una frac-ción algebraica para obtener otra equivalente sin raíces en el denominador.

Radio: 1. Segmento que une un punto de una circunferencia con su centro. 2. Medida de dicho segmento.

Raíz cuadrada: número positivo que elevado a 2 resulta un número dado.

Raíz cubica: número que elevado a 3 da como resul-tado un número dado.

Raíz enésima: número que elevado a n da como resultado un número dado.

Rango: diferencia entre los valores máximo y míni-mo de un conjunto de datos.

Razón de homotecia: cociente entre las medidas de los lados correspondientes de dos figuras homotéticas. Su valor es positivo si las figuras se encuentran del mismo lado que el centro de homotecia, y negativo si se encuentran a lados distintos.

Razón de semejanza: razón entre las medidas linea-les de dos figuras semejantes.

Recíproco de un teorema: proposición que afirma la hipótesis de un teorema a partir de la tesis.

Recorrido de una función: conjunto de todos los elementos pertenecientes a la imagen de la función, es decir, los valores que se obtienen al reemplazar en la función los valores de la variable independiente.

Rectas coincidentes: aquellas que se intersecan en todos sus puntos.

Rectas paralelas: aquellas cuya inclinación es la misma.

Rectas perpendiculares: aquellas que se intersecan formando ángulos rectos.

Rectas secantes: aquellas que se intersecan en un punto.

Redondear: determinar una aproximación de un número hasta cierto valor posicional. Si la cifra siguiente a la posición decimal a la que se desea redondear es mayor o igual a 5 se aproxima por exceso, y por defecto si es menor que 5.

Reducción al absurdo: argumento de demostración en el que se supone que la proposición que se quiere demostrar no es cierta, y con ello se llega a una contradicción. Así, se concluye que la propo-sición es verdadera.

Regla de Laplace: método de cálculo de la probabi-lidad teórica de un evento, mediante el cociente entre el número de casos favorables y el de casos totales.

Restricciones: 1. en una fracción algebraica, condi-ciones para que su denominador no sea igual a 0. 2. En una función, valores que no puede tomar su variable independiente.

Secante a una circunferencia: recta que se interse-ca con una circunferencia en dos puntos.

Segmentos proporcionales: aquellos cuyas medi-das se encuentran en una razón dada.

Simplificar: en fracciones, dividir ambos términos de ella por una misma expresión distinta de 0.

Solución pertinente: solución que es coherente con el contexto de un problema.

GLOSARIO


Solución: conjunto de valores que satisfacen una o más ecuaciones.

Suceso: véase Evento.

Tangente a una circunferencia: recta que se inter-seca con una circunferencia en un solo punto de ella. Además, es perpendicular en dicho punto al radio de ella.

Teorema: proposición demostrada que afirma el cumplimiento de una tesis a partir de las condi-ciones dadas en una hipótesis.

Término libre: en una expresión algebraica, valores que no son coeficientes ni variables.

Términos semejantes: términos algebraicos que tienen igual parte literal entre sí.

Transversal: 1. Recta que cruza dos o más rectas. 2. Recta trazada desde un punto a otro definido como opuesto.

Truncar: aproximar un número eliminando sus cifras decimales a partir de una posición dada.

Unión: en conjuntos, aquel formado por los elemen-tos que pertenecen a cada uno de ellos o a más de uno simultáneamente.

Valorizar: asignar un valor a una variable.

Variable aleatoria: función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral de un experimento.

Variable: expresión que puede tomar distintos valores.

Variación: conjunto de objetos escogidos conside-rando el orden.

Varianza: medida de dispersión que corresponde al promedio entre los cuadrados de las diferencias de cada dato con el promedio de ellos.

Glosario

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• Corbalán Yuste, F. (1995). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Barcelona, España: Graó.

• Doria, A. (2012). El fixture perfecto – Modelos matemáticos para el fútbol chileno. Disponible en http://dc.uba.ar/inv/grupos/grafos/exacta32-extracto.pdf

• Durán, R. & Mesz, B. (2010). ¿Por qué usamos 12 notas? De Pitágoras a Bach. Q.e.d. ciencias duras en palabras blandas, (4), 5-12. Disponible en http://www.espaciotiempo.org.ar/users/qed/numero4.pdf

• Guedj, D. (1998). El imperio de las cifras y los números. Barcelona, España: B.

• Ministerio de Educación. (2009). Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica y Media, Actualización 2009. Santiago, Chile: [s.n].

• Ministerio de Educación. (2011). Matemática, Programa de Estudio para Segundo Año Medio, Santiago, Chile: [s.n].

• Paenza, A. (2005). Matemática… ¿Estás ahí?. Buenos Aires, Argentina: Siglo XXI Editores Argentina S.A.

• Perelman, Y. (2000) Matemáticas recreativas. Barcelona, España: Martínez Roca S.A.

• Perero, M. (1994). Historia e historias de matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamericano.

• Riera Lira, G. (1998). Matemática aplicada 3° Medio. Santiago, Chile: Zig-Zag S.A.

Sitios Web

• Becas y créditos: www.becasycreditos.cl

• DEMRE: www.demre.cl

• Dirección y Coordinación General: Instituto Superior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado del Ministerio de Educación España: http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1

• Educación: www.educarchile.cl

• Geogebra: www.geogebra.org

• La tierra de los faraones: http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm

• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net

• El portal de las matemáticas: www.sectormatematica.cl

• Geometría: www.geometriadinamica.cl

• Icarito: www.icarito.cl

• Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl

• Ministerio de Educación: www.mineduc.cl

• Ministerio de Salud: www.minsal.cl

• OCDE – Pisa: www.oecd.org

• Programa Explora Conicyt: www.explora.cl

• Real Academia Española de la Lengua: www.rae.es

• SIMCE®: www.simce.cl

• Sitio de tutorías matemáticas: http://www.vitutor.com

• TIMSS: http://timss.bc.edu

• Ciencia limada: http://www.ciencialimada.com.ar/2012/07/tamanos-y-distancias-del-sistema-solar.html

• Sismología: www.sismologia.cl

• Julian Beever: www.julianbeever.net

• Sally Clark: http://pseudopodo.wordpress.com/2007/04/20/la-ignorancia-en-estadistica-puede-matar/

• Sally Clark: wwwsallyclark.org.uk

• Anamorfosis: http://ilusionario.es/APLICACIONES/anamorf.htm

Bibliografía adicional

Libros que te pueden ayudar…

• Para desarrollar el pensamiento matemático.Alboukrek, A. Destreza y desafíos. México: Larousse. Editorial, E. Test y juegos de inteligencia. Madrid: Susaeta. Saslavsky, I. (1999). Rompecabezas Numéricos. Barcelona: Gryjalbo.

• Para trabajar contenidos de estadística y probabilidad.Ángela baeza, M. D. (2010). Matemática 2° medio, proyecto Bicentenario. Santiago: Santillana.

• Para trabajar contenidos de números racionales y para profundizar en operatoria de conjuntos numéricos.

Escher, B. E. (1990). El diablo de los números. Berlín: Taschen.Fabra, J. S. El asesinato del profesor de matemáticas. El duende verde.

• Para profundizar contenidos relacionados con la historia y formación de los conjuntos numéricos.

Guejj, D. El terorema del loro, novela para aprender matemáticas. Compactos Anagrama.

• Para ejercitar la operatoria básica.La locura del Sudoku, segunda edición. (2005). Buenos Aires: Sirio.

• Para trabajar y ejercitar contenidos de ecuaciones y estadística.

Others, J. M. (2007). Matemáticas curso 2. USA: Holt, Rinehart and Winston.

• Para profundizar contenidos relacionados con números y álgebra.

Paenza, A. (2007). Matemática...¿Estás ahí? Episodio 2. Colección ciencia que ladra, tercera edición.

• Para trabajar contenidos de probabilidad.Roberto Araya, C. M. (2008). Buscando un orden para el azar, Proyecto Enlaces. Santiago de Chile: Centro Comenius, USACH.

Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA


Links que puedes visitar…

Unidad 1: Números

• Para reforzar Números irracionales http://odas.educarchile.cl/objetos_digitales_NE/ODAS_Matematica/Matematicas/numeros_irracionales/index.html

• Para reforzar Representación de números irracionales en la recta numérica http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Irracionales/Irracionales.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/representar_irracionales_sgn/irracionales_index.htm

• Para reforzar Racionalización de expresiones algebraicas fraccionarias http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Raiz_Racionalizar.html

• Para reforzar Simplificación de radicales de una raízhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Raices_Simplificar.html

• Para reforzar Propiedades de los logaritmos http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=132011

Unidad 2: Geometría

• Para reforzar Semejanza de triángulos http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Semejanza_triangulos/index.htmhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/homotecia_y_semejanza_aplicaciones_naji/semejanza3.html

• Para reforzar Aplicaciones de la semejanza al arte y las cienciashttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/homotecia_y_semejanza_aplicaciones_naji/semejanza6.html

• Para reforzar Teorema de Thaleshttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/semejanza_tales_long_circunferencia/teorematales.htmhttp://www.geometriadinamica.cl/guias/ejemplo php?mode=count&c=1&id=30

• Para reforzar Aplicación del teorema de Thaleshttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/semejanza_tales_long_circunferencia/aplicaciones.htm

• Para reforzar Ángulo inscrito y del centro que subtienden del mismo arcohttp://w7app.mineduc.cl/yoestudio/show/409

• Para reforzar Ángulos en la circunferenciahttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Los_angulos_en_la_circunferencia/angulosencircunfe1.htm

Unidad 3: Álgebra

• Para reforzar Fracciones algebraicas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fracciones_algebraicas/index.html

• Para reforzar Sistemas de ecuaciones linealeshttp://odas.educarchile.cl/objetos_digitales_NE/ODAS_Matematica/Matematicas/sistemas_ecuaciones_lineales/index.html

• Para reforzar Resolución de sistemas de ecuaciones lineales http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sist_ecu_jacm/sist_ecuac.htm#grafico

• Para reforzar Función exponencial http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funcion_exponencial_ipa/la_funcion_exponencial.htm

• Para reforzar Gráfica de la función raíz cuadrada, exponencial y logarítmica http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/transf_f_elementales_movazquez/funcionestercera.htm#RADICALES

Unidad 4: Datos y Azar

• Para reforzar Muestreo aleatorio http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=200787

• Para reforzar Variable aleatoria http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=138402

• Para reforzar Probabilidades http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=216781

• Para reforzar Estadística y probabilidad http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=93089

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