UnB- Universidade de Brasília

Projeto: Jogos Aplicados á Promoção do Desempenho Cognitivo de Idosos (ProDC)

Professora: Lourdes Mattos Brasil

Aluna: Dandara Pereira Aranha

Resumo

Livro: Teoria dos Jogos – 2° Edição . Editora: Pearson

Autores: H. Scott Bierman , Luis Fernandez

Introdução

Embora dirigido a estudantes de graduação em economia, este livro pode

ser útil para quem quiser aprender a linguagem e as idéias da teoria dos jogos em

um nível de introdução. O livro dá ênfase na aplicação de um conjunto

relativamente pequeno de ferramentas da teoria dos jogos para entender

fenômenos econômicos importantes.

Ele seleciona exemplos de uma ampla gama de áreas para que os

estudantes possam perceber o poder da teoria dos jogos para quem estuda

economia. Podemos encontrar aplicações da teoria na economia do trabalho, na

economia do setor público, no comércio internacional, na economia de recursos

naturais, na macroeconomia, e finanças corporativas, em atividades bancárias e,

é claro na organização industrial, citando apenas algumas. Lendo o livro inteiro,

além de aprender muito sobre teoria dos jogos, vê-se muita coisa sobre a

moderna modelagem em economia.

Parte I – Jogos Estáticos com informação Completa

Teoria dos jogos

A teoria dos jogos preocupa-se com o modo como indivíduos tomam

decisões quando estão cientes de que suas ações afetam uns aos outros e

quando cada indivíduo leva isso em conta. É a interação entre tomadores de

decisões individuais, todos eles com um propósito em vista, cuja decisões tem

implicações para outras pessoas,o que torna as decisões estratégicas diferentes

de outras decisões.

É uma teoria matemática criada para se modelar fenômenos que podem

ser observados quando dois ou mais “agentes de decisão” interagem entre si. Ela

fornece a linguagem para a descrição de processos de decisão conscientes e

objetivos envolvendo mais do que um indivíduo.

A Teoria dos jogos é usada para se estudar assuntos tais como eleições,

leilões, balança de poder, evolução genética, etc. Ela é também uma teoria

matemática pura, que pode e tem sido estudada como tal, sem a necessidade de

relacioná-la com problemas comportamentais ou jogos per se.

Algumas pessoas acreditam que a Teoria dos Jogos formará em algum dia

o alicerce de um conhecimento técnico estrito de como decisões são feitas e de

como a economia funciona. O desenvolvimento da teoria ainda não atingiu este

patamar e, hoje, a Teoria dos Jogos é mais estudada em seus aspectos

matemáticos puros e, em aplicações, ela é usada como uma ferramenta ou

alegoria que auxiliam no entendimento de sistemas complexos.

Assim concluímos que a teoria dos jogos pode ser definida como a teoria

dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisões ótimas sob

condições de conflito. O elemento básico em um jogo /e o conjunto de jogadores

que dele participam. Cada jogador tem um conjunto de estratégias. Quando cada

jogador escolhe sua estratégia, temos então uma situação ou contigência no

espaço de todas as situações (contigências) possíveis. Cada jogador tem

interesse ou preferências para cada situação no jogo. Em termos matemáticos,

cada jogador tem uma função utilidade que atribui um número real (o ganho ou

payoff do jogador) a cada situação do jogo.

Mais especificamente, um jogo tem os seguintes elementos básicos: existe

um conjunto finito de jogadores, representado por G = {g1, g2, . . . , gn}. Cada

jogador gi ∈ G possui um conjunto finito Si = {si1, si2, . . . , simi} de opções,

denominadas estratégias puras do jogador gi (mi ≥ 2).

Um vetor s = (s1j1, s2j2, . . . , snjn), onde siji é uma estratégia pura para o

jogador gi ∈ G, é denominado um perfil de estratégia pura. O conjunto de todos

os perfis de estratégia pura formam, portanto, o produto cartesiano:

denominado espaço de estratégia pura do jogo. Para jogador gi ∈ G, existe uma

função utilidade

ui : S → R

s : → ui(s)

que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estratégia pura s

∈ S.

Um exemplo: Dilema do prisioneiro.

Possivelmente o exemplo mais conhecido na teoria dos jogos é o dilema

do prisioneiro. Ele foi formulado por Albert W. Tucker em 1950, em um seminário

para psicólogos na Universidade de Stanford, para ilustrar a dificuldade de se

analisar certos tipos de jogos.

A situação é a seguinte: dois ladrões, Al e Bob, são capturados e acusados

de um mesmo crime. Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar

entre si, o delegado de plantão fez a seguinte proposta: cada um pode escolher

entre confessar ou negar o crime. Se nenhum deles confessar, ambos serão

submetidos a uma pena de 1 ano. Se os dois confessarem, então ambos terão

pena de 5 anos. Mas se um confessar e o outro negar, então o que confessou

será libertado e o outro será condenado a 10 anos de prisão.

Neste contexto, temos

G = {Al, Bob}, SAl = {confessar, negar}, SBob = {confessar, negar},

S={(confessar,confessar),(confessar, negar),(negar, confessar),(negar, negar)}.

As duas funções utilidade

uAl : S → R e uBob : S → R

são dadas por

uAl(confessar, confessar) = −5, uAl(confessar, negar) = −10,

uAl(negar, confessar) = 0, uAl(negar, negar) = −1,

(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e

uBob(confessar, confessar) = −5, uBob(confessar, negar) = 0,

uBob(negar, confessar) = −10, uBob(negar, negar) = −1

(que representam os ganhos (payoffs) de Bob). É uma prática se representar os

payoffs dos jogadores através de uma matriz, denominada matriz de payoffs.

BOB

ALL

Confessar NegarConfessar (-5,-5) (0,-10)Negar (-10,0) (-1,-1)

Nesta matriz, os números de cada célula representam, respectivamente, os

payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a célula.

Equilíbrio de Nash

Diz-se que uma combinação de estratégias constitui um equilíbrio de Nash

quando cada estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais

jogadores, e isso é verdade para todos os jogadores. Ou seja, cada um dos

jogadores que fazem parte do jogo, ao definir sua estratégia, estará fazendo o

melhor que pode, levando em conta o que seus oponentes estão fazendo.

Definição: em um jogo simultâneo, as estratégias (a*1,....,a*n) constituem

um Equilíbrio de Nash se, para todo jogador i, a*i é a melhor resposta às

estratégias especificadas dos outros (N-1) jogadores, a*-i , isto é, se:

ui(a*i, a*-i) ≥ ui(ai,a*-i)

para todo aiЄ Ai , para todo jogador i = 1,......,N.

De forma equivalente, podemos definir as estratégias (a*1,...,a*n) como um

Equilíbrio de Nash caso, para todo jogador i, a estratégia a*i resolver o problema

de max ui(ai, a-i*), escolhendo entre todos aiЄ Ai

.

Podemos, ainda, dizer que um conjunto de estratégias constitui um

“Equilíbrio de Nash” se, caso todos os jogadores N - 1 (menos um), joguem as

estratégias definidas pelo E.N, de modo que, para o N-ésimo jogador não exista

nada melhor a fazer a não ser, também, escolher a estratégia para ele definida no

“Equilíbrio de Nash”. Isso deve valer para todos os jogadores tomados

individualmente.

Para encontrar um Equilíbrio de Nash, basta identificar a(s) melhor(es)

resposta(s) de um jogador, diante de cada estratégia escolhida pelo(s) outro(s)

jogador(es). Ao proceder assim para todos eles, quando houver uma coincidência

entre as melhores respostas para todos os envolvidos, esse conjunto de

estratégias será identificada como um “equilíbrio de Nash”.

Uma forma de fazer isso seria:

Primeiro: indicar a estratégia que resulta na “maior recompensa” para o jogador

que está situado nas linhas, para cada uma das estratégias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas colunas. Podemos fazer isso colocando a letra “l” no

lado da recompensa, bem como, sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da linha.

Segundo: indicar a estratégia que resulta na “maior recompensa” para o jogador

que está situado nas colunas, para cada uma das estratégias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas linhas. Podemos fazer isso colocando a letra “c” no

lado da recompensa, bem como, sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da coluna.

Este processo se repete para cada uma das linhas, bem como, para

cada uma das colunas.

Após aplicarmos o método de assinar a melhor resposta do jogador nas

linhas para cada estratégia do jogador nas colunas, bem como, assinalar a

melhor resposta do jogador nas colunas para cada estratégia do jogador nas

linhas, sempre que uma combinação de estratégias estiver assinalada

“simultaneamente”, essa combinação de estratégias será um “Equilíbrio de Nash”.

Oligopólios

Muitos mercados importantes não são nem perfeitamente competitivos nem

perfeitamente monopolizados. Citamos, como alguns exemplos, automóveis,

redes de transmissões televisivas, serviços telefônicos de longa distância,

aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geração de

eletricidade. Esses mercados são geralmente denominados Oligopolistas ou

Imperfeitamente competitivos. Em mercados oligopolistas, as decisões de

precificação e produção de cada empresa no setor tem um efeito significativo

sobre a lucratividade de seus competidores. Essas empresas nem são

competitivas tomadoras de preços, nem são monopolistas definidoras de preços.

Seus preços e níveis de produção são escolhas estratégicas em um jogo de

oligopólio.

Oligopólio de Cournot

Um oligopólio é uma estrutura de mercado intermediária entre os casos

limites de monopólio e de competição perfetia. Nesse sentido a definição decorre

de imediato: em um oligopólio há um número de firmas n > 1 tal que nenhuma das

firmas é capaz, sozinha, de determinar o preço do produto no mercado (como

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas é capaz de influenciar em alguma medida o preço que se estabelecerá.

O modelo de Cournot é um dos mais tradicionais modelos de oligopólios

existentes na literatura. Embora originalmente, no trabalho de Cournot (1897, com

a primeira edição em 1838), não tenha sido utilizado o conceito de equilíbrio de

Nash (dado que esse não havia nem mesmo sido definido), a abordagem é

necessariamente de teoria dos jogos - assim como é a maior parte da literatura

moderna de organização industrial. A hipótese básica do modelo é que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir, ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s).

O preço de mercado torna-se, portanto, endógeno: dada a quantidade total

produzida no mercado, ele é definido com base na demanda agregada do setor.

Outra hipótese é que os produtos de cada firma não são diferenciados pelos

consumidores, i.e., são homogêneos. Definiremos as funções de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possível, assim como

faz Gibbons (1992), de modo a evitar .algebrismos desnecessários e a destacar o

mais importante, que é o processo de resolução do modelo.

Segue então que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estático onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir. Ainda que numa primeira

aproximação possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultâneamente, como num jogo de par ou ímpar, isso tem uma apelo intuitivo

imediato: significa apenas que cada firma, ao fazer a sua escolha, não sabe qual

foi a escolha da rival, situação essa que é extremamente comum no mundo real.

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela também não conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival não conhece

a sua escolha e assim infinitamente. Como é habitual, o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possível. No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisões de

produção de suas competidoras) vão afetar o seu payo¤, caracterizando um

elemento estratégico. Basicamente, ao tomar suas decisões, as firmas vão

considerar um conjunto de restrições dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto), por restrições

tecnológicas (que serão incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restrições de competição dadas pelo número e pelas características dos seus

competidores.

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas, 1 e 2, produzem

um bem homogêneo cuja demanda é dada por

P (Q) = a – Q

onde a > 0 e Q = q1 + q2 é a oferta da indústria, dada pela soma do produto das

firmas que compões essa indústria. Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo é nulo é que o custo marginal (aqui ao custo médio) é constante e

idêntico para as empresas,

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0; a] por um motivo que ficará claro adiante. Podemos então

representar esse jogo na forma normal

G = (S1; S2; u1; u2)

tal que temos

1. os jogadores: as firmas 1 e 2;

2. os espaços de estratégias dos jogadores, S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0; qi], i = 1; 2 . Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas é

dado pelo espaço aonde as firmas podem escolher produzir: no mínimo zero e no

máximo uma quantidade muito grande porém finita;

3. a função de ganho dos jogadores, u1 e u2. No caso de firmas, essas funções

de ganhos são exatamente a função de lucro de cada uma delas, dadas por

π1 (q1; q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1; q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferença entre a receita e o custo da firma. Note que, como

esperado, a função de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estratégico.O ganho de cada firma é determinado não só pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como também pela escolha da

concorrente.

Como dito anteriormente, no modelo de Cournot o problema das firmas é

escolher quantidades simultaneamente, procurando maximizar seus respectivos

lucros. Tomemos o caso da firma 1 inicialmente. O seu problema é:

de modo que as condições de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que, resolvendo,

o que nos dá exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produção da firma 2. Chamamos essa expressão de

função de reação da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultânea: as firmas não estão reagindo

exatamente à uma ação que elas observaram, mas sim à uma ação esperada

da(s) concorrente(s). No entanto essa expectativa não é tomada aleatoriamente,

mas assumindo que a .rma rival está operando também na

sua função de reação correspondente.

Uma outra observação relevante diz respeito à inclinação da .função de

reação.. Observe que

o que nos mostra que a melhor reação que uma firma pode tomar em relação à

variações na oferta da concorrente é seguir na direção contrária.

Procedendo da mesma forma para a firma 2, decorre (faça as contas) que

será a .função de reação. da firma 2, a melhor resposta que ela pode dar às

escolhas da rival. Uma vez que temos em mãos as respectivas melhores

respostas das firmas, fica trivial determinar o equilíbrio de Nash desse jogo: como

definimos anteriormente, esse é dado pela interseção das melhores respostas.

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2), é fácil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equilíbrio de Nash desse jogo é dado por

(q*1; q*2) = ( (a - c); (a - c))

Como qi [0; qi], concluímos que a ≥ c. A oferta da indústria é

e o preço de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente,

Π2=

Por fim note que as hipóteses utilizadas de que há apenas duas firmas com

estruturas de custos idênticos produzindo são apenas para simplificar a nossa

análise. Na verdade, não há problemas algum em relaxá-las. Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipótese de custos marginais

iguais entre as firmas, apenas para obter um resultado de comparação mais fácil

com o caso inicial, com duas firmas. Resolva como exercício o duopólio de

Cournot onde, por exemplo, o custo marginal das duas firmas se diferem,

comparando os resultados com os obtidos acima.

Utilizando a mesma estrutura anterior, teremos certamente quantidades

produzidas idênticas para todas as n firmas, uma vez que suas estruturas de

custos são as mesmas, o que de resto vai caracterizar um equilíbrio simétrico.

Segue o problema de uma firma i qualquer é

de modo que as CPO.s nos mostram que

A .função de reação do jogador i é dada por

onde, notemos, ; a função de reação, como usual em

Cournot, tem inclinação negativa. Nesse ambiente, com bens homogêneos e

tecnologias similares (função custo), a implicação imediata de um equilíbrio

simétrico é que, em equilíbrio, q1 = q2 = ::: = qn, de modo que

Segue que a expressão acima fica

Logo, em equilíbrio,

O equilíbrio de Nash desse jogo é portanto cada firma produzir (a - c). A

oferta da indústria e o preço do produto serão, respectivamente,

.

Segue que o lucro da i-ésima firma em equilíbrio será

Se n ∞, então podemos verificar (L.Hopital) que a oferta da indústria e o preço

serão, respectivamente,

e o lucro de equilíbrio

πi = 0, i = 1; 2; :::; n

caracterizando um equilíbrio em competição perfeita (veri.que). Se n = 1, então

como esperaríamos em um monopólio.

Dito de outra maneira, quanto maior for o número de firmas do mercado, n,

menor será a produção de cada firma. Particularmente, se existirem apenas duas

firmas, voltaríamos ao caso anterior, como mostramos. Por outro lado, se n tende

a infinito, a produção tende a zero, denotando o reduzido espaço que cada uma

teria no mercado. Note por fim que o resultado acima nos dá outra interpretação

genérica para esse ambiente: se a estrutura da indústria for um duopólio, o

mercado corresponderá a apenas 2/3 do mercado de concorrência perfeita. Para

uma indústria com 3 firmas, seria 3/4. Para 4 firmas, 4/5 e assim sucessivamente

dado pelo termo .

Oligopólio de Bertrand

• Betrand (1883): como Cournot, trata-se de um jogo de escolha simultânea

e de informação completa, mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preço, não de quantidade.

• Hipóteses:

- duas firmas, 1 e 2, que produzem um bem homogêneo.

- custo fixo é nulo e o custo marginal é constante e idêntico para ambas as

firmas, c > 0.

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a – p

onde p é o preço de mercado.

• as firmas declaram simultaneamente os preços e se dispõem a ofertar tudo

o que for demandado àqueles preços.

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato: segue que a firma

anuncia o menor preço detém todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado.

- se ambas as firmas declaram o mesmo preço, então elas dividem o mercado

igualmente, cada uma com metade.

• o lucro de cada firma, como habitual, depende não apenas de sua própria

escolha mas também é afetado pela escolha da rival. Tome o caso da firma

1, por exemplo, seu lucro será

- note que o lucro de 1 é positivo se p1 > c. Além disso, ele será tanto maior se

seu preço for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual. Por fim o

lucro nunca será negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preço igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipóteses.

- como a situação é a mesma para a firma 2, vamos restringir nossa atenção para

preços tais que

pi ≥ c, i = 1; 2

• qual o equilíbrio de Nash desse mercado?

- paradoxo de Bertrand: o único equilíbrio de Nash será ambas as firmas

cobrarem um preço igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero.

- como a função lucro é descontínua, nós não podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrões, diferenciando e resolvendo as condições de primeira

ordem.

- então, o que fazer???

• observe que a firma com o menor preço detém todo o mercado. Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preço menor do que o da rival.

Em última instância, isso direcionará o preço de equilíbrio para baixo, até o

custo marginal.

Vejamos agora o argumento formal para isso.

1. note que um equilíbrio de Nash do jogo é cada firma cobrar o custo marginal:

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade é vendida ao seu custo de produção.

- porque é um equilíbrio? Se ela elevar seu preço, ela perderá toda a demanda

que tinha posto que o preço da rival será estritamente menor! nenhuma firma tem

incentivos a desviar.

- segue que não é possível que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero, de

modo que a escolha de preço de cada firma é ótima dada a escolha alheia

(melhor resposta).

2. agora vamos mostrar que não há outro equilíbrio de Nash. Como cada firma

i = 1; 2 escolhe pi ≥ c, é suficiente mostrar que não há equilíbrio para pi > c.

Então, deixe (p1; p2) ser um equilíbrio.

- se p1 > c, então porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1, teremos

p2 € (c; p1], de modo a ter um lucro estritamente positivo – fora desse intervalo

seria nulo.

- além disso, p1 p2, pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1, ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preço

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preço.

Logo

p1 > c → p2 > c e p2 < p1

- mas para uma estória similar para as firmas com os papéis trocados

p2 > c → p1 > c e p1 < p2

de modo que se o preço de uma firma está acima do custo marginal, ambos os

preço devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preço

um pouco menor do que a rival, o que é impossível.

• no modelo de Bertrand, o preço será igual ao custo marginal com apenas

duas firmas. Isso está em forte contraste com o que ocorre em Cournot,

onde a diferença entre o preço e o custo marginal cai apenas na medida

em que o número de firmas no mercado aumenta.

Parte II – Jogos Dinâmicos com Informação Completa

Na parte I, consideramos situações nas quais os jogadores se moviam

“simultaneamente” , isto é, sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo. Na parte II, analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequência fixa . Em tais jogos dinâmicos , os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles.

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estratégia ótima. Um exemplo bem conhecido de jogo dinâmico é o xadrez. Isso

deve servir como uma advertência de que prever comportamento em jogos

dinâmicos nem sempre é direto. Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

seqüenciais . Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisão de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudará pra lá . Por conseqüência, esse também é um jogo dinâmico.

A questão central nos jogos dinâmicos diz respeito à credibilidade das

ameaças e promessas dos agentes. Às vezes, por exemplo, pode ser ótimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisões.

Nós representamos os jogos até agora apenas pela forma normal (ou

estratégica). Veremos, entretanto, que há uma outra forma de representação: a

forma extensiva, uma forma mais detalhada do que a forma normal. Segue daí

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informação quando o

passamos para a forma normal, enquanto o inverso nem sempre é possível de se

fazer. Nos jogos estáticos, não há problemas em tratá-lo apenas na forma

estratégica, sendo inclusive mais conveniente. Todavia, isso com certeza

ocorreria nos jogos dinâmicos. Por isso, os abordaremos utilizando a forma

extensiva.

Um jogo (de informação completa e perfeita) na forma extensiva nos dá as

seguintes informações:

• quais são os jogadores participantes,

• quais são as ações possíveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir,

• a ordenação do jogo: quem age e quando,

• toda a história pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisão,

• os payoffs dos jogadores para cada conjunto possível de ações que

tenham sido tomadas, até o final do jogo.

Exemplo

Na figura acima temos a representação de um jogo na forma extensiva. Por

convenção (mas, novamente, nem sempre) o jogador 1 (j.1) é o primeiro a jogar.

Esse ponto é dito "nó inicial"e é único, no sentido a ficar claro ao longo do texto.

Esse jogador pode jogar duas estratégias, ou e ou d. Diferentemente de jogos

estáticos, agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e só então faz a sua escolha.

Ele também ou joga e ou joga d. No entanto é fundamental dizer que em jogos

dinâmicos a noção de estratégia (e de conjunto de estratégias) de um jogador é

mais complexa do que a mesma noção em jogos de escolha simultânea. Aqui

uma estratégia deve ser vista como "um plano completo de ação", deve

especificar para o jogador em questão as suas possibilidades de ação

contingentes à todas as ações possíveis dos jogadores que jogaram antes dele.

No jogo acima, por exemplo, o espaço de estratégias do jogador 2 é

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas, o payoffs são

dados pelos números situados após os últimos nós de decisão, ditos nós

terminais. Por convenção, o primeiro número se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro, o segundo número ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores.

Logo, lendo o jogo acima na forma extensiva, temos

1. os jogadores: 1 e 2,

2. os espaços de estratégias, S1 = fe; dg e S2 como acima exposto,

3. a ordenação: 1 joga primeiro, 2 observa a escolha de 1 e então faz a sua

escolha,

4. a história pregressa do jogo: quando 2 é chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1,

5. os payoffs: os ganhos dos jogadores para toda combinação possível de

escolhas dos jogadores.

Note então que a representação na forma extensiva apresenta todas as

características destacadas acima. Ela possui em geral (mas nem sempre, como

veremos em exemplos abaixo) o formato de “árvores crescendo para baixo” E a

título de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo será "o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e, jogar d se 1 jogou d". Os

payoffs serão (4; 1).

Indução Retroativa: jogos de informação completa e perfeita

Os jogos de informação completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores; com mais de dois, não há

mudança significativa):

1. o jogador 1 escolhe uma ação entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estratégias,

2. o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e então escolhe uma ação no seu

conjunto de estratégias factíveis, que agora depende da ação que o jogador 1

tomou,

3. o jogo termina e os payoffs cada jogador são determinados em função da sua

escolha e também do elemento de interação estratégica, a escolha do outro

jogador.

Essa definição simples segue a apresentação de Gibbons (1992), mas

pode ser muito ampliada. Além da possibilidade de existência de mais de dois

jogadores, poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez. Além de diversas situações mais

relevantes, inclusive de natureza econômica, mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos. Pense, por exemplo, na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros: em geral, jogam de duas a seis pessoas, uma

após a outra, com ações tomadas um grande número de vezes durante o jogo.

Normalmente, pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinâmicos de informação perfeita e completa.

A forma de se resolver situações dessa natureza é a descrita a seguir.

Assim como em jogos estáticos, solucionar jogos dinâmicos é também um

exercício de previsão em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores. Mas se antes os jogadores consideravam estratégias que fossem

racionalizáveis apenas, agora eles têm de trabalhar com estratégias que sejam

sequencialmente racionais. Isto é, aquelas que não envolvam

promessas/ameaças não críveis (como a do sequestrador que ameaça explodir a

granada e se matar).

Definição - Uma estratégia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisão que o jogador

possa estar. Ou seja, o jogador não joga apenas estratégias racionalizáveis, ele

jogará estratégias racionalizáveis sempre que for chamado a jogar. Ou seja, caso

o jogador esteja em determinado ponto na árvore de decisão, ele deve ter

estratégias que são ótimas a partir daí, dadas as possíveis estratégias e escolhas

futuras dos outros jogadores.

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informação perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo), o procedimento que

adotamos para resolvê-lo é dito indução retroativa ("backward induction") e é

descrito da seguinte forma. Começamos sempre pelo final do jogo, analisando o

jogador que joga por último, no caso o jogador 2. Esse jogador já observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estratégia tal que, condicional à

escolha de 1, lhe dê o maior payoff possível. O jogador 2 faz então a sua escolha.

Passamos a seguir para a análise do problema de escolha do jogador 1. O

fundamental aqui é entender que, como se trata de um ambiente de informação

completa, o jogador 1 também sabe qual será a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele, jogador 1, venha a fazer. O jogador 1, por

isso, não escolherá aleatoriamente sua estratégia ficando, depois, “torcendo” para

que o outro jogador faça algo que também seja favorável a ele. Na verdade, no

momento de fazer a opção da melhor estratégia a se tomar ele já considerará

que, dependendo do que ele escolher, isso afetará a escolha do jogador 2 e esse

pensará apenas no seu próprio bem-estar no momento de definir sua estratégia.

Procedendo assim, e dado que a forma de resposta do jogador 2 é dada pela sua

escolha condicional à decisão de 1, o seu problema é o problema de escolher

uma estratégia que lhe dê o maior payoff possível dado que o jogador 2 reagirá

de forma ótima à sua tomada de decisão. Da solução desse conjunto de tomadas

de decisão, do jogador 1 e do jogador 2, teremos um (ou mais) par de estratégias

que caracterizará o resultado de indução retroativa desse jogo. Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaça ou promessa que não sejam críveis,

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 fará em cada uma das situações

possíveis, buscando o seu próprio bem-estar. Assim, jogador 1 não acredita em

eventuais ameaças que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse último que não sejam ótimas para ele mesmo, uma vez que o

jogador 1 já fez a sua ação.

Exemplo1

Qual o resultado de indução retroativa do jogo acima? Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situações possíveis:

• se o jogador 1 joga e, o jogador 2 deve jogar e também e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1), pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades, caso escolhesse d.

• se o jogador 1 joga d, o jogador 2 deve também jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1), preferível a zero, que é o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e.

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente, ele sabe que as opções

efetivamente alcançáveis são apenas (e; e) e (d; d). Diante disso, irá jogar d e

assim garantirá utilidade de 2 unidades. O resultado de indução retroativa é,

portanto, (d; jogar d dado que 1 jogou d).

Note, por outro lado, que esse resultado está longe de constituir algo próximo

do que se poderia denominar .socialmente ótimo., eficiente ou afim. Se ele fosse,

por exemplo, (e; d), ambos os jogadores estariam melhor. Sendo assim, por que

não sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado?

Porque o jogador 1 sabe que, uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo, o

jogador 2 não teria incentivos em mantê-lo, pois poderia obter um payoff superior.

Ciente disso, o jogador 1 não se deixa levar por promessas como essas, por não

serem críveis. Da mesma forma, mesmo que o jogador 2 ameace jogar e, caso o

jogador 1 jogue d, esse último sabe que tal ameaça também não é crível, e

portanto não a aceita. Tudo isso é simples consequência do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores. Nesse caso, não se requer

muito, bastando que ambos os indivíduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 também o seja.

É importante lembrar também que não é necessário que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo, como já comentamos antes. Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez, sendo que a lógica de resolução não

se altera. Sempre se olhará inicialmente para o .m do jogo, destacando as

respostas ótimas em cada situação, e se encontrará o resultado de indução

retroativa tomando como base tais possibilidades.

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma está instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) está considerando entrar nesse

mercado. Ela escolhe entre entrar ou não. Caso entre, a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preços, por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopólio, um mercado onde apenas duas firmas produzem).

Vejamos a forma extensiva deste jogo :

Na forma extensiva teríamos:

1. os jogadores: as firmas E e I,

2. os espaços de estratégia:

SE = (fora, entra)

SI = (luta se a firma E entra, acomoda se a firma E entra)

3. ordenação: a firma E decide se entra ou não, a firma I observa a decisão de E e

então decide se reage ou se acomoda,

4. a história pregressa: I, ao fazer sua escolha, sabe o que E jogou,

5. os payoffs.

O resultado por indução retroativa será a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se. Isto porque, se E entra, o payoff de I é maior caso ela

acomode.

Como E sabe disso, ela irá entrar, apesar de uma eventual ameaça da

firma I de lutar caso ela faça isso.

Podemos representar o jogo acima também na forma normal:

Nota-se, portanto, que há dois equilíbrios de Nash no jogo acima: o

resultado por indução retroativa e o conjunto de estratégias onde E não entra e I

luta se E entra. A questão central aqui é que essa última ameaça não é crível e

portanto não deveria ser considerada. Temos, portanto, que o conceito de

equilíbrio de Nash não elimina tais possibilidades, pois ele não incorpora a idéia

de que as estratégias devem ser sequencialmente racionais. Apenas um equilíbrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via indução retroativa e, portanto, apenas

esse equilíbrio é um resultado sequencialmente racional.

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinâmicos é o

chamado Teorema de Zermelo. Ele nos diz que todo jogo finito de informação

perfeita possui um equilíbrio de Nash em estratégias puras que pode ser obtido

via indução retroativa (e que será, portanto, sequencialmente racional). Além

disso, se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos,

então existe apenas um equilíbrio de Nash que pode ser derivado dessa forma.

Barganha seqüencial

Barganha é algum tipo de situação que encontramos corriqueiramente no

dia-a-dia.Observamos desde situações muito simples, quando um filho

adolescente barganha com o pai o horário que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e sábado, em que ele propõe chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diário, até situações complexas, em que

presidiários barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebelião,

ou países que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam. Na verdade, exemplos de situações de barganha são

extremamente fáceis de encontrar e nós de fato nos deparamos com tais

situações em todos os momentos - ainda que não tenhamos em mente que tal

caso específico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinâmico de

informação completa.

O processo de barganha é geralmente interpretado como o processo de

construção de um acordo mútuo sobre a provisão de um contrato. No mundo real,

o protótipo básico é a negociação entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro: o contrato especifica o preço a ser pago pelo ítem. Em

uma negociação salarial, por exemplo, o sindicato é o vendedor, a firma o

comprador e o preço é o salário-base.

Tanto em contextos econômicos quanto legais, um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociação. Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo. Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo às partes interessadas: um

custo de oportunidade da negociação, ou seja, dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo já tivesse sido fechado, e um custo pecuniário

inerentes à negociação, como por exemplo custos processuais. Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produção que não se realizou e os

custos pecuniários pelos gastos com a intermediação do acordo. Tais custos

podem ser significativos em casos importantes, como aquisições corporativas,

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litígios civis.

Se não se chega a um acordo, então em algum período de tempo as partes

param de barganhar, como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negócios. Nesse caso, se pensarmos no

contexto legal, uma corte impõe alguma regra que as partes devem seguir. Nesse

sentido, essas cortes legais são um exemplo de resolução judicial de impasses.

No que se segue vamos analisar o modelo teórico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociação entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal, representante das empresas na quais esses trabalhadores

são funcionários. Não custa uma palavra de precaução aqui: como em todo

modelo teórico, essa representação é uma simplificação das negociações que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido não buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensão de negociações

como um todo, mas tão somente entender esses

processos de negociações como jogos dinâmicos de informação completa.

O jogo se dá como se segue. Há, dois jogadores, 1 e 2, onde vamos

considerar que 1 representa uma associação patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores.

Eles estão a negociar sobre a divisão dos benefícios da produção de um

determinado período, um ano por exemplo. Esse benefício é de conhecimento

comum e, obviamente, sua totalidade soma 100%. A negociação se dá entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade. Ambas as associações desejam obter o máximo possível

para os seus associados e a dinâmica da negociação se dá do seguinte modo:

1. a associação patronal propõe uma divisão;

2. o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta: se o sindicato aceita, o jogo

termina e cada jogador obtém o acordado. Caso contrário, ele não aceita, o jogo

continua;

3. o sindicato propõe uma divisão;

4. a associação patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta: se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado. Se rejeita a proposta, então a Justiça

do Trabalho impõem uma divisão de 50% para cada uma das partes e o jogo

também termina.

É necessário algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta.

Por isso, se o acordo for fechado em 2, então os jogadores têm 1 (100%) para

repartir. Se terminar com a associação patronal aceitando a proposta no quaem 4,

os benefícios serão apenas de € (0; 1); e se a barganha terminar com a

intervenção da Justiça, então os benefícios são apenas de ². Esse termo é

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituições) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetária em

diferentes períodos de tempo, captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido. Ou seja, reflete o custo de oportunidade de não receber o valor

imediatamente. Em geral essa taxa de desconto é determinada pela taxa de juros

da seguinte forma,

onde r é a taxa de juros de mercado. Observe que quanto maior r, menor a taxa

de desconto, de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo. Observe ainda que essa taxa pode refletir caracterísiticas específicas das

partes engajadas na barganha. Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes. Ou que um trabalhador específico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisação no seu fluxo de renda

nesse período específico pode lhe ser particularmente custosa. Para facilitar a

nossa análise e sem perda de generalidade, vamos considerar que ambas as

partes têm a mesma taxa de desconto.

Logo há dois jogadores (1 e 2), as estratégias são as descritas na árvore,

assim como a ordenação e os payoffs. Como trata-se de um ambiente de

memória perfeita, os movimentos dos jogadores em cada nó de decisão é de

conhecimento comum em cada um desses nós.

Sendo mais específico, observe o que acontece no primeiro movimento: o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estão barganhando, ele quer x €

[0; 1], ou x%, de forma que ele está oferecendo a 2 (1 - x)%. Como dito, 2 pode

ou não aceitar. Se aceita a barganha termina e os ganhos são dados. Caso

contrário 2 faz a contraproposta ao jogador 1: do total a ser dividido, ele que (1 -

y)%, de modo que oferece a 1 y%.

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar. Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos são dados. Note porém que agora já estamos no segundo

estágio do jogo, de forma que as partes já incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas não chegaram a um acordo no primeiro período.

De

Pede-se:

1. Taxa de desconto intertemporal (já está feita em jogos repetidos, mas ter em

mente a questão da in.ação, taxa de juros, reputação e o exemplo do sorvete

derretendo).

2. Represente o jogo na sua forma extensiva.

• Os payoffs são (x; 1 - x) no primeiro estágio, no

segundo estágio caso seja necessária a intervenção da Justiça

do Trabalho.

2. Quanto cada jogador vai obter em equilíbrio perfeito.

• Por indução retroativa, no segundo (e último) estágio da barganha, o

sindicato oferece (y) aos empresários, que aceitam se e somente se

Logo a proposta será

e os ganhos nesse estágio seriam No

primeiro estágio do jogo os empresários ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta ótima será

e os ganhos

Logo o equilíbrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por indução retroativa) será a associação patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estágio, os trabalhadores

aceitarem a proposta feita, o jogo terminarbe os ganhos serão dados por

3. Se você representasse os trabalhadores, você preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresários?

• A primeira coisa a ser feita é representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faça a oferta em primeiro lugar,

no primeiro estágio. Nesse caso os payo¤s seriam (1 - x; x) no primeiro

estágio, no segundo estágio e

caso fosse necessária a intervenção da Justiça do Trabalho. Resolvemos o jogo

da mesma maneira, de modo que no segundo estágio da barganha, os

empresários oferecem (1 - y) aos trabalhadores, que aceitam se e somente se

Logo a proposta será

e os ganhos nesse estágio seriam

No primeiro estágio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresários. Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta ótima será

e os ganhos seriam

Segue que o equilíbrio de Nash perfeito em subjogos será o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrões no primeiro estágio, os

empresários aceitarem essa proposta o jogo terminar ali. Os ganhos seriam

dados por .

Note que os trabalhadores estarão melhor fazendo a oferta no primeiro estágio se

ou seja, se

o que é sempre verdade para todo

Equilíbrio Perfeito em Subjogos

Até agora estudamos separadamente jogos dinâmicos e jogos estáticos.

Entretanto, é bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultâneas e outras não simultâneas, i.e., que tenham informação imperfeita em

pelo menos algum de seus estágios. A forma de resolução segue a mesma lógica

anterior: começar de trás para diante até chegarmos no início do jogo. Entretanto,

sempre quando nos depararmos com um “mini-jogo” com lances simultâneos (ou,

no mesmo sentido, que tenha informação imperfeita), devemos resolvê-lo como

visto anterioriormente e então tomarmos seu resultado (o equilíbrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuídos caso o jogo atinja essa parte

simultânea. Vamos a uma definição:

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva é um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades:

• inicia-se em um ponto de decisão único (não ligado a nenhum outro por

.linhas tracejadas.)

• contém todos os pontos de decisão que o sucedem, e apenas esses

pontos;

• não divide nenhum subjogo, no sentido de que se um determinado ponto

de decisão pertence a um subjogo, então todo ponto ligado a ele por

alguma “linha tracejada”, também pertence, i.e., os subjogos não cortam

tais linhas.

Vimos em geral que quando analisamos equilíbrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equilíbrios. Muitos desses equilíbrios

podem parecer não razoáveis pois são baseados em ameaças inacreditáveis.

Equilíbrio de Subjogo Perfeito é um refinamento de equilíbrio de Nash que não

permite ameaças inacreditáveis.

Indução Reversa

A técnica mais comum para encontrar os equilíbrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ é conhecida como indução reversa. Intuitivamente, temos que a

técnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vá resolvendo até chegar ao

começo do jogo. Podemos descrever mais formalmente esta técnica nos

seguintes passos:

1. Seja k = 1 e Γ(k) = Γ.

2. Seja Z−1 o conjunto de todas as histórias que são antecessoras imediatas das

histórias terminais do jogo Γ(k). Para todo i ∈ N e h ∈ Z−1 ∩ Hi, o jogador i

enfrenta um problema de decisão após história h, e portanto deve escolher a ação

que maximiza sua utilidade esperada. Se houver mais de uma ação que produza

a mesma utilidade esperada, existirá um equilíbrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas ações. Escolha uma delas para ser a ação escolhida por i

segundo a estratégia s, isto é, faça si(h) = a ∈ argmaxb∈Mhui(h · (b)). Passe ao

passo seguinte.

3. Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira:

(a) Para todo h ∈ Z−¹ ∩(∪i ∈ NHi), substitua as ações em Mh do jogo Γ(k), pelo

vetor de utilidades que corresponde a história terminal atingida pela ação

escolhida no passo anterior. Passe ao passo seguinte.

(b) Para todo h ∈ Z−1 ∩ (∪i∈NHi)c, isto é uma história imediatamente

antecessora a uma história terminal do jogo Γ(k) onde chance se move, substitua

as ações em Mh, pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuição de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das ações em Mh. Passe

ao passo seguinte.

4. Se o conjunto de todas as histórias de Γ(k+1) em que algum jogador i ∈ N se

move for vazio. Pare a iteração e temos que s é um equilíbrio de subjogo perfeito

em estratégias puras de Γ. Caso contrário, passe ao passo seguinte.

5. Faça k = k + 1. Volte ao passo 2.

É fácil ver que como o jogo é finito, após um número finito de iterações o

algoritmo acima descrito produzirá um equilíbrio de subjogo perfeito em

estratégias puras. Desta forma, provamos construtivamente o seguinte teorema:

Teorema: Qualquer jogo em forma extensiva com informação perfeita finito tem

um equilíbrio de subjogo perfeito puro.

Jogos Repetidos

Nesse tópico analisaremos novamente se ameaças e promessas em

relação ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes. Ao fazer

isso, buscamos mostrar o que muda em uma análise de previsão do resultado de

jogos quando esses são jogados mais de uma vez. Uma das principais idéias é a

de cooperação: será possível obtê-la caso o jogo se repita? Intuitivamente,

poderíamos pensar que sim, pois um jogador poderia cooperar “hoje” para que os

outros cooperem com ele “amanhã”, e isso poderia valer para todos os

envolvidos. Deve-se, portanto, verificar quando e sob que condições essa intuição

de fato poderá se manifestar na realidade.

Os jogos repetidos são divididos em dois grupos: aqueles repetidos um número

finito de vezes e aqueles repetidos “infinitamente”. Em relação ao primeiro grupo,

a intuição fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes, o que iremos fazer a seguir.

Jogos repetidos finitos

A característica fundamental dos jogos repetidos finitos é que todos os

jogadores envolvidos sabem, antecipadamente, quantas vezes aquele jogo se

repetirá. Pense, por exemplo, em um Congresso X de três dias que ocorrerá em

um determinado hotel. Existindo dois vendedores de pipoca naquela região, eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) durará exatamente três dias, e com

base nessa informação é que definem suas estratégias. A questão a se verificar é

o que muda no caso onde o jogo é jogado apenas uma vez, como visto até agora,

e quando se repete um número específico de vezes.

Como sempre, vamos iniciar a exposição através do um exemplo do

“dilema dos prisioneiros”. Suponha então que o jogo fosse jogado duas vezes,

sendo que, quando se reinicia o jogo, o resultado do primeiro estágio já é

conhecimento comum. Os payoffs dos jogadores serão tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga.

Na forma de resolução de jogos de tal natureza deve-se analisar de trás

para frente. No caso específico citado acima, os jogadores, uma vez que se

iniciará a segunda rodada do dilema dos prisioneiros, sabem que o resultado do

primeiro estágio já foi consolidado e, portanto, não têm mais como mudá-lo.

Sendo assim, eles se preocupam apenas com o que virá, ou seja, a segunda

rodada do jogo em questão. Pensando dessa forma, o que eles irão fazer no

segundo estágio do jogo? Irão proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois, afinal, o que ocorreu na primeira rodada não poderá mais

ser mudado): como ambos têm uma estratégia dominante, que é confessar, a

jogarão na segunda vez.

Como dito acima, a idéia por trás dos jogos repetidos é que, como ele será

jogado mais de uma vez, pode ser que valha a pena cooperar no início para que o

outro também coopere com você nos estágios subsequentes. Todavia, perceba

que uma vez que se saiba que se alcançou o último estágio do jogo, ninguém

mais irá cooperar, pois não mais se necessitará que o outro também coopere no

futuro, uma vez que o futuro, para tal jogo, não existirá - pois aquela é a última

rodada. Portanto, podemos concluir que:

Observação Em um jogo repetido um número finito de vezes, onde os payoffs

dos jogadores são a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo é

repetido, na última rodada será jogado um Nash do jogo não repetido em

questão, ainda que exista uma combinação de estratégias que dê payoffs

maiores para todos os jogadores mas que não seja em equilíbrio de Nash. Esta

seria atingível apenas via cooperação, mas essa não existirá na última vez em

que o jogo é repetido.

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes, no primeiro estágio, os

jogadores, portanto, sabem que na rodada seguinte ambos irão confessar e,

assim, obter um payoff de -6 cada. Eles podem então pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estágio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possíveis, uma vez que eles

antecipam que esse será o ganho de cada um na última rodada. O jogo original é,

portanto, encarado como se fosse o seguinte:

O que se fez acima foi simplesmente adicionar .�6.em todos os payo¤s

possíveis de todos os jogadores. Visualizando esse jogo, eles devem então

novamente confessar, dado que essa permanece sendo uma estratégia

dominante para ambos. Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes será os dois jogadores confessarem em todas elas. A

cooperação não pode, portanto, ser atingida em nenhum estágio, ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez, por

exemplo. Ainda assim o outro não cooperaria, porque ele saberia que, agindo

assim, uma vez que o resultado do primeiro estágio emergisse, no segundo

ninguém iria cooperar. E então não cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele, independente do que o outro fizesse, sendo, pois, uma estratégia

dominante. Essas conclusões permanecem inalteradas mesmo se mudássemos

apenas o número de vezes em que o jogo é repetido. Isto é, o resultado é válido

mesmo para o “dilema” - ou qualquer outro jogo de informação completa - jogado

n vezes, sendo n um número finito. Imagine que ele fosse repetido quatro vezes.

Na última ninguém cooperaria, pois não haveria um “futuro” para o jogo que

justificasse essa atitude. Na penúltima rodada, também ninguém cooperaria,

porque todos saberiam que na última não haveria cooperação. O mesmo

ocorreria na segunda rodada: cooperar para quê, dado que na terceira e na

quarta ninguém o fará? Na primeira, o mesmo raciocínio se manteria. O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira:

Observação Definindo um jogo repetido T vezes como J (T), sendo J o jogo si-

multâneo de informação completa que é repetido e tendo que, quando se reinicia

um estágio de J (T), todos sabem quais são os resultados dos estágios anteriores;

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estágios de J (T), se cada um dos estágios (J) de J (T) possui um

equilíbrio de Nash único, J (T) possui um único ENPS, qual seja, o equilíbrio de

Nash de J em todo estágio de J (T). Se o jogo J é dinâmico (mas também com

informação completa) e possui um único ENPS, o ENPS do jogo repetido, J (T)47,

será também o ENPS de J em cada estágio. Em suma, se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informação completa, como todos os que vimos até

agora) for repetido um número finito de vezes, o ENPS

do jogo repetido será o equilíbrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estágios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estágio.

Apesar do resultado “desanimador” visto acima, de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperação não será atingida em nenhum estágio - dadas

nossas hipóteses adicionais -, um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que será jogado mais de uma vez.

Parte III – Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos até aqui eram determinísticos. Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estratégia. É claro que o mundo é muito mais complicado do que isso.

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderão a mais quando reduzem

seus preços. Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos serão aceitos por seus afiliados. Operadores de bolsas de valores

não sabem o valor de liquidação de todas as empresas cujas ações negociam .

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo.

Ou seja, quando um jogador escolhe entre suas estratégias, ele não sabe

quais estratégias os outros jogadores escolheram, por isso não tem certeza

quanto às consequências de suas escolhas. Para analisar as decisões dos

jogadores em um jogo, seria útil então ter uma teoria de tomada de decisão que

nos permita expressar as preferências de um agente sobre escolhas com

consequências incertas em termos de sua atitude perante as consequências.

Existem muitas regras de decisão que podem ser adotadas dependendo da

situação por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza.

Assumiremos que o agente escolhe ações que são funções do estado da

natureza para consequências ou prêmios e que o agente é capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequências, onde um estado da natureza é uma

descrição de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisão.

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaço dos estados da natureza, outras não precisam

desta descrição probabilística e podem ser usadas em casos onde tal informação

não é disponível ao agente.

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferência surge como um método de

análise de investimentos capaz de considerar as preferências individuais dos

decisores em relação ao risco. Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situações onde estão envolvidos riscos e incertezas. A grande

vantagem da Teoria da Utilidade é que sua aplicação é possível não apenas em

análises de decisões que envolvam resultados quantitativos, mas também

qualitativos. A quantificação é realizada pela associação de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situações possíveis. Portanto, um evento que não

tem correspondente numérico ou monetário pode ser transformado em valores de

utilidade.

A primeira apresentação de utilidade como unidade para medir

preferências foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738, no

qual estão descritas idéias básicas como: quantificação do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro, e quanto maior quantidade temos de algo, menos

estamos dispostos a pagar mais por ele. No entanto, o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicação de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944, quando houve a associação da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisão e a Teoria dos Jogos.

Preferência ao Risco

O nível de aversão ao risco de determinada empresa pode ser definido

através de entrevistas, visando à determinação da utilidade que cada valor

monetário representa para os tomadores de decisão. Ela é fundamental para

modelarmos a melhor decisão a ser tomada pelos gerentes, através da definição

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados.

Durante as entrevistas, deve ficar claro ao tomador de decisão que o

analista deseja conhecer suas reais preferências e esperanças, e que isso é

fundamental para o sucesso do processo. Deve haver ciência de que não existem

utilidades corretas ou incorretas, mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indivíduo.

Normalmente, os investidores buscam oportunidades de negócio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco, quando

apresentam o mesmo retorno. Portanto, este é o comportamento racional no

mundo dos negócios, onde empresários sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento.

No entanto, a situação crítica é a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetário, mas alto risco e um de menor retorno, porém de baixo

risco. E, na realidade, são estes os tipos de decisões de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresários. Portanto,

focaremos nossa análise no comportamento dos gerentes em situações onde eles

devem ponderar suas preferências individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos.

Este tipo de ponderação é bastante conhecido como “tradeoff” entre risco e

retorno, e ocorre quando o investidor abre mão de um maior retorno para evitar

maior exposição ao risco ou dá prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco. O primeiro tipo de comportamento é

típico do gerente avesso ao risco, e o segundo caracteriza um indivíduo propenso

ao risco, ou seja, aquele que se arrisca sem temer o fracasso, colocando tudo a

perder, pois sempre acredita que alcançará o atraente resultado de sucesso.

Dessa forma, este novo modelo decisório será capaz de determinar a melhor

estratégia a ser tomada levando em consideração a disposição do investidor em

assumir riscos.

Por fim, o último tipo de indivíduo é o indiferente ao risco, que baseia suas

decisões apenas no critério de maximização do valor monetário esperado, sem

considerar sua limitação de recursos.

Abaixo estão ilustradas as funções-utilidade dos três tipos de

comportamento frente ao risco.

A partir de agora iremos concentrar nossa discussão em como se define a

utilidade de cada valor monetário para os tomadores de decisão.

Função-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferência de um indivíduo ao

risco é através da construção de sua função-utilidade, também conhecida como

função de preferência. Conforme apresentado na Figura , os mais variados

comportamentos dos indivíduos frente ao risco são apresentados através dessas

funções

As funções-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumann,em

1953. Posteriormente, foram aprimoradas e desenvolvidas por vários outros.

Elas podem ser determinadas analiticamente através do uso de funções

matemáticas, que têm seus parâmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organização. As mais usualmente aplicadas

são a linear, exponencial, logarítmica e quadrada.

O coeficiente de aversão ao risco está sempre presente nas funções-utilidade.

Trata-se de um valor individualizado e único para cada empresa, que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco. Ele é

inversamente proporcional à tolerância ao risco:

A função-utilidade exponencial é a mais aplicada devido à facilidade de

modelagem do coeficiente de aversão ao risco, que coincide exatamente com o

parâmetro c da função, como pode ser verificado pela formulação:

Essas funções são obtidas através da definição da utilidade para o tomador

de decisão de cada um dos possíveis resultados do evento incerto. Como não

poderia ser diferente, o melhor resultado tem máxima utilidade e o pior, mínima.

A utilidade é um valor abstrato que serve para quantificar o quão desejável

é cada uma das ocorrências para determinada pessoa. Portanto, é flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definição das funções-utilidade. E, por

esta razão, elas são absolutamente específicas para determinada pessoa em

determinada situação, não podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenário.

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisão a ser tomada é definida com auxílio da função utilidade

através do critério de maximização do Valor Esperado da Utilidade (VEU).

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto é dado por:

Onde

VPLs ⇒ Valor Presente Líquido do Sucesso; ps ⇒ Probabilidade de Sucesso;

VPLf ⇒ Valor Presente Líquido do Fracasso; e pf ⇒ Probabilidade de Fracasso.

Assim como a metodologia do VME, a tomada de decisão através do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo; do contrário, deve ser abandonado.

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura , só que, dessa vez,

através da maximização do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que,

diferentemente da resolução anterior pelo critério do VME, leva em consideração

a preferência do decisor frente ao risco financeiro.

Inicialmente, vamos obter junto ao tomador de decisão fictício sua opinião

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possíveis nas duas

loterias oferecidas, considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100:

Para a Loteria A:

U(R$ 1.200.000,00) = 80

U( - R$ 200.000,00) = -90

Para a Loteria B:

U(R$ 12,00) = 20

U( - R$ 2,00) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade:

VEUA = 0,5(80)+0,5(-90) ⇒ VEUA = -5

VEUB = 0,5(20)+0,5(-5) ⇒ VEUB = 7,5

Portanto, o decisor, assim como a maioria dos brasileiros, nem se arriscaria

na Loteria A – tem utilidade negativa –, pois não seria capaz de suportar a perda

de R$ 200.000,00. A loteria de valores de menor vulto seria aceita, tendo utilidade

positiva para o indivíduo.

Através deste exemplo fica nítida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte à tomada de decisão, que sempre se dá de

maneira individual e subjetiva.

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicação da Teoria da Utilidade é o de

Equivalente Certo. Ele corresponde ao menor valor monetário certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situação

incerta, também conhecida como loteria.

O Equivalente Certo surge da comparação entre uma opção de

investimento incerto e arriscado, com possibilidade de perdas, e outra sem

incertezas ou risco, bastando colocar o dinheiro no bolso. Então ele é o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebê-lo ou participar de

um determinado jogo.

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas, o Equivalente Certo é o valor mínimo que estaríamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele, ou seja, é o valor justo de venda do projeto.

Em uma decisão de investimentos sob incertezas, podemos definir o

comportamento do indivíduo frente ao risco através da comparação entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetário Esperado (VME) do negócio.

Vejamos:

• Indiferente ao Risco: EqC = VME

• Propenso ao Risco: EqC > VME

• Avesso ao Risco: EqC < VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversão ao risco como um temor

do desconhecido e incerto, um sentimento de estar fora do controle da situação.

Nesses casos de aversão ao risco, a diferença entre o Valor Monetário Esperado

e o Equivalente Certo do investidor é chamada de “Prêmio de Risco”. Assim

sendo, o tomador de decisão será recompensado com este prêmio pelo risco de

perda ao decidir pela opção arriscada em detrimento ao ganho certo, dado pelo

EqC. De maneira análoga, seria o valor que o indivíduo avesso ao risco abre mão

para se prevenir do risco de perder.

O melhor entendimento do que realmente é o Equivalente Certo na prática

será possível com o exemplo apresentado: Um milionário excêntrico propõe a

referida Loteria I, incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas. Ele lançará

uma moeda não viciada ao ar e, no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara, lhe paga R$ 1.200,00 e, se for coroa, lhe exige R$ 200,00. Qual seria o

mínimo valor monetário certo que você aceitaria dele para não entrar neste jogo?

Ou seja, qual é o menor valor que o torna indiferente entre recebê-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionário?

Ressaltemos que o milionário fará ofertas partindo de R$ 50,00, e

crescentes de forma aritmética em R$ 50,00 até que o indivíduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria.

Sabemos que o Valor Monetário Esperado (VME) deste jogo é de R$ 500,00.

No entanto, como já vimos anteriormente, o comportamento dos indivíduos frente

ao risco é muito variável, e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras. O milionário oferece a loteria a três pessoas bem diferentes:

• Maurício: Engenheiro com renda mensal de R$ 2.000,00;

• Alexandre: Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 40.000,00;

e

• João: Assalariado com renda mensal de R$ 200,00.

Maurício, que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionário, usaria seu raciocínio lógico, tendo um comportamento frio, sem se

deixar levar muito pela emoção, frente a essa boa oportunidade de

complementação do orçamento mensal. A perda de R$ 200,00 não seria bem-

vinda, mas em nada mudaria o rumo de sua vida. De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou não jogar quando o milionário lhe ofereceu R$

500,00 – o Valor Monetário Esperado da loteria.

Alexandre, que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo – o milionário excêntrico –, não pôde perder muito

tempo com a loteria oferecida. No entanto, como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possível ganhar o maior prêmio, apostava que

iria conseguir os R$ 1.200,00, até porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 200,00 lhe faria pouca falta. Dessa forma, se comportou como

propenso ao risco e só aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

700,00.

João tinha acabado de sacar da agência bancária todo o seu salário

quando foi abordado pelo milionário excêntrico. Ponderando bastante os efeitos

negativos da opção arriscada, percebeu que a perda dos R$ 200,00 seria trágica

para toda a sua família, cuja subsistência no mês dependia de seus rendimentos.

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor, as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situação do que

acreditam na primeira. Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco,

bastante comedido, aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcançou R$

300,00, valor que representava o salário de um mês e meio de trabalho duro.

O milionário, que tinha por “hobby” analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relação ao dinheiro, resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os três participantes relacionarem utilidades, em uma escala

definida entre (-100) e 100, para cada um dos valores monetários oferecidos.

Veremos como cada um dos três considerou as utilidades para cada um dos

resultados:

Maurício (EqC = R$ 500,00):

UM (R$1.200,00) = 30 e UM ( - R$200,00) = -10.

VEUM = 0,5(30)+ 0,5(-10) ⇒ VEUM = 10.

UM (EqC) = UM (R$500,00) = 10.

Alexandre (EqC = R$ 700,00):

UA (R$1.200,00) = 10 e UA ( - R$200,00) = -2.

VEUA = 0,5(10)+ 0,5(-2) ⇒ VEUA = 4.

UA (EqC) = UA (R$700,00) = 4.

João (EqC = R$ 300,00):

UJ (R$1.200,00) = 90 e UJ (- R$200,00) = -50.

VEUJ = 0,5(90)+ 0,5(-50) ⇒ VEUJ = 20.

UJ (EqC) = UJ (R$300,00) = 20.

Apresentamos plotada na Figura a função-utilidade de cada um dos três

participantes, que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco. A função-utilidade linear de Maurício explicita seu comportamento

indiferente ao risco. João nitidamente se comporta com aversão ao risco, como

mostra sua função-utilidade convexa. A curva de Alexandre é a mais difícil de ser

interpretada, pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele. Se os

valores monetários fossem superiores, perceberíamos com maior clareza a forma

côncava de sua função-utilidade.

Através deste exemplo simples e descontraído pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indivíduos. E comprovamos através

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemáticas, aquilo

que já esperávamos: a loteria oferecida pelo milionário excêntrico apresenta maior

utilidade para João que para Mauro, e muito pouca utilidade para Alexandre.

Conforme apresentado anteriormente, a capacidade de absorver perdas

financeiras é um dos critérios principais que definem o comportamento frente ao

risco. A tolerância ao risco destes três personagens pode ser vista de forma

análoga a das companhias de petróleo. Quanto maior a renda mensal, no caso

das pessoas físicas, ou maior o capital exploratório das empresas de petróleo,

maior a capacidade financeira de suportar perdas, e, conseqüentemente, maior

tolerância ao risco.

A apresentação teórica e a aplicação prática do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indivíduo ou organização existe

a mesma preferência ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participação no evento incerto e arriscado. Dessa forma:

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condições de risco e

incerteza deixa de lado o critério de maximização do VME, que apresenta

limitações, passando a adotar o de maximização do VEU. Mas observamos pela

definição acima que atingiremos este objetivo através da maximização da

utilidade do EqC, ou simplesmente pela própria maximização dele, uma vez que

quanto maior ele for, maior sempre será sua utilidade para o tomador de decisão.

Portanto, no processo de tomada de decisão em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximização do Equivalente Certo através

da definição do nível ótimo de participação no projeto.

Parte IV- Jogos Estáticos com Informação Incompleta

Uma das novas idéias mais importantes na economia é que informação

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econômico

e social tanto quanto o uso de trabalho, terra ou tecnologia. Aqui , “informação

privada” quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem, mas outros não. Exemplos de informação privada são a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual é e outros não; a disposição de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de última hora que

não é do conhecimento de seu empregador potencial; e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que não é compartilhado com o

negociador da empresa. Tais casos são conhecidos como jogos com Informação

Incompleta, também ditos jogos bayesianos. Lembre-se que em jogos,

estáticos e dinâmicos, de informação completa, por definição, a função de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum. Em contraste, nos jogos de

informação incompleta, a função payoff de pelo menos um dos jogadores não

será de conhecimento comum, o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estará incerto sobre a função payoff dos outros

jogadores.

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o começo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estáticos e posteriormente trataremos

de jogos dinâmicos.

Um exemplo padrão de jogos estáticos de informação incompleta são

leilões fechados. Cada participante (“bidder”) sabe a sua própria avaliação do

bem leiloado mas não conhece as avaliações dos demais participantes. O lances

(“bids”) são submetidos em envelopes fechados, de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultâneos. No entanto, a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente são dinâmicos. Como nós veremos no

próximo tópico, a existência de informação privada leva naturalmente à tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e à tentativas da parte não

informada de aprender e responder. Essas questões são inerentemente

dinâmicas.

Na próxima seção vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estático e a noção de equilíbrio correspondente, qual seja equilíbrio

bayesiano de Nash.

Como tais noções são mais complexas e abstratas do que as vistas até

aqui, faremos isso através de um exemplo, um oligopólio de Cournot sob

informação incompleta.

Cournot sob informação incompleta

Considere um duopólio de Cournot padrão em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir. A curva de demanda inversa é

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A função custo da firma 1 é dada por

C1 (q1) = cq1

e isso é de conhecimento comum. Já a função custo da firma 2 não. Ela é dada

por

A firma 1 não sabe ao certo qual é a função custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia): o que é de conhecimento comum aqui é a distribuição de

probabilidades sobre a eficiência da firma 2 e a própria estrutura de informação,

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informação superior, a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente.

Como resolver esse jogo? Considere primeiro o caso da firma 2, a firma

que tem mais informação. Caso ela seja ineficiente, o seu problema será

E analogamente, caso ela seja mais eficiente, vai

Decorre das CPO´s dos problemas acima que

que são as melhores respostas que a firma 2 pode dar às escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo.

Já o problema da firma 1, a firma não informada, é maximizar o seu ganho

esperado em função da chance de 2 ser ou não eficiente. Ou seja, a firma 1

tal que as CPO´s implicam que

tal que

será a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar às escolhas de 2. Da

interseção dessas 3 equações de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressão acima em q2 (cH) e em q2 (cL), teremos as

demais ex- pressões de equilíbrio,

Analogamente, a firma 2 de custo baixo produzirá

Logo em equilíbrio as firmas produzirão

A oferta esperada da indústria será

Ou seja,

Logo

ou ainda,

tal que

O preço esperado por sua vez será

Já com relação aos lucros das firmas em equilíbrio, observe que o lucro da firma 1

será

Para mostrarmos que o raciocínio acima está correto, tome a função lucro

da firma1 um pouco mais “aberta”,

Ou seja,

tal que

exatamente a mesma expressão inicial. Como é comum em Cournot, repare que

O lucro da firma 2 ineficiente, de custo alto, será por sua vez

e portanto agora teremos , o que é bastante comum em

Cournot.

Para podermos ter uma interpretação mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto, considere a expressão abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo, teremos

de modo que o lucro dessa firma não será negativo se e somente se

“ A representação na forma normal de um jogo bayesiano estático com n

jogadores especifica os espaços das ações dos jogadores A1 , A2 , …, An , os

espaços dos tipos dos jogadores T1 , T2 , …, Tn , suas crenças p1, p2 , …, pn ,

e suas funções de ganhos u1, u2 , …, un. O tipo ti do jogador i é uma informação

privada deste jogador, determina sua função de ganhos ui(a1 , …, an ; ti) , e é

elemento do conjunto Ti dos possíveis tipos para este jogador. A crença pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possíveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i . Este jogo é denotado por G = { A1, A2 , …,

An ; T1 , T2 , …, Tn ; p1 , p2 , …, pn ; u1, u2 , …, un }.”

Conforme Harsanyi, supõe-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti , segundo uma distribuição a priori de probabilidades p(t). A∈

natureza revela a cada jogador i seu tipo i, ignorado pelos outros jogadores. A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas ações ai Ai . Finalmente∈

os ganhos ui(a1, …, an; ti) são distribuidos. Observe que desta maneira,

introduzindo o jogador fictício natureza, um jogo com informação incompleta é

transformado em jogo com informação imperfeita. Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i, este e os outros jogadores podem calcular sua

crença pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes:

Note também que um jogador i pode dispor de informações privadas

relativas as funções de payoff dos outros jogadores além daquelas relativas a sua

função de payoff. Neste caso sua função de ganho depende dos tipos t1 , …, tn e

a escrevemos ui(a1 , …, an ; ti , …, tn ).

Definição de um equilíbrio de Nash bayesiano: Uma estratégia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estático deve contemplar uma ação para cada tipo ti

possível. Os conjunto Si das estratégias possíveis é o conjunto de todas as

funções com domínio Ti e contradomínio Ai :

No jogo bayesiano estático G = { A1, A2 , …, An ; T1 , T2 , …, Tn ; p1 , p2 , …, pn

; u1, u2 , …, un } uma estratégia do jogador i é uma função si(ti) onde para cada

tipo ti ∈ Ti , si(ti) determina a ação pertecente ao conjunto das ações possíveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza. As estratégias s* = (s1*, …,

sn*) são um equilíbrio de Nash bayesiano (em estratégias puras) se para cada

jogador i e para cada ti ∈ Ti , si* (ti) é solução de

Em outras palavras, a estratégia de cada jogador (atenção: uma estratégia é

agora uma função) deve ser a melhor resposta às estratégias dos outros.

3.2 Aplicações

3.2.A Reinterpretando a estratégia mista (Harsanyi)

Um NE em estratégias mistas num jogo com informação completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estatégias puras num jogo semelhante com um

pouco de informação incompleta. Exemplo: batalha dos sexos

3.2.B Leilões de primeiro preço, envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estratégias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferencíaveis o único BNE simétrico é bi(vi) = vi /2.

3.2.C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propõem um preço de

venda pv e um preço de compra pc. A venda é realizada a um preço p = (pv +

pc) / 2 somente se pc ≥ pv.

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo: não

existe BNE onde uma troca voluntária será realizada se ela for eficiente; por

exemplo se uma firma possui uma informação privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informação

privada sobre seu salário v de reservação, nenhum acordo voluntário ocorrerá se

for eficiente (i.e. se v ≤ m).

Parte V – Jogos Dinâmicos com Informação Incompleta

Em um jogo dinâmico, jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados. Visto que incorporar tal aprendizado á análise é difícil, começamos esta parte apresentando conceitos importantes, como o teorema de Bayes.

Teorema de Bayes: Suponha que os eventos A1, …, Ak formem uma partição do

espaço S de maneira que P(Ai) > 0, i , e seja B um evento tal que P(B) >0.∀

Então

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade não condicionada

de cada evento Aj.

Exemplo: suponha que, conforme as estatísticas do ministério da saúde, a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 / 10 000. Um teste permite

detectar esta doença com um grau de confiabilidade de 90 %(i.e. caso um

indivíduo seja portador da doença e faça o teste, o resultado será positivo em 90

% dos casos;enquanto que caso um indivíduo não seja portador da doença e faça

o teste, o resultado será positivo em 10% dos casos). Vocé realiza o teste e o

resultado é positivo. Qual é agora sua probabilidade de ter esta doença (não é 90

% !)? A resposta é 9 / 10 000 .

Equilíbrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano, define-se um equilíbrio Bayesiano como sendo

um equilíbrio de Nash da representação tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal. Portanto, um equilíbrio bayesiano especifica uma ação pura ou uma

distribuição de probabilidades sobre as açõesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas não sabe o tipo dos demais jogadores. Note que em um

equilíbrio bayesiano, a estratégia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

não dos tipos dos outros jogadores. Conforme explicamos, uma estratégia deve

especificar uma ação para cada tipo de jogador não apenas para o verdadeiro

tipo, pois caso contrário não poderíamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que não sabem qual é o verdadeiro tipo dos demais.

Formalmente, um equilíbrio bayesiano em estratégias mistas de um jogo

bayesiano Γb é qualquer perfil de estratégias σ ×∈ i∈N ×ti∈Ti Δ(Ci) tal que para

todo i ∈ N e ti ∈ Ti,

onde σj(cj |tj) é a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe ação cj .

Exemplo: Considere um jogo bayesiano com dois jogadores, suponha que

C1={x1, y1}, C2 = {x2, y2}, T1 = {1}, T2 = {2.1, 2.2}, p1(2.1|1) = 0,6, e as utilidades

são dadas nas tabelas a seguir:

Para o tipo 2.1:

Para o tipo 2.2:

Neste jogo, y2 é uma estratégia fortemente dominada para o tipo 2.1 e x2 é

fortemente dominada para o tipo 2.2, então 2.1 deve escolher x2 e 2.2 deve

escolher y2. Portanto, para o tipo 1, temos que a utilidade esperada de x1 é 0,6 e

a utilidade esperada de y1 é 0,4. Portanto, o único equilíbrio bayesiano deste jogo

é: σ1(x1|1) = 1, σ2(x2|2.1) = 1, e σ2(y2|2.2) = 1.

Exemplo: Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo

α ou β, onde segundo o único tipo do jogador 2, jogador 1 é do tipo α com

probabilidade 0,9. As utilidades dos jogadores são dadas de acordo com o as

tabelas a seguir:

Para o tipo α:

Para o tipo β:

Note que existem três equilíbrios Bayesianos neste jogo: (1) σ2(x2) = 1, σ1(x1|α)

= 1, e σ1(y1|β) = 1; (2) σ2(y2) = 1, σ1(y1|α) = 1, e σ1(y1|β) = 1; e (3) σ2(x2) = 1/2,

σ1(x1|α) = 5/9, e σ1(y1|β) = 1.

Exemplo: Suponha que duas pessoas estão envolvidas em uma disputa. Pessoa

1 não sabe se a pessoa 2 é forte ou fraca; ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte. Pessoa 2 está perfeitamente informada. Cada pessoa pode lutar ou se

entregar. Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar não importa o

que a outra pessoa faça. Além disso, cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversário se entregar. Se ambas pessoas lutarem, então suas

utilidades são (−1; 1) se a pessoa 2 for forte e (1;−1) se a pessoa 2 for fraca.

Formulando esta situação como um jogo Bayesiano e encontrando os equilíbrios

bayesianos se α < 1 2 e se α > 1 2 .

Solução: O jogo Bayesiano é: N = {1, 2}; Ci = {L,E}, i ∈ N; T1 = {1}; T2 = {Ft,Fr};

p(Ft|1) = α; e as utilidades são dadas por:

• se o jogador 2 for forte:

• se o jogador 2 for fraco:

Seja σ1(L), σ2(L|Ft), e σ2(L|Fr) o perfil de estratégias misto. Então, a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar é 1, e de se entregar é 0. Logo, este

tipo do jogador 2 sempre luta, isto é em qualquer equilíbrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1. A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar é −σ1(L) + (1 − σ1(L)), e de se

entregar é 0. Portanto, ele irá lutar se σ1(L) < 1 2 ; se entregar se σ1(L) > 1 2 ; e é

indiferente se σ1(L) = 1 2 . A utilidade esperada do jogador 1 de lutar é α[σ2(L|Ft)

× (−1) + (1 − σ2(L|Ft))] + (1 − α) = 1 − 2ασ2(L|Ft), e de se entregar é 0. Portanto,

ele irá lutar se ασ2(L|Ft) < 1 2 ; se entregar se ασ2(L|Ft) > 1 2 ;

e está indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 . Como já vimos que em todo equilíbrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1, então o jogador 1 irá lutar se α < 1 2 , e se entregar se α

> 1 2 . Logo, se α < 1 2 ; então o único equilíbrio bayesiano é dado por σ1(L) = 1;

σ2(L|Ft) = 1; e σ2(L|Fr) = 0.

Se α > 1 2 ; então o único equilíbrio bayesiano é dado por σ1(L) = 0; σ2(L|

Ft) = 1; e σ2(L|Fr) = 1.

Em um problema de decisão ter mais informação nunca é prejudicial, pois o

tomador de decisão pode sempre ignorar a informação recebida. Em um jogo, isto

nem sempre é verdade. Se um jogador possui mais informação e os outros

jogadores souberem disso, então o jogador pode estar numa situação pior como

mostra o seguinte exemplo.

Exemplo: Considere que ambos jogadores consideram igualmente prováveis que

estão participando dos seguintes jogos, onde 0 < < ϵ 1 2 :

Ou

Então, a estratégia L é estritamente dominante para o jogador 2, pois se 1

escolher T, L terá uma utilidade esperada de 2 ϵ enquanto M e R terão utilidade

2 ϵ, e se 1 escolher B, L terá utilidade esperada 2, enquanto M e R terão

utilidade esperada 3 2 . Sabendo disto, 1 então escolherá B e no único equilíbrio

de Nash, teremos que ambos jogadores recebem 2.

Suponha agora que o jogador 2, antes do jogo recebe um sinal indicando

qual é o verdadeiro jogo. Neste caso, a estratégia R é estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo é o primeiro, enquanto que a

estratégia M é estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo é o segundo. Sabendo disto, o jogador 1, escolherá T. Então, neste equilíbrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3 <ϵ 2.

Então, ambos os jogadores saem perdendo com a informação extra

adquirida pelo jogador 2.