tema4 2 dy v

EDI 2009/10 1

4.2 Divide y Vencerás

● 4.2.1 Esquema de la técnica

● 4.2.2 Complejidad

● 4.2.3 Ejemplos� Búsqueda binaria

� Ordenación

� Multiplicación de matrices cuadradas

EDI 2009/10 2

4.2.1 Esquema de la

técnica Divide y Vencerás

● Descomponer el caso a resolver en subcasos

más pequeños del mismo problema.

● Resolver independientemente cada subcaso.

● Combinar los resultados para construir la

solución del caso original.

Este proceso se suele aplicar recursivamente.

La eficiencia de esta técnica depende de cómo se

resuelvan los subcasos.

EDI 2009/10 3

4.2.1 Esquema de la


Esquema en 3 etapas:

� División. Divide el problema original en k subproblemas de menor tamaño

� Conquistar. Estos subproblemas se resuelven independientemente:

� Directamente si son simples

� Reduciendo a casos más simples (típicamente de

forma recursiva)

� Combinar. Se combinan sus soluciones parciales para obtener la solución del problema original.

El caso más frecuente: k=2

EDI 2009/10 4

4.2.1 Esquema de la


funcion DivideYVenceras (c: tipocaso) : tiposolucion;

var

x1,..., xk : tipocaso;

y1,...,yk: tiposolucion;

si c es suficientemente simple entonces

devolver solucion_simple(c)

sino descomponer c en x1, ..., xk

para i← 1 hasta k hacer

yi ← DivideYVenceras (xi)

fpara

devolver combinar_solucion_subcasos(y1, ..., yk)

fsi

ffuncion

EDI 2009/10 5

4.2.1 Esquema de la


● El número de subejemplares, k, suele ser

pequeño e independiente del caso particular a

resolver.

● Cuando k = 1, el esquema divide y vencerás pasa

a llamarse reducción o simplificación.

● Algunos algoritmos de divide y vencerás pueden

necesitar que el primer subejemplar esté resuelto

antes de formular el segundo subejemplar.

EDI 2009/10 6

4.2.1 Esquema de la


● Para que el enfoque divide y vencerás merezca

la pena, se deben cumplir las siguientes

condiciones:

�Debe ser posible descomponer el caso a resolver en

subcasos.

�Se debe poder componer la solución a partir de las

soluciones de los subcasos de un modo eficiente.

�Los subejemplares deben ser, aproximadamente, del

mismo tamaño.

EDI 2009/10 7

4.2.1 Esquema de la


Cómo se determina el umbral.

● El umbral será un n0 tal que cuando el tamaño

del caso a tratar sea menor o igual, se resuelva

con un algoritmo básico, es decir, no se

generen más llamadas recursivas.

● La determinación del umbral óptimo, es un

problema complejo.

● Dada una implementación particular, puede

calcularse empíricamente.

EDI 2009/10 8

4.2.1 Esquema de la


● También puede emplearse una técnica híbrida

para su cálculo:

� Obtener las ecuaciones de recurrencia del algoritmo

(estudio teórico).

� Determinar empíricamente los valores de las

constantes que se utilizan en dichas ecuaciones para

la implementación concreta que estamos empleando.

� El umbral óptimo se estima hallando el tamaño n del

caso para el cual no hay diferencia entre aplicar

directamente el algoritmo clásico o pasar a un nivel

más de recursión.

EDI 2009/10 9

4.2.2 Complejidad

Sea n el tamaño de nuestro caso original y sea k el número de subcasos:

� Existe una constante b tal que el tamaño de los k subcasos es aproximadamente n/b

� Si g(n) es el tiempo requerido por el algoritmo divide y vencerás en casos de tamaño n, sin contar el tiempo necesario para realizar las llamadas recursivas ⇒

t(n) = k*t(n ÷ b) + g(n)� Donde t(n) es el tiempo total requerido por el algoritmo

divide y vencerás, siempre que n sea lo suficientemente grande.

EDI 2009/10 10

4.2.2 Complejidad

Si existe un entero p tal que g(n) ∈ Θ(np),

entonces podemos concluir que:

Esta solución está extraída del ejemplo 4.7.13 del libro �Fundamentos de

Algoritmia� de Barssard y Bratley.

T � n �={�� n p � kb p

} n = tamaño del problema

k = nº de subcasos

n/b = tamaño de los subcasos

EDI 2009/10 11

4.2.3 Ejemplos

Sea T[1..n] un vector ordenado tal que T[j] ≥ T[i]

siempre que n ≥ j ≥ i ≥ 1 y sea x un elemento. El

problema consiste en buscar x en el vector T.

Es decir, queremos hallar un i tal que n ≥ i ≥ 1

y x = T[i], si x ∈ T.

Búsqueda Binaria

EDI 2009/10 12

4.2.3 Ejemplos

El algoritmo secuencial de búsqueda estará en el

orden de O(n).

Mejor aproximación aprovechar la propiedad de

que el vector está ordenado.

Búsqueda Binaria

jkkiki

302423121097730-2

1110987654321

x = 8

sí

T[k] ≥ x?

j nonoij

k

EDI 2009/10 13

Identificación del problema con el esquema

● División: El problema se puede descomponer

en subproblemas de menor tamaño (k = 1)

● Conquistar: No hay soluciones parciales, la

solución es única

● Combinar: No es necesario.

4.2.3 EjemplosBúsqueda Binaria

EDI 2009/10 14

4.2.3 Ejemplos

Pasos del algoritmo de búsqueda binaria :

● Se compara x con el elemento que se encuentra en la

posición

● Si T[k] ≥ x la búsqueda continúa en T[i..k]

Si T[k] < x la búsqueda continúa en T[k+1..j]

● Los pasos 1 y 2 continuarán hasta

� localizar x, o

� determinar que no está en T

Búsqueda Binaria

k=i+j

2

EDI 2009/10 15

funcion busquedabin(T[1..n],x)

si x < T[1] o x > T[n] entonces

devolver n + 1

sino

devolver binrec(T[1..n],x)

fsi

ffuncion

funcion binrec (T[i..j],x)

{Búsqueda binaria de x en T[i..j] con la seguridad de que T[i-1] < x <= T[j]}

si i = j entonces

devolver I

sino

k ← (i + j) ÷ 2

si x <= T[k] entonces

devolver binrec(T[i..k],x)

sino

devolver binrec(T[k + 1..j],x)

fsi

fsi

ffuncion

Búsqueda Binaria

4.2.3 Ejemplos

EDI 2009/10 16

4.2.3 Ejemplos

Coste

g(n) ∈ Θ (np), en binrec g(n) ∈ O(1) = O(n0), p = 0

No combinamos soluciones: hay 1 caso ⇒ k = 1

En cada paso dividimos el tamaño del problema a la mitad ⇒ b = 2

k = bp ⇒ 1 = 20

T(n) ∈ Θ(np log n)⇒ T(n) ∈ Θ(log n)

Búsqueda Binaria

T � n �={�� n p � kb p

}

EDI 2009/10 17

4.2.3 Ejemplos

Dado un vector T[1..n], inicialmente

desordenado, lo ordenaremos aplicando la

técnica de Divide y Vencerás partiendo el

vector inicial en dos subvectores más

pequeños.

Utilizaremos dos técnicas:

� Ordenación por mezcla (mergesort)

� Ordenación rápida (quicksort)

Algoritmos de Ordenación

EDI 2009/10 18

4.2.3 Ejemplos


● División: El problema se puede descomponer en

subproblemas de menor tamaño (k = 2)

● Conquistar: Los subvectores se siguen

dividiendo hasta alcanzar un tamaño umbral

● Combinar: Dependerá del tipo de algoritmo

Algoritmos de Ordenación

EDI 2009/10 19

4.2.3 Ejemplos

Pasos del Algoritmo:

1. Dividir el vector en dos mitades

2. Ordenar esas dos mitades recursivamente

3. Fusionarlas en un solo vector ordenado.

Algoritmos de Ordenación. Mergesort

EDI 2009/10 20

853562971413

121110987654321

7

5

91413

64321

5

11

83562

1210987


413

321

971

654

562

987

853

121110

41

32

97

65

56

98

85

1211

3

1

1

2

4

3

1

4

7

5

9

6

2

7

6

8

5

9

3

10

5

11

8

12

431

321

7

5

94311

64321

65

98

652

987

6

11

85532

1210987

987655433211

121110987654321

4.2.3 Ejemplos

EDI 2009/10 21

procedimiento fusionar(U[1..m+1], V[1..n+1], T[1..m+n])

{Fusionar las matrices ordenadas U[1..m] y V[1..n] almacenándolas en T[1..m+n],U[m+1] y V[n+1] se utilizan como centinelas}

i, j ← 1

U[m+1], V[n+1] ← ∞

para k ← 1 hasta m+n hacer

si U[i] < V[j]entonces

T[k] ← U[i];

i ← i + 1

sino T[k] ← V[j];

j ← j + 1

fsi

fpara

fprocedimiento

4.2.3 EjemplosAlgoritmos de Ordenación. Mergesort

EDI 2009/10 22

procedimiento ordenarporfusión (T[1..n])

si n es suficientemente pequeño entonces ordenar(T) {P. ej. Ord. por inserción}

sino

vector U[1..1 + n/2], V[1..1 + n/2],U[1..n/2] ← T[1..n/2]V[1.. n/2] ← T[1 + n/2..n]ordenarporfusión(U[1.. n/2])ordenarporfusión(V[1.. n/2])fusionar(U,V,T)

fsi

fprocedimiento

4.2.3 EjemplosAlgoritmos de Ordenación. Mergesort

EDI 2009/10 23

4.2.3 Ejemplos

Coste

g(n) ∈ Θ (np), en mergesort g(n) ∈ Θ (n) = Θ (n1), p = 1

Dos subproblemas ⇒ k = 2


k = bp ⇒2 = 21

T(n) ∈ Θ(np log n)⇒ T(n) ∈ Θ(n log n)


T � n �={�� n p � kb p

}

EDI 2009/10 24

4.2.3 Ejemplos

Pasos del Algoritmo:

� Escoger un elemento de la matriz a ordenar

como pivote.

� Se parte el vector a ambos lados del pivote.

Los elementos mayores que el pivote se

almacenan a la derecha del mismo y los

demás a la izquierda.

� El vector se ordena mediante llamadas

recursivas a este algoritmo.

Algoritmos de Ordenación. Quicksort

EDI 2009/10 25

Selección del pivote:

Cualquier elemento es válido, lo más

sencillo es escoger el que ocupa la

primera posición del subvector

Mejor pivote: la mediana

4.2.3 EjemplosAlgoritmos de Ordenación. Quicksort

EDI 2009/10 26

14

10

8

11

4356-50634211749

12987654321p = 9

b = 1

i ji j

8 17

i jjj

21-5

i j

340

i

i

j i

96

0-5846

54321p = 6

b = 1

i ji

0 8

i

i

j i

-5 6


04-5

321p = -5

b = 1

i j

jj 04

32p = 4

b = 2

i

j

ij

40

40-5

321

8640-5

54321

14

10

17

11

4356213498640-5

12987654321

431714562134

121110987p = 34

b = 7

i ji j

5617

i

i

j i

3414

ji

172114

987p = 14

b = 7

jj

2117

j

1721

98p = 21

b = 8

i i

1721

211714

987

435634172114

121110987

i

j

4356

1211p = 56

b = 11

j i

5643

564334172114

121110987

34

10

43

11

5621171498640-5

12987654321

34

10

43

11

5621171498640-5

12987654321

34

10

43

11

5621171498640-5

12987654321

EDI 2009/10 27

procedimiento pivote (T[i..j]; var b)

p ← T[i]

k ← i

b ← j + 1

repetir

k ← k + 1

hasta que T[k] > p o k >= j frepetir

repetir

b ← b � 1

hasta que T[b] <= p frepetir

mientras k p frepetir

repetir

b ← b � 1

hasta que T[b] <= p frepetir

fmientras;

intercambiar T[i] y T[b]

fprocedimiento


EDI 2009/10 28

procedimiento ordenacion_rapida(T[i..j])

{Ordena la submatriz T[i..j] por orden no decreciente}

si j � i es suficientemente pequeño entonces

ordenar (T[i..j]) {P.ej., Ord. por inserción}

sino

pivote(T[i..j],b);

ordenacion_rapida (T[i..b-1])

ordenación_rapida (T[b+1..j])

fsi

fprocedimiento

EDI 2009/10 29

Coste:

● Si partimos de la hipótesis de que todos los elementos de T son diferentes ⇒ las n! permutaciones tienen la misma probabilidad

● El valor b devuelto por pivote(T[1..n],b) será un entero entre 1 y n con probabilidad 1/n

● pivote(T[1..n],b) requiere un tiempo g(n) ∈ Θ(n)


EDI 2009/10 30

� Si suponemos que: � el orden inicial del vector es aleatorio

� los elementos de T son diferentes en su mayoría

� todas las n! permutaciones de sus elementos son igualmente probables

� los subproblemas estarían equilibrados

El orden sería: O(n log n) � Aunque los subproblemas no estén del todo

equilibrados se suele asumir que el coste es O(n log n)


EDI 2009/10 31

� Los casos peores:

� el vector está inicialmente ordenado

� todos los elementos son iguales

⇒ p = i siempre 2 subproblemas:� uno de tamaño 0

� el segundo de tamaño j - i + 1

� El coste sería: O(n2)

En general, se suele considerar el caso promedio O(n log n)


EDI 2009/10 32

Sean A y B dos matrices de tamaño n x n,

se desea calcular su producto aplicando el

método de divide y vencerás.

Dos aproximaciones:

� cuando n es potencia de 2

� cuando n no es potencia de 2: Añadir filas y

columnas de ceros hasta que lo sea.

4.2.3 EjemplosMultiplicación de Matrices cuadradas

EDI 2009/10 33

4.2.3 EjemplosMultiplicación de Matrices cuadradas. Potencia de 2

4321B

4

3

2

1

1254

3645

5932

6326

4

3

2

1

A 4321

5727

3316

6483

3548

4321C

4

3

2

1

7678

6393

=X

C1,1 = A1,1 * B1,1 + A1,2 * B2,1 + A1,3 * B3,1 + A1,4 * B4,1

C1,2 = A1,1 * B1,2 + A1,2 * B2,2 + A1,3 * B3,2 + A1,4 * B4,2

C2,1 = A2,1 * B1,1 + A2,2 * B2,1 + A2,3 * B3,1 + A2,4 * B4,1

C2,2 = A2,1 * B1,2 + A2,2 * B2,2 + A2,3 * B3,2 + A2,4 * B4,2

EDI 2009/10 34


4321B

4

3

2

1

1254

3645

5932

6326

4

3

2

1

A 4321

5727

3316

6483

3548

4321C

4

3

2

1

7678

6393

=X

54

45

32

26

6483

3548

EDI 2009/10 35


4321B

4

3

2

1

1254

3645

5932

6326

4

3

2

1

A 4321

5727

3316

6483

3548

4321C

4

3

2

1

7678

6393

=X

54

45

32

266483

3548

8

4

3

8

6

3

4

5

3

2

2

6

5

4

4

5

EDI 2009/10 36

4.2.3 Ejemplos

4321B

4

3

2

1

1254

3645

5932

6326

4

3

2

1

A 4321

5727

3316

6483

3548

4321C

4

3

2

1

7678

6393

=X

3

2

2

6

5

4

4

5

*

*

30

34

28

56

46

44

35

37

=

=

Multiplicación de Matrices cuadradas. Potencia de 2

8

4

3

8

6

3

4

5+3

034

28

56 4

644

35

37 7

678

63

93

EDI 2009/10 37

4.2.3 Ejemplos

B4B3

B2B1

1254

3645

5932

6326

A4A3

A2A1

5727

3316

6483

3548

C4

C2

76

63

C3

78

93

C1

C1 = A1*B1 + A2*B3

64

35

3

2

2

6

54

45

8

4

3

8* + *

7678

6393=


EDI 2009/10 38

4.2.3 Ejemplos

B4B3

B2B1

1254

3645

5932

6326

A4A3

A2A1

5727

3316

6483

3548

C4

C2

76

63

C3

78

93

C1


B4

B3

B2

B1

64

35

A4

A3

A2

A1

8

4

3

8*

C1 = A1*B1 + A2*B3 8 5* + 4 4* =

C3C3

C2C1

=

56

56

EDI 2009/10 39


● División: El problema se puede descomponer

en subproblemas de menor tamaño (k = 4)

● Conquistar: Los submatrices se siguen

dividiendo hasta alcanzar un tamaño 1

● Combinar: sumar los resultados intermedios


EDI 2009/10 40

procedimiento multiplica (A,B: TipoMatriz; VAR C: TipoMatriz);

Var A11,A12,A21,A22,B11,B12,B21,B22,C11,C12,C21,C22,CAux: TipoMatriz;

si tamaño(A) = 1 entonces

C ← A*B

sino

DividirEnCuadrantes(A,A11,A12,A21,A22);

DividirEnCuadrantes(B,B11,B12,B21,B22);

para i ← 1 hasta 2 hacer

para j ← 1 hasta 2 hacer

Inicializa(Cij)

para k ← 1 hasta 2 hacer

multiplica(Aik,Bkj,CAux);

Suma(Cij,CAux)

fpara

fpara

fpara

ColocarCuadrantes(C,C11,C12,C21,C22);

fsi

fprocedimiento


EDI 2009/10 41

4.2.3 EjemplosMultiplicación de Matrices: Algoritmo de Strassen

b22

b21

b12

b11

a22

a12

a21

a11

* =c

11c

12

c21

c22

m1 = (a

21 + a

22 � a

11)(b

22 � b

12 + b

11)

m2 = a

11b

11

m3 = a

12b

12

m4 = (a

11 � a

21)(b

22 � b

12)

m5 = (a

21 � a

22)(b

12 � b

11)

m6 = (a

12-a

21+a

11-a

22)b

22

m7 = a

22(b

11-b

22-b

11-b

21)

c11

= m2 + m

3

c12

= m1 + m

2 + m

5 + m

6

c21

= m1 + m

2 + m

4 + m

7

c22

= m1 + m

2 + m

4 + m

5

Se reduce de 8 a 7 el número de productos necesarios

EDI 2009/10 42

● Si consideramos que cada componente aij y b

ij

pueden ser matrices de nxn este algoritmo resulta

interesante

● Sea t(n) en tpo necesario para multiplicar dos

matrices de tamaño n mediante el algoritmo de

strassen:

t(n) = 7t(n/2) + g(n)

● g(n) es suma de matrices de tamaño n:

g(n) ∈ Θ(n2)

4.2.3 EjemplosMultiplicación de Matrices: Algoritmo de Strassen

EDI 2009/10 43

4.2.3 Ejemplos

Coste

g(n) ∈ Θ (np), en Strassen g(n) ∈ O(np) = O(n2), p = 2

hay 7 subcasos ⇒ k=7


k > bp ⇒ 7 = 22

T(n) ∈ Θ(nlogbk )⇒ T(n) ∈ Θ(nlg(7) )

Multiplicación de Matrices: Algoritmo de Strassen

T � n �={�� n p � kb p

}

tema4 2 dy v

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