FERNANDO DAVID ANILLO

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1. Gráfica de la función lineal …………………….. 03

2. Gráfica de la función cuadrática ……………… 08

3. Ecuaciones Lineales ………………………………. 11

4. Ecuaciones Cuadráticas ………………………….. 15

Webgrafía ………………………………………………. 17

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Primero vamos a definir la . Es una función de la forma:

Fíjate bien: tiene dos variables, una independiente que es x y otra dependiente

que es y. El valor de y depende del valor que le demos a la x. En este caso la y

está despejada, pero también podemos expresar una función lineal de la forma:

En ambos casos las variables x y y son de primer grado (tienen exponente 1).

Esto es fundamental, es lo que nos dice que en efecto de trata de una función

lineal.

Imagino que necesitarás unos ejemplos, así que colocaré algunos.

Si en una tienda venden gaseosas a $1200, cuando el tendero

va a cobrar, aunque no lo sepa, utiliza la siguiente función lineal (definida en los

números naturales):

, aquí la es la cantidad de gaseosas que el usuario compra y el

dinero que debe pagar por ellas.

La siguiente es una tabla que ilustra las tarifas de un parque

de diversiones.

Nombre del parque Parque Locura

Valor de la entrada por persona $2000

Valor de la entrada por atracción $300

La función , nos permite saber cuánto debe pagar una persona que ha comprado x cantidad de boletas para utilizar las atracciones del Parque Locura.

1. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL

ax + by = c

y=mx+b

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Ahora vamos con la gráfica.

Tiene dos características fundamentales que puedes predecir a partir de su

ecuación:

es el punto donde la recta corta el eje y, y en

la ecuación es siempre el término independiente: .

es la inclinación de la recta con respecto al eje x (llamado eje

de las abcisas). En la ecuación siempre corresponde al coeficiente

de la x:

El signo de m nos determina además hacia donde se inclina la recta.

Si (positiva), la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la

parte positiva del eje x es agudo.

Si (negativa), la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la

parte positiva del eje x es obtuso.

Puedes observarlo mejor en la siguiente gráfica:

La gráfica de una función lineal es siempre una línea recta

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Volvamos a nuestros ejemplos.

En el ejemplo 1, , no hay término independiente, por lo tanto la gráfica

corta el eje y en . El coeficiente de la x es , esa será la pendiente.

En el ejemplo 2, , la gráfica corta al eje y en y la pendiente

es .

Para graficar una función lineal es suficiente con hallar los interceptos con los

ejes x y y, es decir los puntos en que la gráfica corta esos ejes, lo cual ocurre

cuando y=0 y x=0, respectivamente.

Veamos algunos ejemplos.

Queremos graficar la función , el intercepto con el eje

y ya sabemos que es . Falta hallar el intercepto con el eje x, para eso

asignamos el valor cero a la y y despejamos la x:

Ya podemos hacer nuestra gráfica, pero antes haremos una tabla para ubicarnos

mejor:

Colocamos en el plano cartesiano los puntos (0,-6) y (2,0) (azul y rojo

respectivamente en la gráfica), unimos los puntos… y listo.

Mira como queda:

0 2

-6 0

= 3x – 6 Escribimos la ecuación original

= 3x Cambiamos la y por cero

= x Trasponemos el -6 (cambia de signo)

6/ = x Despejamos la x (el 3 pasa a dividir)

2 = x Resolvemos la división

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Un ejemplo más…

Grafiquemos,

El intercepto con y es . Hacemos y=0, y despejamos x para hallar el intercepto

con el eje x.

La tabla nos queda así:

Y esta es la gráfica:

x 0 9/2

y 9 0

= -2x + 9 Escribimos la ecuación original

= + 9 Cambiamos la y por cero

= 9 Trasponemos -2x (cambia de signo)

x = 9/ Despejamos la x (el 2 pasa a dividir)

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Si la función está expresada de la forma , debes despejar ambas

variables.

Graficar

Los interceptos son (0,3/2) y (2,0). Esta es la gráfica:

Si x=0, 3x también es cero

nos queda:

-4 pasa a dividir:

Simplificamos:

Si y=0, -4y también es cero

nos queda:

3 pasa a dividir:

Dividimos:

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Después de haber graficado funciones lineales no te será difícil graficar

funciones cuadráticas.

Empecemos por definirlas. Una es una función de la

forma

a tiene que ser diferente de cero.

Al graficar una función cuadrática obtenemos una curva llamada parábola.

También tiene características que puedes deducir de su ecuación.

Si el coeficiente de a es positivo, , la parábola abre hacia arriba, y si a

es negativo, , la parábola abre hacia abajo.

La parábola corta el eje y en

El vértice estará en

Veamos dos ejemplos:

Tenemos la función:

El coeficiente de es positivo, por lo tanto la parábola abre hacia arriba.

El término independiente es , así que la parábola corta el eje y en (punto

azul).

El vértice debe estar ubicado en , vamos a obtenerlo:

2. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

y=ax2+bx+c

Escribimos la fórmula

Reemplazamos el valor de a y b -(-6)/2(3)

Resolvemos los productos 6/6

Dividimos

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El vértice está ubicado en Podemos hallar el valor de y reemplazando ,

en la función:

Por lo tanto, el vértice de la parábola es el punto (1, -4). Al graficarla nos queda

así:

Más adelante veremos cómo hallar los interceptos con el eje x y qué

representan.

Vamos a graficar la función:

El coeficiente de es , por ser negativo la parábola abre hacia abajo.

El término independiente es , ese será el punto de corte con el eje y.

Escribimos la función:

Reemplazamos el valor de : y=3( )2-6( )-1

Resolvemos la potencia y el producto: y=3-6-1

Reducimos:

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Hallemos las coordenadas del vértice:

Reemplazamos en la función para obtener el valor de y:

El vértice de la parábola es: (-3/2, 17/4)

Y nuestra gráfica queda así:

Escribimos la fórmula

Reemplazamos el valor de a y b -(-3)/2(-1)

Resolvemos los productos 3/-2

Dividimos

Escribimos la función:

Reemplazamos el valor de : y=-( )2-3( )+2

Resolvemos la potencia y el producto: y=-9/4+9/2+2

Reducimos:

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Primero aclaremos que es una ecuación.

Llamamos a una igualdad que contiene una o más cantidades

desconocida llamadas incógnitas.

es una igualdad pero no es una ecuación porque no tiene incógnitas.

no es una ecuación porque tiene incógnitas pero no es una igualad.

si es una ecuación porque cumple con la definición.

Existen diferentes tipos de ecuaciones de acuerdo a las expresiones que las

forman: ecuaciones algebraicas, exponenciales, trigonométricas, etc. Dentro de

las ecuaciones algebraicas están las ecuaciones lineales y cuadráticas que

estudiaremos en este módulo.

Como una ecuación es una igualdad, siempre estará formada por dos

miembros, el primer miembro es el que se encuentra antes del igual, y el

segundo miembro es el que se encuentra después del igual. Cada miembro

está formado por términos. Los términos que no tengan incógnita reciben el

nombre de términos independientes.

Ya estamos listos para definir la ecuación lineal.

: Es una ecuación de primer grado, es decir, una ecuación en

la cual las incógnitas aparecen con grado (exponente) 1: .

Las ecuaciones lineales con una incógnita tienen la forma , y con dos

incógnitas son la forma .

Solucionar o resolver una ecuación significa hallar el valor o valores de la

incógnita que satisfacen la ecuación dada, es decir, hallar un número que

podemos escribir en lugar de la incógnita para obtener una igualdad.

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita utilizaremos la Ley

de trasposición de términos, la cual permite que una cantidad, si está

sumando pase a restar al otro miembro y viceversa, y si está multiplicando pase

3. ECUACIONES LINEALES

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a dividir y viceversa.

Vamos ahora a estudiar la solución de varias formas de ecuaciones lineales

mediante ejemplos.

Podemos resolver ecuaciones de la forma teniendo en cuenta los

siguientes pasos:

1. Se transponen términos, dejando en el primer miembro los términos que

contengan la incógnita y en el segundo miembro los términos independientes.

2. Se reducen los términos semejantes en cada miembro.

3. Se despeja la incógnita pasando a dividir el coeficiente de la incógnita.

Resolver la ecuación

Vamos a dejar del lado izquierdo del igual, los términos que tienen x y del lado

derecho los términos independientes. Para hacerlo, bajamos y luego

trasponemos cambiándole el signo (está con más pasa con menos). Luego

escribimos el igual, bajamos el trasponemos el cambiándole el signo

(está con menos pasa con más).

Reducimos los términos semejantes teniendo en cuenta que si son de igual

signo de suman y se coloca elmismo signo,y si son de signo diferente se restan

y se coloca el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Despejamos la x pasando a dividir su coeficiente (el 3 está multiplicando… pasa

a dividir)

Resolvemos la división. Cuando no sea exacta simplificamosla fracción obtenida.

5x-2x = 10+11

3x = 21

x = 21/3

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es la solución de la ecuación:

1. Eliminamos los paréntesis.

2. Procedemos como en el caso anterior

Veamos un ejemplo:

Queremos resolver la ecuación:

Eliminamos los paréntesis multiplicando el número que lo precede por cada

término que hay dentro de él.

La solución de la ecuación es

1. Quitamos lo denominadores

2. Procedemos como en el caso anterior (II)

Resolveremos un ejemplo.

Escribimos la ecuación 3(2x-5) = 4 -2(x+6)

Eliminamos paréntesis 6x-15 = 4 -2x – 12

Trasponemos términos: 6x+2x = 4-12+15

Reducimos términos semejantes: x = 7

Se despeja la incógnita x = 7/

x = 7

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Para quitar los denominadores hallamos el m.c.m (mínimo común múltiplo) de

ellos.

En nuestro ejemplo los denominadores son el y el y el m.c.m es el (el

mayor número que divide a ambos)

es la solución de la ecuación

Escribimos la ecuación:

Multiplicamos toda la ecuación por el mcm (6)

Nos queda: 3(x-3)-(4x+5) = -30

Resolvemos los productos 3x-9-4x-5 = -30

Trasponemos términos: 3x-4x = -30+9+5

Reducimos términos semejantes: -x = -16

Multiplicamos por -1:

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Antes de aprender a resolver ecuaciones cuadráticas, veamos su definición. Una

(o de segundo grado) es una ecuación que tiene la

forma:

a, b y c son números reales, pero a tiene que ser diferente de cero (dejaría de

ser de segundo orden). Aquí tenemos algunos ejemplos:

a) x2 x = 0 a = 9, ,

b) x2 - 9x = 0 a = 1, b = -9, c = 0

c) -6x 2 + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10

La primera es una ecuación cuadrática completa, la segunda y la tercera son incompletas porque les falta un término debido a que c y b son cero (respectivamente).

Una ecuación cuadrática puede tener 1, 2 o ninguna solución.

Existen varios métodos para resolverlas:

1. Factorización 2. Fórmula general o cuadrática 3. Completando el trinomio cuadrado perfecto.

En este módulo no estudiaremos el tercer método (con los dos primeros puedes resolver cualquier ecuación cuadrática).

Es recomendable cuando . Es decir cuando la

ecuación es de la forma:

Para resolver una ecuación cuadrática por este método factorizamos el trinomio

(ver Unidad 2) y luego igualamos a cero cada factor.

4. ECUACIONES CUADRÁTICAS

ax2+bx+c=0

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Resolver la ecuación

La ecuación tiene dos soluciones: y

LaPara resolver una ecuación cuadrática por este método, debemos aplicar la

fórmula :

Resolver la ecuación

La ecuación tiene dos soluciones: y .

Escribimos la ecuación Factorizamos el trinomio: (x-6).(x+2)=0 Igualamos a cero cada factor: x-6=0 ó x+2=0 Despejamos x: ó

Escribimos la ecuación

Identificamos los valores de a, b y c: a=3, b=-8, c=-11

Escribimos la fórmula general: 𝑥 =;𝑏± 𝑏2;4𝑎𝑐

2𝑎

Reemplazamos a, b y c: 𝑥 =;(;8)± (;8)2;4(3)(;11)

2(3)

Resolvemos productos y potencias 𝑥 =8± 64:132

6

Resolvemos la operación del radical 𝑥 =8± 196

6

Sacamos la raíz cuadrada 𝑥 =8±14

6

Resolvemos tomando el +: =8:14

6=22

6=

Resolvemos tomando el - : =8;14

6=;6

6=

𝒙 =−𝒃± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

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Ecuaciones y sistemas.

http://descartes.cnice.mec.es/edad/4esomatematicasB/ecuaciones/index_quince

na4.htm

Ecuaciones lineales.

http://www.skoool.es/content/los/maths/linear_eq/launch.html

Ecuaciones de segundo grado.

http://www.skoool.es/content/ks4/maths/simple_quadratics/index.html

Código secreto. Concepto y solución de ecuaciones lineales.

http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica8/recursos/codigo_s

ecreto/es_animacion.html

Álgebra con papas. Tests interactivos.

http://www.amolasmates.es/algebraconpapas/recurso/index.htm

WEBGRAFÍA