resolucion practica 2………………auxiliar wilson pizarro puquimia
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RESOLUCION PRACTICA 2………………AUXILIAR WILSON PIZARRO PUQUIMIA
MAT 233
1
Ejercicios.
1. Si en una prueba de examen compone de 12 preguntas con Opciones verdadero-falso.
a. De cuantas maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada
pregunta.
F o V
Se escoge solo uno no importa el orden:
2ℂ1 =2!
1! 2 − 1 != 2
b. De cuantas formas diferentes puede contestar la prueba.
1º Forma por arbóreo
Cada camino representa una forma de resolver el examen:
2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 =
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 212 = 4096
1 º
2º
3º
4º...
4º
3º
2º
3º
3º
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2º Forma por permutaciones
Preg. 1º F 2º F 3º F 4º F 5º F 6º F 7º F 8º F 9º F 10º F 11º F 12º F 13º F
1 F V V V V V V V V V V V V
2 F F V V V V V V V V V V V
3 F F F V V V V V V V V V V
4 F F F F V V V V V V V V V
5 F F F F F V V V V V V V V
6 F F F F F F V V V V V V V
7 F F F F F F F V V V V V V
8 F F F F F F F F V V V V V
9 F F F F F F F F F V V V V
10 F F F F F F F F F F V V V
11 F F F F F F F F F F F V V
12 F F F F F F F F F F F F V
Para la 1º Forma y la 13º Forma No importa el orden
12ℂ12 = 1
De la 2º Forma a 12º Forma importa el orden entonces tenemos
𝑛!
𝑛1! × 𝑛2! × … × 𝑛𝐾!
Entonces tenemos
12ℂ12 +12!
1! × 11!+
12!
2! × 10!+
12!
3! × 9!+
12!
4! × 8!+
12!
5! × 7!+
12!
6! × 6!+
12!
7! × 5!+
12!
8! × 4!
+12!
9! × 3!+
12!
10! × 2!+
12!
11! × 1!+ 12ℂ12 =
1 + 12 + 66 + 220 + 495 + 792 + 924 + 792 + 495 + 220 + 66 + 12 + 1 = 4096
c. Sí anticipadamente el profesor le dice que la primera pregunta es verdadera,
¿cuántas maneras tiene de contestar esta prueba?.
Si nos dan una respuesta tenemos 11 preguntas y se resuelve del mismo modo por analogía
2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 × 2ℂ1 =
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 211 = 2048
11ℂ11 +11!
1! × 10!+
11!
2! × 9!+
11!
3! × 8!+
11!
4! × 7!+
11!
5! × 6!+
11!
6! × 5!+
11!
7! × 4!+
11!
8! × 3!
+11!
9! × 2!+
11!
10! × 1!+ 11ℂ11 =
1 + 11 + 55 + 165 + 330 + 462 + 462 + 330 + 165 + 55 + 11 + 1 = 2048
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2. La Selección Boliviana tiene 3 suplentes. Cuantos Equipos podemos formar si:
a. No se Pone ninguna restricción.
14ℂ11 =14!
11! 14 − 11 != 364
b. No se puede cambiar al arquero.
13ℂ10 =13!
10! 13 − 10 != 286
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c. No se puede cambiar al arquero y la los tres delanteros.
10ℂ7 =10!
7! 10 − 7 != 120
d. Solo se debe cambiar a dos delanteros
5ℂ2 =5!
2! 5 − 2 != 10
3. ¿Cuántos números de cinco cifras se puede formar con los dígitos en forma física 1, 2, 3,
4, 5,…9 sí?
a. Los números deben ser impares.
8Ρ4 × 5Ρ1 =8!
8 − 4 !×
5!
5 − 1 != 1680 × 5 = 8400
#
#
#
#
#
# # I
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b. Las primeras dos cifras de cada número deben ser pares.
4Ρ2 × 7Ρ3 =4!
4 − 2 !×
7!
7 − 3 != 12 × 210 = 2520
c. Las primeras cifras deben ser impares.
5Ρ1 × 8Ρ4 =5!
5 − 1 !×
8!
8 − 4 != 5 × 1680 = 8400
4. ¿De cuantas formas pueden sentarse tres hombres y tres mujeres alrededor de una mesa
sí?
a. No se pone ninguna restricción.
Como se usa en la mesa uno de pivote
5Ρ5 =5!
5 − 5 != 5! = 120
b. Dos mujeres determinadas no deben sentarse juntas.
3Ρ1 × 4Ρ4 =3!
3 − 1 !×
4!
4 − 4 != 3 × 4! = 72
MESA
/
/
/
/
/
/
MESA
M1
M
H
H
M2
H
P
#
#
P
# # #
I
#
#
#
# # #
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OTRA FORMA
Primero hacemos el caso de que las dos mujeres estuvieran juntas
Se toma a las 2 mujeres como una persona
2Ρ2 × 4Ρ4 =2!
2 − 2 !×
4!
4 − 4 != 2! × 4! = 48
Ahora se resta de todos los casos posibles 120 − 48 = 72
c. Dos hombres determinados deben sentarse siempre juntos.
Se toma a los 2 hombres como una persona
2Ρ2 × 4Ρ4 =2!
2 − 2 !×
4!
4 − 4 != 2! × 4! = 48
d. Cada mujer debe estar sentada entre dos hombres.
2Ρ2 × 3Ρ3 =2!
2 − 2 !×
3!
3 − 3 != 2! × 4! = 12
MESA
H
M
H
H
M2
M1
MESA
M
M
H
M
H2
H1
MESA
H
M
H
M
H
M
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5. ¿De cuantas formas pueden ordenarse siete libros en un estante sí?
a. Es posible cualquier ordenación.
7Ρ7 =7!
7 − 7 != 7! = 5040
b. Tres libros determinados deben estar siempre juntos.
3Ρ3 × 5Ρ5 =3!
3 − 3 !×
5!
5 − 5 != 3! × 5! = 720
c. Dos libros determinados deben ocupar los extremos.
2Ρ2 × 5Ρ5 =2!
2 − 2 !×
5!
5 − 5 != 2! × 5! = 240
d. Un libro determinado no debe ocupar los extremos.
5Ρ1 × 6Ρ6 =5!
5 − 1 !×
5!
5 − 5 != 5 × 6! = 3600
OTRA FORMA
Se realiza primero todos los casos en que el libro ocupe los extremos
2Ρ1 × 5Ρ5 =2!
2 − 2 !×
6!
6 − 6 != 2! × 6! = 1440
Ahora restamos del total de número de ordenaciones
5040 − 1440 = 3600
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6. ¿De cuantas formas se puede seleccionar dos hombres, cuatro mujeres, tres niños, tres
niñas, de un total de seis hombres, ocho mujeres, cuatro niños, cuatro niñas, sí?
a. No se pone ninguna restricción.
6ℂ2 × 8ℂ4 × 4ℂ3 × 4ℂ3 =
6!
2! 6 − 2 !×
8!
4! 8 − 4 !×
4!
3! 4 − 3 !×
4!
3! 4 − 3 != 16800
b. Debe seleccionarse un hombre y una mujer determinados.
5ℂ1 × 7ℂ3 × 4ℂ3 × 4ℂ3 =
5!
1! 5 − 1 !×
7!
3! 7 − 3 !×
4!
3! 4 − 3 !×
4!
3! 4 − 3 != 2800
c. Debe seleccionarse un hombre, una mujer, un niño y una niña determinados.
5ℂ1 × 7ℂ3 × 3ℂ2 × 3ℂ2 =
5!
1! 5 − 1 !×
7!
3! 7 − 3 !×
3!
2! 3 − 2 !×
3!
2! 3 − 2 != 1575
7. Con Cinco Técnicos y Seis Ingenieros se quiere formar comité de tres Técnicos y dos
Ingenieros ¿Cuántos comités diferentes pueden formarse sí?
a. No se pone ninguna restricción.
5ℂ3 × 6ℂ2 =5!
3! 5 − 3 !×
6!
2! 6 − 2 != 150
b. Dos Técnicos determinados deben estar en el comité.
3ℂ1 × 6ℂ2 =3!
1! 3 − 1 !×
6!
2! 6 − 2 != 45
c. Un Ingeniero determinado no debe estar en el comité.
5ℂ3 × 5ℂ2 =5!
3! 5 − 3 !×
5!
2! 5 − 2 != 100
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d. Un Ingeniero y un Técnico determinado debe estar en el comité.
4ℂ2 × 5ℂ1 =4!
2! 4 − 2 !×
5!
1! 5 − 1 != 30
8. Con siete consonantes y cinco vocales diferentes. ¿Cuántas palabras se puede formar?,
a. Que consten de cuatro consonantes y tres vocales?
No es necesario que las palabras tengan significado.
7ℂ4 × 5ℂ3 × 7P7 =7!
7! 7 − 4 !×
5!
3! 5 − 3 !× 7! = 17640000
b. Que consten de tres consonantes y tres vocales?
7ℂ3 × 5ℂ3 × 6P6 =7!
7! 7 − 3 !×
5!
3! 5 − 3 !× 6! = 252000
9. Con las monedas y los billetes en nuestro sistema monetario en forma física 10 c, 20 c, 50
c, 1 Bs, 2 Bs, 5 Bs, 10 Bs, 20 Bs, 50 Bs, 100 Bs, 200 Bs.
a. Cuantas cantidades es posible formar.
11ℂ1 + 11ℂ2 + 11ℂ3 + 11ℂ4 + 11ℂ5 + 11ℂ6 + 11ℂ7 + 11ℂ8 + 11ℂ9 + 11ℂ10 + 11ℂ11= 2047
b. Cuantas cantidades con las monedas se puede formar.
6ℂ1 + 6ℂ2 + 6ℂ3 + 6ℂ4 + 6ℂ5 + 6ℂ6 = 63
c. Cuantas cantidades con los billetes se puede formar.
5ℂ1 + 5ℂ2 + 5ℂ3 + 5ℂ4 + 5ℂ5 = 31
10. Con 5 bolillas rojas, 3 bolillas azules y 2 bolillas blancas, Cuantos grupos de tres bolillas
es posible formar
a. Que sean de diferente color.
5ℂ1 × 3ℂ1 × 2ℂ1 =5!
1! 5 − 1 !×
3!
1! 3 − 1 !×
2!
1! 2 − 1 != 30
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b. Dos sean rojas y una cualquiera.
5ℂ2 × 5ℂ1 =5!
2! 5 − 2 !×
5!
1! 5 − 1 != 50
c. Una sea roja y dos cualquiera
5ℂ1 × 5ℂ2 =
5!
1! 5 − 1 !×
5!
2! 5 − 2 != 50
11. Se tiene 60 alumnos en el salón,
a. ¿Cuántos equipos de Futbol de Salón es posible formar?
60ℂ5 =60!
5! 60 − 5 != 5461512
b. ¿Cuántos equipos de Futbol es posible formar?
60ℂ11 =60!
11! 60 − 11 != 3.427001253 × 1011
12. Se tiene 60 alumnos en el salón, 10 Mujeres y 50 Hombres
a. ¿Cuántos equipos de Volibol es posible formar, que compongan de 2 Mujeres?
50ℂ4 × 10ℂ2 =50!
4! 50 − 4 !×
10!
2! 10 − 2 != 10363500
b. ¿Cuántos equipos de Volibol es posible formar, que compongan de 3 Mujeres?
50ℂ3 × 10ℂ3 =50!
3! 50 − 3 !×
10!
3! 10 − 3 != 2352000