representación de coordenadas en los antiguos mapas griegos
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Representación de coordenadas en los antiguos mapas griegos
Pablo Cayuela, UTN FRC, UCC, UNC, [email protected]
Resumen
En el intento de representación de la Cielo y Tierra esféricos en forma plana para plasmarla en
mapas y cartas, los antiguos griegos desarrollaron distintos sistemas de coordenadas y
proyecciones. Algunos de las más conocidos son aquellos propuestos por Claudio Ptolomeo en
sus obras Almagesto (Μαθηµατικὴ Σύνταξις) y Geografía (Γεωγραφικὴ Ὑφήγησις), en los que se
desarrollan varios sistemas de coordenadas, tanto esféricos como planos, que incluyen
proyecciones planas y al menos una tridimensional.
Estas obras de Ptolomeo son las más acabadas y completas muestras que tenemos del uso de
coordenadas y su correspondiente representación en un plano o diagrama, en incluso en un
sólido. Sí se puede inferir de sus citas y de obras anteriores que hubo grandes predecesores
fundamentales que sentaron las bases de la dualidad coordenada numérica / diagrama gráfico.
Estos métodos constituyen de por sí, funciones definidas por puntos y rectas en sistemas
coordenados explícitos e implícitos. También se puede ver en ello un germen de la futura
representación de ecuaciones algebraicas versus diagrama gráfico, que se hizo plenamente viable
recién con la propuesta y desarrollo de Descartes y otros hombres de ciencia.
Introducción
Cielo y Tierra esféricos
La convicción de una Tierra y un cielo esféricos es una manifestación evidente de los trabajos
de los antiguos escritores griegos posteriores al siglo V a.C. en los que progresivamente se van
desarrollando herramientas para la representación de las estrellas del cielo (y su seguimiento) y las
tierras y mares del mundo conocido. Una de estas manifestaciones más acabadas es la propia obra
de Claudio Ptolomeo1, autor del Almagesto, un acabado tratado astronómico y matemático sobre
el sistema geocéntrico que incluye el más completo catálogo estelar de la antigüedad, así como de
la Geografía, manual de cartografía matemática con el mayor relevamiento geográfico del mundo
conocido en su época.
1 O.A.W. Dilke. The Culmination of Greek Cartography in Ptolemy, The History of Cartography, Vol.1.
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Sus ideas pueden rastrearse hasta su génesis en autores tanto contemporáneos como otros que
lo precedieron por siglos. Entre estos se encuentran Eratóstenes, Hiparco, Posidonio y Marino de
Tiro2.
La medición de la Tierra y los primeros mapas
Eratóstenes de Cirene
La medición de la circunferencia y la eclíptica terrestre se atribuye a Eratóstenes en escritos de
posteriores autores, y en especial en la obra de Cleomedes, La procesión circular de los cuerpos
celestes3, donde se suele describir la manera en que lo hizo.
El método consistía según estas explicaciones, en medir el ángulo que forma la sombra de un
gnomon con éste en un punto conocido de la Tierra cuando el sol está en el cenit durante el
solsticio de verano. Este lugar se dice que era la ciudad de Alejandría en el delta del Nilo al norte
de Egipto. Luego se debe verificar con el sol en el cenit un lugar en el mismo meridiano, en el
que el gnomon no proyecta sombra durante el solsticio antes dicho. Se dice que esto sucedía en
Siena en el sur de Egipto. Si se conoce la distancia entre ambas se tiene que el ángulo medido de
la primera sombra de gnomon es a la distancia entre esas ciudades, como una vuelta completa es
a la circunferencia de la Tierra (Figura 1). Según algunos antiguos autores esto brindó una cifra de
250.000 estadios, corregidos a 252.000 según razones diversas y no develadas completamente,
cifra adoptada por Ptolomeo para su Almagesto.
Se atribuye también a Eratóstenes (en la Geografía de Estrabón), la realización de mapas del
mundo conocido a través de relevamientos de la posición relativa a puntos conocidos de la
antigüedad, tomados como referencia para establecer un sistema básico de paralelos y meridianos
no uniformemente distribuidos, pero que resultan ser la primera manifestación explícita del uso
de latitud y longitud numérica en formato de pares ordenados, a ser representados según una
proyección aproximadamente rectangular (Figura 2).
Hiparco de Nicea
La obra de Hiparco se considera parcialmente conservada por el uso extensivo que hace
Ptolomeo de ella en su Almagesto y por las referencias hechas por Estrabón en su obra
2 Dennis Rawlins. The Ptolemy Geography’s Secrets, DIO, Vol. 14.
3 Cleomedes. La procesión circular de los cuerpos celestes, traducción castellana de Claudio R. Varela
y H. L. Neira, Bs. As., 2011.
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Geografía. Sele atribuye el perfeccionamiento de las mediciones del ángulo de la eclíptica terrestre
y el primer catálogo estelar extensivo.
Figura 1. Método de medición de la circunferencia de la Tierra atribuido a Eratóstenes (tomada de
History of Cartography, Vol.1, Chapter 94)
Figura 2. El mapa reconstruido y atribuido a Eratóstenes (tomada de la tesis de maestría
Reconstructing Eratosthenes’ Map of the World: A Study in Source Analysis, de Cameron McPhail5)
4 Germaine Aujac et al. The Growth of an Empirical Cartography in Hellenistic Greece, The History of
Cartography, Vol.1.
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Posidonio
La obra de Posidonio sobre geografía ha sido recogida en el texto de Cleomedes ya citado, que
se supone reproduce en buena medida o al menos expone su sistema.
Posidonio realizó según aquel, mediciones diversas sobre la circunferencia de la Tierra con el
método de la estimación de altura de una estrella conocida (Canopus) en dos puntos del globo
sobre el mismo meridiano (Rodas y Alejandría), obteniendo primero 240.000 estadios corregidos
finalmente a 180.000 (a partir de la distancia de 5.000 estadios entre ciudades según unos, y 3.450
según Eratóstenes), cifra que también emplearía Marino de Tiro y a su vez Ptolomeo para sus
obras geográficas.
Críticas al método de Eratóstenes
El método y la medición resultante atribuidos a Eratóstenes por Cleomedes, ha sido
cuestionado como poco probable por diversas razones, entre otros por investigadores como
Aubrey Diller6 y Dennis Rawlins7. Las verificaciones de los cálculos y métodos empleados en la
antigüedad griega muestran que es posible obtener las dos medidas típicas de su tiempo, mediante
dos experimentos más sencillos que el difundido de Eratóstenes.
Uno de estos métodos involucra la medición de la distancia a la cual una altura conocida se
pierde de vista al nivel del mar, tomadas ambas en la misma latitud (Figura 3).
El otro método involucra medir la diferencia de tiempo de la puesta de sol desde dos alturas
diferentes y conocidas, también en la misma latitud (Figura 4). Requiere de cálculos de
trigonometría esférica si no se está sobre el Ecuador pues se debe corregir en función de la latitud
relativa.
En ambos casos se comete un error por la refracción de los rayos de luz al atravesar la
atmósfera terrestre, lo que causa una desviación de 6/5 y 5/6 del valor medido actual del radio
terrestre, esto es un 20% en exceso y un 16% en defecto respectivamente para cada esquema.
5 Cameron McPhail. Reconstructing Eratosthenes’ Map of the World: A Study in Source Analysis,
thesis submitted for the degree of Master of Arts, at the University of Otago, Dunedin, New Zealand,
February 2011.
6 Aubrey Diller. The Ancient Measurements of the Earth, ISIS, Vol. 40, No. 1, pp. 6-9, 1949.
7 Dennis Rawlins. Eratosthenes: Pharos Truth behind Alexandria-Aswan Myth, DIO, Vol. 14.
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Figura 3. Esquema de medición del radio de la Tierra mediante el método de la pérdida de vista de
una altura conocida al nivel del mar (tomada de DIO Vol.14)
Figura 4. Esquema de medición del radio de la Tierra mediante el método de las dos puestas de Sol
(tomada de Doubling Sunsets, Dennis Rawlins8)
Estos experimentos verifican las dos medidas más difundidas de la medición de la
circunferencia terrestre, la de Eratóstenes de 250.000 o 252.000 estadios y la de Posidonio-
Marino-Ptolomeo de 180.000 estadios, no así el método de Eratóstenes según Cleomedes. El
8 Dennis Rawlins. Doubling Your Sunsets or How Anyone Can Measure the Earth's Size with
Wristwatch and Meterstick, American Journal of Physics, v47 n2 p126-28 Feb 1979.
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promedio de estas dos medidas antiguas brinda el más cercano valor a las mediciones actuales,
esto es 216.000 estadios o poco más de 40.000 kilómetros, aunque no se ha encontrado registro
alguno hasta ahora que corrobore su uso en la antigüedad.
Marino de Tiro
Ptolomeo basa su trabajo sobre la obra, perdida para nosotros, que atribuye al geógrafo o
cartógrafo bajo el sugerente y ambiguo nombre de Marino de Tiro9.
Figura 5. Reconstrucción del mapa de Marino de Tiro, según Michael J. Ferrar10
Figura 6. Reconstrucción alternativa del mapa de Marino de Tiro, según Ibarra Grasso, sobre modelo
de Michael J. Ferrar, hecha por Pablo Cayuela
9 Dennis Rawlins. The Ptolemy Geography’s Secrets, DIO, Vol. 14.
10 Michael J. Ferrar. The Maps of Marinus the Tyrian: A Reconstruction with Information Taken from
Geographike Hyphegesis, Book 1, Chapters 6-20, By Claudius Ptolemy.
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Dado de que buena parte de las críticas y modificaciones de Ptolomeo a la obra de Marino son
explícitas, a partir de ellas puede reconstituirse parte de las diferencias que la caracterizaban.
Esto ha sido realizado por varios autores con interpretaciones diferentes; solo F. J. Gosselin11
en su reconstrucción de 1798, amplía el mapa estirándolo en su totalidad de los 180º de longitud
de Ptolomeo a los 225º de Marino (Figura 5); otros atribuyen el aumento solo a la porción Este12
(Figura 6), menos conocida para el mundo mediterráneo, afectando únicamente las tierras
extremo-orientales del mapa.
La representación en el plano de Marino emplea paralelos y meridianos perpendiculares entre
sí, que deforman y distorsionan las distancias, punto de crítica y génesis de las propuestas de
proyección de Ptolomeo.
Claudio Ptolomeo
En el caso de la Geografía de Ptolomeo se hace explícito el uso de pares coordenados para
cada punto sobre la superficie terrestre y se explica en el mismo libro cómo trazar estos puntos
en el plano de tal manera que puedan ser vistos en relación con los demás, sin que la deformación
sea extrema, para poder hacerse una idea rápida de la ubicación y la distancia relativa entre ellos.
De hecho, en la Geografía se citan alrededor de 8000 puntos establecidos como pares
coordenados en latitud y longitud y se da completa descripción de métodos para la realización de
dos proyecciones planas y una tercera sobre la superficie de una esfera armilar.
Por ello Ptolomeo presenta dos proyecciones (Figuras 7 y 8) desarrolladas completamente a
manera de guía en el texto, con métodos geométricos que describen el trazado del plano que
representará a cierta porción de la superficie terrestre; en el caso de la Geografía, poco más de un
cuarto de la superficie terrestre, datos sobre los cuales se poseía suficiente información como
para plasmarla en este relevamiento del geógrafo.
Así, pueden verse en las versiones manuscritas de la Geografía más antiguas que se poseen al
día de hoy (del siglo XIII en adelante), figuras que acompañan los textos explicativos de los libros
teóricos (1, 2, 7, y 8), que de la misma manera que los mapas regionales y el global que
acompañan la obra, no se pueden suponer completamente originales del siglo II d.C., sino tal vez
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François Joseph Gosselin; Recherches sur la géographie systématique et positive des anciens, 1798.
Paul J. Gallez.
12 Dick Edgar Ibarra Grasso. América en la prehistoria mundial, Tipográfica Editora Argentina (TEA),
Buenos Aires, Argentina, 1982.
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en parte copiados y en gran parte reconstruidos a partir del texto, cumpliendo cabalmente con el
objetivo del autor, que es que se pueda hacer esta tarea sin tener a mano ninguna imagen previa,
pues toda la información está contenida en la descripción geométrica y en el largo listado de pares
coordenados de los libros 2 al 7, y en el resumido del libro 8, donde además se puede realizar una
verificación por estar indicados 360 pares coordenados redundantes pero en este caso con
longitud relativa a Alejandría y no a las Islas Afortunadas como los 8.000 puntos de los anteriores
libros.
Conclusión
La cartografía matemática se fue gestando a partir de la idea de establecer la ubicación de la
estrellas y por consiguiente la localización de cualquier lugar sobre la superficie de la Tierra en
función de aquellas. Así, siguiendo el camino de anteriores hombres de ciencia griegos, Ptolomeo
resume la representación estelar y terrestre en sus dos magnas obras: el Almagesto y la Geografía.
En el catálogo estelar del Almagesto, Ptolomeo define las posiciones de las estrellas conocidas
en función de su altura y su longitud en un sistema coordenado esférico; también describe las
trayectorias de los planetas y cuerpos celestes conocidos y su ubicación relativa. En su Geografía,
el método de descripción cartográfica de la superficie terrestre también emplea coordenadas
esféricas, establecidas en este caso como latitud y longitud con respecto a un origen geográfico (la
línea del Ecuador y las Islas Afortunadas respectivamente), para describir la posición relativa de
costas, montes y ciudades.
En ambos casos se completan con líneas de trazos diversas características propias de cada
mapa, en el estelar la trayectoria de planetas y la definición de las constelaciones, y en el terrestre
líneas costeras, accidentes geográficos diversos y rutas de viaje. De esta manera pueden
interpretarse estas técnicas de cartografía estelar y terrestre como la definición explícita de
funciones mediante puntos, rectas y curvas, y su representación gráfica en el plano y en el sólido.
Este tipo de representación constituye por ende un antecedente notorio al futuro desarrollo de
la geometría analítica posterior a Descartes y debida en parte a su propuesta de enlazar
ecuaciones algebraicas con gráficas en el plano y el espacio tridimensional.
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Figura 7. Primera proyección de Ptolomeo, doble cónica equidistante; y Ecúmene proyectada según
ella, entre 0ºE y 180ºE de longitud, y entre 0ºN y 25ºS de latitud
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Figura 8. Segunda proyección de Ptolomeo, con meridianos y paralelos curvos; y Ecúmene
proyectada según ella, entre 0ºE y 180ºE de longitud, y entre 0ºN y 25ºS de latitud
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Bibliografía
The History of Cartography. Volume 1, Edited by J.B. Harley and David Woodward, 1987:
• Aujac Germaine, and Editors. The Growth of an Empirical Cartography in Hellenistic
Greece, Chapter 9.
• Dilke O.A.W. The Culmination of Greek Cartography in Ptolemy, Chapter 10.
Cleomedes. La procesión circular de los cuerpos celestes, traducción castellana de Claudio R.
Varela con la colaboración de H. L. Neira, Bs. As., 2011, http://archive.org/details/Cleomedes-
DeMotuCirculari-TheHeavens), a partir del original griego establecido por H. Ziegler, en Liepzig,
para la Bibliotheca Teubneriana, 1891, http://archive.org/details/cleomediisdemot00cleogoog,
http://archive.org/details/kyklikstheriasm00zieggoog
Diller Aubrey. The Ancient Measurements of the Earth, ISIS, Vol. 40, No. 1, pp. 6-9, 1949.
Ferrar Michael J. The Maps of Marinus the Tyrian: A Reconstruction with Information Taken
From Geographike Hyphegesis, Book 1, Chapters 6-20, By Claudius Ptolemy.
http://www.cartographyunchained.com/mt2.html
Ibarra Grasso Dick Edgar. América en la prehistoria mundial, Tipográfica Editora Argentina
(TEA), Buenos Aires, Argentina, 1982.
McPhail Cameron. Reconstructing Eratosthenes’ Map of the World: A Study in Source
Analysis, Master of Arts thesis, University of Otago, Dunedin, New Zealand, February 2011.
Ptolémée Claude, Halma Nicolas B. Traité de géographie, livre 1 et 7, Bordeaux, 1828.
Ptolemy, Diller A. Aubrey Diller’s edition of Ptolemy’s Geography Book 8, DIO - The
International Journal of Scientific History, Vol. 5, 2009, ISSN 10415440.
Ptolemy, Stevenson Edward Luther. Geography of Claudius Ptolemy, New York, 1932.
Rawlins Dennis.
• Doubling Your Sunsets or How Anyone Can Measure the Earth's Size with Wristwatch and
Meterstick, American Journal of Physics, v47 n2 p126-28 Feb 1979.
• DIO - The International Journal of Scientific History, Vol. 14, March 2008, ISSN 10415440,
http://www.dioi.org/vols/we0.pdf, http://www.dioi.org/bk/de0.pdf:
• The Ptolemy Geography’s Secrets.
• Eratosthenes: Pharos Truth behind AlexandriaAswan Myth.