procesamiento digital de seÑales

Contenido SD-LIT RFSTD SFTD TFD

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SENALES

Pablo Emilio Jojoa [email protected]

Ingenierıa Electronica y TelecomunicacionesUniversidad del Cauca

2015


Contenido

1 Sistemas discretos LIT

2 Representacion en Frecuencia de Senales y Sistems de TD

3 Serie de Fourier TD

4 Transformada de Fourier Discreta


SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES EINVARIANTES EN EL TIEMPO - LIT


Analisis de Sistemas

Una senal x[n] se puede pensar como la forma de senaleselementales xk [n]:

x[n] =∑

k

ckxk [n]

donde ck corresponde a las amplitudes de la descomposicion de x[n]




x[n] =∑

k

ckxk [n]


Cada senal elemental xk [n] tiene como respuesta:

yk [n] = τ{xk [n]}




x[n] =∑

k

ckxk [n]



yk [n] = τ{xk [n]}

siendo para toda la senal x[n]

y [n] =∑

k

ckyk [n]




x[n] =∑

k

ckxk [n]



yk [n] = τ{xk [n]}

siendo para toda la senal x[n]

y [n] =∑

k

ckyk [n]

Senales elementales: impulso, exponencial.


Descomposicion de STD en impulsos

Sea la senal elemental:

xk [n] = δ[n − k]


Descomposicion de STD en impulsos

Sea la senal elemental:

xk [n] = δ[n − k]

x[n] puede representarse como

x[n] =∞∑

k=−∞

x[k]δ[n − k]


Suma de convolucion

Sea g(n, k) la salida del sistema para δ[n − k], entonces porlinealidad

y [n] =∞∑

k=−∞

x[k]g(n, k)


Suma de convolucion


y [n] =∞∑

k=−∞

x[k]g(n, k)

por propiedad de invariancia y denominando h[n] la respuesta a δ[n],o sea, h[n] = g(n, 0) se tiene g(n, k) = h(n − k) como respuesta aδ[n − k], entonces:

y [n] =

∞∑

k=−∞

x[k]h[n − k]


Suma de convolucion


y [n] =∞∑

k=−∞

x[k]g(n, k)

por propiedad de invariancia y denominando h[n] la respuesta a δ[n],o sea, h[n] = g(n, 0) se tiene g(n, k) = h(n − k) como respuesta aδ[n − k], entonces:

y [n] =

∞∑

k=−∞

x[k]h[n − k]

para un instante n0 se tiene:

y [n0] =∞∑

k=−∞

x[k]h[n0 − k]


Procedimiento:

Repliegue (obtener h[−k])


Procedimiento:


Desplazamiento (desplazar h[−k] n0 veces)


Procedimiento:



Multiplicacion (multiplicar x[k] por h[no − k])


Procedimiento:



Multiplicacion (multiplicar x[k] por h[no − k])

Sumatoria (Se suman todos los valores para obtener y [n0])


Propiedades:

Notaciony [n] = x[n] ∗ h[n]


Propiedades:


Conmutatividad


Propiedades:


Conmutatividad

Asociatividad


Propiedades:


Conmutatividad

Asociatividad

Ley distributiva


Sistemas LIT causales

La salida de un sistema causal en un instante dado solo dependede la entrada en ese instante y de las entradas en instantesanteriores, por lo que su respuesta impulsiva debe satisfacer:

h[n] = 0, n < 0.

luego:

y [n] =∞∑

k=0

h[k]x[n − k] =n

∑

k=−∞

x[k]h[n − k]

Secuencia causal: aquella que es 0 para n < 0

Secuencia no causal: aquella que no es 0 para n < 0 y n > 0

Para una secuencia causal:

y [n] =

n∑

k=0

h[k]x[n − k] =

n∑

k=0

x[k]h[n − k]


Sistemas de respuesta al impulso unitario

Clasificacion de los sistemas LIT de acuerdo a la respuesta alimpulso:

Respuesta de duracion finita (FIR)

h[n] = 0, n < 0 e n > M ⇒ y [n] =M∑

k=0

h[k]x[n − k]

Respuesta de duracion infinita (IIR)

y [n] =

∞∑

k=0

h[k]x[n − k]


Sistemas Discretos recursivos y no recursivos

Observacion: La convolucion expresa la salida de un sistema LTIexplicita y unicamente en terminos de la senal de entrada.

Hay sistemas donde es deseable expresar la salida en terminos de lasenal de entrada y de las salidas anteriores del sistema

Ejemplo: Promedio acumulativo:

y [n] =1

n + 1

n∑

k=0

x[k], n = 0, 1, 2, · · ·


SISTEMA RECURSIVO: sistema cuya salida y [n] en el intervalo n

depende de un numero de valores pasados de la salida:y [n − 1], y [n − 2], · · ·

Ejercicio:Sea

y [n] =1

2

{

y [n + 1] +x[n]

y [n − 1]

}

considere x[n] = Au[n], con A = 2 y y [−1] = 1

halle y[10]


STD descritos por Ecuaciones de diferencias

La suma de convolucion no es posible llevarla a la practica ensistemas IIR

Para determinados sistemas LIT IIR es posible otra forma derelacion entrada salida:Ecuaciones de diferencias de coeficientes constantes:

y [n] = −N∑

k=1

aky [n − k] +M∑

k=0

bkx[n − k]


FIR:

bk = 0, k < 0 e k > M ⇒ y [n] =M∑

k=0

bkx[n − k]


FIR:

bk = 0, k < 0 e k > M ⇒ y [n] =M∑

k=0

bkx[n − k]

z−1 z−1 z−1x[n]

b0 b1 bM

y [n]


IIR:

y [n] = −

N∑

k=1

aky [n − k] +

M∑

k=0

bkx[n − k]


IIR:

y [n] = −

N∑

k=1

aky [n − k] +

M∑

k=0

bkx[n − k]

z−1 z−1 z−1

x[n]

b0 b1 bM

y [n]

z−1 z−1 z−1

−a1 −a2 −aN


caso particular para n ≥ 0

y [n] = ay [n − 1] + x[n]

y [n] = an+1

y [−1] +

n∑

k=0

akx[n − k]

h[n] = anu[n]

Sistema recursivo relajado: si condicion inicial es igual a ceroSe dice que el sistema es ”estado cero” y su respuesta es ”aestado cero” o ”forzada” (yzs [n])


caso particular para n ≥ 0

y [n] = ay [n − 1] + x[n]

y [n] = an+1

y [−1] +

n∑

k=0

akx[n − k]

h[n] = anu[n]

Sistema recursivo relajado: si condicion inicial es igual a ceroSe dice que el sistema es ”estado cero” y su respuesta es ”aestado cero” o ”forzada” (yzs [n])

Sistema recursivo no relajado: si condicion inicial es 6= 0 yx[n] = 0 para todo n. Su respuesta se conoce como ”entradacero” o ”natural” (yzi [n])


Estabilidad

Recordando: un sistema es BIBO estable sii su secuencia de salidaes acotada para una entrada acotada.partiendo de:

y [n] =∞∑

k=−∞

h[k]x[n − k]


Estabilidad

Recordando: un sistema es BIBO estable sii su secuencia de salidaes acotada para una entrada acotada.partiendo de:

y [n] =∞∑

k=−∞

h[k]x[n − k]

la salida y[n] es acotada si la repuesta impulsiva del sistemasatisface

sk =

∞∑

k=−∞

|h[k]| < ∞


Respuesta en Frecuencia

Senales sinusoidales ←→ exponenciales complejas

ejφ = cos(φ) + jsenφ

cosφ =e jφ + e−jφ

2,

senφ =e jφ − e−jφ

2j

para senales de tiempo discreto φ = wn + θ.


Respuesta de un sistema LIT a una exponencial compleja

Se tiene

y [n] =

∞∑

k=−∞

x[k]h[n − k] =

∞∑

k=−∞

h[k]x[n − k],

La respuesta del sistema para x[n] = Ae jwn, con −∞ < n < ∞ es:


Respuesta de un sistema LIT a una exponencial compleja

Se tiene

y [n] =

∞∑

k=−∞

x[k]h[n − k] =

∞∑

k=−∞

h[k]x[n − k],

La respuesta del sistema para x[n] = Ae jwn, con −∞ < n < ∞ es:

y [n] = H(e jw )Ae jwn donde H(e jw ) =∞∑

k=−∞

h[k]e−jwk

oy [n] = A|H(e jw )|e j [wn+Θ(w)]

propiedad: H(e jw ) es periodica:

H(w + 2πw) = H(w)


Respuesta en Frecuencia de un sistema con respuesta al

pulso unitario real

Caracterıstica de la respuesta en frecuencia H(e jw ) e H(e−jw ) soncomplejos conjugados

H(e−jw ) =

∞∑

k=−∞

h[k]e jwk = H∗(e−jw )

o sea que se cumple con:

|H(e jw )| = |H(e−jw )|, Θ(w) = −Θ(−w)


Respuesta en Frecuencia de un sistema descrito por una

ecuacion de diferencias

Para un sistema LIT, dado un x[n] = Ae jwn la salida es de la formay [n] = Be j(wn+φ) aplicando en la ecuacion general de diferencias yreagrupando se tiene:

y [n] = H(e jw )Ae jwn, H(e jw ) =

M∑

k=0

bke−jwk

1 +N∑

k=0

ake−jwk


Respuesta en Frecuencia de la asociacion de sistemas

H1(ejw ) H2(e

jw ) H(e jw ) =

H1(ejw )H2(e

jw )

H1(ejw )

H(e jw ) =

H1(ejw ) + H2(e

jw )

H2(ejw )


RESPRESENTACION EN FRECUENCIA DE SENALES Y

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO


La respuesta en frecuencia de un LIT con respuesta al impulso h[n]es:

H(e jω) =+∞∑

n=−∞

h[n]e−jωn

Utilizando la integral

1

2π

π∫

π

e jω(n−k)dω = δ[n − k] =

{

1 para n = k

0 para n 6= k

se llega a

h[n] =1

2π

π∫

−π

H(e jω)e jωndω


Transformada de Fourier de Tiempo Discreto - TFTD

x [n] =1

2π

π∫

−π

X (e jω)e jωndω

X (e jω) =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jωn


Transformada de Fourier de Tiempo Discreto - TFTD

x [n] =1

2π

π∫

−π

X (e jω)e jωndω

X (e jω) =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jωn

una senal para que tenga TFTD debe cumplir:

∣

∣X (e jω)∣

∣ ≤∞∑

n=−∞

|x [n]| <∞


Ejemplos

1 x [n] = anu[n]

2 g [n] =

{

1 −L ≤ n ≤ L

0 pdv

3 H(e jω) =

{

1 |ω| ≤ ωc

0 ωc < |ω| ≤ π


Convolucion

y = [n] = v [n] ∗ h[n] =∞∑

k=−∞

v [k]h[n − k]

v [n] ∗ h[n] TFTD←→ V (e jω)H(e jω)


Propiedades de la TFTD

Propiedades de simetrıa

Secuencia simetrica conjugada: xe [n] = x∗e [−n]Secuencia antisimetrica conjugada: xo [n] = −x∗o [−n]Otras relaciones:

x [n] = xe [n] + xo[n]

xe [n] =1

2{x [n] + x∗[−n]}

xo [n] =1

2{x [n]− x∗[−n]}


Si Xe(ejω) es simetrica conjugada: Xe(e

jω) = X ∗

e (e−jω)

Si Xo(ejω) es antisimetrica conjugada: Xo(e

jω) = −X ∗

o (e−jω)

Relaciones:X (e jω) = Xe(e

jω) + Xo(ejω)

Xe(ejω) =

1

2

{

X (e jω) + X ∗(e−jω)}

Xo(ejω) =

1

2

{

X (e jω)− X ∗(e−jω)}


Otras propiedades de la TFTD

TFTD{x∗[n]} = X ∗(e−jω)

TFTD{x [−n]} = X (e−jω)

TFTD{x∗[−n]} = X ∗(e jω)

TFTD{xe [n]} = Re{X (e jω)}

TFTD{xo[n]} = jIm{X (e jω)}

TFTD{Re{x [n]} = Xe(ejω)

TFTD{jIm{x [n]} = Xo(ejω)


x [n] = xe [n] + xo[n]l l l

X (e jω) = Re{X (e jω)} + jIm{X (e jω)}

x∗[n] = x∗e [n] + x∗o [n]l l l

X ∗(e−jω) = Re{X (e−jω)} + −jIm{X (e−jω)}


Si x [n] es real (x [n] = x∗[n]) se tiene

X (e jω) = X ∗(e−jω)

Re{X (e jω)} = Re{X (e−jω)}

Im{X (e jω)} = −Im{X (e−jω)}

|X (e jω)| = |X (e−jω)|

∠X (e jω) = −∠X (e−jω)

TFTD{xe [n]} = Re{X (e jω)

TFTD{xo[n]} = jIm{X (e jω)}


Teoremas de la TFTD

Linealidad

ax [n] + by [n]TFTD←→ aX (e jω) + bY (e jω)

Desplazamiento en el tiempo

x [n − λ]TFTD←→ e−jωλX (e jω)

Desplazamiento en frecuencia

e jωonx [n]TFTD←→ X (e j(ω−ωo ))

Reflexion en el tiempo

x [−n] TFTD←→ X (e−jω)

si x [n] es real se tiene

x [−n] TFTD←→ X ∗(e jω)


Diferenciacion en el dominio de la frecuencia

nx [n]TFTD←→ j

dX (e jω)

dω

Convolucion periodica

x [n]y [n]TFTD←→ 1

2π

π∫

−π

X (e jθ)Y (e j(ω−θ))dθ

Igualdad de Parseval generalizada:

∞∑

n=−∞

v [n]x∗[n] =1

2π

π∫

−π

V (e jω)X ∗(e jω)dω

Igualdad de Parseval

∞∑

n=−∞

|v [n]|2 = 1

2π

π∫

−π

|V (e jω)|2


Ejemplos:

Hallar la TFTD de x [n] = anu[n − 5]

Determine h[n] para

X (e jω) =1

(1− ae−jω)(1− be−jω)

Hallar h[n] para

y [n]− 1

2y [n − 1] = x [n]− 1

4x [n − 1]


Serie de Fourier de Tiempo Discreto - SFD

Su utiliza para secuencias periodicas:

v [n] = v [n + N], ∀n

Definicion:

v [n] =1

N

N−1∑

k=0

V [k]e j2πNnk

V [k] =

N−1∑

n=0

v [n]e−j 2πNnk


Observaciones:

Las secuencias periodicas son indicadas por ∼

V [k] es periodica de periodo N

Los lımites de la sumatoria puede ser cualquiera desde que seconsideren N muestras consecutivas

Se utiliza la notacion

W nkN = e−j 2π

Nnk


Ejemplos:

Hallar la SFD para el tren de impulsos:

x [n] =

∞∑

r=−∞

δ[n − rN] =

{

1 n = rN, r ∈ Z

0 pdv

Hallar la SFD para:

x [n] = {1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0}


Teoremas de la SFD

Linealidad

ax [n] + by [n]SFD←→ aX [k] + bY [k]

Desplazamiento en el tiempo

x [n − λ]SFD←→ e−j 2π

NkλX [k]

Desplazamiento en frecuencia

e j2πNnλx [n]

SFD←→ X [k − λ]

Convolucion periodica

x [n] ∗ y [n] =N−1∑

r=0

x [r ]y [n − r ]SFD←→ X [k]Y [k]


Convolucion periodica en el dominio de la frecuencia

x [n]y [n]SFD←→ 1

N

N−1∑

λ=0

X [λ]Y [k − λ]

Dualidad

X [−n] = SFD−1 {Nx [k]} o X [n] = SFD−1 {Nx [−k]}

Igualdad de Parseval generalizada:

N−1∑

n=0

v [n]x∗[n] =1

N

N−1∑

k=0

V [k]X ∗[k]

Igualdad de Parseval

N−1∑

n=0

|v [n]|2 = 1

N

N−1∑

k=0

|V [k]|2


Ejemplos

Determine el espectro de x [n] = cos(√2 πn)

Determine el espectro de x [n] = {1, 1, 0, 0}


Relacion TFTD - SFD

Se toman N muestras a X (ω)

X [k] = X (ω)|ω= 2πk

N=

∞∑

m=−∞

x [m]e−j 2πNkm

¿cual es la senal x [n] que se obtiene al aplicar la SFD−1?

x [n] =1

N

N−1∑

k=0

X [k]e j2πNkn =

∞∑

r=−∞

∞∑

m=−∞

x [m]δ[n − rN −m]


Relacion TFTD - SFD

Se toman N muestras a X (ω)

X [k] = X (ω)|ω= 2πk

N=

∞∑

m=−∞

x [m]e−j 2πNkm

¿cual es la senal x [n] que se obtiene al aplicar la SFD−1?

x [n] =1

N

N−1∑

k=0

X [k]e j2πNkn =

∞∑

r=−∞

∞∑

m=−∞

x [m]δ[n − rN −m]

x [n] =

∞∑

r=−∞

x [n − rN]


TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA - TFD

X [k] =

N−1∑

k=0

x [n]e−j 2πNkn para 0 ≤ k ≤ N − 1

0 pdv

siendo la inversa:

x [n] =

1N

N−1∑

k=0

X [k]e j2πNkn para 0 ≤ k ≤ N − 1

0 pdv


operacion modulo

n mod N = ⌊n⌋N = ((n))N

n mod N = n − N(k\N)

k\N = floor

{

k

N

}

x [n] =

∞∑

r=−∞

x [n + rN] = x [n mod N] = x [⌊n⌋N ]


Relacion TFD - SFD

x [n] x [n]

X [k] X [k]

TFDN SFD

UN periodo

UN periodo

Repeticion periodica

Repeticion periodica


Relacion TFD - TFTD

Dado que una secuencia de longitud N la TFTD viene dada por:

V (e jω) =

N−1∑

n=0

v [n]e−jωn

se puede observar la relacion entre la TFD y la TFTD:

V [k] = V (e jω)|ω= 2πk

N

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