SEMINAR MATEMATIKA

METODE PANGKAT UNTUK MENGAPROKSIMASI NILAIEIGEN DOMINAN DAN VEKTOR EIGEN YANG

BERSESUAIAN DENGAN NILAI EIGEN YANG DIPEROLEH

OLEH :

LUH PUTU ARYA PUTRI ADNYANI

NIM 1013011052

DOSEN PEMBIMBING

Drs. DJOKO WALUYO, M.Sc

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

SINGARAJA

2012

ii

KATA PENGANTAR

Rasa syukur penulis haturkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas

rahmat-Nyalah penulis dapat menyelesaikan sebuah makalah seminar matematika

di bidang teori Numerik, yang berjudul : ”Metode Pangkat untuk

Mengaproksimasi Nilai Eigen Dominan serta Vektor Eigen Dominan yang

Bersesuaian dengan Nilai Eigen yang Diperoleh”.

Dalam kesempatan yang berbahagia ini, tak lupa penulis mengucapkan

terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Drs. I Gusti Ngurah Pujawan,

M.Kes selaku koordinator mata kuliah seminar matematika, Bapak Drs. Djoko

Waluyo, M.Sc selaku dosen pembimbing yang dengan sangat sabar telah

membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini tepat

pada waktunya, Bapak Prof. Dr. I Made Candiasa, M.I Kom selaku dosen penguji

seminar ini yang telah memberikan sangat banyak masukan untuk perbaikan

makalah, Saudara I Gede Giriyasa selaku pembahas mahasiswa yang juga

memberikan banyak kontribusi untuk meningkatkan kualitas tulisan ini, keluarga

dan rekan-rekan penulis yang senantiasa memberi dukungan sehingga penulis

terus termotivasi untuk melangkah lebih maju.

Penulis begitu menyadari bahwa makalah seminar ini masih jauh dari

sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat

penulis harapkan demi kemajuan penulis untuk ke depannya. Apabila terdapat hal

yang kurang berkenan terhadap isi makalah ini penulis memohon maaf yang

sebesar-besarnya. Atas perhatian pembaca penulis ucapkan terima kasih.

Singaraja, 20 Desember 2012

Penulis

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………… iKATA PENGANTAR ………………………………………………………. iiDAFTAR ISI ………………………………………………………………… iiiDAFTAR GAMBAR ………………………………………………………... ivDAFTAR TABEL …………………………………………………………… vABSTRAK …………………………………………………………………… vi

BAB IPENDAHULUAN1.1 Latar Belakang …………………………………………………………... 11.2 Rumusan Masalah ……………………………………………………….. 21.3 Tujuan Penulisan ………………………………………………………… 21.4 Manfaat Penulisan ……………………………………………………….. 3

BAB IIKAJIAN TEORI2.1 Definisi Matriks ……………………………………………………….... 42.2 Matriks Bujur Sangkar ………………………………………………… 52.3 Operasi Matriks ………………………………………………………… 52.4 Vektor …………………………………………………………………… 62.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen …………………………………………… 62.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dominan ………………………………… 72.7 Diagonalisasi Matriks …………………………………………………… 72.8 Metode Numerik ………………………………………………………… 92.9 Metode Pangkat ……………………………………………………….... 11

BAB IIIPEMBAHASAN3.1 Langkah-Langkah Mencari Nilai Eigen Dominan dengan Metode

Pangkat ………………………………………………………………….. 133.2 Algoritma Metode Pangkat ……………………………………………… 183.3. Diagram Alir/Flow Chart Metode Pangkat …………………………….. 20

BAB IVPENUTUP4.1 Simpulan ………………………………………………………………… 234.2 Saran …………………………………………………………………….. 23

DAFTAR PUSTAKA

iv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 22

v

DAFTAR TABEL

Tabel 1 11

vi

ABSTRAK

METODE PANGKAT UNTUK MENGAPROKSIMASI NILAI EIGENDOMINAN SERTA VEKTOR EIGEN YANG BERSESUAIAN DENGAN

NILAI EIGEN YANG DIPEROLEH

Oleh :Luh Putu Arya Putri Adnyani

NIM 1013011052Jurusan Pendidikan Matematika

Kegunaan nilai eigen telah digunakan di berbagai bidang ilmu. Nilai eigendiperlukan untuk memecahkan beragam masalah dalam kehidupan sehari-hari,diantaranya untuk analisis sinyal suara, gerak harmonik, getaran suatu bangunan,rekontruksi wajah (eigen face), dan lainnnya. Pada pemakaiannya, biasanyahanya diperlukan nilai eigen terbesar dan vektor eigen yang berkaitan. Dalampengambilan keputusan menggunakan metode PHA, dan rekrontruksi wajahdengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen (eigen face), nilai eigen yangdiperlukan hanya nilai eigen dominannya. Sehingga bisa dikatakan metode dalammenemukan nilai eigen merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan untukmembantu mempermudah kehidupan manusia sehari-hari. Metode pangkat adalahmetode iterasi yang dapat digunakan untuk mengaproksimasi nilai eigen riil yangdominan. Pada makalah ini akan disajikan dan dikaji cara menentukan nilai eigendominan dari suatu matriks bujur sangkar berserta vektor eigen yang bersesuaiandengan menggunakan metode pangkat.

Kata kunci: Nilai Eigen, Vektor Eigen, Matriks Bujur Sangkar, MetodePangkat.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Ilmu matematika dalam penerapannya banyak digunakan dalam

kehidupan sehari-hari. Penyelesaian dari masalah-masalah yang terjadi

disekitar dan penerapannya pada cabang ilmu lain telah mengalami

perkembangan mengikuti perkembangan zaman. Dalam beberapa kasus, tidak

semua masalah-masalah matematika dapat diselesaikan secara mudah dengan

menggunakan metode analitik, sehingga digunakan metode numerik dalam

mencari penyelesaiannya. Metode numerik adalah teknik-teknik yang

digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan

hanya dengan operasi hitungan yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali,

dan bagi (Nyoman Susila, 1993 : 1). Dalam perhitungan numerik biasanya

yang diperoleh adalah suatu nilai pendekatan yang nilainya cukup dekat

dengan nilai eksak. Walaupun demikian, hasil perhitungan dengan

menggunakan metode numerik cukup dapat memberikan solusi yang diminta.

Salah satu penerapan metode numerik adalah dalam masalah nilai

eigen dan vektor eigen. Nilai eigen telah digunakan diberbagai bidang ilmu.

Nilai eigen diperlukan untuk memecahkan beragam masalah dalam kehidupan

sehari-hari, diantaranya untuk analisis sinyal suara, gerak harmonik, getaran

suatu bangunan, rekontruksi wajah (eigen face), dan lainnnya. Pada

pemakaiannya, biasanya hanya diperlukan nilai eigen dominannya dan vektor

eigen yang berkaitan. Contohnya dalam pengambilan keputusan

menggunakan metode PHA, dan rekrontruksi wajah dengan menggunakan

nilai eigen dan vektor eigen (eigen face), nilai eigen yang diperlukan hanya

nilai eigen dominannya.

Menentukan nilai eigen dominan dan vektor eigen yang bersesuaian

dari suatu matriks bujur sangkar dapat dilakukan dengan menentukan

persamaan karakteristiknya terlebih dahulu. Persamaan karakteristiknya

berbentuk ( − ) =

2

yang nantinya akan memperoleh persamaan dalam bentuk+ +⋯+ = 0yang disebut sebagai polinom karakteristik. Dengan merupakan nilai-nilai

eigen dari matriks A. Untuk mencari nilai kita harus mencari solusi dari

polinom karakteristiknya, setelah diperoleh semua nilai eigennya kemudian

dipilih nilai eigen dominannya. Cara ini tidak efisien jika yang akan dicari

hanyalah nilai eigen dominannya beserta vektor eigen yang bersesuian dan

jika dimensi matriksnya cukup besar, karena akan menyulitkan mencari nilai-

nilai yang memenuhi polinom karakteristik jika derajat polinomnya cukup

besar (derajat lebih dari 2).

Metode numerik dapat memberikan alternatif untuk menentukan nilai

eigen dan vektor eigen terbesar dari suatu matriks. Metode yang digunakan

adalah dengan metode iterasi yang disebut metode pangkat. Dalam mencari

nilai eigen dan vektor eigen dominan dengan menggunakan metode pangkat

akan memerlukan proses iterasi yang panjang untuk memperoleh hasil yang

mendekati nilai sebenarnya. Semakin banyak iterasi yang dilakukan, semakin

baik hasil yang akan diperoleh.

Berdasarkan pemaparan di atas maka penulis mengangkat judul

“Metode Pangkat untuk Mengaproksimasi Nilai Eigen Dominan serta Vektor

Eigen yang Bersesuaian dengan Nilai Eigen yang Diperoleh”

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang di atas, maka dapat dirumuskan

masalah yaitu, bagaimana langkah-langkah mengaproksimasi nilai eigen

dominan dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang diperoleh

dengan menggunakan metode pangkat?

1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan dari penulisan

makalah ini adalah untuk mengetahui cara mengaproksimasi nilai eigen

3

dominan dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang diperoleh

dengan menggunakan metode pangkat.

1.4 Manfaat Penulisan

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan makalah ini adalah

sebagai berikut.

1. Bagi Pembaca

Pembaca memperoleh informasi mengenai cara mengaproksimasi

nilai eigen dominan dan vektor eigen yang bersesuaian dengan

menggunakan metode pangkat.

2. Bagi Penulis

Menambah wawasan penulis di bidang aplikasi numerik serta

menerapkan materi-materi perkulihaan dalam memahami berbagai

materi pengembangan.

4

BAB II

KAJIAN TEORI

2.1 Definisi Matriks

Definisi:

Sebuah matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-

bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri

dalam matriks.

Matriks ditulis sebagai berikut: ⋯⋯⋮ ⋮ ⋮⋯Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris dan

banyaknya kolom yang terdapat pada matriks tersebut. Matriks di atas

memiliki ukuran × .

Matriks dinotasikan dengan huruf besar dan entrinya dengan huruf kecil.

Jika A adalah sebuah matriks, maka adalah entri dari matriks A yang

terletak di dalam baris i dan kolom j.

Contoh := 1 24 1 = 2 1 73 4 2 = 1 2 32 5 31 0 8Matriks A adalah matriks berukuran 2 x 2, dengan entri-entrinya adalah:= 1 , = 2 ;= 4 , = 1 ;Matriks B adalah matriks berukuran 2 x 3, dengan entri-entrinya adalah:= 2, = 1 , = 7 ;= 3 , = 4 , = 2 ;Matriks C adalah matriks berukuran 3 x 3 , dengan entri-entrinya adalah:= 1 , = 3 , = 3 ;= 2, = 5, = 3;= 1, = 0, = 8 ;

5

2.2 Matriks Bujur Sangkar

Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks bujur

sangkar (matriks kuadrat) berorde n, dan entri-entri , , , … ,dinamakan entri diagonal utama, karena terletak pada diagonal utama

matriks.

Contoh bentuk matriks bujur sangkar: ⋯⋯⋮ ⋮ ⋮⋯2.3 Operasi Matriks

Definisi 1:

Jika A dan B adalah sebarang dua buah matriks yang ukurannya sama

maka jumlah (selisih) A ± B adalah matriks yang diperoleh dengan

menambahkan (mengurangkan) bersama-sama entri yang bersesuaian

dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda

tidak dapat dijumlahkan.

Definisi 2:

Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar riil, maka hasil kali

(product) cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-

masing entri dari A oleh c.

Definisi 3:

Jika A adalah matriks m × r dan B adalah matriks r × n maka hasil kali AB

adalah matriks m× yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk

mencari entri dalam baris ke i dan kolom ke j dari AB, pilihlah baris i dari

matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang

bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian

jumlahkan hasil kalinya.

6

Misalkan entri baris ke i dari matriks A adalah : [ … ] dan

entri kolom ke j dari matriks B adalah : ⎣⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥⎤

; maka untuk hasil kali AB

misalkan matriks C, entri pada matriks C pada baris ke i dan kolom ke j

adalah = . + . + …+ .2.4 Vektor

Definisi 1:

Himpunan seluruh tupel-n yang terdiri dari bilangan-bilangan riil,

dinyatakan dengan Rn, disebut sebagai ruang-n. Suatu tupel-n tertentu

pada Rn misalnya = [ , , … , ]disebut titik atau vektor. Bilangan-bilangan disebut koordinat,

komponen, entri, atau elemen dari u.

Definisi 2:

Dua vektor u dan v dikatakan sama, ditulis u = v , jika kedua vektor

tersebut memiliki komponen yang sama banyak dan jika komponen-

komponen yang bersesuaian juga sama.

Definisi 3:

Vektor [0,0, … ,0] yang semua entrinya adalah 0 disebut vektor nol.

2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi:

Jika A adalah matriks n × n maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan

vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni,=Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen dari A dan x

dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

7

2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dominan

Definisi:

Sebuah nilai eigen dari sebuah matriks A kita namakan nilai eigen

dominan A jika nilai mutlaknya lebih besar dari nilai-nilai mutlak dari

nilai-nilai eigen yang selebihnya. Sedangkan vektor eigen yang

bersesuaian dengan nilai eigen dominan kita namakan vektor-eigen

dominan A.

Contoh 1:

Jika matriks A berukuran 4 x 4 mempunyai nilai-nilai eigen= −4 , = 3 , = −2 , = 2 , maka nilai = −4 adalah nilai

eigen dominan karena |−4| > |3|, |−4| > |−2|, |−4| > |2|.Contoh 2 :

Sebuah matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai-nilai eigen= −7 , = 7 , = −2Tidak mempunyai nilai eigen dominan.

2.7 Diagonalisasi Matriks

Definisi:

Matriks kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi (diagonalizable) jika

terdapat matriks yang dapat dibalik sehingga diagonal, matriks

dikatakan mendiagonalisasi .

Teorema 1:

Jika adalah matriks × , maka pernyataan-pernyataan berikut

ekivalen satu sama lain.

a. dapat didiagonalisasi.

b. mempunyai vektor eigen bebas linier.

Bukti:

(a) → ( )

8

Karena dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang

dapat dibalik

= ……… … ⋮…Sehingga diagonal, katakanlah = , dimana

= 0 …0 …… … 00⋮0 0 …Maka, = ; yakni

= ……… … ⋮…0 …0 …… … 00⋮0 0 …

= ……… … ⋮… ……….. (*)

Jika sekarang misalkan , , … , menyatakan vektor-vektor kolom

maka bentuk (*) kolom-kolom yang berurutan adalah, , … , . Akan tetapi, kolom-kolom yang berurutan adalah, , … , . Jadi harus diperoleh= ; = ; … ; = …….. (**)

Karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolomnya semuanya tak nol,

jadi pada (**) , , … , adalah nilai-nilai eigen , dan , , … ,adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Karena dapat dibalik maka

diperoleh bahwa , , … , bebas linier. Jadi, mempunyai vektor

eigen bebas linier.

(b) → ( )Anggaplah bahwa mempunyai vektor eigen bebas linier, maka, , … , dengan nilai eigen yang bersesuaian , , … , dan

misalkan

9

= ……… … ⋮…adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah , , … , . Maka

kolom-kolom hasil kali AP akan memberikan, , … ,Tetapi = ; = ; … ; =Sehingga

= ……… … ⋮…= ……… … ⋮…

0 …0 …… … 00⋮0 0 … …(#)

=Dimana adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai-nilai eigen, , … , pada diagonal utama. Karena vektor-vektor kolom dari

bebas linier, maka dapat dibalik jadi (#) dapat dituliskan sebagai= , yakni terdiagonalisasi. ∎2.8 Metode Numerik

Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk

merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan hanya dengan

operasi hitung yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali, dan bagi.

Secara umum terdapat langkah-langkah yang harus ditempuh dalam

menyelesaikan masalah matematika secara numerik dan memakai alat

bantu komputer. Langkahnya adalah sebagai berikut:

a. Pemodelan, yaitu penetapan model matematis, yakni

merumuskan masalah dalam istilah matematis, mendefinisikan

variabel-variabel dan persamaan yang terlibat.

10

b. Pemilihan Metode (Algoritma) Numerik, yaitu perumusan

penyelesaian secara matematis dan dilanjutkan dengan

merancang algoritma serta analisis galat awal.

c. Pemrograman, yaitu suatu langkah yang biasanya dimulai

dengan diagram alir yang menunjukan diagram blok dari

prosedur yang harus dijalankan oleh komputer, kemudian

penulisan program (coding/koding), pencarian dan perbaikan

kesalahan dan pengujian.

d. Operasi, dokumentasi, penyimpanan, dan perawatan.

e. Penafsiran hasil, yaitu mencakup keputusan untuk menjalankan

ulang jika diperlukan data lebih jauh.

Dalam menyelesaikan masalah secara numerik yang paling penting

untuk diperhatikan adalah perancangan algoritma dan diagram alir

sebelum nanti akan direalisasikan ke dalam program.

Algoritma adalah prosedur yang terdiri atas himpunan berhingga

aturan yang tak taksa yang merinci suatu rangkaian berhingga operasi

yang menyediakan penyelesaian atas suatu masalah atau suatu kelas

masalah. Setiap algoritma mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :

1. Tiap langkah dalam algoritma didefinisikan secara persis,

sehingga tidak menimbulkan ketaktaksaan. Aksi yang harus

dilakukan dirinci secara jelas untuk tiap kasus.

2. Harus sampai pada selesaian masalah setelah berhingga

langkah.

3. Tiap algoritma yang berarti mempunyai nol atau lebih masukan

dan mempunyai satu atau lebih keluaran.

4. Algoritma haruslah seumum mungkin.

Menyatakan suatu algoritma dapat dilakukan dengan memakai

kode-pseudo yakni kalimat-kalimat yang kata-katanya telah memiliki

makna tertentu atau dengan cara menggambarkannya dalam bentuk suatu

bagan -alir.

11

Dalam pembuatan bagan/diagram alir ada beberapa ketentuan, yaitu:

Tabel 1: Simbol Flow chart dan fungsinya

Bentuk Fungsi

Mewakili suatu proses

Mewakili kondisiyang ada di suatuproses

Mewakili data inputatau output

Simbol penghubungdari diagram alir yangterputus di halamanyang berbeda atauyang masih sama

Menunjukan awal danakhir dari suatu proses

Menunjukkan arahsuatu proses

Memberi nilai awalatau besaran

2.9 Metode Pangkat

Metode pangkat adalah suatu pendekatan iteratif untuk

menentukan nilai eigen dominan.

Misalkan diketahui vektor A berukuran × dan dapat

didiagonalkan. Misalkan pula , , … , adalah nilai eigen dari A yang

memenuhi hubungan| | > | | ≥ ⋯ ≥ | | > 0

12

Karena A dapat didiagonalkan, terdapat vektor eigen , … ,yang masing-masing berkaitan dengan nilai eigen , … , dan

membentuk basis di ℝ . Kemudian sebarang vektor di ℝ dapat

dituliskan sebagai = + +⋯+Dengan mengalikan kedua ruas dengan A diperoleh= ( + +⋯+ )= + +⋯+= + +⋯+Kemudian kita kalikan lagi hasil terakhir ini dengan A, hal ini kita lakukan

berulang-ulang. Hasil sampai dengan kali adalah= + v +⋯+ s λ v= λ (s v + s v + ⋯+ s v ) …(1)

Jika semakin besar, nilai akan semakin kecil untuk =2,… , karena < 1. Oleh karena itu, untuk yang cukup besar bentuk

(1) kurang lebih menjadi ≈ ̅Dengan demikian kita telah mendapatkan hampiran dari kelipatan

vektor eigen tersebut, yaitu vektor . Vektor merupakan

hampiran vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen terbesar .

Semakin besar nilai makin baik pula hampiran terhadap sebuah

vektor eigen dari A.

Setelah memperoleh vektor eigen atau kelipatannya, nilai eigen

yang berkaitan dapat dihitung sebagai berikut.

Karena = maka. = . atau= ..Dan rumus nilai eigen di atas disebut rumus pembagian Rayleigh.

13

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Langkah-langkah mencari nilai eigen dominan dengan menggunakan

metode pangkat.

Jika harga mutlak terbesar (dominan) dari nilai eigen suatu matriks adalah

bilangan riil dan memenuhi | | > | | ≥ ⋯ ≥ | | > 0, maka nilai eigen ini

dapat dicari dengan menggunakan teknik iterasi yang disebut metode pangkat.

Rumus umum iterasi yang digunakan untuk mencari nilai eigen dominan ini

adalah:

( ) = ( ) = ( ) ( )Berikut adalah langkah-langkah penggunaan metode pangkat:

Asumsikan A adalah matriks bujur sangkar yang dapat didiagonalisasi.

1. Jika matriks A berukuran × , maka tentukanlah sebuah matriks yang

tak nol yang berukuran × 1.2. Carilah nilai yang memenuhi perkalian matriks = .

3. Bagi setiap elemen matriks dengan elemen dari matriks tersebut yang

harga mutlaknya terbesar misalkan sehingga diperoleh = . .

4. Lakukan pembagian Rayleigh untuk mencari aproksimasi nilai eigennya

dengan cara = ..Ulangi langkah 2, 3, dan 4 dengan = , dengan = 0, 1, 2, 3,…

sampai suatu iterasi yang menunjukan bahwa nilai ( ) ≈ ( ). ( )merupakan nilai eigen dominan dari matriks tersebut, sedangkan adalah

vektor eigen yang bersesuaian dengan .

14

Contoh:

Dengan menggunakan metode pangkat melalui langkah-langkah di atas,

tentukanlah nilai eigen dominan dari matriks A, dengan = 2 1 01 2 00 0 10Solusi:

1. Ambil sebuah matriks yang tak nol, misalnya = 1112. Maka diperoleh = .= 2 1 01 2 00 0 10 . 111 = 33103. Harga mutlak terbesar dari elemen adalah |10|, sehingga diperoleh= | | . = 3310 = 0.30.314. Aproksimasi nilai eigen untuk iterasi 1 adalah:= .. = ⟨[0.9, 0.9, 10]. [0.3, 0.3, 1]⟩⟨[0.3, 0.3, 1]. [0.3, 0.3, 1]⟩= 10.541.18= 8.93220339

Iterasi 2:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.30.31 = 0.90.910= 1|10| . = 110 0.90.910 = 0.090.091= .. = ⟨[0.27, 0.27, 10]. [0.09, 0.09, 1]⟩⟨[0.09, 0.09, 1]. [0.09, 0.09, 1]⟩= 10.04861.0162= 9.888407794

15

Iterasi 3:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.090.091 = 0.270.2710= 1|10| . = 110 0.270.2710 = 0.0270.0271= .. = ⟨[0.081, 0.081, 10]. [0.027, 0.027, 1]⟩⟨[0.027, 0.027, 1]. [0.027, 0.027, 1]⟩= 10.0043741.001458= 9.989808859Iterasi 4:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.0270.0271 = 0.0810.08110= 1|10| . = 110 0.0810.08110 = 0.00810.00811= .. = ⟨[0.0243, 0.0243, 10]. [0.0081, 0.0081, 1]⟩⟨[0.0081, 0.0081, 1]. [0.0081, 0.0081, 1]⟩= 10.000393661.00013122= 9.999081581Iterasi 5:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.00810.00811 = 0.02430.024310= 1|10| . = 110 0.02430.024310 = 0.002430.002431= .. = ⟨[0.00729, 0.00729, 10]. [0.00243, 0.00243, 1]⟩⟨[0.00243, 0.00243, 1]. [0.00243, 0.00243, 1]⟩= 10.000035431.00001181= 9.999917331

16

Iterasi 6:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.002430.002431 = 0.007290.0072910= 1|10| . = 110 0.007290.0072910 = 0.0007290.0007291= .. = ⟨[0.002187, 0.002187, 10]. [0.000729, 0.000729, 1]⟩⟨[0.000729, 0.000729, 1]. [0.000729, 0.000729, 1]⟩= 10.000003191.000001063= 9.99999256Iterasi 7:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.0007290.0007291 = 0.0021870.00218710= 1|10| . = 110 0.0021870.00218710 = 0.00021870.00021871= ..= ⟨[0.0006561, 0.0006561, 10]. [0.0002187, 0.0002187, 1]⟩⟨[0.0002187, 0.0002187, 1]. [0.0002187, 0.0002187, 1]⟩= 10.000000291.000000096= 9.999999327

Iterasi 8:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.00021870.00021871 = 0.00065610.000656110= 1|10| . = 110 0.00065610.000656110 = 0.000065610.000065611= ..

17

= ⟨[0.000019683, 0.000019683, 10]. [0.00006561, 0.00006561, 1]⟩⟨[0.00006561, 0.00006561, 1]. [0.00006561, 0.00006561, 1]⟩= 10.0000000001.000000009= 9.999999991Iterasi 9:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.00065610.00065611 = 0.000196830.0001968310= 1|10| . = 110 0.000196830.0001968310 = 0.0000196830.0000196831= ..= ⟨[0.0000058914, 0.0000058914, 10]. [0.000019683, 0.000019683, 1]⟩⟨[0.000019683, 0.000019683, 1]. [0.000019683, 0.000019683, 1]⟩= 10.0000000001.000000001= 9.999999999Iterasi 10:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.0000196830.0000196831 = 0.00000589140.000005891410= 1|10| . = 110 0.00000589140.000005891410 = 0.000000589140.000000589141= ..= ⟨[0.0000001767, 0.0000001767, 10]. [0.00000058914, 0.00000058914, 1]⟩⟨[0.00000058914, 0.00000058914, 1]. [0.00000058914, 0.00000058914, 1]⟩= 10.0000000001.000000000= 10.00000000

18

Iterasi 11:= 2 1 01 2 00 0 10 . 0.000000589140.000000589141 = 0.00000017670.000000176710= 1|10| . = 110 0.00000017670.000000176710 = 0.000000017670.000000017671= ..= ⟨[0.00000005301, 0.00000005301, 10]. [0.00000001767, 0.00000001767, 1]⟩⟨[0.00000001767, 0.00000001767, 1]. [0.00000001767, 0.00000001767, 1]⟩= 10.0000000001.000000000= 10.00000000Perhatikan bahwa, aproksimasi vektor-eigennya pada iterasi ke -11 adalah= 0.000000017670.000000017671 yang jika dibulatkan kebawah sebanyak tiga

angka, aproksimasinya akan memberikan ≈ 001Jadi sampai Iterasi ke-11 aproksimasi nilai eigen dominannya adalah 10

dengan vektor eigen dominan adalah001 .

3.2 Algoritma Metode Pangkat

Algoritma dari Metode Pangkat adalah sebagai berikut:

Input : , 0 , , , i,j = 1,2,3,…n, M = 1, 2, 3, … k

Output :

(vektor eigen dominan), (nilai eigen dominan)

Proses :

Untuk It = 1 ... M lakukan

Untuk i = 1 … n lakukan

Sum = 0

19

Untuk j = 1 … n lakukan

Sum= sum + (a[ij] * x[j])

y[i] = sum

j = 1

maks [it] = abs(y[j])

untuk i = 2 … n lakukan

jika abs(y[i]) >= abs(y[j]) maka

j = i

maks[it] = abs(y[j])

jika abs(y[i]) < abs(y[j]) maka

j = j

maks[it] = abs(y[j])

l = j

Untuk k = 1 … n lakukan

Jika k ≠ L lakukan

Jika abs(y[k]) = abs(y[L]) maka “Tidak Ditemukan

nilai eigen maksimum”

Untuk i=1…n lakukan

x[i]=y[i]/maks[it]

untuk i = 1 … n lakukan

jum=0

untuk j = 1 … n lakukan

jum = jum + (a[ij] *x[j])

c[i] = jum

v0 = 0

untuk i = 1 … n lakukan

v0 = v0 + (c[i] *x[i])

v = v0

u0 = 0

untuk i = 1…n lakukan

u0 = u0 + (x[i]*x[i])

u = u0

20

D

T Yj =iMaks [it] = abs( y[j])l = j

j = jmaks [it] = abs( y[j])l = j

It = 1 … Mi = 1, 2, … nsum = 0

j = 1, 2, … nsum = sum +a[ij]*x[j]

y[i] = sum

n, aij (elemen matriks) ,x[i] (matriks kolom awal)M(maks iterasi),i,j = 1, 2, … , n

Mulai

Jika abs(y[i])>= abs (y[j])

Tolg[0]

A

B

j = 1i = 2, … nmaks[it] = abs (y[j])

g [it] = v/u

jika abs(g[it] – g[it – 1] ) < tol maka

“Nilai eigen dominan = g[it]”

3.3 Diagram Alir/Flow Chart Metode Pangkat

21

“tidakditemukannilai eigendominan.Mungkin salahinput vektorawal.

T

Y

T

Y

i = 1, 2, …, nx[i] = y[i] / maks [it]

i = 1, 2, …, nv0 = 0

j = 1, 2, …, nv0 = v0 + a[ij] * x[j]

c[i] = v0

i = 1, 2, …, nv = 0v = v + c[i] * x[i]

k = 1, 2, … njika k<> l

abs (y[k]) = abs (y[l])

“ iterasi ke- it,nilai eigendominanadalah g[it]”

C

B

i = 1, 2, …, nu0 = 0u0 = u0 + x[i] * x[i]u = u0

g[it] = v / u

Selesai

InginCobalagi?

A

22

g[it] = nilaieigendominanI = 1, 2, … nX[i] = vektoreigendominan

T

T

Y

TT

Y

Y

Y

Abs (G[it] – g[it-1]) < tol

A

C

It = M

g[it] = nilaieigen dominanI = 1, 2, … nx[i] = vektoreigen dominan

Selesai

InginCobalagi?

A

Selesai

InginCobalagi?

A

23

Hasil dengan program untuk = 2 1 01 2 00 0 10 dan vektor awal111 adalah

sebagai berikut.

Gambar . 1

Jadi dengan mengambil pembulatan sebanyak 4 angka, aproksimasi nilai eigen

dominan yang diperoleh adalah 10 dengan vektor eigen dominannya adalah001 .

Dalam beberapa kasus, kesalahan pemilihan vektor awal menyebabkan

hasilnya tidak konvergen. Hal ini dikarenakan metode pangkat adalah suatu

metode iterasi yang tergolong kedalam metode terbuka (open metodhe). Metode

terbuka adalah suatu metode numerik yang dalam proses perhitungannya tidak

menjamin ditemukannya hasil. Hal ini yang menyebabkan penggunaan metode

pangkat tidak akan selalu memberikan hasil.

23

BAB IV

PENUTUP

4.1 Simpulan

Berdasarkan rumusan masalah yang telah diuraikan, maka dapat

disimpulkan bahwa langkah-langkah dalam mengaproksimasi nilai eigen

dominan dan vektor eigen dominan dari suatu matriks bujur sangkar yang

dapat didiagonalisasi dengan menggunakan metode pangkat adalah sebagai

berikut.

1. Jika matriks A berukuran × dan dapat didiagonalisasikan, maka

tentukanlah sebuah matriks yang tak nol yang berukuran × 1.2. Carilah nilai yang memenuhi perkalian matriks = .

3. Bagi matriks dengan elemen dari matriks tersebut yang harga

mutlaknya terbesar misalkan sehingga diperoleh = . .

4. Lakukan pembagian Rayleigh untuk mencari aproksimasi nilai

eigennya dengan cara = ..Ulangi langkah 2, 3, dan 4 dengan = , dengan = 0, 1, 2,

3,… sampai suatu iterasi yang menunjukan bahwa nilai ( ) ≈ ( ).( ) merupakan nilai eigen dominan dari matriks tersebut,

sedangkan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan .

4.2 Saran

Pada makalah ini penulis membahas mengenai cara

mengaproksimasi nilai eigen dominan dan vektor eigen dominan dari suatu

matriks bujur sangkar yang dapat didiagonalisasikan dengan menggunakan

metode pangkat. Namun terdapat kemungkinan bahwa hasil yang diberikan

salah karena kesalahan dalam memilih vektor awal dan kondisi lain yang

mungkin terjadi. Bagi pembaca yang tertarik dapat membahas syarat yang

harus dipenuhi agar penggunaan metode ini valid.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.Modul 6 Flow Chart. www.google.ac.id. diakses pada tanggal 13 Desember

2012.

Anton, Howard. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linier Edisi 7 Jillid 1. Interaksara

Budhi, Wono Setya. 1995. Aljabar Linier. Jakarta: PT. Gramedia

Chapra, Steven C & Canale, Raymond P. 2002. Numerical Methods For Engineers.

Lipson, Marc & Lipschutz, Seymour. 2004. Aljabar Linier Edisi 3 Schaum’s Outlines.

Erlangga

Susila, Nyoman. 1993. Dasar-Dasar Metode Numerik. Departemen Pendidikan dan

Kebudayaan