Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires

Música y Fractales

Ciencias Aplicadas II

Cabrera, Analía 07-96750-3 Di Marzo, Paula Guillermina 07-139232-3

Neer, Valeria 07-139238-4

Docente: Sergio Strocovsky

Octubre 2010

RReessuummeenn yy OObbjjeettiivvooss RReessuummeenn

Se desarrolló un script en MATLAB que vincula: fractales, generación de sonido y utilización

de las herramientas de dicho software.

Este trabajo aborda el tema de fractales apuntado específicamente en el campo de la música

donde se utilizan los procedimientos fractales, como por ejemplo para crear el ritmo que se usa como

base de cualquier tipo de música.

Donde la aplicación intenta establecer los potenciales usos de la recursión, la iteración y las

matemáticas complejas como una extensión de la composición musical.

Este trabajo tiene relación con la práctica con referencia a la ciencia aplicada. Pretende ser una

aplicación de los logros de la investigación básica con fines prácticos. Donde el conocimiento es

sistemático, comprobable, medible y replicable, porque se ha elegido un enfoque de investigación

cuantitativa. [Cataldi y Lage, 2004].

OObbjjeettiivvoo ggeenneerraall

Desarrollar una aplicación con fractales vinculada a la música, mediante el programa

MATLAB.

IInnttrroodduucccciióónn

MMúússiiccaa yy FFrraaccttaalleess

La música y la matemática siempre tuvieron una cercana relación. Desde Pitágoras se sabe que

la armonía de tono está íntimamente vinculada a la frecuencia numeral. A pesar de que la historia de

los fractales comienza en los últimos días del siglo XIX, gran parte del XX permanece ajena a ellos.

En las últimas décadas del siglo, y casi paralelamente a la evolución de la investigación en sistemas

caóticos, los fractales cobran un auge creciente, hasta convertirse en un concepto cada vez mas

extendido en todas las ciencias. (Pérez Ortiz, 2000)

Se ha demostrado a partir de varios estudios que la geometría fractal no solo puede estimular

los sentidos a través de la generación de impresionantes paisajes virtuales, sino también por medio de

melodías desafiantes. Motivados por ello, este trabajo relaciona a la geometría fractal con una de sus

aplicaciones mas recientes: la música.

El objetivo principal es la generación de un script en Matlab, que vincule a los fractales con la

duración de los sonidos de una melodía que se generará a partir de las selección aleatoria de tres notas

musicales que pertenecen a la escala de LA Mayor (LA, tónica; DO#, 3ª mayor; MI, quinta).

Por tal motivo nos separamos de la música fractal ya que al aparecer aleatoriamente los sonidos

no es posible reconocer una melodía o motivo característicos.

En definitiva, lo que se obtiene son melodías aleatorias diferenciables entre sí por la variación

de la estructura fractal asociada a los tiempos.

Para lo cual, en primera instancia, desarrollaremos conceptos tales como geometría fractal,

música y música fractal.

FFrraaccttaalleess Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el francés Henri Poincaré. Sus

ideas fueron extendidas más tarde fundamentalmente por dos matemáticos también franceses, Gastón

Julia y Pierre Fatou, hacia 1918.

“Se considera fractal a aquel objeto o estructura que consta de fragmentos con orientación y

tamaño variable pero de aspecto similar” (Mandelbrot, 1997).

Existen muchas aplicaciones de los fractales tanto a nivel teórico como en el práctico. Teniendo

en cuenta la gran amplitud del campo de su aplicación, en el campo de las ciencias abstractas, una de

sus aplicaciones más inmediatas es el estudio de las soluciones de sistemas de ecuaciones de más de

segundo grado. Aplicaciones en materias tan diversas como la física o la sismología, desde luego el

campo en el que más aplicaciones se han encontrado ha sido en el tratamiento de las imágenes. Los

fractales se utilizan para comprimir imágenes digitalizadas de forma que ocupen menos espacio y

puedan ser transmitidas a una mayor velocidad y costo menor.

“Un fractal es una figura geométrica compuesta por fragmentos en una infinita variedad de

tamaños, tales que cada uno de ellos es una copia reducida del total ("la parte contiene al todo").

Decimos que los fractales son autosimilares o independientes de escala cuando hacemos referencia a

esta propiedad. En general los fractales están caracterizados por la presencia de infinito detalle,

longitud infinita y la ausencia de suavidad o derivabilidad.”. (Luque, B. y Agea, A., 2010)

En términos matemáticos un fractal es una forma que empieza con un objeto (tal como un

segmento, un punto, un triángulo, etc.) que es alterado constantemente por medio de la aplicación

infinita de una determinada regla. Ésta puede describirse por medio de una fórmula matemática. En

este sentido, el conjunto de Cantor (fig. 1), la curva de Koch (fig. 2) y el triángulo se Sierpinski (fig.

3) son ejemplares representativos y permiten formar una idea intuitiva del concepto de fractal:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

El estudio de estos y otros conjuntos, en cuanto a la aplicación recursiva o iterada de una regla a

una estructura matemática, en general asociada a un sistema dinámico, comenzó a dar resultados

sorprendentes en cuánto se pudo establecer cuáles de estos sistemas convergen a las mismas

estructuras, simplemente divergen o resultan caóticas.

Un sistema dinámico (siempre no lineal) se considera caótico si presenta un comportamiento

aperiódico (esto es, resultado de oscilaciones regulares que no se repiten nunca, de periodo infinito)

resultado de un modelo totalmente determinista y que presenta gran sensibilidad a las condiciones

iniciales. Debido a esta sensibilidad, pueden distinguir dos fenómenos en la evolución del sistema: el

estiramiento y el plegado. Si se representa el retrato de fase de un sistema dinámico, veremos que

las dos fuerzas anteriores entran en acción de forma que se genera una estructura confinada en una

región del espacio de fases que se conoce como atractor extraño. Antes del descubrimiento del caos,

los ciclos límite eran los atractores más complejos que se conocían. Hoy día se puede decir que cada

sistema caótico lleva asociado un atractor de características peculiares. Las trayectorias del espacio de

fases nunca intersectan entre sí, pues esto supondría un comportamiento periódico. Como la región en

la que está ubicado el atractor es finita, se tiene, al seguir una trayectoria cualquiera, una curva de

longitud infinita encerrada en un área finita o, dicho de otra forma, un atractor extraño posee

estructura fractal. (Pérez Ortiz, 2000)

En el diagrama de bifurcación de la ecuación logística xn+1 = rxn(1−xn) en el rango 2 ≤ r ≤ 4,

puede observarse la ruta del caos: sucesivos desdoblamientos de periodo que desembocan en un

periodo infinito. (fig. 4)

Figura 4

Todos estos análisis sobre sistemas dinámicos son sobre conjuntos reales. Una extensión de

dicho análisis lo provee el plano complejo.

En particular, en este trabajo, se utilizará el conjunto de Julia, que es un sistema dinámico complejo

cuadrático de la forma:

f(z) = z2 + c

donde c y z son números complejos. A pesar de su sencillez, la iteración de la función anterior genera

estructuras muy complicadas, vislumbradas por Julia y Fatou a comienzos del siglo XX.

Se define el conjunto de Julia de un polinomio de variable compleja como la frontera del

conjunto de puntos que escapan al infinito al iterar dicho polinomio. Esto significa que la órbita de un

elemento del conjunto de Julia no escapa al infinito, pero existen puntos arbitrariamente cerca de él

que sí lo hacen. La órbita o trayectoria de un punto x bajo un sistema dinámico de función f es la

sucesión de puntos fn(x)∞n=0.

Los valores que no escapan al infinito son los que se representan gráficamente, y

estrictamente, el conjunto de Julia, es sólo el contorno o frontera de la gráfica. Si se representa la

figura completa se lo denomina conjunto de Julia relleno.

A partir de las gráficas se puede apreciar claramente la sensibilidad del sistema a las

variaciones de las condiciones iniciales, siendo c el parámetro clave de cambio en la evolución del

sistema. Algunas gráficas evidencian estas características (fig. 5):

c = 0,27 c = −1 c = −0,67 + 0,31i

Figura 5

Las variaciones de c y sus representaciones permitieron hacer una clasificación entre

conjuntos conexos o no, fragmentados, como polvo fractal. El límite entre estos dos conjuntos se

determina a partir de la teoría de iteraciones que asegura que la órbita divergirá a infinito si en algún

momento uno de sus puntos tiene módulo mayor o igual a 2.

En 1978, Mandelbrot representó en un plano todos los valores de c que producían conjuntos

de Julia conexos, consiguiendo la primera representación del conjunto que hoy lleva su nombre. (fig.

6)

Figura 6

Debido a que los fractales más famosos como los de Mandelbrot y Julia pueden producirse a

partir de algoritmos de programación básicos en Matlab, en este caso utilizaremos el conjunto de

Julia como sistema dinámico que depende sensiblemente de las condiciones iniciales para generar

distintas evoluciones, las cuales son fácilmente de visualizar a partir de sus fractales respectivos.

Matrix Laboratory (laboratorio matricial) es la abreviatura de MATLAB; es una herramienta de

computación disponible en el comercio para resolver problemas matemáticos, cálculos numéricos

especialmente en los relacionados con matrices y gráficos. Los programas diseñados en el mismo se

han convertido en una herramienta estándar para ingenieros y científicos.

Donde el algoritmo, es un conjunto finito de reglas que dan una secuencia de operaciones para

resolver todos los problemas de un tipo de dato. Dicho algoritmo debe cumplir con la finitud,

definibilidad, entrada, salida y efectividad del mismo.

En general, se escriben algoritmos para resolver problemas que no son tan fáciles de resolver a

primera vista, y de los que necesitamos especificar el conjunto de acciones que se llevaran a cabo

para su resolución.

SSoobbrree llaa ddiimmeennssiióónn yy llaa ddiimmeennssiióónn ffrraaccttaall La tradición de la geometría que Euclides nos legó (300 a. C. aprox.), permite generalizaciones y

definiciones que comienza con el Libro Primero, sobre la geometría del plano:

1. Punto es lo que no tiene partes.

2. Una línea es una longitud sin anchura.

3. Los extremos de una línea son puntos.

4. Una superficie es lo que solo tiene longitud y anchura.

5. Los extremos de una superficie son líneas.

En el Libro Noveno, sobre la geometría del espacio, desarrolla las definiciones:

1. Un sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad.

2. Un extremo de un sólido es una superficie.

Incluso Platón (400 a.C.) en el Libro VII de La República trata el tema de la dimensión

geométrica de esta manera: “después de las superficies planas… lo correcto, después de la segunda

dimensión, es considerar la tercera…, la dimensión de los cubos y la de todo lo que tenga

profundidad”. Algunos esperan encontrar en Pitágoras (500 a. C.) alguna pista sobre el concepto de

dimensión asociada a la geometría.

Recién a mediados del siglo XIX reaparece esta inquietud desde los escritos de Cantor hasta la

tortuosa experiencia de Hermite al leerlos. (Mandelbrot, 1983)

Es Poincaré, recién iniciado el siglo XX, que reelabora las ideas de Euclides, junto con la idea de

conjunto, de la siguiente manera:

“Cuando decimos que el espacio tiene dimensión tres, ¿qué queremos decir? Si para dividir un

continuo C nos basta con considerar como cortes un cierto número de elementos distinguibles,

decimos que dicho continuo es de dimensión uno… Si, por el contrario,… para dividir un continuo

basta con usar cortes que forman uno o varios continuos de dimensión uno, decimos que C es un

continuo de dimensión dos. Si los cortes forman uno varios continuos de dimensión dos como

máximo, decimos que C es un continuo de dimensión tres; y así sucesivamente.

Para justificar esta definición es necesario ver cómo los geómetras introducen el concepto de

dimensión al principio de sus trabajos. Ahora bien, ¿qué es lo que vemos? Normalmente empiezan

por definir las superficies como los límites de los sólidos o pedazos de espacio, las curvas como los

límites de las superficies, los puntos como los límites de las curvas, y afirman que ya no se puede

seguir más allá.

Esta es precisamente la idea apuntada más arriba: para dividir el espacio hacen falta unos

cortes llamados superficies; para dividir las superficies hacen falta unos cortes llamados curvas; y un

punto no se puede dividir pues no es un continuo. Como las curvas se pueden dividir por cortes no

continuos, son continuos de dimensión uno; como las superficies se pueden dividir por cortes

continuos de dimensión uno, son continuos de dimensión dos; finalmente, el espacio se puede dividir

por cortes continuos de dos dimensiones, con lo que es un continuo de dimensión tres.” (Mandelbrot,

1997).

Esta definición vendría a ser la versión intuitiva de la definición de dimensión topológica DT.

Una definición más amplia y general es tal que:

“La dimensión topológica de un conjunto del espacio topológico es el mínimo valor de n para el que

toda cubierta abierta admite una cubierta abierta más fina de orden no superior a n+1. Si no existe

valor mínimo de n, entonces se dice que el conjunto es de dimensión infinita. El orden de una

cubierta es el máximo número de subconjuntos de la cubierta al que pertenece cualquier punto del

conjunto. Una cubierta más fina es aquella en la que cada subconjunto está incluido en algún

subconjunto de otra cubierta, menos fina en este caso.” 1

Así mismo, la topología describe, en generalizaciones, la forma, incluyendo transformaciones

del objeto, sin mayores inconvenientes. En términos generales, la geometría de Euclides, ofrece en

sus formas más simples como las rectas, planos o espacios, distribuciones homogéneas; tan

agradables, esperadas y aplicables a situaciones físicas sencillas. Esta homogeneidad de estos objetos

elementales tiene dos propiedades muy interesantes: son invariantes por traslaciones y son

invariantes por cambios de escala, de ahí el atractivo, en particular para la física. No nos

detendremos en este punto, ya que no es el objetivo de este trabajo, pero sirve de punta pie para

comenzar a dilucidar las características y propiedades de los fractales en función de una herramienta

para el estudio de objetos o sistemas reales. Si bien, en el estudio de los fractales, hay que modificar

y/o restringir el alcance de estas invariancias, Mandelbrot expresa que los “mejores fractales son los

que presentan el máximo de invariancia.” (Mandelbrot, 1997)

Por ejemplo, en cuanto a las traslaciones, dos sectores cualesquiera de la traza del movimiento

browniano nunca son exactamente superponibles, lo cual sí ocurre con dos partes iguales de una

recta. Sin embargo, tales sectores se pueden hacer superponibles en sentido estadístico, siendo este un

camino para hacer obtener una invariancia aceptable.

Fig. 7 Movimiento browniano

1 http://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_topol%C3%B3gica [Consultado el 03/01/11]

Respecto a los cambios de escala, o escalante, es decir, a la invariancia por la transformación

geométrica de semejanza, en el sentido ordinario, se denomina autosemejante, una característica

fundamental, aunque no excluyente, de un fractal. Propiedad esta, muy elocuente a la hora de dar las

primeras aproximaciones en el estudio de formas naturales. Sumado a esto, la idea de autosemejanza

en términos teóricos, en el caso de la línea recta, aparece ya en Leibniz y Laplace alrededor en el

siglo XVIII, ya en el siglo XX, y en términos de aplicación y análisis de sistemas reales, se aplica al

estudio de la turbulencia y aspectos analíticos en mecánica.

Fig. 8 Dos tipos de semejanzas: la estándar y la fractal

Ahora bien, para la topología, un círculo, una costa o la curva de Koch tienen la misma

dimensión DT = 1. De manera que dicha generalización prescinde del detalle y complejidad a la hora

de analizar o modelizar objetos reales y representarlos lo más fielmente posible, incluyendo las

transformaciones y medidas que pudieran realizarse.

En función de la necesidad de medir o conservar el detalle y complejidad de un objeto se

define la dimensión fractal D. De manera que hablar de dimensión fractal es hablar de un método y/o

concepto en el proceso de medición de un objeto y poder determinar si es o no un fractal.

Entonces, para el espacio euclídeo RE, tanto DT como D toman valores comprendidos entre 0 y E,

mientras que DT siempre es un entero, D no tiene por qué serlo. Así, ambas dimensiones no tienen

que coincidir y se cumple:

D ≥ DT

Mientras que para todas las figuras euclídeas se verifica que

D = DT

Uno de los métodos puede recorrerse de la siguiente manera:

SSoobbrree aallgguunnaass ppaarraaddoojjaass ddiimmeennssiioonnaalleess En el espacio (E = 3), la longitud, el área y el volumen dan evaluaciones alternativas del tamaño

lineal de la figura, y la razón entre dos cualesquiera de ellas es un parámetro de forma, independiente

de las unidades de medida.

Por ejemplo, la longitud de la circunferencia de radio ρ es

L = 2π ρ

Y el área del círculo correspondiente es

A = π ρ2

La relación entre ellas toma la forma

L = 2πρ½ . A½

Análogamente, para los cuadrados, la relación correspondiente es

L = 4 A½

En general, en cada familia de figuras planas corrientes, geométricamente semejantes y de tamaños

distintos, la razón L / A½ es una constante determinada por la forma común de todas ellas, cuya

generalización y aplicación es ampliamente utilizada y conocida como análisis dimensional.

Ahora bien, en numerosos casos, relacionado con sistemas u objetos reales, esta equivalencia aparece

un poco distorsionada.

Por ejemplo, para el cerebro de los mamíferos la relación entre el volumen V y el área A

correspondiente, se tiene

V 1/3 Q A 1/D ,

con DR 3, muy superior al valor 2 que se presumía.

En el caso de las cuencas de drenaje fluvial, se mide la longitud a lo largo del río principal y se

encuentra que la relación entre el área A y la longitud L viene dada por

A 1/2 Q L 1/D ,

con D definitivamente superior al valor previsto 1. (Mandelbrot, 1997)

SSoobbrree llaa ddiimmeennssiióónn ddee hhoommootteecciiaa

Aprovechando las ideas sobre el tamaño lineal y la de autosemejanza, esbozadas anteriormente, se

puede hacer una primera consideración acerca de lo que es la dimensión fractal de un objeto.

Así pues, si se toma un objeto con un tamaño lineal igual a 1 en una dimensión euclideana D, y se

reduce su tamaño por un factor de 1 / l en cada dirección espacial, se necesitan un número N = lD de

objetos autosemejantes para cubrir el objeto original.

Al despejar para D, la dimensión queda definida según

Sin embargo, definida así, la dimensión es igual todavía a su dimensión topológica o

euclideana, con la sabida pérdida de información del objeto.

Fig. 9 Dimensión de Homotecia

Pero si el tamaño lineal de los objetos autosemejantes es tan pequeño como se quiera, (como

pequeñas cajas de volumen infinitesimal) evaluando en el límite, una aproximación a la dimensión

del objeto viene dada por

Donde N(ε) es el número de estructuras autosemejantes de lado lineal ε que se necesitan para cubrir

toda la estructura, obteniéndose un número distinto a la DT y no entera (DMB : dimensión de

Minkowski-Bouligand). (Wikipedia, consultado el 04/01/11)

LLaa ddiimmeennssiióónn ffrraaccttaall Ya que excede el objetivo de este trabajo, concluiremos con la dimensión D de Hausdorff-

Besicovitch, ya como una característica de un objeto fractal.

Retomando la idea de recubrir un objeto con otros fundamentales más pequeños, se considerará

ahora recubrirlo con bolas macizas (no esferas, que son su superficie).

Fig. 10 Recubrimientos con discos/bolas

fig. 11 Recubrimiento de la

Curva de Koch

Fig. 12 Recubrimiento de la Costa de Gran Bretaña

Para un espacio métrico Ω (no topológico), es decir, un espacio en el que está definida

convenientemente la distancia entre cada par de puntos, se tendrá que una bola cerrada de centro ω y

radio ρ, es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a ω es ≤ ρ.

Dicho esto, y para un subconjunto acotado S de Ω, uno de los métodos posibles para

recubrirlo con bolas así definidas, es el que propone primeramente Hausdorff y que luego generaliza

Besicovitch, a saber:

Dado un subconjunto acotado S de Ω (es decir, cualquier figura u objeto), hay muchos

métodos para recubrirlo con bolas de radio ρ. Para ello, sin limitar a funciones como potencias de ρ,

se proponen funciones de prueba de la forma

hS(ρ) = γ(D)ρD ,

también llamadas función de prueba intrínseca de un conjunto, donde γ(D) es función de la

dimensión fractal D, admitiendo valores fraccionarios, con ρ tendiendo a cero y positivas.

Así, dada una función de prueba h(ρ), se puede decir que la medida de un recubrimiento

finito del conjunto S mediante bolas de radio ρm , es

Σ h(ρm)

Para que la cantidad de bolas de radio menor a ρ, en el recubrimiento, sea el más económico,

se consideran todos los recubrimientos y se busca el ínfimo

inf ρm<ρ Σ h(ρm) .

Cuando ρ → 0, la condición ρm<ρ se hace cada vez más restrictiva. De esta manera, la

expresión anterior debe ser creciente y existe el límite tal que

lim ρ → 0 inf ρm<ρ Σ h(ρm) ,

el cual define la h-medida del conjunto S, y puede ser finito y positivo, infinito o nulo.

(Estos procedimientos son referidos a la medida de Hausdorff).

Dos consecuencias importantes aporta este procedimiento: primero, la medida de Hausdorff,

se define de tal manera que no es necesario conocer previamente el valor de D, segundo, por

consiguiente, desconocida la dimensión, las funciones de prueba y sus relaciones de tamaños métricos

permitirán conocer la dimensión. Esto se cumple para D enteras y figuras estándar.

Besicovitch, generalizó la esencia de esta última conclusión a los casos en los que la D no es entera y

S no es una figura estándar. Demostró que para todo conjunto S existe un valor real D tal que la d-

medida es infinita para d < D y nula para d > D.

Mandelbrot, entonces, define un conjunto fractal como un subconjunto del espacio métrico tal

que

dimensión D de Hausdorff- Besicovitch > dimensión topológica DT

(Mandelbrot, 1997)

La dimensión de un fractal, cabe aclarar, debe adecuarse al problema o situación particular

por lo que en la rama aparecen varias definiciones distintas llegando a valores también distintos.

Para tener una idea de esto se observa que:

donde

DT es la dimensión topológica que es siempre un entero.

DHB es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales clásicos suele ser un número

irracional.

DMB es la dimensión de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a veces llamada dimensión de

Hausdorff.

DE es la dimensión de empaquetado.

D1 es la dimensión de entropía o dimensión de Kolmogorov.

DC es la dimensión del espacio euclídeo que contiene al fractal que también es un número entero.

SSoobbrree llaass ccuurrvvaass ddee JJuulliiaa aauuttooccuuaaddrrááttiiccaass yy ssuu ddiimmeennssiióónn

En el aparatado anterior se definió al conjunto de Julia como

f(z) = z2 + c

donde c y z son números complejos.

En 1906, Fatou plantea una función de la forma

x→f(x) = λx(1-x)

Cambiando el origen y la escala de las x y escribiendo μ = λ2 / 4 – λ / 2, esta función se puede

escribir como

x→f *(x) = x2 - μ .

Dichas funciones reciben el nombre de generador cuadrático.

Si bien elevar al cuadrado es una operación algebraica, se puede hacer una interpretación

geométrica, de manera que, frente a una transformación cuadrática que genere un conjunto invariante

a dicha transformación, se los denomina conjuntos autocuadráticos.

El ejemplo sencillo que transforma el punto de abscisa x en x2, determina que el conjunto de

los puntos autocuadráticos de la recta son x=0, x=∞ y x=1. El término μ (ó c, para nuestro caso),

introduce un abanico de posibilidades maravilloso. Además, estrictamente hablando, el parámetro del

que depende un generador cuadrático es λ, de su naturaleza dependerá las características de los

sistemas generados.

En palabras del propio Mandelbrot (1983), se puede tener una idea del funcionamiento del

generador autocuadrático:

“La curva cuadrática más simple se tiene para μ = 0, y se trata de la circunferencia z= 1.

La transformación z→f(z) convierte una cinta que envuelve una vez la circunferencia en una cinta

que da dos vueltas a la misma, dejando fijo el “empalme” en z =1. El máximo dominio acotado y

autocuadráticos correspondiente es el disco z≤ 1.

Sin embargo, si se introduce un μ ≠ 0 real, y luego un μ complejo, se abren las cajas de Pandora de

las posibilidades, las curvas fractales de Julia, tan gratas a la vista como al intelecto.” 2

Dicho autor, como ya se dijo, estudia minuciosamente las propiedades de estos conjuntos,

obteniendo información acerca de ramificaciones en función de λ, curvas ramificadas de separación

en función de μ, semillas de generación, átomos, moléculas y enlaces.

2 Mandelbrot, B.(1997). La geometría fractal de la naturaleza. Matemas.

Como corolario, y en función de los parámetros λ o μ, en el eje real, convergen a una sucesión

geométrica decreciente de razón δ = 4,66920… (La δ de Feigenbaum), la cual se demuestra que es

una propiedad más general de los fractales escalantes, en función del análisis de bifurcaciones y su

tendencia a ser idénticas.

Para concluir, el parámetro μ, determina la topología del mayor conjunto acotado

autocuadrático, dependiendo del lugar que ocupa respecto a una curva ramificada S, llamada

separador. Así, si μ cae fuera de S, el mayor conjunto acotado autocuadrático es un polvo; si μ

pertenece a S, el conjunto máximo correspondiente es un dominio limitado por una curva

autocuadrática. Se demuestra que estos polvos o curvas son fractales cuando μ ≠ 0.

La forma de una curva o polvo autocuadráticos varía continuamente con μ, por lo que D es

necesariamente una función de μ (o c, para nuestro trabajo).

Fig. 13 Representación de los valores calculados de D de los conjuntos de Julia mediante la DH, en

función de la variación de c.

Algunos conjuntos de Julia y sus dimensiones calculadas

Fig. 14 Conjunto de Julia para z2 – 1, D ≈ 1, 26835

Fig. 15 “Conejo de Douady” , D ≈ 1, 3934

Tabla 1 Dimensiones DH calculadas para los distintos c en el intervalo [-1; ½]

Tan es así la variación de los conjuntos de Julia, que también depende del método, como ya se dijo,

utilizado en el cálculo de la dimensión. Por ejemplo, basado en el estudio de la bifurcación de

puntos parabólicos periódicos, en 1991, Mitsuhiro Shishikura, demuestra que la DH = 2 para el

conjunto z2 + c.

MMúússiiccaa yy mmúússiiccaa ffrraaccttaall Antes de comenzar hablar de la música fractal. Se podría preguntar ¿Qué es la música? La

música tiene la capacidad de mover al ser humano tanto en el ámbito físico como en el psíquico. Se

la puede estudiar como un fenómeno sujeto a las leyes de la física, pero también es un fenómeno

estético-socio-cultural, librado a la crítica, interpretación y la subjetividad del contexto y conciencia

históricos.

“Si se cae un árbol en el monte, ¿hace ruido?”. Esta famosa frase, quizás ejemplifique

sencillamente las dos dimensiones de la música, en particular del sonido: un fenómeno físico,

objetivo y medible (si alguien para hacerlo, claro), asociado a la propagación de una perturbación en

un fluido; y la otra, de índole “subjetivo”, ya que tiene que existir un receptor que noticie e interprete

el efecto de dicha perturbación.

Los músicos suelen definir la música como el arte o disciplina de combinar notas, (sonidos y

silencios), mediante las armonías y contrastes entre ellas, y apuntan al “mensaje” musical y/o las

emociones que puedan generar en el oyente.

Como disciplina, el músico occidental moderno debe ajustarse a cierta metodología y lenguaje

propios de ella. La aclaración cabe, ya que la composición, ejecución y apreciación ha variado en la

historia de la humanidad, distinguiéndose incluso, por sus orígenes geográficos y socio-culturales. La

actividad de los músicos tiene miles de años de historia y de prehistoria también, siendo anterior a la

invención de la escritura.

A su vez, para producir sonidos hay que seguir reglas que provienen de las propiedades físicas

de los materiales y del aire, parámetros de los cuales entiende la física.

Pero, de alguna manera, músicos y físicos pueden hablar de lo mismo sin necesidad de ser

concientes de ello. Los físicos hablan de frecuencias, amplitudes y espectros de Fourier, y los

músicos hablan de altura, intensidad y timbre de los sonidos. Haremos solo un breve recorrido por

algunos conceptos que son funcionales a nuestro trabajo.

“Una melodía es una sucesión de sonidos y silencios que se desenvuelve en una secuencia

lineal y que tiene una identidad y significado propio dentro de un entorno sonoro particular. La

melodía parte de una base conceptualmente horizontal, con eventos sucesivos en el tiempo que

incluye cambios de alturas y duraciones, y en general incluye patrones interactivos de cambio y

calidad. El estudio de la armonía se refiere generalmente al estudio de las progresiones armónicas y

de los principios estructurales que las gobiernan. En la música occidental, la armonía es la

subdisciplina que estudia el encadenamiento de diversas notas superpuestas; es decir: la organización

de los acordes. Se llama "acorde" a la combinación de tres o más notas diferentes que suenan

simultáneamente (o que son percibidas como simultáneas, aunque sean sucesivas, como en un

arpegio). La armonía se refiere al aspecto vertical (simultáneo en el tiempo) de la música, que se

distingue del aspecto horizontal (la melodía, que es la sucesión de notas en el tiempo). La idea de

vertical y horizontal es una metáfora explicativa, relacionada a la disposición de las notas musicales

en una partitura: verticalmente se escriben las notas que se interpretan a la vez, y horizontalmente las

que se interpretan en forma sucesiva.” 3

Si se quiere, las definiciones anteriores sirven a modo de “topología” de la música, que nos dará

un parámetro de comparación y análisis más bien estructural acerca de qué es música y qué no.

Es interesante la definición de el compositor Claude Debussy, la música es "un total de fuerzas

dispersas expresadas en un proceso sonoro que incluye: el instrumento, el instrumentista, el creador

y su obra, un medio propagador y un sistema receptor".

Algunos han definido y estudiado a la música como un conjunto de tonos ordenados de manera

horizontal (melodía) y vertical (armonía), implica una organización; pero algunos teóricos modernos

difieren en que el resultado deba ser placentero o agradable. Además, la música es reconocida como

tal a partir de ciertos motivos repetitivos que la caracterizan tanto en frecuencia como temporalmente.

En términos generales la música depende de dos factores esenciales que son el sonido asociado

a una frecuencia audible y de la duración de dichos sonidos, inclusive los silencios.

El sonido es la sensación percibida por el oído al recibir las variaciones de presión generadas

por el movimiento vibratorio de los cuerpos sonoros. Se transmite por el medio que los envuelve, que

generalmente es el aire de la atmósfera. La ausencia perceptible de sonido es el silencio, aunque es

una sensación relativa, ya que el silencio absoluto no se da en la naturaleza.

Fig. 16 Ejemplos de señales compuestas y sus componentes armónicas

3 http://es.wikipedia.org/wiki/melo%c3%ADa

El sonido tiene cuatro parámetros fundamentales:

La altura es el resultado de la frecuencia que produce un cuerpo sonoro; es decir, de la cantidad

de ciclos de las vibraciones por segundo o de Herz (Hz) que se emiten. De acuerdo con esto se

pueden definir los sonidos como "graves" y "agudos". Cuanto mayor sea la frecuencia, más agudo (o

alto) será el sonido. La longitud de onda es la distancia medida en la dirección de propagación de la

onda, entre dos puntos cuyo estado de movimiento es idéntico; es decir, que alcanzan sus máximos y

mínimos en el mismo instante.

La duración corresponde al tiempo que duran las vibraciones que producen un sonido. La

duración del sonido está relacionada con el ritmo. La duración viene representada en la onda por los

segundos que ésta contenga.

La intensidad es la fuerza con la que se produce un sonido; depende de la energía. La

intensidad viene representada en una onda por la amplitud. Mediante el análisis de Fourier, se puede

obtener cuantitativamente esta información en la Densidad Espectral de Energía o Potencia.

El timbre es la cualidad que permite distinguir los diferentes instrumentos o voces a pesar de

que estén produciendo sonidos con la misma altura, duración e intensidad. Los sonidos que

escuchamos son complejos; es decir, son el resultado de un conjunto de sonidos simultáneos (tonos,

sobretonos y armónicos), pero que nosotros percibimos como uno (sonido fundamental). El timbre

depende de la cantidad de armónicos o la forma de la onda que tenga un sonido y de la intensidad de

cada uno de ellos, a lo cual se lo denomina espectro. El timbre se representa en una onda por el

dibujo. Un sonido puro, como la frecuencia fundamental o cada sobretono, se representa con una

onda sinusoidal, mientras que un sonido complejo es la suma de ondas senoidales puras. El espectro

es una sucesión de barras verticales repartidas a lo largo de un eje de frecuencia y que representan a

cada una de las senoides correspondientes a cada sobretono, y su altura indica la cantidad que aporta

cada una al sonido resultante. Mediante el análisis de Fourier, nuevamente, se puede obtener la

composición en frecuencia de una señal, también llamado análisis espectral. (Ver figura 16)

Dicho todo esto, podría decirse que, prácticamente cualquier arreglo de sonidos, ya sea

horizontal o verticalmente, es música. Incluso, el oído humano puede detectar todas las frecuencias

entre los 16 Hz y los 20 kHz, entre las cuales están algunas frecuencias particulares que identificamos

como notas. Pero la experiencia no nos dice eso. Por ejemplo, en la tabla 2 Se pueden observar las

notas, pertenecientes a la tercera octava, y sus frecuencias correspondientes. Quizás sean cuestiones

estéticas/culturales, en primera instancia, las que determinan si algo es música o no, e inclusive, si es

agradable o no de escuchar. Lo cierto es que la forma en que el oído y el cerebro interpretan los

sonidos no es simple, ni está totalmente entendida.

Nota Frecuencia [Hz] Nota Frecuencia [Hz]

Do3: 261,626 Fa# 3: 369,994

Do# 3: 277,183 Sol 3: 391,995

Re 3: 293,665 Sol#3: 415,305

Re# 3: 311,127 La 3: 440

Mi3: 329,628 La# 3: 466,164

Fa 3: 349,228 Si3: 493,883

Tabla 2. Notas y frecuencias

Por lo pronto, se sabe que lo importante son los cocientes entre las frecuencias, y no tanto la

frecuencia en si. Dadas dos frecuencias f1 y f2, importa más el cociente f1 / f2, que el valor absoluto de

f1 y f2.

El cerebro realiza un análisis de la señal sonora que recibe, de manera que, para algunos

cocientes, se le simplifica esta tarea. Tan es así, que si el cerebro recibe sonidos compuestos de

muchas frecuencias con igual intensidad, sólo se percibe un ruido y no una nota. Sin embargo, cuando

el sonido está compuesto por frecuencias que son múltiplo una de otra y que son parte de una serie o

espectro de Fourier, el cerebro podrá interpretar una nota, la cual corresponde a la frecuencia

fundamental y las otras son interpretadas como armónicos.

Si las frecuencias que percibe el cerebro están demasiado próximas, aproximadamente un 1%,

se percibe como una sola frecuencia promedio de las dos, que a su vez sube y baja de volumen con

una frecuencia igual a la diferencia entre ellas. Esta modulación es conocida como reverberación o

batido, y que en general, resulta “desagradable musicalmente”.

En cambio, cuando la relación entre frecuencias puede expresarse como fracciones enteras, es

interpretado como “agradable musicalmente”

f1 / f2 = M / N , donde M y N son números enteros y pequeños.

Esto es porque se interpretan estas frecuencias como provenientes de la suma de componentes

de Fourier de un sonido más complejo. Así se simplifica la tarea del sistema nervioso para analizar

los sonidos, y se especula con que la sensación agradable proviene de que al cerebro le resulta más

fácil su trabajo.

Ya en la Antigüedad, Pitágoras reconoce esta relación para sonidos consonantes, sin medir las

frecuencias, pero si estableciendo relaciones entre los largos de las cuerdas de los instrumentos y los

sonidos que producían. Estas consonancias son denominadas en música como intervalos.

Cociente

de frecuencias

Intervalo

musical 1 / 1 Unísono

2 / 1 Octava

3 / 2 Quinta

Consonancia perfecta:

4 / 3 Cuarta

5 / 3 Sexta mayor

5 / 4 Tercera mayor

6 / 5 Tercera menor

Consonancia imperfecta:

8 / 5 Sexta menor

Tabla 3 Intervalos musicales y la relación entre frecuencias (Pérez, 2000)

En función de este conocimiento, las escalas con las que se compone la música responden a

estos intervalos. Dependiendo la relación entre ellos se caracterizan las escalas, ajustándose estas

relaciones a ciertas reglas y estructuras. Por ejemplo las escalas mayores se caracterizan por tener

siempre la tercera mayor (5/4), quinta (3/2), y sexta mayor (5/3). Esto significa que dentro de las 12

notas (frecuencias), eligiendo adecuadamente los intervalos entre ellas, se pueden obtener todas las

escalas mayores para todas las tonalidades. Lo mismo sería para obtener las escalas menores, que se

caracterizan por tener la tercera menor (6/5), quinta (3/2), y sexta menor (8/5). Para el caso de la

escala de Do serían:

Mayor Frecuencias [Hz] Menor Frecuencias [Hz]

Do (tónica) 261,626 Do (tónica) 261,626

Mi (3ª mayor) 329,628 Re # (3ª menor) 311,127

Sol (quinta) 391,995 Sol (quinta) 391,995

La (6ª mayor) 440 Sol # (6ª menor) 415,305

En música, y en la construcción de instrumentos, importan estas relaciones y se aprovechan las

posibilidades que proporcionan las múltiples combinaciones para obtener distintas texturas y

cualidades a la hora de la composición y ejecución. Existen una gran multiplicidad de variantes, con

el agregado de alteraciones, donde quizás haya dos notas distintas entre dos escalas, pero un mundo

distinto de matices surgen de ellas. Una pieza hermosa es “Las cuatro estaciones” de Antonio Vivaldi,

donde utilizando dos escalas en la misma tonalidad, pero una mayor y otra menor, puede ejemplificar

esto. Nos referimos al “Concierto Nº3 en Fa Mayor, Otoño” y al “Concierto Nº4 en Fa Menor,

Invierno”. Dejamos al lector su apreciación.

MMúússiiccaa ffrraaccttaall El principio fundamental de la música fractal reside en la proyección del comportamiento

dinámico o la estructura de un fractal sobre un espacio musical. Aunque esta forma de composición

suele presentarse como opuesta a la de la música tradicional, en determinadas épocas de la historia,

ciencia y arte han estado más ligados que en otras.

El músico fractal es ahora el que se apropia de las matemáticas como fuente de inspiración para

su obra, buscando trasladar al plano musical una serie de rasgos propios de los conjuntos fractales.

El proceso de traducción de los conceptos de autosemejanza y autorreferencia al plano

musical supone ya un primer esfuerzo creativo para el autor de música fractal, el cual ha de identificar

arbitrariamente elementos de una y otra disciplina.

En la actualidad existen múltiples programas para generar fractales y música fractal,

aprovechando distintas variables y características de los fractales utilizados. En el trabajo MÚSICA

FRACTAL: EL SONIDO DEL CAOS Juan Antonio Pérez Ortiz, (2000), detalla y analiza distintos

fractales y luego hace una descripción de distintos programas y algoritmos de música fractal.

Haremos un breve resumen de dicha información a modo de tener un panorama del estado del arte:

* “Gary Lee Nelson explota las propiedades de la ecuación logística como origen de una

síntesis granular. En la síntesis granular se agrupan un gran número de pequeños sonidos para formar

estructuras más complejas, de la misma manera que los pintores puntillistas crean imágenes a partir

de puntos muy pequeños de colores. La frecuencia, amplitud y timbre de cada sonido (gránulo) y la

forma de combinarlos determinan el sonido resultante. Una forma sencilla de crear una melodía es

partir de una secuencia de números enteros positivos e ir asignando a cada uno una determinada nota

musical, por ejemplo, do para el 1, re para el 2, etc. Para obtener un buen resultado es necesario que

los valores de la secuencia estén acotados de manera que las notas generadas no pertenezcan a

octavas muy alejadas.

* La secuencia de Morse-Thue es una secuencia binaria con propiedades sorprendentes. La

secuencia puede generarse recursivamente comenzando con un 0 y duplicando en cada paso la

longitud de la secuencia al añadirle la secuencia complementaria a la actual: 0, 01, 0110, 01101001…

* El programa MusiNum desarrolla la idea anterior y la extiende de varias formas:

Tabla 4 Notas obtenidas a partir de una secuencia, autosemejante y aperiódica como la de

Morse-Thue (notación americana c= do y subsiguientes)

Fig 17 Ventana del programa MusiNum

* El programa TheWell Tempered Fractal (TWTF) permite proyectar diez tipos de atractores

extraños (tal como el atractor de Duffing) sobre 21 escalas diferentes. TWTF realiza esta proyección

siguiendo una serie de principios, también seguidos por otros programas de música fractal:

- Aunque el oído humano puede percibir un rango enorme de frecuencias, en la música

preferimos escalas discretas.

- El oído humano puede percibir un rango de ocho octavas aproximadamente, pero la mayor

parte de las melodías usan un pequeño subconjunto de todas esas notas.

- La resolución de la música es mucho menor que la de una imagen fractal; utilizar toda la

información disponible en un fractal produciría una composición excesivamente larga y complicada.

- La música que carece de un patrón reconocible no es interesante. Es necesario un cierto orden

en las melodías que las hagan comprensibles, pero ese patrón de orden tampoco ha de ser muy

previsible.

El objetivo de TWTF es, según su autor, producir información musical que los compositores

puedan manipular para crear sus piezas, no producir directamente música.

Fig 18 Ventana del TheWell Tempered Fractal

* Mediante la sucesiva aplicación de las reglas de derivación un sistema L genera una cadena.

Una posibilidad es interpretar la cadena en términos musicales, de manera que a cada símbolo le

corresponda la generación de un determinado tono, acorde, duración o timbre. LMuse interpreta

sistemas L. Los sistemas L reescriben recursivamente una cadena de símbolos según un conjunto de

reglas de transformación. La secuencia resultante se interpreta en LMuse como una serie de órdenes

para una tortuga que dibuja conforme se mueve, pero que también escribe música. En la figura ¿? se

muestra una imagen del programa. Los movimientos de la tortuga se hacen corresponder con

variaciones en la altura. La longitud de cada trazo determina la duración de la nota y el grosor de la

línea, el volumen. El color determina el instrumento utilizado y las ramas, que aparecen como

resultado del uso de la pila, generan polifonías.

Fig 19 Ventana del LMuse

* La idea tras la utilización del conjunto de Mandelbrot como generador de música fractal, es

la de tomar un punto z del plano complejo e iterar sobre él la ecuación f(z) = z2 + c. Esta iteración

producirá una secuencia de puntos complejos a los que se aplicará una determinada transformación

que los convierta en notas musicales. Cuando el módulo del punto de la trayectoria sea superior a 2

(condición que como vimos garantiza que la trayectoria escapará al infinito), la trayectoria y la

melodía comenzarán de nuevo desde el punto inicial. El programa Gingerbread va más allá, sin

embargo, y presenta tal cantidad de posibilidades y efectos que los resultados obtenidos se enriquecen

enormemente. Gingerbread dispone, además, de varias operaciones gráficas que pueden efectuarse

sobre las imágenes de los fractales.

Fig 20 Ventana del Gingerbread

MMééttooddooss

Esencialmente, se desarrolla un software original y por ello, se fue evaluando y depurando

mediante la prueba y error.

La estructura del software constará de una matriz asociada a un conjunto fractal, cuyos

elementos serán asociados a los tiempos de los sonidos y una matriz de elementos aleatorios para la

selección de los sonidos, de manera que la función “musica” vincula estas dos matrices.

En el siguiente esquema, se puede observar la estructura completa del programa. Este intenta

describir las funciones que intervienen en el programa, el orden de ejecución y la interacción entre las

mismas.

Script FRACTALES

Función Musica

Función Julia

Función re

Función alea

Función A

Función E

Función C_S

A continuación se detalla cada uno de los algoritmos que se ha desarrollado en este trabajo de

investigación.

El programa principal que vincula las funciones es el siguiente:

Archivo Script FRACTALES.m

Es un script que contiene un menú que permite seleccionar diferentes bloques compuestos de:

“C”(condiciones iniciales), y “p”(puntos, a partir de los cuales se genera la matriz de datos); para

aplicar al conjunto de Julia, mediante el cual es posible apreciar la ejecución de una melodía y el

gráfico de dicho sistema fractal.

A continuación se puede apreciar el código del script “FRACTALES.m”.

clear op=1; while op ~= 6 op=menu('Programa: Musica fractal','1 Conjunto Julia, c=0.27334-0.00742*i ','2 Conjunto de Julia, c=-1.312; ','3 Conjunto de Julia “ Dendrita”, c=i ','4 Conjunto de Julia

“Conejo de Douady”, c=0.285+0.535*i; ','5 Conjunto de Julia, c=-0.835-0.2321*i; ','6 Salir'); switch op case 1 c=0.27334-0.00742*i; p=200;

Fig. 21. Ventala del menú generado por el script FRACTALES

musica(c,p); case 2 c=-1.312; p=500; musica(c,p); case 3 c=i; p=500; musica(c,p); case 4 c=0.285+0.535*i; p=500; musica(c,p); case 5 c=-0.835-0.2321*i; p=700; musica(c,p); case 6 break; end end Las funciones que intervienen en el algoritmo son las siguientes:

AA.. GGeenneerraacciióónn ddee ssoonniiddooss.. Las notas musicales están asociadas a una frecuencia característica, ellas son:

Tabla de frecuencias y notas:

La función, que genera el sonido de la nota LA es el siguiente: Function a=A(ti); %Frecuencia de muestreo fm=8000; %frecuencia sonido, nota musical La fr=440; %Duración en segundos duracion=ti; t=0:1/fm:duracion; % Señal senoidal

a=sin(fr*2*pi*t); %La hacemos sonar sound(a,fm); Donde

‘fr’ es la frecuencia característica que variará según el sonido que se quiera ejecutar.

‘ti’ es el tiempo de duración de dicho sonido, que proviene de la matriz fractal.

La función, que genera el sonido de la nota MI es el siguiente: function e=E(ti); %Frecuencia de muestreo fm=8000; %frecuencia sonido, nota musical MI fr=659,255; %Duracion en segundos duracion=ti; t=0:1/fm:duracion; % Señal senoidal e=sin(fr*2*pi*t); %La hacemos sonar sound(e,fm); La función, que genera el sonido de la nota DO# es el siguiente: function c=C_S(ti); %Frecuencia de muestreo fm=8000; %frecuencia sonido, nota musical DO# fr=554,365; %Duracion en segundos duracion=ti; t=0:1/fm:duracion; % Señal senoidal c=sin(fr*2*pi*t); %La hacemos sonar sound(c,fm);

BB.. MMaattrriizz aalleeaattoorriiaa Function x=alea(n); x=round((rand(1,3)).*n); end Esta función genera una matriz de números enteros entre 0 y 2, para la vinculación aleatoria con

las notas musicales.

CC.. MMaattrriizz ffrraaccttaall

Archivo Función Julia.m

Genera a partir de un procedimiento iterativo, la matriz de datos del conjunto de Julia.

function jus=julia(c1,pun); puntos=pun; puntosx=linspace(-3.1,1.9,puntos); puntosy=linspace(-2.5,2.5,puntos); [X,Y]=meshgrid(puntosx, puntosy); c=c1; Z=X+Y*i; iteraciones=20; for k=1:iteraciones Z=Z.^2+c; W=exp(-abs(Z)); end pcolor(W);%grafica el fractal shading flat; jus=W;

DD.. TTrraattaammiieennttoo ddeell vveeccttoorr jjuulliiaa..

Como se ha mencionado en líneas anteriores, los valores almacenados en el vector Julia se

utilizarán como tiempo de ejecución de las notas musicales, debido a que el promedio de elementos

obtenidos en general es de 200.000 se ha detectado la necesidad de reducir el vector para que el

tiempo de ejecución de cada sistema sea relativamente razonable, para tal fin se diseñó la función

re.m.

La función re.m consta de una estructura de repetición o bucle que evalúa los datos

almacenados en el vector de la siguiente manera:

El algoritmo recorre el vector mientras los datos pertenezcan al mismo intervalo, los intervalos

definidos son los siguientes: menor a 0.26, entre 0.26 y 0.45, entre 0.45 y 0.66, entre 0.66 y 0.85 y

mayores de 0.85.

Para explicar este procedimiento se tomará por ejemplo es siguiente vector:

0.15 0.17 0.22 0.26 0.28 0.55 0.45 0.49 0.67 0.69 0.54 0.98 0.75 Vector ju

La función comienza evaluando el primer elemento del vector, en este caso es 0.15, el valor

corresponde al intervalo menor a 0.26, por lo que continua el recorrido del vector hasta encontrar un

dato mayor o igual a 0.26. Cuando ocurre esta situación la función realiza las siguientes acciones: en

primer lugar asigna al vector ju3 el valor 0.2 y luego se evalúa el dato que interrumpió el recorrido

del vector para identificar a que intervalo de datos pertenece y repetir los pasos anteriores. De tal

manera que a partir del vector que tomamos por ejemplo el vector resultante ju3 sería:

Vector ju3 0.2 0.4 0.6 0.8 0.6 1

CCóóddiiggoo ddee llaa ffuunncciióónn rree..mm

function [v,xlim]=re(ju, xli) %Archivo función re.m %Reduce el vector julia. y2=1; y=1; while y < xli-1 if ju(y)<0.26 while ju(y)<0.26 & y < xli-1 y=y+1; end; ju3(y2)=0.2; y2=y2+1; end; if ju(y)>= 0.26 & ju(y)<0.45 while ju(y)>= 0.26 & ju(y)<0.45 & y < xli-1 y=y+1; end; ju3(y2)=0.4; y2=y2+1; end; if ju(y)>= 0.45 & ju(y)<0.66 while ju(y)>= 0.45 & ju(y)<0.66 & y < xli-1 y=y+1; end; ju3(y2)=0.6; y2=y2+1; end; if ju(y)>= 0.66 & ju(y)<0.85 while ju(y)>= 0.66 & ju(y)<0.85 y=y+1; end; ju3(y2)=0.8; y2=y2+1; end; if ju(y)>=0.85 while ju(y)>= 0.85 y=y+1; end; ju3(y2)=1;

y2=y2+1; end; end; v=ju3; xlim=y2;

EE.. LLaa ffuunncciióónn MMúússiiccaa

El archivo función musica.m vincula las funciones mencionadas con anterioridad. En primer

lugar invoca la función “julia” para que se cree la matriz julia; se utilizarán los valores de ésta como

tiempo de ejecución de las notas musicales. Luego se procede a convertir la matriz en un vector; en

este procedimiento, además, se eliminan los valores por debajo de 0.1 ya que una nota musical

ejecutada con un tiempo inferior a este no sería audible.

Mediante la función “re”, se reduce el tamaño del vector.

A continuación se invoca la función alea para que genere 3 elementos aleatorios entre 0 y 2,

mediante esto se garantiza que las notas musicales vayan variando a media que se ejecuta el

algoritmo.

Inmediatamente después se toman tres elementos del vector julia, o sea tres tiempos y se llama

a la ejecución de las notas musicales con dichos elementos.

Código de la función musica.m

function toca=musica(c,p) m=1; it= p; gg=0.1; ju2=julia(c,p); pcolor(ju2); shading flat; xli=1; for i=1:p for j=1:it if ju2(i,j)> gg % evaluar cuales son los tiempos validos que tiene que tomar ju(xli)= ju2(i,j);%convierte la matriz de julia en un vector xli=xli+1; end end end fin=1; x=2;% se utiliza con la función alea para que devuelva numeros aleatorios entre 0 y 2

[otro,xim]=re(ju, xli);%otro=reduce el vector julia, xim da la cantidad de elementos del nuevo vector julia

ju=otro; xli=xim; while (fin<xli/3)&(m<xli/3) v=alea(x);%crea un vector de tres elementos aleatorios, las siguientes estructuras selectivas

if toman 3 valores del vector ju y se los asignan al vector tiempo. if (m<xli) tiempo(1)=ju(m); m=m+1; if (m<xli) tiempo(2)=ju(m); m=m+1; if (m<xli) tiempo(3)=ju(m); m=m+1; end; end; end; %A continuación se ejecutan las notas musicales con los tiempos extraídos del vector julia for i=1:3 if v(i)==0 A(tiempo(1)); pause(tiempo(1)); elseif v(i)==1 E(tiempo(2)); pause(tiempo(2)); else v(i)==2 C_S(tiempo(3)); pause(tiempo(3)); end; end; fin=fin+3; end;

RReessuullttaaddooss En la figura 1.1 se puede visualizar el gráfico resultante de seleccionar la primer opción del

script “fractales.m”, cuya condición inicial es c= 0.27334-0.00742*i; y la cantidad de puntos

utilizados es de 40.000 (p=200). La melodía generada se puede apreciar ejecutando el archivo

“frac1.wav”.

En la figura 1.2 se puede visualizar el gráfico de la señal de audio real del archivo frac1.wav,

en las figuras 1.3, 1.4 y 1.5 se visualiza el análisis de la señal de audio real.

Fig 1.1: Conjunto de Julia

Fig 1.2: Señal de Audio real del archivo frac1.wav

Fig 1.5: Densidad Espectral de Energía (continua)

Fig 1.4: Densidad Espectral de Energía (discreta)

En la figura 2.1 se puede visualizar el gráfico resultante de seleccionar la segunda opción del

script “fractales.m”, cuya condición inicial es c=-1.312; y la cantidad de puntos utilizados es de

250.000 (p=500).

Fig 2.1: Conjunto de Julia, c=-1.312;

En la figura 2.2 se puede visualizar el gráfico de la señal de audio real del archivo frac2.wav,

en las figuras 2.3, 2.4 y 2.5 se visualiza el análisis de la señal de audio real.

Fig 2.2: Señal de Audio real del archivo frac2.wav

Fig 2.3: Espectro de amplitud

Fig 2.4: Densidad Espectral de Energía (discreta)

Fig 2.5: Densidad Espectral de Energía (continua)

En la figura 3.1 se puede visualizar el gráfico resultante de seleccionar la tercera opción del

script “fractales.m”, cuya condición inicial es c=i; y la cantidad de puntos utilizados es de 250.000

(p=500).

Fig 3.1: Conjunto de Julia “ Dendrita”

En la figura 3.2 se puede visualizar el gráfico de la señal de audio real del archivo frac3.wav,

en las figuras 3.3, 3.4 y 3.5 se visualiza el análisis de la señal de audio real.

Fig 3.2: Señal de Audio real del archivo frac3.wav

Fig 3.3: Espectro de amplitud

Fig 3.4: Densidad Espectral de Energía (discreta)

Fig3.5: Densidad Espectral de Energía (continua)

En la figura 4.1 se puede visualizar el gráfico resultante de seleccionar la cuarta opción del

script “fractales.m”, cuya condición inicial es c=0.285+0.535*i; y la cantidad de puntos utilizados es

de 250.000 (p=500).

Fig 4.1: Conjunto de Julia “Conejo de Douady”

En la figura 4.2 se puede visualizar el gráfico de la señal de audio real del archivo frac4.wav,

en las figuras 4.3, 4.4 y 4.5 se visualiza el análisis de la señal de audio real.

Fig 4.2: Señal de Audio real del archivo frac4.wav

Fig 4.3: Espectro de amplitud

Fig 4.4: Densidad Espectral de Energía (discreta)

En la figura 5.1 se puede visualizar el gráfico resultante de seleccionar la quinta opción del

script “fractales.m”, cuya condición inicial es c=-0.835-0.2321*i; y la cantidad de puntos utilizados es

de 490.000 (p=700).

En la figura 5.2 se puede visualizar el gráfico de la señal de audio real del archivo frac5.wav,

en las figuras 5.3, 5.4 y 5.5 se visualiza el análisis de la señal de audio real.

Fig 5.1: Conjunto de Julia, c=-0.835-0.2321*i;

Fig4.5: Densidad Espectral de Energía (continua)

Fig 5.2: Señal de Audio real del archivo frac5.wav

Fig 5.4: Densidad Espectral de Energía (discreta)

Fig 5.3: Espectro de amplitud

Fig5.5: Densidad Espectral de Energía (continua)

CCoonncclluussiioonneess La aplicación permite seleccionar al usuario diferentes sistemas que se generan a partir del

conjunto de Julia, donde es posible apreciar la notable variación del mismo según se modifique la

condición inicial. Esto se puede contemplar tanto en las gráficas características como en desarrollo

temporal de las melodías generadas.

Ahora bien, respecto de la fractalidad de las melodías, es necesario aclarar que en el tratamiento

del vector Julia se realiza un filtrado de los valores obtenidos y por ende no sería estrictamente

música fractal, esto fue necesario debido a que la cantidad de dichos valores generaban sonidos

imperceptibles para el oído, y melodías excesivamente extensas.

Como la base de un fractal es un patrón, es decir, que es la iteración de una expresión algebraica, se puede decir entonces, que existe un patrón de puntos, que generan el fractal, y a los cuales se lo puede asociar a algunas notas determinadas.

En este sentido, al ser los sonidos generados aleatoriamente y predeterminados, tampoco hay un

patrón o estructura que se repita y se distinga a distintas escalas. Principalmente el criterio tomado

para generar la melodía fue estrictamente estético, ya que por ejemplo teniendo en cuenta el conjunto

de Cantor, se podría tomar un intervalo de frecuencias, como un segmento, el cual fraccionar, realizar

una variación u operación y repetir este procedimiento en cada elemento de dicho segmento. Esto

significaría variaciones en la frecuencia que no necesariamente generarían sonidos pertenecientes a

los sonidos de la escala occidental pero si se mantendría la fractalidad.

En cuanto al análisis espectral, se obtienen, en frecuencia, los mismos resultados ya que son

utilizadas las mismas notas (frecuencias). Las frecuencias representadas son las correspondientes a

cada nota y no hay armónicos respectivos, ya que la señal de audio es una sinusoide pura. Esta

pureza, en cuanto al sentido auditivo, produce cierta monotonía y no es percibido de forma agradable.

Los sonidos reales no son puros, presentan un timbre característico y sus armónicos correspondientes,

situación que el cerebro recibe con más simpatía.

En cuanto a estudios más rigurosos sobre la música y sus propiedades, se pueden nombrar dos

propiedades vinculadas con los fractales, su carácter de escalantes. Estudios sobre la escala templada

y su relación con el espectro de frecuencias, mediante extrapolación de las frecuencias fundamentales

de distintos instrumentos, se obtiene un espectro idéntico al de la función de Weierstrass modificada.

Fig 22. Función de Weierstrass en el intervalo

[−2, 2]. La función tiene un comportamiento fractal.

Por otro lado, la relación 1/f es denominada ruido escalante, asociado a la variación temporal

de distintas medidas de la señal acústica, como la energía (o potencia) o la frecuencia instantánea.

Sobre estas características, se estudian las obras de compositores muy distintos como Bach,

Beethoven y The Beatles y las medidas de esos dos parámetros resultan ser ruidos escalantes. Incluso

en producciones aleatorias de música, se encuentra que el sonido resultante es casi “música” cuando

la causa es un ruido escalante.

En definitiva, parece ser que estos monstruos matemáticos en su génesis, hoy son una valiosa

herramienta de análisis de sistemas dinámicos, que proveen la posibilidad de simulaciones o

emulaciones de procesos naturales extremadamente complejos que pueden ir desde la apreciación

musical, la formación de galaxias o la interpretación de fluctuaciones de energía en el vacío cuántico.

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