Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Perencanaan dan Pengendalian Proyek

PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE (PERT) Mawardi Amin

10 TEKNIK

Teknik Sipil

Ikhtisar

1. KONSEP PROBABILITAS DALAM CPM.

2. FUNGSI KEPADATAN DISTRIBUSI.

3. CENTRAL LIMIT THEOREM.

4. PERHITUNGAN PROBABILITAS PENYELESAIAN PROYEK.

5. PENERAPAN DALAM NETWORK.

6. CONTOH PERHITUNGAN.

Bagian Isi

KONSEP PROBABILITAS DALAM CPM (1)

PRODUKTIFITAS

VOLUME DURASI =

A

d A 8 =

Deterministik

di anggap tetap

di anggap tetap

PRODUKTIFITAS

VOLUME

D = A

A

4

KONSEP PROBABILITAS DALAM CPM (2)

1. Sebenarnya banyak faktor yang dapat menyebabkan bahwa dA tidak bersifat deterministik, misalnya ketidak-pastian:

- cuaca;

- pasokan material dan tenaga kerja;

- peralatan rusak;

- produktifitas; bervariasi;

- dll.

2. Sering ditanyakan kapan proyek selesai, karena ada aktifitas lain yang menunggu; pemakaian oleh users, dll.

3. Dalam hal ini, lebih tepat memandang dA sebagai bilangan random, bukan bilangan deterministik.

4. Random variable merupakan besaran yang tidak dapat dipastikan, namun setiap besarannya dapat dikaitkan dengan probabilitas kejadiannya.

5

KONSEP PROBABILITAS DALAM CPM (3)

5. Misalnya:

- terdapat kemungkinan 50% bahwa proyek dapat diselesaikan dalam waktu dA = 10 hari;

- terdapat kemungkinan 80% bahwa proyek dapat diselesaikan dalam waktu dA = 14 hari;

- dstnya.

6. Suatu random variabel terdistribusi menurut Probability Density Function (PDF) atau Fungsi Kepadatan Distribusi tertentu.

7. Setiap PDF mempunyai paramater tertentu.

8. PDF yang paling sering dipakai dalam analisis PERT adalah:

a. PDF Normal Parameter:

m = nilai rata-rata, dan

s = standar deviasi

6

KONSEP PROBABILITAS DALAM CPM (4)

b. PDF Beta Parameter: a = waktu optimis;

m = Waktu paling mungkin;

b = waktu pesimis.

c. Sangat sulit untuk menetapkan: a, m, b; kegiatan mengikuti kurva Beta hanya merupakan pendekatan (tidak selamanya tepat), hanya dapat dilakukan jika banyak pengalaman.

7

FUNGSI KEPADATAN DISTRIBUSI (1)

1. PDF Normal; parameter:

- mx = mean = nilai rata-rata;

- sx = standard deviasi.

n

xi mx S

=

1 n

) xi - Σ (x σx

2

2

- =

N (mx , sx)

= te mx

Median (te):

P (t < te) = 50%

t e

= mx

2 t e

= s σx2

FUNGSI KEPADATAN DISTRIBUSI (2)

2. PDF Beta; parameter:

- a = waktu optimis (hanya 1% kejadian lebih cepat);

- m = waktu paling mungkin;

- b = waktu pesimis (hanya 1% kejadian lebih lambat).

6

b 4m a t e

+ + =

2

2

t 6

a - b e

= s

Median (te):

P (t < te) = 50%

m a b

1% 1%

9

CENTRAL LIMIT THEOREM

1 2 3 4 5

A B C D

a = 4

m = 6

b = 8

t e

= 6

s te

2 = 4 / 9

a = 3

m = 8

b = 9

t e

= 7 , 33

s te 2

= 1

a = 2

m = 4

b = 7

t e

= 4 , 16

s te 2

= 25 / 36

a = 4

m = 5

b = 6

t e

= 5

s te 2

= 1 / 9

= 6 + 7,33 + 4,16 + 5 = 22,5 D C B A

e e e e e t t t t T + + + =

2 D e

t C e

t B e

t A e

t e T

Var s + + + = Var Var Var = 2.25

e T s = 1,5 dan mengikuti distribusi Normal.

Catatan: Asumsi kegiatan A,B,C, dan D adalah bebas statistik

Dengan diketahunya TE dan sTe yang berdistribusi normal, maka dapat dihitung

seluruh probabilitas melalui tabel distribusi standar normal.

10

PERHITUNGAN PROBABILITAS

PENYELESAIAN PROYEK (1)

1. Jika berdasarkan perhitungan terdahulu dikatakan suatu proyek berdurasi TE mengikuti distribusi (PDF) normal dengan:

- mean = m = 22,5 (hari);

- standard deviasi = = 1,5;

- atau ditulis N (m , ) N (22,5;1,5).

2. Maka dapat dihitung probabilitas proyek dapat diselesaikan:

- untuk suatu hari tertentu, misalnya 20 hari atau 24 hari;

- probabilitas proyek dapat diselesaikan dalam 22,5 hari adalah 50%, karena mengikuti Distribusi Normal.

e T s

e T

e T e T

s

11

PERHITUNGAN PROBABILITAS

PENYELESAIAN PROYEK (2)

3. Atau, dapat pula dihitung:

- ’jumlah hari yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek’

jika probabilitas keberhasillan penyelesaiannya ditetapkan misalnya 90%, 95%, dstnya.

4. Dengan cara yang sama, probabilitas penyelesaian setiap event dapat dihitung:

- misalnya diminta untuk menghitung probabilitas selesainya

kejadian atau event-event tertentu dalam network.

12

Tranformasi Distribusi Normal menjadi Distribusi Standard Normal

σx (mx, ) , N N (0, 1) Transformasi variabel

sX

x – mX = z

N (0, 1)

N (Te, sTe)

2

2

1

exp

2

- =

X -

π σx

1 (x) f

sX _

mX

PERHITUNGAN PROBABILITAS

PENYELESAIAN PROYEK (3)

2

2 π exp =

z 1 (z) f 2

1 - _

13

PERHITUNGAN PROBABILITAS

PENYELESAIAN PROYEK (4)

5. Misalnya berapa probabilitas proyek dapat diselesaikan dalam 24 hari atau P (x < 24):

- Hitung t = ( x – mx)/sx = (24 – 22,5)/1,5 = 1;

- Dari tabel ’distribusi standar normal’ dapat dibaca Probabilitas (t < 1) = 0, 8413.

- Jadi kemungkinan proyek dapat diselesaikan dalam 24 hari adalah 84,13%.

22,5 24

0,8413

N (22,5; 1,5)

14

PERHITUNGAN PROBABILITAS

PENYELESAIAN PROYEK (5)

6. Atau berapa waktu harus disediakan agar probabilitas proyek dapat diselesaikan adalah 95%:

- Probabilitas: P (z < zx) = 90%;

- Dari tabel ’distribusi standar normal’ dapat dibaca bahwa untuk P (z < zx) = 95%, diperoleh z = 1,64.

- z = (x – mx ) sx = (x – 22,5)/1,5 = 1,64

- Maka diperoleh x = 24,96; atau perlu disediakan waktu 24,96 hari, agar 95% yakin proyek dapat diselesaikan.

22,5 x = 24,96

95%

N (22,5; 1,5)

15

PENERAPAN DALAM NETWORK (1)

1. Biasanya yang ditinjau jalur kritis; karena jalur kritis merupakan jalur terpanjang; dan jumlah durasi-nya sama dengan waktu penyelesaian proyek.

0 0 1

5

5 2 12

12 4

E

9

13

14 5

19

20 6

22

22 7

10

11 3 A

10

B

5

H 2

C

7

J

10

Jalur Kritis

Ket:

16

PENERAPAN DALAM NETWORK (2)

2. Durasi jalur kritis (B-C-J) adalah 22 hari, selanjutnya perlu diketahui bagaimana karakteristik distribusinya.

3. Namun demikian, perlu hati-hati terhadap jalur lain dimana:

- Te sedikit lebih kecil dari Te jalur kritis, tetapi jumlah variance-nya (sTe

2) lebih besar.

4. Tidak selamanya jalur kritis menentukan, misalnya dalam contoh diatas:

- jalur kritis (B-C-J) Te = 22 hari;

- jalur lain (A-D-I) Te = 21 hari.

- dalam hal ini perlu diperiksa jumlah variance-nya (sTe2);

kedua jalur perlu dicek.

17

CONTOH PERHITUNGAN (1)

1. Dari network diatas diketahui:

No Kegiatan Durasi PDF

Jenis Parameter

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

10

5

7

3

9

4

0

2

8

10

Normal

Beta

Normal

Beta

Normal

Beta

-

Beta

Beta

Normal

(10, 3)

(4, 5, 6)

(7, 1)

(2, 3, 6)

(9, 1)

(3, 4, 6)

-

(1, 2, 4)

(5, 8, 10)

(10, 1)

2. Berapa probabilitas proyek dapat diselesaikan dalam waktu 23 hari:

- hitung berdasarkan jalur kritis B-C-J;

- hitung berdasarkan jalur A-D-I;

- apa kesimpulan anda.

18

CONTOH PERHITUNGAN (2)

3. Berapa waktu harus dialokasikan jika ingin 95% yakin proyek dapat diselesaikan:

- hitung berdasarkan jalur kritis B-C-J;

- hitung berdasarkan jalur A-D-I;

- apa kesimpulan anda.

19

SELESAI

20

JAWABAN SOAL (1)

NO. KEGIATA

N

DURAS

I

PDF PARAMETER tе VAR (te) σ (tе)

1 A 10 Normal 10 3 10 9 3

2 B 5 Beta 4 5 6 5 0.11 0.33

3 C 7 Normal 7 1 7 1 1

4 D 3 Beta 2 3 6 3.33 0.44 0.67

5 E 9 Normal 9 1 9 1 1

6 F 4 Beta 3 4 6 4.17 0.25 0.50

7 G 0 - - - - - - -

8 H 2 Beta 1 2 4 2.17 0.25 0.50

9 I 8 Beta 5 8 10 7.83 0.69 0.83

10 J 10 Normal 10 1 10 1 1

JAWABAN SOAL (2)

JALUR tе VAR

(te)

σ(tе) z = ((23-tе)/σ(tе))

P (x < 23) Z 95%

t = Te + (z95%*σ(tе))

B - C - J 22 2.11 1.45 0.69 75% 1.64 24.38

A - D - I 21.17 10.14 3.18 0.57 72% 1.64 26.39

Kesimpulan:

Jalur A-D-I lebih menentukan:

- P (x < 23) = 72%;

- Waktu yang diperlukan agar 95% yakin proyek dapat diselesaikan adalah 26, 39 hari.

Terima Kasih