modelado de pérdidas de inserción y conectorizado en

Universidad de Vigo

Tesis Doctoral

Modelado de perdidas de insercion yconectorizado en enlaces de fibra optica

mediante el uso de cristales fotonicos

Autor:

Omar Guillan Lorenzo

Director:

Dr. Francisco Javier Dıaz Otero

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicacion

Departamento de Teorıa de la Senal y Comunicaciones

Noviembre 2015

“Dixitque Deus: fiat lux. Et facta est lux”

Genesis 1:3

UNIVERSIDAD DE VIGO

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicacion

Departamento de Teorıa de la Senal y Comunicaciones

Tesis Doctoral

Modelado de perdidas de insercion y conectorizado en enlaces de fibra

optica mediante el uso de cristales fotonicos

por Omar Guillan Lorenzo

Resumen

Vivimos inmersos en lo que se ha denominado la “sociedad de la informacion”, la can-

tidad de datos que generamos es realmente abrumadora: desde bibliotecas digitales a

dispositivos de cuantificacion personal como pulsometros y pulseras de actividad pa-

sando por bases de datos corporativas, contenido de entretenimiento audiovisual y un

largo etcetera. Pero no solamente generamos datos, tambien los consumimos, por lo que

existe la necesidad de transportar ingentes cantidades de informacion. Hace decadas que

la fibra optica constituye el medio de transmision por excelencia para el transporte de

datos gracias a su gran ancho de banda y baja atenuacion. La tecnologıa optica se halla

plenamente asentada en el nivel de transporte pero ¿que ocurre en la capa de conmu-

tacion, enrutamiento y, en definitiva, procesado de la informacion?. Actualmente esto

supone un importante cuello de botella, pues todo el procesado se hace con tecnologıa

electronica, siendo necesario procesos de conversion optico-electrico y electrico-optico

antes y despues de cada etapa de tratamiento de la informacion.

Se lleva tiempo trabajando en la creacion de dispositivos opticos integrados que sean

capaces de substituir a sus homologos electronicos; es en este marco donde se enclavan

los cristales fotonicos. Los cristales fotonicos son estructuras dielectricas periodicas que,

mediante el adecuado diseno de su geometrıa permiten alterar las propiedades de la senal

luminosa que circula a su traves pudiendo “moldearla” segun nuestras necesidades. Se

presenta en esta tesis el marco teorico que constituye la herramienta fundamental para

trabajar con este tipo de dispositivos, partiendo del analisis de las propiedades de las

redes periodicas por un lado y de las ecuaciones de Maxwell en medios dielectricos por

otro para finalmente fusionar ambas disciplinas con el estudio de conceptos como los

diagramas de bandas, la banda fotonica prohibida y la posibilidad de confinar la luz

mediante la introduccion de defectos en las estructuras periodicas.

Como la gran mayorıa de los problemas electromagneticos de interes practico, no es

viable emplear metodos analıticos para el diseno y estudio de estructuras de cristal

fotonico, por lo que se presenta una descripcion de los metodos numericos implemen-

tados en las herramientas de simulacion computacional utilizadas en este trabajo: MIT

Photonic Bands (MPB) y BandSOLVE para el calculo de bandas y parametros de dis-

persion mediante la tecnica de expansion en ondas planas (PWE) y Lumerical FDTD

Solutions para el calculo de propiedades de transmision y reflexion mediante el metodo

de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD).

Con el soporte de la teorıa y el software mencionados, se disena una guıa onda de cristal

fotonico al crear un defecto lineal en una red de cilindros de aire sobre un substrato

de SiO2 mediante la eliminacion de una hilera de cilindros. Mediante la aplicacion de

un metodo sistematico de optimizacion y el empleo de distintas geometrıas de taper, se

alcanza una estructura optima en terminos de potencia transmitida para longitudes de

onda de la tercera ventana de transmision.

Finalmente se propone una nueva estructura de guıa onda de PC eliminando una hilera

de una celosıa cuadrada de cilindros huecos de Si. La luz que se propaga a traves de esta

guıa experimentara un importante descenso en su velocidad de propagacion, velocidad

que ademas se mantendra estable a lo largo de un importante ancho de banda (esto

es, con mınima dispersion). Se demuestra como ademas, mediante el rellenado de este

dispositivo con una suspension coloidal de partıcuals de MnFe2O4 con distintas con-

centraciones, es posible sintonizar las frecuencias a las cuales se introduce este retardo.

Indice general

Abreviaturas xv

Listado de terminos xvii

1. Introduccion 1

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Cristales fotonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Perspectiva historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Objetivos y desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Fundamentos teoricos 11

2.1. Cristalografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Concepto de solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2. Estructura cristalina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3. Tipos de redes fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4. La red recıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Teorıa electromagnetica de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1. Ecuaciones de Maxwell y relaciones constitutivas . . . . . . . . . . 19

2.2.2. Campos armonicos y perfiles modales . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3. Ecuacion de Helmholtz. Velocidad y vector de onda . . . . . . . . 23

2.2.4. Velocidad de una onda electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Las ecuaciones de Maxwell como problema de autovalores . . . . . . . . . 28

2.4.1. La ecuacion de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2. Estructura de bandas fotonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.3. Propiedades de simetrıa de las soluciones a la ecuacion de autovalores 32

2.4.4. Separacion de modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. La banda prohibida fotonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6. Tipos de diagramas de bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7. Cristales fotonicos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8. Defectos en cristales fotonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Desarrollo 41

3.1. Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1. Expansion en ondas planas (PWE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

ix

3.1.2. Diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) . . . . . . . . 44

3.1.3. Invarianza de las ecuaciones de Maxwell respecto a cambios de escala 46

3.2. Diseno y optimizacion de una estructura de guıa de cristal fotonico conbajas perdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1. MPB: MIT Photonic Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.2. Diseno y optimizacion de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.3. Resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Luz lenta en guıas onda de cristal fotonico sintonizables . . . . . . . . . . 60

3.3.1. Caracterizacion de la luz lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.1.1. Dispersion cromatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.1.2. Factor de calidad: el producto retardo-ancho de banda . . 63

3.3.2. Simulacion con BandSOLVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.2.1. Unidades y convenciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.2.2. Celosıa fısica y celosıa numerica . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.2.3. Estudio de defectos en PC. Superceldas . . . . . . . . . . 65

3.3.2.4. Proyeccion del diagrama de bandas . . . . . . . . . . . . 66

3.3.2.5. Calculo de los parametros de dispersion . . . . . . . . . . 66

3.3.3. Diseno de la guıa de cristal fotonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.4. Resultados y analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. Conclusiones y lıneas futuras 77

4.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Lıneas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A. Transformada de Fourier 81

B. Calculo de bandas con MPB 83

C. Batch de simulaciones de Lumerical (caso taper cuadrado) 87

D. Diagrama de flujo y estructuras de datos para calculo de dispersion 91

Bibliografıa 95

x

Indice de figuras

1.1. Ejemplos de cristales fotonicos 1D, 2D y 3D. Los colores representan ma-teriales con diferentes constantes dielectricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Diferentes manifestaciones de cristales fotonicos en el reino animal; deizquierda a derecha y de arriba abajo: raton de mar, pavo real, mariposaMorpho menelaus y escarabajo Lamprocyphus augustus. . . . . . . . . . . 7

1.3. Pioneros en el estudio de las propiedades de las estructuras dielectricasperiodicas. De izquierda a derecha: John William Strutt (Baron de Ray-leigh), Eli Yablonovitch y Sajeev John. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1. La estructura cristalina se forma anadiendo bases (atomos, moleculas,iones..) a cada punto de la celosıa. Cada base puede incluir mas de unelemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. En las dos subfiguras superiores se muestran sendas selecciones de celdasprimitivas para una estructura cristalina. En la subfigura inferior se ilustrael metodo grafico para determinar la celda de Wigner-Seitz asociada alcristal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Las cinco clases fundamentales de redes de Bravais: oblıcua (a), rectan-gular (b), rectangular centrada (c), hexagonal o rombica (d), cuadrada(e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4. Las ilustraciones (a) y (c) muestran sendas redes cristalinas en el espacioreal; la celda primitiva se senala en rojo. Las ilustraciones (b) y (d) re-presentan las redes anteriores en el espacio recıproco; la zona sombreadase corresponde con la IBZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Ejemplo de diagrama de bandas. Las lıneas azules se corresponden conmodos electromagneticos localizados en el interior del PC. La zona som-breada en azul es un contınuo de estados que se extienden en el cristal yel aire que lo rodea. La lınea roja es la “lınea de luz” ω = ck. . . . . . . . 31

2.6. Zona irreductible de Brillouin (region en rojo) para una celosıa cuadrada(a) y una celosıa triangular (b).Los vertices que limitan cada region estandefinidos por los puntos de alta simetrıa del cristal. . . . . . . . . . . . . . 31

2.7. Representacion esquematica de las lıneas de campo electrico E para unaestructura dielectrica delgada con simetrıa especular respecto al planoz (zona sombreada en gris). Los modos que son pares con respecto alplano de simetrıa (figura de la izquierda) se dice que son cuasi-TE: Ees “casi” paralelo al plano de simetrıa (y es totalmente paralelo en z =0). Los modos impares (figura de la derecha) son cuasi-TM: E es “casi”perpendicular al plano de simetrıa (totalmente perpendicular en z = 0). . 33

xi

2.8. En estas graficas se utiliza un escalado para los ejes empleando magni-tudes adimensionales. Este escalado sera de uso comun en proximas sec-ciones: en las abscisas se representa el vector de onda ~k en coordenadasde la red recıproca y en el eje de ordenadas la frecuencia angular aparecenormalizada respecto a la constante de red y la velocidad de la luz en elvacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.9. Estructura con simetrıa rotacional uniaxial a lo largo del eje z (a) y dia-grama de bandas asociado (b). Estructura con simetrıa rotacional uniaxiala lo largo del eje z mas simetrıa traslacional contınua a lo largo del mis-mo eje (c) y diagrama de bandas asociado (d). Estructura con simetrıatraslacional bidimensional en los ejes y y z (e) y dos representaciones deldiagrama de banda asociado: a lo largo de una curva unidimensional (f)o proyectado (g). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.10. En la figura se muestra la estructura de un cristal fotonico planar y suIBZ junto con la representacion del diagrama de bandas proyectado. Enel eje x se representa la componente del vector de onda ~k conservada, y eleje y se corresponde con las frecuencias de los modos, evaluadas en todoslos valores de la componente no conservada del vector de onda. La zonasombreada en azul es el cono de luz, y representa la proyeccion de todoslos estados que pueden radiar hacia fuera del cristal. . . . . . . . . . . . . 38

2.11. Proyeccion del diagrama de bandas de un PC con un defecto lineal (re-cuadro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.12. Representacion del perfil modal Ez propagado a traves de la guıa ondacreada al eliminar una hilera de cilindros en la estructura de cristal fotonico. 40

3.1. Unidad fundamental de la malla de Yee en coordenadas cartesianas: lascomponentes del campo electrico forman las aristas del cubo y las com-ponentes del campo magnetico son normales a las caras del mismo. . . . . 45

3.2. Diagrama de dependencias de los distintos componentes que integran MPB 49

3.3. Diagrama del flujo de trabajo seguido en las simulaciones con MPB . . . . 52

3.4. Estructura de guıa onda de cristal fotonico objeto de estudio, con taperscuadrado (arriba) y triangular (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5. Diagrama de bandas del modo transversal electrico para una red trian-gular de cilindros de aire sobre una base dielectrica de SiO2. El eje xrepresenta los puntos de alta simetrıa situados en los vertices de la zonairreductible de Brillouin, mientras que el eje y se corresponde con la fre-cuencia expresada en unidades adminesionales ωa/2πc. El PBG apareceresaltado en amarillo y en el recuadro se muestra un diagrama de la celdaunidad y la 1BZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6. Mapa de bandas prohibidas para una red triangular de cilindros de aireembebidos en un material dielectrico con constante ε = 3.5721. La de-pendencia del ancho del PBG con el radio normalizado de los cilindros serepresenta en rojo y azul para la polarizacion H y en verde y negro parala polarizacion E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7. Diagrama de transmision para el caso de una taper cuadrado de longitudL = 3a. Se muestra una traza por cada valor probado para el radio de loscilindros. En el eje x se representa la longitud de onda de la luz y en eleje y el coeficiente de transmision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

xii

3.8. Vector de Poynting para la guıa con taper cuadrado (figura superior) ycon taper triangular (figura inferior) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.9. Diagrama de transmision para ambos tipos de taper . . . . . . . . . . . . 58

3.10. Optimizacion del radio interior de los cilindros: en la grafica superior serepresenta el coeficiente de transmision frente a un vector de diferentesvalores de radio ri para una coleccion de longitudes de onda distribuidasa lo largo de toda la ventana de transmision. Se escogen los valores deradio que proporcionan los mejores valores para todas las frecuencias (r16- r19) y se ilustra su diagrama de transmision en la figura inferior. . . . . 59

3.11. Comparacion entre los diagramas de transmision de las tres geometrıasestudiadas, empleando en todos los casos los valores optimos calculados:el taper triangular mejora las caracterısticas de transmision obtenidas conel taper rectangular. Si en las dos primeras hileras del cristal se empleancilindros de aire con dielectrico en su interior en lugar de columnas deaire, se produce un ensanchamiento en la ventana de transmision. . . . . . 60

3.12. Diagrama de bandas proyectado sobre kx para una proporcion entre radiosr/R = 0.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.13. Diagrama de bandas para los modos TE de una celosıa cuadrada de cilin-dros huecos (r = 0.35R) de silicio (nSi = 3.48) rotada 45◦ y sumergida enuna solucion del 1 % de MnFe2O4 (nmag = 1.4155). En el eje x se repre-sentan los puntos de alta simetrıa situados en los vertices de la IBZ y eleje y se corresponde con la frecuencia adimensional ωa/2πc. Las bandasprohibidas se muestran resaltadas, y en el recuadro se ilustra un diagramade la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.14. Mapa de bandas para una celosıa cuadrada de cilindros de silicio huecosinfiltrada con una disolucion magnetica de MnFe2O4 del 1 % de concen-tracion. Se muestra la dependencia del tamano del PBG con la relacionde radios r/R para la polarizacion E. Se localizan tres bandas prohibidas:el gap 0 entre las bandas 0 y 1 (azul), el gap 1 entre las bandas 2 y 3(rojo) y el gap 2 entre las bandas 7 y 8 (verde). En el recuadro se ilustrael modo que se propagara a traves de un defecto lineal en la celosıa parauna frecuencia normalizada ωa/2πc = 0.287, contenida en el gap 0. . . . 69

3.15. Representacion del diagrama de bandas proyectado para diferentes valo-res del radio interior de los cilindros que componen la guıa onda de PCilustrada en la subfigura del recuadro. En el eje de las abscisas se repre-senta la componente en la direccion de propagacion del vector de ondanormalizado kxa/

(√2π). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.16. Diagrama de flujo del metodo de analisis. Los rectangulos indican bloquesde procesado, los romboides parametros de entrada o de salida, y losmarcos curvos se corresponden con ficheros de entrada/salida. Se incluyeademas un esquema de las estructuras de datos generadas como resultadodel proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.17. Indice de grupo frente a la frecuencia normalizada para diferentes valoresdel radio interior de los cilindros (r). La curvas presentan la caracterısticaforma de U que denota la existencia de un grupo de frecuencias con retardoconstante (region de “banda plana”). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

xiii

3.18. Producto ratardo-ancho de banda normalizado (rojo), ındice de grupo me-dio (azul) y ancho de banda normalizado (verde) para una concentracionde fluido magnetico del 1 % en funcion de la relacion del radio interior yexterior de los cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.19. Variacion del ındice de grupo con la frecuencia normalizada para dife-rentes valores de concentracion de MnFe2O4 en el fluido. Los ındices derefraccion para cada una de las concentraciones mostradas en la leyendason 1.3496, 1.3721, 1.4155, 1.4594, 1.4804 [17]. . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.20. Producto ratardo-ancho de banda normalizado (rojo), ındice de grupomedio (azul) y ancho de banda normalizado (verde) para una relacionde radios optima r = 0.55R en funcion de la concentracion del fluidomagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

D.1. Diagrama de flujo de la funcion “analiza slow light.m” . . . . . . . . . . . 92

D.2. Estructuras de datos matriciales generadas por la funcion “analiza slow -light.m”. El subındice R representa la cantidad de valores que toma elprimer parametro de barrido de la simulacion MOST, n+ 1 es el numerode bandas de la simulacion y K = p · d donde p es el numero de pun-tos evaluados en la IBZ y d el numero de divisiones evaluadas en cadasegmento que una dos puntos de la IBZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

xiv

Abreviaturas

1BZ First Brillouin Zone

ALD Atomic Layer Deposition

BEM Boundary Elements Method

CAD Computer Aided Design

CSV Comma Separated Values

DBP Delay Bandwidth Product

DFB Distributed FeedBack

EBG Electronic Band Gap

EBL Electronic Beam Lithograph

EIT Electromagnetically Induced Transparency

FCC Face Centered Cubic

FDM Finite Differences Method

FDTD Finite Differences Time Domain

FEM Finite Elements Method

FFT Fast Fourier Transform

GVD Group Velocity Dispersion

IBZ Irreducible Brillouin Zone

MF Magnetic Fluids

MOST Multi-variable Optimization and Scanning Tool

NDBP Normalized Delay Bandwidth Product

PBC Periodic Boundary Conditions

PBG Photonic Band Gap

PC Photonic Crystal

PIC Photonic Integrated Circuit

PML Perfectly Matched Layer

xv

PWE Plane Wave Expansion

SLWG Single Line Defect Waveguide

TE Transversal Electric

TIR Total Internal Reflection

TM Transversal Magnetic

WDM Wavelength Divisor Multiplexer

xvi

Listado de terminos

A lo largo de esta tesis se ha decidido mantener los acronimos en su forma original

anglosajona, pero se ha intentado emplear siempre que ha sido posible la palabra en

espanol al hacer referencia al termino sin abreviar

Backreflection Retroreflexion

Band folding Plegado de bandas

Band gap Banda prohibida

Band gap atlas Mapa de bandas prohibidas

Coherent population scintillation Centelleo por ocupacion coherente

Conserved quantity Magnitud conservada

Crystal lattice Red cristalina

Crystal slab Cristal planar

Eigenvalue Autovalor , valor propio o valor caracterıstico

Eigenvector, eigenfunction, eigenmode Autovector, vector propio o autofuncion

Flat ratio Factor de planicidad

Group velocity dispersion Dispersion de la velocidad de grupo

Incomplete band gap Banda prohibida parcial

Index guiding Guiado por ındice

Lattice Celosıa, red cristalina

Lattice constant Constante de red

Light cone Cono de luz

Light line Lınea de luz

Normalized delay-bandwidth product Producto retardo-ancho de banda normalizado

Perfectly matched layer Capa perfectamente adaptada

Periodic boundary conditions Condiciones de contorno periodicas

xvii

Scattering Dispersion

TE-like Cuasi TE

TM-like Cuasi TM

Total internal reflection Reflexion interna total

Wave packet Paquete ondulatorio

Waveguide dispersion Dispersion de guiado

xviii

A mis padres

xix

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Motivacion

La electronica de semiconductores conforma las entranas de todos los ordenadores y

demas dispositivos que nos rodean y que han sido -y continuan siendo- responsables de

buena parte de los innumerables cambios experimentados en los ultimos 65 anos.

Lamentablemente, el nivel alcanzado en la miniaturizacion de los dispositivos electroni-

cos produce circuitos con mayor resistencia y niveles de disipacion de potencia mas

elevados; ası mismo, las mayores velocidades de transmision implican requerimientos

mas estrictos a la hora de sincronizar las senales. En aras de continuar la progresion en

la escala de integracion y aumentar el rendimiento de los sistemas de computacion se

esta llevando a cabo un cambio de paradigma en el medio de transporte de la informa-

cion, pasando de los electrones a la luz. La luz presenta diversas ventajas frente a los

electrones: el ancho de banda de los materiales dielectricos es significativamente mayor

que el de los metales, por lo que la luz permite transportar una cantidad de informacion

por segundo mucho mas elevada; ademas los fotones poseen una interaccion menor que

los electrones, lo que ayuda a reducir las perdidas de energıa.

Con el descubrimiento del laser como fuente coherente de luz comenzo el desarrollo de

fibras opticas, que son capaces de guiar la luz a traves de grandes distancias con baja

dispersion y niveles de atenuacion muy inferiores a las lıneas de transmision electricas.

Para que la fotonica pueda substituir al actual paradigma electronico es necesario no

solamente guiar la luz, sino tambien llegar a dominar la capacidad de controlarla y

“moldearla” a nuestro antojo. Los cristales fotonicos son un candidato que posee este

potencial.

1

Capıtulo 1 Introduccion

La idea a partir de la cual emana el concepto de los cristales fotonicos es disenar ma-

teriales que puedan influir sobre los fotones de la misma forma que los semiconductores

actuan sobre las propiedades de los electrones.

La formacion de bandas de energıa y bandas prohibidas en los materiales semiconduc-

tores esta directamente relacionada con la existencia de un potencial periodico con las

mismas propiedades de simetrıa que la red cristalina de los atomos del semiconductor.

En terminos de fısica del estado solido, se define la zona prohibida electronica (electronic

bandgap, EBG) como un rango de energıas que los electrones no pueden ocupar; cuando

los electrones del semiconductor rellenan todos los estados disponibles por debajo de la

banda prohibida no podra circular corriente electrica, dado que los electrones no tienen

adonde desplazarse. Si existe un exceso de electrones libres (como resultado de un do-

paje), estos deben situarse por encima de la banda prohibida, posibilitando el flujo de

corriente. De igual manera, un deficit de electrones produce la aparicion de “huecos”

con carga positiva por debajo de la banda prohibida, habilitando tambien el flujo de

corriente. Las funciones de conmutacion y creacion de circuitos logicos digitales para

las que se emplean los dispositivos semiconductores son posibles gracias al control de la

presencia de electrones y huecos por encima y por debajo de la banda prohibida.

Podemos considerar a los cristales fotonicos como los homologos opticos de los semicon-

ductores electricos, con un ındice de refraccion periodico de periodicidad comparable a

la longitud de onda de trabajo. La luz que incide en un PC experimenta dispersion de

Bragg, y para ciertas longitudes de onda interfiere de forma coherente; la luz no puede

propagarse a traves del PC y es reflejada por completo, apareciendo ası un PBG. El

autentico potencial de los cristales fotonicos para manipular y controlar el flujo de luz

se alcanza mediante la introduccion de defectos en las celosıas que forman los PC. Los

defectos en la red cristalina tienen un efecto similar al de los dopantes en los semicon-

ductores, al permitir determinados niveles de energıa dentro de la banda prohibida.

Al contrario de lo que ocurre en los semiconductores, donde la organizacion en forma de

celosıa periodica de los atomos ocurre de manera natural, los cristales fotonicos deben

ser fabricados artificialmente, lo cual plantea un gran reto tecnologico: recordemos que la

periodicidad de la celosıa del cristal debe ser comparable a la longitud de onda, que, en

el caso paradigmatico de la tercera ventana de transmision, es de 1.5 µm, lo que arroja

un valor util para la constante de celosıa de 0.5 µm, esto es, unas 100 veces menor que

el diametro de un cabello humano.

Los semiconductores de luz podrıan llevar las tecnologıas de la informacion y las teleco-

municaciones todavıa mas lejos, al permitir fibras opticas de mayor capacidad, laseres de

tamano nanoscopico y circuitos integrados fotonicos capaces de substituir los actuales

microchips.

2

1.2. Cristales fotonicos

Figura 1.1: Ejemplos de cristales fotonicos 1D, 2D y 3D. Los colores representanmateriales con diferentes constantes dielectricas.


Un cristal fotonico (photonic crystal, PC) es un material dielectrico en el cual la constante

dielectrica varıa de forma periodica. Esta periodicidad produce un conjunto de energıas

prohibidas para los fotones, este conjunto constituye la banda prohibida del material

(photonic band gap, PBG), que recibe este nombre por analogıa con la banda prohibida de

los materiales aislantes y semiconductores. Dado que la longitud de onda de la radiacion

electromagnetica esta directamente relacionada con la energıa del foton (E = hc/λ,

siendo E la energıa del foton, h la constante de Planck, c la velocidad de la luz y λ

la longitud de onda de la luz) podemos decir que el cristal bloquea el paso de ciertas

longitudes de onda, reflejandolas por completo.

En un semiconductor, los electrones libres estan sometidos a un potencial periodico

debido a la disposicion de iones en el material, mientras que en un cristal fotonico los

fotones estan sometidos a una constante dielectrica periodica; este periodo es del orden de

magnitud de la longitud de onda. Otra caracterıstica comun entre los cristales fotonicos

y los semiconductores es la capacidad de introducir defectos en el cristal. Al romper la

periodicidad de la red cristalina (anadiendo o eliminando partes de la celosıa) es posible

crear niveles de energıa dentro del PBG para los cuales los fotones se pueden propagar,

esto es equivalente a dopar los semiconductores para crear niveles de energıa dentro de

la banda prohibida.

Los cristales fotonicos se pueden dividir en tres grandes categorıas: unidimensionales

(1D), bidimensionales (2D) y tridimensionales (3D) en funcion del numero de dimensio-

nes en las que el cristal posee una constante dielectrica periodica. Los cristales 1D poseen

un numero muy limitado de posibles variaciones en la estructura periodica: solamente

3


es posible modificar el valor del ındice de refraccion, el grosor de la capa dielectrica y el

numero de capas por periodo.

Los cristales 2D son estructuras que tienen periodicidad en un plano y permanecen

invariantes en la direccion perpendicular al mismo. Estos cristales pueden presentar

gaps completos en el plano de periodicidad [1] y para su fabricacion es posible emplear

tecnicas herederas de las desarrolladas en la industria de semiconductores. Por todo

esto la mayorıa de la investigacion en PC que se hace actualmente es en estructuras

2D, especialmente aquellas investigaciones relacionadas con el desarrollo de circuitos y

dispositivos fotonicos.

El estudio de los cristales fotonicos tridimensionales ha evolucionado mas lentamente que

su homologo bidimensional, debido principalmente a su mayor dificultad de fabricacion.

Se ha intentado adaptar algunas tecnicas provenientes de la estructura de semiconduc-

tores, obteniendo por ejemplo la estructura denominada “pila de lena”, construida me-

diante el deposito sucesivo de diferentes capas de materiales. Otra lınea de investigacion

consiste en fabricar las estructuras fotonicas tridimensionales mediante autoensamblaje;

este metodo se basa en permitir que nanoesferas dielectricas suspendidas en un disolven-

te se dispongan formando estructuras tridimensionales periodicas que posean una banda

fotonica prohibida.

A pesar de hallarnos en un estado temprano en el desarrollo de la tecnologıa de fabri-

cacion de cristales fotonicos en 2D y 3D existen diversos campos de la optoelectronica

donde estas estructuras se pueden emplear con exito:

Control de la radiacion espontanea [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]: es posible emplear PC para

incrementar la eficiencia y disminuir el umbral de corriente para el que se produce

radiacion estimulada en los laseres de semiconductor. Tambien es posible disenar

nuevas fuentes de luz que incluyan cristales con defectos puntuales, obteniendo ası

resonadores de muy alta calidad.

Fibras microestructuradas [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24]:

son fibras opticas formadas por la extrusion a lo largo de un eje de un cristal fotoni-

co bidimensional con un defecto puntual en el centro. Se distinguen dos grupos:

el primero esta basado en el efecto de reflexion total interna (total internal reflec-

tion, TIR), en este caso el PC constituye el revestimiento con ındice de refraccion

inferior al del nucleo; estas fibras presentan propagacion monomodo a lo largo de

un ancho de banda mucho mayor que las tradicionales fibras de salto de ındice.

El segundo grupo de fibras microestructuradas se basa en el principio de localiza-

cion de la radiacion dentro del defecto a causa de un PBG; estas fibras suelen ser

multimodo pero permiten transmitir niveles mucho mas elevados de radiacion que

4


las fibras tradicionales, haciendolas muy adecuadas para la transmision de grandes

potencias y la obtencion de efectos no lineales.

Guıas de onda [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36]: mediante la introduccion

de un defecto lineal en un PC, la luz queda confinada en el defecto sin posibilidad de

extenderse hacia la zona prohibida del PBG existente en el resto del cristal. Estas

guıas ademas permiten realizar curvas con angulos de 90o e incluso superiores con

una eficiencia de transmision mucho mayor que en las tradicionales guıas planares.

Esta propiedad tambien se puede emplear para la creacion de divisores de haz o

splitters, que permiten la division de la potencia optica entre distintos ramales.

Gestion de la dispersion [37, 38]: si se considera un cristal fotonico al que no se le

han introducido defectos como un medio material generico, se comprueba que este

posee un ındice de refraccion efectivo que depende fuertemente de la geometrıa de

la red cristalina del PC y de la longitud de onda de la radiacion incidente, por lo que

sera posible refractar las diferentes longitudes de onda con angulos considerable-

mente diferentes (super-prisma) [39, 40, 41, 42, 43]. Esta propiedad se puede explo-

tar para crear demultiplexores por division en logitud de onda (wavelength division

multiplexers, WDM) extremadamente eficientes y compactos [44, 45, 46, 47, 48].

Otros dispositivos basados en las capacidades de gestion de la dispersion de los

PC son los super-colimadores o super-lentes: sistemas capaces de obtener un haz

de luz paralelo a partir de uno divergente [49, 50, 51, 52, 53].

Luz lenta [54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61]: esta aplicacion se basa en aprovechar

la capacidad de los PC de presentar un ındice de refraccion de grupo elevado y

constante a lo largo de un gran ancho de banda, lo que provoca que las ondas

luminosas con longitudes dentro de ese rango se propagaran a traves del cristal

con una velocidad de grupo muy baja. Los dispositivos basados en el efecto de luz

lenta pueden ser empleados como routers fotonicos en redes opticas transparentes,

lıneas de retardo, etc.

Elementos no lineales: entre los efectos no lineales de tercer orden se encuentra

el efecto Kerr, en virtud del cual los materiales no lineales cambian su ındice de

refraccion cuando los atraviesa una radiacion de alta intensidad. Estas variacio-

nes pueden alterar las caracterısticas fundamentales de un PC que incluya estos

materiales como componente de su estructura periodica [62, 63, 64, 65, 66, 67],

permitiendo de esta manera la creacion de nuevos dispositivos opticos como puer-

tas logicas [68, 69, 70, 71] (que emplean como principio basico el hecho de que la

potencia de una unica senal optica es insuficiente para cambiar las propiedades de

la estructura, pero la incidencia simultanea de dos senales sobre la estructura no

5


lineal puede alterar el ındice de refraccion de tal manera que se varıen las propie-

dades de transmitancia y reflectancia del PC, creando ası puertas AND y NAND)

y elementos de almacenamiento de informacion (solitones discretos dentro de un

PC no lineal [72, 73, 74]).

A pesar de que el campo de estudio de los cristales fotonicos es muy reciente, existen

estructuras de este tipo presentes en la naturaleza desde hace millones de anos [75].

Las plumas de algunas especies de aves como el pavo real (Pavo cristatus) o los fi-

lamentos que recubren los costados del raton de mar (Aphrodita aculeata) presentan

efectos de color iridiscente debido a contar con una microestructura de cristal fotonico

2D. Otras especies animales como ciertas mariposas (Morpho menelaus) o escarabajos

(Lamprocyphus augustus) recubren zonas de su cuerpo con escamas de quitina en las

cuales existe una red de huecos de aire que siguen una distribucion de opalo inverso,

esto es, un PC 3D responsable de su color metalico [76, 77]. Tambien es posible en-

contrar estructuras de cristal fotonico dentro del reino vegetal, como la flor Edelweiss

(Leontopodium nivale) [78], que esta recubierta por unos filamentos que actuan como un

cristal fotonico tridimensional que absorbe la mayorıa de la luz ultravioleta incidente,

protegiendo ası las celulas vivas subyacentes. Finalmente, el que probablemente sea el

ejemplo mas conocido de PC presente en la naturaleza, pertenece al reino mineral y se

trata del opalo, piedra preciosa apreciada desde la antiguedad por el brillo de distintos

colores que desprende al ser rotado; nuevamente estas propiedades opticas son debidas

a su microestructura, consistente en una red de microesferas situadas en los nodos de

una celosıa FCC (face-centered cubic) cuya reflectancia varıa en funcion del angulo de

incidencia

1.3. Perspectiva historica

Las primeras investigaciones en el campo de los cristales fotonicos (aunque todavıa no se

habıa acunado esta denominacion) fueron llevadas a cabo por Lord Rayleigh en 1887, con

sus estudios sobre los espejos dielectricos multicapa (reflectores-dispersores de Bragg)

[79, 80] que son dispositivos opticos compuestos por capas superpuestas de dielectricos

con distintas constantes, los cuales permiten reflejar por completo ciertas longitudes

de onda incidentes (esto es debido a que las reflexiones producidas en cada interfaz

entre capas interfieren destructivamente entre sı, eliminando por completo la onda que

se propaga hacia delante). Este PC unidimensional constituye la base de numerosos

dispositivos, como filtros dielectricos Fabry-Perot y laseres DFB (distributed feedback).

Tendrıan que transcurrir casi 100 anos hasta que en 1972, Vladimir P. Bykov publicase

un artıculo en el cual describıa la posibilidad de emplear estructuras periodicas para el

6

1.3. Perspectiva historica

Figura 1.2: Diferentes manifestaciones de cristales fotonicos en el reino animal; deizquierda a derecha y de arriba abajo: raton de mar, pavo real, mariposa Morpho me-nelaus y escarabajo Lamprocyphus augustus.

control de la emision espontanea de radiacion luminosa por parte de atomos o moleculas

excitados [81].

En el ano 1987 se producirıa el pistoletazo de salida de la continua serie de avances en el

campo de los PC con la publicacion, con solo dos meses de diferencia, de los trabajos de

Eli Yablonovitch [2] y Sajeev John [3]. Ambos investigadores perseguıan diferentes ob-

jetivos. Yablonovitch, empleado por aquel entonces de Bell Communications Research,

trabajaba en el diseno de laseres mas eficientes para equipos de telecomunicacion (la

mayor parte de la corriente electrica suministrada a los emisores laser se desperdiciaba

en forma de emision espontanea, el PBG permitirıa suprimir este desperdicio ya que

los atomos no podrıan emitir radiacion luminosa en las longitudes de onda prohibidas

dentro del material). John, investigador en la Universidad de Princeton, perseguıa en

cambio un objetivo puramente teorico al postular que el PBG creaba lo que se cono-

ce como “localizacion de la luz”; el analogo electronico de este fenomeno es un efecto

cuantico llamado “localizacion de electrones” producido en semiconductores amorfos y

consiste en la retencion de electrones en ubicaciones fijas, obstruyendo el flujo de co-

rriente. Pocos anos mas tarde, en 1990, K.M. Ho, C. T. Chan y C. M. Soukoulis calculan

7


Figura 1.3: Pioneros en el estudio de las propiedades de las estructuras dielectri-cas periodicas. De izquierda a derecha: John William Strutt (Baron de Rayleigh), EliYablonovitch y Sajeev John.

computacionalmente mediante el metodo de expansion en ondas planas (plane wave ex-

pansion, PWE) la estructura de bandas de una red cristalina de esferas dielectricas con

alto ındice de refraccion rodeadas de aire siguiendo una celosıa FCC (estructura de opa-

lo) [4]. En la misma publicacion presentan tambien un estudio analogo empleando una

celosıa de diamante, obteniendo de esta manera la primera estructura de PC con un

PBG completo (entre la segunda y la tercera banda).

En 1991, E. Yablonovitch, T. J. Gmitter y K. M. Leung consiguen fabricar el primer

cristal fotonico con un PBG completo para las frecuencias de microondas [82]. Para ello

horadaron una celosıa triangular en diferentes capas de material transparente, donde los

agujeros de cada capa quedaban situados sobre el material restante de la capa inferior,

repitiendo el proceso cada cuatro capas para formar una estructura de diamante inverso.

Actualmente esta estructura recibe el nombre de Yablonovita.

En 1992, H. S. Sozuer y J. W. Haus calculan la estructura de bandas de un cristal

fotonico con estructura de red FCC inversa, tambien conocida como opalo inverso (pues

en lugar de esferas dielectricas situadas en el aire, esta estructura consiste en cavidades

esfericas separadas por conductos con mayor ındice de refraccion). Este cristal fotonico

3D presenta un PBG completo entre las bandas 8 y 9 [5].

Tuvieron que transcurrir 5 anos desde la fabricacion del primer PC en frecuencias de mi-

croondas (cuya longitud de onda relativamente elevada permitıa emplear medios mecani-

cos para la construccion del cristal) hasta que, en 1996, T. Krauss presento un cristal

fotonico bidimensional con PBG completo a frecuencias opticas para una determinada

polarizacion [83]. En 1998 J.E.G.J. Wijnhoven y L.V. Willem [6] obtienen de manera

experimental el opalo inverso cuya estructura de bandas habıa sido predicha Souzer y

Haus [5].

8

1.4. Objetivos y desarrollo

En 1998 J. C. Knight, J. Broeng, T. A. Birks y P. St. J. Russell muestran como construir

fibras opticas microestructuradas [84]: en ellas la luz viaja a traves de un hueco central

en la fibra, confinada por el gap bidimensional creado por el material circundante (es

decir, se trata de un PC 2D)

1.4. Objetivos y desarrollo

La presente tesis doctoral persigue dos objetivos: por un lado el diseno de estructuras

de guıa onda de cristal fotonico que se acoplen de forma eficiente con las fibras opticas;

por otro lado se plantea el diseno de un dispositivo de optica integrada basado en PC

que permita la obtencion de importantes retardos en la transmision de pulso luminosos

a lo largo de grandes anchos de banda.

Este proceso se ha recogido siguiendo un enfoque bottom up, partiendo de principios

y leyes fısicas fundamentales hasta llegar a la estructura de los dispositivos finales,

distinguiendo dos grandes bloques:

En el primer bloque se comienza presentando las estructuras cristalinas, su clasifi-

cacion y el formalismo matematico empleado para su estudio (2.1). A continuacion

se introducen las ecuaciones que gobiernan los campos electromagneticos en me-

dios dielectricos desprovistos de fuentes de campo (2.2); en este punto se muestra

como es posible relacionar ambos conceptos para el estudio electromagnetico de

estructuras dielectricas periodicas (2.3-2.4). Se finaliza con una exposicion de los

atributos de interes en la caracterizacion de los cristales fotonicos (2.5-2.8).

El segundo bloque, de ındole mas practica, comienza con una presentacion de los

metodos numericos empleados para el analisis de los dispositivos estudiados, ası

como de las herramientas software que implementan estos metodos y han sido

utilizadas durante el desarrollo de la tesis (3.1). A continuacion se elabora una

metodologıa de diseno y optimizacion de una estructura de guıa onda de PC con

bajas perdidas y se muestran los resultados obtenidos (3.2). Finalmente se caracte-

riza la dispersion cromatica y su importancia a la hora de generar “luz lenta”, para

concluir con la descripcion y analisis detallado de la estructura de PC propuesta

para obtener un dispositivo que ralentice la luz mientras mantiene la dispersion en

unos valores mınimos a lo largo de un gran ancho de banda (3.3).

9

Capıtulo 2

Fundamentos teoricos

2.1. Cristalografıa

La cristalografıa es la ciencia que clasifica y describe los cristales en sus formas, estruc-

turas y las leyes que gobiernan su proceso de formacion. Empleando los metodos del

estudio cristalografico es posible determinar de forma satisfactoria las posiciones relati-

vas de todos los atomos que constituyen la molecula (estructura molecular) y la posicion

relativa de todas las moleculas en la celda unitaria del cristal: de la primera dependen

las propiedades quımicas del material y de la segunda las propiedades fısicas.

2.1.1. Concepto de solido

Desde el punto de vista macroscopico, se aplica el nombre de solido a sustancias rıgidas

y elasticas. Atendiendo a su estructura, podemos dividir los solidos en dos grandes

categorıas:

Solidos amorfos

Solidos cristalinos

Los solidos amorfos pueden ser considerados como lıquidos sobreenfriados y en ellos los

atomos o moleculas estan fuertemente ligados pero no presentan ninguna regularidad

en su distribucion espacial. Los solidos cristalinos se caracterizan por poseer una pe-

riodicidad casi perfecta en su estructura; es decir, los cristales estan formados por una

disposicion periodica de atomos o moleculas. El estudio de la fısica del estado solido

comienza en 1912 con el descubrimiento por parte de Max Von Leue de la difraccion

experimentada por los rayos X al incidir sobre cristales. Un cristal ideal se construye

11

Capıtulo 2 Fundamentos teoricos

mediante una repeticion infinita regular en el espacio de estructuras unitarias identicas.

En los cristales mas simples, tales como en los de cobre, oro o plata, la estructuras uni-

dad contienen un solo atomo, pero normalmente, la estructura unidad contiene varios

atomos que en algunos casos llegan a superar el centenar en los cristales inorganicos y

104 en los cristales que componen las proteınas.

2.1.2. Estructura cristalina

Un cristal ideal esta formado a partir de la repeticion infinita de un grupo de atomos,

iones o moleculas. Este grupo se denomina base y el conjunto de puntos del espacio

sobre los que se situa la base recibe el nombre de celosıa (lattice), red cristalina o red

de Bravais.

Figura 2.1: La estructura cristalina se forma anadiendo bases (atomos, moleculas,iones..) a cada punto de la celosıa. Cada base puede incluir mas de un elemento.

Desde un punto de vista geometrico podemos definir una celosıa en Rn como un sub-

grupo discreto de Rn que comprende todo el espacio vectorial real; cada celosıa en Rn

puede generarse a partir de una base para el espacio vectorial mediante todas las posi-

bles combinaciones lineales con coeficientes enteros. Restringiendo el concepto a las tres

dimensiones del espacio, es posible definir la red cristalina como todos los puntos con

vector de posicion ~R de la forma

~R = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 (2.1.1)

donde ni ∈ Z y los vectores ~ai forman una base generadora de la celosıa, recibiendo

el nombre de vectores primitivos (para toda red de Bravais existira pues un numero

infinito de vectores primitivos) [85]. Un cristal presenta la misma apariencia (disposicion

y orientacion) al ser observado desde un punto arbitrario r que desde cualquier otro punto

r′ = r +R perteneciente a la celosıa.

Se define la celda primitiva unitaria del cristal o simplemente celda primitiva como

la mınima region del espacio que, al ser trasladada por todos los vectores de la red de

Bravais, rellena completamente el espacio, sin que se produzcan solapamientos ni queden

12


huecos. Una celda primitiva contiene exactamente un punto de la celosıa, por lo que en

el caso general en que la celda primitiva sea un paralelepıpedo con puntos de la red

cristalina en cada uno de sus ocho vertices, cada punto de la red estara compartido

entre ocho celdas, por lo que el numero total de puntos de la celosıa en la celda es

8× 1/8 = 1

El volumen (3D) o area (2D) de una celda primitiva puede expresarse en funcion de los

vectores primitivos de esta, y es independiente de la eleccion que se haya hecho sobre

los vectores primitivos o la celda primitiva.

Vc = |~a1 · ~a2 × ~a3| (2.1.2)

Un tipo de celda primitiva de especial interes es la celda de Wigner–Seitz, que definida

sobre un punto de la celosıa, delimita la region del espacio que esta mas cercana a

ese punto que a ningun otro punto de la celosıa. La celda de Wigner-Seitz sobre un

punto puede construirse trazando lıneas que conecten ese punto con todos sus vecinos

de la celosıa, biseccionando cada una de esas lıneas con un plano perpendicular (recta

mediatriz en 2D) y tomando el poliedro (polıgono) mas pequeno que contenga al punto

cercado por los planos (rectas) [85].

Figura 2.2: En las dos subfiguras superiores se muestran sendas selecciones de celdasprimitivas para una estructura cristalina. En la subfigura inferior se ilustra el metodografico para determinar la celda de Wigner-Seitz asociada al cristal.

13


2.1.3. Tipos de redes fundamentales

Ademas de la simetrıa de traslacion, que es comun a todas las redes de Bravais, una red

puede resultar invariante frente a otros tipos de transformaciones [85, 86]:

Rotacion en torno a un eje: una red tiene un eje de simetrıa de orden n cuando

coincide consigo misma al girarla un angulo 2π/n en torno a dicho eje. Debido a

las exigencias que impone la simetrıa de traslacion en una red de Bravais solo son

posibles ejes de orden 1, 2, 3, 4 y 6.

Reflexion respecto a un plano: una red tiene un plano de simetrıa cuando coincide

con su imagen especular respecto a dicho plano.

Inversion respecto a un punto: una red tiene un centro de inversion cuando coin-

cide con su imagen invertida respecto a un punto. La operacion de inversion esta

compuesta por una rotacion de π seguida de una reflexion respecto a un plano

normal al eje de rotacion; el efecto conjunto es el de substituir r por −r.

Las transformaciones que acabamos de definir reciben el nombre de operadores de si-

metrıa, y definen una correspondencia bidireccional (biyeccion) de plano (o el espacio)

sobre sı mismo; es decir, cada punto p esta unıvocamente asociado con un nuevo punto

p′ a traves de la transformacion y, recıprocamente, cada punto q′ recibira tras la trans-

formacion los atributos del punto q. Al conjunto de transformaciones de simetrıa que,

aplicadas sobre un punto de la celosıa, la mantienen invariante, se le denomina grupo

puntual de la red, ya que estos operadores de simetrıa poseen la estructura matematica

de un grupo al verificar las siguientes propiedades [87]:

La existencia de una operacion denominada composicion o multiplicacion (notada

con el sımbolo “◦”) consistente en la aplicacion secuencial de dos operadores de

simetrıa.

La operacion de composicion es asociativa, esto es, para cada 3 elementos f , g, h

del grupo f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h

Para cada elemento g existe un elemento neutro o identidad E verificando que

g ◦ E = E ◦ g = g

Cada elemento g tiene un inverso g−1 verificando que g ◦ g−1 = g−1 ◦ g = E

Segun sea la simetrıa de la celda unidad, se pueden distinguir diferentes tipos de redes de

Bravais. En la figura 2.3 se muestra como, partiendo del caso mas general (a) en el que la

14


celda es solamente invariante a rotaciones de π y 2π sobre cualquier punto de la celosıa,

es posible, mediante la imposicion de ciertas restricciones sobre los vectores primitivos,

obtener celdas invariantes bajo rotacion de 2π/3, 2π/4 o 2π/6 radianes o bien invariantes

a reflexion especular. Se pueden aplicar cuatro clases distintas de restricciones y cada

una de ellas conduce a una celosıa diferente, por lo tanto existen 5 tipos de redes de

Bravais diferentes en dos dimensiones.

Figura 2.3: Las cinco clases fundamentales de redes de Bravais: oblıcua (a), rectan-gular (b), rectangular centrada (c), hexagonal o rombica (d), cuadrada (e).

Extendamos este concepto a las 3 dimensiones; en este caso la celda mas general es

triclınica (paralelepıpedo) y los grupos de simetrıa puntual existentes en tres dimensiones

producen los otros 13 tipos de celdas listadas en la tabla 2.1; estas se agrupan en 7

sistemas cristalinos en base a las relaciones entre las longitudes relativas de sus aristas

(a, b, c) y los angulos entre ellas (α, β, γ). No todas las celdas de esta clasificacion son

primitivas, ya que en muchos casos la relacion con las operaciones de simetrıa del grupo

puntual son mucho mas obvias en el caso de una celda no primitiva.

Todas las magnitudes fısicas que caracterizan las propiedades de una red cristalina po-

seen la misma periodicidad que la propia red. Tales magnitudes son por ejemplo el campo

electromagnetico creado en la red por los atomos que la constituyen, la densidad de car-

ga determinada por los electrones de esos atomos, la probabilidad de hallar los atomos

en uno u otro punto de la red o, como veremos mas adelante, el valor de la constante

dielectrica especıfica de los atomos que componen la red. Sea f una cualquiera de estas

magnitudes; f es funcion de las coordenadas x, y, z de un punto de la red cristalina o,

de forma equivalente, de su vector de posicion ~r. La funcion f (~r) debe ser periodica con

15


Sistemacristalino

Planosde

reflexion

Ejes derotacion

Tipos de celdasLong.axiales

Angulosaxiales

Cubico 9 2π3, 2π

4

primitivacentrada en el cuerpocentrada en las caras

a = b = c α = β = γ = 90◦

Tetragonal ninguno 2π, 2π4

primitivacentrada en el cuerpo

a = b 6= c α = β = γ = 90◦

Ortorrombico ninguno 2π3, 2π

2

primitivacentrada en el cuerpocentrada en las carascentrada en las bases

a 6= b 6= c α = β = γ = 90◦

Hexagonal ninguno 2π, 2π3

primitiva

a = b 6= cα = β = 90◦

γ = 120◦

Trigonal ninguno 2π, 2π3

primitiva

a = b = c α = β = γ 6= 90◦

Monoclınico 1 2π, 2π2

primitivacentrada en las bases

a 6= b 6= cα = γ = 90◦

β 6= 90◦

Triclınico ninguno ninguno

primitiva

a 6= b 6= cα 6= β 6= γα, β, γ 6= 90◦

Tabla 2.1: Sistemas cristalinos

el mismo periodo que la red de Bravais, por lo que f (~r) = f(~r + ~R

). Si expandimos

f (~r) en series de Fourier tenemos

f (~r) =∑K

FKe2πiK

ar (2.1.3)

donde FK = 1a

a/2

∫−a/2

f (r) e−2πiKardr

16


como f (~r) debe ser igual que f(~r + ~R

)se cumple que ~K · ~R = 2πn donde n es un

numero entero, lo que implica que el vector ~K es el recıproco del vector ~R. El conjunto

de todos los vectores ~K constituye el espacio recıproco.

Acabamos de introducir de esta manera el espacio recıproco (tambien llamado espacio-

k), que es el espacio en el que se representa la transformada de Fourier de una funcion

espacial (se trata este de un concepto analogo al dominio de la frecuencia, que es el

espacio en el que se representa la transformada de Fourier de una funcion dependiente

del tiempo). Un punto k en el espacio recıproco representa una onda plana eik·r en el

espacio real.

El espacio recıproco es una forma alternativa de estudiar las redes cristalinas, no en

terminos de vectores de posicion ~r, sino en terminos de vectores de onda ~k. Consideremos

un conjunto de R puntos que constituyen una celosıa de Bravais y una onda plana eik·r;

para un vector de onda ~k generico la onda plana no tendra la periodicidad de la red de

Bravais, pero existiran ciertos valores de ~k que sı produciran una onda plana con dicha

periodicidad. El conjunto ~K de todos los vectores de onda que producen ondas planas

con la misma periodicidad de una red de Bravais recibe el nombre de red recıproca.

2.1.4. La red recıproca

Consideremos una onda plana Ψ (r) = Ψ0 ·eiK·r donde K es un vector de onda arbitrario,

y una red de Bravais, que es el conjunto de vectores ~R = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 con n1,

n2, n3 coeficientes enteros arbitrarios y los ~ai vectores los vectores primitivos de la red.

Definimos la red recıproca como el conjunto de vectores de onda K para los cuales las

correspondientes ondas planas Ψ (r) poseen la misma periodicidad que la red de Bravais

R [86, 88]. Por lo tanto estamos buscando todas las ondas que permanecen inalteradas

cuando son sometidas a una traslacion por un vector R de la red, esto es:

Ψ (r) = Ψ (r +R)

⇔Ψ0 · eiK·r = Ψ0 · eiK·(r+R)(2.1.4)

lo que resulta en

eiK·R = 1 (2.1.5)

⇔K ·R = 2πn, n ∈ Z (2.1.6)

que define un conjunto de vectores K con respecto al conjunto de vectores de la red de

Bravais R. Dado que R es un conjunto discreto de vectores, ciertas restricciones sobre

los posibles vectores K seran de aplicacion. Expresemos los vectores K en funcion de

17


sus coordenadas respecto a una base:

K = k1~b1 + k2

~b2 + k3~b3 (2.1.7)

Seleccionamos una base {~bi} ortogonal a la base formada por los vectores primitivos {~ai}de la matriz directa, es decir

bi · aj = 2πδij (2.1.8)

donde δij es la delta de Kronecker:

δij = 0, i 6= j

δij = 1, i = j(2.1.9)

de la ecuacion (2.1.8) se tiene que

K ·R = 2π (k1n1 + k2n2 + k3n3) (2.1.10)

y juntando (2.1.10) y (2.1.6) llegamos a la condicion de que los coeficientes ki han de

ser enteros, por lo que la red recıproca es una red de Bravais y los vectores ~bi son sus

vectores primitivos [86]. A partir de la condicion expresada en la ecuacion (2.1.8) y de las

expresiones (2.1.1) y (2.1.7) es posible obtener los vectores primitivos de la red recıproca

a partir de sus homonimos de la red directa:

b1 = 2πa2 × a3

a1 · a2 × a3

b2 = 2πa3 × a1

a1 · a2 × a3

b3 = 2πa1 × a2

a1 · a2 × a3

(2.1.11)

En la red recıproca se puede definir la primera zona de Brillouin (1st Brillouin zone,

1BZ) como la region del espacio recıproco formada por los puntos que se encuentran

mas proximos a un punto dado que a ningun otro de la celosıa; se trata pues de la

celda primitiva de Wiegner-Seitz de la red recıproca. La zona irreducible de Brillouin

(irreducible Brillouin zone, IBZ) es la zona de Brillouin reducida tras aplicar todas las

simetrıas presentes en el grupo puntual del cristal.

18

2.2. Teorıa electromagnetica de la luz

Figura 2.4: Las ilustraciones (a) y (c) muestran sendas redes cristalinas en el espacioreal; la celda primitiva se senala en rojo. Las ilustraciones (b) y (d) representan lasredes anteriores en el espacio recıproco; la zona sombreada se corresponde con la IBZ.


2.2.1. Ecuaciones de Maxwell y relaciones constitutivas

Como hemos visto en la introduccion, los cristales fotonicos son estructuras dielectricas

periodicas en una, dos o tres dimensiones que pueden presentar bandas prohibidas para

la propagacion de fotones. A fin de estudiar sus propiedades y poder emplearlos como

materia prima para el desarrollo de dispositivos de optica integrada es necesario estudiar

la interaccion del campo electromagnetico con este tipo de medios materiales. Para llevar

a cabo este estudio tomaremos como punto de partida las ecuaciones de Maxwell, que

describen el electromagnetismo a nivel macroscopico:

∇× ~E (~r, t) =−∂ ~B (~r, t)

∂t(2.2.1)

∇ · ~D (~r, t) = ρ(~r, t) (2.2.2)

∇× ~H (~r, t) = ~J (~r, t) +∂ ~D (~r, t)

∂t(2.2.3)

∇ · ~B (~r, t) = 0 (2.2.4)

donde ~E y ~H son respectivamente los campos electrico y magnetico, ρ la densidad de

cargas libres, ~J la densidad de corriente libre, ~D el campo desplazamiento electrico y ~Bel campo induccion magnetica; estos ultimos se relacionan con los primeros a traves de

19


las siguientes relaciones constitutivas:

~D (~r, t) = ε0~E (~r, t) + ~P (~r, t) (2.2.5)

~B (~r, t) = µ0

(~H (~r, t) + ~M (~r, t)

)(2.2.6)

donde ~P y ~M son respectivamente los vectores polarizacion y magnetizacion definidos

mediante las siguientes ecuaciones

~P (~r, t) = ε0χe

(~E (~r, t)

)~E (~r, t) (2.2.7)

~M (~r, t) = χm

(~H (~r, t)

)~H (~r, t) (2.2.8)

en las cuales se pone de manifiesto la relacion entre los campos electrico y magnetico

y las respectivas susceptibilidades χe y χm, que son valores tensoriales dependientes de

las propiedades del medio sobre el que se este aplicando el campo.

Restringiremos nuestro analisis a la propagacion en medios dielectricos mixtos com-

puestos por diferentes regiones de material dielectrico homogeneo: la distancia entre los

atomos que componen los materiales empleados en la tecnologıa de optica integrada es

del orden de 0.1 nm, la cual es muy pequena comparada con las longitudes de onda

empleadas para comunicaciones opticas, que estan en el rango de 800 a 1600 nm, lo cual

justifica la asuncion de trabajar sobre un medio homogeneo. Supondremos ademas que

no existen corrientes ni cargas libres en el dielectrico, es decir, tenemos un medio en el

que la luz se propaga pero no existen fuentes de luz; podemos por tanto establecer ρ = 0

y ~J = 0. Centraremos nuestro estudio en dielectricos isotropicos, por lo que las sucep-

tibilidades seran magnitudes escalares. Durante todos nuestros analisis consideraremos

ademas que las intensidades del campo electromagnetico son suficientemente pequenas,

de manera que podamos despreciar la respuesta no lineal de los materiales (es decir, po-

dremos asumir que las susceptibilidades electrica y magnetica no dependeran del valor

del campo sobre el material). Como fruto de estas simplificaciones se llega a una nueva

formulacion para los vectores polarizacion y magnetizacion:

~P (~r, t) = ε0χe~E (~r, t) (2.2.9)

~M (~r, t) = χm ~H (~r, t) (2.2.10)

substituyendo (2.2.9) en (2.2.5):

~D (~r, t) = ε0~E (~r, t) + ε0χe~E (~r, t)

= ε0 (1 + χe) ~E (~r, t)(2.2.11)

20


y procediendo de manera analoga con (2.2.10) y (2.2.6):

~B (~r, t) = µ0

(~H (~r, t) + χm ~H (~r, t)

)= µ0 (1 + χm) ~H (~r, t)

(2.2.12)

definiendo la permitividad relativa (a la que tambien nos referiremos como funcion

dielectrica) como ε (~r) = (1 + χe) y la permeabilidad relativa como µ (~r) = (1 + χm)

llegamos a las expresiones

~D (~r, t) = ε0ε (~r) ~E (~r, t) (2.2.13)

~B (~r, t) = µ0µ (~r) ~H (~r, t) (2.2.14)

por lo tanto, las ecuaciones de Maxwel tomaran la siguiente forma:

∇× ~E (~r, t) = −µ0µ (~r)∂ ~H (~r, t)

∂t(2.2.15)

∇ · ε (~r) ~E (~r, t) = 0 (2.2.16)

∇× ~H (~r, t) = ε0ε (~r)∂~E (~r, t)

∂t(2.2.17)

∇ · µ (~r) ~H (~r, t) = 0 (2.2.18)

La mayorıa de los materiales dielectricos de interes tienen una susceptibilidad magnetica

muy pequena (esto es, no se magnetizaran apreciablemente aun en presencia de cam-

pos magneticos muy intensos) por lo que su permeabilidad relativa se podra aproximar

por la unidad. En este caso ε es igual al cuadrado del coeficiente de refraccion n (en

el caso mas general n =√µε). Ignoraremos cualquier dependencia explıcita de la cons-

tante dielectrica con la frecuencia (dispersion del material); en su lugar simplemente

escogeremos el valor de la constante dielectrica apropiado para el rango frecuencial del

sistema que estudiemos en cada momento. Finalmente, nos centraremos en materiales

transparentes, lo que implica que ε (~r) sera real (la parte imaginaria de la permitividad

electrica se corresponderıa con perdidas por absorcion).

2.2.2. Campos armonicos y perfiles modales

En general, tanto ~E como ~H seran complicadas funciones del tiempo y el espacio. No

obstante, dado que las ecuaciones de Maxwell son lineales, podemos separar la depen-

dencia temporal de la espacial mediante la expansion de los campos en un conjunto de

21


modos armonicos conocidos como modos o estados del sistema 1.

Al trabajar con modos armonicos es conveniente representar los campos empleando

la denominada notacion compleja; de esta manera podemos escribir un modo armonico

como una distribucion espacial (perfil modal) multiplicado por una exponencial compleja

2,3:

~H (~r, t) = ~H (~r) e−iωt (2.2.19)

~E (~r, t) = ~E (~r) e−iωt (2.2.20)

Los campos fısicos (instantaneos) se pueden obtener a partir de los complejos tomando

su parte real.

Derivando ~H (~r) respecto al tiempo obtenemos:

∂

∂t~H (~r) e−iωt = −iω ~H (~r) e−iωt (2.2.21)

Procediendo de forma analoga con ~E (~r) se obtienen las reglas de substitucion necesarias

para llegar a las ecuaciones de Maxwell en regimen senoidal permanente:

∇× ~E (~r) = iω ~B (~r) (2.2.22)

∇ · ~D (~r) = 0 (2.2.23)

∇× ~H (~r) = −iω ~D (~r) (2.2.24)

∇ · ~B (~r) = 0 (2.2.25)

con sus correspondientes relaciones constitutivas:

~D (~r) = ε0ε (~r) ~E (~r) (2.2.26)

~B (~r) = µ0~H (~r) (2.2.27)

Las ecuaciones diferenciales de primer orden (2.2.22) y (2.2.24) relacionan los campos

electrico y magnetico. Si insertamos la ecuacion rotacional de un campo en la del otro

y con la ayuda de las relaciones constitutivas es posible obtener una unica ecuacion de

onda para cada uno de los campos a costa de elevar el orden de las derivadas:

1El hecho de considerar que los campos varıan con el tiempo de forma armonica (esto es, sinusoidal)no supone ningun tipo de restriccion, ya que mediante tecnicas de analisis de Fourier es posible expresarun campo con dependencia temporal arbitraria como superposicion de modos armonicos.

2En general, sea el campo temporal ~A (~r, t) = A0 (~r) cos (ωt+ ϕ (~r)), su expresion en notacion com-pleja sera ~A (~r, t) = Re

{A (~r) e−iωt

}, siendo A (~r) la amplitud compleja del campo (y por lo tanto puede

expresarse en forma fasorial como A (~r) = |A (~r)| ejθA(~r))3En estas ecuaciones hemos indicado con tipografıa caligrafica los campos instantaneos, y con tipo-

grafıa normal los perfiles modales.

22


partimos de la ecuacion (2.2.24) y aplicamos (2.2.27):

∇× ~H (~r) = −iωε0ε (~r) ~E (~r) (2.2.28)

dividiendo entre ε (~r) y tomando rotacional en ambos miembros

∇×(

1

ε (~r)∇× ~H (~r)

)= −iωε0∇× ~E (~r) (2.2.29)

despejando ~E (~r) en (2.2.22) y aplicando (2.2.25):

∇×(

1

ε (~r)∇× ~H (~r)

)= −iωε0

(iωµ0

~H (~r))

∇×(

1

ε (~r)∇× ~H (~r)

)= ω2ε0µ0

~H (~r)

(2.2.30)

teniendo en cuenta que la velocidad de la luz en el vacıo c = (ε0µ0)−1/2 llegamos a la

siguiente ecuacion para el campo magnetico [89, 90]:

∇×(

1

ε (~r)∇× ~H (~r)

)=(ωc

)2~H (~r) (2.2.31)

Resolviendo esta ecuacion e imponiendo la condicion de divergencia (2.2.27) obtendremos

el valor del campo magnetico en el interior del dielectrico objeto de estudio y con este

resultado podemos despejar el valor del campo electrico en la ecuacion (2.2.24):

~E (~r) =i

ωε0ε (~r)∇× ~H (~r) (2.2.32)

2.2.3. Ecuacion de Helmholtz. Velocidad y vector de onda

Tomamos las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial particularizadas para los

medios materiales de nuestro interes (2.2.15)-(2.2.18) y aplicamos el operador rotacional

a ambos miembros de (2.2.15)

∇×∇× ~E (~r, t) = −µ0∂

∂t∇× ~H (~r, t) (2.2.33)

empleando la siguiente identidad del calculo vectorial ∇×(∇× ~F

)= ∇

(∇ · ~F

)−∇2 ~F

llegamos a

∇(∇ · ~E (~r, t)

)−∇2~E (~r, t) = −µ0

∂

∂t∇× ~H (~r, t) (2.2.34)

23


Substituyendo la divergencia de ~E (~r, t) y el rotacional de ~H (~r, t) por los valores expre-

sados en (2.2.16) y (2.2.17)

∇2~E (~r, t)− µ0ε0ε (~r)∂2

∂t2~E (~r, t) = 0 (2.2.35)

empleando la notacion compleja introducida en el apartado anterior y derivando respecto

al tiempo obtenemos la ecuacion de Helmholtz

∇2 ~E (~r) + µ0ε0ω2ε (~r) ~E (~r) = 0 (2.2.36)

las ondas electromagneticas resultantes de la resolucion de la ecuacion de Helmholtz se

desplazaran a traves del dielectrico a una velocidad

v (~r) =c

n (~r)(2.2.37)

donde

c =1

√µ0ε0

(2.2.38)

n (~r) =√ε (~r) (2.2.39)

son respectivamente la velocidad de la luz en el vacıo y el ındice de refraccion del medio

(que representa cuanto se reduce la velocidad de la luz al atravesar el material).

Ligado al concepto de velocidad de propagacion introducimos el concepto de vector de

onda ~k, que se trata de una magnitud que expresa, mediante su orientacion, la direccion

de propagacion de la onda y mediante su modulo el numero de onda. El numero de onda

k indica el numero de oscilaciones de la onda electromagnetica por unidad de espacio.

Los componentes del vector de onda se corresponden con los numeros de onda en las

direcciones x, y, z.

~k = kk (2.2.40)

donde

k = n (~r) k0 (2.2.41)

y

k0 =2π

λ0=ω

c= ω√µ0ε0 (2.2.42)

es el numero de onda en el espacio libre 4 [91].

4Es conveniente senalar que cuando una onda electromagnetica pasa de un medio a otro, su frecuenciapermanece inalterada, pero dado que su velocidad se ve modificada debido a su dependencia con elındice de refraccion, la longitud de onda λ asociada con la onda electromagnetica tambien debe cambiar:λ = v/f = 2π/k = 2π/nk0 = λ0/n

24


Si introducimos el numero de onda y el ındice de refraccion en ec. 15 obtenemos una

forma mas compacta de la ecuacion de Helmholtz:

∇2 ~E (~r) + n2 (~r) k20~E (~r) = 0 (2.2.43)

2.2.4. Velocidad de una onda electromagnetica

En las secciones previas hemos hablado de forma generica de la velocidad de una onda

electromagnetica. En realidad, en una onda que se desplaza a traves de un medio material

es necesario distinguir entre dos magnitudes: la velocidad de fase y la velocidad de grupo

5.

La velocidad de fase de una onda es la tasa a la que la fase de la onda se propaga a

traves de un medio, es decir, la velocidad a la que se desplazan los puntos que tienen la

misma fase (frente de onda) para cada componente frecuencial. Es posible expresar la

velocidad de fase en terminos de la longitud de onda y el periodo

vp =λ

T(2.2.44)

o, de manera equivalente, en terminos de la frecuencia angular y el numero de onda [92]

vp =ω

k(2.2.45)

Consideremos ahora una onda formada por la combinacion de dos sinusoides de frecuen-

cias y longitudes de onda ligeramente diferentes:

E (r, t) =E0 cos [(k −∆k)x− (ω −∆ω) t]

+ E0 cos [(k + ∆k)x− (ω + ∆ω) t](2.2.46)

aplicando transformaciones trigonometricas

E (r, t) = 2E0 cos (∆kx−∆ωt) cos (kx− ωt) (2.2.47)

vemos que la envolvente es una sinusoide que se propaga a una velocidad de fase

vg =∆ω

∆k(2.2.48)

como cada envolvente de amplitud contiene un grupo de ondas internas, esta magnitud

recibe el nombre de velocidad de grupo y representa la velocidad de propagacion de

5Las ecuaciones presentadas en secciones anteriores siguen siendo validas, simplemente hay que teneren cuenta que cuando se menciona la velocidad v nos referimos de forma implıcita a la velocidad de fasevp

25


la energıa de la onda electromagnetica. Podemos expandir el concepto de velocidad de

grupo desde dos ondas monocromaticas a un “paquete ondulatorio” (wave packet), con

lo que tendremos la expresion mas general

vg =dω

dk(2.2.49)

Es posible relacionar las velocidades de fase y de grupo a traves de la siguiente ecuacion:

vg =dω

dk=

c

n+ ω dndω=

c

n− λ0dndλ0

= vp

(1 +

λ0

n

dn

dλ0

)= vp − λ0

dvpdλ0

= vp + kdvpdk

(2.2.50)

que nos muestra que la velocidad de grupo sera igual a la velocidad de fase solamente

cuando el ındice de refraccion sea constante (dn/dk = 0). En caso contrario, cuando

la velocidad de fase varıa con la frecuencia, ambas velocidades difieren y el medio se

considera dispersivo. La funcion ω (k) de la cual se deriva la velocidad de grupo se

conoce como relacion de dispersion [93].

El vector de onda apunta en la direccion de la velocidad de fase, es decir, es normal a las

superficies de fase constante. Esta direccion coincidira con la de propagacion de la onda

(es decir, del flujo de energıa electromagnetica) y por tanto con la de la velocidad de

grupo, solamente en el caso de que la onda sea homogenea; en este caso las superficies

de fase constante seran tambien superficies de amplitud constante. En el caso de ondas

no homogeneas estos dos tipos de superficie tendran orientaciones diferentes.

2.3. Teorema de Bloch

La caracterıstica clave de los cristales fotonicos es su periodicidad, por lo tanto es evi-

dente que esta propiedad sera muy empleada a la hora de describir las propiedades fısicas

subyacentes. De manera recıproca, la fısica de los eventos que tengan lugar en el interior

de un cristal reflejara su periodicidad. A partir de esta consideracion general se justifica

que el estudio de la propagacion de ondas electromagneticas a traves de un cristal debera

tomar como punto de partida la naturaleza periodica de este.

Felix Bloch demostro un teorema en el campo de la fısica del estado solido que, como

veremos, sera de gran importancia para el estudio de los cristales fotonicos: “Las solu-

ciones de la ecuacion de Schrodinger para un potencial periodico tienen la forma de una

onda plana multiplicada por una funcion periodica con el mismo periodo que la red de

26

2.3. Teorema de Bloch

Bravais”

ψk (~r) = ei~k~·ruk (~r) (2.3.1)

donde ej~k·~r es una onda plana y uk (~r) recibe el nombre de funcion de Bloch y tiene el

periodo de la red de Bravais, es decir uk (~r) = uk

(~r + ~R

)[86, 85].

El teorema de Bloch puede enunciarse en su forma alternativa: las autofunciones de la

ecuacion de onda pueden escogerse de tal manera que, asociado a cada ψ existe un vector

de onda ~k tal que

ψ(~r + ~R

)= ei

~k·Rψ (~r) ∀~R vector de la celosıa de Bravais (2.3.2)

Imponiendo las condiciones de contorno apropiadas sobre las funciones de onda (condi-

ciones de Born-Von Karman) se puede demostrar que el vector de onda ~k debe ser real

y llegar a establecer una condicion que restrinja los valores permitidos de ~k [94].

Sea pues la condicion de contorno periodica

ψ (~r +Ni~ai) = ψ (~r) i = 1, 2, 3 (2.3.3)

donde ~ai son tres vectores primitivos y Ni enteros de orden N1/3 siendo N = N1N2N3

el numero total de celdas primitivas en el cristal. Aplicando el teorema de Bloch a la

condicion de contorno se puede demostrar que la forma general para los vectores de onda

de Bloch es la siguiente:

~k =3∑i=1

mi

Nibi mi ∈ Z (2.3.4)

donde los ~bi son vectores primitivos de la red recıproca. Por lo tanto, la condicion de

Born-Von Karman restringe ~k a una serie de valores discretos

Un corolario del teorema de Bloch es que el vector de onda ~k puede ser siempre confinado

a la primera zona de Brillouin. Esto es ası porque cualquier vector ~k′ que no pertenezca

a la 1BZ puede escribirse como ~k′ = ~k+ ~K (donde ~K es un vector de la red recıproca y ~k

esta contenido en la 1BZ); dado que ei~K·~R = 1 para cualquier vector de la red recıproca

(2.1.5), si (2.3.2) se verifica para ~k′ tambien lo hara para ~k . Esto quiere decir que los

vectores de onda que difieren en un vector de la red recıproca son equivalentes (en el

sentido de que ambos caracterizan el mismo conjunto de ondas de Bloch).

27


2.4. Las ecuaciones de Maxwell como problema de auto-

valores

2.4.1. La ecuacion de autovalores

En la seccion 2.2.2 veıamos como, a partir de las ecuaciones de Maxwell para un campo

armonico y las relaciones constitutivas en un dielectrico, se obtenıa la ecuacion vectorial

de Helmholtz:

∇×(

1

ε (~r)∇× ~H (~r)

)=(ωc

)2~H (~r) (2.4.1)

Esta ecuacion se puede interpretar de la siguiente manera: se realizan una serie de opera-

ciones sobre una funcion ~H (~r) y si este es realmente un modo permitido para el campo

magnetico, el resultado sera la funcion original ~H (~r) multiplicada por una constante.

Esta situacion, comun en muchos problemas fısicos, recibe el nombre de problema de

valores propios (eigenvalue problem): si el resultado de una operacion A sobre una fun-

cion es ella misma multiplicada por una constante, esa funcion se denomina autofuncion

o autovector (eigenfunction, eigenvector) de ese operador, y la constante multiplicativa

recibe el nombre de autovalor o valor propio. Se puede emplear pues una notacion comun

a este tipo de problemas:

Θ ~H (~r) =(ωc

)2~H (~r) (2.4.2)

donde

Θ = ∇×(

1

ε (~r)∇×

)(2.4.3)

Los autovectores ~H (~r) son la distribucion espacial de los modos armonicos y los auto-

valores (ω/c)2 son proporcionales al cuadrado de la frecuencia de estos modos.

El operador Θ que acabamos de identificar posee las siguientes propiedades:

1. Es lineal, lo que quiere decir que cualquier combinacion lineal de soluciones es

tambien una solucion; esto es, si ~H1 (~r) y ~H2 (~r) son ambas soluciones de (2.4.2)

con la misma frecuencia ω, entonces tambien lo sera α ~H1 (~r) + β ~H2 (~r) (α, β

constantes).

2. Es hermıtico, es decir:(F, ΘG

)=(

ΘF,G)

para dos campos vectoriales ~F (~r) y

~G (~r) cualesquiera 6. Esta propiedad garantiza que no importa sobre cual de las

dos funciones se aplica el operador antes de realizar el producto interior, y es muy

deseable desde el punto de vista numerico, pues permitira resolver el problema de

valores propios empleando algoritmos que utilizan una menor cantidad de memoria

6Se define el producto interior de dos campos vectoriales ~F (~r) y ~G (~r) como (F,G) = ∫ F ∗ (r)·G (r) dr,donde “∗” indica conjugacion.

28

2.4. Las ecuaciones de Maxwell como problema de autovalores

y de tiempo de procesado.

A consecuencia de la hermiticidad se cumple que:

a) Los autovalores de Θ,(ωc

)2son numeros reales.

b) Sean ~H1 (~r) y ~H2 (~r) dos modos armonicos y ω1 y ω2 sus correspondientes

frecuencias. Si ω1 6= ω2 entonces (H1, H2) = 0 y diremos que ~H1 (~r) y ~H2 (~r)

son modos ortogonales.

Si dos modos armonicos H1 y H2 tienen la misma frecuencia ω1 = ω2 decimos

que son degenerados y no son necesariamente ortogonales.

2.4.2. Estructura de bandas fotonicas

En la seccion previa hemos planteado la ecuacion que es necesario resolver para poder

calcular las frecuencias y los perfiles modales de los campos que se propagan a traves de

una estructura dielectrica, pero no debemos perder de vista que los cristales fotonicos

son estructuras dielectricas periodicas (ε(~r) = ε(~r + ~R)) y que dicha periodicidad, ası

como las propiedades de simetrıa propias de cada cristal, impondra ciertas restricciones

sobre la posible forma de las soluciones. Al igual que en el caso de un cristal electronico,

una consecuencia de la periodicidad es el hecho de que los autovectores de la ecuacion

de onda (es decir, los modos electromagneticos) verifican el teorema de Bloch:

Hk (~r) = ei~k·~ruk (~r) (2.4.4)

con

uk (~r) = uk

(~r + ~R

)(2.4.5)

para todos los vectores ~R de la red de Bravais. Hk (~r) recibe el nombre de estado de

Bloch.

Por lo tanto, toda la informacion sobre el modo nos vendra dada por el vector de onda ~k

y la funcion periodica uk (~r). Procedemos pues a escribir los autovectores de la ecuacion

(2.4.2) como estados de Bloch, empleando para ello (2.4.4):

ΘHk (~r) =

(ω (k)

c

)2

Hk (~r)

∇× 1

ε (~r)∇× ei~k·~ruk (~r) =

(ω (k)

c

)2

ei~k·~ruk (~r)

(ik +∇)× 1

ε (~r)(ik +∇)× uk (~r) =

(ω (k)

c

)2

uk (~r)

(2.4.6)

29


que es un problema de valores propios:

Θkuk (~r) =

(ω (k)

c

)2

uk (~r) (2.4.7)

donde aparece un nuevo operador hermıtico Θk que depende de k

Θk = (ik +∇)× 1

ε (~r)(ik +∇)× (2.4.8)

La ecuacion (2.4.7) debe interpretarse como un problema de valores propios para el

autovalor ω/c y el autovector uk, siendo el vector de onda ~k un parametro libre (para

dejar manifiesta relevancia de este parametro libre empleamos el subındice k con el

operador Θ y la funcion de Bloch u)

No debemos perder de vista que la autofuncion uk (~r) y por tanto los perfiles modales

del campo (2.4.4) esta determinada no solamente por el problema de valores propios

(2.4.7), sino que tambien debe verificar las condiciones de transversalidad 7 y periodici-

dad (2.4.5).

Debido precisamente a la condicion de periodicidad, podemos considerar que el problema

de valores propios esta restringido a una unica celda del cristal fotonico (la celda unidad).

Se puede demostrar que restringir un problema de autovalores hermıtico a un dominio

finito implica que sus soluciones seran un conjunto discreto de autovalores [95]. Por lo

tanto, para cada valor de ~k se obtendra un conjunto infinito de modos con frecuencias

discretas, que pueden ser indexadas en orden creciente de frecuencia por un ındice de

banda n: ωn(~k) (n ∈ N). Si se representan en una grafica el conjunto de frecuencias

ωn frente al vector de onda ~k obtenemos la estructura de bandas del cristal (tambien

denominada diagrama de bandas o relacion de dispersion), cuyo estudio proporciona la

mayor parte de la informacion necesaria para predecir sus propiedades opticas [93, 96].

Tenemos pues que para obtener el diagrama de bandas de un cristal fotonico es necesario

hacer un barrido por todos los posibles valores de ~k. Debido a la periodicidad del medio,

sera suficiente resolver el problema de autovalores para todos aquellos ~k pertenecientes

a la primera zona de Brillouin (pues todos los valores de ~k que se encuentren fuera de

esta zona pueden obtenerse a partir de operaciones de traslacion sobre los vectores de la

base recıproca y son por lo tanto redundantes a la hora de definir el espacio de vectores

de onda).

7Recordemos que para llegar a la ecuacion vectorial de Helmholtz hemos empleado solamente las dosecuaciones rotacionales de Maxwell. La condicion de transversalidad para el campo H viene dada por laecuacion de Gauss del campo magnetico:

∇B (r) = 0B(r)=µH(r)−−−−−−−−→ ∇H = 0

th.Bloch−−−−−−→ ∇eikruk (r) = 0∇(ϕψ)=(∇ϕ)ψ+ϕ(∇ψ)−−−−−−−−−−−−−−−→

(∇eikr

)uk (r) +

eikr (∇uk (r)) = 0 −→ ikeikruk (r) + eikr∇uk (r) = 0 −→ (ik +∇)uk (r) = 0

30

2.4. Las ecuaciones de Maxwell como problema de autovalores

Figura 2.5: Ejemplo de diagrama de bandas. Las lıneas azules se corresponden conmodos electromagneticos localizados en el interior del PC. La zona sombreada en azules un contınuo de estados que se extienden en el cristal y el aire que lo rodea. La lınearoja es la “lınea de luz” ω = ck.

Figura 2.6: Zona irreductible de Brillouin (region en rojo) para una celosıa cuadrada(a) y una celosıa triangular (b).Los vertices que limitan cada region estan definidos porlos puntos de alta simetrıa del cristal.

Pero todavıa es posible reducir mas el dominio de los vectores de onda a tener en cuenta:

es posible demostrar [Joanopoulos cap 6] que las funciones ωn(~k) poseen las mismas

simetrıas (rotacion, traslacion e inversion) que el grupo puntual del cristal, por lo que

no es necesario evaluarlas en cada punto k de la zona de Brillouin: la region mas pequena

de la zona de Brillouin en la cual las ωn(~k) no estan relacionadas por ninguna simetrıa

recibe el nombre de zona irreductible de Brillouin.

En un gran numero de ocasiones estaremos interesados en conocer unicamente los puntos

extremos de las bandas de frecuencia: en estos casos se podra reducir todavıa mas el

dominio de ~k, pues sera suficiente con considerar solamente los vectores de onda a lo

31


largo de los lımites de la IBZ (lo que permitira ademas representar el diagrama de bandas

en un grafico bidimensional).

2.4.3. Propiedades de simetrıa de las soluciones a la ecuacion de au-

tovalores

Presentamos una serie de propiedades que emplearemos en secciones subsiguientes pa-

ra argumentar determinados resultados. Una justificacion formal de estas propiedades

puede encontrarse en [97]:

Simetrıa traslacional contınua: las componentes del vector de onda ~k paralelas a

las direcciones de simetrıa son magnitudes conservadas 8 (conserved quantities)

Simetrıa traslacional discreta: Se verifica el teorema de Bloch: cada vector de

onda ~k incluido en la zona de Brillouin identifica una solucion de la ecuacion de

autovalores con frecuencia ω(k) y autovector Hk (~r) = ei~k·~ruk (~r).

Corolario: el vector de onda ~k es una magnitud conservada en un sistema periodico

modulo la suma de vectores de la red recıproca; la suma de un vector de la matriz

recıproca no varıa un modo o su direccion de propagacion.

Simetrıas rotacional, especular y reflexion especular: Las frecuencias de la ecuacion

de autovalores ωn(k) poseen las mismas simetrıas que el grupo puntual del cristal,

por lo que no es necesario considerar ~k en cada punto de la zona de Brillouin, solo

en la IBZ.

Simetrıa especular: los modos se pueden separar en TE (campo electrico confinado

en el plano de simetrıa) y TM (campo magnetico confinado en el plano de simetrıa).

Simetrıa de reflexion temporal: en sistemas con constante dielectrica real (esto es,

sin perdidas) las bandas de frecuencia presentan simetrıa de inversion aun cuando

la red cristalina no la tenga: ωn(k) = ωn(−k).

2.4.4. Separacion de modos

La simetrıa de reflexion especular en un cristal fotonico merece un estudio especial. Si

un dielectrico posee simetrıa especular respecto a un plano (supongamos, sin perdida

de generalidad, que se trata del plano xy), los campos Ek y Hk de (2.4.4) seran pares

o impares respecto a dicho plano [93]. En el caso de un cristal fotonico bidimensional

8Una magnitud conservada de un sistema dinamico es una funcion F de las variables dependientesque permanece constante a lo largo de cada trayectoria del sistema.

32

2.5. La banda prohibida fotonica

(periodico en un plano y uniforme a lo largo de un eje perpendicular al mismo) el

plano de simetrıa se puede situar en un punto arbitrario del eje a lo largo del cual ε

es contante (siguiendo con la asignacion anterior, llamaremos z a este eje) lo que nos

permitira separar la ecuacion de valores propios para Θk en dos ecuaciones separadas,

una para cada polarizacion del campo:

Modo TE (transversal electrico): el campo electrico esta confinado en el plano xy.

Tenemos pues que el campo electromagnetico poseera componentes (Ex,Ey,Hz)

Modo TM (transversal magnetico): el campo magnetico esta confinado en el plano

xy. Tenemos pues que el campo electromagnetico poseera componentes (Hx,Hy,Ez)

Esta division en modos TE y TM, que facilita en gran medida el computo numerico de

las soluciones, no se verifica en general para cristales tridimensionales. No obstante, si

se trata de estructuras tridimensionales finas (como los cristales fotonicos planares) se

puede decir que los campos estan cuasi polarizados 2.7 y se denominaran:

cuasi-TE (TE-like): el campo E es “casi” paralelo al plano de simetrıa (y total-

mente paralelo en z = 0)

cuasi-TM (TM-like): el campo E es “casi” perpendicular al plano de simetrıa (y

totalmente perpendicular en z = 0)

Figura 2.7: Representacion esquematica de las lıneas de campo electrico E para unaestructura dielectrica delgada con simetrıa especular respecto al plano z (zona som-breada en gris). Los modos que son pares con respecto al plano de simetrıa (figura dela izquierda) se dice que son cuasi-TE: E es “casi” paralelo al plano de simetrıa (y estotalmente paralelo en z = 0). Los modos impares (figura de la derecha) son cuasi-TM:E es “casi” perpendicular al plano de simetrıa (totalmente perpendicular en z = 0).

2.5. La banda prohibida fotonica

Habıamos demostrado en 2.1.4 que existe una relacion matematica simple entre el espacio

de vectores de onda (recıproco) y el espacio de coordenadas de la red de Bravais (2.1.11),

por lo que resulta sencillo asociar puntos de la zona de Brillouin con la direccion de

33


propagacion de las ondas electromagneticas dentro del cristal fotonico.

Se puede verificar que para cada una de las direcciones en el interior del cristal existen

huecos entre las diferentes bandas: esto quiere decir que la onda de la frecuencia dada

no puede propagarse en el interior del PC bajo un determinado angulo. Estas areas de

frecuencias reciben el nombre de bandas prohibidas parciales (incomplete band gaps)

[98, 96, 91].

En algunos cristales puede llegar a formarse una banda prohibida completa, esto es, un

rango de ω en el cual no existen soluciones de las ecuaciones de Maxwell correspondientes

a ondas que se propagan (~k real) para ningun ~k.

Estos conceptos se pueden ilustrar convenientemente con un ejemplo: consideremos un

PC unidimensional creado alternando capas de dos materiales con distintas constantes

dielectricas con un periodo espacial a a lo largo del eje x. Supondremos que cada capa

es uniforme y se extiende hasta el infinito en las direcciones y y z, supondremos tambien

que la periodicidad en x se extiende igualmente hasta el infinito. Consideremos ondas

que se propagan en el eje x, atravesando con incidencia normal las capas de dielectrico,

por lo que el vector de onda sera ~k = kxx y lo notaremos abreviadamente como k. En la

figura 2.8 representamos ωn(k) para dos estructuras diferentes: la grafica de la izquierda

se corresponde a un dispositivo en el que todas las capas tienen la misma constante

dielectrica (con lo que, de facto, el medio es homogeneo en las tres direcciones); la

grafica de la derecha representa una estructura con constantes dielectricas de valores 13

y 12. Sabemos por (2.2.41) y (2.2.42) que

k =n (r)ω

c(2.5.1)

por lo que en el caso del medio homogeneo, los modos que se propagaran a traves de la

estructura se situaran a lo largo de la lınea de luz (light line):

ω (k) =ck

n=

ck√ε

(2.5.2)

La periodicidad de la red recıproca implica que la relacion de dispersion de un cristal

fotonico sera periodica respecto a k, lo que quiere decir que la lınea de luz se pliega hacia

atras sobre sı misma cuando alcanza un borde de la zona de Brillouin (esto se puede

considerar un reetiquetado de las soluciones, en el que k + 2π/a se substituye por k9)

La grafica correspondiente al medio no homogeneo guarda muchas similitudes con la

anterior pero con una importante diferencia: existe un hueco entre las ramas superior e

inferior de las lıneas, es decir, aparece una banda fotonica prohibida.

9Particularizando (2.1.11) para una dimension: si ~a = ax es un vector primitivo de la red directa

entonces ~b = 2πax es un vector primitivo de la red recıproca, por lo tanto, para un punto cualquiera k

de la red recıproca se verificara que k = m 2πa

(m ∈ Z)

34

2.6. Tipos de diagramas de bandas

Figura 2.8: En estas graficas se utiliza un escalado para los ejes empleando magnitudesadimensionales. Este escalado sera de uso comun en proximas secciones: en las abscisasse representa el vector de onda ~k en coordenadas de la red recıproca y en el eje deordenadas la frecuencia angular aparece normalizada respecto a la constante de red yla velocidad de la luz en el vacıo

2.6. Tipos de diagramas de bandas

En funcion del tipo y cantidad de simetrıas de la red del cristal fotonico, es posible

diferenciar diferentes tipos de diagramas de bandas:

1. Si la simetrıa del sistema no permite conservar ningun parametro o si solamente

permite conservar parametros discretos (por ejemplo sistemas con simetrıa rota-

cional uniaxial) entonces el diagrama de bandas correspondiente consiste en una

coleccion discreta de puntos a lo largo del eje de frecuencias.

2. Si se conservan varias magnitudes, entre las cuales existe una discreta y otra

contınua (por ejemplo simetrıa rotacional uniaxial mas simetrıa traslacional contınua)

tipicamente se fija el valor de un parametro discreto y se representa la relacion de

dispersion como funcion de un unico parametro contınuo. En ese caso el diagrama

de bandas aparece como una coleccion de bandas contınuas cada una correspon-

diente a un valor del parametro discreto.

3. En el caso de conservarse varios parametros contınuos (como las componentes kx

y ky, tanto en sistemas con simetrıa traslacional bidireccional continua como en

sistemas con simetrıa traslacional bidimensional discreta en 2D o 3D) se pueden

emplear dos tipos de diagramas de bandas:

35


a) Presentar la relacion de dispersion a lo largo de una curva unidimensional

definida sobre el espacio de parametros contınuo y multidimensional

b) Trazar sobre el mismo grafico todas las relaciones de dispersion como funcion

de un unico parametro contınuo para todos los posibles valores de los demas

parametros contınuos. Esta tipo de representacion se conoce como “proyeccion

del diagrama de bandas”.

Figura 2.9: Estructura con simetrıa rotacional uniaxial a lo largo del eje z (a) ydiagrama de bandas asociado (b). Estructura con simetrıa rotacional uniaxial a lo largodel eje z mas simetrıa traslacional contınua a lo largo del mismo eje (c) y diagrama debandas asociado (d). Estructura con simetrıa traslacional bidimensional en los ejes y yz (e) y dos representaciones del diagrama de banda asociado: a lo largo de una curvaunidimensional (f) o proyectado (g).

2.7. Cristales fotonicos planares

La utilizacion en dispositivos fısicos de cristales fotonicos tridimensionales presenta im-

portantes retos desde el punto de vista de la fabricacion; no obstante es posible conse-

guir unas propiedades muy similares mediante el empleo de los conocidos como cristales

fotonicos planares (photonic crystal slabs). Un cristal fotonico planar es una estructura

dielectrica periodica en dos dimensiones y con una altura finita (comparable a la longi-

tud de onda de trabajo) en la tercera dimension.

Este tipo de estructuras poseen una banda prohibida a lo largo de la direccion de pe-

riodicidad del cristal mientras son capaces de confinar la luz en las demas direcciones

mediante el principio de guiado por ındice (index guiding). Se trata por lo tanto de

dispositivos hıbridos que se fundamentan en dos mecanismos: la periodicidad de la red

cristalina y el fenomeno de reflexion total interna (total internal reflection, TIR).

El guiado por ındice se trata de una generalizacion, basada en propiedades de simetrıa,

36

2.7. Cristales fotonicos planares

de la ley de Snell empleada en la optica geometrica (la cual solo es aplicable en el estudio

de sistemas con dimensiones mucho mayores que la longitud de onda de la luz)

Dado que la geometrıa que estamos estudiando posee simetrıa traslacional en la direccion

paralela a la interfaz de separacion entre el cristal planar y el medio que lo rodea, el

vector de onda en esa direccion debera conservarse. Por las propiedades de linealidad e

invarianza temporal de las ecuaciones de Maxwell, la frecuencia ω debe ser otra magnitud

conservada; por lo tanto, si empleamos (2.2.41) y (2.2.42) tenemos que

ω =

∣∣∣~k∣∣∣nc

(2.7.1)

donde n es el ındice de refraccion del substrato situado por encima y por debajo del

cristal. Consideraremos un cristal planar de tipo membrana, esto es, una estructura

rodeada por completo de aire con lo que n = 1. Descomponiendo el vector de onda ~k en

una componente paralela al plano de simetrıa (k‖) y otra perpendicular a dicho plano

(k⊥), tendremos que (2.7.1) fuera del cristal planar toma la forma

ω = c

√∣∣∣~k‖∣∣∣2 + k2⊥ (2.7.2)

Si representamos estas frecuencias frente a ~k‖ obtendremos el cono de luz (light cone)

contınuo ω > c∣∣∣~k‖∣∣∣ (cuya proyeccion se muestra sombreada en la figura 2.10. Los mo-

dos electromagneticos representados en el interior del cono de luz se corresponden con

soluciones de la ley de Snell con un angulo de incidencia menor al crıtico, por lo que

adoptaran la forma fısica de un continuo de ondas planas que se propagan fuera del cris-

tal. Como el material dielectrico poseera mayor ε que el aire, los modos correspondientes

a las bandas situadas bajo el cono de luz no podran acoplarse a ningun modo radiante

y quedaran confinadas en el interior del cristal planar

Si el plano horizontal que divide al cristal en dos mitades es un plano de simetrıa

(o de forma equivalente, si podemos encontrar un plano de simetrıa especular para

la estructura), entonces, como veıamos en la seccion [TE TM EVEN ODD] podremos

dividir los modos electromagneticos confinados en el cristal en dos categorıas: cuasi-TE

y cuasi-TM

Podemos distinguir dos parametros crıticos que determinaran la existencia de una banda

prohibida fotonica en un cristal planar:

La estructura debe presentar simetrıa especular para poder considerar bandas

prohibidas para los modos par e impar de forma separada (es decir, poder aproxi-

mar por modos cuasi-TE y cuasi-TM). Esta simetrıa se rompe en el caso de contar

37


con un substrato asimetrico (distintos valores por encima y por debajo del cristal),

pero en la practica esta asimetrıa sera debil siempre que el contraste entre los ındi-

ces de refraccion sea suficientemente alto, de manera que los modos se encuentren

fuertemente confinados en el cristal.

La altura del cristal planar no puede ser demasiado pequena (o el confinamiento

de los modos sera muy debil) ni demasiado grande (o los modos de orden superior

rellenaran la banda prohibida). La altura optima estara en torno a media longitud

de onda (relativa al ındice de refraccion medio del dielectrico).

Figura 2.10: En la figura se muestra la estructura de un cristal fotonico planar ysu IBZ junto con la representacion del diagrama de bandas proyectado. En el eje x serepresenta la componente del vector de onda ~k conservada, y el eje y se correspondecon las frecuencias de los modos, evaluadas en todos los valores de la componente noconservada del vector de onda. La zona sombreada en azul es el cono de luz, y representala proyeccion de todos los estados que pueden radiar hacia fuera del cristal.

2.8. Defectos en cristales fotonicos

La periodicidad de la red cristalina es el prerrequisito basico para la formacion de una

banda prohibida completa (esto es, un rango espectral sin estados electromagneticos

que sean soluciones de la ecuacion de autovalores), por lo tanto si se disena convenien-

temente una modificacion de esta red (es decir, si se introduce un defecto adecuado en

la red cristalina) sera posible introducir modos electromagneticos dentro de este rango

de frecuencias.

Es posible clasificar estas modificaciones en funcion del numero de simetrıas traslacio-

nales discretas que permanezcan en la celosıa periodica tras la introduccion del defecto:

38

2.8. Defectos en cristales fotonicos

Si el cristal con el defecto no mantiene ninguna periodicidad hablaremos de un

defecto cero dimensional, defecto puntual o cavidad. Dentro de la banda prohibi-

da del cristal “anfitrion” (esto es, el cristal original sin defectos) estas cavidades

presentan un conjunto discreto de modos localizados. Las cavidades de un cristal

fotonico presentan factores de calidad muy elevados.

Si el cristal con el defecto mantiene periodicidad en una direccion del espacio

denominaremos a este defecto, lineal o guıa onda de cristal fotonico.

Una red cristalina en la que se ha modificado una secuencia lineal de celdas unidad,

todavıa posee una direccion en la que se conserva la simetrıa traslacional discreta.

Supongamos la estructura representada esquematicamente en el recuadro de la

figura 2.11, en este caso sera la direccion y. Como consecuencia de esta simetrıa

se verificara el teorema de Bloch y los estados de Bloch tendran vectores de onda

ky. Por otro lado se sigue manteniendo la simetrıa traslacional contınua en el eje

z, por lo que kz sera una magnitud conservada.

Para representar el diagrama de bandas de ω (kx, ky) frente a ky procederemos a

Figura 2.11: Proyeccion del diagrama de bandas de un PC con un defecto lineal(recuadro)

proyectar sobre ky, es decir, seleccionamos un valor de ky (magnitud conservada) y

examinamos todos los posibles valores de kx (que no es una magnitud conservada).

El resultado de proyectar los modos del cristal fotonico sin defecto sobre la direccion

de propagacion de la guıa es la region azul de la figura 2.11 y representa los modos

39


extendidos, que seran aquellos que podran penetrar en la estructura cristalina que

rodea al defecto.

Como consecuencia de la introduccion del defecto lineal aparece una banda guiada

discreta en el interior de la banda prohibida para la polarizacion TM. En virtud

de esta zona prohibida, el modo representado por la banda guiada es evanescente

en el cristal y se encuentra confinado en el defecto (tal y como se muestra en la

figura 2.12), propagandose a lo largo del mismo. Se ha creado de esta manera una

guıa onda.

Figura 2.12: Representacion del perfil modal Ez propagado a traves de la guıa ondacreada al eliminar una hilera de cilindros en la estructura de cristal fotonico.

40

Capıtulo 3

Desarrollo

3.1. Metodos numericos

Los cristales fotonicos son, en general, sistemas complejos en dos y tres dimensiones, por

lo que enfocar el problema del calculo de la propagacion de los campos electromagneticos

en su interior no es viable a traves de la resolucion analıtica de las ecuaciones de Maxwell;

es por ello que para su analisis cobran vital importancia los metodos de calculo numerico.

Podemos diferenciar tres categorıas de problemas:

Problemas de autovalores en el dominio de la frecuencia: intentan encontrar la

estructura de bandas ω(k) y los campos asociados expresando el problema como

una ecuacion matricial de autovalores Ax = ω2Bx y aplicando tecnicas del algebra

lineal para encontrar los autovalores ω2 y los autovectores x.

Respuesta frecuencial: dada una distribucion de corriente con una determinada

frecuencia J (x) e−iωt buscar los campos resultantes mediante la expresion del

problema como una ecuacion matricial Ax = b y la aplicacion de tecnicas de

algebra lineal para su resolucion.

Simulaciones en el dominio del tiempo: simular la propagacion de los campos E(x, t)

y H(x, t) a lo largo del tiempo, generalmente partiendo de una fuente de corriente

que tambien tiene dependencia temporal J (x, t).

Otra forma de clasificar los metodos numericos para la resolucion de ecuaciones en

derivadas parciales como las ecuaciones de Maxwell, es en base a la tecnica empleada

para reducir el numero infinito de incognitas (por ejemplo, el valor de los campos en

cada punto del espacio) a una cantidad finita N de incognitas discretizadas:

41

Capıtulo 3 Desarrollo

Diferencias finitas (finite differences methods, FDM): se representan las funciones

a estudiar mediante sus valores en puntos discretos de una malla f(x) ≈ f(n∆x)

y su derivadas como diferencias sobre la malla ∂f/∂x ≈ (fn+1 − fn−1) /2∆x.

Elementos finitos (finite elements methods, FEM): se divide el espacio en un con-

junto finito de elementos geometricos simples (por ejemplo triangulos o tetraedros)

y se representan las funciones a estudiar mediante aproximaciones simples (tipica-

mente polinomicas) definidas sobre cada elemento.

Metodos espectrales (spectral methods): se representan las funcionas a estudiar

como una expansion en serie sobre una base de funciones bien definidas, truncando

la serie para obtener un numero finito de terminos y escogiendo los coeficientes

de la suma de manera que satisfagan la ecuacion diferencial lo mejor posible.

Tipicamente se emplea una expansion en serie de Fourier empleando sinusoides

como funciones base, conociendose este metodo como expansion en ondas planas

(plane wave expansion, PWE).

Metodos de elementos de frontera (boundary element methods, BEM): se basan

en discretizar unicamente las fronteras entre distintas regiones homogeneas (en

lugar de discretizar todo el espacio). Las regiones homogeneas se tratan de manera

analıtica y en las fronteras se pueden emplear metodos de elementos finitos o una

descomposicion en bases espectrales.

En el desarrollo de esta tesis se han empleado varias herramientas de software que

implementan dos metodos:

PWE (plane wave expansion): se han empleado dos programas que implementan

este metodo: MPB (MIT Photonic-Bands, desarrollado por el grupo de fısica del

MIT Ab Initio) y BandSOLVE (parte del Photonic Component Design Suite de

Rsoft); con el primero se han calculado diagramas de bandas, el segundo se ha

empleado ademas para obtener parametros de dispersion de cristales fotonicos.

FDTD (finite difference time domain): se ha empleado el programa FDTD Solu-

tions (de Lumerical Inc.) para calcular la transmision a traves de guıas onda de

cristal fotonico.

3.1.1. Expansion en ondas planas (PWE)

Partiremos de la ecuacion de onda

∇×(

1

ε (~r)∇× ~H (~r)

)=(ωc

)2~H (~r) (3.1.1)

42


donde ω son los autovalores y ~H(~r) las autofunciones de una ecuacion de valores propios.

Buscaremos soluciones con forma de ondas planas

~H(~r, t) = ~H(~r)e−iωt (3.1.2)

Como ε es una funcion periodica de la coordenada espacial ~r, podemos aplicar el teorema

de Bloch a [eq 1], por lo que ~H(~r) queda caracterizado por el vector de onda ~k dentro

de la 1BZ y por un ındice de banda n de la siguiente forma:

~H (~r) = ~Hnk (~r) = ~unk (~r) e−i~k·~r (3.1.3)

donde ~unk (~r) es una funcion periodica que verifica

~unk (~r) = ~unk (~r + ~ai) ; i = 1, 2, 3; {~ai} vectores primitivos. (3.1.4)

Empleando la periodicidad espacial de ~unk (~r), la expandimos en serie de Fourier, con lo

que las autofunciones tomaran la forma

Hnk (r) =∑K

Hnk (K) e−i(k+K)·r (3.1.5)

donde K = k1b1 +k2b2 +k3b3 es el espacio recıproco. Como ε es periodica (por la propia

definicion de cristal fotonico) tambien la podemos escribir como serie de Fourier

1

ε (r)=∑K

κ (K) e−iK·r (3.1.6)

Substituyendo (3.1.5) y (3.1.6) en (3.1.1) obtenemos la siguiente ecuacion de valores

propios 1

∑K′

κ(K −K ′

)(k +K)×

((k +K ′

)×Hnk

(K ′))

=ω2nk

c2Hnk (K) (3.1.7)

Cada coeficiente de Fourier del campo, Hnk(K), tiene tres grados de libertad: las tres

componentes vectoriales, pero es posible emplear la ecuacion de divergencia para el

campo magnetico (2.2.4) a fin de reducir en uno esta cantidad:

0 = ∇(Hnk (K) e−i(k+K)·r

)= (k +K) ·Hnk (K) e−i(k+K)·r

⇒Hnk (K) = hK1nk eK1 + hK2

nk eK2

(3.1.8)

1Dado que en la practica estamos realizando una transformada de Fourier, el producto entre ε−1 yel rotacional de H se transforma en una convolucion.

43


Donde eK1 y eK2 son vectores unitarios ortogonales entre sı y a (k +K).

Por lo tanto la ecuacion de autovalores final es:

∑K′

|k +K|∣∣k +K ′

∣∣κ (K −K ′)( eK2 · eK′2 −eK2 · eK′1−eK1 · eK′2 eK1 · eK′1

)(hK′1

nk

hK′2

nk

)=ω2nk

c2

(hK1nk

hK2nk

)(3.1.9)

Se ha reducido la dimension de las matrices de 3N×3N a 2N×2N (siendo N el numero

de vectores K ′ del espacio recıproco).

El sumatorio de (3.1.9) recorre un numero infinito de vectores de la red recıproca, por

lo que para que el problema sea resoluble numericamente es necesario restringir las

expansiones de Fourier del campo y la funcion dielectrica a un subconjunto finito. De

esta manera llegamos a un problema de diagonalizacion de matrices para cada valor de

k, que se puede resolver mediante diferentes tecnicas.

3.1.2. Diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD)

Partimos de las ecuaciones diferenciales de Maxwell en el dominio del tiempo:

∇× ~E = −µ0∂ ~H∂t

(3.1.10)

∇× ~H = ε0ε∂~E∂t

(3.1.11)

que pueden ser escritas en coordenadas cartesianas como 6 ecuaciones escalares

∂Hx∂t

=−1

µ0

(∂Ez∂y− ∂Ey

∂z

)(3.1.12)

∂Hy∂t

=−1

µ0

(∂Ex∂z− ∂Ez

∂x

)(3.1.13)

∂Hz∂t

=−1

µ0

(∂Ey∂x− ∂Ex

∂y

)(3.1.14)

∂Ex∂t

=1

ε0ε

(∂Hz∂y− ∂Hy

∂z

)(3.1.15)

∂Ey∂t

=1

ε0ε

(∂Hx∂z− ∂Hz

∂x

)(3.1.16)

∂Ez∂t

=1

ε0ε

(∂Hy∂x− ∂Hx

∂y

)(3.1.17)

estas ecuaciones describen una situacion en la cual el cambio temporal del campo Edepende de la variacion espacial del campo H y viceversa. El metodo FDTD resuelve

estas ecuaciones mediante la division del espacio y el tiempo en una retıcula de puntos

discretos (malla de Yee) y aproximando las derivadas por diferencias finitas.

La propagacion temporal emplea un algoritmo de “salto de rana” en el cual los campos

E en el instante t se calculan a partir de los campos E en el instante t−∆t y los campos

44


H en el instante t − ∆t/2 y viceversa para H en el instante t + ∆t/2 Por lo tanto,

Figura 3.1: Unidad fundamental de la malla de Yee en coordenadas cartesianas: lascomponentes del campo electrico forman las aristas del cubo y las componentes delcampo magnetico son normales a las caras del mismo.

para calcular Hx, Ex,Hy, Ey,Hz, Ez en un punto de la malla dado por los enteros i, j, k

emplearemos las ecuaciones siguientes, que se resuelven iterando sobre n, alternando el

calculo de los campos H y E a intervalos de ∆t/2:

Hn+1/2x(i,j,k) = Hn−1/2

x(i,j,k) +∆t

µ∆z

(Eny(i,j,k) − E

nx(i,j,k−1)

)− ∆t

µ∆y

(Enz(i,j,k) − E

nz(i,j−1,k)

)En+1x(i,j,k) = Enx(i,j,k) +

∆t

ε0ε(i,j,k)∆z

(Hn+1/2

y(i,j,k) −Hn+1/2x(i,j,k−1)

)− ∆t

ε0ε(i,j,k)∆y

(Hn+1/2

z(i,j,k) −Hn+1/2z(i,j−1,k)

)

Hn+1/2y(i,j,k) = Hn−1/2

y(i,j,k) +∆t

µ∆x

(Enz(i,j,k) − E

nz(i−1,j,k)

)− ∆t

µ∆z

(Enx(i,j,k) − E

nx(i,j,k−1)

)En+1y(i,j,k) = Eny(i,j,k) +

∆t

ε0ε(i,j,k)∆x

(Hn+1/2

z(i,j,k) −Hn+1/2z(i−1,j,k)

)− ∆t

ε0ε(i,j,k)∆z

(Hn+1/2

x(i,j,k) −Hn+1/2x(i,j,k−1)

)

Hn+1/2z(i,j,k) = Hn−1/2

z(i,j,k) +∆t

µ∆y

(Enx(i,j,k) − E

ny(i,j−1,k)

)− ∆t

µ∆x

(Enx(i,j,k) − E

ny(i−1,j,k)

)En+1z(i,j,k) = Enz(i,j,k) +

∆t

ε0ε(i,j,k)∆y

(Hn+1/2

x(i,j,k) −Hn+1/2y(i,j−1,k)

)− ∆t

ε0ε(i,j,k)∆x

(Hn+1/2

x(i,j,k) −Hn+1/2y(i−1,j,k)

)

Este metodo se emplea generalmente para calcular espectros de transmision y reflexion,

pues permite calcular la respuesta de un sistema para multiples frecuencias de entrada

con una unica ejecucion del algoritmo. Para ello se transmite un pulso de muy corta

duracion (y por lo tanto con un gran ancho de banda) y se calculan los campos E(t)

y H(t) en el plano de salida del sistema; acto seguido se computa la transformada de

Fourier de estas magnitudas para obtener E(ω) y H(ω) .

45


Los calculos de transmision requieren “fronteras abiertas”, es decir, los campos deben

poder radiar hacia el infinito en lugar de reflejarse al incidir sobre el borde de la region

computacional; este problema se solventa tıpicamente anadiendo una capa perfecta-

mente adaptada (perfectly matched layer, PML) alrededor de los lımites de la region

computacional. Una PML es una capa artificial de material absorbente disenada para

que (teoricamente) no se produzcan reflexiones en las fronteras que delimitan la zona de

simulacion.

3.1.3. Invarianza de las ecuaciones de Maxwell respecto a cambios de

escala

Una propiedad importante de las ecuaciones de Maxwell en dielectricos es la ausencia

de una escala fundamental de longitud: los autovalores y autovectores calculados para

una estructura pueden mapearse de manera trivial como soluciones para una estructura

resultante del escalado de la original en todas su dimensiones.

Para demostrar como la solucion del problema para una escala especıfica determina las

soluciones para todas las demas escalas, tomamos como punto de partida la ecuacion

vectorial de Helmholtz

∇×(

1

ε (r)∇×H (r)

)=(ωc

)2H (r) (3.1.18)

consideremos una nueva funcion dielectrica ε′(r) consistente en una version escalada de

la funcion original ε(r): εprime(r) = ε(r/s) para un factor de escala s. Realizamos un

cambio de variables en (3.1.18) empleando r′ = sr ⇒ r = r′/s y ∇′ = ∇/s⇒ ∇ = s∇′:

s∇′ ×(

1

ε (r′/s)s∇′ ×H

(r′/s

))=(ωc

)2H(r′/s

)(3.1.19)

pero ε(r′/s) es ε′(r′), por lo que si hacemos esta substitucion y dividimos (3.1.19) entre

s llegamos a

∇′ ×(

1

ε′ (r′)∇′ ×H

(r′/s

))=( ωcs

)2H(r′/s

)(3.1.20)

Que no es mas que (3.1.18) con un perfil modal H ′(r′) = H(r′/s) y una frecuencia

angular ω′ = ω/s, es decir, si se aumenta la escala de la estructura en un factor s, las

frecuencias disminuyen en ese mismo factor mientras que los perfiles modales se expan-

den en identica proporcion.

La propiedad de escalado es muy util en la experimentacion practica, pues permite

construir cristales fotonicos en la escala de centımetros (a la cual es posible crear PCs

46

3.2. Diseno y optimizacion de una estructura de guıa de cristal fotonico con bajasperdidas

realizando taladros sobre el material dielectrico de forma mecanica) y realizar expe-

rimentos a frecuencias de microondas con la certeza de que los resultados obtenidos

podran escalarse al regimen de las frecuencias opticas.

Esta propiedad tambien es explotada por los programas de simulacion; en nuestro caso:

MPB toma la constante de periodicidad de la red cristalina, a, como unidad de

escala fundamental y todas las demas distancias se deben escribir en funcion de

esta. Fija ademas este valor a la unidad a = 1, con lo que finalmente las longitudes

son adimensionales.

Los vectores de onda k seran una excepcion, pues se especificaran en coordena-

das respecto a la base de la red recıproca (unidades de 2π/a). Por otra parte, la

velocidad de la luz tambien se fija a valor unidad c = 1, por lo que a (o a/c)

tambien sera la unidad de tiempo. En particular la frecuencia f se especificara en

unidades de c/a (o, de manera equivalente, ω se especifica en unidades de 2πc/a),

lo uqe equivale a especificar f como 1/T , es decir, el inverso del periodo optico T

en unidades de a/c. Esto, a su vez, es equivalente a especificar f como a/λ, donde

λ es la longitud de onda en el vacıo.

BandSOLVE muestra la frecuencia de los autovalores normalizada respecto a la

longitud de la celda primitiva. Esta longitud se define mediante la variable Period

y por defecto tiene valor igual a la unidad.

La unidad de longitud por defecto son los µm. La unidad de tiempo tambien son

los µm, y por lo tanto esta expresada en unidades de cT donde c es la velocidad

de la luz en el vacıo.

3.2. Diseno y optimizacion de una estructura de guıa de

cristal fotonico con bajas perdidas

En esta seccion se desarrolla uno de los objetivos de esta investigacion: la optimizacion

de una guıa onda de cristal fotonico con bajas perdidas creada mediante la introduccıon

de un defecto lineal en un material dielectrico rodeado de columas de aire formando una

estructura de celosıa triangular. Este defecto lineal se crea eliminando una hilera de los

cilindros de aire que conforman la celosıa; las guıas de este tipo reciben el nombre de

guıas W1 o guıas SLWG (Single-Line-Defect Waveguide).

47


Variando los parametros de la celosıa del dielectrico y la geometrıa de los tapers 2 reali-

zamos un extenso estudio estadıstico (dentro del rango de longitudes de onda empleadas

tıpicamente en telecomunicaciones) que permitira determinar un mapa de parametros

que podra ser empleado como metodo para el diseno de este tipo de guıas en terminos

de optimizacion de la transmitancia y minimizacion del desajuste de impedancias.

Independientemente de la estructura y finalidad de cada dispositivo de optica integrada

basado en cristales fotonicos, un problema recurrente es el del acoplamiento del flujo de

luz que se desea procesar al chip de PC. Un ejemplo paradigmatico de gran importancia

es el de la fibra empleada en telecomunicaciones, donde un desajuste del tamano del

modo guiado y el ındice efectivo entre el medio de transmision y el circuito integrado

optico produce elevadas perdidas de potencia en forma de radiacion y retroreflexion

(backreflection) [99, 100, 101]. En los ultimos anos se han llevado a cabo significativos

avances para mitigar este problema a traves del uso de acopladores de taper invertido

[102] y de tapers en filo de cuchillo [103].

3.2.1. MPB: MIT Photonic Bands

Para el calculo de la estructura de bandas del PC se ha empleado el MIT Photonic

Bands. MPB es una herramienta gratuita desarrollada por Steven G. Johnson junto con

el grupo de fısica del MIT, Ab Initio que permite calcular la estructura de bandas (rela-

cion de dispersion) y los modos electromagneticos de estructuras dielectricas periodicas

empleando un metodo basado en una optimizacion del PWE [104]. Este software ha sido

construido sobre una serie de bibliotecas de funciones y utilidades ya disponibles y para

la compresion de su funcionamiento es conveniente tener claras las relaciones mostradas

en la figura 3.2:

BLAS: es una coleccion de funciones que implementan de forma extremadamente

optimizada operaciones basicas de algebra lineal como la multiplicacion de matri-

ces. Este paquete es invocado por LAPACK y por el propio codigo de MPB.

LAPACK: es una coleccion de rutinas, construida sobre BLAS, que implementa

operaciones algebraicas mas complejas, como la inversion y la diagonalizacion de

matrices.

2En esta ocasion se ha decidido mantener el termino en ingles dado el arraigo del mismo y la inexisten-cia de una traduccion adecuada (podrıamos decir que un taper serıa una suerte de “junta de interconexionreductora”

48


Figura 3.2: Diagrama de dependencias de los distintos componentes que integranMPB

HDF5: extendida biblioteca de funciones y formato de archivo para el tratamien-

to y almacenamiento de grandes cantidades de datos cientıficos de multiples di-

mensiones. Es empleado por MPB para la salida hacia el usuario de los campos

electromagneticos calculados (perfiles modales) o de la funcion dielectrica.

FTTW: implementacion optimizada del algoritmo de la transformada rapida de

Fourier (Fast Fourier Transform, FFT)

Guile: se trata de un interprete y compilador de Scheme, que es un dialecto del len-

guaje de programacion LISP. Es empleado por MPB para proporcionar al usuario

un interfez a traves del cual interaccionar.

libctl: se trata de una capa de abstraccion intermedia entre el usuario y Guile

cuya finalidad es simplificar la introduccion de los parametros de entrada a la

simulacion.

Por lo tanto, para realizar una simulacion se debe crear un fichero de entrada con los

datos de la estructura a estudiar (en codigo Scheme con los anadidos de libctl) y se invoca

a MPB desde la lınea de comandos pasando el nombre del fichero como parametro. Si

no se especifica lo contrario, MPB sacara todos los resultados por pantalla y creara

ademas un fichero (que siempre recibira el nombre “epsilon.h5”) que contiene la funcion

dielectrica en la celda primitiva en formato HDF5. Dado que obtener una salida por

pantalla no resulta operativo (ni permite un procesado posterior de estos datos, el cual,

49


como veremos, resultara imprescindible), se invocara a MPB forzando la salida hacia

un fichero de texto mpb simulacion.ctl > simulacion.out. En el fichero de

entrada es necesario definir como mınimo los siguientes parametros:

Vectores base de la celda unidad

Propiedades y caracterısticas estructurales de la red cristalina

Vectores correspondientes a los puntos de alta simetrıa de la zona irreductible de

Brillouin

Numero de bandas que se desea calcular (debera ser directamente proporcional al

numero de celdas que componen la estructura simulada).

La salida de MEEP incluye una gran cantidad de datos que muestran que ejecuta el

codigo en cada momento, no obstante solo una parte de ellos nos resultaran de utilidad

a la hora de calcular el diagrama de bandas de la estructura que estamos estudiando:

[. . .]

solve_kpoint (0,0,0):

tmfreqs:, k index, k1, k2, k3, kmag/2pi, tm band 1, tm band 2, tm band 3, tm

band 4, tm band 5, tm band 6, tm band 7, tm band 8

Solving for bands 2 to 8...

Finished solving for bands 2 to 8 after 17 iterations.

tmfreqs:, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0.546093, 0.556953, 0.556953, 0.824546, 0.857975,

0.958088, 1.08255

elapsed time for k point: 1 seconds.

[. . .]

solve_kpoint (0.1,0.1,0):

Solving for bands 1 to 8...

Finished solving for bands 1 to 8 after 8 iterations.

tmfreqs:, 15, 0.1, 0.1, 0, 0.141421, 0.0909083, 0.512639, 0.551733, 0.596468,

0.825904, 0.854694, 0.941509, 1.03037

elapsed time for k point: 0 seconds.

[. . .]

Band 1 range: 0.0 at #(0 0 0) to 0.28262331114 at #(0.5 0.5 0)

Band 2 range: 0.41933479870 at #(0.5 0 0) to 0.54609273709 at #(0 0 0)

Band 3 range: 0.50023918659 at #(0.5 0.5 0) to 0.5626475777 at #(0.5 0 0)

Band 4 range: 0.55695326290 at #(0 0 0) to 0.71567383475 at #(0.5 0 0)

Band 5 range: 0.74368292064 at #(0.5 0 0) to 0.87474707942 at #(0.5 0.5 0)

Band 6 range: 0.84025031250 at #(0.3 0.3 0) to 0.87845203650 at #(0.5 0.5 0)

Band 7 range: 0.87569462767 at #(0.5 0 0) to 0.95808767609 at #(0 0 0)

50


Band 8 range: 0.88481249279 at #(0.5 0.5 0) to 1.0825546766 at #(0 0 0)

Gap from band 1 (0.28262331114) to band 2 (0.41933479870), 38.951466088%


Las lıneas encabezadas por “tmfreqs” (en el caso de bandas para modos TE serıa “te-

freqs” y para modos sin simetrıa especıfica “freqs”) tienen un formato de valores sepa-

rados por comas (comma-separated values, CSV), incluyendo informacion del ındice del

punto k, las componentes y magnitudes de k y las frecuencias de las bandas. Extrayendo

estos datos e importandolos en un programa como Matlab se podra trazar la grafica del

diagrama de bandas de la estructura.

Las ultimas lıneas muestran la lista de bandas fotonicas prohibidas que se han encontra-

do, incluyendo las frecuencias normalizadas a/λ de inicio y fin de la banda y la relacion

porcentual entre el tamano y la frecuencia central de la misma. Es importante tener en

cuenta que pueden aparecer “falsos positivos” en el caso de que dos bandas se crucen, ya

que el codigo de MPB computa la banda prohibida conectando los puntos del diagrama

de bandas bajo la suposicion de que estas nunca se cruzan; en tales casos el tamano

calculado para la falsa banda es inferior al 1 %.

Para poder visualizar la funcion dielectrica (y comprobar que se ha definido la estructura

correctamente) podemos convertir el fichero “epsilon.h5” a un formato de imagen. Este

proceso se realiza en dos pasos:

1. En primer lugar se ejecuta una utilidad incluida en el paquete de MEEP:

mpb-data -r -m <periodos> -n <resolucion> epsilon.h5

con este comando se reorganizan los datos en una celda rectangular con el mismo

area que la original 3 (-r), se expanden los datos para incluir varios periodos (-m)

y se especifica el numero de pıxeles por unidad de distancia a (-n).

La salida del comando sera un nuevo conjunto de datos “data-new” incluido dentro

del archivo original “epsilon.h5”

2. En segundo lugar ejecutaremos una segunda utilidad, incluida en la biblioteca

HDF5 que se encargara de transformar el conjunto de datos obtenido en el apartado

anterior en una imagen con formato PNG: h5topng epsilon.h5:data-new.

Como se puede comprobar tras todo lo expuesto, el uso de MPB puede resultar un

tanto farragoso, especialmente si se desean probar diferentes parametros de un mismo

dispositivo (principalmente diferentes materiales y variaciones en la geometrıa de la

3La malla sobre la que MPB realiza los calculos esta definida sobre la celda primitiva, por lo que sisus vectores primitivos no son ortogonales (por ejemplo, en el caso de una celosıa triangular), la imagengenerada por las utilidades de conversion grafica estara distorsionada, pues estos trabajan con imagenesrectangulares.

51


celosıa). Es por esto que durante el desarrollo de esta tesis se han elaborado varios

scripts para simplificar el proceso y permitir la ejecucion de simulaciones por lotes. La

Figura 3.3: Diagrama del flujo de trabajo seguido en las simulaciones con MPB

figura 3.3 muestra el proceso a seguir: una vez elaborado el fichero de entrada con la

descripcion de los datos del problema (“simula.ctl”), se edita un script de shell en el

cual se indica el nombre del fichero de entrada y los valores del parametro sobre el que

deseemos iterar; al invocar a este script se obtienen varias salidas: un fichero PNG que

representa la funcion dielectrica, por pantalla se muestran los valores del parametro

libre sobre los que vamos iterando juntamente con las bandas prohibidas encontradas y

finalmente sendos ficheros por cada iteracion que contendran las bandas calculadas para

los modos TE y para los modos TM. Estos ficheros se pueden pasar como entrada a

dos funciones desarrolladas en Matlab, la primera de las cuales generara un grafico con

el diagrama de bandas y la segunda superpondra a este diagrama la banda o bandas

prohibidas que se hayan encontrado.

52


3.2.2. Diseno y optimizacion de la estructura

Como punto de partida se toma la estructura definida en [105] ya que resulta un ejemplo

significativo de guıa onda de PC con taper integrado. Con este fin se define una estructura

dielectrica compuesta de diversas capas de SiO2 de distintas purezas escogidas para

conseguir un ındice de refraccion efectivo neff = 1.89. En esta estructura se talla una

matriz regular de cilindros de manera que se crea una celosıa triangular de cilindros de

aire. Como constante de red se utiliza un valor a = 664 nm, mientras que el radio de

los cilindros se fija a 232 nm. En la figura 3.4 se muestra un diagrama de la estructura.

Utilizando MPB y los scripts desarrollados ad hoc presentados anteriormente, se procede

Figura 3.4: Estructura de guıa onda de cristal fotonico objeto de estudio, con taperscuadrado (arriba) y triangular (abajo)

a calcular la estructura de bandas fotonicas, encontrando que no existe banda prohibida

para los modos TM, mientras que los modos TE presentan un gap del 15.4 % para el

rango de frecuencias normalizadas a/λ = 0.392 − 0.457 3.5, lo que determina que las

longitudes de onda comprendidas entre 1453 y 1694 nm no se propagaran a traves del

cristal. A continuacion se procede a insertar una guıa onda en la estructura mediante

la eliminacion de una hilera de cilindros de la celosıa, creando ası un defecto lineal que,

debido al PGB, confinara la luz entre los lımites definidos por el defecto lineal solamente

para los modos electromagneticos indicados en el parrafo anterior.

Se busca minimizar las perdidas de acoplamiento entre la fibra y el circuito integrado

fotonico (photonic integrated circuit, PIC) que acabamos de definir; para ello se fijara un

taper de forma rectangular y triangular a ambos extremos del PIC y se llevara a cabo

el siguiente procedimiento:

53


Figura 3.5: Diagrama de bandas del modo transversal electrico para una red triangularde cilindros de aire sobre una base dielectrica de SiO2. El eje x representa los puntos dealta simetrıa situados en los vertices de la zona irreductible de Brillouin, mientras queel eje y se corresponde con la frecuencia expresada en unidades adminesionales ωa/2πc.El PBG aparece resaltado en amarillo y en el recuadro se muestra un diagrama de lacelda unidad y la 1BZ

1. Para cada morfologıa de taper se lleva a cabo un barrido de simulaciones con

el objetivo de encontrar los valores optimos de longitud de taper (L), radio de

cilindros (r) y constante de celosıa (a). Estos valores se esogeran de manera que

maximicen el coeficiente de transmision en el ancho de banda de las frecuencias de

interes.

2. Las dos hileras de cilindros que flanquean la guıa de PC se substituyen por otras

dos compuestas por tubos rellenos de dielectrico (anillos bidimensionales de aire

extruıdos) y se lleva a cabo un segundo analisis de barrido, enfocado esta vez en el

grosor de los anillos con el proposito de reforzar la energıa acoplada en el interior

de la guıa mediante fenomenos de resonancia.

Para optimizar cada estructura con taper se comienza calculando el “mapa de bandas

prohibidas” (band gap atlas) de la figura 3.6. Este tipo de figura ilustra la relacion entre

la proporcion r/a (eje x) y las frecuencias de la banda prohibida -en unidades de a/λ-

(eje y). Para cada valor de r/a existe un gap delimitado por los valores maximo y mıni-

mo de a/λ. El valor de a puede ser determinado a continuacion imponiendo el criterio

de que λ = 1550 nm debe corresponderse con el punto medio de la banda prohibida.

54


Esta eleccion viene motivada por el hecho de que la tercera ventana de transmision,

centrada en 1550 nm, es el rango espectral mas utilizado en las redes de telecomunica-

cion opticas actuales 4. Por lo tanto, el unico parametro libre que resta por ser fijado

en la geometrıa de la guıa onda es el valor del radio de los cilindros r. Al examinar la

figura 3.6 se puede comprobar que, en el caso de la polarizacion TE, existira una banda

prohibida para valores de r/a comprendidos entre 0.22 y 0.47. Tomando en considera-

cion las premisas indicadas previamente para el establecimiento del valor de a se tiene

que r/a = 0.22 se correspondera con una valor de r = 124.52 nm, mientras que en el

otro extremo, r/a = 0.47 proporciona un valor para r de 396.68 nm. Realizamos una

diezmado sobre todos los posibles valores de r para mantener la cantidad de simulacio-

nes a realizar dentro de una magnitud manejable, por lo que definimos un vector con

cinco posibles valores de radio: r = [124.52, 169.12, 233.1, 301.76, 396.68] (nm). Conside-

raremos ademas que la longitud del taper de acoplamiento L podra variar en un rango

comprendido entre a y 10a, definiendo consiguientemente un vector con diez valores:

L = [a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a, 8a, 9a, 10a].

Figura 3.6: Mapa de bandas prohibidas para una red triangular de cilindros de aireembebidos en un material dielectrico con constante ε = 3.5721. La dependencia delancho del PBG con el radio normalizado de los cilindros se representa en rojo y azulpara la polarizacion H y en verde y negro para la polarizacion E.

4Se dedicara una atencion especial al desempeno en las bands C y L, que seran utilizadas en loscanales de subida y bajada de los canales WDM-PON dentro del marco de las nuevas redes NG-PON.

55


3.2.3. Resultados numericos

Se ejecuta un barrido biparametrico mediante un script que crea una tanda de 50 simu-

laciones FDTD 5, cada una correspondiente a un par de valores del radio de los cilindros

y la longitud del taper definidos en los vectores r y L. En cada simulacion se inserta en el

centro geometrico de la entrada a la guıa onda de PC un pulso gaussiano perfectamente

acoplado, centrado en 1550 nm y con un ancho de banda de 750 nm y se calculan los

campos y el vector de Poynting al final del taper.

Con los resultados de las 50 simulaciones se crea una matriz T ∈Mλ×L×r cuyos elementos

son los coeficientes de transmision para cada longitud de onda λ, longitud de taper L

y radio de cilindro r. Todos los datos son importados a Matlab para realizar el estudio

comparativo que permita seleccionar la estructura optima en terminos de la atenuacion

experimentada por la luz al atravesarla.

Al inspeccionar la matriz T comprobamos que la variacion de la atenuacion con L es

mınima, por lo que escogemos una longitud de taper L = 3a, esto es, la longitud del

taper sera tres veces la constante de la red. La motivacion de esta decision es mantener

las proporciones entre la estructura principal de PC y el tamano del taper, pues la

longitud del primero esta tipicamente en el orden de 100 constantes de red (y ası se ha

implementado en las simulaciones).

En la figura 3.7 se representa el diagrama de transmision de la guıa, dotada del taper de

la longitud seleccionada, para diferentes valores del radio de los cilindros. La transmision

maxima (medida a la frecuencia central de la fuente) es 0.9311 y se alcanza para un valor

de radio r = 301.76 nm. Consecuentemente, los valores que optimizan la estructura

estudiada con un taper rectangular de L = 3a = 2208 nm son r = 301.76 nm y r/a =

301.76/736 = 0.41

Como se ha indicado en la anterior seccion, tambien se han llevado a cabo simulaciones

con un taper de forma triangular, del cual se espera que proporcione una mejor transmi-

sion a lo largo del ancho de banda de trabajo [106, 107]. El vector de Poynting obtenido

para ambas estructuras de taper (rectangular y triangular) aparece representado en la

figura 3.8; se puede observar que cuando se emplea un taper triangular, la fluctuacion

de la potencia del pulso a lo largo de la direccion de propagacion es mas suave.

En la figura [3.9 se ilustra como, para las longitudes de onda pertenecientes a la banda

C del plan de frecuencias de DWDM [108], la potencia recibida sera entre un 2.5 y un

5.5 % superior en el caso de emplear un taper triangular respecto al caso de utilizar

5Como se indicaba en la seccion 3.1, para conocer la evolucion temporal de los campos y realizarcalculos de potencia y de coeficientes de transmision se ha empleado el programa FDTD Solutions, el cualintegra una potente implementacion del algoritmo FDTD con un completo editor CAD tridimensionalque simplifica el diseno y la visualizacion de las estructuras dielectricas objeto de estudio.

56


Figura 3.7: Diagrama de transmision para el caso de una taper cuadrado de longitudL = 3a. Se muestra una traza por cada valor probado para el radio de los cilindros.En el eje x se representa la longitud de onda de la luz y en el eje y el coeficiente detransmision.

Figura 3.8: Vector de Poynting para la guıa con taper cuadrado (figura superior) ycon taper triangular (figura inferior)

57


uno cuadrado; esta mejora es no obstante despreciable cuando se transmiten pulsos de

frecuencias incluidas en la banda L.

Figura 3.9: Diagrama de transmision para ambos tipos de taper

Como paso final se ha sometido a test un cambio en la estructura consistente en inter-

cambiar las dos primeras hileras de cilindros del cristal con dos hileras compuestas por

cilindros de aire mas cilindros de dielectrico interiores y coaxiales a los primeros, con

el objetivo de conseguir un incremento en la eficiencia del acoplamiento. Este cambio

en la geometrıa busca reforzar la energıa transmitida mediante efectos de resonancia y

mejorar ası los resultados previos.

Con este fin se lleva a cabo un nuevo lote de simulaciones, utilizado los parametros opti-

mos del apartado previo (taper triangular de longitud L = 2208 nm, constante de red

a = 736 nm, cilindros de radio r = 301.76 nm) y tomando 30 valores diferentes (entre

0 y 0.9r) para el radio interior de los nuevos cilindros. Al emplear anillos extruıdos a

ambos lados de la guıa, el volumen de aire se decrementa en un factor de (1−k2) (siendo

k la relacion entre los radios interior y exterior del anillo), este volumen estara ahora

relleno con material de mayor ındice de refraccion, permitiendo de esta manera un nivel

de confinamiento mas elevado.

En la figura 3.10a se representa, para una seleccion representativa de las longitudes

de onda de trabajo, el coeficiente de transmision frente a cada uno de los 30 valores

de radio interior de los cilindros. A partir de este grafico es inmediato comprobar que

solamente un pequeno grupo de radios es apto para ser empleado en todo el ancho de

58


Figura 3.10: Optimizacion del radio interior de los cilindros: en la grafica superiorse representa el coeficiente de transmision frente a un vector de diferentes valores deradio ri para una coleccion de longitudes de onda distribuidas a lo largo de toda laventana de transmision. Se escogen los valores de radio que proporcionan los mejoresvalores para todas las frecuencias (r16 - r19) y se ilustra su diagrama de transmisionen la figura inferior.

banda: solamente los componentes con ındices 16 a 19 del vector de radios produciran

una ganancia de transmision plana para todas las frecuencias. Estos elementos son los

que se emplean como valores de entrada para la creacion de la grafica de la figura 3.10b,

que agrupa los diagramas de transmision correspondientes a todos estos valores del radio.

El analisis detallado de estos resultados conduce a la eleccion del valor optimo, que es el

que se corresponde con un radio interior de 149.84 nm y representa, aproximadamente,

el 50 % del radio original, esto es, el anillo optimo tendra la cuarta parte de area de aire

que la base circular del cilindro de aire original.

Finalmente, en la figura 3.11 se muestran superpuestos los diagramas de transmision

generados al emplear los valores optimos calculados para cada caso de estudio: taper

rectangular, taper triangular y taper triangular con dos hileras de cilindros de aire mas

dielectrico. La utilizacion de cilindros mixtos no incrementa el coeficiente de transmision

(que ya tiene un valor muy proximo al maximo teorico de 1) pero aumenta significati-

vamente el ancho de banda de transmision de la guıa.

59


Figura 3.11: Comparacion entre los diagramas de transmision de las tres geometrıasestudiadas, empleando en todos los casos los valores optimos calculados: el taper trian-gular mejora las caracterısticas de transmision obtenidas con el taper rectangular. Sien las dos primeras hileras del cristal se emplean cilindros de aire con dielectrico en suinterior en lugar de columnas de aire, se produce un ensanchamiento en la ventana detransmision.

3.3. Luz lenta en guıas onda de cristal fotonico sintoniza-

bles

En los ultimos anos, la luz lenta ha sido el foco de interes de multiples investigaciones

debido a su amplio campo de aplicaciones, como el almacenamiento optico temporal de

la informacion, el procesado puramente optico de senales y la conmutacion optica de

informacion, siendo todas estas, funcionalidades clave en la nueva generacion de redes

opticas de comunicaciones y circuitos integrados opticos [54, 56].

Las tecnicas convencionales para la generacion de luz lenta, como la transparencia in-

ducida electromagneticamente (electromagnetically induced transparency, EIT) [109] y

el centelleo por ocupacion coherente (coherent population scintillation) [57] presentan

ciertos handicaps, como ser funcionales a lo largo de estrechos anchos de banda o bien

requerir voluminosos sistemas para su implementacion. Un enfoque mas reciente consiste

en estudiar la generacion de luz lenta dentro de estructuras dielectricas, especialmente

resonadores de anillos acoplados y guıas onda de cristal fotonico [59, 110, 60]. El dis-

positivo mas comun de este ultimo grupo es la guıa W1, que no obstante dista mucho

de ser optima, pues si bien es capaz de producir un retardo de grupo importante, este

60

3.3. Luz lenta en guıas onda de cristal fotonico sintonizables

solamente sera efectivo en un ancho de banda muy pequeno, ademas la dispersion de la

velocidad de grupo presenta valores elevados que conduciran a la distorsion de los pul-

sos luminosos transmitidos por la guıa. Estas limitaciones se pueden superar mediante

ajustes en la geometrıa del PC para conseguir una dispersion casi nula.

En muchas aplicaciones practicas es ademas deseable poder ajustar ciertas propiedades

de la luz lenta posteriormente a la fabricacion del dispositivo. Se ha demostrado que es

posible conseguir un alto nivel de ajuste en la sintonıa de la banda de luz lenta mediante

la infiltracion de los huecos presentes en el PC con diversos lıquidos ionicos con diferen-

tes ındices de refraccion [111, 55]. Estudios posteriores [112, 113] con fluidos magneticos

(magnetic fluids, MF) han confirmado que estos coloides son una excelente manera de

manipular a posteriori los dispositivos generadores de luz lenta sin introducir perdidas

por confinamiento apreciables para bajas concentraciones del MF a una frecuencia de

trabajo de 1550 nm [114].

Dedicaremos esta seccion al diseno y analisis de una guıa onda de cristal fotonico como

dispositivo capaz de generar luz lenta a lo largo de un gran ancho de banda. La estructura

propuesta consiste en una celosıa cuadrada de cilindros de silicio huecos, rotada 45◦ e

inmersa en una suspension coloidal de partıculas magneticas. El radio interior de los

cilindros se escogera de manera que se maximice el factor de calidad que relaciona la

magnitud del retardo con el ancho de banda sobre el cual es efectivo y se variara la

concentracion del fluido magnetico a fin de conseguir que el dispositivo sea sintonizable

en frecuencia.

3.3.1. Caracterizacion de la luz lenta

Cuando trabajamos en aplicaciones de luz lenta, la magnitud a estudiar es la velocidad

de grupo vg, pues, como se ha visto en la seccion 2.2.4, es quien describe la velocidad a

la que se propaga la envolvente de un pulso luminoso.

La velocidad de grupo se define como vg = dωdk , y esta derivada es a su vez el el inverso

de la dispersion de primer orden, por lo que a la hora de analizar vg en una guıa onda

de cristal fotonico es necesario considerar el efecto de la dispersion.

3.3.1.1. Dispersion cromatica

La dispersion es el fenomeno por el cual la velocidad de fase de una onda electromagnetica

depende de su frecuencia. Se suele emplear tambien el epıteto “cromatica” para enfatizar

la naturaleza de dependencia con la longitud de onda. En general existen dos fuentes de

dispersion:

61


Dispersion del material: cuando una onda electromagnetica interacciona con los

electrones ligados de un medio dielectrico, la respuesta del medio, en general,

dependera de la frecuencia optica ω y se manifiesta mediante la dependencia del

ındice de refraccion con la frecuencia n(ω); esta dependencia se puede aproximar

mediante la ecuacion de Sellmeier:

n2 (ω) = 1 +

m∑j=1

Bjω2j

ω2j − ω2

(3.3.1)

donde ωj es la frecuencia resonante, Bj la intensidad de la resonancia j-esima a la

cual el medio absorbe la radiacion incidente mediante oscilaciones de los electrones

ligados. Estos parametros se obtienen de forma experimental.

Dispersion de guiado (waveguide dispersion): independientemente de la naturaleza

del material, una onda que viaja a traves de una guıa experimentara diferentes des-

plazamientos de fase respecto a los que tendrıa al atravesar un medio homogeneo.

La dispersion de guiado es el resultado de la dependencia de la constante de pro-

pagacion de una guıa optica con la longitud de onda de la radiacion que viaja por

ella.

La dispersion cromatica total sera la combinacion de la dispersion del material y la dis-

persion de guiado. La dispersion cromatica juega un importante papel en la propagacion

de pulsos opticos de corta duracion debido a que las diferentes componentes espectra-

les del mismo viajan a distintas velocidades (dadas por c/n(ω)), lo que provocara una

deformacion del pulso.

Matematicamente los efectos de la dispersion se cuantifican mediante la expansion de la

constante de propagacion β en series de Taylor alrededor de la frecuencia ω0 en la que

se centra el pulso transmitido:

β(ω) = n(ω)ω

c= β0 + β1(ω − ω0) +

1

2β2(ω − ω0)2 + ... (3.3.2)

donde

βm =

(dmβ

dωm

)ω=ω0

m = 0, 1, 2, . . . (3.3.3)

Los parametros β1 y β2 estan relacionados con el ındice de refraccion n(ω) y sus derivadas

a traves de las siguientes relaciones:

β1 =dβ

dω=

1

vg=ngc

=1

c

(n+ ω

dn

dω

)(3.3.4)

β2 =dβ1

ω=

1

c

(2dn

dω+ ω

d2n

dω2

)(3.3.5)

62


donde ng es el ındice de grupo 6 y vg la velocidad de grupo.

Fısicamente, la envolvente de un pulso optico se mueve a la velocidad de grupo, mientras

que el parametro β2 representa la dispersion de esta velocidad y es la responsable del

ensanchamiento del pulso. Este fenomeno se conoce como dispersion de la velocidad de

grupo (group velocity dispersion, GVD) y β2 es el parametro de GVD. En la practica se

emplea frecuentemente un parametro equivalente denominado parametro de dispersion,

D, que se define como:

D =dβ1

dλ= −2πc

λ2β2 = −λ

c

d2n

dλ2(3.3.6)

3.3.1.2. Factor de calidad: el producto retardo-ancho de banda

Hemos visto que la velocidad de grupo vg = ∂ω/∂k o, de manera equivalente, el ındice

de grupo ng = c/vg describen de manera cuantitativa cuan lenta es la luz. No obstante

ese dato por sı solo no presenta una gran relevancia, pues para que esta propiedad tenga

utilidad practica debe verificarse a lo largo de un ancho de banda de consideracion. El

producto retardo-ancho de banda (delay-bandwith product, DBP) es un buen indicador

de la capacidad que posee un determinado dispositivo de generar luz lenta [54]; en

particular emplearemos el producto retardo-ancho de banda normalizado (NDBP), pues

es una medida universal que permite comparar dispositivos con distintas longitudes y

diferentes frecuencias de operacion. El NDBP se define como

NDBP =ng · ωω0

(3.3.7)

donde el ındice de grupo medio para el ancho de banda ∆ω se calcula como

ng =

∫ ω0+∆ω/2

ω0−∆ω/2ng (ω) dω/∆ω (3.3.8)

A la hora de establecer el ancho de banda durante el cual se considera que el ındice de

grupo permanece constante (∆ω) no existe unicidad de criterio entre diferentes autores.

En esta tesis se utilizara la definicion de factor de planicidad (flat ratio) propuesta por

Hao et al [57].

µ =ngmax − ngmin

ng(3.3.9)

6De la misma manera que vp (ω) = cn(ω)

, se define el ındice de refraccion de grupo ng(ω) tal que

vg (ω) = cng(ω)

, es decir, el ındice de grupo es el factor en el cual disminuye la velocidad de grupo

respecto a C. Se deduce de manera inmediata la relacion entre ambos ındices:

ng (ω) =c

vg (ω)= c

dk

dω= c

d

dω

(ωcn (ω)

)= n (ω) + ω

dn (ω)

dω

63


donde ngmax (ngmin) es el valor maximo (mınimo) del ındice de grupo dentro del ancho

de banda. El factor de planicidad considerado en [57] es 0.2, que se corresponde con una

variacion del 10 % de ng respecto a su valor medio ng.

3.3.2. Simulacion con BandSOLVE

Para acometer las tareas de simulacion de la estructura y calculo de los diferentes

parametros de interes se ha escogido el paquete de software BandSOLVE, de la empresa

RSOFT. Se trata de un motor de simulacion basado en una implementacion optimi-

zada del metodo PWE para estructuras periodicas, por lo que es ideal para generar y

analizar estructuras de bandas fotonicas, como las guıas de PC. Ademas del calculo de

las frecuencias ω y los modos E y H, se pueden generar diferentes tipos de analisis de

las propiedades de los modos; para los objetivos propuestos se hara uso del calculo del

ındice de propagacion efectivo (neff ) y la velocidad de grupo (vg). BandSOLVE esta

ademas perfectamente integrada con otras dos herramientas: Rsoft CAD y MOST, que

permitiran, respectivamente, la definicion de las geometrıas de una manera simple y

visual, y la optimizacion de las mismas en base a diversos parametros.

3.3.2.1. Unidades y convenciones

Es importante senalar una serie de convenciones fısicas empleadas al trabajar con Band-

SOLVE:

Para referenciar a los modos electromagneticos, a cada valor de k se le asigna

una etiqueta numerica desde izquierda a derecha de la estructura de bandas, co-

menzando por cero. De manera similar, las bandas (autovalores) se cuentan en

orden creciente de frecuencia desde el cero; por lo que la banda mas baja de una

estructura es la banda 0, la siguiente es la banda 1, etc.

Los autovalores de la estructura de bandas se pueden expresar en diversas unidades;

para mantener el criterio empleado en la mayor parte de la literatura (ası como en

MPB), se ha escogido la opcion “nu*a/c” , que se define como νa/c = ωa/2πc =

a/λ y es adimensional. En BandSOLVE a es la escala del problema, cuyo valor

viene dado por la variable Period, que se corresponde con la longitud de la arista

de la celda primitiva (nuevamente, por consistencia se le asignara el valor unidad).

Los ejes toman como referencia la pantalla de la herramienta CAD y se asignan

de la siguiente manera: x indica la dimension horizontal (sentido de izquierda a

64


derecha), z la dimension vertical (sentido de abajo arriba) e y la direccion perpen-

dicular a la pantalla (sentido saliente de la misma). Con este criterio se establece

que la polarizacion TE indica que el campo electrico tiene componente y (saliente

del plano de la pantalla) mientras que la polarizacion TM indica que el campo

electrico tiene componentes x y z (y por lo tanto esta contenido en el plano de la

pantalla). Es importante tener en cuenta que esta convencion es la opuesta a la

empleada en la mayorıa de la literatura (y en secciones anteriores de esta tesis).

3.3.2.2. Celosıa fısica y celosıa numerica

En muchos casos, el dominio donde se realiza la simulacion numerica es mayor que una

celda primitiva (por ejemplo, al definir una supercelda para el estudio de defectos en

el cristal); en otros casos el domini numerico ni siquiera tiene la misma forma que la

estructura fısica (por ejemplo, resulta conveniente modelar la fibras de PC sobre un

dominio cuadrado a pesar de que su seccion es una celosıa hexagonal). Por esta razon

en BandSOLVE se diferencia entre la celosıa fısica y la celosıa o malla numerica:

La celosıa fısica se define al dibujar en la herramienta de CAD la geometrıa de la es-

tructura. Los vectores primitivos se identifican mediante las variables (Ax,Ay,Az),

(Bx,By,Bz), (Cx,Cy,Cz).

La malla numerica se expresa mediante los parametros de entrada Vec a, Vec b,

Vec c, cada uno de ellos de tres componentes. Por defecto estos parametros toman

los valores de la celosıa fısica correspondiente a la estrcutrua definida, esto es, Vec

a=(Ax,Ay,Az), Vec b=(Bx,By,Bz), Vec c=(Cx,Cy,Cz).

3.3.2.3. Estudio de defectos en PC. Superceldas

La mayorıa de las aplicaciones de interes de los PC se basan en la introduccion de

imperfecciones o defectos en su estructura, pues estos defectos son el soporte de estados

opticos localizados. En particular, en el caso de guıas de onda, el defecto que se desea

estudiar es un defecto lineal. En este tipo de problemas es necesario un enfoque distinto

al utilizado para el calculo de las bandas de un cristal sin defectos. Parece obvio que el

dominio de simulacion debe contener a la celda primitiva que contiene el defecto, pero

el defecto solo es tal en relacion a la celosıa en la que reside, por lo que sera necesario

incluir parte de la red que circunda al defecto. El enfoque estandar consiste en definir

una “supercelda” consistente en varias celdas (numericas) primitivas. Esta supercelda se

convierte en la nueva celda unidad de la celosıa numerica y las condiciones de contorno

periodicas (periodic boundary conditions, PBC) implıcitas en el metodo numerico se

65


aplicaran a la supercelda. En la practica esta tecnica implica que estamos definiendo

una super-celosıa que contiene una matriz de defectos, los cuales interactuaran entre

sı, pero si la supercelda tiene un tamano suficientemente grande, cada defecto estara

suficientemente aislado de los demas y sus interacciones seran despreciables. Este tamano

se establecera experimentalmente, de manera que sea lo suficientemente grande como

para producir resultados precisos y lo suficientemente pequena como para mantener los

tiempos de calculo dentro de unos margenes razonables. En BandSOLVE se establece

mediante el parametro de entrada Supercell dims (que posee tres componentes, una por

dimension).

Al introducir una supercelda se produce el efecto conocido como plegado de bandas

(band folding): si se toma una supercelda compuesta de N celdas primitivas, la nueva

zona de Brillouin sera N veces menor que la de la celda primitiva 7, por lo que cada

banda debe “plegarse” N veces sobre sı misma.

3.3.2.4. Proyeccion del diagrama de bandas

Como se ha visto en 2.8, cuando se trata con defectos lineales en un PC es util calcular

la proyeccion del diagrama de bandas sobre la direccion en la que se conserva la simetrıa

traslacional, esto es, la direccion paralela a la guıa creada sobre el PC. Para lograr este

objetivo en BandSOLVE es necesario seguir dos pasos:

Supongamos una guıa en la direccion del eje x; los modos que se propaguen a traves

de esta guıa tendran pues una constante de propagacion kx (la componente x del

vector de onda ~k). Es posible indicarle a BandSOLVE que calcule la estructura de

bandas, no a lo largo de los vertices de la IBZ, sino a lo largo de un camino per-

pendicular a una direccion especificada. En este caso se desea calcular las bandas

para valores fijos de kx; para ello se activa la opcion Ortho y se fija el parametro

Kpath offset a los valores (0.01, 0, 0).

Empleando la herramienta integrada MOST (Multi-variable Optimization and Scan-

ning Tool) se programa una serie de simulaciones iterando sobre distintos valores

del parametro kx.

3.3.2.5. Calculo de los parametros de dispersion

Con BandSOLVE tambien es posible caracterizar la dispersion cromatica que se produce

dentro de la estructura de PC mediante el calculo del ındice de grupo ng y el parametro

7Por la propiedad de escalado de la transformada de Fourier.

66


Figura 3.12: Diagrama de bandas proyectado sobre kx para una proporcion entreradios r/R = 0.35

de dispersion D. Para ello es necesario invocar desde lınea de comandos a la utilidad

disperse, pasandole como parametro un fichero de texto que contiene sendas columnas

con los valores de frecuencia e ındice efectivo respectivamente:

Syntax:

disperse supports the following syntax and options.

usage: disperse [options] scandatafile

options:

-h view help summary

-v view derivative data in Notepad

-p plot derivative data in WinPlot

-b compute derivatives of beta vs k instead of neff vs lambda

-g compute group velocity and dispersion

-x# x data is (0=lambda,1=1/lambda,2=k) (default=0)

The input file scandatafile must contain effective index data as a series

of columns, with the first column containing wavelength/frequency data

as indicated by the -x option.

67


3.3.3. Diseno de la guıa de cristal fotonico

Se ha disenado un cristal fotonico bidimensional consistente en una celosıa cuadrada

de cilindros de silicio rotada 45◦ en la cual se inserta un defecto lineal consistente en

eliminar una hilera de cilindros. Esta estructura se infiltra posteriormente con diferen-

tes concentraciones de una suspension coloidal de nanopartıculas magneticas en agua,

variando ası el ındice de refraccion del lıquido [112]. Con el proposito de mejorar las

propiedades de esta estructura, procederemos a estudiar los efectos sobre el retardo de

propagacion y la capacidad de sintonizacion que se produciran al cambiar los cilindros

de Silicio por cilindros de nucleo hueco -rellenos de lıquido magnetico como el resto de

la estructura- 3.13 dados los prometedores resultados que se han obtenido previamente

con este tipo de geometrıas [115]. Partiendo de una estructura estudiada previamen-

Figura 3.13: Diagrama de bandas para los modos TE de una celosıa cuadrada decilindros huecos (r = 0.35R) de silicio (nSi = 3.48) rotada 45◦ y sumergida en unasolucion del 1 % de MnFe2O4 (nmag = 1.4155). En el eje x se representan los puntosde alta simetrıa situados en los vertices de la IBZ y el eje y se corresponde con lafrecuencia adimensional ωa/2πc. Las bandas prohibidas se muestran resaltadas, y en elrecuadro se ilustra un diagrama de la estructura.

te [116] se procede a fijar el radio externo de los cilindros a un valor R = 0.25a y la

concentracion del MF al 1 % y se emplea el algoritmo PWE para calcular el mapa de

bandas prohibidas resultante de hacer variar el radio interior de los cilindros desde r = 0

(cilindro solido) hasta r = 0.95R en la busqueda de un mayor nivel de confinamiento

de la luz mediante contraste de ındices. El mapa de bandas prohibidas 3.14 representa

graficamente la relacion entre la magnitud de la oquedad de los cilindros (eje x) y las

68


frecuencias normalizadas que limitan la banda (eje y). Examinando la figura 3.14 se

comprueba la existencia de tres gaps; nos centraremos en el primero de ellos, situado

entre las bandas 0 y 1 ya que los otros dos son mas estrechos y estan restringidos a un

menor rango de radios interiores r. Resulta entonces inmediato constatar que existe una

banda prohibida para el modo TE en el rango 0.24536 ωN 60.3009 con un ındice de

gap 8 del 20.4 %; este gap disminuye su anchura a medida que los valores del parametro

libre r varıan desde 0 hasta 0.55R. El objetivo que se persigue es obtener una reduc-

Figura 3.14: Mapa de bandas para una celosıa cuadrada de cilindros de silicio huecosinfiltrada con una disolucion magnetica de MnFe2O4 del 1 % de concentracion. Semuestra la dependencia del tamano del PBG con la relacion de radios r/R para lapolarizacion E. Se localizan tres bandas prohibidas: el gap 0 entre las bandas 0 y 1(azul), el gap 1 entre las bandas 2 y 3 (rojo) y el gap 2 entre las bandas 7 y 8 (verde).En el recuadro se ilustra el modo que se propagara a traves de un defecto lineal en lacelosıa para una frecuencia normalizada ωa/2πc = 0.287, contenida en el gap 0.

cion en la velocidad de la luz, que ademas debe permanecer constante para un amplio

rango de frecuencias. Como se ha visto, vg = dωdk ; esta derivada se corresponde con la

pendiente de la curva de dispersion, lo que implica que el diagrama de dispersion debera

presentar una zona lineal (velocidad de grupo constante) denominada “banda plana” (fi-

gura 3.15). Las estructuras de guıa onda de PC creadas sobre celosıas triangulares han

sido extensamente estudiadas y es conocida su capacidad de presentar bandas planas

[61, 117, 57, 58, 29], por ello se empleara una celosıa cuadrada rotada 45◦ para conseguir

el mismo proposito.

8Esta medida refleja la relacion entre el tamano del PBG y su frecuencia central ∆ω/ω0

69


Figura 3.15: Representacion del diagrama de bandas proyectado para diferentes va-lores del radio interior de los cilindros que componen la guıa onda de PC ilustrada enla subfigura del recuadro. En el eje de las abscisas se representa la componente en ladireccion de propagacion del vector de onda normalizado kxa/

(√2π).

3.3.4. Resultados y analisis

Se llevara a cabo un estudio en dos pasos:

1. En primer lugar se toma una concentracion fija del 1 % para el fluido magnetico

y se calculan los diagramas de dispersion proyectados para distintos valores del

radio interior de los cilindros a fin de obtener el grosor optimo de las paredes de

los cilindros.

2. Empleando el valor optimo de radio calculado en el paso anterior, se ejecutara un

nuevo lote de simulaciones realizando un barrido a lo largo de diferentes valores de

concentracion del MF, caracterizando ası la capacidad de sintonıa de la estructura.

Para poder realizar los calculos de los pasos 1 y 2 se empleo la metodologıa de trabajo

recogida en el diagrama de flujo de la figura 3.16:

A) Empleando BandSOLVE se define la geometrıa de la guıa de PC, indicando el

numero de celdas que se emplearan para construir la supercelda que contiene el

defecto lineal, el numero de puntos k empleados para el calculo, el eje sobre el que

se va a proyectar el diagrama de bandas y el numero de bandas a calcular.

70


Figura 3.16: Diagrama de flujo del metodo de analisis. Los rectangulos indican bloquesde procesado, los romboides parametros de entrada o de salida, y los marcos curvos secorresponden con ficheros de entrada/salida. Se incluye ademas un esquema de lasestructuras de datos generadas como resultado del proceso.

B) A fin de obtener un diagrama de bandas proyectado es necesario iterar la simulacion

definida en el apartado anterior para diferentes valores de la componente del vector

de onda que conserva la simetrıa traslacional (~k‖); este sera el primer parametro

de barrido (P1). Sera necesario definir ademas un segundo parametro de barrido

(P2) que se empleara para iterar sobre el rango de valores de la magnitud que se

desea optimizar (la relacion entre radios de los cilindros en el paso 1 del estudio

y la concentracion del lıquido magnetico en el paso 2). Sean R y S los respectivos

cardinales de P1 y P2.

Este proceso se realiza con la herramienta MOST, la cual se encargara de ir ge-

nerando las simulaciones con los parametros adecuados, invocar a BandSOLVE

para generar la salida y procesando y aglutinando estas salidas. Como resultado

se obtienen tres conjuntos de ficheros: uno con los autovalores (eig.dat), otro con

los valores del ındice de refraccion efectivo (neff.dat) y un tercer grupo con las ve-

locidades de grupo (vgroup.dat). Cada conjunto estara compuesto por S ficheros

(uno por cada valor del segundo parametro de barrido).

C) Se ha desarrollado un programa en Matlab 9 que recibe como parametros de entrada

el nombre de los ficheros del apartado anterior, el numero de bandas, el valor de S

y los valores n y k que identifican al modo que se desea estudiar ωn,k y produce a

9En el apendice D se incluye un diagrama de bloques de este programa ası como una descripcion delas estructuras de datos empleadas.

71


su salida graficas del diagrama de dispersion y de la evolucion del ındice de grupo y

del parametro de dispersion D frente a la frecuencia ası como las figuras de merito

∆ω/ω y NDBP para el modo seleccionado.

Figura 3.17: Indice de grupo frente a la frecuencia normalizada para diferentes valoresdel radio interior de los cilindros (r). La curvas presentan la caracterıstica forma de Uque denota la existencia de un grupo de frecuencias con retardo constante (region de“banda plana”).

Tras aplicar la metodologıa que se acaba de describir empleando las condiciones de

entrada especificadas en el paso 1 se obtienen las curvas que se muestran en la figura 3.17,

donde se representa el ındice de grupo ng en funcion de la frecuencia normalizada ωa/2πc.

Estas curvas presentan una forma muy caracterıstica, donde el ındice de grupo decrece,

despues permanece constante y finalmente crece de nuevo, por lo que reciben el nombre

de “curvas en U” y son las responsables de obtener un ng practicamente constante a lo

largo de un gran ancho de banda. Ademas estas graficas muestran una tendencia general:

cuando se aumenta el valor de r, el ındice de grupo en la region constante disminuye (con

lo que la velocidad de grupo aumenta) mientras que simultaneamente el ancho de banda

correspondiente aumenta. Este comportamiento predice que va a existir un compromiso

entre la reduccion obtenida para la velocidad de la luz y el ancho de banda a lo largo

del cual esta es constante.

Por todo esto, para poder escoger un valor optimo del parametro variable r sera necesario

hacer entrar en liza el factor de calidad definido en el apartado 3.3.1.2: el producto

retardo-ancho de banda normalizado.

72


Como ya se ha senalado, entre las salidas del flujo de simulacion se encuentran las

magnitudes que permiten cuantificar el retardo y la dispersion experimentada por los

pulsos luminosos que viajan a traves de la guıa de PC (ng,D y β2); en particular se genera

la grafica de la figura 3.18, que ilustra como el valor del producto retardo-ancho de banda

normalizado se maximiza para un valor del radio interior de los cilindros r = 0.55R. Una

Figura 3.18: Producto ratardo-ancho de banda normalizado (rojo), ındice de grupomedio (azul) y ancho de banda normalizado (verde) para una concentracion de fluidomagnetico del 1 % en funcion de la relacion del radio interior y exterior de los cilindros.

vez establecido el valor optimo del primer parametro libre es momento de, empleando

este valor, comprobar las capacidades de sintonıa del dispositivo propuesto; para ello se

lleva a cabo nuevamente la metodologıa de simulacion del paso 1, empleando en esta

ocasion como segundo parametro de barrido (P2) distintos valores de concentracion del

fluido magnetico. Se calcula de esta manera una nueva familia de curvas ng, una por

cada valor de concentracion. Observando la figura 3.19 es inmediato comprobar que

cambiar la concentracion del MF no tiene un gran impacto sobre la cantidad de retardo

que introduce la estructura, en cambio proporciona una amplia zona plana con retardo

constante, es decir, cambiar la concentracion del fluido magnetico permite seleccionar

la banda de frecuencias en la que se induce la propiedad de luz lenta. Se procede a

continuacion al analisis de los parametros de calidad: el ancho de banda normalizado

∆ω/ω0 oscila entre el 7.434 % y el 8.817 %, por lo tanto si se escoge una longitud de

onda prototıpica de 1550 nm (centro de la banda C, utilizada de forma extensivo en

telecomunicaciones), el ancho de banda expresado en longitudes de onda ∆λ oscilara

entre 115.23 y 136.66 nm. Trabajos previos basados en infiltracion microfluıdica [8] y

73


Figura 3.19: Variacion del ındice de grupo con la frecuencia normalizada para diferen-tes valores de concentracion de MnFe2O4 en el fluido. Los ındices de refraccion paracada una de las concentraciones mostradas en la leyenda son 1.3496, 1.3721, 1.4155,1.4594, 1.4804 [17].

las primeras optimizaciones de estrucutras relacionadas [4,10] han obtenido anchos de

banda menores a la par que su NDBP es mas bajo que el presentado en la figura 3.20.

74


Figura 3.20: Producto ratardo-ancho de banda normalizado (rojo), ındice de grupomedio (azul) y ancho de banda normalizado (verde) para una relacion de radios optimar = 0.55R en funcion de la concentracion del fluido magnetico.

75

Capıtulo 4

Conclusiones y lıneas futuras

4.1. Conclusiones

Los cristales fotonicos constituyen una popular y vasta area de investigacion. La teorıa

basica sobre la que se fundamenta su estudio posee apenas unos treinta anos, y la primera

estructura fısica no se ha podido fabricar hasta hace aproximadamente veinte. Estamos

pues ante una tecnologıa todavıa incipiente pero que no tardara en tener un fuerte

impacto en las tecnologıas de la informacion y las telecomunicaciones.

En esta tesis se ha presentado el diseno una guıa onda de cristal fotonico mediante la

introduccion de un defecto lineal en una celosıa triangular de cilindros de aire tallados

sobre dielectrico. Sobre esa estructura se han llevado a cabo varios lotes de simulaciones

FDTD con el proposito de escoger una geometrıa optima en terminos de la potencia

transmitida a lo largo de la guıa.

Para alcanzar el objetivo propuesto se ha enfocado el problema desde dos direcciones:

se ha buscado optimizar no solamente los parametros geometricos del PC (constante de

la red y radio de los cilindros) sino tambien el tipo y tamano del taper empleado como

acoplamiento a la guıa.

Taper rectangular: al seleccionar una longitud estandar igual a tres constantes de

celosıa (lo cual mantiene una relacion razonable entre las longitudes del taper y del

PC) se obtiene un valor de 0.9311 para el coeficiente de transmision si se emplea

un radio de cilindros igual a 301.76 nm y una constante de periodicidad de la red

igual a 736 nm.

Taper triangular: manteniendo constantes los parametros que se acaban de indicar,

se procede a estudiar la influencia de la forma del taper, pasando de un modelo

rectangular a otro triangular. Se obtiene ası un incremento aproximado del 4 % en

77

Capıtulo 4 Conclusiones y lıneas futuras

el coeficiente de transmision para las longitudes de onda pertenecientes a la banda

C del plan de frecuencias de DWDM, sin detectar un efecto apreciable en la banda

L.

Esta geometrıa puede resultar de especial interes en nuevos disenos de hardware

para NG-PON2, ya que mejora la eficiencia de transmision en los canales de subida

manteniendo los buenos valores que ya se obtenıan para el canal de bajada con la

utilizacion de un taper rectangular.

Taper triangular acompanado de dos hileras de cilindros mixtos: si se cambian

las dos hileras de cilindros de aire situadas a ambos lados de la guıa por otras

compuestos de cilindros de aire que contienen en su interior otro cilindro del mismo

dielectrico que compone la base del PC, se puede hallar un valor optimo para el

radio de estos cilindros interiores que, si bien no aumenta la potencia transmitida,

sı aumenta el ancho de banda de funcionamiento de la guıa.

Se ha propuesto tambien una estructura de guıa onda de cristal fotonico capaz de pro-

ducir luz lenta en un rango de frecuencias sintonizable. Esta guıa se crea introduciendo

eliminando una hilera de una matriz cuadrada de cilindros huecos de silicio. A fin de esta-

blecer una figura de merito que permita valorar la calidad del diseno y poder compararlo

con otros estudios, se ha empleado el producto retardo-ancho de banda normalizado, que

evalua el compromiso entre la cantidad de retardo introducida y el ancho de banda a la

que la velocidad de grupo se mantiene constante. El grosor de las paredes de los cilindros

se escoge de tal manera que maximice esta magnitud.

Se comprueba que el ancho de banda obtenido es mucho mayor que en otras estructuras

de luz lenta publicadas previamente; ademas el NDBP ue se consigue es tambien mayor.

Una vez establecido el valor optimo del radio menor de los cilindros se comprueba la

capacidad de sintonıa del dispositivo. Para este objetivo se propone la infiltracion de

la estructura con diferentes concentraciones de un fluido magnetico y se calculan nue-

vamente las figuras de calidad (ng, ∆ω/ω0, NDBP), obteniendo anchos de banda que

varıan entre los 115.23 y los 136.66 nm. Estos anchos de banda tan elevados permiten

obtener valores muy buenos de NDBP (entre 0.4236 y 0.4473) a pesar de una reduccion

en el ındice de grupo medio cuando se compara esta estructura con otras estudiadas.

4.2. Lıneas futuras

A continuacion se presentan algunas posibles extensiones al trabajo presentado, princi-

palmente dirigidas a la comprobacion experimental de los resultados, ası como nuevas

vıas de investigacion sobre los temas tratados:

78

4.2. Lıneas futuras

Las estructuras optimas propuestas pueden ser fabricadas mediante tecnicas cono-

cidas, como el grabado mediante litografıa de haces electronicos (electronic beam

lithograph etching, EBL) o la deposicion de capas atomicas (atomic layer deposi-

tion, ALD); de esta manera se podrıan determinar experimentalmente las carac-

terısticas de transmitancia, velocidad de grupo y dispersion y verificar el ajuste

con los valores predichos por las simulaciones.

En la lınea del punto anterior, el siguiente paso natural consiste en la implementa-

cion de los dispositivos propuestos como circuitos de fotonica integrada que puedan

ser empleados en aparatos comerciales.

Resultan prometedoras los resultados que se conseguirıan al acometer el estudio

de una estructura que integre las dos tipologıas propuestas, esto es, una celosıa

cuadrada de cilindros huecos de silicio con tapers triangulares infiltrando todo el

conjunto con un fluido magnetico.

Extender el analisis de la estructura generadora de luz lenta con la inclusion de

efectos no lineales estudiando su influencia sobre las propiedades presentadas.

Resulta de interes practico, de cara especialmente al desarrollo de nuevos tipos de

sensores, la simulacion FDTD de las estructuras de luz lenta en frecuencias del

rango de microondas y terahercios.

79

Apendice A

Transformada de Fourier

Dada una funcion definida en el dominio del tiempo, f(t), definimos su transformada

directa e inversa de Fourier a traves de las siguientes ecuaciones:

F (ω) =

+∞∫−∞

f (t) eiωtdt (A.0.1)

f (t) =1

2π

+∞∫−∞

F (ω) e−iωtdω (A.0.2)

El correspondiente par de ecuaciones de analisis y sıntesis para una funcion definida en

el dominio espacial g(x) es:

G (k) =

+∞∫−∞

g (x) e−ikxdx (A.0.3)

g (x) =1

2π

+∞∫−∞

G (k) eikxdk (A.0.4)

Estas definiciones no son las empleadas habitualmente en los textos de procesado de

senal; se ha empleado la denominada “convencion fısica”, que es especialmente adecua-

da para el estudio de fenomenos ondulatorios, ya que si se realiza la transformada de

81

Apendice A Transformada de Fourier

Fourier simultaneamente en ambas variables (espacial y temporal) mediante las siguien-

tes ecuaciones

F (k, ω) =

+∞∫−∞

+∞∫−∞

f (x, t) e−i(kx−ωt)dxdt (A.0.5)

f(x, t) =1

4π2

+∞∫−∞

+∞∫−∞

F (k, ω) ei(kx−ωt)dkdω (A.0.6)

se tiene que la exponencial de la ecuacion de sıntesis bidimensional se corresponde con

una onda plana desplazandose en la direccion +x; es decir, se puede expresar una onda

como la suma de infinitas ondas planas.

82

Apendice B

Calculo de bandas con MPB

Este es el contenido del script de shell ejecuta_gaps_01.sh, que se ocupa de invocar

de forma iterativa a MPB, pasando como argumento el fichero gaps_01.ctl mientras

realiza un barrido sobre un parametro de la simulacion. Este script se ocupa ademas de

realizar un preprocesado de los datos de salida:

#!/bin/bash

NOMBRE = "gaps01"

EXT = ".ctl"

EXT2 = ".out"

EXT3 = ".dat"

TE = ".te"

TM = ".tm"

H5 = "-eps-000000.00.h5"

EPSILON = "epsilon.h5"

SEPARADOR = "_"

for i in 3.5721

do

echo ---------------- Calculando para epsilon $i --------------------

mpb eps-hi=$i $NOMBRE$EXT > $NOMBRE$SEPARADOR$i$EXT2

grep Gap $NOMBRE$SEPARADOR$i$EXT2

grep tmfreqs $NOMBRE$SEPARADOR$i$EXT2 > $NOMBRE$SEPARADOR$i$TM$EXT3

grep tefreqs $NOMBRE$SEPARADOR$i$EXT2 > $NOMBRE$SEPARADOR$i$TE$EXT3

done

mv $EPSILON $NOMBRE$EPSILON

mpb-data -r -m3 -n 32 $NOMBRE$EPSILON

h5topng $NOMBRE$EPSILON:data-new

A continuacion se muestra el contenido del fichero gaps_01.ctl, que contiene la geo-

metrıa y los parametros de la simulacion que toma MPB como dato de entrada:

83

Apendice B Calculo de bandas con MPB

(define-param eps-hi (* 1.89 1.89)) ; constante dielectrica del GaAs

(define-param eps-lo 1) ; constante dielectrica del aire

(define-param r 0.3493975) ; radio de los cilindros

; Numero de pixeles por unidad de distancia

(set! resolution 32)

; Definimos la celda computacional

(set! geometry-lattice (make lattice

(size 1 1 no-size)

(basis1 (/ (sqrt 3) 2) 0.5)

(basis2 (/ (sqrt 3) 2) -0.5)

)

)

;Definicion de la geometria

(set! default-material (make dielectric (epsilon eps-hi)))

(set! geometry (list

(make cylinder

(center 0 0 0)

(radius r)

(height infinity)

(material (make dielectric (epsilon eps-lo)))

)

)

)

; Definicion de los vectores K (Bloch wavevectors)

(set! k-points (list

(vector3 0 0 0) ; Gamma

(vector3 0 0.5 0) ; M

(vector3 (/ -3) (/ 3) 0) ; K

(vector3 0 0 0) ;Gamma

)

)

(set! k-points (interpolate 4 k-points))

; Establecemos el numero de bandas de la simulacion

(set! num-bands 8)

; Calculo de bandas

(run-te)

(run-tm)

Ejemplo de ejecucion y salida por pantalla:

[omarg@tudels]$ ls

84


ejecuta_gaps_01.sh gaps01.ctl

[omarg@tudels]$ ./ejecuta_gaps_01.sh

---------------------- Calculando para epsilon 3.5721 ------------------



[omarg@tudels]$ ls

ejecuta_gaps_01.sh gaps01_3.5721.out gaps01_3.5721.te.dat

gaps01_3.5721.tm.dat gaps01.ctl gaps01epsilon.h5

gaps01epsilon.png

Volcado del fichero de salida gaps01_3.5721.te.dat:

tefreqs:, k index, k1, k2, k3, kmag/2pi, te band 1, te band 2, te band 3, te

band 4, te band 5, te band 6, te band 7, te band 8

tefreqs:, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0.701463, 0.7808, 0.782084, 0.820141, 0.826942,

0.828105, 1.2134

tefreqs:, 2, 0, 0.1, 0, 0.11547, 0.0787082, 0.683819, 0.75046, 0.763273,

0.805257, 0.851676, 0.894933, 1.16803

tefreqs:, 3, 0, 0.2, 0, 0.23094, 0.156921, 0.634029, 0.70841, 0.737597,

0.836196, 0.893394, 0.969109, 1.11869

tefreqs:, 4, 0, 0.3, 0, 0.34641, 0.233645, 0.566173, 0.685824, 0.717342,

0.875437, 0.940196, 1.03576, 1.07651

tefreqs:, 5, 0, 0.4, 0, 0.46188, 0.30521, 0.49759, 0.673729, 0.704648,

0.918635, 0.989255, 1.01312, 1.0938

tefreqs:, 6, 0, 0.5, 0, 0.57735, 0.346609, 0.456967, 0.669799, 0.700334,

0.957653, 0.973143, 1.0293, 1.05426

tefreqs:, 7, -0.0666667, 0.466667, 0, 0.581187, 0.349499, 0.458803, 0.641272,

0.728681, 0.951817, 0.964856, 1.03808, 1.05923

tefreqs:, 8, -0.133333, 0.433333, 0, 0.592546, 0.357803, 0.46426, 0.601818,

0.767762, 0.937328, 0.947677, 1.05672, 1.07102

tefreqs:, 9, -0.2, 0.4, 0, 0.61101, 0.370288, 0.473196, 0.562626, 0.807071,

0.918759, 0.928469, 1.07828, 1.08488

tefreqs:, 10, -0.266667, 0.366667, 0, 0.635959, 0.384048, 0.485388, 0.526649,

0.845632, 0.898803, 0.909529, 1.09794, 1.10077

tefreqs:, 11, -0.333333, 0.333333, 0, 0.666667, 0.391628, 0.50044, 0.500893,

0.878483, 0.879833, 0.895303, 1.10764, 1.12238

tefreqs:, 12, -0.266667, 0.266667, 0, 0.533333, 0.349742, 0.515144, 0.538612,

0.842534, 0.855931, 0.95774, 1.04956, 1.13616

tefreqs:, 13, -0.2, 0.2, 0, 0.4, 0.268947, 0.577439, 0.583959, 0.811364,

0.828719, 0.982863, 1.02292, 1.15982

tefreqs:, 14, -0.133333, 0.133333, 0, 0.266667, 0.180959, 0.633283, 0.652344,

0.788807, 0.808581, 0.918446, 0.989707, 1.10022

tefreqs:, 15, -0.0666667, 0.0666667, 0, 0.133333, 0.0908506, 0.679351,

0.731809, 0.778239, 0.7971, 0.860324, 0.905857, 1.15993

tefreqs:, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 0.701463, 0.7808, 0.782084, 0.820141, 0.826942,

0.828105, 1.2134

85


Volcado del fichero de salida gaps01_3.5721.tm.dat:

tmfreqs:, k index, k1, k2, k3, kmag/2pi, tm band 1, tm band 2, tm band 3, tm

band 4, tm band 5, tm band 6, tm band 7, tm band 8

tmfreqs:, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0.627063, 0.663609, 0.664106, 0.818637, 0.820312,

0.932309, 1.17404

tmfreqs:, 2, 0, 0.1, 0, 0.11547, 0.0739581, 0.596227, 0.658476, 0.688104,

0.804779, 0.828978, 0.958876, 1.13335

tmfreqs:, 3, 0, 0.2, 0, 0.23094, 0.147427, 0.547799, 0.646587, 0.705019,

0.796494, 0.854741, 1.01279, 1.07931

tmfreqs:, 4, 0, 0.3, 0, 0.34641, 0.219723, 0.492999, 0.634345, 0.694712,

0.823624, 0.889805, 1.02512, 1.07337

tmfreqs:, 5, 0, 0.4, 0, 0.46188, 0.289205, 0.43374, 0.625741, 0.680933,

0.866687, 0.928728, 0.972392, 1.03221

tmfreqs:, 6, 0, 0.5, 0, 0.57735, 0.33807, 0.388203, 0.622686, 0.675657,

0.903785, 0.932662, 0.955671, 1.0034

tmfreqs:, 7, -0.0666667, 0.466667, 0, 0.581187, 0.340275, 0.389872, 0.603664,

0.695113, 0.897079, 0.926005, 0.961936, 1.00941

tmfreqs:, 8, -0.133333, 0.433333, 0, 0.592546, 0.346796, 0.394321, 0.571765,

0.728723, 0.882293, 0.910632, 0.975359, 1.02291

tmfreqs:, 9, -0.2, 0.4, 0, 0.61101, 0.357375, 0.399469, 0.540738, 0.764339,

0.864794, 0.8923, 0.990322, 1.03844

tmfreqs:, 10, -0.266667, 0.366667, 0, 0.635959, 0.371631, 0.400302, 0.516934,

0.799451, 0.846519, 0.874288, 1.00387, 1.05379

tmfreqs:, 11, -0.333333, 0.333333, 0, 0.666667, 0.389007, 0.38914, 0.50802,

0.828204, 0.828288, 0.863126, 1.01092, 1.06831

tmfreqs:, 12, -0.266667, 0.266667, 0, 0.533333, 0.330107, 0.431706, 0.532988,

0.793069, 0.81496, 0.91559, 0.976568, 1.07428

tmfreqs:, 13, -0.2, 0.2, 0, 0.4, 0.252583, 0.481706, 0.579874, 0.760273,

0.792156, 0.920851, 0.986214, 1.10387

tmfreqs:, 14, -0.133333, 0.133333, 0, 0.266667, 0.169965, 0.535631, 0.626048,

0.728622, 0.784914, 0.869358, 1.03096, 1.05642

tmfreqs:, 15, -0.0666667, 0.0666667, 0, 0.133333, 0.0853694, 0.589547,

0.655327, 0.694051, 0.801177, 0.832187, 0.966267, 1.12383

tmfreqs:, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 0.627063, 0.663609, 0.664106, 0.818637,

0.820312, 0.932309, 1.17404

86

Apendice C

Batch de simulaciones de

Lumerical (caso taper cuadrado)

A continuacion se detalla el codigo correspondiente al script utilizado en la seccion 3.2.2

para generar y ejecutar el conjunto de 50 simulaciones empleadas para el estudio de

la estructura propuesta. Su ejecucion se realiza desde el mismo Lumerical (parameter

sweep) y la salida se exporta a un fichero de variables de Matlab, programa que se

empleara para la generacion de graficas.

# Definimos los valores de radio de cilindros que emplearemos [en metros] (y

sus valores de a asociados)

r=[124.52e-9, 169.12e-9, 233.1e-9, 301.76e-9, 396.68e-9];

a=[566e-9, 604e-9, 666e-9, 736e-9, 844e-9];

# Definimos el numero de longitudes de taper (multiplos enteros de a)

nlongitudes=10;

n=linspace(1,nlongitudes,nlongitudes);

# Definimos el numero de puntos (frecuencias) donde calcularemos el

coeficiente de transmision

nfrecuencias=8;

# Reservamos una matriz para el calculo de la transmision a valores dados (

una matriz para cada monitor)

T = matrix(length(a),nlongitudes, nfrecuencias);

T2= matrix(length(a),nlongitudes, nfrecuencias);

# Reservamos una matriz para el calculo de la transmision en todo el espectro

de simulacion (una matriz para cada monitor)

T_full = matrix(200,10,5);

T2_full= matrix(200,10,5);

87

Apendice C Batch de simulaciones de Lumerical (caso taper cuadrado)

for(i=1:length(r)) {

# Cambiamos al layout mode para poder editar los objetos

switchtolayout;

# Cambiamos los valores de a y r en la geometria

long_dielectrico=getnamed("dielectrico","x span");

setnamed("cilindros_aire","a",a(i));

setnamed("cilindros_aire","radius",r(i));

setnamed("cilindros_aire","nx",ceil(long_dielectrico/a(i)));

for(j=1:nlongitudes){

longitud_taper=j*a(i);

setnamed("taper_izq_c","x min",(long_dielectrico/-2)-longitud_taper);

setnamed("taper_izq_c","x max",long_dielectrico/-2);

setnamed("taper_der_c","x min",long_dielectrico/2);

setnamed("taper_der_c","x max",(long_dielectrico/2)+longitud_taper);

setnamed("monitor_fin","x",(long_dielectrico/2)+(longitud_taper/5));

setnamed("monitor_fin_unvalor_a","x",(long_dielectrico/2)+(longitud_

taper/5));

setnamed("monitor_fin_unvalor_b","x",(long_dielectrico/2)+(longitud_

taper/5));

# Mostramos por consola el progreso de la simulacion

?"Grabando simulacion. Pasada " + num2str(i) + " de " + num2str(length(

r)) +" subpasada " + num2str(j)+ " de " + num2str(nlongitudes);

# Grabamos el archivo de la nueva simulacion y anadimos el trabajo a la

cola

f_name="sim_cuadrado_radio"+num2str(i)+"_taper"+num2str(j);

save(f_name);

addjob(f_name);

}

}

# Ejecutamos todos los trabajos encolados

runjobs;

# Cargamos los resultados

frecuencias_monitorizadas_a=linspace(getnamed("monitor_fin_unvalor_a","

minimum wavelength"),getnamed("monitor_fin_unvalor_a","maximum wavelength

"),getnamed("monitor_fin_unvalor_a","frequency points"));

frecuencias_monitorizadas_b=linspace(getnamed("monitor_fin_unvalor_b","

minimum wavelength"),getnamed("monitor_fin_unvalor_b","maximum wavelength

"),getnamed("monitor_fin_unvalor_b","frequency points"));

for(i=1:length(r)) {

for(j=1:nlongitudes){

f_name="sim_cuadrado_radio"+num2str(i)+"_taper"+num2str(j);

88

Apendice C Batch de simulaciones de Lumerical (caso taper cuadrado)

load(f_name);

frecuencias=getdata("monitor_fin","f");

lambdas=c/frecuencias;

transmision=transmission("monitor_fin");

T_full(1:200,j,i)=transmision;

transmision=transmission("monitor_fin2");

T2_full(1:200,j,i)=transmision;

for (k=1:nfrecuencias/2){

# Obtenemos el transmission spectrum

auxiliar=transmission("monitor_fin_unvalor_a");

T(i,j,k)=auxiliar(k);

auxiliar=transmission("monitor_fin_unvalor_b");

T(i,j,k+(nfrecuencias/2))=auxiliar(k);

auxiliar=transmission("monitor_fin2_unvalor_a");

T2(i,j,k)=auxiliar(k);

auxiliar=transmission("monitor_fin2_unvalor_b");

T2(i,j,k+(nfrecuencias/2))=auxiliar(k);

}

}

}

# Exportamos los resultados finales

matlabsave("variables_cuadrado");

89

Apendice D

Diagrama de flujo y estructuras

de datos para calculo de

dispersion

En la seccion 3.3.4 se representa en un diagrama de muy alto nivel el proceso seguido para

el calculo de diversos parametros de dispersion de una guıa onda de PC. En este apendice

se detalla en mayor profundidad el diseno de la funcion analiza_slow_light.m de la

figura 3.16, que se ocupa de realizar el computo de los parametros ∆ω/ω, ng y NDBP .

En la figura D.1 se representa el diagrama de flujo de la funcion: esta toma como parame-

tro de entrada el nombre de los ficheros generados por la herramienta MOST de Band-

SOLVE, el numero de estos ficheros (que se corresponde con la cardinalidad del segundo

parametro de iteracion) y el numero de bandas calculadas en la simulacion e invoca a

la funcion crea_matriz.m, que genera a su salida 3 matrices: “eig” “neff” y “vg”, la

primera de ellas almacena frecuencias de los modos electromagneticos, la segunda ındi-

ces de refraccion efectivos y la tercera velocidades de grupo; estas tres matrices tienen

identica estructura (descrita en la figura D.2).

A partir de estas matrices y de la seleccion de banda, vector-k y numero de iteracion

en MOST, la funcion escoge_modo.m crea la “matriz filtrada”, que sera la entrada a

la funcion genera_dispersiones.m. Esta funcion, empleando los valores de la ma-

triz de entrada, crea un fichero de texto con el formato adecuado para invocar desde el

sımbolo del sistema a la utilidad disperse (incluida en el paquete de BandSOLVE)

e interpreta el fichero de salida de esta utilidad, creando las matrices “dispersiones” y

“beta2”.

91

Apendice D Diagrama de flujo y estructuras de datos para calculo de dispersion

Figura D.1: Diagrama de flujo de la funcion “analiza slow light.m”

92

Apendice D Diagrama de flujo y estructuras de datos para calculo de dispersion

Figura D.2: Estructuras de datos matriciales generadas por la funcion “analiza slow -light.m”. El subındice R representa la cantidad de valores que toma el primer parametrode barrido de la simulacion MOST, n + 1 es el numero de bandas de la simulacion yK = p·d donde p es el numero de puntos evaluados en la IBZ y d el numero de divisionesevaluadas en cada segmento que una dos puntos de la IBZ

Como paso final, las matrices “dispersiones” y “beta2” se pasan a la funcion

dispersion_performance.m, que tambien recibe como parametro un factor de in-

terpolacion que utilizara para generar, mediante el metodo PCHIP (Piecewise Cubic

Hermite Interpolating Polynomial) una serie mas densa y equiespaciada de los valores

de entrada; proporcionando a la salida un calculo mas preciso de las figuras de merito

∆ω/ω, ng y NDBP .

En la figura D.2 se recoge una representacion grafica de las matrices que se han empleado

durante todo el proceso:

93

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