mÉtodo de elementos finitos: la ecuaciÓn de poisson unidimensional
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MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS: LA ECUACIÓN DEPOISSON UNIDIMENSIONAL
INTRODUCCION
Hacer una simplificación del problema para que de esta manera pueda el mismo ser tratado sin inconveniente alguno.Este procedimiento a veces puede ser aplicado, pero en otras ocasiones no, ya que conduce a inexactitudes o a respuestas incorrectas. Una alternativa más viable, haciendo uso de la disponibilidad de las computadoras, es conservar las complejidades del problema y encontrar una solución numérica aproximada.
Un método de aproximación numérica para resolver problemas gobernados por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es el método de diferencias finitas (MDF). Este método, que imagina el dominio como una malla de puntos, proporciona una aproximación discreta de la solución. Si bien este método es muy fácil de aprender y aplicar para obtener la solución de problemas con geometrías simples, cuando la geometría es irregular o cuando presenta una especificación inusual en las condiciones de frontera, la aplicación del MDF resulta engorrosa.
A diferencia del MDF, el MEF supone que el dominio está constituido por muchas subregiones o elementos pequeños interconectados. Puesto que estos elementos pueden ser colocados de diversas maneras, pueden ser usados para representar formas excesivamente complejas.
¿Cómo trabaja el MEF?
En un problema continuo la variable incógnita puede ser presión, temperatura, desplazamiento, tensión o cualquier otra magnitud. La discretización en elementos finitos transforma el problema original en uno con un número finitode incógnitas, dividiendo el dominio en elementos y expresando la función incógnita en términos de funciones deaproximación conocidas dentro de cada elemento. Estas funciones de aproximación, denominadas también funciones deinterpolación o funciones de forma, se definen en función
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de los valores de la incógnita en puntos específicos llamados nodos. Los nodos se encuentran generalmente en lasfronteras de los elementos, es decir, donde los elementos se unen entre sí y en algunos casos, puede haber además algunos nodos interiores. Los valores en los nodos y las funciones de forma para los elementos definen el comportamiento de la función buscada.
Una característica importante del MEF, que lo distingue de otros métodos numéricos, es que brinda la posibilidad de formular soluciones para los elementos individuales antes de ser ensamblados para luego obtener la solución del problema completo. De esta manera, la solución de un problema complejo se reduce a considerar una serie de problemas simplificados.
Claramente se puede observar, que la naturaleza de la solución y el grado de aproximación depende no solamente del tamaño y número de elementos usados sino también de lasfunciones de forma seleccionadas. No se pueden elegir funciones arbitrarias, porque ciertas condiciones de compatibilidad deben ser satisfechas. Frecuentemente, las funciones que se eligen son aquellas que son continuas o que tienen derivadas continuas en los bordes de los elementos adyacentes.
Otra ventaja del MEF es la variedad de formas en que se pueden formular las propiedades de los elementos individuales. No obstante, cualquiera sea la forma que se elija, la obtención de la solución de un problema continuo por el MEF requiere la ejecución de una serie de pasos ordenados, que se detallan a continuación:
1. Discretización del dominio . El primer paso es dividir el dominio continuo en elementos. En general, los elementosen los cuales el dominio es dividido pueden tener diversas formas, inclusive pueden ser utilizadas distintas formas para obtener una misma solución.
2. Elección de la cantidad de nodos y funciones de forma. El paso siguiente es elegir la cantidad de nodos para cada elemento y la función de forma para representar
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la variación de la función incógnita dentro del elemento. Usualmente se eligen polinomios como funciones de forma porque son fáciles de derivar e integrar. El grado del polinomio elegido depende de la cantidad de nodos asignada a cada elemento, la naturaleza y la cantidad de incógnitas en cada nodo y ciertos requerimientos de continuidad impuestos en los nodos y a lo largo de las fronteras de loselementos.
3. Definición de las propiedades de los elementos. Una vez definidos los elementos y las funciones de forma que se usarán, se debe escribir la ecuación matricial que expresa las propiedades individuales de cada elemento. Como se mencionó anteriormente, hay distintas formas de obtener esta ecuación, aunque en este trabajo solamente se utilizará el método de residuos ponderados.
4. Ensamblaje . Para encontrar las propiedades del sistema modelado por elementos finitos, deben ensamblarse las propiedades de todos los elementos. Es decir, se combinan las ecuaciones matriciales que describen el comportamiento de cada elemento, para obtener una ecuación matricial que exprese el comportamiento del sistema entero.
5. Definición de las condiciones de frontera . Una vez que el sistema de ecuaciones está listo para ser resuelto, deben imponerse las condiciones de frontera, reemplazando las incógnitas correspondientes por los valores conocidos.
6. Resolución del sistema de ecuaciones. El proceso de ensamblaje da origen a un sistema de ecuaciones que se resolverá para obtener los valores de la solución buscada en los nodos. Si el problema describe un comportamiento estable o en equilibrio, se deberá resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales o no lineales. En cambio, si el problema es inestable, las incógnitas en los nodos son función del tiempo y se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o no lineales.
7. Cálculos adicionales . Muchas veces se usa la solución del sistema para calcular otros parámetros importantes. Porejemplo, si el problema analizado es de transmisión de
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calor, las incógnitas en los nodos son las temperaturas y con ellas puede luego calcularse el flujo en los elementos.
DEDUCCIÓN DEL MEF
Deducción del MEF para la ecuación unidimensional de Poisson
A continuación, se explicará cómo se deriva el método deelementos finitos para la ecuación unidimensional dePoisson.Método de residuos ponderados
El método de residuos ponderados (MRP) es una técnica quepermite obtener soluciones aproximadas de ecuacionesdiferenciales parciales lineales y no lineales quegobiernan el comportamiento de sistemas continuos.El punto de partida para hallar una solución mediante estemétodo es la existencia de una forma integral equivalenteque describa el comportamiento del sistema en estudio. Paraejemplificar este método, se resolverá la ecuación dePoisson:
(1)
Donde ΓT es el contorno de Dirichlet en el cual seprescribe la función incógnita y Γq es el contorno deNeumann, donde se establece el flujo que entra o sale deldominio.
La forma integral equivalente a las ecuacionesanteriores se obtiene multiplicando respectivamente lasexpresiones diferenciales A y B por W y W´, denominadasfunciones de peso y luego integrando sobre el dominio dedefinición de cada ecuación, es decir:
(2)El MEF se basa en la propiedad aditiva de la integral.
Así, considerando al dominio como la unión de “elementos”(dominios disjuntos que cubren el dominio total), puedeescribirse la expresión anterior como:
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La solución numérica es una aproximación de la soluciónanalítica exacta. La manera más habitual de expresar estasolución aproximada es mediante una combinación lineal defunciones, denominadas funciones de forma. Por lo tanto, lasolución aproximada se expresa como:
(3)Donde Ni(x) son las funciones de forma y ai, parámetros ofunciones desconocidas. Generalmente para los problemas deestado estacionario los ai son constantes y para problemasinestables son funciones del tiempo.
Sustituyendo T por T´ en (2) se obtiene su formaaproximada:
(4) La ecuación anterior se denomina expresión de residuos
ponderados, ya que A(T´) y B(T´) son los residuos de lasolución aproximada en el dominio y en el contornorespectivamente.
Sustituyendo (3) en (4) y eligiendo tantas funciones depeso como términos tenga la aproximación, se obtiene unsistema de ecuaciones algebraicas, a partir del cual puedencalcularse los coeficientes de la aproximación.
La expresión anterior puede escribirse en formamatricial de la siguiente manera:
Donde K es la matriz de coeficientes que depende de laspropiedades geométricas y físicas del problema, a es elvector que contiene los n parámetros incógnitas ai y f unvector que depende de los valores prescriptos de lavariable y los flujos de contorno.
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Aplicando el método de residuos ponderados en (1),donde Ω =[0;L] y
Se obtiene:
Con i =1,2,…,n. No se ha tenido en cuenta la ponderación enla frontera Γx=0 ya que, en general, se eligen funciones deforma que satisfagan las condiciones de contorno deDirichlet.
Desarrollando la expresión anterior se obtiene unsistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, que enforma matricial se escribe:
Donde:
Forma débil del método de residuos ponderados
Se sabe que la forma integral de la ecuación de Poisson
en una dimensión está dada por:
(5)En esta expresión se puede observar que k se encuentra
derivada una sola vez mientras que la función T, dos veces.Esto exige continuidad C0 para k y C1 para T, en cambio, a W
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no se le exige ningún requisito de continuidad porque noaparece derivada.
Para modificar los requisitos de continuidad, se puedeefectuar una integración por partes en el término de lasderivadas segundas. Por lo tanto, aplicando la regla deintegración por partes al término de la integral en dondeaparece T derivada dos veces y considerando:
Resulta
(6)Sustituyendo (5) en (6) se obtiene:
(7)
Se puede observar que han cambiado los requisitos decontinuidad para T, W y k. Ahora tanto T como Wrequierencontinuidad C0 y k puede ser discontinua, ya que hadesaparecido su derivada.
La expresión (7) recibe el nombre de forma integraldébil. El nombre proviene del hecho que se ha restringidoel campo de selección de las funciones de peso, exigiendoahora funciones continuas.
Por conveniencia, en (7), se elige W´= - W, por lo queresulta:
(8)Teniendo en cuenta que,
la ecuación (8) se transforma en:
Método de Galerkin
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La elección de las funciones de peso Wi define diferentesvariantes de la familia del método de residuos ponderados.Uno de los más populares, el método de Galerkin, toma comofunciones de peso las mismas funciones de aproximación Ni,es decir, Wi = Ni.
Sustituyendo la aproximación de T definida por:
En
Se obtiene:
Para i = 1,2,…,n.
Dando los sucesivos valores a i, se obtiene:
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en formamatricial de la siguiente manera:
Donde:
La expresión de fi contiene el flujo q0 en el contornodonde lo que se conoce es la variable. Dicho flujo se
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desconoce a priori y debe calcularse una vez que se hanobtenido todos los valores de las incógnitas ai.
Elementos unidimensionales de dos nodos
Se considerará la ecuación de Poisson en una dimensión:
Donde T es la temperatura (º C), k la conductividad térmicadel material (W/cm ºC) y q´ el calor generado por unidad devolumen (W/cm3). Las condiciones de frontera de la ecuaciónunidimensional de Poisson podrían estar dadas por:
Para obtener la solución numérica de la ecuación, se debecomo primer paso discretizar el dominio. Se supondrá que sedesea dividir la barra en un elemento de dos nodos.
La función incógnita T(1)(x) en el elemento se aproximamediante un polinomio lineal de la siguiente manera:
Imponiendo que en los extremos del elemento, lasolución exacta y la aproximada coinciden, resulta:
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Resolviendo el sistema anterior se obtiene:
De esta manera, la aproximación puede escribirse como semuestra a continuación:
Ordenando la expresión anterior resulta:
(1)
De esta manera, quedó expresada la aproximación de lafunción incógnita como una combinación lineal de lasfunciones N1(1) y N2(1). Estas son las funciones de forma ysus expresiones son:
Se puede observar que la función de forma asociada a unnodo toma el valor unidad en dicho nodo y cero en el otro.
La interpolación anterior permite determinar el valorque toma la función incógnita en cualquier punto del
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elemento en función de los valores T1(1) y T2(1), que seconvierten en las incógnitas del problema.
La forma integral débil para la ecuación unidimensionalde Poisson puede expresarse de la siguiente manera:
(2)Se sabe que la aproximación de la temperatura está dada por(1) cuya derivada es:
(3)Sustituyendo (3) en (2) se obtiene:
Para i=1:
Para i=2:
Las dos ecuaciones anteriores un sistema de dosecuaciones con dos incógnitas que en forma matricial seexpresa:
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Donde:
Si se supone que k y q´ son constantes. De esta manera, elsistema de ecuaciones está dado por:
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen T1(1) yT2(1), y a partir de (1) se puede determinar laaproximación numérica de la ecuación de Poisson.
Elementos unidimensionales de tres nodos
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Se considerará nuevamente la ecuación unidimensional dePoisson. Para obtener la solución numérica de la misma, sesabe que se debe como primer paso discretizar el dominio.Para ello se supondrá, ahora, que se desea dividir la barraen un elemento de tres nodos.Una alternativa para obtener las funciones de forma de loselementos unidimensionales de clase C0 es utilizando lospolinomios de Lagrange. Se tomará entonces, como función deforma, un polinomio de grado n que se anula en los puntosx1, x2, …, xn y que para x = xi toma el valor yi = 1. Loselementos cuyas funciones de forma están dadas porpolinomios interpoladores de Lagrange, se denominanlagrangianos. De esta manera, la función de forma del nodoi de un elemento lagrangiano unidimensional de n nodos seobtiene por medio de la siguiente expresión:
En lugar de trabajar con las coordenadas cartesianas,una forma más sencilla es utilizar un sistema decoordenadas naturales o normalizadas, basado en lavariable ξ que se define como:
Donde xc es la coordenada del centro del elemento y L es lalongitud del elemento. De esta manera, se transforma lageometría real en una geometría normalizada en la que lalongitud del elemento es 2. Las funciones de forma puedenobtenerse en esta nueva geometría, independizándolas de lageometría real del elemento, lo que es de gran importanciaen la práctica. Así, la expresión general de las funcionesde forma puede escribirse:
Por lo tanto, las funciones de forma para un elemento detres nodos están dadas por:
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Sabiendo que ξ1 = -1, ξ2 = 0 y ξ3 = 1, las expresionesanteriores pueden escribirse de la siguiente manera:
Cada uno de los coeficientes de la matriz del sistema deecuaciones que permite calcular la temperatura en cada unode los nodos, está dado por:
(1)Teniendo en cuenta como está definida la variable ξ, se
sabe que:
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Sustituyendo la expresión anterior en (1) se obtiene:
(2)De la misma manera,
(3)
Utilizando (2) y (3), se obtiene un sistema de tresecuaciones con tres incógnitas que en forma matricial seexpresa:
Donde:
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Si se supone que k y q´ son constantes. De esta manera, elsistema de ecuaciones está dado por:
Los coeficientes K21(1), K31
(1) y K32(1) no fueron calculados porque
K12(1) = K21
(1), K13(1) =K31
(1) y K23(1) =K32
(1).
Resolviendo el sistema anterior, se obtienen T1(1), T2
(1)y T3(1).
Por lo tanto, la aproximación numérica de la ecuaciónunidimensional de Poisson está dada por:
Ensamblaje
Cuando el dominio del problema en estudio es
discretizado por más de un elemento, es necesario realizarun proceso de ensamblaje. Una vez que se han obtenido lasecuaciones algebraicas necesarias para describir lascaracterísticas de cada uno de los elementos, el pasosiguiente en el MEF consiste en combinar todas esasecuaciones para formar el sistema completo que permiteobtener las incógnitas en todos los nodos del dominio. Elensamblaje se basa en que el valor desconocido de los nodoses el mismo para todos los elementos que están unidos a unmismo nodo. El procedimiento para construir el sistema deecuaciones a partir de las ecuaciones procedentes de cadaelemento es el mismo sin importar el tipo de problema quees considerado.
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El procedimiento general que debe seguirse es el siguiente:1. Se definen la matriz K y el vector f con lasdimensiones adecuadas: Knxn y fnx1, siendo n el número denodos.2. Empezando por el primer elemento, se transformanlas coordenadas de locales a globales y se ubican lostérminos en la posición que corresponde a sus nuevosíndices. Si en esa posición se encuentra otro término,se suma.3. Se completan K y f, recorriendo todos los elementos.El resultado final será la matriz Knxn y el vector fnx1.
Para problemas cuya discretización implica una cantidadimportante de elementos, el proceso de ensamblaje esrealizado con la ayuda de una computadora.
Características de la matriz ensamblada
La matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones que seobtiene al realizar el proceso de ensamblaje posee unaserie de características importantes y útiles. Se puedeobservar que la misma presenta coeficientes no nulos en unabanda centrada en la diagonal principal, mientras que todoslos coeficientes fuera de ella son nulos. Las matrices quepresentan esta particularidad son llamadas matrices enbanda. La obtención de este tipo de matriz vacía (conmuchos elementos iguales a cero) al realizar el proceso deensamblaje, se debe a que cada elemento tiene relativamentepocos nodos comparados con la totalidad de nodos delsistema y solamente algunos elementos son los que compartencada nodo. Cabe destacar que, si se utiliza una numeracióneficiente de cada uno de los nodos, el ancho de la bandapuede ser minimizado. La siguiente figura muestraesquemáticamente una matriz típica para un sistema deelementos finitos. La región de la matriz incluida por laslíneas punteadas es la banda que contiene los coeficientesno nulos. El ancho de esta banda se relaciona directamentecon la diferencia máxima de la numeración global de dosnodos cualesquiera de un elemento. Otra característicaimportante es que este tipo de matrices es generalmente
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simétrica, razón por la cual a menudo se aprovecha estaventaja para almacenar las matrices.
En el caso de sistemas grandes con un alto porcentaje deelementos nulos, es más conveniente utilizar los métodositerativos ya que minimizan tanto el esfuerzo computacionalcomo el tiempo de cómputo. Estos métodos rara vez se usanpara resolver sistemas lineales de pequeña dimensión, yaque el tiempo necesario para obtener una aproximaciónsatisfactoria supera el que requieren los métodos directos.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1
La distribución de temperaturas en una barra sigue la ley:
Donde L = 10 cm, qp= 0 cal y T0 = 0ºC.
Encontrar la distribución de temperaturas discretizando labarra en un elemento de dos nodos.Para este ejemplo, tanto la conductividad térmica como lafuente de calor son constantes. Por lo tanto, el sistema de
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ecuaciones que se debe resolver para posteriormente obtenerla aproximación numérica es:
Donde T1 y T2 representan las temperaturas en los nodos.Al resolver el sistema de ecuaciones planteado, se obtiene:
La aproximación lineal de la ecuación diferencial es:
La solución exacta para este problema particular es:
En la siguiente gráfica, se muestra la representacióngráfica de la solución exacta y aproximada para poderinterpretar adecuadamente la solución numérica obtenida.
Ejercicio 2
La distribución de temperaturas en una barra sigue la ley:
Donde L = 10 cm, qp= 0 cal y T0 = 0ºC.
Encontrar la distribución de temperaturas discretizando labarra en tres elementos de dos nodos.
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Como la conductividad térmica es constante para esteproblema, la matriz de coeficientes de cada uno de loselementos está dada por:
La matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones quepermite realizar la aproximación numérica del problemadescripto planteado se obtiene al considerar la matriz decoeficientes de cada uno de los elementos como un aporte ala matriz de coeficientes del sistema completo. De estamanera, la matriz de coeficientes se obtiene por medio dela simple suma de cada una de las matrices que proporcionacada elemento, la cual no es realizada de una maneraaleatoria. La adición de matrices está definida solamente paramatrices del mismo orden. Así, antes de sumar cada una delas matrices se agrega una determinada cantidad de filas ycolumnas a las mismas de manera tal que el orden de cadauna de ellas coincida con el de la matriz de coeficientesdel sistema completo. Si la barra presenta n nodos, lamatriz de coeficientes del sistema está dada por una matrizcuadrada de orden n x n. Cada una de estas matricesampliadas son construidas a partir de matrices nulas a lasque se les agrega los coeficientes de la matriz de cadaelemento en las ubicaciones correspondientes.Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver será deorden 4 x 4, debido a que la barra presenta 4 nodos en estadiscretización. La construcción de cada una de las matricesampliadas se realiza de la siguiente manera: para el primerelemento, las numeraciones local y global son iguales, demodo que los subíndices de la matriz K(1)del elemento siguensiendo los mismos en la matriz ampliada K(1)´.
Para el segundo elemento, la correspondencia entre lanumeración local y global se indica en la siguiente tabla.
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Por lo tanto, cuando los coeficientes de la matriz delsegundo elemento se insertan en la matriz ampliada seobtiene:De manera similar, se procede para obtener la matrizampliada del tercer elemento.
La matriz de coeficientes del sistema completo seobtiene sumando las matrices K(1)´, K(2)´ y K(3)´ las cualesrepresentan la contribución de cada elemento. Es decir,Como la fuente de calor es constante para este problema, elvector de términos independientes de cada uno de los elementos está dado por:
El mismo principio de ampliación se aplica a cada uno
de los vectores anteriores.El vector de los términos del sistema completo se obtiene sumando los tres vectores, los cuales representan la contribución de cada elemento. Es decir,Por lo tanto:
De esta manera, el sistema de ecuaciones que se deberesolver para obtener la aproximación numérica del problemapropuesto es:
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Donde Ti con i = 1,…, 4 representan las temperaturas enlos nodos.
La solución del sistema planteado es:
La función por tramos que aproxima la solución del
problema:Así,
A continuación, se muestra la representación gráfica de lasolución exacta y aproximada para poder interpretaradecuadamente la solución numérica obtenida.
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Ejercicio 3
La distribución de temperaturas en una barra sigue la ley:
Donde L = 10 cm, qp= 0 cal y T0 = 0ºC.
Encontrar la distribución de temperaturas discretizando labarra en un elemento de tres nodos.Como la conductividad térmica y la fuente de calor sonconstantes para este problema, el sistema de ecuaciones quese debe resolver para obtener la aproximación numérica es:
Donde T1, T2 y T3 representan las temperaturas en losnodos.La solución del sistema anterior es:
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Para obtener la aproximación cuadrática del problemaplanteado, es necesario expresar las funciones de forma enfunción de las coordenadas cartesianas.Teniendo en cuenta, para este ejemplo:Sustituyendo la expresión anterior en las funciones deforma, se obtiene:De esta manera, la aproximación está dada por:
Se puede observar, que la solución aproximada obtenida, eneste caso, coincide con la solución exacta de la ecuacióndiferencial.
Se deduce de este sencillo ejemplo que la precisión delelementos cuadrático es superior que las aproximacioneslineales efectuadas en los Ejemplos 1 y 2. No obstante,estas conclusiones deben extrapolarse con cuidado a casosmás generales, ya que si bien es cierto que a medida queaumenta el orden del elemento se consigue una mayorprecisión, esto se logra por medio de un mayor esfuerzo decálculo. Por ello, frecuentemente en la práctica seprefiere obtener la precisión deseada utilizando mallas mástupidas de elementos sencillos que mallas más groseras deelementos más complejos.
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS: LA ECUACIÓN DEPOISSON biDIMENSIONAL
Aunque la “contabilidad” matemática aumenta de forma notable, la extensión del método del elemento finito a dos
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dimensiones es similar, conceptualmente, a los problemas unidimensionales analizados hasta ahora. De manera que se siguen los mismos pasos señalados DiscretizaciónComúnmente se emplean elementos sencillos, como triángulos o cuadriláteros, en la malla del elemento finito para dos dimensiones. En este análisis, nos limitaremos a elementos triangulares del tipo ilustrado en la figura
Figura 1
Ecuaciones del elementoTal como en el caso unidimensional, el siguiente paso consiste en desarrollar una ecuación para aproximar la solución del elemento. Para un elemento triangular, la aproximación más sencilla es el polinomio lineal
u(x, y) = a0 + a1,1x + a1,2y (1)
Donde u(x, y) = la variable dependiente, las a = coeficientes, x y y = variables independientes.Esta función debe pasar a través de los valores de u(x, y)en los nodos del triángulo(X1, y1), (x2, y2) y (x3, y3). Por lo tanto,
u1(x, y) = a0 + a1, 1x1 + a1, 2y1u2(x, y) = a0 + a1, 1x2 + a1, 2y2u3(x, y) = a0 + a1, 1x3 + a1, 2y3
O, en forma matricial,
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Un elemento
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