Introduction à la logique diagrammatique On se dote d’un espace scriptible recto, non orienté, potentiellement infini. On l’appelle la feuille. Définition : La feuille est l’espace de la vérité. Elle contient virtuellement toutes les propositions vraies. Il n’est permis d’y inscrire que des propositions vraies. Permission d’insertion : il est permis de rendre explicite n’importe quelle proposition virtuellement contenue dans l’espace de la vérité, c’est-à-dire toute proposition vraie. Pour cela, on l’inscrit. p signifie qu’on asserte p ; autrement dit que p est vrai. On peut asserter une proposition vraie autant de fois qu’on veut. p p p p p signifie la même chose que p. Comme la feuille n’est pas orientée, il est permis d’inscrire des propositions vraies partout sur la feuille. q s s p q r signifie que p, q, r et s sont vraies. C’est la conjonction logique. Le verso de la feuille est l’espace de la fausseté. Il contient virtuellement toutes les propositions fausses. Comme on s’est doté du recto seulement, on ne peut pas examiner ni inscrire le verso. Le recto et le verso de la feuille contiennent virtuellement la totalité des propositions possibles. Postulat fondamental : chaque proposition est contenue virtuellement sur un seul côté de la feuille.

Fictivement, on peut voir le verso de la feuille, en encerclant une portion du recto. C’est comme si on voyait par transparence ce qui est inscrit sur le verso (l’espace de la fausseté), dans l’encerclement, qu’on appelle alors cercle. Fictivement, on peut aussi considérer cet encerclement comme un trou dans le recto. C’est comme si on ôtait certaines propositions de l’espace de la vérité. Le cercle est alors appelé coupure.

signifie que p est dans l’espace de la fausseté ; autrement dit qu’il a été ôté de l’espace de la vérité. Toutefois, considéré comme un seul graphe, le cercle et p à l’intérieur sont contenus dans l’espace de la vérité. Ils forment une nouvelle proposition, qui nie p. Elle signifie que la négation de p est vraie.

signifie : il est faux que p est vrai ; il est faux que p ; non-p ; il est vrai que non-p. C’est la négation logique. La permission d’insertion vaut donc aussi pour les propositions fausses, qu’on peut toutes inscrire dans un cercle. Autrement dit, si

[c’est-à-dire : à condition que A, B et C soient faux]

alors il est permis d’écrire

p

p

A B C

A B C

On peut nier une proposition fausse

signifie : il est faux qu’il est faux que p est vrai ; il est faux qu’il est faux que p ; il est faux que non-p ; il est vrai que non-non-p ; il n’est pas permis de nier p ; il est vrai que p. C’est équivalent à p. Permission de la double négation : les cercles [NB : qui encerclent un même graphe] peuvent être effacés par paires. Comme une proposition ne peut être contenue sur les deux côtés de la feuille (postulat fondamental), il est faux que p et sa négation sont tous les deux vrais. Il est donc permis d’écrire :

Cela signifie qu’il est faux que p et non-p sont vrais en même temps (« principe de contradiction »).

signifie qu’il est faux que A et B sont vrais en même temps ; autrement dit soit A est vrai, soit B est vrai, soit aucun des deux n’est vrai ( ; autrement dit A « ou » B est vrai, avec « ou » = ou exclusif [cf. « formage ou dessert »])

p p

A B

p

signifie qu’il est faux que A et B sont faux en même temps ; autrement dit soit A est faux, soit B est faux, soit aucun des deux n’est faux ; autrement dit A ou B, avec ou = et/ou. C’est la disjonction logique. Cela signifie aussi que si A est faux, alors B est vrai ; autrement dit si B est faux, alors A est vrai. C’est l’implication logique.

signifie donc que p implique q. En particulier, si q = p, on retrouve le principe de contradiction précédemment énoncé.

signifie que p et non-p ne sont pas vrais en même temps ; autrement dit, p implique p. C’est la tautologie. NB : inscrire que toute proposition s’implique elle-même, c’est ipso facto inscrire le principe de non-contradiction.

A B

q p

p p

Cela équivaut aussi au principe du tiers exclu. Démonstration :

signifie : il est faux que p et non-p sont vrais en même temps Il est permis d’écrire (par double négation de p)

qui signifie : il est faux que p et non-p sont faux en même temps ; autrement dit p ou non-p. [NB : les principes d’identité, de contradiction et de tiers exclu s’équivalent et ne font que reformuler les contraintes topologiques de la feuille.] NB : pour n’importe quelles propositions p et q, si p est vrai et q est vrai, alors p implique q Démonstration : p q Il est permis d’écrire (par double négation) p

p p

p p

q

et par itération de p

NB : on démontre de façon similaire que pour n’importe quelles propositions p et q, si p est faux et q est faux, alors p implique q Résultats remarquables : La conjonction des négations équivaut à la négation des disjonctions. Démonstration :

Il est permis d’écrire (par double négation)

qui signifie : p ou q est faux. On montre la réciproque par effacement de la double négation. La disjonction des négations équivaut à la conjonction des négations. Démonstration :

p q

p q

q p

signifie non p ou non q. Il est permis d’écrire (par effacement de la double négation de p et de q) qui signifie : il est faux que à la fois p et q. Permission de l’itération et déitération : p il est permis d’itérer dans un nombre supérieur de coupures : p Il est permis de faire la transformation réciproque de déitération.

p q

p q

q

p q

Démonstration du modus ponens :

p

Il est permis d’écrire (par déitération de p) :

p

D’où (par élimination de la double négation de q et effacement de p) : q CQFD. Démonstration du modus tollens :

Il est permis d’écrire (par déitération de non-q) :

q p

q

q p q

q p

D’où (par effacement de non-q) : CQFD. NB : La double négation équivaut à une implication à partir de n’importe quelles prémisses.

En vertu de la règle d’insertion (dans un nombre de cercles impair), on peut inscrire n’importe quelle proposition vraie dans l’espace encerclé laissé vacant [NB : indiqué par une flèche rouge ci-dessus]. Le graphe signifie donc que n’importe quelle proposition vraie implique p ; autrement dit p est toujours vrai (p est un théorème).

p

p