INTRODUCCION A LAS FUNCIONES

Comencemos con un ejemplo

  Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempopedalea por un camino hasta que llega a una zonade descanso en donde se para para comer. Acontinuación, sigue avanzando durante otro ratomás, momento en que decide volver a casa por elmismo camino que había elegido para la ida.

  Observando atentamente la gráfica podemosaveriguar muchas cosas del paseo que dio elciclista: distancia más lejana a la que llegó,kilómetros recorridos, tiempo que estuvofuera, momento en que come, ...  La gráfica representa la relación entre dosvariables: el tiempo que transcurre desde queparte el ciclista de su casa y la distancia ala que se encuentra de su casa en cadamomento.  Cada punto de la gráfica representa untiempo y una distancia, y significa que elciclista está a esa distancia cuando hayatranscurrido ese tiempo desde el momento enque partió.

  Analizando la gráfica apreciamos las franjasde tiempo en que el ciclista está avanzando oestá quieto, las franjas en las que vuelvefrente a las de ida, e incluso las franjas enlas que el ciclista pedalea a mayor o menorvelocidad (quizás inducida por la pendientemenor o mayor del terreno durante esa zona de

tiempo).

  Además las escalas de cada eje son diferentes:

En el eje horizontal, la unidad significa 1 hora.

En el eje vertical, la unidad de escala es equivalente a 20 kms.

  Estas escalas nos permiten cuantificar la ruta (no sólo describirla cualitativamente). Por ejemplo: el punto más lejano al que llegó el ciclista estaba a 80 kms. de su casa, y allí llega a las 6 horas de haber salido.

 Vemos que la gráfica se extiendo en el tramo 0-8'5, es el intervalo de tiempo que dura la ruta del ciclista.

  El intervalo [0, 8'5] sellama dominio de definición de

la función.

ACTIVIDADES:   Observando la gráfica anterior, responde:

¿A cuántos kilómetros de su casa decide parar a comer?

¿Qué tiempo había transcurrido cuando decide esa parada?

¿Cuánto tiempo ha estado comiendo? ¿Cuánto tarda en volver a casa desde que

decide regresar? ¿En qué momento de la ida tenía el camino

una pendiente más pronunciada? ¿Durante qué franja de tiempo pedaleó a

más velocidad el ciclista? ¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la

ida y la vuelta?

Definición  Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y.

x es la variable independiente (en el ejemplo del ciclista el tiempo).y es la variable dependiente (en el ejemplo la distancia respecto al punto de partida).La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se diceque y es función de x, lo que se escribe y = f(x).

  Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas:

- La distancia recorrida por un móvil al transcurrir el tiempo.- El volumen de un líquido al aumentar la temperatura.- El impuesto de circulación que paga un vehículo en una ciudad sgún la cilindrada del motor del mismo.- El volumen de una esfera al variar la longitud del radio de la misma.

- Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:       La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).       La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).- Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x yla ordenada y.- El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición de la función.- Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que puedan cuantificarse los valores de las dos variables.

¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función?

De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una función y la derecha no. Observa:

En ésta a cada valor de x de la

variable independiente (ejede

abscisas) le corresponde un único

valor imagen y de la variable

dependiente (ordenadas).

 En ésta hay algunos valores de la

variable independiente x a los que

corresponden más de un valor de la

dependiente , lo que contradice la

definición de función.

ACTIVIDADES:

1. Decide razonadamente si las siguientes correspondencias son

funciones o no. En las que sí lo sean, indica cuál representa la

variable independiente y cuál la dependiente.

A todo número natural se le hace corresponder su número natural siguiente.

A todo número natural se le asocian sus divisores. A cada día del año se le asocia la cotización del euro frente al

dólar. A todo número fraccionario se le asocia su inverso. A todo número se le asocia su raíz cuadrada. A cada fase de la luna le asociamos la fecha en la que se da

dicha fase. A todo número se le asocia su doble más siete.

2. ¿Cuáles de éstas gráficas no corresponden a una función?¿Por qué?

¿Cómo se nos presentan?  Tanto en un contexto matemático, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con funciones. Se nos presentan de diferentes maneras:

1.Mediante su representación gráfica.

La cotización en bolsa de un determinado producto en los primeros

10 días en que se sacó a bolsa es la función representada en la imagen

anterior.

 Como mejor podemos apreciar el comportamiento global de una función

es mediante su representación gráfica, por eso, siempre nos será de

mucha utilidad conseguir representar la función si no nos la dan ya

representada.

La variable independiente sería el tiempo en días y la variable

dependiente el valor de cotización del producto en miles de euros.

2.Mediante una tabla de valores.

 Observa los siguientes datos que se dan en una tabla:

x

(hora

s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

(mile

s)

3 6 12 24 48 96 192 384 768

 Corresponden al número aproximado de bacterias, en miles, deuna colonia a lo largo del tiempo medido en horas. La variable independiente es el tiempo medido en horas y la

dependiente el número de bacterias en miles. Los datos recogidos en esta tabla podrían representarse en unsistema cartesiano y con ello conseguir, al menos de formaaproximada, la gráfica de la función que mide los miles debacterias en cada hora.

3.Mediante su expresión analítica o fórmula.

  El área de un círculo es función de su radio y se calcula através de la expresión . La variable independiente es lamedida del radio (aquí se usa la letra r para esta variable) yla dependiente es la medida del correspondiente área que aquí serepresenta por la letra A. La expresión analítica es la forma más precisa y manejable dedar una función, pero a partir de ella el estudio posterior y laobtención de la gráfica es una tarea minuciosa si se quiereobtener una gráfica lo suficientemente real de la función.Siempre es posible dar a la variable independiente valores yconseguir los correspondientes de la variable dependiente conlos que construir una tabla y conseguir una gráfica aproximada.

4.Mediante un enunciado.

 "Un padre que estuvo observando

desde el balcón a su hijo Alberto como iba al

colegio:

 .-De casa salió a las 8.30 y fue seguidito

hasta casa de su amigo Tomás. Lo esperó un

rato sentado en el banco y luego se fueron

juntos, muy despacio, hacia el colegio.

Cuando ya estaban llegando, mi hijo se dió

cuenta de que se había dejado la cartera en

el banco; volvió corriendo, la recogió y llegó a

la escuela a las 9 en punto."

 Este enunciado representa unafunción que describe la distanciaa la que se encuentra Albertosegún el instante entre las 8.30y las 9.00 de la mañana, y sugráfica aproximada es larepresentada a la derecha.

ACTIVIDADES:

1. Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia de radio enEspaña en un día promedio del año 1993. El porcentaje se refierea toda la población española de 14 años o más.

¿Entre qué horas se realizala medida?

¿En qué horas del día aumenta el porcentaje de personas que escuchan la radio?¿Cuándo disminuye?

¿En qué momento de la mañana es máximo el porcentaje de oyentes?

¿Cuál es el máximo de la tarde?¿Y de la noche?

¿Cuál es el porcentaje de oyentes a las 8 de la mañana?¿Y a las 9 de la

noche?

2. La siguiente tabla muestralos datos recogidos respecto a la longitud del feto durante el embarazo según las semanas de gestación:

x y

5 1

10 7

15 15

20 25

25 35

30 42

35 48

40 52

Usando la tabla de valores, representa gráficamente la función.

Señala cuál es la variable independiente y cuál la dependiente y en qué se mide cada una.

Durante las primeras dos o tres semanas de gestación el feto es casi microscópico. ¿Cuánto medirá cuando la gestación sea de 12 semanas y media.

¿Cuál es la longitud que suele tener un niño al nacer?

Si la expresión P = 0'025·l3 nos da de forma aproximada el peso del feto en gramos según su longitud l en centímetros. Construye la correspondiente tabla y diguja la gráfica de la función que representa el peso en gramos del feto según la semana de gestación.

3. Un remonte de una pista de montaña funciona de 9 de la mañanaa 4 de la tarde y su recorrido es el siguiente:   Desde la salida hasta la pista, que está a 1200 m, tarda 15 minutos. Se para en la pista 15 min. Baja hasta la base en 10

minutos. Está parado 20 min, y empieza de nuevo el recorrido.

Dibuja la gráfica que representa el recorrido del remonte. ¿Cuál es la posisicón del remonte a las 12 h 30 min?¿Y a

las 12 h 20 min? ¿Observas alguna característica especial en la gráfica?.

Coméntala.

Dominio  En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.  Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función.  Si la función es la que a cada alumno/a de 4ºA le asocia la nota del examen que hizo el día 14 de Diciembre, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de 4ºA que hicieron ese citado examen.

 Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales

existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

1.Obtención del dominio de definición a partir de la gráfica.

  Cuando una función se nospresenta a través de sugráfica, simplemente conproyectar sobre el eje deabscisas dicha gráficaconseguimos el dominio dedefinición. Ésto es porquecualquier valor de x deldominio tiene sucorrespondiente imagen y porello le corresponde un puntode la gráfica; y éste puntoes el que al proyectar lamisma sobre el eje Ox nosincluye ese valor dentro deldominio.  En el ejemplo vemoscoloreado de azul el dominio(está dibujado un poco másabajo del eje para que seabien visible la escala deleje de abscisas). En este caso tenemos queDom f = (- , 2) U (2, 7] De una manera vulgar,podríamos decir que siaplastámos la gráfica sobreel eje Ox y ésta estuviesemanchada de tinta, quedaríamanchado sobre el eje justo

el dominio de definición dela función f.

2.Obtención del dominio de definición a partir de la expresión

algebraica para algunas funciones sencillas.

  Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para

algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:

FUNCIONES POLINÓMICAS:

  Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por elnúmero real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

f(x)= 3x5- 8x + 1;   D(f) = R

g(x)= 2x + 3;   D(g) = R

h(x)=½ ;   D(h) = R

FUNCIONES RACIONALES:

  Si la función es racional, esto es que su expresión es uncociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema detener que excluir del dominio las raíces del polinomiodenominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x),resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1,x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto

significa que forman el dominio de definición de la funcióntodos los números reales salvo x1, x2,..., xn. Por ejemplo:

I) Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 =+3  y   x2 = -3.         Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}

II)   Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nosencontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valoresque anulen el denominador y por lo tanto no tenemos queexcluirlos del dominio.             Por lo tanto D(f) = R.

FUNCIONES IRRACIONALES:

  Funciones irracionales son las que vienen expresadas a travésde un radical que lleve en su radicando la variableindependiente. Si el radical tiene índice impar, entonces eldominio será todo el conjunto R de los números reales porque alelegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular laraíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando.Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x quehagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto notendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamosel método para conseguir el dominio en este caso a través deunos ejemplos:

I)     Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -

1;           

                                x+1 es una expresión positiva six pertenece al intervalo [-1, + ).                                                Por lo tanto D(f) = [-1, + ).

II) Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos(x + 5)·(x - 5) >0; R nos queda dividido en tres zonas yprobamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea

positivo. 

                                                                                Por lo tanto D(g) = (- , -5] U [+5, + )

III) Resolvemos la inecuación x2- 2x - 8 > 0; yobtenemos (x + 2)·(x - 4) >0; Observad que ahora la inecuaciónse plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicandoestá en un denominador y por lo tanto no puede valer 0. ¿En que se traduce esto? Pues sencillamente en tener que excluirde las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y+4.R nos queda dividido en tres zonas de nuevo y estudiando elsigno del radicando obtenemos el dominio:                                                            D(h) = (- , -2) U (+4, + )    (observad los extremos excluidos).

ACTIVIDADES:

Obtén el dominio de definición de las funciónes que se dan representadas gráficamente en la página que encuentras aquí.

Calcula el dominio de las funciones que se dan a continuación:

Variaciones de una función. Esto es el Crecimiento-Decrecimiento de la función y Máximos ymínimos.

1.Crecimiento y Decrecimiento.

  Un determinado parásito sereproduce dividiéndose endos cada segundo. La funciónque determina el número deparásitos que hay en cadasegundo de tiempo quetranscurre es larepresentada a la derecha, ypor el sistema dereproducción del parásito esobvio que a medida que pasael tiempo hay mayor númerode ellos. Es decir, al aumentar elvalor de la variable x,también aumenta el valor dela variable y. Esto es quela función es estrictamentecreciente.

                             Si x1<x2   =>   f(x1)<f(x2)(Se mantiene entre losvalores de la variabledependiente la desigualdadque existía entre losvalores de la dependiente).

  Al aumentar la altura por encimadel nivel del mar a la que nosencontremos, la presión atmosféricava disminuyendo, además nouniformemente, sino que al principiodisminuye más rápidamente quedespués.

 Es decir, al aumentar el valor dela variable x, ahora disminuye elvalor de la variable y o imagen.Esto es que la función esestrictamente decreciente.

                                         Si x1<x2   =>   f(x1)>f(x2)(ahora, entre las imágenes, seinvierte la desigualdad que existíaentre los valores de la variableindependiente)

  Pero la mayoría de lasfunciones no van a ser siemprecreciente o siempredecreciente, sino todo locontrario, es decir, que sepresentarán como la que semuestra en la gráfica de laderecha, que tiene trozos enlos que su comportamiento es

creciente, y trozos en los quesu comportamiento esdecreciente. El estudio del crecimiento-decrecimiento de una función loharemos por intervalos deldominio, indicando en cuáles escreciente y en cuálesdecreciente.

 A partir de la gráfica se veclaro el crecimiento-decrecimiento de una maneraintuitiva, pero siempremirándola de izquierda aderecha que es como vaaumentando la variableindependiente x. Para ver el crecimiento-decrecimiento de esta funciónpulsa aquí donde podrás verlosobre la gráfica ampliada consólo pulsar en las diferenteszonas de la misma.

2.Máximos y

mínimos relativos.

 Debido precisamente a esos cambios que vemos en algunasfunciones, que en determinados puntos del eje de abscisas pasande crecer a decrecer o viceversa nos aparecen los extremosrelativos (máximos relativos y mínimos relativos).

Una función f tiene un máximo relativo enel punto x0 del eje de abscisas si lafunción pasa de ser creciente a laizquierda de x0 a ser decreciente a laderecha de x0. Es decir, f tiene en x0 unmáximo relativo si  f(x0) > f(x) paracualquier x de un entorno cercano a x0.

Sería el caso de la función representada aquí, tendría en 2 un

máximo relativo.

Una función f tiene un mínimo relativo enel punto x0 del eje de abscisas si lafunción pasa de ser decreciente a laizquierda de x0 a ser creciente a laderecha de x0. Es decir, f tiene en x0 unmínimo relativo si  f(x0) < f(x) paracualquier x de un entorno cercano a x0.

Aquí vemos que en x=2 hay unmínimo relativo, la función pasa de ser decreciente a creciente.

 Una función puede tener varios extremos relativos, de entreellos, si existe, llamaremos máximo absoluto al valor x0 quecumpla f(x0) >  f(x)  para cualquier x del dominio, y análogamentellamaremos mínimo absoluto, si existe, al valor x0 que cumplaf(x0) <  f(x)  para cualquier x del dominio.  Para ver el estudio de máximos y mínimos en la gráfica en queviste crecimiento y decrecimiento vuelve a pulsar aquí y

señalando sobre los puntos correspondientes de la gráfica ypulsando te aparecerá el dato de máximo o mínimo.

ACTIVIDADES:

1. Estudia el crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de las funciones que se dan en esta página.

2. Observa en esta gráfica que el número de viajeros en una línea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la mañana.

¿El crecimientode la funciónes igual entrelas 6 y las 7que entre las 7y las 8?

Indica lostramos en losque la funciónes decrecientey los tramos enlos que escreciente.

¿En qué tramono hayvariación en elnúmero deviajeros?¿Cómodirías que esla función enese tramo?

¿En qué momentohubo un númeromáximo de

viajeros?

3. La siguiente gráfica nos muestra el nivel de ruido quese produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad:

¿Cuándo crece el nivel de ruido?¿Cuándodecrece?

Indica los instantes de tiempo en los cualesla intensidad del ruido es máxima o mínima

Simetrías

  Observa la gráfica de laderecha.  La parte de la curva a laizquierda del eje Oy es la imagenreflejada de la que está a laderecha del eje.  Esto es que la función essimétrica respecto del eje Oy osimétrica par.

 Una función essimétrica respecto aleje Oy (eje deordenadas) si cumpleque f(x) = f(-x) paracualquier x deldominio. Esto seconoce como simetríapar de la función f. La función aquí representada esy = x2. Es obvio que x2 = (-x)2.

 En cambio ésta otra de laizquierda muestra como la ramade la izquierda del ejevertical es el reflejo de lade la derecha, pero norespecto a este eje, sinorespecto al origen decoordenadas. Ahora la función es simétricarespecto al origen, o sea,simetría impar.

 Una función essimétrica respectoal origen decoordenadas sicumple que f(x) = -f(-x) para cualquierx del dominio. Estose conoce comosimetría impar de lafunción f. Ahora la función representadaes y = x3+x;    (-x)3+(-x) = - x3-x

 Las simetrías arriba descritas no son características que se den muy a menudo en las funciones, pero algunas, por su expresión algebraica sí que las presentan.

ACTIVIDADES:

1. Analiza la simetría de estas funciones:

o y = xo y = x4

y = 2x + 1 y = x3

2. Indica si alguna de las funciones que se presentan aquí representadas son simétricas de alguno de los dos tipos.

Continuidad  Para que nos hagamos una idea, una función continua en todo sudominio sería aquella que se puede dibujar de un sólo trazo sinlevantar el lápiz del papel. Por ejemplo la dibujada acontinuación:

  Pero la mayoría de las funciones van a presentar

discontinuidades, o sea, van a ser continua sólo en algunos "trozos"

de su dominio y en los límites de éstos presentarán discontinuidades.

  Veamos algunos tipos de discontinuidades que puedenpresentarse:

·Discontinuidad de salto

finito.

    Se presentará unadiscontinuidad de salto finito enun valor x = a cuando en lagráfica observemos una separacióno salto entre dos trozos de lafunción que pueda medirse. Estoes debido a que la tendencia dela función a la izquierda delpunto x = a es diferente de laque tiene a la derecha.  En la gráfica representada a laderecha observamos lo indicado.

·Discontinuidad de salto

infinito.

  Cuando en un punto de la curvaobservamos que la tendencia a laizquierda o a la derecha (oambas) es a alejarse al infinito(más infinito o menos infinito),entonces nos encontramos con unadiscontinuidad de salto infinitoen el punto a.

·Discontinuidad evitable.

  Si nos encontramos que lacontinuidad de la gráfica seinterrumpe en un punto donde nohay imagen, o la imagen estádesplazada del resto de lagráfica, tendremos unadiscontinuidad evitable en elpunto a.  Aquí la tendencia de la funcióna la izquierda de a y a laderecha de a sí coincide, sinembargo es f(a) el valor que nocoincide con dicha tendencia oque ni siquiera existe.

ACTIVIDADES:

Estudia la continuidad en las funciones que sepresentan aquí.

Otras características de las funciones.

1.Concavidad-convexidad.

 Diremos que una función es CÓNCAVA si sugráfica queda por encima de las rectastangentes a cada uno de sus puntos.

  La situación correspondería a esta imagen de la derecha:

Diremos que una función es CONVEXA si sugráfica queda por debajo de las rectastangentes a cada uno de sus puntos.

Ahora la situación sería la dibujada aquí en esta otra gráfica:

  Pero las funciones no siempre son cóncavas o convexas, sino que tendrán tramos de una clase y de otra. Los puntos del dominio donde se produzcan esos cambios de concavidad a convexidad o viceversa serán los que llamaremos PUNTOS DE INFLEXIÓN:

2.Periodicidad.

Observa la siguiente gráfica:

  Como puedes comprobar, la curva se repite cada cierto intervalo

del eje de abscisas, a esto llamamos periodicidad.

Una función es periódica si su gráfica serepite cada cierto intervalo, llamadoperíodo, es decir, f(x) = f(x+T) = f(x+2T)=..., siendo T el valor del período.

ACTIVIDADES:

Estudia los intervalos en los que la siguiente función es cóncava o es convexa. Encuentra los puntos de inflexión:

De las siguientes funciones indica cuál es periódica y cuál no.En la que sí lo sea intenta hallar el período:

Evaluamos lo aprendido?

   Ahora puedes realizar este test que te servirá para evaluar lo aprendido:

paquiprofematem evaluación funcio HTML cas

Escribe tu Nombre y Apellidos

====>

Escribe tu dirección de correo

electrónico ====>

En una función, ¿le pueden corresponder

a la variable independiente más de un valor de

la variable dependiente?

Si No

El conjunto de valores de la variable

independiente a los que siempre le

corresponden valores de la dependiente se

llama:

Ordenada   Campo de

continuidad   Dominio

¿Representa la imagen de la

izquierda una función?

Si No

Señala entre las siguientes

características las que presenta

la función de la izquierda:

convexa decreciente

simétrica par periódica

continua

El dominio de esta función

es:

En el punto x=-3 la función

tiene una discontinuidad de

tipo:

En el punto x=1 la función

tiene una discontinuidad de

tipo:

[-6,+infinito)

salto infinito

salto infinito

En x=3 la discontinuidad es

del tipo:

Escribe la zona de

crecimiento:

Escribe la zona de

decrecimiento:

Escribe la zona de

concavidad:

Escribe la zona de convexidad:

Máximos relativos:

Mínimos relativos:

salto infinito

La función con simetría par es:

La Nº1

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