ejemplos laplace transformada z convolución

Análisis de Señales y Sistemas

Análisis de Señales

y Sistemas Trabajo Final

Profesor: Ing. Eloy Horcajo

Alumno: Alex Villarroel


Alex Villarroel 1

Trabajo Final

Problema 1 Dada la señal indicada gráficamente x(t):

A.- Hallar x(t) en forma analítica.

La señal está formada por un escalón de módulo 5 para -5 < t < 0 y una recta de pendiente negativa

entre los valores 0 y 8 del eje t.

Para hallar la función que define la recta, utilizamos la siguiente ecuación:

3 55 (t 0) 5

8 0

(t) 5 t, t/ (0 8)

x x t

x t

Con lo que la señal x(t) se puede escribir:

(t) 5[ (t 5) (t)] (5 )[( (t) (t 8)]x t

B.- Obtener g(t) = x(t-1) en forma analítica y gráficamente.

Como se puede apreciar, en este punto se aplican dos transformaciones a la variable independiente,

por un lado, se utiliza la función corrimiento en el tiempo y además se utiliza la función de escalamiento

en el tiempo. En primer lugar, se adelanta la señal en una unidad de tiempo y luego se aumenta al

doble la velocidad de respuesta temporal. Obteniéndose la siguiente señal:


Alex Villarroel 2

Analíticamente se resuelve reemplazando el valor correspondiente de t y operando de la siguiente

manera:

g(t) x(2 t 1)

5[ (2 t 1 5) (2 t 1)] (5 2 1)[( (2 t 1) (2 t 1 8)

5[ (2 t 4) (2 t 1)] (6 2 )[( (2 t 1) (2 t 9)

g(t) 5[ (2 t 4) (2 t 1)] (6 2 )[( (2 t 1) (2 t 9)]

t

t

t

Problema 2 Dada la señal discreta: x[n] 2[ (n 2) (n 10)] .

A.- Obtener la expresión gráfica de la misma.

B.- Hallar la señal g[n], siendo esta la comprimida en el tiempo en un 50% de x[n].

Para obtener g[n], se reemplaza n por 2.n en la función de la señal x[n] operando de la siguiente

manera:


Alex Villarroel 3

2 2 0 1

2 10 0 5

g[n] = x[2n] 2[ [2n - 2] - [2n -10]]

n n

n n

C.- Hallar la señal r[n], que es la x[n] adelantada en 4 eventos temporales, r[n] = x[n+h] en forma

analítica y gráfica.

En primer lugar, para obtener r[n] en forma analítica, se reemplaza el valor de n en la señal x[n] por

n+4, esto sirve para “adelantar” la señal, en caso de que se necesite un retardo en la señal se escribe

n-4.

x[n] 2[ [n 2] [n 10]]

r[n] = 2[ [n+4 - 2] - [n+4 -10]] =

r[n] = 2[ [n+2] - [n -6]]

Como es posible observar, r[n] es un pulso de valor 2 que comienza en n=-2 y concluye en n=6.

n+2 = 0 n = -2

n -6 = 0 n = 6

Para obtener r[n] de manera gráfica, basta con desplazar en 4 eventos temporales hacia la izquierda

el pulso x[n] de la siguiente manera:


Alex Villarroel 4

Problema 3

Dado el sistema indicado, cuya expresión entre la salida y(t) y la entrada x(t) es la siguiente:

Circuitox(t) y(t)

.. .

2 (t) (t) 5y(t) 5x(t)y y CI=0

A.- Si 2(t) 2 tx e , ¿cuál es y(t) en forma analítica y gráfica?

Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de ecuaciones,

sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de función de transferencia. En

general un proceso recibe una entrada x(t) y genera una salida y(t). Si llevamos estas señales al

dominio de Laplace tendremos una entrada X(S) que genera una salida Y(S). La función que

relaciona salida con entrada se denomina función de transferencia H(S).

Para resolver este problema utilizamos la transformada de Laplace.

En primer lugar, se aplica la transformada de Laplace a la ecuación que define el circuito de la

siguiente manera:

2

.. .

.. .

2

2

2

2

(t) 2

2 (t) (t) 5 y(t) 5 (t) 5 (S)

2L (t) (t) 5 y(t)

2[S Y(S) Sy(0) (0)] [SY(S) f(0)] 5Y(S) 5X(S)

2S Y(S) SY(S) 5Y(S) 5X(S)

Y(S)[2S S 5] 5X(S)

Y(S) 5(S)

X(S) 2S S 5

tx e

L y y L x X

y L y L

y

H

H(S)X(S) Y(S)


Alex Villarroel 5

Una vez hallada la H(S) para encontrar el valor de Y(S) para una señal de entrada X(S) determinada,

se deberá multiplicar a la entrada X(S) por la función de transferencia H(S), pero para ello primero

debemos transformar al dominio de Laplace a la variable x(t).

Transformamos la señal de entrada:

2 2 1x(t) 2 (S)

2

2(S 2) S 3 4X(S)

(S 2) (S 2)

tL L e XS S

S

S S

3 4X(S)

(S 2)

S

S

Ahora multiplicamos:

2

2

5 3 4(S) H(S)X(S) .

2S S 5 (S 2)

15 20(S)

(2S S 5). (S 2)

SY

S

SY

S

Para obtener la señal de salida para la entrada 2(t) 2 tx e debemos anti-transformar a Y(S) para

representarla nuevamente en el dominio temporal. Con el fin de resolver la operación recurrimos al

método de descomposición en fracciones simples que consiste en descomponer un cociente de

polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en

cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea

estrictamente mayor que el del numerador, este requisito se cumple para nuestro caso.

Consideramos:

2 2

15 20

(2S S 5). (S 2) (S 2) (2 5)

S A B CS D

S S S S

Ahora debemos obtener el valor de A, B, C y D para poder aplicar la anti-transformada de Laplace.

Multiplicamos miembro a miembro por S y calculamos el 0

lims

, lo que resulta:

2 20 0

(15 20) ( )Slim lim

(2S S 5). (S 2) (S 2) (2 5)

202

10

S s

S S AS BS CS D

S S S S

A A

Ahora para calcular el coeficiente B multiplicamos miembro a miembro por (S+2) y aplicamos 2

limS

y

operamos de la siguiente manera:


Alex Villarroel 6

2 22 2

(15 20)( 2) ( 2) ( 2) ( )(S 2)lim lim

(2S S 5). (S 2) (S 2) (2 5)S s

S S A S B S CS D

S S S S

10 5

2.11 11B B

Para calcular C y D debemos usar otro método, ya que las raíces del último polinomio son complejas

conjugadas.

Consideremos que:

2 2 2

2 2

2 2

15 20 15 20

(2S S 5). (S 2) (S 2) (2 5) (2S S 5). (S 2)

15 20 (S 2)(2 5) (2 5) (CS D) (S 2)

(2S S 5). (S 2) (S 2)(2 5)

S A B CS D S

S S S S S

S A S S BS S S S

S S S S

Como los denominadores son iguales:

2 2

3 2

15 20 (S 2)(2 5) (2 5) (CS D) (S 2)

15 20 (2A 2B C) S (5A B 2C D) S(7A 5B 2D) 10A

S A S S BS S S S

S S

Con lo que:

2A 2B C 0

5A B 2C D 0

7A 5B 2D 15

10A 20

Resolviendo:

7 54;C

11 11D

De esta manera la ecuación en fracciones parciales quedaría:

2

5 54 72 11 11 11(S)

2 2 5

S

YS S S S

Ahora operamos para poder anti-transformar por tabla:


Alex Villarroel 7

2

2

2

2

54 71 5 1 11 11(S) 2

511 22( )

2 2

54 71 5 1 11 11(S) 2

1 1 511 22( )

2 16 16 2

27 71 5 1 11 22(S) 2

1 1 511 2( )

4 16 2

27 7 11( . )

1 5 1 11 22 27(S) 21 3911 2

( )4 16

7(

1 5 1 27(S) 2

11 2 11

S

YSS S

S

S

YSS S

S

S

YS S

S

S

YS S

S

S

YS S

2

2

2

2

2

)54

1 39( )

4 16

7 1 1( )

1 5 1 27 54 4 4(S) 21 3911 2 11

( )4 16

1 7 1( )

1 5 1 27 4 54 4(S) 21 3911 2 11

( )4 16

1 13( )

1 5 1 27 4 108(S) 21 3911 2 11

( )4 16

1( )

1 5 1 27 274(S) 21 3911 2 11 11

( )4 16

S

S

YS S

S

S

YS S

S

S

YS S

S

S

YS S

S

2

2 2

2 2

13

1081 39

( )4 16

391( )

1 5 1 27 13 1 164(S) 2 .1 39 1 3911 2 11 44 39( ) ( )4 16 4 1616

391( )

1 5 1 27 164(S) 2 0,191 39 1 3911 2 11

( ) ( )4 16 4 16

S

S

YS S

S S

S

YS S

S S


Alex Villarroel 8

1

2 2

2 0.25 0.25

391( )

1 5 1 27 164(t) L 2 0,191 39 1 3911 2 11

( ) ( )4 16 4 16

5 27y(t) 2 .cos(1,56 t) 0,19 . (1,56 )

11 11

t t t

S

yS S

S S

e e e sen t

Luego se cargan las funciones y(t) y x(t) respectivamente en Matlab, obteniéndose la siguiente

gráfica:

B.- Si x(t) 4 sen(2t)te , ¿cuál es y(t) en forma analítica y gráfica?

Para resolver se aplica el mismo procedimiento que en el apartado A, operando en el dominio de

Laplace con la función de transferencia H(S), para ello comenzamos por transformar la señal de

entrada x(t) como sigue:

2 2

2

x(t) 4 sen(2 t)

2 8x(t) 4 sen(2 t) 4

( 1) 4 ( 1) 4

8(S)

( 1) 4

t

t

e

L L eS S

XS

Luego obtenemos la respuesta en dominio de la transformada de Laplace:

2 2

2 2 2 2

2 2

5 8(S) H(S)X(S) .

2S S 5 (S 1) 4

40 40

(2S S 5)((S 1) 4) (2S S 5)(S 2 5)

40(S)

(2S S 5)(S 2 5)

Y

S

YS


Alex Villarroel 9

Aquí nuevamente vamos a aplicar el método de descomposición en fracciones simples para poder

pasar al dominio temporal.

2 2

2 2 2 2

2 2

3 2

40(S)

(2S S 5)(S 2 5)

40

(2S S 5)(S 2 5) (2S S 5) (S 2 5)

( )(S 2 5) ( )(2S S 5) 40

(A 2C) S (2A B C 2D) S(5A 2B 5C D) (5B 5D) 40

YS

AS B CS B

S S

AS B S CS B

S

Luego encuentro el sistema de ecuaciones:

A 2C 0

2A B C 2D 0

5A 2B 5C D 0

5B 5D 40

Resolviendo:

6

7

3

1

A

B

C

D

Con lo que Y(S) queda definido así:

2 2

6 7 3 1(S)

(2S S 5) (S 2 5)

S SY

S

Luego se opera:

22

22

22

7 16( ) 3( )

6 3(S)1 1 5 (S 2 1 1 5)

2( )2 16 16 2

1 1 7 1( ) ( 1 1 )

4 4 6 33 31 39 (S 1) 4)

( )4 16

21 17( 1)( )

34 123 31 39 (S 1) 4)

( )4 16

S S

YS S

S

S S

S

SS

S

2 22 2

21 17( )

( 1) 34 123 3 3 31 39 1 39 (S 1) 4 (S 1) 4

( ) ( )4 16 4 16

SS

S S


Alex Villarroel 10

2 22 2

391( )

17 ( 1) 2164(S) 3 31 39 1 39 (S 1) 4 (S 1) 439( ) ( )44 16 4 1616

SS

Y

S S

Ahora aplicamos la Transformada inversa de Laplace:

1

0.25 0.25

0.25

(t) L (S)

3 cos(1.56 t) 2.72e (1.56 t) 3e cos(2 t) e (2 t)

(t) (2.72 (1.56 t) cos(1.56 t)) e (3cos(2 t) (2 t))

t t t t

t t

y Y

e sen sen

y e sen sen

Luego se carga la función y(t) en Matlab, obteniéndose la siguiente gráfica:

Problema 4

Un sistema discreto tiene por respuesta impulsiva discreta a h[n]= […,0,-1,2,5, …]

h[n]x[n] y[n]

A.- Si: x[n]= […, -1, 3, …]; ¿Cuál es la salida y[n] por convolución directa gráfica?


Alex Villarroel 11

Para resolver este punto se realiza la representación de un sistema discreto mediante su respuesta al

impulso, para ello aplicaremos la técnica de convolución discreta.

Convolución discreta

Habíamos visto que una forma de representar un sistema es a través de su función de transferencia;

existe otra forma de caracterizar un sistema, en el dominio del tiempo y es mediante su respuesta al

impulso.

En primer lugar, se debe representar a x[n] en como un tren de impulsos de la siguiente manera:

[n] [n k]K

K

K

x a

Con lo que: [n] 1 [n] 3 [n 1]x

Dado que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, se define a la salida y[n] de la siguiente

manera:

y[n] [n] [n k] [n k] [n k]

[n k] [k] [n k]

[n] [k] [n k]

K K K

K K K

K K K

K K

K

K K

K

K

x a a a

a h x h

y x h

Esto se conoce como convolución discreta o suma de convolución entre la entrada (definida por los

ak) y la respuesta impulsiva h[n].

La representación de x[n] será:


Alex Villarroel 12

Mientras que la de h[n] es:

El primer paso consiste en reemplazar la variable n por k (x[n] →x[k]) y (h[n]→h[k]) y se refleja h[k]

es decir h[-k]

Luego se debe desplazar h[-k] n unidades, es decir, h[n-k], consiguiendo h[n-k]. Para evitar

representaciones innecesarias, primero se deben buscar los intervalos para los cuales x[k].h[n-k] = 0,

para hallar el comienzo y fin de la convolución.

Para determinar estos valores se grafica dejando x[n] en su lugar y dibujando h[n-k] hacia la

izquierda y derecha de x[n].

Como se puede observar, desplazando h[-k] en -1 el producto es nulo y a así continua hacia la

izquierda, si se desplaza h[-k] hacia la derecha el producto será nulo a partir de n= 4. Luego se

encuentra que es necesario graficar desde n= 0 hasta n=3.

Luego se deben multiplicar x[k].h[n-k], solo desplazando h[n-k] hacia la derecha. En este caso desde

n= 0 hasta n = 3


Alex Villarroel 13

Resolviendo:

Para n=0:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [0]= (-1).1= 1

Para n=1:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [1]= (-2). (-3) = -5


Alex Villarroel 14

Para n= 2:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [2]= 6-5= 1

Para n= 3:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [3]= 15

Con lo que y[n] queda definido como:

y[n]= […1, -5, 1, 15, …]

B.- Si x[n]= […, -1, 2, 0, -3, …]; ¿Cuál es y[n] gráficamente por convolución discreta gráfica?

Para resolver este problema aplicamos la misma metodología que en el anterior, se puede observar

que en este caso será necesario modificar el intervalo de desplazamiento de h[n-k], en este caso:

n: 1 4n

Hacemos el análisis gráfico nuevamente:


Alex Villarroel 15


Alex Villarroel 16

Como resultado de la convolución se obtiene y[n]:

Resolviendo:

Para n= -1:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [-1]= 1

Para n=0:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [0]= -4

Para n=1:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [1]= 1

Para n= 2:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [2]= 13


Alex Villarroel 17

Para n= 3:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [3]= -6

Para n=4:

[n] [k] [n k]K

K

y x h

= y [4]= -15

Con lo que y[n] queda definido como:

y[n]= […1, -4, 1, 13, -15, …]

Luego se cargaron los datos en Matlab obteniéndose la siguiente representación gráfica:

Problema 5

Un filtro digital tiene la siguiente formulación en ecuaciones en diferencia:

2 [n 2] 3 [n 1] 5[n] 2 [n]y y x

A.- ¿Cuál es la trasferencia del filtro en trasformada Z?

¿(Z)

G(Z)(Z)

Y

X ?

La ecuación en diferencias se podría representar por medio de un diagrama de bloques usando el

concepto de transformada Z, de la siguiente manera:


Alex Villarroel 18

2

2

3

1

5

2Z

1Z

x[n] [n]y

Así como en los sistemas de tiempo continuo Lineales e invariantes en el tiempo (LITC), para hallar

la función de transferencia G(Z) primero aplicamos transformada Z a la ecuación en diferencias para

poder pasar del campo del tiempo discreto (Real) al campo complejo Z y así resolver

algebraicamente.

2 1

2 1

2 [n 2] 3 [n 1] 5 [n] 2 [n]

2 [n] 3 [n] 5 [n] 2 [n]

2 (Z) 3 (Z) 5 (Z) 2 (Z)

y y y x

Z y Z y y x

Z Y Z Y Y X

Ahora se opera para hallar G(Z):

2 1

2 1

2 1

(Z) 2 3 5 2 (Z)

(Z) 2 (Z)G(Z)

(Z) 2 3 5 (Z)

2(Z)

2 3 5

Y Z Z X

Y Y

X Z Z X

GZ Z

Se reescribe la G(Z) para ver los polos y ceros de la función de transferencia:

2 1

2

2 2

2

2

2(Z)

2 3 5

2 2(Z)

2 3 2 3 55

2(Z)

2 3 5

GZ Z

GZ Z

Z Z Z

ZG

Z Z

Para verificar si los polos y ceros se encuentran en la región de convergencia, se utilizaron los

siguientes comandos de MatLab:

>>num =[2 0 0];

>> den=[5 3 2];

>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)

z =

0

0


Alex Villarroel 19

p =

-0.3000 + 0.5568i

-0.3000 - 0.5568i

k = 0.4000

>> zplane(z,p);

B.- Halle la respuesta en frecuencia, módulo y fase del filtro indicado. Halle la forma analítica y

gráfica.

Para hallar en forma analítica la respuesta en frecuencia de la función de transferencia G(Z) se

reemplaza la variable Z por je , esto permitirá luego hacer un análisis en módulo y fase de sistemas

en tiempo discreto y así evaluar el comportamiento frecuencial del filtro digital.

2

2

2 2

22

2(Z)

2 3 5

2(Z) 0.4

2 3 0.6 0.45( )

5 5

ZG

Z Z

Z ZG

Z ZZ Z

Luego se reemplaza Z por je :

2

2( ) 0.4

0.6 0.4

j

j j

eG j

e e

Aplicando la relación de Euler:

2 cos(2 ) sen(2 )

cos( ) sen( )

j

j

e j

e j

Reemplazamos en ( )G j :

cos(2 ) sen(2 )( ) 0.4

cos(2 ) sen(2 ) 0.6cos( ) sen( ) 0.4

jG j

j j


Alex Villarroel 20

Si consideramos:

cos(2 ) sen(2 )( ) 0.4

cos(2 ) 0.6cos( ) 0.4 [sen(2 ) sen( )]

jG j

j

A B

C D

2 2

(AC BD) (BC AD)( ) 0.4 0.4 . 0.4

A jB A jB C jD jG j

C jD C jD C jD C D

Reemplazando nuevamente:

2 2

cos(2 )[cos(2 ) 0.6cos( ) 0.4] sen(2 )[sen(2 ) sen( )] (sen(2 )[cos(2 ) 0.6cos( ) 0.4] cos(2 )[sen(2 ) sen( )])( ) 0.4

[cos(2 ) 0.6cos( ) 0.4] [sen(2 ) 0.6sen( )]

jG j

Aplicando propiedad distributiva e identidades trigonométricas, resulta:

2 2

[1 0.6cos( ) 0.4cos(2 )] [0.6sen( ) 0.4 (2 )]( ) 0.4

[cos(2 ) 0.6cos( ) 0.4] [sen(2 ) 0.6sen( )]

j senG j

Ahora se calcula el módulo y la fase de la función de trasferencia:

2 2

22 2

[1 0.6cos( ) 0.4cos(2 )] [0.6sen( ) 0.4 (2 )]( ) 0.4

[cos(2 ) 0.6cos( ) 0.4] [sen(2 ) 0.6sen( )]

senG j

1 0.6sen( ) 0.4 (2 )( )

1 0.6cos( ) 0.4cos(2 )

sentg

Luego se carga la función de transferencia a Matlab y se utiliza la herramienta para visualización de

filtros digitales (fvtool).

>> den=[5 3 2];

>> num=[2 0 0];

>> fvtool(num,den)

Lo que nos da la opción de visualizar diagramas de respuesta de fase, módulo, a la función impulso,

escalón unitario, diagrama de polos y ceros, etc.

A continuación, el diagrama de magnitud y fase, la situación que se puede apreciar desde 0 a 2π se

va a repetir de manera cíclica, es decir, desde 2π a 4π la situación será la misma.


Alex Villarroel 21

C.- El filtro, ¿De qué orden es?

Analizando el ploteo en el mapa Z de polos y ceros se observa que existe un par de polos complejos

conjugados en 0.3 0.557Z j y un cero doble en el origen de coordenadas, por lo que podemos

concluir que el sistema es de segundo orden.

D.- Es: ¿Pasa banda, pasa bajo o pasa alto?

Por tener un polo conjugado en el denominador, se puede concluir rápidamente en que es un típico

filtro pasa banda.

Esto se comprueba en las gráficas obtenidas en MatLab.


Alex Villarroel 22

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