cours de: niveau : 2 ième année master commande electrique techniques de commande

Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université Echahid Hamma Lakhdar – El Oued

Faculté de la Technologie

Département de Génie Electrique

Cours de:

Niveau : 2ième Année Master Commande Electrique

Préparé et enseigné par : Dr. BEKAKRA Youcef

Maître de Conférences -B-

Techniques de Commande

Sommaire

Cours : Techniques de Commande 2 Dr. BEKAKRA Youcef

Sommaire

Chapitre I : Régulateurs Classiques

I.1. Introduction ..................................................................................................................... 5

I.1.1 Nécessité de Correction dans les Systèmes Asservis ......................................... 5

1. Stabilité ...................................................................................................................... 5

2. Précision .................................................................................................................... 5

I.1.2. Différence Entre Asservir et Réguler ..................................................................... 7

I.2. Organisation d’un Système en Boucle Fermée .......................................................... 7

I.3 Réponse d’un Système Asservi..................................................................................... 8

a) La précision ................................................................................................................ 8

b) La rapidité ................................................................................................................... 8

c) La stabilité .................................................................................................................. 9

I.4 Qualités Demandées à un Système ........................................................................... 10

Stabilité ..................................................................................................................... 10

Poursuite................................................................................................................... 10

Régulation ................................................................................................................ 10

Commande ............................................................................................................... 11

I.5 Configurations de Correction ....................................................................................... 11

I.6 Correcteurs de Base ..................................................................................................... 12

I.6.1 Correcteur à Action Proportionnelle (P) ............................................................... 12

I.6.1.1 Principe ............................................................................................................. 12

I.6.1.2 Effet................................................................................................................... 14

I.6.2 Correcteur à Action Intégrale (I) ........................................................................... 14

I.6.2.1 Principe ............................................................................................................. 14

Sommaire


I.6.2.2 Effet................................................................................................................... 15

I.6.3 Correcteur à Actions Proportionnelle et Intégrale (PI) ........................................ 16

I.6.3.1 Principe ............................................................................................................. 16

I.6.3.2 Effet................................................................................................................... 17

I.6.4 Correcteur à Action Dérivée (D) ........................................................................... 18

I.6.4.1 Principe ............................................................................................................. 18

I.6.4.2 Effet................................................................................................................... 19

I.6.5 Correcteur à Actions Proportionnelle et Dérivée (PD) ........................................ 19

I.6.5.1 Principe ............................................................................................................. 19

I.6.5.2 Effet................................................................................................................... 21

I.6.6 Correcteur à Actions Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID)...................... 21

I.6.6.1 Principe ............................................................................................................. 21

I.6.6.2 Effet................................................................................................................... 22

Chapitre II : Régulateur à Logique Floue

II.1 Introduction ................................................................................................................... 25

II.2 Principe de la Logique Floue ...................................................................................... 26

II.3 Opérateurs Flous ......................................................................................................... 27

II.4 La Commande Floue ................................................................................................... 28

II.5 Réglage par Logique Floue......................................................................................... 29

II.6 Configuration Interne d’un Régulateur à Logique Floue .......................................... 29

II.6.1 Fuzzification ........................................................................................................... 30

II.6.2 Inférence Floue ..................................................................................................... 30

II.6.3 Défuzzification ....................................................................................................... 30

II.7 Avantages et Inconvénients du Réglage par Logique Floue ................................... 31

II.7.1 Avantages .............................................................................................................. 31

II.7.2 Inconvénients ........................................................................................................ 31

Sommaire


II.8. Exemple d’Application de la Logique Floue (Régulation de la Température) sous

Matlab/Simulink .................................................................................................................. 31

1er cas : Régulation avec un correcteur PID ................................................................ 32

2ème cas : Régulation avec un correcteur flou .............................................................. 33

Chapitre III : Régulateur à Structure Variable (Mode Glissant)

III.1 Introduction .................................................................................................................. 36

III.2 Principe de la Commande par Mode Glissant ......................................................... 36

III.3 Conception de l’Algorithme de Commande par Mode Glissant ............................. 37

III.3.1 Choix de la Surface de Glissement .................................................................... 37

III.3.2 Définition de la Condition de Convergence ....................................................... 37

III.3.2.1 La fonction Discrète de Commutation ......................................................... 38

III.3.2.2 La fonction de Lyapunov .............................................................................. 38

III.3.3 Détermination de la Loi de Commande ............................................................. 38

Exercices

Exercice 01 (Correcteur P pour système du premier ordre) ....................................... 41

Exercice 02 (Correcteur PI pour système du premier ordre)...................................... 41

Exercice 03 (Correcteur P d’un système du second ordre) ........................................ 42

Exercice 04 ...................................................................................................................... 42

Exercice 05 ...................................................................................................................... 43

Références ................................................................................................................... 45

Chapitre I Régulateurs Classiques


Chapitre I : Régulateurs Classiques

I.1. Introduction :

I.1.1 Nécessité de Correction dans les Systèmes Asservis :

Pour satisfaire aux spécifications de stabilité et de précision, on est amené à formuler

des conditions sur la Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) :

1. Stabilité :

Le degré de stabilité est défini par :

La marge de gain : la stabilité est d’autant meilleure que :

– le gain de la FTBO est plus faible,

– donc, que la bande passante en BO est plus faible.

La marge de phase : la stabilité est d’autant meilleure que :

– le déphasage de la FTBO est plus faible.

2. Précision :

Son étude se décompose en deux parties :

Précision statique : l’annulation de l’erreur en régime permanent nécessite la

présence, dans la FTBO, d’une ou plusieurs intégrations selon l’entrée

canonique imposée.

Précision dynamique : elle est d'autant meilleure que le gain de la FTBO est plus

élevé, c'est-à-dire que la bande passante est plus large.

Pour simplifier à l'extrême, on peut retenir, en résumé que la précision et la stabilité

sont quantifiées, dans le diagramme de Bode de la FTBO, de la manière suivante

(Figure I.1) :



Figure I.1 : Quantification de la stabilité et de la précision sur le diagramme de Bode

Il devient clair que :

pour améliorer la précision, il faut pouvoir augmenter le gain de la FTBO.

la stabilité diminue si ce même gain devient trop élevé.

Il semble donc difficile d'obtenir un système, à la fois, précis (grand gain) et stable

(faible gain). Ce premier dilemme stabilité–précision impose donc l'emploi de systèmes

compensateurs, correcteurs, ou encore régulateurs dont le rôle sera de relever le gain

dans une certaine zone de fréquence et de la diminuer ailleurs.

Le correcteur ou régulateur va permettre de satisfaire les contraintes suivantes :

trouver un compromis entre la stabilité et la précision,

si besoin, rendre stable en boucle fermée un système qui serait instable en

boucle ouverte,

si besoin, et c'est en général le cas, introduire un intégrateur dans la boucle pour

obtenir une erreur statique nulle (ε = 0).

Mais, il existe d'autres incompatibilités qui nécessitent également l'emploi de

correcteurs :

Un bon asservissement doit être insensible aux perturbations et, en même temps, il doit

répondre rapidement aux variations des diverses grandeurs d'entrée. Ces deux

conditions sont incompatibles puisque :



la réponse rapide nécessite une large bande passante,

tandis que l'insensibilité aux perturbations exige une bande étroite.

Le rôle des correcteurs, qui peuvent être électriques, mécaniques, ou hydrauliques, est

donc de déformer le diagramme asymptotique ou la courbe de Nyquist pour leur donner

des marges de gain et de phase capables d'assurer la stabilité tout en conservant aux

basses fréquences un gain suffisamment grand pour que la précision soit bonne.

I.1.2. Différence Entre Asservir et Réguler :

Un système en boucle fermée peut remplir la fonction :

Asservissement : poursuite par la sortie d'une consigne variable dans le temps,

Régulation : la consigne est constante, le système compense les perturbations.

I.2. Organisation d’un Système en Boucle Fermée :

Dans un système en boucle fermée, on trouve les éléments suivants :

un capteur pour mesurer la sortie,

un comparateur qui élabore l’erreur entre la consigne et la mesure de la sortie,

un correcteur qui élabore la commande en fonction du signal d’erreur,

un organe de commande qui module le signal d’entrée du système.

Figure I.2 : Système en boucle fermée



I.3 Réponse d’un Système Asservi :

Un système asservi est caractérisé par :

a) La précision :

C’est la capacité du système à se rapprocher le plus possible de la valeur de

consigne.

Figure I.3 : Réponse d’un système asservi

1 : consigne

2 : système peu précis.

3 : système précis.

E2 : erreur statique liée à la courbe 2.

E3 : erreur statique liée à la courbe 3.

L’erreur s’exprime en pourcentage de la valeur de consigne.

b) La rapidité :

C’est la capacité du système à atteindre dans les meilleurs délais son régime stable. La

rapidité d’un système est définie par son temps de réponse tr (plus tr est petit plus le

système est dit rapide).

Dans l’exemple suivant, la courbe noire (1) représente la consigne et la bleue (2)

représente la réponse du système. La valeur finale du système est nommée vf.




1 : consigne.

2 : valeur finale du système.

3 : droite à 95% de la valeur finale.

4 : droite à 105% de la valeur finale.

Pour déterminer le temps de réponse d’un système :

On trace une droite à 95% de la valeur finale vf (3);

On trace ensuite une droite à 105% de la valeur finale vf (4).

Le temps de réponse à 5 % correspond à la différence entre le temps t2 (temps à partir

duquel la courbe entre dans l’intervalle 95% /105% sans en sortir) et le temps t1 (temps

à partir duquel la consigne est active).

c) La stabilité :

Pour une consigne constante la sortie doit tendre vers une constante.





I.4 Qualités Demandées à un Système :

Stabilité :

C'est la première qualité demandée à un système. Pour pouvoir en effectuer la

correction, il faut absolument respecter cette condition. Cela implique que tous les pôles

de la fonction de transfert soient à partie réelle négative. Dans le cas où le modèle du

système considéré est instable, le correcteur aura la charge de « ramener » les pôles

instables du côté stable (demi-plan complexe gauche) et donc de stabiliser le système.

Poursuite :

Le problème de poursuite consiste à ce que la sortie du système « suive au mieux »

son entrée (en général, la consigne). Le système doit être :

Précis : en régime permanent, la sortie doit atteindre « au plus près » le niveau

demandé par la consigne;

Rapide : la sortie doit atteindre la valeur de consigne le plus rapidement

possible. Le temps de réponse doit être le plus petit possible. La situation des

pôles dans le plan complexe en est responsable.

Régulation :



Le système est soumis à une (ou des) perturbation(s). Malgré celle-ci, il doit être :

Précis : la sortie doit atteindre « au plus près » le niveau de l'entrée même si

une perturbation vient tenter de l'en écarter ;

Rapide : il doit effacer l'influence de la perturbation. La sortie doit « revenir » le

plus vite possible au niveau souhaité. .

Commande :

La commande appliquée au système doit être limitée (notamment en amplitude) afin

d'éviter un mauvais fonctionnement : au mieux l'actionneur sature et la commande

appliquée au système est maximale (dans ce cas, il y a plus de régulation), au pire on

risque de détruire l'actionneur ou le système.

Ces qualités s'évaluent en général en appliquant au système une entrée en forme

d'échelon. On verra dans la pratique que ces exigences de performances ne peuvent

être satisfaites de manière idéale. On adoptera alors un compromis en fonction des

priorités du cahier des charges.

I.5 Configurations de Correction :

En général, la dynamique d'un processus commandé peut être représentée par le

schéma fonctionnel de la figure I.7.

Figure I.7 : Processus commandé



L'objectif est que la variable commandée, représentée par la sortie s(t), ait un

comportement désiré sur un intervalle de temps donné. Il s'agit alors de déterminer le

signal de commande u(t) qui, dans cet intervalle, garantisse la sortie s(t) désirée.

On peut réaliser la compensation en insérant, dans une chaîne, un correcteur

directement en cascade avec les autres éléments (Figure I.8).

Figure I.8 : Correction en cascade ou série

I.6 Correcteurs de Base :

Un correcteur est un algorithme de calcul qui délivre un signal de commande à partir de

la différence entre la consigne et la mesure.

Les correcteurs industriels les plus utilisés peuvent être classés, selon leurs actions de

correction, de la manière suivante :

Correcteur à action proportionnelle (P),

Correcteur à action intégrale (I),

Correcteur à actions proportionnelle et intégrale (PI),

Correcteur à action dérivée (D),

Correcteur à actions proportionnelle et dérivée (PD),

Correcteur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée (PID).

I.6.1 Correcteur à Action Proportionnelle (P) :

I.6.1.1 Principe :



Le correcteur à action proportionnelle, est le correcteur le plus simple, puisque défini

par un simple gain K.

La relation entre la sortie du correcteur (ou signal de commande) u(t) et le signal d'entrée du

correcteur (signal d'erreur) ε(t) est :

)(.)( tKtu p

Sa fonction de transfert est donc :

pKppUpC )()()(

Où pK : gain proportionnel.

Quelques soient le mécanisme et la source d'énergie utilisés, le correcteur

proportionnel est essentiellement un amplificateur à gain variable. Son schéma

fonctionnel est celui de la figure I.9.

Figure I.9 : Correction P

La figure I.10 donne la réponse indicielle du correcteur P.

Figure I.10 : Entrée et sortie du correcteur P.



I.6.1.2 Effet :

L’action proportionnelle P crée un signal de commande u(t) proportionnel au signal

d’erreur ε(t). Elle agit donc principalement sur le gain du système asservi et permet

d’améliorer notablement la précision.

L’action proportionnelle :

entraîne une augmentation du gain, d’où une diminution de l’erreur statique

(amélioration de la précision), mais

augmente la bande passante du système, ce qui

améliore la rapidité du système et,

augmente l’instabilité du système.

Le correcteur proportionnel P n'est généralement pas utilisé seul. On verra que tout

correcteur possède au moins l’action proportionnelle.

On constate que l'augmentation de Kp, entraîne :

• une amélioration de l’erreur statique,

• une décroissance du temps de montée,

• une faible amélioration du temps d’établissement,

• mais également une diminution de la marge de phase et une augmentation du

dépassement(augmentation de l’instabilité du système).

I.6.2 Correcteur à Action Intégrale (I) :

I.6.2.1 Principe :

La relation entre la sortie u(t) et le signal d'erreur ε(t) est :

)(.)( tKdt

tdui

Où encore : t

i dttKtu0

)(.)(


pTpK

ppUpC

i

i 1)()()(



Où :

iK : gain intégral.

iT : constante de temps d’intégration.

Son schéma fonctionnel est celui de la figure I.11.

Figure I.11 : Correction I

La figure I.12 donne la réponse indicielle du correcteur Intégrale.

Figure I.12 : Entrée et sortie du correcteur I

I.6.2.2 Effet :

L’intérêt principal de ce correcteur est d’ajouter dans la chaîne de commande une

intégration. Nous savons que la présence d’une intégration dans la FTBO augmente la

classe du système et réduit ou annule, selon le type d'entrée, l'erreur statique du

système.

L’action intégrale pure :



Améliore la précision en réduisant ou annulant l’erreur statique, mais

Introduit un déphasage de –90° qui risque de déstabiliser le système (diminution

de la marge de phase).

Le correcteur à action exclusivement Intégrale n’est pratiquement jamais utilisé, en

raison de sa lenteur et de son effet déstabilisant. Il est, en général, associé au

correcteur Proportionnel.

I.6.3 Correcteur à Actions Proportionnelle et Intégrale (PI) :

I.6.3.1 Principe :


t

ip dttKtKtu0

)(.)(.)(


pTK

pKKK

pKK

ppUpC

np

p

ip

ip

111)()()(

Où :

pK : gain proportionnel.


ii K

T 1 : constante de temps d’intégration.

ipi

pn TK

KK

T . : dosage de corrélation d’intégrale.


Figure I.13 : Correction PI



La figure I.14 donne la réponse indicielle du correcteur PI.

Figure I.14 : Entrée et sortie du correcteur PI

I.6.3.2 Effet :

La réponse indicielle montre qu’un correcteur PI assure une transmission instantanée

du signal d’erreur , suivi d’une intégration de ce signal.

Ce correcteur sera utilisé chaque fois qu’une erreur permanente doit être

annulée ou minimisée, c'est à dire une amélioration de la précision du système.

En effet, il introduit une augmentation du gain global du système aux basses

fréquences.

Par ailleurs, le correcteur PI a un effet déstabilisant en raison du pôle à l’origine

(déphasage supplémentaire entre 0 et –90°). Mais, Le zéro supplémentaire

introduit tend à minimiser cette instabilité.

Il est recommandé de placer le zérop

i

KK

du correcteur aux basses fréquences

de sorte que le déphasage supplémentaire introduit par le correcteur n'affecte

pas beaucoup le déphasage global du système corrigé. Cependant, s'il est très

proche de l'origine, son effet sera compensé par le pôle à l'origine.

pK sera choisi de manière à modifier, éventuellement, la fréquence de coupure

du système corrigé et donc sa marge de phase.



Très souvent, le zéro p

i

KK

est choisi de manière à compenser la constante de

temps dominante du système initial de sorte que la boucle fermée gagne en

rapidité.

pK et iK sont tous deux réglables. iK ajuste l'action intégrale, tandis que pK affecte à la fois les actions intégrale et proportionnelle.

I.6.4 Correcteur à Action Dérivée (D) :

I.6.4.1 Principe :


dttdKtu d)(.)(


pTpKppUpC dd ..)()()(

Où :

dK : gain dérivé,

dT : constante de temps de dérivation.


Figure I.15 : Correction à action dérivée pure (D)

La figure I.16 donne les réponses à un échelon et à une rampe du correcteur D.



Figure I.16 : Entrée et sortie du correcteur à action dérivée (D)

I.6.4.2 Effet :

La réponse indicielle montre qu’un correcteur à action exclusivement dérivée ne permet

pas la transmission d’un signal L’action dérivée ne peut donc être utilisée seule. On fait

appel à elle lorsque le signal de commande u doit être particulièrement efficace. En

effet, ce correcteur permet de faire intervenir la dérivée du signal d’erreur; il sera

d’autant plus actif que la variation de ε(t) est rapide.

L’action dérivée pure :

améliore la stabilité du système par l'introduction d'un déphasage

supplémentaire de + 90° (augmentation de la marge de phase),

mais fait diminuer la précision du système,

et amplifie les bruits de hautes fréquences.

Le correcteur à action exclusivement dérivée n’est pratiquement jamais utilisé. Il est en

général associé au correcteur Proportionnel.

I.6.5 Correcteur à Actions Proportionnelle et Dérivée (PD) :

I.6.5.1 Principe :




dttdKtKtu dp)(.)(.)(


pTKpKKKpKK

ppUpC dp

p

dpdp

1.1.

)()()(

Où :


dK : gain dérivé,

dT : constante de temps de dérivation.


Figure I.17 : Correction PD

La figure I.18 donne les réponses à un échelon et à une rampe.

Figure I.18 : Entrée et sortie du correcteur PD



I.6.5.2 Effet :

Amélioration de l’amortissement et réduction du dépassement.

Réduction du temps de montée et du temps d’établissement (temps de réponse).

Augmentation de la bande passante.

Amélioration de la marge de phase et de la marge de gain.

Possibilité d’accentuation des bruits aux hautes fréquences.

I.6.6 Correcteur à Actions Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID) :

I.6.6.1 Principe :

Le correcteur PID combine les actions des 3 correcteurs P, I et D.


dttdKdttKtKtu d

t

ip)(.)(.)(.)(

0


pTpTK

pKKp

KKKpK

pKK

ppUpC

idp

p

i

p

dpd

ip

1.11.1.)()()(

Où :



dK : gain dérivé,

p

dd K

KT : constante de temps de dérivation.

i

pi K

KT : constante de temps d’intégration.

Son schéma fonctionnel est celui de la fig. I.19.



Figure I.19 : Correction à actions proportionnelle, intégrale et dérivée (PID)

La figure I.20 donne les réponses à un échelon et à une rampe.

Figure I.20 : Entrée et sortie du correcteur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée (PID)

I.6.6.2 Effet :

Les effets de chaque correcteur ( pK , iK et dK ) sur la réponse en boucle fermée du

système sont regroupés sur le tableau I.1 :



Tableau I.1 : Effets des correcteurs P, I, et D sur les régimes statique et dynamique du système en boucle fermée.

Il est à noter que ces corrélations ne sont pas exactement précises, car Kp, Ki et Kd

sont dépendants les uns des autres. En fait, le changement de l'une de ces variables

peut modifier l'effet de l'autre. Le tableau précédent n'est à utiliser que comme

référence lorsqu'il s'agit de déterminer les valeurs de pK , iK et dK .

Il existe des méthodes analytiques permettant de calculer les composantes du

correcteur PID, mais elles sont assez complexes et sont peu utilisées. Des méthodes

empiriques existent et permettent de faciliter amplement la détermination du correcteurs

PID (méthode de Ziegler-Nichols, méthode de Chien-Hrones-Reswick,....).

Des méthodes pratiques de réglages permettent d'obtenir de bons résultats. Elles sont

basées sur la connaissance des effets que procure chaque correcteur sur la réponse du

système bouclé (tableau I.1). Par ailleurs, ces méthodes font beaucoup intervenir

l'expérience de l'opérateur dans ce domaine. Il n'y a pas de réglage unique permettant

d'atteindre le cahier des charges, mais il est nécessaire de suivre quelques règles

d'ajustement de ces correcteurs :

1) Obtenir la réponse en boucle ouverte et déterminer ce qui est nécessaire

d'améliorer.

2) Rajouter un correcteur P pour améliorer la rapidité du système : modifier Kp pour

obtenir le temps de montée voulu.

3) Rajouter un correcteur I pour éliminer l'erreur statique : modifier Ki pour

améliorer les performances en régime statique.

4) Rajouter un correcteur D pour réduire les dépassements et améliorer le temps

d'établissement : modifier dK pour améliorer les caractéristiques en régime

transitoire.



5) Ajuster pK , iK et dK jusqu'à obtenir les performances voulues.

Finalement, il faut se rappeler qu'il n'est pas obligatoire d'insérer les 3 correcteurs dans

un même système si cela n'est pas nécessaire. Si un correcteur PI donne des

performances satisfaisantes pour la sortie, il n'est alors pas nécessaire de rajouter un

correcteur D au système. Construire le correcteur aussi simplement que possible.

Chapitre II Régulateur à Logique Floue


Chapitre II : Régulateur à Logique Floue

II.1 Introduction :

La logique floue (en anglais : Fuzzy Logic) est une extension de la logique booléenne

créée par le professeur Lotfi Zadeh en 1965 en se basant sur sa théorie mathématique

des ensembles flous, qui est une généralisation de la théorie des ensembles

classiques. En introduisant la notion de degré dans la vérification d'une condition,

permettant ainsi à une condition d’être dans un autre état que vrai ou faux, la logique

floue confère une flexibilité très appréciable aux raisonnements qui l'utilisent, ce qui

rend possible la prise en compte des imprécisions et des incertitudes.

Un des intérêts de la logique floue pour formaliser le raisonnement humain est que les

règles sont énoncées en langage naturel.

Voici par exemple quelques règles de conduite qu'un conducteur suit, en supposant

qu'il tienne à son permis (tableau II.1) :



Tableau II.1 Exemple de quelques règles de conduite

II.2 Principe de la Logique Floue :

Le principe du réglage par logique floue s’approche de la démarche humaine dans

le sens que les variables traitées ne sont pas des variables logiques (au sens de la

logique binaire par exemple) mais des variables linguistiques, proches du langage

humain de tous les jours. De plus ces variables linguistiques sont traitées à l’aide de

règles qui font références à une certaine connaissance du comportement du système.

Toute une série de notions fondamentales sont développées dans la logique floue.

Ces notions permettent de justifier et de démontrer certains principes de base. Dans ce

qui suit, on ne retiendra que les éléments indispensables à la compréhension du

principe du réglage par logique floue.

Afin de mettre en évidence le principe de la logique flou, on présente deux

exemples de représentation de la température, une en logique classique, et l’autre en

logique floue la figure II.1. Selon cette figure, en logique classique, une température de

22.5° est considérée comme "élevée". En logique floue, une température de 22.5°

appartient au groupe “moyenne” avec un degré d’appartenance de 0.167, et appartient

au groupe “élevée” avec un degré d’appartenance de 0.75, (et au groupe “faible” avec

un degré d’appartenance de 0).



a) Représentation classique

b) Représentation floue : Degré d’appartenance.

Figure II.1 Comparaison de l’appartenance de la température en logique classique

vs la logique floue

II.3 Opérateurs Flous :

Les opérateurs flous décrivent comment des ensembles flous interagissent ensembles.

On regardera certaines opérations communes, comme le complément, l’intersection et

l’union.

Le complément permet de vérifier de combien un élément n’appartient pas à un

ensemble. Comme exemple, si on a l’ensemble des températures élevées, le



complément est l’ensemble des températures qui ne sont pas élevées. Si A est

l’ensemble flou, son complément : A est :

L’intersection de deux ensembles, en logique flou, est un peu différente des

méthodes classiques. On cherche à savoir de combien un élément est-il dans les

deux ensembles. On utilise alors la valeur minimale d’appartenance pour calculer

l’intersection.

En logique floue, l’union est le contraire de l’intersection. On cherche à savoir de

combien un est-il dans l’un des deux ensembles. On utilise la valeur maximale

d’appartenance.

La figure II.2 résume ces opérations, de façon graphique :

Figure II.2 Exemple d’opérations sur des ensembles flous

II.4 La Commande Floue :

- Pourquoi un contrôleur flou ?

La réponse :



Un contrôleur standard (PID ou autres) demande toujours un modèle le plus

précis possible (équations différentielles).

Un contrôleur flou ne demande pas de modèle du système à régler. Les

algorithmes de réglage se basant sur des règles linguistiques de la forme :

Si …… Alors ……

Alors, pour les systèmes mal connus ou complexes (non-linéaire), un contrôleur flou

s’avère très intéressant.

II.5 Réglage par Logique Floue :

Le régulateur par logique floue a une structure identique à un système à réglage par

feedback classique (ou réglage par contre-réaction), (figure II.3).

Figure II.3 : Structure d’un réglage par logique floue

II.6 Configuration Interne d’un Régulateur à Logique Floue :

La majorité des contrôleurs flous développés utilisent le schéma simple proposé

par E. Mamdani. Ce schéma est illustré par la figure II.4.

Un régulateur flou est traditionnellement décomposé en trois étapes :

Fuzzification.

Inférence floue.

Défuzzification.



Figure II.4 Structure interne d’un régulateur flou

II.6.1 Fuzzification :

Elle présente la première étape de traitement flou, son objectif est de transformer

les variables déterministes d’entrée en variables linguistiques, en définissant des

fonctions d’appartenance pour différentes variables d’entrée.

II.6.2 Inférence Floue :

L’inférence floue est le processus de formulation de la relation entre les entrées et les

sorties par logique floue. Cette relation offre une base avec laquelle la décision est prise

par le système flou.

II.6.3 Défuzzification :

Cette étape consiste à transformer la valeur linguistique issue de régulateur flou en

valeur numérique.

On distingue trois méthodes différentes : celle du maximum qui correspond à un seul

point qui est le point milieu de la zone activée avec l’indice le plus fort, celle de la

moyenne des maxima et celle du centre de gravité (ou centroïde). Il est toutefois

reconnu que la méthode de centre de gravité donne les meilleurs résultats.

Base de connaissances

Défuzzification Fuzzification

Inférence floue

Processus

Floue Floue

CONTROLEUR FLOU

Non floue Non floue



II.7 Avantages et Inconvénients du Réglage par Logique Floue :

II.7.1 Avantages :

Pas besoin de modèle mathématique.

Possibilité d’implémenter des connaissances linguistiques.

Maîtrise de systèmes à régler avec un comportement complexe.

Disponibilité des systèmes de développement efficaces, soit pour micro-

processeur ou PC « solution logiciel », soit pour les circuits intégrés (processeurs

dédicacés, fuzzy processors), « solution matérielle ».

II.7.2 Inconvénients :

Manque de directives précises pour la conception d’un réglage. Les règles doivent être disponibles. Approche artisanale et non systématique. Aucune méthode formelle pour l’ajustement.

II.8. Exemple d’Application de la Logique Floue (Régulation de la Température) sous Matlab/Simulink:

On présente ici le cas de réglage de la température d’une serre. Dans ce but, on

mesure la température avec un capteur qui fournit la valeur de la grandeur à régler.

On suppose que le système est linéaire et ayant une fonction de transfert H(s)=1/(s+2).

C’est un système de contrôle de température avec un élément de chauffage et de

ventilation. La température désirée est de 20°C. La température extérieure est de 10°C

et son effet intervient au niveau de l’intégrateur. On modélise le système avec

Matlab/Simulink.

Pour la régulation de ce système, on propose deux solutions:

1er cas : Régulation avec un correcteur PID (Figure II.5),

2ème cas : Régulateur avec un correcteur flou (Figure II.7).



1er cas : Régulation avec un Correcteur PID :

Paramètres du système simulé:

Step = 20°C;

Step1 = -1.5°C;

Integrator: CI = 10;

Lower saturation limit = 10;

Transport Delay = 1;

PID (1;0;1);

Figure II.5 Régulation avec un correcteur PID

On trace à la même figure l’entrée et la sortie (la réponse) de ce système :

Figure II.6 Réponse du système avec un correcteur PID

0 5 10 15 20 2510

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

X: 17.2Y: 17

Tem

péra

ture

(°C

)

Correcteur PID

Temps (sec)

Température mesuréeTempérature de référence



2ème cas : Régulation avec un Correcteur Flou :

On considère alors le même système de la figure II.5, mais ici on remplace le « PID

Controller » par « Fuzzy Logic Controller », (Figure II.7):

Figure II.7 Régulation avec un correcteur flou

Pour construire notre régulateur flou (Fuzzy Logic Controller), on commence tout

d’abord par définir l’entrée et la sortie, On prendra pour entrée l’erreur, c’est l’écart de

température et pour sortie la commande (On commence en tapant fuzzy à la ligne de

commande, on obtient alors le fis Editor de Matlab).

Ensuite on définira les plages de variations (les ensembles flous) et les fonctions

d'appartenances en utilisant l’interface (Edit Membership function) ; et ceci et pour

l’entrée et pour la sortie.

Les fonctions d’appartenances utilisées sont de type trimf (triangulaires). Une fois le

type de fonction d’appartenance choisi ainsi que la plage de variation on appellera

chaque partie de la fonction d’appartenance par un nom significatif on aura alors :

Lorsque l’erreur est négative, la température de sortie est supérieure à la consigne

donc c’est chaud, Lorsqu’elle est positive la fonction d’appartenance est nommée froid,

et la partie du milieu sera nommée OK.

On fera de même pour la commande, la partie décroissante sera nommée refroidir (Elle correspond à l’entrée chaud), la partie croissante sera nommée réchauffer, et les

deux segments du milieu sont assignés à une commande appelée rien.

Les règles d’inférences seront alors définies comme suit :

Si c’est chaud alors refroidir.

Si c’est Ok alors rien faire.

Si c’est froid alors réchauffer.



Le système d’inférence flou sera de type Mamdani et la défuzzification se fera avec la

méthode centroïde.

On enregistre le régulateur sur le disque (Ctrl + S) et sur le workspace (Ctrl + T) pour

pouvoir le charger à partir de Simulink.

On simule le système et on trouve une erreur flagrante sur la réponse, pour y remédier

on a changé les plages de variation des entrée et de la sortie sur notre régulateur ; on a

pris alors :

[-8.5 14] plage de variation de l’erreur (entrée).

[-30 37] plage de variation de la commande (sortie).

Figure II.8 Interface de la logique floue sous Matlab



Figure II.9 Fonctions d’appartenance de l’entrée (erreur) et de la sortie (commande)

Figure II.10 Réponse du système avec un correcteur PID et flou

D’après la figure II.10, on remarque que la régulation par un correcteur flou a les

meilleures performances que le correcteur PID dans ce cas.

On pourrait encore modifier les fonctions d'appartenance du contrôleur flou pour obtenir

une meilleur performance.

-5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

erreur

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

Chaud Ok Froid

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

commande

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

Refroidir Rien Rechauffer

0 5 10 15 20 2510

12

14

16

18

20

22

X: 20.48Y: 17

Temps (sec)

Tem

péra

ture

(°C

)

X: 20.48Y: 19.98

PIDRéférenceFlou

Chapitre III Régulateur à Structure Variable (Mode Glissant)


Chapitre III : Régulateur à Structure Variable (Mode Glissant)

III.1 Introduction :

Les lois de commande classique du type PI donnent des bons résultats dans le cas des

systèmes linéaires à paramètres constants. Pour des systèmes non linéaires où ayant

des paramètres non constants, ces lois de commande classique peuvent être

insuffisantes car elles sont non robustes surtout lorsque les exigences sur la précision

et autres caractéristiques dynamiques du système sont strictes, on doit faire appel à

des lois de commande insensibles aux variations de paramètres aux perturbations et

aux non linéarités.

Les lois de la commande dite à structure variable constituent une bonne solution à

ces problèmes liés à la commande classique. La commande à structure variable (CSV)

est par nature une commande non linéaire. La caractéristique principale de ces

systèmes est que leur loi de commande se modifie d’une manière discontinue.

Le mode glissant (en anglais : sliding mode), est un mode de fonctionnements

particulier des systèmes de réglage à structure variable. La théorie de ces systèmes à

été étudiée et développée en union soviétique, tout d’abord par le professeur

EMELYANOV, puis par d’autres collaborateurs comme UTKIN à partir des résultats des

études du mathématicien FILIPOV sur les équations différentielles à second membre

discontinu.

III.2 Principe de la Commande par Mode Glissant :

Le contrôle par mode glissant consiste à amener la trajectoire d’état d’un système

vers la surface de glissement et de la faire commuter à l’aide d’une logique de

commutation autour de celle-ci jusqu’au point d’équilibre, d’où le phénomène de

glissement.



III.3 Conception de l’Algorithme de Commande par Mode Glissant :

La conception de l’algorithme de commande par mode glissant prend en compte les

problèmes de stabilité et de bonnes performances de façon systématique dans son

approche, qui s’effectue principalement en trois étapes complémentaires définies par :

Choix des surfaces de glissement;

Définition de la condition de convergence;

Détermination de la loi de commande.

III.3.1 Choix de la Surface de Glissement :

Slotine propose une forme d’équation générale pour déterminer la surface de

glissement qui assure la convergence d’une variable vers sa valeur désirée :

n 1dS(x) edt

(IV.1)

Avec:

: coefficient positif,

de x x : écart de la variable à régler,

dx : valeur désiré.

n : ordre du système, c’est le plus petit entier positif représentant le nombre de fois qu’il

faut dériver afin de faire apparaître la commande.

S(x) est une équation différentielle linéaire autonome dont la réponse ‘‘ e ’’ tend vers zéro pour

un choix correct du gain et c’est l’objectif de la commande.

III.3.2 Définition de la Condition de Convergence :

Les conditions d’existence et de convergence sont les critères qui permettent aux

différentes dynamiques du système de converger vers la surface de glissement et d’y

rester indépendamment de la perturbation. On présente deux types de conditions qui

sont :



III.3.2.1 La fonction Discrète de Commutation :

Cette approche est la plus ancienne, elle est proposée et étudiée par Emilyanov et

Utkin. Elle est donnée sous la forme :

.S(x).S(x) 0 (III.2)

III.3.2.2 La fonction de Lyapunov :

La fonction de LYAPUNOV, C’est une fonction scalaire positive ; V(x) 0 , pour les

variables d’état du système. Elle est utilisée pour estimer les performances de la

commande pour l’étude de la robustesse, elle garantit la stabilité du système non

linéaire et l’attraction de la variable à contrôler vers sa valeur de référence; elle a la

forme suivante :

En définissant la fonction de Lyapunov par :

21V(x) S (x)2

(III.3)

Et sa dérivée par :

. .V(x) S(x).S(x) (III.4)

La loi de la commande doit faire décroître cette fonction (.

V(x) 0 ). L’idée est de choisir

une fonction scalaire S(x) pour garantir l’attraction de la variable à contrôler vers sa

valeur de référence, et concevoir une commande ‘‘ U ’’ tel que le carré de la surface

correspond à une fonction de Lyapunov.

Pour que la fonction V(x) puisse décroître, il suffit d’assurer que sa dérivée est

négative. D’où la condition de convergence exprimée par : .

S(x).S(x) 0

III.3.3 Détermination de la Loi de Commande :

La structure d’un contrôleur en mode glissant comporte deux parties : La première

concerne la linéarisation exacte eq(U ) et la deuxième est stabilisante n(U ) . Cette



dernière est très importante dans le réglage par mode glissant. Elle permet d’éliminer

les effets d’imprécisions du modèle et de rejeter les perturbations extérieures.

Nous avons donc :

eq nU = U U (III.5)

Où :

eqU : Commande équivalente, (Elle sert à maintenir la variable à contrôler sur la

surface de glissement S(x) 0 et elle est déduite, en considérant que la dérivée de la

surface est nulle .S(x) 0 ).

Elle peut être aussi interprétée autrement comme étant une valeur moyenne que prend la

commande lors de la commutation rapide entre les valeurs maxU et minU (Figure III.1).

Figure III.1 Interprétation de eqU

nU : Commande discrète.

Généralement la commande discrète nU en mode glissant peut prendre la forme de type relais

donnée par l’expression suivante :

nU k.sign(S(x, t)) (III.6)

Où :

k : est un gain.

La figue III.2 représente la fonction de la commande discrète de type relais :



Figure III.2 Fonction sgn (Commande de type relais)

Le principal inconvénient de la commande de type relais réside dans le phénomène

bien connu de broutement ou en anglais "chattering".

En régime permanent, ce dernier apparaît comme une oscillation de haute fréquence

autour du point d’équilibre, à cause de la nature très discontinue de la fonction signe

(sgn).

Ce phénomène de "chattering" ou broutement est un sérieux obstacle pour les

applications de commande par mode glissant, car les oscillations dues à ce phénomène

peuvent nuire le fonctionnement du circuit de puissance ce phénomène est presque

toujours problématique et des efforts de recherche significatifs ont été dirigés de sorte à

éliminer ou du moins réduire ses effets. L’une des solutions envisagées consiste à

introduire une bande d’arrêt autour de la surface de commutation. Pour ce faire, il suffit

de substituer une fonction de saturation (sat), (voir figure III.3) à la fonction signe (sgn)

dont les discontinuités au voisinage de zéro sont moins brutales. Cette fonction de

saturation peut être exprimée par :

Figure III.3 Fonction de sat

1

-1

sgn(S(x))

S(x)

1

-1

s at( )

Exercices


Exercices

Exercice 01 (Correcteur P pour système du premier ordre)

Soit un système du premier ordre d’entrée ( )u t , de sortie ( )y t et de fonction de

transfert ( )1

KH pp

. On propose de l’asservir avec un correcteur proportionnel de

gain cK . On donne 0.2K et 80ms .

1. Déterminez l’équation différentielle liant le signal de référence )(tr et la mesure

)(ty .

2. Déterminez la fonction de transfert du système en boucle fermée liant )( pR et

)( pY .

3. Déterminez les expressions du gain statique et de la constante de temps du

système bouclé.

4. Déterminez le gain du correcteur ( cK ) permettant d’obtenir un temps

d’établissement (temps de réponse) à 5% Tr égal à 30 ms.

Exercice 02 (Correcteur PI pour système du premier ordre)

Soit un système d’équation différentielle .

. ( ) ( ) . ( )y t y t K u t avec 20ms et

0.4K . On envisage une loi de commande proportionnelle-intégrale de la forme

dyrKtyKtut

ip ))()(()()( .

1. Déterminez l’équation différentielle du second ordre liant la référence et la

mesure et modélisant le système bouclé.

2. Déduire la fonction de transfert de ce système bouclé.

3. Montrez que l’erreur statique est nulle quelque soit les valeurs des paramètres

du correcteur.

4. Déterminez les valeurs des paramètres permettant d’obtenir une pulsation propre

de 200 rad/s et un amortissement de 1.

Exercices


Exercice 03 (Correcteur P d’un système du second ordre)

Soit un système de fonction de transfert ))((

)(21

pp

KpG . On envisage d’asservir

ce système par un correcteur proportionnel. On a K = 10, 101 rad/s et 502 rad/s.

1. Représentez le diagramme de Bode de la FTBO.

2. Déterminez la pulsation pour laquelle la phase est à -135°.

3. Déterminez la valeur du gain permettant d’obtenir une marge de phase de 45°.

4. Déterminez la précision du système asservi pour une entrée à un échelon

unitaire.

Exercice 04 :

La vitesse de rotation n (tr/mn) d’un moteur est liée à sa tension d’alimentation v et au

couple C (Nm) qu’il fournit par la relation :

Le moteur est dit « à vide » s’il ne fournit aucun couple, et « en charge » lorsqu’il fournit

un couple de C = 10 Nm.

1) Pour une tension d’alimentation de v = 10V, calculer la vitesse de rotation à vide n0

et en charge n1 . En déduire la variation relative de vitesse due à la charge.

Pour améliorer le comportement de ce moteur vis-à-vis de la charge, on asservit sa

vitesse à l’aide d’une génératrice tachymétrique selon le schéma fonctionnel suivant :

2) Retrouver sur ce schéma fonctionnel les blocs qui traduisent l’équation précédente

décrivant le moteur.

Exercices


3) Le moteur n’est pas chargé (C = 0). Etablir la relation entre n et x et en déduire la

valeur de la consigne x0 qui donne une vitesse de rotation de n0 = 1000 tr/mn.

4) Etablir la relation entre la sortie n, la consigne x et le couple fourni C.

5) Pour la valeur de consigne x0 calculée précédemment, calculer la nouvelle valeur n2

de la vitesse en charge et en déduire la nouvelle variation relative de vitesse.

6) Conclure quant à l’efficacité de la solution mise en œuvre. Comment pourrait-on

encore améliorer la régulation de vitesse ?

Exercice 05 :

Le système étudié est un enregistreur graphique analogique qui asservit la position d’un

stylo à la tension à enregistrer ue(t).

On note x(t) la position du stylo qui sera exprimée en centimètres dans toute l’étude, et

« A » l’amplification.

Le motoréducteur est un moteur à courant continu ayant les caractéristiques nominales

suivantes :

Un = 25 V, In = 1 A, vitesse de rotation nn = 1000 tr/mn inertie du rotor : J = 10-4 kg.m2.

1) Sachant que la résistance de l’induit vaut r = 5 Ω, calculer la constante K du moteur à

partir des valeurs nominales.

2) Ecrire les équations différentielles décrivant le fonctionnement dynamique du moteur

et en déduire que sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

p

HH 0m .1 m en précisant les valeurs numériques de 0H et de m .

Exercices


3) Les poulies du moteur et du potentiomètre sont identiques. Si elles tournent de 1

tour, le stylo se déplace de 1 cm et la tension ur varie de 2V.

Compléter le schéma fonctionnel du système et montrer que :

Références


Références

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Département d'Electrotechnique, Faculté des Sciences de l’Ingénieur, Université

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8. K. Ogata, “Automatic Control Engineering; Prentice Hall”, fifth edition, 2010.

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10. Mohammed-Karim FELLAH, « Cours d'Asservissements Linéaires Continus »

Département d'Electrotechnique, Faculté des Sciences de l’Ingénieur, Université

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11. Cours « Régulation et asservissement », Lycée JULES FERRY.

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27. Youcef BEKAKRA, «Etude et commande du moteur asynchrone à double

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Magister, Centre Universitaire d’El-Oued, Juin 2010.

cours de: niveau : 2 ième année master commande electrique techniques de commande

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