breve resumen de matemáticas financieras (tasas, prestamos y ahorros)

Elementos de Matemáticas Financieras - 1Formulación y Evaluación de Proyectos© 2014 Jorge Elliott

Preparación y Evaluación de ProyectosPreparación y Evaluación de Proyectos

Elementos de Matemáticas Financieras

Prof. Jorge ElliottAgosto - 2014




Elementos de Matemáticas Financieras 1. Mercado de Capitales y Tasa de Interés.

• Definiciones• Interés Simple y Compuesto• Tasa Efectiva y Tasa Nominal• Capitalización Continua• Tasas Efectivas Equivalentes• Tasas Libres de Inflación

2. Valor Presente y Futuro• Tasas de Interés Variables y Constantes• Flujos Variables y Constantes• Flujos Perpetuos

3. Préstamo y Ahorro.• Conceptos Básicos• Interés Vencido e Interés Anticipado• Modalidades de Pago• Períodos de Gracia• Fórmulas y Desarrollo de Préstamo y Ahorro

Elementos de Matemáticas Financieras 1. Mercado de Capitales y Tasa de Interés.

• Definiciones• Interés Simple y Compuesto• Tasa Efectiva y Tasa Nominal• Capitalización Continua• Tasas Efectivas Equivalentes• Tasas Libres de Inflación

2. Valor Presente y Futuro• Tasas de Interés Variables y Constantes• Flujos Variables y Constantes• Flujos Perpetuos

3. Préstamo y Ahorro.• Conceptos Básicos• Interés Vencido e Interés Anticipado• Modalidades de Pago• Períodos de Gracia• Fórmulas y Desarrollo de Préstamo y Ahorro


� Agente Económico:Persona natural o jurídica (institución de cualquier naturaleza, empresa productiva o de servicios, banco, institución financiera, organismo del estado, corporación sin fines de lucro, sociedad de inversiones, etc., etc.) que interviene en el intercambio de bienes y servicios en la sociedad.

� Capital o Principal (“ C ” o “ P ”):Corresponde al monto en dinero que se transa en una operación de préstamo o inversión, expresado en una unidad monetaria determinada.

� Interés:Corresponde al pago que hace un agente económico por haber hecho uso del dinero de otro agente económico, por un período de tiempo.

� Tasa de Interés (“ i ” o “ r ”):Factor numérico representativo de la proporción del capital que se devenga como interés en un período de tiempo determinado, que llamaremos “período de definición de la tasa” o período de la tasa.

Capital y Tasa de Interés


Monto de Intereses y Tasa de Interés porcentual:De acuerdo a las definiciones iniciales, si un agente económico toma en préstamo una cantidad de dinero P (Principal), al término del período pactado deberá retornar una suma S que cubra el monto del principal más los intereses que se han acumulado en dicho período.

Sucede algo similar cuando un agente económico deposita dinero en una institución financiera.

r% = Monto de Intereses Pagados

X 100 Capital o Principal del Préstamo

S = Principal + Monto de Intereses Pagados

Capital y Tasa de Interés


Mercado deCapitales

Público y Negocios

Bancos y Financieras

Ahorro y Cuentas Corrientes/Vista

Créditos Consumo, Hipotecario

Garantías

Banco Central

Industria, Comercio, Servicios,

Inmobiliarias, etc.

Mercado de Capitales

Internacional

Operaciones de Financia-

miento e Inversión

Conjunto de instituciones de intermediación financiera (formales), que facilitan las transacciones entre los agentes económicos que requieren dinero y aquellos que disponen de excedentes


� Tasa de Captación:

Tasa de Interés PAGADA al inversionista, quién entrega dinero al intermediador financiero Aumenta de acuerdo al monto transado

� Tasa de Colocación:

Tasa de Interés COBRADA al prestatario, quién recibe dinero del intermediador financiero. Disminuye de acuerdo al monto transado

Tasa de Interés

r col

r cap Captación

Colocación

Tasa de Interés

Cantidad de Dinero Transado


Margen de Operación Financiera (M):Representa los costos de operación de la intermediación, el riesgo de irrecuperabilidad de los créditos y la utilidad del negocio financiero. Es adicional al “costo del dinero”.Porcentualmente es la diferencia entre las tasas de captación y colocación. Para en un conjunto de operaciones (negocio financiero) se puede simplificar así:

Tasa de Interés

M = Pcol i * rcol i - Pcap j * r cap ji = 1 j = 1

n m

rcol - rcap

r col

r cap Captación

Colocación

Tasa de Interés

Cantidad de Dinero Transada

Margen de tasa de interés en una operación =


Interés Simple e Interés CompuestoAspecto crucial: cada cuanto tiempo los intereses pasan a formar parte de la deuda.

Interés Simple: Los intereses NO pasan a ser parte de la deuda durante el período del préstamo.

Tasa de Interés

S = P + P*r + P*r + P*r ..... = P + P*n*r = P*(1 + n*r)

Tiempo

1 2 3 n......

Período de referencia de la tasa

Período del préstamo

=Período de capitalizac.

Función Lineal

$

Tiempo

P

n

S


Interés Simple e Interés CompuestoInterés Compuesto: Los intereses pasan a ser parte de la deuda en un período llamado de capitalización, menor que el período del Préstamo.Es el método estándar adoptado hace más de 50 años, para todas las operaciones financieras.

Tasa de Interés

S = P+P*r + (P+P*r)*r + (P+P*r +(P+P*r)*r)*r + ... = P*(1 + r)

Período de referencia de la tasa

=Período de capitaliz. Función Exponencial

$

Tiempo

P

n

S

n

Tiempo

1 2 3 n......

Período del préstamo

Período de capitalizac.

P´= P + P*r P P´´= P´+ P´*r P´´´= P´´+ P´´*r

*(1 + r ) *(1 + r ) *(1 + r )


Tasa Efectiva y Tasa Nominal

Cuando el plazo o Período de Definición de la Tasa es igual al Período de Capitalización, decimos que la Tasa de Interés para una operación determinada es “Efectiva”.

Cuando esos períodos son diferentes en una misma operación, decimos que la Tasa de Interés que se nos informa es “Nominal”.

Una Tasa Nominal no refleja, al menos intuitivamente, el verdadero costo o beneficio financiero de una operación.

Cuando se nos informa de una operación, debemos verificar la correspondencia entre el período de definición de la tasa de interés y el de capitalización. Si no son iguales, se deberá transformar la Tasa Nominal en Tasa Efectiva.

Tasa de Interés



Si tenemos una operación con tasa de interés nominal iz, cuyo período de definición es un plazo z unidades de tiempo, con período de capitalización de c unidades de tiempo (c menor que Z), para establecer el costo financiero efectivo en cada período de capitalización hacemos lo siguiente:

1.- Determinamos el número de capitalizaciones Nc, esto es el número de veces que el período de capitalización está en el período de definición.

Tasa de Interés

Tiempo

z0 c 2c 3c

Nc = C

Z

La tasa de interés ic en cada capitalización, es determinada como cuociente entre la Tasa de Interés nominal iz y el número de capitalizaciones Nc

ic = Nc

iz



Una tasa de interés nominal con capitalización en períodos de c unidades de tiempo, será equivalente a disponer de una tasa efectiva de igual

período de definición z, si y solo si ambas tasas conducen, a partir de un

mismo préstamo de monto P a idéntico saldo S al término del período de

z unidades de tiempo.

Tasa de Interés

Lo que nos permite deducir la fórmula para obtener una

Tasa Efectiva rz, a partir de

una Tasa Nominal iz :

izrz = (1 + ) - 1

Nc

Nc

S = P*(1 + ic )izNc

= P*(1 + )Nc

Nc

Reemplazo icequivalente

= P*(1 + rz )


Capitalización ContinuaUn caso particular es la inversión con acumulación continua del capital en el tiempo, como es el caso de las inversiones en proyectos forestales o ganaderos. En ellos, una aplicación discreta de la tasa de interés no refleja la realidad de una valorización continua de los bienes.

Tasa de Interés

Si consideramos que Nc, el número de capitalizaciones, es una variable que tiende a infinito, podemos aplicar el límite:

Lim 1 + = eaa

N

N

N

8Lim 1 + = eiz

iz

Nc

Nc

Nc8

(1 + rz ) = eizrz = eiz - 1

Al reemplazar las variables: “N” por el número de capitalizaciones Nc, y “a” por la tasa de interés nominal iz, tenemos la fórmula de la tasa de interés efectiva con capitalización continua.


Tasas Efectivas EquivalentesDos o más “tasas efectivas” de diferentes “períodos de definición” son equivalentes si, al término de un período común (una cierta cantidad de unidades de tiempo), ellas conducen a un mismo saldo.

Consideramos dos tasas efectivas:

rk tasa de períodos de definición y capitalización k

rw tasa de períodos de definición y capitalización w

Tasa de Interés

T

0 k 2k 3k (Nk-1)k Nkk

w 2w 3w (Nw-1)w Nww0

MCM


Tasas Efectivas EquivalentesTenemos dos tasas efectivas: rk tasa de períodos de definición y capitalización k

rw tasa de períodos de definición y capitalización w

Tasa de Interés

Primero, debemos determinar un “período de desarrollo común” que corresponde al “Mínimo Común Múltiplo” (MCM) entre los períodos k y w, y al número de períodos (de capitalización) que es necesario aplicar las tasas para alcanzar el MCM

T



MCMT



MCM

Calculamos los “número de aplicaciones” requeridas para llegar al MCM, Nk y Nw para cada una de las tasas, que resultan del cuociente entre el MCM y el período de definición de cada tasa.

MCMNk =k

MCMNw =w


Tasas Efectivas Equivalentes

Tasa de Interés

La equivalencia entre las tasas rk y rw se establece al obtener con ellas un mismo saldo S. rk deberá aplicarse Nk veces y rw deberá aplicarse Nw

veces:

Con la condición que los períodos de definición de las tasas – aunque diferentes – se encuentren expresados en unidades de tiempo consistentes, esto es en la misma unidad de tiempo, reemplazando Nw y Nk según la diapo anterior (15), tenemos la fórmula general de tasas efectivas equivalentes:

S = P*(1 + rk) = P*(1 + rw)Nk Nw

Despejando una tasa en relación a la otra, se cancelan los “Principales” y se aplican propiedades de potencias:

rk = (1 + rw) - 1/NkNw

rk = (1 + rw) - 1/wk


Tasas Libres de Inflación.Tasa de Interés

Inflación: fenómeno macroeconómico por el cual el dinero pierde su capacidad adquisitiva. Esto ocurre por un aumento generalizado de los precios de bienes y servicios, sea por un desequilibrio entre el circulante y la disponibilidad de bienes, por la disminución de la producción, presiones inflacionarias del exterior, etc.Este fenómeno hace que no sean comparables los valores monetarios de fechas diferentes. Esta consideración se adiciona al costo del uso del dinero en el tiempo, o interés ya visto.

Índice de Precios al Consumidor: Indicador oficial del poder adquisitivo del dinero, determinado a posteriori por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), elaborado por medio de encuestas estructuradas sobre una canasta de productos y servicios representativa del consumo medio de la población.

P SP SCosto del Dinero

Inflación



Tasa de Interés Real: se denomina en el mercado de capitales a aquellas tasas de interés que representan solamente el costo del dinero, libres de efecto inflacionario.

Se aplican sobre:- la corrección monetaria por inflación, o- unidades monetarias que incorporan la variable inflación, como es el caso de la Unidad de Fomento (UF) o Unidad Tributaria Mensual (UTM).

En casos especiales, por ejemplo proyectos que se realizan en el exterior o cuyas inversiones y gastos son mayoritariamente en moneda extranjera, las tasas “reales” se aplican sobre unidades monetarias que se consideran “practicamente” libres de inflación (como Dólar, Euros, etc,)

Para comparar cifras monetarias de diferentes fechas debemos entonces:1o.- Efectuar la corrección del Poder Adquisitivo del dinero.2o.- Aplicar la tasa de interés efectiva, libre de inflación.



Si tenemos:

if : tasa de inflación esperada del período

rf : tasa de interés efectiva con inflación (en el M. de Cap. “Tasa Nominal”)

r : tasa de interés efectiva libre de inflación (En el M. de Cap. “Tasa Real”)

rf = (1 + if)*(1 + r) - 1

S = P*(1 + if)*(1 + r) = P*(1 + rf)

(1 + if)(1 + rf)

r = - 1

Incorporando inflación a una tasa libre

Obteniendo una tasa libre de inflación a partir de una tasa efectiva con inflación y la tasa de inflación esperada o conocida.


Valores Presente y FuturoValores monetarios que representan la equivalencia de flujos en distintos momentos del tiempo, al incorporar el costo de “uso” del dinero representado por la Tasa de Interés.

Valores Presente y Futuro

Valor Futuro de un flujo (F) que ocurre en el período actual.Corresponde al valor que se tendrá acumulado después de transcurridos n períodos.

Valor Presente de un flujo (F) que ocurre en el período n-ésimo.Es lo inverso al Valor Futuro, por descontarse o actualizar el flujo, llevando al presente un valor que ocurre en el período n.

VFn = F*(1 + r)n

(1 + r)nF

VP =


Valor Futuro de un flujo (F) que ocurre en el período actual, con tasa de interés variable entre períodos.Se aplica el valor acumulado período a período, considerando la tasa de interés asociada a cada período.

Valor Presente de un flujo (F) que ocurre en el período n-ésimo, con tasa de interés variable.

Flujo Único y Tasa Variable


VFn = F*(1 + r1) *(1 + r2) *(1 + r3) *(1 + r4) *(1 + r5)* … *(1 + rn)

VFn = F * (1 + rj)

n

j = 1

Lo contrario al caso anterior, al descontar o actualizar trayendo al presente el valor que ocurre en el período n, período a período.

FVP =

(1 + rj)

n

j = 1


Valor presente de una serie de flujos (Ft) con tasa de interés variable.El Valor Presente de una serie puede ser tratado como la suma de cada uno de los valores presentes de los flujos que la componen.

Flujos Distintos y Tasa Variable


VP = VP1 + VP2 + VP3 + VP4 + VP5 … VPn

El Valor Presente de cada flujo t-ésimo requiere descontarlo aplicando las tasas de interés de cada uno de los períodos 1 al t.

FtVP =

(1 + rj)

t

j = 1t = 1

nFt

VPt =

(1 + rj)

t

j = 1


Valor presente de una serie de flujos (Ft) con tasa de interés constante.

El Valor Presente de una serie puede ser tratado como la suma de cada uno de los valores presentes de los flujos que la componen.

Flujos Distintos y Tasa Constante


VP = VP1 + VP2 + VP3 + VP4 + VP5 … VPn

(1 + r)tFtVP =

t = 1

n

(1 + r)t

FtVPt = Como la tasa es constante, entonces cada VPt será:


Valor presente de una serie de flujos iguales (F), que ocurren del primer al n-ésimo período, con tasa de interés constante.

Flujos Iguales y Tasa Constante


Como los flujos son constantes, tenemos:

(1 + r)tF

VP =

t = 1

n

(1 + r)t

FtVP =

t = 1

n

(1 + r)t

FtVP =

t = 1

nDerivamos desde la fórmula del Valor Presente de una serie de flujos Ft que ocurren en n períodos, con tasa de interés constante (diapo 23.)


A partir de tenemos:

Valor presente de una serie de flujos iguales (F), que ocurren del primer al n-ésimo período, con tasa de interés constante ( Cont ).

Nos interesa llegar a una forma más reducida de cálculo, para lo cual desarrollamos buscando una expresión similar a la suma de una

progresión geométrica del tipo



(1 + r)t

FVP =

t = 1

n

S = a + a*r + a*r2 + a*r3 + … + a*rn

r - 1rn - 1

donde S = a*

Multiplicando por (1 + r) a ambos lados de la expresión:

VP = + + + …. + (1 + r) 3

F(1 + r)

F

(1 + r) 2

F

(1 + r) n

F(1)

VP*(1 + r) = F + + + + …. + (1 + r) 3

F(1 + r)

F

(1 + r) 2

F

(1 + r) n-1

F(2)


Al despejar VP tenemos la fórmula de la serie en la forma de progresión geométrica:

Valor presente de una serie de flujos iguales (F), que ocurren del primer al n-ésimo período, con tasa de interés constante ( Cont ).

Si a (1) restamos (2) nos queda:



VP*(1 + r) - VP = F -(1 + r) n

F

VP* (1 + r) - 1 = F * 1 -(1 + r) n

1

VP* 1 + r - 1 = F *(1 + r) n

(1 + r)n - 1

VP*r = F *(1 + r) n

(1 + r)n - 1 VP = F * r * (1 + r ) n

(1 + r )n - 1


Valor presente de una serie de flujos iguales (F) perpetuos (que ocurren del primer período al infinito), con tasa de interés constante.

Al ser los flujos de carácter perpetuo, la cantidad de períodos n tiende a infinito. Aplicamos el límite a la fórmula obtenida para n períodos (Diap.26)

Flujos PerpetuosValores Presente y Futuro

VP = F*r

1 - 0 VP = r

F

Multiplicamos ambos términos de cuociente por

VP = Lim F*1 -

r

(1 + r)n

1

n

8

VP = Lim F*(1 + r)n - 1

(1 + r)n * rn

8

(1 + r)n

1

Supuestos:1.- Vida Útil : Infinita2.- Flujos : Constantes3.- Tasa : Constante

despejamos y aplicamos el límite


Hay varios elementos que son necesarios para definir el valor a pagar (o recibir) en cada oportunidad (cuota de pago) por un crédito (o por una inversión ahorro), y la proporción de dicha cuota destinada a la disminución de la deuda o capital (amortización) y al pago de intereses por usar el dinero de otros:

Concepto Básicos

Préstamos (Créditos) y Ahorros

Realiza Inversión o

Ahorro

Recibe Préstamo o

CréditoP

S = P*(1 + r)n

Los conceptos y formulaciones referidos a Préstamos y Ahorros son los mismos, difiriendo el punto de vista del que presta o ahorra, del que recibe el crédito y después lo retorna con los intereses correspondientes.

En adelante desarrollaremos con el punto de vista y la terminología de los préstamos (créditos).


MONEDA BASE: Unidad monetaria en la cual fue contratado el crédito, que será también la moneda en que se expresen las cuotas de pago.

COSTO DEL CRÉDITO: Valor a pagar por usar el dinero de un tercero, equivalente al concepto de “Interés”.

PLAZO DE PAGO: Cantidad de cuotas periódicas (días, meses, trimestres, años, etc.) o número de períodos en los cuales debe ser pagado el crédito. Por ejemplo 10 cuotas mensuales.

PERÍODOS DE GRACIA: Cantidad de períodos de no pago total (GRACIA TOTAL) o pago sólo de intereses sin amortización (GRACIA PARCIAL).

MODALIDAD DE PAGO: Forma o sistema bajo el cual será pagado el préstamo y se calculará el “Programa de Pago”, esto es los montos de las cuotas y su tratamiento en el “Plazo de Pago”.

Conceptos Básicos



PLAZO DEL CRÉDITO: La suma de “Períodos de Gracia” más los períodos o “Plazo de Pago”, esto es el plazo total del crédito.

El concepto básico que rige el análisis de contratación y pago de créditos es que el conjunto de los pagos a efectuar en cada oportunidad permitan cancelar la totalidad de la deuda, o sea extinguirla al término del “Plazo del Crédito”

Así, las fórmulas para los cálculos de las cuotas de pago, de acuerdo a las modalidades elegidas, estarán basadas en que:

Valor Presente de los Pagos = Valor del Préstamo

Conceptos Básicos



Interés Vencido: Es la modalidad usual, en el cual los intereses se calculan y pagan al vencimiento de cada período de capitalización, tanto para un crédito de varios períodos y cuotas de pago, o de uno solo. En este caso el deudor recibe el Principal (100%) a la otorgación del crédito.

Interés Anticipado: Es una modalidad en la cual el interés del crédito se rebaja del Principal (monto del crédito), al momento de la otorgación, de tal modo que el deudor recibe un “monto líquido” inferior a la base del cálculo de intereses (P). Se suele utilizar en créditos de una cuota. Hace altamente inconveniente la cancelación anticipada del crédito (no hay beneficio). Sea LP el monto líquido del préstamo recibido por el deudor, P el principal y r la tasa efectiva para un período de pago, tenemos:

Interés Vencido e Interés Anticipado


LP = P -(1 + r )

P*r

Intereses del Crédito, llevados a la fecha de otorgación (1 período)

Intereses del Crédito, llevados a la fecha de otorgación (1 período)

LP = P * 1 -(1 + r )

rLP = 1 + r

PLP = P * (1 + r )

1 + r - r

PrincipalPrincipal


Pago Vencido: Se cancela la totalidad de la deuda, principal más intereses, al cumplirse el plazo del préstamo. Es la forma más simple.

Cuotas Iguales de Pago con Interés Sobre Saldo Insoluto: En cada oportunidad de pago (cuota) se cancela al acreedor (quién otorgó el crédito) una misma suma. El monto de los intereses pagados en cada una de las cuotas es determinado aplicando la tasa de interés al saldo adeudado del préstamo al inicio del período de pago. La diferencia entre el interés calculado y del valor de la cuota constituye la “Amortización”, esto es el monto en el cual disminuye el Principal o Capital del Crédito, constituyendo el “Saldo Insoluto” para el próximo período de pago.

Préstamos (Créditos) y AhorrosModalidades de Pago

Cuota Constante

Interés = Tasa * Saldo Insoluto(monto decreciente)

Amortización = Cuota – Interés (monto creciente)

0

Saldo $

Principal o Saldo Inicial

Período de pagoPlazo del Crédito

T

Cuota Constante



0

Saldo $



T


Cuota Constante



0

Saldo $



T

Cuotas Iguales de Pago con Interés Sobre Saldo Insoluto

Modalidades de Pago



Cuotas Iguales en Amortización con Interés Sobre Saldo Insoluto:En esta modalidad, el monto de la amortización (disminución de la deuda) es la misma en cada uno de los pagos (cuotas). El monto de los intereses pagados en cada una de las cuotas es determinado aplicando la tasa de interés al saldo adeudado del préstamo al inicio del período de pago. El valor de la cuota es entonces decreciente, puesto que corresponde a la suma de la Amortización constante más el Interés Calculado.

Préstamos (Créditos) y AhorrosModalidades de Pago

Cuota = Amortización + Interés (monto decreciente)


Amortización = Constante

0

Saldo $



T




0

Saldo $



T


Cuotas Iguales en Amortización con Interés Sobre Saldo Insoluto

Modalidades de Pago





0

Saldo $



T


Período de Gracia Inicial: Al incorporar un “Período de Gracia” inicial de extensión K períodos de capitalización, ocurre lo siguiente:1. El plazo de pago de la deuda se prolonga por sobre el número de

cuotas (N) al sumarle el Período de Gracia.2. La deuda no comienza a disminuir hasta el período K + 1 con lo cual

se produce un cambio en la forma de contratación y pago de créditos.


Períodos de Gracia

Período de Gracia Número de Cuotas de Pago (N)

Préstamo

01 K K + 1 N + K


Períodos de Gracia Múltiples: Al incorporar múltiples (m) “Períodos de Gracia” de extensión Kj períodos de capitalización, a cada uno de ellos les sigue un “Período de Pago” de Nj o número de cuotas (en iguales períodos de capitalización). En tal caso ocurre lo siguiente:

1. El Plazo del Crédito es igual a la suma de los plazos de los períodos de gracia y de los períodos de pago.

2. El préstamo inicial y los Saldos al final de cada período de pago deben llevarse a Valor Futuro al inicio del período de pago siguiente, para el efecto de los cálculos de las cuotas, según la modalidad de pago.

Préstamos (Créditos) y AhorrosPeríodos de Gracia

Período de Gracia 1

Período de Pago1Núm. de Cuotas de Pago (N1)

Préstamo

01 K1 K1 + 1 N1 + K1

Período de Gracia m

…

Plazo del Crédito = Kj + Njj = 1

m

Período de PagomNúm. de Cuotas de Pago (Nm)


Cuotas Iguales de Pago con Interés sobre Saldo Insoluto, sin Gracia

Fórmulas de Préstamo y Ahorro

Cuota Constante



0

Saldo $



T

Cuota Constante



0

Saldo $



T

Préstamo = C *r * (1 + r ) n

(1 + r )n - 1

C = Préstamo *r * (1 + r ) n

(1 + r )n - 1

Recordamos que Valor Presente de los Pagos = Valor del PréstamoEn este caso, cada una de las cuotas es constante “C” luego se puede aplicar la fórmula de Valor presente de una Serie de Flujos Iguales con Tasa Constante (Diapositiva 26).

donde C es el monto de la Cuota de Pago, constante



Cuotas Iguales de Pago con Interés sobre Saldo Insoluto, sin Gracia

Préstamos (Créditos) y AhorrosFórmulas de Préstamo y Ahorro

El “Programa de Pago” está formado por la evolución en el tiempo del “Saldo Deudor” o “Saldo Insoluto”, Intereses, Amortización y Cuotas de Pago.

El procedimiento para completar el “Programa de Pagos” en este caso es: (1) Calcular la Cuota del Crédito según fórmula (Diap. 38), (2) Para cada período calcular el Interés, calcular la Amortización y finalmente calcular el Saldo del Período descontada la Amortización del período.

Período No Saldo “S” Interés “I” Amortización “A” Cuota “C”

t=0 S0= Préstamo - - -

t=1 St=St-1- At It = r * St-1 At = C - It C

t=2 St=St-1- At It = r * St-1 At = C - It C

… … … … …

t=N St= 0 = St-1- At It = r * St-1 At = C - ItC


Cuotas Iguales de Pago con Interés sobre Saldo Insoluto, con Período de Gracia


Según lo explicado en las diapos. 36 y 37, el Plazo del Crédito será N + K y la deuda o Saldo del Préstamo empezará a disminuir en el período K + 1, entonces tenemos:


Prés-tamo

01 K K+1 N+K

VP de Cuotas de Pago

Saldo Sk, al Término del Período de Gracia

VALOR PRESENTE DE LAS CUOTAS LLEVADAS AL FIN DEL PERÍODO ANTERIOR AL INICIO DE PAGOS EFECTIVOS

MONTO DE LA DEUDA AL TÉRMINO DEL PERÍODO K

=


Cuotas Iguales de Pago con Interés sobre Saldo Insoluto, con Período de Gracia


Igualmente el cálculo de la cuota varía:

Por lo anterior, el Saldo al inicio del Período de Pago varía según el tipo de “Gracia” aplicada:

Sk =Préstamo * (1 + r)k Si hay período de “Gracia Total”

Préstamo Si hay período de “Gracia Parcial”

Sk*r * (1 + r ) n

(1 + r )n - 1

Ct =

0 Si hay “Gracia Total” para t K

r * Préstamo Si hay “Gracia Parcial” para t K

Si (K + 1) t N



De acuerdo a lo desarrollado en las diapos 34 y 35, siempre tenemos que:

Valor Presente de los Pagos = Valor del Préstamo

En este caso, el Préstamo será amortizado en N oportunidades, disminu-yendo el Saldo de la deuda en un valor constante, que denominamos A(Amortización).

Si tenemos que

Préstamo = A * N

entonces:

A = PréstamoN




0

Saldo $



T




0

Saldo $



T

Amortizaciones Iguales con Interés sobre Saldo Insoluto, sin Gracia




El “Programa de Pago” está formado por la evolución en el tiempo del “Saldo Deudor” o “Saldo Insoluto”, Intereses, Amortización y Cuotas de Pago.

El procedimiento para completar el “Programa de Pagos” en este caso es: (1) Calcular la componente Amortización (constante) de cada cuota, según fórmula (Diap. 42), (2) Para cada período calcular el Interés, calcular la Cuota y finalmente calcular el Saldo de Período descontada la Amortización aplicada.

Período No Saldo “S” Interés “I” Amortización “A” Cuota “C”

t=0 S0= Préstamo - - -

t=1 St=St-1- A It = r * St-1 A Ct= A + Itt=2 St=St-1- A It = r * St-1 A Ct= A + It… … … … …

t=N St= 0 = St-1- A It = r * St-1 A Ct= A + It

Amortizaciones Iguales con Interés sobre Saldo Insoluto, sin Gracia



Las consideraciones para el manejo del Período de Gracia son similares que para el caso de “Cuotas Iguales” (diapos. 40 y 41), puesto que, al no haber amortización, el Saldo del Préstamo se incrementa por los intereses.

Amortizaciones Iguales con Interés sobre Saldo Insoluto, con Período de Gracia


Prés-tamo

01 K K+1 N+K




Prés-tamo

01 K K+1 N+K



Durante el Período de Gracia, el Saldo al inicio del Período de Pago varía según el tipo de “Gracia” aplicada:

Sk =Préstamo * (1 + r)k Si hay período de “Gracia Total”

Préstamo Si hay período de “Gracia Parcial”




Para elaborar el programa de pago se debe considerar:

Durante un período de Gracia Parcial:

a) It = r * Préstamob) A = 0

c) Ct = It (La Cuota de Pago comprende sólo Interés)


Durante un período de Gracia Total:

a) It = 0b) A = 0

c) Ct = 0

(Se refiere al Interés que concurre a la cuota. En el período de Gracia Total se devenga interés que incrementa el Saldo de la Deuda (Crédito) que constituye el Saldo Inicial del Período de Pago)



Para elaborar el programa de pago se debe considerar:


a) A =

b) It = r * St-1

c) Ct = A + It

d) St = St-1 - A

Sk

NAl término del Período de Gracia, desde el período (K + 1) hasta el (N + K) :



Préstamos (Créditos) y AhorrosFórmulas de Préstamo y AhorroPROGRAMA DE PAGO

El procedimiento: (1) Calcular el Saldo al Término de los Períodos de Gracia . (2) Calcular la componente Amortización (constante) de cada cuota, a partir del Saldo (1), (3) Para cada período calcular el Interés, calcular la Cuota y finalmente calcular el Saldo de Período descontada la Amortización aplicada.

Período No Saldo “S” Interés “I” Amort. “A” Cuota “C”

0 P (Préstamo) - - -1 (Gracia Tot) S1 = P*(1+r) 0 0 0

2 (Gracia Tot) S2 = S1*(1+r) 0 0 0

3 (Pago) S3 = S2 - A I3 = r * S2 A = S2 /N C3= A + I34 (Pago) S4 = S3- A I4 = r * S3 A C4= A + I4

… … … … …

N + 2 (Pago) SN+2=SN-1- A = 0 IN+2 = r * SN+1 A CN+2= A + IN+2

Crédito en N Cuotas con Amortizaciones Iguales, con Tasa de Interés r constante y con dos períodos iniciales de Gracia Total



Elementos de Matemáticas Financieras



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