app2-aop cours

L’amplificateur opérationnel

Fonctionnement en mode

saturé et en mode linéaire

Avant-propos

2

Deux sections principales constituent cette présentation :

•Une présentation générale de l’AOP et de ses différents modes de fonctionnement.

•Six montages usuels d’AOP en mode linéaire avec, chacun, les détails de la démarche donnant l’expression du gain.

•Un Amplificateur OPérationnel (ou AOP) est un circuit qui, comme son nom le laisse entendre :

•Amplifie les signaux (tensions et courants) qu’il reçoit à son entrée.

•Est capable d’effectuer certaines OPérations sur ces signaux (inversion, somme, intégration, etc.)

•C’est en 1965 que le fabricant « Fairchild Semiconductor » sortit le premier amplificateur opérationnel, le µA709.

•Son produit souffrant de nombreux défauts, le même fabricant sortit, ensuite, le µA741. Son prix modique et son

utilisation facile valurent au µA741 un énorme succès.

•Depuis, le µA741 est devenu la norme industrielle en matière d’amplificateurs et plusieurs autres fabricants

utilisèrent la référence « 741 » dans les appellations des AOP qu’ils produisent.

•Comme exemples, citons le LM741 de « National Semiconductor » et le SN72741 de « Texas Instruments ».

•Dans cette présentation, nous n’aborderons pas la constitution interne d’un AOP. Nous le considèrerons plutôt

comme une « boîte noire » que nous étudierons « de l’extérieur ».

•Nous nous pencherons donc uniquement sur l’étude de montages à base d’AOP réalisant justement la fonction

d’amplification et diverses autres opérations comme la sommation ou la dérivation.

L’Amplificateur Opérationnel en bref – Symbole, entrées et sortie

3

Le symbole d’un Amplificateur OPérationnel (ou AOP)

est donné par la figure 1.1 ci-contre.

Un AOP possède :

•Deux entrées v+ et v- qui reçoivent les signaux à

amplifier et à traiter (sommer, inverser, etc).

•Une sortie sur laquelle nous récupérons le signal

résultant Vs.

•Deux entrées d’alimentation +Vcc et -Vcc.

Quelle différence y a-t-il entre les entrées v+ et v- et

les entrées d’alimentation +Vcc et -Vcc ?

•Comme dit plus haut, les deux entrées v+ et v-

reçoivent les signaux à amplifier et à traiter.

•Maintenant, selon le principe que « rien ne se crée,

tout se transforme »…

•… comment, par exemple, est-ce qu’un AOP peut-il

élever une tension de 10mV à l’entrée à 1V à la sortie ?

•À partir de quoi sont créés ces 990mV à la sortie ?

•C’est, justement, de ces entrées d’alimentation que

l’AOP tire l’énergie nécessaire à l’amplification.

•Nous verrons, d’ailleurs, que l’AOP ne peut amplifier

un signal au-delà de sa tension d’alimentation.

v-

v+

Alimentation (-Vcc)

Alimentation (+Vcc)

Sortie (Vs)Entrées

(v+ et v-)

Figure 1.1 : Symbole d’un AOP

L’Amplificateur Opérationnel en bref – L’exemple du LM741

4

NB : Généralement, pour alléger nos schémas, nous ne

représentons pas les entrées d’alimentation.

Dans la pratique, un AOP est un circuit intégré qui se

présente sous la forme d’un boîtier.

Sur la figure 1.2 est schématisé un LM741 :

•Les deux entrées v+ et v- correspondent aux broches

2 et 3, respectivement.

•La sortie Vs est délivrée sur la broche 6.

•Les deux entrées d’alimentation +Vcc et –Vcc

correspondent aux broches 7 et 4, respectivement.

La figure 1.3 montre un LM741 monté sur un circuit

électronique.

Figure 1.2 : Brochage d’un LM741

LM741v- : 2

v+ : 3

Offset Null : 1

-Vcc : 4

7 : +Vcc

8 : Non Connectée

6 : Vs

5 : Offset Null

Figure 1.3 : Exemple d’un circuit avec un LM741

L’AOP en mode saturé – Fonctionnement et allure de Vs

5

Appliquons deux tensions aux entrées de l’AOP (voir

figure 2.1) :

•Une tension Ve+ à l’entrée v+.

•Une tension Ve- à l’entrée v-.NB : On note ε la différence de potentiel (v+ - v-).

Voici ce que donnerait l’AOP en sortie (voir figure 2.2) :•Si Ve+ > Ve- (donc si ε > 0V), alors Vs = +Vcc.

•Si Ve+ < Ve- (donc si ε < 0V), alors Vs = -Vcc.

Nous voyons que la sortie ne peut prendre que deux

valeurs uniquement : +Vcc et -Vcc.

•Ces deux valeurs étant le maximum et le minimum que

peut donner un AOP à sa sortie…

•… On dit que la sortie « se sature » à +/-Vcc.

•C’est de là que vient le terme « fonctionnement en

mode saturé » quand l’AOP fonctionne de cette façon.

Figure 2.1 : L’AOP en mode saturé

v-

v+

-Vcc

+Vcc

Sortie (Vs)ε

Ve+Ve-

Vs [V]

ε [V]

+Vcc

-Vcc

Figure 2.2 : Allure de Vs en mode saturé

L’AOP en mode saturé – Remarques

6

En mode saturé, l’AOP peut être vu comme un« comparateur » : il compare Ve+ à Ve- (ou compare ε à

zéro) et :•Si ε est positif, alors la sortie prend +Vcc.

•Si ε est négatif, alors la sortie prend -Vcc.

Cependant, en mode saturé, on voit mal la fonction

d’amplification à laquelle on s’attendrait de la part d’un

AOP.

•En effet, on s’attendrait plutôt à ce que l’allure de Vs

soit comme celle donnée par la figure 2.3.•Sur cette figure, Vs étant linéaire en fonction de ε*,

on appelle cette façon de fonctionner de l’AOP le

« mode linéaire ».

(*) Nous verrons, plus bas, qu’en mode linéaire, ε=0V et que Vs est exprimée

plutôt en fonction de Ve qu’en fonction de ε.

Figure 2.3 : Allure de Vs souhaitée

En fait, utilisé comme indiqué sur la figure 2.1, l’AOP ne

peut fonctionner qu’en mode saturé.

•La question qui se pose alors est : comment faire

fonctionner l’AOP en mode linéaire ?

•Comme nous allons le voir dans la section suivante, il

faut relier la sortie Vs à l’entrée v- pour avoir ce

fonctionnement « linéaire ».

•On appelle le fait de ramener la sortie à l’entrée v-

une « contre-réaction ».

Vs [V]

ε [V]

Avec une pente supérieure à 1,

nous obtenons une sortie Vsamplifiée par rapport à ε.

L’AOP en mode linéaire – La contre-réaction

7

Nous avons dit que, pour faire fonctionner l’AOP en

mode linéaire, il faut relier sa sortie Vs à son entrée v-.

Concrètement, nous pouvons directement connecter

Vs à v- avec un fil, comme le montre la figure 3.1.

Ceci donne ce que l’on appelle un montage « suiveur »

où Vs=Ve. Il n’y a pas d’amplification dans ce cas.

Cependant, ce montage est utilisé pour ce que l’on

appelle « adaptation d’impédance ».

Nous verrons, dans la suite, qu’il est aussi possible de

relier Vs à v- à travers un composant tel une

résistance ou une capacité. Ceci donnera d’autres

montages où, cette fois, nous aurons l’amplification.

Dans un cas ou dans l’autre, l’allure de Vs est donnée

par la figure 3.2.Figure 3.2 : Allure de Vs en mode linéaire

Vs [V]

Ve [V]

Figure 3.1 : Contre-réaction donnant le mode linéaire

v-

v+

Sortie (Vs)

ε

Ve

+Vcc

-Vcc

La pente de cette caractéristique

représente le gain que l’on note

Av. Ce gain dépend du montage.

L’AOP en mode linéaire – Inversion du signal à la sortie

8

Il est à noter que la caractéristique de la figure 3.2 a

une pente positive car la tension Ve est appliquée à

l’entrée v+ (figure 3.1).

Il est aussi possible d’appliquer Ve à l’entrée v- (figure

3.3). Par contre, la caractéristique aura une pente

négative (figure 3.4).

Considérons un taux d’amplification de 2 :

•Dans le premier cas, si Ve=1V, Vs=2V. Le gain Av=2.

•Dans le second cas, Vs=-2V et le gain Av=-2.

Ce signe « - » dans le gain Av indique qu’il y a inversion

de la tension Vs par rapport à Ve. Si Ve est une tension

sinusoïdale, Vs serait en opposition de phase.

De là viennent les termes « entrée inverseuse » pour

v- et « entrée non-inverseuse » pour v+. Figure 3.4 : Allure de Vs quand Ve est appliquée à v-

Vs [V]

Ve [V]

Figure 3.3 : La tension Ve est appliquée à l’entrée v-

v-

v+

Sortie (Vs)

ε

Ve

contre-réaction

+Vcc

-Vcc

L’AOP en mode linéaire – Relations de tensions et de courants

9

Indépendamment du mode de fonctionnement de l’AOP,

nous associons le potentiel v+ à l’entrée non-

inverseuse et le potentiel v- à l’entrée inverseuse.

Nous associons aussi les courants i+ et i- rentrant par

(ou sortant de) l’entrée non-verseuse et l’entrée

inverseuse, respectivement (voir figure 3.5).

Particulièrement quand il fonctionne en régime

linéaire, un AOP idéal a les caractéristiques suivantes :• ε = v+ - v- = 0V.

• i+ = i- = 0A.

Ces relations nous aideront énormément pour le calcul

du gain Av de chaque montage.

Figure 3.5 : Tensions et courants définis pour un AOP

v-

v+

Sortie (Vs)

ε

contre-réaction

i-

i+

Deux dernières remarques :•En mode linéaire, ε=0V. C’est pour cela que,

contrairement au mode saturé, nous ne parlons plusde Vs=F(ε), mais plutôt Vs=F(Ve) (figures 3.2 et 3.4).

•Nous aurions souhaité une caractéristique Vs=F(Ve)

linéaire pour toute valeur de Ve (figure 2.3).

Cependant, nous voyons sur les figures 3.2 et 3.4 que

la zone de linéarité est restreinte à une plage de Ve.

Au-delà nous avons deux zones de saturation.

L’AOP en mode linéaire – Ecrêtage de la sortie et valeur

limite de l’entrée

10

Nous avons dit (diapo 4) qu’un AOP ne peut amplifier

une tension au-delà des limites des deux tensions

d’alimentation +Vcc et –Vcc.

Nous avons aussi vu (figures 3.2 et 3.4) qu’en mode

linéaire, dès que la tension Vs atteint +Vcc ou –Vcc,

nous entrons dans l’une des deux zones de saturation.

Le phénomène d’écrêtage de la tension de sortie Vs est

directement lié à cette notion de saturation. Illustrons

ceci par un exemple (figure 3.6) :

•Considérons une tension d’entrée ve sinusoïdale

d’amplitude VeMAX=3V.

•Considérons aussi que notre amplificateur a un gain

Av=2 et est alimenté entre +Vcc=+5V et –Vcc=-5V.

On s’attendrait à ce que vs oscille entre +/-6V. Or, il

n’en est rien. La tension vs ne dépasse pas les +/-5V.

Valeur de Ve à partir de laquelle il y a écrêtage :

•Nous savons que -Vcc≤Vs≤+Vcc.

•Nous savons aussi que Vs=Av.Ve.

•Donc -Vcc≤Av.Ve≤+Vcc…

•… ou encore (-Vcc/Av)≤Ve≤(+Vcc/Av).

Figure 3.6 : Illustration du phénomène d’écrêtage de la sorite Vs

ve , vs [V]

t [s]

Ecrêtage de Vs

Ecrêtage de Vs

+Vcc

-Vcc

L’AOP en mode saturé avec « hystérésis » – Effet de la

réaction

11

Nous avons dit que, pour avoir le fonctionnement en

mode linéaire, il faut relier la sortie Vs à l’entrée v-.

Que se passerait-il donc si on la relie à l’entrée v+* ?

La réponse est que nous aurions, à nouveau, un

fonctionnement en mode saturé, à une différence près :

le basculement de la sortie entre +Vcc et –Vcc ne sefait plus lors du changement de signe de ε.

En effet, le fonctionnement devient (voir figure 3.8) :

•Si Ve>VeMAX, alors Vs=+Vcc.

•Si Ve<VeMIN, alors Vs=-Vcc.

•Si VeMIN≤Ve≤VeMAX, alors Vs garde son état précédent.

Cet effet de basculement autour de deux valeurs

distinctes et non autour de zéro est dit « hystérésis ».

(*) NB : la connexion de Vs à v+ est dite « réaction » pour la distinguer de la

« contre-réaction », qui est la connexion de Vs à v-.

Vs [V]

Ve [V]

Figure 3.7 : Réaction donnant le mode saturé avec hystérésis

v-

v+

Sortie (Vs)

ε

Ve

+Vcc

-Vcc

Figure 3.8 : Allure de Vs en mode saturé avec « hystérésis »

réaction

VeMAX

VeMIN

L’AOP en mode linéaire – Le montage non-inverseur

Schéma du circuit

12

Vs

R2

Ve

i-

i+

I2

v-

v+

εR1

UR2

UR1

Maille I

Maille II

Nœud A

I1

Av = 1+R2/R1

L’AOP en mode linéaire – Le montage non-inverseurExpression du gain en tension

13

Par recours aux lois de Kirchhoff :

•Intéressons-nous aux mailles I et II et au nœud A :•[1] Maille I : Ve - ε - UR1 = 0V.

•[2] Maille II : Vs - UR2 - UR1 = OV.

•[3] Nœud A : I2 - i- - I1 = 0A.

•En appliquant la loi d’Ohm aux bornes de R1 et R2 :•[1] Maille I : Ve - ε - R1.I1 = 0V.

•[2] Maille II : Vs - R2.I2 - R1.I1 = OV.•L’AOP étant idéal, ε = 0V et i- = 0A. Ceci donne :

•[3] Nœud A : I2 - I1 = 0A → I2 = I1.

•[1] Maille I : Ve - R1.I1 = 0V.

•[2] Maille II : Vs - R2.I1 - R1.I1 = OV.

•En isolant Ve et Vs dans [1] et [2], nous obtenons :

•[1] Maille I : Ve = R1.I1.

•[2] Maille II : Vs = (R2 + R1).I1.

•Il ne reste plus qu’à déduire l’expression du gain :

•Av = Vs/Ve = (R2 + R1)/R1 = 1 + R2/R1.

Caractéristiques d’un AOP idéal en mode linéaire :• ε = v+ - v- = 0V.

• i+ = i- = 0A.

Par calcul des potentiels v+ et v- :

•La tension Ve étant directement appliquée à l’entrée

non-inverseuse, nous avons :

• v+ = Ve.

•Le potentiel v- (au nœud A) est égal à la tension UR1

qu’il nous faut donc calculer.

•Au nœud A, i- étant nul, R1 et R2 sont parcourues par

un même courant. Nous pouvons donc recourir à la

formule du « diviseur de tension » :

• v- = UR1 = R1/(R1+R2).Vs.•L’AOP étant idéal, nous savons que ε=0V et donc que

v+ = v-. Par conséquent :•Ve = R1/(R1+R2).Vs → Vs/Ve = (R1+R2)/R1.

L’AOP en mode linéaire – Le montage inverseur

Schéma du circuit

14

Vs

R2

Ve

i-

I2

v-

v+

εR1

UR2

UR1

Maille I

Maille II

Nœud A

I1

i+

Av = -R2/R1

L’AOP en mode linéaire – Le montage inverseurExpression du gain en tension

15


•Intéressons-nous aux mailles I et II et au nœud A :•[1] Maille I : Ve - UR1 + ε = 0V.

•[2] Maille II : Vs + UR2 + UR1 - Ve = OV.

•[3] Nœud A : I1 - i- - I2 = 0A.

•En appliquant la loi d’Ohm aux bornes de R1 et R2 :•[1] Maille I : Ve - R1.I1 + ε = 0V.

•[2] Maille II : Vs + R2.I2 + R1.I1 – Ve = OV.•L’AOP étant idéal, ε = 0V et i- = 0A. Ceci donne :

•[3] Nœud A : I1 - I2 = 0A → I1 = I2.

•[1] Maille I : Ve - R1.I1 = 0V → Ve = R1.I1.

•[2] Maille II : Vs + R2.I1 + R1.I1 – Ve = OV.

•La relation [1] nous permet d’annuler la partie « R1.I1 -

Ve » dans la relation [2], qui se réduit à :

•[2] Vs + R2.I1 = OV → Vs = -R2.I1.

•Il ne reste plus qu’à déduire l’expression du gain :

•Av = Vs/Ve = -R2/R1.


• i+ = i- = 0A.


•Le potentiel v- (au nœud A) peut-être calculé grâce à

la formule de « Millman » :

• v- = [Vs/R2+Ve/R1]/[1/R2+1/R1].

•L’entrée non-inverseuse étant à la masse :

• v+ = 0V.•L’AOP étant idéal, nous savons que ε=0V et donc que

v- = v+. Par conséquent* :•Vs/R2+Ve/R1 = 0V → Vs/R2 = -Ve/R1.

•L’expression du gain en découle directement :

•Av = Vs/Ve = -R2/R1.

(*) NB : Dans l’expression de v-, le dénominateur étant toujours positif, seul le

numérateur peut être nul.

L’AOP en mode linéaire – Montages inverseuret non-inverseur : remarques concernant le gain Av

16

Montage inverseur (suite) :

•De même, si Ve est une tension sinusoïdale, Vs sera

en opposition de phase par rapport à Ve.

•Cette inversion du signal est due au fait que la

tension Ve est appliquée à l’entrée inverseuse (d’où le

nom donné à cette entrée et au montage aussi).

Montage inverseur :

Intéressons nous d’abord au ratio R2/R1 dans

l’expression du gain Av :

•Nous remarquons que l’amplitude de Vs est amplifiée

en comparaison à celle de Ve uniquement dans le cas

où R2 > R1.

•Si, par contre, R2 < R1, il y aura atténuation de

l’amplitude de Vs. Il ne faut donc pas croire qu’un

montage amplificateur ne fait qu’amplifier les signaux.

•Enfin, si R2 = R1, il n’y aura ni amplification, ni

atténuation. Dans ce cas, le montage est utilisé pour

faire « l’adaptation d’impédance », mais ceci est hors

du contexte de ce cours.

Concernant, le signe « - », il traduit le fait qu’il y a

« inversion » du signal à la sortie :

•Dit autrement, si Ve est une tension continue positive,

Vs sera une tension continue négative et vice-versa.

Montage non-inverseur :

La première remarque concerne le gain qui est

toujours sup à 1 (Av = 1+R2/R2).

Nous avons vu que pour d’autres montage, comme le

montage inverseur, ce n’est pas toujours le cas.

Nous remarquons aussi que, comme la tension Ve est

appliquée à l’entrée non-inverseuse, l’expression du

gain ne comporte aucun signe « - ».

Il n’y a donc pas d’inversion de la tension de sortie Vs

par rapport à celle d’entrée Ve.

L’AOP en mode linéaire – Le montage sommateur

Schéma du circuit

17

Vs

R4

i-

I4

v-

v+

ε

Ve1

UR4

R1

UR1

Maille IV

Nœud A

I1

i+

Vs = -R4(Ve1/R1+Ve2/R2+Ve3/R3)

Ve2

Ve3

R3

UR3

R2

UR2I2

I3

Maille I

Maille II

Maille III

L’AOP en mode linéaire – Le montage sommateurExpression du gain en tension

18


•Les équations des mailles I à IV donnent :•[1] Maille I : Ve1 - UR1 + ε = 0V.

•[2] Maille II : Ve2 - UR2 + ε = 0V.

•[3] Maille III : Ve3 - UR3 + ε = 0V.

•[4] Maille IV : Vs + UR4 + ε = OV.

•L’AOP étant idéal, ε = 0V et peut donc être éliminée

des équations ci-dessus.

•En appliquant la loi d’Ohm aux bornes de R1 à R4 :•[1] Maille I : Ve1 - R1.I1 = 0V → I1 = Ve1/R1.

•[2] Maille II : Ve2 - R2.I2 = 0V → I2 = Ve2/R2.

•[3] Maille III : Ve3 - R3.I3 = 0V → I3 = Ve3/R3.

•[4] Maille IV : Vs + R4.I4 = OV → I4 = -Vs/R4.

•Au nœud A, nous avons :

•[5] Nœud A : I4 + i- = I1 + I2 + I3•L’AOP étant idéal, i- = 0A.

•En injectant les expressions [1] à [4] dans [5], on a :

•Vs = -R4.(Ve1/R1 + Ve2/R2 + Ve3/R3).


• i+ = i- = 0A.


•Le potentiel v- (au nœud A) peut-être calculé grâce à

la formule de « Millman » :

• v- = [Ve1/R1+Ve2/R2+Ve3/R3+Vs/R4]/

[1/R1+1/R2+1/R3+1/R4].

•L’entrée non-inverseuse étant à la masse :

• v+ = 0V.•L’AOP étant idéal, nous savons que ε=0V et donc que

v- = v+. Par conséquent* :

•Ve1/R1+Ve2/R2+Ve3/R3+Vs/R4 = 0V.

•En isolant Vs, nous obtenons :

•Vs = -R4.(Ve1/R1 + Ve2/R2 + Ve3/R3).

(*) NB : Seul le numérateur est considéré (voir diapo 6).

L’AOP en mode linéaire – Le montage sommateurRemarques concernant le gain Av

19

Cas particuliers du montage sommateur :

•Si toutes les résistances d’entrée (R1 à R3) sont

égales, l’expression de Vs devient :

•Vs = -R4/R1.(Ve1 + Ve2 + Ve3).

•Si, en plus, la résistance de sortie R4 est aussi égale

aux résistances d’entrée, nous obtenons :

•Vs = -(Ve1 + Ve2 + Ve3).

Concernant l’expression de Vs = F(Vei)

•Pour le montage sommateur nous n’avons pas

dégagé l’expression d’un gain Av, contrairement aux

montages inverseur et non-inverseur.

•Ceci ne veut pas pour autant dire que la notion de

gain n’existe pas pour le sommateur.

•En fait, nous parlons même de gains (au pluriel) : un

gain Avi par tension d’entrée Vei.

•En effet, l’expression de Vs peut être récrite ainsi :•Vs = ∑(-R4/Ri).Vei où Avi=-R4/Ri est le gain

correspondant à l’entrée Vei.

•Cependant, il est plus simple et plus significatif de

donner l’expression de Vs que celle de chaque gain,

séparément.

Concernant, le signe « - » :

•Il traduit l’inversion du signal à la sortie vu que les

tensions Vei sont appliquées à l’entrée inverseuse.

Autre variante du montage sommateur :

•Nous avons étudié, dans cette section, un montage

sommateur « inverseur » (vu que la somme est

affectée d’un signe moins à la sortie).

•Il existe aussi des montages sommateurs non-

inverseurs, où les tensions Vei sont appliquées à

l’entrée non-inverseuse.

•Le schéma du montage est légèrement différent,

mais les principes de calcul restent les mêmes.

L’AOP en mode linéaire – Le montage soustracteur

Schéma du circuit

20

Vs

R4

i-v-

v+

ε

Ve1

UR4

R1

UR1Nœud A

I1

Ve2

R2

UR2I2

Vs = [[R3.(R4+R1)]/[R1.(R2+R3)]].Ve2 – [R4/R1].Ve1

i+

R3UR3

I3

Maille I

Maille II

I4

Nœud B

L’AOP en mode linéaire – Le montage soustracteurExpression du gain en tension (1/2)

21


•Le long des mailles I et II et aux nœud A et B, on a :•[1] Maille I : Vs + UR4 + ε - UR3 = 0V.

•[2] Maille II : Vs + UR4 + UR1 - Ve1 = 0V.

•[3] Nœud A : I1 - I4 - i- = 0A.

•[4] Nœud B : I2 - I3 – i+ = 0A.

•L’AOP étant considéré idéal, i+ = i- = 0A. Donc :•[3] Nœud A : I1 - I4 = 0A → I1 = I4.

•[4] Nœud B : I2 - I3 = 0A → I2 = I3.

•Grâce à l’égalité [3] et à loi d’Ohm, [2] devient :

•[2] Maille II : Vs + (R4+R1).I1 - Ve1 = 0V.

•Nous obtenons alors l’expression du courant I1 :

•[5] I1 = (Ve1 - Vs)/(R4 + R1).

•L’égalité [4] est la condition permettant d’appliquer le

« diviseur de tension » pour calculer UR3 :

•[6] UR3 = [R3/(R2+R3)].Ve2.•L’AOP étant idéal, on sait que ε=0V et l’on peut donc éliminer

le terme correspondant de la relation [1].

•Maintenant, en injectant [6] dans [1], on a :

•[1] Maille I : Vs + UR4 - [R3/(R2+R3)].Ve2 = 0V.


• i+ = i- = 0A.

Par recours aux lois de Kirchhoff (suite) :

•Sachant que UR4=R4.I4=R4.I1, injectons [5] dans [1] :

•[1] Maille I : Vs + R4.(Ve1-Vs)/(R4+R1)

- [R3/(R2+R3)].Ve2 = 0V.

•A partir de ce stade, suivons les calculs pas à pas :

•Vs + R4.(Ve1-Vs)/(R4+R1) - [R3/(R2+R3)].Ve2 = 0V.

•Vs = [R3/(R2+R3)].Ve2 - R4.(Ve1-Vs)/(R4+R1) .

•Vs - [R4/(R4+R1)].Vs =

[R3/(R2+R3)].Ve2 - [R4/(R4+R1)].Ve1 .

•[1 - R4/(R4+R1)].Vs =

[R3/(R2+R3)].Ve2 - [R4/(R4+R1)].Ve1.

•[R1/(R4+R1)].Vs = [R3/(R2+R3)].Ve2 - [R4/(R4+R1)].Ve1.

•En isolant Vs, il vient que :

•Vs = [R3.(R4+R1)/(R1.(R2+R3))].Ve2 - [R4/R1].Ve1.

L’AOP en mode linéaire – Le montage soustracteurExpression du gain en tension (2/2)

22


•Le théorème de « Millman » permet d’écrire :

• v- = [Ve1/R1+Vs/R4]/[1/R1+1/R4].

•La formule du « diviseur de tension » nous donne :

• v+ = UR3 = [R3/(R2+R3)].Ve2.•L’AOP étant idéal, nous savons que ε=0V et donc que

v- = v+. Par conséquent :

•[Ve1/R1+Vs/R4]/[1/R1+1/R4]=[R3/(R2+R3)].Ve2.

•Suivons à nouveau les calculs et commençons par

réarranger la partie gauche de notre égalité :

•[Ve1/R1 + Vs/R4]/[1/R1+1/R4] = …

•[Ve1/R1 + Vs/R4]/[(R1+R4)/(R1.R4)] = …

•(R1.R4).[Ve1/R1 + Vs/R4]/(R1+R4) = …

•[R4/(R1+R4)].Ve1 + [R1/(R1+R4)].Vs = …

•Nous obtenons donc :

•[R4/(R1+R4)].Ve1 + [R1/(R1+R4)].Vs =

[R3/(R2+R3)].Ve2.


• i+ = i- = 0A.

Par calcul des potentiels v+ et v- (suite) :

•En isolant le terme en Vs, l’égalité devient :

•[R1/(R1+R4)].Vs =

[R3/(R2+R3)].Ve2 - [R4/(R1+R4)].Ve1.

•Il en ressort, au final, l’expression suivante :

•Vs =

[R3.(R1+R4)/(R1.(R2+R3))].Ve2 - (R4/R1).Ve1.

L’AOP en mode linéaire – Le montage intégrateur

Schéma du circuit

23

VsVe

i-

I2

v-

v+

εR

UC

UR

Maille I

Maille II

Nœud A

I1

i+

Vs = -1/RC ∫Ve.dt

L’AOP en mode linéaire – Le montage intégrateurExpression du gain en tension

24


•Le long des mailles I et II et au nœud A nous avons :•[1] Maille I : Ve - UR + ε = 0V.

•[2] Maille II* : Vs + UC + ε = 0V.

•[3] Nœud A : I1 - i- - I2 = 0A.

•Aux bornes de R et de C, nous avons, respectivement :

•[4] UR = R.I1.•[5] UC = 1/C.∫I2.dt.

•L’AOP étant idéal, ε = 0V et i- = 0A. Ceci donne :

•[3] Nœud A : I2 - I1 = 0A → I2 = I1.

•[1] Maille I : Ve - R.I1 = 0V → I1 = Ve/R.•[2] Maille II : Vs + 1/C.∫I2.dt = OV.

•Remplaçons I2 dans [2] par l’expression de I1 dans [1] :•[2] Maille II : Vs + 1/C.∫Ve/R.dt = 0V.

•Au final, nous obtenons l’expression suivante :•Vs = -1/RC.∫Ve.dt.

(*) NB : Nous aurions tout aussi bien pu utiliser cette petite maille pour le montage

inverseur.


• i+ = i- = 0A.


•Cette méthode fait appel à « Millman » pour calculer

le potentiel v- et est supposée faciliter les calculs.

•Cependant, pour les montages intégrateur et

dérivateur, la méthode des mailles est bien plus

simple et nous nous en contenterons.

Effet de la fonction « intégration » sur Vs :

•Si Ve est un signal carré (valant tantôt « +a » et

tantôt « -a »), Vs sera un signal triangulaire (valant

tantôt « -ax+b » et tantôt « +ax+b »).

•Si Ve est un signal sinusoïdal, Vs sera aussi un signalsinusoïdal, mais déphasé de –π/2.

L’AOP en mode linéaire – Le montage dérivateur

Schéma du circuit

25

VsVe

i-

I2

v-

v+

ε

R

UR

Maille I

Maille II

Nœud A

I1

i+

Vs = -RC dVe/dt

UC

L’AOP en mode linéaire – Le montage dérivateurExpression du gain en tension

26


•Le long des mailles I et II et au nœud A nous avons :•[1] Maille I : Ve - UC + ε = 0V.

•[2] Maille II : Vs + UR + ε = 0V.

•[3] Nœud A : I1 - i- - I2 = 0A.

•Aux bornes de R et de C, nous avons, respectivement :

•[4] UR = R.I2.•[5] UC = 1/C.∫I1.dt.

•L’AOP étant idéal, ε = 0V et i- = 0A. Ceci donne :

•[3] Nœud A : I2 - I1 = 0A → I2 = I1.•[1] Maille I : Ve - 1/C.∫I1.dt = 0V → I1 = C.dVe/dt.

•[2] Maille II : Vs + R.I2 = OV.

•Remplaçons I2 dans [2] par l’expression de I1 dans [1] :

•[2] Maille II : Vs + RC.dVe/dt = 0V.

•Au final, nous obtenons l’expression suivante :

•Vs = -RC.dVe/dt.


• i+ = i- = 0A.


•Tout comme pour le montage intégrateur, la méthode

des mailles est bien plus simple et nous nous en

contenterons.

Effet de la fonction « dérivation » sur Vs :

•Si Ve est un signal carré (valant tantôt « +a » et

tantôt « –a »), Vs sera une succession d’impulsions.

•Si Ve est un signal triangulaire (valant tantôt

« +ax+b » et tantôt « –ax+b »), Vs sera un signal

carré (valant tantôt « +a » et tantôt « -a »).

•Si Ve est un signal sinusoïdal, Vs sera aussi un signalsinusoïdal, mais déphasé de +π/2.

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