analysis of clements' method for capability
TRANSCRIPT
��
��������� �� � ���� �� ���������� �� ����� ���� ������ ���� �
� �������� ���������������������������� ���������� ��� �������!"#$%&��'�������� ���������
(���������!)��*+,!������-�.�����/���*�0������ ���
"���/�1�/���*��
������������� ������ ����
������������������������� ����
�� ����������
In a practical approach the statistical methods in quality management are first of all:statistical process control (SPC), measurement system analysis (MSA), acceptance sam-pling techniques and process and product reliability assessment. Statistical methods takeparticular place in a process improvement; in this scope the following statistical instrumentsare applied: hypotheses and test procedures, analysis of variance (ANOVA), regression andcorrelation analysis, design of experiment (DOE) etc. [1–4].
One of the fundamental tasks of SPC is the assessment of capability of a process/ ma-chine relating to client’s expectations. In this scope many different capability indices areapplied in practice, e.g. Cp, Cpk, Pp, Ppk, Cm, Cmk, Tp, Tpk [5– 10].
This work concerns the comparative analysis of capability indices determination incase of the distribution unlike the normal one.
�� ���������������������� ������������
�������������������������� �����
It is stressed widely that SPC methods are situated in an “avoiding loss” convention –information achieved by these methods we use “on-line” in order to assure a desirableperformance of the process (instead of concentrate on process effects that not always aredesirable and expected, we focus on the process that generates these results!).
In case of distributions unlike the normal a natural tolerance – i.e. the range in whichpractically all possible realization of the process should be contained – we define as [6, 8, 10]:
Tn = x0.99865 – x0.00135 (1)
�2
where:x0.00135 – value meeting the condition: P(x < x0.00135) = 0.00135,x0.99865 – value meeting the condition P(x < x0.99865) = 0.99865 (i.e. P(x >= x0.99865) =
= 0.00135) (Fig. 1).
������������������� �������������������������������������
Let’s give attention that the definition (1) guarantees exactly the same as the 6s range(s – standard deviation) in case of a normal distribution, i.e. within the range determined bya natural tolerance practically all possible realizations of the process should be contained,and participation of the realization outside the range determined by natural tolerance limitsequals 0.0027 (i.e. 2700 ppm).
Additionally, let x0.5 means the median (P(x < x0.5) = 0.5) which, in case of an asym-metric distribution, will be a measure of midpoint of grouping of values (of course, in caseof symmetric distributions e.g. a normal distribution there is the equality x0.5 = ,x where:x – mean value).
Based on the values defined above, i.e. x0.00135, x0.5, x0.99865 process capability indicesCp, Cpk we define as below (Tab. 1) [6, 8].
������������3������������������.������������3 ����%���� ���������� ���
Specification limits potential capability Cp real capability Cpk
double-sided specification limits 0 ,9 9 8 6 5 0 ,0 0 1 3 5
U S L L S L
x x
−−
(2) 0,5 0,5
0,5 0,00135 0,99865 0,5min ;
x LSL USL x
x x x x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
(3)
lower specification limit only
N / A 0 ,5
0 ,5 0 ,0 0 1 3 5
x L S L
x x
−−
(4)
upper specification limit only
N / A 0 ,5
0 ,9 9 8 6 5 0 ,5
U S L x
x x
−−
(5)
Symbols: USL – upper specification limit LSL – lower specification limit N / A – not available
�4
There are two methods of determination of the values x0.00135, x0.5, x0.99865 [6, 10]:
% ��������5������- �� ���������6�����������3������'�� �������������������
����* ����������*�,����-���������������������������*��,���������������3 .
��������������/������������
% �6�����������7 �����*��,���������������� �������8�9������������������3 ����
�� ��������/�����������- �� �������� ���'�� ���:�::;<�!�:��!�:�==>2�,����������
���������������������
0.00135
( ) 0.00135x
f x dx−∞
=∫ (6)
0.5
( ) 0.5x
f x dx−∞
=∫ (7)
0.99865
( ) 0.99865x
f x dx−∞
=∫ (8)
�� �������������
In order to determine the capability indices (Table 1, formulae 2–5) it is necessary todetermine the values x0.00135, x0.5, x0.99865. For that purpose Clements proposed a methodbasing on the Pearson curves [6, 8].
The course of proceeding in the Clements’ method is the following:
% �� ��� 3���� �� ����3��� ,� ��������� ����� '�� � ( ),x � �������� ��'������ 8�9!
�*�,����8��9���* ������8��9!
% '�� ���:�::;<�!�:��!�:�==>2����3�����������������7 ���������������� ����
0.00135 0.00135x x k s= − ⋅ (9)
0.99865 0.99865x x k s= + ⋅ (10)
0.50.5
0.5
; 0
; 0
x k s Skx
x k s Sk
− ⋅ >⎧⎪= ⎨+ ⋅ <⎪⎩
(11)
where: k0,00135, k0,5, k0,99865 – indices depending on skewness and kurtosis; read from thetables, indices Cp, Cpk are determined according to adequate expressions placedin Table 1 (formulae 2–5).
�>
�� � ����������� ����� ���
������!"#�$%�&�'(�)*�!+,�$(!-�(!)+$
The aim of testing was the evaluation of accuracy of the Clements’ method. The proce-dure was as follows:
% ��� ��� �������� ����������� ������3 �����! �� ��� ��� ��� ����������! �� ��� 3���� ��
����3�3������������� �����������'�� �!����������'������!�*�,�������* ������
,������� �����
% ���������3����������3�3������������� ������! ��������6���������829!849!8>9���
'�� ���:�::;<�!�:��!�:�==>2�,�������������8����������������������'�� ��9
% ��� '�� �� �:�::;<�! �:��! �:�==>2� ,��� ���������� ����� ���� ��� ��������5 ������
8���� ���=%;;9
% � ������������ ��� ����������� '�� �� ������7 ���'�� �� �����'��,��� �������.
����5������,������������
������.�)/�(!'���0!$(/!�%(!)+$
In the analysis carried out the following theoretical distributions have been used:
% �6���������������3 ����-������3�3������������� ��������
( ) ; 0xf x e x−λ= λ ≥ 8;?9
,����λ%�����������������3 ����% ���������������3 ����-������3�3������������� ��������
( )2
2
ln1( ) exp ; 0
2 2
x mf x x
x
⎡ ⎤−⎢ ⎥= − ≥⎢ ⎥σ π σ⎣ ⎦
8;<9
,�����
� % ����'�� �!
σ % ����������'������
% �����������3 ����-������3�3������������� ��������
( )1 exp /( ) ; 0
( )
kk
x bf x x x
k b
− −= ≥
Γ8;@9
,�����
� % ����� ���������!
� % ��������������
% 3���������3 ����-������3�3������������� ��������
( ) ( ) 11( ) 1 ; [0, 1]( ) ( )
f x x x xβ−α−Γ α + β= − ∈
Γ α Γ β8;�9
�=
,�����
α % ����� ���������!
β % ��������������
% A��3 ��������3 ����-������3�3������������� ��������
1( / )( ) ; 0
kk
xk xf x e x
−− λ⎛ ⎞= ≥⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠
8;29
,�����
� % ����� ���������!
λ % ���������������
Density probability functions of selected distributions for the assumed parameters arepresented in Figures 2–7. The fundamental description parameters are in Table 2.
���������������� �������������������� ����������������
��������������� �������������������� ����������������
2:
������������� ������������������������ ������������
�������������� ������������������������ ������������
�������� ������� ������������������������ ������������
2;
����� �� ������� ������������������������ ������������
��������(����������������3 ����%���������'�����������
Descriptive Statistics Distribution Parameters mean
value median
standard deviation
skewness kurtosis
λ=1 1.0 0.6931 1.0 2 6
λ=0.5 1.0 1.3863 2.0 2 6 Exponential
λ=0.333 3.0 2.0794 3.0 2 6
m=0.25; σ=0.2 1.2840 0.2646 0.2646 0.6143 0.6784
m=0.25; σ=0.3 1.2840 0.4122 0.4122 0.9495 1.6449 Lognormal
m=0.25; σ=0.4 1.2840 0.5794 0.5794 1.3219 3.2600
b=0.5; k=2 1.0 0.83917 0.7071 1.4142 3
b=0.5; k=3 1.5 1.33703 0.8660 1.1547 2
b=0.5; k=4 2.0 1.83603 1.0 1.0 1.5
b=0.5; k=5 2.5 2.33545 1.1180 0.8944 1.2
b=0.5; k=6 3.0 2.88351 1.2247 0.8165 1
Gamma
b=0.5; k=10 5.0 4.83436 1.5811 0.6324 0.6
α=1; β=2.5 0.2857 0.24214 0.2130 0.7318 –0.2434
α=2; β=2.5 0.4444 0.43555 0.2119 0.1614 –07661
α=3; β=2.5 0.5454 0.55133 0.1953 –0.1241 –0.6855
α=4; β=2.5 0.6154 0.62787 0.1776 –0.3056 –0.5062
α=5; β=2.5 0.6667 0.68214 0.1617 –0.4340 –0.3158
Beta
α=6; β=2.5 0.7059 0.72262 0.1478 –0.5305 –0.1362
λ=1; k=1 1.0 0.6931 1.0 2 6
λ=1; k=1.5 0.9027 0.7832 0.6129 1.0720 1.3904
λ=1; k=3 0.8930 0.8850 0.3245 0.1681 –0.2705
λ=3; k=20 2.9205 2.9455 0.1810 –0.8680 1.2672
λ=3; k=30 2.9455 2.9636 0.1230 –0.9531 1.5841
Weibull
λ=3; k=40 2.9585 2.9726 0.0932 –0.9975 1.7630
2?
�����������������'���������
The
oret
ical
val
ue
Acc
ordi
ng to
Cle
men
ts
Dis
trib
utio
n Pa
ram
eter
s x 0
.001
35
x 0.5
x 0
.998
65
x 0.0
0135
x 0
.5
x 0.9
9865
m
1 m
2 m
3
λ =1
0.00
135
0.69
315
6.60
765
0.00
1 0.
693
6.60
8 0.
9997
0.
9999
0.
9999
λ=0.
5 0.
0027
0 1.
3862
9 13
.215
3 0.
002
1.38
6 13
.216
0.
9997
0.
9999
0.
9999
E
xpon
enti
al
λ=0.
333
0.00
405
2.07
944
19.8
23
0.00
3 2.
079
19.8
24
0.99
97
0.99
99
0.99
99
m=
0.25
; σ=
0.2
0.57
695
1.28
402
2.58
569
0.70
613
1.28
40
2.33
89
1.22
36
1.23
03
1.23
39
m=
0.25
; σ=
0.3
0.63
763
1.28
402
2.85
763
0.52
737
1.28
38
3.15
63
0.85
45
0.84
44
0.84
04
Log
norm
al
m=
0.25
; σ=
0.4
0.70
469
1.28
402
3.15
817
0.40
342
1.28
34
4.25
81
0.65
83
0.63
65
0.63
00
b=0.
5; k
=2
0.02
644
0.83
917
4.45
01
0.02
499
0.83
89
4.44
83
0.99
85
1.00
01
1.00
04
b=0.
5; k
=3
0.10
584
1.33
703
5.43
48
0.10
377
1.33
63
5.43
15
0.99
89
1.00
02
1.00
06
b=0.
5; k
=4
0.23
265
1.83
603
6.34
02
0.23
3 1.
836
6.33
8 1.
0002
1.
0004
1.
0005
b=0.
5; k
=5
0.39
594
2.33
545
7.19
62
0.38
66
2.33
61
7.20
38
0.99
49
0.99
75
0.99
86
b=0.
5; k
=6
0.58
749
2.88
351
8.01
74
0.58
813
2.83
49
8.01
47
1.02
19
1.00
04
0.99
11
Gam
ma
b=0.
5; k
=10
1.
5421
3 4.
8343
6 11
.087
9 1.
5448
8 4.
8338
11
.084
1.
0010
1.
0007
1.
0005
α=1;
β=
2.5
0.00
054
0.24
214
0.92
886
–0.0
003
0.24
15
0.92
71
0.99
89
1.00
10
1.00
17
α =2;
β=
2.5
0.01
772
0.43
555
0.95
635
0.01
832
0.43
55
0.95
52
1.00
16
1.00
19
1.00
21
α=3;
β=
2.5
0.06
041
0.55
133
0.96
826
0.06
153
0.55
14
0.96
76
1.00
21
1.00
19
1.00
17
α=4;
β=
2.5
0.11
465
0.62
787
0.97
501
0.11
558
0.62
79
0.97
48
1.00
17
1.00
13
1.00
07
α=5;
β=
2.5
0.17
067
0.68
214
0.97
938
0.17
199
0.68
23
0.97
91
1.00
23
1.00
20
1.00
14
Bet
a
α=6;
β=
2.5
0.22
412
0.72
262
0.98
244
0.22
529
0.72
28
0.98
23
1.00
21
1.00
17
1.00
10
λ=1;
k=
1 0.
0013
5 0.
6931
5 6.
6076
5 0.
001
0.69
3 6.
608
0.99
97
0.99
99
0.99
99
λ=1;
k=
1.5
0.00
203
0.78
322
3.52
126
–0.0
308
0.78
24
3.51
16
0.96
06
0.99
34
1.00
32
λ=1;
k=
3 0.
0040
5 0.
8850
0 1.
8765
0.
0782
3 0.
8825
1.
8541
1.
0953
1.
0544
1.
0205
λ=3;
k=
20
2.15
602
2.94
552
3.29
704
2.15
439
2.94
53
3.28
14
0.99
82
1.01
24
1.04
59
λ =3;
k=
30
2.40
7 2.
9635
7 3.
1948
9 2.
4072
1 2.
9636
3.
1839
1.
0004
1.
0144
1.
0497
Wei
bull
λ=3;
k=
40
2.54
324
2.97
264
3.14
501
2.54
355
2.97
27
3.13
67
1.00
06
1.01
44
1.05
05
2<
��������1����� ���!��2"�"
Values x0.00135, x0.5, x0.99865 determined theoretically for different distributions anddifferent parameters (according to formulae 6–8) and on the basis of the Clements’ method(according to formulae 9–11) are presented in Table 3.
Because these values serve to determine the capability indices Cp, Cpk (Tab. 1), addi-tionally – in this context – the following consistency measures have been defined:
0.5 0.001351
0.5 0.00135
( ) ( )
( ) ( )
x theor x theorm
x Clements x Clements
−=
−(17)
0.99865 0.001352
0.99865 0.00135
( ) ( )
( ) ( )
x theor x theorm
x Clements x Clements
−=
−(18)
0.99865 0.53
0.99865 0.5
( ) ( )
( ) ( )
x theor x theorm
x Clements x Clements
−=
−(19)
In the meaning of these total consistency measures it is the value 1.The values of measures m1, m2, m3 for different distributions are in Table 3.
3� �� ���
With the exception of the lognormal distribution the results achieved during investiga-tion confirm a very good accuracy of the Clements’ method. A very good conformity ofvalues x0.00135, x0.5, x0.99865 determined theoretically and with the Clements’ method, aswell as defined consistency measures (Tab. 3) indicate the truth of this statement.
In case of the lognormal distribution the operating of the Clements’ method is worse(Tab. 3).
The comparative analysis performed should enable the Clements’ method users its op-timal application.
Acknowledgements
The financial support from the Polish Ministry of Science and Higher Education, con-tract AGH no.10.10.110.797 is gratefully acknowledged.
���������
B;C �����!��# �����D ���������������!�AE!A����,!?::?8��������9
B?C "�� ����#$%�� ����������������� ��� �6 ����� ��FG� ������ ���� ����! H���A����G ���! ����!
?::<
2@
B<C ������ �&$�$���������������� �6 ����� ������ �� �����&���� �����������������! ������������!
H���A����G ���!����!?::<
B@C %��������!$'�����������"����������6���������! �6�������!H���A����G ���!����!?::�
B�C %��������!$'�������� ������� ����������D ������������!� ����������!H���A����G ���!����!?:::
B2C ��(��$)���* ����'$+�������������3��������������(����������������!"�����!;==>
B4C ,��-����$)�&�������'�������������3�����"���������E��.�����������������&�������I ��J�����.
���3 ����!����H�"�'���� ��(�������!?48?::49=4�%=>@
B>C ' ����"$#�������������3��������� ����������E��.������������3 �����!D �������!??8;=>=9=�%;::
B=C '(������#������3������������"����������� �6 ����"�������!������ ������� ���������������!
<<8?::49!;:�%;;;
B;:C '(������#�������������������������3��������������������������3 ���� ���*�������������!"����'��
����������� ��������������������!'���<@8?::>9<=%@?
F����'��
E�'��3��?::=