7-ed-dez-2016-ermac-completa.pdf - faculdade de ciências

ISSN 2316-9664

v. 7, dez. 2016

Edição ERMAC

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Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro

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Editoração Ivone Barbieri (Unesp/FC – Bauru)

Suporte Técnico Thiago Alexandre Domingues de Souza

FICHA CATALOGRÁFICA

510

C919

C.Q.D. – Revista Eletrônica de Matemática [re-

curso eletrônico] / Faculdade de Ciências, De-

partamento de Matemática. – Vol. 7, (dez.

2016) Edição ERMAC – Bauru : Departamento de

Matemática, 2012-

Semestral

ISSN 2316-9664

Disponível em:

http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/mate

matica/revista-cqd/

1. Matemática - Periódicos. I. Faculdade

de Ciências, Departamento de Matemática.

Sumário

Comparação entre métodos numéricos computacionais na solução de um problema de valor

inicial Letícia Braga Berlandi; Analice Costacurta Brandi 4-11

Comparação entre métodos numéricos: Runge-Kutta de quarta ordem e previsor-corretor Rafael de Lima Sterza; Analice Costacurta Brandi 12-22

Lógica da verdade pragmática apresentada num sistema dedutivo de tableaux Helen Gomes da Silva; Hércules de Araujo Feitosa 23-43

Método de diferenças finitas não clássico aplicado ao cálculo fracionário Lislaine Cristina Cardoso; Fernando Luiz Pio dos Santos; Rubens de Figueiredo Camargo 44-54

Métodos de pontos interiores e de programação inteira 0-1 em problemas de produtividade

associados ao plantio e colheita de cana-de-açúcar Amanda Suellen Caversan; Maria Laura Parra Spagnuolo de Souza; Antonio Roberto Balbo;

Sônia Cristina Poltroniere; Helenice de Oliveira Florentino 55-67

Modelagem matemática para o problema de produção de vigotas na indústria de lajes treliçadas Angelo Henrique Dinhane Vassoler; Sônia Cristina Poltroniere; Silvio Alexandre de Araújo

68-77

Modelo matemático espaço-discreto para análise de propagação da dengue Gabriela Colovati de Almeida; Fernando Luiz Pio dos Santos 78-87

Modelo matemático para otimização da operação de sistemas de abastecimento de água Letícia Maria Miquelin; Edilaine Martins Soler 88-96

O reticulado E8 via o corpo ciclotômico ℚ(ζ 20) Eliton Mendonça Moro; Carina Alves; Antonio Aparecido de Andrade 97-108

Regressão linear múltipla aplicada ao preço do leite Vitória Castro Santos Barreto; Gislaine Cristina Batistela; Monica Regina Gaiotto; Danilo Simões

109-118

Similaridade entre a estrutura algébrica associada a espaços projetivos e design combinatório

via diagrama de Hasse Leandro Bezerra de Lima; Reginaldo Palazzo Júnior 119-127

Uma abordagem da otimização de um plano de tratamento por radiação com o auxílio de

imagem Juliana Campos de Freitas; Daniela Renata Cantane 128-145

Usando o Geogebra no cálculo de área sob gráfico de funções no ensino médio Alexandre Calligaris Simões; Renata Zotin Gomes de Oliveira 146-159

ISSN 2316-9664

Volume 7, dez. 2016

Edição ERMAC

Leticia Braga Berlandi

Universidade Estadual Paulista

"Júlio de Mesquita Filho"

(UNESP/FCT).

leticia-braga-berlandi@hot-

mail.com

Analice Costacurta Brandi



(UNESP/FCT).

[email protected]

Comparação entre métodos numéricos compu-

tacionais na solução de um problema de valor

inicial

Comparison of computational numerical methods in an initial

value problem solution

Resumo

Equações diferenciais ordinárias (EDO) ocorrem com muita frequência

na descrição de fenômenos da natureza. Há vários métodos que resol-

vem analiticamente uma EDO, entretanto nem sempre é possível obter

essa solução. Neste caso, os métodos numéricos são utilizados para se

encontrar uma solução aproximada. Neste trabalho discute-se o desen-

volvimento e a utilização de dois métodos numéricos para resolução de

EDO’s. Para isso, concentra-se, principalmente, em problemas de valor

inicial para equações de primeira ordem. Neste contexto, trata-se da

comparação de dois métodos numéricos computacionais, utilizados

para aproximar equações diferenciais ordinárias, dado um problema de

valor inicial (PVI) e a referente solução analítica da equação. O pri-

meiro método utilizado é o Taylor de ordem 2 e o segundo é o Runge-

Kutta de ordem 3. O principal objetivo é implementar os dois métodos

numéricos no software MatLab e analisar se eles aproximam-se da so-

lução exata. Com os resultados obtidos, deve-se concluir qual dos dois

métodos é mais eficaz para esse tipo de problema.

Palavras-chave: Métodos Numéricos. Equações Diferenciais Ordiná-

rias. Método de Taylor. Método de Runge-Kutta.

Abstract

Ordinary differential equations (ODE) occur very often in the descrip-

tion of nature phenomena. There are several methods that analytically

solving an ODE, however it is not always possible to obtain this solu-

tion. In this case, numerical methods are used to find an approximate

solution. In this paper discusses the development and the use of two

numerical methods for ODE's resolution. For this we will concentrate

primarily in initial value problems for first order equations. In this con-

text, we will treat the comparison of two computational numerical me-

thods used to approximate ordinary differential equations, given an ini-

tial value problem (IVP) and the related analytical solution of the equa-

tion. The first method is the 2nd order Taylor and the second is 3rd

order Runge-Kutta. The main objective is to implement the two nume-

rical methods in MatLab software and analyze if they approach of the

exact solution. With the results obtained, must conclude which of the

two methods is more effective for this type of problem.

Keywords: Numerical Methods. Ordinary Differential Equations. Tay-

lor Method. Runge-Kutta Method.

BERLANDI, L. B.; BRANDI, A. C. Comparação entre métodos numéricos computacionais na solução de um problema de valor inicial. C.Q.D. – Revista Eletrô-

nica Paulista de Matemática, Bauru, v. 7, p. 4-11, dez. 2016. Edição ERMAC.

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664lbbacb0411 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

5

1 Introdução

Muitos problemas significativos e importantes da engenharia e das ciências, quando formu-

lados matematicamente, requerem a determinação de uma função que satisfaça uma equação

contendo derivadas da função incógnita. Tais equações são denominadas equações diferenciais.

Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. Neste

trabalho, o interesse está em resolver um problema de valor inicial, que é composto por uma

equação diferencial e por condições adicionais prescritas em um único ponto. Além disso, es-

tuda-se métodos numéricos para problemas de valor inicial para equações diferenciais ordiná-

rias.

Os métodos numéricos consistem em uma ferramenta que auxilia na obtenção de soluções

numéricas, em geral aproximadas, de diversos problemas que encontram-se no mundo real.

Como a utilização de computadores de baixo custo com uma alta capacidade de processamento,

muitas das atividades da ciência têm feito uso cada vez mais intensivo dos métodos computa-

cionais na resolução de problemas reais, para os quais as soluções manuais são impraticáveis,

imprecisas, ou ainda, são muito custosas em relação ao tempo de execução. Em situações da

vida real, tem-se a necessidade constante de encontrar soluções matemáticas para problemas

que são modelados por equações diferenciais ordinárias, uma vez que esse tipo de equação

ocorre com muita frequência na explicação de fenômenos da natureza. No presente trabalho

serão utilizadas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Esse tipo de equação con-

tém derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma única va-

riável independente, e pode ser descrita na forma 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), onde 𝑓 é uma função real dada,

de duas variáveis reais 𝑥 e 𝑦, e 𝑦 é uma função incógnita da variável independente 𝑥.

O principal objetivo do trabalho é obter a resolução de problemas envolvendo equações

diferenciais ordinárias, dado um problema de valor inicial e a referente solução analítica da

equação, através do método de Taylor de ordem 2 e do método de Runge-Kutta de ordem 3. A

implementação do algoritmo será através do sofware MatLab, em que uma pequena análise do

erro, comparações entre os métodos numéricos e a solução analítica, conhecida da literatura,

serão realizadas.

2 Formulação matemática

Um problema de valor inicial é um problema de evolução, no qual a informação inicial é

propagada para o interior do domínio. A principal razão para se introduzir métodos numéricos

para aproximar soluções de problemas de valor inicial (PVI) é a dificuldade de se encontrar,

analiticamente, as soluções da equação. Em muitos casos, a teoria garante a existência e unici-

dade de solução, mas não se sabe qual é a expressão analítica desta solução. A solução analítica

de uma EDO de primeira ordem é uma expressão matemática da função 𝑦(𝑥) que satisfaz a

equação diferencial e inclui o valor 𝑦(𝑥1) = 𝑦1. Uma vez conhecida a função 𝑦(𝑥), pode-se

calcular o seu valor em qualquer 𝑥. Existem técnicas relativamente simples que se aplicam à

solução de EDO's de primeira ordem, mas, em muitas situações, não é possível obter uma so-

lução analítica. Daí o uso de métodos numéricos, capazes de se obter uma solução aproximada

da solução analítica.

Os métodos estudados aqui se baseiam em

dado o PVI: {𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑦(𝑥0) = 𝑦0 (1)




6

constrói-se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 que serão igualmente espaçados, ou seja: 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = ℎ, 𝑖 = 0,1, …, e

calcula-se as aproximações 𝑦𝑖 ≈ 𝑦(𝑥𝑖) nestes pontos. A equação (1) é uma EDO de primeira

ordem com condição inicial 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, onde 𝑓: ℝ² → ℝ é uma função contínua e 𝑦0 é o valor

inicial no ponto 𝑥0.

3 Formulação numérica

Na abordagem numérica, métodos numéricos são utilizados para aproximar soluções de pro-

blemas de valor inicial de equações diferenciais de primeira ordem. Os procedimentos numéri-

cos podem ser executados, em computadores e, também, em algumas calculadoras. Idealmente,

os valores aproximados da solução serão acompanhados de cotas para os erros que garantem

um nível de precisão para aproximações. Existem muitos métodos, hoje em dia, que produzem

aproximações numéricas de soluções de equações diferenciais.

A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio da aplicação de

métodos numéricos nem sempre fornece valores que se encaixem dentro de limites razoáveis.

Esta afirmação é verdadeira mesmo quando se aplica um método adequado e os cálculos são

efetuados de uma maneira correta. Esta diferença é chamada de erro e é inerente ao processo.

Chama-se solução numérica o procedimento empregado no cálculo de uma estimativa para

a solução associada a um conjunto de pontos discretos. O processo de solução é incremental, o

que significa que ele é determinado em passos. Ele começa no ponto no qual o valor inicial é

fornecido. Em seguida, usando a solução conhecida no primeiro ponto, determina-se uma solu-

ção em um segundo ponto próximo. Depois, obtém-se uma solução em um terceiro ponto, e

assim por diante.

Há procedimentos que envolvem uma abordagem de passo simples e outros que consideram

uma abordagem multipasso. Na abordagem de passo simples, a solução no ponto seguinte, 𝑥𝑖+1,

é calculada a partir da solução conhecida no ponto atual, 𝑥𝑖. Na abordagem multipasso, a solu-

ção em 𝑥𝑖+1 é calculada a partir das soluções conhecidas em vários pontos anteriores. Neste

trabalho utilizou-se a abordagem de passo simples. Para resolver uma EDO de forma numérica,

o problema proposto deve incluir, além da equação, o domínio da solução. Nos métodos utili-

zados deve-se definir o número de pontos do intervalo [𝑎, 𝑏], chamado de 𝑁. O espaçamento ℎ

é definido à partir do intervalo [𝑎, 𝑏] e à partir de 𝑁, sendo ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑁, 𝑁 ≠ 0. Quando se

tem ℎ e os extremos do intervalo, 𝑁 = (𝑏 − 𝑎)/ℎ, ℎ ≠ 0.

O processo de discretização consiste em resolver numericamente uma equação diferencial

calculando aproximações para a função 𝑦 = 𝑦(𝑥) em pontos discretos 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 do in-

tervalo de discretização [𝑎, 𝑏]. Para discretizar o intervalo [𝑎, 𝑏] considera-se 𝑁 subintervalos,

𝑁 ≥ 1 e faz-se 𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑛ℎ, 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑁, com 𝑥0 = 𝑎 e 𝑥𝑛 = 𝑏, sendo ℎ =𝑏−𝑎

𝑁.

Conhecendo 𝑦(𝑥) num ponto inicial dado 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, calcula-se passo à passo, nos pontos

𝑥1 = 𝑥0 + 1ℎ, 𝑥2 = 𝑥0 + 2ℎ, 𝑥3 = 𝑥0 + 3ℎ, … , 𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑛ℎ, as soluções aproximadas 𝑦𝑛

para a solução exata 𝑦(𝑥𝑛), 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑁. O erro local, cometido nas aproximações em cada ponto, é a diferença entre o valor exato da

equação diferencial e o valor numérico aproximado em cada um dos pontos do intervalo [𝑎, 𝑏], isto é,

𝑒(𝑥𝑛) = 𝑦(𝑥𝑛) − 𝑦𝑛, 𝑛 = 1,2, … , 𝑁.




7

A descrição dos dois métodos utilizados na comparação numérica segue abaixo.

3.1 Método de Taylor de Ordem 2

Considerando o PVI (1), tem-se que a função 𝑓 pode ser linear ou não, mas admite-se que

𝑓 seja contínua e suficientemente derivável em relação a 𝑥 e a 𝑦, ou seja, sua derivada existe

em cada ponto do seu domínio. Seja 𝑦(𝑥) a solução exata de (1). A expansão em série de Taylor

para 𝑦(𝑥𝑛 + ℎ) em torno do ponto 𝑥𝑛, é dada por:

𝑦(𝑥𝑛 + ℎ) = 𝑦(𝑥𝑛) + ℎ𝑦′(𝑥𝑛) +ℎ

2!𝑦′′(𝑥𝑛) + ⋯ +

ℎ𝑝

𝑝!𝑦𝑝(𝑥𝑛)

+ℎ𝑝+1

(𝑝 + 1)!𝑦𝑝+1(𝜉𝑛), (2)

onde ℎ = 𝑥 − 𝑥𝑛, 𝑥𝑛 < 𝜉𝑛 < 𝑥𝑛 + ℎ e o último termo da equação é o erro de truncamento lo-

cal.

As derivadas na expansão (2) não são conhecidas explicitamente, uma vez que a solução

exata não é conhecida. Contudo, se 𝑓 é suficientemente derivável, elas podem ser obtidas con-

siderando-se a derivada total de 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) com respeito a 𝑥, sabendo que 𝑓 é uma função

implícita de 𝑦. Dessa forma, pode-se expressar qualquer derivada de 𝑦 em termos de 𝑓(𝑥, 𝑦) e

de suas derivadas parciais. É claro que, a menos que 𝑓(𝑥, 𝑦) seja uma função muito simples, as

derivadas totais de ordem mais elevada tornam-se cada vez mais complexas. Por razões práticas

deve-se, então, limitar o número de termos na expansão (2).

Truncando o desenvolvimento da série de Taylor em 𝑝 = 2, é fornecido o seguinte método:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑦𝑛′ +

ℎ2

2𝑦𝑛

′′, (3)

onde

{

𝑦𝑛′ = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝑦𝑛′′ =

𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) +

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)𝑦𝑛

′ ,

o qual é conhecido como método de Taylor de ordem 2.

Conforme dito acima, derivadas de ordem mais elevada podem ficar cada vez mais compli-

cadas de serem resolvidas e os métodos de Taylor de ordem mais elevada (𝑝 ≥ 2) possuem a

grande inconveniência de necessitar do cálculo das derivadas. Para evitar as derivações de 𝑓

recorre-se normalmente aos chamados métodos de Runge-Kutta. Portanto, pode-se afirmar que

os métodos de Runge-Kutta foram desenvolvidos com o objetivo de produzirem resultados com

a mesma precisão que os obtidos pelos métodos de Taylor, mas evitando o cálculo das deriva-

das, que muitas vezes são complicadas de serem calculadas.




8

3.2 Método de Runge-Kutta de Ordem 3

Segundo Barroso (1987), os métodos de Runge-Kutta de ordens mais elevadas são obtidos

através de um sistema de equações para obter aproximações para as derivadas em vários pontos.

O método de Runge-Kutta de ordem 3 é dado por:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + (ℎ

9) (2𝑘1 + 3𝑘2 + 4𝑘3), (4)

onde

𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛),

𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + (1

2) ℎ, 𝑦𝑛 + (

1

2) ℎ𝑘1),

𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑛 + (3

4) ℎ, 𝑦𝑛 + (

3

4) ℎ𝑘2).

4 Resultados numéricos

No presente trabalho um problema de valor inicial foi considerado e resolvido pelos méto-

dos de Taylor de ordem 2 e Runge-Kutta de ordem 4.

4.1 Problema

Considerando o PVI abaixo,

{𝑦 ′ =

𝑠𝑒𝑛(𝑥) + sec(𝑥)

cot(𝑥) + csc(𝑥)

𝑦(0.5) = 1

, 𝑥 Є [0.5,1.5], ℎ = 0.1

sendo a solução analítica dada por:

𝑦(𝑥) = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2 ln (𝑐𝑜𝑠 (𝑥

2)) − ln(cos(𝑥)) + 0.912003.

Ao implementar a solução analítica e os métodos de Taylor de ordem 2 e Runge-Kutta de

ordem 3 através do software MatLab, levando em consideração os dados do problema que é

fornecido, obtém-se como resultado as Figuras 1 e 2.

A Figura 1 representa a comparação numérica entre os dois métodos aqui abordados e a

solução analítica já conhecida, para que dessa forma seja verificado se os métodos realmente

apresentam eficácia, com solução próxima à analítica. Como pode-se notar, não é possível con-

cluir apenas observando a Figura 1 qual método numérico melhor se aproxima da solução exata

do problema no intervalo de 𝑥 = 0.5 a 𝑥 = 1.3, aproximadamente. Após 𝑥 = 1.3, é evidente

que o método que melhor se aproxima da solução analítica é o método de Runge-Kutta de ordem

3. Essa afirmação é concluída quando se observa a Figura 2, que indica um erro numérico muito




9

pequeno quanto ao método de Runge-Kutta de ordem 3. O método de Taylor de ordem 2 apre-

senta um erro também considerado pequeno, porém não tanto quanto o método de Runge-Kutta

de ordem 3.

Figura 1: Comparação entre as soluções numéricas e a analítica.

Figura 2: Erro global dos métodos numéricos.




10

De acordo com o problema apresentado, nota-se que o método de Runge-Kutta de ordem 3

é mais eficaz do que o método de Taylor de ordem 2 para esse tipo de problema, o que era

esperado, pois o método de Runge-Kutta é um método de terceira ordem e o método de Taylor

é um método de segunda ordem, sabendo-se que quanto maior a ordem do método, mais apro-

ximada é a solução numérica. Os resultados da implementação do algoritmo podem ser obser-

vados através da Tabela 1.

Tabela 1 - Resultados da implementação do problema em questão.

Solução Analítica Taylor 𝒑 = 𝟐 Runge-Kutta

de Ordem 𝟑

Erro Taylor

𝒑 = 𝟐

Erro Runge-

Kutta de Or-

dem 𝟑

1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0479 1.0467 1.0479 0.0013 0.0000 1.1108 1.1079 1.1108 0.0029 0.0000 1.1916 1.1865 1.1916 0.0050 0.0000 1.2944 1.2865 1.2944 0.0079 0.0000 1.4250 1.4132 1.4250 0.0118 0.0000 1.5922 1.5748 1.5922 0.0175 0.0001 1.8112 1.7849 1.8110 0.0262 0.0001 2.1110 2.0693 2.1107 0.0417 0.0003 2.5625 2.4860 2.5613 0.0765 0.0012 3.4385 3.2168 3.4266 0.2216 0.0118

5 Conclusão

Neste trabalho foram testados métodos numéricos para a aproximação de um problema de

valor inicial, comparando-se os resultados obtidos com a solução analítica conhecida.

Para obter resultados coerentes e precisos quando utiliza-se métodos numéricos

computacionais é necessário implementar o problema corretamente. O problema implementado

no software MatLab teve como objetivo mostrar graficamente as soluções através dos métodos

de Taylor de ordem 2 e Runge-Kutta de ordem 3. Ao analisar os resultados obtidos percebe-se

que o método mais eficaz para tal equação diferencial foi o método de Runge-Kutta de ordem

3, uma vez que esteve mais próximo da solução analítica, apresentando um erro que pode ser

considerado desprezível, devido o resultado ser bem próximo ao da solução exata da equação.

6 Referências

BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.

CHAPRA, S. C; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. Porto Alegre:

AMGH, 2011.

CUMINATO, J. A; MENEGUETTE JUNIOR, M. Discretização de equações diferenciais

parciais: técnicas de diferenças finitas. Rio de Janeiro: SBM, 2013.




11

FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Métodos numéricos para engenheiros e cientistas: uma

introdução com aplicações usando o MATLAB. Porto Alegre: Bookman, 2008.

RUGGIERO, M. A. G; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacio-

nais. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1996.

ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Bo-

oks, 2001. v. 1.

ISSN 2316-9664

Volume 7, dez. 2016

Edição ERMAC

Rafael de Lima Sterza



(UNESP/FCT)

[email protected]

Analice Costacurta Brandi



(UNESP/FCT)

[email protected]

Comparação entre métodos numéricos:

Runge-Kutta de quarta ordem e previsor-corretor

Comparison of numerical methods: fourth-order Runge-Kutta

and predictor-corrector

Resumo

As equações diferenciais ordinárias são de grande

importância em diversas áreas, pois determinam o

comportamento futuro de vários problemas, com base nas

condições presentes. Os problemas podem ser modelados

matematicamente e, através dessa modelagem matemática, é

possível a representação dos conceitos e processos envolvidos

nesses tipos de problemas, o que leva ao entendimento do

fenômeno físico modelado. Neste contexto, este trabalho trata-se

da comparação entre dois métodos numéricos, o método de

Runge-Kutta e o método previsor-corretor, utilizados para

resoluções de equações diferenciais ordinárias. A implementação

do problema é realizada através do software Matlab e teve como

objetivo a determinação da solução do problema. A verificação

dos métodos foi realizada através de simulações numéricas do

problema com diferentes condições auxiliares, comparando com

a solução analítica existente na literatura.

Palavras-chave: Métodos numéricos. Equações diferenciais

ordinárias. Método de Runge-Kutta. Método previsor-corretor.

Abstract

The ordinary differential equations are of great importance in

many areas as they may determine the future behavior of several

problems, based on current conditions. The problems can be

modeled mathematically and through this mathematical model it

is possible the representation of the concepts and processes

involved in these types of problems, which leads to the

understanding of the modeled physical phenomenon. In this

context, this work deals with the comparison between two

numerical methods, the Runge-Kutta method and the predictor-

corrector method used for the resolution of ordinary differential

equations. The implementation of the problem was performed

using the Matlab software and aimed to determine

approximations for the solution of the problem. The validation of

the methods is performed via numerical simulations of the

problem with different auxiliary conditions, comparing with the

analytical solution existing in the literature.

Keywords: Numerical methods. Ordinary differential equations.

Runge-Kutta method. Predictor-corrector method.

STERZA, R. L.; BRANDI, A. C. Comparação entre métodos numéricos: Runge-Kutta de quarta ordem e previsor-corretor. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista

de Matemática, Bauru, v. 7, p. 12-22, dez. 2016. Edição ERMAC.

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664rlsacb1222 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

13

1 Introdução

Muitos problemas científicos e de engenharias podem ser modelados matematicamente,

sendo uma representação idealizada e simplificada de algum fenômeno natural. As soluções das

equações devem respeitar os aspectos mais relevantes no comportamento do problema

modelado, no entanto, muitas vezes não é possível justificar a utilização de hipóteses

simplificadoras que modificam a natureza do problema, tal como a linearidade, que tornariam

possível a determinação de uma solução exata. Isso quer dizer que não se pode forçar um

problema a satisfazer hipóteses que permitiria a obtenção da solução exata, por esse motivo se

faz necessário a utilização de métodos numéricos (CUMINATO; MENEGUETTE JUNIOR,

2013).

A utilização de métodos numéricos para a solução de equações diferenciais ordinárias com

problema de valor inicial é de fundamental importância e será resolvido através do método de

diferenças finitas, sendo que a ideia geral desse método é a discretização do domínio e a

substituição das derivadas presentes no problema por aproximações envolvendo o valor

numérico da função.

O objetivo deste trabalho é a resolução de problemas de valor inicial, isto é, uma equação

diferencial ordinária com uma condição inicial conhecida, através do método de Runge-Kutta

e do método previsor-corretor, em que a implementação foi executada no software Matlab.

Também, será realizada uma comparação entre os métodos numéricos testados e a solução

analítica, baseada em seus respectivos erros.

2 Formulação matemática

Para as equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem, um problema de valor

inicial (PVI) é um problema de evolução, no qual a informação inicial, que é conhecida, é

propagada para o interior do domínio pela equação diferencial e pode ser representado da

seguinte maneira:

{𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦),

𝑦(𝑎) = 𝛽,

(1)

onde 𝑓: ℝ² → ℝ é uma função contínua. A função 𝑦 = 𝑦(𝑥) (𝑥 ≥ 𝑎) é a solução do problema

e 𝛽 é o valor inicial no ponto 𝑎. Em outras palavras, a equação (1) é uma EDO de primeira

ordem com a condição inicial 𝑦(𝑎) = 𝛽 (ZILL, 2011).

3 Formulação numérica

Um conjunto de pontos que representam a função y(x) de maneira aproximada é a solução

numérica de uma EDO. Quando se resolve numericamente uma equação diferencial, o

enunciado do problema também inclui o domínio da solução. Por exemplo, considere que uma

solução seja necessária entre x = a e x = b, portanto o domínio será [a, b]. Dependendo do

método numérico utilizado para resolver a equação, pode-se ajustar previamente o número de

pontos entre a e b nos quais deseja-se obter a solução, ou isso pode ser decidido pelo método.

O domínio pode ser dividido em n subintervalos de mesma largura definidos por n + 1 valores

da variável independente entre 𝑥1 = 𝑎 e 𝑥𝑛+1 = 𝑏, ou seja, considerando o intervalo [𝑎, 𝑏], subdividido em n partes iguais, cada uma de comprimento h, formando um conjunto de pontos,

com 𝑥0 = 𝑎 𝑒 𝑥𝑛 = 𝑏, 𝑅ℎ = {𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛}, em que ℎ = 𝑏−𝑎

𝑛.




14

A solução consiste em valores da variável dependente determinados para cada valor da

variável independente. A solução é então formada por um conjunto de pontos (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), ..., (𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1), que definem a função y(x) (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).

O método de diferenças finitas utiliza a expansão da Série de Taylor para aproximar as

derivadas presentes nas equações, e determina o comportamento da função em um ponto 𝑥 que

é arbitrário, porém próximo ao ponto de referência 𝑎, a expansão pode ser escrita de uma

maneira geral

𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑎) + ∑𝑦(𝑘)(𝑎)

𝑘!

𝑛

𝑘=1

(𝑥 − 𝑎)𝑘 + 𝑂((𝑥 − 𝑎)𝑛+1),

(2)

onde a distância ∆𝑥 = ℎ = 𝑥 − 𝑎, a ordem n do polinômio determina o erro da aproximação e

𝑂(∆𝑥) representa a ordem do erro de truncamento local (ETL) (FORTUNA, 2012), isto é, o

erro existente em uma iteração da integração numérica ao substituir um processo infinito por

um finito, já o erro de truncamento global é o acúmulo dos ETL ao longo do processo de

integração (BORTOLI et al., 2003). Sejam 𝑦𝑖 aproximações para 𝑦(𝑥𝑖), 𝑖 = 0, 1… , 𝑛 e em

cada um dos pontos aproxima-se a equação diferencial (1). A determinação das aproximações

para as derivadas por diferenças avançadas e atrasadas podem ser descritas da seguinte forma

𝑦′(𝑥𝑖) =𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖

ℎ.

(3)

A equação (3) representa a diferença avançada, cujo erro de truncamento local é dado por

𝐸𝑇𝐿 = −ℎ

2𝑦′′(𝜁𝑖), 𝜁𝑖 ∈ [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1], ou seja, um erro de primeira ordem (FORTUNA, 2012).

Uma outra aproximação para a primeira derivada é dada por

𝑦′(𝑥𝑖) =𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1

ℎ,

(4)

que representa a diferença atrasada, cujo erro de truncamento local também é de primeira

ordem, dado por 𝐸𝑇𝐿 = ℎ

2𝑦′′(𝜁𝑖), 𝜁𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] (FORTUNA, 2012).

3.1 Método de Runge-Kutta

Carl David Runge (1856-1927), matemático e físico alemão, trabalhou muitos anos em

espectroscopia. Kutta era um matemático alemão que trabalhava com aerodinâmica e é,

também, muito conhecido por suas contribuições importantes à teoria clássica de aerofólio. A

análise de dados os levaram a considerar problemas em computação numérica e o método de

Runge-Kutta tem origem em um artigo sobre soluções em 1901 por M. Wilhelm Kutta (1867-

1944) (VALLE, 2012).

O método de Runge-Kutta é provavelmente um dos métodos mais populares e o de quarta

ordem é um dos mais utilizados para obter soluções aproximadas de valor inicial. Cada método

de Runge-Kutta consiste em comparar um polinômio de Taylor apropriado para eliminar o

cálculo das derivadas, fazendo-se várias avaliações da função a cada passo. O método de

Runge-Kutta pode ser entendido como um aperfeiçoamento do método de Euler, com uma

melhor estimativa da derivada da função (VALLE, 2012). No método de Euler a estimativa do

valor de 𝑦𝑛+1 é realizado com o valor de 𝑦𝑛 e com a derivada no ponto 𝑥𝑛. No método de

Runge-Kutta, busca-se uma melhor estimativa da derivada com a avaliação da função em mais




15

pontos no intervalo [𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1]. Um método de Runge-Kutta de ordem 𝑛 possui um erro da

ordem de 𝑂(ℎ𝑛+1) (BARATTO, 2007).

De modo geral, o método de Runge-Kutta é dado por

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ (𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜),

(5)

onde 𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 é uma constante que é obtida através do cálculo da inclinação em vários

pontos no interior do subintervalo. A ordem do método indica o número de pontos usado em

um subintervalo para determinar o valor da 𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜, isto é, o método de Runge-Kutta de

segunda ordem utiliza a inclinação em dois pontos, o método de terceira ordem utiliza três

pontos, e assim por diante (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).

Fazendo 𝑥 = 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ e 𝑎 = 𝑥𝑛 na equação (2) com 𝑛 = 4, obtém-se

𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛 + ℎ) =

= 𝑦(𝑥𝑛) + ℎ𝑦′(𝑥𝑛) +

ℎ2

2!𝑦′′(𝑥𝑛) +

ℎ3

3!𝑦′′′(𝑥𝑛) +

ℎ4

4!𝑦(4)(𝑥𝑛) +

ℎ5

5!𝑦(5)(𝜁),

onde 𝜁 é algum número entre 𝑥𝑛 e 𝑥𝑛+1. O procedimento de Runge-Kutta de quarta ordem

consiste em encontrar constantes apropriadas de tal forma que

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ(𝑐1𝐾1 + 𝑐2𝐾2 + 𝑐3𝐾3 + 𝑐4𝐾4),

(6)

sendo 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 e 𝑐4 constantes a serem determinadas e

𝐾1 = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛), 𝐾2 = 𝑓(𝑥𝑛 + 𝛼1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝛽1ℎ𝐾1), 𝐾3 = 𝑓(𝑥𝑛 + 𝛼2ℎ, 𝑦𝑛 + 𝛽2ℎ𝐾1 + 𝛽3ℎ𝐾2), 𝐾4 = 𝑓(𝑥𝑛 + 𝛼3ℎ, 𝑦𝑛 + 𝛽4ℎ𝐾1 + 𝛽5ℎ𝐾2 + 𝛽6ℎ𝐾3),

igualando a equação (6) com o polinômio de Taylor de grau 4, resultará um sistema não-linear

de 11 equações e 13 incógnitas, ou seja, haverá infinitas soluções), onde as 13 incógnitas são

𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4, 𝛽5 e 𝛽6 (VALLE, 2012; BARROSO, 1987). No entanto,

há uma solução, em particular, que é muito utilizada, fazendo:

𝑐1 = 𝑐4 =1

6;

𝑐2 = 𝑐3 =1

3;

𝛼3 = 𝛽6 = 1; 𝛽2 = 𝛽4 = 𝛽5 = 0;

𝛼1 = 𝛼2 = 𝛽1 = 𝛽3 =1

2.

Dessa forma, o método de Runge-Kutta de quarta ordem é dado por

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ

6(𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4),

(7)

com

𝐾1 = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛),

𝐾2 = 𝑓 (𝑥𝑛 +1

2ℎ, 𝑦𝑛 +

1

2ℎ𝐾1),

(8)




16

𝐾3 = 𝑓 (𝑥𝑛 +1

2ℎ, 𝑦𝑛 +

1

2ℎ𝐾2),

𝐾4 = 𝑓(𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝐾3).

As equações (7) e (8) representam o método de Runge-Kutta de quarta ordem, cujo erro de

truncamento local é ℎ5

5!𝑦(5)(𝜁), onde 𝜁 ∈ [𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1] ou 𝑂(ℎ5) (VALLE, 2012) e o erro de

truncamento global é 𝑂(ℎ4) (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008). A construção dos métodos de

Runge-Kutta de outras ordens é análoga ao mostrado acima, o de segunda ordem, por exemplo,

é dado por

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ(𝑐1𝐾1 + 𝑐2𝐾2),

com 𝑐1 + 𝑐2 = 1, 𝐾1 = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) e 𝐾2 = 𝑓(𝑥𝑛 + ℎ𝛼1, 𝑦𝑛 + ℎ(𝛽1𝐾1)) e para determinar os

parâmetros 𝑐1, 𝑐2, 𝛼1 e 𝛽1 é necessário comparar a função 𝑦𝑛+1 com a fórmula de Taylor de

ordem 2, isto é,

𝑦𝑛 + ℎ(𝑐1𝐾1 + 𝑐2𝐾2) = 𝑦𝑛 + ℎ𝑦′(𝑥𝑛) +

ℎ

2𝑦′′(𝑥𝑛),

assim, obtém-se

{

𝑐1 + 𝑐2 = 1

𝑐2𝛼1 =1

2𝛼1 = 𝛽1

⟹

Sistema não-linear com infinitas soluções.

Em particular, toma-se 𝑐1 = 𝑐2 =1

2 e 𝛼1 = 𝛽1 = 1 (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008),

dessa forma o método de Runge-Kutta de segunda ordem é dado por:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +ℎ

2[𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝐾1)],

que também é conhecido como método de Euler aperfeiçoado, cujo erro de truncamento local

é dado por ℎ3

3!𝑦(3)(𝜁), onde 𝜁 ∈ [𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1] ou 𝑂(ℎ3) (VALLE, 2012) e o erro de truncamento

global é 𝑂(ℎ2) (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).

3.2 Método previsor-corretor

Os métodos previsor-corretor se referem a uma família de esquemas usados na solução de

EDOs. Esses esquemas utilizam duas fórmulas, chamadas de previsor e corretor. O previsor é

uma fórmula explícita usada para estimar a solução 𝑦𝑛 + 1. Com o previsor, o valor de 𝑦𝑛 + 1 é

calculado a partir da solução conhecida no ponto anterior (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) (método de passo simples)

ou em vários pontos anteriores (métodos multipasso). Uma vez encontrada uma estimativa para

𝑦𝑛 + 1, aplica-se o corretor. O corretor usa o valor estimado de 𝑦𝑛 + 1 no lado direito de uma

fórmula que, em circunstâncias normais, seria usada como uma fórmula implícita. Com isso,

obtém-se no lado esquerdo da equação um novo valor para 𝑦𝑛 + 1 que é mais preciso que o

anterior. Portanto, a equação corretora, que é usualmente uma equação implícita, acaba sendo

usada de uma maneira explícita, já que neste caso não é necessário resolver uma equação não-

linear. Esse esquema usa os benefícios da fórmula implícita, ao mesmo tempo evitando as




17

dificuldades associadas à solução direta de uma equação implícita. Além disso, a aplicação do

corretor pode ser feita várias vezes com a substituição do novo valor de 𝑦𝑛 + 1 no lado direito

da equação corretora, o que resulta em valores de 𝑦𝑛 + 1 cada vez mais refinados (GILAT;

SUBRAMANIAM, 2008).

Este método de solução de equações diferenciais ordinárias é baseado no Teorema

Fundamental do Cálculo

∫ 𝑦′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑦(𝑥𝑛+1) − 𝑦(𝑥𝑛).𝑥𝑛+1

𝑥𝑛

Como 𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), tem-se

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))𝑑𝑥𝑥𝑛+1

𝑥𝑛

= 𝑦(𝑥𝑛+1) − 𝑦(𝑥𝑛) ⟺

𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛) + ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))𝑑𝑥𝑥𝑛+1

𝑥𝑛

.

(9)

Utiliza-se a regra dos Trapézios para a aproximação da integral encontrada na equação (9),

dessa forma

𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛) +ℎ

2[𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦(𝑥𝑛+1))].

(10)

A equação (10) é chamada de Método dos Trapézios e o mesmo deve ser calculado

implicitamente, já que o termo 𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦𝑛+1 aparece nos dois lados da equação. O método

previsor-corretor consiste em resolver a equação (10) por meio dos seguintes passos

(RUGGIERO, 1996):

i) por meio de um método explícito, obtido por diferenças avançadas, encontra-se a primeira

aproximação 𝑦𝑛+1(0)

para 𝑦𝑛+1;

ii) calcula-se então o valor 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1(0) ), que representa o 𝑓𝑛+1;

iii) por (ii), encontra-se uma próxima aproximação para 𝑦𝑛+1, 𝑦𝑛+1(1) , usando um método

implícito, que é obtido utilizando diferenças atrasadas;

iv) calcula-se, agora, 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1(1) ) e assim repetirá o processo até que duas aproximações

sucessivas sejam |𝑦𝑛+1(𝑘)

− 𝑦𝑛+1(𝑘−1)

|

|𝑦𝑛+1(𝑘)

| < 𝜀, onde 𝜀 é a precisão desejada.

Portanto, para a obtenção de 𝑦1, deve-se realizar,

Previsor: 𝑦1(0) = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0), será a primeira aproximação para 𝑦1.

E então, utilizando o Corretor: 𝑦1(𝑘+1) = 𝑦0 +

ℎ

2[𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1

(𝑘))], caso a sequência

𝑦1(0), 𝑦1

(1), 𝑦1(2), … convergir será determinado o valor de 𝑦1. E isso deve ser realizado para todos

os 𝑦𝑛. Em outras palavras, a equação (10) para 𝑦(𝑥𝑛+1) é resolvida pelo método de

aproximações sucessivas com a aproximação inicial dada por

𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛) + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦(𝑥𝑛)). Ao aplicar o corretor utiliza-se a iteração do ponto fixo que, neste caso, convergirá se

|𝜑′(𝑦𝑛)| < 1, onde 𝜑(𝑦𝑛) = 𝑦𝑛−1 +ℎ

2[𝑓(𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)]. Como

𝜑′(𝑦𝑛) =ℎ

2

𝜕𝑓(𝑥𝑛,𝑦𝑛)

𝜕𝑦𝑛, segue que

|ℎ

2

𝜕𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝜕𝑦𝑛| < 1 ⇒ ℎ |

𝜕𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝜕𝑦𝑛| < 2 ⇒ ℎ <

2

|𝜕𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝜕𝑦𝑛|.




18

Dessa forma, se 𝜕𝑓(𝑥𝑛,𝑦𝑛)

𝜕𝑦𝑛 for contínua, pode-se escolher ℎ suficientemente pequeno para que

o método corretor gere uma sequência convergente (SANTOS, 2009).


Neste trabalho foram considerados dois problemas de valor inicial, resolvidos pelos

métodos Runge-Kutta de segunda e quarta ordem e previsor-corretor para verificar a validade

das técnicas numéricas descritas na seção anterior e compará-las.

4.1 Problema 1

Utilizando o PVI abaixo (ZILL, 2011):

{

𝑦′ =

sen(𝑥)sen(𝑦) − tg(𝑥)

cos(𝑥) cos(𝑦)

𝑦(0) = 0, 𝑥 ∈ [0, 0.9],

,

em que a solução analítica é dada por: 𝑦(𝑥) = arcsen[sec(𝑥)(ln(cos(𝑥)))]. Assim, a resolução

numérica dos métodos estudados é apresentada, comparando-os e fazendo uma análise da

convergência.

Para a resolução desse problema, é necessário dispor do espaçamento ℎ utilizado, dessa

forma, foram consideradas três malhas: grossa (ℎ = 0.036), intermediária (ℎ = 0.018) e fina

(ℎ = 0.009).

Inicialmente, verifica-se os valores de ℎ escolhidos, isto é, se eles satisfazem o critério de

convergência, então ℎ <2

|𝜕𝑓(𝑥𝑛,𝑦𝑛)

𝜕𝑦𝑛|=

2

|−0.8485|= 2.35, ou seja, os valores escolhidos estão de

acordo com a convergência do método. E para o método previsor-corretor, a precisão utilizada

foi 𝜀 = 0.001.

A análise será realizada observando o erro máximo absoluto (E), dado por

𝐸 = max1≤𝑖,𝑗≤𝑛−1

|𝑦(𝑥𝑖) − 𝑦𝑖|, isto é, o maior valor da diferença entre a solução numérica e a

analítica, em módulo.

Tabela 1: Comparação do valor do erro máximo absoluto para o Problema 1.

Malha Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4 Previsor-corretor

Grossa 1.5482e-03 1.347e-03 3.8727e-03

Intermediária 4.6736e-04 3.7062e-04 1.228e-03

Fina 1.2801e-04 9.7349e-05 3.4873e-04

A Tabela 1 representa o erro máximo absoluto, em outras palavras, é o maior valor do erro

global apresentado, e pode-se notar que os valores do erro apresentado pelo método de Runge-

Kutta de quarta ordem é menor que nos demais métodos, apesar da diferença ser pequena,

mostrando competitividade entre os métodos.




19

Figura 1 - Erro global dos métodos numéricos no Problema 1 para a malha fina

Na Figura 1 é mostrado o erro global dos métodos numéricos em relação à solução analítica,

isto é, o módulo da diferença entre a solução numérica e a solução analítica, sendo que o eixo

das ordenadas do gráfico está em escala logarítmica. E com isso, nota-se que o método de

Runge-Kutta de quarta ordem foi mais eficaz que os outros dois métodos, isso quer dizer que,

o método tem uma maior qualidade de produzir uma resposta correta para problema (CHERRI

et al., 2012), apesar da competitividade apresentada na Tabela 1, ao ser avaliado ao longo de

todo o domínio, nota-se que o método Runge-Kutta de quarta ordem se destaca. E comparando

o método previsor-corretor com o Runge-Kutta de segunda ordem, nota-se que há uma boa

competição entre os métodos, no entanto, o método de Runge-Kutta sempre tem uma melhor

eficácia, ao longo do domínio.

4.2 Problema 2

O calor transferido de um corpo para seu ambiente por radiação, baseado na lei de Stefan-

Boltzman, é descrito pela equação diferencial 𝑑𝑢

𝑑𝑡= −𝛼(𝑢4 − 𝑇4),

(11)

onde 𝑢(𝑡) é a temperatura absoluta do corpo no instante 𝑡, 𝑇 é a temperatura absoluta do

ambiente e 𝛼 é uma constante que depende dos parâmetros físicos do corpo. No entanto, se 𝑢

for muito maior do que 𝑇, as soluções da equação (10) podem ser aproximadas por soluções da

equação mais simples 𝑑𝑢

𝑑𝑡= −𝛼𝑢4.

(12)

Suponha que um corpo, a uma temperatura inicial de 2000 K, está em um meio à temperatura

de 300 K e que 𝛼 = 2,0 × 10−12𝐾−3/𝑠. Sabendo que 𝑢(0) = 2000 e que a solução analítica

é dada por 𝑢(𝑡) =2000

√1+0,048𝑡3 , pode-se resolver o problema utilizando a equação (12) (BOYCE;

DIPRIMA, 2010). Dessa forma, a variação da temperatura entre os instantes 0 a 150 s é

determinada, verificando também, a convergência dos métodos e a comparação entre eles.




20

Para a resolução desse problema, é necessário dispor do espaçamento ℎ utilizado, dessa

forma, foram consideradas três malhas: grossa (ℎ = 0.5), intermediária (ℎ = 0.25) e fina

(ℎ = 0.1).

Inicialmente, verifica-se os valores de ℎ escolhidos, isto é, se eles satisfazem o critério de

convergência, então ℎ <2

|𝜕𝑓(𝑡𝑛,𝑢𝑛)

𝜕𝑢𝑛|=

2

|−0.001|= 1.97 × 103, ou seja, os valores escolhidos estão

de acordo com a convergência do método. E para o método previsor-corretor, a precisão

utilizada foi 𝜀 = 0.001. A análise será realizada observando o erro máximo absoluto (E), dado

por 𝐸 = max1≤𝑖,𝑗≤𝑛−1

|𝑦(𝑥𝑖) − 𝑦𝑖|, isto é, o maior valor da diferença entre a solução numérica e a

analítica, em módulo.

Tabela 2: Comparação do valor do erro máximo absoluto para o Problema 2.

Malha Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4 Previsor-corretor

Grossa 1.4556e-02 2.5600e-08 2.9295

Intermediária 3.6262e-03 1.2815e-09 1.4681

Fina 5.7892e-04 2.8876e-11 5.880e-01

A Tabela 2 representa o erro máximo absoluto, em outras palavras, é o maior valor do erro

global apresentado, e pode-se notar que os valores do erro apresentado pelo método de Runge-

Kutta de quarta ordem é menor que nos demais métodos. Analisando separadamente, observa-

se que o método previsor-corretor apresentou erros altos para esse problema, já o Runge-Kutta

de segunda ordem apresentou resultados consideráveis.

Figura 2 - Erro global dos métodos numéricos no Problema 2 para a malha grossa no início do

intervalo

Na Figura 2 é mostrado o erro global dos métodos numéricos em relação à solução analítica,

isto é, o módulo da diferença entre a solução numérica e a solução analítica, sendo que o eixo

das ordenadas do gráfico está em escala logarítmica e o eixo do domínio está reduzido apenas

para uma pequena parte do intervalo, mas ressalta-se que ao longo do domínio o gráfico de cada

método mantém-se coerente com o apresentado. E da mesma forma do problema anterior, nota-

se que o método de Runge-Kutta de quarta ordem foi mais eficaz que os outros dois métodos,




21

isso quer dizer que, o método tem uma maior qualidade de produzir uma resposta correta para

problema (CHERRI et al., 2012). Comparando o método previsor-corretor com o Runge-Kutta

de segunda ordem, nota-se que o segundo se destacou, apresentando erros menores.

5 Conclusão

No trabalho apresentado, os métodos de Runge-Kutta de segunda e quarta ordem e previsor-

corretor foram utilizados com o objetivo de analisar seus resultados comparando-os com a

solução analítica encontrada na literatura. Existem situações em que é preferível um método

numérico ao método analítico ainda que este exista, por exemplo se a solução para um problema

envolve muitos cálculos. A maior parte dos problemas concretos são, em geral, complexos e

envolvem fenômenos não lineares, pelo que é comum de se encontrar numa situação em que os

conhecimentos de matemática não são suficientes para a descoberta de uma solução exata para

um problema real.

Com o estudo e desenvolvimento dos métodos numéricos pode-se concluir que para obter

resultados coerentes e precisos, utilizando os métodos já mencionados, é necessário uma correta

implementação do problema, atentando-se para a discretização do domínio e a correta

substituição das aproximações na equação do problema em questão.

Os métodos numéricos apresentados neste trabalho são métodos de implementação simples

e produzem soluções eficientes para diversos problemas envolvendo equações diferenciais.

De acordo com os problemas apresentados neste trabalho, nota-se que o método de Runge-

Kutta de quarta ordem foi mais eficaz em relação aos métodos estudados, o que era esperado,

pois o método de Runge-Kutta é um método que apresenta erro de quarta ordem.

6 Referências

BARATTO, G. Solução de equações diferenciais ordinárias usando métodos numéricos.

Versão 0.1. Fevereiro de 2007. Notas de aula.

BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.

BORTOLI, A. L. de et al. Introdução ao cálculo numérico. 2. ed. Porto Alegre: [s.n.], 2003.

Disponível em: <https://chasqueweb.ufrgs.br/~carolina.manica/cap10.pdf>. Acesso em: 07

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BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de

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CHERRI, A. et al. Métodos numéricos computacionais. 2012. Notas de Aula.

CUMINATO, J. A.; MENEGUETTE JUNIOR, M. Discretização de equações diferenciais

parciais: técnicas de diferenças finitas. Rio de Janeiro: SBM, 2013.

FORTUNA, A. O. Técnicas computacionais para dinâmica dos fluidos: conceitos básicos e

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GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Métodos numéricos para engenheiros e cientistas: uma

introdução com aplicações usando o MATLAB. Porto Alegre: Bookman, 2008.




22

RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e

computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1996.

SANTOS, S. G. dos. Solução numérica de PVI: Método previsor-corretor. 28-28 de maio de

2009. Notas de Aula.

VALLE, K. N. F. Métodos numéricos de Euler e Runge-Kutta. 2012. 40 f. Monografia

(Especialização) - Programa de Pós-graduação em Matemática Para Professores Com Ênfase

em Cálculo, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2012. Disponível em:

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Acesso em: 07 dez. 2016.

ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 2. ed. São Paulo:

Cengage Learning, 2011.

ISSN 2316-9664Volume 7, dez. 2016

Edicao ERMAC

Helen Gomes da SilvaUNESP - [email protected]

Hercules de Araujo FeitosaUNESP - [email protected]

Logica da Verdade Pragmatica apresentada numsistema dedutivo de Tableaux

Logic of Pragmatic Truth presented in a Tableaux deductivesystem

ResumoInspirado na nocao de quase-verdade de Newton da Costa, Silves-trini (2011) apresentou uma definicao de verdade pragmatica viasatisfacao pragmatica e, no mesmo trabalho, introduziu a Logicada Verdade Pragmatica (LPT) em um sistema axiomatico. LPT euma logica paraconsistente e trivalente. Posteriormente, Feitosae Silvestrini (2016) apresentaram algumas alteracoes no conjuntode axiomas de LPT e deram uma demonstracao de adequacao se-gundo a semantica matricial de LPT. Neste artigo, introduzimosum sistema de tableaux, neste caso analıtico, para a Logica daVerdade Pragmatica (LPT) e verificamos que os tableaux introdu-zidos sao caracterısticos de LPT.Palavras-chave: Quase-verdade. Verdade Pragmatica. LogicaParaconsistente. Logica Trivalente. Tableaux Analıticos.

AbstractInspired by notion of quasi-truth proposed by Newton da Costa,Silvestrini (2011) presented a definition of pragmatic truth viapragmatic satisfaction and, in the same paper, he introduced theLogic of Pragmatic Truth (LPT), in an axiomatic system. LPT isa paraconsistent and trivalent logic. Later, Feitosa and Silvestrini(2016) presented some changes in the axioms of LPT and a proofof adequacy for LPT in accordance to his matrix semantic. In thisarticle, we introduce an analytical tableaux system for LPT andverify that these tableaux are characteristic for LPT.Keywords: Quasi-truth. Pragmatic Truth. Paraconsistent logic.Trivalent Logica. Analytiuc Tableaux.

1 IntroducaoMotivados pelos trabalhos dos filosofos pragmaticos William James e Carl S. Peirce, Costa;

Beziau e Bueno (1998) desenvolveram uma teoria da verdade, a qual denominaram de quase-verdade ou verdade pragmatica.

Nesta tradicao, a verdade esta inserida e considerada no contexto das ciencias empıricas,quando pode ocorrer que duas teorias que explicam o mesmo fenomeno sejam conflitantes. Seisto ocorre, a teoria da quase-verdade indica que estas proposicoes contraditorias podem ser am-bas quase verdadeiras.

Costa; Beziau e Bueno (1998), ao formalizarem a quase verdade, consideraram que as es-truturas nas quais seriam interpretadas as sentencas da linguagem objeto deveria ser parcial, emcontraste com alguma estrutura total, na qual funda-se a concepcao de verdade de Tarski.

Numa estrutura parcial, a pertinencia ou nao de uma dada n-upla do domınio nao precisaestar sempre definida. As formulas atomicas sao interpretadas por meio de uma relacao parcialR, a qual e definida como um terna ordenada de conjuntos le 〈R+,R−,Ru〉. A componente R+

representa o conjunto de n-uplas que satisfazem a relacao R, R− representa o conjunto de n-uplasque nao satisfazem R, e Ru representa o conjunto de n-uplas cuja pertinencia e indeterminada.Nao sabemos se os elementos de Ru satisfazem ou nao a relacao R.

Diante disso, a relacao parcial caracteriza o nosso conhecimento parcial do mundo, visto quenao conhecemos tudo sobre determinada teoria e a componente Ru representa a incompletude doque e sabido num dado momento.

Como desdobramento, Newton da Costa (1999) apresentou uma logica modal para formalizara sua concepcao de quase-verdade, a qual foi desenvolvida atraves de dois sistemas axiomaticosmodais, com inter-relacoes entre eles.

Em 2011, Silvestrini propos uma nova definicao para a quase-verdade via o conceito desatisfacao pragmatica e apresentou uma logica paraconsistente de primeira ordem, denotada porLPT1 e apresentada como um sistema axiomatico, para esta nova nocao de verdade pragmatica.

Neste trabalho, tratamos do fragmento proposicional da LPT1, isto e, a Logica da VerdadePragmatica (LPT), no ingles Logic of Pragmatic Truth. Contudo, usamos a apresentacao deFeitosa e Silvestrini (2016), que traz algumas modificacoes no conjunto de axiomas da LPT.

Iniciamos com a apresentacao da Logica da Verdade Pragmatica conforme os textos men-cionados. Descrevemos a LPT com o seu conjunto de axiomas e a sua semantica de matrizestrivalentes.

A seguir, tratamos dos tableaux e apresentamos o metodo para a logica proposicional classica.Os sistemas de tableaux analıticos foram muito bem investigados por Smullyan (1968), ins-

pirados nos metodos finitarios de Gentzen (1935). Tal sistema dedutivo e considerado como ummetodo de refutacao, uma vez que para provar a validade de uma formula, supoe-se que a mesmae falsa e, entao, busca-se uma situacao que corrobora a falsidade da formula em teste. Se nao haa situacao de falsidade, entao conclui-se que a formula inicial e valida.

Ademais, o tableau e caracterizado como um algoritmo em forma de arvore, que apresentauma figura no processo de demonstracao.

Este caminho caracteriza o metodo ou arvore de refutacao.Conforme Smullyan (1968), o tableau e analıtico ao admitir o princıpio das subformulas. No

desenvolvimento da arvore de demonstracao de uma formula, segundo os tableaux, ocorrem acada passo apenas subformulas das formulas envolvidas. Assim, o procedimento envolve apenassubformulas da formula inicial.

SILVA, H . G .; FEITOSA, H . A. Lógica da verdade pragmática apresentada num sistema dedutivo de tableaux.

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664hgshaf2343 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/# ! /departamentos/matematica/revista-cqd/ -

C.Q.D. – Revista Eletrônica Paulista de

24

Matemática, Bauru, v. 7, p. 23-43, dez. 2016. Edição ERMAC.

Se nao conseguimos provar a validade de uma formula, o tableau indica de modo direto umasituacao que faz a formula nao valida, ou seja, apresenta um contra-exemplo.

Dando sequencia, apresentamos um sistema dedutivo de tableaux analıticos para a LPT. Paramostrarmos que os tableaux introduzidos sao caracterısticos de LPT, mostramos que todas asdeducoes possıveis em LPT tem seus respectivos tableaux fechados no novo sistema. Por outrolado, verificamos que todas as deducoes corretas nos tableaux preservam a validade na semanticamatricial de LPT.

2 A logica da verdade pragmaticaAo formalizar o conceito de verdade pragmatica, Silvestrini (2011) observou que a logica

proposicional subjacente seria uma logica paraconsistente. Esta logica foi nomeada de logica daverdade pragmatica e denotada por LPT.

LPT admite a seguinte semantica trivalente associada com a relacao 〈R+,R−,Ru〉: valor 1para sentencas verdadeiras, valor 0 para sentencas falsas, e valor 1

2 para as sentencas indetermi-nadas.

A linguagem proposicional de LPT e L = (¬,∧,→), em que os operadores ¬, ∧, → repre-sentam, respectivamente, as nocoes de negacao, conjuncao e condicional.

As interpretacoes em matrizes desses operadores sao as seguintes:

→ 0 12 1

0 1 1 112 0 1 11 0 1 1

∧ 0 12 1

0 0 0 012 0 1

212

1 0 12 1

¬0 112

12

1 0

Alem desses operadores basicos, temos os seguintes operadores e constantes de LPT:

Disjuncao: ϕ ∨ψ =de f ¬(¬ϕ ∧¬ψ)Top: >=de f ϕ → ϕ

Botton: ⊥=de f ¬>Negacao classica: ∼ ϕ =de f ϕ →⊥Consistencia: ◦ϕ =de f ∼ (ϕ ∧¬ϕ)Bicondicional: ϕ ↔ ψ =de f (ϕ → ψ)∧ (ψ → ϕ).

As suas interpretacoes sao dados pelas seguintes tabelas:




25


∨ 0 12 1

0 0 12 1

12

12

12 1

1 1 1 1

∼0 112 01 0

◦0 112 01 1

↔ 0 12 1

0 1 0 012 0 1 11 0 1 1

>0 112 11 1

⊥0 012 01 0

Segue da definicao da disjuncao ∨ e das tabelas de ∧ e ∨, que valem na LPT as leis de DeMorgan ¬(ϕ ∧ψ)↔ (¬ϕ ∨¬ψ) e ¬(ϕ ∨ψ)↔ (¬ϕ ∧¬ψ).

A semantica matricial de LPT e:

MLPT = ({0, 12 ,1},¬,∧,→,{1

2 ,1}),

com o conjunto de valores designados D = {12 ,1} e com a seguinte relacao de consequencia

semantica.

Seja Var(LPT )= {p1, p2, p3, ...} o conjunto das variaveis proposicionais de LPT. Uma valoracaopara LPT e qualquer funcao:

v : Var(LPT )→{0, 12 ,1},

a qual e estendida de modo unico para o conjunto For(LPT ) segundo os operadores introduzidosacima.

Se Γ⊆For(LPT ), entao v(Γ)= {v(γ) : γ ∈Γ} e a implicacao logica ou consequencia semanticade LPT e definida como segue.

Para Γ∪{ϕ} ⊆ For(LPT ), o conjunto Γ implica ϕ quando para toda LPT-valoracao v, sev(Γ)⊆ D, entao v(ϕ) ∈ D, isto e:

Γ � ϕ ⇐⇒ v(Γ)⊆ D⇒ v(ϕ) ∈ D.

Decorre desta definicao de valoracao que toda formula de LPT valida segundo uma valoracaov : Var(LPT )→ {0, 1

2 ,1} e tambem valida segundo a restricao booleana de v, isto e, segundov : Var(LPT )→ {0,1} com os significados booleanos dos operadores ¬, ∧ e→, em que e apa-gado o valor 1

2 . Assim, toda formula LPT-valida e uma tautologia.

Podemos construir tabelas de verdade de formulas de LPT, que por ser uma logica trivalente,tem como numero de linhas algum multiplos de 3. Vejamos alguns exemplos como em (Feitosae Silvestrini, 2016):




26


(a) ϕ → (ψ → ϕ):

ϕ → (ψ → ϕ)0 1 0 1 00 1 1

2 0 00 1 1 0 012 1 0 1 1

212 1 1

2 1 12

12 1 1 1 1

21 1 0 1 11 1 1

2 1 11 1 1 1 1

(b) ϕ ∨ (ϕ → ψ):

ϕ ∨ (ϕ → ψ)0 1 0 1 00 1 0 1 1

20 1 0 1 112

12

12 0 0

12 1 1

2 1 12

12 1 1

2 1 11 1 1 0 01 1 1 1 1

21 1 1 1 1

(c) ϕ ∨¬ϕ:

ϕ ∨ ¬ϕ

0 1 112

12

12

1 1 0

(d) Cada formula σ do tipo ϕ ∧¬ϕ ∧◦ϕ e contraditoria:

ϕ ¬ϕ ◦ϕ σ

0 1 1 012

12 0 0

1 0 1 0

Contudo, algumas formulas tautologicas bem conhecidas nao sao LPT-validas. Vejamos al-gumas delas:




27


(e) (ϕ ∧¬ϕ)→ ψ .Tomemos uma valoracao v tal que v(ϕ) = 1

2 e v(ψ) = 0. Daı, v((ϕ ∧¬ϕ)→ ψ) = (12 ∧

12)→

0 = 12 → 0 = 0.

(f) ¬ϕ → (ϕ → ψ).Tomemos, mais uma vez, uma valoracao v tal que v(ϕ) = 1

2 e v(ψ) = 0. Daı, v(¬ϕ → (ϕ →ψ)) = (1

2 → (12 → 0)) = 1

2 → 0 = 0.

(g) (ϕ → ψ)→ (¬ψ →¬ϕ).Tomemos uma valoracao v tal que v(ϕ) = 1 e v(ψ) = 1

2 . Daı, v((ϕ → ψ)→ (¬ψ →¬ϕ)) =

(1→ 12)→ (1

2 → 0) = 1→ 0 = 0.

Proposicao 2.1 Se v : For(LPT )→{0, 12 ,1} e uma LPT-valoracao, entao:

(i) v(ϕ) ∈ D⇔ v(ϕ) = 12 ou v(ϕ) = 1;

(ii) v(¬ϕ) ∈ D⇔ v(ϕ) = 12 ou v(ϕ) = 0;

(iii) v(◦ϕ) ∈ D⇔ v(ϕ) = 0 ou v(ϕ) = 1.

Demonstracao: Imediata das tabelas dos operadores de LPT.

A logica LPT de acordo com (Feitosa e Silvestrini, 2016) e dada pelo seguinte sistemaaxiomatico:

Esquemas de Axiomas:

(A1) ϕ → (ψ → ϕ)(A2) (ϕ → (ψ → σ))→ ((ϕ → ψ)→ (ϕ → σ))(A3) (σ → ϕ)→ ((σ → ψ)→ (σ → (ϕ ∧ψ)))(A4) (ϕ ∧ψ)→ ϕ

(A5) (ϕ ∧ψ)→ ψ

(A6) ϕ → (ϕ ∨ψ)(A7) ψ → (ϕ ∨ψ)(A8) (ϕ → σ)→ ((ψ → σ)→ ((ϕ ∨ψ)→ σ)))(A9) ϕ ∨ (ϕ → ψ)(A10) ϕ ∨¬ϕ

(A11) ¬¬ϕ → ϕ

(A12) ◦ϕ → (ϕ → (¬ϕ → ψ))(A13) ¬◦ϕ → (ϕ ∧¬ϕ)(A14) ◦(ϕ → ψ)(A15) (◦ϕ ∧◦ψ)→◦(ϕ ∧ψ)(A16) ◦ϕ →◦¬ϕ .

Regra de Deducao:

(MP) ϕ,ϕ → ψ ` ψ .




28


Feitosa e Silvestrini (2016) demonstram que o sistema dedutivo, acima, da logica LPT ecorreto e completo segundo a semantica matricial MLPT .

Portanto, temos o seguinte teorema.

Teorema 2.2 Γ ` ϕ ⇔ Γ � ϕ .

3 O metodo de tableaux analıticosOs sistemas de tableaux para a Logica Classica, proposicional e quantificacional, foram muito

bem investigados e apresentados por Smullyan (1968).A origem de tal metodo, entretanto, esta baseada nos trabalhos de Gentzen (1935), quando

da introducao dos sistemas de provas conhecidos como calculos de sequentes. Tais sistemasde prova seguem o princıpio da subformula, no qual estabelece que se uma formula tem umademonstracao, entao ela possui uma demonstracao em que ocorrem apenas subformulas da formulainicial.

Dada esta caracterıstica, Smullyan (1968) denominou seus tableaux de analıticos.O trabalho de Gentzen foi desenvolvido posteriormente por E. W. Beth (1959), que introduziu

o metodo de tableaux semanticos, os quais tambem fazem uso do princıpio da subformula.Smullyan (1968) ao introduzir o sistema de tableaux analıticos, buscou estabelecer as relacoes

desse com os metodos originais de Gentzen.Alem desses autores, J. Hintikka (1955) tambem inspirou Smullyan(1968), de tal modo que

o metodo dos tableaux analıticos de Smullyan pode ser considerado uma variante dos metodosde prova de Hintikka.

Uma caracterıstica principal deste sistema de prova e que se trata de um metodo de refutacao,ou seja, para demonstrarmos que uma formula ϕ e valida, tomamos como primeiro passo suporque ela nao e valida.

A partir daı aplicamos as regras de expansao do tableau que, a cada passo, gera como con-sequencias apenas subformulas da formula considerada. Como cada formula e finita, entao esteprocedimento depois de um numero finito de passos tem que estar exaurido. Nesse ponto pode-mos fazer a analise da validade ou nao da formula inicial.

Iniciamos considerando que ϕ nao e valida. Na analise quando o procedimento esta con-cluıdo, se encontramos alguma contradicao em cada ramo do tableau, entao concluımos que naoha um caminho ou um ramo que corrobore a suposicao inicial de nao validade de ϕ . Logo, aconclusao e que ϕ e verdadeira.

Caso tal fato nao ocorra, ou seja, o tableau apresenta algum ramo aberto, isto e, sem al-guma contradicao na expansao da negacao de ϕ , entao este mesmo ramo serve como um contra-exemplo de valoracao para formula ϕ , que a faz falsa.

Ademais, o metodo de tableaux analıticos e caracterizado como um algoritmo e, assim, e umsistema de decisao para formulas validas de uma determinada logica, do mesmo modo que astabelas de verdade sao para a logica proposicional classica. Com a enorme vantagem de ser umprocedimento muito mais breve e economico.

A base de todo sistema de tableaux analıticos esta nas regras de expansao ou regras para aconstrucao dos tableaux, as quais permitem a analise das formulas de uma linguagem L.




29


A nocao de expansao e justamente agir sobre uma formula em questao de modo a consideraras suas subformulas na geracao de um ramo do tableau, como numa arvore.

Empregamos a palavra ‘ramo’ para designar um caminho ou uma possibilidade de analise dassubformulas da formula considerada.

Smullyan (1968) apresenta seu desenvolvimento como sendo uma arvore ordenada e diadica,donde surge naturalmente o termo ‘ramo’.

Ele apresentou seu metodo de tableaux tanto para a logica proposicional classica (LPC), comopara a logica de primeira ordem (FOL).

Mostramos, agora, apenas os tableaux para uma logica proposicional classica. Mais deta-lhes podem ser encontrados em Smullyan (1968) e em Silva, Finger e Melo (2006). Usaremosas regras do segundo texto, com formulas marcadas, em que T representa a verdade (truth) e Frepresenta o falso. A linguagem L conta com os seguintes operadores logicos L = (¬,∧,∨,→):

As formulas neste sistema de prova podem ser classificadas da seguinte forma:

Formulas do tipo A: as consequencias das formulas do tipo A sao consequencias diretas, istoe, permanecem no mesmo ramo e nao geram bifurcacoes. As regras de expansao que contem estacategoria de formulas sao denominadas regras do tipo conjuntivo.

Formulas do tipo B: neste caso, as formulas do tipo B nao sao diretas e, assim, elas bifurcamem dois ramos distintos, sendo que cada um deles e uma possibilidade de analise da formula dada.As regras de expansao que tem formulas do tipo µ sao chamadas de regras do tipo disjuntivo.

Apresentamos, a seguir, as regras de expansao do tableaux analıticos para a LPC.

Regras do tipo conjuntivo:

T ¬α

F α

F ¬α

T α

T α ∧β

T α

T β

F α ∨β

F α

F β

F α → β

T α

F β

Regras do tipo disjuntivo:

F α ∧β

F α | F β

T α ∨β

T α | T β

T α → β

F α | T β.

Apos a aplicacao de todas as regras de expansao possıveis num tableau, podemos encontraruma contradicao num ramo, quando para alguma formula ϕ , ocorrem no ramo as formulas mar-cadas T ϕ e F ϕ . Neste caso, dizemos que o ramo e fechado. Do contrario, dizemos que oramo e aberto.

Se todos os ramos do tableau sao fechados, entao temos um tableau fechado e, deste modo,concluımos que a formula inicial e valida. Do contrario, a formula inicial nao e valida.

Muitos exemplos podem ser encontrados nos dois textos mencionados. Os tableaux, daproxima secao, tambem servirao de exemplo e, para o caso classico, basta considerarmos T =1 e F = 0.




30


4 Tableaux para a LPTAgora introduzimos o sistema de tableaux analıticos para a logica da verdade pragmatica

(LPT), que originalmente foi apresentada por Silvestrini (2011) em um sistema axiomatico.Denotamos o nosso sistema de tableaux para LPT por TPT.As regras de expansao para o sistema TPT podem ser classificadas em tres tipos, os quais

seguem abaixo.

Formulas do tipo α: sao formulas em que temos consequencias diretas e, com isso, as suasconsequencias nao se ramificam, mas permanecem no mesmo ramo.

Formulas do tipo β : neste caso, as consequencias se ramificam em dois ramos distintos.

Formulas do tipo γ: sao formulas em que as consequencias se ramificam em tres ramos dis-tintos.

Regras do tipo γ sao complemente novas para os tableuax classicos, os quais sao diadicos e,portanto, se dividem no maximo em dois ramos, para cada regra.

Definicao 4.1 Um ramo de tableau em TPT e fechado quando ocorrer um dos seguintes casos:(i) uma formula ocorre com valores distintos no ramo;(ii) se ocorre no ramo a formula marcada 1

2 ◦ϕ;(iii) se ocorre no ramo a formula marcada 1

2 ϕ → ψ .

Como indicam as tabelas de LPT, nao ha casos em que qualquer formula de consistencia ◦ou de condicional→ assuma o valor 1

2 . Contudo, num tableau pode ser que nalguma expansaosurja uma tal situacao nao sustentavel em LPT. Por isso a inclusao das condicoes (ii) e (iii) nadefinicao do fechamento de um ramo em TPT.

Definicao 4.2 Um tableau do sistema TPT e fechado se todos os seus ramos sao fechados.

Introduzimos as regras de expansao para o nosso sistema TPT.

Negacao:

[ 0 ¬ ]0 ¬ϕ

1 ϕ[1

2 ¬ ]12 ¬ϕ12 ϕ

[ 1 ¬ ]1 ¬ϕ

0 ϕ

Consistencia:

[ 0 ◦ ]0 ◦ϕ12 ϕ

[ 1 ◦ ]1 ◦ϕ

0 ϕ | 1 ϕ




31


Conjuncao:

[0 ∧]0 ϕ ∧ψ

0 ϕ | 0ψ[1

2 ∧]

12 ϕ ∧ψ

12 ϕ | 1

2 ϕ | 1 ϕ

1 ψ | 12 ψ | 1

2 ψ

[ 1 ∧]1 ϕ ∧ψ

1 ϕ

1 ψ

Disjuncao:

[0 ∨]0 ϕ ∨ψ

0 ϕ

0 ψ

[12 ∨]

12 ϕ ∨ψ

0 ϕ | 12 ϕ | 1

2 ϕ12 ψ | 1

2 ψ | 0 ψ

[1 ∨]1 ϕ ∨ψ

1 ϕ | 1 ψ

Condicional:

[0 → ]0 ϕ → ψ

0 ψ12 ϕ | 1 ϕ

[1 →]1 ϕ → ψ

0 ϕ | 12 ψ | 1 ψ

As regras de expansao no sistema TPT foram obtidas por meio da analise das matrizes triva-lentes da LPT, introduzidas por Silvetsrini (2011).

5 Adequacao de TPTPrecisamos verificar que o nosso sistema de tableaux e equivalente ao sistema dedutivo LPT,

isto e, que TPT nao deduz mais e nem menos que LPT.Assim, temos que comprovar que todas as deducoes que obtemos em TPT tambem sao obtidas

em na LPT e vice-versa e, portanto, teremos a seguinte equivalencia:

Γ ϕ ⇔ Γ ` ϕ ⇔ Γ � ϕ.

Como a segunda equivalencia Γ ` ϕ ⇔ Γ � ϕ esta em (Feitosa, Silvestrini, 2016), entaoseguiremos o seguinte caminho:

Γ ` ϕ ⇔ Γ |= ϕ

⇓ ⇑Γ ϕ

Teorema 5.1 Se Γ ` ϕ ⇒ Γ ϕ

Demonstracao: Demonstracao por inducao no comprimento de deducao Γ ` ϕ .Se n = 1, entao temos os seguintes casos: ϕ ∈ Γ ou ϕ e um axioma.Se ϕ ∈ Γ, temos Γ ϕ , pois ϕ ocorre com valores distintos no tableau e por isso o tableau

fecha.Se ϕ e um axioma, entao ϕ e, portanto, Γ ϕ . Diante disso, provamos agora que cada

axioma da LPT gera um tableau fechado em TPT.




32


0 ϕ → σ

� �

1 ϕ → ψ12 ϕ → ψ

| ×

0 σ

� �

12 ϕ 1 ϕ

� | � � | �

1 ψ → σ12 ψ → σ 0 ϕ 0 ϕ

12 ψ → σ 1 ψ → σ

| × × × × |

� | � � | �

0 ψ12 σ 1 σ 0 ψ

12 σ 1 σ

| × × | × ×

� | � � | �

0 ϕ12 ψ 1 ψ 0 ϕ

12 ψ 1 ψ

× × × × × ×

(A3) (σ → ϕ)→ ((σ → ψ)→ σ → (ϕ ∧ψ))

Feitosa e Silvestrini (2016) demonstraram que o axioma (A3) e equivalente a seguinte formulaϕ→ (ψ→ (ϕ∧ψ)). Por questao de economia no tamanho, faremos o tableau para esta formula.Certamente, verificamos tambem a validade de (A3).




34


0 ϕ → (ψ → (ϕ ∧ψ))|

0 ψ → (ϕ ∧ψ)� �

12ϕ 1 ϕ

� �0 ϕ ∧ψ 0 ϕ ∧ψ

� � � �12 ψ 1 ψ

12 ψ 1 ψ

� � � � � � � �0 ϕ 0 ψ 0 ϕ 0 ψ 0 ϕ 0 ψ 0 ϕ 0 ψ

× × × × × × × ×

(A6) ϕ → (ϕ ∨ψ)

0 ϕ → (ϕ ∨ψ)|

0 ϕ ∨ψ

� �12 ϕ 1 ϕ

| |0 ϕ 0 ϕ

0 ψ 0 ψ

× ×

(A7) ψ → (ϕ ∨ψ)

0 ψ → (ϕ ∨ψ)|

0 ϕ ∨ψ

� �12 ψ 1 ψ

| |0 ϕ 0 ϕ

0 ψ 0 ψ

× ×

(A9) ϕ ∨ (ϕ → ψ)




35


0 ϕ ∨ (ϕ → ψ)|

0 ϕ

0 ϕ → ψ

|0 ψ

� �12 ϕ 1 ϕ

× ×

(A14) ◦(ϕ → ψ)

0 ◦ (ϕ → ψ)12 ϕ → ψ

×

(A8) (ϕ → σ)→ ((ψ → σ)→ ((ϕ ∨ψ)→ σ)

0 (ϕ → σ)→ ((ψ → σ)→ (ϕ ∨ψ → σ))|

0 ((ψ → σ)→ (ϕ ∨ψ → σ))� �

12 ϕ → σ 1 ϕ → σ

× 0 (ϕ ∨ψ)→ σ

� �

12 ψ → σ 1 ψ → σ

× ∗

∗� | �

0 ϕ12 σ 1 σ

| | |0 σ 0 σ 0 σ

� � � � � �12 ϕ ∨ψ 1 ϕ ∨ψ

12 ϕ → ψ 1 ϕ ∨ψ

12 ϕ ∨ψ 1 ϕ ∨ψ

� | � � | � × × × ×

0 ϕ12 σ 1 σ 0 ϕ

12 σ 1 σ




36


∗∗ × × ∗∗∗ × ×

∗∗ ∗∗∗� | � � | �

0 ϕ12 ϕ

12 ϕ 0 ϕ

12 ϕ

12 ϕ

12 ψ

12 ψ 0 ψ

12 ψ

12 ψ 0 ψ

� � × × � � × ×

0 ψ12 , 1 σ 0 ψ

12 , 1 σ

× ×, × × ×, ×

(A10) ϕ ∨¬ϕ

0 ϕ ∨¬ϕ

|0 ϕ

0 ¬ϕ

|1 ϕ

×

(A12) ◦ϕ → (ϕ → (¬ϕ → ψ))

0 ◦ϕ → (ϕ → (¬ϕ → ψ))|

0 ϕ → (¬ϕ → ψ)� �

12 ◦ϕ 1 ◦ϕ

× |0 ¬ϕ → ψ

� �12 ϕ 1 ϕ

� � � �0 ϕ 1 ϕ 0 ϕ 1 ϕ

× × × |0 ψ

� �12 ¬ϕ 1 ¬ϕ

| |12 ϕ 0 ϕ

× ×




37


(A13) ¬◦ϕ → (ϕ ∧¬ϕ)

0 ¬◦ϕ → (ϕ ∧¬ϕ)|

0 ϕ ∧¬ϕ

� �12 ¬◦ϕ 1 ¬◦ϕ

| |12 ◦ϕ 0 ◦ϕ

× |12 ϕ

|0 ϕ ∧¬ϕ

� �0 ϕ 1 ϕ

× ×

(A11) ¬¬ϕ → ϕ

0 ¬¬ϕ → ϕ

|0 ϕ

� �12 ¬¬ϕ 1 ¬¬ϕ

| |12 ¬ϕ 0 ¬ϕ

| |12 ϕ 1 ϕ

× ×

(A15) (◦ϕ ∧◦ψ)→◦(ϕ ∧ψ)

0 (◦ϕ ∧◦ψ)→◦(ϕ ∧ψ)|

0 ◦ (ϕ ∧ψ)� �

12 ◦ϕ ∧◦ψ 1 ◦ϕ ∧◦ψ

× |1 ◦ϕ

1 ◦ψ

|12 ϕ ∧ψ

� | �12 ϕ

12 ϕ 1 ϕ

12 ψ 1 ψ

12 ψ

| | |




38


0, 1 ϕ 0, 1 ϕ 0, 1 ψ

× × ×

Nesta ultimo passo, a notacao 0, 1 ϕ indica que vale 0 ϕ ou 1 ϕ .

(A16) ◦ϕ →◦¬ϕ

0 ◦ϕ →◦¬ϕ

|0 ◦¬ϕ

� �12 ◦ϕ 1 ◦ϕ

× � �0 ϕ 1 ϕ

| |12 ¬ϕ

12 ¬ϕ

| |12 ϕ

12 ϕ

× ×

Se n > 1, entao no ultimo passo da deducao aplicamos a regra MP. Assim, temos Γ ` σ → ϕ

e Γ ` σ donde concluımos que Γ ` ϕ .Por hipotese de inducao, temos que Γ σ → ϕ e Γ σ . Daı, segue que para toda valoracao

v, se v(Γ)⊆ {12 ,1} entao v(σ → ϕ) 6= 0 e v(σ) 6= 0.

Deste modo, consideraremos o tableau Γ,σ ,σ → ϕ ϕ . Temos quatro condicoes possıveispara as premissas validas σ e σ → ϕ:

Γ Γ12 σ

12 σ

12 σ → ϕ 1 σ → ϕ

0 ϕ 0 ϕ

× � | �0 σ

12 ϕ 1 ϕ

× × ×

Γ Γ

1 σ 1 σ12 σ → ϕ 1 σ → ϕ

0 ϕ 0 ϕ

× � | �0 σ

12 ϕ 1 ϕ

× × ×

Portanto, Γ ϕ .




39


Para obtermos uma equivalencia entre os dois sistemas, ainda temos que provar: Γ ϕ ⇒Γ � ϕ .

Contudo, antes disso, precisaremos de algumas definicoes e alguns resultados.

Definicao 5.2 Um conjunto Θ de formulas sinalizadas e saturado para baixo se satisfaz as se-guintes condicoes:

(a) nenhuma formula sinalizada ocorre em Θ com dois valores distintos;(b) se em Θ ocorre alguma formula sinalizada do tipo α , entao α1 ∈Θ e α2 ∈Θ;(c) se em Θ ocorre alguma formula sinalizada do tipo β , entao β1 ∈Θ ou β2 ∈Θ;(d) se em Θ ocorre alguma formula sinalizada do tipo γ , entao γ1 ∈Θ ou γ2 ∈Θ ou γ3 ∈Θ.

Lema 5.3 Todo ramo saturado e aberto de um tableau e um conjunto saturado para baixo.Demonstracao: Como o ramo e aberto, entao nenhuma formula aparece no ramo com duasvaloracoes distintas, o que satisfaz a condicao (a) da definicao de conjunto saturado para baixo.

Alem disso, como o ramo e saturado, segue que todas as possıveis regras do tableau ja foramutilizadas e o tableau nao pode mais ser expandido.

Logo, se existe uma formula do tipo α no ramo, entao α1 e α2 tambem estao no ramo, o queatende a condicao (b).

Pelo mesmo motivo, se ha uma formula do tipo β no ramo, entao ou β1 ou β2 esta no ramo,o que cumpre a condicao (c).

De modo analogo, tambem pela saturacao, se ocorre no ramo uma formula do tipo γ , segueque ou γ1 ou γ2 ou γ3 esta no ramo, o que contempla o ultima condicao (d).

Agora, estenderemos a nocao de valoracao para as formulas sinalizadas.

Definicao 5.4 Se v e uma valoracao e k ∈ {0, 12 ,1}, entao a formula sinalizada k ϕ e distinguida

segundo a valoracao v, o que e denotado por k ϕ ∈ D, se v(ϕ) = k.

Assim, k ϕ ∈ D⇔ v(ϕ) = k.

Definicao 5.5 Uma valoracao v satisfaz um conjunto Θ de formulas sinalizadas se para todaformula sinalizada k ψ que ocorre em Θ, tem-se k ψ ∈ D.

Definicao 5.6 Um conjunto Θ de formulas sinalizadas e satisfatıvel se existe uma valoracao vtal que v(Θ)⊆ D, ou seja, para toda ψ ∈Θ, k ψ ∈ D.

Lema 5.7 Se Θ e um conjunto satisfatıvel de formulas sinalizadas, entao:(i) se uma formula do tipo α esta em Θ, entao Θ∪{α1,α2} e satisfatıvel;(ii) se uma formula do tipo β esta em Θ, entao Θ∪{β1} e satisfatıvel ou Θ∪{β2} e satis-

fatıvel;(iii) se uma formula do tipo γ esta em Θ, entao ou Θ∪ {γ1} e satisfatıvel, ou Θ∪ {γ2} e

satisfatıvel, ou Θ∪{γ3} e satisfatıvel.Demonstracao: (i) Tomemos a formula de consistencia do tipo α , isto e, 0 ◦ϕ . Como o conjuntoΘ e satisfatıvel, entao existe uma valoracao v tal que v(Θ)⊆D. Daı, v(◦ϕ) = 0 e, entao v(ϕ) = 1

2e, portanto, v(Θ∪{1

2 ϕ})⊆ D.




40


Agora a conjuncao do tipo α , isto e, 1ϕ ∧ψ . Como o conjunto Θ e satisfatıvel, entao existeuma valoracao v tal que v(Θ)⊆ D. Daı, v(ϕ ∧ψ) = 1 e, entao, v(ϕ) = 1 e v(ψ) = 1. Portanto,v(Θ∪{1 ϕ,1 ψ})⊆ D.

Para a disjuncao do tipo α temos que 0 ϕ ∨ψ . Como o conjunto Θ e satisfatıvel, entao existeuma valoracao v tal que v(Θ)⊆D. Daı, v(ϕ ∨ψ) = 0 e, entao, v(ϕ) = 0 e v(ψ) = 0 e, portanto,0 ϕ , 0 ψ ∈ D. Assim, v(Θ∪{0 ϕ,0 ψ})⊆ D.

Todas as regras de negacao sao do tipo α .Se temos 0 ¬ϕ , desde que o conjunto Θ e satisfatıvel, entao existe uma valoracao v tal que

v(Θ)⊆ D. Daı, v(¬ϕ) = 0 e, entao, v(ϕ) = 1 e, portanto, v(Θ∪{1 ϕ})⊆ D.Quando temos 1

2 ¬ϕ , como Θ e satisfatıvel, entao existe uma valoracao v tal que v(Θ)⊆ D.Daı, v(¬ϕ) = 1

2 e, entao v(ϕ) = 12 e, portanto, v(Θ∪{1

2 ϕ})⊆ D.Finalmente, se temos 1 ¬ϕ . Como o conjunto Θ e satisfatıvel, entao existe uma valoracao v

tal que v(Θ)⊆ D. Daı, v(¬ϕ) = 1 donde segue que v(ϕ) = 0 e, portanto, v(Θ∪{0 ϕ})⊆ D.

(ii) Para a formula de consistencia do tipo β , temos 1 ◦ϕ . Como Θ e satisfatıvel, entao existev tal que v(Θ)⊆ D e, entao, v(◦ϕ) = 1. Consequentemente, v(ϕ) = 0 ou v(ϕ) = 1. Se v(ϕ) = 0,entao v(Θ∪{0 ϕ})⊆ D. Contudo, se v(ϕ) = 1, entao v(Θ∪{1 ϕ})⊆ D. De qualquer modo haum ramo tal que v(Θ∪{k ϕ})⊆ D.

Para a conjuncao do tipo β , temos 0 ϕ ∧ψ . Como Θ e satisfatıvel, entao existe v tal quev(Θ) ⊆ D. Daı, v(ϕ ∧ψ) = 0 e, consequentemente, v(ϕ) = 0 ou v(ψ) = 0. Se v(ϕ) = 0, entaov(Θ∪{0 ϕ})⊆ D; e se v(ψ) = 0, entao v(Θ∪{0 ψ})⊆ D.

Se temos uma disjuncao do tipo β , isto e, 1 ϕ ∨ψ , desde que Θ e satisfatıvel, entao existe vtal que v(Θ)⊆ D. Daı, v(ϕ ∨ψ) = 1 e, consequentemente, v(ϕ) = 1 ou v(ψ) = 1. Se v(ϕ) = 1,entao v(Θ∪{1 ϕ})⊆ D; e se v(ψ) = 1, entao v(Θ∪{1 ψ})⊆ D.

Para 0 ϕ → ψ , como Θ e satisfatıvel, entao existe v tal que v(Θ)⊆ D. Daı, v(ϕ → ψ) = 0 e,consequentemente, v(ψ) = 0 e v(ϕ) ∈ D. Para v(ψ) = 0, segue que v(Θ∪{0 ψ}) ⊆ D. Agora,para qualquer k ∈ D, se v(ϕ) = k, entao v(Θ∪ {k ϕ}) ⊆ D. Logo, um dos ramos e tal quev(Θ∪{0 ψ,k ϕ})⊆ D.

(iii) Para a conjuncao do tipo γ temos 12 ϕ ∧ψ . Como Θ e satisfatıvel, entao existe v tal

que v(Θ) ⊆ D. Daı, v(ϕ ∧ψ) = 12 e, consequentemente, v(ϕ) = 1 e v(ψ) = 1

2 ; ou v(ϕ) = 12 e

v(ψ) = 1; ou v(ϕ) = 12 e v(ψ) = 1

2 . Como tem que valer um destes tres casos, para k1,k2 ∈ D,segue que v(Θ∪{k1 ϕ, k2 ψ})⊆ D.

Para a disjuncao do tipo γ temos 12 ϕ ∨ψ . Como Θ e satisfatıvel, entao existe v tal que

v(Θ)⊆D. Daı, v(ϕ∨ψ)= 12 e, consequentemente, v(ϕ)= 0 e v(ψ)= 1

2 ; ou v(ϕ)= 12 e v(ψ)= 0;

ou v(ϕ) = 12 e v(ψ) = 1

2 . Como tem que valer um destes tres casos, para k1,k2 ∈ {0, 12 ,1}, segue

que v(Θ∪{k1 ϕ,k2 ψ})⊆ D.Para a condicional do tipo γ temos 1 ϕ → ψ . Como Θ e satisfatıvel, entao existe v tal que

v(Θ) ⊆ D. Daı, v(ϕ → ψ) = 1 e, consequentemente, v(ϕ) = 0 ou v(ψ) = 12 ou v(ψ) = 1. Seja

k ∈ {12 ,1}. Se v(ϕ) = 0, entao v(Θ∪{0 ϕ})⊆ D e se v(ψ) = k, entao v(Θ∪{k ψ})⊆ D.

Em todos os casos, algum ramo do tableau e satisfatıvel.

Diante dessas definicoes e do Lema acima podemos provar o seguinte teorema.




41


Teorema 5.8 Γ ϕ ⇒ Γ � ϕ

Demonstracao: Faremos a demonstracao pela contra-positiva.Se Γ 2 ϕ , entao existe uma valoracao v, tal que v(Γ)⊆ D e v(ϕ) = 0.Seja Θ0 o conjunto de formulas sinalizadas que ocorrem no tableau inicial de Γ, de modo que

v(Θ0) ⊆ D. Mostramos que a cada passo de expansao do tableau, sempre vai existir um ramoΘ0 tal que v(Θ0)⊆ D.

Suponha que v(Θi−1) ⊆ D. Se o ramo Θi−1 for expandido por uma formula do tipo α , pelolema anterior (i), temos que v(Θi)⊆ D.

No caso do ramo Θi−1 ser expandido por uma formula do tipo β , segue pelo lema anterior(ii), que v(Θi)⊆ D.

Se o ramo Θi−1 for expandido por uma formula do tipo γ , pelo mesmo lema item (iii) segueque v(Θi)⊆ D.

Assim, em todos os casos, temos um ramo Θi tal que v(Θi) ⊆ D. Logo, sempre havera umramo satisfatıvel em Θ, o qual e um conjunto saturado para baixo.

Portanto, Γ 1 ϕ

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43


ISSN 2316-9664Volume 7, dez. 2016

Edicao ERMAC

Lislaine Cristina CardosoUniversidade EstadualPaulista/UNESP [email protected]

Fernando Luiz Pio dos SantosUniversidade EstadualPaulista/UNESP [email protected]

Rubens de FigueiredoCamargoUniversidade EstadualPaulista/UNESP [email protected]

Metodo de diferencas finitas nao classico aplicadoao calculo fracionario

Nonstandard schemes finite difference applied to fractionalcalculus

ResumoA teoria do calculo fracionario tem se tornado uma importanteferramenta para descrever a dinamica de sistemas complexosem diversas areas do conhecimento, como fısica, biomatematica,quımica e biologia. Pelo fato de que nem todos os sistemasde equacoes diferenciais, de ordem inteira ou fracionaria, apre-sentam solucao analıtica, surge a necessidade de obter metodosnumericos para aproximar tais solucoes. No ambito de calculode ordem nao inteira ha poucos algoritmos desenvolvidos, entaoapresentamos neste trabalho um metodo numerico para aproxi-mar a solucao de uma equacao de ordem fracionaria. Este metodonumerico e dado por meio de diferencas finitas nao classico.Como aplicacao para o metodo proposto e apresentada a solucaonumerica para a equacao logıstica fracionaria e para o modelode Brusselator fracionario. Esses resultados obtidos atraves desimulacao estao de acordo com os teoricos obtidos atraves daanalise de estabilidade encontrados na literatura.Palavras-chave: Calculo Fracionario, Metodo Numerico,Equacao Logıstica, Modelo de Brusselator.

AbstractThe theory of fractional calculus has become an important toolto describe the dynamics of complex systems in several areas ofknowledge, such as physics, biomathematics, chemistry and bi-ology. Due to the fact not all differential equations presents ananalytical solution, the need arises to obtain numerical methodsto approximate this solutions. In the context of fractional cal-culus, there are a few developed algorithms, then in this paperwe present an numerical method to approximate the solution offractional equation. This method is given by nonstandard schemefinite difference. As application we shown the numerical solutionto fractional logistic equation and to fractional Brusselator model.This results obtained by simulation prove the theoretical it givenby stability analysis found in the literature.Keywords: Fractional Calculus, Numerical methods, LogisticEquation, Brusselator Model.

1 IntroducaoDurante as ultimas decadas o calculo fracionario tem se tornado uma importante ferramenta

para descrever a dinamica de sistemas complexos em diversas areas do conhecimento.A utilizacao de conceitos e tecnicas do calculo de ordem nao inteira tem possibilitado impor-

tantes resultados em varias areas do conhecimento, como controle e robotica, circuitos eletricos,biomatematica, quımica, biologia, processos estocasticos, entre outros (CAMARGO; OLIVEIRA,2015). Alem disso e uma ferramenta importante para refinar a descricao de fenomenos naturais,em particular aqueles que possuem dependencia temporal (PODLUBNY, 1999).

Pelo fato de que nem todos os sistemas de equacoes diferenciais, de ordem inteira ou fra-cionaria, apresentam solucao analıtica, surge a necessidade de obter metodos numericos paraaproximar tais solucoes.

A essencia dos metodos numericos esta na representacao discreta (finita) do problema que,em geral, modelado como contınuo (CUMINATO; MENEGUETTE JUNIOR, 2013).

Para os sistemas de ordem inteira, os metodos numericos mais utilizados para encontrar taisaproximacoes sao Runge Kutta e diferencas finitas (CUMINATO; MENEGUETTE JUNIOR,2013; FORTUNA, 2000).

A ideia geral do metodo de diferencas finitas e a discretizacao do domınio e a substituicaodas derivadas presentes na equacao diferencial por aproximacoes envolvendo valores numericosda funcao. Na pratica, substitui-se as derivadas pela razao incremental que converge para o valorda derivada quando o incremento tende a zero (FORTUNA, 2000).

Por outro lado, o metodo de diferencas finitas nao classico (NSFD) foi introduzido por Mic-kens e Smith (1990) para encontrar a solucao numerica de equacoes diferenciais ordinarias e par-ciais, e atualmente tem sido estudado em diversos campos. Esse metodo consiste na diferenciacaode uma funcao com um dado conjunto finito de valores da variavel dependente em determinadospontos conhecidos da variavel independente. Alem disso, tal metodo diferentemente do classico,que utiliza um espacamento h fixo, leva em conta uma funcao denominador dependendo de he de um conjunto de parametros λ , isto e, φ = φ(h,λ ) (MICKENS; SMITH, 1990; ONGUN;ARSLAN; GARRAPPA, 2013; WANG; LI, 2007).

No ambito de calculo de ordem nao inteira ha poucos algoritmos desenvolvidos. O metodomais utilizado para encontrar numericamente a solucao de equacoes fracionarias e Adam-Bashforth-Moulton (ABMM) (DEMIRCI; OZALP, 2012; DIETHELM et al, 2005).

Entao a proposta desse trabalho e construir um esquema envolvendo diferencas finitas naoclassico, seguindo o esquema proposto por Mickens e Smith (1990) para aproximar a solucao deuma equacao de ordem nao inteira.

O trabalho esta organizado como segue: na secao 1 uma breve introducao ao trabalho; nasecao 2 os principais conceitos de calculo fracionario; na secao 3 a discretizacao do metodoNSFD; na secao 4 as aplicacao para o metodo numerico; na secao 5 as principais conclusoes.

2 PreliminaresNessa secao sera introduzido alguns conceitos da teoria de calculo fracionario indis-

pensaveis ao desenvolvimento desse trabalho.

CARDOSO, L. C.; SANTOS, F. L. P.; CAMARG O, R. F. Método de diferenças finitas não clássico aplicado ao cálculo fracionário.

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664lccflpsrfc4454 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/# ! /departamentos/matematica/revista-cqd/ -

C.Q.D. – Revista Eletrônica

45

Paulista de Matemática, Bauru, v. 7, p. 44-54, dez. 2016. Edição ERMAC.

2.1 Calculo FracionarioA partir da generalizacao do conceito de fatorial, feito atraves da funcao gama, vamos

introduzir a integral fracionaria de Riemann-Liouville.

Definicao 1 Sejam f : R→ R uma funcao integravel e n ∈ N. Definimos as integrais de ordensum e n, denotadas, respectivamente, por I e In, como

I f (t) =∫ t

0f (t1)dt1 e In f (t) =

∫ t

0

∫ t1

0

∫ t2

0· · ·∫ tn−1

0f (tn)dtn dtn−1 . . . dt2 dt1.

Teorema 2 Para f : R→ R integravel temos

In f (t) = φn(t)∗ f (t) =∫ t

0φn(t− τ) f (τ)dτ =

∫ t

0

(t− τ)n−1

(n−1)!f (τ)dτ, (1)

na qual o sımbolo ∗ denota a convolucao de Laplace e φn(t) a Gel’fand-Shilov, definida para ν 6∈

Z−, como φν(t)=

tν−1

Γ(ν)se t ≥ 0

0 se t < 0e Γ(ν) a funcao Gama definida por Γ(ν)=

∫∞

0e−ttν−1dt.

Definicao 3 Seja f (t) uma funcao integravel. Utilizamos a generalizacao do conceito de fatorialpela funcao gama para definir a integral de Riemann-Liouville de ordem α de f (t), denotada porIα f (t), como

Iα f (t) = φα(t)∗ f (t) =∫ t

0

(t− τ)α−1

Γ(α)f (τ)dτ. (2)

Definicao 4 Sejam f (t) uma funcao diferenciavel, m ∈ N e α 6∈ N tais que m−1 < Re(α)< m,quando α = m, temos a definicao usual. A derivada de ordem α no sentido de Caputo e definidacomo sendo a integral fracionaria de uma derivada de ordem inteira, de forma que a lei dosexpoentes faca sentido. isto e,

Dα f (t) = Im−α Dm f (t) = φm−α ∗Dm f (t). (3)

Segue, como consequencia da definicao, que Dαtβ = tβ−αΓ(β +1)/Γ(β −α +1), que recuperao resultado classico quando α = n e β = m, com n,m ∈ N.

Definicao 5 O operador de Grunwald−Letnikov (GL) para derivadas fracionarias e definidocomo

DαGL f (t) = lim

h→∞h−α

[k]

∑j=0

w(α)j f (t− jh) t ∈ [0, t f ], (4)

em que 0 < α < 1, [k] e a parte inteira de k =t−a

h, com a e t sendo os limites reais do operador

Dα , o qual denota a derivada fracionaria, h e o espacamento e w(α)j e o coeficiente GL definido

como




46


w(α)0 = 1 , w(α)

j =

(1− 1+α

j

)w(α)

j−1 , j = 1,2, ... (5)

w(α−1)0 = 1 , w(α−1)

j =

(1− α

j

)w(α−1)

j−1 , j = 1,2, .... (6)

Lema 6 Sejam 0 < α < 1 e w(α)n , w(α−1)

n os coeficientes do operador GL. Para n = 1,2, ... tem-se:i) −1 < w(α)

n < 0;ii) 0 < w(α−1)

n < 1.

3 Metodo de diferencas finitasNessa secao apresentamos a ideia basica para a discretizacao atraves do metodo de diferencas

finitas para uma equacao diferencial. Posteriormente apresentamos o processo de discretizacaoNSFD para uma equacao de ordem inteira e para uma equacao de ordem arbitraria.

O metodo NFSD foi proposto por Mickens e Smith (1990), e atualmente e utilizado em variasaplicacoes numericas (MICKENS; SMITH, 1990; ONGUN; ARSLAN; GARRAPPA, 2013; ZI-BAEI; NAMJOO, 2015).

3.1 Discretizacao por diferencas finitasConsidere uma equacao diferencial da forma

dydt

= f (t,y). (7)

Entao podemos escrever a equacao (7)

dydt

=y(t +h)− y(t)

h+O(h) (8)

em que O(h) e o erro de truncamento de ordem h(h > 0). Com isso pelo metodo de diferencasfinitas temos a seguinte discretizacao

dydt∼=

y(t +h)− y(t)h

(9)

como erro de ordem h.

3.2 Discretizacao NSFD3.2.1 Equacao diferencial

Considere uma equacao diferencial da forma




47


dydt

= f (t,y,λ ) (10)

em que λ e o vetor de parametros. O esquema NSFD e construıdo seguindo dois passos:

1. A derivada do lado esquerdo de (10) e substituıda pela representacao discreta na forma

dydt≈ yn− yn−1

φ(h,λ )(11)

em que yn e uma aproximacao de y(tn), h > 0 e o passo de tempo e φ(h,λ ) e a funcaodenominador (MICKENS; SMITH, 1990);

2. O termo nao linear de (10) e dado pela representacao discreta nao local

F(t,yn,yn−1, ...,λ ). (12)

Com isso, podemos escrever a equacao (10) como

yn− yn−1

φ(h,λ )= F(t,yn,yn−1, ...,λ ). (13)

A derivada discreta do lado esquerdo da equacao (13) e uma generalizacao da representacaoclassica discreta que e obtida usando φ(h,λ ) = h. A funcao denominador φ(h,λ ) e uma funcaode h e deve satisfazer a condicao de consistencia

φ(h,λ ) = h+O(hp) , p > α , h→ 0, (14)

em que O(hp) e o erro de truncamento (CUMINATO; MENEGUETTE JUNIOR, 2013; ONGUN;ARSLAN; GARRAPPA, 2013).

3.3 Equacao diferencial de ordem nao inteiraUma equacao de ordem fracionaria pode ser discretizada de forma analoga ao apresentado

anteriormente. Entretanto, devem ser levadas em consideracao algumas peculiaridades dos sis-temas de ordem fracionaria, como o fato de que o operador de ordem fracionaria e um operadornao local, assim a representacao discreta das derivadas deve levar em conta a solucao no tempoanterior.

Atraves do operador GL (4) e do processo descrito na secao anterior, podemos escrever:

DαGL f (t)∼=

1φ(h,λ )

h

∑j=0

w(α)j ( f (t− jh)). (15)

Com isso decorre da equacao (15) que uma equacao de ordem nao inteira pode ser discretizadacomo segue

1φ(h,λ )

n

∑j=0

wαj (xn− j− y0) = f (tn,xn,xn−1, ...,λ ) , n = 1,2,3, .... (16)

DOI: 10.21167/cqdvolxxxxxxxxxx - Disponıvel em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp




48


A condicao de consistencia (14) nao garante a convergencia da representacao discreta paraderivadas fracionarias em (16). Assim a condicao de consistencia sera

φ(h,λ ) = hα +O(hp) , p > α. (17)

Neste trabalho utilizamos a funcao denominador (φ(h,µ + 1)) como dada em Mickens eSmith (1990).

φ(h,µ +1) =1− e−hα (µ+1)

µ +1. (18)

Mais informacoes acerca da funcao φ podem ser vistas em Mickens e Smith (1990) e Ongum;Arslan e Garrappa (2013).

4 AplicacoesNessa secao apresentaremos duas aplicacoes utilizando o metodo dada pela equacao (16).

Inicialmente apresentamos a solucao numerica para a equacao Logıstica de ordem fracionaria eposteriormente para o modelo de Brusselator de ordem nao inteira.

4.1 Equacao LogısticaA equacao logıstica classica foi proposta por Pierre Francois Verhulst e pode ser conside-

rada, sem perda de generalidade, como

dy(t)dt

= k y(t)[1− y(t)], y(t)> 0 (19)

em que k e a constante de proporcionalidadeFazendo a mudanca de variavel z(t) = 1/y(t) de modo a converter a equacao (19) em uma

equacao linear, obtemosdz(t)

dt= k(1− z) (20)

que e uma EDO, linear e separavel, cuja solucao analıtica e dada por

z(t) = 1+1c

e−kt com z(0) = 1+1c

(21)

em que c e a constante de integracao. Como y(t) = z(t)−1 temos que 1/c = 1/y(0)−1 e conse-quentemente;

y(t) =1

1+[

1y(0) −1

]e−kt· (22)

Destacamos que 0 < y(0)< 1 e que limt→∞ y(t) = 1.A partir dos resultados apresentados na Secao 2, temos uma generalizacao via calculo fra-

cionario para a equacao logıstica. Tomando, sem perda de generalidade 0 < α < 1, obtemos aequacao logıstica de ordem nao inteira





49


dαz(t)dtα

= k (1− z) (23)

cuja solucao analıtica e

z(t) = 1+[z(0)−1]Eα(−ktα) (24)

em que Eα e a funcao de Mittag Leffer (CAMARGO; OLIVEIRA, 2015).Lembrando que, no caso inteiro, y(t) = 1/z(t) podemos escrever

1z(t)

=1

1+[

1y(0) −1

]Eα(−ktα)

· (25)

Ao aplicar o limite α → 1 na equacao (25), recuperamos o resultado da equacao(22).

4.2 DiscretizacaoPara discretizar a equacao (23), considere zn a aproximacao para z(tn), entao substituindo

o lado direito de (23), por z(t)→ z(tn), aplicando a equacao (16) e isolando zn, obtemos

zn =w(α−1)

n z0−∑nj=1 w(α)

j zn− j−φ(h)k

1+φ(h)k(26)

que e a equacao logıstica fracionaria discretizada.

4.3 ResultadosA Figura 1 mostra a solucao numerica dada pela equacao (26) para o modelo Logıstico de

ordem fracionaria dado pela equacao (23). Foram utilizados os parametros k = 1, h = 0.05,z(0) = 0.2, t = 50 e α = (0,2;0,4;0,6;0,8;1).

Figura 1: Solucao numerica da equacao logıstica fracionaria.

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

0 10 20 30 40 50t

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

z(t)

α = 0.2 α = 0.4 α = 0.6 α = 0.8 α = 1sol. inteiraA A




50


A Figura 1 apresenta a solucao numerica da equacao logıstica para diferentes valores de α.Podemos observar nessa figura que quando α = 1 a solucao converge para a capacidade de su-porte. Podemos notar ainda que para α = 1 a capacidade de suporte e atingida mais rapidamente.

4.4 Modelo de BrusselatorO modelo de Brusselator, que foi proposto por Prigogine e Lefever em 1968, e um sis-

tema de equacoes diferenciais nao lineares, utilizado em reacoes quımicas autocalıticas (ON-GUN; ARSLAN; GARRAPPA, 2013). Esse modelo apresenta oscilacoes que nao dependem daquantidade de reagente presente inicialmente.

Sua versao classica e dado pordx(t)

dt= a− (µ +1)x(t)+ x(t)2y(t)

dy(t)dt

= µx(t)− x(t)2y(t)(27)

em que x(t) e y(t) representam, respectivamente, o ativador e o inibidor e a e µ sao parametrosexternos.

De acordo com Podlubny (1999), o modelo de Brusselator de ordem nao inteira, 0 < α < 1,e dado por {

Dαx(t) = a− (µ +1)x(t)+ x(t)2y(t)Dαy(t) = µx(t)− x(t)2y(t)

(28)

4.5 DiscretizacaoConsidere xn e yn aproximacoes para x(tn) e y(tn). Entao substituindo o termo nao linear

do lado direito de (28) por

x(t)→ x(tn−1) , x2(t)y(t)→ x(tn)x(tn−1)y(tn−1)

e aplicando a equacao (16) no sistema (28), obtemos

{xn +∑

nj=1 w(α)

j xn− j−w(α−1)n x0 = φ(h)[a− (µ +1)xn−1 + xnxn−1yn−1],

yn +∑nj=1 w(α)

j yn− j−w(α−1)n y0 = φ(h)[µxn−1− xnxn−1yn−1].

(29)

Isolando xn e yn, temos

xn =w(α−1)

n x0−∑nj=1 w(α)

j xn− j +φ(h)[a− (µ +1)xn−1]

1−φ(h)xn−1yn−1

yn = w(α−1)n y0−∑

nj=1 w(α)

j yn− j +φ(h)[µxn−1− xnxn−1yn−1]

(30)

que e o sistema de ordem fracionaria discretizado.




51


4.6 ResultadosOs parametros utilizados para realizar a simulacao para o modelo de Brusselator foram

a = 1,µ = 3,α = (1;0,7),h = 0,05, t = 4000 e (x0,y0) = (1,1;2,9).

Figura 2: Dinamica para α = 1. Figura 3: Retrato de fase.

Para o modelo de Brusselator, podemos observar que tanto para o caso fracionario, quandoα = 0,7, quanto para o caso classico, α = 1, a solucao apresenta comportamento oscilatorioinstavel. Isso pode ser observado nas Figuras 2 e 4.

A partir do retrato de fase apresentado nas Figuras 3 e 5, vemos que as trajetorias convergempara um ciclo limite. Esses resultados obtidos atraves da simulacao numerica estao de acordocom os teoricos obtidos por Ongum; Arslan e Garrappa (2013), atraves do estudo da analise deestabilidade.

Figura 4: Dinamica para α = 0,7. Figura 5: Retrato de fase.

0 1000 2000 3000 40000

1

2

3

4

5

x(t)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000tempo

0

1

2

3

4

5

y(t)

0 1 2 3 4 5x(t)

0

1

2

3

4

5

y(t)

0 1000 2000 3000 4000

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x(t)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000tempo

2

2.5

3

3.5

4

y(t)

0.8 1 1.2 1.4 1.6x(t)

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

y(t)




52


5 ConclusaoCom a crescente ascensao do calculo fracionario nas mais diversas ares do conhecimento,

este trabalho evidencia a importancia de se estudar metodos numericos para aproximar a solucaode uma equacao de ordem nao inteira. O estudo de tais metodos ainda e um campo amplo e commuito potencial a ser explorado pois existem poucos algoritimos desenvolvidos que aproximama solucao de uma equacao de ordem arbitraria.

O metodo proposto nesse artigo, baseado na discretizacao por meio de diferencas finitas naolocal, foi aplicado para aproximar a solucao numerica para a equacao logistica fracionaria e parao modelo de Brusselator fracionario.

Para a equacao logıstica, a partir da solucao numerica encontrada, observamos que quantomenor a ordem da derivada mais lenta sera a convergencia da solucao para a capacidade desuporte. Ja solucao numerica encontrada para o modelo de Brusselator era esperada, uma vezque tal solucao esta de acordo com os resultados obtidos por meio do estudo de estabilidadeencontrados na literatura.

Continuacoes naturais deste trabalho sao as mais diversas possıveis. Em particular vamosestudar e implementar outros metodos numericos com objetivo de analisar qual o mais adequadona resolucao de equacoes de ordem nao inteira.

Agradecimentos: Os autores agradecem o apoio financeiro da agencia de fomento CAPES(Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior).

6 Referencias BibliograficasCAMARGO, R. F.; OLIVEIRA, E. C. Calculo fracionario. Sao Paulo: Livraria da Fısica, 2015.

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FORTUNA, A. O. Tecnicas computacionais para dinamica dos fluıdos: conceitos basicos eaplicacoes. Sao Paulo: EDUSP, 2000.

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53


WANG, Y.; LI, C. Does the fractional Brusselator with efficient dimension less than 1 have alimit cycle? Physics Letters A, v. 363, n. 5-6, p. 414-419, 2007.

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54


ISSN 2316-9664

Volume 7, dez. 2016

Edição ERMAC

Amanda Suellen Caversan

PGEE-FEB-UNESP- Bauru

[email protected]

Maria Laura Parra Spagnuolo

de Souza

PGEE-FEB-UNESP- Bauru

[email protected]

Antonio Roberto Balbo

D.MAT.-FC-UNESP-Bauru

[email protected]

Sônia Cristina Poltroniere

D.MAT.-FC-UNESP - Bauru

[email protected]

Helenice de Oliveira Florentino

IBB-UNESP - Botucatu

[email protected]

Método de pontos interiores e de programação

inteira 0-1 em problemas de produtividade as-

sociados ao plantio e colheita de cana-de-

açúcar

Interior point and binary integer programming method in productivity

problems associated with planting and harvesting of sugarcane

Resumo

A cana-de-açúcar é uma importante matéria-prima para o setor sucro-

energético brasileiro por possibilitar a produção de sacarose, bem

como poder ser utilizada à produção de energia aproveitável associada

ao etanol. Por outro lado, os processos envolvidos na área sucroener-

gética são de extrema complexidade e necessitam de auxílios matemá-

tico e computacional para sua investigação e aplicação. Neste contex-

to, este trabalho visa a investigação de uma metodologia que envolve

métodos primal-dual de pontos interiores e de programação inteira 0-

1, os quais foram explorados para a resolução de um modelo matemá-

tico que auxilia o planejamento otimizado do plantio e colheita da

cana-de-açúcar. Este modelo foi proposto com o objetivo de maximi-

zar a produção de açúcar e/ou etanol de uma usina, sujeito às restri-

ções técnicas desta. Para validação do modelo e da metodologia foi

proposta uma aplicação destes para o planejamento do plantio e co-

lheita da cana em uma área real de uma usina localizada na região

Sudeste do Brasil.

Palavras-chave: Métodos de pontos interiores, Programação inteira

0-1, Cana-de-açúcar. Etanol. Produtividade.

Abstract

The sugarcane is an important raw material for the Brazilian

sugarcane industry by enabling the production of sucrose and sugar, as

well as be used to the energy production related to the ethanol. In

other way, the processes involved in the sugarcane industry are of

complexity extreme and require mathematical and computational

supports to the their investigation and application. The aim of this

work is investigate a methodology that involves the primal-dual

interior point and binary integer programming methods, which were

exploited to the resolution of a mathematical model that helps in the

optimized planning related to the sugarcane planting and harvesting.

This model was proposed with the objective of maximizing the

production of sugar and/or ethanol of a mill, subject to technical

constraints of this. To validate this model and methodology was

proposed an application of these to the planning of sugarcane planting

and harvesting, considering a real area of a mill located in the

southeastern region of Brazil.

Keywords: Interior point methods, Binary integer programming,

sugarcane, ethanol, productivity.

mailto:[email protected]

CAVERSAN, A. S. et al. Método de pontos interiores e de programação inteira 0-1 em problemas de produtividade associados ao plantio e colheita de cana-de-

açúcar. C.Q.D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 7, p. 55-67, dez. 2016. Edição ERMAC.

1 Introdução

Segundo a União das Indústria de Cana-de-açúcar (UNICA), o Brasil é o maior produtor

mundial de cana-de-açúcar. É esperada uma produção de 690,98 milhões de toneladas de ca-

na-de-açúcar para a safra de 2016/17, crescimento estimado em 3,8% em relação à safra ante-

rior, sendo que a área destinada ao cultivo da cana-de açúcar foi de 9.073,7 mil hectares, 4,8%

de aumento, se comparada com a safra 2015/16 (dados da Conab – Companhia Nacional de

Abastecimento).

Com a expansão da produção canavieira, surgiram novos desafios como a procura pelo

melhor planejamento do plantio e da colheita. Segundo Ramos (2014), uma das etapas de

maior importância do ciclo é o plantio, pois, se bem planejado, acarreta uma série de benefí-

cios ao longo do ciclo da cultura como, por exemplo, o melhor aproveitamento da área, a re-

dução dos custos, o aumento na produtividade, entre outros. De acordo com esse autor, além

do plantio, outro momento importante é a colheita da cana-de-açúcar, que deve ser realizada

quando a variedade plantada atingir sua máxima produtividade ou em período próximo a este,

para que, assim, a usina tenha como resultado uma maior produtividade de fibra e sacarose

gerada. E otimizar o planejamento do plantio e da colheita envolve vários fatores tais como, o

tipo de variedade a ser plantada, o melhor período para a variedade escolhida ser plantada e o

seu tempo de maturação. Para a indústria canavieira, a maturação da cana-de-açúcar se dá

quando ela atinge o teor mínimo de sacarose, cerca de 13% do peso do colmo (ROSSETTO,

2008).

Segundo Silveira; Barbosa e Oliveira (2002), as variedades devem apresentar característi-

cas desejáveis, como alta produtividade, alto teor de açúcar, rebrota, ausência de tombamento,

resistência a pragas e doenças. Além disso, é muito importante escolher a melhor época para o

plantio da variedade de cana-de-açúcar de acordo com o seu tipo.

A cana-de-açúcar pode ser classificada de acordo com seu tempo de crescimento e matu-

ração. As variedades conhecidas como cana de ano são aquelas plantadas entre os meses de

janeiro a março e colhida após um período de 10 a 14 meses. As variedades conhecidas como

cana de ano e meio são aquelas plantadas nos meses de setembro e outubro e colhidas de 16 a

20 meses depois de seu plantio.

Diante da complexidade envolvida no processo de planejamento do plantio e da colheita

da cana-de-açúcar, estudos têm sido desenvolvidos propondo métodos e modelos matemáticos

que otimizem tal planejamento, objetivando a maximização da produtividade das variedades e

da produção de sacarose e fibra da usina. Florentino (2006), Lima, A. D. (2009) e Lima, C.

(2013) desenvolveram trabalhos relacionados à produção de energia através da biomassa da

cana-de-açúcar. Dando continuidade a esses trabalhos em Ramos (2014), são propostos mode-

los matemáticos para considerar a escolha de variedades de cana-de-açúcar que buscam oti-

mizar a produtividade de sacarose e fibra no momento da colheita, o qual é explorado neste

trabalho com pequenas modificações.

Assim, neste trabalho é proposto um modelo matemático de programação inteira 0-1 que

visa determinar um planejamento otimizado do plantio e da colheita da cana-de-açúcar, de

forma a obter a máxima produtividade em sacarose das variedades e a máxima produção da

usina considerando restrições técnicas desta. Como metodologia de solução, é utilizado um

procedimento híbrido envolvendo os métodos primal-dual de pontos interiores e o branch-

and-bound, o qual é convalidado em relação ao modelo matemático quando aplicado a um

problema real de uma usina da região Sudeste do Brasil.

O trabalho é desenvolvido de acordo com o que segue na seção 2, em que é apresentado o

modelo matemático de maximização de produtividade utilizado. Na seção 3 é discutido o mé-

todo híbrido previsor-corretor primal-dual de pontos interiores e branch-and-bound (PDBB)

56DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664ascmlpssarbscphof5567 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/# ! /departamentos/matematica/revista-cqd/

utilizado para resolução do modelo. Em seguida, na seção 4, são mostrados os resultados nu-

méricos encontrados para o melhor planejamento do plantio da cana-de-açúcar; primeiro é

apresentado o resultado para a escolha da variedade a ser plantada em determinado talhão,

logo depois o resultado obtido para a escolha do período em que a variedade escolhida será

plantada a fim de atingir a máxima produtividade. Na seção 5 são feitas as considerações fi-

nais sobre o trabalho desenvolvido, seguido pela apresentação das referências utilizadas para a

realização deste trabalho, seção 6.

2 Modelo de maximização da produtividade

Para a definição do modelo proposto neste trabalho, de maximização da produção da cana-

de-açúcar, que considera a produtividade por hectare desta, o qual é apresentado através das

equações e inequações (1)-(12), serão utilizados os índices, os valores dados, as variáveis e os

conjuntos relativos ao plantio e à colheita destas variedades, listados a seguir.

São considerados os seguintes índices:

i – é o índice associado às variedades de cana-de-açúcar;

j – é o índice associado aos talhões em que as variedades são plantadas,

t – é o índice associado aos períodos de colheita e é considerado em meses;

– é o índice associado ao mês de plantio da cana-de-açúcar.

Os valores dados para a definição do modelo são:

k – é o número de talhões em que a cana-de-açúcar poderá ser plantada;

n é o número de variedades de cana-de-açúcar a serem plantadas.

– é a variável que representa a produtividade de sacarose em toneladas/hectares da varie-

dade i no talhão j colhida no mês t;

– representa a quantidade de fibra estimada para a variedade i plantada no talhão j no mês

de corte t;

D – representa a demanda de açúcar em tonelada a ser produzida pela usina no primeiro ano;

FI – representa o limitante inferior estabelecido para a fibra;

FS – representa o limitante superior estabelecido para a fibra;

MI – representa a capacidade mínima da indústria para a moagem da cana-de-açúcar;

MS – representa a capacidade mínima e máxima da indústria para a moagem da cana-de-

açúcar;

Lj – define a área do talhão j em hectares;

As variáveis do modelo são expressas por:

* + – é a variável de decisão relativa ao plantio da variedade i no talhão j no mês :

se a variedade i da cana é plantada no talhão j no período (mês de plantio) e

em caso contrário;

* + – é a variável de decisão relativa à colheita da variedade i realizada no talhão j no

tempo t: se a colheita no talhão j é realizada no período t (mês de colheita), e

em caso contrário;

– é a variável que define qual a variedade i está plantada no talhão j;

Pi0 – é a variável que representa o desvio de produtividade em relação à produtividade máxi-

ma da variedade i;

Pit – é a variável que representa a produtividade em toneladas da variedade i no mês de co-

lheita t, tal que, os valores de Pit são determinados na seção 4.4;




Os conjuntos utilizados no modelo são:

é o conjunto de meses possíveis para o plantio da variedade de cana, tal que,

={1,2,3,9,10}, em que 1 representa o mês de janeiro, 2 o de fevereiro, 3 o de março, 9

representa o mês de setembro e 10 o mês de outubro.

é o conjunto de meses possíveis para a colheita da variedade de cana, tal que,

* +, em que 16 representa o mês de abril, 17 o de maio,

18 o de junho, 19 o de julho, 20 o de agosto, 21 o de setembro, 22 o de outubro e 23 o de no-

vembro.

O modelo proposto a seguir é baseado em Ramos (2014) e neste, as variáveis de decisão

são consideradas com uma pequena modificação relativa ao modelo desse autor, quando con-

sidera-se o plantio da variedade i apenas no primeiro ano, bem como o primeiro corte desta

variedade nos talhões j a partir de seu período de maturação, que é determinado de acordo

com o tipo de variedade plantada, o qual pode relacionar-se com cana de ano ou cana de ano e

meio. No autor citado é considerado um período de 4 anos para o planejamento otimizado do

plantio e da colheita da variedade. Com esta simplificação é proposto o seguinte modelo ma-

temático, em que:

20

1 1 10

Maximizar P maxplantio

k n t

it ijt jt jj i t I t t

P x y L

(1)

Sujeito a

1

1; 1,...,plantio

n

ijti t I

x j k

(2)

1

; 1,...,plantio

n

ijt ji t I

x i l j k

(3)

; 1,...,plantio

ijt jt I

x t t j k

(4)

20

10

1; 1,...,j

j

t

jtt t

y j k

(5)

20

110

; 1,...,j

j

t

j jtt t

t y t j k

(6)

1

; 1,..., ;n

ijt jt colheitaj

A y D i n t I

(7)

1

; 1,..., ;k

ijt jt colheitaj

FI F y FS i n t I

(8)

1 1

0,15; 1,...,jt k

j ijtt j

L x i n

(9)

1

; 1,..., ; k

it jt j colheitaj

MI P y L MS i n t I

(10)

{0,1} onde 1,..., ; 1,..., ; ijt plantiox i n j k t I (11)

{0,1} onde 1,..., ; jt colheitay j k t I (12)




Deseja-se determinar o período t (mês) em que a variedade de cana-de-açúcar i plantada

no talhão j deverá ser colhida, de forma a maximizar a função objetivo (1), a qual está relaci-

onada à produção de cana-de-açúcar no primeiro ano de corte. A restrição (2) garante o plan-

tio de uma única variedade de cana por talhão; (3) define a variedade i a ser plantada no ta-

lhão j e (4) determina o mês de plantio em cada talhão j. A restrição (5) garante a realização

da colheita em cada talhão j; (6) define o mês de colheita t em que ocorrerá o primeiro corte;

(7) garante a demanda anual de sacarose da usina; (8) garante que a produção anual de fibra

esteja dentro do limite estabelecido. A restrição (9) garante que cada variedade seja plantada

em no máximo 15% da área total destinada ao plantio. A restrição (10) garante que a capaci-

dade de moagem da usina seja satisfeita em cada período de colheita. As restrições (11) e (12)

definem as variáveis do problema como variáveis binárias, as quais foram definidas nas vari-

áveis do modelo apresentadas no inicio da seção.

Na próxima seção, uma metodologia de solução desenvolvida em Lima, C. (2013) é su-

marizada. Esta metodologia foi explorada à resolução de um problema real associado ao mo-

delo (1)-(12) definido nesta seção.

3 Método previsor-corretor primal-dual de pontos interiores e branch-and-bound

(PDBB)

O modelo investigado e proposto na seção 2 associa os processos envolvidos na plantação

e na colheita da cana-de-açúcar ao seu aproveitamento, visando maximizar a produtividade de

cada variedade e a produção da usina, e consiste na determinação do plantio ou não da varie-

dade i em um determinado talhão j, assim como a decisão de colheita ou não da cana em um

determinado tempo (mês). Este problema trata-se de um problema de programação linear e

inteira 0-1 ou podemos dizer programação inteira binária, e apresenta um elevado número de

variáveis e restrições técnicas inerentes à sua definição. Assim, uma metodologia de solução

de problemas de programação inteira binária faz-se necessária à resolução de problemas reais

relativos a este modelo.

Neste trabalho, utilizou-se uma metodologia híbrida proposta por Lima, C. (2013), a qual

se baseia em um procedimento de resolução em que o método branch-and-bound é adaptado

ao método previsor-corretor primal-dual de pontos interiores (PCPDPI) para a resolução dos

modelos matemáticos referentes à cana-de-açúcar. Primeiramente realiza-se a busca da solu-

ção ótima relaxada do problema utilizando o método PCPDPI e, posteriormente, através do

método branch-and-bound tem-se a geração de soluções inteiras, de modo a obter as soluções

ótimas para o modelo proposto.

O método primal-dual explorado por Lima, C. (2013) é uma variante do proposto por Ko-

jima; Mizuno e Yoshise (1989) e Mehrotra (1992). Este método foi desenvolvido para um

problema primal-dual originário de uma combinação da função lagrangiana e da função bar-

reira logarítmica associadas a um problema de programação linear com variáveis canalizadas

(0 x 1), que relaxam as condições de integralidade 0-1 do problema. Tais autores de-

monstraram a complexidade do tempo polinomial deste método e exploraram uma função

potencial primal-dual variante da função barreira logarítmica definida em (FRISCH, 1955). A

proposta de Lima, C. (2013) diferencia-se por utilizar informações do parâmetro de barreira

no passo previsor, melhorando a eficiência do método, pois evita que os pontos definidos a

cada iteração aproximem-se da fronteira do problema, podendo, inclusive, serem inviáveis. Já

no passo corretor, as direções com informações dos aproximantes de segunda ordem referen-

tes às condições de complementaridade do problema primal-dual são consideradas, possibili-

tando a aceleração da convergência do processo para a determinação da solução ótima do

problema primal-dual com variáveis contínuas.




O método branch-and-bound utilizado em conjunto com o método PCPDPI é variante do

proposto em Borchers e Mitchell (1992), com modificações realizadas em Lima, C. (2013)

que melhoraram os resultados obtidos e seu desempenho computacional, principalmente na

modificação de um teste de integralidade proposto por esses autores e explorado em conjunto

com o critério de otimalidade do método PCPDPI. As principais modificações propostas e

realizadas nesta metodologia são: os procedimentos previsor e corretor, para a determinação

de direções de busca e atualização da solução, foram efetuados em uma mesma iteração; o

teste de integralidade, que avalia se alguma variável está convergindo para uma fracionária no

intervalo [0,1], é realizado em conjunto com os critérios de otimalidade do método PCPDPI,

em que se verifica a factibilidade primal, a factibilidade dual e a complementaridade entre as

variáveis primal-dual positivas do problema. Procurou-se utilizar o teste dessa maneira, de

modo a evitar que esse método seja interrompido com antecedência, impedindo que alguma

componente já convergisse para zero ou um ao final do processo e, dessa forma, gerasse mais

ramificações que o necessário. Com essa estratégia, o número de iterações no método branch-

and-bound foi reduzido, melhorando o desempenho do método híbrido. Outra melhoria foi

feita na atualização do parâmetro de barreira, a qual foi realizada em ambos os procedimentos

previsor e corretor, o qual influencia diretamente na direção de centragem do método, cuja

força de centragem determina pontos mais centralizados no interior da região factível do pro-

blema. Um acelerador de convergência definido em Wright (1997), que pré-multiplica o ta-

manho do passo a ser dado em uma direção de busca em uma iteração qualquer, diminui o

número de iterações realizadas pelo método de pontos interiores, melhorando a convergência

do método.

Em resumo, a metodologia híbrida desenvolvida em Lima, C. (2013) consiste em: i) pri-

meiramente realizar a busca da solução ótima relaxada do problema através do método

PCPDPI; ii) determinar, a partir do teste de integralidade, se existem componentes da solução

ótima obtida a serem integralizadas; iii) caso existam componentes a serem integralizadas,

escolhe-se uma e a partir dela, subproblemas associados ao problema principal são gerados

pelo método branch-and-bound, considerados em uma árvore de possíveis ramificações; iv)

as ramificações consistem na inserção de inequações do tipo xi ≤ 0 ou xi ≥ 1 em cada nó da

árvore ou subproblema considerado; v) cada subproblema é solucionado através do método

PCPDPI e o nó é sondado quando uma das situações ocorrerem: uma solução inteira 0-1 é

obtida ou o subproblema é infactível ou é ilimitado; vi) dentre todas as soluções inteiras obti-

das, através de comparações, guarda-se ou escolhe-se aquela que, de fato, é a solução ótima 0-

1 do problema.


Para encontrar as soluções viáveis de um problema teste relativo ao modelo (1)-(12), o

método PDBB apresentado em Lima, C. (2013), implementado computacionalmente em lin-

guagem de programação C++, no ambiente de programação Borland C++ Builder 6.0 e foi

utilizado a resolução do problema real visto nesta seção.

Na seção 4.1 são apresentados os cálculos prévios necessários para obter o planejamento

ótimo do plantio e de uma colheita da cana-de-açúcar, resultados estes mostrados nas seções

4.3 e 4.4, respectivamente, finalizando com a apresentação dos dados e cálculos necessários

para determinar a solução ótima do problema de maximização de produtividade proposto.

4.1 Cálculos prévios




Para efetuar cálculos intermediários e obter as soluções do problema investigado, foram

utilizados os dados contidos nas Tabelas 1 e 2, que são dados reais de uma usina do Estado de

São Paulo apresentados em Lima, A. D. (2009). A Tabela 1 mostra os dados sobre as varie-

dades de cana-de-açúcar, considerando 10 variedades, das quais 5 variedades são cana de ano

e meio e outras 5 variedades são cana de ano. Sendo que Ai representa a produtividade de açú-

car fermentescível (POL) da variedade i; Fi representa a produtividade de fibra da variedade i;

e Pi é a produtividade da cana-de-açúcar da variedade i. A Tabela 2 apresenta a área dos ta-

lhões da usina, considerando 14 talhões de dimensões variadas.

Tabela 1 - Estimativas dos valores da produtividade por variedades em t/ha2

Dados das Variedades

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ai 16,42 20,4 18,46 18,38 17,05 17,54 15,8 12,84 20,77 15,01

Fi 13,94 12,9 12,63 11,32 12,51 10,91 10,33 9,28 16,12 11,59

Pi 100 186 158 179 165 155 158 155 183 155

Tipo Ano e

meio

Ano e

meio

Ano e

meio

Ano e

meio

Ano e

meio Ano Ano Ano Ano Ano

Fonte: Lima, A. D. (2009)

Tabela 2 - Área dos Talhões em ha2

Dados dos Talhões

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14

8,49 4,52 4,22 5,74 6,61 30,41 5,08 12,01 54,95 3,78 10,43 8,79 57,79 Fonte: Lima, A. D. (2009)

Os cálculos intermediários estão relacionados à estimativa da produção de fibra Fij, esti-

mativa da produção de sacarose Aij e a capacidade de moagem Mij da usina para o talhão j

com a variedade i, relacionados ao tamanho dos talhões Lj, dados pelo conjunto de equações

(13)-(15).

(13)

(14)

(15)

A equação (13) calcula a estimativa total de sacarose no talhão j para uma variedade i, a

equação (14) calcula a estimativa total de fibra no talhão j para uma variedade i e a equação

(15) calcula a estimativa da moagem gerada pelo talão j para uma variedade i.

Além dos índices de fibra, sacarose e moagem é preciso levar em consideração os meses

destinados ao plantio da cana-de-açúcar, assim como, os meses destinados à colheita. Os perí-

odos destinados à plantação são determinados de acordo com o tipo da variedade e região do

país. Na região centro sul do Brasil, a cana de ano e meio é plantada nos meses de janeiro,

fevereiro e março, * + já a cana de ano é plantada em setembro e outubro * +. O tipo de cana-de-açúcar determina também o tempo em que a cana-de-açúcar leva para

atingir seu pico máximo de produtividade: a cana de ano e meio tem seu pico de máxima pro-

dutividade 18 meses após o seu plantio, já a cana de ano atinge seu pico de máxima produti-

vidade 12 meses após seu plantio. No entanto, as variedades de cana-de-açúcar não são neces-

sariamente colhidas exatamente quando atingem seu pico máximo de produtividade, por res-

trições operacionais da usina, capacidade de moagem e de colheita. Elas podem ser colhidas

em até 2 meses antes ou 2 meses depois do mês de seu pico de maturação. Na região centro-




sul do Brasil, o período mais indicado para a colheita da cana é entre os meses de abril e no-

vembro. Dessa forma, a Tabela 3 mostra as possibilidades para os meses de colheita t para as

variedades abordadas em função da data de plantio e considerando que pode haver colheita

com até 2 meses de desvio do ponto de máxima produtividade da cana destas variedades. Des-

taca-se também, que não há ocorrência de colheita da variedade nos meses de janeiro a abril e

no mês de dezembro.

Tabela 3 – Possibilidades para os meses de colheita t de acordo com os meses de plantio

Utilizando os dados das tabelas 1, 2 e 3 e os dados obtidos com os cálculos intermediários

(13)-(15), podemos determinar através do método PDBB qual variedade i deverá ser plantada

no talhão j, determinar em qual mês deverá acontecer o plantio da variedade e determinar o

mês t de colheita no talhão j, obtendo, assim, a melhor solução para o modelo (1)-(12) propos-

to em relação à maximização da produtividade. Os resultados obtidos são apresentados na

seção 4.2.

4.2 Planejamento ótimo para o plantio da cana-de-açúcar

Com essas considerações no planejamento ótimo para o plantio, determinado pelo método

PDBB, foram obtidos os resultados obtidos são apresentados na Tabela 4.

Tabela 4 - Escolha binária da variedade a ser plantada em cada talhão

Decisão da variedade i a ser plantada no talhão j

i x j 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A Tabela 4 mostra a solução binária encontrada, em que o valor 1 (um) assume a decisão

de que a variedade i será plantada no talhão j e o valor 0 (zero) caso contrário.

Em relação a esta tabela, obtêm-se os seguintes resultados sobre a decisão do plantio da

variedade i no talhão j: a variedade 1 deverá ser plantada no talhão 7, a variedade 2 nos ta-

lhões 1 e 9, a variedade 3 nos talhões 5 e 6, a variedade 4 nos talhões 8 e 12, a variedade 5 no

Conjunto dos meses de colheita de acordo

com os meses de plantio

Tipo de variedade

Cana de ano e meio

1 {16, 17, 18, 19, 20}

2 {17, 18, 19, 20, 21}

3 {18, 19, 20, 21, 22}

Cana de ano 9 {18, 19, 20, 21, 22}

10 {19, 20, 21, 22, 23}




talhão 13, a variedade 6 no talhão 11, a variedade 7 no talhão 2, a variedade 8 nos talhões 4 e

10, a variedade 9 no talhão 14 e a variedade 10 no talhão 3, como mostra a Tabela 4.

Para o planejamento ótimo do mês de plantio determinado pelo método PDBB, foram ob-

tidos os resultados obtidos são apresentados na Tabela 5.

Tabela 5 - Escolha do mês de plantio em cada talhão

Decisão do mês em que a variedade i será plantada no talhão j

x j 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

10 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A Tabela 5 mostra a solução binária encontrada para a decisão do mês que haverá plantio

em cada talhão em que o valor 1 (um) assume a decisão de que haverá plantio no mês no

talhão j e o valor 0 (zero) caso contrário.

Em relação a esta tabela , obtêm-se os seguintes resultados sobre a decisão do mês que

haverá plantio em cada talhão j: seguintes resultados: nos talhões 1, 5 e 6 o plantio deverá ser

realizado no mês de janeiro ( ), nos talhões 7 e 8 o plantio em fevereiro ( ), nos ta-

lhões 12 e 13 o plantio em março ( ), nos talhões 2, 4 e 11 plantio em setembro ( ) e

nos talhões 3, 9, 10 e 14 o plantio realizado no mês de outubro ( ), como mostra a Ta-

bela 5,

Dessa forma, a Tabela 5 mostra que: os talhões 1, 5 e 6 receberão canas-de-açúcar das va-

riedades 2 e 3 que são canas de ano e meio, logo serão plantadas em janeiro. Nos talhões de

número 7 e 8 serão plantadas as variedades 1 e 4, que são variedade de cana de ano e meio e o

plantio acontecerá em fevereiro. As variedades 4 e 5, canas de ano e meio, serão plantadas em

março. Os talhões o 2, 4 e 11 receberão, respectivamente, as variedades 7, 8 e 6, que são ca-

nas de ano e o plantio deverá ocorrer no mês de setembro. E nos talhões 3, 9, 10 e 14 o plantio

foi realizado no mês de outubro e esses talhões receberão as variedades de cana de ano 8, 9 e

10.

4.3 Planejamento ótimo para a colheita da variedade de cana-de-açúcar plantada

Para a tomada de decisão sobre quais variedades serão colhidas nos talhões, bem como o

mês em que isto irá ocorrer, foi realizada a determinação da solução ótima relativa à colheita

da variedade, considerando que todas as variedades de cana-de-açúcar plantadas estão no pri-

meiro período de colheita relativo a seu primeiro corte, ou seja, não foram consideradas as

rebrotas e os cortes relativos ao segundo, terceiro e quarto anos de colheita.

A decisão binária, relativa ao período t que deverá ser realizada a colheita no talhão j no

primeiro corte encontra-se na Tabela 6.




Tabela 6 - Decisão binária para a colheita nos talhões

Decisão de colheita em cada talhão no 1º corte

t x j 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

16 (Abr) 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

17 (Mai) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

18 (Jun) 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 (Jul) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

20 (Ago) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

21 (Set) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

22 (Out) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

23 (Nov) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1

Na Tabela 6, a decisão otimizada pelo método PDBB, do mês t em que a variedade i é

plantada no talhão j determinou que: em abril ( ) a colheita será realizada nos talhões 1,

5 e 6, em maio ( ) será colhido o talhão 8, em junho ( ) serão colhidos os talhões

2 e 4, em julho ( ) será colhido o talhão 7, em agosto ( ) será colhido o talhão 11,

em setembro ( ) será colhido o talhão 12, em outubro ( ) será colhido o talhão 13

e em novembro ( ) serão colhidos os talhões 3, 9, 10 e 14.

As variedades colhidas nos talhões 1, 5 e 6 são do tipo cana de ano e meio e deverão ser

plantadas em janeiro ( ) e colhidas em abril ( ), logo serão colhidas com dois me-

ses de antecedência do seu pico máximo de produtividade. A colheita no talhão 8 também

acontecerá dois meses antes do pico máximo, pois a variedade de cana de ano e meio planta-

da em fevereiro ( ) deverá ser colhida em maio ( ). Assim como, nos talhões 2 e 4

que receberam as variedades de cana de ano plantadas em setembro ( ) e serão colhidas

no mês de junho ( ). As colheitas nos talhões 7 e 11 serão as únicas a serem realizadas no tempo exato do pico

máximo de produtividade. No talhão 7, que recebeu variedade de cana de ano, o plantio deve-

rá ser realizado em fevereiro( ) e a colheita em julho ( ). No mês de agosto

( ) será colhido o talhão 11 que recebeu a variedade de cana de ano que foi plantada em

setembro( ). Em setembro ( ) a colheita acontecerá no talhão 12, onde deverá ser plantada uma

variedade de cana de ano e meio em março ( ), logo a variedade será colhida um mês

após seu pico máximo de produtividade. No talhão 13 que receberá uma variedade de cana de

ano no mês de março( ), a colheita ocorrerá em outubro ( ), dois meses depois de

seu pico máximo. E por fim, em novembro ( ) serão colhidos os talhões 3, 9, 10 e 14

que receberão as variedades de cana de ano, todas plantadas em outubro ( ) e então,

colhidas dois meses depois do pico de máxima produtividade.

O fato que dificulta as variedades de cana-de-açúcar de serem colhidas nos seus respecti-

vos picos de máxima produtividade é a exigência de atendimento da capacidade de moagem

da usina expressa pela inequação (10). Para que a simulação computacional se torne mais ve-

rídica, as produtividades das variedades da cana foram recalculadas de acordo com o possível

desvio da data correta de colheita cana e um novo planejamento foi realizado apresentado na

próxima seção.

4. 4 Cálculo da produtividade das variedades e da produção da usina

O valor da função objetivo (1) relativo à produção máxima de sacarose, determinado em

relação ao modelo (1)-(12) é determinada de acordo com o que segue.




Considera-se que, variedades i de ano e meio colhidas após 18 meses e variedades i de ano

colhidas exatamente após 12 meses estão em seu pico máximo de produtividade Pi0. Mas por

restrições operacionais da usina, capacidade de moagem e de colheita, as variedades podem

ser colhidas fora do seu pico máximo de produtividade em até 2 meses antes ou 2 meses de-

pois do mês de seu pico máximo. Assim, uma nova variável de desvio de produtividade m ϵ {-

2, -1, 0, 1, 2} é considerada, a qual, a partir da definição do mês de colheita t da variedade i

mostrada na Tabela 7, auxiliará na determinação da produtividade real dessa variedade no

mês em que foi colhida, considerando a variável de desvio m. Para isto utiliza-se a expressão

definida em Ramos (2014), a qual é utilizada para o cálculo da produtividade real da varieda-

de i, no mês de colheita t, com desvio m, expressa por:

Pit= Pit(m) = (-0,0243m² + 1)Pi0 (16)

A equação (16) determina a produtividade da variedade i no momento da colheita, consi-

derando o desvio m referente ao tempo em meses a mais ou a menos em relação à produtivi-

dade máxima Pi0 da variedade i de cana de açúcar.

A Tabela 7 apresenta o planejamento final de plantio e colheita de maneira sintetizada, em

que, a partir do desvio m são determinados os valores de produtividade reais Pit obtidos em

relação aos valores de produtividade máxima pela equação (16) quando consideram-se esses

desvios.

Tabela 7 - Planejamento ótimo para o plantio e colheita da variedade de cana de açúcar.

Planejamento do plantio e colheita de cana-de-açúcar

j i Tipo m Pi0 Pit

1 2 Ano e meio 1 16 -2 1579,14 1425,65

2 7 Ano 9 18 -2 714,16 644,74

3 10 Ano 10 23 2 654,1 590,52

4 8 Ano 9 18 -2 889,7 803,22

5 3 Ano e meio 1 16 -2 1044,38 942,87

6 3 Ano e meio 1 16 -2 4804,78 4337,76

7 1 Ano e meio 2 19 0 508 508

8 4 Ano e meio 2 17 -2 2149,79 1940,83

9 10 Ano 10 23 2 10220,7 9227,25

10 8 Ano 10 23 2 585,9 528,95

11 6 Ano 9 20 0 1616,65 1616,65

12 4 Ano e meio 3 21 1 1100,85 1074,1

13 5 Ano e meio 3 22 2 1450,35 1309,38

14 9 Ano 10 23 2 10575,57 9547,63

Na Tabela 7 podemos ver o planejamento ótimo completo do plantio e colheita da cana-

de-açúcar. Ela apresenta o planejamento final de plantio e colheita de maneira sintetizada, em

que se consideram os talhões j, as variedades i, o tipo de cana plantada no talhão j, o mês em

que a variedade i foi plantada, o mês t em que a variedade i será colhida, o desvio de produti-

vidade m, a produtividade máxima Pi0 e a produtividade determinada em relação ao desvio m

Pi1m. Esses valores foram utilizados para a determinação do valor ótimo de produção da usina.

A metodologia híbrida desenvolvida em Lima, C. (2013) foi implementada em linguagem

de programação C++, e forneceu, primeiramente, a solução ótima relaxada do problema pelo




método PCPDPI em 187 milésimos de segundos, sendo necessárias 33 iterações executadas

por esse método.

A partir do teste de integralidade proposto por Borchers e Mitchell (1992) e acoplado ao

método PCPDPI foram necessárias que 21 componentes fossem integralizadas, sendo que,

destas componentes, 8 eram relativas à variável de plantio e 13 à variável de colheita , as quais são do tipo 0-1.

Escolhido um nó inicial a ser ramificado pelo método branch-and-bound, foram necessá-

rias mais 21 ramificações, ou seja, 42 subproblemas, os quais foram solucionados pelo méto-

do PCPDPI em 3222 milésimos de segundos.

Desse modo, foi possível obter a solução ótima final do problema de maximização de pro-

dutividade proposto (1)-(12) e o valor ótimo da função objetivo determinado pela equação (1).

Esse valor associado à produção máxima da usina foi determinado quando considerou-se os

valores Pi1m mostrados pela Tabela 7, que resultou em 43.135,94 toneladas por hectare.

5 Conclusões

Neste trabalho, um modelo de planejamento ótimo para o plantio e colheita da cana-de-

açúcar foi implementado e resolvido através de um procedimento híbrido envolvendo os mé-

todos primal-dual de pontos interiores e branch-and-bound (PDBB), o qual auxiliou na de-

terminação de uma solução ótima para o modelo investigado.

Neste sentido, o método proposto foi utilizado com sucesso para resolver um problema re-

al contendo 10 variedades e 14 talhões. A metodologia mostrou-se eficiente, uma vez que

encontrou a solução ótima em um tempo computacional muito pequeno. Em trabalhos futuros

serão realizadas implementações de instâncias maiores de plantio e colheita de cana-de-açúcar

em um horizonte otimizado de planejamento que envolva 4 anos possíveis de colheita nos

talhões j a partir de uma variedade i plantada nesse talhão.

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WRIGHT, S. J. Primal-dual interior-point methods. Philadelphia: Society for Industrial

and Applied Mathematics, c1997.




ISSN 2316-9664

Volume 7, dez. 2016

Edição ERMAC

Ângelo Henrique Dinhane

Vassoler

Graduando de Engenharia Civil

Faculdade de Engenharia

Unesp – Campus Bauru

[email protected]

Sônia Cristina Poltroniere

Departamento de Matemática

Faculdade de Ciências

Unesp – Campus Bauru

[email protected]

Silvio Alexandre de Araújo

Depto de Matemática Aplicada

Instituto de Biociências, Letras e

Ciências Exatas

Unesp – Campus S. J. Rio Preto

[email protected]

Modelagem matemática para o problema de

produção de vigotas na indústria de lajes

treliçadas

Mathematical modeling for the production problem of joists in

trusses slabs industries

Resumo

Diversas são as aplicações da Pesquisa Operacional nos

campos do conhecimento visando a otimização de processos. O

uso de técnicas eficientes no planejamento e programação da

produção em indústrias, almejando aumentar sua produtividade

e a qualidade dos produtos, são cada vez mais frequentes, e na

construção civil não é diferente. Este trabalho aborda o problema

de planejamento da produção de vigotas na indústria de lajes

treliçadas, propondo um modelo matemático baseado no

problema de corte de estoque multiperíodo. Outras restrições de

planejamento são consideradas na modelagem, como o

atendimento da demanda dividido em demanda contra estoque e

demanda sob encomenda. O objetivo é minimizar estoques

indesejáveis e evitar atrasos na entrega. Alguns testes iniciais

foram realizados para a validação do modelo, utilizando-se um

pacote de otimização.

Palavras-chave: Pesquisa operacional. Otimização linear.

Problema de corte de estoque. Lajes treliçadas.

Abstract

There are several applications of Operations Research in the

fields of knowledge in order to optimize processes. The use of

efficient techniques in the production planning in industries,

aiming to increase their productivity and the quality of products,

are becoming more frequent, and in construction it is not

different. This work addresses the production planning problem

of joists in trusses slabs industries, proposing a mathematical

model based on multiperiod cutting stock problem. Other

production planning constraints are considered in modeling, as

the demand divided into demand from stock and custom demand.

The goal is to minimize undesirable inventories and avoid delays

in delivery. Some initial computational tests were performed to

validate the model, using an optimization package.

Keywords: Operational research. Linear optimization. Cutting

stock problem. Trusses slabs.

mailto:[email protected]

VASSOLER, A. H. D.; POLTRONIERE, S. C.; ARAUJO, S. A. Modelagem matemática para o problema de produção de vigotas na indústria de lajes treliçadas.

C.Q.D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 7, p. 68-77, dez. 2016. Edição ERMAC.

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664ahdvscpsar6877 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/prod-cientifica/revista-cqd/

69

1 Introdução

A Otimização linear é uma subárea da Pesquisa Operacional que busca resolver, da melhor

forma possível, um problema modelado matematicamente, visando maximizar ou minimizar

determinada função de interesse, a qual é denominada recorrentemente de função objetivo. São

inúmeras as aplicações da otimização linear em problemas reais, tais como no planejamento e

programação da produção em indústrias de manufatura, na área de transportes,

telecomunicações, construção civil, computação e saúde.

Abordagens clássicas são: problema da mistura, que consiste na combinação de diferentes

materiais para a geração de produtos com características diferenciadas; problemas de transporte

e designação, envolvendo questões de logística para centros de distribuição e entrega de

encomendas de forma a tornar o serviço o mais eficiente possível à medida que se minimiza o

custo de transporte; o problema de dimensionamento de lotes, que consiste em determinar a

quantidade e o tipo de produtos a serem produzidos, em uma ou várias máquinas, em cada

período ao longo de um horizonte de tempo finito, de modo a atender certa demanda, dado um

conjunto de restrições; o problema de corte de estoque, que consiste na otimização do processo

de corte de unidades maiores, denominadas objetos, em unidades menores, os itens, com o

objetivo de atender a demanda destes, segundo um critério de otimização, por exemplo, a perda

de material durante o processo de corte.

O problema de planejamento da produção na indústria de lajes treliçadas se insere neste

contexto. A produção das vigotas que irão compor as lajes pode ser interpretada como um

problema de corte/empacotamento unidimensional multiperíodo. As vigotas (unidades

menores) são produzidas em fôrmas de grande dimensão longitudinal (unidades maiores), a

partir de uma demanda especificada pelos clientes, que depende do vão das lajes a serem

formadas. O problema de corte de estoque e suas aplicações vêm sendo abordados intensamente

desde os trabalhos de Gilmore e Gomory (1961, 1963) e suas aplicações são encontradas, por

exemplo, na indústria têxtil, nas indústrias de aço, papel, móveis e vidro.

A integração do problema de corte de estoque com outros problemas que surgem no

planejamento da produção em indústrias tem sido objeto de estudo nos últimos anos. Com

aplicações na indústria de papel, podemos citar os trabalhos de Respício, Captivo e Rodrigues

(2002) e Correa, Oliveira e Ferreira (2004). Poltroniere et al. (2008) propôs um modelo

matemático e métodos de solução para o problema integrado de dimensionamento de lotes e

corte de estoque, também com aplicações na indústria papeleira. Outros trabalhos consideraram

o problema de corte de estoque bidimensional integrado ao dimensionamento de lotes, como,

por exemplo, Silva, Alvelos e Carvalho (2014). Com aplicações na indústria de móveis citamos

os trabalhos de Gramani e França (2006), Gramani, França e Arenales (2009), Ghidini (2008),

Santos, Araújo e Rangel (2011) e Alem e Morabito (2014).

No caso da indústria da construção civil, Castilho, Debs e Nicoletti (2007) utilizaram um

algoritmo genético modificado para minimizar os custos na construção de lajes utilizando vigas

de concreto protendido pré-moldado. Prata, Pitombeira-Neto e Sales (2015) abordaram a

produção de vigas de concreto pré-moldadas como um problema de corte multiperíodo,

apresentando um estudo de caso, com resultados computacionais satisfatórios; a geração dos

padrões de corte é feita de maneira empírica, sem o emprego de outras técnicas, e, além disso,

não avalia o estoque de produtos entre os períodos. Araújo, Pileggi e Arenales (2001)

abordaram o problema da produção de lajes treliçadas como um problema integrado de corte e

dimensionamento de lotes, propondo uma modelagem matemática. No método de solução

utilizado, o problema da mochila é considerado para a geração de padrões de corte das vigas.

Este trabalho considera o problema de produção de vigotas na indústria de lajes treliçadas.

O problema é modelado como um problema de corte de estoque multiperíodo, considerando-se




70

outras restrições de planejamento que a indústria apresenta. Procura-se manter uma produção

contra estoque e sob encomenda. No atendimento da demanda sob encomenda não deve haver

atrasos. Além disso, deve-se manter uma produção contra estoque das vigotas dentro de um

intervalo de segurança, para atender possíveis demandas de última hora. O objetivo é minimizar

custos de estoques e penalidades por atrasos na entrega. Um modelo matemático, baseado na

proposta de Araújo, Pileggi e Arenales (2001), é apresentado. O problema foi modelado e

resolvido usando o pacote de otimização AMPL/CPLEX 12.6. Testes computacionais

preliminares foram realizados para validação do modelo.

A Seção 2 apresenta brevemente o problema de produção na indústria de lajes treliçadas.

Na seção 3 é apresentado o modelo matemático proposto para a produção de vigotas. Na Seção

4 é exposto o método de solução utilizado. Na Seção 5, são apresentados e discutidos os

resultados computacionais preliminares. As considerações finais encontram-se na Seção 6.

2 Descrição do problema

Com a globalização e a crescente necessidade de eficiência no processo de produção,

permitindo, ao mesmo tempo, elevada produtividade e qualidade dos produtos, o planejamento

da produção nas indústrias, de modo a otimizar suas atividades, torna-se cada vez mais evidente.

Segundo Debs (2000), a Construção Civil, entretanto, tem sido considerada uma indústria

atrasada se comparada a outros ramos industriais, apresentando, em geral, baixa produtividade,

grande desperdício de materiais, morosidade e baixo controle de qualidade. Para reduzir este

atraso, surge a técnica da confecção de estruturas de concreto pré-moldado e protendido, que

permite uma produção em série de elementos estruturais, sob as mais diversas formas,

comprimentos longitudinais elevados (capaz de vencer grandes vãos) e alta resistência.

Com a produção de lajes, não é diferente. Ao invés de adotarmos processos convencionais,

como a laje maciça que demanda estruturas de cimbramento e adensamento do concreto, é

recorrente o uso de lajes treliçadas, de forma a acelerar o processo construtivo. Além de ser

uma opção mais econômica, quando comparada à laje maciça de concreto, possibilita vencer

grandes vãos, com menor peso próprio e reduzindo a mão-de-obra durante sua execução.

A laje treliçada tem como característica suas armaduras das nervuras, como o próprio nome

sugere, com o formato de uma treliça espacial, sendo que possui dois banzos inferiores e um

banzo superior, unidos por barras inclinadas, denominadas diagonais, cuja ligação é feita por

soldas. Essa armadura tem por finalidade melhorar a resistência aos esforços cortantes (esforço

solicitante que tende a cisalhar um corpo, isto é, separá-lo; apresentando forças atuantes no

plano da seção transversal) e proporcionar rigidez ao conjunto, além de melhorar o transporte

e manuseio das peças quando prontas. O banzo inferior é então envolvido por uma placa de

concreto, formando assim, as vigotas ou trilhos. Uma representação simplificada da vigota e

sua armação pode ser vista na Figura 1.

No processo construtivo, colocam-se as vigotas igualmente distribuídas segundo o tamanho

das lajotas ou blocos de enchimento, em geral, de material cerâmico, na direção do menor vão

da laje, apresentando configuração conforme a Figura 2. Por fim, sobre esse conjunto, são

colocadas armaduras transversais, além de um preenchimento com nata de concreto,

responsável pela unificação e solidarização desses elementos, fornecendo a resistência

necessária à laje, atuando para resistir aos momentos fletores e cortantes.




71

Figura 1: Vigota da laje treliçada. Fonte: Bastos (2015).

Figura 2: Conjunto de vigotas e lajotas. Disponível em:

http://alissonlajes.com.br/wpcontent/uploads/2015/01/11190448.png. (07/04/2016).

2.1 A produção de vigotas e o problema de corte de estoque unidimensional

Na produção de lajes treliçadas tem-se fôrmas de grande dimensão, nas quais serão

moldadas as vigotas da laje juntamente com sua armadura nervurada. Inicialmente, é aplicado

um desmoldante às fôrmas de modo que não haja a aderência do concreto a estas, facilitando o

processo de retirada das peças. A base da vigota é feita de concreto, sendo necessária uma

correta dosagem deste, segundo os materiais utilizados (cimento, areia, brita, água e possíveis

aditivos, a citar, um aditivo de trabalhabilidade) e volume adequado, conforme a demanda de

produção. O concreto é despejado nas fôrmas, que são vibradas para adensamento do concreto

e, posteriormente, são colocados separadores de forma conveniente a produzir as vigotas

conforme as especificações dos clientes. Observe que a maneira de utilizar os separadores nas

fôrmas nos levam à construção de padrões de corte. Por fim, são colocadas as armações

treliçadas. As peças passam por um processo de cura, são desmoldadas e é feita a limpeza das

fôrmas para sua reutilização em produções subsequentes.

Esse processo de produção das vigotas pode ser modelado como um problema de corte de

estoque multiperíodo, no sentido de dividir um objeto de maior dimensão (fôrmas) em itens

(vigotas) de comprimentos menores, especificados pelos clientes. Araújo, Pileggi e Arenales

(2000), considerou a programação da produção numa indústria de lajes treliçadas do interior do

Estado de São Paulo. A indústria produz as vigotas de concreto (que irão compor as lajes) de

vários tamanhos em fôrmas (canaletes de aproximadamente 20 metros) de comprimento fixo, a

fim de atender uma determinada demanda e otimizar a utilização das fôrmas. Neste trabalho,

como foi feito em Araújo, Pileggi e Arenales (2000), a produção é considerada seguindo duas

vertentes: produção sob encomenda e produção contra estoque, de modo a assegurar a demanda




72

variável (clientes cujas demandas são pequenas e necessitam de um atendimento instantâneo)

e não permitir atrasos na entrega.

3 Modelagem matemática

A seguir, está apresentada a modelagem matemática para o problema da produção de vigotas

em um horizonte de planejamento finito, baseado na abordagem proposta por Araújo, Pileggi e

Arenales (2001). Considere os seguintes índices, parâmetros e variáveis:

Tt ,...,1 : períodos do horizonte de planejamento;

Ki ,...,1 : tipos de itens (vigotas) produzidos contra estoque;

MKKi ,...,1 : tipos de itens (vigotas) produzidos sob encomenda;

nj ,...,1 : padrões de corte (possíveis arranjos nas fôrmas);

L : comprimento das fôrmas;

N : número de fôrmas disponíveis;

ih : custo de estocagem de uma unidade do item i ;

il : comprimento do item tipo i ;

itd : demanda do item tipo i no período t ;

id : limitante inferior desejável para estoque do item i , Ki ,...,1 ;

id : limitante superior desejável para o estoque do item i , Ki ,...,1 ;

1p : penalidade alta caso o nível de estoque esteja abaixo de id ;

2p : penalidade baixa caso o nível de estoque esteja dentro dos limites pré-estabelecidos,

isto é, entre id e id ;

ija : quantidade de itens do tipo i produzidos segundo o padrão de corte j ;

jtx : número de vezes que o padrão j é utilizado no período t ;

txf : variável de folga, que representa o número de fôrmas não utilizadas no período 𝑡.

itI : estoque (em unidades) do item i no período 𝑡, para MKKi ,...,1 ;

1itI : estoque (em unidades) do item i no período t , abaixo do mínimo pré-estabelecido,

Ki ,...,1 ;

2itI : estoque (em unidades) do item i no período t , dentro dos limites pré-estabelecido,

Ki ,...,1 ;

it : variável binária que indica se a quantidade de itens do tipo i produzidos para

estoque no período t está dentro dos limites pré-estabelecidos ou não.

Modelo matemático:

Minimizar:

T

t

K

i

itit

MK

Ki

iti ppIh1 1

21

1

1 ((1)

sujeito a:




73

;,...,1;,...,1,21

1

2

1,

1

1, TtKidIIxaII ititit

n

j

jtijtiti

((2

)

;,...,1;,...,1,

1

11, TtMKKidIxaI itit

n

j

jtijti

((3

)

;,...,1,1

TtNxfx t

n

j

jt

((4

)

;,...,1;,...,1,1 TtKidId iititi

((

5)

;,...,1;,...,1,0 2 TtKiddI itiiit

((

6)

njTtxfx tjt ,...,1;,...,1,inteirose0,0

((7

)

;,...,1;,...,1,inteirose0,0 21 TtMKKiII itit

((8

)

;,...,1;,...,11,0,inteiroe0 TtKiI itit

((

9)

Nesta modelagem, a produção das vigotas está dividida em: produção contra estoque e sob

encomenda. Não é permitido atraso no atendimento da demanda sob encomenda. Além disso,

deseja-se manter o nível de estoque dos itens produzidos contra estoque dentro de um intervalo

de segurança, para atender baixas demandas de clientes que chegam aleatoriamente. Para isso,

na função objetivo (1), além de desestimular estoques desnecessários dos itens sob encomenda,

acrescentam-se penalizações altas para evitar que os níveis de estoque nos itens produzidos

contra estoque estejam fora do intervalo especificado. Araújo, Pileggi e Arenales (2001) utiliza

ainda o método do M-grande para penalizar a presença de variáveis de folga negativas. Isto

indicaria que o número de fôrmas disponível na indústria seria insuficiente para a produção e

atendimento da demanda, servindo como indicativo de necessidade de aquisição ou aluguel de

novas fôrmas. Neste trabalho, não consideramos esta possibilidade.

As restrições em (2) e (3) são restrições de atendimento da demanda contra estoque e sob

encomenda, respectivamente. As restrições (4) limitam a produção dos itens em cada período

ao número de formas disponíveis. A variável de folga xf indica o número de formas não

utilizadas no período. Nas restrições (5) e (6), a variável 1itI representa o nível de estoque do

item i no período t abaixo do limitante inferior pré-estabelecido (neste caso 02 itI ) e 2itI

representa o nível de estoque do item i no período t dentro dos limites pré-estabelecidos (neste

caso iit dI 1 ). A variável it é utilizada para penalizar, na função objetivo, o não atendimento

desse intervalo de segurança dos itens produzidos contra estoque. Os conjuntos de restrições

(7), (8) e (9) definem os domínio das variáveis utilizadas no modelo.

4 Método de solução




74

O modelo (1)-(9) é de difícil solução por várias razões, dentre elas, o número grande de

variáveis (uma para cada padrão de corte) e a restrição de integralidade dessas variáveis. Para

contornar estas dificuldades, o problema relaxado (considerando-se variáveis reais) foi

resolvido utilizando-se um procedimento de geração de colunas baseado em Gilmore e Gomory

(1961, 1963). Inicialmente, o problema relaxado é resolvido considerando-se apenas os padrões

de corte homogêneos (padrões com apenas um tipo de item) para compor a matriz de restrições

inicial. A partir da solução obtida, as variáveis duais associadas são consideradas e um problema

da mochila é resolvido para determinar se existem padrões de corte que melhoram a solução

atual. Caso existam, tais padrões (colunas) são adicionados e um novo problema relaxado é

resolvido. Este processo é repetido até que não haja mais padrões que melhoram a solução do

problema relaxado. Por fim, considerando-se apenas os padrões de corte (colunas) da solução

ótima do problema relaxado, o modelo original (com a restrição de integralidade sobre as

variáveis de decisão) é resolvido pelo Cplex.

5 Experimentos computacionais preliminares

Para a implementação do método de solução foi utilizado o pacote de otimização

AMPL/CPLEX 12.6. Inicialmente, foram geradas duas classes com 10 exemplos cada uma,

como descrito a seguir.

Classe 1: Nesta classe, os exemplos foram gerados considerando-se um horizonte de

planejamento dividido em dez períodos (T = 10), três tipos de itens contra estoque (K = 3) e

dois tipos de itens sob encomenda (M = 2). Os exemplos de uma mesma classe se diferem por

apresentar comprimentos distintos para os itens demandados, gerados aleatoriamente no

intervalo [20,50], além de apresentar valores distintos de demanda contra estoque e sob

encomenda, sendo que, na primeira, o valor é atribuído igual para todos os períodos e, na

segunda, é um valor de demanda que ocorre em apenas um período, escolhido aleatoriamente,

estando no intervalo [120,140].

Classe 2: Nesta segunda classe de exemplos considerou-se um horizonte de planejamento

composto por vinte períodos (T = 20), três tipos de itens contra estoque (K = 3) e dois tipos de

itens sob encomenda (M = 2). O processo de geração dos comprimentos e das demandas dos

itens é análogo ao da Classe 1, com itens de comprimentos distintos no intervalo [20,50], sendo

a demanda contra estoque igual para todos os períodos e a sob encomenda, por sua vez, presente

em um único período, aleatório, com valor no intervalo [120,140].

A Tabela 1 ilustra os resultados obtidos para os exemplos da Classe 1, apresentando a

solução do problema relaxado (solução linear) e a solução do problema original, com a condição

de integralidade das variáveis. Em ambos os casos, estão indicados o valor da função objetivo

e da variável de folga, correspondente ao número de fôrmas não utilizadas ao longo do horizonte

de planejamento. Além disso, é mostrado o tempo computacional demandado para a obtenção

de ambas as soluções.

Da mesma forma que na Tabela 1, a Tabela 2 ilustra os resultados obtidos para os exemplos

da Classe 2. Observa-se que os 10 exemplos da Classe 2 apresentaram solução com um tempo

computacional relativamente baixo, com a média de 3s. Entretanto, na Classe 1, ocorreu de dois

exemplos não apresentarem uma solução factível (ver Tabela 1) em função do número

insuficiente de fôrmas para atender à demanda, fato recorrente quando a demanda sob

encomenda incide nos primeiros períodos do horizonte de tempo.




75

Tabela 1 – Resultados da Classe 1.

Solução Linear Solução Inteira Tempo

Computacional (s) Exemplo Função Objetivo Folga Função Objetivo Folga

1 30,00 100,3 150,00 99 0

2 - - - - -

3 106,22 100,002 338,00 98 4

4 - - - - -

5 30,00 69,522 219,00 70 1

6 30,00 99,345 438,00 96 1

7 - - - - -

8 30,00 105,667 430,00 103 0

9 30,00 87,06 110,00 86 1

10 30,00 79,1 1050,00 75 1

Média 40,89 91,57 390,71 89,57 1,14

Tabela 2 – Resultados da Classe 2.

Solução Linear Solução Inteira Tempo

Computacional (s) Exemplo Função Objetivo Folga Função Objetivo Folga

1 60,00 263,043 1050,00 261 2

2 60,00 246,946 800,00 244 1

3 60,00 263,043 760,00 261 1

4 73,07 153,647 109,00 155 9

5 140,85 238,157 358,00 239 7

6 60,00 209,3 800,00 208 1

7 60,00 153,733 499,00 154 6

8 60,00 210,731 880,00 209 1

9 60,00 173,889 750,00 173 1

10 787,00 205,367 2967,00 203 1

Média 142,09 211,79 897,30 210,70 3

No que se refere aos valores da função objetivo, esses foram baixos no caso da solução

relaxada, com exceção do exemplo 10 da segunda classe. A função objetivo foi modelada de

forma a penalizar os estoques, não havendo, por exemplo, a consideração do processo de

preparação da fôrma e o uso dos materiais necessários para a confecção das vigotas. Isto permite

a utilização de uma quantidade de fôrmas, desde que estejam disponíveis, já que não há

“punição” para tal, sendo questionável esse fator para etapas futuras desta pesquisa. Para o caso

das soluções inteiras, a impossibilidade de valores fracionários para as variáveis de decisão

implica maior geração de estoque. Isso explica a diferença considerável em alguns exemplos,

já que cada item sob encomenda recebe uma penalidade de 10 unidades e itens produzidos

contra estoque acima dos valores limites, 50. Seria razoável admitirmos a diferença de 740

unidades para o exemplo 2 da Tabela 2 se considerarmos que 14 itens contra estoque e 4 itens

sob encomenda foram estocados ao longo de vinte períodos de tempo.




76

Nas duas tabelas, a folga indica o número de fôrmas não utilizadas durante o horizonte de

produção. Considerando-se que o número de fôrmas disponíveis a cada período é 20, ao total,

têm-se 400 fôrmas no caso da Classe 2. Assim, pelo valor médio da folga indicada na Tabela

2, um pouco mais da metade das fôrmas não foram utilizadas no processo produtivo. Na classe

1, observa-se proporção semelhante, porém, inferior à metade.

6 Considerações finais

Este trabalho considerou o problema de planejamento da produção de vigotas na indústria

de lajes treliçadas, que foi abordado como um problema de corte de estoque multiperíodo.

Testes computacionais iniciais foram realizados usando o pacote de modelagem e otimização

matemática AMPL/CPLEX 12.6. Os resultados obtidos foram preliminarmente analisados,

buscando validar o modelo matemático utilizado para representar o problema.

Será dada continuidade ao trabalho com o objetivo de considerar a integração do problema

de corte de estoque ao problema de dimensionamento de lotes, na tentativa de otimizar a

produção na indústria. A modelagem será readequada de acordo com a realidade do processo

fabril das lajes treliçadas, realizando-se, para tanto, uma visita técnica a uma indústria da região,

apresentando, assim, um estudo de caso. Serão realizados os ajustes necessários dos parâmetros

utilizados nestes testes iniciais, com base nos dados e informações obtidas na indústria. Testes

computacionais mais consistentes serão realizados, de forma que conclusões mais abrangentes

sejam obtidas.

7 Agradecimentos

Os autores agradecem aos revisores anônimos da Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

cujas sugestões melhoraram a qualidade do artigo. Esta pesquisa contou com o apoio

financeiro da FAPESP, processo 2015/08739-0.

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ISSN 2316-9664Volume 7, dez. 2016

Edicao ERMAC

Gabriela Colovati de AlmeidaUniversidade EstadualPaulista/UNESP Botucatugabriela [email protected]

Fernando Luiz Pio dos SantosUniversidade EstadualPaulista/UNESP [email protected]

Modelo matematico espaco-discreto para analisede propagacao da dengue

Mathematical discrete-space model for analysis of the spread ofdengue fever

ResumoNeste trabalho, a dinamica de transmissao da dengue foi analisadapor intermedio de simulacoes numericas do sistema de equacoesdiferenciais ordinarias nao-lineares, considerando a mobilidadehumana e a transmissao vertical como fatores de interesse paradescrever o persistencia e difusao dessa enfermidade. O sistemade equacoes e composto pela interacao dos compartimentos dapopulacao de humanos e vetores, alem do compartimento da faseaquatica para o caso de dois patches. O metodo numerico utili-zado para a resolucao do sistema foi o metodo de Runge-Kuttade quarta ordem. Examinando os resultados obtidos, temos queo patch que estava livre da doenca inicialmente, foi mais afetadopela transmissao vertical do que pela mobilidade humana. Dessaforma, podemos sugerir o reforco das acoes de controle usadas nafase aquatica para reprimir a transmissao da dengue.Palavras-chave: Biomatematica. Equacoes diferenciais or-dinarias. Mobilidade humana. Patches.

AbstractIn this work, the dynamics of dengue fever transmission was ana-lyzed through numerical simulations of the system of non-linearordinary differential equations, considering human mobility andvertical transmission as factors of interest to describe the persis-tence and diffusion of this disease. The system of equations con-sists of the interaction of the human population compartments andvectors, as well as the aquatic phase compartment for the case oftwo patches. The numerical method used to solve the system wasthe fourth-order Runge-Kutta method. Examining the results ob-tained, the patch that was free of the disease initially was moreaffected by vertical transmission than by human mobility. Thus,we can suggest the reinforcement of control actions used in theaquatic phase to suppress the transmission of dengue.Keywords: Biomathematics. Ordinary differential equations.Human mobility. Patches.

1 IntroducaoUm dos graves problemas de saude publica mundial, ocorrendo em territorios tropicais

e subtropicais, e a proliferacao da doenca infecciosa dengue (DENGUE, 2009). Como os sereshumanos sao os hospedeiros da doenca, consideramos aqui a mobilidade humana como um fatorde extrema importancia na propagacao dessa enfermidade. Segundo Stolerman; Coombs; Boatto(2015), em uma area urbana, a propagacao da dengue se da possivelmente pelo movimento hu-mano de todos os dias, em que esses se movem por motivos distintos desempenhando um papelfundamental na distribuicao espacial.

Consideramos tambem, a transmissao vertical que ocorre na fase aquatica, podendo ser tran-sovariana ou transovo, como um evento que causa alteracoes na biologia do vetor, ocorrendoassim, mudancas na disseminacao e permanencia da doenca (LEANDRO, 2015).

As equacoes diferenciais sao ferramentas matematicas de extrema importancia para descreverfenomenos reais. Estas equacoes sao modelos fısicos uteis para a compreensao de situacoes ouproblemas reais. Para Bassanezi (2011), a modelagem matematica de situacoes reais pode ser fa-cilitada quando se usa sistemas interligados, chamados de compartimentos. Cada compartimentoe determinado por suas propriedades fısicas, trocando entre si e com o meio ambiente, materiais.

Uma abordagem classica compartimental para a analise da propagacao de doencas infeccio-sas foi estudada inicialmente por Kermack e McKendrick (1927), em que eles propuseram ummodelo que dividia o tamanho total de uma populacao em tres subpopulacoes. Assim, quandotemos um agente patogenico que e ativo, podemos dividir a populacao de humanos em comparti-mentos distintos de acordo com a situacao epidemiologica (ESTEVA; VARGAS, 1998; ESTEVA;YANG, 2015).

Podemos observar o crescente estudo de modelos matematicos que trabalham com regioesbem definidas e estruturadas para descrever dinamicas populacionais e principalmente a expansaode uma doenca (ARINO; VAN DEN DRIESSCHE, 2003; BOWONG; DUMONT e TEWA, 2013;PUANGSUN; PATANARAPEELERT, 2012).

De acordo com Generali (2010), a dinamica de um modelo metapopulacional trabalha comuma populacao dividida em subpopulacoes. Estas sao locais e divididas em fragmentos, chama-dos de sıtios ou patches (espacos discretos bem definidos). Os movimentos migratorios conectamos patches uns aos outros. Dessa forma, para examinar a dinamica de transmissao da dengue, es-tendemos o modelo proposto por Newton e Reiter (1992) para ser aplicado na situacao ondetemos a existencia desses espacos discretos.

Nesta abordagem sao consideradas as interacoes entre as populacoes de humanos e mosqui-tos, um compartimento aquatico com diferentes capacidades de suporte, e ainda, a circulacaoda doenca dengue para um unico sorotipo (ANDRAUD et al., 2012; BOWONG; DUMONT eTEWA, 2013; SANTOS, 2015). O objetivo foi efetuar simulacoes numericas do novo modelopara o caso particular de dois patches, resolvendo-o pelo metodo de Runge-Kutta de quarta or-dem, para investigar o efeito da interacao humana de um patch que tem condicoes iniciais para atransmissao da dengue e de outro patch que esta livre da doenca. Na proxima secao enunciaremoso modelo matematico para dois patches.

. . .

79

2 Modelo Matematico para dois PatchesAlguns estudos utilizam a aplicacao do modelo proposto inicialmente por Newton e Reiter

ALMEIDA, G. C.; SANTOS, F. L. P. Modelo matematico espaco-discreto para analise de propagacao da dengue. C. Q. D. - Revista Eletronica Paulista deMatematica , Bauru, v. 7, p. 78-87, dez. 2016. Edicao ERMAC.DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664gcaflps7887 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/# ! /departamentos/matematica/revista-cqd/

(1992) sem modificacoes (CIRINO; SILVA, 2004; GERHARDT, 2004). Entretanto, o presentetrabalho ampliou o referido modelo, conferindo-lhe alteracoes, gerando o sistema estendido es-pecialmente para dois patches, em que e constituıdo pelas equacoes diferenciais representandoa fase aquatica (ovos, larvas e pupas) com o parametro de proporcao dos vetores que se tor-nam infecciosos ao nascerem (transmissao vertical) seguido das equacoes para as populacoes dehumanos e vetores.

As variaveis de estado do modelo no tempo t estao na Tabela 1. Os parametros biologicos dosistema (1) sao dados pela Tabela 2 e foram retirados de Cirino e Silva (2004) e Thome; Yang eEsteva (2010).

Tabela 1: Variaveis de Estado do Modelo.Variavel Descricao da Variavel

A Fase aquaticaSh Densidade de humanos suscetıveisEh Densidade de humanos expostosIh Densidade de humanos infecciososRh Densidade de humanos recuperadosSv Densidade de vetores suscetıveisEv Densidade de vetores expostosIv Densidade de vetores infecciosos

Tabela 2: Parametros Biologicos do Modelo.Parametros Descricao do Parametro Valor

k Fracao de ovos viaveis (0 < k < 1) 0.8φ Taxa de oviposicao intrınsica (0 < φ < 1) 0.9α Proporcao de vetores que se tornam

suscetıveis ao nascerem (0 < α < 1) 0.5β Proporcao de vetores que se tornam infecciosos

ao nascerem devido a transmissao vertical (0 < β < 1) [0-0.3]µA Taxa de mortalidade da fase aquatica (0 < µA < 1) 0.0583Mh Perıodo da expectativa de vida dos humanos (dias) 25000Dh Perıodo latente intrınseco dos humanos (dias) 5Ph Perıodo de duracao da infeccao (dias) 3Mv Perıodo da expectativa de vida dos vetores (dias) 4Dv Perıodo latente extrınseco dos vetores (dias) 10cvh Taxa de transmissao da interacao vetor-humano (dias−1) 0.75chv Taxa de transmissao da interacao humano-vetor (dias−1) 0.375

Portanto, o modelo proposto e dado pelo seguinte sistema (1), considerando dois patches:

. . .

80


A′1 = kφ

(1− A1

C1

)(Sv1 +Ev1 + Iv1)− (α +β +µA)A1

S′h1 =1

MhNh1− cvhIv1

Sh1

Nh1− 1

MhSh1 +a21Sh2−a12Sh1

E ′h1 = cvhIv1Sh1

Nh1− 1

DhEh1−

1Mh

Eh1 +b21Eh2−b12Eh1

I′h1 =1

DhEh1−

1Ph

Ih1−1

MhIh1 + c21Ih2− c12Ih1

R′h1 =1Ph

Ih1−1

MhRh1 +d21Rh2−d12Rh1

S′v1 = αA1− chvSv1Ih1

Nh1− 1

MvSv1

E ′v1 = chvSv1Ih1

Nh1− 1

DvEv1−

1Mv

Ev1

I′v1 = βA1 +1

DvEv1−

1Mv

Iv1

A′2 = kφ

(1− A2

C2

)(Sv2 +Ev2 + Iv2)− (α +β +µA)A2

S′h2 =1

MhNh2− cvhIv2

Sh2

Nh2− 1

MhSh2−a21Sh2 +a12Sh1

E ′h2 = cvhIv2Sh2

Nh2− 1

DhEh2−

1Mh

Eh2−b21Eh2 +b12Eh1

I′h2 =1

DhEh2−

1Ph

Ih2−1

MhIh2− c21Ih2 + c12Ih1

R′h2 =1Ph

Ih2−1

MhRh2−d21Rh2 +d12Rh1

S′v2 = αA2− chvSv2Ih1

Nh2− 1

MvSv2

E ′v2 = chvSv2Ih2

Nh2− 1

DvEv2−

1Mv

Ev2

I′v2 = βA2 +1

DvEv2−

1Mv

Iv2

(1)

sendo Nhi = Shi +Ehi + Ihi +Rhi, Ci > 0 e(

1− AiCi

)a densidade total de humanos, a capacidade

de suporte ambiental (espacos disponıveis e nutrientes) e o crescimento logıstico de vetores,respectivamente, para os patches i = 1,2. As taxas de movimentacao humana sao entre os doispatches sao dadas por: a12,a21,b12,b21,c12,c21,d12 e d21.

A Figura 1 representa o fluxo de humanos entre os compartimentos . A secao seguinte des-creve os resultados numericos obtidos pela simulacao numerica do modelo matematico que con-sidera duas regioes distintas do espaco, isto e, dois patches. Para isto, estabelecemos cenarioscom o intuito de simular os efeitos da mobilidade humana, bem como os efeitos da transmissaovertical na dinamica da doenca.

. . .

81


1hS1hI

1vS 1vI

1hE1

1h

h

NM

11 1 1

1

1 v v v

Ak S E I

C

11

vhv

h

cI

N

1hR

1vE1A

1

hD1

hP

11

hvh

h

cI

N 1

vDA

1

vM

1

vM

2hS 2hI

2vS 2vI

2hE2

1h

h

NM

22 2 2

2

1 v v v

Ak S E I

C

22

vhv

h

cI

N

2hR

2vE2A

1

hD

1

hP

22

hvh

h

cI

N

1

vD

1

vM1

vM

1

vM

1

vM

1

hM

21a 21c 21d21b12a 12d12c12b

Patch 1

Patch 2

1

hM

1

hM

1

hM

1

hM

1

hM

1

hM

A

1

hM

Figura 1: Fluxo entre os dois patches. A movimentacao humana entre os dois patches e seusrespectivos compartimentos esta representado pelas setas pontilhadas nas cores vermelha e azul.A seta contınua na cor laranja denota a transmissao vertical.

3 Resultados NumericosConsideramos cinco cenarios para as simulacoes numericas realizadas para o sistema (1),

conforme mostra a Tabela 3. Para obtencao da solucao numerica do sistema foi utilizado emtodas as simulacoes o metodo de Runge-Kutta de quarta ordem no intervalo de [0,1000] dias epasso-no-tempo dt = 0.001.

As simulacoes foram implementadas em linguagem C no sistema operacional Linux Mint17.3 Cinnamon com processador Intel Core i5 e memoria de 8 GB. Usando essas configuracoeso tempo de resolucao ficou entre 0.01 a 0.06 segundos. O software aplicado para plotagem dosgraficos foi o Xmgrace.

. . .

82


Tabela 3: Cenarios das Simulacoes Numericas.Cenarios Mobilidade Humana Transmissao Vertical

1 - -2 X -3 Sh,Eh e Rh -4 Sh e Rh -5 - X

Os resultados numericos obtidos mostram os efeitos da mobilidade humana e da transmissaovertical no desenvolvimento da dengue no patch que estava inicialmente livre da doenca. Osvalores dos parametros biologicos utilizados estao disponıveis na Tabela 2. As taxas de movi-mentacao humana ai j, bi j, ci j e di j sao tomadas aleatoriamente em [0,1], para todo i, j = 1,2.As condicoes iniciais das variaveis de estado para o primeiro patch foram: A1 = 1000,Sh1 =9950, Ih1 = 50,Sv1 = 2000 e Eh1 = Rh1 = Ev1 = Iv1 = 0, ou seja, esse patch tem condicoes paraa transmissao da doenca dengue. Ja o segundo patch esta livre da doenca, com as seguintescondicoes iniciais: A2 = 100,Sh2 = 10000,Sv2 = 2000 e Eh2 = Ih2 = Rh2 = Ev2 = Iv2 = 0.

0 100 200 300 4000

2000400060008000

10000

S_h

0 100 200 300 4000

2000400060008000

1000012000

0 100 200 300 4000

100200300400500

E_h

0 100 200 300 400-10

0

10

20

0 100 200 300 4000

100200300400500

I_h

0 100 200 300 400-10

0

10

20

0 100 200 300 400t - Patch 1

02000400060008000

10000

R_h

0 100 200 300 400t - Patch 2

-10

0

10

20

Figura 2: Dinamica populacional para dois patches com mobilidade nula em todos os comparti-mentos de humanos usando o parametro de simulacao β = 0 (transmissao vertical).

No primeiro cenario, temos que nao ha mobilidade em nenhum dos compartimentos dapopulacao humana, ou seja, as taxas de movimentacao sao todas nulas. Alem disso, nao con-sideramos tambem a transmissao vertical (β = 0). A Figura 2 exibe os resultados numericosda simulacao do cenario 1, em que esses mostram a ocorrencia da epidemia no primeiro patch,devido a existencia de condicoes para dengue. O segundo continuou livre da infeccao, como erade se esperar, devido ausencia da mobilidade humana e da transmissao vertical.

No segundo cenario, nao consideramos a transmissao vertical (β = 0) e foi fixado mobilidadeem todos os compartimentos de humanos (Sh,Eh, Ih e Rh). Os respectivos resultados numericossao mostrados na Figura 3, no qual observamos que devido ao fato da mobilidade humana serconsiderada neste caso, o patch que nao possuıa condicoes para a dengue, passou a ter a epidemiada doenca.

. . .

83


0 100 200 300 4009920994099609980

10000

0 100 200 300 4009920994099609980

10000

0 100 200 300 4000

1

2

3

E_h

0 100 200 300 4000

1

2

3

0 100 200 300 4000

1020304050

I_h

0 100 200 300 4000

1020304050

0 100 200 300 400t - Patch 1

020406080

R_h

0 100 200 300 400t - Patch 2

020406080

Figura 3: Dinamica populacional para dois patches sobre os efeitos da migracao humana emtodos os compartimentos de humanos com o parametro de simulacao β = 0 (transmissao vertical).

0 100 200 300 4009940

9960

9980

10000

S_h

0 100 200 300 4009940

9960

9980

10000

0 100 200 300 4000

1

2

3

E_h

0 100 200 300 4000

1

2

3

0 100 200 300 4000

1020304050

I_h

0 100 200 300 4000

1020304050

0 100 200 300 400t - Patch 1

0102030405060

R_h

0 100 200 300 400t - Patch 2

0102030405060

Figura 4: Dinamica populacional para dois patches sobre o efeito da mobilidade na subpopulacaode humanos expostos (aqueles que nao apresentam sintomas e transmitem dengue depois de umcerto perıodo de tempo) com o parametro de simulacao β = 0 (transmissao vertical).

No terceiro cenario, a transmissao vertical (β = 0) nao foi imposta e consideramos que hu-manos infecciosos estao seguindo as recomendacoes necessarias para uma recuperacao total dossintomas vinculados a dengue, isto e, repouso absoluto. Logo, consideramos mobilidade humananos demais compartimentos Sh,Eh e Rh. Devido a mobilidade de indivıduos expostos (pessoasque estao infectadas e depois de um perıodo comecam a transmitir dengue), o segundo patchpassou a ter a presenca da doenca, como podemos observar nos resultados numericos exibidos naFigura 4.

A Figura 5 exibe os resultados do quarto cenario, cuja transmissao vertical continua nula eexiste mobilidade apenas nos compartimentos de humanos susceptıveis e recuperados. Comoesperado, o segundo patch continuou sem a doenca (condicao inicial), pois humanos expostos einfecciosos nao saıram do seu patch atual.

. . .

84


0 200 400 600 800 10000

2000400060008000

10000

S_h

0 200 400 600 800 10000

2000400060008000

10000

0 200 400 600 800 10000

20406080

E_h

0 200 400 600 800 1000-20

020406080

0 200 400 600 800 10000

20406080

I_h

0 200 400 600 800 1000-20

020406080

0 200 400 600 800 1000t - Patch 1

0

1000

2000

3000

R_h

0 200 400 600 800 1000t - Patch 2

0

1000

2000

3000

Figura 5: Dinamica populacional para dois patches sobre o efeito da mobilidade nassubpopulacoes de humanos suscetıveis e recuperados em que o parametro de simulacao β = 0(transmissao vertical).

0 100 200 300 4000

2000400060008000

10000

S_h

0 100 200 300 4000

2000400060008000

10000

0 100 200 300 4000

1000200030004000

E_h

0 100 200 300 4000

1000200030004000

0 100 200 300 4000

1000

2000

3000

I_h

0 100 200 300 4000

1000

2000

3000

0 100 200 300 400t - Patch 1

02000400060008000

10000

R_h

0 100 200 300 400t - Patch 2

02000400060008000

10000

Figura 6: Dinamica populacional para dois patches sobre os efeitos da transmissao vertical paraβ = 0.3.

Por fim, a Figura 6 exibe os resultados da simulacao do quinto cenario, que nao possui mobili-dade humana em nenhum compartimento, mas consideramos neste processo a transmissao verti-cal (transovariana ou transovo) com uma proporcao de 30% do total da oviposicao dos mosquitosfemeas. Portanto, observamos que a epidemia da doenca dengue surgiu no segundo patch comuma maior influencia do que a intervencao da mobilidade humana, ou seja, a epidemia foi maisintensa, surgindo em um curto espaco de tempo com relacao aos demais cenarios.

As principais conclusoes acerca da simulacao numerica da dinamica da dengue em patchessao sumarizadas na secao seguinte.

. . .

85


4 ConclusaoPara verificar a dinamica populacional do modelo proposto e o papel da transmissao vertical,

simulacoes numericas foram realizadas para o caso de dois patches, sendo um com condicoes ini-ciais para a enfermidade (populacao de humanos infecciosos) e o outro livre da doenca (somentea subpopulacao de humanos e mosquitos susceptıveis).

Os resultados numericos obtidos mostram os efeitos da mobilidade humana ja esperados parao desenvolvimento da dengue no patch que estava livre inicialmente da doenca e da importanciada transmissao vertical como requisitos para a introducao do vırus em areas livres da dengue.

Alem disso, a transmissao vertical do mosquito da dengue ainda nao e uma discussao consi-derada clara, mas acredita-se que seja umas das principais formas de permanencia do vırus naspopulacoes de vetores, surgindo assim as epidemias nas populacoes de humanos e na durabilidadedo vırus no decorrer dos anos.

Conforme essas importantes apuracoes, podemos sugerir o reforco das acoes de controle nafase aquatica para o ciclo do vırus da dengue, como forma de conter a doenca e minimizar essegrande problema da saude publica mundial, uma vez que nao e possıvel frear a mobilidade dosseres humanos devido suas atividades diarias.

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. . .

87


ISSN 2316-9664

Volume 7, dez. 2016

Edição ERMAC

Letícia Maria Miquelin

UNESP/Bauru

[email protected]

Edilaine Martins Soler

UNESP/Bauru

[email protected]

Modelo matemático para otimização da

operação de sistemas de abastecimento de água

A mathematical model for optimization operation of water supply

systems.

Resumo

Os sistemas de abastecimento de água têm a função de levar água em

quantidade e qualidade adequadas à população. Na maioria dos siste-

mas de abastecimento de água, bombas hidráulicas são utilizadas para

captar água de poços (ou estações de tratamento de água) e abastecer

reservatórios distribuídos pelos bairros de uma cidade, de onde a po-

pulação é atendida. Um procedimento comum observado na prática

consiste em ligar as bombas hidráulicas quando o nível mínimo do

reservatório é atingido e mantê-las ligadas até que o nível máximo do

reservatório seja atingido. Uma vez que as tarifas de energia elétrica

variam ao longo das horas do dia, faz-se necessário um planejamento

do funcionamento das bombas garantindo o atendimento da demanda.

Neste trabalho de iniciação científica foi investigado um modelo ma-

temático de otimização linear inteira mista para o problema de plane-

jamento de estoque de água em reservatórios proposto na literatura.

Testes numéricos realizados com este modelo demonstraram que além

do planejamento do liga/desliga das bombas hidráulicas, investimen-

tos para se reduzir os vazamentos na rede de distribuição e a utilização

de bombas hidráulicas mais eficientes apresentam um grande retorno

financeiro no que diz respeito aos custos com energia elétrica em

sistemas de abastecimento de água. Palavras-chave: Sistemas de abastecimento. Bombas Hidráulica.

Otimização. Modelagem Matemática e Aplicações.

Abstract

Water supply systems have the function of carrying water in quantity

and quality appropriate to the population. In most water supply sys-

tems, hydraulic pumps are used to capture water wells (or water

treatment plants) and fuel tanks distributed through the neighborhoods

of a city, where the population is served. A common procedure fol-

lowed in practice is to connect the hydraulic pumps when the mini-

mum reservoir level is reached and keeping it connected to the maxi-

mum reservoir level is reached. Once the electricity rates vary

throughout the hours of the day, planning the operation of the pump it

is necessary to ensure to meet the demand. In this work of scien-

tific initiation we investigated a mathematical model of mixed integer

linear optimization for inventory planning problem of water in reser-

voirs proposed in the literature. Numerical tests with this model

demonstrated that in addition to the league planning / off hydraulic

pumps, investments to reduce leakages in the distribution network and

the use of more efficient water pumps have a great financial return

with respect to energy costs electric in water supply systems.

Keywords: Supply systems. Hydraulic pumps. Optimization. Mathe-

matical Modeling and Application.

MIQUELIN, L. M.; SOLER, E. M. Modelo matemático para otimização da operação de sistemas de abastecimento de água. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulis-

ta de Matemática, Bauru, v. 7, p. 88-96, dez. 2016. Edição ERMAC.

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664lmmems8896 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

89

1 Introdução

A água é um recurso natural indispensável à saúde e ao bem-estar da população. Os siste-

mas de abastecimento de água têm a função de levar água em quantidade e qualidade adequa-

das à população para que suas necessidades sejam atendidas. No Brasil, as obras de sanea-

mento, especialmente de sistemas de abastecimento de água às populações urbanas, foram

intensificadas nas décadas de 70 e 80, buscando atender a demanda decorrente do crescimento

populacional urbano e da industrialização. Segundo resultados da última Pesquisa Nacional de

Saneamento Básico realizada em 2008, pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatís-

tica), a quase totalidade dos municípios brasileiros tinha serviço de abastecimento de água em

pelo menos um distrito (99,4%). Dos 5.564 municípios existentes no país, em 2008, apenas 33

não dispunham de rede geral de distribuição (IBGE, 2011).

Segundo Tsutiya (2006), as despesas com energia elétrica nas empresas de saneamento

básico entre 1993 e 1996 variaram entre 4,8% e 36,3% nos diversos estados brasileiros, e são

o segundo ou terceiro item mais importante no orçamento das despesas de exploração. Cerca

de 95% do consumo de energia elétrica nos sistemas de abastecimento de água é atribuído aos

sistemas de bombeamento. A menor parcela é destinada a sistemas auxiliares e à iluminação.

Assim, é muito relevante que as empresas de saneamento possam diminuir seus gastos com

energia elétrica, sem prejuízo no abastecimento.

Na maioria dos sistemas de abastecimento de água há a necessidade de utilizar estações

elevatórias para recalcar água em reservatórios de distribuição e, para isso, bombas hidráuli-

cas são utilizadas para captar água de poços (ou estações de tratamento de água) e abastecer

reservatórios distribuídos pelos bairros de uma cidade, de onde a população é atendida. Um

procedimento comum observado na prática consiste em ligar as bombas hidráulicas quando o

nível mínimo do reservatório é atingido e mantê-las ligadas até que o nível máximo do reser-

vatório seja atingido. Uma vez que as tarifas de energia elétrica variam ao longo das horas do

dia, este procedimento não é eficiente, pois o custo de energia elétrica é bem mais elevado

quando o consumo de água é maior, no período de 18 às 21h. Portanto, faz-se necessário um

planejamento do funcionamento das bombas e, consequentemente, o controle dos níveis de

estoque de água nos reservatórios, a fim de evitar o funcionamento das bombas nos horários

de alto custo de energia elétrica, garantindo o atendimento da demanda (SOLER et al., 2016).

Toledo et al. (2008) propuseram um modelo matemático para este problema considerando

a interdependência entre os reservatórios, cujo objetivo é minimizar o custo com energia elé-

trica para funcionamento das bombas de captação. O problema de planejamento de estoque de

água em reservatórios proposto pelos autores consiste em decidir, em cada período do hori-

zonte de planejamento, as operações (liga/desliga) das bombas hidráulicas de captação que

abastecem os reservatórios e a transferência de água entre os mesmos, de modo que a deman-

da estimada em cada reservatório seja atendida em cada período e que sejam respeitados seus

níveis mínimos e máximos, e o custo de energia elétrica seja mínimo. Para facilitar a operação

do sistema é considerado um custo de acionamento das bombas hidráulicas, a fim de minimi-

zar o número de vezes que as bombas são acionadas.

Este trabalho é decorrente de pesquisa de iniciação científica e está organizado como se-

gue: na seção 2 é apresentado o modelo matemático de otimização linear inteira mista para o

problema de planejamento de estoque de água em reservatórios proposto em Toledo et al.

(2008); na seção 3 estão os testes numéricos realizados com o modelo matemático investiga-

do; e, finalmente, na Seção 4 estão as conclusões.




90

2 O problema de planejamento de estoque de água em reservatórios e sua formulação

matemática

Em sistemas de abastecimento de água, cerca de 95% do gasto com energia elétrica é de-

vido a operação das bombas hidráulicas. Portanto, torna-se necessário o planejamento do li-

ga/desliga destas bombas para que haja uma redução nos gastos com energia elétrica, de mo-

do que a demanda seja atendida.

O problema abordado nesta pesquisa focaliza o custo de energia elétrica necessária para o

funcionamento de bombas hidráulicas utilizadas para a distribuição e transferência de água

em um sistema de abastecimento. As bombas são utilizadas para levar água de poços artesia-

nos e/ou estação de tratamento de água a reservatórios distribuídos pelos bairros de uma cida-

de, de onde a população será atendida por força gravitacional. Como o custo de energia elétri-

ca varia de acordo com o horário (as tarifas de energia elétrica tem preços mais altos das 18 às

21h) se faz necessário um planejamento do funcionamento das bombas para que não sejam

ligadas em períodos de custo alto de energia elétrica. Portanto, deve-se planejar o volume dos

reservatórios em cada período, ou seja, determinar o estoque de água, ao longo dos períodos,

de modo a atender a demanda com mínimo custo de energia.

A seguir apresentamos o modelo proposto em Toledo et al. (2008) para o problema de

planejamento de estoque de água em reservatórios.

Para isso, considere:

Dados:

dkt = demanda (m3) do centro consumidor (bairro) k durante o período t;

cjt = custo para manter ligada a bomba j durante todo o período t;

scjt = custo para acionamento da bomba j no período t;

vjt = vazão (m3) da bomba j no período t (varia de acordo com o tamanho do período);

wjlt = vazão (m3) da bomba para transportar água do reservatório j para o reservatório l no

período t (varia de acordo com o tamanho do período);

hjmin = volume (m3) mínimo do reservatório j;

hjmax = volume (m3) máximo do reservatório j;

hj0 = volume (m3) do reservatório j no início do horizonte de planejamento (t = 0);

Sj = {k, tal que o centro consumidor k é abastecido pelo reservatório j};

Rj = {l, tal que o reservatório l pode receber água do reservatório j};

Pj = {l, tal que o reservatório l pode enviar água para o reservatório j};

jlt = custo para transferir água do reservatório j para o reservatório l durante todo o perío-

do t.

jt = fração da água no reservatório j perdida por vazamento durante o período t;

xj00 = estado inicial da bomba j (0 se a bomba estava desligada e 1 caso contrário);

Variáveis de decisão:

Ijt = volume de água (m3) no reservatório j, estocada ao final do período t;

xjt = fração do período t em que a bomba j permanece ligada (o produto xjt pelo tamanho

do período em horas, fornece o tempo que a bomba permaneceu ligada, em horas);

yjt = 1, se xjt>0 (isto é, há captação de água no período t);

0, caso contrário;

jt = 1, se a bomba j é acionada no período t;

0, caso contrário;




91

zjlt = fração do período t na qual existe transporte de água do reservatório j para o reserva-

tório l.

O modelo matemático é dado por (1)-(9):

No modelo proposto, a função objetivo (1) representa os custos com energia elétrica para

funcionamento e acionamento das bombas hidráulicas de captação e de transferência. As res-

trições (2) representam o balanceamento de estoque de água em cada um dos períodos para

cada um dos reservatórios. As restrições (3) garantem que se xjt > 0, então yjt = 1. As restri-

ções (4) asseguram que, caso a bomba j seja ligada durante todo o período t-1, ela poderá ser

utilizada no período t sem o custo de acioná-la. As restrições (5) garantem que os volumes

mínimos e máximos de água em cada um dos reservatórios sejam respeitados. As restrições

(6) e (7) garantem que as bombas de captação e de transferência de água entre os reservatórios

possam ser ligadas durante todo o período ou em parte dele. Nas restrições (8), os estados das

bombas são ajustados para o desligado no início do horizonte de planejamento e o volume de

água inicial nos reservatórios é atribuído. E as restrições (9) definem as variáveis yjt e jt como

binárias.

3 Testes numéricos

Para resolução do problema de planejamento de estoque de água em reservatórios foi utili-

zado o pacote de otimização CPLEX em interface com o software GAMS

(https://www.gams.com/).

O GAMS é um software projetado especificamente para modelagem de problemas de oti-

mização. O solver CPLEX foi projetado para resolver problemas de grande dimensão de for-

ma rápida e com mínima intervenção do usuário. Para resolver problemas de programação

linear inteira mista, como é o caso do problema de planejamento de estoque de água em reser-

vatórios, este solver utiliza o método Branch-and-Bound.

Um estudo relacionado a alterações na infraestrutura de um sistema de abastecimento foi

feito utilizando o modelo matemático, a fim de averiguar o retorno financeiro ao se reduzir os

vazamentos na rede e ao se utilizar bombas hidráulicas mais eficientes.

1 1 1 1

, 1

(1)

(1 ) , j 1,...,R,t 1,...,T; (

j

j j

T R T R

jt jt jt jt jlt jlt

t j t j l R

jt jt j t jt jt jlt jlt ljt ljt kt

l R l P

Min c x sc z

I I v x w z w z d

, 1

2)

, j 1,...,R,t 1,...,T; (3)

, j 1,...,R,t 1,...,T;

jk S

jt jt

jt jt j t

x y

y x

min max

(4)

, j 1,...,R,t 1,...,T; (5)

0 1, j,l 1,..

j jt j

ljt

h I h

z

.,R,t 1,...,T; (6)

0, j 1,...,R; jtx

0 0

0 0 0

t t

(7)

, , j 1,...,R,t 1,...,T; (8)

{0,1}, {0,1}, j 1,...,R,t 1,...,T;

j j j j

j j

x x I h

y

(9)

https://www.gams.com/




92

Nos testes realizados foi considerado um horizonte de planejamento de um dia (24 horas)

que foi dividido em 8 períodos, de 3 horas cada, sendo o sétimo período, o período crítico,

que se encontra das 18 às 21h (período em que a energia elétrica é mais cara).

No sistema de abastecimento considerado nos testes têm-se três reservatórios, que rece-

bem água de poços artesianos e abastecem bairros de uma cidade, conforme ilustrado na Figu-

ra 1. Neste sistema pode haver transferência de água do Reservatório 1 para o Reservatório 2,

do Reservatório 2 para o Reservatório 1, do Reservatório 2 para o Reservatório 3 e do Reser-

vatório 3 para o Reservatório 2.

Figura 1: Sistema de Abastecimento: De La Vega e Alem (2015).

3.1 Primeira etapa de testes

Na primeira etapa de testes foi analisada a influência dos vazamentos na rede de abasteci-

mento nos gastos com energia elétrica.

Foi considerado que o custo de energia elétrica para cada bomba em cada período que esta

permanece ligada é de R$30,00 para os períodos não críticos e de R$90,00 para os períodos

críticos. Os custos de acionar a bomba considerado nos testes foi de R$1,00, e os custos com

as bombas de transferência de água considerado foram de R$10,00 para os períodos não críti-

cos e R$30,00 para os períodos críticos. Foi utilizado o trabalho de Toledo et al (2008) como

base para as demandas de água para cada reservatório em cada período.

Foram realizados testes numéricos com o modelo matemático considerando três diferentes

situações em relação às perdas de água no sistema de abastecimento: 0% de perda de água,

5% de perda de água, 10% de perda de água e 20% de perda de água.

As Figuras 2, 3, 4 e 5 mostram os níveis de cada reservatório em cada período para as so-

luções obtidas em cada uma das situações. O valor da função objetivo representa os custos

com energia elétrica.




93

Figura 2: Volumes dos Reservatórios – 0% de perda – 1ª Etapa de testes


0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Volume de cada reservatório no final de cada período0% de perda

Função objetivo = 92,111

Res 1 Res 2 Res 3

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Volume de cada reservatório ao final de cada período5% de perda


Res 1 Res 2 Res 3




94



Nos gráficos apresentados é possível observar que quanto maior a perda de água no siste-

ma de abastecimento, maior o custo com energia elétrica. Isso ocorre, pois devido às perdas

de água, mais água precisa ser bombeada para os reservatórios para que as demandas sejam

atendidas. Com isso é possível avaliar os benefícios de investimentos na reparação do sistema

a fim de reduzir as perdas de água.

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8 9



Res 1 Res 2 Res 3

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8 9



Res 1 Res 2 Res 3




95

3.2 Segunda etapa de testes

Na segunda etapa de testes foi analisado o retorno financeiro ao se utilizar bombas hidráu-

licas mais eficientes, ou seja, que consomem menos energia elétrica em seu funcionamento.

Assim, nesta etapa de testes, foi considerado bombas hidráulicas com consumos de energia

elétrica distintos e mesma vazão. Foram consideradas três tipos de bombas: bombas que tem

um custo com energia elétrica de R$30,00 por período para os períodos não críticos, e de

R$90,00 por período para os períodos críticos; bombas que tem um custo de R$20,00 e

R$60,00, para os períodos não críticos e críticos, respectivamente, e bombas que tem um cus-

to de R$10,00 e R$30,00, para os períodos não críticos e críticos, respectivamente. Estas três

situações foram simuladas em um sistema de abastecimento sem perdas de água e no mesmo

sistema de abastecimento com 10% de perdas de água.

A Tabela 1 apresenta o valor da função objetivo (custos com energia elétrica) para os ca-

sos testados.

Tabela 1: Resultados – Diferentes bombas hidráulicas

Nestes testes foi possível observar que mesmo em sistemas com perdas, o gasto com ener-

gia elétrica diminui significativamente quando há investimentos em bombas mais eficientes.

Com isso é possível analisar qual é o custo/beneficio desse investimento.

4 Conclusão

Testes numéricos com o modelo matemático demonstraram que investimentos a fim de

reduzir os vazamentos na rede fornecem uma economia significativa nos gastos com energia

elétrica, e investimentos em bombas hidráulicas mais eficientes também fornecem um grande

retorno financeiro no que se refere aos custos com energia elétrica em sistemas de abasteci-

mento de água.

6 Referências

DE LA VEGA, J.; ALEM, D. Energy rationalization in water supply networks via stochastic

programming. IEEE Latin America Transactions, v. 13, n. 8, p. 2742-2756, 2015.

IBGE. Atlas de Saneamento 2011. Disponível em:

<http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/atlas_saneamento/default_zip.shtm>. Acesso em:

18 abr. 2013.

SOLER, E. M. et al. Otimização dos custos de energia elétrica na programação da captação,

armazenamento e distribuição de água. Production, v. 26, n. 2, p. 385-401, 2016.

TOLEDO, F. M. B. et al. Logística de distribuição de água em redes urbanas - racionalização

energética. Pesquisa Operacional, v. 28, n. 1, p. 75-91, 2008.

Custo de manter a bomba ligada 0% de perda 10% de perda

c1=30, c2=90 92,111 297,657

c1=20, c2=60 81,63 222,427

c1=10, c2=30 42,815 128,421




96

TSUTIYA, M. T. Redução do custo de energia elétrica em sistemas de abastecimento de água.

São Paulo: ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental, 2006.

ISSN 2316-9664Volume 7, dez. 2016

Edicao ERMAC

Eliton Mendonca MoroUniversidade Estadual Paulista,UNESP-Sao Jose do Rio [email protected]

Carina AlvesUniversidade Estadual Paulista,UNESP-Rio [email protected]

Antonio Aparecido deAndradeUniversidade Estadual Paulista,UNESP-Sao Jose do Rio [email protected]

O reticulado E8 via o corpo ciclotomico Q(ζ20)

The E8-lattice via the cyclotomic field Q(ζ20)

ResumoIntuitivamente, um reticulado no Rn e um conjunto infinito depontos dispostos de forma regular. Dado um reticulado Λ no Rn

e OK o anel dos inteiros de um corpo de numeros K, e possıvelque Λ seja isomorfo a um OK-reticulado? Motivados por estaquestao, neste trabalho apresentamos uma construcao do reticu-lado E8 como um OK-reticulado via corpos ciclotomicos. A van-tagem de obter reticulados por este metodo e que podemos identi-ficar os pontos do reticulado no Rn com os elementos de K. Destaforma, podemos utilizar algumas propriedades do corpo K no es-tudo de tais reticulados. Os reticulados tem aplicacoes em dife-rentes areas, particularmente em teoria da informacao e em crip-tografia. Constelacoes de sinais tendo estrutura de reticulados temsido utilizadas como suporte para transmissao de sinais sobre oscanais gaussianos e com desvanecimento do tipo Rayleigh.Palavras-chave: Reticulado. Teoria dos Numeros Algebricos.Fatoracao de Ideais. Extensao de Corpos.

AbstractIntuitively, a lattice in Rn is an infinite set of points arranged re-gularly. Given a lattice Λ in Rn and OK the ring of integers of anumber field K, is it possible that Λ is isomorphic to OK-lattice?Motivated by this question, in this paper we present a construc-tion of the E8-lattice as OK-lattice via a cyclotomic field. Theadvantage of getting lattice by this method is that we can identifythe lattice points in Rn with the elements of K. In this way, wecan use some properties of the field K in the study of such latti-ces. The lattices has applications in different areas, particularlyin information theory and cryptography. Signal constellations ha-ving a lattice structure have been used as support for transmittingsignals over the Gaussian and Rayleigh fading channels.Keywords: Lattice. Algebraic Number Theory. Factorization ofIdeals. Field Extension.

1 Introducao

Um reticulado Λ e um subgrupo aditivo discreto do Rn. Este conceito surgiu a partir doproblema de como cobrir o espaco Rn com esferas de mesmo raio, de forma que quaisquer duasesferas se toquem no maximo em um ponto e ocupem a maior parte do espaco possıvel.

Dado um reticulado Λ no Rn e OK o anel dos inteiros de um corpo de numeros K, epossıvel que Λ seja isomorfo a um OK-reticulado? Motivados por esta questao, nesta trabalhoapresentamos uma construcao do reticulado E8 como um OK-reticulado via K = Q(ζ20). O re-ticulado E8 e o reticulado de maior densidade de empacotamento em dimensao 8 e e o unicoreticulado par e unimodular nesta dimensao.

2 Reticulados

Apresentamos aqui o conceito de reticulado no Rn e alguns de seus parametros.

Definicao 1. Sejam {v1,v2, ...,vm} vetores linearmente independentes do Rn. O conjunto depontos

Λ =

{x =

m

∑i=1

λivi,λi ∈ Z

}e chamado reticulado de dimensao m e {v1,v2, ...,vm} e chamado de base do reticulado.

Exemplo 2. O reticulado Λ = Z2 e gerado pelos vetores e1 = (1,0) e e2 = (0,1) com os pontosdispostos conforme a figura abaixo.

Definicao 3. Seja {v1, . . . ,vm} uma base de um reticulado. O paralelepıpedo formado pelospontos

λ1v1 + · · ·+λmvm, 0≤ λi < 1

e chamado de paralelepıpedo fundamental ou regiao fundamental do reticulado.

MORO, E. M.; ALVES, C.; ANDRADE, A. A. O reticulado via o corpo ciclotô mico

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664emmcaaaa97108 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/# ! /departamentos/matematica/revista-cqd/

C. Q. D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática

98

v. 7, p. 97-108, dez. 2016. Edição ERMAC.

Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Definicao 4. Seja {v1, . . . ,vm} uma base de Λ. Se vi = (vi1, . . . ,vin), para i = 1, · · · ,m, a matriz

M =

v11 v12 . . . v1nv21 v22 . . . v2n

. . .vm1 vm2 . . . vmn

e chamada de matriz geradora do reticulado Λ. A matriz G = MMt e chamada de matriz deGram do reticulado, onde t denota a transposicao.

Assim, os pontos do reticulado sao formados por

Λ = {x = λM | λ ∈ Zm}.

Definicao 5. O determinante do reticulado Λ e definido como sendo o determinante da matriz G,ou seja,

det(Λ) = det(G).

Um reticulado e dito ter posto maximo se m = n, e neste caso M e uma matriz quadrada.Assim,

det(Λ) = (det(M))2.

E importante observar que o mesmo reticulado pode ser representado por mais de umamatriz, e o fato de dois reticulados terem o mesmo determinante nao e suficiente para que elessejam isomorfos.

Definicao 6. Um empacotamento esferico, ou simplesmente um empacotamento no Rn, e umadistribuicao de esferas de mesmo raio no Rn de forma que a intersecao de quaisquer duas esferastenha no maximo um ponto. Um empacotamento reticulado e um empacotamento em que oconjunto dos centros das esferas formam um reticulado Λ no Rn. Alem disso, ρ = min{|λ|; λ ∈Λ, λ 6= 0}/2 e o maior raio para o qual e possıvel distribuir esferas centradas nos pontos de Λ eobter um empacotamento, este raio e entao chamado de raio de empacotamento.

Definicao 7. Seja Λ um reticulado. A densidade de empacotamento de Λ e definida por

∆(Λ) =volume da regiao coberta por uma esfera

volume da regiao fundamental.

Um dos problemas de empacotamento esferico de um reticulado no Rn e encontrar oempacotamento com maior densidade de empacotamento. A seguir, daremos exemplos em di-mensoes 1, 2 e 3.

Exemplo 8. Na dimensao um, temos que os pontos de coordenadas inteiras da reta formam umZ-reticulado cuja a densidade de empacotamento e a melhor possıvel dada por ∆ = 1. Nestecaso, as “esferas” sao intervalos como podemos ver na figura abaixo.

t tt︷︸︸︷. .

-1 0 1

esfera




99


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Exemplo 9. Na dimensao dois o reticulado hexagonal A2 (favo de mel) e o de maior densidade,dada por ∆=

π√12≈ 0,9069. O empacotamento deste reticulado com base β=

{(1,0),(−1

2 ,√

32 )}

e dado por

t ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qExemplo 10. Na dimensao 3 o reticulado conhecido como f cc, (face centered cubic) e o empa-cotamento com maior densidade, sendo essa ∆ =

π√18≈ 0,7405.

E conhecido e provado que as densidades de empacotamento dos reticulados A1, A2, D3,D4, D5, E6, E7, E8 e Λ24, de dimensoes 1 a 8 e 24, respectivamente, sao otimas. Para outrasdimensoes nao se sabe as otimas.

O reticulado E8 alem de possuir a maior densidade de empacotamento e o unico reticuladopar e unimodular em sua dimensao.

Definicao 11. O reticulado E8 e um reticulado 8-dimensional, definido por:

E8 = {(x1, · · · ,x8) tal que xi ∈ Z ou xi ∈ Z+12,∀i e ∑xi ≡ 0 (mod 2)}.

A matriz geradora do reticulado E8 e dada por

B =

2 0 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0 00 −1 1 0 0 0 0 00 0 −1 1 0 0 0 00 0 0 −1 1 0 0 00 0 0 0 −1 1 0 00 0 0 0 0 −1 1 012

12

12

12

12

12

12

12

seu raio de empacotamento e ρ = 1√

2e sua densidade de centro e ∆ = 0,2537.

3 Resultados Preliminares

Nesta secao, expomos de modo conciso, resultados necessarios para a construcao do reti-culado E8, que sera apresentada na Secao 5. Dessa forma, nos limitamos a nao demonstrar taisresultados, que podem ser encontrados mais detalhadamente em Samuel (1970).




100


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Definicao 12. Sejam K e L corpos. Dizemos que L e uma extensao de K, denotada por L|K, seK⊂ L.

Definicao 13. Dizemos que a extensao L de K e extensao algebrica se todo elemento α ∈ L foralgebrico, isto e, raiz de algum polinomio monico nao-nulo f (x) em K[x].

Definicao 14. O conjunto dos numeros algebricos de K sobre Q e um anel, chamado de aneldos inteiros algebricos de K, e denotado por OK. Alem disso, OK e um Z-modulo livre de posto[K : Q], cuja base e chamada de base integral.

Todo corpo de numeros K e da forma K=Q(θ) para algum numero algebrico θ ∈K. As-sim K e um Q-espaco vetorial gerado por potencias de θ. Se K tem grau n entao {1,θ, . . . ,θn−1}e uma base de K e o grau do polinomio minimal de θ sobre Q e n e o denotamos por minQθ.

O proximo teorema diz respeito a um homomorfismo entre dois corpos.

Teorema 15. Sejam K, L, subcorpos de C onde L e uma extensao de K e [L : K] = n < ∞. Entao,existe θ ∈ L tal que L = K(θ) e existem exatamente n K-homomorfismos de L em C, σi : L→C, i = 1, . . . ,n, tal que σi(θ) = θi, onde αi sao as raızes distintas em C do polinomio minimal deθ sobre K.

Observacao 16. Quando aplicamos σi a um elemento arbitrario x ∈ L, x =n

∑k=1

akθk,ak ∈ K,

usando as propriedades dos K-homomorfismo temos

σi(x) = σi

(n

∑k=1

akθk

)=

n

∑k=1

σi(ak)σi(θ)k =

n

∑k=1

akθki ∈ C

e temos que a imagem de x sobre σi e univocamente identificada por θi.Os elementos σ1(x),σ2(x), . . . ,σn(x) sao chamados os K-conjugados de x e

NL|K(x) =n

∏i=1

σi(x), TrL|K(x) =n

∑i=1

σi(x)

sao chamados respectivamente, a norma e o traco de x da extensao L sobre K.

Fazendo o uso de alguns conceitos expostos anteriormente, apresentamos a definicao dediscriminante de uma extensao de corpos, que sera de grande utilidade para a construcao doreticulado E8.

Definicao 17. Sejam L uma extensao finita de K de grau n e {ω1, . . . ,ωn} uma base integral deOL Definimos o discriminante de L sobre K como Disc(L|K) = det[σ j(ωi)]

2, onde det denota afuncao determinante.

Duas famılias importantes de corpos de numeros e a dos corpos quadraticos e dos corposciclotomicos. Nestes corpos e possıvel caracterizar seu anel de inteiros, base integral, discrimi-nante, entre outros.

Definicao 18. Seja K um corpo. Dizemos que K e um corpo quadratico se o grau da extensaode K sobre Q e igual a 2, ou seja, [K : Q] = 2.




101


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Observacao 19. Todo corpo quadratico e da forma Q(√

d) onde d e um inteiro livre de quadra-dos.

Dentre os corpos quadraticos e ciclotomicos, a famılia dos corpos ciclotomicos e a maisutilizada na construcao de reticulados algebricos.

Definicao 20. Seja ζn uma raiz n-esima primitiva da unidade, isto e, ζnn = 1 e ζm

n 6= 1 para1≤ m < n. Um corpo ciclotomico K e a menor extensao de Q contendo ζn, isto e, K=Q(ζn).

Definicao 21. Sejam K⊂L uma extensao de corpos de grau n e {σ1, · · · ,σn} os n K-homomorfismosdistintos de L em C. Dizemos que um homomorfismo σi e real se σi(L) ⊂ R. Caso contrario,dizemos que σi e imaginario. Alem disso, se σi for real para todo i = 1, · · · ,n, dizemos que aextensao L|K e totalmente real e, se σi for imaginario para todo i = 1, · · · ,n, dizemos que L|K etotalmente imaginaria.

Exemplo 22. Temos que Q(√

2) e Q(ζ3) sao extensoes quadraticas sobre Q, onde Q(√

2)|Q etotalmente real e Q(ζ3)|Q e totalmente imaginaria.

Observacao 23. E possıvel verificar que se ζn e uma raiz n-esima primitiva da unidade, entaoi) [Q(ζn) : Q] = ϕ(n), onde ϕ e a funcao de Euler e [ : ] denota o grau da extensao..ii) O anel de inteiros de Q(ζn) sobre Z e Z[ζn] e uma Z-base de Z[ζn] e {1,ζn, . . . ,ζ

ϕ(n)−1n }.

iii) Q(ζn +ζ−1n ) e totalmente real e [Q(ζn) : Q(ζn +ζ−1

n )] = 2.

Teorema 24. Sejam n ∈ N;n > 2 e K=Q(ζn), onde ζn e uma raiz n-esima primitiva da unidade.

Se n =r

∏j=1

pa jj , onde p j sao primos distintos e a j ∈ N∗, entao o discriminante de K sobre Q e

dado por

Disc(K|Q) =(−1)

ϕ(n)r2 nϕ(n)

r

∏j=1

pϕ(n)p j−1

j

,

onde ϕ e a funcao de Euler.

No que segue, apresentamos algumas definicoes com o intuito de caracterizar um OK-reticulado.

Definicao 25. Um corpo de numeros K e chamado de CM se existe um corpo de numeros total-mente real F tal que K e uma extensao quadratica totalmente imaginaria de F.

Exemplo 26. O corpo de numeros Q(√

2,ζ3) e um CM-corpo, pois Q(√

2,ζ3)|Q(√

2) e total-mente imaginaria com [Q(

√2,ζ3) : Q(

√2)] = 2 e Q(

√2)|Q e totalmente real.

Definicao 27. Seja K um corpo de numeros e OK o seu anel de inteiros. O conjunto

D(K|Q)−1 = {x ∈K;∀α ∈ OK,TrK|Q(xα) ∈ Z}

e um ideal fracionario de OK, chamado de codiferente. O seu ideal inverso D(K|Q) e um idealinteiro de OK, chamado de diferente.




102


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Exemplo 28. Sejam K = Q,L = Q(√

d), onde d e um inteiro livre de quadrados e d ≡ 2 ou3 (mod 4). Sabemos que OL = Z[

√d] = {x+ y

√d;x,y ∈ Z} e o anel de inteiros de L sobre Z.

Temos que

D(L|K)−1 =1

2√

dZ[√

d].

De fato:

i) Se x ∈ 12√

dZ[√

d], entao x =1

2√

d(a+b

√d);a,b ∈ Z. Dado y = c+ e

√d ∈ OL,

TrL|K(xy) = TrL|K

((1

2√

d(a+b

√d))(c+ e

√d))

= TrL|K

(1

2√

dac+

ae2+

bc2+

be√

d2

)= ae+bc ∈ Z.

Assim, x ∈D(L|K)−1. Logo1

2√

dZ[√

d]⊂D(L|K)−1.

ii) Se x = a+ b√

d ∈ D(L|K)−1, entao a,b ∈ Q,x ∈ L e TrL|K(xy) ∈ Z,∀y ∈ Z[√

d]. Tomandoy = 1,

TrL|K(xy) = TrL|K(a+b√

d) = 2a ∈ Z.

Assim, a =m2

;m ∈ Z. Tomando y =√

d,

TrL|K(xy) = Tr(a√

d +bd) = 2db ∈ Z.

Assim, b =n

2d;n ∈ Z. Logo x =

m2+

n2d

√d =

12√

d(n+m

√d) ∈ 1

2√

dZ[√

d]. Desta forma

D(L|K)−1 ⊂ 12√

dZ[√

d].

Portanto, de (i) e (ii) segue a igualdade D(L|K)−1 =1

2√

dZ[√

d].

Proposicao 29. Sejam K um corpo de numeros totalmente real ou um CM-corpo, φ : K→ K aconjugacao complexa, F o corpo fixo por φ, I um ideal fracionario nao nulo de OK e α ∈ F talque αI φ(I )⊂D(K|Q)−1. Seja

bα : I × I → Z(x,y) 7→ TrK|Q(αxφ(y)).

Temos que bα esta bem definida e e uma forma bilinear simetrica.

Definicao 30. Com as mesmas hipoteses da Proposicao (29), dizemos que o par (I ,bα) e umreticulado ideal ou um OK-reticulado.

Definicao 31. Dizemos que o reticulado ideal (I ,bα) e par se bα(x,x) e um numero par paratodo x ∈ I , caso contrario, dizemos que e ımpar.




103


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Exemplo 32. Sejam K=Q(√

2) e seu anel de inteiros OK = Z[√

2]. Considere a forma bilinear

b : Z[√

2]×Z[√

2] → Z(x,y) 7→ TrK|Q(xy)

O reticulado ideal (OK,b) e par, pois para todo x= a+b√

2∈OK, temos que b(x,x)=TrK|Q(xx)=TrK|Q((a+b

√2)2) = TrK|Q(a2 +2b2 +2ab

√2) = 2(a2 +2b2) ∈ 2Z.

4 Teorema de Kummer

Os aneis de Dedekind formam uma classe muito importante de aneis dentro da AlgebraComutativa. Nestes aneis todo ideal pode ser expresso de forma unica, a menos da ordem, comoum produto de ideais primos distintos. Nesta secao vamos apresentar alguns resultados sobrefatoracao de ideais e o Teorema de Kummer que sera utilizado na fatoracao dos ideais primos aolongo da construcao do reticulado E8. Para isso consideremos A um domınio de Dedekind, K seucorpo de fracoes, L uma extensao separavel de K de grau n, OL o anel dos inteiros de L sobre A .A demonstracao dos resultados apresentados aqui podem ser encontradas em Samuel (1970).

Seja p um ideal primo de A . Como A e um anel de Dedekind, segue que OL tambem eum anel de Dedekind e portanto a fatoracao de pOL e dada por

pOL =g

∏i=1

qeii , (1)

onde os qi’s sao ideais primos de OL e ei ∈ N. Nosso objetivo e caracterizar esta decomposicao.Definindo o homomorfismo ϕi : A→OL/q〉 por ϕi(x) = x+qi, temos ker(ϕi) = p e, entao,

A/p pode ser identificado com um subanel de OL/qi. Como ambos aneis quocientes sao corpose OL e um A-modulo finitamente gerado, entao OL/qi e um espaco vetorial de dimensao finitasobre A/p.

Definicao 33. Denotamos a dimensao de OL/qi sobre A/p por fi denominando-a de grau deinercia de qi sobre A. O ındice ei da equacao (1) e chamado de grau de ramificacao de qi sobreA.

Definicao 34. Seja p um ideal primo de A , pOL =g

∏i=1

qeii a fatoracao de pOL em um produto de

ideais primos de OL. Dizemos que o ideal p de A e:i) totalmente decomposto em L (ou em OL), quando ei = fi = 1, para todo ideal primo qi queesta acima de p.ii) inerte em L (ou em OL), quando ei = 1, e fi = n para todo ideal primo qi que esta acima de p.iii) totalmente ramificado em L (ou em OL), quando ei = n e fi = 1, para todo ideal primo qi queesta acima de p.iv) ramificado em L (ou em OL), se existir um ideal primo qi de OL que esta acima de p tal queei > 1 para algum i.




104


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Definicao 35. Sejam A um anel e f (x) =n

∑i=1

aixi ∈ A[x]. Denotamos por f (x) o polinomio

n

∑i=1

(ai +p)xi ∈ (A/p)[x], onde p e um ideal primo nao nulo de A.

Proposicao 36. Sejam OL o anel de inteiros de L sobre A tal que OL = A [β], para algum β ∈ Le p um ideal primo nao nulo de A . Se f (x) = minKβ e o polinomio minimal de β sobre K ef1(x), · · · , fr(x) sao polinomios monicos em A [x], tal que a fatoracao de f (x) em polinomiosirredutıveis distintos em (A/p)[x] seja dada por

f (x) = f e11 (x) · · · f er

r (x)

entao os ideais primos, dois a dois distintos, q1 · · · ,qr de OL, que estao acima de p satisfazem

OL/q j ∼= (A/p)[β j],

onde β j e uma raiz de f (x). Alem disso, f (q j/p) = grau( f j), para j = 1, · · · ,r.

Teorema 37. (Kummer) Nas condicoes da Proposicao (36), se f (x)= f e11 (x) · · · f er

r (x) e a fatoracaode f (x) em polinomios irredutıveis em A/p[x], entao

pOL = qe11 · · ·qer

r , ondeq j = pOL+ f j(β)OL, para j = 1, · · · ,r,e(q j/p) = e j, para j = 1, · · · ,r ef (q j/p) =grau( f j(x)), para j = 1, · · · ,r.

Exemplo 38. Se L = Q(√−17), entao OL = Z[

√−17] e f (x) = x2 +17 e o polinomio minimal

de√−17 sobre Q. Queremos fatorar os ideais 2OL e 3OL em produto de ideais primos de OL.

Para o ideal 2OL, comox2 +17≡ (x+1)2 (mod (Z/2Z)[x]),

segue quef 1(x) = x+1, e1 = 2, e q1 = 2OL+(1+

√−17)OL.

Portanto, 2OL = q21. Para o ideal 3OL, como

x2 +17≡ (x+1)(x−1) (mod (Z/3Z)[x]),

segue que

f 1(x) = x+1, f 2(x) = x−1, e1 = e2 = 1,q1 = 3OL+1(

√−17)OL e q2 = 3OL+(1−

√−17)OL.

Portanto, 3OL = q1q2·

Os resultados que seguem serao usados para na Secao 5, em que apresentamos a construcaodo reticulado E8.




105


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Definicao 39. Sejam p um ideal primo de um anel de Dedekind A , K o corpo de fracoes de A , eL um extensao de K. Para cada ideal primo q de OL satisfazendo q∩A = p, o conjunto

DL(q/p) = {σ ∈ G ; σ(q) = q}

e um subgrupo de G =Gal(L|K), chamado de grupo de decomposicao de q com relacao ao idealp.

Definicao 40. Definimos Op(t) = r, para p, t ∈ Z e r ∈ Z+ como sendo a ordem de t modulo p,ou seja, r e menor potencia de t tal que tr ≡ 1 (mod p).

Proposicao 41. Sejam n = pkt, k≥ 1 tal que p nao divide t, p primo, L=Q(ζn), K=Q(ζt) e σ

a conjugacao complexa. Nestas condicoes segue que:i) Se σ ∈ DL(p), entao σ ∈ DK(p).ii) Se σ ∈ DK(p), entao Ot(p)≡ 0 (mod 2).iii) Se Ot(p)≡ 1 (mod 2), entao σ /∈ DL(p).

Teorema 42. Se A e um anel de Dedekind, K seu corpo de fracoes e L uma extensao finita deK, entao

N(D(L|K)) = |Disc(L|K)|,

onde Disc(L|K) e o discriminante de L sobre K e N e a norma algebrica.

Proposicao 43. Sejam K um corpo de numeros tal que K e totalmente real ou um CM-corpo, OK

seu anel de inteiros e φ :K→K a sua conjugacao complexa. Se existe γ∈OK tal que γ+φ(γ) = 1,entao todo OK-reticulado e par.

Teorema 44. Seja I um ideal fracionario nao nulo de OK. Se (I ,bα) e um reticulado ideal, entao

det(bα) = NK|Q(I)2NK|Q(α)|Disc(K|Q)|.

Proposicao 45. Se K e um corpo de numeros tal que K e totalmente real ou e uma extensao total-mente imaginaria de F, de grau 2, entao existe um OK- reticulado do tipo traco com determinanted se, e somente se, existem ideais I ,J de OK tal que N(J ) = d e D(K|Q) = J I I .

Proposicao 46. Se K e um corpo de numeros tal que K e totalmente real ou e uma extensaototalmente imaginaria de F, de grau 2, entao existe um OK reticulado unimodular do tipo tracose, e somente se, existe um ideal I de OK tal que D(K|Q) = I I .

Proposicao 47. Se n ∈ N e tal que n 6= 2m, para algum m ∈ Z, m ımpar, entao os unicos ideaisprimos de Z que se ramificam em Z[ζn] sao da forma p=< p >, onde p e primo e p divide n.

Proposicao 48. Seja D(L|K) =r

∏i=1

qsii , onde qi’s sao ideais primos de OL e si ≥ 0 sao inteiros.

Para todo i = 1, · · · ,r, seja pi = qi ∩A . Se piOL =

(k

∏j=1

ra jj

)qei

i e a fatoracao de piOL em um

produto de ideais de OL, entao si ≥ ei−1, para i = 1, · · · ,n.




106


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

5 O reticulado E8 via Q(ζ20)

Vamos mostrar que escolhendo adequadamente um ideal fracionario I de Q(ζ20) o reti-culado ideal obtido (I,b) de dimensao 8 possui a mesma paridade e o mesmo determinante doreticulado E8, podendo assim ser identificado com o E8.

Para tanto, seja K=Q(ζ20) o 20-esimo corpo ciclotomico. Temos que

[K : Q] = ϕ(20) = ϕ(22 ·5) = ϕ(22)ϕ(5) = 1 ·21 ·4 ·50 = 8.

Vamos fatorar o diferente D(K|Q). Como 2 e 5 sao os unicos primos que dividem 20.Pela Proposicao (47), segue que os ideais gerados por 2 e 5, respectivamente, sao os unicos ideaisprimos de Z que se ramificam em Z[ζ20].

Como φ20(x) = x8−x6+x4−x2+1=minQζ20, segue que φ20(x) = (1+x+x2+x3+x4)2

(mod Z2[x]) e φ20(x) = (2+ x)4(3+ x)4 (mod Z5[x]). Assim, pelo Teorema (37),

2Z[ζ20] = q2, onde q=< 2,1+ζ20 +ζ220 +ζ3

20 +ζ420 > e

5Z[ζ20] = s4r4, onde s=< 5,2+ζ20 > e r=< 5,3+ζ20 >.

Assim, os unicos ideais primos e Z[ζ20] que se ramificam sao q, s e r, sendo estes osunicos ideais primos de Z[ζ20] que dividem o diferente D(K|Q). Logo, pela Proposicao (48),segue que D(K|Q) = qqssrr, onde q≥ 1, r,s≥ 3.

Temos que 28 = |NK/Q(2)| = N(q)2 e, assim, N(q) = 24. Agora, como O4(5) = 1 ≡1 (mod 2), pela Proposicao (41), segue que r 6= r. Logo r = s e, assim, N(r) = N(s). Destaforma,

57 = |NK/Q(5)|= N(s)4N(r)4 = N(s)8,

o que implica que N(r) = N(s) = 5.Pelo Teorema (42), N(D(K|Q)) = |Disc(K|Q)|= 2856. Assim,

N(q)qN(r)rN(s)s = 2856,

o que implica que q = 2 e r = s = 3. Portanto,

D(K|Q) = q2r3s3.

Como r= s e q= q, podemos escrever

D(K|Q) = q2r3s3 = qr3qr3 = (qr3)(qr3).

Como o diferente se fatora desta forma, pelo Corolario (46), segue que existe um OK-reticuladounimodular do tipo traco. Seja I= r−3q−1. Considere a aplicacao:

b : I×I −→ Z(x,y) 7−→ TrK|Q(xy)

Tomando γ = ζ220−ζ4

20 ∈ Z[ζ20] e ζ20 = ζ, temos que




107


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

γ+ γ = ζ2−ζ

4 +ζ2−ζ4 = ζ2−ζ

4 +ζ18−ζ

16 = ζ8−ζ

6 +ζ4 +1−ζ

4 +ζ18−ζ

16

= ζ8−ζ

6 +1+ζ8ζ

10−ζ6ζ

10 = ζ8−ζ

6 +1−ζ8 +ζ

6 = 1.

Assim, pela Proposicao (43), segue que o OK-reticulado e par. Agora, pelo Teorema (44),

det(b) = N(I)2|Disc(K|Q)|= (5−32−4)22856 = 1.

Portanto, (I,b) e um OK-reticulado par e com determinante 1. Como E8 e o unico reticulado uni-modular e par em sua dimensao (CONWAY, SLOANE, 1988), concluımos que (I,b) e isomorfoao reticulado E8.

6 Consideracoes Finais

Neste trabalho foi apresentado uma maneira de se construir o reticulado E8 via corposciclotomicos, porem existem outras maneiras de se construir o reticulado E8 que nao abordamosaqui.

Em 1948, Shannon descobriu que alguns problemas na area de codigos possuem propri-edades interessantes no que diz respeito a reticulados. Sempre que transmitimos informacoes,ha uma possibilidade da mensagem recebida ser diferente da mensagem enviada. Visando cons-truir bons codigos para recuperar a mensagem enviada ao receptor, usa-se reticulados com boadensidade de empacotamento.

7 Referencias

[1] BAYER-FLUCKIGER, E. Definite unimodular lattices having an automorphism of given cha-racteristic polynomia. Commentarii Mathematici Helvetici. v. 59, p. 509-538, 1984.

[2] BAYER-FLUCKIGER, E. Lattices and number fields. Contemporary Mathematics. v. 241,p. 69-84, 1999.

[3] BOUTROS, J. et al. Good lattice constellations for both Rayleigh fading and Gaussian chan-nels. IEEE Transactions on Information Theory, v. 42, n. 2, p. 502-518, 1996.

[4] CONWAY, J. H.; SLOANE, N. J. A. Sphere packings, lattices and groups. New York:Springer-Verlag, 1988.

[5] SAMUEL, P. Algebraic theory of numbers. Paris: Hermann, 1970.

[6] STEWART, I. N.; TALL, D. O. Algebraic number theory. 2. ed. London: Chapman & Hall,1987.

[7] SHANNON, C. E. A Mathematical Theory of Communications. The Bell System TechnicalJournal, v. 27, p. 379-423, 623-656, 1948.

[8] WASHINGTON, L. C. Introduction to cyclotomic fields. New York: Springer-Verlag, 1982.




108


Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

ISSN 2316-9664

Volume 7, dez. 2016

Edição ERMAC

Vitória Castro Santos Barreto

Faculdade de Tecnologia de

Botucatu - FATEC

[email protected]

Gislaine Cristina Batistela

UNESP – Departamento de

Engenharia de Produção

[email protected]

Monica Regina Gaiotto

Faculdade de Tecnologia de

Botucatu - FATEC

[email protected]

Danilo Simões

UNESP – Departamento de

Engenharia de Produção

[email protected]

Regressão linear múltipla aplicada ao preço do

leite

Multiple linear regression applied to the milk price

Resumo

Os laticínios passaram a remunerar os produtores não só pela

quantidade de leite entregue, mas também pela qualidade

apresentada pelo produto. As principais variáveis que compõem

a qualidade microbiológica do leite e impactam no preço são:

estrato sólido total (EST), contagem de célula somática (CCS) e

contagem bacteriana total (CBT).O objetivo deste trabalho foi

avaliar a relação dessas variáveis com o preço do leite cru pago

ao produtor. Para ponderar quais são as que mais impactam no

preço do leite, utilizou-se o modelo de regressão linear múltipla.

A estimação dos parâmetros foi realizada pelo método dos

mínimos quadrados utilizando os softwares SAS e R. As

discrepâncias entre os dados observados de produtores de um

laticínio do Estado de São Paulo e os valores ajustados pelo

modelo foram analisadas. Os resultados permitem concluir que

o modelo matemático é adequado para estimar o preço do leite

recebido pelos produtores. Verificou-se ainda que à medida que

o estrato sólido aumenta, o preço do leite sobe. As variáveis

quantidade de leite fornecida e contagem bacteriana

apresentaram uma variabilidade alta, ao passo que as variáveis

estrato sólido, contagem de célula somática e o preço médio do

leite pago aos produtores apresentaram uma variação pequena

em relação as médias obtidas.

Palavras-chave: Modelo matemático. Contagem bacteriana

total. Contagem de célula somática. Estrato de sólido total.

Preço do leite.

Abstract

The dairy remunerates the producers not only by the quantity of

milk delivered, but also by the quality of the product. The main

variables in respect to the microbiological quality and to the

impact in the price of milk are: Total Solid Stratum, Somatic

Cells and Total of Bacterial. The objective of this work was

evaluate the relationship of these variables with the price of raw

milk paid to producers. To verify the main variables that impact

the milk price, the multiple linear regression model was used.

The parameter estimation was carried out by the least-squares

method using the SAS and R softwares. The discrepancies

between the data observed in respect to producers of a dairy of

São Paulo State and the values fitted by the model was

analyzed. The results showed that the mathematical model is

convenient to estimate the price of milk. It was also observed

that when the Solid Stratum increases, the price of milk grows.

The variables amount of milk and bacterias showed high

variabilities. The variables Solid Stratum, Somatic Cells and the

average price of milk paid to producers showed small variations

in relation to the averages obtained.

Keywords: Mathematical model. Total bacterial count. Somatic

cell count. Total solid stratrum. Price and quality of milk.

BARRETO, V. C. S. et al. Regressão linear múltipla aplicada ao preço do leite. C.Q.D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 7, p. 109-118,

dez. 2016. Edição ERMAC.

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664vcsbgcbmrgds109118 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

110

1 Introdução

O leite é considerado um dos alimentos mais completos da atualidade, por conta das

inúmeras substâncias que proporcionam nutrientes importantes e boa qualidade de vida ao

consumidor. De acordo com Carvalho et al. (2002), além de seu valor nutricional, o leite está

entre os seis produtos mais importantes da agropecuária brasileira e tem grande contribuição

social com a geração de empregos.

Em quase todos os países, segundo normas regulamentares, a qualidade do leite é

composta, em função das características físico-químicas, sensoriais e microbiológicas

(BRITO; BRITO, 1998)

Segundo Nightingale et al. (2008) os laticínios passaram a remunerar os produtores não só

pelo volume de leite cru entregue, mas também pela qualidade microbiológica deste. Esta

forma de pagamento estimula os produtores a buscarem a melhoria contínua da qualidade do

leite cru, seja por meio da genética, nutrição ou manejo.

Basicamente, o leite é uma combinação de elementos sólidos e água. As principais

variáveis que compõem a qualidade microbiológica do leite e impactam no preço são: estrato

sólido total (EST), contagem de célula somática (CCS) e contagem bacteriana total (CBT). O

produto com baixa CBT, baixa CCS e com alta taxa de EST é o melhor remunerado

(LACERDA; MOTA; SENA, 2010).

O estrato sólido total consiste na medição dos elementos sólidos do leite, cujos principais

componentes são: lipídios (gordura), carboidratos, proteínas, sais minerais e vitaminas. Esses

elementos, suas distribuições e interações são determinantes para as propriedades funcionais e

a qualidade do leite cru fornecido pelos produtores aos laticínios (VIEIRA; FREITAS, 2006).

Segundo Machado e Pereira (1998), a contagem de células somáticas é um fator que afeta

diretamente a qualidade do leite cru, porque tais células são estruturas de defesa do organismo

do animal e no momento em que o úbere da vaca sofre uma invasão bacteriana, essas

estruturas são “enviadas às glândulas mamárias” a fim de destruir as bactérias. Desta forma, a

contagem de células somáticas reflete o estado de saúde do úbere da vaca.

A contagem bacteriana total contempla a contagem do número de bactérias contidas no

leite cru, a qual é considerada uma indicação muito importante, pois expressa as condições

gerais de higiene da ordenhadeira mecânica, dos utensílios utilizados pelo produtor, bem

como a refrigeração do leite cru (ALMEIDA, 2013).

Para o estudo das variáveis que mais impactam no preço do leite cru pago ao produtor,

pode-se utilizar a análise de regressão linear múltipla, que é uma metodologia estatística

empregada para a previsão de valores, por meio de um modelo matemático que descreva o

comportamento de uma variável resposta (ou variável dependente) com base nos valores de

uma ou mais variáveis explicativas (ou variáveis independentes).

De acordo com Sassi et al. (2011), esta metodologia descreve a relação matemática

existente entre a variável resposta e as variáveis explicativas e pode reduzir o número de

variáveis com o mínimo de perda de informação, permitindo detectar padrões de similaridade,

associação e correlação entre as variáveis do estudo.

Neste sentido, objetivou-se estudar o relacionamento entre as variáveis microbiológicas

tais como, EST, CCS e CBT e o preço do leite cru recebido pelo produtor, por meio da

técnica de análise de regressão linear múltipla.

2 Material e métodos




111

Para a construção do modelo matemático foram consideradas informações provenientes de

31 produtores que integram uma linha de transporte de leite, pertencente a um laticínio do

Estado de São Paulo, registradas no período de abril de 2014 a março de 2015.

Inicialmente, realizou-se uma análise estatística descritiva dos dados para compreender o

comportamento individual de cada variável em estudo. As variáveis ponderadas para

construção do modelo de regressão linear múltipla foram: preço do leite cru recebido pelo

produtor (R$/litro), quantidade de leite cru entregue pelo produtor (qde) (litros); estrato sólido

total (EST) (gramas/100ml); contagem de célula somática (CCS) (células/ml) e contagem

bacteriana total (CBT) (colônias/ml).

Em seguida, conforme a descrição de Gazola (2002), Paula (2004), Cordeiro e Lima Neto

(2006), Montgomery e Runger (2008), Helene (2013) e Morettin e Bussab (2012),

estabeleceu-se a construção do modelo matemático de regressão linear múltipla juntamente

com a análise de diagnóstico do modelo.

A regressão linear múltipla é uma técnica estatística utilizada quando se deseja analisar o

comportamento de uma variável resposta em relação a outras variáveis que são responsáveis

pela variabilidade das observações. Destarte, assume-se que há uma relação linear entre a

variável resposta e as k variáveis explicativas (CORRAR; PAULO; DIAS FILHO, 2007).

De acordo com Gazola (2002), um dos objetivos da análise de regressão linear múltipla é

desenvolver uma equação (ou modelo matemático) que permita ao pesquisador estimar

respostas de uma variável, considerando os valores de várias variáveis explicativas.

O modelo matemático de uma regressão linear múltipla com variáveis explicativas e

observações é expresso por:

em que:

representa a variável resposta, para ;

denotam as variáveis explicativas, para ;

denotam os parâmetros do modelo (ou coeficientes de regressão) a serem estimados;

são os erros aleatórios do modelo supostos independentes e normalmente distribuídos de

média zero e variância .

O parâmetro representa a variação esperada na resposta por unidade de variação em

, quando todas as outras variáveis explicativas forem mantidas constantes

(MONTGOMERY; RUNGER, 2008).

No ajuste de um modelo de regressão linear múltipla, é mais conveniente expressar as

operações matemáticas usando a notação matricial. Considerando o modelo expresso em (1),

a representação matricial é dada por:

com:

, , e .

Conforme preconiza Gazola (2002), os coeficientes de regressão podem ser estimados por

vários métodos, sendo que um dos mais utilizados é o Método dos Mínimos Quadrados

(MMQ). Neste estudo, conforme desenvolvido em Morettin e Bussab (2012), a estimação dos

parâmetros do modelo de regressão linear múltipla foi realizada pelo MMQ.

De acordo com Helene (2013), o MMQ fundamenta-se em minimizar o erro quadrático

médio das medidas, ou seja, consiste em encontrar estimadores para os parâmetros de forma




112

que a soma dos quadrados dos desvios entre os valores estimados pelo modelo e os valores

observados seja a menor possível.

Um dos critérios utilizados para analisar e comparar os modelos é o coeficiente de

determinação múltipla , que representa a proporção da variação explicada pelo modelo

regressão, ou seja, é uma medida de qualidade de ajuste do modelo aos dados sendo calculada

por:

em que:

é a soma de quadrados da regressão;

é a soma de quadrados dos erros;

é a soma de quadrados total.

O valor de tem variação entre 0 e 1 e quanto mais próximo de 1 melhor é o ajuste do

modelo, ou seja, quanto maior , mais a variação total de é reduzida pelo uso de variáveis

explicativas (MONTGOMERY; RUNGER, 2008).

No entendimento de Gazola (2002), na regressão linear múltipla o coeficiente de

determinação tende a aumentar à medida que mais variáveis explicativas são adicionadas

ao modelo, independente da variável adicional ser ou não estatisticamente significativa. Este

fato leva a um coeficiente que não mede mais a real explicação da variável resposta .

De acordo com Montgomery e Runger (2008), existe uma medida que corrige o

coeficiente de determinação pela quantidade de variáveis independentes do modelo,

denominado coeficiente de determinação ajustado expresso por:

com , isto é, p indica o número de variáveis explicativas mais a constante.

Para avaliar a qualidade do ajuste do modelo verificou-se a possível inadequação das

suposições iniciais, a presença de observações mal ajustadas (pontos aberrantes) e influentes

utilizando técnicas de diagnóstico (NIGHTINGALE et al. 2008).

Para identificar os pontos de alavanca utilizou-se a matriz de projeção ortogonal de

vetores do no subespaço gerado pelas colunas da matriz , denotada pela matriz

, a qual é uma matriz simétrica e idempotente.

Segundo Cordeiro e Lima Neto (2006), uma característica muito importante da matriz é

inerente aos elementos da sua diagonal, em que o elemento mede o quão distante a

observação , está das demais observações no espaço definido pelas variáveis

explicativas, isto é, da matriz e não envolve as observações em .

O elemento representa uma medida de alavancagem da i-ésima observação. Se

, os valores das variáveis explicativas associados a i-ésima observação são atípicos,

ou seja, estão distantes do vetor de valores médios das variáveis explicativas. Uma

observação com , poderá ter influência na determinação dos coeficientes da regressão

(PAULA, 2004; CORDEIRO; LIMA NETO, 2006).

Segundo Montgomery e Runger (2008), um excelente método para detectar observações

influentes é a medida da distância desenvolvida por Dennis R. Cook. A distância de Cook é a

medida da distância ao quadrado entre a estimativa usual de mínimos quadrados de ,

baseada em todas observações, e a estimativa obtida quando o j-ésimo ponto for removido,

denotado por . A medida da distância de Cook é definida por:




113

sendo que é a estimativa da variância do erro, com .

Desta forma, um grande valor de indica que o j-ésimo ponto exerce influência, ou seja,

o j-ésimo ponto é um ponto aberrante (PAULA, 2004).

A análise de resíduos é uma das técnicas de diagnóstico do modelo muito utilizada. O

resíduo para a i-ésima observação é obtido por meio da função , que calcula a

diferença entre o valor observado e o valor ajustado , denominado de resíduo

ordinário da variável resposta do modelo. Os resíduos ordinários não são muito informativos,

por não apresentar variância constante , pois depende dos valores

(PAULA, 2004; CORDEIRO; LIMA NETO, 2006). A solução é comparar os resíduos de

forma padronizada, que é obtido pela expressão:

Caso o modelo de regressão esteja correto o conjunto de resíduos terão a mesma variância

e serão adequados para a verificação de normalidade e homocedasticidade (variância

constante) dos erros. As observações que possuírem os valores absolutos dos resíduos

padronizados maiores que dois poderão ser considerados pontos aberrantes.

Segundo Cordeiro e Lima Neto (2006), como resíduo de cada observação não é

independente da variância estimada, não se obtém uma distribuição t-Student, como será

esperado. O problema da dependência entre e pode ser contornado substituindo por

, o erro quadrático médio correspondente ao modelo sem a i-ésima observação. O índice

indica que a i-ésima observação foi excluída. A expressão do resíduo Studentizado é dada

por:

em que tem distribuição t-Student com graus de liberdade.

Os resíduos Studentizado definidos na Equação (7) têm a grande vantagem de serem

obtidos diretamente da regressão original com todas as observações.

3 Resultados

A Tabela 1 fornece as medidas descritivas das variáveis utilizadas para modelar o preço do

leite pago ao produtor. Observa-se que o preço médio do leite pago aos produtores foi de

1,091 reais por litro com coeficiente de variação de 0,677%, o que indica uma variação muito

pequena, com o valor mínimo de 1,076 reais por litro e valor máximo de 1,107 reais por litro.

Tabela 1 - Média, Mediana, Máximo, Mínimo, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação das

variáveis estudadas.

Variáveis

Medida Preço Qde EST CCS CBT

Média 1,091 8.971,675 12,114 427.231 164.384

Mediana 1,088 5.182,750 12,111 430.167 176.000

Min. 1,076 594,000 11,574 345.250 68.833

Máx. 1,107 63.912,500 12,572 476.250 415.500

D.P 0,007 11.859,676 0,259 26,685 69,994

C.V. (%) 0,677 132,190 2,141 6,246 42,580




114

A quantidade de leite cru fornecida pelos produtores ao laticínio foi em média 8.971,675

litros, sendo que o mínimo foi de 594 litros e o máximo foi de 63.912,5. O coeficiente de

variação foi de 132,190% indicando variabilidade muito alta.

O estrato sólido total apresentado pelo leite cru fornecido foi em média 12,114

gramas/100ml, com o valor mínimo de 11,574 e o máximo de 12,572. O coeficiente de

variação resultou em 2,141% demonstrando uma variação baixa.

A contagem de célula somática do leite cru foi em média 427.231 células/ml,

apresentando um coeficiente de variação de 6,246%, que retrata uma variação pequena, com

valor mínimo de 68.833 e máximo de 415.500.

A contagem bacteriana total denota em média 164.384 colônias/ml, retratando um valor

mínimo de 68.833 e máximo de 415.500. O coeficiente de variação sucedeu em 42,580% que

manifesta uma variação alta.

Resultado semelhante foi relatado por Nascimento et al. (2015) que observou o valor

médio da variável estrato sólido total em 12,49 gramas/100ml, já a média da contagem de

célula somática e contagem bacteriana total apresentam valores discrepantes aos encontrados

no presente estudo, apontados em 617.480 células/ml e 934.960 colônias/ml respectivamente.

Na Figura 1 é apresentado o gráfico boxplot para as variáveis em estudo. Constata-se que

para a variável EST (Figura 1 (c)) não foi detectado valor discrepante (outlier) e, visualmente,

tem distribuição simétrica, a qual pode ser confirmada pelos valores da média e mediana

(Tabela 1).

1,0

75

1,0

85

1,0

95

1,1

05

Preço do leite(a)

010000

30000

50000

Quantidade de leite(b)

11,6

11,8

12,0

12,2

12,4

12,6

EST(c)

360

380

400

420

440

460

480

CCS

(d)

100

150

200

250

300

350

400

CBT

(e) Figura 1 - Gráfico boxplot para as variáveis: (a) preço do leite cru pago ao produtor; (b) quantidade de leite cru

fornecida pelo produtor; (c) EST; (d) CCS; (e) CBT.




115

3.1 Construção do modelo

Inicialmente, estuda-se a relação de cada variável explicativa com a variável resposta por

meio do coeficiente de correlação linear de Pearson. Considerando o nível de significância de

5%, verifica-se que os valores da correlação evidenciam uma forte relação entre as variáveis e

são estatisticamente significativas (valores p < 0,05).

Ajusta-se o modelo de regressão múltipla com as variáveis: preço (preço do leite pago ao

produtor), qde (quantidade de leite cru entregue pelos produtores), EST (estrato sólido total),

CCS (contagem de célula somática) e CBT (contagem bacteriana total), com o interesse de

explicar o preço do leite em função das variáveis: quantidade, EST, CCS e CBT.

O modelo inicial proposto é expresso por:

sendo que denota o preço do leite cru pago para o i-ésimo produtor, com ,

são os parâmetros do modelo a serem estimados (coeficientes de regressão) e i

são os erros

aleatórios.

Na Tabela 2 encontram-se as estimativas dos parâmetros do modelo de regressão ajustado.

Tabela 2 - Estimativa dos parâmetros.

Parâmetro Estimativa Erro Padrão Valor p

1,021 2,917x10-2 < 0,05

8,671x10-8 4,647x10-8 > 0,05

9,434x10-3 2,167x10-3 < 0,05

-8,723x10-5 2,000x10-5 < 0,05

-4,803x10-5 8,049x10-6 < 0,05

Pela Tabela 2 verifica-se que as estimativas dos parâmetros , , e foram

estaticamente significativas (p < 0,05) e a estimativa do parâmetro não foi estatisticamente

significativa (p = 0,073). Isto significa que a variável quantidade de leite cru entregue pelos

produtores foi eliminada do modelo.

O coeficiente de determinação ajustado, , é de 0,882, ou seja, 88,2% da variação no

preço do leite pode ser explicada pela variação nas taxas de CBT, CCS e EST.

3.2Análise de diagnóstico do modelo

Para avaliar a qualidade do modelo de regressão ajustado realiza-se a verificação de

possíveis afastamentos das suposições feitas para o modelo, bem como a existência de

observações discrepantes com alguma interferência desproporcional ou inferencial nos

resultados do ajuste.

A Figura 2 mostra os gráficos de diagnóstico do modelo. Observa-se que os produtores 6,

9 e 13 estão localizados em regiões remotas no subespaço gerado pelas colunas da matriz ,

ou seja, se destacam como pontos de alavanca (Figura 2 (a)) e como pontos influentes (Figura

2 (b)). Pelos gráficos da Figura 2 (b) e (c) nota-se que o produtor 18 é respectivamente um

ponto influente e aberrante. Verifica-se, pela Figura 2 (c) e (d), que não existe padrão na

relação entre os resíduos e os valores do preço do leite pago ao produtor ajustado, indicando

que a suposição de homoscedasticidade não está violada.




116

Figura 2 - Gráficos de diagnóstico referentes ao modelo ajustado

Na Figura 3 constata-se, pelo gráfico de envelope, que não há indícios fortes de

afastamentos da suposição de normalidade para os erros, ou seja, nota-se uma boa

acomodação dos pontos dentro das bandas do envelope gerado para o modelo ajustado.

-2 -1 0 1 2

-3-2

-10

12

3

Percentil da N(0,1)

Resid

uo S

tudentizado

Figura 3 - Gráfico normal de probabilidade.

Desta forma, conclui-se que o modelo de regressão múltipla estimado é apropriado para

estimar o preço do leite cru pago aos produtores.




117

4 Conclusão

Utilizando o modelo de regressão linear múltipla, foi feita uma análise do preço do leite

em função da variação nas variáveis: quantidade de leite cru entregue pelos produtores,

estrato sólido total (EST), contagem de célula somática (CCS) e contagem bacteriana total

(CBT). Sendo assim, as principais conclusões são:

1. O modelo matemático estimado é adequado e gera grande representatividade para

estimar o preço do leite cru recebido pelos produtores.

2. As variáveis estrato sólido total, contagem de célula somática e contagem

bacteriana total foram incluídas no modelo, enquanto que a quantidade de leite cru

entregue pelo produtor foi excluída.

3. Em relação às médias obtidas, observou-se que a variável quantidade de leite

fornecida e contagem bacteriana total apresentaram uma variabilidade alta, ao

passo que a variável estrato sólido, contagem de célula somática e o preço médio

do leite pago aos produtores apresentaram uma variação pequena.

4. Analisando os sinais dos parâmetros, identificou-se que à medida que o estrato

sólido total aumenta ocorre maior preço do leite cru, enquanto que um aumento na

contagem de célula somática e na contagem bacteriana total acarreta menor preço

do leite cru.

5. 88,2% da variação no preço do leite pode ser explicada pela variação nas taxas de

CBT, CCS e EST.

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jul. 2016.

ISSN 2316-9664Volume 7, dez. 2016

Edicao ERMAC

Leandro Bezerra de LimaCPAq-UFMS /[email protected]

Reginaldo Palazzo [email protected]

Similaridade entre a estrutura algebrica associadaa espacos projetivos e design combinatorio via

diagrama de Hasse

Similarity between the algebraic structureassociated with projective space and combinatorial

design via Hasse diagram

ResumoDesign combinatorio e uma importante estrutura combinatoriacom elevado grau de regularidade, que esta relacionada aexistencia e construcao de conjuntos de cardinalidade finita.Codificacao em espaco projetivo e uma area de pesquisa muitorecente e tem como elemento um objeto matematico compostopor todos os subespacos vetoriais de um dado espaco vetorial,chamado espaco projetivo. Munido da distancia de subespaco, oespaco projetivo torna-se um espaco metrico e assim, pode-se de-finir codigos corretores de erros nesse espaco, onde as palavrascodigos agora serao subespacos e a reuniao desses subespacosforma o codigo de subespaco. Propomos apresentar algumas si-milaridades existentes entre alguns espacos projetivos e uma es-trutura algebrica por meio do design combinatorio, com intuito,de fornecer elementos que possam ser uteis para a elaboracao econstrucao de algumas classes de codigos de subespacos.Palavras-chave: Matematica Discreta, Design Combinatorio,Espaco Projetivo, Codigos de Subespaco.

AbstractCombinatorial design is an important combinatorial structure havinga high degree of regularity and which is related to the existence andconstruction of systems of sets with finite cardinality. Projective spaceof order m over a finite field Fp, denoted by P(Fm

p ), (note that Fpm

is isomorphic to Fmp ), is the set of all the subspaces in the vector

space Fmp . The projective space endowed with the subspace distance

d(X ,Y ) = dim(X)+ dim(Y )− 2dim(X ∩Y ) is a metric space. Hence,the subspace code C with parameters (n,M,d) in the projective spaceis a subset of P(Fm

p ) with cardinality M with a subspace distance at le-ast d between any two codewords. In this paper we show the existingsimilarity between the Hasse diagram of an Abelian group consistingof the product of multiplicative finite Abelian groups Zm

p and the Hassediagram of the projective space P(Fm

p ), with the aim to provide the ele-ments that may be useful in the identification and in the construction ofgood subspaces codes.Keywords: Discrete Mathematics. Combinatorial Design. Subs-pace Code. Projective Space.

1 IntroducaoDesign combinatorio e uma importante estrutura combinatorial com elevado grau de re-

gularidade e que esta relacionada a existencia e construcao de sistemas de conjuntos de cardina-lidade finita [1]. Inicialmente, o objetivo era consolidar a teoria de modo matematicamente coe-rente, sem entretanto focar em questoes de aplicacoes praticas. Devido a diversidade e relevanciados problemas com aplicacoes praticas a inclusao ocorreu de uma forma natural. Como um exem-plo mencionamos a relacao existente entre codigos corretores de erros em espaco de Hamminge design combinatorio, onde as palavras-codigo de peso 3 do codigo de Hamming formam umsistema triplo de Steiner, [2, 3], assim como q-analogs de um codigo de peso constante no espacode Hamming e um codigo na Grassmanniana do espaco projetivo, [4, 5]. Codificacao em espacosprojetivos e uma area de pesquisa recente e tem como elemento um objeto matematico compostopor todos os subespacos vetoriais de um dado espaco vetorial, chamado espaco projetivo. Munidoda distancia de subespaco, o espaco projetivo torna-se um espaco metrico e assim, pode-se defi-nir codigos corretores de erros nesse espaco, onde as palavras-codigo agora serao subespacos e areuniao desses subespacos forma o codigo de subespaco, [6]. Codigo de subespaco e uma alter-nativa para aplicacoes em controle de erros em codificacao de rede (do ingles Network Coding),que adicionalmente a comutacao possibilita que seja realizada a codificacao em cada no, ou seja,os dados na saıda estao sujeitos a transformacoes bem definidas e pre-estabelecidas dos dados naentrada em cada no, permitindo assim, um aumento na taxa de transmissao da informacao pelarede, [6, 7]. Neste trabalho, o objetivo e evidenciar as similaridades existentes entre as estrutu-ras algebrica e do design via o diagrama de Hasse com o objetivo de construir bons codigos desubespacos, [8, 9, 10, 11].

2 Design Combinatorio

Definicao 1 Seja X 6= /0 um conjunto com v elementos e B 6= /0 uma colecao de subconjuntos dis-tintos de X com cardinalidade b. Definimos o par (X ,B) como sendo um t-design com parametros(v,k,λ ), onde 0 < k < v e λ > 0, e denotado por (v,k,λ )-design, se:

• cada bloco de B contem exatamente k elementos;

• cada par de elementos distintos de X esta contido em exatamente λ blocos.

Observacao 2 Outra notacao para a classe dos design da Definicao 1 que aparece na literaturae (v,k,λ )- BIBD (do Ingles, Balanced Incomplete Block Design).

Exemplo 1 Considere o conjunto X = {1,2,3,4,5,6,7} com B= {123,145,167,247,256,346,357}.O par (X ,B) e um (7,3,1)-BIBD, ver Fig. 1.

Proposicao 3 Se (X ,B) e um (v,k,λ )-BIBD, entao cada elemento de X pertence a r blocos,onde:

bk = rv e r(k−1) = λ (v−1). (1)

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664lblrpj119127 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/# ! /departamentos/matematica/revista-cqd/

120

Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 7, p. 119-127, dez. 2016. Edição ERMAC.LIMA, L. B.; PALAZZO JUNIOR, R. Similaridade entre a estrutura alg

´

ebrica associada a espacos projetivos e design combinatorio via diagrama de Hasse´ . C.Q.D.-´

Figura 1: Plano de Fano

Observacao 4 Na literatura tambem encontra-se a seguinte notacao para esta classe de design(v,b,r,k,λ )-BIBD, [1].

Apresentamos a seguir um resultado mais geral, valido para qualquer t-design.

Proposicao 5 Se (X ,B) e um t-design com parametros (v,k,λ ), com 0 < t < k < v e λ > 0, entaoo numero de blocos b e dado por:

b(

kt

)= λ

(vt

). (2)

Definicao 6 Um t-design (X ,B) denotado por (v,k,λ )-BIBD e dito simetrico se | X |=| B |= v =b.

Observacao 7 Da equacao (1) e da Definicao 6, pode-se concluir que se um (v,k,λ )-BIBD esimetrico, entao k = r.

Exemplo 2 Seja X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D} e B= {1234,1567,189A,1BCD,258B,269D,27AC,359C,36AB,378D,45AD,468C,479B}. Assim o par (X ,B) e um (13,4,1)-BIBD simetrico,onde b = v = 13 e r = k = 4.

Definicao 8 Um t-design com parametros (v,k,1) e definido como sendo um sistema de Steinere e denotado por S(t,v,k).

Um caso particular de sistemas de Steiner sao os sistemas triplo de Steiner com k = 3.

Definicao 9 Definimos um sistema triplo de Steiner de ordem v e denotamos por ST S(v) comosendo um sistema de Steiner com parametros S(2,v,3).

Observacao 10 Um sistema triplo de Steiner ST S(v) e um (v,3,1)-BIBD.

Uma condicao necessaria para a existencia de um sistema triplo de Steiner e apresentadaatraves da seguinte proposicao.


121


´


Proposicao 11 Uma condicao necessaria para que exista um sistema triplo de Steiner de ordemv, com v≥ 3, e que v≡ 1 mod 6 ou v≡ 3 mod 6.

3 Espacos Projetivos e Codigos de SubespacoConsiderando que todo espaco vetorial de dimensao m sobre um corpo finito Fq e isomorfo

a Fmq apresentamos a seguir algumas definicoes importantes.

Definicao 12 O espaco projetivo e definido como o conjunto de todos os subespacos vetoriaisde Fm

q e e denotado por P(Fmq ). Alem disso, o conjunto de todos os subespacos com uma dada

dimensao k e denominado Grassmanniana e denotado por G (Fmq ,k).

Observacao 13 Note que:

P(Fmq ) =

m⋃k=0

G (Fmq ,k).

Definicao 14 O numero de subespacos vetoriais de P(Fmq ) com dimensao k e dado por(

mk

)q=

k−1

∏i=0

qm−qi

qk−qi .

Definicao 15 A cardinalidade de uma Grassmanniana de P(Fmq ) com dimensao k e

| G (Fmq ,k) |=

(mk

)q.

e a cardinalidade do espaco projetivo de P(Fmq ) e

| P(Fmq ) |=

m

∑k=0

(mk

)q.

Definicao 16 Um codigo de subespaco e um conjunto nao vazio de P(Fmq ). No caso em que o

codigo de subespaco esta contido em uma Grassmanniana de ordem k, G (Fmq ,k) = {V ∈ P(Fm

q ) :dimV = k}, ou seja, todas as suas palavras-codigo possuem a mesma dimensao, sera chamadocodigo de subespaco de dimensao constante. Denotamos por d a distancia mınima do codigoC .

Definicao 17 A distancia de subespaco entre U e V e definida como:

d(U,V ) = dim(U)+dim(V )−2dim(U ∩V ), (3)

onde + e ∩ representam, respectivamente, a soma e a intersecao de subespacos.

Definicao 18 Os parametros de um codigo C ⊂ P(Fmq ) sao denotados por (m,M,d) onde n e a

dimensao do espaco projetivo, M e a cardinalidade do codigo e d a distancia mınima do codigo.Se o codigo C esta em uma Grassmanniana de dimensao k o parametro e do tipo (m,M,d,k).


122


´


Exemplo 3 Seja o espaco vetorial F32. Um exemplo interessante de codigo na Grassmanniana e o

codigo simplex C2 = {S1,S2,S3} com parametro (n,M,d,k) = (3,3,2,2), cujas palavras-codigo,ou seja, os subespacos vetoriais sao S1 = {000,011,100,111},S2 = {000,010,101,111},S3 ={000,001,110,111}.

Uma forma de interpretar a definicao de distancia de subespaco e por meio do diagrama deHasse.

Diagrama de Hasse e uma ferramenta matematica que representa graficamente qualquerconjunto finito parcialmente ordenado. No nosso contexto, e possivel construir o diagrama deHasse, visto que o espaco projetivo P(Fn

q ) com a seguinte relacao de ordem�, em que V1�V2 se,e somente se, V1 e subespaco de V2, e parcialmente ordenado. Dois subespacos estao conectadosse, e somente se, V1 e subespaco de V2 e dimV2 = dimV1 + 1 ou vice-versa. Logo, a partir dodiagrama de Hasse, podemos interpretar a distancia entre dois subespacos V1, V2 de P(Fn

q ) comoo caminho de menor distancia, geodesica, ligando V1 e V2.

Lema 19 Sejam U e V subespacos de um espaco vetorial de dimensao n. Entao a distancia emaxima, isto e, ds(U,V ) = n, se, e somente se,

1. Os subespacos U e V se intersectam em um subespaco de dimensao 0;

2. dim(U)+dim(V ) = n.

4 Relacoes entre Design Combinatorio e Espacos ProjetivosApresentamos alguns exemplos de design combinatorio que descrevem as conexoes

de algumas classes de espacos projetivos.

Exemplo 4 O design (7,3,1)-BIBD ou ST S(7), conhecido como plano de Fano, descreve asconexoes do espaco projetivo P(F3

2), ver Fig. 4.

Exemplo 5 O design (13,4,1)-BIBD descreve as conexoes do espaco projetivo P(F33).

Teorema 20 Seja q ≥ 2 uma potencia de primo e d ≥ 2 um inteiro. Entao existe um designsimetrico:

(qd+1−1

q−1,qd−1q−1

,qd−1−1

q−1)−BIBD.

Corolario 21 Para cada potencia de primo q≥ 2 e d = 2, existe um (q2 +q+1,q+1,1)-BIBDsimetrico, isto e, um plano projetivo de ordem q.

Exemplo 6 Existe um (31,6,1)-BIBD simetrico (plano projetivo de ordem 5) e um (57,8,1)-BIBDsimetrico (plano projetivo de ordem 7) cada descrevendo, respectivamente, os espacos projetivosP(F3

5) e P(F37).


123


´


Exemplo 7 O design (15,3,1)-BIBD que e um ST S(15), ou seja, um sistema de Steiner de ordem15 descreve as conexoes entre os subespacos de dimensao 1 e dimensao 2 do espaco projetivoP(F4

2).

5 Estrutura Algebrica para uma Classe de Espacos ProjetivosApresentamos uma similaridade ou compatibilizacao de espaco projetivo com uma estru-

tura algebrica atraves do diagrama de Hasse.Considere um grupo multiplicativo Cp, onde p e um numero primo, isto e, Cp =({1,2,3, ...., p−

1},�p), com �p representando o produto modulo p.

Exemplo 8 Note a similaridade, via os correspondentes diagramas de Hasse, entre o espacoprojetivo P(F2

2) e o grupo G = C2×C2 de ordem 4, onde × denota o produto direto, comoilustrado nas Fig. 2 e Fig. 3.

Figura 2: Espaco projetivo P(F22) Figura 3: Estrutura algebrica C2×C2

Exemplo 9 Novamente, note a similaridade, via os correspondentes diagramas de Hasse, entreo espaco projetivo P(F3

2) e o grupo G =C2×C2×C2 de ordem 8, Fig. 4 e Fig. 5.


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´


Figura 4: Espaco projetivo P(F32)

Figura 5: Estrutura algebrica C2×C2×C2


125


´



3) e o grupo G =C3×C3 de ordem 9, similar ao exemplo 8.


3) e o grupo G =C3×C3×C3 de ordem 27, por meio do design (13,4,1)-BIBD .

Podemos generalizar os exemplos anteriores, associando o design (q2+q+1,q+1,1)-BIBDsimetrico, q-primo com o espaco projetivo P(F3

q) e uma estrutura algebrica G = Cp×Cp×Cp

de ordem p3, possuindo subgrupos de ordem p2, ordem p e ordem 1 que descrevem a mesmaestrutura combinatoria que o espaco projetivo P(F3

q). O numero de subgrupos de ordem p2 edado por: (

32

)p=

k−1

∏i=0

p3− pi

p2− pi =p3−1p2−1

p3− pp2− p

= p2 + p+1,

enquanto que a quantidade de subgrupos de ordem p e dada por:(31

)p=

k−1

∏i=0

p3− pi

p− pi =p3−1p−1

= p2 + p+1.

Note que para p = 2 o numero de subgrupos cujas ordens sao 2 e 4, e igual a 7, ver Exemplo9. Para p = 3, o numero de subgrupos cujas ordens sao 3 e 9 e igual a 13, ver Exemplo 11.

6 ConclusoesNeste artigo apresentamos por meio de varios exemplos, similaridade existente entre uma

classe de espacos projetivos do tipo P(F3q) e uma estrutura algebrica G =Cp×Cp×Cp com p = q

primos. Tal similaridade ficou evidenciada por meio do diagrama de Hasse das duas estruturas.Acreditamos que evidenciar tal similaridade seja util para a elaboracao e construcao de bonscodigos de subespaco.

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ISSN 2316-9664Volume 7, dez. 2016

Edicao ERMAC

Juliana Campos de FreitasUniversidade Estadual PaulistaJulio de Mesquita Filhoju [email protected]

Daniela Renata CantaneUniversidade Estadual PaulistaJulio de Mesquita [email protected]

Uma abordagem da otimizacao de um plano detratamento por radiacao com o auxılio de imagemAn optimization approach about treatment radiation using image

ResumoA radioterapia e um tratamento eficaz no combate ao cancer.Estudos matematicos em otimizacao podem ser aplicados a ra-dioterapia, em que a dose no tumor deve ser maximizada e adose nos tecidos saudaveis minimizadas. Neste trabalho, e es-tudado a eficiencia do metodo de programacao por metas parao IMRT(‘Intensity Modulated Radiation Treatment’). Baseadonesse modelo de otimizacao, um grupo de pesquisadores desen-volveram um software (CERR) que alem de otimizar o tratamentopermite comparacoes de doses de tratamento e que casos tumoraisreais sejam estudados atraves de imagens de tomografia compu-tadorizada. Um caso de tumor de prostata foi analisado, em queum pacote de imagens com 72 cortes foi disponibilizado peloscriadores do software. Resultados computacionais indicam a me-lhor distribuicao das doses maximas e mınimas de cada corte,mostrando que o modelo proposto, bem como seu metodo deresolucao sao eficientes.Palavras-chave: Modelagem Matematica e Aplicacoes; Ma-tematica Aplicada a Fısica; Otimizacao; Radioterapia.

AbstractRadiotherapy is an effective treatment against cancer. Mathema-tical studies in optimization field can be applied to radiotherapy,where the dose in the tumor have to be maximized and minimizedin the health tissue around the tumor. In this paper, it is analyzedthe efficiency of goal programming method in IMRT. Based onthis optimization model, a research group developed a software(CERR) which allows the tumor dose maximization, dose com-paration between treatments, and that real tumoral cases are stu-died using computadorized tomography images. A real prostatecase was provided by the software with 72 image slices. Com-putational results show the best distribution of the maximum andminimum dose in each tissue, showing that the proposed modeland the resolution methods are efficient.Keywords: Mathematical Modelling and Applications; Mathe-matics applied to physics; Optimization; Radiotherapy.

1 IntroducaoO cancer e uma doenca caracterizada pelo conjunto de celulas que possuem a multiplicacao

das cadeias de DNA alterada, uma vez que essas celulas sofrem quebra da cadeia ou perda cro-mossomica, essa deficiencia e transmitida na sua multiplicacao. Segundo o ‘Instituto Nacionalde Cancer Jose Alencar Gomes da Silva’ (INCA) e estimado que entre os anos de 2016 e 2017ocorra em torno de 600 mil casos de cancer no Brasil, onde 61.200 sejam de prostata1. Oscasos tumorais de prostata sao considerados de desenvolvimento lento e de terceira idade, jaque a maior parte dos casos aparecem a partir dos 65 anos, e podem demorar ate 15 anos paraatingirem 1cm3. Os casos de cancer de prostata no Brasil e o segundo maior entre os homens,perdendo apenas para os casos de cancer de pulmao, e ainda, a probabilidade de um homem tercancer de prostata ao menos uma vez na vida e de 18%2, sendo que metade desses homens po-dem falecer devido a doenca. A taxa de mortalidade por causa do cancer de prostata esta caindo,pois a populacao possui mais informacao quanto a doenca e assim um diagnostico precoce3. Aprostata esta situada na regiao pelvica, logo abaixo da bexiga e entre o pubis e o reto. Devido aproximidade, o reto e a bexiga sao chamados orgaos de risco, devendo receber a mınima dosepossıvel durante o tratamento.

As tecnicas mais comuns para o tratamento de cancer sao cirurgia para a remocao do tumor,quimioterapia e radioterapia, em que normalmente e utilizado a combinacao de mais de umatecnica. A radioterapia e um tratamento indolor por radiacao ionizante, este tratamento pode serrealizado em conjunto com os outros tratamentos. A radioterapia busca irradiar todo o volumetumoral, a fim de destruir as celulas tumorais, impedindo-as de se multiplicar. O tratamentopor radioterapia pode ser realizado atraves de diferentes fontes de energia, pode ser uma fonteeletrica a qual produz fotons de raio x e eletrons, chamados de ‘Acelerador Linear’, os quaissao utilizados para a teleterapia profunda, possuindo de 1,5 a 40 MeV de energia4, ou ainda poruma fonte radioativa colocada proxima ao tumor, chamada de braquiterapia.

A Radioterapia por Intensidade Modulada (IMRT- ‘Intensity Modulated Radiation Treat-ment’) e a tecnica mais utilizada atualmente, esta e uma evolucao da tecnica 3D-RCT (‘Radi-oterapia Conformacional Tridimensional’). A 3D-RCT permite que o tumor receba uma doseuniforme, sendo que os feixes sao distribuıdos atraves de uma projecao tridimensional do tu-mor e e utilizado colimador multi-leaf (MLC). Ja a tecnica por IMRT utiliza multiplos feixes ee capaz de modular o feixe, utilizando filtros como atenuadores, alem dos colimadores, e umaangulacao fixa do gantry (braco do acelerador linear, onde se encontra o tubo de raio-x) paracada feixe. Essa modulacao porporciona um aumento da dose no tumor, e diminuicao da dosenos orgaos de risco, ou seja, os orgaos saudaveis que nao devem receber radiacao. Alem disso,esta tecnica mais avancada possibilita que tumores irregulares sejam irradiados sem causar da-nos aos tecidos proximos5,6.

Na IMRT a dose de todos os orgaos devem ser especificadas, nao apenas a dose do tumorcomo ocorre na 3D-RCP. Assim todos os feixes sao angulados e modulados para que o tumorreceba a maior dose prescrita e os tecidos proximos ao tumor uma dose mınima.

Para o planejamento do tratamento e necessario primeiramente adquirir uma imagem deTomografia Computadorizada da regiao na mesma posicao que sera realizado o tratamento.A regiao tumoral e os tecidos de risco e saudaveis sao contornados atraves das imagens pelomedico responsavel, assim como a dose prescrita para cada tecido. O fısico reponsavel elaboraentao o planejamento do caso. O planejamento e transferido para o aparelho de IMRT de modo

FREITAS, J. C. CANTANE, D. R. Uma abordagem da otimizacao de um plano de tratamento por radiacao com o auxilio de imagem. C. Q. D.-Revista Eletronica Paulista de Matematica, Bauru, v. 7, p. 128-145, dez. 2016. Edicao ERMAC.DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664jcfdrc128145 - Disponivel em: http://www.fc.unesp.br/departamentos/matematica/revista-cqd/´

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. . .˜

que em todas as sessoes de tratamento do paciente o mesmo planejamento seja seguido, ate otumor receber a dose acumulada prescrita.

A radioterapia pode ser realizado com diferentes combinacoes de feixes, incluindo toda aregiao pelvica ou apenas a regiao localizada do tumor. O tratamento com feixes em toda aregiao pelvica e utilizado em tumores com estagio avancado, onde o tumor ja atinge outras es-truturas, como bexiga ou reto, quando ja houver mestastase ao sistema linfatico, ou o risco deatingir os nodulos linfaticos seja maior que 15%. A radioterapia na regiao pelvica e realizadanormalmente com quatro campos de radiacao: campo anterior, campo posterior, campo lateraldireito e campo lateral esquerdo. Os feixes anteriores e posteriores sao planejados de modo queo campo de tratamento se limite superiormente entre as vertebras L5-S1 e inferiormente abaixodo ısquio. E ainda os feixes anteriores e posteriores devem ser limitados lateralmente, devendoatingir apenas de 1 a 1.5 cm da cabeca femoral. Feixes laterais possuem limite de campo supe-rior e inferior igual aos feixes anteriores e posteriores, o limite anterior do campo lateral deveser anterior a sınfise pubica e o limite posterior do campo lateral entre o espaco das vertebrasS2 e S3. Em servicos de radioterapia que possuem sistema de planejamento computadorizadotri-dimensional, as dimensoes e angulacoes dos campos de radiacao sao definidas nos cortes to-mograficos de simulacao, apos o delineamento feito pelo medico radioterapeuta diretamente nosoftware especıfico, e e mais indicado para tumores em estagio inicial que ainda nao e possıvelnem apalpa-lo atraves do exame de toque e as chances de atingirem o sistema linfatico e menorque 15%7.

Alem de escolher a tecnica a ser utilizada para o tratamento e a dose prescrita, e necessariodefinir o volume a ser tratado. Primeiramente e definido o GTV (‘Gross Tumor Volume’), quee a parte visıvel do tumor. O CTV (‘Clinical Target Volume’) e o volume de todo o tecido quecontem o tumor. Durante o planejamento e definido o PTV(‘Planning Target Volume’), este eum ligeiramente maior que o CTV, garantindo que todos os tecidos do CTV recebam a dose. Echamado de IV (‘Irradiated Volume’) toda a regiao irradiada, a qual inclui os orgaos de risco,uma vez que nao e possıvel irradiar apenas o tecido que contem o tumor6,8. A Figura 1 a seguirrepresenta os volumes de tratamento.

Figura 1: Esquema de Representacao dos Volumes

No tratamento do cancer de prostata, o paciente e geralmente tratado na posicao supinadae o suporte de joelho e utilizado para diminuir o volume do tecido intestinal irradiado. O PTVe definido como toda a regiao do CTV com um centımetro a mais em todas as direcoes. Emgeral, e utilizado uma dose diaria de 1.8 a 2 Gy, dependendo do protocolo, em um aceleradorlinear de 6 a 18 MeV , em que e indicado que a prostata receba uma dose maior que 70 Gy paracasos nao operatorios, e de 64 a 66 Gy para casos de pos operatorio7.


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. . .˜

Em 2002 um grupo de pesquisadores se reuniram em um simposio que recebeu o nome de‘ORART symposium’ (‘Operations Research Applications in Radiation Therapy’). O interesseinicial desses pesquisadores era de promover a ligacao entre fısicos e oncologistas, com pesqui-sadores em otimizacao, para a evolucao da pesquisa do tratamento por IMRT. Desse simposiosurgiu o pacote de dados ORART, o qual foi implementado em MATLAB (‘Matrix Laboratory’)a fim de facilitar a comparacao entre diferentes metodos de otimizacao e para que pesquisadorespossuıssem acesso a outros sistemas de tratamento9.

O ORART e um pacote de dados, integrado com o CERR (‘Computational Environmentfor Radiotherapy Research’). O CERR possibilita o acesso as matrizes, chamadas matriz deinfluencia, dos problemas de otimizacao. Essas matrizes possibilitam a vizualizacao das dosesacumuladas em cada um dos diferentes feixes, a dose de cada voxel da imagem pode ser calcu-lada pela Equacao (1) a seguir, onde ω j e o peso do feixe j, e Di e a dose total na iteracao i, eAi, j e a matriz de fluencia

Di =N

∑j=1

Ai, jω j. (1)

Os modelos matematicos mais utilizados em IMRT, sao os modelos Multiobjetivo e deProgra-macao por Metas. Para este estudo foi utilizado o metodo de programacao por metas de-vido a diferenca de dose que deve ser aplicada a cada orgao, priorizando o tumor, e depositandomaior dose na regiao do tumor e menor dose nos tecidos de risco e saudaveis. Este metodofoi implementado utilizando heurıstica da colonia de formigas, em conjunto com o metodo depontos interiores10,11.

O objetivo deste trabalho e estudar um caso de otimizacao aplicado ao planejamento de ra-dioterapia, seus metodos de solucao, assim como a aplicacao do modelo em um software paraa ilustracao de um caso real de um cancer de prostata. Este trabalho esta dividido da seguintemaneira, o modelo de otimizacao utilizado esta detalhado na Secao 2. Apos demonstrado o mo-delo, na Secao 3 encontra-se o funcionamento do software estudado e na Secao 4 os resultadosda dose maximizada e minimizada pelo CERR sao analisados. Por fim, seguem a conclusao eas referencias bibliograficas utilizadas.

2 Modelagem matematicaA modelagem do problema foi definido por Clark et al.10, possuindo tanto funcao obje-

tivo linear para o calculo da dose quanto quadratica para a minimizacao dos feixes, sendo asrestricoes todas lineares. O modelo de programacao por metas e utilizado, em que as funcoesobjetivo possuem diferentes pesos para as metas e que seja formulada de modo hierarquico,chamado ‘Programacao por Metas Lexicografico’. Esse modelo lexicografico permite que ne-nhuma dose seja descartada, fazendo com que todos os limitantes inferiores e superiores dadose sejam respeitados. O modelo lexicografico requer uma pre analise do problema, ja que enecessario definir ordem de prioridade para as funcoes objetivo12. O modelo de programacaopor metas lexicografico, o qual a funcao objetivo possui k prioridades, pode ser representadogenericamente por12,13:


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. . .˜

Minimizar a = g1(n, p),g2(n, p), ...,gk(n, p)Sujeito a fi(x)+ni − pi = bi, i = 1, ...,m.

O modelo e dividido em diferentes passos: a funcao objetivo de um passo se torna umarestricao no proximo passo e as funcoes objetivo com maior prioridade sao resolvidas nos pri-meiros passos, como e o caso do Passo 1 que minimiza a homogeneidade da dose. Estudosrecentes mostram que ao inves de utilizar como funcao objetivo restricoes de dose-volume emais eficiente utilizar a funcao chamada de ‘Mean Tail Dose’, em que as fracoes de dose mediasuperior (‘Mean of the Hottest x% - MOHx’) e inferior (‘Mean of the Coldest x% - MOCx’) nasregioes do volume tratado sao calculadas. Essas funcoes de dose sao utilizadas como medidapara a reducao de dose no orgao de risco.

Como base para a modelagem e utilizado o conceito ja definido na Equacao (1), em que osvalores de dose (Di) no voxel i sao calculados de acordo com o peso de cada feixe w de acordocom o matriz de fluencia (Ai). E como parametro de todos os passos foi fixado o limitantesuperior para o peso do feixe, a dose de deslize quadratica do PTV, pois a cada passo a restricaode homogeneidade do PTV e relaxada e a dose de deslize mınima do PTV tambem foi fixada, afim de diminuir a dose em tecidos normais.

O Passo 1 minimiza o peso w dos feixes, definida pela funcao objetivo F I dada pela Equacao(2), e maximiza a dose mınima que o PTV recebe.

Passo 1:

Minimizar F I(w) = ∑i∈T

Gi(w)+ t2i , (2)

Sujeito a Dprei −D j(w)≤ ti ∀i ∈ T, j ∈Vi (3)

0.05Dprei ≤ ti ∀i ∈ T (4)

D j(w)≤ Dmaxi ∀i ∈ RI, j ∈Vi (5)

0 ≤ ωk ≤ ωmax ∀k ∈ {1, ...,N}. (6)

Considerando Gi(w) = |Vi|−1 ∑j∈Vi

[D j(w)−Dprei ]2, ∀i ∈ T.

Sendo:

• Gi(w) = funcao desvio de homogeneidade da dose, que permite que todos os orgaosreceberao diferentes doses;

• ti = variavel que limita superiormente o desvio de dose;

• RI = conjunto dos orgaos de risco no Passo 1;

• D j = dose recebida;

• Dprei = dose prescrita;


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. . .˜

• Dmaxi = limitante de dose maxima de um orgao de risco em RI;

• Vi =conjunto dos voxels do PTV;

• T = conjunto dos PTVs;

• ω = conjunto dos pesos do feixe, com tamanho N.

As restricoes (3) fazem com que a dose no tumor seja a prescrita, atraves da diferenca entrea dose prescrita para o tumor e a dose recebida no PTV, (4) permitem que ti seja positivo quandoa dose mınima seja acima de 95%, o que nao e esperado. (5) forcam a dose recebida no PTV anao ultrapassar a dose maxima permitida, e (6) fazem com que todos os feixes sejam analisados.

O Passo 2, possui F II como funcao objetivo, dada pela Equacao (7), a qual minimiza afracao de dose media superior das estruturas de risco, neste caso o reto e considerado. Osvalores dos pesos w econtrado anteriormente sao denotados como wI , assim as doses mınimase maximas sao definidas como:

Dmini = min{D j(wI), j ∈Vi} ∀i ∈ T,

Dmaxi = max{D j(wI), j ∈Vi} ∀i ∈ T.

O parametro Ai neste passo representa o conjunto dos valores de dose media superior decada estrutura de risco que deseja minimizar em RII , o qual e o conjunto do orgaos de risco noPasso 2.

Temos que p,z e y sao variaveis utilizadas na formulacao linear da funcao objetivo e s echamado fator de deslize, utilizado na equacao de desvio de dose (12) permitindo que haja umadiminuicao da prioridade das funcoes objetivo conforme outras funcoes sao adicionadas. Essefator e reduzido a cada passo, permitindo assim uma atenuacao de G11

i .

Passo 2:

Minimizar F II(w) = yαi + 1

(1−α)|vi|

|vi|

∑j=1

p jiα ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (7)

Sujeito a D j(w)− z ji = 0 ∀i ∈ RII, j ∈Vi (8)pα

ji ≥ 0 ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (9)

pαji − z ji + yα

i ≥ 0 ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (10)

D j(w)≤ Dmaxi ∀i ∈ RI, j ∈Vi (11)

Gi(w)≤ (1− s)Gi(wI) ∀i ∈ T (12)Dmin

i ≤ D j(w)≤ Dmaxi ∀i ∈ T, j ∈Vi (13)

0 ≤ ωk ≤ ωmax ∀k ∈ {1, ...,N}. (14)

As restricoes (8) a (10) sao baseadas no modelo de Romejin et al.14, permitindo que omodelo seja linear. Ja as restricoes de (11) a (14) permitem que as solucoes do Passo 1 sejammantidas.

No Passo 3, a dose media dos tecidos saudaveis sao reduzidas e representadas por RIII . Adose media de cada estrutura em RII se torna uma restricao, em que Mmax

iα representa a dosemedia da estrutura i do RII .FREITAS, J. C. CANTANE, D. R. Uma abordagem da otimizacao de um plano de tratamento por radiacao com o auxilio de imagem. C. Q. D.-Revista Eletronica Paulista de Matematica, Bauru, v. 7, p. 128-145, dez. 2016. Edicao ERMAC.DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664jcfdrc128145 - Disponivel em: http://www.fc.unesp.br/departamentos/matematica/revista-cqd/´

133

. . .˜

A dose media da funcao objetivo F III em (15) e definida como:

⟨D(w)⟩i = |Vi|−1 ∑j∈Vi

D j(w).

Passo 3:

Minimizar F III(w) = ∑i∈RIII

⟨D(w)⟩i (15)

Sujeito a D j(w)≤ Dmaxi ∀i ∈ RI, j ∈Vi (16)

Gi(w)≤ (1+ s)2Gi(wI) ∀i ∈ T (17)Dmin

i ≤ D j(w)≤ Dmaxi ∀i ∈ T, j ∈Vi (18)

yαi + 1

(1−α)|vi|

|vi|

∑j=1

p jiα ≤ Mmax

iα ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (19)

D j(w)− z ji = 0 ∀i ∈ RII, j ∈Vi (20)pα

ji ≥ 0 ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (21)


i ≥ 0 ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (22)0 ≤ ωk ≤ ωmax ∀k ∈ {1, ...,N}. (23)

As restricoes (16) garantem que a dose recebida no PTV seja a dose ja maximizada noPasso 1, em (17) o fator de deslize e elevado ao quadrado, permitindo maior diminuicao dahomogeneidade da dose. As restricoes (18) permitem que a dose do PTV nao seja menor que adose mınima e maior que a dose maxima determinada e as restricoes (19) a (23) representam adose media superior minimizada no Passo 2.

Ja no Passo 4, a soma dos pesos de todos os feixes e minimizada na funcao objetivo F IV em(24). Neste passo, outro fator de deslize e utilizado (s2), permitindo que a dose no PTV diminua.

Passo 4:

Minimizar F IV (w) =N

∑k=1

ω2k (24)

Sujeito a D j(w)≤ Dmaxi ∀i ∈ RI, j ∈Vi (25)

Gi(w)≤ (1+ s)3Gi(wI) ∀i ∈ T (26)Dmin

i (1− s2)≤ D j(w)≤ Dmaxi ∀i ∈ T, j ∈Vi (27)

yαi + 1

(1−α)|vi|

|vi|

∑j=1

p jiα ≤ Mmax

iα ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (28)

D j(w)− z ji = 0 ∀i ∈ RII, j ∈Vi (29)pα

ji ≥ 0 ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (30)


i ≥ 0 ∀α ∈ Ai, i ∈ RII, j ∈Vi (31)

⟨D(w)⟩i ≤ ⟨D(wIII)⟩i ∀i ∈ RIII (32)0 ≤ ωk ≤ ωmax ∀k ∈ {1, ...,N}. (33)


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. . .˜

As restricoes (25) a (27) possuem a mesma funcao que as restricoes (16) a (18) do Passo3, porem em (26) o fator de deslize e reduzido, permitindo uma maior diminuicao da homo-geneidade da dose, e em (27) outro fator de deslize (s2) e utilizado, permitindo uma pequenadiminuicao da dose do PTV. As restricoes de (28) a (31) mantem os valores minimizados noPasso 2, e (32) garantem que a dose media seja ainda menor ou igual a dose minizada no Passo3.

Este modelo de otimizacao foi implementado e resolvido pelo metodo de colonia de formi-gas e pelo metodo de pontos interiores10,11.

O metodo de colonia de formigas tem como resposta 0 e 1 e e utilizado para a otimizacao dofeixe, em que o valor 1 e dado se o feixe estiver presente na angulacao, e 0 caso contrario. Estaheurıstica e utilizada para a escolha do feixe devido a complexidade do problema, este metodonao encontra a solucao otima, mas encontra uma solucao muito proxima e boa.

O metodo de pontos interiores e utilizado para a otimizacao da dose, em que a dose e ma-ximizada no tumor, e minimizada nas estruturas de risco. A proxima secao, explica como essesmetodos sao aplicados, e como o software funciona.

3 CERRCERR e um software disponıvel online voltado para a pesquisa, desenvolvido por um grupo

de pesquisadores9,15, escrito em mais de uma linguagem de programacao. A maior parte delee implementado em MATLAB devido a grande quantidade de pesquisadores que utilizam essaferramenta. Porem em algumas partes do software foi utilizado FORTRAN, C/C++, JAVA,e outros. O software suporta imagens do tipo DICOM (‘Digital Imaging and Communicati-ons in Medicine’) e AAPM/RTOG (‘America Association of Physicist in Medicine/RadiationTherapy Oncology Group’). Os cortes das imagens sao transformados em uma matriz de da-dos do MATLAB, armazenada em um pacote chamado ‘planC’. Esse pacote armazena todasas informacoes necessarias para que todas as ferramentas disponıveis do software possam serutilizadas, como o histograma de dose volume (‘Dose-Volume Histogram- D.V.H’), ou ainda asprobabilidades de um tecido ter complicacoes devido a radiacao nele incidida (‘Normal TissueComplication Probability - NTCP’).

As imagens convertidas para o software podem ser analisadas em diferentes cortes: nosplanos sargital, transversal e coronal, como pode ser visto na Figura 2. Pode-se entao definiros orgaos de risco, os saudaveis e o PTV, atraves da ferramenta de contorno. Apos definiras estruturas, a dose maxima prescrita pelo medico responsavel pelo tratamento e definida noprograma, como pode ser observado na Figura 3. A ferramenta mostrada na Figura 3, possibilitaanalisar a intensidade da dose em cada corte da imagem e no caso a intensidade e mostrada nocorte 21 da imagem de Tomografia Computadorizada. A quantidade de sub-feixes, chamado de‘beamlets’, e otimizada pelo metodo de colonia de formigas, e armazenada em formato esparso8-bit. O software mostra a dose acumulada em cada voxel da imagem. A dose e maximizadano tumor e minimizada nos orgaos de risco atraves do metodo de pontos interiores, apos o feixeser definido.

O software fornece uma ferramenta para a vizualizacao de todo o plano, onde todos os feixessao descritos, detalhando as diferentes angulacoes, coordenadas e dose. Um exemplo dessadescricao pode ser visto na Figura 4. Alem disso, na pagina inical do software possui uma linhade comando que possibilita acessar informacoes desejadas via teclado. Por meio dessa linha deFREITAS, J. C. CANTANE, D. R. Uma abordagem da otimizacao de um plano de tratamento por radiacao com o auxilio de imagem. C. Q. D.-Revista Eletronica Paulista de Matematica, Bauru, v. 7, p. 128-145, dez. 2016. Edicao ERMAC.DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664jcfdrc128145 - Disponivel em: http://www.fc.unesp.br/departamentos/matematica/revista-cqd/´

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Figura 2: Pagina inicial do CERR, com os diferentes planos das imagens.

comando e possıvel buscar pela dose quando o cursor e movimentado e o software calcula adose que cada voxel recebe, mostrando as coordenadas (x,y,z) do voxel e a dose.

Figura 3: Selecao da dose maxima no tumor.

Apos calculada a dose de cada voxel, outro plano de tratamento com outra dose pode sercalculado e assim pode-se comparar qual o melhor tratamento para cada caso. Estes processospodem ser realizados nas ferramentas ‘Plan Metric’ para o calculo de uma nova dose e ‘DoseComparison’ para comparar os diferentes tratamentos com diferentes doses. Alem disso, osoftware possibilita a analise da dose recebida em cada orgao de acordo com a profundidadee volume do mesmo. Esta ferramenta e chamada ‘Dose-Location Histogram’ (D.L.H), onde oorgao a ser analisado e selecionado, assim como os limites de dose.

Na Figura 5 foi selecionado o GTV, e como a dose maxima no tratamento em questao e emtorno de 58 Gy, foi escolhido dose maior e menor que a dose maxima por motivo de comparacao.Outra ferramenta importante e o NTCP, onde o orgao desejado e selecionado e a probabilidadedesse orgao apresentar complicacao e mostrada, como pode ser observado na Figura 6. Essaprobabilidade e baseada no volume irradiado do tecido em relacao com a radiosensibilidade do


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Figura 4: Visualizacao do plano de tratamento selecionado e descricao de um feixe.

mesmo.

Figura 5: Dose-Location Histogram do GTV.

Alem dessas, outra ferramenta importante utilizada e a de D.V.H, em que a dose e calculadade acordo com um determinado volume e dois tipos de histogramas podem ser observados. NoGrafico (a) da Figura 7, e possıvel observar a quantidade de dose que os orgaos selecionadosreceberao em media. Neste caso, foi selecionado a regiao tumoral (GTV) e um orgao de risco(bexiga). Assim pode-se observar que 63% deste volume recebera uma dose em torno de 18 Gye 38% em torno de 66 Gy. No Grafico (b) da Figura 7 pode-se analisar a quantidade de dose emcada regiao. A regiao tumoral, GTV, recebe como um todo a mesma dose maxima de 58 Gy,enquanto parte da bexiga (aproximadamente 20%) recebe uma alta dose, de 57 Gy, e parte naorecebe dose nenhuma.

Foi fixado como padrao para o software que a quantidade maxima de iteracoes de cada passocomo 1000, sendo assim, cada passo dura aproximadamente 5 minutos. O limitante superiordos pesos dos feixes foi definido como 1.5, a fim de reduzir altas doses fora da regiao tumoral.O fator de deslize, recebe o valor de 0 a 3, quanto maior esse fator, menor e a dose na regiao deinteresse, sendo clinicamente melhor utilizar s = 1.5.


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Figura 6: NTCP de um orgao de risco e do GTV.

(a) (b)

Figura 7: Histograma de Dose Volume.

Estudos estao sendo feitos para aprimorar o software, como desenvolver uma ferramentapara converter essa matriz de dados para as maquinas, integrando os dados as funcoes dosaparelhos de radioterapia. Assim as sequencias dos colimadores para cada ‘beamlet’ sera au-tomatica.

Alem de disponibilizar o software on-line, e disponibilizado tambem tres casos reais coleta-dos na ‘Washington University St. Louis’. Esses casos podem ser utilizados pelos pesquisadorespara teste do programa ou comparacao com outros metodos. Os casos disponıveis sao de cabecae pescoco, prostata, pulmao.

4 ResultadosBaseado no modelo descrito na Secao 2, os pesquisadores desenvolvedores do software CERR,disponibilizam juntamente com o software tres casos testes, em que os dados ja estao armaze-nados em forma matricial. Neste estudo, foi analisado o caso de tumor na prostata, com total de7 feixes com distancia de isocentro de 100cm, com rotacao do gantry e da mesa em cada feixee dose maxima no tumor de 58.54 Gy.

Este caso teste possui um conjunto de imagem com o total de 72 cortes, a Figura 8 mostra


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Figura 8: Primeiro e ultimo corte da imagem.

o primeiro e o ultimo corte do conjunto de imagens. O PTV foi definido como a regiao centralroxa, que comeca a ser notada no conjunto a partir do corte 26, como e observado na Figura 9.Por meio do software e possıvel analisar a dose media superior (maxima) e inferior (mınima)recebida por cada orgao com o uso do cursor e com a ferramenta de busca de dose do software.Esses resultados foram organizados nas Tabelas 1, 2, 3 a seguir, em que − representa a ausenciado orgao no corte.

Figura 9: Corte 26 do conjunto de imagens.

Por meio dos resultados obtidos pode-se observar que a pele e o orgao que recebe dose emquase todos os cortes, do 6 ao 66, porem a pele recebe uma baixa dose na maioria dos casosdevido a regiao de equilıbrio eletronico, que se refere ao pico maximo de dose a uma certaprofundidade. Essa regiao varia de acordo com a energia do feixe utilizada no tratamento.

Ja os orgaos proximos ao GTV recebem uma alta dose superior, pois recebem dose de todosos feixes, como e o caso da bexiga, reto e vesıcula seminal. Entretanto, a bexiga e o reto sao


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Tabela 1: Valores de Dose nos cortes 1 a 23.Corte Dose (Gy) Bexiga Femur Femur Reto Pele GTV PTV Vesıcula

Esquerdo Direito Seminal1 Superior - - - - 0 - - -

Inferior - - - - 0 - - -2 Superior - - - - 0 - - -




Inferior - - - - 0 - - -6 Superior - - - - 0.007 - - -















Inferior - - - - 0.011 - - -21 Superior - - - - 4.367 - - -



Inferior - - - - 0.272 - - -


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. . .˜


Esquerdo Direito Seminal24 Superior 1.560 - - - 5.117 - - -

Inferior 1.13 - - - 0.299 - - -25 Superior 2.963 - - 43.511 5.220 - - -

Inferior 1.752 - - 23.711 0.302 - - -26 Superior 3.978 - - 49.092 5.050 - 49.285 -

Inferior 3.040 - - 19.306 0.5083 - 42.989 -27 Superior 17.410 - - 52.737 5.332 - 53.018 -




Inferior 4.525 - - 10.036 0.527 - 53.706 -31 Superior 56.394 - - 56.075 4.071 - 56.127 56.045

Inferior 4.529 - - 17.822 0.532 - 51.3427 55.87832 Superior 57.272 - 20.602 56.465 4.167 - 57.250 56.410

Inferior 4.658 - 13.632 21.238 0.4395 - 50.420 56.17133 Superior 56.776 - 34.383 56.574 5.779 - 57.353 56.690

Inferior 4.778 - 8.8065 26.015 0.757 - 54.686 56.46634 Superior 56.844 25.782 38.130 56.576 5.041 - 57.437 56.818

Inferior 4.934 14.167 12.429 26.230 0.443 - 54.756 56.45735 Superior 56.942 38.136 41.379 56.708 5.393 - 57.431 57.020

Inferior 5.119 24.767 23.450 29.361 0.435 - 53.108 56.68236 Superior 57.499 41.694 42.426 56.736 6.195 - 58.355 57.049

Inferior 5.094 28.189 25.405 23.982 0.539 - 53.932 56.81437 Superior 57.886 42.416 42.843 56.857 6.240 57.768 57.702 57.136

Inferior 5.154 27.714 27.944 20.805 0.354 57.053 53.257 56.81738 Superior 58.124 42.330 43.052 56.836 11.542 57.445 58.138 -

Inferior 6.607 27.681 27.791 19.418 0.468 56.737 53.4724 -39 Superior 57.774 41.511 42.721 56.728 15.554 56.937 57.324 -

Inferior 19.097 27.735 28.045 18.112 0.357 56.531 54.454 -40 Superior 57.772 37.201 41.743 56.713 13.036 57.142 58.068 -

Inferior 36.492 27.661 11.067 13.151 0.697 56.514 51.322 -41 Superior - 33.061 36.701 56.963 10.923 56.805 57.916 -

Inferior - 27.493 27.151 8.981 0.365 56.432 58.030 -42 Superior - 33.850 32.333 56.574 11.524 56.738 57.860 -







Inferior - 1.045 1.060 31.542 0.434 56.548 51.116 -


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. . .˜


Esquerdo Direito Seminal49 Superior - 31.504 31.658 56.649 14.836 56.837 57.200 -



Inferior - 1.059 1.056 24.871 0.434 56.621 52.933 -52 Superior - 30.563 31.272 56.637 14.225 - 57.670 -

Inferior - 0.986 1.087 9.893 0.429 - 53.027 -53 Superior - 30.383 30.817 56.660 15.902 - 57.419 -





Inferior - 0.867 0.858 3.725 0.717 - 51.027 -58 Superior - 21.629 22.019 7.792 8.992 - - -

Inferior - 0.801 0.782 2.184 0.823 - - -59 Superior - 21.550 23.282 0.209 11.447 - - -



Inferior - 0.019 0.02 0.055 0.014 - - -62 Superior - - - - 0.01 - - -











Inferior - - - - 0 - - -


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. . .˜

considerados estruturas de risco, assim o modelo minimiza a dose nessas regioes e por isso elastambem recebem um dose inferior baixa, preservando o tecido sadio.

Ja o femur direito e o femur esquerdo estao ligeiramente distantes do GTV, mas suas dosessuperiores sao relativamente altas devido a localizacao de ambos, os quais estao entre dois feixesdistintos, acumulando dose de ambos os feixes.

E possıvel analisar tambem que o unico corte em que todos os orgaos estao presentes erecebem dose superior alta e o corte 37, onde o GTV se inicia, como e observado na Figura 10(a). O GTV esta presente no conjunto do corte 37, visto na Figura 10 (a), e se estende ate ocorte 51, como e observado na Figura 10 (b).

(a) (b)

Figura 10: Cortes 37 e 51 do conjunto de imagens.

5 ConclusaoA otimizacao e aplicada a diversos problemas reais, dentre eles se destacam problemas na

area da saude, como em radioterapia. O uso da otimizacao na radioterapia pretende garantirque o tumor receba a dose necessaria para ser extinto, preservando os tecidos que circundam otumor, de modo que os orgaos saudaveis nao recebam uma alta dose de radiacao. Esse problemae muito complexo, pois precisa haver a otimizacao dos feixes e da dose. O ideal e que utilizeuma menor quantidade de feixes, pois sera utilizado um menor tempo de tratamento para cadapaciente, ja que muitas vezes quando ha uma variacao dos feixes tem que haver o reposicio-namento do paciente. Alem disso, tem a preocupacao com os orgaos saudaveis, pois ha umaespecificacao em relacao a dosagem maxima que esses podem receber que deve ser respeitada,assim como a dose mınima e maxima no tumor.

A modelagem de otimizacao estudada foi realizada atraves do metodo de programacao demetas e para resolver este problema metodos exatos e heurısticos foram utilizados. O metodode pontos interiores foi utilizado para o calculo da dose e a heurıstica de colonia de formigaspara os feixes.


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. . .˜

Foi observado que o modelo de programacao por metas, o qual foi analisado neste estudo,teve um bom resultado sendo que a dose no tumor foi maximizada, enquanto a dose nos tecidossaudaveis foram minimizadas. Tambem foi possıvel analisar a eficiencia do software CERR, oqual foi baseado em modelagens matematicas e implementado na linguagem MATLAB.

Referencias

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ISSN 2316-9664Volume 7, dez. 2016

Edicao ERMAC

Alexandre Calligaris SimoesCotil - UNICAMP - [email protected]

Renata Zotin Gomes deOliveiraDM- IGCE - UNESP - [email protected]

Usando o Geogebra no calculo de area sob graficode funcoes no Ensino Medio

Using Geogebra in area calculation under function graph in HighSchool

ResumoEste trabalho, que e parte da dissertacao desenvolvida durante oMestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional (PROF-MAT), tem como objetivo principal apresentar uma sugestao decomo calcular areas delimitadas por graficos de funcoes para es-tudantes de Ensino Medio, utilizando o software Geogebra. Seraoapresentadas algumas atividades que exemplificam o desenvolvi-mento da proposta e que poderiam ser desenvolvidas em conjuntocom alguns conteudos de Fısica, como por exemplo, calculo detrabalho realizado por uma forca ou espaco percorrido por um ob-jeto.Palavras-chave: Area; Soma de Riemann; Geometria Dinamica.

AbstractThis work, which is part of a master thesis of PROFMAT, aimsto present a suggestion of calculating areas bounded by graphs offunctions to High school students using the Geogebra software. Itwill be presented some activities that exemplify the developmentof the proposal and it that could be developed with some contentsof Physics, such as example, the work done by a force of magni-tude F on a point that moves a displacement (not distance) s in thedirection of the force.Keywords: Area; Riemann Sum; Dynamic Geometry.

1 Introducao

Calcular o valor da area de uma figura plana T e medir a regiao delimitada por esta, no plano.Para isso, precisamos definir uma unidade de area e compara-la com a regiao da figura. Logo, oresultado sera um numero que represente quantas vezes a unidade de area esta contida na figuraT. Em Lima(2004) apresenta-se de forma detalhada como se define area e a formula da area defiguras conhecidas.

Considerando o previo conhecimento de como calcular a area de triangulos e retangulos,vejamos como determinamos a area de um polıgono e de regioes delimitadas por curvas.

2 Calculando area de figuras poligonais

Em figuras poligonais, onde seus lados sao segmentos de reta, nao ha dificuldade de calcu-lar sua area pois qualquer figura poligonal, por mais irregular que seja, pode ser coberta comretangulos e triangulos justapostos (LIMA, 2004). Com isso, sua area tera o valor do somatoriodas areas destas figuras. Vejamos um exemplo.

Figura 1: Polıgono irregular.

O polıgono da Figura 1 e facilmente particionado em retangulos e triangulos, como pode serobservado na Figura 2, atraves das subfiguras I, II, III, IV, justapostas.

Figura 2: Polıgono irregular particionado.

Entao, para calcular sua area, basta encontrar a area das partes e soma-las. Temos, com isso,uma definicao geral de area de um polıgono.

SIMOES, A. C.; OLIVEIRA, R. Z .G. Usando o Geogebra no calculo de area sob gr afico de funcoes no Ensino Medio.Matematica , Bauru, v. 7, p. 146-159, dez. 2016. Edicao ERMAC.DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664acsrzgo146159 - Disponivel em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/prod-cientifica/revista-cqd/´

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. . . C. Q. D. - Revista Eletronica Paulista de

Podemos associar a cada polıgono P um numero real nao negativo, chamando a area de P,com as seguintes propriedades:

1. Polıgonos congruentes tem areas congruentes;

2. Se P e um quadrado com lado unitario, entao area de P e 1;

3. Se P pode ser decomposto como reuniao de n polıgonos P1, ...,Pn, sendo que dois quaisquerdeles tem em comum, no maximo, alguns lados, entao a area de P e a soma das areas dosPi .

Segue da ultima propriedade que se o polıgono P estiver contido no polıgono Q entao a area deP sera menor do que a area de Q.

A Fısica no Ensino Medio contempla situacoes onde os valores de certas grandezas saoequivalentes as areas das figuras formadas sob uma curva, num determinado intervalo. Comoexemplo, podemos citar o calculo do trabalho realizado por uma forca F no deslocamento dde um movel sujeito a acao dessa forca. Se um movel tem um deslocamento de 5m quandosofre a acao de uma forca constante de 3N, o trabalho(τ) realizado por esta forca e dado porτ = F.d = 3.5 = 15J. Este resultado equivale a area sob a reta horizontal no intervalo entre 0m e5m. (Figura 3).

Figura 3: Exemplo de forca constante.

No entanto, se um movel, durante um deslocamento de 4m, sofre a acao de uma forca quevaria de acordo com o grafico dado pela Figura 4, o trabalho realizado e dado por τ = (1+3)4

2 .Nestes exemplos temos, respectivamente, um retangulo e um trapezio determinados pelas

forcas. Nestas figuras simples, suas areas determinam o valor da grandeza (trabalho) calculada, epodem ser determinadas atraves de formulas basicas ja conhecidas desde o Ensino Fundamental.

3 Calculando area de figuras nao poligonais

As propriedades citadas anteriormente sao somente para polıgonos e assim, nao serviriampara encontrar, por exemplo, area do cırculo e da elipse, pois nao conseguimos compor perfeita-mente suas regioes com triangulos e retangulos justapostos.


148


Figura 4: Exemplo de forca variavel.

Apresentaremos entao uma estrategia para obtencao de areas de figuras nao poligonais. Aarea de uma figura plana F arbitraria pode ser aproximada por um numero real nao negativo, queindicaremos como a(F), que satisfaz

a(P)≤ a(F)≤ a(P′),

onde a(P) e a soma das areas dos polıgonos contidos em F e a(P′) e a soma das areas dospolıgonos que contem F .

Vejamos exemplos que ilustram esta aproximacao.Para simplificar, mostraremos um exemplo considerando apenas polıgonos retangulares con-

tidos na regiao F (Figura 5). Assim, com a reuniao de suas areas vamos obter uma aproximacaoda area de F , primeiramente, com uma aproximacao por falta (Figura 5).

Figura 5: Aproximacao da area por falta.

A(F)≈13

∑j=1

A( j).

Num segundo exemplo, a regiao F esta contida na regiao formada pela reuniao de retangulos.Agora, a area de F e obtida por uma aproximacao por excesso (Figura 6).

A(F)≈16

∑j=1

A( j).


149


Figura 6: Aproximacao da area por excesso.

Assim, uma estrategia para o calculo da area de uma regiao fechada qualquer (F) e obteruma aproximacao atraves da soma das areas de polıgonos contidos em F ou soma de areas depolıgonos que contem F . Usaremos essa mesma ideia na sugestao do calculo de areas delimitadaspor grafico de funcoes.

3.1 Area sob grafico de funcoesSe a forca F for dada por funcoes diferentes das apresentadas nos exemplos da secao anterior,

a determinacao do trabalho realizado envolve o calculo da area delimitada por grafico de funcao.Para tratarmos dessa situacao, utilizaremos o software Geogebra, que permite uma visualizacaografica dinamica do problema. Iniciaremos com um exemplo onde e possıvel comparar o valorexato da area da regiao com o valor aproximado obtido.

Consideremos um semicırculo de raio 2 (Figura 7), que tambem pode ser visto como o graficode f (x) =

√4− x2.

Figura 7: Area do semicırculo.

Inicialmente consideraremos retangulos justapostos, aproximando a area da regiao semicir-cular pela soma das areas dos n retangulos contidos nela (aproximacao por falta). Para isso,tomaremos os subintervalos do intervalo [−2,2] como base do retangulo e o valor mınimo dafuncao em cada subintervalo como a altura dos retangulos. No caso da aproximacao por excesso,a altura de cada retangulo sera dada pelo valor maximo da funcao em cada subintervalo.


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Nestas aproximacoes, o Geogebra nos fornece graficos dinamicos e tabela de valores dasareas.

Quando a aproximacao for por falta, a area obtida sera denominada Ani, onde n indicara onumero de subdivisoes do intervalo e i significa que e soma inferior.

Na aproximacao por excesso, a area obtida sera denominada Ans, onde n e o numero desubdivisoes do intervalo e s indica soma superior.

Nas tabelas que serao apresentadas para cada etapa, a diferenca entre o valor encontrado pelaformula da area do cırculo (A = 6,2832) e o valor An. Esta diferenca e o erro ocorrido em cadaetapa da aproximacao.

Primeiramente, o desenvolvimento da aproximacao por falta.

(a) n = 10 (b) n = 20 (c) n = 40

Figura 8: Area por falta para alguns valores de n.

n Ani erro10 5,2743 1,008950 6,1045 0,1787

100 6,1966 0,0866250 6,2495 0,03377530 6,2675 0,0157

1100 6,2757 0,00754500 6,2814 0,00188700 6,2822 0,0001

Tabela 1: Valores da area por falta, para alguns valores de n.

Para a aproximacao por excesso, temos:

(a) n = 10 (b) n = 20 (c) n = 40

Figura 9: Area por excesso, sob o grafico da funcao da Figura 7, para alguns valores de n.


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n Ans erro10 6,8741 0,590950 6,4244 0,1412

100 6,3565 0,0733250 6,3135 0,0303530 6,2977 0,0145

1000 6,2910 0,00786000 6,2845 0,00139000 6,2840 0,0008

Tabela 2: Valores da area por excesso, para alguns valores de n.

Podemos observar que, conforme aumentamos a quantidade de retangulos (consequentementeas bases sao cada vez menores), a area da soma dos retangulos vai se aproximando da areado semicırculo, tanto na soma inferior como na superior. A coluna erro facilita a observacaoapresentando valores tendendo a zero.

Neste exemplo, como a figura e conhecida, ou seja, temos uma formula para calcular suaarea na qual os alunos deste nıvel escolar ja viram, podemos utiliza-lo, de modo comparativo,para dar sentido ao valor encontrado com a formula, ou, como exemplo inicial, demonstrar queeste recurso grafico nos fornece resultados verdadeiros gerando confiabilidade para exemplosposteriores, onde as figuras nao sao conhecidas.

Em sala de aula, o professor pode comentar que, em nıveis mais elevados de estudo, temos ocurso de Calculo Diferencial e Integral onde e possıvel mostrar a convergencia para o valor exatoda area.

O grafico dado pela Figura 10 ilustra uma forca (F) que e exercida em um movel durante umdeslocamento (d) de 0 a 3m, que varia conforme a funcao F = d2

2 .

Figura 10: Exemplo de forca variavel.

Para encontrar o trabalho realizado por essa forca, usaremos a mesma estrategia do Exemplo4.3, ou seja, fazendo aproximacoes por falta e por excesso ja que, no nıvel medio de ensino, naose conhece uma formula direta para o calculo da area desta figura.


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(a) n=10 (b) n=20 (c) n=50

Figura 11: Area por falta, sob o grafico da funcao da Figura 10, para alguns valores de n.

n Ani10 3,847520 4,168150 4,3659

100 4,4327250 4,4730530 4,4873790 4,4915

1000 4,4933


Utilizando no Geogebra o comando “SomaDeRiemannInferior” em conjunto com a ferra-menta “Controle Deslizante” foi possıvel, de forma dinamica, a perfeita visualizacao da aproxima-cao, primeiramente por falta, entre a area da soma dos retangulos e a area sob a curva nesteintervalo. Outra ferramenta de extrema utilidade para o desenvolvimento desta atividade e “Gra-var para a Planilha de Calculos”. Com ela, podemos observar os valores da soma das areas dosretangulos sendo apresentados numa tabela, conforme variamos a quantidade de subintervalosno Controle Deslizante. O exemplo nos mostra o valor da soma se aproximando de 4,5. Umquestionamento que podemos fazer e: este unico procedimento para o experimento e seu valorapresentado, pode ser conclusivo? Como o valor 4,5 nao ficou explıcito, nao podemos ter a cer-teza imediata que este sera o valor da area sob a curva. Com isso, direcionamos os alunos arealizar uma segunda etapa do experimento, a aproximacao por excesso.

(a) n = 10 (b) n = 20 (c) n = 50

Figura 12: Area por excesso, sob o grafico da funcao da Figura 10, para alguns valores de n.


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n Ans10 4,843120 4,727550 4,6131

100 4,5615250 4,5250530 4,5121780 4,5081990 4,5067


Neste segundo momento, observamos que a aproximacao tambem nos levou ao valor 4,5.Diante disso, com as aproximacoes por falta e por excesso convergindo para um mesmo ponto,podemos considerar este valor como sendo da area sob a curva da funcao neste intervalo. Nova-mente, este valor pode ser justificado atraves do Calculo Integral.

No proximo exemplo, alem do desenvolvimento do calculo da area com aproximacao porfalta e por excesso, vamos tambem explorar, na pratica, o conceito da Soma de Riemann. Parafacilitar a programacao, na representacao deste ultimo conceito, tomamos, em funcao do pontode extremo esquerdo de cada subintervalo, a altura dos retangulos que compoem a soma.

Vamos calcular a area sob o grafico (Figura 13) da funcao f (x) =−x2+4x no intervalo [0,4].

Figura 13: Area sob a parabola.

No desenvolvimento com o Geogebra temos as seguintes representacoes no calculo da areaatraves de aproximacao por falta:

(a) n = 10 (b) n = 20 (c) n = 50

Figura 14: Area, com aproximacao por falta, sob o grafico da funcao dada pela Figura 13, paraalguns valores de n.


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n Ani10 8,960020 9,840060 10,3970

100 10,5056250 10,6025530 10,6364750 10,6453960 10,6495

10000 10,6651


Vejamos os valores apresentados pelo software na aproximacao por excesso.

(a) n = 10 (b) n = 20 (c) n = 50

Figura 15: Area, com aproximacao por excesso, sob o grafico da funcao dada pela Figura 13,para alguns valores de n.

n Ans10 12,160020 11,440060 10,9304

100 10,8256250 10,7305530 10,6968750 10,6880960 10,6833

10000 10,6683


Finalmente a representacao das aproximacoes, tomando, em funcao do ponto de extremoesquerdo de cada intervalo, a referencia para a altura de cada retangulo.

Considerando o extremo de cada subintervalo para determinar a altura dos retangulos, esteexemplo possui retangulos contidos na regiao e outros que contem a regiao que se pretendecalcular a area. Vejamos os valores das areas para alguns valores de n.


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(a) n=10 (b) n=20 (c) n=50

Figura 16: Area, com o extremo esquerdo como referencia, sob o grafico da funcao da Figura 13,para alguns valores de n.

n An10 10,560020 10,640060 10,6637

100 10,6656250 10,6665530 10,6666750 10,6666960 10,6667

Tabela 7: Valores da area com o extremo esquerdo como referencia.

Observamos que, em todos os casos, as aproximacoes convergem ao mesmo valor, possibili-tando, de maneira clara e confiavel, tirar as conclusoes sobre o problema estudado.

Entendemos que, apresentando este exemplo, podemos introduzir de modo intuitivo o con-ceito da Soma de Riemann de forma adequada ao Ensino Medio, levando o aluno a perceber quea soma converge para o valor da area tomando um valor arbitrario ci dentro de cada intervalo.

As situacoes ja trabalhadas mostraram, de forma detalhada, que com o procedimento propostoconseguimos obter valores que se aproximam do valor da area procurada. Seja por falta, seja porexcesso ou ainda, por um extremo, a convergencia ocorre.

Os proximos exemplos serao desenvolvidos mostrando apenas uma opcao de convergencia,simplificando o processo sem perda de confiabilidade. Apresentamos o caso onde a funcao trocade sinal no intervalo em estudo e o calculo de area de uma regiao delimitada pelo grafico de duasfuncoes.

Para calcular a area AT da regiao delimitada pelo grafico da funcao f (x) = −(x− 1)(x−3)(x− 5) e o eixo OX, no intervalo [0,5] (Figura 17) escolhemos como referencia o extremoesquerdo de cada subintervalo.

Assim, temos:


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Figura 17: Grafico de f (x) =−(x−1)(x−3)(x−5).

(a) n = 5 (b) n = 10 (c) n = 20

Figura 18: Area sob o grafico da funcao da Figura 17, para alguns valores de n.

Sendo A1 o valor da area da regiao delimitada no intervalo [1,3] e A2 a area da regiao delimi-tada no intervalo [3,5], a area AT sera a soma das areas nos dois intervalos. Porem, observamosque para o intervalo [1,3] o Geogebra nos fornece um valor negativo (A) para as aproximacoespois f (x) < 0 neste intervalo (Figura 18). Para que isso seja corrigido, como A1 = −A, AT seracalculada como:

AT =−A+A2.

Vejamos os valores de AT para alguns valores de n.

n A A2 AT =−A+A210 -3,9600 3,9600 7,920030 -3,9952 3,9952 7,990550 -3,9984 3,9984 7,9968100 -3,9996 3,9996 7,9992250 -3,9999 3,9999 7,9999

Tabela 8: Valor da area, para alguns valores de n.


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Como ultimo exemplo calcularemos a area Ad da regiao entre os graficos das funcoes f (x) =x3/2−3x2 +5x+2 e g(x) = 3(x2/4)−2x+2 no intervalo [0,3].

Figura 19: Grafico de f (x) e g(x).

No modelo da atividade que estamos usando, o Geogebra nos fornece as aproximacoes dasareas entre os graficos das funcoes e o eixo OX.

Para este exemplo, como queremos a area Ad da regiao entre os graficos das funcoes nointervalo [0,3], a estrategia sera, com aproximacoes por falta, subtrair da area A( f (x)) sob ografico da funcao f (x) que se apresenta na Figura 19, a area A(g(x)) sob o grafico da funcaog(x) que esta abaixo. Esta diferenca, seja na representacao grafica, seja nos valores da tabela,representa a area da regiao.

(a) n = 5 (b) n = 10 (c) n = 20

Figura 20: Area entre os graficos das funcoes da Figura 19, para alguns valores de n.

4 Consideracoes Finais

A utilizacao do software Geogebra nos exemplos apresentados permite que o aluno calculearea de figuras para as quais ele nao tem uma formula explıcita. Alem disso, ele pode visualizar


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n A( f (x)) A(g(x)) Ad = A( f (x))−A(g(x))10 11,0398 3,2713 7,768530 11,4374 3,5829 7,8545

100 11.5695 3.6991 7,8704400 11,6112 3,7372 7,8740900 11,6189 3,7443 7,8746

Tabela 9: Valor da area, para alguns valores de n.

de forma dinamica as aproximacoes obtidas para a area a medida que subdividimos cada vez maisos intervalos. Dessa forma, acreditamos que torna-se viavel discutir, a nıvel de Ensino Medio, oconceito da Soma de Riemann. Este conceito pode ser apresentado de forma intuitiva, levando oaluno a perceber que a soma converge para o valor da area tomando um valor arbitrario ci dentrode cada intervalo. Isto pode contribuir, principalmente, para aqueles alunos que optarem porcursos da area de Ciencias Exatas nos estagios seguintes de seus estudos.

Referencias

[1] GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Calculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v.1.

[2] LIMA, E.L.: Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v.4.

[3] SIMOES, A.C. Calculando area sob grafico de funcoes. 2014. 45f. Dissertacao(Mestrado,em Matematica) - Instituto de Geociencias e Ciencias Exata, Universidade Estadual PaulistaJulio de Mesquita Filho, Rio Claro, 2014.


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7-ed-dez-2016-ermac-completa.pdf - faculdade de ciências

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