178

5.4.2. Változó keresztmetszetű rudak tiszta hajlítása

Enyhén változó keresztmetszetű, tiszta hajlításra igénybevett rúdnál az egyes pontok

feszültségi állapota - a változó keresztmetszetű rudak tiszta nyomásához vagy húzásához hason-

lóan - nem lineáris, hanem térbeli lesz. A gyakorlati számításokhoz azonban általában elegendő

a z irányhoz tartozó normálfeszültséget figyelembe venni, s a többi feszültségkomponenst pedig

ugyanúgy számítjuk, mint a prizmatikus rúd hajlításánál:

= = (y' , z' ) =M

EI (z' )y' z'z' zz zz

x'

x'x'

σ σ σ 5.65

csupán arra kell ügyelnünk, hogy a keresztmetszet változása miatt a hajlítás tengelyére vonatko-

zó másodrendű nyomaték a keresztmetszet helyének függvénye. A normálfeszültség tehát nem-

csak y'-nek, hanem z'-nek is függvénye. Ugyanezen ok miatt a semleges tengely görbületi suga-

ra sem állandó: 1

(z)=

M

EI (z) ,x'

x'x'ρ 5.66

a rúd alakja nem körív, hanem bonyolultabb görbe lesz. A semleges tengely alakjának meghatá-

rozásával később foglalkozunk.

Az enyhén változó keresztmetszetű rúdban felhalmozott rugalmas energiát (5.63) integ-

rálásával nyerjük, most azonban a keresztmetszet másodrendű nyomatékát nem emelhetjük ki az

integráljel elé, hiszen az a z koordináta függvénye.

Erősen és hirtelen változó keresztmetszetű rudak

hajlításánál (5.45. ábra) éppúgy feszültségcsúcsok lépnek

fel, mint húzó- vagy nyomóigénybevételnél. E

feszültségcsúcsokat, illetve a hossztengelyre merőleges

irányú normálfeszültségeket és az esetleg fellépő

nyírófeszültségeket megint alaktényezők felhasználásával

számíthatjuk, melyeket műszaki táblázatokból

határozhatunk meg.

5.4.3. Egyenletes szilárdságú hajlított rudak

Az igénybevételek közti ismert kapcsolat, a

dM(z)

dz= T(z) 5.67

5.45. ábra összefüggés révén könnyen beláthatjuk, hogy tiszta

179

hajlításkor a hajlítónyomaték nagysága a rúd hossza mentén nem változhat. Változó nyomaték-

nál ugyanis nyíróigénybevételnek is ébrednie kellene, ilyenkor azonban már összetett (hajlítás

és nyírás) a keresztmetszet igénybevétele.

Most mégis feltesszük, hogy a hajlítónyomaték a rúd hossza mentén változik, de a

nyíróigénybevétel hatását elhanyagoljuk. A hajlításból származó normálfeszültséget és annak

maximumát a tiszta hajlításnál levezetett összefüggések analógiájára számíthatjuk:

=M (z)

I ' y' , =

M (z)

K z'z'

x'

x'xz'z'max

x'

x'

σ σ 5.68/a/b

Prizmatikus rúdnál a keresztmetszet alakja és jellemzői állandók, így a változó nagyságú

hajlítónyomaték hatására a normálfeszültség eloszlására jellemző ferde egyenes meredeksége, s

ezzel együtt azok szélső értéke is a keresztmetszet helyének függvénye.

Az egyenletes szilárdságú húzott és nyomott rúd fogalmához hasonlóan a hajlított ru-

daknál is meghatározhatunk egy, a hajlítónyomaték változásához igazodó keresztmetszetet,

amely mellett a normálfeszültségek szélső értéke minden keresztmetszetben ugyanakkora. Az

ilyen hajlított rudat egyenletes szilárdságúnak nevezzük, jóllehet csak a szélső szálak feszültsé-

gei egyeznek meg, míg a szélső szálaknál kisebb távolságra lévő keresztmetszeti pontokban a

szélső értékeknél alacsonyabb feszültségszintet kapunk (ezen kívül a húzott és nyomott öv szél-

ső feszültségeinek sem kell abszolút értékre megegyezniük). Anyagfelhasználás szempontjából

a leggazdaságosabb rúdalakot mégis az ezen a módon definiált egyenletes szilárdságú tartóval

nyerjük. Az egyenletes szilárdságú tartó alakját a hajlítónyomatéki függvény mellett a kereszt-

metszet alakja befolyásolja döntően. Ha a hajlítóigénybevétel függvénye lineáris (ilyen az egyik

végén befogott, szabad végén a rúdtengelyre merőleges hatásvonalú, koncentrál erővel terhelt

tartó nyomatéki függvénye) és a keresztmetszet alakja téglalap, kétféleképpen is elkészíthetjük

az egyenletes szilárdságú tartóalakot. A

K =1

6sv x'

2

(s - a téglalap hajlítás tengelyével párhuzamos oldalának hosszúsága, v - az erre merőleges

hosszúság) kifejezésnek megfelelően v állandó értéken tartásával s lineárisan változik, s állandó

értéken tartása mellett pedig v-re egy másodfokú függvényt kapunk. Ezeket a függvényeket

(5.68/b) felhasználával könnyen meghatározhatjuk. A levezetést az olvasóra bízzuk. E helyett

inkább újra megvizsgáljuk a természet "mechanika tudását".

Tegyük fel, hogy a rúd kör keresztmetszetű, s az 5.46. ábrának megfelelően, alsó vége

befogott, felső szabad végén M0 koncentrált nyomaték és F koncentrált erő hat. Legyen σ 0 az

a feszültség, amelyet szélső szálakban megengedünk és határozzuk meg, hogyan változzon az

oszlop d(z) átmérője, hogy az egyenletes szilárdság elvét kielégítsük. A hajlítónyomatéki függ-

vény:

180

M(z) = M0 + Fz,

a kör keresztmetszet hajlítás tengelyére

vonatkozó keresztmetszeti tényezője:

K (z) =d (z)

32 . x

3 π

(5.68/b) felhasználásával:

σ σπ0 zzmax

x

x

03

= =M (z)

K (z)

M + Fz

d (z)

32

=

innen

d(z) =32(M + Fz)

0

0

3

σ π vagy a

szabad végre vonatkozó

d

32M=

30

00 π

σ

összefüggésből meghatározható a d0 kezdeti 5.46. ábra átmérővel kifejezve:

M

M d = d(z) 3

0

00

Fz+

Az egyenlő szilárdságú hajlított oszlop kör keresztmetszetének átmérője tehát egy harmadfokú

függvény szerint változik. Jó közelítéssel ilyen alakot vesznek fel a szél hajlító hatásának kitett

fatörzsek, különösen akkor, ha a fa anyagának sűrűsége viszonylag kicsi s ezért a normál-

igénybevétel hatására kialakuló exponenciális határvonal nem szembeötlő (pl. a fenyőféléknél).

A valóságban ez a két alak ötvöződik, a fatörzs alakjára jellemző meridiánvonal felső részén a

hajlítás következtében kialakuló harmadfokú görbe, alsó részén pedig a nyomás hatására fellépő

exponenciális görbe dominál.

5.4.4. Összetett keresztmetszetű rudak hajlítása

Összetett keresztmetszetű rudak esetén a rétegek síkja és a hajlítónyomaték vektora által

bezárt szög, a keresztmetszet alakja számtalan variációs lehetőséget biztosít. Ezek közül két, a

gyakorlatban fontos esetet tanulmányozzák.

181

5.4.4.1. A rétegek síkja merőlegesen a hajlítónyomaték vektorára

Terheljük tiszta egyenes hajlítással az 5.47. ábrán látható, téglalap keresztmetszetű,

prizmatikus rudat, melyben a rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték síkjával. A rétegek

magassága h, megegyezik a rúd magasságával, az i-edik réteg vastagsága pedig vi, rugalmassági

modulusza Ei.

Mivel a rétegek egymáshoz elmozdulásmentesen vannak összeerősítve, a deformációra

jellemző görbületi sugarak egyenlők és meg kell egyezniük a homogénnak feltételezett rúd ere-

dő görbületi sugarával. (5.57) felhasználásával:

5.47. ábra

1

=M

E I=

1=

Mx

E I ,

i

x'i

i xx,i eredő eredő xxρ ρ

ahol Ixx,i - az i-edik réteg másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére,

Ixx = I xx, ii=1

n

∑ - a teljes keresztmetszet másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére,

Mx,i - a teljes Mx nyomatéknak az i-edik réteg által felvett része.

Az igénybevétel definíciója értelmében tetszőleges keresztmetszetben:

M = M .x x,ii=1

n

∑

Helyettesítsük be ide az előző összefüggés első egyenlőségéből kifejezett Mx,i-t, majd a görbüle-

ti sugarak egyenlőségét felhasználva meghatározhatjuk az eredő rugalmassági moduluszt:

E =1

IE I =

12

vhE

v h

12=

1

vE v .eredő

xxi xx, i

i=1

n

3 i

ni

3

i ii=1

n

∑ ∑ ∑=i 1

Az egyes rétegekben a normálfeszültség eloszlására jellemző ferde helyzetű egyenes meredek-

sége a réteg rugalmassági moduluszával arányosan változik:

= E = Ey

= E y M

E I=

E

E

M

Iy zz,i i zz,i i

ii

x

eredő xx

i

eredő

x

xx

σ ερ

182

5.4.4.2. A rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával

Változtassuk meg a rétegződés irányát az 5.48/a. ábrának megfelelően. Az egyes réte-

gek keresztmetszetalakjára most csak annyi megkötést teszünk, hogy két szimmetriatengelyük

legyen. A teljes keresztmetszet szempontjából elég, ha a hajlítónyomaték síkja szimmetriasík.

A rétegek igénybevétele nem marad tiszta hajlítás, mert az elmozdulásmentes összeerő-

sítés következtében az egyes rétegekben hajlítóigénybevétel mellett normálerő is fellép (a réte-

gek görbületi sugara különböző és kompatibilis alakváltozás létrejöttéhez bizonyos rétegeknek

meg kell nyúlniuk, bizonyosaknak pedig össze kell nyomódniuk). Ha ismernénk az i-edik réteg-

ben keletkező Mx,i hajlítónyomatékot és az Nz,i normálerőt, akkor a réteg súlyponti tengelyétől yi

távolságra lévő pontban fellépő normálfeszültséget a két igénybevételtől származó normálfe-

szültség algebrai összegeként számítanánk. A normálfeszültség és a rugalmassági modulusz

hányadosa pedig - a Hooke-törvény értelmében - megadja a z irányú fajlagos hosszváltozást:

=E

=M

E Iy +

N

E F=

1

E

M

E I

E

yN

E F

E

,zz,izz,i

i

x,i

i xx,ii

z,i

i i

x,i

i xx,ii

z,i

i i

εσ

+

5.69/a

illetve

5.48/a. ábra

εzz i, = +

1

E

M

Jy

N

Ax,i

xx,ii

z,i

i

, 5.69/b

ahol Fi és Ixx,i - az i-edik réteg keresztmetszet-területe a saját súlyponti tengelyére vonatkozó

másodrendű nyomatéka,

A i és Jxx,i - az Ei/E-vel módosított terület és másodrendű nyomaték, amelyben E rugalmassági

modulusz jellegű mennyiség, nagyságát teljesen szabadon választhatjuk, szerepe csak annyi,

hogy az összefüggéseket egyszerűsíti.

183

A belső erők meghatározásához egyensúlyi és alakváltozási feltételeket kell megfogal-

mazni.

A z irányú vetületi egyensúlyi egyenlet azt fejezi ki, hogy a teljes keresztmetszet összes

normál-igénybevétele - z irányú külső erők hiányában - nulla:

F Niz z ii

n

= ==∑∑ 0

1, , 5.70

a belső erők és a terhelő nyomaték közti kapcsolatot pedig nyomatéki egyensúlyi egyenlettel

fejezhetjük ki. Az 1. réteg súlypontján átmenő, x-szel párhuzamos tengelyre:

M = 0 = M - M + a NxS

x x, ii=1

n

i i

n1∑ ∑ ∑

=i 1

, 5.71

ahol

a = v -v + v

2 ,i j

j=1

i1 i∑

az i-edik réteg súlypontjának az 1. réteg súlypontjától mért távolsága.

Az első alakváltozási feltétel azt fejezi ki, hogy két réteg közös síkjában a szélső szálak

fajlagos hosszváltozása megegyezik, ami az elmozdulásmentes kapcsolat következménye:

(felső sz á l)= (alsó szá l ) , i = 1,2,..., n -1 zz,i zz,i+1ε ε 5.72

a második alakváltozási feltétel pedig annak matematikai megfogalmazása, hogy a rúd valamely

keresztmetszete az alakváltozás után is sík marad, tehát két egymás mellett lévő, z hosszúságú

réteg viszonylagos szögelfordulása megegyezik:

∆ϕ = =ε ε

ε ε

(alsó szá l ) - (felső szá l)

v

=(alsó szá l ) - (felső szá l)

v

zz,i zz,i

i

zz,i+1 zz,i+1

i+1

, i = 1,2,...,n-1 . 5.73

Helyettesítsük be a két utóbbi egyenlőségbe az (5.69/b) összefüggést, úgy, hogy yi-hez

alsó szál esetén vi/2-t, felső szál esetén -vi/2-t alkalmazunk. Rendezés után a következő két kife-

jezést nyerjük: M

J

M

J

M

J

M

J

x,i+1

xx,i+1

x,i

xx, i

x, i+1

xx,i+1

x,i

xx,i

v vN

A

N

Ai iz i

i

z i

i+

+

+

+ + − =

− =

11

1

2 2 0

0

, ,

i = 1,2,...,n-1

Ezek az egyenletek az (5.70) és (5.71) egyensúlyi egyenletekkel 2n egyenletből álló egyenlet-

rendszert alkotnak, amelyből az n számú Mx,i és n számú Nz,i ismeretlen meghatározható. Ezeket

184

a kifejezéseket viszonylag egyszerűen megkapjuk, ha a fenti két egyenletből ismételt rekurzív

helyettesítéssel kifejezzük az ismeretlen belső erőket Mx,i és Nz,i függvényében, majd ezek

(5.70)-be és (5.71)-be való helyettesítése után az ismeretlenek meghatározhatók:

, J

)a-(eAM =N

,Mx J

J=M

xx

i1ixiz,

xx

ixx,ix,

ahol

ea A

Ai i

i1 = ∑

∑ - a teljes keresztmetszet rugalmassági moduluszok arányában módosított

súlypontjának az 1. réteg súlypontjától mért távolsága,

J = [J + a A - e A ] ,xx xx,i i2

i i2

ii=1

n

∑

amely - mint az összefüggés alapján megállapíthatjuk - nem más, mint a teljes keresztmetszet

módosított súlyponti x tengelyre vonatkozó módosított másodrendű nyomatéka.

A belső erők ismeretében az i-edik réteg yi koordinátájú pontjában ébredő normálfe-

szültség:

=M

Iy +

N

F ,zz,i

x,i

xx,ii

z, i

i

σ

a feszültségeloszlás az 5.48. ábrán láthatóhoz lesz hasonló.

A rúd semleges tengelyének görbületi sugarát a teljes keresztmetszet alsó és felső szálá-

nak fajlagos hosszváltozása alapján számítjuk:

1

=(alsó szá l ) - (felső szá l)

zz zz

i=1

ρε ε

v i

n

∑ ,

melyre (5.60/b)-vel az alábbi kifejezést kapjuk: 1

=M

E J .x

x xρ

Az eredő rugalmassági moduluszt úgy kapjuk, hogy a fenti összefüggést egyenlővé

tesszük a homogénnek tekintett rúd Mx hatására kialakuló görbületével: 1

=M

EJ =

M

E I ,x

xx

x

eredő xxρ

ahonnan

1

E=

1

E

I

J=

[I + (a - e ) F ]

E [I + a F - e F ]

.eredő

xx

xx

xx, i i 12

ii=1

n

i xx, i i2

i 12

ii =1

n

∑

∑

185

5.4.4.3. Eltérő húzó- és nyomórugalmassági modulusszal rendelkező anyagú rudak tiszta hajlítá-

sa

A tiszta hajlítás elméleti tárgyalásánál láttuk, hogy a rúd semleges síkja alatt és felett

eltérő előjelű normálfeszültségek ébrednek. Ha fenntartjuk azt a - gyakorlatilag jól teljesülő -

feltételt, hogy az eredetileg sík keresztmetszet az alakváltozás után is sík marad és a rúd anya-

gának rugalmassági modulusza húzásra és nyomásra különböző, akkor a normálfeszültségek

eloszlása lineáris marad ugyan, de az egyenes meredeksége a húzott és nyomott övben külön-

bözni fog. A változó meredekség ugyanakkor a semleges sík eltolódását vonja maga után, mert

a normálfeszültségekből származó belső erők z irányú eredőjének nullával kell egyenlőnek len-

nie.

A semleges tengely he-

lyének, azaz a húzott és nyomott

keresztmetszetrész meghatáro-

zását az 5.4.4.2. fejezet

eredményeinek felhasználásával

végezhetjük el. Az eljárást a

faanyagú rudak esetében leg-

gyakrabban előforduló, téglalap

keresztmetszeten mutatjuk be. A

teljes keresztmetszetet az eltérő

húzó- és nyomórugalmassági

5.48/b. ábra moduluszoknak megfelelően két

részre osztjuk az egyelőre ismeretlen k tényező segítségével (5.48/b. ábra). A módosított súly-

pontnak a két réteg határvonalára kell esnie, így az előző fejezet módosított súlypont-

koordinátát megadó kifejezésének felhasználásával:

( )

( ) e =

kh

2=

a A

A

=0 +

E

E ,1

i i

2

ii -1

2

2

ik hb

h

E

Ekhb

E

Ek hb

=∑

∑

−

+ −

1

1 2

12

1

ahonnan E1 = E+ és E2 = E- jelölés bevezetésével:

kE

E

=

++

−

1

1

Faanyagnál E+ > E- , a fenti kifejezés nevezője mindig nagyobb 2-nél, a semleges tengely (a

módosított súlypont) mindig a húzott oldal felé tolódik el.

Az elvileg két rétegből álló keresztmetszet geometriai és rugalmassági jellemzőinek

ismeretében már alkalmazhatjuk az előző fejezet összefüggéseit a normálfeszültség-eloszlás és

186

az eredő hajlító rugalmassági modulusz meghatározására. A húzott öv normálfeszültség-

eloszlása:

=M

Iy +

N

F=

M

I

E

E

I

Jy +

M

F

E

E

F

J=

M

J

E

Ey , zz,1

x,1

xx,11

z,1

1

x

xx,1

1 xx,1

xx1

x

1

11

xx

x

xx

+

1σ

khkh22

+

a nyomott övé:

( ) =M

Iy +

N

F=

M

I

E

E

I

Jy +

M

F

E

E

F

J

M

Jzz,2x,2

xx,22

z,2

2

x

xx,2

2 xx,2

xx2

x

2

22

xx

x

xx

σ

khE

Ey

hk

22

212

−

= − −

−

.

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a normálfeszültségek az 5.48/b. ábrának megfelelően alakulnak,

s hogy a húzott és nyomott övben a feszültségeloszlás egyenesének meredeksége E+-szal és E--

szal arányos.

Az 5.4.4.2. fejezet utolsó összefüggésének felhasználásával megkapjuk az eredő hajlító-

rugalmassági moduluszt. Egyszerű rendezés után:

E = k

k + (1 + k) E eredő

2

3 3+

vagy a húzó- és nyomórugalmassági modulusszal kifejezve:

E =E

1 +E

E

E

E

=E E

E E E E . eredő

+

+

-

+

-

+ -

+ + - -

− − +

5.4.5. Erőtani méretezés

5.4.5.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

A tiszta hajlításnál, mint láttuk, normálfeszültségek keletkeznek, így a méretezés során

ezek maximumát kell összehasonlítani a megengedett feszültséggel:

σ σm a x m ,≤ 5.74

ahol

σ maxx'

x'

=M

K ,

amelyben x' - a hajlítás tengelye, Mx' - a hajlítónyomaték vektorának x' tengelyre eső vetülete,

Kx' - a keresztmetszet hajlítás tengelyére számított keresztmetszeti tényezője. Egyenes hajlítás-

nál annyival egyszerűbb lesz a helyzet, hogy a hajlítás tengelye - minden külön számítás nélkül

- a keresztmetszet súlypontjába tartozó, a hajlítónyomaték vektorával egybeeső másodrangú

főtengely. Enyhén változó keresztmetszetű rúdnál abban a pontban kell számítani a normálfe-

szültség maximumát, amelyben az a lehető legnagyobb.

Ha a rúd anyagának a megengedett feszültségen húzásra és nyomásra nem egyforma,

akkor az ellenőrzést a pozitív és negatív feszültségmaximumokra is el kell végezni.

187

Alakváltozásra való méretezésnél a görbületi sugár minimuma nem lehet kisebb egy

előírt, megengedett értéknél:

, min mρ ρ≥ 5.75

ρ min -t a veszélyes keresztmetszetben az (5.67) kifejezéssel számítjuk.

Tervezésnél az (5.74) és (5.75) relációkban egyenlőséget tételezünk fel.

5.4.5.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

A rúd kielégíti az erőtani követelményeket, ha

M M , M H≤ 5.76

ahol MM-et a mértékadó teher alapján számítjuk, a határnyomaték pedig:

MH =σ H Kx' ,

amelyet a veszélyes keresztmetszetben határozunk meg. Ha húzásra és nyomásra nem egyforma

a határfeszültség, akkor az abszolút értékre kisebbet kell felhasználni.

Alakváltozásra történő méretezésnél ugyanúgy járunk el, mint az előző módszernél,

ρ min számításánál azonban a mértékadó nyomaték x'-re eső vetületét kell figyelembe venni.

Tervezésnél itt is az egyenlőségekből indulunk ki.

5.5. Csavaró igénybevétel

Láttuk, hogy tiszta hajlításnál a rúd feszültségi és alakváltozási állapotmezeje már nem

homogén - mint húzásnál, nyomásnál és nyírásnál - az inhomogenitás csavaró igénybevételnél

még szembetűnőbb. A csavarásnál keletkező feszültségek eloszlása, sőt magának a számításnak

a módja is nagymértékben függ a keresztmetszet alakjától.

5.5.1. Kör (és körgyűrű) keresztmetszetű rudak tiszta csavarása

Terheljük a kör keresztmetszetű, prizmatikus rúd véglapjait olyan - egyelőre nem részle-

tezett - megoszló erőrendszerrel, hogy tetszőleges keresztmetszetben az igénybevétel:

NK = N(z) = 0 ,

TK = T(z) = 0 ,

MK = M(z) = Mz = áll.

legyen. A rúd keresztmetszeteinek igénybevétele, tehát Mz nagyságú, tiszta csavarónyomaték

(5.49. ábra).

188

5.49. ábra

A rúd alakváltozásáról a következőket

állapíthatjuk meg. A körhenger alkotói az alak-

változás után csavaralakot vesznek fel. A ke-

resztmetszetek a z tengely körül elfordulnak, de

továbbra is síkok és eredeti alakjukkal egy-

bevágóak maradnak. A rúd felületén kijelölt elemi

derékszögű négyszög élhosszai nem, csak

élszögei változnak meg. A z hosszúságú rúdelem

(5.50. ábra) vizsgálatánál megállapíthatjuk, hogy

amennyiben a két szélső keresztmetszet vi-

szonylagos szögelfordulása ∆ϕ , akkor a henger

z tengellyel párhuzamos szálainak γ szög-

változása a szál z tengelytől mért távolságának,

5.50. ábra r-nek a függvénye. Az ábra alapján felírhatjuk:

r ∆ϕ = γ (r) ∆ z, ahonnan γ (r) = r ∆ϕ∆z

,

mivel ∆ϕ és ∆ z hányadosa egy keresztmetszetben állandó, a γ szögváltozás r-nek lineáris

függvénye. A rúd és a terhelés centrikus szimmetriája miatt a keresztmetszet síkjában lévő x és

y tengelyrendszert tetszőlegesen el-forgathatjuk, ezért egy tetsző-legesen felvett pont környeze-

tének elemi hasábja az 5.51/a. ábrán látható módon deformálódik. Az εzy = εyz deformáció-

komponenseknek ugyanilyen indexű nyírófeszültség-komponensek felelnek meg a Hooke-

189

törvény értelmében (5.51/b. ábra). Vezessük be a σ σ τzy yz= =

jelölést. Ha az anyag nyíró-

rugalmassági modulusza G, akkor

( ) . z

Gr=(r) G=r = ∆∆ϕγττ 5.77

A nyírófeszültség a keresztmetszet

valamely pontjában arányos a

pontnak a z tengelytől mért távol-

5.51. ábra ságával, hatásvonala pedig merőle-

ges a középponttól a ponhoz húzott sugárra (5.49/e. ábra). A feszültség és a külső terhelés kap-

csolatát a z tengelyre vonatkozó nyomatéki egyensúlyi egyenlet alapján határozhatjuk meg:

5.52. ábra

M = 0 = M - r (r)dA = M - Gz

r dA = M - Gz

I ,iz z

A

z2

z S∑ ∫ ∫τ∆ϕ∆

∆ϕ∆A

ahonnan ∆ϕ∆z

-t kifejezve és (5.77)-be helyettesítve kapjuk:

τ (r) =M

Ir . z

S

5.78

A feszültségeloszlást a kör keresztmetszet egy sugara mentén az 5.52. ábrán láthatjuk. Ne feled-

kezzünk meg arról, hogy a dualitás következményeként nemcsak a z normálisú, hanem az y

normálisú felületen is fellépnek nyírófeszültségek.

Erre különösen ott kell tekintettel lennünk, ahol a hossztengellyel párhuzamos síkokban

az anyag nyírószilárdsága kisebb, mint a keresztmetszeti síkokban (pl. olyan fából készült rúd-

190

nál, amelynek hossztengelye párhuzamos a rostiránnyal). Ilyen esetekben a tönkremenetel a

hossztengellyel párhuzamos síkok egymáson való elcsúszása következtében megy végbe.

Egy rúd tetszőleges, r koordinátájú pontjában a feszültségi és alakváltozási állapot

tenzorának mátrixa:

[ ]TM

Ir

M

Ir

yzz

S

zyz

S

σ σ

σ

= =

=

0 0 0

0 0

0 0

[ ]TG

G

yz

zy

εσ

σ

=

0 0 0

0 02

02

0

A két állapot Mohr-körei az 5.53. ábrán láthatók.

5.53. ábra

A középponttól különböző r távolságra lévő pontok feszültségi állapota hasonló, csak a feszült-

ségek nagysága különböző. A Mohr-körök jellege is ugyanaz, csupán átmérőik változnak r

függvényében. Az 5.5.3. ábra segítségével megállapíthatjuk, hogy az egyik főfeszültségi, illetve

főalakváltozási irány az x tengely, a másik két főirányt pedig az x, y tengelyek x tengely körüli

45°-os elforgatásával nyerjük. A főfeszültségek és főalakváltozások értéke: = - = = , = - = = .1 3 zy yz 1 3 zy yxσ σ σ σ ε ε ε ε

A nyírófeszültség maximuma a keresztmetszet szélső pontjaiban, a kerületen ébred:

τ maxz

S

z

S

z

S

=M

IR =

MI

R

=M

K , 5.79/a

ahol KS - a keresztmetszet poláris keresztmetszeti tényezője.

Az L hosszúságú rúd alakváltozását, amely a fentiek értelmében a két végkeresztmetszet

egymáshoz viszonyított elfordulása, egy szögelfordulással jellemezzük. Ezt az egyensúlyi

egyenletből fejezhetjük ki:

191

=M

GI z ,z

S

∆ϕ ∆

amelyből

=M

G Id z + * ,z

S

ϕ ϕ∫

a ϕ * integrálási állandót a kerületi feltételekből határozhatjuk meg. Ha az L hosszúságú rúd

egyik vége befogott, azaz egyik végének elfordulását meggátoljuk (5.5.4. ábra), a kerületi felté-

tel: ϕ (z = 0) = 0. E feltétel mellett a szögelfordulás:

(z) =M

GIz ,z

S

ϕ

a maximális szögelfordulás:

= (z = L) =M L

GI max

z

S

ϕ ϕ 5.79/b

5.54. ábra

amely a végkeresztmetszetek relatív elfordulása. A GIS szorzatot a rúd csavarómerevségének

nevezzük.

A dz hosszúságú rúdelemben felhalmozott rugalmas energia:

dU =1

2( + )dV =

1

2[ 2 dA]dz =

2 1 M2z

=1

2[ dA]dz =

1

2[

M

GI r dA]dz =

1

2

M

GIdz

b zy zy yz yz zy zy

zy2

A

z2

S2

2

A

z2

S2

σ ε σ ε σ ε

σ

A

G

∫

∫ ∫

5.80

Az L hosszúságú rúdban felhalmozott rugalmas energia és a külső erők saját munkája:

U = U = dU =1

2

M

G I dz =

1

2

M

G Ib b bz2

S0

Lz2

S

~∫ ∫

L 5.81

Könnyen beláthatjuk, hogy a körgyűrű ke-

resztmetszet esetén a fent elmondottak érvé-

nyesek maradnak. Ilyenkor IS természetesen a

körgyűrű poláris másodrendű nyomatékát

jelenti. A feszültségeloszlás lineáris, de - az

5.55. ábrának megfelelően - feszültség csak a

keresztmetszet anyagi pontjaiban ébred.

Az a feltételezés, hogy csavaráskor a ke-

resztmetszetek az alakváltozás során síkok

maradnak, csak kör és körgyűrű keresztmet-

szetű rudak esetén teljesül. Minden egyéb

5.55. ábra - tömör vagy üreges - keresztmetszetű rúdnál

192

a sík keresztmetszet görbült felületté alakul, a keresztmetszet pontjai egymáshoz képest z irány-

ban elmozdulnak. Ezt az alakváltozási jelenséget öblösödésnek nevezzük. Ilyenkor a kereszt-

metszet alakja is változást szenved.

Ha a keresztmetszet öblösödését semmi sem gátolja, szabad csavarásról beszélünk, ha

az öblösödést akadályozzuk, gátolt csavarásról. Ez utóbbi esetben a rúdban z irányú normálfe-

szültségek is ébrednek, amelyek nagysága, különösen vékony falú csöveknél, jelentős lehet és

ezek a normálfeszültségek eloszlására is hatással vannak. A következőkben a szabad csavarás

néhány egyszerűbb esetét tárgyaljuk.

5.5.2. Vékony falú, zárt szelvényű prizmatikus rudak tiszta csavarása

Legyen a tiszta csavarásnak kitett prizmatikus rúd keresztmetszete egy olyan kétszere-

sen összefüggő tartomány (5.56. ábra), amelynél a külső és belső határoló vonal távolsága, azaz

a cső falvastagsága változhat, de a rúd egyéb méreteihez képest kicsi.

A falvastagságot felező vonal a középvonal. Ha a keresztmetszet öblösödése nem gátolt,

akkor normálfeszültségek nem ébrednek s az egyetlen feszültségkomponens a nyírófeszültség.

A z normálisú keresztmetszet-felület azon pontjaiban, amelyek a külső és belső kerületen he-

lyezkednek el, a nyírófeszültség hatásvonala az adott kerületi ponthoz húzott érintővel csak

párhuzamos lehet. Ha a nyírófeszültségnek érintőre merőleges komponense is lenne, akkor a

dualitás tétel értelmében a rúd palástfelületén is ébrednie kellene nyírófeszültségnek, ami lehe-

tetlen, mert a rúd palástfelülete tehermentes (tehát nincs, ami ezt a hatást kifejtse). Ez az egyen-

súlyi követelmény néhány egyszerű, de fontos feltételezést tesz lehetővé. Mivel a csőkereszt-

metszet falvastagságának kicsinek kell lennie, feltehetjük, hogy egy s ívkoordinátával jellemzett

helyen a középvonalra merőleges egyenes mentén az összes nyírófeszültség párhuzamos a kö-

zépvonalhoz húzott érintővel és nagyságuk is azonos (a falvastagságnak megfelelő kis szaka-

szon a változás akár irány, akár nagyság szempontjából nem lehet jelentős) (5.56/a. ábra).

5.56. ábra

193

Vágjuk ki a csőnek egy ∆z hosszúságú és középvonalának tetszőleges ívhosszúságú

darabját (5.56/b. ábra). A dualitás következményeként az A pontban a z normálisú síkon ébredő

τ 1 nyírófeszültség megegyezik a z tengellyel párhuzamos síkon (az ábrán -y normálisú sík)

fellépő nyírófeszültséggel. Ugyanezt mondhatjuk a B ponthoz tartozó τ 2 feszültségkomponen-

sekről is. A z tengellyel párhuzamos vetületi egyenlet a következő alakú:

F = 0 = v z - v z ,iz 1 1 2 2∑ τ τ

ahonnan

τ τ τ1 1 2 2v = v = (s)v(s) =á ll..

ami azt jelenti, hogy a cső falvastagságának és a nyírófeszültségnek a szorzata, az ún. nyírófo-

lyam minden pontban ugyanakkora. Ennek figyelembevételével a z tengelyre vonatkozó nyoma-

téki egyensúlyi egyenletben szereplő integrálkifejezés könnyen átalakítható) 5.56/a. ábra):

M = 0 = M - (s)v(s)k(s)ds = Mz - (s)v(s) k(s)ds ,iz z∑ ∫ ∫τ τ

ahol k(s) - a középvonal s ívkoordinátájú pontjának a csőkeresztmetszete súlypontjától mért

távolsága. A k(s)ds szorzat az ábrán látható, sraffozott háromszög területének a kétszerese, ezért

a zárt görbe mentén vett integrál a középvonal által bezárt terület kétszeresét adja. A fenti össze-

függésből a nyírófeszültség kifejezhető:

τ(s) =M

2A v(s) , z

k

5.82

ahol Ak - a csőkeresztmetszet középvonala által bezárt terület. Nyilvánvaló, hogy a nyírófeszült-

ség maximum a legkeskenyebb falvastagságú helyen keletkezik:

τ m axz

k m in

=M

2A v . 5.83

A végkeresztmetszetek relatív szögelfordulását a rugalmas energia és a külső erők saját

munkájának egyenlőségéből határozhatjuk meg:

U =1

2dV =

1

2G 2 A v (s)v(s)ds dz =

8GA

ds

v(s) , b

2

2k2 2

0

L

k2

τG

M M Lz z∫ ∫∫ ∫

2 2

WSk =

1

2Mz ϕ max ,

a kettő egyenlőségéből:

= M L4GA

ds

v(s) . max z

k2

ϕ 1∫ 5.84

Az utóbbi három számozott összefüggést Bredt-féle képleteknek nevezik.

5.5.3. Téglalap keresztmetszetű prizmatikus rudak tiszta csavarása

A tömör, téglalap keresztmetszetű prizmatikus rudak csavarásának rugalmasságtani

feladata elemi úton már nem oldható meg. A rugalmasságtan alapegyenleteinek felhasználásá-

194

5.57. ábra

val azonban a feszültségek és az alakváltozások meghatározásához szükséges összefüggések

végtelen sorok formájában megadhatók. Ezeknek az összefüggéseknek a levezetése meglehető-

sen bonyolult, ezért csak a végeredményeket közöljük, illetve magyarázzuk.

Ha a szabad csavarás esetére szorítkozunk, az alakváltozásra a következő megállapítá-

sokat tehetjük (5.57/a. ábra):

- a keresztmetszetek nem maradnak síkok, öblösödnek, a rúdtengely irányából nézve azonban a

téglalap alak változatlan marad, a keresztmetszet a z tengely körül merev testként - az öblösö-

déstől eltekintve - fordul el,

- a rúd felszínén berajzolt hálózat szögtorzulása az oldallapok közepén a legnagyobb (a hosz-

szabbik oldalon a maximális), a sarkokon a derékszög nem változik.

Ezek alapján a feszültségekről a következőket mondhatjuk:

- a keresztmetszetek szabad öblösödése miatt normálfeszültségek nem ébrednek,

- a keresztmetszet pontjainak feszültségi állapota tiszta nyírás, a középpontban és a sarokpon-

tokban nem ébred nyírófeszültség, a legnagyobb nyírófeszültségek a keresztmetszet szélein

keletkeznek, ezek hatásvonala mindig párhuzamos az adott oldallal, a keresztmetszet többi pont-

jában a nyírófeszültségeknek x és y irányú összetevője is van, ezen összetevők nagysága a két

tengely mentén parabolikusan változik (5.57/b. ábra).

A maximálisan nyírófeszültség a téglalap hosszabbik oldalának közepén ébred:

ταmax

z2

=M

a b , ha b a , ≥ 5.85

az L hosszúságú rúd véglapjainak relatív elfordulása:

= M L

a bG , max

z3

ϕβ

5.86

ahol

195

α β

π π

βπ

π

=−

= −

=

∞

=

∞

∑

∑

18 1

2

1

31

192 1

5 2

221 3 ,5

51 3 ,5

i chi b

a

a

bth

i b

a

i

i

, ..

, ...

,

.

Nagyon keskeny derékszögű négyszögekre, ahol v = a << b,

α β= =1

3 , ezért

τ ϕmax =3M

v b=

M

v b

3

v =M

Iv é s =

3M

v bG=

M

I G , z

2z

3z

bmax

z3

z

b

L L 5.87/a,b

ahol Ib a keskeny derékszögű négyszög hosszabbik élével egybeeső tengelyre vonatkozó másod-

rendű nyomatéka.

Más alakú, de tömör keresztmetszetű rudak csavarásakor keletkező feszültségek és

alakváltozások is végtelen sorok formájában adhatók meg. A leggyakrabban előforduló ke-

resztmetszetek (háromszög, ellipszis, stb.) megfelelő összefüggései szakkönyvekben fellelhetők.

5.5.4. Vékony falú, nyitott szelvényű prizmatikus rudak tiszta csavarása

A gép- és építőipari szerkezetekben gyakran előfordulnak olyan csavarásra igénybe vett

rudak, amelyek keresztmetszete nyitott és - jó közelítéssel - vékony derékszögű téglalap össze-

gére bontható (5.58. ábra).

5.58. ábra

Szabad csavarásnál a keresztmetszet öblösödik ugyan, de a z tengely körül merev test-

ként fordul el. A teljes keresztmetszet szögelfordulása tehát megegyezik részeinek, azaz a köze-

lítőleg vagy pontosan keskeny téglalapoknak az elfordulásával. Jó közelítéssel feltehetjük, hogy

a részkeresztmetszetek egymástól függetlenül dolgoznak és csavarómerevségük arányában ve-

szik fel a teljes csavarónyomatékot:

M = M ,z zii=1

n

∑

ahol n - a keresztmetszet felbontott téglalapjainak száma, Mzi - az i-edik keresztmetszetrészre

ható csavarónyomaték.

196

Az i-edik rész elfordulása (5.87/b)-vel számítható:

i =M L

v b

3

=M L

GI ,zi

i3

i

zi

bi

ϕG

ahol vi és bi az i-edik téglalap szélessége és hosszúsága,

a teljes keresztmetszet elfordulása:

ϕ =M L

v b

3

=M L

GI . z

i3

i

i=1

z

bGn

∑ 5.88

A kettő egyenlőségéből meghatározható a részkeresztmetszetekre eső csavarónyomaték:

M = MI

I .zi z

bi

b

A nyírófeszültségek maximuma az egyes téglalapok hosszabbik oldalán van. (5.87/a)

felhasználásával:

τ imaxzi

bii

z

bi=

M

Iv =

M

Iv 5.89/a

Mivel Mz és Ib minden téglalapra ugyanaz, az abszolút maximális nyírófeszültség a legvasta-

gabb részkeresztmetszet hosszabbik oldalának közepén ébred:

τ m ax =M

Iv . z

bm ax 5.89/b

5.5.5. Erőtani méretezés

5.5.5.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

A kimutatandó alapreláció:

τ τm ax m ,≤ 5.90

ahol τ max-ot a csavart keresztmetszet jellegének megfelelően az (5.79/a), (5.83), (5.85), (5.89/b)

összefüggésekkel számítjuk. τ m értékei a tiszta nyírás megengedett feszültségeivel egyeznek

meg.

Hasonlóan mutatjuk ki az alakváltozási feltétel kielégülését:

ϕ ϕmax ≤ m . 5.91

A maximális relatív keresztmetszetelfordulást az (5.79/b), (5.84), (5.86), (5.88) kifeje-

zésekkel számítjuk a keresztmetszet alakjának megfelelően. A megengedett szögelfordulást a

szerkezet használhatósága szabja meg, illetve táblázatokból vehetjük ki.

197

5.5.5.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

A vizsgálat során ki kell mutatni, hogy

MM ≤ MH 5.92

ahol MM a mértékadó igénybevétel hatására keletkező csavarónyomaték, MH-t a keresztmetszet

alakjának megfelelő összefüggéssel számítjuk τmax = τH helyettesítéssel.

Az alakváltozás ellenőrzésénél a

ϕ M ≤ ϕ H 5.93

5.6. Hajlítás és nyírás (közönséges hajlítás)

Az összetett igénybevételek közül a leggyakrabban előforduló az ún. közönséges hajlí-

tás, mikor a hajlítóigénybevétellel egy időben nyíróigénybevétel is fellép. Terhelje az egyenes,

prizmatikus rudat olyan külső erőrendszer, hogy tetszőleges keresztmetszet igénybevételeire

fennálljon:

NK = N(z) = 0 ,

TK = T(z) = Ty(z) ,

MK = M(z) = Mx(z) .

A terhelés síkja tehát minden keresztmetszetben az y,z sík, az igénybevételek azonban

helyről-helyre változnak. Az egyensúly kielégítése következtében - mint azt a sztatikában meg-

ismertük - a hajlítónyomaték és a nyíróigénybevétel között fenn kell állnia a dM (z)

dz = T (z) x

y 5.94

kapcsolatnak. A két igénybevétel vizsgálata nem történhet egymástól függetlenül, hiszen a két

igénybevétel egymásnak függvénye. Az (5.94) összefüggés indokolja ennek az összetett igény-

bevételfajtának a gyakoriságát, mert tulajdonképpen azt mondja ki, hogy változó nagyságú

hajlítóigénybevétel mellett mindig kell ébrednie nyíróerőnek is, a rúdtengelyre merőleges terhe-

lések esetén - és ez a leggyakoribb terheléstípus - pedig a hajlítóigénybevétel a hossztengely

mentén változik.

Közönséges hajlításkor a feszültségi és alakváltozási viszonyok lényegesen függenek a

rúd geometriai jellemzőitől, különösen keresztmetszetének alakjától és a terhelés, illetve az

igénybevételek hatósíkjának a keresztmetszet főtengelyeihez viszonyított helyzetétől.

A továbbiakban a közönséges hajlítás olyan speciális eseteivel foglalkozunk csak, ami-

kor a prizmatikus rúd keresztmetszetének legalább egy szimmetriatengelye van és a

hajlítóigénybevétel vektora erre a tengelyre merőleges vagy vele párhuzamos (tehát egyenes

hajlításról van szó).

198

5.6.1. A hajlítónyomaték vektora merőleges a keresztmetszet szimmetriasíkjára

A közönséges hajlítás feszültségi és alakváltozási viszonyainak elemi úton történő vizs-

gálatánál feltételezzük, hogy a hajlítóigénybevétel hatására keletkező normálfeszültségek elosz-

lása megegyezik a tiszta hajlításnál meghatározottéval. Most egyenes hajlítással állunk szem-

ben, így a normálfeszültségeket az (5.60)-as kifejezéssel számíthatjuk. A különbség csupán

annyi lesz, hogy a

σ zzx

xx

(z) =M (z)

Iy 5.95

kifejezésnek megfelelően az eloszlásra jellemző egyenes (5.59/b. ábra) meredeksége a hely

függvényében változik, a hajlítónyomaték nagyságával arányosan.

A közönséges hajlításból származó normálfeszültségek szélső értéke abban a kereszt-

metszetben ébred, amelyben a legnagyobb a hajlítónyomaték:

σ zz,max+ x,max

xxx

x,max

x

=M

Ie =

M

K , 5.96/a

σ zz,maxx,max

xxx

x,max

x

=M

Ie' =

M

K' . − 5.96/b

A nyírásból származó feszültségek meghatározásánál tegyük fel, hogy a keresztmetszet

tetszőleges, x,y koordinátájú pontjában a nyírófeszültség két, σ zy és σ zx összetevőre bontha-

tó.

5.59. ábra

199

Határozzuk meg először az y tengellyel párhuzamos komponenst. Vizsgáljuk meg ehhez

a rúd egy ∆z hosszúságú elemének egy tetszőleges y koordinátától lefelé eső részét (5.59/f.

ábra). E rúdelem bal oldali keresztmetszetének pontjaiban σ zz(z) jobb oldali keresztmetsze-

tének pontjaiban σ zz(z+∆ z) normálfeszültségek hatnak a hajlítás következtében. Mindkét

keresztmetszet pontjaiban nyírófeszültségek is hatnak, a legfelső, y koordinátájú pontokban a

nyírófeszültség-komponensek σ zy és σ zx. A dualitás tétel következményeként a rúdelem y

normálisú felületén is ébrednie kell σ yz =σ zy nyírófeszültségnek. Mivel a ∆ z elemi hosszú-

ság, feltehetjük, hogy az y normálisú felületen a nyírófeszültség megoszlása egyenletes. A rúd-

elemre ható erők z irányú vetületi egyensúlyi egyenlete a következő alakot ölti:

F = 0 - (z)dA + (z + z)dA + v(y) z ,iz zz zz yz∑ ∫ ∫σ σ σA A' '

∆ ∆

ahol A' = A'(y) - a keresztmetszet y koordinátáitól kifelé eső részének területe,

v(y) - pedig a keresztmetszet szélessége az y koordinátájú helyen. Rendezzük az egyenletet és

használjuk fel a (5.95) és (5.94) összefüggéseket:

σ σσ σ σ

zy yzzz zz

A'

zz

x

A' xx

y

xx

y

xx A'

y

xx

= =-1

v(y)

(z + z) - (z)

zdA =

-1

v(y)

d (z)

dzdA =

=-1

v(y)

dM y'

IdA = -

1

v(y)

T

I= -

T

I v(y)y'dA = -

T

I v(y) ,

∆∆∫ ∫

∫ ∫ ∫

A

xz

dz

zy dA

z z S y'

( ) ( )'

( ) ( ) ' ( )5.97

ahol az S'x(y) jelölésben a vessző arra utal, hogy nem a teljes keresztmetszet, hanem csak az y

koordinátától kifelé eső keresztmetszet-terület x tengelyre vonatkozó sztatikai nyomatékáról van

szó. A fenti összefüggést Zsuravszkij-képletnek nevezzük első levezetőjéről. Ez megadja a z

koordinátájú keresztmetszet y koordinátájú pontjaiban a közönséges hajlítás nyíróigénybevé-

teléből származó nyírófeszültségnek y irányú komponensét. Ez a nyírófeszültség-komponens,

mint a képlet mutatja, az x koordinátának nem függvénye, σ zy nagysága tehát az x tengellyel

párhuzamos egyenesek mentén azonos. A feszültség eloszlásának jellege Sx(y)-tól ésd v(y)-tól,

azaz a keresztmetszet geometriai alakjától függ. A sztatikai nyomatékokra vonatkozó összegzési

tétellel könnyen beláthatjuk, hogy y koordinátájú szál alatt és felett lévő keresztmetszet-terület x

tengelyre vonatkozó elsőrendű nyomatéka abszolút értékre megegyezik:

Sx,egész = S'x,alsó + S'x,felső = 0 ,

mert a súlyponton átmenő tengelyre a sztatikai nyomaték nulla. Az egyenlőség szerint

S'x,alsó = - S'x,felső .

A fentiek miatt, valamint annak érdekében, hogy az (5.97) a nyírófeszültség-komponenst előjel-

helyesen adja meg, az összefüggésben a részterület sztatikai nyomatékának abszolút értékét kell

behelyettesíteni.

200

Az (5.97) összefüggés tüzetesebb analízisével a nyírófeszültség y tengely menti eloszlá-

sáról is képet nyerhetünk. A szélső szálakban Sx(y=ex vagy e'x) = 0, ezért itt nyírófeszültség nem

ébred. Ez összhangban van azzal, hogy a rúd tehermentes felületén egyébként sem ébredhet

σ yz feszültségkomponens. A nyírófeszültség abszolút maximuma, vagy legalább helyi maxi-

muma az y=0 helyen lesz, mert az összes lehetséges S'x közül a hajlítás tengelyétől egyik oldalra

eső keresztmetszetrész sztatikai nyomatéka a legnagyobb. Ha a keresztmetszet szélessége ugrás-

szerűen változik, akkor az eloszlásfüggvényben is ugrás van. Maga az eloszlásfüggvény

5.60. ábra

másod- (pl. téglalap keresztmetszet esetén) vagy magasabb fokú parabola (5.59/c. ábra). Az

5.60. ábrán néhány keresztmetszet jellegzetes feszültségeloszlását mutatjuk be. A közönséges

hajlításnak kitett rúd akkor a leggazdaságosabb anyagfelhasználású, ha a másodrendű nyomaté-

ka a hajlítás tengelyére ugyanakkora keresztmetszet-terület esetén a lehető legnagyobb. Ez ak-

kor teljesül, ha minél több terület esik a hajlítás tengelyétől távol. Ilyen keresztmetszetalak pl.

az 5.60/b. ábrán látható, vagy az I és U szelvényű idomacél. Ezekben az esetekben a σ zy nyíró-

feszültségek maximuma mindig a hajlítás tengelyében van a legnagyobb nyíróerőnek kitett ke-

resztmetszetben:

σzy,maxy,max x

xx

=T S' (y=0)

I v(y=0) . 5.98

A nyírófeszültség x irányú

komponensének meghatározásánál abból

indulhatunk ki, hogy a kereszt-metszetnek egy y

koordinátájú szélső pontjában az eredő

nyírófeszültség hatásvonalának az adott pontban a

ke-resztmetszet kontúrvonalához húzható érintővel

párhuzamosnak kell lennie (5.59/a. ábra). Ha nem

így lenne, akkor a dualitás tétel értelmében a rúd

külső normálisú felületelemén is ébrednie kellene

nyírófeszültségnek, ami teher-mentes felületi

pontban lehetetlen. A kerületi pontokban tehát az

5.61. ábra eredő nyírófeszültség hatásvonalát a keresztmet-

201

szet alakja meghatározza (5.59/a. és 5.61. ábra). Egy y koordinátájú szélső pontban az eredő

nyírófeszültség hatásvonalának és az y tengelynek a metszéspontját jelöljük K-val, s e pont tá-

volságát az y koordinátától t = t(y)-nal. Nem követünk el nagy hibát, ha feltételezzük, hogy az y

koordinátájú, az x tengellyel párhuzamos egyenes pontjaiban olyan σ zx

nyírófeszültségkomponensek ébrednek, hogy az eredő nyírófeszültség hatásvonala mindig át-

megy az y koordinátának megfelelő t(y)-nal kijelölt K ponton (5.61. ábra). E feltételezés és a

kerületi pontokhoz húzandó érintők y tengellyel bezárt szögének, ϕ -nek ismerete elegendő a

σ zx nyírófeszültség-komponensek számításához. A K pont helyét az ábra alapján a

t(y) =v(y)

2tg

ϕ

összefüggéssel határozhatjuk meg. Az x irányú nyírófeszültségkomponenst aránypár felállításá-

val kapjuk:

. t(y)

x(y)=y)(x, zyzx σσ 5.99

Az összefüggésből következik, hogy σ zx x tengely menti megoszlása lineáris (5.59/e. ábra).

Feltételünk szerint az y tengely szimmetriatengely, így a σ zx feszültségkomponensekből szár-

mazó erők a keresztmetszeten belül egyensúlyi erőrendszert alkotnak. Ha a kerületi ponthoz

húzott érintő párhuzamos az y tengellyel, a K pont a végtelenbe esik, így ezen az x tengellyel

párhuzamos szálon σ zx feszültségkomponensek nem ébrednek. Pl. téglalap keresztmetszet

esetén csak σ zy komponensek keletkeznek.

Általános esetben az eredő nyírófeszültség:

τ σ σ σz zx2

zy2

zy

2

2= = 1 +

x

t (y) .+ 5.100

A nyírófeszültségek eloszlásának ismeretében beláthatjuk, hogy közönséges hajlításkor

az alakváltozás során a keresztmetszet nem maradhat sík. A σ zy nyírókomponensek hatására

ugyanis, azok nagyságával arányos, szögváltozás lép fel. Mivel a nyírófeszültségek másod-

vagy annál magasabb fokú függvény szerint oszlanak meg, a ∆ z hosszúságú tartódarabon be-

lül felvett elemi hasábok γ zy szögváltozása a szelvény magasságának függvényében változik, s

az 5.62. ábrának megfelelően az eredetileg sík keresztmetszet S alakot vesz fel.

Természetesen a σ zx nyírókomponensek hatására is fellép szögváltozás, így a ke-

resztmetszet kétszer görbült alakot ölt. A nyírófeszültségek által okozott keresztmetszet-torzulás

azonban a legtöbb esetben olyan kis mértékű, hogy a sík keresztmetszet megmaradásának felté-

telezésével levezetett, hajlításból származó normálfeszültségek összefüggése a gyakorlatban

kielégítő pontosságúnak mondható.

202

5.62. ábra

5.64. ábra

203

A nyírófeszültségek szerepét és jelentőségét a következő példán láthatjuk be. Az

5.63./a. ábrának megfelelően helyezzünk két téglalap keresztmetszetű rudat egymás fölé minden

összeerősítés nélkül. Közönséges hajlításkor, ha még az érintkezési felületen fellépő súrlódást is

elhanyagoljuk, a két rúd egymástól függetlenül működik és a terhelésből származó

hajlítónyomatékot és nyíróerőt egyenlő arányban veszik fel. A két rúd az érintkezési felületen

egymáson megcsúszik, alakváltozásuk és feszültségeloszlásuk teljesen azonos. Ha valamilyen

módon (betét, ragasztás) sikerül elérni, hogy a két gerenda egymáson ne csúszhasson meg, hogy

együtt dolgozzon, akkor a két keresztmetszet egyetlen keresztmetszetként működik, s ennek

megfelelően alakul a normál- és nyírófeszültségek eloszlása.

Könnyen kiszámíthatjuk, hogy az utóbbi esetben (5.63/b. ábra) a rúd kétszer akkora

nyomatékkal terhelhető, mint az ugyanolyan keresztmetszetű, de egymástól függetlenül működő

szerkezet. A nyírófeszültségek eloszlásának ábráján láthatjuk, hogy a rudak elcsúszását éppen a

rúdtengellyel párhuzamos, y normálisú felületen ébredő nyírófeszültségeknek kell megakadá-

lyozni. Ezt a feszültségkomponenst a σ zy feszültségkomponens dualitáspárja szolgáltatja. Ra-

gasztásnál pl. olyan ragasztóanyagot kell alkalmazni, amelynek nyírószilárdsága nagyobb az

igénybevételből származó, a ragasztás síkjában ébredő nyírófeszültségnél. Betétes kapcsolat

kialakításnál olyan betéteket kell alkalmazni, hogy azok egy adott h hosszúsághoz tartozó, z

irányú csúsztatóerőt képesek legyenek felvenni.

Az 5.64. ábrának megfelelően a z hosszúsághoz tartozó elemi csúsztatóerő:

dH = v(y)dz =T (z)S (y)

I v(y)v(y)dz =

T (z)S (y)

Idz ,yz

y x

xx

y x

xx

σ

Az egy betétre eső h hosszúságú szakaszon fellépő csúsztatóerőt a kifejezés integrálásával kap-

juk:

H = dH =S (y)

IT (z)dz =

S (y)

IA ,

0

hx

xxy

0

hx

xxT∫ ∫ 5.101

ahol AT - a nyíróerő ábra h hosszúságú szakaszra eső területe. Sx(y)-ban y azt a koordinátát je-

lenti, amelybe a betétek középvonala esik (az ábrán látható esetben az y = 0, súlyponti szál).

A közönséges hajlításnak kitett rúd egy általános helyzetű pontjának feszültségi és alak-

változási állapotát az alábbi két mátrixreprezentáció mutatja:

T Tzx

zy

xz yz zz

zz zx

zz zy

xz yz zz

σ ε

σσ

σ σ σ

µε εµε ε

ε ε ε=

=−

−

0 0

0 0

0

0, .

Ha a keresztmetszet alakja téglalap vagy négyzet, tehát az oldalak párhuzamosak az y tengely-

lyel, akkor σ zx = σ xz = 0 és ε zx =ε xz = 0. Vannak a keresztmetszetnek olyan speciális pont-

jai, amelyekben a feszültségi és alakváltozási állapotok egyszerűsödnek. A szélső szálakban

204

nyírófeszültség nem ébred, ott a feszültségi állapot lineáris. A semleges sík pontjaiban a feszült-

ségi állapot síkbeli marad ugyan, de minden normálfeszültség-komponens nulla. Az 5.65. ábrán

megrajzoltuk a derékszögű háromszög keresztmetszet jellegzetes pontjaiban a feszültségi Mohr-

köröket.

Közönséges hajlításnál a dz hosszúságú rúdelemben felhalmozott energia a külső erők

saját munkájával kifejezve:

5.65. ábra

dzGA

T+

EI

M

2

1= dzdA

vGI

ST+dAy

EI

M

2

1=

=)dAdz 2+ ( 2

1=)dV ++(

2

1= dU

2y

2xx

2x

A22

xx

2x

2y2

2xx

2x

zyzyzzzzyzyzzyzyzzzzb

χ

εσεσεσεσεσ

∫∫A

ahol

χ = ∫A

I

S

vdA

xx2

x2

2A

( )

( )

y

y . 5.103

χ azt fejezi ki, hogy a nyírófeszültségek eloszlása nem egyenletes. Bevezetésével a

nyíróigénybevételből származó rugalmas energia számítását a tiszta nyíráséhoz hasonlóan vé-

gezzük (lásd az (5.44/a) összefüggést). χ értéke egyedül a keresztmetszet geometriai jellemzői-

nek függvénye. Derékszögű négyszög esetén 1,2; körnél 1,19; I szelvényre jó közelítéssel

2,15.

5.6.2. A hajlítóigénybevétel nyomatéká-nak vektora párhuzamos a keresztmetszet szimmetria-

tengelyével

A tapasztalat azt mutatja, hogy ha a nyíróigénybevétel hatásvonala nem párhuzamos a

keresztmetszet szimmetriatengelyével, akkor - különösen vékony falú, nyitott szelvényű rudak-

205

nál - a keresztmetszet a z tengely körül el is fordul az 5.66. ábrán látható módon. Ebből arra kell

következtetnünk, hogy a hajlító- és nyíróigénybevétel mellett járulékos igénybevételként

csavarónyomatéknak is fel kell lépnie. Ezt a jelenséget nem vizsgáljuk teljes általánosságban,

hanem klasszikus példán, egy vékony falú, U alakú szelvényen mutatjuk be. Más szelvények

esetén ugyanezt a vizsgálati módszert kell alkalmazni.

A fejezet címének megfelelően

egyenes hajlítással van dolgunk, így a

hajlítónyomatékból származó normálfe-

szültséget (5.60)-nal kell számítanunk. A

vékony falvastagságú rudak csavarásánál

már megtanultuk, hogy a nyírófeszültségek

nagysága a szelvényvastagság mentén jó

közelítéssel állandó, hatásvonaluk pedig

mindig párhuzamos a kérdéses pontban a

keresztmetszet kontúrjához húzott érintő-

vel. Az U szelvény h magasságú szárában

tehát a nyírófeszültségek hatásvonala az y,

a b hosszúságú szárakban pedig az x ten-

5.66. ábra gellyel párhuzamos.

5.67. ábra

A σ zx =σ xz feszültségkomponenst az 5.67/b. ábrán látható elemi rúddarabra ható fe-

szültségekből származó erők z irányú vetületi egyensúlyi feltételéből határozhatjuk meg. Az s

206

ívkoordinátával jellemzett helyen (s egyben az elem szélessége) az elem z normálisú felületén

σ zx feszültség ébred, amely a dualitás tétel értelmében egyenlő a ∆ z hosszúságú, x normálisú

felületen keletkező σ xz nyírófeszültséggel. Mivel a ∆ z elemi hosszúság, feltehetjük, hogy a

v(s)∆z nagyságú felület minden egyes pontjában ugyanekkora nyírófeszültség ébred. Az egyen-

súlyi egyenlet:

F = 0 = (z + z)dAA'

- (z)dAA'

- v(s) z ,iz zz zz xz∑ ∫ ∫σ σ σ∆ ∆

Rendezve és (5.60) behelyettesítésével:

= =1

v(s)

(z + z) - (z)dA =

1

v(s)

d (z) dA =

=1

v(s)

dM (z)

dz

y

IdA =

T (z)

I v(s)ydA =

T (z)S' (s)

I v(s) .

xz zxzz zz zz

A'

x

A' xx

y

xx A'

y x

xx

σ σσ σ σ∆

z zA'∫ ∫

∫ ∫ 5.104

Az összefüggés formailag a Zsuravszkij-képlet, de ne tévesszük szem elől, hogy benne az S'x(s)

és v(s) értelmezése más, mint az (5.97)-es kifejezésben. S'x(s) az s ívhosszúságú keresztmetszet-

rész sztatikai nyomatéka a hajlítás tengelyére, esetünkben

S sh

v sx' ( ) ( )=2

,

v(s) - pedig a szelvény x tengellyel párhuzamos keresztmetszetének vastagsága. Példánkban a

sztatikai nyomaték s-nek elsőfokú függvénye, v állandó, így a σ zx feszültségkomponens meg-

oszlása lineáris. Az 5.68. ábrán vázoltuk az x tengellyel párhuzamos keresztmetszetrészek nyí-

rófeszültségének eloszlását (a felső száron a sztatikai nyomaték előjelet vált, így a nyírófeszült-

ség iránya is ellentettje lesz az alsónak).

A nyírófeszültség szélső értéke az A és B jelű sarokpontokban lesz:

=T (z)

I v

h

2vb =

T (z)hb

2I . zx,max

y

xx

y

xx

σ 5.105

A függőleges száron ébredő nyírófeszültségek az előző fejezetben megismert módon, a

Zsuravszkij-képlettel számíthatók. Egy y koordinátájú helyen:

S' (y) =h

2vb +

v

2(

h

2- y)(

h

2+ y) ,x

ezt (5.97)-be helyettesítve:

σ zyy

xx

y

xx

22=

T (z)hb

2I+

T (z)

2I(h

- y ) . 4

5.106

Az összefüggés az y = ± h

2 pontokban, a sarokpontokban éppen (5.105)-öt adja. E pontokban

tehát a két nyírókomponens nagysága megegyezik. A keresztmetszet függőleges szárán a σ zy

komponens megoszlása parabolikus az 5.68. ábrának megfelelően.

207

A nyírófeszültség eloszlásának ismeretében határozzuk meg a z+∆ z koordinátájú ke-

resztmetszetben a belőlük származó belső erők eredőjét (5.69. ábra). Az y tengellyel párhuza-

mos részkeresztmetszeten ébredő nyírófeszültségekből keletkező belső erő (5.106) alapján ép-

pen a keresztmetszet külső igénybevételének megfelelő nyíróerővel egyenlő:

5.68. ábra

5.69. ábra

T zyτ ( ) = Ty(z) ,

208

aminek az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletből is következnie kell. Az x tengellyel párhu-

zamos szárak feszültségeiből származó erők erőpárt alkotnak, melynek nyomatéka:

M (z) = h dA = hT (z)

h

2vs

I v vds =

T (z)h v

2Isds =

T (z)h b v

4Iz zx

y

xx0

by

2

xx 0

by

2 2

xx

τ σ∫ ∫ ∫ .

Az erőből és nyomatékból álló erőrendszert átalakíthatjuk egy eC-vel eltolt hatásvonalú egyetlen

Ty(z) erővé, ahol

e =M

=h

. Cz

2τ

τ

( )

( )

z

T z

b v

Iy xx

2

4 5.107

A C pontot, melynek helyét a szelvényvastagság közepétől felmért eC távolság adja

meg, a keresztmetszet nyírási vagy tau-középpontjának nevezzük. Az 5.69/c. ábráról

megállapíthatjuk, hogy a nyírófeszültségekből származó belső erők eredője és a külső

terhelés következtében ébredő nyíróigénybevétel (melyet mindig a súlypontra számítunk) erő-

párt alkot, ami

Mz(z) = Ty(z)(eS + eC)

nagyságú csavaróigénybevételt okoz. Ennek hatására fordul el a keresztmetszet a nyírási közép-

ponton átmenő, z tengellyel párhuzamos egyenes körül.

Ha meg akarjuk gátolni a közönséges hajlításnak kitett rúd elcsavarodását, akkor az

Mz(z) nyomatékot valamilyen módon ki kell egyensúlyozni. Ennek egyik legegyszerűbb módja,

ha a külső terhelést úgy visszük fel a rúdra, hogy a belőle származó Ty(z) nyíróerő hatásvonala

ne a keresztmetszet súlypontján, hanem nyírási középpontján menjen át. Ilyenkor a

csavarónyomaték eltűnik, mert Ty(z) és Tyτ (z) egyensúlyi erőrendszert alkot.

Az U szelvényre levezetett eredmények és megállapítások teljesen tetszőleges alakú,

vékony falú, nyitott vagy zárt, sőt, tömör keresztmetszetű szelvényekre is általánosíthatók. Min-

den keresztmetszetalaknál található egy - annak csak geometriai méreteitől függő - pont, a nyí-

rási középpont, amelynek az a tulajdonsága, hogy ha a nyíróigénybevétel hatásvonala azon át-

megy, akkor a keresztmetszet a rúdtengely körül nem fordul el, mert csavaróigénybevétel nem

lép fel. A nyírási középpont mindig rajta van a keresztmetszet szimmetriatengelyén, így kétsze-

resen szimmetrikus alaknál egybeesik a geometriai középponttal (súlyponttal).

Amennyiben a nyíróigénybevétel hatásvonala átmegy a nyírási középponton, a közön-

séges hajlítás során felhalmozott rugalmas energiát (5.102)-vel számíthatjuk, egyébként a csava-

rásból származó rugalmas energiát is figyelembe kell venni.

5.6.3. Közönséges hajlításnak kitett prizmatikus rúd alakváltozása

Először a hajlítónyomaték hatására fellépő alakváltozást vizsgáljuk egyenes és ferde

hajlítás esetén, majd a nyírásból keletkező alakváltozással foglalkozunk.

209

5.6.3.1. Egyenes hajlításnak kitett rúd alakváltozása

A prizmatikus rúd terheléséről feltételezzük, hogy a hajlítónyomaték síkja tartalmazza a

keresztmetszet valamelyik fő másodrendű tengelyét és a nyíróerő hatásvonala átmegy a nyírási

középponton, azaz csavarásmentes, egyenes hajlításról van szó. A hajlításból származó alakvál-

tozását első lépésben a nyírásból származó alakváltozás elhanyagolásával számítjuk.

Az 5.70. ábrán látható kéttámaszú tartó, melyet a hely függvényében változó q(z) inten-

zitású megoszló erőrendszerrel terhelünk, z koordinátájú keresztmetszetében Mx(z) nagyságú

hajlítóigénybevétel ébred. Ennek hatására a ∆z hosszúságú rúdelem véglapjai - a tiszta hajlítás-

nál megismert módon - elfordulnak és egymással ∆ϕ szöget zárnak be. A rúdelem meggörbül.

A ∆ z elemi hosszúságon a nyomaték csak olyan kis mértékben változik, hogy a görbületi suga-

rat a tiszta hajlításnál levezetett (5.57) kifejezéssel számíthatjuk: 1

(z )=

M (z )

E Ix

x xρ 5.108

A lényeges különbség az, hogy a görbületi sugár a hajlítónyomaték értékének megfelelően hely-

ről-helyre változik.

5.70. ábra

210

A semleges sík súlyponton átmenő, meggörbült vonalát rugalmas szálnak nevezzük. Ez

az alakváltozás során csak meggörbül, hossza azonban változatlan marad. Ha ismerjük a rugal-

mas szál deformálódott alakjának egyenletét, akkor ismerjük az egész rúd hajlításból származó

alakváltozását.

A rugalmas szál egyenletének meghatározásához az 5.70/b. ábrán nagyítva (és kicsit

torzítva) kirajzoltuk a rúd ∆ z hosszúságú elemét az alakváltozás utáni állapotban. A görbületi

sugár és a rúdelem két végkeresztmetszetének egymáshoz viszonyított szögelfordulása között a

súlyponti szál változatlan ∆ z hossza teremt kapcsolatot:

z

=d

= -1

(z) ,

z 0

x xlim∆

∆ϕ∆→

ϕρdz

5.109

a negatív előjel azt fejezi ki, hogy pozitív hajlítónyomaték esetén a görbületi sugárral jellemzett

simuló kör középpontja (0 pont) a rúdtengely -y irányítású oldalára esik. Jelöljük a rugalmas

szál y tengellyel párhuzamos eltolódását, melyet lehajlásnak nevezünk, a z koordinátájú ke-

resztmetszetben uy = uy(z)-vel. A ∆ z hosszúságú rugalmas vonaldarab elmozdulás-növekmé-

nye az ábra alapján:

∆ uy = ∆ z sinϕ x ≅ ∆z xϕ ,

amelyben az utolsó egyenlőséget azért fogadhatjuk el, mert korábbi megállapodásunknak meg-

felelően csak kis alakváltozásokat engedünk meg, ϕ x tehát csak kicsi lehet, kis szögek szinusza

pedig jó közelítéssel megegyezik argumentumukkal. Rendezzük a fenti egyenlőséget és képez-

zük a ∆z→ 0 átmenetet:

ϕ xy=

du

dz . 5.110

Újabb z szerinti differenciálással:

ϕ x2

y

2dz=

d u

dz .

majd (5.109) és (5.108) felhasználásával:

d u

dz= u

dz= -

1

(z)= -

M .

2y

2 y'' x x( )

( )z

z

EI xx

=ϕ

ρ 5.111

Ez az összefüggés a hajlított rúd rugalmas szálának differenciálegyenlete.

A differenciálegyenletet matematikai meggondolásokkal is levezethetjük. Tudjuk, hogy

tetszőleges uy = uy(z) függvény tetszőleges pontjához tartozó simulókör görbületi sugarát az

1

1 2 1 5ρ( )

' '

( ' ) ,z

u

uy

y

=−

+

összefüggéssel számíthatjuk. Tegyük ezt egyenlővé (5.108)-cal: −

+=

u

u

M z

EIy

y

x

xx

' '

( ' )

( ),1 2 1 5

.

211

Ha meggondoljuk, hogy u'y = tgϕ x =ϕ x , amelyről feltételeztük, hogy olyan kicsi mennyiség,

hogy az egységnél lényegesen kisebb, akkor az előző kifejezés nevezője jó közelítéssel egy,

tehát éppen az (5.111)-es differenciálegyenlethez jutunk.

A rugalmas szál differenciálegyenletének megoldása adja a rugalmas vonal egyenletét.

(5.111) egy hiányos másodrendű differenciálegyenlet, megoldását viszonylag egyszerűen kap-

juk, feltéve, hogy a nyomatéki függvény egymás után kétszer integrálható:

(z) =du (z)

dz= -

M (z)

EIdz + * , x

y x

xx

ϕ ϕ∫ 5.112/a

u (z) = - M (z)

EIdz + * dz + u * , y

x

xx∫∫

ϕ 5.112/b

ahol u* és ϕ * a kerületi feltételekből (a rúd megfogási, illetve alátámasztási körülményeiből)

meghatározható integrálási állandó. Az első összefüggés a rugalmas vonalhoz húzott érintő

iránytangensét adja, ami a kis alakváltozások feltétele miatt a keresztmetszet x tengely körüli

elfordulásával egyenlő, ϕ x = tgϕ x .

Homogén, prizmatikus rúdnál az EIxx hajlítómerevség állandó, ezért az (5.112) kifejezé-

sekben kiemelhető az integráljel elé. Állandó hajlítómerevségű rúdnál deriváljuk (5.111)-et

kétszer egymás után és vegyük figyelembe az igénybevételek között fennálló sztatikai össze-

függéseket:

d u

dz= -

1

EI

dM (z)

dz= -

T (z)

EI ,

3y

3xx

x y

xx

5.113

d u

dz=

1

EI

d M (z)

dz= -

1

EI

dT (z)

dz=

q(z)

EI .

4y

4xx

2x2

xx

y

xx

5.114

Az utolsó kifejezés azt a magától értetődő tényt fejezi ki, hogy az alakváltozás végső soron a

külső terhelés függvénye. Ha a külső terhelésből indulunk ki, akkor az alakváltozás meghatáro-

zásához egy negyedrendű differenciálegyenletet kell megoldanunk. Célszerűbb azonban az

(5.112) összefüggésekből kiindulni, mert a hajlítónyomatékot általában könnyebb sztatikai esz-

közökkel meghatározni.

Az (5.110) és (5.111) differenciálegyenletek lineárisak, ami lehetővé teszi az alakválto-

zás meghatározásánál a szuperpozíciós elv alkalmazását. Ez azt jelenti, hogy egy összetett külső

terhelésű, közönséges hajlításnak kitett rúd hajlításból származó alakváltozási jellemzői a rész-

terhelések hatására kialakuló alakváltozások algebrai összegzésével nyerhetők (feltéve, hogy

minden részterhelésnek ugyanaz a hajlítási síkja). Az elv alkalmazása lehetővé teszi, hogy bo-

212

nyolult terhelésű tartók alakváltozási jellemzőit ún. táblázatos módszerrel oldjuk meg. Ehhez

egy olyan táblázatra van szükség, amely különböző tartótípusokra (konzoltartó, két támaszú

tartó, stb.) egyszerű terhelések esetén megadja a rugalmas szál egyenletét, esetleg az alakválto-

zási jellemzők szélső értékeit, illetve azok helyét. Ha ezekből a részterhelésekből sikerül össze-

állítani a számítandó feladatnak megfelelő összetett terhelést, akkor a részalakváltozások algeb-

rai összege adja a tartó eredő alakváltozását. A fenti célt szolgáló táblázatokat műszaki, szilárd-

ságtani összefoglalók, szakkönyvek tartalmaznak.

A hajlításból származó alakváltozást O. Mohr eljárásával is meghatározhatjuk. Ez a

módszer lehetőséget ad az alakváltozások szerkesztésére is. Az eljárás alkalmazhatóságát a kö-

vetkező gondolatmenet alapozza meg. Irjuk fel az igénybevételeket összekapcsoló, a sztatikai

egyensúlyi feltételt kifejező összefüggéseket integrál alakban:

Ty(z) = - ∫ q(z)dz + T* , 5.115/a

Mx(z) = - ∫ [ ∫ q(z)dz + T*]dz + M* , 5.115/b

ahol T* és M* integrálási állandók. Azonnal látszik, hogy az (5.112) és a fenti összefüggések

matematikailag teljesen analógok, csupán az integrandusz függvény fizikai tartalma más, az

egyik helyen a külső teherintenzitás, a másikon az EIxx-szel módosított hajlítónyomaték. A szta-

tikában megismert nyíróerő- és nyomatékszámítás, illetve szerkesztés (5.115) szerint egyszeres,

majd kétszeres integrálással egyenértékű. Magától értetődő tehát az a gondolat, hogy ha a tartó-

ra a q(z) teherfüggvény helyett az EIxx-szel osztott Mx(z) nyomatéki függvényt tesszük fel külső,

megoszló terhelésként és meghatározzuk - formailag teljesen úgy, mint tényleges terhelésnél - a

nyíróerő- és nyomatéki függvényeket (számítással vagy szerkesztéssel), akkor (5.112) értelmé-

ben a rúd keresztmetszet-elfordulását és lehajlását, illetve ezek függvényét vagy ábráját kapjuk.

Egyetlen egy dologban lesz különbség, ez pedig az integrálási állandók meghatározása. Az

alakváltozás számításánál ugyanis nem a nyíróerőre és hajlítónyomatékra, hanem a szögelfor-

dulásra és lehajlásra vonatkozó kerületi feltételeket kell kiegyenlíteni. Ez gyakorlatilag úgy

történik, hogy a módosított nyomatéki függvényt nem az eredeti tartóra, hanem annak helyette-

sítő tartójára tesszük fel. A helyettesítő tartót az eredetiből alakítjuk ki a csuklók és a merev

befogások áthelyezésével. Az átalakítás szempontja az, hogy ahol az eredeti tartó keresztmetsze-

te elfordul és el is tolódik, ott a helyettesítő tartón nyíró- és hajlítóigénybevételnek is ébrednie

kell. Ez azt jelenti, hogy a támaszoknál csuklókat, a szabad végeken merev befogásokat, a me-

rev befogásoknál szabad végeket kell létesíteni. Néhány egyszerű tartótípus helyettesítő tartóját

mutatjuk be az 5.71. ábrán. Az 5.72. ábrán pedig két példát látunk a Mohr-eljárás alkalma-

zására.

213

5.72. ábra

Szerkesztésnél természetesen ügyelni kell a különböző léptékek helyes felvételére. Szemléle-

tünknek megfelelően megállapíthatjuk, hogy a helyettesítő tartók igénybevételi ábrái az eredeti

tartók alakváltozási függvényeinek felelnek meg.

5.6.3.2. Ferde hajlításnak kitett rúd alakváltozása

A ferde hajlításkor fellépő alakváltozás meghatározásánál éppúgy, mint a ferde hajlítás

következtében ébredő normálfeszültség meghatározásának, többféle módja is van.

Az egyik lehetőség az, hogy megkeressük a hajlítás tengelyét, az x' tengelyt az (5.56)

kifejezéssel. A rugalmas szál eltolódása (lehajlása) erre a tengelyre lesz merőleges. Ezután már

felhasználhatjuk az (5.112) összefüggéseket azzal a módosítással, hogy bennük a nyomatéki

függvény az eredő nyomaték x' tengelyre eső vetülete, a másodrendű nyomaték pedig a ke-

resztmetszet x' tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka lesz.

214

A másik megoldásnál az 5.40. ábrának megfelelően felbontjuk az eredő nyomatékot a

keresztmetszet főtengelyeivel párhuzamos M 1 és M 2 összetevőkre, azaz a ferde hajlítást két

egyenes hajlítás összegére bontjuk. M 1 hatására a keresztmetszet elfordul az 1-es főtengely

körül ϕ 1-gyel és eltolódik a 2-es főtengellyel párhuzamosan u2-vel. M 2 hatására ϕ 2 kereszt-

metszetelfordulás és u1 eltolódás keletkezik. A különböző irányú elmozduláskomponensek a kis

alakváltozás feltételezése miatt vektorálisan összegezhetők. Az eredő szögelfordulás és elmoz-

dulás:

= e + e , x' 1 1 2 2ϕ ϕ ϕ 5.116/a

u = u e + u e , y' 2 2 1 1 5.116/b

ahol e1 és e2 a keresztmetszet fő másodrendű tengelyeinek egységvektora.

5.6.3.3. A közönséges hajlításnak kitett rúd nyírásból származó alakváltozása

A nyírásból származó alakváltozás meghatározásához azt kell belátnunk, hogy a ∆z

hosszúságú rúdelem súlyponti tengelye a keresztmetszet torzulása következtében (5.73. ábra)

ferde helyzetbe kerül. A ∆ z szakaszra eső eltolódás-növekmény:

du = dz sin dz = dz =T (z)S' (y = 0)

GI v(y = 0)dz y max max

zy,max y x

xx

γ γσ

≅G

.

Integrálva a fenti kifejezést, megkapjuk a rúd rugalmas szálainak egyenletét, amely a nyírási

alakváltozás következménye:

u = du =AS' (y = 0)

I v(y = 0)

T (z)

GAdz + u * , y y

x

xx

y

∫ ∫ 5.117/a

ahol u* - a rúd kényszerkapcsolatai alapján meghatározható integrálási állandó.

Az (5.117/a) összefüggés a valóságosnál nagyobb nyírási eltolódásokat ad, mert a ke-

resztmetszet legnagyobb szögváltozásával számol és feltételezi, hogy ez a keresztmetszet min-

den pontjában ugyanekkora. Mi már tudjuk, hogy ez nem így van és a nyírófeszültségek parabo-

likus eloszlását figyelembe vehetjük a nyírási alakváltozás meghatározásánál, ha a saját munkák

tételét alkalmazzuk. E szerint az elemi tartódarabra ható külső erők saját munkája egyenlő a

deformáció során felhalmozott rugalmas energiával:

dW = T (z)du = dU =1

2dz ,k

Sy y b χ

T z

GAy2 ( )

215

mert a külső erő a felszabadított

nyíróigénybevétel, amely hatásvonalával

párhuzamosan a keresett duy-nal mozdul el, a

belső rugalmas energiánál pedig (5.102)

második tagját vettük csak figyelembe, hoszen

csak a nyírási alakváltozást keressük. Az

egyenlőségből fejezzük ki duy-t és integrálva a

kifejezést megkapjuk a rugalmas szál nyírási

lehajlásának egyenletét:

u (z) =T (z)

GA dz + u * . y

yχ∫ 5.117/b

A hajlításból és a nyírásból származó

alakváltozás algebrailag összegezhető, mert a

5.73. ábra normálfeszültségből és a nyírófeszültségből

származó belső energia egymástól függetlenül számítható.

Az alakváltozásra kapott összefüggések szerint a hajlításból és nyírásból származó alak-

változás nagysága az igénybevételek mellett a rúd geometriai viszonyaitól és az anyagának ru-

galmas jellemzőitől függ. Pontos vizsgálatoknál mindig meg kell határozni a nyírási alakválto-

zást is. A hajlítási alakváltozás mellett a nyírási alakváltozás általában akkor hanyagolható el, ha

E és G között nincs nagyságrendi különbség és a hajlított rúd fesztávolsága (alátámasztási köze)

lényegesen nagyobb, mint keresztmetszetének hajlítás tengelyére merőleges mérete.

Faszerkezetek hajlított elemeinél a nyírási alakváltozást mindig figyelembe kell venni,

mert a faanyag rostokkal párhuzamos EL rugalmassági modulusza két nagyságrenddel is na-

gyobb lehet, mint a rostirányra merőleges síkhoz tartozó nyíró-rugalmassági modulusz.

5.6.4. Összetett keresztmetszet közönséges hajlítása

A közönséges hajlítás hajlításból származó feszültségeloszlásának és alakváltozásának

jellemzőit az 5.4.4. fejezetben tulajdonképpen már tárgyaltuk. A változás csupán annyi, hogy a

σ zz,i normálfeszültségek nemcsak a keresztmetszeten belül változnak, hanem a hely szerint

változó Mx(z) nyomatéknak és Nz(z) normálerőnek megfelelően a z tengely mentén is. A nyíró-

feszültségek eloszlása a rétegződés jellegétől függ.

216

5.6.4.1. A rétegek síkja merőleges a hajlítónyomaték vektorára

Az 5.47. ábrának megfelelő esetben az Mx(z) hajlítónyomaték változása következtében

fellépő nyíróigénybevétel az y tengellyel párhuzamos. Azt, hogy a teljes Ty(z) hogyan oszlik

meg az egyes rétegekre, az 5.4.4.1. fejezet első összefüggésének z szerinti deriválásával hatá-

rozhatjuk meg:

1

E I

dM (z)

dz=

1

E I

dM (z)

dzi xx, i

x,i

eredő xx

x ,

(5.77) felhasználásával:

T (z) =E I

E I

dM (z)

dz=

E I

E IT (z) .y,i

i xx,i

eredő xx

x i xx,i

i xx,ii=1

n y

∑

Mint látjuk, érdekes módon, a rétegek nem a nyíró rugalmassági moduluszok, hanem az Ei

moduluszok és a hajlítás tengelyére vonatkozó másodrendű nyomatékainak arányában veszik fel

a teljes nyíróigénybevételt. Az i-edik réteg nyírófeszültség-eloszlását a Zsuravszkij-képlettel

számítjuk. A nyírási alakváltozás már függ a réteg nyíró rugalmassági moduluszától. Azt is be-

láthatjuk, hogy a rétegek különböző nagyságú nyírófeszültségei és nyíró rugalmassági

moduluszai miatt mindegyik réteg síkja különböző mértékben vetemedne, ezt azonban az

elmozdulásmentesen összekapcsolt rétegek nem teszik lehetővé. Gátolt alakváltozás jön létre,

ami összetett feszültségi állapot kialakulását vonja maga után (pl. ébrednie kell σ xz nyíró-

komponensnek is).

5.6.4.2. A rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával

Az 5.48. ábrának megfelelő esetben a nyíróigénybevétel hatásvonala merőleges a réte-

gek síkjára. A nyírófeszültségek eloszlását a ∆ z hosszúságú rúdelem i-edik rétegének súly-

pontjától yi távolságra eső síkjától lefelé található rúdrészre ható belső erők egyensúlyi feltétele

alapján határozhatjuk meg (5.74. ábra). A z irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

F = 0 = - (z)dF + (z + z)dFi=1

-

- (z)dF + (z + z)dF - (z)b z ,

z zz, j j

F

zz, j j

F

zz,i i

F

zz,i i

F

yz,i i

j j

i i

∑ ∫∑ ∫∑

∫ ∫

=

− −

σ σ

σ σ σ

j

i i

1

1 1

∆

∆ ∆

melyben a jelölések az 5.4.4.2. fejezetével azonosak. Rendezés és ∆z→ 0 határátmenet képzé-

sével:

(z) =1

b

d (z)

dzdF +

1

b

d (z)

dzdF yz,i

i

zz, jj

Fjj=1

i-1

i

zz,ii

Fi

σσ σ

∫∑ ∫

217

5.74. ábra

A σ zz,i(z) feszültségkomponens z szerinti differenciálhányadosát is az 5.4.4.2. fejezet összefüg-

géseinek felhasználásával határozhatjuk meg: d (z)

dz=

dM

dz

y

I+

dN

dz

1

F= T

y

I+ T

A (e - a )

J F=

=T

J

J

I

A (e - a )

F

zz,i x,i i

xx,i

z,i

iy,i

i

xx,iy

i 1 i

xx i

y

xx

xx,i

xx,i

i 1 i

i

σ

y i +

ahol figyelembe vettük, hogy

T =dM

dz=

dM

dz

J

J= T

J

J .y,i

x,i x xx,i

xxy

xx,i

xx

Helyettesítsük be a differenciálhányadost a nyírófeszültség kifejezésébe és rendezzük az össze-

függést:

σ yz,iy

xx i

xx, j

xx, jj j

Fj=1

i-1j 1 j

jj

F

xx,i

xx,ii i

F

i 1 i

ii

F

(z) =T

J b

J

Iy dF +

A (e - a )

FdF +

J

Iy dF +

A (e - a )

FdF .

j j i!

i!

∫∑ ∫ ∫ ∫

A szögletes zárójel első integrálkifejezése a j-edik réteg saját súlyponti tengelyére vonatkozó

sztatikai nyomatéka, tehát nulla, a második integrál a j-edik réteg keresztmetszet-területe, a

harmadik integrál az i-edik réteg yi alatti keresztmetszetének sztatikai nyomatéka az i-edik réteg

súlyponti tengelyére (S'x,i), a negyedik pedig az i-edik réteg yi koordináta alatti keresztmetszet-

területe (F'i). Térjünk vissza a módosított keresztmetszet-jellemzőkről az eredetiekre:

. FE

E=A és I

E

E=J i

ii ixx,

iixx,

A fenti jelölésekkel:

218

( )

( )

( )

σ σyz,i zy,iy

xx i

j1 j j

i x,i 1 i

j=1

i-1

i

y

1 j j i x,i 1 i i

i xx, j j

(z) = (z) = T

J b

E

Ee - a F +

E

E( S' +(e - a F' =

= T (z)

e - a F E ( S + (e - a F'

b I F

∑

∑

∑

=+

+ −

−

=

) )

) )Ej

a e F

j

i

j jj

n

1

1

212

1

A nyírófeszültség-eloszlásra, mint megállapíthatjuk, egy Zsuravszkij-képlethez hasonló kifeje-

zést kapunk, hiszen az előző kifejezés számlálójában a keresztmetszet yi koordinátától lefelé eső

területének Ej-vel módosított sztatikai nyomatéka található (a teljes keresztmetszet módosított

súlyponti tengelyére). Egy fiktív nyírófeszültség-eloszlást az 5.74. ábrán mutatunk be.

5.6.5. Erőtani méretezés

Annak ellenére, hogy a közönséges hajlítás összetett igénybevételi forma és hatására a

keresztmetszet pontjaiban általában a lineárisnál bonyolultabb feszültségi állapot ébred, az előző

pontokban tárgyalt terhelési és keresztmetszeti körülmények, valamint csavarásmentes állapot

esetén az erőtani tervezésnél nincs szükség a töréselméletek által levezetett összehasonlító fe-

szültségek számítására, mert a hajlításból és a nyírásból származó normál- és nyírófeszültsé-

gek szélső értékeinek helye elkülönül. Ha mégis meghatároznánk a keresztmetszet valamelyik

általános helyzetű pontjában a σ zz és σ zy komponenseknek megfelelő összehasonlító feszültsé-

get, az mindig kisebb lenne, tehát kevésbé veszélyes, mint a hajlításból származó normálfeszült-

ség maximuma. A műszaki feladatok többségében közönséges hajlítás során a hajlítás támaszt

nagyobb követelményeket a szerkezeti elemmel szemben, ezért tervezéskor úgy járunk el, hogy

hajlításra meghatározzuk a rúd keresztmetszeti méreteit, majd ezeket nyírásra ellenőrizzük.

5.6.5.1. Mengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

A méretezés során a következő relációk fennállását kell kimutatni:

σ σ σ σ τ τzz,max+ + − −≤ ≤ ≤m zz m m, ,,max max 5.118/a/b/c

ahol σ m+ , σ m

− , τmax

- az anyag megengedett húzó-, nyomó- és nyírófeszültsége. A relációk bal

oldalán álló maximális feszültségeket a terhelés és a keresztmetszet jellege, illetve viszonya

alapján az 5.4. és 5.6. fejezet megfelelő összefüggéseivel számítjuk (ne feledkezzünk meg arról, hogy τ

max általában a σzy és σzx nyírófeszültség-komponensek vektoriális eredőjeként számí-

tandó).

219

Vékony falú, hajlított szelvényeknél előfordulhat (pl. az 5.68. ábrán látható szelvény A

és B pontjában), hogy a keresztmetszet bizonyos pontjaiban egyszerre nagy normál- és nyírófe-

szültségek is ébrednek. Ilyen esetben a (5.118/a) reláció bal oldalára a rúd anyagának megfelelő

törési elmélettel számított összehasonlító feszültséget kell helyettesíteni.

Alakváltozásra történő méretezésnél a rúd maximális lehajlását kell összehasonlítani a

hatósági előírások által megadott értékkel:

u u , max m≤ 5.119

um - et általában a fesztávolság százalékában adják meg. Pontos számításoknál a hajlítási mellett

a nyírási alakváltozást is figyelembe kell venni.

Tervezéskor a (5.118/a/b) vagy (5.119) összefüggések egyenlőségéből kiindulva meg-

határozzuk a keresztmetszeti méreteket, majd ezeket nyírásra is ellenőrizzük. Ha összehasonlító

feszültséget kell számítani, akkor csak arra van lehetőség, hogy az előre (többé-kevésbé talá-

lomra) felvett keresztmetszetet ellenőrizzük.

5.6.5.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

A méretezés során azt kell kimutatni, hogy a rúd veszélyes keresztmetszetében a külső

terhekből származó mértékadó hajlítónyomaték és nyíróerő nem nagyobb, mint a határ hajlí-

tónyomaték, illetve a határ nyíróerő:

M M , T T ,M H M H≤ ≤ 5.120/a/b

ahol a keresztmetszet határnyomatéka egyenes hajlításnál:

M = K ,H H xσ

a határnyíróerő:

T =I v(y = 0)

S (y = 0 ,H H

xx

x

τ

melyben σ H és τ H a szerkezet anyagának határ húzó- vagy nyomófeszültsége és határ nyírófe-

szültsége.

Ferde hajlításkor az (5.58) kifejezést használhatjuk a határnyomaték meghatározására. A

határnyíróerőt, ha a keresztmetszet módosító hatását is figyelembe kell venni, az (5.100),

(5.105) és (5.106) kifejezések alkalmas átalakításával számolhatjuk.

220

Alakváltozásra való méretezésnél a rúd megfelelő, ha

u u , M H≤ 5.121

ahol uM-et az (5.112/b), (5.116/b) és (5.117/b) kifejezések felhasználásával határozzuk meg,

úgy, hogy az igénybevételek helyére azok mértékadó értékét helyettesítjük. A határlehajlásokat

szabványok írják elő.

Tervezéskor hasonlóan járunk el, mint megengedett feszültségeken alapuló eljárásnál.

5.7. Hajlítás és normáligénybevétel

Ennél az összetett igénybevételfajtánál a rúd tetszőleges keresztmetszetének súlypontjá-

ban normáligénybevétel (húzó- vagy nyomóerő) és hajlítóigénybevétel hat. Egy ilyen erőrend-

szer azonban mindig átalakítható az 5.75. ábrán látható módon egy, a súlyponttól t = M/N távol-

sággal párhuzamosan eltolt, N erőből álló erőrendszerré, amely az eredetivel sztatikai és szilárd-

ságtani szempontból egyenértékű. Ezért a hajlítónyomatékból és normálerőből álló összetett

igénybevételt - a normálerő értelmétől függően - külpontos húzásnak, illetve nyomásnak nevez-

zük.

Mivel a hajlítónyomaték és a normálerő egymástól függetlenül változhat - nincs köztük

olyan kapcsolat, mint a hajlítónyomaték és a nyíróerő között - együttes fellépésük és hatásuk

külön-külön tárgyalható és összegezhető. Az eredő feszültségeloszlást azért is könnyű meghatá-

rozni, mert mindkét igénybevételből a z normálisú keresztmetszetsíkon normálfeszültségek éb-

rednek. A központos húzás vagy nyomás a keresztmetszeten egyenletes normálfeszültség-

eloszlást eredményez, a hajlítás pedig lineárisan változót. Az általánosabb, ferde hajlítás esetét

figyelembe véve (5.38. ábra) az x', y', z' koordinátarendszerben a keresztmetszet egy y' koordi-

nátájú pontjában a normálfeszültséget az (5.58) kifejezés adja, a normáligénybevételből szárma-

zó feszültséget pedig (5.16)-tal számítjuk. Mindkét normálfeszültség azonos hatásvonalú, ezért

eredőjüket algebrai összegzéssel kapjuk (5.76. ábra):

σ σz'z' z'z'x'

x'x'

= (y' ) =N

A

M

I+ y' 5.122/a

ahol a normálerő és a hajlítónyomaték előjelét, valamint a koordinátatengelyek pozitív irányítá-

sát az 5.2.1. és az 5.4.1. fejezetben megfogalmazott definíciók szerint választjuk meg.

Természetesen annak sincs akadálya, hogy a ferde hajlítást az (5.62) kifejezésnek meg-

felelően visszavezessük két egyenes hajlítás összegére. Ilyenkor a keresztmetszet másodrendű

főtengelyeinek rendszerében a normálfeszültség kifejezése három tagból áll:

221

5.75. ábra

σ η ξzz1

1

2

2

=N

A+

M

I-

M

I 5.122/b

Ha eleve egyenes hajlításról van szó, akkor a fenti kifejezésben a harmadik tag nulla, s a

másodrendű főtengelyeket x,y-nal jelölve:

σ zzx

xx

=N

A+

M

Iy 5.122/c

A (5.112) összefüggések azt mutatják, hogy a semleges sík nem megy át a keresztmet-

szet súlypontján, ahhoz képest a hajlítás tengelyével párhuzamosan eltolódik. Helye ott lesz,

ahol a normáligénybevételből és a hajlításból származó normálfeszültségek azonos nagyságúak,

de ellentétes értelműek. Egyenes vagy ferde hajlításnál a semleges sík és a keresztmetszet síkjá-

nak metszésvonalát (a semleges tengelyt) az eredő normálfeszültségi ábra segítségével az 5.76.

és 5.77. ábrán látható módon könnyen megszerkeszthetjük.

Egyenes hajlításnál a semleges tengely súlyponti tengelytől mért távolságát a (5.122/b)-

ből határozhatjuk meg, ha annak bal oldalát nullával tesszük egyenlővé:

d = -N

M

I

A

x

x 5.123/a

222

5.76. ábra

Ferde hajlításnál a semleges tengely egyenletét (5.122/c)-ből számíthatjuk, ha annak bal oldalát

is nullával tesszük egyenlővé:

=M

M

I

I-

N

M

I

A 2

1

1

2 1

1η ξ 5.123/b

Ha a semleges tengely metszi a keresztmetszetet, akkor abban húzó- és nyomófeszültsé-

gek is ébrednek (5.77. ábra), ha éppen érinti, akkor csak azonos előjelű normálfeszültségek ke-

letkeznek, melyek nagysága az érintő pont(ok)ban nulla. Ha a semleges tengely kívül esik a

keresztmetszet kontúrján, a normálfeszültségek mindig azonos előjelűek és sohasem nullák. A

223

5.77. ábra

normálfeszültségek előjelének különösen ott van jelentősége, amikor a teherviselő rúd anyaga

csak nyomó-, esetleg csak húzófeszültségek felvételére alkalmas. A gyakorlatban sok olyan

anyag van, amely nyomóigénybevételnek ellenáll, de húzásnak csak csekély mértékben vagy

egyáltalán nem (kő, tégla, beton, alapozások legalsó keresztmetszete, azaz a talaj). Ilyen esetben

mindig ellenőriznünk kell, nem ébred-e a keresztmetszetben húzófeszültség.

Ha a nyomás és hajlítás együttesét külpontos nyomásként értelmezzük, akkor annak

feltétele, hogy a keresztmetszet egyetlen pontjában se ébredjen húzófeszültség, az, hogy a nor-

málerő hatásvonalának súlyponttól mért távolsága egy bizonyos értéket ne haladjon meg, azaz a

hatásvonal egy bizonyos területen belül maradjon. Ezt a súlypontot mindig tartalmazó területet a

keresztmetszet magidomának nevezzük.

Jelöljük az y tengelyen elhelyezkedő N erő hatásvonalának súlyponttól mért távolságát

t-vel (5.76. ábra). Ennek maximumát, azaz a magidom y tengellyel vett metszéspontját abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy az e'x'-vel megadott szélső szálban a húzófeszültségnek

nullával kell egyenlőnek lennie. (5.112/a) felhasználásával:

0 = -N

A+

Ntcos

I e' ,

x'x'x'

α

ahonnan a másodrendű nyomatékokra vonatkozó Ix'x' = Aix'2 összefüggés felhasználásával:

t =I

Ae' cos=

i

e' cos x'x'

x'

x'2

x'α α . 5.124

Az összefüggés azt mutatja, hogy a magidom alakja és nagysága csupán a keresztmetszet geo-

metriai jellemzőitől függ, éppen ezért a magidom pusztán ábrázoló geometriai eszközökkel is

meghatározható (antipólus és antipoláris szerkesztéssel), amivel itt részletesen nem foglalko-

zunk. Az 5.78. ábrán bemutatjuk néhány gyakori síkidom magidomát. A (5.124) kifejezés hasz-

nálatára példaként határozzuk meg a kör keresztmetszetének magidomát. Ez a központos szim-

metria miatt szintén kör, melynek sugara d/8, mert bármely súlyponton átmenő x' tengelyre

Ix'x' = d4π /64, A = d2 π /4, e'x' = d/2 és ix' = d/4.

224

A külpontosan húzott rudak vagy a zömök nyomott rudak alakváltozását a két tiszta

igénybevételből származó alakváltozás vektori összegzésével kapjuk (jóllehet a normálerőből

származó alakváltozás a hajlítási alakváltozás mellett gyakorlatilag elhanyagolható). A karcsú

külpontosan nyomott rudaknál már stabilitási problémák lépnek fel, ezek tárgyalása más téma-

körbe tartozik.

5.78. ábra

A belső rugalmas energia számításánál is a szuperpozíció elvét alkalmazzuk. A z hosz-

szúságú rúdban felhalmozott rugalmas energia (5.19) és )5.63) összegzésével adódik:

dU = dU =1

2

N

EA

M

EIdz =

1

2

N

EA

M

EI

M

EIdz b b

2x'

2

x'x'

21

2

1

22

2

+

+ +

5.125

5.7.1. Erőtani méretezés

5.7.1.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

Az erőtani méretezés során azt kell kimutatni, hogy a veszélyes keresztmetszet kritikus

pontjaiban a normálfeszültség abszolút értéke nem nagyobb a megfelelő megengedett feszült-

ségnél:

σ σ σ σmax max,+ + − −≤ ≤m m 5.126/a/b

ahol

σ max+ x'

x

=N

A

M

K + 5.127/a

maxσ − = −N

A

M

Kx

x

' , 5.127/b

225

A normálfeszültségek szélső értékeinek meghatározásánál a fenti kifejezéseket a korábbi

előjeldefiníciók következetes betartásával "automatikusan" is használhatjuk, de lehetőség nyílik

az előjelek szemléleten alapuló felvételére is. Ez utóbbi esetben célszerű megrajzolni - ahogy

azt az 5.76. és 5.77. ábrákon tettük - a normálfeszültség-eloszlások összetevő és eredő ábráját.

σ+

m és σ -m a rúd anyagának, illetve alapozások méretezésénél a talaj anyagának meg-

engedett húzó- és nyomófeszültsége. Csak nyomóigénybevétel felvételére alkalmas anyagoknál σ +

m= 0 , a méretezés során tehát azt kell kimutatni, hogy a keresztmetszet egyetlen pontjában

sem ébred húzófeszültség.

Tervezésre csak közvetett formában kerülhet sor, azaz előre felvett keresztmetszetet kell

ellenőrizni.

5.7.1.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

Ennek a méretezési módszernek az alapgondolata szerint mindig igénybevételeket (mér-

tékadót és határt) hasonlítunk össze, most mégis egyszerűbben elvégezhető az ellenőrzés, ha a

mértékadó feszültséget vetjük össze a határfeszültséggel:

M+σ σ σ σ≤ ≤+ − −

H M H, . 5.128/a/b

ahol a pozitív és negatív normálfeszültséget a (5.127)-nek megfelelően számítjuk annyi változ-

tatással, hogy azokban a mértékadó igénybevételek értékét használjuk fel.

5.8. Általános összetett igénybevétel

A legáltalánosabb esetben is prizmatikus rúdra ható külső erőrendszer hatására keletke-

ző belső erőrendszer egy adott keresztmetszetben négy igénybevételből, normál- és nyíróerőből,

hajlító- és csavarónyomatékból áll. Ezek hatására a rúd általános helyzetű pontjai összetett alak-

változási és feszültségi állapotba kerülnek. Kevésbé igényes számításoknál az összetett

feszültési állapot komponenseit azzal a feltételezéssel határozhatjuk meg, hogy a

normáligénybevétel, a közönséges hajlítás és a csavaróigénybevétel egymástól függetlenül fejti

ki hatását, az eredő feszültségi állapot a részigénybevételekből származó feszültségkomponen-

sek vektorális összegzésével nyerhető. Nagyobb pontosságot igénylő esetekben a feszültségi és

alakváltozási állapot komponenseit, sőt magának a szerkezeti elemnek az alakváltozását is a

rugalmasságtan alapegyenleteinek felhasználásával kell meghatározni.

226

5.8.1. Erőtani méretezés

Az erőtani méretezés során a rúd kritikus pontjában kiszámítjuk - a rúd anyagának meg-

felelő tönkremeneteli elmélettel - az egyenértékű feszültséget (3. fejezet), és ellenőrizzük a (3.1)

reláció módosított formájában teljesülését. A módosítás attól függ, milyen méretezési alapelvet

alkalmazunk. A szerkezeti elemnek az a kritikus pontja, amelyben az egyenértékű feszültség az

összes lehetséges közül a legnagyobb.

5.8.1.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

A megengedett feszültségen alapuló eljárásnál a kritikus pont feszültségi állapotának

komponenseit a szerkezetre ható külső erők alap-(maximális)-értékeivel számítjuk (4.2.1. feje-

zet) és a

σ σegy mmax ≤ + , 5.129

reláció teljesülését kell igazolni.

Könnyen beláthatjuk, hogy összetett igénybevétel esetén - legalábbis a legtöbb esetben -

tervezésre nincs mód, az előre felvett keresztmetszetet ellenőrizzük.

5.8.1.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

Igénybevételek összehasonlítására itt sincs lehetőséget. A mértékadó feszültségnek

megfelelő egyenértékű feszültséget úgy számítjuk, hogy a külső terhelések mértékadó értékeit

használjuk fel (4.2.2. fejezet). A vizsgált, kritikus pont megfelel, ha

σ σe g yM

H≤ + . 5.130

Tervezni itt is csak közvetett módon lehet.

5.9. Görbe tengelyű rudak

Gépek, épületek és egyéb szerkezetek teherhordó elemeként sűrűn alkalmaznak görbe

tengelyű rudakat. Különösen gyakran találkozhatunk fából készült, ívestengelyű tartókkal, ru-

dakkal (rétegelt ragasztott íves fatartók, ülőbútorok, szerkezeti elemei, stb.).

Az íves tengelyű rudak keresztmetszeteinek különböző igénybevételek hatására keletke-

ző feszültségeloszlása várhatóan más lesz, mint az egyébként ugyanolyan tulajdonságokkal

rendelkező egyenes tengelyű rudaknál. Nyilvánvaló, hogy a feszültségeloszlás jellege, a feszült-

227

ségek szélső értékei nemcsak az igénybevételtől, a keresztmetszet alakjától, hanem a görbültség

jellegétől is függenek. A számtalan lehetőség közül csak olyan rudakkal foglalkozunk, amelyek

tengelye síkgörbe és a deformálódott rúd tengelye is benne marad ebben a síkban. E feltétel

akkor teljesülhet, ha a külső terhelés is benne van a rúdtengely síkjában, vagy legalábbis erre a

síkra szimmetrikus és a keresztmetszetnek van legalább egy olyan szimmetriatengelye, amelyik

beleesik a rúdtengely síkjába (5.79. ábra).

5.79. ábra

A ϕ koordinátával jellemzett keresztmetszet igénybevételei általános esetben

hajlítónyomaték, nyíróerő és normálerő. Ezen igénybevételek és a külső terhelés közötti kapcso-

latot sztatikai tanulmányaink során levezettük. Ezeket az - ott (61/g,h,i)-vel jelölt - összefüggé-

sek még egyszerűbb alakra hozhatjuk, ha a görbe tengelyű rúd központi szöggel jelölt helyén

nincsenek külső erők, vagy ha azok teherintenzitása elhanyagolhatóan kicsi:

dN( )

d= T( ) ,

ϕϕ

ϕ 5.131/a

dT( )

d= - N( ) ,

ϕϕ

ϕ 5.131/b

dM( )

d= RT( ) ,

ϕϕ

ϕ 5.131/c

228

5.9.1. Egyszeresen szimmetrikus keresztmetszetű, görbe tengelyű rudak külső terhelésből szár-

mazó feszültségeinek meghatározása

5.80. ábra

Vágjunk ki egy görbe tengelyű rúdból egy ∆ϕ központi szögű, a súlyvonalán ∆s ív-

hosszúságú elemi darabot (5.80. ábra), melynek bal oldali keresztmetszetén működtessük a le-

hetséges belső erőket, jobb oldalán pedig az egyelőre ismeretlen megoszlású feszültségeket. Az

egyenes rudakkal kapcsolatos vizsgálataink eredményei után joggal tételezhetjük fel, hogy a

keresztmetszet általános helyzetű pontjaiban a normáligénybevételből és a hajlítóigény-

bevételből normálfeszültségek ébrednek. Ezeket a feszültségeket, melyek hatásvonala mindig

párhuzamos a rúd súlyvonalához húzott érintővel, érintő- vagy hosszirányú normálfeszültségek-

nek nevezzük. Ugyanezen síkhoz a nyíróigénybevételnek megfelelően nyírófeszültségek is tar-

toznak. Ha a rúdelemet egy, a hossztengellyel párhuzamos, ábránk szerint y normálisú síkkal

elvágjuk, akkor ezen a síkon a dualitás tétel érvényessége miatt nyírófeszültségeknek kell éb-

229

redniük, de ehhez a síkhoz is tartozik normálfeszültség, melyet sugár- vagy keresztirányú nor-

málfeszültségnek nevezünk. E keresztirányú normálfeszültségek fellépését szükségességét a

hosszirányú normálfeszültségek eloszlásának ismeretében könnyen megérthetjük.

A σ xx -vel jelölt hosszirányú normálfeszültségek eloszlásának meghatározását az elemi

tartódarab alakváltozásának vizsgálatával kezdjük. Most is, mint egyenes tengelyű tartónál,

azzal a feltételezéssel élünk, hogy az eredetileg sík keresztmetszetek az alakváltozás után is

síkok maradnak. A keresztmetszetek a deformáció során csak eltolódnak és elfordulnak. Az

elemi darab eredetileg szöget bezáró két végkeresztmetszete közötti szög megváltozását jelöl-

jük ∆ϕ -vel.

A súlyponttól y távolságra található szál fajlagos hosszváltozására az ábra alapján a

következő összefüggést írhatjuk fel:

(y) =( - y)( - ) - (R - y)

(R - y)zzερ ∆ϕ ∆ψ ∆ϕ

∆ϕ,

ahol R - az eredeti, - a megváltozott görbületi sugár. Ez az alakváltozási komponens az σzz-

nek és σ yy-nak a függvénye. Közelítő számításunkban azonban feltesszük, hogy σ zz >> σ yy,

így

(y) =1

E( - )

1

Ezz zz yy zz ε σ νσ σ≅ ,

ahol E a rúd anyagának rugalmassági modulusza a súlyvonal érintőjének irányában.

Ha bevezetjük a k = ∆ψ ∆ϕ fajlagos keresztmetszet-elfordulást, akkor az előző két

összefüggés felhasználásával a következő kifejezést vezethetjük le:

(1 - k) + ky - R =(R - y)

E .zzρ σ 5.132/a

Jelöljük a súlyponti szálban ébredő normálfeszültséget σS-sel. Ezt az előző kifejezésből y=0

helyettesítéssel fejezhetjük ki:

ρ σ(1 - k) - R =R

E .S 5.132/b

Vonjuk ki ezt az összefüggést (5.132/a)-ból és adjuk hozzá a jobb oldalhoz a

+y

E-

y

E S S σ σ

mennyiséget és fejezzük ki a keresett normálfeszültséget:

(y) = +y

R - y (kE + )zz S Sσ σ σ , 5.133

230

melyben a k és σS egyelőre ismeretlen állandók. Annyi azonban már most is látszik, hogy a

hosszirányú normálfeszültség y-nak hiperbolikus függvénye.

A két ismeretlen meghatározásához egyensúlyi feltételeket használhatunk fel. Az első

feltétel szerint a normálfeszültségekből származó belső erő z irányú vetülete éppen az N nor-

málerő:

N = dA = [ +y

R - y(kE + )]dA ,zz

A

S S

A

σ σ σ∫ ∫

a második feltétellel azt fogalmazhatjuk meg, hogy a normálfeszültségekből származó elemi

erők nyomatéka a súlyponton átmenő x tengelyre (a hajlítás tengelyére) az M

hajlítóigénybevétellel egyenlő:

M = ydA = [ y +y

R - y(kE + )]dA ,zz

A

S

2

S

A

σ σ σ∫ ∫

A két egyensúlyi egyenletből az ismeretlenekre a következő összefüggéseket határozhatjuk

meg:

kE + =MR

J , =

N

A S

xxSσ σ − M

AR 5.134/a,b

ahol Jxx-szel a keresztmetszet módosított másodrendű nyomatékát jelöltük, számítását az előző

levezetés automatikusan definiálja:

J =R

R - yy dA = R

(y + R - R)y

R - ydA = R

(-y(R - y) Ry)

R - y+

Ry

R - ydA =

= -R ydA + R ydA

R - y= R

y

R - y

xx2

A A A

A

2

A

2

A

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

5.135

az utolsó egyenlőség első tagja azért esik ki, mert az integrálkifejezés a keresztmetszet súlypon-

ton átmenő tengelyre vonatkozó sztatikai nyomatéka, ami minden esetben nulla. (5.134)-et he-

lyettesítsük be (5.133)-ba. Rendezés után megkapjuk a görbe tengelyű hosszirányú normálfe-

szültség-eloszlását a központi szöggel megadott keresztmetszetben:

σ ϕ ϕ ϕ ϕzz( , y) =

M( ) M( )

AR

N( )

AI

R

R yy

xx −− + 5.136

Ezt az összefüggést a szakirodalom Grashof-képlet néven említi.

A másik két feszültségkomponens meghatározásához vágjuk ki a görbe tengelyű rúdból

az 5.81. ábrán látható elemi darabot és tüntessük fel ennek felületein a feltételezett feszültsége-

ket.

A nyírófeszültségeloszlás meghatározásához fogalmazzuk meg az elemi erők z irányú

egyensúlyi feltételét:

231

F = 0 = - ( , y)v(y) ycos2

( , y)v(y) ycos2

( ,y)v(y) ysin2

( + ,y)v(y) ysin2

( , y)v(y) R - y) + ( , y + y)v(y)(R - y - y)

z zz zz zy

zy yz yz

∑ + + − −

− −

σ ϕ σ ϕ σ ϕ

σ ϕ σ ϕ σ ϕ

∆∆ϕ

∆ϕ ∆∆ϕ

∆∆ϕ

∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆ϕ ∆ ∆ ∆ϕ(

Ebből a kifejezésből a cos ∆ϕ2

≅ 1 és sin ∆ϕ2

≅ ∆ϕ2

közelítések felhasználásával, ∆ ∆ϕy -vel

való osztással a következőt kapjuk:

( + , y) - ( ( , y) - (

( , y + ) - (( , y + ) = 0

zz zz zy zy

yz yzyz

σ ϕ σ ϕ σ ϕ σ ϕ

σ ϕ σ ϕσ ϕ

∆ϕ∆ϕ

∆ϕ

∆∆

∆

, ) , )

, )( )

y y

y y

yR y y

−+

+

+ − −

2

A ∆ϕ → 0 és ∆ y → 0 határértékképzést elvégezve:

( , y) ( , y) ( , y)

zz zy zy∂σ ϕ∂σ

∂σ ϕ ∂σ ϕ10

R y y R y−+ −

−= .

Az első tagot (5.136) differenciálásával kapjuk, ha közben felhasználjuk a (5.131) összefüggé-

seket is:

( , y) M( )

J (R - y

M( ) N( )

T( )

J

R y

R - y

zz

xx

xx

2

∂σ ϕ∂ϕ

∂ ϕ∂ϕ

∂ ϕ∂ϕ

∂ ϕ∂ϕ

ϕ

= − + =

=

Ry

AR A

1 1

behelyettesítve:

∂σ ϕ∂

σ ϕ ϕzy zy( , y)

y

( , y)

- y

T( )− +−

=

20

2

R J

R

R yy

xx

,

amely σ ϕzy y( , ) -ra nézve egy másodrendű, inhomogén differenciálegyenlet. A megoldásnál

fellépő két integrálási állandót abból a két kerületi feltételből kell meghatározni, amely azt

mondja ki, hogy a keresztmetszet alső és felső szálaiban - ha a rúdfelület tehermentes - nyírófe-

szültség nem ébredhet, azaz

( , y = e ) = 0 , ( , y = e' ) = 0 .zy x zy xσ ϕ σ ϕ

A differenciálegyenlet kerületi feltételeket is kielégítő megoldása:

( , y) =T( )S' R

zyx

2

σ ϕϕ

J v y R yxx ( ) ( )− 2 , 5.137

ahol S'x = ydA A'∫ - a keresztmetszet y és ex koordináták közé eső részének x tengelyre vonat-

232

kozó sztatikai nyomatéka. A (5.137) összefüggés hasonlít a Zsuravszkij-képletre, ne feledjük

azonban, hogy Jxx a (5.135)-tel számítandó, módosított másodrendű nyomaték.

5.81. ábra

A keresztirányú normálfeszültség-eloszlás meghatározásához írjuk fel a rúdelemre az y

irányú vetületi egyensúlyi egyenletet:

F = 0 = - ( , y)v(y)(R - y) + ( , y + y)v(y)(R - y - y)

( , y)v(y) ysin ( + , y)v(y) ysin ( , y)v(y) ycos

( , y + y)v(y) ycos

y yy yy

zz zz zy

zy

∑ +

+ + − +

+

σ ϕ σ ϕ

σ ϕ σ ϕ σ ϕ

σ ϕ

∆ϕ ∆ ∆ ∆ϕ

∆∆ϕ

∆ϕ ∆∆ϕ

∆∆ϕ

∆ ∆ ∆ϕ2 2 2

2

Az előzőhöz hasonló átalakítások után és ∆ϕ → 0 , ∆ y → 0 határátmenettel:

( , y) ( , y) ( , y) ( , y)zy yy yy zz

∂σ ϕ∂ϕ

∂σ ϕ∂

∂σ ϕ σ ϕ10

R y y R y R y−+ −

−+

−=

Az első differenciálhányadost (5.137) és (5.131) felhasználásával nyerjük:

233

∂σ ϕ∂ϕ

∂ ϕ∂ϕ

ϕzy x2

2

2x

2

( , y) T( ) S' R

(R - y)

N( ) R S'

(R - y) .= = −

J v y J v yxx xx( ) ( )

Ezt behelyettesítve és (5.136)-ot is felhasználva:

∂σ ϕ

∂σ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕyy yy

xx

2x

3xx

2

( ,y)

y

( ,y)

- y

N( )

J v(y)

R S'

(R - y)

M( )

J (R - y)

M( ) N( )− − + −

−+

−=

R

Ry

AR R y A R y( ) ( )0,

amely σ ϕyy y( , )-ra nézve ismét egy másodrendű, inhomogén differenciálegyenlet. Megoldása

során azokat a kerületi feltételeket kell felhasználni, hogy a rúd terheletlen felületén, azaz a

keresztmetszet szélső szálaiban ezek a normálfeszültségek nullával egyenlők, azaz ( , y = e ) = 0 é s ( , y = e' ) = 0yy x yy xσ ϕ σ ϕ .

A differenciálegynelet kerületi feltételeket is kielégítő megoldása:

( , y) =M( )

Rv(y) R - y

J'

J

RS'

J'

A'

A-

-N( )

v(y)

J'

J

RS'

J' (R - y)

A'

A

yyxx

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

σ ϕ ϕ

ϕ

1

1

+ −

−− −

R y

5.138

ahol

A dA JRy

R ydA

y

e

xx

y

ex x

' , '= =−∫ ∫

2

5.138/a,b

tehát a keresztmetszet y és ex koordináta közötti részének területe és x tengelyre vonatkozó,

módosított másodrendű nyomatéka.

A (5.137) és (5.138) megoldások helyességéről a legegyszerűbben úgy győződhetünk

meg, ha visszahelyettesítjük őket differenciálegyenleteikbe. Az ellenőrzésnél szükség van a

(5.135) képletsorhoz hasonlóan levezethető

Ry

R - ydA =

J'

R+ S'

y

e

xxx

x

∫

egyenlőség alkalmazására.

Az 5.82. ábrán bemutatjuk egy üreges téglalap keresztmetszetű, görbe tengelyű rúd fe-

szült-ségkomponenseinek y tengely menti megoszlását külön-külön ható három igénybevétel

esetén. A hajlítónyomatékból származó σ zz hossz-irányú normálfeszültség eloszlása hiperbo-

likus (az y=R helyen, azaz a görbületi sugár középpontjában végtelen értéket vesz fel). Az

egyenes tengelyű rúdhoz képest - ahol a feszültségeloszlás a szaggatott vonalnak megfelelő

234

lineáris - a rúd domború szélén kisebb, homorú

szélén nagyobb feszültségek ébrednek. A semleges

szál a homorú oldal felé tolódik el.

A hosszirányú normálfeszültségek maximumát

(5.136) utolsó tagjának elhagyásával és y = ex

helyettesítéssel számítjuk.

A normáligénybevételből származó hossz-

irányú normálfeszültség eloszlása - az egyenes

tengelyű rúdhoz hasonlóan - egyenletes.

A hajlítónyomaték hatására fellépő

keresztirányú normálfeszültség eloszlásának

jellege hasonlít a nyíró-feszültségek eloszlására,

de még szimmetrikus keresztmetszet esetén sem

szimmetrikus. A feszültségmaximum helye a

homorú oldal felé tolódik el.

A normálerőből származó keresztirányú

normál-feszültségeknek pozitív és negatív szélső

értéke is van. A nulla érték helye a súlyvonal és a

homorú oldal között van.

A nyírófeszültség eloszlása hasonlít az

egyenes tengelyű rúdéhoz, a feszültségmaximum

helye azonban a homorú oldal felé tolódik el.

Ha a keresztmetszet oldalai nem párhu-

zamosak az y tengellyel, hanem pl. az 5.80. áb-

rának megfelelő általános alakúak, akkor a σ zy

nyírófe-szültség-komponens mellett σ zx nyíró-

feszültség is ébred. Ezek meghatározása teljesen

analóg az egyenes rúdnál bemutatott eljárással.

A görbe tengelyű rúd egy általános

helyzetű pontjában a feszültségi állapot tenzorának

mátrixa:

Tzx

yy zy

xz yz zz

σ

σσ σ

σ σ σ=

0 0

0 .

A görbe tengelyű rúd pontjai általában tehát

5.82. ábra térbeli feszültségi állapotban vannak.

235

Az alsó és felső szál(ak)ban csak a σ zz komponens nem nulla, itt a feszültségi állapot mindig

lineáris, mégis izotrop anyagú rúdnál a szélső szálak pontjai a kritikus pontok, mert - különösen

nem túlságosan görbült rudaknál - a hosszirányú normálfeszültségek maximuma nagyságren-

dekkel nagyobb lehet a többi feszültségkomponens értékeinél. Anizotrop anyagú rudaknál, pl.

rétegelt ragasztott íves fatartóknál a tönkremenetelt nemcsak a σ zz, hanem a σ yy és a σ zy

= σ yz feszültségek is okozhatják, mert a faanyag rostokra merőleges húzó- vagy nyomószilárd-

sága, illetve a rostokkal párhuzamos nyírószilárdsága meglehetősen alacsony.

A görbe tengelyű rúd ds hosszúságú elemében felhalmozott rugalmas energiát a különböző

igénybevételekhez tartozó rugalmas energiák összegeként számítjuk. Az egyes igénybevétel-

fajtákhoz tartozó rugalmas energiát jó közelítéssel ugyanúgy kapjuk, mint az egyenes tengelyű

rudaknál, az azoknál levezetett összefüggésekben csak annyit kell változtatni, hogy dz helyébe

ds-et írunk:

dU = dU =1

2

N (s)

EA

M (s)

EI

T (s)

GAds b b

2 2

xx

2~ + +

χ 5.140

5.9.2. Görbe tengelyű rudak alakváltozásának számítása

Ha a görbe tengelyű rudak alakváltozását az egyenes rudaknál alkalmazott módszerrel,

azaz a rugalmas szál differenciálegyenletének felírásával kívánnánk meghatározni, matematikai

szempontból igen bonyolult összefüggést kapnánk, melynek még közelítő megoldása is nagyon

sok problémát jelentene.

Amennyiben csak a megváltozott görbületi sugárra vagy a fajlagos keresztmetszet-

elfordulásra van szükségünk, a (5.132/b) és (5.134) összefüggések felhasználásával ezeket kife-

jezhetjük:

1

(s)=

1

R(s)-

M(s)

J E +N(s)

A

M(s)

AR

xxρ −

5.141/a

k =1

(s)=

1

EM(s)

R

J

N(s)

A

xxρ+

−

1

AR 5.141/b

Ha csak bizonyos helyeken keressük a keresztmetszet eltolódását vagy elfordulását, a

legegyszerűbben a munka- és energiatételek alkalmazásával jutunk eredményhez. A rúdban

felhalmozott rugalmas energiát (5.140)-nel számítjuk. Amennyiben az R(ex+e'x) viszony elég

nagy, azaz valóban rúd alakú, nem túlságosan görbe szerkezeti elemről van szó, (5.140) szögle-

tes zárójelében az első és harmadik tag a második tag mellett gyakorlatilag elhanyagolható. Ez

azt jelenti, hogy a görbe rúd alakváltozását úgy számíthatjuk, mintha csak hajlító-

236

igénybevételnek lenne kitéve.

5.9.3. Erőtani méretezés

A görbe tengelyű rúdban ébredő feszültségek meghatározásánál megállapítottuk, hogy

annak pontjai általában összetett feszültségi állapotba kerülnek, így az erőtani méretezést az

5.8.1. pontban bemutatott eljárásnak megfelelően kell elvégezni. Faanyag vagy más ortotróp

anyag esetén az egyenértékű feszültséget a (3.18) reláció jobb oldalán található összefüggéssel

számítjuk.

6. Lemezek rugalmasság- és szilárdságtana

Felületszerkezetnek nevezzük a térbeli kiterjedésű testet, ha egyik geometriai mérete - a

vastagsága - a másik kettőnél lényegesen, legalább egy nagyságrenddel kisebb A vastagságot

felező pontok mértani helye a középfelület (amely ugyanolyan szerepet játszik, mint rudaknál a

középvonal).

6.1. ábra

A felületszerkezeteket a középfelület alakja alapján két nagy csoportba oszthatjuk:

- héjak, ha a középfelület legalább egyszer görbült,

- lemezek, ha a középfelület sík.

A felületszerkezetek széleit tetszőleges geometriai alakzat határolhatja és terhelésük,

valamint megtámasztásuk is igen változatos lehet. A felületszerkezetek mechanikai viselkedésé-

nek leírásánál már nem elegendő az elemi rugalmasságtan módszereinek alkalmazása, számítá-

237

sukhoz a rugalmasságtan alapegyenleteit kell felhasználni.

A héjakat és lemezeket tovább csoportosíthatjuk alakjuk és erőjátékuk alapján, amelyet

az eltérő számítási módszerek indokolnak (bizonyos esetekben pl. a háromdimenziós alapfügg-

vények két-, esetleg egy dimenzióssá alakíthatók, ami a zárt formában való megoldhatóság esé-

lyét lényegesen megnöveli.

Mechanikai tanulmányainkban csupán a sík felületszerkezetekkel foglalkozunk. Ezeket

a külső terhelés alapján két nagy csoportba soroljuk (6.1. ábra):

- a külső erők hatásvonala beleesik a középfelület síkjába (általánosabban fogalmazva, a közép-

sík terhelés szimmetriasíkja), a szakirodalom az ilyen lemezeket sokszor tárcsa néven említi,

- a külső erők hatásvonala merőleges a középsíkra (szűkebb értelemben ezeket a szerkezete-

ket nevezik lemeznek).

A 6.1. ábra alapján könnyen beláthatjuk, hogy az első esetben - ha stabilitási problémák

nem lépnek fel - a lemez középfelülete az alakváltozás után is benne marad az eredeti síkban,

míg a második esetben onnan kilép és egyszeresen vagy kétszeresen görbült felületté alakul. Ha

a síklemez általánosan terhelt és csak kis elmozdulásokat engedünk meg, akkor a lemez alakvál-

tozási és feszültségi állapotmezejét, illetve deformációját a szuperpozíció elvével határozhatjuk

meg.

Számításaink során a lemezek anyagáról feltételezzük, hogy

- homogén,

- izotrop és

- lineárisan rugalmas.

6.1. A külső erők hatásvonala beleesik a középfelület síkjába

Vágjunk ki a lemezből az A pont közelében egy a lemez vastagságával megegyező

hosszúságú elemi hasábot, majd még ezen belül is jelöljünk ki egy ∆z hosszúságú darabot (6.2.

ábra).

Ha a lemez vastagsága elég kicsi, akkor jó közelítéssel elfogadhatjuk, hogy a z tengely-

lyel párhuzamos egyenesen felvett pontok feszültségi állapotának komponensei a koordinátától

nem függenek, tehát

σ σij ij= (x, y) , 6.1

mert a kis távolságon jelentős feszültségváltozás nem alakulhat ki, a feszültségfüggvények ug-

rásszerű változását pedig a külső terhelés nem indokolja. A kis lemezvastagság feltételezése

tehát lehetővé teszi, hogy a lemez teljes állapotmezejének megadásához elegendő a középsík

állapotmezejének ismerete. A terhelési megszorításból, mint kerületi feltételből az következik,

hogy a lemez z normálisú, tehermentes felületi pontjaiban σ z = 0 , ami skalárisan a következő

egyenlőséget jelenti: σ σ σ σ σ = = = = = 0 zz zx xz zy yz .

238

6.2. ábra

Mivel a feszültségkomponensek vastagságmenti változását elhanyagolhatjuk, (6.2) a

lemez belső pontjaiban is fennáll, ami azt jelenti, hogy a lemez minden pontjában a 6.2. ábrán

látható feszültségkomponensekkel jellemezhető, síkbeli feszültségi állapot uralkodik. A közép-

síkjában terhelt lemez vizsgálatához a 2.5.6. fejezet b. pontjában levezetett összefüggések min-

den változtatás nélkül alkalmazhatók. Ezért az Airy-féle feszültségfüggvény bevezetésével leve-

zetett (2.107) jelű parciális differenciálegyenletet tárcsaegyenletnek is nevezik.

Egy adott feladat megoldása tehát abból áll, hogy olyan F(x,y) függvényt kell előállíta-

ni, amely a lemez kerületén belül kielégíti a tárcsaegyenletet, a kerületen pedig a külső terhelés

által előírt értéket veszi fel. A megoldás meghatározására sajnos nem lehet egységes módszert

kifejleszteni. Sokszor próbálkozással keresünk olyan biharmonikus függvényeket - hatványsor-

ok vagy Fourier-sorok formájában -, amelyek a tárcsaegyenletet és a kerületi feltételeket is ki-

elégítik.

6.2. A külső erők hatásvonala merőleges a középfelület síkjára

A középfelületükre merőlegesen terhelt lemezek mechanikai viselkedése egyrészt vas-

tagságuk és a többi geometriai méret viszonyától, másrészt az alakváltozás mértékétől függ.

Ennek alapján a lemezekkel kapcsolatos vizsgálatokat három csoportra oszthatjuk:

- kis lehajlású vékony lemezek,

- nagy lehajlású vékony lemezek

- kis lehajlású vastag lemezek.

Vastag lemezek esetén semmilyen megkötést nem kell tenni a vastagságra vagy az alak-

változás mértékére. Ezeket a lemezszerkezeteket csak a rugalmasságtan háromdimenziós alap-

egyenleteinek felhasználásával lehet vizsgálni. A feladat nehézségi fokának megfelelően zárt

analítikus megoldást eddig csak nagyon kevés esetben sikerült találni.

A másik két csoportba azok a lemezek tartoznak, melyekre fennáll, hogy

239

v ≤ 0,1 lmin,

ahol

v - a lemez vastagsága, lmin - a lemez síkjának legkisebb geometriai mérete.

Ha uz,max-szal jelöljük a lemez maximális lehajlását, akkor

uz,max > 0,2v

esetén nagy lehajlású lemezről beszélünk.

Kis lehajlású lemezeknél a középfelület alakváltozása elhanyagolható, feszültségi álla-

pot szempontjából a középsík semleges marad, a számítások során a kis elmozdulások elmélete

alkalmazható. Nagy lehajlás esetén azonban a középsík már olyan mértékben deformálódik,

hogy a középfelület síkjával párhuzamos belső erőrendszer és az annak hatására fellépő feszült-

ségátrendeződés nem hanyagolható el.

Mechanikai tanulmányaink során csupán - faipari gyakorlatban leggyakrabban előfordu-

ló - kis lehajlású vékony lemezekkel foglalkozunk.

A kis lehajlású vékony lemezek számítása során a korábban megfogalmazott feltételek

mellett még az alábbiakat használjuk fel:

- a lemez vastagsága állandó,

- a lemez középsíkjára merőleges feszültségkomponensek elhanyagolhatóan kicsinyek,

- a lemez középsíkjának pontjai csak a deformálatlan középsíkra merőleges irányú elto-

lódást szenvednek (a középsík olyan szerepet játszik, mint az egyenes tengelyű rúdnál a semle-

ges szál),

- a középsík normálisán lévő pontok a deformáció után is a normálison maradnak.

Az utolsó feltétel analóg azzal a rudaknál alkalmazottéval, mi szerint a keresztmetszet

síkja az alakváltozás után is sík marad. A nyíróigénybevétel származó deformációt tehát itt is

elhanyagoljuk.

A fenti feltételeknek megfelelő számítási módszert technikai lemezelméletnek, és az

eredményként kapott végső parciális differenciálegyenletet - első levezetőikről - Kirchhoff-

Love-féle lemezegyenletnek nevezzük.

Foglalkozzunk először a feltételrendszerből következő alakváltozási jellemzőkkel. Ve-

gyük fel a koordinátarendszer x,y tengelyét a lemez középsíkjában (6.3. ábra), és ábrázoljuk egy

tetszőleges P pontjának környezetében az alakváltozás előtti és utáni középfelület koordináta-

síkokkal párhuzamos metszeteit.

A P pont eltolódását a feltételrendszernek megfelelően az uz=uz(x,y) függvénykapcsolat

adja meg, amely egyben a deformálódott középfelület egyenlete. A metszetvonalak érintőinek

az x és y irányokkal bezárt szögét a lehajlásfüggvény parciális differenciálhányadosaként kap-

juk:

ϕ∂

∂ϕ

∂∂x

zy

z=u (x, y)

y ,

u (x, y)

x= .

Ugyanekkora szögekkel fordul el a P pont eredetileg z tengellyel párhuzamos normálisa is.

240

6.3. ábra 6.4. ábra

A középsíktól z távolságra lévő A pont (6.4. ábra) z irányú eltolódása megegyezik a P

ponttéval, ugyanakkor - mivel az elfordult normálison kell maradnia - z és y irányú eltolódást is

szenved.

Ezek nagysága a 6.4. ábra alapján egyszerűen meghatározható:

u (x, y, z) = -zu

x x

z∂∂

6.3/a

u (x, y, z) = -zu

yyz∂

∂ 6.3/b

Ezeknek az eltolódásoknak és a (2.38) geometriai egyenleteknek a felhasználásával már felírhat-

juk az A pont alakváltozási állapotának a középsíkba eső komponenseit:

=u

x= - z

u , =

u

y= - z

u

y

= =1

2

u

y+

u

x= -z

u

x y • .

xxx

2z

yyy

2z

2

xy yxx y

2z

ε∂∂

∂∂

ε∂∂

∂∂

ε ε∂∂

∂∂

∂∂ ∂

x2

6.4/a

Az A pont feszültségi állapota a síkbeli feszültségi állapotnál levezetett (2.105/b) Hooke-

törvénynek megfelelően:

=E

1 -( + ) = -

Ez

1 -

u

x+

u

y

=E

1 -( + ) = -

Ez

1 -

u

x+

u

y

= = 2G =Ez

1 -

u

x y

xx 2 xx yy 2

2z

2

2z

2

xx 2 yy xx 2

2z

2

2z

2

xy yx xy

2z

σν

ε νεν

∂∂

∂∂

σν

ε νεν

ν∂∂

∂∂

σ σ εν

∂∂ ∂

6.5

241

(2.105/b) utolsó egyenletével pedig kifejezhetjük a lemez z irányú fajlagos hosszváltozását:

ε νν

ε ε νν

∂∂

∂∂zz xx + yy 2

2z

2

2z

2= -

1 -( ) =

Ez

(1 - )

u

x

u

y +

6.4/b

Megállapíthatjuk, hogy az alakváltozási és a feszültségi komponensek a z koordinátától lineári-

san függenek. Ugyanakkor az is látszik, hogy a lehajlásfüggvény ismeretében a lemez tetszőle-

ges pontjának alakváltozási és feszültségi állapota meghatározható.

6.5. ábra

Ezek után fejezzük ki a feszültségekkel a lemez igénybevételeit. Lemez esetében nincs értelme

keresztmetszetről beszélni, ezért az igénybevételeket a v vastagságú és egységnyi szélességű

felületre vonatkoztatjuk. E fajlagos igénybevételeket kis betűvel jelöljük. Vágjunk ki a lemezből

egy v vastagságú, ∆ x és ∆ y méretű elemi darabot és határozzuk meg az x és y normálisú

éleken ható fajlagos igénybevételeket (6.5. ábra).

Az x normálisú keresztmetszetben ható fajlagos belső erők (az első index a felülelem

normálisára utal, a második pedig arra, hogy az erőnek milyen irányú komponenséről van szó,

illetve a nyomaték milyen tengely körül forgat):

a fajlagos normáligénybevétel:

n = dA = ldz = -E

1 -

u

x+

u

yzdz = 0xx xx

A

xx-v

2

2

2z

2

2z

2-v

+v2

σ σν

∂∂

ν∂∂∫ ∫ ∫

+v2

2

az y irányú fajlagos nyíróerő:

242

t = dA = ldz = -E

1+

u

x ydz = 0 ,xy xy

A

xy

2zσ σ

ν∂∂ ∂∫ ∫ ∫

−

+

−

+

v

v

v

v

z

2

2

2

2

e két igénybevétel értéke azért nulla, mert az összefüggések integrálmennyisége nem más, mint

a felület súlyponton átmenő, y tengellyel párhuzamos egyenesére vonatkozó sztatikai nyomaté-

ka,

a fajlagos hajlítónyomaték:

m = zdA = zldz = -E

1 -(

u

x+

u

y) z dz

= -D (u

x+

u

y) ,

xx xx

A

xx-v

2

2

2z

2

2z

22

-v2

+v2

2z

2

2z

2

σ σν

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∫ ∫ ∫+

=v

2

6.6/a

ahol

D =E

1 -z dz =

Ev

12(1 - )22

-v2

+v2 3

2ν ν∫ 6.7

- a lemez hajlítómerevségi tényezője, értéke az E és rugalmas állandóktól és az egységnyi szé-

lességű, v vastagságú felületelem súlyponti y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékától

függ, mértékegysége Nm,

a fajlagos csavarónyomaték:

c = - zdA = - zldz = D(1 - )u

x yxx xy

A

xy-v

2

+v2 2

zσ σ ν∂∂ ∂∫ ∫ 6.6/b

az igénybevételek közti kapcsolat vizsgálata során látni fogjuk, hogy z irányú fajlagos nyíróerő-

nek is ébrednie kell:

t = dA = ldz , xz xz

A

xz-v

2

+v2

σ σ∫ ∫ 6.6/c

itt még sem a nyíróerőt, sem a nyírófeszültséget nem ismerjük, de ez az a nyírófeszültség, mely-

nek alakváltoztató hatását a kezdeti feltételek szerint elhanyagoltuk.

Analóg módon kapjuk az y normálisú felületelemen ébredő fajlagos belső erőket. Most

már csak a végeredményeket írjuk fel:

n = 0 , t = 0 ,yy xy

m = -D (u

x+

u

y) , yx

2z

2

2z

2ν

∂∂

∂∂

6.6/d

243

c = -D(1 - )u

x y= c , yy

2z

xxν∂

∂ 6.6/e

t = dA = ldz . yz yz

A

yz-v

2

+v2

σ σ∫ ∫ 6.6/f

A fajlagos igénybevételek és a lemez külső terhelése közötti kapcsolatot a 6.5. ábrán

látható elemi hasábra ható erők egyensúlyi feltételeinek megfogalmazásával határozhatjuk meg.

Az elemen a középsíkra merőleges hatásvonalú q(x,y)∆ x ∆ y külső erőt és a nem nulla belső

erőket tüntettük fel. A z irányú vetületi egyenlet:

F = 0 = q(x, y) x y + t (x, y + y) x - t (x, y) x + t (x + , y) y - t (x, y) yz yz yz xz yz∑ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆x .

∆x, ∆y-nal való osztás és ∆ x→ 0 , ∆ y → 0 határátmenet-képzés után:

q(x, y) +t

x+

t

y= 0 . xz yz∂

∂∂∂

6.8/a

Az x tengelyre vonatkozó nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

M = 0 = c (x + x, y) y - c (x, y) y + m (x, y) x -

-m (x, y + y) x + t t

x xx xx yx

yx yz yz

∑

+ +

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆( , ( , ,x y) x

yx y y) x

y

2 2

az előzővel megegyező műveletek után:

t = -x

+m

y . yz

yx∂∂

∂∂

cxx 6.8/b

Az y tengelyre vonatkozó nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

M = 0 = m (x + x, y) y - m (x, y) y - c (x, y + y) x +

+c (x + x, y) yx

2(x, y) y

x

2

y xy xy yy

yy

∑

− −

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆( , ,x y) x t txz xz

ahonnan

t =m

x-

c

y xz

xy yy∂∂

∂∂

6.8/c

A (6.8) jelű összefüggések felhasználásával megkapjuk a külső terhelés és a nyomatékok kap-

csolatát:

q(x, y) = -m

x+ 2

c

x y-

m

y .

2xy

2

2xx

2yx

2

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

6.8/d

A (6.8/b,c) és a (6.6) összefüggésekkel kifejezhetjük a lehajlásfüggvénnyel az eddig

teljesen ismeretlen z irányú fajlagos nyíróerőket:

t = -Dx

(x

+u

y) = -D

xu zx

2

2

2z

2 z

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

uz ∆ 6.9/a

244

t = -Dy

(x

+u

y) = -D

yu zx

2

2

2z

2 z

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

uz ∆ 6.9/b

Ezeket (6.8/a)-ba helyettesítve és felhasználva a (6.6) kifejezéseket:

q(x, y)

D=

u

x+ 2

u

x y+

u

y ,

4z

4

4z

2 2z

4

∂∂

∂∂

∂∂∂

4

6.10/a

vagy a Laplace-féle differenciáloperátor alkalmazásával: q(x, y)

D= u (x, y) .z∆∆ 6.10/b

Ezzel megkaptuk a középsíkjára merőlegesen terhelt lemez egyenletét, amely egy inhomogén

differenciálegyenlet. Jobb oldala formailag megegyezik a tárcsaegyenlettel, ebben azonban nem

a feszültségfüggvény, hanem a lehajlásfüggvény az ismeretlen.

A feladat megoldása abból áll, hogy megtaláljuk azt az uz(x,y) függvényt, amely a le-

mez kerületén belül kielégíti (6.10)-et, a kerületen pedig a lemez megtámasztási módjának meg-

felelően megfogalmazható kerületi feltételeket.

Mereven befogott kerületen azt a feltételt kell megfogalmazni, hogy a perem lehajlása

és keresztmetszetének elfordulása akadályozott. Csuklós megtámasztásnál a peremen a lehajlás

nulla és a végkeresztmetszetben fajlagos hajlítónyomaték nem ébredhet, hiszen az elfordulás

nem gátolt. Szabad peremen pedig az összes fajlagos igénybevétel-komponensnek kell egyenlő-

nek lennie.

Az uz(x,y) lehajlásfüggvény ismeretében - korábbi megállapításainknak megfelelően - a

lemez minden mechanikai jellemzője számítható.

Az alakváltozás egyik fontos jellemzőjéről, a deformálódott lemez síkmetszeteinek gör-

bületi sugaráról még nem esett szó. Ezeket a görbületi sugarakat - a kis lehajlás feltételezésének

megfelelően - a lehajlásfüggvény x és y szerinti második parciális differenciálhányadosaként

kapjuk:

1=

u

x ,

1=

u

y ,

x

2z

2y

2z2ρ

∂∂ ρ ∂

ha bevezetjük az

1= -

xy

2

ρ∂∂ ∂

u

x yz

mennyiséget, amely az elcsavarodással van kapcsolatban, akkor a fajlagos nyomatékok a (6.6)

összefüggések alapján a görbületi sugarakkal is kifejezhetők:

245

m = -D1

m = -D1

xyx

yxx

ρ ρ

νρ ρ

νρ

+

+

= = − −

1

1

11

y

y

xx yyxy

c c D

,

,

( ) .

6.11

A 6.6. ábrán vázoltuk a v vastagságú elemi hasábon a feszültségkomponensek vastagsá-

ga menti változását. A σxx , σ yy és σ xy= σ yx feszültségkomponensek eloszlásáról már kimutat-

tuk, hogy lineárisan változnak. A txz és tyz nyíróerőknek megfelelő σ xz , σ yz nyírófeszültségek

eloszlását hasonlóan lehet levezetni, mint az egyenes tengelyű rudak közönséges hajlításánál. A

Zsuravszkij-képlethez hasonló összefüggést kapunk, benne azonban a fajlagos

nyíróigénybevétel mellett a fajlagos csavarónyomatékok hely szerinti parciális deriváltjai is

szerepelnek. A v vastagságú, egységnyi szélességű keresztmetszetet figyelembe véve az

6.6. ábra

σ∂∂xz xz

yy

3

22= t +

c

y

6

v

v

2z

− 6.12/a

σ∂∂xz yz

xx3

22= t +

c

x

6

v

v

2z

− 6.12/b

összefüggéseknek megfelelő, parabolikus feszültségeloszlást nyerünk.

A deformáció során felhalmozott rugalmas energiát is kifejezhetjük a lehajlásfüggvény

246

segítségével. Határozzuk meg először a v∆x∆ y térfogatú elem rugalmas energiáját a (2.95)

felhasználásával:

( )

dU = dU =1

2dV

i,j=

1

2dxdydz =

=1

2dxdydz =

= G ( +D

1 - 2)dxdydz =

= G ( + + + 2 + 2 + 2 +D

1 - 2)dxdydz =

=G

1 -( + + 2 + 2(1 - ) )dxdydz

b b ij ij ij ij

ij ij ij

ij ij1

iii, j-v

2

yy2

zz2

xy2

yz2

zx2 1

2+v

2

yy2

xx yy xy2

-v2

+v2

~

,

,

σ ε σ ε

ε λ σ ε

σ εν

νε

ε ε ε ε ε εν

ν

νε ε νε ε ν ε

∑ ∑∫

∑∫

∑∫

∫

−

+

−

+

+

−

+

i jv

v

i jv

v

v

xxv

xx

G D

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

∫ ,

ahol a (6.4/b) összefüggést is figyelembe vettük. Helyettesítsük be ebbe a (6.4) kifejezéseket és

végezzük el a z szerinti integrálást:

dU = dU =D

2

u

x

u

y

u

x

u

y

u dxdy b b

2z

2

2z

2

2z

2

2z

2

2z~

( )∂∂

∂∂

ν∂∂

∂∂

ν∂∂ ∂

+

+ + −

2 2 1

2

x y 6.13

6.2.1. Hengerpalástfelületre deformált, sztatikailag határozott megtámasztású, téglalap alakú

lemez

A 6.7. ábrán látható megtámasztású (egyik éle mentén befogott vagy a két szemközti

élén csuklósan alátámasztott) lemez deformált középsíkja akkor lesz hengerpalástfelület, azaz

egyszer görbült, ha a megoszló teher csupán az x koordináta függvénye:

q = q(x) .

Mivel a lehajlásfüggvény is csak x függvénye, összes y szerinti differenciálhányadosa

nullával egyenlő. A (6.6) összefüggések egyszerűsödnek:

m = -Dd uz

dx , m = -D

d uz

dx , c = c = 0.xy

2

2 yx

2

2 xx yy

A (6.8/a,b) összefüggések alapján:

t =dm

dx , t = 0 .xz

xyyz

Ha a legelső összefüggést m

D= -

d u

dx xy

2z

2 6.14

247

alakra hozzuk, azonnal látjuk, hogy ez

matematikailag analóg az egyenes

tengelyű rúd rugalmas szálának diffe-

renciálegyenletével. A különbség fizi-

kai szempontból csupán annyi, hogy a

hajlítóigénybevétel helyett a fajlagos

hajlítóigénybevétel és az EIxx

hajlítómerevség helyett a D lemezme-

revségi tényező szerepel. Sztatikailag

határozott megtámasztású lemeznél az

mxy fajlagos nyomaték függvénye

egyszerűen meghatározható, a másod-

rendű differenciálegyenlet kétszeri

integrálással megoldható. Az integrá-

6.7. ábra lási állandókat a kerületi feltételek

alapján kapjuk.

Ebben a viszonylag egyszerű esetben a lemez egy tetszőleges pontjának feszültségi

állapotát a (6.5) összefüggések felhasználásával a fajlagos hajlítónyomaték függvényeként is

kifejezhetjük:

= -Ez

1--

m

D=

m

1-

E

Dz =

12m

vz ,

=m

1-

E

Dz = ,

= = 0 ,

0 , =6t

v

v

2z

xx 2

xy xy

2

xy

3

yyxy

2 xx

xy yx

yz = xzxz3

2

σν ν

σν

ννσ

σ σ

σ σ

−

2

6.15

Az alakváltozási állapot komponenseit az általános Hooke-törvénnyel számíthatjuk.

6.3. Erőtani méretezés

Mint láttuk, a lemez pontjai a legegyszerűbb terhelési és megtámasztási esetekben is

összetett feszültségi állapotba kerülnek. Az erőtani méretezést ezért úgy végezzük, ahogyan azt

az egyenes tengelyű rudak általános össztett igénybevételénél, az 5.8.1. fejezetben tárgyaltuk.

248

7. Stabilitási problémák

Eddigi vizsgálatainkban a testek alakváltozási és feszültségi állapotmezejének meghatá-

rozásánál kivétel nélkül a megmerevítés elvét alkalmaztuk, azaz a külső erők egyensúlyi egyen-

leteinek felírásánál a szerkezet alakváltozását nem vettük figyelembe. Az egyensúlyi egyenle-

tekben az elmozdulások nem szerepeltek. Ennek az ún. elsőrendű elméletnek az alkalmazása

során a szerkezetet akkor tekintettük tönkrementnek, ha az szilárdsági vagy alakváltozási határ-

állapotba került.

A gyakorlati tapasztalat azonban azt mutatja, hogy a szerkezetek többsége a szilárdsági

vagy alakváltozási határállapotnak megfelelő terhelésnél már lényegesen kisebb külső hatások

esetén is elvesztheti használhatóságát, mert bizonyos körülmények között megszűnik egyensú-

lyának stabilitása. A stabilitás megszűnésének, a stabilitási határállapot vizsgálatának és megha-

tározásának a teherviselő szerkezetek és szerkezeti elemek tervezésénél és ellenőrzésénél igen

nagy a jelentősége, mert ez az állapot rendszerint hirtelen, minden előjel (recsegés, nagyobb

alakváltozás) nélkül következik be és ezért jelentős károkat okozhat.

A stabilitási problémák vizsgálatakor az elsőrendű elmélet nem vezet eredményre, mert

a szerkezet alakváltozásából származó következményeket is figyelembe kell venni. Az egyensú-

lyi egyenletekben az alakváltozási jellemzőknek (eltolódás, elfordulás) is szerepelniük kell. Az

ún. másodrendű elmélet alkalmazásakor az alakváltozásokról feltesszük, hogy kicsinyek és line-

áris összefüggésekkel kifejezhetők (a tényleges függvénykapcsolat jó közelítéssel

linearizálható!). A harmadrendű elmélet használata során az alakváltozásokra semmilyen meg-

kötést nem teszünk. A másod- és harmadrendű elmélet alkalmazása természetesen számtalan új

problémát vet fel. A rugalmasságtani feladatok egyensúlyi feltételeit megfogalmazó differenci-

álegyenletek általában lényegesen bonyolultabbak lesznek az elsőrendű elméletben levezetet-

teknél. A megoldás során felmerülő matematikai nehézségeknél is nagyobb gondot okoz, hogy a

differenciálegyenletek linearitásának megszűnése következtében az igen kényelmes és praktikus

szuperpozíció elve nem alkalmazható.

A stabilitási határállapot meghatározásához általában elegendő a másodrendű elmélet

alkalmazása. A harmadrendű elméletre akkor van szükség, ha a szerkezetnek a stabilitás meg-

szűnése utáni viselkedését vizsgáljuk, vagy ha eleve olyan jellegű szerkezetről van szó, amely-

nél már kis terheléshez is viszonylag nagy alakváltozás tartozik (gumiszerű anyagok, kötél,

kötélháló, stb.).

Az egyensúlyi helyezetek osztályozásánál megismert fogalmak felhasználásával a szer-

kezetek stabilitási kérdéseit a következőképpen szemléltethetjük.

Míg a szerkezetre ható külső erőrendszer nem ér el egy bizonyos mértéket, addig a

szerkezet egyensúlyi állapota biztos, azaz, ha egy kis zavaró hatás kimozdítja nyugalmi helyze-

téből, az csak kis mértékű alakváltozást szenved és a zavaró hatás megszűnése után visszanyeri

eredeti helyzetét.

249

A külső érték egy adott értékénél a szerkezet közömbös egyensúlyi állapotba kerül, kis

zavaró hatás következtében új egyensúlyi alakot vesz fel, amely a zavaró körülmények megszű-

nése után is megmarad. E teherértéknél a szerkezet többféle olyan alakot is felvehet, amelynél a

ráható erők még egyensúlyban vannak.

Az előbbieknél is nagyobb külső terhek esetén a szerkezet egyensúlyi állapota bizonyta-

lanná válik. Ilyenkor a legkisebb zavaró hatás következtében megváltoztatja alakját és az alak-

változás zavaró hatás megszűnése után is egyre növekszik, a szerkezet viszonylag gyorsan olyan

jelentős deformációt szenved, hogy még törés nélkül is alkalmatlanná válik feladatának ellátásá-

ra.

A fenti terhelési folyamat alatti viselkedés azt mutatja, hogy a közömbös egyensúlyi

helyzet kialakulását előidéző tehernek kell kitüntetett szerepet tulajdonítanunk. Ezt a terhet kri-

tikus tehernek (erőnek, nyomatéknak), a hozzátartozó feszültséget pedig kritikus feszültségnek

nevezzük. A stabilitási vizsgálatok folyamán ennek a kritikus (Fkrit-tel vagy Mkrit-tel jelölt) te-

hernek a meghatározása a fő feladat.

Látni fogjuk, hogy a szerkezetek kritikus terhelése nem csupán anyagi minőségüktől,

hanem szerkezeti alakjuktól, geometriai méretüktől és megtámasztási módjuktól is függ. A kri-

tikus teher tehát mindig szerkezeti jellemző.

A szerkezet jellegétől függően a stabilitásvesztést különböző szakszavakkal jelöljük.

Nyomott és csavart rudak esetén kihajlásról; síkjukban (esetleg síkjukra merőlegesen is) terhelt

lemezeknél, csavart, hajlított és nyomott csöveknél, hajlított gerendák gerinclemeznél horpadás-

ról; hajlított (elnyújtott keresztmetszet-alakú) rudak nyomott övének stabilitásvesztésénél kifor-

dulásról vagy kibicsaklásról beszélünk.

A következőkben a nyomott rudak kihajlásával és az elnyújtott keresztmetszet-alakú,

hajlított rudak kibicsaklásával foglalkozunk. A faipari műszaki gyakorlatban ezek a feladatok

fordulnak elő leggyakrabban. A lemezek horpadásának tárgyalása - jólehet faipari szempontból

ez is fontos probléma - mechanikai tanulmányaink kereteit túlhaladják. Ezekkel kapcsolatban a

szakirodalomra utalunk.

7.1. Hosszú, nyomott rudak kihajlása

Az egyenes tengelyű, prizmatikus rudakat karcsúnak nevezzük, lényegesen nagyobb legkisebb keresztmetszeti méretüknél (L >> vmin). A karcsúság mértékét a karcsúsági tényező

fogalmának bevezetésével jellemezhetjük:

λ =L

i=

L

i=

L

I

A

red

min

red

2

red

2

7.1

ahol Lred - a rúd ún. redukált hossza, amely a tényleges geometriai hosszúságnak és a rúd meg-

fogási módjainak függvénye (lásd a 7.2. ábrát és a (7.8) összefüggéseket),

250

imin = i2 - a keresztmetszet legkisebb, azaz a 2-es főtengelyre vonatkozó másodrendű (inercia-)

sugara, az (5.13) definíciónak megfelelően I2 - a 2-es tengelyre vonatkozó, fő másodrendű

nyomaték, A - pedig a keresztmetszet területe.

A (7.1) összefüggés alapján egyszerűen beláthatjuk, hogy a dimenzió nélküli számmal

jellemzett karcsúsági tényező annál nagyobb, minél nagyobb a rúd hosszírányú mérete a ke-

resztmetszeti méreteihez képest. Ha λ egy bizonyos értéknél kisebb, akkor központos nyomó-

erő hatására zömök rúdként viselkedik és a tiszta nyomásnál megismert tulajdonságokkal jelle-

mezhető. Zömök rudak stabilitásvesztésével így nem kell számolni.

A kritikus nyomóerő meghatározásának módja karcsú rudaknál függ a kritikus feszült-

ségnek és a rúd anyagának jellemző arányossági határának viszonyától. σ krit ≤ σ A esetén ru-

galmas, σ krit > σ A esetén képlékeny kihajlásról beszélünk.

7.1.1. Karcsú, nyomott rudak rugalmas kihajlása

Vizsgáljunk egy L hosszúságú, A

keresztmetszet-területű prizmatikus rudat,

melynek mindkét vége gömbcsuklón keresztül

kapcsolódik a környezethez, sőt, az egyik

csukló a rúdtengely irányában el is mozdulhat

(7.1. ábra). A rúd külső terhelése olyan, hogy

minden keresztmetszete központos nyomásnak

van kitéve. Ha a rúdra ható külső erő éppen

eléri a kritikus értéket, akkor a rúd közömbös

egyensúlyi helyzetbe kerül s ennek

megfelelően nemcsak egyenes, hanem - a

gyakorlati tapasztalat szerint - síkgörbe

egyensúlyi alakot is felvehet. A kritikusnál

nagyobb erő esetén a rúd görbülete tovább nő

és igen rövid idő alatt elveszti használhatósá-

7.1. ábra -

gát. Ezt a jelenséget nevezzük a karcsú rudak kihajlásának.

Jelöljük a rugalmas vonal egyelőre ismeretlen, görbült alakját az uy = uy(z) függvénnyel

(az y tengelyt úgy vettük fel, hogy az a kihajlás síkjába essen). Annak ellenére, hogy a kihajlott

rúd keresztmetszeteiben a hajlítónyomaték mellett normál- és nyíróigénybevétel is ébred, a ru-

galmas vonal differenciálegyenletét - a kis alakváltozások feltételével élve - a közönséges hajlí-

tásnál levezetett (5.111) jelű összefüggéssel adhatjuk meg. Ebben a hajlítónyomaték függvénye

a 7.1. ábrának megfelelően: Mx(z) = Fuy(z) .

251

A rugalmas szál differenciálegyenlete a

k =F

EI 2

xx

7.2

jelölés bevezetésével a

d u (z)

dz+ k u (z) = 0

2y

22

y 7.3

alakra hozható. E homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása:

uy(z) = Asin(kz) + Bcos(kz) , 7.4

ahol A és B a kerületi feltételekből meghatározható integrálási állandók.

Esetünkben a z = 0-nál uy = 0 feltételből B = 0 adódik, a z = L-nél uy = 0 feltételből

pedig:

Asin(kL) = 0 .

E szorzat akkor lehet nulla, ha tényezői valamelyike nulla. Az A = 0 megoldás azt jelen-

ti, hogy a rúd egyenes marad, ami most számunkra érdektelen. A sin(kL) = 0 akkor állhat fenn,

ha

kL = mπ , m = 0,1,2, ...

Ezzel (7.2) felhasználásával a következő kritikus erőt kapjuk:

ami m és Ixx értékétől függően végtelen sok megoldást ad. A gyakorlat szempontjából a legki-

sebb értéknek van jelentősége. A nullától különböző legkisebb értéket m = 1 és Ixx = Imin = I2

helyettesítéssel nyerjük:

F =EI

L ,krit

22

2

π 7.5

A kihajlás tehát a rúd hossztengelye és keresztmetszetének 1-es főtengelye által alkotott síkban

következik be (az y tengelyt úgy kell felvenni, hogy az a keresztmetszet 1-es főtengelyével es-

sen egybe). A hajlítás tengelye pedig az x ≡ 2 tengely. A kihajlott rugalmas vonal alakja (7.4)

alapján:

uy(z) = Asin(kz) = Asinm

Lz

π

, 7.6

m = 1 esetén a kihajlott egyensúlyi alak fél szinuszhullám. A nagyobb m-ekhez tartozó nagyobb

kritikus erőkhöz m darab fél szinuszhullám tartozik. Ilyen alak azonban csak akkor alakulhat ki,

ha valamilyen módon megakadályozzuk, hogy már a legkisebb kritikus erőnél valamivel na-

gyobb erő esetén labilissé váljék a rúd. A rúd maximális y irányú eltolódása a határozatlan A

integrálási állandó miatt ismeretlen. uy,max-ot a felső rúdvég rúdirányú elmozdulásának figye-

lembevételével lehetne meghatározni. A kritikus nyomóerő ismeretében a kritikus feszültséget a

tiszta nyomás feltételezésével számítjuk:

σπ

kritkrit

22

2=

F

A=

EI

AL , 7.7

252

A (7.5) és (7.7) kifejezésekkel számítható mennyiségeket Euler-féle kritikus erőnek,

illetve feszültségnek nevezzük, mert először - 1774-ben - L. Euler vezette le őket.

módjának a függvénye:

a. eset: mindkét végén csukló:

Lred = L ,

b. eset: az egyik vég mereven befogott,

a másik vég szabad:

Lred = 2L ,

c. eset: az egyik vég merev megfogású,

Lred = 2

2L = 0,71L , 7.8/c

d. eset: mindkét vég merev befogású

Lred = 1

2L . 7.8/d

Megkönnyíti a fenti összefüggések

megjegyzését, ha a 7.2. ábra alapján

7.2. ábra megfigyeljük, hogy a redukált hossz az

a távolság, amely a fél szinuszhullám kialakulásához szükséges.

Az Euler-féle kritikus erő a négy esetben:

F =EI

L ,krit

22

red2

π 7.9

a kritikus feszültséget (7.1) és az I2 = i22 A összefüggés felhasználásával a következő formára

szokták hozni:

253

σπ π π π

λkrit

22

red2

222

red2

2

red

2

2

=EI

AL=

EAi

AL=

E

L

i

=E

,

2 2 7.10

Ezen összefüggés azt mutatja,

hogy a kritikus feszültég - rugal-

mas kihajlást feltételezve - a kar-

csúsági tényező függvényében hi-

perbolikusan változik (7.3. ábra).

7.3. ábra

7.1.2. Szerelési és gyártási pontatlanságok következtében fellépő rugalmas kihajlás

Tökéletesen egyenes rúd gyártása és olyan tökéletes szerelés, hogy a nyomóerő hatás-

vonala pontosan egybeessen a rúd geometriai tengelyével, gyakorlatilag lehetetlen. A kihajlás

műszaki pontatlanságok következtében megnövekedett veszélyének vizsgálatára és érzékelteté-

sére két egyszerű esettel foglalkozunk.

254

Vizsgáljunk először egy, mindkét végén csuklós megfogású egyenes rudat, melyen a

külső erő hatásvonala - véletlenül vagy szándékosan - a rúdtengelytől e távolságban helyezkedik

el (7.4/a. ábra). Az Fe nagyságú hajlítónyomaték hatására a rúd meggörbül. Ezt az alakválto-

zást is figyelembe véve tetszőleges z koordinátájú keresztmetszet hajlítóigénybevétele:

Mx = F(uy(z) + e).

(5.111) és (7.2) felhasználásával most a

d u (z)

dz+ k (u (z) + e) = 0

2y

22

y

differenciálegyenletet kapjuk a rugalmas szál uy(z) függvényére. Általános megoldása:

uy(z) + e = Asin(kz) + Bcos(kz) .

A mindkét végén csuklós megfogásnak megfelelő kerületi feltétel felhasználásával:

A = etgkL

2 é s B= e.

A feladat partikuláris megoldása:

u (z) + e = e(cos(kz) + tgkL

2sin(kz)).y

A legnagyobb kitérést a rúd közepén kapjuk:

7.4. ábra

u + e = e(coskL

2+ tg

kL

2sin

kL

2 =

e

coskL

2

y,max

.

Ha az utolsó egyenlőség nevezője a nulla felé tart, a rúd maximális kitérése elvileg vég-

telen nagy lesz. A kritikus erőt a

255

cos kL

2

= 0 összefüggésből határozhatjuk meg.

Ez akkor teljesül, ha kL

2

= m

π2

, m = 1,2,...

A legkisebb kritikus erőt most is m = 1 esetén kapjuk (7.2)-ből:

F =EI

L ,krit

22

2

π 7.12

Érdekes módon ugyanazt az összefüggést kaptuk, mint a centrikusan nyomott rúd stabi-

litásvesztésénél.

Helyettesítsük be (7.2)-be a (7.12)-ből kifejezett EIxx = EI2 értéket és alakítsuk át (7.11)-

et: u + e

e=

1

coskL

2

=1

cosL

2

=1

cos2

y,max

F

EI

F

Fkrit2

π

a kifejezésnek megfelelő függvénykapcsolatot a 7.4/b. ábrán szemléltettük.

Ezután tegyük fel, hogy a rúd tengelye gyártási hiba következtében nem egyenes, s a

terheletlen súlyvonal alakját közelítsük az

uo(z) = uo,maxsinπL

z

függvénnyel (7.5/a. ábra).

Ha csak kis alakváltozásokat engedünk meg, akkor a rúd görbületének megváltozása

arányos a hajlítónyomatékkal (a görbület pedig (5.111) alapján a lehajlásfüggvény hely szerinti

második deriváltja):

M

EI=

1-

1= -

d u (z)

dz+

d u (z)

dzx

xx 0

2o2

2y

2ρ ρ

amelyben uy(z) jelenti a rugalmas vonal teljes (az F erő hatásvonalához viszonyított) behajlását,

a hajlítónyomaték pedig:

Mx = Mx(z) = - Fuy(z) .

Behelyettesítés, rendezés után (7.2) felhasználásával:

d u (z)

dzk u (z) = -u

2y

22

y 0,max+

π π2

2L Lzsin

Ennek az inhomogén differenciálegyenletnek egy partikuláris megoldását keressük

u (z) = - rsinL

alakban.yp π

z

256

7.5. ábra

Az ismeretlen r tényezőt úgy határozhatjuk meg, hogy a megoldást behelyettesítjük a

differenciálegyenletbe, s onnan r kifejezhető:

r =u

k L - .o,m ax

2

2 2 2

ππ

A differenciálegyenlet általános megoldását a homogén egyenlet általános megoldásá-

nak és az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának összegeként kapjuk:

u (z) = Asin(kz) + Bcos(kz) -u

k L -sin

L . y

o,max2

2 2 2

ππ

πz

A mindkét végén csuklós megfogásnak megfelelő kerületi feltételek felhasználásával

B = 0 és Asin(kL) = 0

adódik. Az A = 0 megoldás azt jelenti, hogy a görbén gyártott rúd a külső terhelés hatására sem

változtatja meg alakját, ami fizikailag lehetetlen. A sin(kL) = 0 akkor teljesül, ha

kL = mπ , m = 0,1,2, ...

A legkisebb kritikus erőnek most is m = 1 felel meg, így

kL

= π.

B = 0 felhasználásával a rúd rugalmas tengelyének egyenlete:

u (z) = Asin(kz) +u

1 -kL

sinL

, yo,max

π

π

z

az eredetileg görbe rúd tehát a külső terhelés hatására fél szinuszhullám alakot vesz fel, melynek

amplitúdója A értékig határozatlan. (7.14) alapján a maximális behajlás akkor lesz végtelen, ha

257

jobb oldalán a második tag együtthatójának nevezője nulla. E feltételből, valamint (7.2) felhasz-

nálásával meghatározhatjuk a rúd kritikus erejét:

F =EI

L , krit

22

2

π 7.15

ami ismét egyezik az egyenes rúd stabilitási feltételével.

Határozzuk meg az uy,max /uo,max hányadost úgy, hogy (7.14)-et helyettesítsük be a kiin-

duló differenciálegyenletbe, végezzük el az előző feladatban is alkalmazott átalakítást: u

u=

1

1 -kL

=1

1 -F

F

, y,max

o,max

kritπ

2 7.16

melyet a 7.5/b. ábrán ábrázoltunk.

A (7.13) és (7.16) függvények, illetve a nekik megfelelő függvénygörbék jól szemlélte-

tik, hogy ha a külső terhelés eléri az Euler-féle kritikus erőt, a rudak végtelen nagy alakváltozást

szenvednek. Sőt, a nagyobb alakváltozások elkerülése érdekében a külső teher csak töredéke

lehet a kritikus erőnek.

Megjegyezzük még, hogy e két utolsó feladat szoros értelemben véve nem stabilitási

probléma. A centrikusan nyomott egyenes rúdnál a kritikus erő hatására a szerkezet, ha megvál-

tozott alakban is, de egyensúlyban marad, s csak valamivel nagyobb erő hatására következik be

a rohamos alakváltozás-növekedés. Az e fejezetben tárgyalt esetekben a kritikus erő már tönk-

remenetelt okoz, hiszen - elvileg - végtelen nagy alakváltozással jár.

7.1.3. Hajlítónyomatékkal is terhelt, karcsú nyomott rudak rugalmas kihajlása

Teherviselő szerkezetekben sokszor előfordul, hogy a karcsú rúdra már a nyomóerő

működése előtt, vagy azzal egyidőben hajlítónyomaték is hat. E nyomatékokat zavaró nyomaté-

koknak is nevezik, mert működésük következtében a centrikusan nyomott karcsú rudak kihajlá-

sának jellege megváltozik és nem csupán stabilitási problémával állunk szemben.

A zavaró nyomatékok hatására a rúd már kezdetben is meghajlik, a végkeresztmetszetek

szempontjából centrikus nyomóerő is okoz hajlítást. A rúd görbülete, kihajlása fokozatosan - de

a nyomóerővel nem lineárisan - nő, míg a nagy alakváltozás miatt használhatatlanná válik. Az

előző fejezetben tárgyalt két példa is a zavarónyomatékokkal kapcsolatos jelenségek körébe

tartozik.

A zavarónyomaték hatására, függetlenül azok jellegétől, a rúdra ható nyomóerő egy

bizonyos értéknél nem lehet nagyobb. Ez a felső határ - érdekes módon független a zavarónyo-

maték fajtájától és nagyságától - minden esetben a centrikusan nyomott rúd Euler-féle kritikus

ereje. A tényleges nyomóerő ezt a kritikus értéket azonban sohasem érheti el, mert - mint az

előző fejezetben is láttuk - ahhoz végtelen nagy alakváltozás tartozik, ami műszaki szerkezetek

esetén a használhatatlansággal egyenértékű.

258

Annak ellenére, hogy a zavarónyomatékkal is terhelt rudak nyomóereje a kritikus erő-

nek csak törtrésze lehet, a nagy alakváltozás miatt fellépő feszültségek hatására a rúd szilárdsági

határállapotba kerülhet. Az ilyen rudakat tulajdonképpen szilárdsági és alakváltozási állapotokra

kell méretezni.

A különböző jellegű zavarónyomatékkal terhelt, karcsú nyomott rudak viselkedésének

Mo = Fuo,max α = 1,0

Mo = Fe α = 1,234

Mo = QL

4 α = 0,822

Mo = qL2

4 α = 1,028

Mo = qL2

9 3 α = 1,208

Mo = Q L

8 α = 0,822

Mo = qL2

24 α = 1,20

7.6. ábra

megoldását általában végtelen sorok formájában lehet megadni. E megoldásokat jelenlegi me-

chanikai tanulmányaink keretein belül nem tudjuk bemutatni. Néhány kutató különböző terhelé-

sű és megtámasztású rúd esetén azonos alakú, közelítő képletet adott meg, amelyek a végtelen

sorok elhagyott tagjait módosító tényezővel pótolják.

Így pl. a 7.6. ábrán látható esetekben a rudak kritikus ereje az

259

F =N EI

L ,krit

22

red2

7.17

Euler-féle erő. A zavarónyomaték maximuma:

M = M 1+F

F

,z,max o,maxkrit

α

−

1

7.18

ahol

Mo,max - a kezdeti (kihajlás előtti) zavarónyomaték maximuma,

α - módosító tényező, különböző terhelési eseteknek megfelelő értékeiket a 7.6. ábra tartalmaz-

za.

Ha a rúdra többféle zavarónyomaték is hat, de az F erő mindig ugyanaz, akkor a zava-

rónyomatékok maximumának számításához alkalmazhatjuk a szuperpozíció elvét.

A fenti közelítő képletek hibája kisebb 1 %-nál, ha Fkrit /F > 1,7. A gyakorlatban 1,7-nél

mindig nagyobb biztonsági tényezőt alkalmaznak a nyomóerőre, ezért az összefüggések az ará-

nyossági határon belül kielégítő pontosságúak.

A szilárdságú méretezéshez szükséges, a rúdtengellyel párhuzamos normálfeszültség

maximumát a külpontos nyomás mintájára számítjuk:

σ z,maxz,max

x

= -F

A

M

K ± . 7.19

7.1.4. Parabolaív alakú tartók rugalmas kihajlása

Teherviselő faszerkezeti elemként gyakran találkozhatunk rétegelt ragasztott íves tar-

tókkal. Ezek esetében is beszélhetünk kihajlási problémáról. Az ívben centrikusnak nevezzük a

nyomóerőt, ha tetszőleges keresztmetszetében csak normálerő ébred, azaz az íves tartó súlyvo-

nala egybeesik a külső terhelésnek megfelelő támaszvonallal.

Íves alakú tartók kihajlásának vizsgálatánál általában közelítő megoldásokkal kell meg-

elégedni. Tanulmányainkban csak azzal a viszonylag egyszerű esettel foglalkozunk, mikor a

görbe tengelyű tartóra függőleges hatásvonalú, egyenletes megoszló terhelés hat. Ilyenkor a

támaszvonal másodfokú parabola. A centrikus nyomás feltétele tehát az, hogy a súlyvonal

egyenlete

y =4h(L - z)z

L

2 7.20

legyen (7.7. ábra), ahol H - a parabolaív magassága, L - a támaszköz. A stabilitási vizsgálat

során feltételezzük, hogy az ív lapos, tehát a h/L viszony kicsi, ennek következtében a kihajlott

ív pontjainak vízszintes irányú eltolódását elhanyagolhatjuk. Azt is feltesszük, hogy a kihajlott

rúd hossza jó közelítéssel megegyezik az eredeti ívhosszal.

260

A csuklóban ébredő reakcióerők vízszintes komponensét - annak ellenére, hogy a tartó

megtámasztása sztatikailag határozatlan - egyszerűen meghatározhatjuk, ha figyelembe vesszük,

hogy a függőleges reakciókomponens qL/2, ugyanakkor a reakcióerő eredőjének is a rúd tá-

masztócsuklóbeli érintőjének irányába kell esnie:

H =qL

2tg=

qL

8h ,

A

2

ϕ 7.21

mert (7.21) differenciálásával

y'= tg = 4h

L(L - 2z) é s tg = 4

h

L2 Aϕ ϕ

A terheletlen és a kihajlott tartóvonal görbületének különbségére a következő összefüg-

gést vezethetjük le:

7.7. ábra

1

-1

=-y' '

(1 + y' )-

-(y' ' + u' ' )

(1 + (y' +u' ) ) ,

02 1,5

y

y2 1,5ρ ρ

ahol uy = uy(z) - a súlyvonal elmozdulásának y irányú komponense. Mivel u'y << y' , közelítőleg

igaz, hogy

1-

1=

u' '

(1 + y' )= u' ' cos =

d u (z)

dzcos .

0

y

2 1,5 y3

2y

23

ρ ρϕ ϕ

A görbületek különbsége arányos a hajlítónyomatékkal, ami esetünkben:

Mx = Mx(z) = - H(z)uy(z) = - Huy(z) ,

ahol H(z) - a rúd z koordinátájú keresztmetszetében ható normálerőnek a vízszintes komponen-

se, melynek nagysága z-től függetlenül a támaszreakció vízszintes komponensével egyenlő. A

két utolsó egyenletből az alábbi összefüggést kapjuk:

261

d u (z)

d+

H

EIu (z) = 0 ,

2y

2xx

yz cos3 ϕ

amely, a ϕ = ϕ (z) miatt egy nem állandó együtthatójú differenciálegyenlet. A biztonság javá-

ra követünk el hibát, ha a lehetséges ϕ (z)-k helyett a legnagyobbat, azaz ϕ A-t helyettesítjük

be:

( )cos

,3

2 3 2 1 5

1

1

1

1 16

ϕϕ

A

Atg h

L

=+

=

+

.

A

k = H

EI1 + 16

h

L2

xx

2 1,5

7.22

mennyiség bevezetésével a stabilitásai probléma differenciálegyenlete:

d u (z)

dzk u (z)

2y

22

y+ ,

ami a már jól ismert állandó együtthatójú, másodrendű homogén differenciálegyenlet. Általános

megoldása: uy(z) = Asin(kz) + Bcos(kz) .

A z = 0-nál uy = 0 kerületi feltételből

B = 0 adódik, a z = L-nél uy = 0 kerületi feltételből pedig

Asin(kL) = 0 .

Műszaki szempontból most is csak a sin(kL) = 0 megoldásnak van jelentősége:

k =m

L , m = 0,1,2,...

π

A kihajlott súlyvonal egyenlete így

u (z) = Asinm

L .y

πz

Ha m = 0, nincs kihajlás, m = 1-nél viszont - 0 sin L

≤ ≤πz 1 miatt - uy(z) előjele nem válto-

zik, ami azt jelenti, hogy egyhullámú, szimmetrikus kihajlás keletkezik. Ilyen hullám csak úgy

keletkezhet, ha a rúd tengelyhossza megrövidül. Mivel ezt a lehetőséget kezdeti feltételrendsze-

rünkben kizártuk, az m=2 választás az első lehetséges érték. (7.22) felhasználásánál a legkisebb,

azaz a kritikus H érték:

H =4 EI

L=

EI

L ,krit

2xx2

xx2

π α

1 162 1 5

+

h

L

, 7.23

vagy az egyenletesen megoszló terhelés intenzitására átszámítva:

262

q =8H h

L=

8h

LEI ,krit

krit2 4 xxα 7.24

e két képletben a keresztmetszet másodrendű nyomatékánál nem a minimálisat vesszük figye-

lembe, mert a szerkezeti kialakítás az x tengely körüli kihajlást teszi csak lehetővé.

Pontosabb számítások azt mutatják, hogy a fenti összefüggések csak h/L ≤ 0,2 geomet-

riai viszonyok esetén adnak elfogadható eredményt. A gyakorlat számára olyan táblázatokat

állítottak össze, amelyek a (7.23) és (7.24) képletek α értékeit tartalmazzák a mindkét végén

csuklós, illetve mindkét végén befogott parabolaívek kritikus terhelésének számítására.

h/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

csuklós 4π2 36,304 28,716 19,190 12,448 9,60 α

befogott 80,0 75,8 63,1 47,9 34,8 - α

7.1.5. Hosszú, nyomott rudak kihajlása az arányossági határt meghaladó feszültségek esetén

Az egyenes rúd stabilitásával kapcsolatos vizsgálatok azt mutatták, hogy az Euler-féle

erő bizonyos értéknél nagyobb karcsúsági tényező felett igen jó egyezést mutat a mérési ered-

ményekkel. Kevésbé karcsú rudaknál azonban a kísérlettel meghatározott kritikus erő kisebb az

Euler-képlettel számítotténál. Az eltérést egyszerűen megmagyarázhatjuk, ha figyelembe vesz-

szük, hogy az Euler-elmélet a rugalmassági moduluszt állandónak tekinti. A valóságos anyagok-

ra vonatkoztatva tehát csak addig tekinthető érvényesnek, míg a rúdban ébredő normálfeszültség

nem haladja meg az arányossági határt (7.8. ábra). Ha (7.10)-ben a σ krit helyébe σ A-t helyette-

sítünk, kifejezhetjük az egyenes-arányossági határhoz tartozó karcsúsági tényezőt:

=E

.AA

λ πσ

7.25

Az Euler-formula alkalmazhatóságának feltétele tehát a

λ λ≥ A 7.26

reláció teljesülése.

Elvileg Euler gondolatmenete az arányossági határon túl is alkalmazható lenne, ha E

helyébe az alakváltozási diagram alapján meghatározható, ún. tangens (érintő) moduluszt he-

263

7.8. ábra

lyettesítenénk. A tangensmodulusz azonban végső soron az y irányú elmozdulásnak a függvé-nye, E = E(σ ) = E(σ (uy)), ezért a (7.3) differenciálegyenlet már nem marad állandó együtt-

hatójú, sőt, linearitása is megszűnhet. Ez igen megnehezíti, esetleg lehetetlenné teszi a megoldás

megtalálását. A kritikus erő számítására ezért az egyenes-arányossági határ felett általában ta-

pasztalati képleteket alkalmaznak.

A karcsú rudak stabilitásának kísérleti kutatásával elsőként Tetmajer Lajos és Kármán

Tódor foglalkozott és ért el jelentős eredményeket. E kísérletek szerint, amennyiben a tényleges

feszültség az arányossági határ és a szívós anyagoknál σF, rideg anyagoknál σB között van, a rúd

kritikus ereje, illetve kritikus feszültsége a karcsúsági tényező lineáris függvénye (7.8/a. ábra):

Fkrit = A(a-bλ ) , 7.27/a σ

krit = a-bλ , 7.27/b

ahol a és b feszültségdimenziójú anyagállandók.

Rideg anyagoknál a (7.27) kifejezések érvényességi tartománya

0≤ <λ λ A 7.28

Szívós anyagoknál a feszültség nem lehet nagyobb a folyási határnál. (7.27/b)-ből kifejezhetjük

a folyási határnak megfelelő karcsúsági tényezőt:

λ σF F=1

b(a - ) . 7.29

Szívós anyagok esetén a (7.27) kifejezések érvényességi tartománya:

λ λ λF A≤ ≤ . 7.30

Ha a rúd karcsúsági tényezője λ F-nél kisebb, a rúd tönkremenetele nem stabilitásvesz-

264

tés következtében megy végbe. Ezeket a már zömöknek tekinthető rudakat tiszta nyomásra mé-

retezzük. A műszaki gyakorlatban a λ F-nél kisebb karcsúságú, rideg anyagból készült rudakat

is tiszta nyomásra méretezik.

A következő táblázatban összefoglaltuk néhány anyag kísérlettel meghatározott a és b

állandóit, illetve az ún. Tetmajer-egyenes egyenleteit.

E σF λF λA σkrit

Folytacél 215 200 60 115 310 - 1,14λ

Szénacél 210 240 60 100 289,1 - 0,8175λ

Szénacél 210 312 60 100 469,1 - 2,6175λ

Szénacél 210 360` 60 100 589,1 - 3,8175λ

Ni-acél 210 420* 0 86 470 - 2,305λ

Öntöttvas 100 200* 0 80 776 - 12λ + 0,053λ2

Erdei f. 10 15* 0 100 30 - 0,2λ

Tölgy 13 20* 0 100 37,5 - 0,25λ

GPa MPa - - MPa *σ

B

Ha ismerjük az anyag arányossági határát, folyáshatárát, illetve szilárdságát, valamint az

arányossági határhoz és a folyáshatárhoz tartozó karcsúsági tényezőket, akkor a Tetmayer-

egyenes állandóit elméletileg is meghatározhatjuk. A 7.8. ábra alapján felírhatjuk a következő

arányosságot: λ λ

λ λσ σσ σ

−−

−−

F

A F

F krit

F A

= .

Rendezés után:

σλ σ λ σ

λ λσ σλ λ

λ λkritA F F A

A F

F A

A F

a b= - .−−

−−

= −

Rideg anyagnál Fλ = 0 és σ σF B→ :

σ σσ σ

λλ λkrit B

B A

A

a b= - .−

= −

Megjegyezzük még, hogy a szakirodalomban az arányossági határnál nagyobb feszült-

séghez tartozó stabilitásvesztést - nem túl szerencsés módon - képlékeny (plasztikus) kihajlás-

nak is nevezik.

7.1.6. Erőtani méretezés

7.1.6.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

Centrikusan nyomott rudak esetében a stabilitás fennállását kell igazolni. Stabilitásvesz-

265

tés akkor nem következik be, ha a tiszta nyomás feltételezésével számított maximális normálfe-

szültség nem nagyobb a kritikus feszültség n biztonsági tényezővel osztott értékénél, azaz a

megengedett feszültségnél:

σ σσ

maxmax

mkrit=

N

A= .≤

n

Lényeges különbség az eddig alkalmazott méretezési eljárásokkal szemben, hogy a

megengedett feszültség értékét nem egyszerűen az anyagminőség függvényében számítjuk vagy

választjuk, hanem a rúd geometriai méreteit mint szerkezetjellemzőt is figyelembe kell venni. A

kritikus feszültséget az alábbi séma szerint célszerű meghatározni:

44444444444 844444444444 76

44444444444 344444444444 21

min

red

kritm

2

2

kritkritBFkrit

AA FF

i

L=

n

=

= b - a = vagy =

< 0

λ

σσ

λπσλσσσσ

λλλλλλλE

≤≤≤≤

Excentrikusan nyomott vagy hajlítónyomatékkal is terhelt karcsú rudak esetén először

stabilitásvizsgálatot, majd szilárdsági és alakváltozási vizsgálatot végzünk. A stabilitás ellenőr-

zése ugyanúgy történik, mint a centrikusan nyomott rúdnál. A szilárdsági vizsgálatot a külpon-

tos nyomásnak megfelelően végezzük. A rúd maximális normálfeszültségét (7.19)-cel határoz-

zuk meg. Ha szükség van az alakváltozás ellenőrzésére is, a zavarónyomatékok és a centrikus

nyomóerő által létrehozott maximális lehajlást hasonlítjuk össze a megengedett lehajlással.

A számítás jellegéből következik, hogy tervezni csak közvetve, a "találomra" felvett

geometriai méretek ellenőrzésével lehet.

7.1.6.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

A teherviselő szerkezetek méretezésével foglalkozó előírások a centrikusan nyomott rúd

stabilitásvizsgálata során a

N N ,M kH≤ 7.33

reláció teljesülését kell igazolni, ahol NkH - a rúd kihajlási határereje, amit az

N = A , kH H-ϕ σ 7.34/a

összefüggéssel számítunk. Ebben σ H− - a rúd anyagának nyomó határfeszültsége, A - a rúd

keresztmetszetterülete. A ϕ ϕ λ= ( ) csökkentő tényező értékét a rúd anyagától függően, kü-

266

lönböző összefüggésekkel kell számítani.

Acéloszlopok esetén

= - -1

, 2ϕ β βλ

2 7.34/b

ahol

=1 + ( - 0,2) +

2 ,

2

2β α λ λ

λ 7.34/c

=E

, = L

i , F F red

min

λλπ

σλ 7.34/d

és

a b c d

αααα 0,21 0,34 0,49 0,76

α -t a keresztmetszet jellegétől függően választjuk.

a oszlop: gyárilag készült csőszerelvények,

b oszlop: hegesztett zárt szerelvények, melegen hengerelt idomacélok ,

c oszlop: minden egyéb szerelvény,

d oszlop: ha a szelvényben 40 mm-nél vastagabb övlemez található.

Az előírás szerint λ ≤ 0,2 esetén ϕ értékét 1-nek kell venni, azaz a zömök rudak

tiszta nyomásának megfelelően kell méretezni.

7.35 ábra

267

Fából készült oszlopok esetén ϕ értékét a következő összefüggéssel számítjuk:

ϕλ λ λ λ λ

=1

1

2

1

2 4000

+ + + + +

−

400 8000 400 8000

2 2 2 2

A 7.9. ábrán bemutatjuk a különböző keresztmetszetnek megfelelő ϕ = ϕ (λ ) függ-

vényeket. Mivel (λ ) a kihajlási határerővel, azaz tulajdonképpen a kritikus erővel arányos,

megállapíthatjuk, hogy míg a megengedett feszültségen alapuló eljárás a karcsú rudak tartomá-

nyát két részre (Euler- és Tetmayer-tartomány) osztja és ezeknek megfelelően a két függvénnyel

kell a kritikus erőt számítani, addig ez a módszer a teljes karcsúsági tartományra egyetlen függ-

vényt ad meg.

Excentrikusan nyomott vagy zavarónyomatékkal terhelt rudaknál először elvégezzük - a

fentieknek megfelelően - a stabilitásvizsgálatot. A szilárdsági és alakváltozási határállapot vizs-

gálatát a külpontos nyomásnál, illetve a hajlított rúd alakváltozásánál bemutatott módszerrel

végezzük.

Természetesen ez a módszer is csak közvetett tervezést tesz lehetővé.

7.2. Hajlított rudak kifordulása

Ha egy prizmatikus rudat keresztmetszetének valamelyik fősíkjában hajlítónyomaték

terhel, akkor annak bizonyos értékénél a hajlítónyomaték síkjába eső meghajlott alakon kívül,

oldalirányú elmozdulások következtében más, térgörbe súlyvonalú egyensúlyi alakok is szóba

jöhetnek. Az ilyen jellegű tartóalak kialakulását kifordulásnak vagy kibicsaklásnak nevezzük.

A kifordulás fellépésének csak olyan esetekben van gyakorlati jelentősége, mikor a rúd

keresztmetszetének fő másodrendű nyomatékai egymástól jelentősen eltérnek és a hajlítás ten-

gelye az 1-es főtengely (pl. az álló helyzetű, nyújtott téglalap vagy I-keresztmetszetek). Jóllehet

szilárdsági szempontból ezek a keresztmetszetalakok a leggazdaságosabbak, kifordulásuk azon-

ban már kis alakváltozások esetén is bekövetkezhet.

A rétegelt ragasztott egyenes vagy görbe tengelyű fatartók keresztmetszetének geomet-

riai és terhelési viszonyai alapján a kifordulás vizsgálatának fontos szerepe van.

7.2.1. Nyújtott téglalap keresztmetszetű, egyenes tengelyű hajlított rudak kifordulása

A jelenség értelmezéséhez vizsgáljuk a 7.10. ábrán látható konzoltartót, melynek szabad

végén a keresztmetszet súlypontjában F erő hat, ami az egyenes rudat hajlításra és nyírásra

veszi igénybe. Az F erő egy bizonyos értékénél a rúd kifordul és egy z koordinátájú keresztmet-

268

szet igénybevételei: Mx' és My' hajlítónyomatékok, valamint Mz' csavarónyomaték, Tx' és Ty',

nyíró- és Nz' normálerők. A normál- és nyíróerőkből származó alakváltozást - mint általában

mindig - elhanyagoljuk. A rúd keresztmetszeti jellemzői alapján Iyy << Ixx', ezért a kifordulás

vizsgálata szempontjából az Mx' hajlítónyomaték alakváltoztató hatását is elhanyagoljuk. A ke-

resztmetszetek figyelembe vett igénybevételei tehát az y' tengely körüli hajlítás és a z' tengely

körüli csavarás. Az Mx' hajlítónyomaték elhanyagolásának az a következménye, hogy a rúd

kifordult súlyvonala az x,z-síkba eső görbe. Jelöljük a súlyvonal alakját az ux = ux(z) függvény-

nyel, a keresztmetszet elfordulásának szögét pedig ϕ = ϕ (z)-vel.

Az y' tengely körüli hajlítás differenciálegyenlete (5.111) analógiájára:

d u (z)

dz=

M

EI=

F z

EI=

Fsin (z)z

EI .

2x2

y'

y'y'

x'

y'y' y'y'

ϕ

A másodrendű elmélet alkalmazásakor megengedett a sinϕ (z) = ϕ (z) közelítés. A differenciál-

egyenlet alakja ezért:

d u (z)

dz=

Fz

EI(z)

2x2

y'y'

ϕ ,

esetünkben Iy'y' = Iyy , és ha figyelembe vesszük, hogy a keresztmetszet alakja következtében az

y' tengely körüli hajlítás lemezhajlításnak tekinthető, a rugalmassági modulusz helyébe E/(1-

ν 2)-et helyettesíthetünk (ν - a rúd anyagának Poisson-tényezője):

d u (z)

dz=

Fz(1 -

EI(z) .

2x2

2

y'y'

ν ϕ) 7.36

Az 5.5.1. fejezetben levezetett

ϕ (z)Mz

GIS

kifejezés általánosításaként a csavarónyomaték és a szögelfordulás között a követ-

kező differenciálegyenletet kapjuk: d (z)

dz=

M

GI z

t

ϕ 7.37

ahol GIt - a rúd csavarómerevsége. Nyújtott téglalap alakú keresztmetszet esetén (lásd az

(5.87/b) összefüggést):

I =v h

3 ,t

3

7.38

ahol v - a keresztmetszet szélessége, h - a hosszúsága (v << h). A csavarónyomatékot a 7.10/b.

ábra segítségével határozhatjuk meg: M (z) = - Ft(z) -Ft'(z) = -F(u (z = 0) - u (z) - ztg ) =

= -F u (z = 0) - u (z) + zdu

dz

z x x

x xx

≅

α( )z

269

7.10. ábra

Helyettesítsük ezt (7.37)-be és differenciáljuk z szerint:

d (z)

dz=

Fz

G I

d u (z)

dz

2

2t

2x2

ϕ 7.39

(7.36) és (7.39) felhasználásával:

d (z)

dz=

1 -

EI GI

2

2

2

yy t

ϕ ν ϕ( ) ( )Fz y2 0= 7.40

Itt Fz a külső terhelés nyomatéka az y tengelyre a stabilitás megszűnése előtt (azaz a megmere-

vítés elvének felhasználásával számítva). Bizonyítható, hogy (7.40) differenciálegyenlet általá-

nosítható, és a

d (z)

dz=

1 -

EI GI

2

2

2

yy t

ϕ ν ϕM z yy2 0( ) ( ) = 7.41

alakban minden nyújtott téglalap keresztmetszetű rúd kifordulásának differenciálegyenlete füg-

getlenül annak megtámasztási és terhelési módjától. Az összefüggésben My(z) - a külső terhelés

nyomatéka.

Térjünk vissza (7.40)-hez és vezessük be a

270

( )k

F4

2

=1 -

EI GI

2

yy t

ν 7.42

segédmennyiséget. Ezzel (z)-re a

d (z)

dz+ k z (z) = 0

2

24 2ϕ ϕ 7.43

lineáris, másodrendű - nem állandó együtthatójú - differenciálegyenletet kapjuk. Keressük en-

nek megoldását a

ϕ(z) = c + c z + c z + c z +...= c z .o 1 22

33

ii

i=1

∞

∑

hatványsor formájában. Ezt (7.43)-ba helyettesítve a következő egyenletet kapjuk:

c 1 2 + c 2 3 z + c 3 4 z + c 4 5 z + c 5 6 z + ... +

+ (c z + c z + c z + c z + ...) = 0 ,2 3 4

25

36

4

4o

21

32

43

5

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

λ

az együtthatók összehasonlítása a

c 5 6 c + c = 0,...2 64

2= = + = + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅0 0 3 4 0 4 5 03 44

0 54

1, , , ,c c c c cλ λ λ

egyenlőségeket adja. Ezek alapján:

c = 0, c = 0, c =c

3 4- , c = -

c

4 5 , c = 0 , c = 0, ...2 3 4

o 4 5

4 16 7

⋅ ⋅λ λ

A szögelfordulás-üggvény tehát:

ϕ λ λ λ λ(z) = c (1 -

z+

z- +...) + c (z -

z+

z

4- +...)o

4 4 8 8

1

4 5 8 9

3 4 3 4 7 8 4 5 5 8 9⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

(7.37)-ből következik, hogy a z = 0 helyen a szögelfordulásfüggvény első deriváltja nulla, ezért

c1 = 0. A z = L helyen ϕ= 0, így

0 = c (1 -L

+L

3 4 7 8- + ...)o

4 4 8 8λ λ3 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ennek co = 0 megoldása számunkra érdektelen, mert ilyenkor nincs kifordulás. A zárójelben

lévő mennyiség a

L = p =(1 - )F L

EI GI 4 4

2 2 4

yy t

λ ν 7.44

kifejezés bevezetésével:

1 -p

+p

-p

+ - ...= 0 .2 3

3 4 3 4 7 8 3 4 7 8 11 12⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

E hatványsor első három tagjának megtartásával nyert másodfokú egyenlet megoldása

adja p első közelítő értékét (a két gyök közül a kisebbik a fontos, mert ezzel kapjuk (7.44)-ből a

kisebb, azaz a kritikus erőt):

p ≅p1 = 17,417 ,

amivel iterációt végzünk. p hatványsorból fejezzük ki p-t:

p = 1 +p

-p

+ - ... .2 3

3 43 4 7 8 3 4 7 8 11 12

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

7.45

271

Mivel a p = p1 környezetében a fenti függvény p szerinti differenciálhányadosának abszolút

értéke kisebb egynél - tehát teljesül a konvergenciafeltétel - p második közelítő értéke:

p ≅ p2 = 16,702 ,

egy újabb iteráció p újabb értékét már csak jelentéktelen mértékben módosítaná. (7.44)-ből p2-

vel maghatározhatjuk a konzoltartó szabad végén ható erő kritikus értékét:

F =4,087

L

EI GI

1 - krit 2

yy t

2ν , 7.46/a

ami természetesen csak addig érvényes, míg a kritikus terhelésből számított feszültségek el nem

érik a rúd anyagának arányossági határát. A gyakrolati tapasztalatok azt mutatják, hogy a képlé-

keny kifordulás vizsgálatára általában nincs szükség, mert az olyan nagy erők hatására követke-

zik be, amelynél a rúd már egyébként is szilárdsági határállapotba kerül.

M =L

EI GI

1 - krit

yy t

2

πν

7.46/b

FLkrit = 1694

2

. EI GI

1 - yy t

2ν 7.46/c

qLkrit = 2832

3

. EI GI

1 - yy t

2ν 7.46/d

qLkrit = 1285

3

. EI GI

1 - yy t

2ν 7.46/e

7.11. ábra

A fent bemutatotthoz hasonló módon számíthatjuk más megtámasztású és terhelésű

rudak téglalap keresztmetszetű rudak kiforduláshoz tartozó kritikus terhelését. A 7.11. ábrának

megfelelő esetekben - részletezés nélkül - felírjuk a kritikus teher számításának képleteit.

Hangsúlyoznunk kell, hogy a fenti összefüggések csak akkor érvényesek, ha a külső

terhelés, az ábráknak megfelelően, a keresztmetszetek súlypontján, illetve a rúd súlyvonalán

támad. Ha a támadáspont a súlyvonal felett található, a kritikus értékek kisebbek, ellenkező

esetben nagyobbak lesznek a (7.46) képletekkel számíthatóhoz képest. Ennek magyarázatát

könnyen beláthatjuk, ha észrevesszük, hogy pl. a 7.10. ábrának megfelelő esetben az My'

hajlítónyomatékot okozó F erő nyomatéki karja nem súlyponti támadáspont esetén megváltozik,

ezért a (7.40) differenciálegyenlet együtthatói is mások lesznek.

272

7.2.2. Nyújtott téglalap keresztmetszetű, körív alakú hajlított rudak kifordulása

Az íves tengelyű rudak kifordulásának elméleti vizsgálata meglehetősen bonyolult és a

szakirodalomban is kidolgozatlan. E problémakör bemutatására tanulmányaink keretei között

nincs mód, a faipari gyártásban előforduló rétegelt ragasztott íves fatartók jelentőségére való

tekintettel felírjuk a végein koncentrált nyomatékkal terhelt, nyújtott téglalap keresztmetszetű, R

sugarú, körív alakú tartórúd krtitikus nyomatékát a rugalmas tartományban:

M = -EI + GI

2R

EI + GI

2R

EI GI

Rkrityy t yy t yy t

2±

+

−

2 2

1πΨ

ahol Ψ - a körív központi szöge.

A második tag előjelétől

függően egy pozitív és egy negatív

nyomatékot kapunk.

M < M , krit-

krit+ ami azt je-

lenti, hogy a görbület csökkenését

okozó pozitív nyomaték kritikus

értéke kisebb, mint a görbület

növekedését okozó negatív

nyomatéké.

Más jellegű tartóalak,

megtámasztás és terhelés esetén a

kritikus terhelés meghatározására a

munkatételeket célszerű alkalmaz-

ni.

7.12. ábra

7.2.3. Erőtani méretezés

A méretezés során hasonlóan járunk el, mint a zavarónyomatékkal terhelt, karcsú rudak

kihajlásvizsgálatánál. Először stabilitásvizsgálatot végzünk kifordulásra majd elvégezzük a rúd

külső terhelésének megfelelő szilárdsági és alakváltozási határállapot ellenőrzését a korábban

ismeretett módszerek alapján.

Itt csak a kifordulással szembeni stabilitásvizsgálat módszereit ismertetjük.

273

7.2.3.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

A kifordulás-vizsgálatot egyszerűbben elvégezhetjük, ha a korábbiaktól eltérő módon,

nem a maximális és megengedett feszültségeket hasonlítjuk össze, hanem a kifordulást okozó

külső terhek jellemzőit. A kifordulás esélye nem áll fenn, ha

Y Y =Y

n , max m

krit≤ 7.48

ahol

Ykrit - a kifordulást okozó terhelés jellemzőjének (M, F, q) kritikus értéke. Nagyságát a rúd alak-

jának megtámasztási és terhelési módjának függvényében a (7.46)-os összefüggések valamelyi-

kével számítjuk,

n - a biztonsági tényező, Ymax - a külső terhelés jellemzőjének szélső értéke.

7.2.3.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

Kifordulás nem következik be, ha

YM ≤YH , 7.49

ahol

YH - a kifordulást okozó terhelés jellemzőjének (M, F, q) határértéke, melyet az Ykrit-ből számí-

tunk valószínűségelméleti alapon (a meghatározás alapelve ugyanaz, mint amikor valamelyik

határfeszültséget számítjuk a kérdéses szilárdság eloszlásfüggvényének ismeretében). A

határigénybevétel számításához szükség van a (7.46)-os összefüggésekben szereplő mennyisé-

gek eloszlásfüggvényeire. Ezek hiányában első közelítésként az YH = 0,85. Ykrit becsléssel élhe-

tünk.

8. Egyéb szerkezetek és testek rugalmassági és szilárdsági problémái

8.1. Alakváltozások és feszültségek az alkatrészek érintkezési helyének környezetében

A szerkezeti elemek közötti erőátvitelkor az érintkezési pontokban, illetve azok környe-

zetében a feszültségi és alakváltozási állapotok ismerete az alkatrészek erőtani méretezése

szempontjából alapvető jelentőségű. E feladatkörhöz tartozik a koncentrált és megoszló erővel

terhelt rugalmas féltér, illetve félsík problémái (8.1/a,b. ábra), az abszolút merevnek tekintett,

tetszőleges alakú síktestek benyomódásának kérdései (8.1/c.d. ábra), valamint a különböző felü-

274

leti görbülettel rendelkező testek érintkezésének, összenyomódásának problémái (8.1/e. ábra). A

8.1. ábrán látható idealizált esetek számtalan gépészeti és építészeti szerkezetnél előfordulnak

(csapágyak, fogaskerekek, bütykös szerkezetek, alapozások, stb.).

E feladatok közül a rugalmas féltér problémájának megoldása alapvető fontosságú, mert

ez képezi az összes hasonló jellegű feladat megoldásának alapját is.

8.1.1. Koncentrál erővel terhelt rugalmas féltér

Vizsgáljunk egy olyan síkkal határolt rugalmas testet, melynek méretei a terhelés hatá-

sának kitett környezethez képest minden irányban végtelen nagynak tekinthetők. Terheljük a

testet egy a határolósíkra merőleges koncentrált erővel (8.2. ábra). Keressük a féltér tetszőleges

pontjában az alakváltozási és feszültségi állapotot, illetve a pont elmozdulását.

Könnyen beláthatjuk, hogy a feladat jellegénél fogva a féltér elmozdulás-, alakváltozás-

és feszültségmezeje az F erő hatásvonalában felvett z tengelyre szimmetrikus, azaz a keresett

mennyiségek nem függenek a ϕ,r,z -vel jellemzett hengerkoordináta-rendszerben a ϕ

polárszögtől.

Tengelyszimmetrikus esetben a rugalmasságtan alapegyenletei egyszerűsődnek és a

feladat - a síkbeli feszültségi hasonlóan - hengerkoordináta-rendszerben egyetlen egy

biharmonikus differenciálegyenlet megoldására vezethető vissza.

Vágjunk ki a testből egy r∆ϕ ∆r∆z méretű térfogatelemet, melynek oldallapjain a 8.3.

ábrán látható feszültségkomponensek hatnak. A szimmetria miatt a = é s = r z zσ σ σ σϕ ϕ ϕ ϕr nyírókomponenseknek nullával kell egyenlőnek lenniük.

A sztatikai egyensúlyi egyenleteknek az r és z irányú vetületi egyensúlyi egyenletek-

ből vezethetjük le

sin∆ϕ ∆ϕ2 2

≅

közelítés felhasználásával: ∂ σ

∂∂ σ

∂σϕϕ

r r z

r

r r z

zr zrr zr( , ) ( , )

( , )+ − = 0 8.1/a

∂ σ∂

∂ σ∂

r r z

r

r r z

zzz rz( , ) ( , )

+ = 0 . 8.1/b

Jelöljük a féltér tetszőleges pontjának eltolódás-komponenseit uϕ(r,z)-vel, ur(r,z)-nél és

uz(r,z) . A szimmetria következtében uϕ(r,z) = 0. Fejezzük ki az eltolódás-komponensekkel a

nem nulla deformáció-komponenseket:

ε∂

∂rrru r z

r=

( , ) 8.2/a

ε ϕϕ =+ −

=( ( , )) ( , )r u r z r

r

u r z

rr r∆ϕ ∆ϕ

8.2/b

275

ε∂

∂zzru r z

z=

( , ) 8.2/c

ε ε∂

∂∂

∂rz zrr zu r z

z

u r z

r= = +

1

2

( , ) ( , ) 8.2/d

8.1. ábra

276

8.3. ábra

A fenti geometriai egyenletek közül csak a második szorul magyarázatra. A 8.4. ábrán

látható r∆ϕ hosszúságú elemi szálnak az ur eltolódás és a szimmetriaviszonyok fennmaradása

277

következtében hosszváltozást kell

szenvednie. Használjuk fel az

általános Hooke-törvényt és fejezzük

ki a feszültségeket az eltolódáskom-

ponensekkel:

σ ννϕϕ = 2G

u

r

e

1 - 2r +

8.3/a

8.4. ábra

σ∂∂

ννrr = 2G

u

r

e

1 - 2r +

8.3/b

σ∂∂

ννzz = 2G

u

z

e

1 - 2z +

8.3/c

σ σ∂∂

∂∂rz zr= = G

u

z

u

rr z+

8.3/d

ahol

e = + + =u

+u

r+

u

z rr zz

r r rε ε ε∂∂

∂∂ϕϕ r

8.3/e

Helyettesítsük be ezeket a (8.1) egyensúlyi egyenletekbe. Rendezés után:

∂∂

∂∂

∂∂ ν

∂∂ ν

∂∂

2r r r r

2 rr2

u+

1

r

u+

u-

u

r+

1

1 - 2= u -

u

r+

1 - 2= 0

z r r

e

r

e

r2

2

2

1∆ 8.4/a

∂∂

∂∂

∂∂ ν

∂∂ ν

∂∂

2z z z

z

u+

1

r

u+

u+

1

1 - 2= u +

1 - 2= 0

z r r

e

z

e

r2

2

2

1∆ 8.4/b

ahol

∆ = + +∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

1

z r r r 8.5

differenciáloperátor (a Nabla-operátor henger-koordinátarendszerbeli formája).

A (8.4) egyenletek további átalakításához vezessük be a p = p(r,z) és q = q(r,z) függvé-

nyeket, melyekkel az eltolódásfüggvények a következő módon fejezhetők ki:

u =p

r+

2(1 - )

1 - 2

q

z r

∂∂

νν

∂∂

8.6/a

u =p

z-

2(1 - )

1 - 2

q

r z

∂∂

νν

∂∂

1

r 8.6/b

Ezeket (8.5)-be helyettesítve és rendezve:

e =p

z+

1

r

p

r+ = p

2

2

2∂∂

∂∂

∂∂

p

r 2∆ 8.7

Helyettesítsük be (8.6)-ot és (8.7)-et (8.4/b)-be. Rendezés után:

278

∆ ∂∂

∂∂

p

z r

rq

r−

=1

0( )

8.8/a

mert

∆ ∆∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂z

=z

+1

r+

r=

z

3

3 2

2 3

r z z

(8.4/a)-ba való helyettesítés és rendezés után:

∆ −

+

=1

02r

p

r

q

z

∂∂

∂∂

8.8/b

mert

∆ ∆∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂r

=z

1

r+

r=

r-

1

r r

2 2

3

3 2

3 2

2

1

r r r r− +

(8.8/b) megoldását úgy kapjuk, ha bevezetjük a Φ(r,z)-vel jelölt, Love-féle függvényt,

mellyel

pz

qr

= = −∂Φ∂

∂Φ∂

, . 8.9

Helyettesítsük be ezeket (8.8/a)-ba. Rendezve:

∆ Φ Φ ∆∆Φ∂∂

∂Φ∂

∂∂

2

2

2

2

10

z r r r+ +

= = 8.10

A tengelyszimmetrikus feladat megoldását tehát olyan függvény megtalálása jelenti,

amely kielégíti a fenti biharmonikus differenciálegyenletet. Ilyen függvény végtelen sok van. A

megoldás nehézsége abban áll, hogy olyan biharmonikus függvényt kell találni, amely a feladat

speciális kerületi feltételeit is kielégíti. Biharmonikus függvénynek választhatjuk a

Φ = r2, lnr, r2lnr, z, z2, z3, zlnr, R = z+r 22 , . stb z)+zln(R , z-R

z+Rln ,

R

1

függvényeket, illetve ezek tetszőleges lineáris kombinációit.

A Φ(r,z) függvény ismeretében (8.9)-cel és (8.6)-tal megkapjuk az elmozdulás-

függvényeket:

u (r, z) = - 1

1 - 2 r

2

ν∂∂ ∂

Φr z

, 8.11/a

u (r, z) =2(1 - )

1 - 2-

1

1 - 2 z

2νν ν

∂∂

∆Φ Φz2

. 8.11/b

majd a feszültségkomponensek (8.3) felhasználásával:

σ νν

∂∂ ν

∂Φ∂ϕϕ =

2G

1 - 2 z -

1 1

r r∆Φ

8.12/a

σ νν

∂∂ ν

∂∂rr =

2G

1 - 2 z -

1

r 2∆Φ Φ2

8.12/b

279

σ νν

∂∂ ν

∂∂zz =

2G

1- 2 z -

1

z2∆Φ Φ

2

2

−

8.12/c

σ σ νν

∂∂ ν

∂∂rz zr=

2G(1 -

1 - 2 r -

1

z2=

−

) ∆Φ Φ1

2

8.12/d

Természetesen a fenti összefüggések nemcsak a koncentrált erővel terhelt rugalmas

féltér esetén, hanem minden tengelyszimmetrikus rugalmasságtani feladatnál érvényesek és

alkalmazhatók.

Térjünk vissza a 8.2. ábrán látható feladatra. Olyan biharmonikus függvényt kell keres-

nünk, amelynek felhasználásával kapott feszültségek kielégítik azt a kerületi feltételt, hogy a

féltér felszínén - a támadáspont kivételével - a z normálisú síkhoz tartozó feszültségkomponen-

seknek el kell tűnniük:

( )σ zz r z, = =0 0 , r≠0 , 8.13/a

( )σ rz r z, = =0 0 . r≠0 . 8.13/b

Válasszuk a keresett függvénynek a

Φ(r,z)=C1R + C2zln(R + z)=C1 r + z 2 2 + C2zln(z + r + z 2 2 ) 8.14

összefüggést, melyben C1 és C2 tetszőleges állandók.

Fejezzük ki az eltolódásokat és a feszültségeket a fenti függvény segítségével:

u =1

1 - 2(C + C )

rz

R- C

R(R + z) r 1 2 3 2ν

r

8.15/a

u =1

1 - 2((3 - 4 )C + 2(1 - 2 )C )

1

R+ (C + C )

z

R z 1 2 1 2

2

3νν ν

8.15/b

σνϕϕ = 2G (C + C )

z

R-

1

1 - 2

C

R(R + z) 1 2 3

2

8.16/a

σν

νν νrr C

C z

R= 2G

1

1 - 2

C

R(R + z)

3

1 - 2(C + C )

z

R 2

1 2

2

5+ −

−

−

1

23

2

1 2 8.16/b

σν

ν νzz CC z

R= -2G

3

1 - 2(C + C )

z

R 1 2

2

512

3

2

1 2−

−

+

8.16/c

σ σν

ν νrz zr CC r

R= = -2G

3

1 - 2(C + C )

rz

R 1 2

2

512

3

2

1 2−

−

+

8.16/d

280

A (8.13/a) kerületi feltétel automatikusan kielégül. A (8.13/b) feltételből

C = C1 - 2

2 2 1

νν

adódik. Ezzel a z irányú normálfeszültségkomponens:

σν νzz 1

3

5= - C

3G

(1 - 2 )

z

R .

A C1 állandó értékét abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a féltér egy tetszőleges z = áll. síkján ébredő σzz feszültségekből származó belső erőnek F erővel kell egyensúlyt tarta-nia:

F = 0 = F + 2r dr = -F - C6 Gz

(1 - 2 )

rdr

(r + z )= F - C

2 G

(1 - 2 ) ,z zz

R=0

1

3

2 2 2,50

1∑ ∫ ∫∞ ∞

σ π πν ν

πν ν

ahonnan

C =(1 - 2 )

2 GF .1

ν νπ

Ezzel meghatároztuk a (8.14) függvény állandóit. Nincs akadálya annak, hogy felírjuk a kon-

centrált erővel terhelt féltér eltolódási és feszültségi függvényeit.

u =F

4 G

rz

R- (1 - 2 )

r

R(R + z) r 3π

ν

8.17/a

u =F

4 G(1 - 2 )

1

R

z

R z

2

3πν +

8.17/b

σπ

νϕϕ =F

2(1 - 2 )

z

R-

1

R(R + z)

3

8.18/a

σπ

νrr =F

2(1 - 2 )

1

R(R + z)

3zr

R

2

5−

8.18/b

σπzz

3

5= -

3

2

F z

R 8.18/c

σ σπrz zr

2

5= = -

3

2

F rz

R 8.18/d

A fenti összefüggéseket első levezetőjükről Boussinesq-formuláknak nevezzük. Elemezzük a

kapott eredményt.

Az F erő támadáspontjában valamennyi feszültségkomponens végtelen értéket vesz fel.

A valóságban ez nem következhet be, mert az erő mindig egy véges nagyságú felületen támad s

ennek megfelelően a feszültség is véges nagyságú lesz.

A rugalmas féltér határolósíkján (R=r, z=0) az erő támadáspontjának kivételével:

281

σπ

ν σπ

ν σ σϕϕ = -F

2

1 - 2

r , =

F

2

1 - 2

r , = = 0 .

2 rr 2 zz rz

A felületi pontok síkbeli feszültségi állapotban vannak, σϕϕ és σ

rr egyben

főfeszültségek. A feszültségi állapot

vizsgálatánál megtanultuk, hogy az

egyenlő nagyságú, de ellentétes ér-

telmű normálfeszültsé-gek a tiszta

nyírás feszültségi állapotának felelnek

meg. A határoló-sík pontjainak

elmozdulása:

u = -1- 2

4 G

F

r , r

νπ

8.5. ábra u =1-

4 G

F

r z

νπ

A koncentrált erő hatásvonalában (r = 0, R = z):

σπ

ν σπ

ν σπ

σ σϕϕ =F

2

1- 2

2z , =

F

2

1- 2

2z , = -

F

2 z= = 0 .

2 rr 2 zz 2 rz zr

3

A z tengely pontjai tehát térbeli feszültségi állapotban vannak, a három normálfeszültség egy-

ben a három főfeszültség. A 8.5.

ábrán a σzz feszültségkomponens

eloszlását ábrázoltuk a z tengely

mentén és állandó z1, illetve z2

mélységben.

Egy tetszőleges P pont z normálisú

felületelemén ébredő σzz és σzr

komponensek alkotják a σ z fe-

szültségvektort. Ennek hatásvonala

a P pont helyvektorával párhu-

8.6. ábra zamos, hiszen a 8.6. ábráról és a

(8.18) összefüggések alapján megállapíthatjuk, hogytg = =r

z ,zr

zz

ασσ

a feszültségvektor nagysága:

σ σ σπ

z zz2

zr2

2

4= + =

3

2

z

R

F

282

Tegyük egyenlővé a (8.18/a) kifejezést nullával és vegyük figyelembe a sinα = r/R és

cosα = z/R összefüggéseket:

os2α+ cosα -1 = 0 .

Az egyenletet megoldva, a 0° és 90° közötti értékre α1 = 51,83°- ot kapunk. Az α1

félnyílásszögű kúpon belül σϕϕ pozitív, azon kívül negatív értéket vesz fel (8.7/a. ábra).

(8.18/b)-t nullával egyenlő téve:

cosα sin2α(1 + cosα) =1 2

3

− ν .

Az α-ra kapott két gyök a Poisson-tényező értékétől függ. A σrr feszültségkomponens az α2

félnyílásszögű kúpon belül és az α3 félnyílásszögű kúpon kívül pozitív, a kettő között pedig

negatív (8.7/b. ábra).

8.7. ábra

Megjegyezzük, hogy a Boussinesq-formulák csak koncentrált terhelés esetén érvénye-

sek, a Saint-Venant-elv értelmében azonban alkalmazhatók minden sztatikailag egyenértékű

terhelés esetén a féltér azon pontjain, amelyek elegendően távol vannak a teherátadás helyétől.

8.1.2. A rugalmas félsík feszültségi állapotai

A rugalmas féltér problémája a műszaki gyakorlatban sokszor síkbeli feladattá módosul. Ennek

feltétele, ha - a 8.8. ábrának megfelelően - a vizsgált test állandó vastagságú lemeznek tekinthe-

tő és a terhelés a lemez síkjára merőleges irányban állandó. Ha a lemez vastagsága nem túl

nagy, az y irányú alakváltozás nem gátolt, ezért a lemez tetszőleges pontja síkbeli fe- feszültségi

állapotba kerül.Mivel a feszültségi állapot y-tól független, elegendő a lemez középsíkjának

vizsgálata.

A fenti feltételek-nek megfelelő feladatot a rugalmas félsík problémájának szokták ne-

vezni.

283

A továbbiakban - a

levezetéseket mellőzve -

összefoglaljuk néhány fon-tos

terhelési esetben a félsík x,z

koordinátájú pontjainak

Descartes koordinátarend-

szerbeli feszültség-kompo-

nenseit.

Koncentrált normálerő (8.9.

ábra):

σπ

σπ

σ σπ

xxz4

2

zzz4

3

xz zxz4

2

= -2F

Rx z ,

= -2F

Rz ,

= = -2F

Rxz ,

8.19

ahol Fz - a lemezvastagság

egységnyi hosszára eső

koncentrált erő.

Koncentrált nyíróerő (8.10.

ábra):

8.9. ábra

.

, zxπR

2F-=σ = σ

, xzπR

2F-=σ

, xπR

2F-=σ

24

xzxxz

24

xzz

34

xxx

8.20

ahol Fx - a lemezvastagság egységnyi hosszára eső

koncentrált erő.

Állandó teherintenzitású, felületen megoszló 8.10. ábra

normálerő (8.11. ábra):

284

( )

( )

( )[ ]

σπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

σπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

σ σπ

ϕ ϕ

xx 2 1 2 1

zz 2 1 2 1

xz zx 2 1

= - - sin2 - sin2

= - - sin2 - sin2

= = sin2 - sin2

q

q

q

z

z

z

+

−

1

2

1

2

.

8.21

8.11. ábra 8.12. ábra

Állandó teherintenzitású, felületen megoszló nyíróerő (8.12. ábra):

σπ

ϕ ϕ

σπ

ϕ ϕ

σ σπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

xxx 1

22 1

zzx

2 1

xz zxx

2 1 2 1

= -q

2lnr

r+

1

2(cos2 - cos2 ) ,

= -q

(cos2 - cos2 ) ,

= = -q

+1

2(cos2 - cos2 )

−

. 8.22

A fenti összefüggésekben szereplő mennyiségek jelentése az ábrák alapján megállapít-

ható. Összetett terhelés esetén a szuperpozíció elve alkalmazható.

8.1.3. Testek érintkezési helyének környezetében fellépő feszültségek

Ha két, görbült felületű testet összenyomunk, akkor az érintkezési pont(ok) szűk kör-

nyezete a nyomóigénybevétel hatására deformálódik és az érintkezés véges felületen jön létre. E

felület nagysága azonban általában lényegesen kisebb az érintkező testek geometriai méreteihez

képest, ezért az érintkezési felületen, illetve annak közvetlen környezetében jelentős nagyságú

feszültségek ébrednek. Tegyük fel, hogy az erőátvitel előtt a két test a 8.13. ábrának megfelelő-

en elméletileg egy pontban érintkezik egymással. Az érintkezési pontban a közös érintősíkra

emelt merőleges az érintkezési normális. Jelöljük R1-gyel és R2-vel a testek nagyobbik fő gör-

285

bületi sugarát, r1-gyel és r2-vel a

kisebbik fő görbületi sugarakat. Egy

testnél a fő görbületi köröket tartalmazó

síkok, a fő görbületi síkok egymásra

merőlegesek. Jelöljük a két test fő

görbületi síkjai által bezárt hegyesszöget

ϕ-vel. Ha az érintkező testek felületét

abszolút simának tekintjük, a két test

között fellépő terhelő erő hatásvonala

csak az érintkezési normálisba eshet.

Műszaki szempontból általában

- az érintkezési felület alakjának és

nagyságának,

- az érintkezési felület legnagyobb

normálfeszültségének,

- az érintkező testek egymáshoz

8.13. ábra viszonyított elmozdulásának ismeretére

van szükség.

A fenti kérdésekre a választ először H. Hertz adta meg. Az egymással érintkező testeket

a közös érintősíkkal határolt rugalmas féltérnek tekintette, E1, ν1 és E2 , ν2 rugalmas

állandókkal. Az összenyomódás után a két test között fellépő normálfeszültség eloszlása - a

féltér terhelő erőrendszere - pedig az érintkezési felületre boruló ellipszoid függvénynek vehető.

A Hertz-féle elmélet szerint az érintkezési felület legnagyobb normálfeszültsége az el-

lipszis középpontjában van, nagysága:

σπzz,max =

3

2

F

ab , 8.23

ahol

a = n 3

2

F

k3 , b = n

3

23 a b

η ηF

k

az érintkezési ellipszis féltengelyeinek hossza, valamint

ην ν

=1 -

E+

1 -

E ,

k =1

R+

1

r+

1

R+

1

r ,

1 2

1 1 2 2

12

22

F - a két test között ható normálerő. Az érintkező testek közeledése:

286

d =n

2(1,5F ) k3 .d 2η 5.24

Az na , nb és nd tényezők értéke táblázatokból vehető ki, az előzetesen kiszámítandó

Ψ =1

k

1

R

1

r

1

R

1

r

1

R

1

r

1

R

1

r1 1 2 2 1 1 2 2

−

+ −

+ −

−

2 2

2 cosϕ

paraméter függvényében.

8.2. Sztatikailag határozatlan szerkezetek

A sztatikailag határozottság, illetve határozatlanság kérdésével a merev testek sztatiká-

jára vonatkozó tanulmányainkban már foglalkoztunk. Tudjuk, hogy a sztatikailag határozott

szerkezetek ismeretlen reakcióerőit és belső erőit a sztatikai egyensúlyi egyenletek alkalmazá-

sával egyértelműen meghatározhatjuk. Az ilyen szerkezeteknél az alakváltozás (feltéve, hogy

nem túl nagy) nincs hatással a reakciók és belső erők alakulására, ezért a szerkezetek anyagát

merevnek tekinthetjük. Sztatikailag határozatlan tartóknál az ismeretleneket csupán sztatikai

eszközökkel, az egyensúlyi egyenletekkel nem lehet meghatározni. Az ismeretetlenek száma

több, mint az egyensúlyi egyenletek száma, így végtelen sok megoldás található. Ezek közül az

lesz a ténylegesen megvalósuló, amelynél a szerkezet részeinek alakváltozása kielégíti a szerke-

zet egészére vonatkozó geometriai, összeférhetőségi feltételeket (a kompatibilitási feltételek

nemcsak egy elemi térfogatra, hanem a véges méretű szerkezeti elemekre is fennállnak). Ez azt

jelenti, hogy a sztatikai egyensúlyi egyenletek mellé, geometriai, alakváltozási egyenletek csat-

lakoznak - mindig annyi, amennyi a szerkezet határozatlanságának foka, azaz a plusz ismeretle-

nek száma -, így az összes keresett külső és belső erő egyértelműen meghatározható.

Az egyensúlyi és alakváltozási egyenletek rendszerét olyan módon alakíthatjuk át, hogy

bennük vagy csak az erők, vagy csak az alakváltozási komponensek szerepeljenek ismeretlen-

ként. Az első megoldás képezi az ún. erő-módszernek, a második az elmozdulás-módszernek az

alapját.

E két módszert alkalmazzák a legelterjedtebben a határozatlan szerkezetek számításánál.

Ezeket didaktikailag és számítógépes alkalmazás szempontjából igen részletesen kidolgozták,

de mechanikai tanulmányaink keretén belül ezek ismertetésére sajnos nincs mód. A továbbiak-

ban az erőmódszer alapján álló számítási módszerrel foglalkozunk, amely igen hatékonyan al-

kalmazható, ha a határozatlanság foka viszonylag alacsony.

287

8.2.1. Törzstartó kialakításának módszere

Ez a módszer minden egyszerűsége mellett is nagyon szemléletes és ha sztatikailag ha-

tározatlan mennyiségek száma nem túl nagy, igen gazdaságosan alkalmazható.

Az eljárás gondolatmenete a következő. Az n-szeresen határozatlan szerkezetet sztatika-

ilag határozottá alakítjuk úgy, hogy a határozatlanság fokának megfelelő számú kényszert eltá-

volítunk belőle. Ha a határozatlanságot külső kényszerek okozzák, akkor azok számát csökkent-

jük (pl. merev befogás helyett csuklót alkalmazunk, vagy teljesen eltávolítjuk a kényszerek egy

részét), belső határozatlanság esetén a szerkezet valamelyik keresztmetszetét szabadítjuk fel (az

igénybevételek szempontjából merev befogásnak tekinthető keresztmetszetbe csuklót helyezünk

vagy teljesen átvágjuk). Egyidejű külső és belső határozatlanság esetén mindkét lehetőséget fel

kell használni. A fenti elvek szerint kialakított sztatikailag határozott tartót az eredeti tartó törzs-

tartójának nevezzük. A törzstartón működtetjük az eltávolított kényszereknek megfelelő

dinámokat (erőket, nyomatékokat), s bár ezek egyelőre ismeretlenek, úgy számolunk velük,

mint aktív erőkkel. A törzstartó akkor lesz egyenértékű az eredeti tartóval, ha nemcsak az erőjá-

ték, hanem az alakváltozás szempontjából is azonosan viselkedik. A sztatikailag határozatlan

dinámok nagyságát éppen abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy olyan alakváltozást kell a

törzstartóra kényszerítenünk, mint az eredeti tartóé. Mindig annyi alakváltozási feltétel fogal-

mazható meg, amennyi a határozatlanság foka. Az erőrendszer jellegének megfelelő, sztatikai

egyensúlyi egyenletek és az alakváltozási feltételek egyenleteinek együttes száma így éppen

megegyezik az összes ismeretlenek számával. Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a

reakciókomponensek értékét.

Egy határozatlan szerkezet törzstartójának kialakítására általában több lehetőség is adó-

dik. A törzstartó jellegétől természetesen nem függ az eredeti tartó erőjátéka, a különbség csu-

pán az alakváltozási feltételek megfogalmazásában van. Megemlítjük még, hogy az alakváltozá-

sok számításánál alkalmazott kis alakváltozások feltétele lehetővé teszi a szuperpozíció elvének

felhasználását.

Például a 8.14. ábrán

látható, két végén csuklóval ellátott

rudat, amely a terhelés jellegétől

következően egyszeresen

határozatlan, úgy alakít-hatjuk át

sztatikailag határozottá, hogy az

egyik csuklót eltávolítjuk és helyén

működtetjük a benne keletkező,

8.14. ábra egyelőre ismeretlen nagyságú

kényszererőt.

288

A rúdtengely irányára felírt vetületi egyensúlyi egyenlet mellé azt az alakváltozási felté-

telt kell megfogalmaznunk, hogy a rúd teljes hossza az alakváltozás során ugyanaz marad (azaz

a húzott rész megnyúlása és a nyomott rész összenyomódása egyenlő).

A törzstartó kialakítására

általában több lehetőség is adódik. A

8.15/a. ábrán látható egyszeresen

határozatlan tartó néhány törzstartóját

az alatta lévő ábrák mutatják. Az első

két esetben a kényszereket szabadí-

tottuk fel. A b törzstartón azt az

alakváltozási feltételt kell meg-

fogalmazni, hogy az A pontban a rúd

végkeresztmetszete nem fordulhat el

(az F erő által okozott ϕA szögelfor-

dulást az MA nyomatéknak kell

ellensúlyoznia).

A c. törzstartó alakváltozási

feltétele az, hogy a rúd B pontja függő-

leges irányban nem tolódhat el. A d.

esetben az eredeti tartót csukló

beiktatásával tettük határozottabbá. A

két egyensúlyi egyenlet mellé. harma-

dik egyenletnek azt az alakváltozási

8.15 ábra feltételt kell megfogalmaznunk, hogy a

csuklóba futó rúdvégek keresztmetsze-

teinek szögelfordulása azonos.

A 8.16. ábrán látható tartó háromszorosan határozatlan. A törzstartó kialakításának

egyik lehetősége az, hogy a B megfogást teljesen eltávolítjuk. Az alakváltozási feltételekben azt

kell előírni, hogy a B pontban sem keresztmetszet-elfordulás, sem függőleges vagy vízszintes

irányú eltolódás nem keletkezhet.

A 8.17. ábrán látható, belsőleg háromszorosan határozatlan keretet úgy alakítjuk törzs-

tartóvá, hogy a rúdszerkezet valamelyik keresztmetszetét átvágjuk. Ismeretlen dinámként a bel-

ső erő három összetevője fog szerepelni. Ezeket abból az alakváltozási feltételből határozhatjuk

meg, hogy az átvágáshoz tartozó bal és jobb oldali rúdvégek keresztmetszetének elfordulása,

valamint a keresztmetszet súlypontjának függőleges és vízszintes irányú eltolódása megegyezik.

289

8.16. ábra

8.2.1.1. Többtámaszú, egyenes tengelyű, sztati-

kailag határozatlan tartók

Támasszunk alá egy egyenes rudat egy

álló és n-1 mozgó csuklóval. A rudat terhelő

erőkről tegyük fel, hogy azok hatásvonala a rúd

hossztengelyére merőleges és egy q(z) teher-

függvénnyel adható meg (q(z) koncentrált erőt és

nyomatékot is reprezentálhat) (8.18. ábra). A

síkbeli párhuzamos erőrendszernek megfelelően

két egyensúlyi egyenletet lehet felírni, a tartó így

(külsőleg) n-2-szeresen határozatlan. n-2 támasz-

reakciót csak az alakváltozások figye-

lembevételével lehet meghatározni. Ha ezeket

ismerjük, a tartó igénybevételi ábráit a szokásos

módon rajzolhatjuk meg.

8.17. ábra

A reakcióerők meghatározásához alkalmazzuk a törzstartóvá alakítás módszerét. Ehhez

helyezzünk el a rúd támasz feletti keresztmetszeteiben egy-egy csuklót. Ily módon

a támaszok feletti kereszt-metszetek hajlítógénybevételének megfelelő nyomatékot, az ún. tá-

masz-nyomatékot szabadítottuk fel. Az eredeti tartón a támaszok feletti keresztmetszetek elfor-

dulnak. Alakváltozási követelményként azt kell megfogalmaznunk, hogy a törzstartón a támasz-

hoz tartozó bal és jobb oldali rúdvégek szögelfordulásának meg kell egyeznie.

A konkrét számításhoz válasszuk ki a tartó két egymás melletti támaszközét (8.19. áb-

ra). A csuklóbeiktatás lehetővé teszi, hogy a két támaszköznek megfelelő tartórészt két, a két

290

8.18. ábra

végén csuklósan alátámasztott résztartóra szedjük szét, melyek terhelése egyrészt az eredeti

támaszközök felett lévő q(z) teher, másrészt a csuklóelhelyezés miatt felszabaduló, egyelőre

ismeretlen nagyságú támasz-nyomatékok (8.19/b. ábra). Az alakváltozás meghatározására al-

kalmazzuk a Mohr-féle analógiát.

Tegyük fel a kéttámaszú tartók helyettesítő tartójára, amelyek most önmaguk, a redukált

nyomatéki ábrákat (8.19/c. ábra). A redukálásnál feltesszük, hogy egy támaszközön belül a rúd

keresztmetszeti méretei és anyagi minősége nem változik, tehát

Ei = áll. Ii = áll.

A Mohr-analógia alapján a helyettesítő tartók Ai alátámasztásaiban ébredő Ai nyíróerői (reak-

cióerői) az eredeti tartó ϕAi keresztmetszetének szögelfordulását jelentik. A helyettesítő tartón a

ϕAi nyíróerőt az Ai-1 és Ai+1 pontokra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletekből határozhatjuk

meg:

M = 0 =T d

E I+

M

E I

L

2

L

3+

M

E I

L

2

2L

3- L

M = 0 =T

E I(L - d ) +

M

E I

L

2

2L

3+

M

E I

L L

3+ L

Ai -1 i -1

i -1 i -1

i -1

i -1 i -1

i -1 i -1 i

i -1 i -1

i -1 i -1A i i -1

Ai

i ii i

i

i i

i i i+1

i i

i i A i i

i -1

i + 1

∑

∑

ϕ

ϕ2

,

ahol Li - az i-edik támaszköz hossza,

Ei - az i-edik támaszköz anyagának rugalmassági modulusza,

I i - az i-edik támaszköz rúdkeresztmetszetének másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére,

T = M (z)dz, T = M (z)dz i-1 i-1

0

L

i i

0

Li -1 i

∫ ∫ - a kéttámaszúnak képzelt tartószakaszok külső

291

8.19. ábra

terhelésből származó nyomatéki ábráinak területei,

di - a nyomatéki ábraterület súlypontjának távolsága a bal oldali támasztól.

Az alakváltozási feltétel értelmében a bal és jobb oldali tartón ϕAi-nek meg kell egyez-

nie. A fenti két egyenletből ϕAi-t kiküszöbölhetjük, majd rendezés után megkapjuk az ún.

háromnyomatéki egyenletet:

ML

E I+ 2M

L

E I

L

E I+ M

L

E I=

= -6Td

E I L- 6T

L d

E I L .

i -1i -1

i -1 i -1i

i -1

i -1 i -1

i

i ii+1

i

i i

i -1i -1

i -1 i -1 i -1 i

i i

i i i

+

− 8.25/a

292

Általában be szokták vezetni az

L = Ti-1di-1 és az R = Ti(L i - di) 8.26

jelölést. Ezek nem mások, mint az i-edik támasztól balra, illetve jobbra lévő mezők külső terhe-

lésből származó nyomatéki ábraterületeinek sztatikai nyomatéka az i-1-edik illetve az i+1-edik

támaszfüggőlegesére.

Abban a speciális, de gyakran előforduló esetben, mikor a rúd anyaga és keresztmetsze-

te a tartó teljes hossza mentén változatlan, a háromnyomatéki egyenlet egyszerűsödik, és ebben

a formájában első megfogalmazójáról Clapeyron-egyenletnek nevezzük:

M L + 2M (L + L ) + M L = -6L

L-

6R

L .i -1 i -1 i i -1 i i+1 i

i -1 i

8.25

L és R értékei a leggyakoribb terhelési esetekben táblázatokban megtalálhatók. A szuperpozíció

elvének felhasználásával összetett terhelésű tartók is számíthatók.

Az n támaszú tartóra n-2 háromnyomatéki egyenlet írható fel. Ezekkel az összes tá-

masznyomaték meghatározható, hiszen a két szélső támasz feletti nyomaték, mint nyomatéki

igénybevétel sztatikai eszközökkel a szokásos módon számítható. A támasznyomatékok ismere-

tében a támaszokon ébredő reakcióerők az átmetszési elv alkalmazásával, azaz a tartó alkalma-

san részekre bontott elemeinek egyensúlyi feltételeiből már egyszerűen meghatározhatók.

8.20. ábra

A háromnyomatéki egyenletek olyan sztatikailag határozatlan tartók számítására is al-

kalmazhatók, melyek egyik vagy mindkét vége befogott. Ilyenkor a befogást a 8.20. ábrának

megfelelően két, egymáshoz közel lévő támasztással helyettesítjük. Igy megnövekszik a felírha-

tó háromnyomatéki egyenletek száma, míg az ismeretlenek száma változatlan marad, hiszen a

szélső támaszok felett nyomatékok nem ébrednek. A számítás során az Lo→ 0 határátmenetet

kell képezni.

8.2.2. Castigliano II. és Menabrea tételén alapuló módszer

Castigliano II. tétele szerint a belső erők kiegészítő potenciális energiájának valamely

dinám szerinti parciális deriváltja egyenlő a dinám támadáspontjának dinám irányú elmozdulá

293

sával (erő esetén eltolódással, nyomaték esetén elfordulással) (2.119) összefüggés). Lineárisan

rugalmas anyagnál a kiegészítő belső potenciális energia egyenlő a belső potenciális energiával,

az pedig - csak kis alakváltozásokat megengedve - a külső erők saját munkájával ((2.123) össze-

függés). Térbeli rúdszerkezet esetén, melynek lehetséges igénybevételei normál-, nyíróerő, haj-

lító- és csavarónyomaték, a külső erők saját munkáját az alapigénybevételeknél tárgyalt rész-

munkák összegeként számítjuk:

~ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

U U WN z

EAdz

T z

GAdz

M z

EIdz

M z

EIdz

M z

GIdz

b b kS

L L L

L

T

L

= = = + + +

+ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

0

2

0

12

10

22

20

32

0

κ

8.27/a

ahol a jelölések értelmezése megegyezik az 5. fejezetben alkalmazottakkal, illetve

M3 - csavarónyomaték,

IT - a keresztmetszet torziós másodrendű nyomatéka.

Síkbeli rúdszerkezetnél csak az első három tag marad meg:

~U = U = W

1

2

N (z)

EA+

1

2

T (z)+

1

2

M (z)

EIb b kS

2

0

L 212

10

L

= ∫ ∫ ∫dzGA

dz dzL κ

0

8.27/b

A műszaki számításokban sokszor elegendő a hajlításból származó belső potenciális

energia figyelembevétele, mert e mellett a normál- és nyíróerőből származó potenciális energia

általában elhanyagolható.

A sztatikailag n-szeresen határozatlan szerkezet erőinek számításához határozzuk meg

az eredeti tartó törzstartóját, és a sztatikai egyensúlyi egyenletek felhasználásával fejezzük ki a

sztatikailag határozott reakciókat a külső erőkkel és a sztatikailag határozatlan, egyelőre isme-

retlen reakciókkal. Ezek felhasználásával a kiegészítő belső potenciális energiát tehát a külső

erők és a sztatikailag határozatlan reakciódinámok függvényeként írhatjuk fel:

Ub = Ub = WkS =

~U b(Fi, Yj) , 8.28

ahol

Fi - szimbolizálja az összes külső terhelést (megoszló és koncentrált erőket, nyomatékokat),

Y j - a sztatikailag határozatlan reakciódinámok (j = 1,2,...,n).

Mivel a kényszereknek éppen az a tulajdonságuk, hogy a kényszerdinám jellegének

megfelelő mozgáskomponenst nem engednek meg (esetleg előírt elmozdulást biztosítanak), a

(8.28) függvény sztatikailag határozatlan reakciódinámjai szerint vett differenciálhányadosainak

nullával vagy az előírt értékkel kell egyenlőnek lennie (végeredményben tehát nulla esetén a

Menabrea-tételt, előírt, nem nulla érték esetén Castigliano II. tételét alkalmazzuk):

294

δδ

δδ

~ ~U

Y= 0 vagy

U

Y= u , j =1,2,..., nb

j

b

jj 8.29

Ha a (síkbeli) rúdszerkezet olyan elemekből áll, melynek rugalmassági modulusza és

keresztmetszete legalább szakaszonként állandó, akkor (8.27/b) kifejezés nevezői, a rúd merev-

ségi jellemzői, kiemelhetők az integráljel elé és (8.29), illetve a láncszabály alkalmazásával az

alábbi, számítástechnikailag kedvező formát kapjuk:

∂∂

∂∂

κ ∂∂

∂∂

~U

Y=

1

2EA Y Y Y=b

j j j j

NN

dzGA

TT

dzEI

MM

vagy uL L L

j

0 0 02

1

20∫ ∫ ∫+ + = ,

j = 1,2,...,n . 8.30

Íly módon éppen annyi egyenletet kapunk, amennyi az eredeti tartó sztatikai határozat-

lanságának foka és a sztatikailag határozatlan reakciódinámok ezekből az egyenletekből megha-

tározhatók. Ezek ismeretében a sztatikailag határozott reakciók az egyensúlyi egyenletekkel

számíthatók.

295

Felhasznált és ajánlott irodalom Budó Á. (1964): Mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest.

Cholnoky T.: Mechanika II. (Szilárdságtan). Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. M. Csizmadia, B.- Nándori E. szerk: Szilárdságtan. Nemzeti Tankönyvkiadó. Budapest.

1999.

Heimeshof, B.: Spannungsberechnung für den gekrümmten Träger mit einfach-symmetrischem

Querschnitt. Holz- als Roh- und Werkstoff 31/1973. S. 475-480.

Huszár I.: Mechanika II. (Szilárdságtan). Kézirat, Gödöllő, 1979.

Huszár I.: Mechanika IV. (Alkalmazott mechanika). Kézirat, Gödöllő, 1981.

Kaliszky S. - Kurutzné, Kovács M. Mechanika (Elemi szilárdságtan), Kézirat,

Tankönyvkiadó, Budapest, 1986.

Kaliszky S. - Szilágyi Gy.: Mechanika (Általános szilárdságtan), Kézirat,

Tankönyvkiadó, Budapest, 1986.

Mistéth E.: Többcélú létesítmények gazdaságos méretezésének alapelvei a

valószínűségelmélet alkalmazásával. Doktori értekezés. Budapest, 1977.

H. Neuber: Technische Mechanik (Elastostatik und Festigskeitslehre). Springer-Verlag,

Berlin, 1971.

H. Parkus: Mechanik der festen Körper, Springer-Verlag, Wien, 1983.

Pelikán J.: Szilárdságtan. Tankönyvkiadó, Budapest, 1972.

Sz.D. Ponomarjov: Szilárdságtani számítások a gépészetben 7. Stabilitás. Gumielemek.

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966.

Szabó I.: Höhere technische Mechanik. Springer-Verlag,

Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1960.

H. Ziegler: Mechanik I. (Statik der starren und flüssigen Körper sowie

Festigskeitslehre). Birkhäuser-Verlag, Basel und Stuttgart, 1962.