CENTRUL DE EXCELEN - MATEMATIC

CLASA a V- a, 28.01.2012

Prof. POPESCU LUMINIA

SC. CU CLS. I- VIII NR. 6 TIMIOARA

Tema: Divizibilitate - proprieti. Numere prime. Criterii de divizibilitate cu 8, 7, 11, 13. Numrul divizorilor unui numr natural.

Breviar teoretic:

Proprieti ale relaiei de divizibilitate:

1. Dac a,b N* i a | b atunci a b;

2. Dac a,b N*, a | b i b | a atunci a = b;

3. Dac a,b N* i a | b atunci a | bn, n N;

4. Dac d | a i d | b atunci d | ( a + b ), iar dac a b atunci d | ( a - b );

5. Dac d | a i d b atunci d ( a + b ), iar dac a b atunci d ( a - b );

6. Dac d, a1, a2, , an N i d | a1, d | a2,, d | an atunci d | ( a1b1 a2 b2 anbn ), b1, b2, , bn N;

7. Dac numerele naturale a i b dau acelai rest prin mprirea la d N*, atunci d divide diferena numerelor;

8. Fie a, b N* . Atunci ab = ( a, b ) [ a, b ];

9. Dac n a, n b i ( a, b ) =1 atunci n (ab);

10. Dac n (ab) i ( a, b ) = 1 atunci n a i n b.

Criteriul de divizibilitate cu 8:

Pentru ca numrul natural m = s fie divizibil cu 8 este necesar i suficient ca ao + 2a1 + 4a2 s fie divizibil cu 8.

Criteriul de divizibilitate cu 11:

Pentru ca numrul natural m = s fie divizibil cu11 este necesar i suficient ca s = ao a1 + a2 a3 + a4 - s fie divizibil cu 11.

Criteriul de divizibilitate cu 7, 11sau 13:

Numrul natural m = s fie divizibil cu 7, 11sau 13 dac i numai dac - se divide cu 7, 11, respective 13.

Numrul divizorilor unui numr natural:

Numrul divizorilor unui numr natural este egal cu produsul succesorilor exponenilor puterilor ce apar n descompunere.

Probleme propuse:

1. Fie numrul . S se arate c dac 4 = atunci este divizibil cu 13.

2. Artati c numrul N = 7+ 72 + 73 + +72007 este divizibil cu 19.

3. S se afle toate perechile de numere naturale (a, b) a cror sum este 137 i pentru care 37 divide diferena lor.

4. Aflai numerale naturale care sunt divizibile cu 4a + 3b.

5. Demonstrai c numrul este divizibil cu 8 dac i numai dac 4a + bc este divizibil cu8.

6. Fie mulimea M { 395213; 8723; 600180; 7469; 50011}. Scriei n trei coloane numerele divizibile cu 7, 11 respectiv cu 13.

7. Determinai numrul n = - tiind c fiecare termen este divizibil cu 7.

8. Demonstrai c dac numrul A = 1 2 3 m + 1 este divizibil cu m+ 1, atunci m + 1 este numr prim.

9. Determinai numerele prime a, b, c, d astfel nct 2a + 3b + 2c + 6d = 56.

10. Se consider pentru n N*, numerele a = 4n 52n + 1 + 1, b = 4 22n 52n + 1, c = 22n 52n + 2 - 1,

d = 2 4n 52n + 1. Artai c a, b, c, d nu sunt prime.

11. Cte numere divizibile cu 10 au 6 divizori?

12. S se determine numrul A = 2a 3b , a, b N tiind c numrul 2A are cu 3 divizori mai muli dect A iar numrul 3A are cu 4 divizori mai muli dect A.

13. Pentru ce valori naturale ale lui n, numrul m = 3 6n-1 + 6n + 2n+1 3n are exact apte divizori formai dintr-o singur cifr?

14. Ci divizori are numrul D = 1 2 3 m tiind c se mai scrie 2a 3b 5c 7d.

15. a) Fie p un numr prim mai mare dect 6. Aflai ultima cifr a lui p4.

b) Aflai numerele prime p i q tiind c p4 + q4 = 29186.

16. Fie a, b, c N* i A = 3a + 4b + 5c, iar B = 2a + 5b + 8c.

a) Calculai A + 2B i 3A B;

b) Dac 7 | A, dovedii c 7 | B;

c) Dac 7 | B, este adevrat c 7 | A?

17. S se determine numerele naturale prime n i m, astfel nct 7n2 m = 992 7n.

18. Demonstrai c 7 | dac i numai dac 7 | ( + 2a ).

19. S se arate c numerele de forma - 2b sunt divizibile cu 7.

20. Fie A = + + .

a) Demonstrai c 37 divide pe A;

b) Dovedii c A nu este ptrat perfect;

c) Precizai valorile cifrelor x, y, z, pentru care A = 555.

21. Determinai cifrele a, b, c n baza 10, tiind c sunt ndeplinite condiiile:

a) , , sunt numere prime;

b) + + = 2.

22. Aflai numrul , tiind c sunt ndeplinite simultan condiiile:

a) a + b este numr prim;

b) a + 8b se divide cu 4;

c) a2 + b2 este ptrat perfect.

23. S se determine n N*, astfel nct numrul x = 5n + 5n+1 + 5n+2 + 5n+ 3 s aib exact 120 de divizori.

24. S se arate c, dac numrul natural n verific egalitatea 2156 + 3 478 = 2n , atunci numrul A = 1n + 3n + 5n se divide cu 5.

25. Determinai numerele naturale prime a, b, c, d pentru care 2a + 3b + 4c + 24d = 282.