7 10 th divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi · criterii de divizibilitate fie...
TRANSCRIPT
Summary Divisibility. Congruence. Basic & High Level Properties/Theorems
7th -10th grade
* Curriculum for National Olympics ** Curriculum for International Olympics 1) exposed by Manuela Prajea, Ph.D.
Page 1
Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi
Teorema împărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale
Fie a, b , b≠0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r , cu 0 r < b.
În plus, q şi r sunt unic determinate de a şi b.
Reciproc, dacă a, b , b≠0 si q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b, atunci q,r sunt câtul
respectiv restul împartirii lui a la b.
Teorema împărţirii cu rest în mulțimea numerelor întregi
Fie a, b , b≠0. Atunci există q și r astfel încât a=bq+r , cu 0 r < |b| .
În plus, q şi r sunt unic determinate de a şi b.
Reciproc, dacă a, b , b≠0 si q și r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < |b|, atunci q,r sunt
câtul respectiv restul împartirii lui a la b.
Definiţii Fie a, b .
Spunem că a divide b dacă există c astfel încât b=ac („a divide b” se va nota ab sau b a)
Spunem că numărul natural d este cel mai mare divizor comun al lui a și b și notăm d=(a,b)
dacă: 1) da şi db 2) dacă ca şi cb, atunci cd (c )
Summary Divisibility. Congruence. Basic & High Level Properties/Theorems
7th -10th grade
* Curriculum for National Olympics ** Curriculum for International Olympics 1) exposed by Manuela Prajea, Ph.D.
Page 2
Spunem că numărul natural m este cel mai mic multiplu comun al lui a și b și notăm m=[a,b]
dacă: 1) am şi bm 2) dacă ac şi b c atunci mc (c ).
Proprietăţi uzuale
Fie a,b,c .
1) aa (reflexivitatea)
ab şi ba a = b
ab şi bc ac (tranzitivitatea)
2) 1a , a1 a= 1 ; a0 , 0a a=0
3) ab şi ac a(xb±yc), () x, y
4) ab acbc ; acbc, c≠0 ab
5) ac si bd abcd
6) ab abc ; ( Gauss) abc şi (a,b)=1 ac
p|ab, p prim p|a sau p|b
7) ac și bc , (a,b)=1 abc
8) (a,b)=1, (a,c)=1 (a,bc)=1 ; (ca,cb)=c(a,b)
9) (a,b)=d () x, y astfel încât (x,y)=1 şi a=dx, b=dy;m=dxy
Summary Divisibility. Congruence. Basic & High Level Properties/Theorems
7th -10th grade
* Curriculum for National Olympics ** Curriculum for International Olympics 1) exposed by Manuela Prajea, Ph.D.
Page 3
[a,b]=m () x, y astfel încât (x,y)=1 şi m=ax, m=by
10) [a,b](a,b) = ab
11*) dacă a,b,c și a=bc+r, r , atunci (a,b)=(b,r)
(v. algoritmul lui Euclid de aflare a c.m.m.d.c. a două numere naturale)
12*) (a,b)=d () x, y astfel încât d=ax+by
(a,b)=1 () x, y astfel încât 1=ax+by
13*) (a+b) n
= M a+bn
(a+b) n
= M a+bn , n , n par
(a-b) n
= M a- bn , n , n impar
14*) ca-b c (a n
– b n
), n
Criterii de divizibilitate
Fie a . Atunci:
a⋮2 u(a)ϵ 0,2,4,6,8
a⋮4 numărul determinat de ultimele două cifre ale lui a este divizibil cu 4 (generalizare)
a⋮5 u(a) 0,5
a⋮25 numărul determinat de ultimele două cifre ale lui a este divizibil cu 25 (generalizare)
Summary Divisibility. Congruence. Basic & High Level Properties/Theorems
7th -10th grade
* Curriculum for National Olympics ** Curriculum for International Olympics 1) exposed by Manuela Prajea, Ph.D.
Page 4
a⋮10 u(a)=0
a⋮100 ultimele două cifre ale numărului a sunt 0 (generalizare)
a⋮3 suma cifrelor lui a este divizibila cu 3
a⋮9 suma cifrelor lui a este divizibila cu 9
a⋮11 diferența dintre suma cifrelor de rang par și suma cifrelor de rang impar este divizibilă
cu 11.
Teorema fundamentală a aritmeticii*
Dacă , 2n n , atunci n poate fi descompus în mod unic (până la o permutare a
factorilor) ca produs finit de numere prime, i.e.:
*
1 2, , ,..., kk p p p numere prime distincte, *
1 2, ,..., ka a a a.î.: 1 2
1 2 ... kaa a
kn p p p .
Numărul/ suma/ produsul divizorilor unui număr natural*
Dacă , 2n n și 1 2
1 2 ... kaa a
kn p p p este descompunerea în factori primi a lui n , atunci: n
i.e. numărul divizorilor lui n este dat de: 1 2( ) 1 1 ... 1kn a a a
n i.e. suma divizorilor lui n este dată de: 1 2 11 1
1 2
1 2
11 1( ) ...
1 1 1
kaa a
k
k
pp pn
p p p
n i.e. produsul divizorilor lui n este dat de: 1 22 1 1 ... 1ka a a
n n
Teorema lui Legendre*
Exponentul unui număr prim p din descompunerea în factori primi a numărului !n este egal cu:
2 3...
n n n
p p p
Congruențe în mulțimea numerelor naturale/întregi*
Summary Divisibility. Congruence. Basic & High Level Properties/Theorems
7th -10th grade
* Curriculum for National Olympics ** Curriculum for International Olympics 1) exposed by Manuela Prajea, Ph.D.
Page 5
Fie *n . Dacă ,a b spunem că a este conguent cu b modulo n dacă |n a b . Deci
moda b n |n a b
sau altfel spus ,a b dau același rest la împărțirea cu n .
Proprietăți uzuale
1) moda a n (reflexivitatea)
2) mod moda b n b a n (simetria)
3) mod , mod moda b n b c n a c n (tranzitivitatea)
4) mod , mod mod , moda b n c d n a c b d n ac bd n
5) mod modm ma b n a b n
6) mod , , 1 modac bc n c n a b n
Sistem complet de resturi modulo n *
Fie *n . Mulțimea de numere întregi 1 2, ,..., na a a s.n. sistem complet de resturi modulo n
dacă ia nu este congruent cu ja modulo n pentru i j .
Evident mulțimea 0,1,2,..., 1n constituie un sistem complet de resturi modulo n și orice
mulțime de n numere întregi consecutive constituie la rândul său un sistem complet de rest
modulo n .
Teoremă Fie 1 2, ,..., na a a un sistem complet de resturi modulo n și , , , 1x y x n .
Atunci 1 2, ,..., nxa y xa y xa y este un sistem complet de resturi modulo n .
Indicatorul lui Euler al unui număr natural*
Dacă n , vom nota cu n numărul de numere naturale mai mici ca n și prime cu n .
Numărul n s.n. indicatorul lui Euler al numărului n .
Summary Divisibility. Congruence. Basic & High Level Properties/Theorems
7th -10th grade
* Curriculum for National Olympics ** Curriculum for International Olympics 1) exposed by Manuela Prajea, Ph.D.
Page 6
Teoremă ( Proprietățile numărului n )
a) 1
1, 1 ,k kp p p pp
p număr prim, *k
b) , , *, , 1ab a b a b a b
c) 1 2
1 1 11 1 ... 1
k
n np p p
, 1 2
1 2 ... kaa a
kn p p p fiind descompunerea în factori primi a lui n .
Teorema lui Euler*
Fie *n și a astfel ca , 1a n . Atunci 1 modn
a n
.
Teorema lui Fermat*
Fie p un număr prim și a astfel ca p nu divide a . Atunci 1 1 modpa p .
Teorema lui Wilson*
Un număr natural p este prim d.n.d. 1 ! 1 modp p .
Postulatul lui Bertrand**
Pentru orice , 2n n , între n și 2n se află cel puțin un număr prim.
Teorema chinezească resturilor**
Fie *n , , , 1,i ia b i n astfel ca numerele ib să fie prime între ele două câte două.
Atunci sistemul de congruențe
1 1
2 2
mod
mod
modn n
x a b
x a b
x a b
are soluții. În plus, toate soluțiile sunt congruente între ele modulo 1 2... nbb b .