Jerarquización de operaciones y uso de paréntesis

Cuando se agrupan varios números u operaciones, es importante conocer el orden o jerarquía en que deben resolverse para obtener un resultado correcto.

Ejemplo:

Para resolver 3 x 6 + 4.

Podría interpretarse como: 3 x (6 + 4) = 3 x 10 = 30.

O bien, como: (3 x 6) + 4 = 18 + 4 = 22.

De igual manera, 8 x 3 + 5 se podría interpretar como:

8 x (3 + 5) = 8 x 8 = 64 o también como (8 x 3) + 5 = 24 + 5 = 29.

¿Cuáles serían los resultados correctos?

Para evitar confusiones y errores se ha convenido en que cuando no hay paréntesis, dado que los signos + y – separan cantidades, se efectúan las operaciones en el siguiente orden:

PotenciasMultiplicacionesDivisionesAdicionesSustraccionesPor tanto, retomando los ejemplos del principio:

3 x 6 + 4 = 18 + 4 = 22

8 x 3 + 5 = 24 + 5 = 29

Esto es importante, sobre todo cuando se manejan fórmulas de geometría o de cualquier otra ciencia.

Por ejemplo:

Calcular el área del trapecio.

La fórmula correcta es la primera, porque el factor por el cual se multiplicará h no está despejado. No es válido multiplicar el número de la suma, porque pertenece a esa operación.

Ejemplos:

6 x 22 + 3 = 6 x 4 + 3 = 24 + 3 = 27

En este caso, siguiendo el orden, se comienza por resolver las potencias (22), después la multiplicación y finalmente la suma.

5 + 42 x 2 — 32 x 4 =

Primero se resuelven las potencias: 42 = 16 y 32 = 9

La operación queda así: 5 + 16 x 2 — 9 x 4 =

Después se resuelven las multiplicaciones: 16 x 2 = 32 y 9 x 4 = 36

5 + 32 — 36 =

El siguiente paso es resolver la suma: 5 + 32 = 37

Y finalmente la resta: 37 — 36 = 1

Uso de paréntesis

En ocasiones se requiere usar paréntesis para indicar que algunas operaciones se deben efectuar antes que otras, o bien, que deben considerarse como un solo número.

Los paréntesis como [ ], { }, se utilizan para situaciones en las que intervienen varias operaciones secuenciadas.

Ejemplos:

Para sumar (3 + 9) –4, se debe efectuar primero (3 + 9) y después restar 4 al resultado.

(3 + 9) — 4 = 12 — 4 = 8

Para sumar 3 + (9 – 4), se efectúa primero (9 - 4) y al sumando 3 se le añade el resultado del paréntesis.

3 + (9 — 4) = 3 + 5 = 8

Ejemplos:

6 + (4 + 23)

Primero se resuelve la potencia: 2 x 2 x 2 = 8

Después se realiza la suma que está entre paréntesis: (4 + 8 = 12)

Finalmente se resuelve la operación completa: 6 + 12 = 18

Un paréntesis precedido del signo + puede eliminarse sin afectar el signo de los sumandos que contiene.

Si el signo que precede al paréntesis es negativo esto afecta al resultado de la operación contenida en dicho paréntesis.

Ejemplos:

(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

No es lo mismo que: 7 — (2 + 3) = 7 — 5 = 2

- 5 - (32 — 23)

En este ejemplo, primero se resuelven las potencias que se ubican dentro del paréntesis:

3 x 3 = 9 y 2 x 2 x 2 = 8

De esta manera se resuelve la resta del paréntesis: 9 — 8 = 1

Posteriormente se realiza la operación completa: --5 — 1 = -6

Divisibilidad

Múltiplos

Un número es múltiplo de otro si lo contiene varias veces exactamente.

Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c.

Un número b es un divisible por otro a cuando la división es exacta.

14 es múltiplo de dos, ya que resulta de multiplicar 2 por 7.

14 = 2 · 7

Divisores

Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.

3 es divisor de 15; 15 : 3 = 5.

A los divisores también se les llama factores.

Divisibilidad

Un número b es un divisible por otro a cuando la división es exacta.

Criterios de divisibilidad

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. 24, 238, 1024.

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

5645 + 6 + 4 = 15, es mútiplo de 3

20402 + 0 + 4 + 0 = 6, es mútiplo de 3

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.

34334 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7

10510 - 5 · 2 = 0

2261226 - 1 · 2 = 224

Volvemos a repetir el proceso con 224.

22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

121(1 + 1) - 2 = 0

4224(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisblilidad

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.36, 404, 1 028.

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.72, 324, 2 400

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.4000, 1048, 1 512.

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

818 + 1 = 9

36633 + 6 + 6 + 3 = 18, es mútiplo de 9

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.130, 1440, 10 230

Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.500, 1025, 1875.

Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.1000, 1 125, 4 250.