distribusi tekanan pada fluida - istiarto.staff.ugm.ac.idistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/futs/futs3...

Distribusi Tekanan pada Fluida Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,

Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!1

Tekanan pada Fluida

•  Tekanan fluida (fluid pressure): tegangan normal (gaya normal per satuan luas) yang bekerja pada suatu elemen fluida.

•  Gradien tekanan spasial (bukan tekanan) dapat menimbulkan gaya pada permukaan elemen fluida

•  Resultan gaya permukaan yang bekerja pada elemen fluida diam (fluid at rest) hanya dipengaruhi oleh gradien tekanan karena tidak ada tegangan geser yang bekerja.


Tekanan pada Fluida Diam

δx

δz

δs pn

px

pz

δW = ρg(½ δx δz δy)

θ 0

x

z

θ

Tebal elemen = δy ΣFx = 0pxδ yδz − pnδ yδssinθ = 0px = pn

•  Tidak ada perubahan tekanan pada arah horizontal

Pada arah x

sin θ = δz/δs

cos θ = δx/δs



δx

δz

δs pn

px

pz

δW = ρg(½ δx δz δy)

θ 0

x

z

θ

Tebal elemen = δy

•  Perubahan tekanan arah vertikal dipengaruhi rapat massa, gravitasi, perubahan z

sin θ = δz/δs

cos θ = δx/δs

ΣFz = 0

pzδ yδx − pnδ yδscosθ −12ρgδ yδxδz = 0

pz = pn +12ρgδz

Pada arah z



•  Untuk elemen yang sangat kecil, sehingga menjadi sebuah titik (δx, δy, δz ≈ 0) maka:

•  Kesimpulan: Tekanan (magnitude) pada suatu titik dalam fluida diam adalah sama ke segala arah

px = pz = pn = p


y

•  Diambil sembarang elemen fluida yang sangat kecil

Gradien Tekanan pada Fluida

z

x

δx δy

δz

p− ∂p∂yδ y2

#

$%

&

'( δx δz

p = p(x, y, z,t)p+ ∂p

∂yδ y2

"

#$

%

&' δx δz

δFy = p− ∂p∂yδ y2

#

$%

&

'( δx δz − p+ ∂p

∂yδ y2

#

$%

&

'(δx δz = −∂p

∂yδx δ y δz

•  Pada arah y



•  Dengan cara yang sama, gaya pada arah x dan z adalah:

δFz = p− ∂p∂zδz2

#

$%

&

'( δ y δx − p+ ∂p

∂zδz2

#

$%

&

'(δ y δx = −∂p

∂zδx δ y δz

δFx = p− ∂p∂xδx2

#

$%

&

'( δ y δz − p+ ∂p

∂xδx2

#

$%

&

'(δ y δz = −∂p

∂xδx δ y δz



•  Gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat tekanan adalah:

•  Jika f adalah gaya per satuan volume, maka:

δ!F = −

∂p∂x

!i − ∂p

∂y

!j − ∂p

∂z

!k

#

$%

&

'(δx δ y δz

!f p = −

!∇p !

∇ =∂∂x

!i + ∂

∂y!j + ∂

∂z

!k

#

$%

&

'(

!∇ = gradient operator


Keseimbangan Elemen Fluida

•  Gaya-gaya yang bekerja pada fluida (per satuan volume) !f =!f p +!fg +!fvisc = −

!∇p+ ρ !g +

!fvisc = ρ

!a

δ!Fg =m

!g = ρg δx δ y δz

!fg = ρ

!g

δ!F =m

!a = ρa δx δ y δz

!f = ρ

!a


Distribusi Tekanan Hidrostatis

•  Pada fluida statis, percepatan dan tegangan geser sama dengan nol (a = 0, fvisc = 0), sehingga:

•  Arah gradien tekanan akan selalu tegak lurus permukaan bertekanan konstan.

•  Arah gradien tekanan adalah searah gravitasi lokal

!∇p = ρ !g

!g = −g!k


Distribusi Tekanan Hidrostatis

•  Komponen gradien tekanan :

•  Gradien tekanan tidak terpengaruh x dan y, sehingga:

∂p∂x

= 0 ∂p∂y

= 0 ∂p∂z

= −ρg = −γ

p2

p1

z

x

y

h = z2 – z1

z1

z2

Permukaan fluida (tekanan = p0)


dpdz =−γ

p2 −p1 =− −γdzz1

z2∫

Fluida dalam Gerak Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,



Benda Tegar

•  Benda tegar (rigid body): suatu sistem partikel yang tidak mengalami deformasi, sehingga jarak antar partikel tidak berubah meskipun mendapat gaya luar (external force)

•  Gerak benda tegar (rigid body motion)

•  Gerak translasi •  Gerak rotasi

•  Kombinasi translasi dan rotasi


Fluida dalam Gerak Benda Tegar

•  Fluida dalam gerak benda tegar: seluruh partikel fluida bergerak bersama-sama (percepatan sama) sehingga tidak ada gerakan relatif antar partikel.

•  Fluida dalam keadaan ini dapat dianggap sebagai fluida statis (tidak mengalami tegangan dan regangan geser).

•  Contoh: •  Zat cair yang diangkut kapal/truk tangki •  Zat cair dalam kontainer yang berputar cukup lama


•  Keseimbangan gaya pada elemen fluida dalam gerak benda tegar (a ≠ 0, fvisc = 0)

Fluida dalam Translasi Benda Tegar

ax

az

ax

az p = p1

p2 p3

s

θ θ

Muka zat cair saat diam

!∇p = ρ( !g − !a)

!g

!a

−!a

!g − !a

z,!k

x,!i


Fluida dalam Translasi Benda Tegar

•  Gradien tekanan bekerja pada arah

•  Garis tekanan-konstan (serta permukaan zat cair, jika ada) adalah tegak lurus arah gradien tekanan dengan kemiringan:

!∇p = ρ( !g − !a)

θ = tan−1axg + az

!g − !a


dpds =ρG G = ax

2+ g+az( )2

Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan?

Isobar

p0

p1

p2

p3

p4

∆p

Isobar

p0

p1

p2

p3

p4

p5

p6

∆p Isobar

p0 p1 p2 p3 p4 p5

p8

p6 p7

∆p

a = 0a a

pA pB > pA

pC < pA


Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan?

Isobar

p0

p1

p2

p3

p4

p5

p6

∆p

Isobar

p0

p1

p2

p3

p4

p5

p6

Isobar

p0

p1

p2

p3

p4

p5 p6

a = 0a a


Contoh Soal dan Penyelesaian

Kaleng cat diletakkan pada nampan dan diseret dengan percepatan 7 m/s2. Tinggi kaleng 10 cm, diameter 6 cm dan berisi cat sedalam 7 cm pada kondisi diam. Dengan asumsi bahwa cat dalam gerak benda tegar, (a) tentukan apakah cat akan tumpah, (b) hitung tekanan pada titik A jika rapat massa cat 1010 kg/m3.

A

3 cm

7 cm

3 cm 3 cm

ax = 7 m/s2

θ∆z

z

x

s



•  Penyelesaian (a): ditentukan kemiringan berdasarkan besar percepatan yang telah diketahui, lalu ditentukan tinggi kenaikan permukaan cat di tepi kaleng.

•  Cat tidak tumpah dari kaleng. (Solusi ini mengabaikan goncangan pada saat awal bergerak)

θ = tan−1 axg + az

= tan−1 7.0 m/s2

9.81 m/s2 +0= 35.5°

∆ z = (3 cm)(tan35.5°) = 2.14 cm < 3 cm



•  Penyelesaian (b) Tekanan pada A saat diam:

Tekanan pada A saat bergerak

atau

pA (diam) = ρghrest = (1010 kg/m3)(9.81 m/s2 )(0.07 m) = 694 Pa

pA = ρG∆ s

= (1010 kg/m3)( (9.81)2 + (7.0)2 m/s2 )((0.07+0.0214)cos35.5°m)

= 906 Pa

pA = ρG(zsurf − zA)

= (1010 kg/m3)(9.81 m/s2 )((0.0214+0.07) m) = 906 Pa2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!21

Fluida dalam Rotasi Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,



Ingat kembali…

•  Percepatan sentripetal (ac) m

r

m

Vi

Vf

θ

Vi

Vf

V = |Vi| = |Vf|

V δtr

≈δVV

a = δVδt

=V 2

r= ac

∆V Segitiga sebangun


Ingat kembali…

•  Gaya sentripetal (Fc )

Fc

Fc

V

V

Ω

m

r

Fc =mac

=mV2

r=mΩ 2r

V =Ωr


Fluida dalam rotasi benda tegar

Apa yang terjadi jika:

1.  Piringan diputar

2.  Kecepatan putar ditambah

https://www.youtube.com/watch?v=RdRnB3jz1Yw&t=9s

Piringan

Air


Gaya-gaya yang bekerja

2

1

Fnz

Fnx

Fn

Fg

Bagaimana gaya-gayanya? z,!iz

r,!ir

Ω

Fg = Fnz =mg

Fnx =mΩ2r


Distribusi Tekanan

p = p0

p = p1

p2

p3

sumbu rotasi

muka air saat diam

z,!iz

r,!ir

Ω

!g

!a = −rΩ 2!ir −!a

!g − !a!∇p = ρ( !g − !a)

Apa yang terjadi jika plat berisi fluida digeser, tetapi masih pada diameter piringan?


Distribusi Tekanan

•  Vektor posisi, kecepatan sudut dan percepatan:

•  Keseimbangan gaya:

•  Maka: dan

!r0 = r "ir

!Ω =Ω

!iz

!Ω × (

!Ω ×!r0 ) = −rΩ

2!ir!∇p = ρ( !g − !a)∂p∂z!iz +

∂p∂r!ir = ρ(−g

!iz + rΩ

2!ir )

∂p∂r

= ρrΩ 2∂p∂z

= −ρg


•  p diintegralkan terhadap r dengan menganggap z konstan

•  Dengan menganggap r konstan:

•  Sehingga

Distribusi Tekanan

p = 12ρr2Ω 2 + f (z)

∂p∂z

= 0+ f '(z) = −ρg f (z) = −ρgz +C

p = 12ρr2Ω 2 − ρgz +C


•  Jika p = p0 pada (r, z) = (0, 0) maka C = p0, sehingga:

•  Untuk menggambar garis tekanan-konstan:

Distribusi Tekanan

p = p0 − ρgz +12ρr2Ω 2

z = p0 − p1ρg

+r2Ω 2

2g= a+br2


•  Pada silinder yang diputar pada sumbunya berlaku:

Distribusi Tekanan

h2=Ω 2R2

4g

muka air saat diam

Ω

h2h2

R R

h Volume = π

2R2h


Contoh soal

Kaleng dengan tinggi 10 cm dan diameter 6 cm berisi cat (ρ= 1010 kg/m3) dengan kedalaman 7 cm pada keadaan diam. Kaleng kemudian diputar pada sumbunya hingga tercapai kondisi benda tegar. Tentukan:

(a)  kecepatan sudut yang akan menyebabkan cat mencapai bibir kaleng

(b)  tekanan di titik A yang terletak di sudut bawah kaleng


Penyelesaian z

Ω

r

A

0

3 cm

7 cm

3 cm 3 cm

h2=Ω2R2

4g= 0.03 m

Ω2 =1308Ω = 36.2 rad/s = 345 rpm

A(r, z) = (3 cm,−4 cm)

pA = p0 − ρgz +12ρΩ2r2

= 0+396 N/m2 + 594 N/m2

= 990 Pa

(a)

(b)


distribusi tekanan pada fluida - istiarto.staff.ugm.ac.idistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/futs/futs3...

Documents