distribusi energi elektron bebas
TRANSCRIPT
DISTRIBUSI ENERGI ELEKTRON BEBAS
Elektron adalah fermion dan mengikuti statistic Fermi–Dirac. Pada suhu tinggi sistem
fermion mendekati statistic Maxwell-Boltzman yang menghasilkan energi rata-rata E=12kT per
derajat kebebasan.Cara menentukan penghunian rata–rata suatu tingkat kuantum energi dari
suatu sistem fermion dapat diselesaikan dengan menggukan mekanika statistik.
a. Statistik kuantum
Untuk mendapatkan banyaknya tingkat kuantum yang tersedia bagi fermion yang
energinya antara e dan e + de, bisa digunakan alasan yang sama dalam mendapatkan gelombang
tegakndalam suatu rongga. Syarat untuk terjadinya gelombang tegak adalah panjang lintasan
dari dinding ke dinding harus merupakan kelipatan bukat j dari setengah panjang gelombang,
sehingga simpul terjadi pada tiap bidang pemantul seperti terlihat pada gambar dibawah ini. Bila
rongga itu berbentuk kubus dengan rusuk L, maka
L= jλ2atau j=2L
λ……………………….(2.1)
Gambar 1. Tiap titik dalam ruang j mewakili suatu gelombang tegak yang mungkin.
Dengan demikian kemungkinan panjang gelombang itu adalah
j x=2Lλ
=1,2,3…= jumlah12panjang gelombang arah x
j y=2 Lλ
=1,2,3…= jumlah12panjang gelombangarah y
j z=2 Lλ
=1,2,3…= jumlah12panjang gelombangarah z
Jadi jumlah gelombang tegak dalam sembarang arah adalah
j2= jx2+ j y
2+ jz2=( 2 L
λ )2
………………………………………….(2.2)
Banyaknya gelombang tegak dalam rongga yang panjang gelombangnya antara λ dan
λ+ dλ adalah g(λ)dλ. Ini bisa dihitung dari jumlah pasangan harga j x j y jz yang diperbolehkan
dalam interval λ + dλ ini. Pada gambar 1, tiap titik dalam ruang j adalah merupakan pasangan
harga-harga j x , j y , j z yang diperbolehkan itu. Bila j adalah vector dari titik asal ke titik
sembarang j x , j y , j z, maka
j=( jx2+ j y
2 + jz2)
12………………………(2.3)
Banyaknya panjang gelombang antara λ + dλ adalah sama dengan jumlaj titik – titik
pada ruang j, yang jaraknya antara j dan j + dj(kulit bola). Volume kulit bola yang jari-jarinya j
dan tebalnya dj dalah 4 π j2 dj. Karena kita hanya berkepentigan dengan oktan(1/8) kulit ini
dimana j x , j y , j z berharga positif. Karena arah polarisasi ada , maka jumlah gelombang tegak
dalam rongga ,
g ( j )dj=(2 )( 18 )( 4 π j2dj )=π j2dj…………………(2.4 )
Jumlah gelombang tegak sebagai fungsi v bisa didapat dari persamaan 2 dan 3
j=2 Lλ
= 2Lvλ
dandj=2 Lcdv
Sehingga :
g (v )dv=( 2Lvλ )
2 2 Lcdv=8π L3
c2 v2dv……………… ..(2.5)
Persamaan (2.5) g(j)dj digunakan untuk menentukan julah tibgkat kuantum yang
tersedia bagi electron yang energinya e dan de. Hubungan ini sangattepat karena electron
mempunyai dua kemungkinan spin, ms=+12
dan ms=−12
dan ini identik dengan arah polarisasi
gelombang tegak itu.
Pada elektrom, panjang gelombangnya adalah panjang gelombang deBroglie, λ=hp
.
Karena electron dalam logam dianggap memiliki kecepatan yang non-relavistik, sehingga
p=√2me, maka
j=2 Lλ
= j= 2Lph
=2L√2meh
dj= Lh √ 2m
ede………………… (2.6 )
Kini persamaan 2.4 menjadi
g ( j )dj=π j2dj
g (e )de=π ( 2 L√2meh )
2
.Lh √ 2m
ede
¿8π √2L3m
32
h3 √ede
Jumlah tingkat energi yang tersedia :
g (e )de=8 π √2v m32
h3 √ede……………………… (2.7)
Karena tiap tingkat energi hanya boleh diisi oleh satu electron, maka jumlah electron
yang mengisi tingkat-tingkat energi ini dari e=0 sampai dengan tingkat energi tertinggi yang
tersedia e=eF,
N=∫0
eF
g (e )de=¿8π √2v m
32
h3 ∫0
eF
e12 de¿
N=16 π √2 vm
32
3h3 eF32
Bila logam dalam keadaan normal atau ground state(pada OK) maka semua electron
mengisi tingkat energi terendah. Bila jumlah electron per satuan volume no lebih kecil dari
tingkat-tingkat energi yang tersedia, maka semua electron akan menempati tingkat energi
terendah sampai tingkat energi maksimum EF, atau yang disebut pula energi Fermi
EFo=h2
2m ( 3N8πv )
23……………………………(2.8)
Untuk memudahkan membandingkan energi Fermi dengan energi termal kT, maka
didefinisikan suatu suhu Fermi TF, dimana kTF = EFo
Dari persamaan (2.8) dapat dilihat bahwa pada dasarnya energi Fermi EF dapat
ditentukan oleh banyaknya electron persatuan volume N/V. Beberapa logam ternyata memiliki
harga energi Fermi dalam orde beberapa elektronvolt, sperti pada tabel dibawah ini:
Daftar energi Fermi beberapa Logam
Logam Simbol Energi Fermi, eV
Lithium Li 4,72
Natrium Na 3,12
Alumunium Al 11,8
Kalium K 2,14
Cesium Cs 1,53
Tembaga Cu 7,04
Seng Zn 11,0
Perak Ag 5,51
Emas Au 5,54
b. Fungsi Distribusi Partikel Bebas
Distribusi partikel dalam komartemen diskrit terjadi secara acak. Partikel-partikel ini
dapat memiliki gabungan dari dua karakter dengan dua kemungkinan seperti bagan dibawah ini:
Dalam proses alih-alih electron dalam zat padat ini maka perlu diperhatikan 3 hal dasar
yang penting:
1. Partikel-partikel identik yang masih terbedakan satu dengan yang lain dan tidak
berinteraksi, berarti fungsi gelombangnya tidak banyak bertindihan dan mengikuti
statistic Maxwell-Boltzmann.
2. Bila fungsi gelombangnya partikel-partikel itu cukup banyak bertindihan, maka partikel
tersebut tak dapat terbedakan satu dengan yang lain sehingga digunakan mekanika
kuantum.
Sistem partikel yang fungsi gelombangnya bertindihan ini dapat dibedakan menjadi dua
kategori:
a) Partikel-partikel identik dengan spin bulat(utuh) atau nol. Partikel tak bisa dibedakan satu
dengan yang lain dan tidak berinteraksi, dan disebut boson. Pada boson ini berlaku
distribusi partikl yang masuk kategori ini antara lain foton dan fonon.
b) Partikel-partikel identik yang spinnya kelipatan ganjil dari ½ juga tak terbedakan satu
sama lain dan berinteraksi, partikel ini disebut fermion. Pada Fermion berlaku fungsi
Tak terbedakan
(indistinguishable)Dapat dibedakan
(distinguishable)
Berinteraksi
(interacting)
Tak Berinteraksi
(non interacting)
distribusi Fermi-Dirac. Electron termasuk dalam ketegori ini, maka itu perilaku electron
bebas dalam logam mengikuti statistic Fermi- Dirac.
Suatu sistem berisika sejumlah energi E. Jumlah partikel yang energinya e dalam sistem
ini adalah
n(e) = g(e) f(e)………………………………..(2.9)
dimana n(e) = jumlah partikel dengan energi e
g(e) = jumlah tingkat-tingkat energi e
= rata-rata statistic yang berkenaan dengan energi e
f(e) = fungsi distribusi
= jumlah rata-rata partikel dalam tiap tingkat energi e
= pelung menempati tiap tingkat energi e
Bila distribusi energinya kontinu bukan diskrit, maka g(e) diganti dengan g(e)de yaitu
jumlah tingkat-tingkat energianatar e dan e+de
1. Distribusi Maxwell-Boltzmann
Fungsi distribusi Maxwll-Boltzmann menyatakan bahwa rata-rata jumlah artikel fMB(e)
dalam suatu tingkat energi e dalam suatu sistem partikel(yang tak terbedakan) pada suhu mutlak
T adalah:
f MB (e )=A exp ( ekT )……………………… ..(2.10)
Harga A tergantung pada jumlah partikel yang berperan dalam sistem itu dan k adalah
konstanta Boltzmann (k= 1x 10-23 J/K). gabungan dari persamaan (2.9) dan (2.10) menghasilkan
n(e), yaitu jumlah partikel identik dan dapat dibedakan dalam suatu sistem energinya e pada suhu
T.
n (e )=A g(e)exp(−ekT )……………………… ..(2.11)
Jumlah molekul-molekul yang energinya anatara e dan e+de adalah
n (e )de=[g (e )de ] [ f (e )]
¿ A g(e )exp (−ekT )de……………………… ..(2.12)
2. Fungsi distribusi Bose-Einstein
Boson tidak mengikuti prinsip larangan dan fungsi gelombangnya tidak dipengaruhi
oleh pertukaran pasangan diantaranya. Oleh karena itu pada setiap tingkat kuantum bisa berada
boson berapa saja. Pada sisten boson, keberadaan suatu partikel dalam suatu tingkat kuantum
tertentu meningkatkan peluang partikel yang lain untuk ditemukan dalam tingkay yang sama.
Peluang boson untuk berada dalam suatu tingkat energi e adalah
f MB (e )= 1
eαeekT−1
……………………(2.13)
Atau
f MB (e )= 1
A eekT−1
, dimana A=eα
Persamaan (2.13) disebut fungsi distribusi Bose-Einstein. Besaran A bergantung pada
sifat-sifat sistem tertentu dan merupakan fungsi dari T. Pada distribusi Bose-Einstein bentuk
eksponensial eekT itu dominan sehingga A hamper-hampir tidak bergantung pada T. harga α dari
persamaan (2.13) bergantung pada jumlah partikel yang diperhitungkan. Tetapi fonon dalam
rongga tidak kekal karena setiap saat bisa tercipta dan lenyap. Oleh karena itu meskipun jumlah
radiasi dalam rongga itu tetap, tetapi jumlah foton yang sesuai dengan energi ini dapat berubah.
Karena foton bersifat tidak kekal, berarti α=0, sehingga eα=1. Maka dari itu fungsi distribusi
untuk foton menjadi :
f ( v )= 1
eekT−1
…………………………… ..(2.14)
Atau f ( v )= 1
ehvkT−1
Pada suhu rendah dan pada E yang besar, dengan mengasumsikan A=1, maka factor
eksponensial menjadi sangat besar sehingga fBE 0. Ini berarti pada suhu rendah, peluang
terisinya tingkat energi besar adalah nol. Sedangkan untuk E≃0, factor eksponensial mendekati
1, penyebut menjadi sangat kecil dan fBE ~. Berarti pada suhu kecil semua partikel berusaha
mengisi tingkat enenrgi terendah yang disebut dengan efek “ kondensasi”.
3. Fungsi Distribusi Fermi-Dirac
Fermion mengikuti prinsip larangan, sehingga bila terjadi pertukaran dari setiap
pasangan, maka tanda dari fungsi gelombang sistem itu berubah. Fungsi gelombang seperti ini
disebut asimetrik. Hanya boleh satu fermion saja yang berada dalam tingkat kuantum tertentu
dari sistem itu.
Peluang fermion untuk menempati tingkat energi e menjadi
f FD (e )= 1
A eekT+1
…………………………………. (2.15 )
Persamaan (2.15) ini disebut fungsi distribusi Fermi-Dirac. Besaran A merupakan fungi
dari suhu T. kebergantungan A pada T bersifat eksponensial sehingga A dapat dituliaskan :
A=e−eFkT sehingga distribusi Fermi-Dirac menjadi
f FD (e )= 1
ee−eFkT +1
……………………(2.16)
Dimana eF disebut energi Fermi.
Untuk mengetahui bagaimana penghunian tingkat-tingkat yang energinya lebih kecil
dari eF dan yang lebih besar dari eF, maka kita andaikan suatu fermion pada T=0.
T=0, untuk e > eF, maka ee−eFkT = e sehingga f FD (e )=0 dan
Untuk e < eF ,maka ee−eFkT = e− =0 sehingga f FD (e )=1
Ini berarti pada T=0 peluang untuk menempati tingkat energi yang lebih besar dari eF
adalah nol. Dengan kata lain, tingkat energi yang lebih besar dari eFkosong. Sedangkan peluang
untuk menempati tingkat energi samapai degan eF sama dengan 1, atau berarti semua tingkat
energi sampai dengan eF terisi semua. Tetapi karena peluang penghunian ini hanya satu per
tingkat kuantum maka fermion tidak mengembun pada tingkat energi terendah.
Pada gambar 2 terlihat distribusi fMB, fBE dan fFD sebagai fungsi dari energi. Dari ketiga
gambar tersebut terlihat bahwa pada E yang semua besar fungsi distribusi itu mendekati nol.
Pada E yang kecil, fungsi distribusi membesar, bahkan fBE ~ dan inilah yang disebut efek
kondensasi, dimana semua pertikel berusaha menempati tingkat kuantum terendah. Sedangkan
fFD tidak pernah lebih besar dari 1.
Gambar 2. a. Fungsi Distribusi Maxwell-Boltzmann
b. Fungsi distribusi Bose-Einstein
c. Fungsi Distribusi Fermi-Dirac
Gambar 3 memperlihatkan fungsi distribusi fFD(E) pada beberapa suhu. Pada gambar 3a
terlihat fungsi fFD pada suhu T=0. Semua tingkat energi yang lebih kecil dari eF terisi penuh,
sedang tngkat energi yang lebih besar dari eF kosong. Pada suhu yang lebih tinggi suhu distribusi
menjadi lebih menyebar dan beberapa tingkat di atas fungsi eF sebagian terisi, ini berarti fFD>0.
Sedangkan pada tingkat energi dibawah eF menjadi kosong, yang berarti disini fFD <1. Makin
tinggi suhu fFD menjadi semakin menyebar seperti terlihat pada gambar 3b dan 3c.
Gambar 3 penghunian tataran elektronik menurut distribusi Fermi-Dirac (a) tingkat
penghunian pada suhu T=0.(b) dan (c).
Dari persamaan 2.16 kita dapat lihat bahwa bila e = eF maka fFD menjadi sama dengan
sama dengan ½ dan ini tidak tergantung pada suhu. Berdasarkan pandangan ini kita dapat pula
mendefinisikan energi Fermi eF adalah suatu tingkat energi yang peluang untuk penghuniannya
adalah 0,5.