Chap 9aAplikasi Distribusi

Fermi Dirac

(part-1)

Teori Bintang Katai Putih

• Apakah bintang Katai Putih

– Bintang yg warnanya pudar/pucat krn hanya memancarkansedikit cahaya krn supply hidrogennya sudah tinggal sedikitberubah menjadi helium.

• Tipikal data bintang katai putih

– Isi : sebagian besar helium

– Kerapatan massa 107 gr/cm3 (107 0)

– Massa : 1033 gr ( 1 MO)

– Suhu pusat : 107 K (=T0 )

Teori Bintang Katai Putih

• Jadi bintang katai putih : suhu tinggi dengan tekanan tinggi. Sehingga atom-atom sudah terionisasi. Sehingga bintang bisadianggap terdiri dari inti helium dan elektron.

• Jadi dianggap sebagai gas elektron yg bersifat seperti gas Fermi ideal dengan kerapatan sekitar 1030 elektron/cm3 yang setara dengan energi Fermi :

• 𝜖𝐹 =ℏ2

2𝑚

1

𝑣23

= 20 𝑀𝑒𝑉 𝐻𝑢𝑎𝑛𝑔 → 0.4 𝑀𝑒𝑉 (𝑐𝑒𝑘!)

• Dengan temperature Fermi setara TF = 1011K. (cek 4 x109K)

• Karena ternyata TF >>> T bintang, maka praktis bintang kataiputih bisa dianggap sebagai gas Fermion degenerate dekatground state.

Model

• Model Bintang Katai Putih:

– Sistem N gas elektron dalam kondisi ground state dengankerapatan bahwa elektron diperlakukan secara relativistik.

– Gas Elektron bergerak dengan latar belakang inti helium sejumlah N/2 yg diam yg memberikan daya tarik gravitasi.

– Ada tiga efek : prinsip Pauli, dinamika relativistik, hukumgravitasi.

Energi Elektron

• Elektron dengan spin = ½ dengan momentum p. Elektronmemiliki energi :

𝜖𝒑,𝑠 = 𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑒𝑐2 2

Dengan me : massa elektron.

• Energi ground state dari gas Fermi:

𝐸0 = 2

𝒑 <𝑝𝐹

𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑒𝑐2 2

=2𝑉

ℎ3න

0

𝑝𝐹

𝑑𝑝 4𝜋𝑝2 𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑒𝑐2 2

Energi Elektron

Dengan momentum Fermi pF didefinisikan sbg (untuk elektron ):

2 ∗𝑉

ℎ34

3𝜋𝑝𝐹

3 = 𝑁 → 𝑝𝐹 = ℏ3𝜋2

𝑣

1/3

Dengan substitusi 𝑥 =𝑝

𝑚𝑒𝑐, maka integral dalam E0 dapat

dituliskan sbg:𝐸0𝑁=𝑚𝑒4𝑐5

𝜋2ℏ2𝑣𝑓 𝑥𝐹

Dengan

𝑓 𝑥𝐹 = න

0

𝑥𝐹

𝑑𝑥 𝑥2 1 + 𝑥2

Energi Elektron

Untuk x<<1 maka : 𝑥2 1 + 𝑥2 = 𝑥2 ൬

൰

1 +1

2𝑥2 +

1

2

1

2−1

2𝑥4 +

⋯ . = 𝑥2 +1

2𝑥4 +⋯ .

Untuk x>>1 maka :

𝑥2 1 + 𝑥2 = 𝑥4 1 +1

𝑥2

1/2

= 𝑥4 1 +1

2

1

𝑥2+

12

12− 1

2

1

𝑥4+⋯ . =

= 𝑥4 +1

2𝑥2 +⋯ . .

Zero Point Pressure

Dengan aproksimasi tsb maka:

𝑓 𝑥𝐹 =

1

3𝑥𝐹3(1 +

3

10𝑥𝐹2 +⋯ . ) 𝑥𝐹 ≪ 1

1

4𝑥𝐹4(1 +

1

𝑥𝐹2 +⋯ . ) 𝑥𝐹 ≫ 1

Dengan 𝑥𝐹 =𝑝𝐹

𝑚𝑒𝑐=

ℏ

𝑚𝑒𝑐

3𝜋2

𝑣

1/3

Tekanan zero point yang ditimbukan gas Fermi diberikan oleh:

𝑃0 = −𝜕𝐸0

𝜕𝑉=

𝑚𝑒4𝑐5

𝜋2ℏ3−𝑓 𝑥𝐹 − 𝑉

𝜕𝑓 𝑥𝐹

𝜕x𝐹

𝜕𝑥𝐹

𝜕𝑉

𝑃0 =𝑚𝑒4𝑐5

𝜋2ℏ31

3𝑥𝐹3 1 + 𝑥𝐹

2 − 𝑓 𝑥𝐹

Zero Point Pressure

Untuk kasus non relativistik (xF<<1)

𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5

𝜋2ℏ31

3𝑥𝐹3 1 + 𝑥𝐹

2 −1

3𝑥𝐹3(1 +

3

10𝑥𝐹2

𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5

𝜋2ℏ31

3𝑥𝐹3(1 +

1

2𝑥𝐹2) −

1

3𝑥𝐹3(1 +

3

10𝑥𝐹2

𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5

15𝜋2ℏ3𝑥𝐹5

Untuk kasus relativistik ekstreem (xF>>1):

𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5

𝜋2ℏ31

3𝑥𝐹3 1 + 𝑥𝐹

2 −1

4𝑥𝐹4(1 +

1

𝑥𝐹2)

Zero Point Pressure

𝑃0 ≈𝑚𝑒4𝑐5

𝜋2ℏ31

3𝑥𝐹4 +

1

6𝑥𝐹2 −

1

4𝑥𝐹4 −

1

4𝑥𝐹2 =

𝑚𝑒4𝑐5

12𝜋2ℏ3𝑥𝐹4 − 𝑥𝐹

2

• Jika massa total bintang M dan jari-jarinya R, maka:

• 𝑀 = 𝑚𝑒 + 2𝑚𝑝 𝑁 ≈ 2𝑚𝑝𝑁

• 𝑅 =3𝑉

4𝜋

1/3

• Dengan mp:massa proton. Memakai besaran ini maka :

𝑣 =𝑉

𝑁=

4

3𝜋𝑅3

𝑁=

8𝜋𝑚𝑝𝑅3

3𝑀

Zero Point Pressure

Dan :

𝑥𝐹 =ℏ

𝑚𝑒𝑐

1

𝑅

9𝜋

8

𝑀

𝑚𝑝

1/3

≡𝑀1/3

𝑅

Dengan definisi

𝑀 =9𝜋

8

𝑀

𝑚𝑝dan 𝑅 =

𝑚𝑒𝑐𝑅

ℏ=

𝑅ℏ

𝑚𝑒𝑐

Zero Point Pressure

• Memakai definisi 𝑀 dan 𝑅 tsb, dan

• 𝐾 =𝑚𝑒𝑐

2

12𝜋2𝑚𝑒𝑐

ℏ

3, maka:

𝑃0 ≈4

5𝐾

𝑀5/3

𝑅5 (kasus non relativistik)

𝑃0 ≈ 𝐾(𝑀4/3

𝑅4 −

𝑀2/3

𝑅2 ) (kasus extrem

relativistik)

Kesetimbangan Bintang Katai Putih

• Kesetimbangan bisa dihitung sbb:

– Andai tak ada gravitasi, maka perlu tekanan dari luar untukmelawan tekanan gas fermi. Besar usaha untukmemampatkan gas tsb dari R= hingga jari-jari tertentu R:

𝑊 = − න

∞

𝑅

𝑃04𝜋𝑟2𝑑𝑟

– Jika sekarang gravitasi ada, maka akan ada gaya tarik antarmassa di dalam bintang tsb, kita hitung usaha untukmembentuk bintang tsb oleh gaya gravitasi (gravitational self-energy ), berdasarkan analisa dimensionalitasbentuknya :

Kesetimbangan Bintang Katai Putih

𝑊𝑔 = −𝛼𝛾𝑀2

𝑅Dengan konstanta pembanding (sekitar 1) dan tetapangravitasi umum. Perlu info ttg distribusi massa bintang untukmenghitung .

• Pada jari-jari kesetimbangan mestilah usaha oleh gaya luar tsb= - usaha oleh gaya gravitasi

න∞

𝑅

𝑃04𝜋𝑟2𝑑𝑟 = −

𝛼𝛾𝑀2

𝑅

Syarat Kesetimbangan

Ambil turunan thd R pers. Di atas, maka syarat kesetimbangan:

P0 =𝛼𝛾𝑀2

4𝜋𝑅4=

𝛼𝛾

4𝜋

8𝑚𝑝

9𝜋

2 𝑚𝑒𝑐

ℏ

4 𝑀2

𝑅4 (*)

Sebenarnya persamaan ini mendefinisikan konstanta !

Hubungan M dan R, akan diperoleh untuk 3 kasus :

a. Misal suhu elektron jauh lebih tinggi dari suhu Fermi, sehingga distribusi Fermi-Dirac → gas Boltzmann , sehingga:

𝑃0 =𝑘𝑇

𝑣=

3𝑘𝑇

8𝜋𝑚𝑝

𝑀

𝑅3

Hubungan M-R

• Substitusi ke (*) diperoleh:

𝑅 =2

3𝛼𝑀

𝑚𝑝𝛾

𝑘𝑇Jadi R sebanding dengan M. Hubungan ini tak pernah dijumpaiuntuk bintang katai putih.

b. Misal bintang katai putih memiliki kerapatan (1/v) yang rendahdan bersifat non relativistik (xF<<1), menggunakan P0 untukkasus ini diperoleh:

4

5𝐾𝑀5/3

𝑅5 = 𝐾′

𝑀2

𝑅4

Hubungan M-R

Dengan

𝐾′ =𝛼𝛾

4𝜋

8𝑚𝑝

9𝜋

2𝑚𝑒𝑐

ℏ

4

Sehingga diperoleh persamaan:

𝑀5/3

𝑅 =4

5

𝐾

𝐾′Artinya :

jika massa bintang besar maka jari-jarinya kecil. Cocok dengan aproksimasi yg adalah density rendah, ketika R besar dan M kecil.

Hubungan M-R

• C. Misal gas elektron memiliki kerapatan besar sehingga efekrelativistik penting (xF>>1), maka dengan P0 yg sesuaididapatkan:

• 𝐾𝑀43

𝑅4 −

𝑀23

𝑅2 = 𝐾′

𝑀2

𝑅4 atau 𝑅 = 𝑀

2/31 − 𝑀/𝑀0

2/3

• Dengan

• 𝑀0 =𝐾

𝐾′

3/2=

27𝜋

64𝛼

3/2 ℏ𝑐

𝛾𝑚𝑝2

3/2

𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑀0 ≈

1033𝑔𝑟 =massa matahari

• Aproksimasi ini valid untuk kerapatan tinggi, atau R→0. Jadiketika massa mendekati massa matahari.

Limit Chandrasekhar

• Berarti : tidak ada bintang katai putihyg massanya lebih besar dari matahari(kalau tidak jari-jarinya akan imajiner)!. Secara fisis hal ini dijelaskan karenakalau massa terlalu besar makatekanan (tolak-menolak) karenaprinsip Pauli tidak akan cukupmelawan oleh keruntuhan bintangkarena gaya gravitasinya.

Note: Perhitungan yg lebih akurat memberikan estimate thd M’0 = 1,4 M0 ygdikenal dengan nama limit Chandrasekhar. Jadi tak akan ada bintang ygbisa jadi bintang katai putih kalau massanya lebih dari massaChandrasekhar.

Diamagnetism Landau• Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan

magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehinggaterjadi tolak-menolak.

• Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism darikuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruhmedan magnet

• Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: 𝜒 ≡𝜕𝑀/𝜕𝐻

• Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan

medan magnet H: 𝑀 ≡1

𝑉< −𝜕𝐻0/𝜕𝐻 >

Diamagnetism Landau• Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan

magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehinggaterjadi tolak-menolak.

• Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism darikuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruhmedan magnet

• Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: 𝜒 ≡𝜕𝑀/𝜕𝐻

• Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan

medan magnet H: 𝑀 ≡1

𝑉< −𝜕𝐻0/𝜕𝐻 >

Diamagnetism Landau• Dengan H0: hamiltonian sistem dengan adanya medan magnet

luar H.

• Untuk Ensembel Kanonik: 𝑀 = 𝑘𝑇𝜕 ln 𝑄𝑁/𝑉

𝜕𝐻dan

• Ensembel Grand Kanonik 𝑀 = 𝑘𝑇𝜕

𝜕𝐻

ln 𝜁

𝑉 𝑇,𝑉,𝑧

• Jika 𝜒 < 0 maka sistem bersifat diagmagnetik dan jika 𝜒 > 0bersifat paramagnetik

Model Diamagnetism

• Sumber sifat magnetik bahan :

• (a) elektron (bebas/terikat) yg bergerak di orbit ygterkuantisasi di bawah medan magnet luar. Hal ini terkaitdengan diagmagnetism

• (b) spin elektron yg cenderung paralel dengan medan magnet luar. Hal ini terkait dengan paramagnetism.

• Model diagmagnetism :

gas elektron bebas (spinless) di bawah pengaruh medanmagnet luar. Elektron non relativistik.

Model Diamagnetism

Hamiltonian diberikan oleh:

• 𝐻0 =1

2𝑚𝒑𝟐 +

𝑒

𝑐𝑨

𝟐

• Dengan p momentum dan A: vektor potensial magnetik . Konstanta e: besar muatan elektron (+). Sedangkan 𝑯 = 𝛻 ×𝑨

• Pers. Schrodinger sistem ini : 𝐻0𝜓 = 𝐸𝜓

• Asumsi : medan magnet luar : 𝑯 = ො𝒛𝐻, dengan H: konstan(uniform external field), dengan ini maka : 𝑨 = −𝐻𝑦 ෝ𝒙 kitapilih Ay=Az=0.

Hamiltonian Sistem

• Substitusikan ke pers. Schrodinger akan menghasilkan:

1

2𝑚ℏ2𝑘𝑥

2 + ℏ2𝑘𝑧2 + 𝑝𝑦

2 +𝑒𝐻

𝑐𝑦

2

−2𝑒𝐻

𝑐ℏ𝑘𝑥𝑦 𝜓 = 𝐸𝜓

ℏ2

2𝑚𝑘𝑥2 + 𝑘𝑧

2 +1

2𝑚𝑝𝑦2 +

1

2𝑚

𝑒𝐻

𝑐𝑦

2

− ℏ𝑘𝑥𝑒𝐻

𝑚𝑐𝑦 𝜓

= 𝐸𝜓

Pers. Schrodinger System

Pakai definisi frekuensi cyclotron :𝜔0 ≡𝑒𝐻

𝑚𝑐, maka:

ℏ2

2𝑚𝑘𝑥2 + 𝑘𝑧

2 +1

2𝑚𝑝𝑦2 +

1

2𝑚𝜔0

2𝑦2 −𝜔0ℏ𝑘𝑥𝑦 𝜓 = 𝐸𝜓

Selanjutnya kuantitas dalam [..] dapat dituliskan sbg:

[..] =1

2mpy2 +

1

2𝑚𝜔0

2 𝑦 − 𝑦02 −

ℏ2 𝑘𝑥2

2𝑚dengan 𝑦0 ≡

ℏ𝑐

𝑒𝐻𝑘𝑥

Sehingga persamaan Schrodinger menjadi:1

2𝑚𝑝𝑦2 +

1

2𝑚𝜔0

2 𝑦 − 𝑦02 𝑓 𝑦 = 𝐸′𝑓(𝑦)

Dengan E′ = E −ℏ2 𝑘𝑧

2

2𝑚

Energi eigen sistem

Arti:1

2𝑚𝑝𝑦2 +

1

2𝑚𝜔0

2 𝑦 − 𝑦02

Suku : Energi kinetik + potensial dari osilator harmonis dengan pusatosilasi di y0 dengan frekuensi ω0. Oleh karena itu energi eigen sistemosilator ini adalah:

ℏ𝜔0 𝑛 +1

2, 𝑛 = 0,1,2,…

Dan energi eigen sistem keseluruhan adalah:

𝐸′ = 𝐸 −ℏ2𝑘𝑧

2

2𝑚= ℏ𝜔0 𝑛 +

1

2𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐸(𝑝𝑧, 𝑛) =

𝑝𝑧2

2𝑚+ ℏ𝜔0 𝑛 +

1

2

E’ : kontribusi energi dari komponen gerak arah XY = ℏ𝜔0(n+1/2 ).

Ingat 𝜔0 ≡𝑒𝐻

𝑚𝑐

Energi kinetik darigerak sejajar medan

luar (z)

Energi krn gerak di bidang tegak lurus

medan luar (XY)

Analisa Energi & Level Landau

• Jika H=0, maka eigenstates hanyalah gerak di bidang XY saja, dengan spektrum energi diberikan oleh :

• 𝐸′ =ℏ2𝑘𝑥

2

2𝑚+

ℏ2𝑘𝑦2

2𝑚

• Tapi sejalan dengan L (ukuran sistem) →, maka praktisspektrum energi ini kontinu.

• Jika H0, maka spektrum energi yg kontinu akan pecahmenjadi satu set tingkat energi diskrit yg degenerate yg

dilabeli bilangan kuantum n, dengan energi E’ = ℏ𝜔0 𝑛 +1

2

Analisa Energi & Level Landau

• Untuk tiap nilai n tertentu, ada banyak status degenerate ygdilabeli kx. Set yg dilabeli satu nilai n disebut level Landau.

• Jarak antara 2 Level Landau adalah ℏ𝜔0 =𝑒ℏ

𝑚𝑐𝐻. Jelas

semakin besar medan luar, semakin besar juga jarak ini.

• Misal elektron ini berada dalam kotak LxLxL. Dengan syaratbatas periodik, maka nilai-nilai kx yg diijinkan adalah

• 𝑘𝑥 =2𝜋𝑛𝑥

𝐿, dengan nx=0, 1, 2,…

Degenerasi Level Landau

• Tetapi ada batasan nx sebab y0

mestilah: 0y0 L, sehingga nx

mestilah positif.

• 𝑦0 =ℏ𝑐

𝑒𝐻𝑘𝑥 =

ℎ𝑐

𝑒𝐻

𝑛𝑥

𝐿

• Berarti nx max :

𝑛𝑥,𝑚𝑎𝑥 =𝑒𝐻

ℎ𝑐𝐿2 ≡ 𝑔

g: degenerasi tiap level Landau!

n=0

Susceptibility Magnetik

• Fungsi partisi Grand Kanonik:

𝜁 =ෑ

𝑚

(1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖𝑚)

• Dengan m =(pz,n,) dengan =1,2,..,g.

ln 𝜁 =

𝛼=1

𝑔

𝑛=0

∞

𝑝𝑧

ln(1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖𝑝𝑧,𝑛,𝛼 )

mengingat 𝑝𝑧 = ℏ𝑘𝑧 =ℎ

2𝜋

2𝜋

𝐿𝑛𝑧 =

ℎ

𝐿𝑛𝑧, sehingga Σ𝑝𝑧 →

2𝐿

ℎ∫ 𝑑𝑝: banyak momentum pz :−∞,… ,∞

Susceptibility Magnetik

Sehingga:

ln 𝜁 ≈2𝑔𝐿

ℎ

𝑛=0

න0

∞

𝑑𝑝 ln(1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖 𝑝,𝑛 )

Jumlah rata-rata elektron:

N ≈2𝑔𝐿

ℎ

𝑛=0

න0

∞

𝑑𝑝1

𝑧−1𝑒𝛽𝜖 + 1

Pada daerah klasik, yaitu T>>. Pada limit ini z→ 0 agar N tetapberhingga. Sehingga persamaan di ln di ekspansi dan diambilorder-1:

ln 1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖 ≈𝑧𝑒−𝛽𝜖

Susceptibility Magnetik

Sehingga:

ln 𝜁 ≈2𝑔𝐿𝑧

ℎ

𝑛=0

න0

∞

𝑑𝑝𝑧𝑒−𝛽𝜖 =2𝑔𝐿𝑧

ℎ

𝑛=0

න0

∞

𝑑𝑝𝑧𝑒−𝛽(

𝑝2

2𝑚+ℏ𝜔0 𝑛+12 )

ln 𝜁 ≈2𝑔𝐿𝑧

ℎ

𝑛=0

𝑒−𝛽ℏ𝜔0 𝑛+

12 න

0

∞

𝑑𝑝𝑧𝑒−𝛽(𝑝2

2𝑚)

≈2𝑔𝐿𝑧

ℎ

2𝜋mkT

2

𝑛=0

∞

𝑒−𝛽ℏ𝜔0 𝑛+

12

ln 𝜁 ≈𝑔𝐿𝑧

𝜆

𝑒−𝛽ℏ𝜔02

1 − 𝑒−𝛽ℏ𝜔0=𝑔𝐿𝑧

𝜆

𝑒−𝑥

1 − 𝑒−2𝑥

Aproksimasi suhu Tinggi

Dengan 𝜆 =ℎ

2𝜋mkt𝑑𝑎𝑛 𝑥 =

𝛽ℏ𝜔0

2, aproksimasi untuk x kecil:

𝑒−𝑥

1 − 𝑒−2𝑥=

1

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

≈1

1 + 𝑥 +𝑥2

2+𝑥3

6+⋯− (1 − 𝑥 +

𝑥2

2−𝑥3

6+⋯)

≈1

2𝑥 +13𝑥3 +⋯ .

≈1

2𝑥1 +

1

6𝑥2+. .

−1

≈1

2𝑥(1 −

1

6𝑥2 +⋯)

Sehingga

ln 𝜁 ≈𝑔𝐿𝑧

𝜆

1

2𝑥1 −

1

6𝑥2 =

𝑔𝐿𝑧

𝜆

𝑘𝑇

ℏ𝜔01 −

1

24

ℏ𝜔0

𝑘𝑇

2

Susceptibilitas Magnetik

Dengan mengingat definisi 𝑔 =𝑒𝐻

ℎ𝑐𝐿2 dan 𝜔0 =

𝑒𝐻

𝑚𝑐, maka faktor

𝑔𝐿ℎ

𝑚𝜔0= 𝑉 dengan V=L3. Sehingga :

ln 𝜁 ≈𝑧𝑉

𝜆31 −

1

24

ℏ𝜔0

𝑘𝑇

2

Sekarang kita bisa menghitung susceptibilitas magnetik :

𝜒 =𝜕

𝜕𝐻𝑀 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑀 = 𝑘𝑇

𝜕

𝜕𝐻

ln 𝜁

𝑉

Maka akan diperoleh :

𝜒 = −𝑧

3𝑘𝑇𝜆3eℏ

2𝑚𝑐

2

Susceptibilitas Magnetik

• Jelas 𝜒 <0 faktor dalam (..) tak lain adalah Bohr Magneton. Variabel z dapat dieliminasi dengan bantuan N denganmempertahankan hingga order satu dalam z.

• Hasil akhirnya dapat diperoleh:

𝜒 = −1

3𝑘𝑇𝑣

𝑒ℏ

2𝑚𝑐

2

Hasil ini sesuai dengan hukum Curie yang terkenal bahwa 𝜒 ~1

𝑇