distribuição de probabilidade distribuição...
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Distribuição de Probabilidade – Distribuição Normal
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É o modelo de distribuição de probabilidade mais utilizado na
estatística. É utilizado para v. a. contínuas.
Métodos e técnicas estatísticas paramétricas geralmente
consideram o modelo de distribuição de probabilidade
normal.
Seu gráfico tem a forma campanular (sino)
É uma distribuição simétrica em relação à média
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Lembrando: Uma função X definida sobre o espaço
amostral Ω e assumindo valores num intervalo de
números reais, é denominada variável aleatória
contínua.
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Considere a Distribuição de Probabilidades da variável
aleatória X:
Faremos o histograma da distribuição de probabilidades de X.
Ele é construído com retângulos de bases unitárias e alturas
iguais às probabilidades de X
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X P(X)
1 0,1
2 0,2
3 0,4
4 0,2
5 0,1
Introdução
6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 2 3 4 5
As áreas dos retângulos são:
0,1=P(X=1)
0,2=P(X=2)
0,4=P(X=3)
0,2=P(X=4)
0,1=P(X=5)
Para calcularmos, por exemplo, , basta calcular a
soma das áreas dos três primeiros retângulos, que será 0,7.
Se tomarmos os pontos médios das bases superiores dos
retângulos e ligarmos os mesmos por uma curva, teremos, se
considerarmos X uma variável aleatória contínua (que no
exemplo ela não é ), uma função contínua f(x), representada no
gráfico
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(1 3)P X
8
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
f(x)
Podemos então definir:
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável
aleatória contínua X é uma função f(x) ≥ 0 cuja área total sob
a curva seja igual à unidade. Em termos matemáticos
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( ) 1f x dx
Observe que:
Assim
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( ) ( )
b
a
P a X b f x dx a b
P(a<X<b)
( ) 0 para fixoP X a a
( ) ( )P a X b P a X b
Se X é uma v.a. contínua, então:
Esperança:
Variância:
Desvio padrão
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( ) ( )E X x f x dx
2 2
2 2
( ) ( ) [ ( )]
onde
( ) ( )
Var X E X E X
E X x f x dx
)()( XVarXDP
Distribuição Normal
Definição: Uma v. a. contínua X tem Distribuição Normal se
sua f.d.p puder ser descrita por:
onde
Notação:
12
21
21( )
2
x
f x e x
( )E X 2( )Var X
2~ ( ; )X N
As principais características dessa função são:
O ponto máximo de f(x) é
Tem dois pontos de inflexão que correspondem à media ±
desvio padrão, isto é ,
A curva é simétrica com relação a
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por causa da simetria, à esquerda da média 50% e à direita da média também 50%
e
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Exemplo:
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0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +
~ (10;4)X N 210 4
21 1011 11
2 2
8 8
1(8 11) ( )
2 2
x
P X f x dx e dx
Quando
temos uma distribuição normal padrão ou reduzida, N(0;1).
Para essa a função densidade reduz-se
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20 e 1
21
21
( )2
x
f x e x
Seja X v.a. contínua com distribuição normal, isto é,
Considere a variável aleatória
Então
Assim:
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2~ ( , )X N
XZ
1 1 1
( ) ( ) 0X
E Z E E X E X
2
2 2 2
1 1( ) 1
XVar Z Var Var X Var X
~ (0,1)Z N integrais podem ser tabeladas! Tabela Z
Variável reduzida
z
(0 2,17) ?P Z
(0 2,17) 0,4850P Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 z
(0 )P Z z
18
19
( 2,17 0) ?P Z
( 2,17 0) (0 2,17) 0,4850P Z P Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0-2,17 2,170
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
=
0,48500,4850
20
( 1 2) ?P Z
( 1 2) ( 1 0) (0 2)
(0 1) (0 2)
0,3413 0,4772
0,8185
P Z P Z P Z
P Z P Z
= +
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 2-10
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 10
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 2
0,4772 0,3413
21
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 1,50
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 1,5
( 1,5) ?P Z
( 1,5) 0,5 (0 1,5)
0,5 0,4332 0,0668
P Z P Z
=
0,5_
0,4332
22
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 1,5
=_
0,4332
2.330
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +01,5 2,33
0,4900
(1,5 2,33) (0 2,33) (0 1,5)
0,4898 – 0,4332
0,0566
P Z P Z P Z
(1,5 2,33)P Z
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Suponhamos P (Z> z) = 0,0228 , quem é z?
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 z
0,0228
0,5 – 0,0228 = 0,4772
z = 2,00
P (Z > z) = 0,9505
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0-z
0,4505+
0,5
z= -1,65
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
( 20)P X
= 15 sacos
= 6 sacos
Exemplo: (Controle de Estoque) O estoque de cimento em
uma determinada obra acaba quando a demanda durante o
tempo de espera (entre o pedido de compra e a entrega) é
maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto
aconteça?
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20 150,83
6
XZ
( 20) ( 0,83)
0,5 0,2967 0,2033
P X P Z
( 0,83)P Z
A chance de que oestoque acabe antesdo tempo de esperaé de 20,33%.
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
( 20)P X
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0,83
Área da tabela Z
z
X
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Exemplo: Em um restaurante temos: peso médio consumido:
0,56 kg, desvio padrão: de 0,040 kg. Admitindo que esta v.a.
seja distribuída normalmente (tenha distribuição normal),
determine:
a) quantas pessoas comem entre 0,50 e 0,70 kg;
b) mais do que 0,65 kg.
Solução:
0,56 ; 0,04
a) P 0,50 < X < 0,70 = ?
b) P X > 0,65 = ?
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Curva do problema
a)
Valores de Z
0,50 -0,56z1= = -1,50
0,04
0,70 -0,56z2 = = 3,50
0,04
Curva normal padrão
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Área (TABELA Z)
93,3% dos pratos servidos estão entre 0,50 e 0,70 kg.
( 1,5 0) (0 3,5)
(0 1,5) (0 3,5)
0,9330
P 0,50 < X < 0,70 = P(-1,5 < Z < 3,5)
P Z P Z
P Z P Z
b) (quadro)
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Exercício de aplicação:
Sabe-se que a variável X que representa o tempo gasto para se realizar
uma determinada análise de laboratório, tem distribuição normal com
média de 40 minutos e desvio padrão de 10 minutos. Uma análise será
realizada:
a) Qual a probabilidade que o tempo para a realização da análise fique
entre 30 e 50 minutos?
b) Qual a probabilidade que o tempo seja superior a 60 minutos?
c) Qual a probabilidade do tempo estar entre 40 e 50 minutos.
d) Acima de que valor de tempo espera-se realizar 90% das análises?